[Bčta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op zaterdag 13 februari 2010 16:37 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Minnetjes en plusjes gaan fout. Dat zie je ook als je gewoon x=1 invult.

Als ik x=1 invul krijg ik voor beide 0.. volgens mij klopt ie toch echt.

quote:

Op zaterdag 13 februari 2010 16:36 schreef BasementDweller het volgende:

[..]

Dat is wat ik bedoel, je noemt dus dat delta groter is dan nul door te zeggen dat 0 < | x - a | < δ .

Nee, het ligt anders (en subtieler). Er is een verschil tussen de ε,δ definities bij een limiet voor x → a en bij continuďteit in x = a.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 13-02-2010 16:59:18 ]

quote:

Op zaterdag 13 februari 2010 16:43 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, het ligt anders (en subtieler). Er is een verschil tussen de ε,δ definities bij een limiet voor x → a en bij continuiteit in x = a.

Continuiteit heb ik nog niet zo 'rigoreus' gekregen, maar hier lees ik hetzelfde:

quote:

for all epsilon>0 there is delta>0 such that, whenever 0<|x-x_0|<delta, then |f(x)-y_0|<epsilon

http://mathworld.wolfram.com/Epsilon-DeltaDefinition.html

Je begint dus met 0<|x-x_0|<delta en laat zien dat daaruit volgt dat |f(x)-y_0|<epsilon. Je neem dus aan dat 0<delta.

quote:

Op zaterdag 13 februari 2010 16:49 schreef GlowMouse het volgende:
In de noemer krijg je 1-x˛, wat overigens hetzelfde is door de absoluutstrepen. Je eerste ongelijkheidsteken vind ik een onlogische stap.

Ja, het klopt dus wel gewoon

Wat ik eigenlijk doe bij het eerste ongelijkheidsteken, is die |(x-1)| vervangen door delta.

edit: oja, kwadraatje vergeten over te typen verderop.

Anyway, is het inhoudelijk correct?

quote:

Op zaterdag 13 februari 2010 16:46 schreef BasementDweller het volgende:

[..]

Continuiteit heb ik nog niet zo 'rigoreus' gekregen, maar hier lees ik hetzelfde:
[..]

http://mathworld.wolfram.com/Epsilon-DeltaDefinition.html

Je begint dus met 0<|x-x_0|<delta en laat zien dat daaruit volgt dat |f(x)-y_0|<epsilon. Je neem dus aan dat 0<delta.

Ja, maar δ=0 komt in dat hele verhaal niet te pas. Bovendien klopt de definitie van continuiteit die in je linkje wordt gegeven niet, want hier wordt x = x₀ ten onrechte uitgesloten door 0 < | x - x₀ | < δ te nemen. Kijk maar eens naar de functie f(x) = (sin x) /x. Die zou continu zijn in x = 0 als we het verhaal uit je linkje mogen geloven, maar dit is niet zo, want de functie is niet gedefinieerd voor x = 0. Je kunt de discontinuďteit in x = 0 wel opheffen door f(0) = 1 te definiëren, want lim _x→0 (sin x)/x = 1, maar dat is een ander verhaal.

quote:

Op zaterdag 13 februari 2010 16:59 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Nee, 14/9de komt uit de lucht vallen.

Omdat delta < 1/4 en |x-1|<delta, volgt |x-1|<1/4 dus . Als ik 3/4 invul is de breuk het grootst (is eigenlijk niet triviaal, hoe kan ik dit meenemen in het bewijs?) dus dat heb ik gedaan.
Verder heb ik een rekenfout gemaakt en moet het 14/25 zijn ipv 14/9.

[ Bericht 22% gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:37:08 ]

quote:

Op zaterdag 13 februari 2010 17:02 schreef BasementDweller het volgende:

[..]

