abonnement Unibet Coolblue Bitvavo
  vrijdag 5 februari 2010 @ 22:31:16 #1
75592 GlowMouse
l'état, c'est moi
pi_77687282


Vorige deel: [Bčta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Post hier weer al je vragen, passies, trauma's en andere dingen die je uit je slaap houden met betrekking tot de wiskunde.

Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!

Links:

Opmaak:
  • http://betahw.mine.nu/index.php: site van GlowMouse om formules te kunnen gebruiken in je posts (op basis van Latexcode wordt een plaatje gegenereerd dat je vervolgens via het aangegeven linkje kunt opnemen).
    Een uitleg over LaTeX-code kun je hier vinden

    Wiskundig inhoudelijk:
  • http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
  • http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
  • http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
  • http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.

    OP
  • eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
      vrijdag 5 februari 2010 @ 22:32:18 #2
    267150 Q.E.D.
    qat erat ad vundum
    pi_77687320
    TVP

    [ Bericht 95% gewijzigd door GlowMouse op 09-03-2010 09:38:26 ]
    Hetgeen bewezen en beklonken moest worden.
    pi_77687794
    Maar het hangt toch af waar je die twee stralen tekent? Je hoeft toch geen gelijkzijdige driehoek te krijgen?
    -
      vrijdag 5 februari 2010 @ 22:47:36 #4
    75592 GlowMouse
    l'état, c'est moi
    pi_77687842
    quote:
    Op vrijdag 5 februari 2010 22:46 schreef gaussie het volgende:
    Maar het hangt toch af waar je die twee stralen tekent? Je hoeft toch geen gelijkzijdige te krijgen?
    Inderdaad, maar als jij een driehoek hebt met een cirkel eromheen dan ligt het voor de hand om het eindpunt van een straal samen te laten vallen met een hoekpunt van je driehoek. En dan heb je maar drie mogelijkheden om twee stralen weer te geven.
    eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
      vrijdag 5 februari 2010 @ 22:49:56 #5
    132191 -jos-
    Money=Power
    pi_77687907
    quote:
    Op vrijdag 5 februari 2010 22:32 schreef Q.E.D. het volgende:
    [ afbeelding ]

    TVP
    WEB / [HaxBall #64] Jos is God
    Arguing on the Internet is like running in the Special Olympics.
    pi_77688003
    Het blijft onduidelijk voor mij. Van welke axioma, definitie of stelling maak je gebruik om te beweren dat hoek c 60 graden is?
    -
      vrijdag 5 februari 2010 @ 22:55:14 #7
    75592 GlowMouse
    l'état, c'est moi
    pi_77688051
    quote:
    Op vrijdag 5 februari 2010 22:53 schreef gaussie het volgende:
    Het blijft onduidelijk voor mij. Van welke axioma, definitie of stelling maak je gebruik om te beweren dat hoek c 60 graden is?
    Dat is mijn conclusie niet. Maak eens een paint.
    eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
    pi_77688178
    Maar je beweert toch dat je een driehoek met drie gelijke zijden krijgt? Dan moet elke hoek 60 graden zijn. Ik ben op zoek naar een argument dat volgens de regels van de logica geldig is. Een tekening geldt niet als logisch geldig argument. Ik heb dus een axioma, definitie of stelling nodig waaruit het antwoord volgt.
    -
      vrijdag 5 februari 2010 @ 23:00:24 #9
    75592 GlowMouse
    l'état, c'est moi
    pi_77688214
    Een tekening verschaft inzicht.
    eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
    pi_77688615
    Ik heb het geprobeerd te tekenen, schijnbaar doe ik iets fout. Kun je gewoon het antwoord geven en de intuitie daarachter? Zoniet dan wacht ik wel tot iemand anders het juiste antwoord kan geven....
    -
      vrijdag 5 februari 2010 @ 23:16:14 #11
    75592 GlowMouse
    l'état, c'est moi
    pi_77688769
    als je geen tekening wilt maken, wens ik je succes met wachten
    eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
    pi_77689002
    Een tekening is toch geen geldig argument in de meetkunde of zie ik dat verkeerd?
    -
      vrijdag 5 februari 2010 @ 23:25:00 #13
    75592 GlowMouse
    l'état, c'est moi
    pi_77689026
    quote:
    Op vrijdag 5 februari 2010 23:00 schreef GlowMouse het volgende:
    Een tekening verschaft inzicht.
    Je praat makkelijker over een hoek als je hem ook kunt zien, zeker als de betreffende hoek niet in het verhaal genoemd wordt.
    eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
    pi_77689102
    Mag ik jou vragen waarom je het antwoord niet gewoon geeft? Dit is toch een topic over wiskunde vragen?
    -
      vrijdag 5 februari 2010 @ 23:28:12 #15
    75592 GlowMouse
    l'état, c'est moi
    pi_77689120
    waarom zou ik voor jou een paint maken?
    eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
    pi_77689135
    quote:
    Op vrijdag 5 februari 2010 23:11 schreef gaussie het volgende:
    Ik heb het geprobeerd te tekenen, schijnbaar doe ik iets fout. Kun je gewoon het antwoord geven en de intuitie daarachter? Zoniet dan wacht ik wel tot iemand anders het juiste antwoord kan geven....
    Ik heb niet het idee dat je nou erg je best doet om het antwoord logisch te beredeneren aan de hand van een figuur. En zo doe je je nick geen eer aan ...

    Maar vooruit, ik ga je even op weg helpen.

    Gegeven is een driehoek ABC. Noem het snijpunt van de middelloodlijnen O, dit is dan het middelpunt van de omgeschreven cirkel, en dus geldt:

    OA = OB = OC = r,

    waarbij r de straal is van de omgeschreven cirkel. Nu is echter ook gegeven AB = r, en dus is

    OA = OB = AB,

    zodat driehoek OAB gelijkzijdig is.

    De som van de hoeken van een driehoek is 180 graden, en dus geldt voor driehoek ABC:

    ∠CAB + ∠ABC + ∠BCA = 180°

    Maar nu wordt elk van de drie hoeken door de lijnstukken vanaf de hoekpunten A,B,C naar O in twee delen verdeeld. Kijk nu eens naar deze zes hoeken en wat je daar over kunt zeggen.
    pi_77689487
    Prima dat jullie me dwingen om zelf over de oplossing na te denken, maar andere mensen hier krijgen gewoon een kant en klaar antwoord. Snap niet waarom dit niet in mijn geval gebeurt....
    -
    pi_77689677
    quote:
    Op vrijdag 5 februari 2010 23:39 schreef gaussie het volgende:
    Prima dat jullie me dwingen om zelf over de oplossing na te denken, maar andere mensen hier krijgen gewoon een kant en klaar antwoord. Snap niet waarom dit niet in mijn geval gebeurt....
    Omdat we de indruk hebben dat je niet erg veel moeite doet om zelf na te denken. Maar je wil een kant en klaar antwoord, nou dat kan.

