[Bčta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op zondag 14 februari 2010 16:07 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dit gaat helemaal niet goed, dus laat ik het maar even voor je uitwerken.

De opgave: bewijs aan de hand van de ε,δ definitie dat lim _x→1 1/(1+x²) = 1/2.

We bekijken eerst eens de uitdrukking 1/(1 + x²). Er geldt x² ≥ 0, dus 1 + x² ≥ 1, dus 1/(1 + x²) ≤ 1, en aangezien ook geldt 1/(1 + x²) > 0 hebben we dus:

(1) 0 < 1/(1 + x²) ≤ 1,

en dus ook:

(2) -½ < 1/(1 + x²) - ½ ≤ ½,

en dus:

(3) | 1/(1 + x²) - ½ | ≤ ½

Dit betekent dat voor ε > ½ elke waarde van δ > 0 voldoet, aangezien (3) geldt voor elke x en daarmee ook voor elke x die voldoet aan 0 < | x - 1 | < δ, ongeacht de keuze van δ. We hoeven nu dus alleen nog waarden van ε ≤ ½ te onderzoeken.

Sluiten we x = 0 uit, dan is | 1/(1 + x²) | < 1 en dus ook | 1/(1 + x²) - ½ | < ½, zodat we kunnen concluderen dat voor ε = ½ de waarde δ = 1 voldoet, we hebben immers:

(4) | 1/(1 + x²) - ½ | < ½ voor elke x zodanig dat 0 < | x - 1 | < 1

In zijn algemeenheid kun je voor lim _x→a f(x) = L opmerken dat een gegeven δ₀ die voldoet voor een gegeven ε₀ ook zal voldoen voor elke andere ε > ε₀, daar immers uit | f(x) - L | < ε₀ en ε₀ < ε ook volgt dat | f(x) - L | < ε indien 0 < | x - a | < δ₀. Het is dus irrelevant om willekeurig grote waarden van ε te onderzoeken zodra we een bovengrens voor ε hebben gevonden, het is dan nog uitsluitend van belang aan te tonen dat voor elke willekeurig kleine ε > 0 een δ > 0 bestaat waarmee aan de voorwaarden uit de definitie wordt voldaan. Voor deze opgave hebben we al gevonden dat we alleen nog waarden van ε < ½ hoeven te onderzoeken.

We willen nu aantonen dat voor elke positieve ε < ½ een δ > 0 bestaat zodanig dat

(5) | 1/(1 + x²) - ½ | < ε

indien

(6) 0 < | x - 1 | < δ

Voor (5) kunnen we schrijven:

(7) | (1 - x)(1 + x)/(2∙(1 + x²)) | < ε

En aangezien we voor ε < ½ mogen veronderstellen dat δ < 1 en dus blijkens (6) | x + 1| niet 0 kan zijn kunnen we (7) herschrijven als:

(8) | x - 1 | < 2ε ∙| (1 + x²)/(1 + x) |

Nu moeten we de factor | (1 + x²)/(1 + x) | onderzoeken, en aangezien we δ < 1 mogen veronderstellen, en dus | x - 1 | < 1, kunnen we ons beperken tot het interval (0,2).

Het is direct te zien dat (1 + x²)/(1 + x) gelijk is aan 1 voor x = 0 en x = 1. Ook is duidelijk dat deze uitdrukking positief is op het interval (0,2) en dat de waarde in ieder geval stijgend is voor x > 1 aangezien x² sneller in grootte toeneemt dan x voor x > 1. Maar nu zijn we geďnteresseerd in een minimum van deze uitdrukking op het interval (0,2). Als we namelijk een ondergrens m > 0 kunnen bepalen zodanig dat:

(9) m < | (1 + x²)/(1 + x) |

Dan is ook:

(10) 2ε∙m < 2ε∙| (1 + x²)/(1 + x) |

In dit geval volgt uit (8) en (10) dat voor elke positieve ε < ½ de keuze δ = 2ε∙m impliceert dat voor elke x zodanig dat 0 < | x - 1 | < δ wordt voldaan aan (8) en daarmee dus ook aan (7) en dus ook aan (5), zoals gewenst.

Nu is eenvoudig te bepalen dat (1 + x²)/(1 + x) op het interval (0,2) een minimum aanneemt bij x = -1+√2 en dat dit minimum 2√2 - 2 bedraagt. Ook is 2√2 - 2 > ½, dus kunnen we bijvoorbeeld m = ½ nemen, er geldt immers op het interval (0,2):

(11) ½ < | (1 + x²)/(1 + x) |

Kiezen we dus bij een willekeurig kleine ε < ½ voor δ = 2ε∙½ = ε, dan wordt voor elke x die voldoet aan (6) voldaan aan (8) en daarmee ook aan (5). Hiermee is aangetoond dat er inderdaad voor voor elke ε > 0 een δ > 0 bestaat zodanig dat voor elke x die voldoet aan (6) wordt voldaan aan (5), QED.

quote:

Op zondag 14 februari 2010 21:10 schreef Hanneke12345 het volgende:
Oké ik kom er weer niet uit. Prove that if a>0, then there exists n in N such that 1/n < a < n.

a < n is makkelijk. Round(a)+1 (mag dat gewoon?).
1/n < a kom ik niet uit. Ik dacht eerst 't zelfde te doen als net. a/2. Maar als a irrationaal is kan dat niet omgevormd anar 1/n. round(a)/2 gaat ook alleen maar goed als a groter is dan een half.

