Post hier weer al je vragen, passies, trauma's en andere dingen die je uit je slaap houden met betrekking tot de wiskunde.
Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!
Links:
Opmaak:
Wiskundig inhoudelijk:
OP
...Voorbeeld:
2xy
----- = 4
x+y
quote:Beide leden van je vergelijking vermenigvuldigen met de noemer van de breuk in het linkerlid.Op dinsdag 28 oktober 2008 16:48 schreef VoreG het volgende:
Hoe zat het ook alweer met vergelijkingen oplossen als er gedeeld wordt. Ik vergeet deze altijd
Voorbeeld:
2xy
----- = 4
x+y
quote:Come again?Op dinsdag 28 oktober 2008 16:53 schreef Riparius het volgende:
[..]
Beide leden van je vergelijking vermenigvuldigen met de noemer van de breuk in het linkerlid.
quote:De noemer van de breuk in het linkerlid is (x + y). Je moet dus links en rechts vermenigvuldigen met (x + y) om de breuk in het linkerlid kwijt te raken.
Voor 0 < x < 1 geldt: cos (arcsin x) =
Het antwoord is
Hoe komen ze hieraan?
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:21:22 ]
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:18:37 ]
quote:Ja zo snap ik het wel, alleen hoe weet je die vergelijking?
Zie je hem al als je links en rechts de arccos neemt?
[ afbeelding ]
edit: ik heb het zelf al. Even een driehoek getekend met als hoek arcsin(x/1)
Dan kom ik er ook uit
quote:Neem de lege verzameling: {}. Definieer nu een recursieve relatie van een lijst waarbij we de opvolger van element k, zeg S(k), definiëren als S(k) = k ∪ {k}. Dan hebben we de volgende lijst: {}, {{}}, {{}, {{}} }, etc. Nu noemen we het eerste element 0. Het tweede 1, en het derde 2. Aldus construeren wij de natuurlijke getallen vanuit de lege verzameling. De symbolen gaan verder als 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, maar dit is in feite arbitrair. Doch voor nu nemen we de gebruikelijke notatie aan.
Dan zijn er nog wat definities. Zij x een natuurlijk getal, en zijn y en z dit ook. Dan, x = x, x = y dan en slechts dan y = x, verder x = y en y = z, dan x = z en als laatste, als x een natuurlijk getal is en x = x', dan is x' ook een natuurlijk getal.
Voorts stipuleren we dat {} (noemen wij ook 0) een natuurlijk getal is, en dat S(k), waarbij k een natuurlijk getal is, ook een natuurlijk getal is. Verder nemen wij aan dat er geen k is zodanig dat S(k) = {}, en ook dat als S(x) = z, en S(y) = z, dat dan x = y. (Omgekeerd volgt natuurlijk direct uit de voorgaande axiomata).
Voor het gemak duiden we de verzameling van natuurlijke getallen aan met N, dan definiëren we + : N x N -> N, met als basisstap:
+(x, {}) = x (1)
En als recursie:
+(x, S(y)) = S(+(x, y)) (2)
Soms gebruiken we ook de infix-notatie en schrijven we derhalve x + y voor +(x, y).
Let op dat deze uiteenzetting niet helemaal formeel is, maar afdoende om het idee over te brengen.
Beschouw nu: 1 + 1, ofwel +({{}}, {{}}), dit voldoet niet aan (1), dus we moeten (2) toepassen, en dit zegt dat het gelijk is aan S(+({{}}, {})). De binnenste + kan nu weer nader beken worden, en deze voldoet wel aan (1). Dit geeft dat +({{}}, {}) gelijk is aan {{}}. Dat maakt dat de vergelijking vereenvoudigt tot S({{}}), wat per definitie van S gelijk is aan {{},{{}}}, of wel 2. QED.
Dit vanuit de set-theoretische constructie van de natuurlijke getallen, en de axiomata van Peano-Arithmetica. Een minstens zo elegant bewijs kan gegeven worden middels Church-numerals in de Lambda-calculus. Uiteindelijk komt het natuurlijk meer neer op een afspraak die wij maken hoe wij bepaalde verzamelingen (of lambda-functie-expressies) kort aanduiden met een cijfer, en de opvolgingsrelatie die wij daarin veronderstellen, dat volgt dat de som van 1 + 1 inderdaad gelijk is aan de opvolger van 1. Dit correspondeert redelijk met een discreet model van dingen in de werkelijkheid. Alhoewel je zou kunnen beargumenteren dat 1 druppel samen met 1 druppel weer één druppel is, en dat bovenstaande dit niet accuraat modelleert. Voor zulke vragen, in tegen stelling tot axiomatische afleidingen moet je denk ik in een WFL topic zijn, en je zou de Principia Mathematica er eens op na kunnen slaan.
quote:
Ja. Zulke axiomatische constructies spreken me wel aan. En Scaurus dacht natuurlijk die stomme bèta's eens te pesten. 
Dus dan geef ik hem een antwoord waar hij nog even z'n tanden op stuk kan bijten.- n/m -
quote:Ha, complete onzin sinds Gödel's Incompleteness Theorem! ofzoiets
quote:Niet zeggen!
Ha, complete onzin sinds Gödel's Incompleteness Theorem! ofzoiets
Verder lees ik even over het kolderieke karakter van je opmerking heen en doe ik gewoon alsof zij serieus is. Ze is het niet geheel waar. Gödels onvolledigheidsstelling bewijst dat er nooit een consistentiebewijs zal kunnen zijn voor Peano-arithmetica, dus, dat je altijd een stelling kunt plaatsen die niet bewijsbaar is. In het geval van jouw vraag: 1 + 1 = 2, is het bewijsbaar dat deze stelling geldt. Maar, je zou complexere stellingen kunnen maken die weliswaar waar zijn, maar waarvoor je geen bewijs kunt vinden. Gödels voorbeeld is tamelijk gewrocht, het bedenkt namelijk een manier om stellingen en bewijzen over getallen uit te drukken in de vorm van getallen. Dat biedt uiteindelijk de mogelijkheid om een getal te creëren dat in feite de aloude Griekse paradox van Epimenides: ‘Alle Kretenzers zijn leugenaar, zei de Kretenzer’ uitdrukt. Alhoewel deze niet opgelost kan worden. Zijn tweede onvolledigheidstheorie zegt dat zulke soort theorieën alleen kunnen bewijzen dat ze consistent zijn als ze inconsistent zijn.In de praktijk is er nog geen consistentie bewijs gevonden voor Peano-arithmetica in Peano-arithmetica, dus dat probleem speelt niet in het bijzonder. Wel zijn er bepaalde wiskundige stellingen gevonden waarvan inderdaad bewijsbaar is dat ze niet zijn te bewijzen zonder dat er een nieuw axioma wordt geintroduceerd. Overigens zou het introduceren van dat axioma het probleem verplaatsen, aangezien de theorie alleen maar ‘sterker‘ wordt, en dan geldt nog steeds dat er niet-bewijsbare stellingen zijn. Sommige mensen durven ook te stellen dat relatief 'eenvoudige' problemen, zoals het vermoeden van Goldbach (elk even geheel getal groter dan 2 kan als de som van twee priemgetallen geschreven worden), misschien ook wel niet bewijsbaar is.
Rekenkunde is, voor zover ons bekend, tot nu toe nog heel consistent, dus daarom kwalificeert het niet bepaald als onzin. (de ‘naïeve’ verzamelingentheorie heeft wel een bekende, beruchte paradox in de vorm van Russel's Paradox).
Nou, dat lijkt dus allemaal een bezigheidstherapie voor wiskundigen, maar uiteindelijk beantwoordt dit op een veel tastbaardere en krachtige wijze (m.i.) fundamentele vragen over de grenzen van het menselijk weten. Daar is eeuwenlang over gefilosofeerd en gedelibereerd, maar hier heb je een keihard bewijs hoe er geen ongebreidelde kennisvergaring mogelijk is in de wiskunde. En ik zeg met nadruk in de wiskunde omdat niet-wiskundigen het een prachtige theorie vinden om te misbruiken in hun eigen veld.
Verder (en nu komen we bij je volgende vraag), is het probleem van wat is wel bewijsbaar en niet bewijsbaar, binnen de informatica heel tastbaar aanwezig op het gebied: wat is wel berekenbaar, en wat is niet berekenbaar. Een computerprogramma is uiteindelijk een grote lange functie, en daar zitten beperkingen aan over wat je kunt uitrekenen (b.v. er zijn getallen die niet met computers uit te rekenen zijn), maar ook wat je qua verificatie van programma's kunt bereiken: je kunt niet altijd bewijzen dat een programma foutloos werkt. Binnen de formele verificatie (theoretische informatica) is dat een groot – praktisch – probleem. En je kunt wel nagaan dat in het geval van Windows het niet zo erg is dat je software niet goed werkt, want dan installeer je een update, maar dat in het geval van een autofabrikant, die door rottige software een hele batch auto's moet terugroepen, of NASA die erachter komt dat hun verkenner toch niet goed werkt op het moment dat die even voorbij Jupiter is, het in deze gevallen een dure grap is. Ik houd me (dus) in dat vak gebied een beetje onledig.
Wat is delta x als de difference quotient 2 is?
Je moet geloof ik doen:
y(x + delta x)-y(x)/delta x
En dat gelijk stellen aan 2.
En voor verdere vragen kun je in [LaTeX #3] Leer hier de TeXnische kneepjes van het vak. terecht.
(oftewel het product van 2 afstanden naar 2 brandpunten is k^2)
Ik moet vinden voor welke waarde van 'k' de kromme overgaat van een rechtgeaarde ovaal naar een ingedeukte. Ik heb geen idee waar en hoe ik moet beginnen. Iemand? (a=1)
Edit: ik heb een idee maar ik heb ook het idee dat het veel makkelijker moet kunnen. Ik bepaal de afgeleidde van die functie en bepaal dan de afgeleidde van de teller. Voor x = 0 krijg je -y^2+1 in de teller te staan. Dus voor y = 1 is de tweede afgeleidde 0 wat betekend de omslag van ovaal naar ingedeukte. y = 1 levert k = 2, goed?
[ Bericht 29% gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:18:46 ]
6000/(Q+50) = Q + 10
Maar ik kom er niet uit, beide zijden x Q+50 helpt me niet echt verder.
Hoe los ik dit op?
quote:Hoezo niet?
Ik moet het evenwicht uitrekenen bij:
6000/(Q+50) = Q + 10
Maar ik kom er niet uit, beide zijden x Q+50 helpt me niet echt verder.
Hoe los ik dit op?
Dan krijg je toch: 6000 = (Q + 50)(Q + 10), en als je dat uitschrijft heb je 6000 = Q2 + 60Q + 500, nu de 6000 naar de andere kant brengen en een kwadratische vergelijking oplossen, zou ik zeggen. Levert dat problemen op? Want ik vind het wel een goede manier verder.
Hoe los je dat op naar Q dan?
quote:Dat is een kwadratische vergelijking, daarvoor kun je de abc-formule (ook wel wortelformule genoemd) gebruiken, of je kunt ontbinden in factoren. Als beide je niets zeggen… dan vind ik het vreemd dat je deze vergelijking moet oplossen.
Q2 + 60Q - 5500...
Hoe los je dat op naar Q dan?
.Perfect nu heb ik hem. Dankjewel dat je zo snel was.
quote:Ik begrijp dat het poolen van de coëfficienten uiteindelijk een schatting opleveren van de gemiddelde waarde van de parameters over alle stores. Wat betekent hier 'normale arbitraire verdeling', waarbij het mij met name om het 'arbitraire' gaat.The only assumption made with "pooling" data for dummy variable coefficients is that store-level coefficients are draws from a common but arbitrary distribution. Hence it is our purpose to estimate the common mean of this distribution.
Even de formule door de equation editor gehaald. Het gaat er dus om dat gamma (de coëfficient) in het voorbeeld niet genomen wordt over (Beta^r,i,k), maar alleen over (Beta^r,i), waarbij winkel [i]k[/k] (k=1,..n)
[ Bericht 17% gewijzigd door TheSilverSpoon op 05-11-2008 10:57:16 ]
quote:Ik zou common but arbitrary distribution vertalen als ‘een gelijke doch willekeurige verdeling’, dus, al die coëfficiënten zijn op dezelfde manier verdeeld, volgens een willekeurige distributie. Dus die distributie zou nog van alles kunnen zijn, maar de ene coëfficiënt is niet anders verdeeld dan de andere. Maar voor de rest is dit niet mijn sterkste kant, dus neem het met een korreltje zout.
Voor een regressiemodel, waarbij de parameter coëfficient wordt gepooled over de te meten (in dit geval) winkels, wordt de aanname gemaakt dat de coëfficienten op winkelniveau getrokken zijn uit een normale maar abitraire verdeling.
[ Bericht 4% gewijzigd door Iblis op 05-11-2008 11:20:49 ]
quote:Bedankt! Dit klinkt ook logisch, en volgens mij denk ik ook hetzeflde maar laat de (niet officiële) formulering wat te wensen over: Aangezien het hier gaat om het meten van een bepaald effect (doh) over verschillende winkels, is het logisch dat wanneer je ze samenvoegt dat je aanneemt dat de onderlinge effecten op winkelniveau vergelijkbaar zijn. Als je dat namelijk niet verwacht, dan is het raar om ze te gaan poolen omdat het resultaat dan nietszeggend wordt, nietwaar?Op woensdag 5 november 2008 11:15 schreef Iblis het volgende:
Ik zou common but arbitrary distribution vertalen als ‘een gelijke doch willekeurige verdeling’, dus, al die coëfficiënten zijn op dezelfde manier verdeeld, volgens een willekeurige distributie. Dus die distributie zou nog van alles kunnen zijn, maar de ene coëfficiënt is niet anders verdeeld dan de andere. Maar voor de rest is dit niet mijn sterkste kant, dus neem het met een korreltje zout.
In mijn geval is het overigens niet eens een hele grote ramp als blijkt dat de effecten uiteenlopen, het gaat mij uiteindelijk toch om het gemiddelde gemeten effect. Ik neem aan dat ik dat ook zo kan zeggen, hetzij in formelere bewoording.
quote:Geen antwoord meer nodig, heb mijn tentamen erop zitten (en gelukkig vroegen ze niet een soortgelijk iets)Op zondag 2 november 2008 18:23 schreef McGilles het volgende:
Kromme beschreven door:
[ afbeelding ]
(oftewel het product van 2 afstanden naar 2 brandpunten is k^2)
Ik moet vinden voor welke waarde van 'k' de kromme overgaat van een rechtgeaarde ovaal naar een ingedeukte. Ik heb geen idee waar en hoe ik moet beginnen. Iemand? (a=1)
Edit: ik heb een idee maar ik heb ook het idee dat het veel makkelijker moet kunnen. Ik bepaal de afgeleidde van die functie en bepaal dan de afgeleidde van de teller. Voor x = 0 krijg je -y^2+1 in de teller te staan. Dus voor y = 1 is de tweede afgeleidde 0 wat betekend de omslag van ovaal naar ingedeukte. y = 1 levert k = 2, goed?
quote:Het zou je sieren als je nog steeds nieuwsgierig was naar het antwoord. Kennis is macht.Op woensdag 5 november 2008 12:05 schreef McGilles het volgende:
Geen antwoord meer nodig, heb mijn tentamen erop zitten (en gelukkig vroegen ze niet een soortgelijk iets)
quote:Natuurlijk ben ik nieuwsgierig, maar als ik zelf al meer dan 2 uur heb lopen kijken, op gegeven moment geef ik het op.Op woensdag 5 november 2008 12:08 schreef TheSilverSpoon het volgende:
[..]