    Als je het goed doet, moet je kunnen beredeneren dat hoek γ = 30°.
    pi_77690213
    Nee, dat heb je verkeerd geinterpreteerd. Mn meetkundig inzicht liet me in de steek. Soms zie je het gewoon niet. En niet iedereen zit op hetzelfde wiskunde niveau... Ik ga ervan uit dat je gebruik gemaakt heb van hoek c= 0.5*boog ab. Maar dan moet gelden dat boog ab 60 graden is. Wat ik nog steeds niet zie is, waarom de gebruikte assumptie tot een gelijkzijdige driehoek leidt? Maak je gebruik van een definitie, stelling etc... En zo ja welke.
    -
      zaterdag 6 februari 2010 @ 00:04:27 #20
    75592 GlowMouse
    l'état, c'est moi
    pi_77690268
    quote:
    Op zaterdag 6 februari 2010 00:02 schreef gaussie het volgende:
    Nee, dat heb je verkeerd geinterpreteerd. Mn meetkundig inzicht liet me in de steek. Soms zie je het gewoon niet. En niet iedereen zit op hetzelfde wiskunde niveau... Ik ga ervan uit dat je gebruik gemaakt heb van hoek c= 0.5*boog ab. Maar dan moet gelden dat boog ab 60 graden is. Wat ik nog steeds niet zie is, waarom de gebruikte assumptie tot een gelijkzijdige driehoek leidt? Maak je gebruik van een definitie, stelling etc... En zo ja welke.
    Er wordt een driehoek met drie gelijke zijden geconstrueerd zonder enige stelling te gebruiken.
    eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
    pi_77690528
    quote:
    Op zaterdag 6 februari 2010 00:02 schreef gaussie het volgende:
    Nee, dat heb je verkeerd geinterpreteerd. Mn meetkundig inzicht liet me in de steek. Soms zie je het gewoon niet. En niet iedereen zit op hetzelfde wiskunde niveau... Ik ga ervan uit dat je gebruik gemaakt heb van hoek c= 0.5*boog ab. Maar dan moet gelden dat boog ab 60 graden is. Wat ik nog steeds niet zie is, waarom de gebruikte assumptie tot een gelijkzijdige driehoek leidt? Maak je gebruik van een definitie, stelling etc... En zo ja welke.
    Nee, ik heb niet gebruik gemaakt van cirkelbogen. Bovendien is de veronderstelling dat driehoek ABC gelijkzijdig zou zijn onjuist. Maar dat wist je al, want anders kon hoek γ niet 30 graden zijn. Sterker nog, er volgt uit de gegevens ook niet dat driehoek ABC gelijkbenig zou zijn, dat hoeft helemaal niet. Wat wél geldt, is dat driehoek OAB gelijkzijdig is, dat is immers gegeven door AB = OA = OB.
    pi_77690542
    Ok, maar geldt de converse dan ook of niet? Met converse bedoel ik; als driehoek abc 1 hoek van 30 graden heeft, dat dan een zijde even lang is als de straal van de omgeschreven cirkel? Zo ja uit welk argument volgt dat dan?
    -
    pi_77690863
    quote:
    Op zaterdag 6 februari 2010 00:14 schreef gaussie het volgende:
    Ok, maar geldt de converse dan ook of niet? Met converse bedoel ik; als driehoek abc 1 hoek van 30 graden heeft, dat dan een zijde even lang is als de straal van de omgeschreven cirkel? Zo ja uit welk argument volgt dat dan?
    Ja, het omgekeerde geldt ook, en dat kun je inderdaad het eenvoudigst inzien met cirkelbogen. Als ∠ACB = 30°, dan is bg(AB) = ∠AOB = 60°, en aangezien OA = OB geldt ∠OAB = ∠ABO. Aangezien de som van de hoeken van driehoek OAB 180 graden is, volgt dus ∠OAB = ∠ABO = 60°, waaruit weer volgt dat OAB gelijkzijdig is, zodat AB = OA = OB en AB dus gelijk is aan de straal van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.

    [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 06-02-2010 02:49:47 ]
    pi_77691023
    Nu is het helemaal duidelijk. Bedankt!
    -
    pi_77697516
    Tekeningen zijn onmisbaar
    tvp.
    I asked God for a bike, but I know God doesn't work that way.
    So I stole a bike and asked for forgiveness.
    pi_77700155
    tvp
    pi_77707889
    tvp
    pi_77731558
    Ik moet bewijzen dat |b|≤a dan en slechts dan als -a ≤ b ≤ a,

    Ik heb nu:
    Stel |b| ≤ a
    0 ≤ |b| ≤ a, dus 0 ≤ a
    |b| ≤ a, dus b ≤ a (omdat |b|=b, of -|b|=b, en -|b|≤|b|)
    |b|≤a dus -a≤-|b|
    Kan ik hier al concluderen dat dan -a ≤ b?

    [ Bericht 0% gewijzigd door Hanneke12345 op 07-02-2010 15:59:38 ]
    pi_77731788
    quote:
    Op zondag 7 februari 2010 15:46 schreef Hanneke12345 het volgende:
    Ik moet bewijzen dat |b|≤a dan en slechts dan als -a ≤ b ≤ a,

    Ik heb nu:
    Stel |b| ≤ a
    0 ≤ b ≤ a, dus 0 ≤ a
    Deze stap volg ik al niet, want b kan ook negatief zijn. Ik zou beginnen om twee gevallen te onderscheiden. Je hebt zoals je zelf al opmerkt |b| = b of |b| = -b, aangenomen dat b reëel is uiteraard.

    [ Bericht 2% gewijzigd door Riparius op 07-02-2010 16:00:50 ]
    pi_77731921
    quote:
    Op zondag 7 februari 2010 15:55 schreef Riparius het volgende:

    [..]

    Deze stap volg ik al niet, want b kan ook negatief zijn. Ik zou beginnen om twee gevallen te onderscheiden. Je hebt zoals je zelf al opmerkt |b| = b of |b| = -b, aangenomen dat b reëel is uiteraard.
    Oh, ik ben daar absoluutstrepen vergeten. Maar de andere kant op bewijzen is net gelukt, dus ik ga een nieuwe poging wagen!
      zondag 7 februari 2010 @ 16:00:55 #31
    75592 GlowMouse
    l'état, c'est moi
    pi_77731976
    Een truuk die vaak werkt, is bij |x| onderscheid te maken tussen x<0 en x>=0.
    eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
    pi_77732286
    Ik ben er bijna uit:
    Stel |b| ≤ a
    0 ≤ |b| ≤ a, dus 0 ≤ a
    |b| = b of |b| = -b
    Als |b| = b, dan b ≤ a, en omdat 0 ≤ a en 0 ≤ b is -a ≤ b
    Als |b| = -b, dan -b ≤ a dus -a ≤ b, en b ≤ 0, 0 ≤ a, dus b ≤ a

    Dus in beide gevallen geldt -a ≤ b ≤ a.