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 10:28 schreef greatchampion het volgende:
een probleem met het inproduct waar ik niet helemaal uit kom:

ik heb 2 vectoren die een plane opspannen laten we zeggen:
P(50,0,0) en Q(0,0,50) (x,y,z)
met een normaal van de plane N(0,1,0)

Nu moet ik een vector R bepalen die +30 graden is tov vector P die ook in de plane ligt. Hoe doe ik dit?

Kom niet verder dan in het invullen van deze formule:
P*R = |P| |R| * cos( hoek )

P weet ik hier, lengte van R ook moet hoe reken ik nou die vector R uit? want als ik het oplos deel ik het rechter stuk door vector P maar dan ligt vector R nog steeds op dezelfde richting als P . Ik zie volgens mij iets over het hoofd

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 11:42 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik begrijp niet zo goed waarom je hier met een inproduct wil werken. Als R in hetzelfde vlak ligt als P en Q en dezelfde lengte heeft als P omdat je P over een hoek van 30 graden in positieve richting roteert om R te verkrijgen, dan heb je R(50*cos(-30°),0,50*sin(-30°)). Het minteken is vanwege de ligging van je normaal (kurketrekkerregel).

quote:

Op zondag 14 februari 2010 21:10 schreef Hanneke12345 het volgende:
Oké ik kom er weer niet uit. Prove that if a>0, then there exists n in N such that 1/n < a < n.

a < n is makkelijk. Round(a)+1 (mag dat gewoon?).
1/n < a kom ik niet uit. Ik dacht eerst 't zelfde te doen als net. a/2. Maar als a irrationaal is kan dat niet omgevormd anar 1/n. round(a)/2 gaat ook alleen maar goed als a groter is dan een half.

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 13:55 schreef GlowMouse het volgende:
Waarom zou je n=3 nodig hebben om het gevraagde aan te tonen?

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 14:20 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Je wilt aantonen dat de groep Abels is. Je hebt aangetoond ab=ba. Wat wil je nog meer aantonen?

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 14:29 schreef GlowMouse het volgende:
Wat heeft commutativiteit met n te maken?

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 14:34 schreef JoPiDo het volgende:

[..]

??

hoe laat ik zien dat het geldt voor n>2? dat is niet zo'n heel rare vraag...?

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 15:23 schreef GlowMouse het volgende:
Als je een figuur tekent, zie je dat je nu de oppervlakte bepaalt van het stuk begrensd door de grafiek, de lijn y=8 en de lijn x=8.

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 14:11 schreef GlowMouse het volgende:
bij 1 zou ik 1/n<a iets uitgebreider motiveren: 1<a dus n < na dus 1 < na en vermenigvuldigen met het positief getal 1/n (waarom positief?) levert 1/n < a.
de laatste dus bij 2 gaat ook wel heel snel.

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 21:12 schreef Keiichi het volgende:
Ik ben bezig met verzamelingsleer. Waar ik niet helemaal aan uit kom met de informatie die ik heb.

Ik heb verzameling A = {a,b,c} . Eenvoudig. Van A^* zijn bv woorden als aa,bb en cc te maken

Wat als een element een verzameling opzich is? Dus B = {a,b,{c,d}} . Wat zijn van B^* woorden die ik kan maken op aa en bb na?

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 16:39 schreef Hanneke12345 het volgende:
Ah, oké.

Een andere vraag dan: Ik moet bewijzen dat een ondergroep in een abelse groep ook abels is. Maar een ondergroep heeft toch altijd dezelfde bewerking als de normale groep, en is dus automatisch abels? Valt daar nog iets in te bewijzen?
Daarna "geef een niet-triviaal voorbeeld van een abelse ondergroep van een niet-abelse groep", een groep met drie elementen {e, a, a^-1} met orde van a is 2 is zeker triviaal?

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 21:37 schreef poesemuis het volgende:
als

2log(1+t0) = log(1+t0+T)

en T is hier de verdubbelingstijd, wat is dan T?

het antwoord is T = t0 + t2boven0

in eerste instantie herken ik die notatie niet, t en dan twee cijfers boven elkaar, weet iemand wat dit betekent?
en ten tweede begrijp ik sowieso niet hoe je dit moet oplossen..

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 21:47 schreef thabit het volgende:

[..]

Je kunt een superscript met [sup] en [ /sup] en een subscript tussen [sub] en [ /sub] (maar dan zonder spaties). Misschien maakt dat je opgave wat leesbaarder.

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 21:37 schreef poesemuis het volgende:
als

2log(1+t0) = log(1+t0+T)

en T is hier de verdubbelingstijd, wat is dan T?

het antwoord is T = t0 + t2boven0

in eerste instantie herken ik die notatie niet, t en dan twee cijfers boven elkaar, weet iemand wat dit betekent?
en ten tweede begrijp ik sowieso niet hoe je dit moet oplossen..

quote:

Op dinsdag 16 februari 2010 22:34 schreef Riparius het volgende:

[..]

Om te beginnen: gebruik alsjeblieft een duidelijke notatie, subscript en superscript zijn er niet voor niks. Nu is het zo dat iemand eerst je opgave moet ontcijferen om überhaupt te kunnen snappen wat de vraag is. En dat geldt helaas niet alleen voor jou.

Wat ik eruit opmaak is dat je hebt:

2∙log(1 + t₀) = log(1 + t₀ + T)

Dan hebben we dus:

(1 + t₀)² = 1 + t₀ + T

En dus:

T = (1 + t₀)² - t₀ - 1

En uitwerken geeft dan:

T = t₀ + t₀²

De nul in t₀ is een index en de twee in t₀² een kwadraat, niks bijzonders dus.