Omdat delta < 1/4 en |x-1|<delta, volgt |x-1|<1/4 dus [ afbeelding ]. Als ik 3/4 invul is de breuk het grootst (is eigenlijk niet triviaal, hoe kan ik dit meenemen in het bewijs?) dus dat heb ik gedaan.
Verder heb ik een rekenfout gemaakt en moet het 14/25 zijn ipv 14/9.

Dit gaat helemaal niet goed, dus laat ik het maar even voor je uitwerken.

De opgave: bewijs aan de hand van de ε,δ definitie dat lim _x→1 1/(1+x²) = 1/2.

We bekijken eerst eens de uitdrukking 1/(1 + x²). Er geldt x² ≥ 0, dus 1 + x² ≥ 1, dus 1/(1 + x²) ≤ 1, en aangezien ook geldt 1/(1 + x²) > 0 hebben we dus:

(1) 0 < 1/(1 + x²) ≤ 1,

en dus ook:

(2) -½ < 1/(1 + x²) - ½ ≤ ½,

en dus:

(3) | 1/(1 + x²) - ½ | ≤ ½

Dit betekent dat voor ε > ½ elke waarde van δ > 0 voldoet, aangezien (3) geldt voor elke x en daarmee ook voor elke x die voldoet aan 0 < | x - 1 | < δ, ongeacht de keuze van δ. We hoeven nu dus alleen nog waarden van ε ≤ ½ te onderzoeken.

Sluiten we x = 0 uit, dan is | 1/(1 + x²) | < 1 en dus ook | 1/(1 + x²) - ½ | < ½, zodat we kunnen concluderen dat voor ε = ½ de waarde δ = 1 voldoet, we hebben immers:

(4) | 1/(1 + x²) - ½ | < ½ voor elke x zodanig dat 0 < | x - 1 | < 1

In zijn algemeenheid kun je voor lim _x→a f(x) = L opmerken dat een gegeven δ₀ die voldoet voor een gegeven ε₀ ook zal voldoen voor elke andere ε > ε₀, daar immers uit | f(x) - L | < ε₀ en ε₀ < ε ook volgt dat | f(x) - L | < ε indien 0 < | x - a | < δ₀. Het is dus irrelevant om willekeurig grote waarden van ε te onderzoeken zodra we een bovengrens voor ε hebben gevonden, het is dan nog uitsluitend van belang aan te tonen dat voor elke willekeurig kleine ε > 0 een δ > 0 bestaat waarmee aan de voorwaarden uit de definitie wordt voldaan. Voor deze opgave hebben we al gevonden dat we alleen nog waarden van ε < ½ hoeven te onderzoeken.

We willen nu aantonen dat voor elke positieve ε < ½ een δ > 0 bestaat zodanig dat

(5) | 1/(1 + x²) - ½ | < ε

indien

(6) 0 < | x - 1 | < δ

Voor (5) kunnen we schrijven:

(7) | (1 - x)(1 + x)/(2∙(1 + x²)) | < ε

En aangezien we voor ε < ½ mogen veronderstellen dat δ < 1 en dus blijkens (6) | x + 1| niet 0 kan zijn kunnen we (7) herschrijven als:

(8) | x - 1 | < 2ε ∙| (1 + x²)/(1 + x) |

Nu moeten we de factor | (1 + x²)/(1 + x) | onderzoeken, en aangezien we δ < 1 mogen veronderstellen, en dus | x - 1 | < 1, kunnen we ons beperken tot het interval (0,2).

Het is direct te zien dat (1 + x²)/(1 + x) gelijk is aan 1 voor x = 0 en x = 1. Ook is duidelijk dat deze uitdrukking positief is op het interval (0,2) en dat de waarde in ieder geval stijgend is voor x > 1 aangezien x² sneller in grootte toeneemt dan x voor x > 1. Maar nu zijn we geďnteresseerd in een minimum van deze uitdrukking op het interval (0,2). Als we namelijk een ondergrens m > 0 kunnen bepalen zodanig dat:

(9) m < | (1 + x²)/(1 + x) |

Dan is ook:

(10) 2ε∙m < 2ε∙| (1 + x²)/(1 + x) |

In dit geval volgt uit (8) en (10) dat voor elke positieve ε < ½ de keuze δ = 2ε∙m impliceert dat voor elke x zodanig dat 0 < | x - 1 | < δ wordt voldaan aan (8) en daarmee dus ook aan (7) en dus ook aan (5), zoals gewenst.