    Toch? Of ben ik toch noge rgens te overhaast?
      zondag 7 februari 2010 @ 16:19:59 #33
    75592 GlowMouse
    l'état, c'est moi
    pi_77732506
    Het klopt allemaal wel, maar
    quote:
    Op zondag 7 februari 2010 16:12 schreef Hanneke12345 het volgende:
    |b| = b of |b| = -b
    volgt niet direct uit de axioma's.
    eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
    pi_77732605
    quote:
    Op zondag 7 februari 2010 16:19 schreef GlowMouse het volgende:
    Het klopt allemaal wel, maar
    [..]

    volgt niet direct uit de axioma's.
    Als 0 ≤ b, dan |b| = b, als b ≤ 0, dan |b| = -b, b ≤ 0 of 0 ≤ b, dus ..
    Dat moet ik echt zo uitschrijven, ja?
    pi_77739845
    Ik kom deze echt niet uit.
    Te bewijzen: ||a|-|b|| ≤ |a-b|

    Het antwoordenmodel zegt dat ik gebruik kan maken van dat wat ik eerder aangetoond heb, |b|≤a desda -a ≤ b ≤ a.

    Aan te tonen: -|a-b| ≤ |a|-|b|≤|a-b|, oké zover snap ik het.

    Vervolgens doen ze:
    |b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a|=|a-b|+|a|. which implies the first inequality. Ik heb echt geen idee waarom.
      zondag 7 februari 2010 @ 20:12:31 #36
    75592 GlowMouse
    l'état, c'est moi
    pi_77740458
    quote:
    Op zondag 7 februari 2010 16:23 schreef Hanneke12345 het volgende:

    [..]

    Als 0 ≤ b, dan |b| = b, als b ≤ 0, dan |b| = -b, b ≤ 0 of 0 ≤ b, dus ..
    Dat moet ik echt zo uitschrijven, ja?
    quote:
    Op zondag 7 februari 2010 19:58 schreef Hanneke12345 het volgende:
    Ik kom deze echt niet uit.
    Te bewijzen: ||a|-|b|| ≤ |a-b|

    Het antwoordenmodel zegt dat ik gebruik kan maken van dat wat ik eerder aangetoond heb, |b|≤a desda -a ≤ b ≤ a.

    Aan te tonen: -|a-b| ≤ |a|-|b|≤|a-b|, oké zover snap ik het.

    Vervolgens doen ze:
    |b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a|=|a-b|+|a|. which implies the first inequality. Ik heb echt geen idee waarom.
    Daar staat |b| <= |a-b| + |a| ofwel |a|-|b| >= -|a-b|.
    eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
    pi_77741167
    Ah, ja. Tuurlijk.
      zondag 7 februari 2010 @ 22:19:56 #38
    105018 Borizzz
    Thich Nhat Hanh
    pi_77748358
    tvp
    kloep kloep
    pi_77823231
    n(x) = 1 - 2 cos x

    ' De grafiek ontstaat door de vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor -2 gevolgd door de verschuiving 2 omhoog '
    Waarom is het 2 omhoog en niet 1 ?
    pi_77824506
    quote:
    Op dinsdag 9 februari 2010 21:02 schreef Joewy het volgende:
    n(x) = 1 - 2 cos x

    ' De grafiek ontstaat door de vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor -2 gevolgd door de verschuiving 2 omhoog '
    Waarom is het 2 omhoog en niet 1 ?
    Dat hangt ervan af wat je oorspronkelijke functie is, dat vertel je er niet bij.
    pi_77824657
    De standaard f(x) = cos x, sorry.
    pi_77824848
    quote:
    Op dinsdag 9 februari 2010 21:30 schreef Joewy het volgende:
    De standaard f(x) = cos x, sorry.
    Dan moet het een fout zijn in je boek.
    pi_77869711
    Lopen er hier nog mensen rond met Matlab ervaring?

    Ik heb een vraagje:
    als ik een berekening laat uitvoeren met Matlab, dan geeft hij het antwoord exact weer, dus in "som-vorm"

    ,maar wat ik wil is dat hij er gelijk één getal uit braakt.
    Dus eigenlijk van een exact antwoord wil ik direct de benadering in 3 cijfers achter de komma.
    Maar hoe laat ik hem dat weten...

    vb: stel je hebt iets van (5*10)/2, dan drukt hij het uit als 50/2, maar ik wil dan dat ie direct 25 geeft.
    (maar dan gaat het over getallen als -1529507700186385500251/33351231400106740678656+63595717592748263604825/68078519651958026928128*cos(3/10*pi)+158291783209258431323833/2668098512008539254292480*sin(3/10*pi)-4851982502419173/360287970189639680*cos(1/5*pi))


    Ik krijg wel een antwoord als ik hetzelfde nog's laat uitvoeren, maar dan moet ik dus weer een extra opdracht geven.
      donderdag 11 februari 2010 @ 08:07:09 #44
    75592 GlowMouse
    l'état, c'est moi
    pi_77872402
    format short?
    eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
    pi_77876656
    Staat ie standaard op.

    Docent weet het ook niet.
    pi_77880567
    Kan iemand mij stapsgewijs uitleggen hoe je de onderstaande vergelijking oplost?
    (kom er even niet uit met die macht en haakjes )

    150 = 100(1+r)5
    pi_77880949


    WEB / [HaxBall #64] Jos is God
    Arguing on the Internet is like running in the Special Olympics.
    pi_77881504
    Tnx ik snap hem weer
      vrijdag 12 februari 2010 @ 00:20:31 #49
    75592 GlowMouse
    l'état, c'est moi
    pi_77906424
    quote:
    Op donderdag 11 februari 2010 11:27 schreef gias het volgende:
    Staat ie standaard op.

    Docent weet het ook niet.
    http://forum.allaboutcircuits.com/showthread.php?t=8234
    ik heb het nog nooit gezien
    eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
    pi_77916098
    Even een vraagje betreft integralen, zie hieronder voor de som.