Het zou je sieren als je nog steeds nieuwsgierig was naar het antwoord. Kennis is macht.
En als leuk voorbeeldje, als ik op het tentamen een bepaalde opgave niet snapte, ga ik meestal de gehele treinreis terug eraan sleutelen totdat ik hem heb. Dus ben altijd wel nieuwsgierig.
quote:Meestal sleutelde ik er tot het einde van de tijd aan, en dan gefrustreerd dat het niet gelukt was, besloot ik dat ik er niets mee te maken wilde hebben en iets anders ging doen. En dan net als de frustratie afzakt komt er zo'n gedachte omhoog, uit het niets, die zegt: zo had je het natuurlijk moeten doen!. En dan denk ik: Bah!
En als leuk voorbeeldje, als ik op het tentamen een bepaalde opgave niet snapte, ga ik meestal de gehele treinreis terug eraan sleutelen totdat ik hem heb. Dus ben altijd wel nieuwsgierig.
Ik heb een inhaal tentamen, en ik wil graag wat extra oefeningen die wat verder dan het boek gaan, aangezien ik minimaal een 7 moet halen.
alvast bedankt.
quote:Je kan zelf toch een paar leuke (lastige) opgaven verzinnen. Als je hier je uitwerkingen post als je niet zeker bent kijk ik vanavond er wel even na.Op woensdag 5 november 2008 16:26 schreef Silentalarm het volgende:
Weet iemand een site moet oefeningen over periodieke functies en afgeleidefuncties/hellingen bepalen?
Ik heb een inhaal tentamen, en ik wil graag wat extra oefeningen die wat verder dan het boek gaan, aangezien ik minimaal een 7 moet halen.
alvast bedankt.
edit: hier is een opgave, PM mij het antwoord maar
y = sin(2x)/cos(x)
a - bepaal de vergelijking van de raaklijn in het punt met x-waarde 0
b - in welke punten is de helling 0 op domein [0, 2pi]
[ Bericht 19% gewijzigd door McGilles op 05-11-2008 17:39:32 ]
a - bepaal de vergelijking van de raaklijn in het punt met x-waarde 0
b - in welke punten is de helling 0 op domein [0, 2pi]
ik kom er niet uit.
Alvast bedankt
quote:
y = sin(2x)/cos(x)
a - bepaal de vergelijking van de raaklijn in het punt met x-waarde 0
b - in welke punten is de helling 0 op domein [0, 2pi]
ik kom er niet uit.
quote:
Beginnen we met het bepalen van de afgeleide.
SPOILERen vullen we f(0) in. Dan heb je de coordinaten van het punt al.
quote:Het zou wel handig zijn als je ons een indicatie van het niveau kon geven. Aan je mededeling dat je oefeningen zoekt die verder gaan dan het boek heeft niemand iets zolang niet duidelijk is welk boek je bedoelt ...Op woensdag 5 november 2008 16:26 schreef Silentalarm het volgende:
Weet iemand een site moet oefeningen over periodieke functies en afgeleidefuncties/hellingen bepalen?
Ik heb een inhaal tentamen, en ik wil graag wat extra oefeningen die wat verder dan het boek gaan, aangezien ik minimaal een 7 moet halen.
alvast bedankt.
(-48*10^3) * 9,8 * 2 - FB*16 =0
als oplossing wordt gegeven; FB= 6*10^4
ik loop nu al een uur te puzzelen maar dat komt er bij mij niet uit!
of ik zie iets ernstig over het hoofd, of het staat verkeerd in het boek.
wie o wie kan mij helpen
(om antwoord in kg te geven ipv N)
maar dan kom ik uit op Fb= 6*10^3
quote:Zou je de vraag eens kunnen stellen. Want wat is Fb ofzo?
in mijn boek wordt deze vergelijking gegeven;
(-48*10^3) * 9,8 * 2 - FB*16 =0
als oplossing wordt gegeven; FB= 6*10^4
ik loop nu al een uur te puzzelen maar dat komt er bij mij niet uit!
of ik zie iets ernstig over het hoofd, of het staat verkeerd in het boek.
wie o wie kan mij helpen
Als je 1 cijfer als eindantwoord moet geven. Dan kom ik nogsteeds goed uit hoor? Heb alleen dat ding ingevuld. Je krijgt 58800 als antwoord
quote:Ik weet niet hoe je hier kan vastlopen, maar hier de uitwerking:Op donderdag 6 november 2008 15:02 schreef hupseflupse het volgende:
in mijn boek wordt deze vergelijking gegeven;
(-48*10^3) * 9,8 * 2 - FB*16 =0
als oplossing wordt gegeven; FB= 6*10^4
ik loop nu al een uur te puzzelen maar dat komt er bij mij niet uit!
of ik zie iets ernstig over het hoofd, of het staat verkeerd in het boek.
wie o wie kan mij helpen
(-48*10^3) * 9,8 * 2 - FB*16 =0
(-48*10^3) * 9,8 * 2 = FB*16
FB = (-48*10^3) * 9,8 * 2 / 16 = -58800 (is dus afgerond -6*10^4)
91,29 = (114/(1+X/2)^4)
Of kan dat alleen met de GR?
quote:Quotient regel met kettingregel denk ik. Is wel even netjes uitwerken en zorgen dat je geen fouten maakt.
Hoe los je dit algabraisch op:
91,29 = (114/(1+X/2)^4)
Of kan dat alleen met de GR?
quote:sjonge jonge -5,8 x 10^4 was mijn eerste antwoordOp donderdag 6 november 2008 16:46 schreef McGilles het volgende:
[..]
Ik weet niet hoe je hier kan vastlopen, maar hier de uitwerking:
(-48*10^3) * 9,8 * 2 - FB*16 =0
(-48*10^3) * 9,8 * 2 = FB*16
FB = (-48*10^3) * 9,8 * 2 / 16 = -58800 (is dus afgerond -6*10^4)
wist niet dat dat afgerond kon/mocht worden doe ik toch nog iets goed
bedankt!
quote:91,29 = (114/(1+X/2)^4)Op donderdag 6 november 2008 17:26 schreef duncannn het volgende:
Hoe los je dit algebraïsch op:
91,29 = (114/(1+X/2)^4)
Of kan dat alleen met de GR?
91,29 = 114/p^4
p^4 = 114/91,29 = 1,25
p= +- 1,25^(1/4) = +- 1,06 = 1+x/2
x= 2(+- 1,06 -1) = 0,114221119 V x = -4,11422112
En dan nog twee complexe oplossingen, maar die zal je vast niet nodig hebben.
Ten eerste:
Op welke manier kan ik 4√x anders schrijven.
Ten tweede:
Hoe differentieer ik 4√x en schrijf ik de uitkomst zonder negatieve of gebroken exponenten.
quote:x^(1/4)
Ik moet even mijn geheugen opfrissen hoor:
Ten eerste:
Op welke manier kan ik 4√x anders schrijven.
Ten tweede:
Hoe differentieer ik 4√x en schrijf ik de uitkomst zonder negatieve of gebroken exponenten.
En die diffrentieren. Krijg je 0.25x^(-0.75)
[ Bericht 1% gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:19:01 ]
quote:
quote:Op zondag 9 november 2008 12:45 schreef Flaccid het volgende:
[..]
x^(1/4)
En die diffrentieren. Krijg je 0.25x^(-0.75)
Dankjulliewel! t is weer duidelijk!
quote:Op zondag 26 oktober 2008 17:32 schreef zuiderbuur het volgende:
Mijn vraag is misschien iets te geavanceerd voor dit forum (het is ook geen huiswerk) maar ik weet dat er hier mensen zijn die verstand hebben van projectieve meetkunde, en op deze vraag zit ik nu eigenlijk al maanden te kauwen.
PG(3,q) staat voor de projectieve ruimte van meetkundige dimensie drie over het galoisveld met q elementen. Deze wordt opgebouwd door een vierdimensionale vectorruimte over dat veld te beschouwen, de punten komen dan overeen met de vectorrechten (dus eigenlijk de dimensie altijd eentje verhogen)
Een spread daarin is een partitie van de punten in rechten. Dat moeten er dan noodgedwongen q^2+1 zijn.
Eén manier is dat je je veld groter maakt, je bedt PG(3,q) in in PG(3,q^2), en je neemt een rechte in de kwadratische uitbreiding die met die PG(3,q) geen enkel punt gemeen heeft. Nu ga je elk punt x op die rechte L verbinden met zijn toegevoegde x-streep op de toegevoegde rechte L-streep. Zo bekom je q^2+1 rechten, die een spread blijken te vormen.
Een andere manier is dat je in PG(1,q^2) gaat werken, wat overeenkomt met een 2-dimensionale vectorruimte over het veld met q^2 elementen. Dat kan je dan ook weer beschouwen als een 4-dimensionale vectorruimte over het veld met q elementen. De q^2+1 punten van PG(1,q^2) zijn dan elk 1-dimensionale vectorruimten over GF(q^2), en ook 2-dimensionale vectorruimten over het kleiner GF(q), en dus rechten in PG(3,q). Dit is weerom een spread in PG(3,q).
Twee constructies dus, maar ze komen op hetzelfde neer. Nooit heb ik echter een mooi argument gezien waarom. Ze lijken toch wel redelijk verschillend. Wie kan mij dit uitleggen. Ik zoek hier echt al heel lang op. Die constructies lijken gewoon te verschillend om compatibel te zijn.
quote:Het ziet er gemakkelijk uit omdat het nogal lijkt op het criterium van Eisenstein... maar dat is het dus niet echt.Op woensdag 5 november 2008 22:06 schreef teletubbies het volgende:
Heey, Als f=xp-d is een polynoom in Z[x] met p is een oneven priem en d is niet een p-de machtswortel dan is f irreducibel. Enig idee? Dit ziet er zo makkelijk uit maar het valt toch tegen.
Alvast bedankt
Vandaar een bump, want ik wil het nu toch eigenlijk ook wel weten. quote:Zonder gebroken exponenten dus:Op zondag 9 november 2008 12:45 schreef Flaccid het volgende:
[..]
x^(1/4)
En die diffrentieren. Krijg je 0.25x^(-0.75)
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:21:28 ]
| 1 |
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:19:10 ]
quote:Ik dacht, laat ik een keer jouw leuk gemaakte dingetje gebruiken, word ik nog gecorrigeerdOp zondag 9 november 2008 16:59 schreef GlowMouse het volgende:
Of, als je tex gebruikt, [ afbeelding ]
[ code verwijderd ]
[ Bericht 21% gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:19:55 ]
X*500 maximaal 2500 mag zijn?
ik zat te denken aan BI (belastbaar inkomen ) = (0,20* X ) * 2500 alleen dan overtreft hij 2500 bij 6 en meer.
en andersom 2500 - (500 * X) = levert niet het goeie op, maar het zit wel in de buurt van hoe het moet
.X <= 5.
quote:Ik bedoel in een formule,Op zondag 9 november 2008 19:37 schreef GlowMouse het volgende:
500*X <= 2500. Deel je links en rechts door 500, dan krijg je:
X <= 5.
Stel je wil dat als je 6 invult ook 2500 uitkomt.
en als je 10.000 invult hij ook op 2500 uitkomt een soort overflow controle
Is dit mogelijk?
f(x) = 2500 voor x>5
Edit: anders ververs ik volgende keer even en zie ik dat glowmouse het antwoord al heeft gegeven.
quote:Dit in het geval als je meer dan 5 kinderen hebt(X) of meer dan moet het belastbare inkomen 2500 zijn.Op zondag 9 november 2008 19:42 schreef GlowMouse het volgende:
oh zo, dat kan ja, met de min-notatie: min{500*X, 2500}. Hij pakt dan de kleinste van de twee. Wiskundig gezien is '500*X als X<=5, 2500 anders' overigens ook niet zo vreemd.
Dan mag je zeggen , als ik in Min{500*X, 2500} dat hij dan altijd 2500 produceert? als je meer dan 5 invult?
quote:Ik vind zoiets conceptueel wel zo duidelijk:
oh zo, dat kan ja, met de min-notatie: min{500*X, 2500}. Hij pakt dan de kleinste van de twee. Wiskundig gezien is '500*X als X<=5, 2500 anders' overigens ook niet zo vreemd.
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:19:39 ]
quote:daar had ik nog niet over na gedacht 2 formule's waarom ook nietOp zondag 9 november 2008 19:47 schreef McGilles het volgende:
f(x) = 500x voor x<=5
f(x) = 2500 voor x>5
Edit: anders ververs ik volgende keer even en zie ik dat glowmouse het antwoord al heeft gegeven.
was bezig met UML diagrammen ,
IS K > 5 ?
en dan bijhorende formule's
quote:Dat is gewoon één functie hoor.
[..]
daar had ik nog niet over na gedacht 2 formule's waarom ook niet
was bezig met UML diagrammen ,
IS K > 5 ?
en dan bijhorende formule's
Voor het vak statistiek moet ik nog een practicum opdracht inleveren, enig probleem is dat ik al tijden geen statistiek meer gehad heb en ik dus niet zeker weet of ik sommige antwoorden wel goed zijn. Nu heb ik geen zin om mijn antwoorden in te sturen en dan van de docent te horen dat het niet goed is. Daarom wou ik jullie vragen of jullie er misschien een snelle blik naar kunnen werpen.
Het moet opzich niet zo moelijk zijn, het is van het vak inleiding in de statistiek
Er zit ook een spss bestand bij, maar ik weet niet of mensen thuis wel spss op de computer hebben staan. Ik moet alleen weten wanneer ik welke toets precies moet gebruiken
Duizend maal dank voor degene die er even wil naar kijken!!
De antwoorden die ik had staan onderaan (incl gebruikte toets)
Groet, GFA
---------------------------------------------------------
Entreetoetsen
In het basisonderwijs worden veel toetsen afgenomen. Entreetoets, cito-toets, etc. Een onderzoeker heeft interesse in de snelheid waarmee deeltoetsen door leerlingen worden gemaakt. In een door deze onderzoeker opgezet experiment met leerlingen uit groep 7 worden bij 23 aselect gekozen “gemiddelde” leerlingen 3 deeltoetsen afgenomen: een leestoets (begrijpend-lezentoets), een rekentoets, en een topotoets (toets voor topografie). “Gemiddelde” leerlingen zijn leerlingen die in de landelijke entreetoets
voor groep 6 een score hadden tussen het 40e en 60e percentiel (0.4-punt en 0.6-punt van de verdeling).
De leestoets wordt ook afgenomen bij 23 “top” leerlingen (de beste 20% landelijk in de entreetoets). De drie afgenomen toetsen zijn zo ontworpen dat men verwacht dat de leerlingen er 15 minuten over zullen doen, oftewel 900 s.
In het onderzoek wordt aandacht besteed aan een aantal vragen. Beantwoord die vragen zoveel mogelijk mbv SPSS-uitvoer (waarbij je aan mag nemen dat de waarnemingen Normaal verdeeld zijn).
a. De eerste vraag is of het verwachte verschil in benodigde tijd voor de begrijpend-lezentoets tussen de “gemiddelde” leerlingen en de “top” leerlingen positief is. “Top”leerlingen zouden dan de toets systematisch sneller maken. Ga na of deze hypothese kan worden aangetoond (bij een significantieniveau van 0.05).
b1. In de tweede vraag gaat de interesse uit naar de verwachte tijdsduur die “gemiddelde” leerlingen doen over de rekentoets (μY). Geef een schatting voor μY; bepaal de bijbehorende (geschatte) standaardfout, en geef een 0.95 betrouwbaarheidsinterval voor μY.
b2. Zoals aangegeven is de rekentoets zo opgezet dat de verwachte tijdsduur die leerlingen over de rekentoets doen gelijk is aan 900 s. Toets, met zo weinig mogelijk rekenwerk, maar wel volledig, of μY=900, bij een significantieniveau van 0.05.
b3. Als derde bekijken we de vraag of er verschil is in de verwachte tijd nodig voor de rekentoets en de verwachte tijd nodig voor de topotoets (beide voor “gemiddelde” leerlingen). Definieer de relevante parameter in symbolen, en geef de betekenis ervan.
