Volledige inductie

[Dit bericht is gewijzigd door Allantois op 10-11-2003 16:34]

Heb ik net gehad. Simpel eigenlijk alleen wat leuk schrijfwerk meestal. Ben te lui om het uit te werken. Maar toch fijn dat jij de rest van fok het ook even wilde laten zien.

quote:

---

Op maandag 10 november 2003 16:28 schreef thabit het volgende:
Opgaves om te kijken of men het begrip snapt:
1) Bewijs dat 1²+...+n² = n(n+1)(2n+1)/6 voor alle n.
2) Bewijs dat 1³+...+n³ = (n(n+1)/2)² voor alle n.

---

Eerst zeiken en dan kijken ;-)

quote:

---

Op maandag 10 november 2003 16:41 schreef staaltje het volgende:
TS doet een beetje te interessant. Hij vergeet een klein doch belangrijk detail: zich te beperken tot de verzameling van natuurlijke getallen. Kies voor de grap eens -1 voor n en kijk wat er gebeurt.

Eerst zeiken en dan kijken ;-)

---

"Eerst zeiken en dan kijken."

quote:

---

Op maandag 10 november 2003 16:28 schreef thabit het volgende:
Een ieder die niet bekend is met dit begrip legt zich een beperking op in de essentie van het denken, een beperking in het mens-zijn dus.

---

quote:

---

Op maandag 10 november 2003 16:34 schreef Herion het volgende:
1e jaars stof

---

We proberen te bewijzen dat alle natuurlijke getallen aan elkaar gelijk zijn. Bekijk hiertoe de volgende reeks uitspraken:

S_n is de stelling "0=0 en 0=1 en 0=2 en 0=3 en ... en 0=n", ofwel 0=1=2=3=...=n, kortom alle natuurlijke getallen 0 t/m n zijn aan elkaar gelijk.

- Stel nu dat S_n waar is voor een bepaalde n. Dan hebben we dus dat 0=0, 0=1, 0=2, enzovoort t/m 0=n (kortom 0=1=2=3=...=n). Maar tellen we dan overal 1 bij op, dan hebben we ook dat 1=1, 1=2, enzovoort t/m 1=n+1, kortom 1=2=3=4=...=n+1. Voegen we dit samen, dan zien we dat 0=1=2=3=...=n=n+1. Dus: als S_n waar is, dan ook S_n+1.

- S_n is duidelijk waar voor n=0.

- Met behulp van volledige inductie valt nu te concluderen dat S_n waar is voor iedere n, kortom alle natuurlijke getallen zijn aan elkaar gelijk.

_{thabit jij mag niet meedoen :-)}

quote:

---

Op maandag 10 november 2003 17:29 schreef gnomaat het volgende:
_{thabit jij mag niet meedoen :-)}

---

quote:

---

Op maandag 10 november 2003 16:28 schreef thabit het volgende:
Volledige inductie is een basisconcept binnen de wiskunde. Een ieder die niet bekend is met dit begrip legt zich een beperking op in de essentie van het denken, een beperking in het mens-zijn dus. Daarom een topic over dit concept.

---

Geen denkbeperking of fundament der wiskunde.

Maar die taylor reeksen en euler dingen die weet ik nog wel.
Imaginaire getallen waren ook simpel.
Kreeg pas moeite bij de gevorderde vectorcalculus.
Al dat ruimtelijk denken en dan ineens naar abstract.

quote:

---

Op maandag 10 november 2003 22:49 schreef thabit het volgende:
Mensen, volledige inductie is zo fundamenteel dat zelfs dominostenen er gebruik van maken. Als je een rij dominostenen hebt, zo dus:
| | | | | | | | | | | | | | | | | en dan oneindig lang verder,
en je tikt de eerste om, dan tikt die de tweede om, die weer de derde, enzovoorts. Uiteindelijk zullen ze allemaal omvallen. Dit is volledige inductie!

---

Sorry ik verwijs naar de post hieronder, zelfs in theorie gaat het niet oneindig verder.