    Dit heb ik gister van het bord overgenomen op school, maar iets zegt me dat dit niet klopt. Als ik namelijk in de primitieve functie 1 invul, komt er 17/15e uit, en dit moet nog met 2pi vermenigvuldigd worden. Dan kan het antwoord toch nooit 16/15 pi zijn? Ik kom in dit geval uit op 34/15 pi. Hoe zit de vork nou in de steel hier?
    A "Nederlands restaurant" is a 'contradictio in terminus'.
    If it don't matter to you, it don't matter to me
      vrijdag 12 februari 2010 @ 15:12:13 #51
    75592 GlowMouse
    l'état, c'est moi
    pi_77921331
    De primitieve is fout; je moet eerst het kwadraat wegwerken in de integrand.
    eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
    pi_77923169
    Die hoorde daar niet, fout opgeschreven Die kwadraat wordt die stap erboven al weggewerkt.
    A "Nederlands restaurant" is a 'contradictio in terminus'.
    If it don't matter to you, it don't matter to me
      vrijdag 12 februari 2010 @ 19:39:50 #53
    75592 GlowMouse
    l'état, c'est moi
    pi_77930212
    werk het toch maar nauwkeuriger uit
    eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
      vrijdag 12 februari 2010 @ 19:41:02 #54
    132191 -jos-
    Money=Power
    pi_77930257
    quote:
    Op vrijdag 12 februari 2010 16:01 schreef beertenderrr het volgende:
    Die hoorde daar niet, fout opgeschreven Die kwadraat wordt die stap erboven al weggewerkt.
    Ik denk dat je die kwadraat dan verkeerd hebt uitgewerkt. Als je als primitieve 1/5*x^5-2/3*x^3+x neemt komt er wel 16/15 pi uit

    trouwens hoe kan je nou weer de inhoud van een vlakdeel berekenen, stomme vraag zeg
    WEB / [HaxBall #64] Jos is God
    Arguing on the Internet is like running in the Special Olympics.
      vrijdag 12 februari 2010 @ 19:54:28 #55
    75592 GlowMouse
    l'état, c'est moi
    pi_77930807
    De zin is inderdaad fout: het vlakdeel wordt om de x-as gewenteld.
    eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
    pi_77931382
    holy shit, wat dom het klopt idd ja. Bedankt voor de hulp en ja, de vraagstelling is idd wat krom.
    A "Nederlands restaurant" is a 'contradictio in terminus'.
    If it don't matter to you, it don't matter to me
    pi_77953379
    quote:
    Op vrijdag 12 februari 2010 20:09 schreef beertenderrr het volgende:
    holy shit, wat dom het klopt idd ja. Bedankt voor de hulp en ja, de vraagstelling is idd wat krom.
    Als dat zo op het bord heeft gestaan als je het hier hebt gepost dan begrijpt je docent kennelijk ook niet hoe je het volume van een omwentelingslichaam berekent. Die factor 2π klopt dan niet en het antwoord 16/15 π dus ook niet. Het omwentelingslichaam past in een cilinder met straal 1 en lengte 1, en het volume daarvan is π. Je uitkomst kan dus niet kloppen.
    pi_77955112
    Bewijs met de epsilon-delta definitie van een limiet dat:


    Bewijs:
    Zij willekeurig. Neem en laat voldoen aan. Dan geldt:.

    Moet ik die |x| uit de noemer zien te krijgen? Hoe kan ik dat doen?

    [ Bericht 3% gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:36:49 ]
      zaterdag 13 februari 2010 @ 15:24:49 #59
    75592 GlowMouse
    l'état, c'est moi
    pi_77955180
    Relateer hem niet aan epsilon, maar schat hem af. Zorg dat 1/|x| niet te groot wordt door delta goed te kiezen.
    eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
    pi_77955254
    quote:
    Op zaterdag 13 februari 2010 15:24 schreef GlowMouse het volgende:
    Relateer hem niet aan epsilon, maar schat hem af. Zorg dat 1/|x| niet te groot wordt door delta altijd kleiner dan 0.25 te kiezen.
    Dan geldt:
    Dus volgt dat:

    Dus:

    En daarmee is het bewezen?

    [ Bericht 1% gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:36:54 ]
      zaterdag 13 februari 2010 @ 15:32:01 #61
    75592 GlowMouse
    l'état, c'est moi
    pi_77955343
    quote:
    Op zaterdag 13 februari 2010 15:28 schreef BasementDweller het volgende:

    [..]

    En daarmee is het bewezen?
    wat denk je zelf?
    eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
    pi_77955351
    quote:
    Op zaterdag 13 februari 2010 15:22 schreef BasementDweller het volgende:
    Bewijs met de epsilon-delta definitie van een limiet dat:
    [ afbeelding ]

    Bewijs:
    Zij [ afbeelding ]willekeurig. Neem [ afbeelding ] en laat[ afbeelding ] voldoen aan[ afbeelding ]. Dan geldt:[ afbeelding ].

    Moet ik die |x| uit de noemer zien te krijgen? Hoe kan ik dat doen?
    Dit gaat al niet goed. De uitspraak lim x→½ 1/x = 2 betekent dat er voor elke ε > 0 een δ > 0 bestaat zodanig dat | 1/x - 2 | < ε voor elke x waarvoor geldt 0 < | x - ½ | < δ. Je moet dus een existentiebewijs geven en laten zien dat er voor elke ε > 0 zo'n δ > 0 bestaat. Dit doe je door uit te gaan van | 1/x - 2 | < ε en daaruit te herleiden waaraan x moet voldoen. Dan kun je δ in ε uitdrukken, waarmee het gestelde is aangetoond.
    pi_77955412
    quote:
    Op zaterdag 13 februari 2010 15:32 schreef GlowMouse het volgende:

    [..]

    wat denk je zelf?
    Ja, want voor elke epsilon>0 is er een delta>0 zodanig dat als |x-1/2| < delta dat dan |1/x -2| < epsilon .
    pi_77955440
    quote:
    Op zaterdag 13 februari 2010 15:32 schreef Riparius het volgende:

    [..]

    Dit gaat al niet goed. De uitspraak lim x→½ 1/x = 2 betekent dat er voor elke ε > 0 een δ > 0 bestaat zodanig dat | 1/x - 2 | < ε voor elke x waarvoor geldt 0 < | x - ½ | < δ. Je moet dus een existentiebewijs geven en laten zien dat er voor elke ε > 0 zo'n δ > 0 bestaat. Dit doe je door uit te gaan van | 1/x - 2 | < ε en daaruit te herleiden waaraan x moet voldoen. Dan kun je δ in ε uitdrukken, waarmee het gestelde is aangetoond.
    Dat is toch precies wat ik nu gedaan heb?

    Waarneer refereerde je precies met "dit gaat niet altijd goed"?
      zaterdag 13 februari 2010 @ 15:38:20 #65
    75592 GlowMouse
    l'état, c'est moi
    pi_77955472
    quote:
    Op zaterdag 13 februari 2010 15:35 schreef BasementDweller het volgende:

    [..]

    Ja, want voor elke epsilon>0 is er een delta>0 zodanig dat als |x-1/2| < delta dat dan |1/x -2| < epsilon .
    Het staat er nu alleen meer als een kladje zoals Riparius opmerkt. Je begint met zij eps>0, neem delta = min{1/4, eps/8}, zij x in Df, |x-2|<delta, dan .... < eps, klaar. Delta>0 komt bv. ook nooit voor als aparte regel in je bewijs.
    eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
    pi_77955527
    quote:
    Op zaterdag 13 februari 2010 15:36 schreef BasementDweller het volgende:

    [..]

    Dat is toch precies wat ik nu gedaan heb?