Geef een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor die parameter.
c. Tenslotte wordt nagegaan of de tijd (z) die “gemiddelde” leerlingen nodig hebben voor de topotoets verklaard kan worden uit de tijd (y) die nodig is voor de rekentoets. Verondersteld wordt dat de z-waarden, gegeven de y-waarden Normaal verdeeld zijn, met alle dezelfde standaardafwijking, en een verwachting mu Z die als volgt afhangt van y: mu Z = B0 + B1* y.
d1. Geef de schatting van het lineaire verband tussen mu Z (= E(z)) en y.
d2. Bekijk de uitvoer. Welke nulhypothese kan met de p-waarde (overschrijdingskans) bij de t-toets voor de helling worden getoetst? (laatste regel van de Coefficients tabel)
d3. Toets of B1 gelijk is aan 1 bij een significantieniveau van 0.05. Wat is de definitie van de toetsingsgrootheid?
d4. Schat mu Z (= E(z)) als bekend is dat y= 900. Geef ook de bijbehorende SE en een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor mu Z als y= 900.
d5. Geef een schatting van de standaardafwijking.
------------
De antwoorden die ik had:
a
Gebruikte toets: Independent Samples Test
Bij een significantie niveau van 0,05 is de T waarde significant (0,05 > 0,001), er is dus aangetoond dat er een verschil is tussen de twee gemiddelden (gemiddelde van de “gemiddelde groep” en het gemiddelde van de “top groep”). De “top groep” maakt de begrijpend lezen toets dus significant sneller dan de “gemiddelde groep”.
b1
Group statistics > bij Mean gekeken
Betrouwbaarheidsinterval bij "95% Confidence Interval of the Difference" van de "One-Sample Test" gekeken
b2
normalcdf(linkergrens uit b1, rechtergrens uit b1, 900, standaardafwijking uitb1) = 0.427
0.427 > 0.05
H0: μY=900
H1: μY=> 900
H0 wordt verworpen, H1 is aangetoond, de leerlingen maken de rekentoets significant sneller dan 900 seconden.
b3
Hoe de relevante parameters te definieren?
Welke toets precies?
d1
Tabel "Coefficients"
B (constant) + tijd rekentoets * y = mu z
d2
H0: B1 = 0 (?)
d3
"definitie van de toetingsgrootheid"?
d4
900 in de formule van d1 stoppen
Hoe bijbehorende SE uit te rekenen? En 95%-betrouwbaarheidsinterval voor mu Z als y= 900. ?
d5
in welke tabel te vinden/formule?
[ Bericht 0% gewijzigd door GFA op 09-11-2008 22:03:23 (sommige tekentjes deden het niet goed) ]
b1: wat heeft een "95% Confidence Interval of the Difference" hiermee te maken?
b2: verwerp je H0 echt als 0.427 > 0.05? Het is me ook niet direct duidelijk of wat je uitrekent ook echt een p-waarde bij dit toetsingsprobleem is. Kun je het antwoord bij b1 niet gebruiken?
b3: tip: verwachte tijd nodig voor de rekentoets is E(μY)
d1: let op of je Z als hoofd- of kleine letter moet schrijven.
d2: correct.
d3: welke toetsingsgroodheid gebruik je, is hier de vraag. Het is een T-toets kan ik je verklappen, leid zelf maar af hoe hij eruit ziet.
d4: gebruik dat als Z = B0 + B1* y + e dan VAR(Z) = VAR(B0 + B1*y + e)
d5: verschil met d4?
dit kun je doen mbv de abc formule
dan geldt a=1; b=-2i; c=-1-2i
maar dit uitwerken met abc formule loop ik toch tegen problemen aan.
ik vind bijvoorbeeld dat de discriminant 8i, maar hiermee werken is lastig.
oplossingen worden dan z=i+0,5sqrt(8i) en i-0,5sqrt(8i) maar dit lijkt niet op de oplossingen 1+2i en -1.
Kan iemand me wat verder helpen?
quote:Dit had je eerder ook al gevraagd. Oplossen met kwadraatafsplitsing, zie hier.Op maandag 10 november 2008 11:14 schreef Borizzz het volgende:
z2 -2iz = 1+2i oplossen
dit kun je doen mbv de abc formule
dan geldt a=1; b=-2i; c=-1-2i
maar dit uitwerken met abc formule loop ik toch tegen problemen aan.
ik vind bijvoorbeeld dat de discriminant 8i, maar hiermee werken is lastig.
oplossingen worden dan z=i+0,5sqrt(8i) en i-0,5sqrt(8i) maar dit lijkt niet op de oplossingen 1+2i en -1.
Kan iemand me wat verder helpen?
quote:Bekijk het geometrisch. Ik heb je volgens mij een keer uitgelegd hoe je vermenigvuldiging geometrisch kunt voorstellen. Dan is het niet zo moeilijk om de wortel van 8i te vinden.
Dat klopt; maar het gaat me nu even over het oplossen op een andere manier. Altijd goed om meerdere methodes in je rugzak te hebben toch? En oplossen met abc formule heb ik nog niet eerder gedaan. Vandaar deze vraag.
quote:OK. De discriminant heb je goed uitgerekend, die is 8i. Nu moet je dus √(8i) op een andere manier schrijven, daarin zit denk ik je moeilijkheid. Je weet dat √8 = 2√2. En √i kun je op twee manieren anders schrijven. Zie je ook hoe?Op maandag 10 november 2008 11:32 schreef Borizzz het volgende:
Dat klopt; maar het gaat me nu even over het oplossen op een andere manier. Altijd goed om meerdere methodes in je rugzak te hebben toch? En oplossen met abc formule heb ik nog niet eerder gedaan. Vandaar deze vraag.
maar daar kom ik niet verder... is dit een verkeerd spoor?
wortel( i) anders schrijven? dat zal wortel (wortel ( (-1)) moeten zijn.
Vreemd dat ik hier problemen blijf hebben; verder met integreren van complexe functies en differentieren, limieten etc levert niet zoveel problemen meer op; alleen vreemd dat het bij dit soort basisdingen soms fout gaat.
[ Bericht 5% gewijzigd door Borizzz op 10-11-2008 11:58:51 ]
quote:Nee !!!Op maandag 10 november 2008 11:49 schreef Borizzz het volgende:
Ik kom dan op 8i = (4+i)2 -15;
maar daar kom ik niet verder... is dit een verkeerd spoor?
wortel( i) anders schrijven? dat zal wortel (-1) moeten zijn.
Je weet dat bij vermenigvuldigen van twee complexe getallen de argumenten bij elkaar worden opgeteld. Dus als ik kwadrateer dan verdubbelt het argument en als ik de vierkantswortel neem dan halveert het argument.
Je hebt arg( i ) = ½π + 2kπ en dus arg(√i) = ¼π + kπ.
En aangezien i op de eenheidscirkel ligt vind je dus voor √i
½√2 + i∙½√2 en -½√2 - i∙½√2
Lukt het nu?
quote:Nou, ik vraag me toch af hoe het met je inzicht is gesteld als dit soort elementaire dingen geen gesneden koek zijn.Vreemd dat ik hier problemen blijf hebben; verder met integreren van complexe functies en differentieren, limieten etc levert niet zoveel problemen meer op; alleen vreemd dat het bij dit soort basisdingen soms fout gaat.
(z-i)2 = 2i
neem w=z-i
dan w2 =2i
w=1+i of w=-1-i
z=1+2i of z=-1
quote:Ja, dat kan ook maar komt eigenlijk op hetzelfde neer als de methode met kwadraatafsplitsing, wat in het Engels overigens completing the square heet. In Angelsaksische landen wordt dat kennelijk nog gewoon onderwezen op (sommige?) middelbare scholen, in tegenstelling tot in Nederland. En als je ziet dat √(2i) gelijk is aan 1 + i of -1 - i, dan had je ook kunnen zien dat √(8i) gelijk is aan 2 + 2i of -2 - 2i, zodat je geen probleem had mogen hebben met de oplossing hierboven via de abc-formule.Op maandag 10 november 2008 14:34 schreef Borizzz het volgende:
z2 -2iz = 1+2i oplossen kan nog makkelijker met een substitutie:
(z-i)2 = 2i
neem w=z-i
dan w2 =2i
w=1+i of w=-1-i
z=1+2i of z=-1
Bedankt!
quote:Even nog hierop terugkomende: Je zou het eens in sci.math kunnen proberen, een Usenet groep vol met academici, daar zit allicht iemand bij die jou kan helpen. Want ik denk dat op Fok! thabit je enige hoop is.
quote:Probeer es een verfkwast in plaats van een pen.Op zondag 9 november 2008 12:44 schreef Silentalarm het volgende:
Op welke manier kan ik 4√x anders schrijven.
quote:Op dinsdag 11 november 2008 00:49 schreef Haushofer het volgende:
[..]
Probeer es een verfkwast in plaats van een pen.
Even een testje met Unicode: is ∜x bij iedereen goed te zien?
quote:Hier wel. Lelijk trouwens dat dat nog een eigen ingang heeft, dat zou toch door de type-engine/fontrenderer moeten worden opgelost.
[..]
Even een testje met Unicode: is ∜x bij iedereen goed te zien?
quote:Ja, maar dat loopt nog lang niet zoals het zou moeten, ook niet in applicaties en met OpenType fonts die claimen dat te kunnen. Daarnaast zijn er veel samengestelde karakters om conversies vanuit allerlei legacy coderingen goed te laten verlopen (denk aan klassiek Grieks bijv.).Op dinsdag 11 november 2008 01:10 schreef Iblis het volgende:
[..]
Hier wel. Lelijk trouwens dat dat nog een eigen ingang heeft, dat zou toch door de type-engine/fontrenderer moeten worden opgelost.
quote:Maar dat het (nog) niet werkt is geen reden om alsnog in Unicode allerlei karakters in te bouwen, er moet dus een andere reden voor zijn; een legacy-codering zou kunnen (daarom zit de ij er ook in); maar dan zou die niet meer gebruikt behoren te worden. OpenType math staat inderdaad (nog) in de kinderschoenen. Math typesetting is dan ook behoorlijk ingewikkeld. Dit karakter lijkt overigens geen decompostion te bezitten.
Ja, maar dat loopt nog lang niet zoals het zou moeten, ook niet in applicaties en met OpenType fonts die claimen dat te kunnen. Daarnaast zijn er veel samengestelde karakters om conversies vanuit allerlei legacy coderingen goed te laten verlopen (denk aan klassiek Grieks bijv.).
Noem z=x+iy en w=a+ib
dan
=(xa-by-i(ya+bx) = xa-by-iya-ibx = (x-iy)(a-ib) =
nou laat anders maar; ik zie dat het bijna niet te zien is; en een streep erboven zetten is niet mogelijk volgens mij
noem z=x+iy en w=a+ib
dan: z*w = (x+iy)(a+ib) = (xa-by+i(ya+bx))
=xa-by-i(ya+bx) = xa-by-iya-ibx = (x-iy)(a-ib) = (x+iy) * (a+ib) = z * w
volgens mij klopt dat niet; als ik het rechterlid uitvermenigvuldig komt er toch +by ipv -by?
want -i2 =1
"95% Confidence interval for the mean" dat is toch gewoon een 0,95 betrouwbaarheids interval?
http://www.yousendit.com/download/Y2ovTmZRT01qY3BjR0E9PQ
Bij deze link kan je de opdracht +SPSS uitvoer downloaden
Graag zou ik willen weten of het zo een beetje klopt, het gaat mij dan voornamelijk om b2, b3 en d4 waar ik niet helemaal zeker van ben. Iemand die er misschien een minuutje voor heeft om naar te kijken?
Voel me wel slecht dat ik het zelf niet af kan
maar heb in tijden geen statistiek meer gehad en heb geen statistiekboek bij de hand (zit niet in NL op het moment), en het is voor mij belangrijk dat ik de opdracht zo snel mogelijk inlever om het vak af te ronden. Alvast bedankt voor degene die er even naar wil kijken!quote:Dit is wel heel lastig te lezen hoor. Kun je niet z* schrijven voor z̄ zoals wel vaker wordt gedaan?Op dinsdag 11 november 2008 18:48 schreef Borizzz het volgende:
Als ik het volgende wil bewijzen =z*w=z*w, klopt dan deze uitwerking een beetje? (met een streep erdoor heen bedoel ik geconjugeerde.
Noem z=x+iy en w=a+ib
danz*w=(x+iy)(a+ib)=(xa-by+i(ya+bx))
=(xa-by-i(ya+bx) = xa-by-iya-ibx = (x-iy)(a-ib) =(x+iy)*(a+ib)=z*w
nou laat anders maar; ik zie dat het bijna niet te zien is; en een streep erboven zetten is niet mogelijk volgens mij
waar zit dat, riparius?
Verder gaat t tentamen morgen wel lukken denk ik. Integreren, differentieren, limieten berekenen etc lukt allemaal heel aardig. Dus een voldoende moet er in kunnen zitten.
Als ik projectieve meetkunde kan, moet dit ook gewoon lukken
quote:Het streepje boven mijn z̄ is de COMBINING MACRON (Unicode U+0304). Maar dat 'zit' niet zomaar ergens. Ik gebruik speciale (third-party) toetsenbord drivers zodat ik van alles kan typen in Unicode.Op dinsdag 11 november 2008 18:58 schreef Borizzz het volgende:
Je streepje erboven was ik al aan het zoeken. Heb heb in plaats daarvan er maar onder gezet om dat ik het niet kon vinden....
waar zit dat, riparius?
Verder gaat t tentamen morgen wel lukken denk ik. Integreren, differentieren, limieten berekenen etc lukt allemaal heel aardig. Dus een voldoende moet er in kunnen zitten.
Als ik projectieve meetkunde kan, moet dit ook gewoon lukken
quote:Nee. Je vermenigvuldigt toch -iy met -ib? Dat levert i2by = -by.Op dinsdag 11 november 2008 18:56 schreef Borizzz het volgende:
Mijn twijfel zit m hier in: xa-by-iya-ibx = (x-iy)(a-ib)
volgens mij klopt dat niet; als ik het rechterlid uitvermenigvuldig komt er toch +by ipv -by?
want -i2 =1
quote:Is U+0305 niet gepaster? Combining overline.
[..]
Het streepje boven mijn z̄ is de COMBINING MACRON (Unicode U+0304). Maar dat 'zit' niet zomaar ergens. Ik gebruik speciale (third-party) toetsenbord drivers zodat ik van alles kan typen in Unicode.
quote:Zo dan: z̅Op dinsdag 11 november 2008 19:09 schreef Iblis het volgende:
[..]
Is U+0305 niet gepaster? Combining overline.
Ik gebruikte de combining macron omdat ik die via mijn toetsenbord kan invoeren, en U+0305 niet.
De vraag is om een uitspraak te doen of deze functie analytisch of diff. baar is.