[Dit bericht is gewijzigd door Aardwetenschapper op 10-11-2003 23:04]

quote:

---

Op maandag 10 november 2003 22:49 schreef thabit het volgende:
Mensen, volledige inductie is zo fundamenteel dat zelfs dominostenen er gebruik van maken. Als je een rij dominostenen hebt, zo dus:
| | | | | | | | | | | | | | | | | en dan oneindig lang verder,
en je tikt de eerste om, dan tikt die de tweede om, die weer de derde, enzovoorts. Uiteindelijk zullen ze allemaal omvallen. Dit is volledige inductie!

---

quote:

---

Op maandag 10 november 2003 23:06 schreef thabit het volgende:

[..]

Gelukkig heeft statistiek niets met wiskunde te maken, dus die wet gaat hier niet op.

---

Zal ik toch eens aan mijn wiskunde A leraar uit gaan leggen.
Echt helemaal niets.
Om het wiskundig te zeggen 0.

Ik zou andere bewoordingen kiezen, dat fundamentum is niet van toepassing binnen dit theorema, maar ik zou niet weten of dat juist is, want thabit, jij bent de wiskundige.

quote:

---

Op maandag 10 november 2003 22:49 schreef thabit het volgende:
Mensen, volledige inductie is zo fundamenteel dat zelfs dominostenen er gebruik van maken. Als je een rij dominostenen hebt, zo dus:
| | | | | | | | | | | | | | | | | en dan oneindig lang verder,
en je tikt de eerste om, dan tikt die de tweede om, die weer de derde, enzovoorts. Uiteindelijk zullen ze allemaal omvallen. Dit is volledige inductie!

---

Volledige inductie kun je alleen waarmaken als je het gehele speelveld, in al z'n complexiteit en recursiviteit, kunt overzien. Daarom stellen de wiskundige intuïtionisten dat je de axiomatische reeks der natuurlijke getallen niet op "volledige" inductie mag baseren.

Het probleem is namelijk dat jij de "volledigheid" niet kunt garanderen als het speelveld oneindig groot is. Waarschijnlijk zul je gewoon niet oud genoeg worden om die volledigheid met een oneindig aantal domineestenen - in al z'n eenvoud - te testen. Dat duurt namelijk erg lang, zelfs oneindig lang...

quote:

---

INTUITIONISME EN FORMALISME

REDE BIJ DE AANVAARDING VAN HET AMBT VAN BUITENGEWOON HOOGLEERAAR IN DE WISKUNDE AAN DE UNIVERSITEIT VAN AMSTERDAM OP MAANDAG 14 OCTOBER 1912 UITGESPROKEN DOOR DR. L.E.J. BROUWER.
Op grond van zulk een systeem van axioma's ontwikkelt de formalist nu in de eerste plaats de theorie der eindige verzamelingen. Een verzameling wordt eindig genoemd, indien haar eenheden zich niet in éénéénduidige correspondentie laten brengen met de elementen van een harer deelverzamelingen, en als hoofdeigenschap dezer verzamelingen wordt door een vrij gecompliceerde redeneering 4) afgeleid het zoogenaamde principe van volledige inductie, leerende dat een eigenschap dàn voor alle eindige verzamelingen geldt, indien ze ten eerste geldt voor elke verzameling, die slechts één element bevat, en indien ten tweede haar geldigheid voor een willekeurige eindige verzameling volgt uit haar geldigheid voor een diezelfde verzameling verminderd met één harer elementen. Het feit, dat de formalist dit principe, dat voor de eindige getallen van den intuitionist op grond hunner constructie evident [pag. 16] is, uitdrukkelijk heeft te bewijzen, toont tevens, dat hij nooit in staat zal zijn, ter rechtvaardiging van de keuze zijner axioma's, het zoo onbevredigende beroep op de inexacte praktijk, of op de voor hem even inexacte intuitie, te vervangen door een exact bewijs van de niet-contradictoriteit zijner theorie. Immers om te bewijzen, dat onder de oneindig vele gevolgtrekkingen, die uit het voorspelde systeem van axioma's kunnen worden afgeleid, nooit de logische figuur der contradictie zal kunnen optreden, is de eenige weg, eerst aan te toonen, dat, als bij de nde gevolgtrekking nog geen contradictie aanweizg is, dit bij de (n+1)de gevolgtrekking evenmin het geval kan zijn, en vervolgens intuitief het principe van volledige inductie toe te passen. Maar juist dit laatste mag de formalist zelfs dan niet doen, wanneer hij het principe van volledige inductie bewezen heeft; immers daartoe zou hij wiskundige zekerheid moeten hebben, dat de tot en met de nde gevolgtrekking voortgebrachte eigenschappenverzameling voor een willekeurige n aan zijn definitie voor eindige verzamelingen voldoet, en om die wiskundige zekerheid te verlangen, zou hij, behalve tot de ongeoorloofde toepassing van een symbolisch criterium op een concreet voorbeeld, zijn toevlucht moeten nemen tot een nieuwe intuitieve toepassing van het principe van volledige inductie, waarmee hij in een vicieusen cirkel zou zijn geraakt.