    Waarneer refereerde je precies met "dit gaat niet altijd goed"?
    Beter lezen, dit schrijf ik niet. Verder bedoel ik dat je een existentiebewijs moet geven en dat je dat kunt doen door te laten zien dat je bij elke gegeven ε > 0 een δ > 0 kunt construeren die aan het gestelde voldoet.
    pi_77955573
    quote:
    Op zaterdag 13 februari 2010 15:38 schreef GlowMouse het volgende:

    [..]

    Het staat er nu alleen meer als een kladje zoals Riparius opmerkt. Je begint met zij eps>0, neem delta = min{1/4, eps/8}, zij x in Df, |x-2|<delta, dan .... < eps, klaar. Delta>0 komt bv. ook nooit voor als aparte regel in je bewijs.
    Je bedoelt zeker: delta < min(1/4,epsilon/8.
    Delta>0 vind ik wel ergens terug in een bewijsje in mijn diktaat, maar is inderdaad overbodig omdat delta groter is dan de absolute waarde van iets.

    Is inderdaad wel netjes om het op die manier op te schrijven, maar ik wilde hier meer laten zien wat ik aan het doen was. Bedankt!
    pi_77956583
    Even om te checken of ik het nu goed doe, een ander voorbeeld van een delta-epsilon limiet.

    Te bewijzen:
    Bewijs:
    Zij . Neem . Laat voldoen aan . Dan geldt: .

    [ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:37:00 ]
    pi_77956883
    quote:
    Op zaterdag 13 februari 2010 15:42 schreef BasementDweller het volgende:

    [..]

    Je bedoelt zeker: delta < min(1/4,epsilon/8.
    Delta>0 vind ik wel ergens terug in een bewijsje in mijn diktaat, maar is inderdaad overbodig omdat delta groter is dan de absolute waarde van iets.

    Is inderdaad wel netjes om het op die manier op te schrijven, maar ik wilde hier meer laten zien wat ik aan het doen was. Bedankt!
    Delta kan anders natuurlijk ook nul zijn, dus het moet wel genoemd worden.

    http://mathworld.wolfram.com/Epsilon-DeltaProof.html
    pi_77956926
    quote:
    Op zaterdag 13 februari 2010 16:16 schreef BasementDweller het volgende:
    Even om te checken of ik het nu goed doe, een ander voorbeeld van een delta-epsilon limiet.

    Te bewijzen: [ afbeelding ]
    Bewijs:
    Zij [ afbeelding ]. Neem [ afbeelding ]. Laat [ afbeelding ] voldoen aan [ afbeelding ]. Dan geldt: [ afbeelding ].[ afbeelding ]
    Nee. Je omwerking van 1/(1+x2) - 1/2 klopt al niet.
    pi_77956975
    quote:
    Op zaterdag 13 februari 2010 16:26 schreef Riparius het volgende:

    [..]

    Nee. Je omwerking van 1/(1+x2) - 1/2 klopt al niet.
    oeps
    pi_77957058
    quote:
    Op zaterdag 13 februari 2010 16:25 schreef BasementDweller het volgende:

    [..]

    Delta kan anders natuurlijk ook nul zijn, dus het moet wel genoemd worden.

    http://mathworld.wolfram.com/Epsilon-DeltaProof.html
    Nee, bij het bewijs van een limiet voor x → a aan de hand van de ε,δ definitie gaat het om waarden van x zodanig dat 0 < | x - a | < δ, en dan kan δ niet nul zijn.
    pi_77957147
    quote:
    Op zaterdag 13 februari 2010 16:26 schreef Riparius het volgende:

    [..]

    Nee. Je omwerking van 1/(1+x2) - 1/2 klopt al niet.
    Ik krijg met mathematica hetzelfde, dus wat zou het volgens jou wel moeten zijn dan?
    pi_77957207
    quote:
    Op zaterdag 13 februari 2010 16:31 schreef Riparius het volgende:

    [..]

    Nee, bij het bewijs van een limiet voor x → a aan de hand van de ε,δ definitie gaat het om waarden van x zodanig dat 0 < | x - a | < δ, en dan kan δ niet nul zijn.
    Dat is wat ik bedoel, je noemt dus dat delta groter is dan nul door te zeggen dat 0 < | x - a | < δ .
      zaterdag 13 februari 2010 @ 16:37:52 #75
    75592 GlowMouse
    l'état, c'est moi
    pi_77957253
    quote:
    Op zaterdag 13 februari 2010 16:34 schreef BasementDweller het volgende:

    [..]

    Ik krijg met mathematica hetzelfde, dus wat zou het volgens jou wel moeten zijn dan?
    Minnetjes en plusjes gaan fout. Dat zie je ook als je gewoon x=1 invult.
    eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
    pi_77957351
    quote:
    Op zaterdag 13 februari 2010 16:37 schreef GlowMouse het volgende:

    [..]

    Minnetjes en plusjes gaan fout. Dat zie je ook als je gewoon x=1 invult.
    Als ik x=1 invul krijg ik voor beide 0.. volgens mij klopt ie toch echt.
    pi_77957446
    quote:
    Op zaterdag 13 februari 2010 16:36 schreef BasementDweller het volgende:

    [..]

    Dat is wat ik bedoel, je noemt dus dat delta groter is dan nul door te zeggen dat 0 < | x - a | < δ .
    Nee, het ligt anders (en subtieler). Er is een verschil tussen de ε,δ definities bij een limiet voor x → a en bij continuďteit in x = a.

    [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 13-02-2010 16:59:18 ]
    pi_77957517
    quote:
    Op zaterdag 13 februari 2010 16:43 schreef Riparius het volgende:

    [..]

    Nee, het ligt anders (en subtieler). Er is een verschil tussen de ε,δ definities bij een limiet voor x → a en bij continuiteit in x = a.
    Continuiteit heb ik nog niet zo 'rigoreus' gekregen, maar hier lees ik hetzelfde:
    quote:
    for all epsilon>0 there is delta>0 such that, whenever 0<|x-x_0|<delta, then |f(x)-y_0|<epsilon
    http://mathworld.wolfram.com/Epsilon-DeltaDefinition.html

    Je begint dus met 0<|x-x_0|<delta en laat zien dat daaruit volgt dat |f(x)-y_0|<epsilon. Je neem dus aan dat 0<delta.
      zaterdag 13 februari 2010 @ 16:49:58 #79
    75592 GlowMouse
    l'état, c'est moi
    pi_77957635
    quote:
    Op zaterdag 13 februari 2010 16:43 schreef Riparius het volgende:

    [..]

    Nee, het ligt anders (en subtieler). Er is een verschil tussen de ε,δ definities bij een limiet voor x → a en bij continuiteit in x = a.
    Het enige verschil is toch dat je de limietwaarde neemt ipv f(c)?
    quote:
    Op zaterdag 13 februari 2010 16:41 schreef BasementDweller het volgende:

    [..]