Mijn uitwerking:
Er geldt dat u = x2 en v=y2. Beide functies zijn continue.
ux = 2x; uy=0 vx=0 en vy=2y
Deze partiele afgeleiden zijn ook allevier continue op een r-omgeving.
Cauchy-Riemann test ux=vy levert 2x=2y en uy=-vx levert 0=0.
Conclusie die ik dan trek zal zijn dat f(x+iy) niet analytisch is. Er is immers geen r-omgeving te vinden voor een punt z waarop f voldoet aan cauchy-riemann. Daarom zal f(x+iy) enkel differentieerbaar zijn op punten z waarvoor geldt x=y. Alleen in deze punten wordt voldaan aan de vergelijkingen van cauchy-riemann.
Is dit in de haak?
[ Bericht 1% gewijzigd door Borizzz op 11-11-2008 19:25:12 ]
b3: definitie E(μy) is nu verkeerd; wat is de betekenis van P?
d3: je toetsingsgroodheid hoort bij de toets met H0: beta1 = 0. Je conclusie is 'H0 wordt verworpen', een statisticus zegt nooit 'H1 is aangetoond'
d4: er is geen regel die zegt dat standaardfout van beta1 = standaardfout van [beta0 + 900*beta1]. Er is wel een regel die zegt dat variantie van [X+Y] = variantie van X + variantie van Y (mits X en Y ongecorreleerd zijn), en variantie van c*X = c² * variantie van X.
Bij b2 het betrouwbaarheidsinterval van vraag b1 gebruiken zeker? Hoe ik dat verder toets weet ik even niet :/
Bij b3, hoe moet die parameter volgens jou dan? want volgensmij kwam ik bij een oud tentamen ook iets tegen dat het zo moest
En het betrouwbaarheidsinterval daarvan klopt wel uit de "paired samples test" komt toch?
en bij d3, is de toets verder wel goed uitgevoerd denk je?
b3: kijk http://nl.wikipedia.org/wiki/T-toets bij basisidee
Paired sample: had ik niet gezien maar je hebt geen paren dus moet je ook niet naar gepaarde waarnemingen kijken.
Taalgebruik kan ook wel wat beter, in plaats van "Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de parameter ligt tussen -14,54 en 9,49" zeg je "het betrouwbaarheidsinterval is [-14.54, 9.49]". Anders kun je je er lekker makkelijk van afmaken door te zeggen "Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de parameter ligt tussen -oneindig en +oneindig". Het gaat er juist om dat je aangeeft wat de grenzen van het interval zijn.
Wat jij bij b2 zegt zijn termen waar ik niet bekend mee ben (en ook niet in de statistiek college's zijn voorgekomen volgensmij), wat bedoel je precies met "H0: θ=c, H1: θ!=c" ?
bij b3 moet dit het dan zijn volgensmij:
Verwachte tijd nodig voor de rekentoets: E(μY)
Verwachte tijd nodig voor de topotoets: E(μZ)
H0: E(μY) - E(μZ) = 0
Ha: E(μY) - E(μZ) ≠ 0
De H0-parameterwaarde 0 ligt in het 0.95-betrouwbaarheidsinterval voor E(μY) - E(μZ) dus H0 niet verwerpen, en Ha is niet aangetoond.
Betrouwbaarheidsinterval uit kolom "paired difference" van tabel. Hoe zou ik anders dat btbhi kunnen checken? bij een Independent samples T test dan moet ik groepen opgeven, en volgensmij is dat hier niet aan de orde?
b3: ken ik spss niet goed genoeg voor.
Als je er niet uitkomt, wil ik het wel voorleggen aan iemand die jouw vraag zeker weten kan oplossen.
quote:Ok met b2 zal ik nog even aan de gang danOp woensdag 12 november 2008 19:07 schreef GlowMouse het volgende:
b2: theta is de parameter, c is een getal.
b3: ken ik spss niet goed genoeg voor.
Bij d3 zei je dat de toetsingsgrootheid (Toetsingsgrootheid: t = b1/SEb1) hoort bij beta1 = 0
Heb zitten zoeken, maar welke hoort dan bij beta1 = 1? is dat echt een totaal andere?
quote:Partiëel integreren.
Hoe kan je in het algemeen een functie als t*sin(t) integreren?
quote:Zij a een wortel van f en K = Q(a). f is irreducibel dan en slechts dan als het het minimumpolynoom van a is dan en slechts dan als [K:Q] = p.Op woensdag 5 november 2008 22:06 schreef teletubbies het volgende:
Heey, Als f=xp-d is een polynoom in Z[x] met p is een oneven priem en d is niet een p-de machtsworteldan is f irreducibel. Enig idee? Dit ziet er zo makkelijk uit maar het valt toch tegen.
Alvast bedankt
Er geldt ap = d. Als N de normafbeelding van K naar Q is, dan is dus N(a)p = N(d) = d[K:Q]. Hieruit volgt dat d[K:Q] een p-de macht moet zijn. Omdat p een priemgetal is, kan dit alleen maar als d zelf een p-de macht is of [K:Q] deelbaar is door p. En omdat [K:Q] <= p, kan dat laatste alleen als [K:Q] = p.
Het lijkt me overigens onzin om te veronderstellen dat p oneven moet zijn; dit werkt net zo goed voor p = 2.
Voor een aardige generalisatie van deze opgave verwijs ik graag naar het stellingenlijstje van m'n proefschrift, dat zeer binnenkort zal verschijnen.
quote:Dat ding is inderdaad niet analytisch. Op R is het f(x) = x2. Dan zou het ook op C zo moeten zijn, maar x2 + iy2 is niet (x+iy)2.Op dinsdag 11 november 2008 19:19 schreef Borizzz het volgende:
Stel ik heb deze complexe functie f(x+iy) = x2 +iy2.
De vraag is om een uitspraak te doen of deze functie analytisch of diff. baar is.
Mijn uitwerking:
Er geldt dat u = x2 en v=y2. Beide functies zijn continue.
ux = 2x; uy=0 vx=0 en vy=2y
Deze partiele afgeleiden zijn ook allevier continue op een r-omgeving.
Cauchy-Riemann test ux=vy levert 2x=2y en uy=-vx levert 0=0.
Conclusie die ik dan trek zal zijn dat f(x+iy) niet analytisch is. Er is immers geen r-omgeving te vinden voor een punt z waarop f voldoet aan cauchy-riemann. Daarom zal f(x+iy) enkel differentieerbaar zijn op punten z waarvoor geldt x=y. Alleen in deze punten wordt voldaan aan de vergelijkingen van cauchy-riemann.
Is dit in de haak?
Kort samengevat is het: iemand trekt 13 kaarten uit een normale pak kaarten en stopt ze in zijn hand. Wat is dan de kans dat één of meerdere soorten ontbreken in zijn hand? 
Edit: Oh wacht, je zegt dat je alleen maar van 1 soort trekt
Ik had juist 1 soort niet. Mar ik denk 4 maal 13 boven 13, dus 4? (als de volgorde niet uitmaakt) [ Bericht 10% gewijzigd door Voortvlugt op 13-11-2008 23:13:10 ]
Ja je bent er al bijna inderdaad. Die 39 boven 13 is het aantal mogelijkheden om één kleur niet te trekken. Maar als je dat viermaal doet, heb je inderdaad wat overlap. Wat tel je dan dubbel, nou situatie alleen harten/schoppen zit zowel in de mogelijkheid harten/schoppen/klaveren als in harten/schoppen/ruiten. Je hebt die situatie dus 1x teveel geteld. Je moet er dus 26 boven 13 aftrekken. Datzelfde is gebeurt voor harten/ruiten, harten/klaveren, etc. Totaal moet je dus 12x 26 boven 13 ervanaf trekken.
Dan heb je ook nog de situaties op alleen harten geteld in de situatie harten/schoppen/ruiten, harten/schoppen/klaveren en harten/ruiten/klaveren. Die heb je dus 3x geteld ofwel 2x teveel. Je moet er dus 13 boven 13 (= 1, gek he
) vanaf trekken. Datzelfde geldt voor klaveren/ruiten/schoppen.Totaal kom je dan op 4*[39 boven 13] - 12*[26 boven 13] - 8 aantal mogelijkheden. Deel dat op het totaal aantal mogelijkheden om 13 kaarten te trekken, en je hebt de gevraagde kans
[ Bericht 0% gewijzigd door GlowMouse op 13-11-2008 23:47:28 ]
Op die 8 aantal mogelijkheden kwam ik ff niet op en hoort er een "4 maal" voor de 39 boven 13? Of bedoelde je dat ook? Hartstikke bedankt! =)Suggesties?
Ook niet onbegrijpelijk, alhoewel het boek dat daar staat het denk ik niet het gemakkelijkst presenteert (het is heeft wel mooie plaatjes echter
).En dan heb je natuurlijk nog klassiekers als ziekteverspreiding door een bevolking.
quote:Ja, maar die is wel op een wiskunde manier beschreven.
Dat is inderdaad geen wiskunde meer, maar een gewone plant.
quote:Ik neem aan dat je kunt differentieren; dan zou je bijvoorbeeld iets met simpele differentiaalvergelijjkingen kunnen doen die bepaalde populaties beschrijven.Op vrijdag 14 november 2008 20:13 schreef miracle. het volgende:
Ik moet voor wiskunde een PO maken. Weten jullie misschien een leuk onderwerp voor mij? Het gaat om wiskunde A12 (VWO6). Een aantal formuletjes overpennen uit mijn wiskundeboek is natuurlijk niet origineel, dus het mag best een maatschappelijk onderwerp zijn. Ik houd van biologie, misschien ook handig om er bij te vermelden.
Suggesties?
quote:Ja, zo kunnen we mijn moeder´s zuurkool ook op een wiskundige manier beschrijven!Op vrijdag 14 november 2008 21:34 schreef Iblis het volgende:
Ja, maar die is wel op een wiskunde manier beschreven.
quote:Doe eens. Kun je er ook de Hausdorffdimensie van bepalen?
[..]
Ja, zo kunnen we mijn moeder´s zuurkool ook op een wiskundige manier beschrijven!
http://www.bol.com/nl/p/b(...)001572785/index.html
Of natuurlijk de chaostheorie. Komt wat meer in de buurt van wiskunde A en maatschappij.
Geschreven door Jan vd Craats
quote:Ik laat eerst de kwantumfysica erop los. Resultaten volgen.Op vrijdag 14 november 2008 22:18 schreef Iblis het volgende:
Doe eens. Kun je er ook de Hausdorffdimensie van bepalen?
Wiskunde
Weet dat al deze theoretische kennis uiteindelijk in dienst staat van het goede leven. Dat post-Aristoteliaanse wiskundigen dat niet beseffen, is m.i. de grootste tekortkoming van de moderne mathematica.
Ik heb een vraagje over entropy H(X) en mutual information I(X;Y).
Laat zien dat R(X;Y;Z)=I(X;Y)-I(X;Y|Z) is invariant onder de verschillende permutaties van X,Y en Z.
Om te bewijzen dat R(X;Y;Z)=R(Y;X;Z) hoef ik alleen te bewijzen dat I(X;Y|Z)=I(Y;X|Z).
Hiervoor geldt
I(X;Y|Z)=H(X|Z)-H(X|(Y,Z)) dus entropy van X|Z min entropy van X gegeven Y EN Z.
Aangezien ik zo slecht ben in kansrekening weet ik niet hoe ik de laatste moet uitrekenen: H(X|(Y,Z)). Ik moet uit de lange sommaties kunnen afleiden dat H(X|(Y,Z))=H(Y|(X,Z)). Wil iemand me helpen?
quote:Heb er nog even flink wat tijd ingestoken en maar naar de docent gestuurd,Op woensdag 12 november 2008 20:59 schreef GlowMouse het volgende:
Bij d3: als je op http://nl.wikipedia.org/wiki/T-toets het stukje onder Basisidee leest, dan heb je onder H0 dat de groodheid sqrt(n)(Xstreep - 1)/sigma T-verdeeld is. Jij kijkt nu naar de groodheid sqrt(n)*Xstreep/sigma.
Kreeg zojuist te horen dat het goedgekeurd is
Bedankt voor je hulp!
-edit: begon een gekke manier statistiek ook nog leuk te vinden
Ik zit met een probleem:
Gegeven is een medicijnen dat invloed heeft op de hartslagfrequentie vb;
referentie: 20 slagen/minuut
medicijn x: 5 slagen/minuut
Hoe geef ik het beste weer of dit een significant verschil is? Ik weet niet of je van een standaard-normale verdeling mag uitgaan en een variantie is niet bekend.
statistiek is niet mijn ding
quote:Op dinsdag 18 november 2008 21:45 schreef GlowMouse het volgende:
Significant verschillend is een term uit de statistiek. Maar als jij hier al weet dat het medicijn invloed heeft op de hartfrequentie, waarom zou je dan nog statistiek bedrijven?
Het is een belachelijk opdracht, dat voorop gesteld. Maar het gaat hier om een hele rij medicijnen die al dan niet een invloed hebben op de hartslagfrequentie. Bij uitkomsten als het voorbeeld hierboven is het wel duidelijk dat er een significant verband bestaat, maar bij anderen is dat in 1 oogopslag minder duidelijk...
Mijn gedachte, als ik die 20 slagen per minuut nu steeds als referentiewaarde neem (mu?) kan ik dan gewoon kijken naar de testuitslagen al komen ze uit een "normale" verdeling als de referentiewaarde? Het gaat hier immers om een biologisch/medisch gegeven (hartslag) en dat wordt aangenomen normaalverdeeld te zijn
quote:die hebben we dus nietOp dinsdag 18 november 2008 21:59 schreef Gospodin het volgende:
Dat kan, maar dan moet je ook wel een standaardafwijking hebben, anders valt er weinig te testen.
Dan laat ik het idee maar varen, helaas .. ik houd niet zo van conclusies trekken zonder getallen
Heb je voor ieder medicijn maar één waarneming, dan is dat weinig maar je zult dat best voor een statistische toets kunnen gebruiken.
quote:Op dinsdag 18 november 2008 22:13 schreef GlowMouse het volgende:
Aha, je weet dus niet of het medicijn een verbetering is. Blijkbaar weet je dat het aantal hartslagen per minuut (in rust) normaal verdeeld is als je die over verschillende personen bekijkt, maar dan valt uit de literatuur vast wel een standaardafwijking te vinden.
Heb je voor ieder medicijn maar één waarneming, dan is dat weinig maar je zult dat best voor een statistische toets kunnen gebruiken.
dit wordt niets, het schiet me opeens te binnen dat het hier gaat om een geisoleerd kikkerhart (dus een kloppend kikkerhart zonder lichaam) en denk niet dat er echt een standaardafwijking voor die situatie beschreven is/constant is. Een boom heeft 2 punten met graad 3. Bewijs dat de boom minstens 4 punten van graad 1 heeft.
Als ik dit ga tekenen, 2 punten met graad 3 dmv een brug aan elkaar verbinden, en dan de andere 4 punten een eindpunt laten worden dan is dit direct duidelijk; maar een bewijs is dit nog niet.
Wie kan helpen?
quote:Op zich kun je dat wel ongeveer gebruiken voor je bewijs. Het is een boom, dus er is een verbinding tussen die twee punten van graad 3 (bomen zijn immers verbonden). Voor die andere vier kanten (of lijnen) geldt dat daar een subboom aan vastzit die niet alleen maar knopen met graad > 1 kan hebben (dan krijg je cykels), dus je moet altijd op een los uiteindje uitkomen. (Die subbomen kunnen ook niet met elkaar in verbinding staan, want dan heb je ook cykels). Maar meestal staat er zo rond waar die vraag komt een stelling over bomen en knopen en kanten die je makkelijk kunt toepassen.