---

quote:

---

Op maandag 10 november 2003 17:29 schreef gnomaat het volgende:
En voor de newbies inzake dit onderwerp, rara waar zit de fout:

We proberen te bewijzen dat alle natuurlijke getallen aan elkaar gelijk zijn. Bekijk hiertoe de volgende reeks uitspraken:

S_n is de stelling "0=0 en 0=1 en 0=2 en 0=3 en ... en 0=n", ofwel 0=1=2=3=...=n, kortom alle natuurlijke getallen 0 t/m n zijn aan elkaar gelijk.

- Stel nu dat S_n waar is voor een bepaalde n. Dan hebben we dus dat 0=0, 0=1, 0=2, enzovoort t/m 0=n (kortom 0=1=2=3=...=n). Maar tellen we dan overal 1 bij op, dan hebben we ook dat 1=1, 1=2, enzovoort t/m 1=n+1, kortom 1=2=3=4=...=n+1. Voegen we dit samen, dan zien we dat 0=1=2=3=...=n=n+1. Dus: als S_n waar is, dan ook S_n+1.

- S_n is duidelijk waar voor n=0.

- Met behulp van volledige inductie valt nu te concluderen dat S_n waar is voor iedere n, kortom alle natuurlijke getallen zijn aan elkaar gelijk.

_{thabit jij mag niet meedoen :-)}

---

quote:

---

Op dinsdag 11 november 2003 11:18 schreef Thijs_ het volgende:
n=0 is niet bepaald een natuurlijk getal he?

---

En zelfs al was 0 geen natuurlijk getal (ik weet dat daar soms verschil van mening over is), dan is een constructie met volledige inductie evengoed geldig. Net zoals je met volledige inductie ook dingen kunt bewijzen die gelden voor alle gehele getallen >= -7, of >= 12.

En anders tel je in mijn hele verhaal bij alle cijfers 1 op.

houdt in 1 knikker = 2 knikkers?

en dat met het idee van paralelle universa? :p

quote:

---

Op maandag 10 november 2003 16:28 schreef thabit het volgende:
Volledige inductie is een basisconcept binnen de wiskunde. Een ieder die niet bekend is met dit begrip legt zich een beperking op in de essentie van het denken, een beperking in het mens-zijn dus. Daarom een topic over dit concept.

[...]

---

quote:

---

Op dinsdag 11 november 2003 13:03 schreef thabit het volgende:

[..]

Jij kent volledige inductie bijvoorbeeld niet.

---

Ik heb al die meuk gehad maar of ik hier nu ruimdenkender door ben geworden.

quote:

---

Op dinsdag 11 november 2003 13:58 schreef thabit het volgende:

[..]

Zoiets noemt men een bewijs uit het ongerijmde.

---

In het rijtje 1^p+2^p+3^p+4^p+...^p+n^p. Met n als element van |N, geld naar mijn idee de formule...

(1/p)n^p+1+1/2n^p+ (p/12)n^p-1+ ((6p-12-p²) / (12p))(n^p-3)

Vergeef me als er nog een fout inzit. .
_{Want met haakjes ben ik niet zo goed...}

[Dit bericht is gewijzigd door Evariste_Galois op 11-11-2003 14:15]

quote:

---

Op dinsdag 11 november 2003 14:11 schreef thabit het volgende:

[..]

Meneer Evariste,

hier klopt geen fuck van.

Groetjes, thabit.

---

quote:

---

Op dinsdag 11 november 2003 14:11 schreef thabit het volgende:

[..]

Meneer Evariste,

hier klopt geen fuck van.