    Als ik x=1 invul krijg ik voor beide 0.. volgens mij klopt ie toch echt.
    In de noemer krijg je 1-x˛, wat overigens hetzelfde is door de absoluutstrepen. Je eerste ongelijkheidsteken vind ik een onlogische stap.nvm er mist een kwadraat
    eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
    pi_77957735
    quote:
    Op zaterdag 13 februari 2010 16:49 schreef GlowMouse het volgende:
    In de noemer krijg je 1-x˛, wat overigens hetzelfde is door de absoluutstrepen. Je eerste ongelijkheidsteken vind ik een onlogische stap.
    Ja, het klopt dus wel gewoon

    Wat ik eigenlijk doe bij het eerste ongelijkheidsteken, is die |(x-1)| vervangen door delta.

    edit: oja, kwadraatje vergeten over te typen verderop.

    Anyway, is het inhoudelijk correct?
    pi_77957804
    quote:
    Op zaterdag 13 februari 2010 16:46 schreef BasementDweller het volgende:

    [..]

    Continuiteit heb ik nog niet zo 'rigoreus' gekregen, maar hier lees ik hetzelfde:
    [..]

    http://mathworld.wolfram.com/Epsilon-DeltaDefinition.html

    Je begint dus met 0<|x-x_0|<delta en laat zien dat daaruit volgt dat |f(x)-y_0|<epsilon. Je neem dus aan dat 0<delta.
    Ja, maar δ=0 komt in dat hele verhaal niet te pas. Bovendien klopt de definitie van continuiteit die in je linkje wordt gegeven niet, want hier wordt x = x0 ten onrechte uitgesloten door 0 < | x - x0 | < δ te nemen. Kijk maar eens naar de functie f(x) = (sin x) /x. Die zou continu zijn in x = 0 als we het verhaal uit je linkje mogen geloven, maar dit is niet zo, want de functie is niet gedefinieerd voor x = 0. Je kunt de discontinuďteit in x = 0 wel opheffen door f(0) = 1 te definiëren, want lim x→0 (sin x)/x = 1, maar dat is een ander verhaal.
      zaterdag 13 februari 2010 @ 16:59:59 #82
    75592 GlowMouse
    l'état, c'est moi
    pi_77957928
    quote:
    Op zaterdag 13 februari 2010 16:53 schreef BasementDweller het volgende:

    [..]

    Anyway, is het inhoudelijk correct?
    Nee, 14/9de komt uit de lucht vallen.
    eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
    pi_77958009
    quote:
    Op zaterdag 13 februari 2010 16:59 schreef GlowMouse het volgende:

    [..]

    Nee, 14/9de komt uit de lucht vallen.
    Omdat delta < 1/4 en |x-1|<delta, volgt |x-1|<1/4 dus . Als ik 3/4 invul is de breuk het grootst (is eigenlijk niet triviaal, hoe kan ik dit meenemen in het bewijs?) dus dat heb ik gedaan.
    Verder heb ik een rekenfout gemaakt en moet het 14/25 zijn ipv 14/9.

    [ Bericht 22% gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:37:08 ]
    pi_77986150
    quote:
    Op zaterdag 13 februari 2010 17:02 schreef BasementDweller het volgende:

    [..]

    Omdat delta < 1/4 en |x-1|<delta, volgt |x-1|<1/4 dus [ afbeelding ]. Als ik 3/4 invul is de breuk het grootst (is eigenlijk niet triviaal, hoe kan ik dit meenemen in het bewijs?) dus dat heb ik gedaan.
    Verder heb ik een rekenfout gemaakt en moet het 14/25 zijn ipv 14/9.
    Dit gaat helemaal niet goed, dus laat ik het maar even voor je uitwerken.

    De opgave: bewijs aan de hand van de ε,δ definitie dat lim x→1 1/(1+x2) = 1/2.

    We bekijken eerst eens de uitdrukking 1/(1 + x2). Er geldt x2 ≥ 0, dus 1 + x2 ≥ 1, dus 1/(1 + x2) ≤ 1, en aangezien ook geldt 1/(1 + x2) > 0 hebben we dus:

    (1) 0 < 1/(1 + x2) ≤ 1,

    en dus ook:

    (2) -½ < 1/(1 + x2) - ½ ≤ ½,

    en dus:

    (3) | 1/(1 + x2) - ½ | ≤ ½

    Dit betekent dat voor ε > ½ elke waarde van δ > 0 voldoet, aangezien (3) geldt voor elke x en daarmee ook voor elke x die voldoet aan 0 < | x - 1 | < δ, ongeacht de keuze van δ. We hoeven nu dus alleen nog waarden van ε ≤ ½ te onderzoeken.

    Sluiten we x = 0 uit, dan is | 1/(1 + x2) | < 1 en dus ook | 1/(1 + x2) - ½ | < ½, zodat we kunnen concluderen dat voor ε = ½ de waarde δ = 1 voldoet, we hebben immers:

    (4) | 1/(1 + x2) - ½ | < ½ voor elke x zodanig dat 0 < | x - 1 | < 1

    In zijn algemeenheid kun je voor lim x→a f(x) = L opmerken dat een gegeven δ0 die voldoet voor een gegeven ε0 ook zal voldoen voor elke andere ε > ε0, daar immers uit | f(x) - L | < ε0 en ε0 < ε ook volgt dat | f(x) - L | < ε indien 0 < | x - a | < δ0. Het is dus irrelevant om willekeurig grote waarden van ε te onderzoeken zodra we een bovengrens voor ε hebben gevonden, het is dan nog uitsluitend van belang aan te tonen dat voor elke willekeurig kleine ε > 0 een δ > 0 bestaat waarmee aan de voorwaarden uit de definitie wordt voldaan. Voor deze opgave hebben we al gevonden dat we alleen nog waarden van ε < ½ hoeven te onderzoeken.

    We willen nu aantonen dat voor elke positieve ε < ½ een δ > 0 bestaat zodanig dat

    (5) | 1/(1 + x2) - ½ | < ε

    indien

    (6) 0 < | x - 1 | < δ

    Voor (5) kunnen we schrijven:

    (7) | (1 - x)(1 + x)/(2∙(1 + x2)) | < ε

    En aangezien we voor ε < ½ mogen veronderstellen dat δ < 1 en dus blijkens (6) | x + 1| niet 0 kan zijn kunnen we (7) herschrijven als:

    (8) | x - 1 | < 2ε ∙| (1 + x2)/(1 + x) |

    Nu moeten we de factor | (1 + x2)/(1 + x) | onderzoeken, en aangezien we δ < 1 mogen veronderstellen, en dus | x - 1 | < 1, kunnen we ons beperken tot het interval (0,2).