Ik ben op zoek naar een grafentheoretisch bewijs. Ik zit er nu enkele dagen op te staren maar ik kan het nog niet oplossen. Het gaat over "bomen".
Een boom heeft 2 punten met graad 3. Bewijs dat de boom minstens 4 punten van graad 1 heeft.
Als ik dit ga tekenen, 2 punten met graad 3 dmv een brug aan elkaar verbinden, en dan de andere 4 punten een eindpunt laten worden dan is dit direct duidelijk; maar een bewijs is dit nog niet.
Wie kan helpen?
Maar hoe kan ik dit nu wat formeler onder woorden brengen. Ik had dit idee zelf ook al wel, maar ik ondervind nog wat moeite om dit netjes onder woorden te brengen. Knopen staat niet genoemd. Wat bedoel je daar precies mee?
En je hebt sowieso een graaf in deze vorm:
| 1 2 3 4 5 | | | A-###-B | | # # |
Waarbij # een verzameling van punten en lijnen is. Dan kun je zo'n standaard grafentheoretisch verhaal ophangen als: Zijn A en B de twee punten met graad 3, met aan A incident de lijnen eA1,eA2,eA3 en aan B de lijnen eB1,eB2,eB3. Neem dan zonder verlies van algemeenheid aan dat, op grond van het feit dat een boom altijd verbonden is, het pad tussen A en B de vorm eA1...eB1 heeft. Beschouw nu het buurpunt van A aan de lijn eA2 met alle kinderen van dit punt (kinderen d.w.z. punten die ‘bereikbaar’ zijn vanaf A over de lijn A2); die punten vormen samen met A weer een boom. Daar gaat je eerste stelling voor op (maar A is één van die twee punten). En daar de overige gevallen symmetrisch zijn ben je dan klaar.
Op grond van je tekening is direct evident dat deze vier subbomen nooit met elkaar verbonden kunnen zijn i.v.m. cykels.
[ Bericht 0% gewijzigd door Iblis op 19-11-2008 21:25:24 ]
Dan nog iets waar ik niet uitkwam.
Het gaat om het aantal verschillende gelabelde oppannende bomen (mogen wel isomorf zijn) in de wielgraaf W4 en W5. Hierna het aantal onderling niet-isomorfe bomen van deze graaf?
Ik probeerde de stelling van cayley toe te passen maar dat mag alleen in volledige grafen. Dus ik wilde de bomen verdelen in subbomen met k spaken (k=1,2,...n). Maar toch lukt mij dit niet.
Zit ik op een goed spoor, of is een andere benadering handiger?
quote:Dat kan allemaal wel wat eenvoudiger dan met tekeningetjes (sowieso gevaarlijk om plaatjes als bewijs op te voeren).Op woensdag 19 november 2008 20:43 schreef Borizzz het volgende:
Ik ben op zoek naar een grafentheoretisch bewijs. Ik zit er nu enkele dagen op te staren maar ik kan het nog niet oplossen. Het gaat over "bomen".
Een boom heeft 2 punten met graad 3. Bewijs dat de boom minstens 4 punten van graad 1 heeft.
Als ik dit ga tekenen, 2 punten met graad 3 dmv een brug aan elkaar verbinden, en dan de andere 4 punten een eindpunt laten worden dan is dit direct duidelijk; maar een bewijs is dit nog niet.
Wie kan helpen?
Als v het aantal knopen in de boom is en e het aantal kanten, dan is e = v - 1. Verder is de som van de graden van de knopen gelijk aan 2e. Stel nu dat d knopen zijn van graad 1. Er is gegeven dat er 2 punten met graad 3 zijn. De overige v-d-2 punten hebben dus graad minstens 2. Totaal van de graden komt hiermee uit op minstens
d + 6 + 2(v-d-2) = 2v - d + 2 = 2(e+1) - d + 2 = 2e - d + 4.
Maar het totaal van de graden is 2e, dus d is minstens 4.
quote:Ik vind grafentheorie wel bij uitstek geschikt om plaatjes te maken. Jouw bewijs klopt natuurlijk (en is tamelijk elegant), maar als je het plaatje maakt zie je dat je die 2e - d + 4 krijgt vanwege de structuur van de graaf waarbij je altijd vier losse subboompjes hebt die vroeg of laat op een punt van graad 1 moeten uitkomen. Ook dat is niet helemaal mooi verwoord.
Dat kan allemaal wel wat eenvoudiger dan met tekeningetjes (sowieso gevaarlijk om plaatjes als bewijs op te voeren).
Maar enfin.quote:Ik zie geen tegenstelling. Plaatjes zijn uitermate geschikt om inzicht te krijgen maar in bewijzen moet je ze mijden.Op woensdag 19 november 2008 21:54 schreef Iblis het volgende:
[..]
Ik vind grafentheorie wel bij uitstek geschikt om plaatjes te maken. Jouw bewijs klopt natuurlijk (en is tamelijk elegant), maar als je het plaatje maakt zie je dat je die 2e - d + 4 krijgt vanwege de structuur van de graaf waarbij je altijd vier losse subboompjes hebt die vroeg of laat op een punt van graad 1 moeten uitkomen. Ook dat is niet helemaal mooi verwoord.
Verdraaid lastig.
quote:Als je begint dan zul je al wel zien dat er vanzelf types ontstaan. Je kunt een simpel pad hebben; je kunt een ster hebben; (maximaal graad 4 van 1 knoop) en je kunt een knoop met graad 3 hebben. Dan ben je al een aardig eindje op weg. Want hoe je graaf ook tekent, alle knopen zijn in principe symmetrisch.
Hoe kan ik het aantal opspannende bomen van K5 vinden? Er zijn er teveel om zo te tekenen en ik moet onderscheid maken in 3 typen bomen. Hoe werkt dit en hoe komt ik dan aan het aantal opspannende bomen per type boom? De stelling van Cayley mag ik niet gebruiken hierbij...
Verdraaid lastig.
Mooi dat had ik nog niet eens gezien.
Dan verder: bijvoorbeeld de ster: 1 punt met graad 4, en 4 punten met graad 1. Als ik van deze boom uitga, dan is er toch maximaal 1 opspannende boom, nl de ster zelf?
K5 moet 125 opspannende bomen hebben en er zijn 3 types. Ik kom daar al tellend nooit op uit.
(doel is dit toepassen op K6, maar ik probeer eerst de manier te leren dmv K5).
quote:Maar het maakt (voor een gelabelde graaf!) uit welk punt in het midden zit. De 'volgorde' van de punten van de ster is er niet. Maar:
Oke, dus kijken naar de graden van een aantal punten.
Mooi dat had ik nog niet eens gezien.
Dan verder: bijvoorbeeld de ster: 1 punt met graad 4, en 4 punten met graad 1. Als ik van deze boom uitga, dan is er toch maximaal 1 opspannende boom, nl de ster zelf?
K5 moet 125 opspannende bomen hebben en er zijn 3 types. Ik kom daar al tellend nooit op uit.
(doel is dit toepassen op K6, maar ik probeer eerst de manier te leren dmv K5).
| 1 2 3 4 5 | | | | b-c-d d-c-e b-d-c | | | e a e |
De eerste twee zijn gelijk natuurlijk, maar de 3e is wel degelijk anders.
Type 1: 1 punt met graad 4 en 4 punten met graad 1.
Dit type heeft een centrum. Voor een gelabelde graaf maakt het uit welk punt in het midden zit. Alle 5 punten kunnen in het centrum zitten. Er zijn dus 5 verschillende opspannende bomen.
Type 2: Drie punten graad 2, twee punten graad 2.
Dit is op één lijn na geen cykel. Ook hier maakt het weer uit welke punten graad 2 hebben en welke niet. Dit type heeft ook 5 mogelijkheden.
Type 3: 1 punt graad 3, 1 punt graad 2, 3 punten graad 1.
type 3 is een lijn met 4 punten en ergens een vertakking. Deze vertakking kan alleen bij de twee punten in het midden voorkomen. (Anders is het type 2). Dit type heeft ook 5 opspannende bomen.
Dit maakt samen 5x5x5=125 opspannende bomen voor K5.
quote:Type 2 is b.v.:
Ja ik weet; maar ik heb geen idee hoe ik bijv. het aatal bomen van bijv. type 2 anders zou kunnen vinden.
| 1 |
Of:
| 1 |
Bedenk, de boom is gelabelled, en er is natuurlijk geen enkele manier waarop je louter door draaien, spiegelen, of wat dan ook de eerste in de tweede kunt doen laten overgaan.
Volgens mij moet er dan heel veel mogelijk zijn:
abcde
acdeb
adebc
aebcd
bceda
cdeab
ceabe etc
dat wordt 5x4x3x2x1 = 120 mogelijkheden.
Maar dat kan natuurlijk nooit goed zijn.
Als ik bv A en E als uiteinde neem, zijn BCD in het midden. Dit kan op 2 manieren
Als ik B en C als uiteinde neem, zitten ADE in het midden. Ook 2 manieren
Als ik D en A als uiteinde neem zitten CBE in het midden. Ook 2 manieren.
Moet het op deze manier?
ABCDE
ABDCE
ACBDE
ACDBE
ADBCE
ADCBE
6 mogelijkheden dus. Immers, elk van die mogelijkheden is wel degelijk anders. In het eerste geval heeft B als buren A en C; dat heeft het nergens anders in deze 6 mogelijkheden. Kortom, ze zijn anders. Anders gesteld, je kunt ook met je 120 beginnen en daar het aantal mogelijkheden dat je dubbel telt vanaf trekken, en als je even nadenkt heb je zo door welke symmetrie daar een rol speelt; anderzijds kun je ook zo verder gaan en bedenken op hoeveel manieren je een uiteinde kunt kiezen.
Type 1 had er 5. dus voor type 1 en 2 samen 65. Klopt dit.
quote:Ja. Als je het berekent kun je stellen: Je hebt (5 boven 2) = 10 keuzes voor de uiteinden en dan 3! = 6voor erbinnenin, dat geeft 10 * 6 = 60. Of je hebt 5! voor het geheel, maar omdat het niet uitmaakt wat je als voor of achteraan beschouwt tel je ze dubbel, ofwel 120/2 = 60.
Oke, met AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE en DE als uiteinden. Dit levert 10x6=60 verschillende mogelijkheden voor type 2.
Type 1 had er 5. dus voor type 1 en 2 samen 65. Klopt dit.
Nu type 3: daar moet je ook even goed kijken welke knopen in feite dezelfde rol spelen.
Nu k6. Ik heb de voldende typen onderscheiden:
Type 1: 1 punt met graad 5, 5 punten met graad 1 -> 6 mogelijkheden
Type 2: 1 punt met graad 4, 3 punten met graad 2, 2 punten met graad 1
Type 3: 2 punten met graad 4, 2 punten met graad 2, 2 punten met graad 1.
Type 4: 2 punten met graad 3, 4 punten met graad 2
Type 5: 4 punten met graad 3, 2 punten met graad 2
Type 6: 5 punten met graad 2
Ook met je andere typen heb ik aardig wat problemen. En 5 punten met graad 2 lijkt me een Cykel op 5 punten geven. Sowieso geen boom, en geen 6 punten.
Deze graaf is onder te verdelen in verschillende typen.
Type 1: 1 punt met graad 5, 5 punten met graad 1.
Voor dit type zijn 6 opspannende bomen mogelijk.
Type 2: 1 punt met graad 4, 3 punten met graad 2, 2 punten met graad 1.
(6! /(3!*2!) = 60 mogelijke keuzes 3 keuzes voor punten met graden 2 en 4. Dan kan ik de punten met graad 3 op 3! Manieren rangschikken en de punten met graad 2 op 2! Manieren. Dus 60*2!*3! Is 720 mogelijke manieren voor type 2.
Maar dan ben ik al snel bij de 1296 mogelijkheden voor K6. Dusook hier klopt weer iets niet.
Maar idd er zit een cykel in. Niet bij stilgestaan.
Maar op welke systematische manier krijg ik dan alle typen van K6 wel bij elkaar?
quote:Gewoon tekenen. Je bent al begonnen met een punt met graad 5, dat is zoiets:
[ afbeelding ]
Maar idd er zit een cykel in. Niet bij stilgestaan.
Maar op welke systematische manier krijg ik dan alle typen van K6 wel bij elkaar?
| 1 2 3 4 5 | \ / d /|\ a b c |
Dan begin je eerst eens een punt met graad 4 te tekenen. Dan heb je zoiets:
| 1 2 3 4 5 | \ / d / \ a c |
En nu moet je knoop b nog ergens kwijt. Dat kan niet aan d, want dan heb je de situatie die je net al had, dus moet het aan een van de andere (maar dat is in feite symmetrisch) dus je krijgt altijd zo'n soort kruis:
| 1 2 3 4 5 6 7 | | b-c-d | e | f |
Het maakt hier dus uit welk punt op de plek van c zit, en welk punt op de plek van e zit.
Nu doe je hetzelfde voor de rest, maar dan begin je met een knoop met graad 3… en dan ga je weer kijken wat er kan gebeuren (hint: 3 typen), en dan uiteindelijk met een graaf met knopen met maximaal graad 2 (altijd een pad graaf).
ns zien of het nu lukt.
type 1: 1 punt met graad 5, 5 punten met graad 1. Totaal 6 mogelijkheden.
type 2: 1 punt met graad 4, 1 punt met graad 2, 4 punten met graad 1. Dit is het kruis dat al eerder getekend werd. Dit heeft 6! / 4! = 30 mogelijkheden.
type 3: 2 punten met graad 3, 4 punten met graad 1. Lijkt op de letter H. Totaal 6! / (4! * 2! ) = 15 mogelijkheden.
type 4: 1 punt met graad 3, 2 punten met graad 2, 3 punten met graad 1. Geeft 6! ( 3! * 2!) = 60 mogelijkheden.
type 5: 1 punt met graad 3, 2 punten met graad 2, 3 punten met graad 1. Lijkt op type 4, maar deze kan ook anders getekend worden. Ook 60 mogeljkheden dus.
type 6: 4 punten met graad 2, 2 punten met graad 1. Dus idd een pad. 6! / (4!*2!) is = 15 mogelijkheden.
Klopt dit. Volgens mij rammelt het mogelijkheden uitrekenen nog wat.
| 1 2 3 4 5 6 7 | | e | f | a |
Ofwel een T.
En type 5 is juist het kruis maar dan van de 'zijkant' (dit is relatief natuurlijk) eentje weggehaalt en bovenop gezet:
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | | a | c-d | e | f |
Mij helpt het een stuk als je zulke tekeningetjes maakt, want dan weet ik dat we het over hetzelfde hebben! Maar goed, los daarvan… je berekeningen van de aantallen kloppen absoluut niet inderdaad. Bijvoorbeeld type 5. Je neemt 1 punt voor plek d (6 mogelijkheden) dan is de rest het aantal dat je bij het vorige probleem al had opgelost: namelijk 60. Ofwel: 6 * 60 = 360.
Denk hier nog eens goed over na, en vertel anders even waarom je op de aantallen en de manier van berekeningen uitkomt als je komt. Gebruik die plaatjes, zeg b.v. "er zijn voor d zes mogelijkheden, en dan voor de rest", etc. Dan kan ik aanwijzen waar je fout gaat in je redeneringen.
[ Bericht 12% gewijzigd door Iblis op 20-11-2008 18:39:11 ]
Maar ik heb wat moeite met het vinden van de mogelijkheden per type. Dat is wat combinatoriek en dat is voor mij lang geleden.