Nu is eenvoudig te bepalen dat (1 + x²)/(1 + x) op het interval (0,2) een minimum aanneemt bij x = -1+√2 en dat dit minimum 2√2 - 2 bedraagt. Ook is 2√2 - 2 > ½, dus kunnen we bijvoorbeeld m = ½ nemen, er geldt immers op het interval (0,2):

(11) ½ < | (1 + x²)/(1 + x) |

Kiezen we dus bij een willekeurig kleine ε < ½ voor δ = 2ε∙½ = ε, dan wordt voor elke x die voldoet aan (6) voldaan aan (8) en daarmee ook aan (5). Hiermee is aangetoond dat er inderdaad voor voor elke ε > 0 een δ > 0 bestaat zodanig dat voor elke x die voldoet aan (6) wordt voldaan aan (5), QED.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 14-02-2010 17:30:17 ]

Te bewijzen: a en b uit R, als a <= b₁ voor alle b₁>b, dan a <= b.
Stel dat het niet zo is. Dus b<a. Dan is a > b, maar dat is nog geen tegenspraak. Ik weet wel dat er oneindig veel getallen nog tussen a en b liggen, waarvoor dus geldt dat a>b₁>b, maar ik weet niet hoe ik dat wiskundig moet gaan opschrijven of ik dat uberhaupt zomaar aan kan nemen.

Dat is precies zover als ik ook was. Maar ik heb geen idee hoe ik die b1 kan vinden. Ik zou denk ik b1 moeten schrijven als functie van b en a. Iets met een breuk misschien? Verder dan dit kom ik niet.

Wat dacht je van (a+b)/2 ?

Ach stom, uiteraard.

quote:

Op zondag 14 februari 2010 16:07 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dit gaat helemaal niet goed, dus laat ik het maar even voor je uitwerken.

De opgave: bewijs aan de hand van de ε,δ definitie dat lim _x→1 1/(1+x²) = 1/2.

We bekijken eerst eens de uitdrukking 1/(1 + x²). Er geldt x² ≥ 0, dus 1 + x² ≥ 1, dus 1/(1 + x²) ≤ 1, en aangezien ook geldt 1/(1 + x²) > 0 hebben we dus:

(1) 0 < 1/(1 + x²) ≤ 1,

en dus ook:

(2) -½ < 1/(1 + x²) - ½ ≤ ½,

en dus:

(3) | 1/(1 + x²) - ½ | ≤ ½

Dit betekent dat voor ε > ½ elke waarde van δ > 0 voldoet, aangezien (3) geldt voor elke x en daarmee ook voor elke x die voldoet aan 0 < | x - 1 | < δ, ongeacht de keuze van δ. We hoeven nu dus alleen nog waarden van ε ≤ ½ te onderzoeken.

Sluiten we x = 0 uit, dan is | 1/(1 + x²) | < 1 en dus ook | 1/(1 + x²) - ½ | < ½, zodat we kunnen concluderen dat voor ε = ½ de waarde δ = 1 voldoet, we hebben immers:

(4) | 1/(1 + x²) - ½ | < ½ voor elke x zodanig dat 0 < | x - 1 | < 1

In zijn algemeenheid kun je voor lim _x→a f(x) = L opmerken dat een gegeven δ₀ die voldoet voor een gegeven ε₀ ook zal voldoen voor elke andere ε > ε₀, daar immers uit | f(x) - L | < ε₀ en ε₀ < ε ook volgt dat | f(x) - L | < ε indien 0 < | x - a | < δ₀. Het is dus irrelevant om willekeurig grote waarden van ε te onderzoeken zodra we een bovengrens voor ε hebben gevonden, het is dan nog uitsluitend van belang aan te tonen dat voor elke willekeurig kleine ε > 0 een δ > 0 bestaat waarmee aan de voorwaarden uit de definitie wordt voldaan. Voor deze opgave hebben we al gevonden dat we alleen nog waarden van ε < ½ hoeven te onderzoeken.