Groetjes, thabit.

---

quote:

---

Op dinsdag 11 november 2003 14:16 schreef thabit het volgende:

[..]

Blijkbaar heeft jong sterven niet zo'n positieve uitwerking op je wiskundige talent.

---

Dat deel baart mij vooral zorgen, ik heb het zelf nog niet nagerekend moet ik erkennen. .

quote:

---

Op dinsdag 11 november 2003 13:51 schreef thabit het volgende:
Kennis van dit begrip geeft een mens inzicht in een compleet nieuwe denkwijze. Het zal daarom algemeen de ruimdenkendheid bevorderen. Zonder deze kennis zul je nooit op bepaalde redeneerpatronen komen. Je zult van sommige dingen nooit begrijpen waarom ze zijn zoals ze zijn.

---

quote:

---

Inductie komt in meer vormen voor dan de vorm die ik in mijn openingspost gegeven heb. Een andere vorm van inductie is bijvoorbeeld dat je een complexe structuur ziet als opgebouwd uit meerdere delen. En die delen zijn ook weer opgebouwd uit meerdere delen, etc, totdat je op een gegeven moment het zodanig hebt ontleed dat de delen klein genoeg zijn om te kunnen bevatten, de atomaire delen. Het equivalent van de basisstap (stap 1 in mijn openingspost) is dan begrip van deze atomaire delen. En de inductiestap (stap 2 in mijn openingspost) is begrip van hoe kleinere delen samen te voegen tot een groter geheel.

---

quote:

---

Als je er heel goed over nadenkt zie je zelfs dat dat helemaal niet een andere vorm is, maar eigenlijk dezelfde vorm als in mijn openingspost: we kunnen immers de complexiteit van een structuur uitdrukken in een getal.

---

quote:

---

Een voorbeeld hiervoor is de structuur van de taal. We kunnen een zin grammaticaal ontleden door hem eerst op te delen in hoofdzinnen, de hoofdzinnen op te delen in zinsdelen, en sommige zinsdelen zijn zelf ook weer verder te ontbinden delen, totdat je het op een gegeven moment helemaal hebt opgedeeld in woorden, die je natuurlijk ook weer verder kunt ontleden. We kunnen de grammatica van onze taal inductief beschrijven. En zo zijn er nog legio voorbeelden buiten de wiskunde waar inductie een belangrijk inzicht kan geven.

---

"Thabit heeft ze niet allemaal op een rijtje."

(1/p+1)n^p+1+1/2n^p+ (p/12)n^p-1+ ((6p-12-p²) / (12p))(n^p-3)

Dat was ik ook nog even vergeten.

Maar ja, mij rest nu weer een a4'tje volkalken met vergelijkingen (want een grafische rekenmachine kan ik mijzelf niet veroorloven), om de formule van 1⁵+2⁵+4⁵+4⁵+...+ n⁵ op te stellen, om even verder te kijken.

.

[Dit bericht is gewijzigd door Evariste_Galois op 11-11-2003 23:17]

quote:

---

Op dinsdag 11 november 2003 14:52 schreef thabit het volgende:

[..]

Als je vooruit had gelezen had je deze vraag niet hoeven stellen.

---

quote:

---

We kunnen de atomaire delen bijvoorbeeld complexiteit 1 geven en de complexiteit van een structuur die uit meerdere delen is opgebouwd definieren als de som van de complexiteiten van de delen. Varianten hierop zijn ook mogelijk, de aard van de structuur zal bepalend zijn voor welke definitie van complexiteit het meest wenselijk is.

---

quote:

---

Hoewel deze zin ongeldig is heeft ze toch een inductieve structuur. Ik ga nu tot het niveau van woorden, je kunt natuurlijk dieper gaan, maar het gaat om het voorbeeld. M'n grammatica is wat weggezakt maar ik zal m'n best doen.

De atomaire delen:
1: Thabit
2: heeft
3: ze
4: niet
5: allemaal
6: op
7: een
8: rijtje.

Samenvoegen:
9: ze allemaal (lijdend voorwerp bestaande uit kern 4 en bijvoeging 5)
10: een rijtje (zelfstandig naamwoord 8 met lidwoord 7)
11: op een rijtje (voorzetselvoorwerp met kern 10 en voorzetsel 6)
12: Thabit heeft ze niet allemaal op een rijtje (hoofdzin bestaande uit gezegde 2, onderwerp 1, lijdend voorwerp 9, voorzetselvoorwerp 11 en bijwoordelijke bepaling 4).