Type 2 doe ik bv zo. Dit type heeft 4 punten met graad 1, 1 punt met graad 4 en 1 punt met graad 2. Dit kan ik als volgt noteren: 111142.
Dus 6! / 4!*2! volgorden om dit op te schrijven. Volgens mij heb ik dat op deze manier ooit geleerd.
Of pak je zoiets totaal anders aan?
| 1 2 3 4 5 6 7 | | b-c-d | e | f |
Neem type 2. Eerst doe ik een wat omslachtiger methode, maar enfin: punt c is 'uniek'. Punt a/b/d zijn echter equivalent. Als je a met b verwisselt in de tekening heb je geen nieuwe graaf. c heeft dan nog steeds als buren a, b, d, e. Dus daar verandert niets aan. Verwissel je echter a met f dan heb je wél een nieuwe graaf, want dan heeft c als buren f, b, d, e. Het gaat dus niet zo maar om de graad! Zo valt dus te zien dat a, b, d compleet verwisselbaar zijn. Het maakt niet uit in welke volgorde je daar die drie knopen stopt, alleen wélke drie. Nadat het middelste punt gekozen is (6 mogelijkheden) zijn er nog (5 boven 3) mogelijkheden om punten voor de zojuist genoemde posities te kiezen. Dan houd je nog 2 labels over voor de punten 'onderaan'. De volgorde van deze twee maakt uit natuurlijk. Dus, dat geeft in totaal: 6 * (5 boven 3) * 2! mogelijkheden = 6 * 5!/3! = 6 * 5 * 4 = 120 mogelijkheden.
Je kunt natuurlijk ook via een andere volgorde werken. Je kunt ook zeggen: Ik label eerst het pad dat hier als c,e,f staat: dat geeft me 6*5*4 mogelijkheden = 120. De drie punten die ik dan nog overhoud zijn allemaal symmetrisch dus de volgorde van toekenning maakt niet uit. Weer 120 mogelijkheden.
Je moet hier dus goed in de gaten houden welke punten 'verwisselbaar' zijn, en welke niet.
Ik heb die definitie van x boven y niet gehad vroeger, maar juist faculteiten.
maar als het middelste punt gekozen is, dan zijn er nog 5 plekken te vergeven. 3 zijn er equivalent en 2 niet. Geef volgens mij dus 5! /( 3! * 2! ) mogelijkheden?. Hier komt 10 uit. Dus ik zou zeggen in totaal 6 * 10 = 60 mogelijkheden.....
quote:Als het middelste punt gekozen is zijn er nog 5 te vergeven ja. Maar als je de labels voor de eerste 3 kiest, liggen die voor de andere 2 vast. Voor de eerste heb je (5 boven 3) = 5!/(2!3!) mogelijkheden. Dit is 'kiezen zonder herhaling, volgorde niet van belang'. Dus dat is inderdaad wat jij zegt.
Met 5 boven 3 bedoel je toch 5! / ( 3! * 2! ).
Ik heb die definitie van x boven y niet gehad vroeger, maar juist faculteiten.
maar als het middelste punt gekozen is, dan zijn er nog 5 plekken te vergeven. 3 zijn er equivalent en 2 niet. Geef volgens mij dus 5! /( 3! * 2! ) mogelijkheden?. Hier komt 10 uit. Dus ik zou zeggen in totaal 6 * 10 = 60 mogelijkheden.....
De groep van twee echter is ook niet equivalent (je zou dus ook kunnen stellen dat je een groep van 3, en 2 groepen van 1 moet kiezen); het maakt uit welke helemaal 'onderaan' het kruis komt, en welke erboven. Dus de volgorde van die twee elementen maakt wél uit. Dat geeft de 2!. Dus het totaal is: 6 * 5!/(3!2!) * 2! = 6 * 5!/3! = 6 * 5 * 4 = 120.
Nu ga ik type 3 eens proberen.
2 groepen punten: een groep van 4 punten die equivalent zijn en een groep van 2 punten die equivalent zijn.
Het gaat erom op hoeveel mogelijkheden 6 punten in groepen van 4 en 2 kunnen worden verdeeld.
Is dat niet ! / (4! * 2! ) = 15 mogelijkheden?
Als je begint te labellen met die punten van 2, dan maakt het niet uit of je ze 'a b' of 'b a' labelt: dat is equivalent. Maar, nadát je ze gelabeld hebt maakt het wel iets uit.
SPOILEROmdat ik hierna weg moet: Je hebt (6 boven 2) mogelijkheden om die twee punten te kiezen. Dat is 15. (= (6*5)/2!; en daarna maakt het uit welke twee je aan de ene toekent (welke twee je aan de andere toekent volgt automatisch) dus dat geeft (4 boven 2) = 4*3/2 = 6 mogelijkheden. In totaal heb je dus 15 * 4 = 90 mogelijkheden.
Type 4 geeft: 6 * (5 boven 2) * 3! mogelijkheden. (Kies die van graad 3, dan de twee losse boven aan (5 boven 2) dan 3! voor de staart.
Type 5 geeft 6!/2 mogelijkheden (kies de uitstekende 6 mogelijkheden, de andere is 5!/2)
De padgraaf geeft 6!/2 mogelijkheden. (Analoog aan vorige probleem met K5)
Maar ik moet zeggen dat ik het prettig vind dat je met mij samen de denkstappen doorneemt en niet gewoon de antwoorden. Daarom is de spoiler jammer. Samen met een kundige naar het antwoord toewerken werkt beter voor mij. Maar goed, aangezien je weg moet
Het idee is hetzelfde verder, alhoewel er soms meerdere manieren zijn om het antwoord te beredeneren.Maar nog de wielgraaf W4, en het aantal opspannende bomen daarvan.
Ik heb ee hint gekregen dat je moet werken met subgroepen met k spaken met k=1,2,3,4. Maar ik kom daar nog geen stap verder mee omdat ik niet begrijp wat er bedoeld wordt.
W4 heeft dan een centrum met erom heen 4 punten en 4 spaken.
De vraag gaat om een oplossing voor W4 en W5.... Te beginnen maar met W4...
Dus als er 1 spaak is:
-A in het centrum, B verbonden met A (dat is dus de spaak) en D, E en C zijn equivalent.
Aantal opspannende bomen 5 * (4 boven 3) ??
Ik kies eerst een centrum, 5 mogelijkheden daarvoor. Dan heb ik er nog 4 over, waarbij 3 equivalent en 1 niet.
D en E equivalent, A centrum dat zijn de punten met graad 2. B en C hebben dan graad 3.
Ik heb nog steeds geen idee hoe hier het aantal bomen kan worden berekend.
quote:Probeer eerst eens vast te stellen wat de vorm van de boom is met maar één spaak erin. (Of vormen)
Dat had ik idd al bedacht. Het gaat om gelabelde bomen.
Dus als er 1 spaak is:
-A in het centrum, B verbonden met A (dat is dus de spaak) en D, E en C zijn equivalent.
Aantal opspannende bomen 5 * (4 boven 3) ??
Ik kies eerst een centrum, 5 mogelijkheden daarvoor. Dan heb ik er nog 4 over, waarbij 3 equivalent en 1 niet.
quote:En een boom heeft geen cykels…Maar nog de wielgraaf W4, en het aantal opspannende bomen daarvan.
Uitgaande van een W4 met A als centrum en vier spaken naar B,C, D en E
A-B-C-D-E
Een pad dus. En die heeft 5! nogelijkheden.
A - B
|
D - E - C
Maar levert dat niet ook hetzelfde pad weer op.
Drie spaken
B - A - E - C
|
D
Vier spaken
B
|
D - A - C
|
E
quote:Een pad kan. Je telt wel weer dubbel. Want deze is niet anders dan de labelling met E in het centrum en B C D E op de hoeken. Maar er kan nog meer dan een pad. We zitten hier niet met een maximale graad, dus als je spaak A B pakt kun je beide buren van B opnemen in je boom.
nou dan zou ik er dit van kunnen maken?
Uitgaande van een W4 met A als centrum en vier spaken naar B,C, D en E
A-B-C-D-E
Een pad dus. En die heeft 5! nogelijkheden.
Bij vier spaken (hierboven) moeten B en E aan de A vastzitten. Maar dat komt niet goed in mijn post terecht...
quote:We hebben een graaf als deze dus:
Hmm.. ik zie niet in waar ik dubbel tel.
Bij vier spaken (hierboven) moeten B en E aan de A vastzitten. Maar dat komt niet goed in mijn post terecht...
| 1 2 3 4 5 | |\ /| | o | |/ \| o---o |
Even nog zonder labels. We kunnen hier een pad in vinden met één spaak door in het centrum te beginnen en dan naar een hoekpunt te gaan (ongeacht welke) en dan b.v. linksom of rechtsom te gaan. Dat levert het volgende labelloze pad op: o--o--o--o--o
Stel dat in het centrum A staat en we naar linkboven gaan, waar B staat, en dan rechtsom, C, D, E. Dan hebben we de opspannende boom: A--B--C--D--E.
Stel echter in het centrum E staat, en we naar linksboven gaan, waar D staat, en dan rechtsom, C, B, A. Dan hebben we de opspannende boom: E--D--C--B--A. Volstrekt identiek dus. Terwijl ze volgens jouw manier van berekenen elk apart worden meegeteld.
Twee spaken meenemen levert op A centrum, dan een tak naar B-C en een tak naar D -E.
Maar dit is toch ook een pad?
quote:Nee, ook niet 5… we hebben de berekening voor het aantal labellings van een pad van 5 toch al eens gedaan?
Ok, dus maar 5 mogelijkheden als we naar 1 spaak kijken.
B C
A
E D
Als k=1 dan is er 1 spaak die wordt meegenomen. Een opspannende boom heeft dan 60 mogelijkheden. Het was immers een gelabelde graaf en dus maakt het uit welk punt in het centrum is.
Als k=2 worden er 2 spaken in de opspannende boom meegenomen. Ook dit levert een pad op met wederom 60 mogelijke opspannende bomen.
Als k=3 dan worden er 3 spaken meegenomen in de opspannende boom. 0 mogelijkheden omdat ik dan een cykel krijg.
Als k=4 dan worden er 4 spaken meegenomen. De opspannende boom bestaat dan alleen uit spaken. 5 mogelijkheden omdat het uitmaakt welk punt in het centrum zit.
Samen dus 60+60+0+5 = 125 mogelijke opspannende bomen.
Bijvoorbeeld met 1 spaak kun je een pad krijgen, en je kunt iets krijgen als:
| 1 2 3 | | o-o-o-o |
Bij twee spaken kun je óók een pad krijgen (dus dat haalt niets uit). Je kunt ook bovenstaande weer krijgen. Maakt dus ook niet uit. Met drie spaken kun je géén pad krijgen. Wel bovenstaande. Haalt dus niets uit. Bij vier spaken krijg je een ster.
Dat zijn de drie basisvormen. Dan ga je kijken hoe je die kunt labellen.
- pad (60 mogelijkheden)
- reeks van 4 met en 1 punt met graad 2. Dit heeft dan 60 mogelijkheden?
quote:Ja. En dan die ster nog, en we zijn er.
Maar dan is het met 1 spaak mogelijk:
- pad (60 mogelijkheden)
- reeks van 4 met en 1 punt met graad 2. Dit heeft dan 60 mogelijkheden?
Ik ga uit van een wielgraaf met A in het midden en B,C,D, E op de hoeken.
B C
A
E D
Als k=1 dan is er 1 spaak die wordt meegenomen.
Een mogelijke opspannende boom is dan en pad. Een labeling van het pad is dan A-B-C-D-E. Het aantal mogelijkheden voor een opspannende boom is dan 60. mogelijkheden. Het was immers een gelabelde graaf en dus maakt het uit welk punt in het centrum is.
Ook is een volgende opspannende boom mogelijk
A-B-D-E
|
C
Dit type heeft 60 mogelijke opspannende bomen. Samen 120 opspannende bomen.
Als k=2 worden er 2 spaken in de opspannende boom meegenomen.
Ook dit levert een pad op met wederom 60 mogelijke opspannende bomen. Ook het andere type als onder k=1 is te krijgen, met 60 mogelijkheden.
Samen 120 opspannende bomen
Als k=3 dan worden er 3 spaken meegenomen in de opspannende boom. 60 mogelijkheden omdat alleen het type A-B-D-E voorkomt.
|
C
Als k=4 dan worden er 4 spaken meegenomen. De opspannende boom bestaat dan alleen uit spaken. 5 mogelijkheden omdat het uitmaakt welk punt in het centrum zit.
Samen dus 120+120+60+5 = 305 mogelijke opspannende bomen voor wielgraaf W4.
??? Maar k heb het gevoel dat ik nu weer alles dubbeltel.
Ik merk dat ik echt nog wat goed te maken heb met mogelijkheden uittellen. Wat telproblematiek dus.
Weet jij daar een cursus oid voor? T zit me namelijk niet zo lekker dat ik dat moeilijk blijf vinden.
quote:Nee, je komt gewoon op 125 uit. 60 + 60 + 5. Je hebt voor k = 1 al gevonden dat de opspannende boom een padgraaf kan zijn, die padgrafen van k = 2 maken dan niets meer uit, die moet je niet nog een keer meetellen. Een padgraaf blijft een padgraaf…
Dus mijn afsluitende verhaal klopt wel?
Ik merk dat ik echt nog wat goed te maken heb met mogelijkheden uittellen. Wat telproblematiek dus.
Weet jij daar een cursus oid voor? T zit me namelijk niet zo lekker dat ik dat moeilijk blijf vinden.
Ik zou naar je universiteitsbibliotheek gaan en een boek over combinatoriek uit de kast vissen, of je docent vragen welk boek hij gebruikt/aanraadt. Zelf heb ik met Discrete Mathematics van Biggs gewerkt.
W5 laat ik maar even liggen tot morgen
Bedankt!
quote:Is het niet de bedoeling dat je dit zonder hulp van anderen doet?
Heey, ik heb nu mijn Wiskunde A-lympiade 21 nov. 2008 Voorronde opdracht voor me. Het heet Evacuatie. Meer mensen die er nu mee bezig zijn? Want ik snap opdracht 4 niet en de opdracht is te lang om het hier te typen... Mensen die me hierbij kunnen helpen?
quote:Hij doet de ParA-lympiade voor mensen met een wiskundige handicap.Op vrijdag 21 november 2008 10:38 schreef Iblis het volgende:
[..]
Is het niet de bedoeling dat je dit zonder hulp van anderen doet?
Ikl vraag hier niet om de antwoorden maar om uitleg!
quote:Ik denk dat de mensen die je kunnen antwoorden voorlopig nog bezig zijn met de voorronde van de Wiskunde A-lympiade. Als je toch anderen kunt vragen, is het dan niet het handigst om je docent te vragen?Op vrijdag 21 november 2008 10:46 schreef Rainb0ws het volgende:
Ja precies... nog sociale(re) mensen die kunnen helpen? het gaat me hier echt om mijn P.O. cijfer en niet om zown wedstrijd waar ik toch niet aan mee wil doen. [ben nooit goed geweest in Wiskunde]
Ikl vraag hier niet om de antwoorden maar om uitleg!
Het gaat om een volledige tweedelingsgraaf K2,4.
Deze graaf bestaat uit twee punten a en vier punten b.
Een paar van de vragen erover.
1) Hoeveel opspannende bomen zijn er als de graad van 1 punt van a gelijk is aan 1.