We willen nu aantonen dat voor elke positieve ε < ½ een δ > 0 bestaat zodanig dat

(5) | 1/(1 + x²) - ½ | < ε

indien

(6) 0 < | x - 1 | < δ

Voor (5) kunnen we schrijven:

(7) | (1 - x)(1 + x)/(2∙(1 + x²)) | < ε

En aangezien we voor ε < ½ mogen veronderstellen dat δ < 1 en dus blijkens (6) | x + 1| niet 0 kan zijn kunnen we (7) herschrijven als:

(8) | x - 1 | < 2ε ∙| (1 + x²)/(1 + x) |

Nu moeten we de factor | (1 + x²)/(1 + x) | onderzoeken, en aangezien we δ < 1 mogen veronderstellen, en dus | x - 1 | < 1, kunnen we ons beperken tot het interval (0,2).

Het is direct te zien dat (1 + x²)/(1 + x) gelijk is aan 1 voor x = 0 en x = 1. Ook is duidelijk dat deze uitdrukking positief is op het interval (0,2) en dat de waarde in ieder geval stijgend is voor x > 1 aangezien x² sneller in grootte toeneemt dan x voor x > 1. Maar nu zijn we geďnteresseerd in een minimum van deze uitdrukking op het interval (0,2). Als we namelijk een ondergrens m > 0 kunnen bepalen zodanig dat:

(9) m < | (1 + x²)/(1 + x) |

Dan is ook:

(10) 2ε∙m < 2ε∙| (1 + x²)/(1 + x) |

In dit geval volgt uit (8) en (10) dat voor elke positieve ε < ½ de keuze δ = 2ε∙m impliceert dat voor elke x zodanig dat 0 < | x - 1 | < δ wordt voldaan aan (8) en daarmee dus ook aan (7) en dus ook aan (5), zoals gewenst.

Nu is eenvoudig te bepalen dat (1 + x²)/(1 + x) op het interval (0,2) een minimum aanneemt bij x = -1+√2 en dat dit minimum 2√2 - 2 bedraagt. Ook is 2√2 - 2 > ½, dus kunnen we bijvoorbeeld m = ½ nemen, er geldt immers op het interval (0,2):

(11) ½ < | (1 + x²)/(1 + x) |

Kiezen we dus bij een willekeurig kleine ε < ½ voor δ = 2ε∙½ = ε, dan wordt voor elke x die voldoet aan (6) voldaan aan (8) en daarmee ook aan (5). Hiermee is aangetoond dat er inderdaad voor voor elke ε > 0 een δ > 0 bestaat zodanig dat voor elke x die voldoet aan (6) wordt voldaan aan (5), QED.

Wauw dat is een hoop werk, dank je wel!!

(heb nu even geen tijd maar ga het binnenkort zeker doornemen! Als ik dan nog vragen heb horen jullie het wel )

Oké ik kom er weer niet uit. Prove that if a>0, then there exists n in N such that 1/n < a < n.

a < n is makkelijk. Round(a)+1 (mag dat gewoon?).
1/n < a kom ik niet uit. Ik dacht eerst 't zelfde te doen als net. a/2. Maar als a irrationaal is kan dat niet omgevormd anar 1/n. round(a)/2 gaat ook alleen maar goed als a groter is dan een half.

quote:

Op zondag 14 februari 2010 21:10 schreef Hanneke12345 het volgende:
Oké ik kom er weer niet uit. Prove that if a>0, then there exists n in N such that 1/n < a < n.

a < n is makkelijk. Round(a)+1 (mag dat gewoon?).
1/n < a kom ik niet uit. Ik dacht eerst 't zelfde te doen als net. a/2. Maar als a irrationaal is kan dat niet omgevormd anar 1/n. round(a)/2 gaat ook alleen maar goed als a groter is dan een half.