    Het is direct te zien dat (1 + x2)/(1 + x) gelijk is aan 1 voor x = 0 en x = 1. Ook is duidelijk dat deze uitdrukking positief is op het interval (0,2) en dat de waarde in ieder geval stijgend is voor x > 1 aangezien x2 sneller in grootte toeneemt dan x voor x > 1. Maar nu zijn we geďnteresseerd in een minimum van deze uitdrukking op het interval (0,2). Als we namelijk een ondergrens m > 0 kunnen bepalen zodanig dat:

    (9) m < | (1 + x2)/(1 + x) |

    Dan is ook:

    (10) 2ε∙m < 2ε∙| (1 + x2)/(1 + x) |

    In dit geval volgt uit (8) en (10) dat voor elke positieve ε < ½ de keuze δ = 2ε∙m impliceert dat voor elke x zodanig dat 0 < | x - 1 | < δ wordt voldaan aan (8) en daarmee dus ook aan (7) en dus ook aan (5), zoals gewenst.

    Nu is eenvoudig te bepalen dat (1 + x2)/(1 + x) op het interval (0,2) een minimum aanneemt bij x = -1+√2 en dat dit minimum 2√2 - 2 bedraagt. Ook is 2√2 - 2 > ½, dus kunnen we bijvoorbeeld m = ½ nemen, er geldt immers op het interval (0,2):

    (11) ½ < | (1 + x2)/(1 + x) |

    Kiezen we dus bij een willekeurig kleine ε < ½ voor δ = 2ε∙½ = ε, dan wordt voor elke x die voldoet aan (6) voldaan aan (8) en daarmee ook aan (5). Hiermee is aangetoond dat er inderdaad voor voor elke ε > 0 een δ > 0 bestaat zodanig dat voor elke x die voldoet aan (6) wordt voldaan aan (5), QED.

    [ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 14-02-2010 17:30:17 ]
    pi_77986911
    Te bewijzen: a en b uit R, als a <= b1 voor alle b1>b, dan a <= b.
    Stel dat het niet zo is. Dus b<a. Dan is a > b, maar dat is nog geen tegenspraak. Ik weet wel dat er oneindig veel getallen nog tussen a en b liggen, waarvoor dus geldt dat a>b1>b, maar ik weet niet hoe ik dat wiskundig moet gaan opschrijven of ik dat uberhaupt zomaar aan kan nemen.
      zondag 14 februari 2010 @ 16:35:08 #86
    75592 GlowMouse
    l'état, c'est moi
    pi_77986970
    Zij a en b in R.
    Neem aan a <= b1 voor alle b1 > b, maar a > b.
    Je moet dan op een tegenspraak uitkomen, en dat kan hier door een b1>b te vinden zodanig dat a > b1.
    eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
    pi_77987153
    Dat is precies zover als ik ook was. Maar ik heb geen idee hoe ik die b1 kan vinden. Ik zou denk ik b1 moeten schrijven als functie van b en a. Iets met een breuk misschien? Verder dan dit kom ik niet.
    pi_77987411
    Wat dacht je van (a+b)/2 ?
    pi_77987553
    Ach stom, uiteraard.
    pi_77990809
    quote:
    Op zondag 14 februari 2010 16:07 schreef Riparius het volgende:

    [..]

    Dit gaat helemaal niet goed, dus laat ik het maar even voor je uitwerken.

    De opgave: bewijs aan de hand van de ε,δ definitie dat lim x→1 1/(1+x2) = 1/2.

    We bekijken eerst eens de uitdrukking 1/(1 + x2). Er geldt x2 ≥ 0, dus 1 + x2 ≥ 1, dus 1/(1 + x2) ≤ 1, en aangezien ook geldt 1/(1 + x2) > 0 hebben we dus:

    (1) 0 < 1/(1 + x2) ≤ 1,

    en dus ook:

    (2) -½ < 1/(1 + x2) - ½ ≤ ½,

    en dus:

    (3) | 1/(1 + x2) - ½ | ≤ ½

    Dit betekent dat voor ε > ½ elke waarde van δ > 0 voldoet, aangezien (3) geldt voor elke x en daarmee ook voor elke x die voldoet aan 0 < | x - 1 | < δ, ongeacht de keuze van δ. We hoeven nu dus alleen nog waarden van ε ≤ ½ te onderzoeken.

    Sluiten we x = 0 uit, dan is | 1/(1 + x2) | < 1 en dus ook | 1/(1 + x2) - ½ | < ½, zodat we kunnen concluderen dat voor ε = ½ de waarde δ = 1 voldoet, we hebben immers:

    (4) | 1/(1 + x2) - ½ | < ½ voor elke x zodanig dat 0 < | x - 1 | < 1

    In zijn algemeenheid kun je voor lim x→a f(x) = L opmerken dat een gegeven δ0 die voldoet voor een gegeven ε0 ook zal voldoen voor elke andere ε > ε0, daar immers uit | f(x) - L | < ε0 en ε0 < ε ook volgt dat | f(x) - L | < ε indien 0 < | x - a | < δ0. Het is dus irrelevant om willekeurig grote waarden van ε te onderzoeken zodra we een bovengrens voor ε hebben gevonden, het is dan nog uitsluitend van belang aan te tonen dat voor elke willekeurig kleine ε > 0 een δ > 0 bestaat waarmee aan de voorwaarden uit de definitie wordt voldaan. Voor deze opgave hebben we al gevonden dat we alleen nog waarden van ε < ½ hoeven te onderzoeken.

    We willen nu aantonen dat voor elke positieve ε < ½ een δ > 0 bestaat zodanig dat

    (5) | 1/(1 + x2) - ½ | < ε

    indien

    (6) 0 < | x - 1 | < δ

    Voor (5) kunnen we schrijven:

    (7) | (1 - x)(1 + x)/(2∙(1 + x2)) | < ε

    En aangezien we voor ε < ½ mogen veronderstellen dat δ < 1 en dus blijkens (6) | x + 1| niet 0 kan zijn kunnen we (7) herschrijven als:

    (8) | x - 1 | < 2ε ∙| (1 + x2)/(1 + x) |

    Nu moeten we de factor | (1 + x2)/(1 + x) | onderzoeken, en aangezien we δ < 1 mogen veronderstellen, en dus | x - 1 | < 1, kunnen we ons beperken tot het interval (0,2).

    Het is direct te zien dat (1 + x2)/(1 + x) gelijk is aan 1 voor x = 0 en x = 1. Ook is duidelijk dat deze uitdrukking positief is op het interval (0,2) en dat de waarde in ieder geval stijgend is voor x > 1 aangezien x2 sneller in grootte toeneemt dan x voor x > 1. Maar nu zijn we geďnteresseerd in een minimum van deze uitdrukking op het interval (0,2). Als we namelijk een ondergrens m > 0 kunnen bepalen zodanig dat:

    (9) m < | (1 + x2)/(1 + x) |

    Dan is ook:

    (10) 2ε∙m < 2ε∙| (1 + x2)/(1 + x) |

    In dit geval volgt uit (8) en (10) dat voor elke positieve ε < ½ de keuze δ = 2ε∙m impliceert dat voor elke x zodanig dat 0 < | x - 1 | < δ wordt voldaan aan (8) en daarmee dus ook aan (7) en dus ook aan (5), zoals gewenst.