Ik denk dan dat het andere punt van a de graden 1 t/m 4 moet kunnen hebben. Vier punten b hebben graad 1, of 3 punten b hebben graad 1 en eentje graad 2. Dit zijn de mogelijke opties. Maar hoe kan ik nu door handig tellen het aantal opspannende bomen vinden?
2)
Toon aan dat K2,4 12 opspannende bomen heeft als de graad van één punt van a gelijk is aan 2. Ik heb er veel uitgetekend en ook hier geldt weer dat dit het antwoord onder 1) is + het aantal opspannende bomen als beide punten a graad 2 hebben, een punt a graad 3 en een punt a graad 4. Maar weer: het handig tellen lukt me niet.
3)
Dit moet door 1) en 2) te combineren het totaal aantal opspannene bomen opleveren voor K2,4. Kan dit gewoon door een optelling van de antwoorden bij 1) en 2)? Of moet dan graad 3 en 4 erbij komen?
4)
Sommatieformule vinden voor het aantal opspannende bomen van K2,x. Dus nu in het algemeen... Maar aangezien ik 1) en 2) nog niet vinden kan lukt dit nog niet.
Je weet dat een boom op 6 punten 5 lijnen moet hebben. Heb je dus één van je punten a graad 1 gegeven, dan moeten de overige vier lijnen op het andere punt a uitkomen. Er is dan één b-punt dat graad 2 heeft. Welk b-punt dat is bepaalt het aantal mogelijkheden (samen met welk a-punt graad 1 heeft, en welke graad 4).
Voor onderdeel 2 geldt een soortgelijke constatering: als één punt graad 2 heeft, heeft het andere punt graad 3. En er is wederom 1 b-punt met graad 2. Jij stelt daar ook een situatie waarin punt a graad 4 heeft – maar daar kan ik me niets bij voorstellen. Als je een punt a met graad 2 en een punt a met graad 4 hebt, dan heb je sowieso zes lijnen in je graaf, en dat moet een cykel geven op 6 punten.
Ik heb de graaf ongeveer zo: a1 is het punt met graad 1, a2 is het andere punt.
a1 - b1 - a2
b2
b3
b4 (invoeren lukt niet helemaal, de b-punten moeten allemaal onder elkaar)
Boom bevat maximaal 5 lijnen, anders heb ik een cykel. Dus als a1 vast staat op graad 1, kom ik niet verder dan 4 mogelijkheden omdat b1, b2, b3 ,b4 allen een keer graad 2 kunnen hebben. Dit correct voor onderdeel 1?
quote:Je wilt het aantal opspannende bomen berekenen. Als je dan stelt dat alleen punt a1 graad 1 mag hebben dan mis je alle situaties waarin punt a2 graad 1 heeft…
Omdat ik de punten goed uit elkaar wil houden...
a1 zit vast aan graad 1. Of is het dan zo dat meer punten b graad 2 kunnen hebben?
Ik heb nu dit als idee:
Het aantal opspannende bomen van K2,4 met als voorwaarde (a1)=1.
Dit houdt in dat a1 maar verbonden mag zijn met één punt b. Verder heeft een boom die bestaat uit 6 punten 5 lijnen. Een van die lijnen gaat naar punt a1. Dus: de overige 4 lijnen gaan allen naar a2. A2 heeft dus graad 4. De punten b hebben dan graad 1 of graad 2. Het hangt er nu alleen nog van af welk punt b graad 2 heeft. Aangezien er 4 punten b zijn, zijn er dus ook 4 mogelijke opspannende bomen.
| 1 2 3 4 5 6 7 | __/ / --b2 | / || --b3 ||/ a2---b4 |
Maar dit is er net zo goed een:
| 1 2 3 4 5 6 7 8 | ||\ || \-b2 | \ \ \-b3 \ \ a2---b4 |
Zijn deze anders? Ja! Want in het ene geval heeft a1 graad 4, en in het andere geval heeft a2 graad 4.
quote:Oké, dan was je onnauwkeuring in je probleemformulering. Want je zei eerst: Hoeveel opspannende bomen zijn er als de graad van 1 punt van a gelijk is aan 1. En 1 punt van a zou ik zeggen is óf a1 óf a2… Maar als het alleen a1 is, dan klopt het inderdaad wat je zegt.
Maar in deze opdracht moet a1 graad 1 hebben. Dus dan is het toch altijdzo dat a2 graad 4 heeft...
a1 zit vast aan graad 1. Of is het dan zo dat meer punten b graad 2 kunnen hebben?
Ik heb nu dit als idee:
Ik zal proberen wat nauwkeuriger te zijn.
Dus we zijn het eens dat als a1 graad 1 heeft (en dat staat vast) dat het aantal opspannende bomen dus 4 is.
nu de vervolg vraag:
2) Nu is gegeven dat a1 graad 2 heeft en ook dat is een vast gegeven. Gevraagd is weer (voor de afwisseling!) het aantal opspannende bomen:
Ik heb dan dit als antwoord:
Ook hier geldt weer dan de boom bestaat uit 5 lijnen. Als a1 graad 2 heeft, betekent dit dat a2 graad 3 heeft (als de graad van a2 lager is dan is het geen samenhangende graaf meer, en als de graad hoger is heb ik teveel lijnen en een cykel in de boom). Er mag net als in 1) maar één punt b zijn met graad 2, de rest van de punten b hebben graad 1.
Het gaat er nu om uit te rekenen op hoeveel manieren a1 met de 4 punten b kan worden verbonden en hetzelfde voor punt a2. Dus 4!/(2!*1!*1!) 4 boven 2 is 12 mogelijke opspannende bomen.
Je ziet dat ik probeer uitgebreid een antwoord te geven. Aangezien ik ervan wil leren. Ook over dit onderdeel zal weer (over een paar maanden een tentamen volgen, en dus wil ik de onderste steen boven.)
Bij 2 is je redenatie correct. De berekening zelf vind ik echter wat warrig, ik zou zeggen: Het gaat er nu om uit te rekenen op hoeveel manieren a1 met de 2 van de 4 punten b kan worden verbonden. Dit geeft (4 boven 2) = 4!(2!2!) = 6 mogelijkheden (ik snap niet helemaal hoe jij aan je 1! 1! komt). Dat de andere twee niet-verbonden punten van b met a2 moeten worden verbonden is evident. Dan is echter voor de 5e lijn nog de keus met welke van de twee punten die ook met a1 verbonden zijn je deze verbindt. Dat geeft 2 mogelijkheden, dus totaal: 2 * (4 boven 2) = 12. (Je antwoordt klopt dus, maar ik volg je berekening niet geheel.)Voor 3 geldt dat je niet simpelweg door optelling tot het antwoord komt, maar je bent vrij dichtbij.
Bij 3) is het de volgende vraag: bepaal nu door systematisch tellen het aantal opspannende bomen bij K2,4.
Mijn oplossing gaat dan als volgt:
De aantallen opspannende bomen die onder 1) en 2) zijn berekend zijn symmetrisch ware het niet dat het een gelabelde graaf is. Het totale aantal opspannende bomen uit 1) en 2) is dus 4+12=16. Vanwege symmetrie geldt dat voor een gelabelde graaf K2,4 geldt dat het belangrijk is welk punt waar staat. Dus 2*16= totaal 32 opspannende bomen voor een gelabelde graaf K2,4
4) De sommatieformule voor het totaal aantal opspannende bomen van een gelabelde tweedelingsgraaf K2,x
Eerst een inventarisatie van wat ik al weet:
K2,1 heeft 1 opspannende boom
K2,2 heeft 4 opspannende bomen
K2,3 heeft 12 opspannende bomen
K2,4 heeft 32 opspannende bomen
Maar ik kan hier niet zomaar een regelmaat in vinden. Sommatie zegt mij dat ik bv de vorige moet optellen dus
(ik probeer maar wat)
voor K2,3 wordt dat 1+4 =5 , maar nu van de 5 naar 12 toe (*2 en dan +2)
voor K2,4 wordt dat 1+4+12=17 en van 17 naar 32 toe (*2 en dan -2)
maar dit zie ik nog niet.
Men neme de graaf K2,x. Dan heb je de volgende mogelijkheden: Punt a1 heeft graad 1, heeft graad 2, heeft graad 3, heeft graad 4, heeft graad 5, etc. Als punt a1 graad p heeft, hoeveel mogelijkheden zijn er dan om p punten uit de x punten te kiezen? Op hoeveel verschillende manieren kunnen nu de overige lijnen nog neergelegd worden? Kun je zo'n uitdrukking vinden in termen van p en x?
Zo ja, sommeer dan over p. (Die formule kent een vereenvoudiging trouwens.)
Maar goed. Afleiden.
K2,x. dus 2 punten a en x punten b.
a1 heeft graad p. dat wordt dan x! /(x-p)!*p! ?
quote:Dat is een tamelijk lastige onderneming als je een uitdrukking hebt die gegeven wordt door iets moeilijkers dan een lineaire relatie.
Vreemd toch heb ik ooit geleerd om het op deze manier aan te pakken.
[/quote]
quote:Voor wat precies? En staan je haakjes goed?a1 heeft graad p. dat wordt dan x! /(x-p)!*p! ?
dit zou zijn het aantal manieren waarop a1 met x punten b kan worden verbonden.
als dit klopt is er het omgekeerde voor a2, want a2 wordt verbonden met punten b die niet aan a1 vast zitten?
quote:Niet het omgekeerde voor a2,van de (x - p) niet verbonden punten is duidelijk dat ze allemaal met a2 verbonden moeten worden. Daar is geen keus voor. Er blijft dan nog maar één lijnstuk over waarvoor wat te kiezen valt. Je keus voor a1 forceert dus op één lijn na een keus voor a2. (Zie m'n uitleg over K4,2)
x! / ( (x-p)! * p! )
dit zou zijn het aantal manieren waarop a1 met x punten b kan worden verbonden.
als dit klopt is er het omgekeerde voor a2, want a2 wordt verbonden met punten b die niet aan a1 vast zitten?
Dus dan kom ik op: x! / ( (x-p)! * p! ) * x als aantal opspannende bomen. Voor K2,x
quote:Niet helemaal. a1 heeft graad p. Dus kun je a1 op (x boven p) = x!(p!(x-p)!) manieren verbinden met punten van b. Voor a2 ligt de keus op één lijn na dan vast. Maar die ene lijn moet verbonden worden met één van de punten die nu met a1 verbonden is (anders zou je een dubbele lijn krijgen en geen verbonden graaf): je hebt dus p mogelijkheden daarvoor. En dat geeft dat het aantal mogelijkheden waar bij punt a1 graad p heeft gelijk is aan:
Ja, inderdaad; dat ene lijnstuk waar nog wat voor te kiezen valt maakt er juist een boom van. Daarvoor zijn x opties (er waren immers x punten b).
Dus dan kom ik op: x! / ( (x-p)! * p! ) * x als aantal opspannende bomen. Voor K2,x
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:21:35 ]
Inderdaad p mogelijkheden... steeds blijven denken dat het een boom is.
Maar dit is nog geen sommatieformule toch?
quote:Nee, dat klopt. Maar je hebt nu een uitdrukking voor het geval dat a1 graad p heeft. Gaan we nu terug naar K4,2 dan zien we dat a1 of graad 1 kan hebben, of graad 2, of graad 3 of graad 4, als we dat invullen vinden we dus dat we moeten krijgen:
Dan krijg ik dus x! / ( (x-p)! * p! ) * p als aantal opspannende bomen.
Inderdaad p mogelijkheden... steeds blijven denken dat het een boom is.
Maar dit is nog geen sommatieformule toch?
En dit is gelijk aan: 1*4 + 2*6 + 3*4 + 4*1 = 4 + 12 + 12 + 4 = 32.
In het algemene geval luidt de somformule dus…
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:20:33 ]
quote:Ja, typefoutje, maar het is natuurlijk volkomen identiek.
met p loopt van 1 naar x?
En als we dan eens kijken voor x = 4: 4*23 = 32; voor x = 3: 3*22 = 12, voor x = 2: 2*2 = 4. Het klopt als een zwerende vinger met wat je gevonden hebt. Maar, dit verband was lastig te vinden geweest door alleen naar het rijtje te kijken (denk ik).
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:21:40 ]
Mooi zeg
Elegant.Maar hoe kom jij van de sommatie naar de formule. Is dat een kleine stap?
De wielgraaf W4, aantal opspannende bomen tellen. Dit werkte met subgroepen met spaken 1,2,3, 4 achtereenvolgens.
Wielgraaf heeft A in het midden, linksboven B, rechtsboven C, rechtsonder D en linksonder E.
k=1
2 mogelijkheden voor een boom:
1) pad van het type A-B-C-D-E 60 opties
2) boom A - B en dan een tak met E-D en een tak met -C. 60 opties.
Samen 120 mogelijke subbomen.
k=2
levert zelfde typen op die al geteld zijn.
je zou kunnen proberen een subboom te maken waarin beide spaken voorkomen maar dit levert óf een cykel óf het pad dat ik al heb geteld.
k=3
zelfde redenering als onder k=2. niets nieuws onder de zon
k=4
A is dan uniek, B,C, D en E uniek. Dus 5 nieuwe mogelijkheden als subboom.
Gevolg: 60+60+5=125.
Cayley zegt zelf ook dat het 53 =125 bomen moeten worden.
Hoe kwam je van de sommatie tot de formule? Is dit gewoon wat getallen invullen en het verband nu vinden?
[ Bericht 12% gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:21:46 ]
quote:Dan lijkt me dat correct.
Het is een gelabelde graaf, ja. Labels liggen niet vast, het gaat puur om het aantal mogelijke bomen. A hoeft niet altijd het centrum te zijn. Bij k=4 zie je ook dat B,C,D, E als centrum kunnen fungeren.
Cayley zegt zelf ook dat het 53 =125 bomen moeten worden.
quote:Nee, dit is een 'vaste' formule. Hij is wel af te leiden trouwens. Als je het binomium van Newton neemt:
[ afbeelding ]
Hoe kwam je van de sommatie tot de formule? Is dit gewoon wat getallen invullen en het verband nu vinden?
En nu invult y = 1, krijg je:
Differentieer nu beide zijden naar x:
Vul nu ‘x = 1’ in:
Dus:
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:21:50 ]
Het gaat om een fibonacci graaf.
T(0) heeft 1 punt
T(1) heeft 1 punt
als n groter gelijk aan 3 geldt voor T(n) dat T(n-1) is linker deelboom en T(n-2) is rechterdeelboom. Elk punt heeft dus maximaal 2 onderburen.
Gevraagd is een formule voor het aantal eindpunten.
Ik heb dat gedaan met recurrente betrekking:
Dus:
T1=1
T2=1
T3=1+1 = T2+T1 = 2
T4=2+1 = T3+T2 = 3
T5=3+2 = T4+T3 = 5
T6=5+3 = T5+T4 = 8
T7=8+5 = T6+T5 = 13
Geeft mij: Tn= Tn-1+Tn-2.
Maar is dit het nu? Volgens mij ben ik zo klaar...of vergeet ik wat..
quote:Het lijkt mij, ook als je het uittekent, zo te kloppen, behalve dat je van T(0) en T(1) als basis overgaat naar T(1) en T(2).
Deze vraag lijkt me simpel. Té simpel.
Het gaat om een fibonacci graaf.
T(0) heeft 1 punt
T(1) heeft 1 punt
als n groter gelijk aan 3 geldt voor T(n) dat T(n-1) is linker deelboom en T(n-2) is rechterdeelboom. Elk punt heeft dus maximaal 2 onderburen.
Gevraagd is een formule voor het aantal eindpunten.