Kies een n zodanig dat n > 1/a en tevens n > a. Dan is 1/n < a en a < n, waaruit het gestelde volgt.

een probleem met het inproduct waar ik niet helemaal uit kom:

ik heb 2 vectoren die een plane opspannen laten we zeggen:
P(50,0,0) en Q(0,0,50) (x,y,z)
met een normaal van de plane N(0,1,0)

Nu moet ik een vector R bepalen die +30 graden is tov vector P die ook in de plane ligt. Hoe doe ik dit?

Kom niet verder dan in het invullen van deze formule:
P*R = |P| |R| * cos( hoek )

P weet ik hier, lengte van R ook moet hoe reken ik nou die vector R uit? want als ik het oplos deel ik het rechter stuk door vector P maar dan ligt vector R nog steeds op dezelfde richting als P . Ik zie volgens mij iets over het hoofd

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 10:28 schreef greatchampion het volgende:
een probleem met het inproduct waar ik niet helemaal uit kom:

ik heb 2 vectoren die een plane opspannen laten we zeggen:
P(50,0,0) en Q(0,0,50) (x,y,z)
met een normaal van de plane N(0,1,0)

Nu moet ik een vector R bepalen die +30 graden is tov vector P die ook in de plane ligt. Hoe doe ik dit?

Kom niet verder dan in het invullen van deze formule:
P*R = |P| |R| * cos( hoek )

P weet ik hier, lengte van R ook moet hoe reken ik nou die vector R uit? want als ik het oplos deel ik het rechter stuk door vector P maar dan ligt vector R nog steeds op dezelfde richting als P . Ik zie volgens mij iets over het hoofd

Ik begrijp niet zo goed waarom je hier met een inproduct wil werken. Als R in hetzelfde vlak ligt als P en Q en dezelfde lengte heeft als P omdat je P over een hoek van 30 graden in positieve richting roteert om R te verkrijgen, dan heb je R(50*cos(-30°),0,50*sin(-30°)). Het minteken is vanwege de ligging van je normaal (kurketrekkerregel).

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 11:42 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik begrijp niet zo goed waarom je hier met een inproduct wil werken. Als R in hetzelfde vlak ligt als P en Q en dezelfde lengte heeft als P omdat je P over een hoek van 30 graden in positieve richting roteert om R te verkrijgen, dan heb je R(50*cos(-30°),0,50*sin(-30°)). Het minteken is vanwege de ligging van je normaal (kurketrekkerregel).

Ja, ik dacht dat ik de vector Q kon uitrekenen door de vergelijking op te lossen aangezien ik de rest van de gegevens had. Maar het kon dus simpeler .

heb nu: R = P * cos( hoek in radialen ) + Q * sin( hoek in radialen )

thx

Voor n=2 is het duidelijk:



Als je nu kijkt naar n=3, dan:



Mag je nu zeggen:



dus voor n=3 is hij Abels, op dezelfde manier voor n+1

[ Bericht 0% gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:37:15 ]

quote:

Op zondag 14 februari 2010 21:10 schreef Hanneke12345 het volgende:
Oké ik kom er weer niet uit. Prove that if a>0, then there exists n in N such that 1/n < a < n.

a < n is makkelijk. Round(a)+1 (mag dat gewoon?).
1/n < a kom ik niet uit. Ik dacht eerst 't zelfde te doen als net. a/2. Maar als a irrationaal is kan dat niet omgevormd anar 1/n. round(a)/2 gaat ook alleen maar goed als a groter is dan een half.

Is dit een goed genoeg antwoord? Nja, behalve dan dat 1 a>=1 moet zijn en 2 a<1.