    Nu is eenvoudig te bepalen dat (1 + x2)/(1 + x) op het interval (0,2) een minimum aanneemt bij x = -1+√2 en dat dit minimum 2√2 - 2 bedraagt. Ook is 2√2 - 2 > ½, dus kunnen we bijvoorbeeld m = ½ nemen, er geldt immers op het interval (0,2):

    (11) ½ < | (1 + x2)/(1 + x) |

    Kiezen we dus bij een willekeurig kleine ε < ½ voor δ = 2ε∙½ = ε, dan wordt voor elke x die voldoet aan (6) voldaan aan (8) en daarmee ook aan (5). Hiermee is aangetoond dat er inderdaad voor voor elke ε > 0 een δ > 0 bestaat zodanig dat voor elke x die voldoet aan (6) wordt voldaan aan (5), QED.
    Wauw dat is een hoop werk, dank je wel!!

    (heb nu even geen tijd maar ga het binnenkort zeker doornemen! Als ik dan nog vragen heb horen jullie het wel )
    pi_77997373
    Oké ik kom er weer niet uit. Prove that if a>0, then there exists n in N such that 1/n < a < n.

    a < n is makkelijk. Round(a)+1 (mag dat gewoon?).
    1/n < a kom ik niet uit. Ik dacht eerst 't zelfde te doen als net. a/2. Maar als a irrationaal is kan dat niet omgevormd anar 1/n. round(a)/2 gaat ook alleen maar goed als a groter is dan een half.
      zondag 14 februari 2010 @ 21:19:06 #92
    75592 GlowMouse
    l'état, c'est moi
    pi_77997780
    Ik zou om te beginnen onderscheid maken tussen a<1 en a>=1.
    eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
    pi_77998065
    quote:
    Op zondag 14 februari 2010 21:10 schreef Hanneke12345 het volgende:
    Oké ik kom er weer niet uit. Prove that if a>0, then there exists n in N such that 1/n < a < n.

    a < n is makkelijk. Round(a)+1 (mag dat gewoon?).
    1/n < a kom ik niet uit. Ik dacht eerst 't zelfde te doen als net. a/2. Maar als a irrationaal is kan dat niet omgevormd anar 1/n. round(a)/2 gaat ook alleen maar goed als a groter is dan een half.
    Kies een n zodanig dat n > 1/a en tevens n > a. Dan is 1/n < a en a < n, waaruit het gestelde volgt.
    pi_78048960
    een probleem met het inproduct waar ik niet helemaal uit kom:

    ik heb 2 vectoren die een plane opspannen laten we zeggen:
    P(50,0,0) en Q(0,0,50) (x,y,z)
    met een normaal van de plane N(0,1,0)

    Nu moet ik een vector R bepalen die +30 graden is tov vector P die ook in de plane ligt. Hoe doe ik dit?

    Kom niet verder dan in het invullen van deze formule:
    P*R = |P| |R| * cos( hoek )

    P weet ik hier, lengte van R ook moet hoe reken ik nou die vector R uit? want als ik het oplos deel ik het rechter stuk door vector P maar dan ligt vector R nog steeds op dezelfde richting als P . Ik zie volgens mij iets over het hoofd
      dinsdag 16 februari 2010 @ 11:21:50 #95
    75592 GlowMouse
    l'état, c'est moi
    pi_78050304
    P*R = |P| |R| * cos( hoek )
    die kun je niet oplossen door rechts door P te delen, want er staat geen P maar |P|. Bovendien kun je niet delen door een vector.


    Je kunt R schrijven als lineaire combinatie van P en Q omdat hij in het vlak ligt.
    eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
    pi_78050958
    quote:
    Op dinsdag 16 februari 2010 10:28 schreef greatchampion het volgende:
    een probleem met het inproduct waar ik niet helemaal uit kom:

    ik heb 2 vectoren die een plane opspannen laten we zeggen:
    P(50,0,0) en Q(0,0,50) (x,y,z)
    met een normaal van de plane N(0,1,0)

    Nu moet ik een vector R bepalen die +30 graden is tov vector P die ook in de plane ligt. Hoe doe ik dit?

    Kom niet verder dan in het invullen van deze formule:
    P*R = |P| |R| * cos( hoek )

    P weet ik hier, lengte van R ook moet hoe reken ik nou die vector R uit? want als ik het oplos deel ik het rechter stuk door vector P maar dan ligt vector R nog steeds op dezelfde richting als P . Ik zie volgens mij iets over het hoofd
    Ik begrijp niet zo goed waarom je hier met een inproduct wil werken. Als R in hetzelfde vlak ligt als P en Q en dezelfde lengte heeft als P omdat je P over een hoek van 30 graden in positieve richting roteert om R te verkrijgen, dan heb je R(50*cos(-30°),0,50*sin(-30°)). Het minteken is vanwege de ligging van je normaal (kurketrekkerregel).
    pi_78053308
    quote:
    Op dinsdag 16 februari 2010 11:42 schreef Riparius het volgende:

    [..]

    Ik begrijp niet zo goed waarom je hier met een inproduct wil werken. Als R in hetzelfde vlak ligt als P en Q en dezelfde lengte heeft als P omdat je P over een hoek van 30 graden in positieve richting roteert om R te verkrijgen, dan heb je R(50*cos(-30°),0,50*sin(-30°)). Het minteken is vanwege de ligging van je normaal (kurketrekkerregel).
    Ja, ik dacht dat ik de vector Q kon uitrekenen door de vergelijking op te lossen aangezien ik de rest van de gegevens had. Maar het kon dus simpeler .

    heb nu: R = P * cos( hoek in radialen ) + Q * sin( hoek in radialen )

    thx
    pi_78055082


    Voor n=2 is het duidelijk:



    Als je nu kijkt naar n=3, dan:



    Mag je nu zeggen:



    dus voor n=3 is hij Abels, op dezelfde manier voor n+1

    [ Bericht 0% gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:37:15 ]
      dinsdag 16 februari 2010 @ 13:55:04 #99
    75592 GlowMouse
    l'état, c'est moi
    pi_78055270
    Waarom zou je n=3 nodig hebben om het gevraagde aan te tonen?
    eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
    pi_78055617
    quote:
    Op zondag 14 februari 2010 21:10 schreef Hanneke12345 het volgende:
    Oké ik kom er weer niet uit. Prove that if a>0, then there exists n in N such that 1/n < a < n.

    a < n is makkelijk. Round(a)+1 (mag dat gewoon?).
    1/n < a kom ik niet uit. Ik dacht eerst 't zelfde te doen als net. a/2. Maar als a irrationaal is kan dat niet omgevormd anar 1/n. round(a)/2 gaat ook alleen maar goed als a groter is dan een half.

    Is dit een goed genoeg antwoord? Nja, behalve dan dat 1 a>=1 moet zijn en 2 a<1.
    abonnement Unibet Coolblue Bitvavo
    Forum Opties
    Forumhop:
    Hop naar:
    (afkorting, bv 'KLB')