Ik heb dat gedaan met recurrente betrekking:
Dus:
T1=1
T2=1
T3=1+1 = T2+T1 = 2
T4=2+1 = T3+T2 = 3
T5=3+2 = T4+T3 = 5
T6=5+3 = T5+T4 = 8
T7=8+5 = T6+T5 = 13
Geeft mij: Tn= Tn-1+Tn-2.
Maar is dit het nu? Volgens mij ben ik zo klaar...of vergeet ik wat..
quote:Ik zou zeggen dat voor punt P = (xP, yP) geldt dat voor een zekere t geldt x(t) = xP en y(t) = yP en daarnaast dat de richting wordt gegeven door dy/dx van die kromme.
Als we kijken naar een parametervoorstelling van een punt P (bijv. x(t) = sin(t) en y(t) = cos(t), wat is dan de definitie van 'P raakt de lijn l'?
quote:Ja, die is er, en er zijn verschillende technieken om van een recurrente betrekking naar een gesloten uitdrukking te komen (meestal breng je je betrekking in een vorm die je 'weet', maar de Fibonaccigetallen zijn zo'n vorm). Zie het Wikipedia-artikel over Fibonaccigetallen.
ow ja... weer eens onnauwkeurig. Maar ik heb nu een recurrente betrekking afgeleid. Kan ik dit zien als formule? En is er anders een manier om van een recurrente betrekking over te stappen naar een formule?
als dat zo is ga ik even op onderzoek uit naar het waarom.
quote:Nee. Je moet die formule hebben met die wortel 5 erin en zo.
Dus ik kan zeggen dat Tn= Tn-1+Tn-2 hetzelfde is als n2 -n-1=0 ?
als dat zo is ga ik even op onderzoek uit naar het waarom.
quote:Ik neem aan x(t) = sin(t) + 1. Is dat de y-as raken? Ik zou zeggen van niet, als ik die afbeelding al een raaklijn zou geven zou dat een horizontale zijn, niet een verticale.
Jouw definitie is sowieso onvolledig, maar laat je licht eens schijnen over deze situatie: stel nu dat je de y-as als lijn neemt, x(t) = sin(x)+1, y(t) = 0. Ofwel iets dat zich over de x-as beweegt en steeds de y-as aantikt. Is dat raken?
Dan lijkt mij dat dit ook geldt voor Tn= Tn-1+Tn-2, want dat is hetzelfde als Tn-1+Tn-2 - Tn.
Zo kwam ik daarop...
Je moet dat ding zien als functie van de tijd zou ik zeggen, en niet wat je krijgt als je alle posities over de tijd als lijn zou pakken. Maar misschien heeft iemand anders nog licht om hierover te schijnen
quote:Nee, ze zeggen dat dat de genererende functie is van de recurrente betrekking.
Er staat dat F(n+2) - F(n+1) - F(n) =0 gelijk is aan x2 -x -1 =0.
Dan lijkt mij dat dit ook geldt voor Tn= Tn-1+Tn-2, want dat is hetzelfde als Tn-1+Tn-2 - Tn.
Zo kwam ik daarop...
Is de uitdrukking die jij wilt hebben, met
(Phi is de guldensnede)
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:21:57 ]
[ Bericht 100% gewijzigd door Borizzz op 24-11-2008 23:34:55 ]
quote:Maar beschouw je dan feitelijk niet eerder de functie met y(t) = t?
sin(t) ja
Je moet dat ding zien als functie van de tijd zou ik zeggen, en niet wat je krijgt als je alle posities over de tijd als lijn zou pakken. Maar misschien heeft iemand anders nog licht om hierover te schijnen
quote:Ik snap je opmerking niet; x(t)=sin(t) en y(t)=t? Nee, want als je die in de tijd bekijkt dan schiet hij omhoog en zie je hem nooit meer terug, en kruist hij de y-as op t=0 als t negatief mag zijn.Op maandag 24 november 2008 23:21 schreef Iblis het volgende:
[..]
Maar beschouw je dan feitelijk niet eerder de functie met y(t) = t?
quote:Ik zou even de notatie I(n) = I(n-1) + I(n-2) + 1 gebruiken, maar dan lijkt het me correct. Ook als je het beredeneert: Immers, alle interne punten blijven interne punten, maar er komt één nieuw punt (de 'wortel') bij.
Geldt voor het aantal inwendige punten (niet eindpunten dus) in de fibonacci boom deze recurr. betrekking?
I1=0
I2=0
I3=0+0+1 = I2+ I1 +1 = 1
I4=1+0+1 = I3+ I2 +1 = 2
I5=2+1+1 = I4+ I3 +1 = 4
I6=4+2+1 = I5+ I4 +1 = 7
I7=7+4+1 = I6+ I5 +1 = 12
en dus:
In=In-1+ In-2 +1
quote:Ja precies zo had ik het inderdaad ook uitgetekend en bedacht.Op maandag 24 november 2008 23:26 schreef Iblis het volgende:
[..]
Ik zou even de notatie I(n) = I(n-1) + I(n-2) + 1 gebruiken, maar dan lijkt het me correct. Ook als je het beredeneert: Immers, alle interne punten blijven interne punten, maar er komt één nieuw punt (de 'wortel') bij.
Klopt dus
[ Bericht 70% gewijzigd door Borizzz op 24-11-2008 23:34:35 ]
quote:Ja, dat snap ik, maar aangezien je zegt 'je moet dat ding als functie van de tijd beschouwen' (van mijn part maak je er dan een drie-dimensionale kromme van), maar het 'beeld' dat ik erbij krijg is dat je in feite de functie zou willen beschouwen (wat de afgeleide aangaat) als of je y(t) = t in ogenschouw neemt. Of heb je niet het idee dat volgens je oorspronkelijke functie de y-as 'geraakt' zou moeten worden?
Ik snap je opmerking niet; x(t)=sin(t) en y(t)=t? Nee, want als je die in de tijd bekijkt dan schiet hij omhoog en zie je hem nooit meer terug, en kruist hij de y-as op t=0 als t negatief mag zijn.
En bedoel je niet dat hij de x-as kruist? De y-as kruist hij met deze definitie sowieso omdat sin(t) < 0 voor pi < t <2pi.
Ik heb een rij van 12 cijfers. Elk cijfer is minimaal 1 en maximaal 6, en elk cijfer komt precies 2x voor in de rij. Hoeveel mogelijke rijen kan je hiermee maken?
Bijvoorbeeld:
112233445566 is een rij
123456123456 is ook een rij
123412345665 is ook een rij
Wie weet hoe je dit berekent? Alvast bedankt
quote:12! / 2^6Op dinsdag 25 november 2008 16:12 schreef dottinator het volgende:
Niet echt een huiswerk vraag maar wel iets waar ik ff antwoord op moet hebben. Kansrekening is voor mij alweer een paar maanden geleden..
Ik heb een rij van 12 cijfers. Elk cijfer is minimaal 1 en maximaal 6, en elk cijfer komt precies 2x voor in de rij. Hoeveel mogelijke rijen kan je hiermee maken?
Bijvoorbeeld:
112233445566 is een rij
123456123456 is ook een rij
123412345665 is ook een rij
Wie weet hoe je dit berekent? Alvast bedankt
12! want je zet twaalf getalen in een vaste volgorde
/ 2^6 want elk paar kun je vrij omwisselen, en je hebt dezelfde combinatie
quote:Je moet afgaan hoeveel getallen er per plek kunnen:
Niet echt een huiswerk vraag maar wel iets waar ik ff antwoord op moet hebben. Kansrekening is voor mij alweer een paar maanden geleden..
Ik heb een rij van 12 cijfers. Elk cijfer is minimaal 1 en maximaal 6, en elk cijfer komt precies 2x voor in de rij. Hoeveel mogelijke rijen kan je hiermee maken?
Bijvoorbeeld:
112233445566 is een rij
123456123456 is ook een rij
123412345665 is ook een rij
Wie weet hoe je dit berekent? Alvast bedankt
1e getal: 6
2e getal: 6
3e getal: 5
4e getal: 5
...
enz
quote:dat werkt niet, want dan zit je met voorwaardelijke kansenOp dinsdag 25 november 2008 16:39 schreef Flaccid het volgende:
[..]
Je moet afgaan hoeveel getallen er per plek kunnen:
1e getal: 6
2e getal: 6
3e getal: 5
4e getal: 5
...
enz
als het eerste getal 1 is en het tweede getal ook 1, heb je voor het derde getal idd maar 5 keuzes meer
maar als het eerste 1 is en het tweede 2, dan het je voor het derde getal nog steeds 6 keuzes
Wat placebeau zegt is correct, je hebt voor plek 1 12 mogelijkheden, dan 11 voor plek 2, dan 10 voor plek 3; enz. Dus 12!, maar daar moeten de dubbelen vanaf.
Edit, ik ben echt te traag vandaag…
quote:Ok ik wis thet niet zeker. Weer wat geleerd.
Wat je schrijft leidt niet tot 2x6! maar tot (6!)^2; en dan nog is het niet per se correct. Als je op plek 1 een '1' pakt en op plek 2 een '2' heb je nog steeds 6 mogelijkheden voor plek 3.
Wat placebeau zegt is correct, je hebt voor plek 1 12 mogelijkheden, dan 11 voor plek 2, dan 10 voor plek 3; enz. Dus 12!, maar daar moeten de dubbelen vanaf.
Edit, ik ben echt te traag vandaag…
(laat maar weet het al)
[ Bericht 23% gewijzigd door #ANONIEM op 25-11-2008 20:15:20 ]
2 sin x = -1
Ik heb gepuzzeld met cijfers, maar kom er niet uit. Kan iemand mij wellicht helpen?
Ow ja: range = 0 < x < 2pi
quote:Dáár kon ik zeer zeker wat mee! Is dat een algemene regel?Op donderdag 27 november 2008 20:12 schreef GlowMouse het volgende:
sin(x) = -1/2. Misschien kun je hier wat mee.
Dus: y sin(x) = f -> sin(x) =f/y
Kan ik dat zo zeggen?
quote:Je mag beide leden van een vergelijking door hetzelfde getal delen, maar dat wist je toch wel?Op donderdag 27 november 2008 20:16 schreef Mr-Sander het volgende:
[..]
Dáár kon ik zeer zeker wat mee! Is dat een algemene regel?
Dus: y sin(x) = f -> sin(x) =f/y
Kan ik dat zo zeggen?
quote:Ah, kut. Dat wist ik inderdaad welOp donderdag 27 november 2008 20:22 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je mag beide leden van een vergelijking door hetzelfde getal delen, maar dat wist je toch wel?
Ik vermoed dat het met de substitutiemethode moet, maar ik kom geen steek verder....
Alvast bedankt
quote:Kies een substitutie:Op donderdag 27 november 2008 20:43 schreef WyBo het volgende:
Hey, ik zit te tobben met de volgende integraal:
[ afbeelding ]
Ik vermoed dat het met de substitutiemethode moet, maar ik kom geen steek verder....
Alvast bedankt
t3 = z, ofwel z = t3
Dan is:
dz/dt = 3t2, ofwel dt = dz/3t2
Een parabool is een kegelsnede. Dat weet iedereen.
Een lijn ligt vast met 2 punten.
Een kegelsnede ligt vast als je 5 punten weet. Waarom precies 5?
Tijdens een cursus projectieve meetkunde van een tijd terug vroeg ik me dit al af, maar ben daar nooit echt achter gekomen...
quote:Als ik je goed begrijp is zeg je:"Als 5 is het minimum aantal punten voor de preciese kegelsnede te weten"?
Iets anders
Een parabool is een kegelsnede. Dat weet iedereen.
Een lijn ligt vast met 2 punten.
Een kegelsnede ligt vast als je 5 punten weet. Waarom precies 5?
Tijdens een cursus projectieve meetkunde van een tijd terug vroeg ik me dit al af, maar ben daar nooit echt achter gekomen...
Teken b.v. twee punten. Daar kun je maar één lijn doorheen trekken, maar je kunt er wel meerdere parabolen doorheen trekken. Met een derde punt kun je nog maar één berg of dalparabool tekenen, maar je kunt nog wel een ‘op z'n kant liggende parabool’ door die drie punten tekenen. Met vier punten kun je ook nog meerdere ellipsen tekenen. Een vijfde punt legt pas alles vast.
Wolfram heeft een demonstratie online staan, moet je wel hun player downloaden.
Maar Iblis, je stelt dat een kegelsnede een cirkel, ellips of een parabool kan zijn. Volgens mij valt een hyperbool ook onder de kegelsnede.
quote:Klopt.
Hmm.. mooie demonstratie.
Maar Iblis, je stelt dat een kegelsnede een cirkel, ellips of een parabool kan zijn. Volgens mij valt een hyperbool ook onder de kegelsnede.
ik zit hier wat bij te leren over "exterior products" van vectorruimten over velden. Nu meestal wordt dat gedefinieerd op formele wijze (alle mogelijke symbolen, "op de volgende relaties na") maar daar hou ik allemaal niet van....
Dat vind ik vuil. 
Er zou dus een "categorical" manier zijn om dat te definiëren: EEN uitwendig product van een vectorruimte V zou een vectorruimte E zijn, samen met een alternerende bilineaire vorm alpha van VxV naar E, zodanig dat er voor iedere alternerende vorm f op V een unieke functionaal g bestaat op E, zodanig dat de afbeeldingen f en g na alpha gelijk zijn (een commuterend diagram dus)
Nu is dat EEN uitwendig product. Er is er vast maar één, dus is er waarschijnlijk een stelling die zegt:
Als (E1,alpha1) en (E2,alpha2) een uitwendig product op V bepalen, dan is er een unieke lineaire afbeelding w van E1 naar E2, zodanig dat w na alpha1=alpha2.
(Mijn beperkte ervaring met categorietheorie geeft me toch dat gevoel).
Mijn vragen nu:
- klopt dit?
- hoe kan ik het bewijzen?
Als het klopt, lijkt het me toch niet zo evident. Niet elke vector in die E1 is te schrijven als alpha(v1,v2) (maar waarschijnlijk spannen de vectoren van de vorm alpha(v1,v2) samen wel heel E1 op).
Hoe zou ik zo'n w van E1 naar E2 kunnen construeren?
Dus hoe komen ze aan die 36x? Ik ben hier niet al te goed in, dus wellicht een erg domme vraag. Maar wat hulp zou fijn zijn
[ Bericht % gewijzigd door motorbloempje op 01-09-2013 21:22:14 ]
quote:Op zondag 30 november 2008 17:31 schreef thabit het volgende:
Als je in de formele definitie het volgende inplugt: E = E1, alpha = alpha1, f = alpha2, dan kun je w gelijk nemen aan de functie g uit de definitie.
Ben je daar zeker van? Hoe werkt dat dan? f moest een functionaal zijn naar het veld waarover we de ruimte V beschouwen.quote:Ok dankjewel, ik dacht dat je alles apart moest kwadrateren dus vandaarOp zondag 30 november 2008 18:24 schreef -J-D- het volgende:
(3x+6)2 = (3x+6)(3x+6) = 3x * 3x + 3x *6 + 6 * 3x + 6 * 6 = 9x2 +36x +36
quote:Fout die velen maken.
[..]
Ok dankjewel, ik dacht dat je alles apart moest kwadrateren dus vandaar
quote:En toch is dat vreemd, want stel dat je:
1 + 2 = 3 hebt
En je kwadrateert beide zijden op de foute manier dan krijg je:
12 + 22 ≠32
1 + 4 ≠ 9
5 ≠ 9
Wat dus aangeeft dat het tamelijk fout gaat.