Edit: de ontleding is mogelijk niet helemaal correct maar het gaat erom dat het nu hopelijk duidelijk is dat inductie ook in de taal voorkomt.

---

(1)Een zin bestaande uit 1 woord kun je altijd opdelen in woorden.
(2)Stel je kunt een zin bestaande uit N-1 woorden opdelen in woorden. Pak dan een zin van N woorden. Splits die zin op in een deel met N-1 woorden en een deel met 1 woord. Dat deel met N-1 woorden kun je (volgens de aanname) opsplitsen in N-1 woorden. Zo heb je de zin met N woorden gesplitst in N losse woorden.
(3)Volgens het principe van volledige inductie kun je elke zin opdelen in woorden. (omdat een zin altijd een geheel positief aantal woorden heeft.

Ziet er erg triviaal uit.
Probeer dit maar te bewijzen zonder volledige inductie.

quote:

---

Op maandag 10 november 2003 23:06 schreef thabit het volgende:

[..]

Gelukkig heeft statistiek niets met wiskunde te maken, dus die wet gaat hier niet op.

---

[Dit bericht is gewijzigd door whisko op 14-11-2003 07:42]

quote:

---

Op vrijdag 14 november 2003 07:36 schreef whisko het volgende:
hé Thabit, hoe kan dat nou, normaal zeg je zo'n doordachte & slimme dingen en nu dit... of maak je een grapje?

---

quote:

---

Op vrijdag 14 november 2003 09:58 schreef gnomaat het volgende:

[..]

Statistiek is een onderdeel van wiskunde, het is niet van toepassing op wiskunde.

---

quote:

---

Op vrijdag 14 november 2003 22:01 schreef whisko het volgende:
"van toepassing op wiskunde"? Leg eens uit...

---

quote:

---

Op maandag 10 november 2003 23:01 schreef Maestrov het volgende:
Nog een fundamentum: Wet van de grote aantallen: de kans dat er een niet zal omvallen is groter dan nul. Dit zal dus met kans 1 ooit stoppen.

---

quote:

---

Op zondag 16 november 2003 16:07 schreef thabit het volgende:
Wiskunde beschrijft hoe je stellingen kunt bewijzen in een vantevoren gedefinieerd en logisch systeem.

Statistiek beschrijft hoe je gegevens verzamelt en verwerkt in een onvolledig gedefinieerd onlogisch systeem.

De vraag of statistiek onderdeel van de wiskunde is, lijkt me nu niet moeilijk meer te beantwoorden.

---

quote:

---

Op woensdag 19 november 2003 11:59 schreef thabit het volgende:
Er bestaat een verschil tussen kansrekening en statistiek. Beide halen het abstractieniveau van de eigenlijke wiskunde trouwens niet, maar toch zou ik kansrekening wel tot de wiskunde willen rekenen en statistiek niet.

---

quote:

---

Op woensdag 19 november 2003 13:15 schreef thabit het volgende:

[..]

Inderdaad. Toepasbaarheid is een mooie bijkomstigheid, maar het moet zich daar niet op richten.

---

Wil je dat de Beta studies nog steeds voor deze hokjesmensen blijven?

Heel slecht.

Het is totaal nutteloos om jezelf boven deze problematiek te verheffen en enkel puur theoretisch bezig te zijn. Daar is wiskunde niet voor gemaakt.

quote:

---

Op vrijdag 21 november 2003 10:46 schreef Maestrov het volgende:
Het gaat er volgens mij niet om of je weet wat een groep of volledige inductie is. Het gaat er om of je problemen/toepassingen kan plaatsen in een wiskundige context en je kennis kan gebruiken om deze problemen/toepassingen op te lossen.

Het is totaal nutteloos om jezelf boven deze problematiek te verheffen en enkel puur theoretisch bezig te zijn. Daar is wiskunde niet voor gemaakt.

---

.

quote:

---

Op vrijdag 21 november 2003 14:16 schreef thabit het volgende:

[..]

Kunst.

---

Ik zou het mooi vinden als wiskunde wat meer toegangelijk gemaakt zou worden. Ik denk dat dit een vooruitgang zou betekenen. Als het niveau in de wetenschap stijgt zal ook de kunstvariant wel stijgen.

Dat ligt veel te hoog!

Kansrekening en Algebra is zonder enig gevoel nog wel aan te leren. Maar geneuzel over epsilons naar nul is denk ik te hoog gegrepen. Dit bedoel ik niet negatief maar is wel realistisch denk ik.

Ik denk verder dat mensen die kiezen voor toepassing niet het minste talent hebben. Behalve dat het talent al zeer hoog is als je zo'n studie begint is er hier sprake van een ander talent.

quote:

---

Op vrijdag 21 november 2003 15:20 schreef Maestrov het volgende:
Maar geneuzel over epsilons naar nul is denk ik te hoog gegrepen. Dit bedoel ik niet negatief maar is wel realistisch denk ik.

---

quote:

---

Op vrijdag 21 november 2003 15:48 schreef Koekepan het volgende:
Epsilons naar nul is ook maar een fractie van de wiskunde. Ik denk dat de meeste wiskundestudenten hier ook pas de zin van inzien als ze zien wat voor kankerzooi (excusez-le-mot) de wiskunde zou zijn zonder degelijke grondslagen. En daar heb je naast wiskundig inzicht ook historisch besef voor nodig (zoals het lezen van Gauss die nog in alle ernst de limiet van 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - etc. "bepaalde").

---

Verder vind ik het snobistisch klinken om echte wiskunde weg te willen houden van toepassingen. Ik vind het juist een beetje 'heiligschennis' om het te gaan gebruiken voor suffe puzzeltjes...
Toegepaste studievarianten kunnen ook een hoog niveau hebben. Toegegeven, dat geldt in het algemeen niet voor richtingen als informatica (oorspronkelijk ook wiskunde), statistiek en kansrekening. Kansrekening heeft wel opties tot interessantheid, denk aan de momentfuncties, maar die worden helaas nauwelijks uitgebuit...
Maar er is nog een groot braakliggend interessant terrein in de numerieke wiskunde, als je daar mee bezig bent dan merk je dat het nog maar in zn kinderschoenen staat. Daar is baanbrekend fundamenteel werk te verrichten. Ook zou ik toegepaste analyse zeker geen lichte richting willen noemen...
Ik deel je zorg over de afnemende kwaliteit+kwantiteit, Thabit... Maar ik denk niet dat jouw oplossing goed is.
Het probleem is meer dat de studie wiskunde minder respect geniet dan vroeger. Ik heb foto's gezien van de rijen mensen langs de weg tijdens de uitvaart van Lorentz... Zoiets gebeurt vandaag niet meer als er een bekende wiskundige zou sterven. Kijk maar eens naar Oost-Europese landen, waar wiskundigen meer respect krijgen, daar hebben de wiskunde-studies de meeste studenten.

Het wiskunde-niveau op de middelbare school daalt ook dramatisch... Maar je moet je beseffen dat wiskunde op de middelbare school erop gericht is om mensen wiskunde bij te brengen voor een academische studie in het algemeen. Niet specifiek om later wiskunde te gaan studeren. Voor de wiskundestudie zou het beter zijn als de wiskunde daar theoretischer is, maar er zijn (helaas?) veel meer universiteitsopleidingen dan wiskunde.

Jij zegt: wiskunde niet richten op toepassen.
Ik zeg: wiskunde wél richten op toepassen, maar waarborg het niveau.

Het lijkt er een beetje op dat jij niet geassocieerd wenst te worden met die mindere talenten die de toegepaste varianten volgen en de toegepaste varianten daarom zwart maakt... Ik hoop dat dit een foute observatie van mij is.

Ofwel, als de wiskunde zich gaat richten op de toepasbaarheid, in plaats van het ontwikkelen en perfectioneren van de huidige theorie zal dit al het andere onderzoek juist naar beneden helpen in plaats van helpen.

De wiskundigen maken theorie, en een toepasbaarheid is een zaak voor andere wetenschappers.

Zoiets van: niet verder kunnen tellen dan 10 of zo ?

quote:

---

Op zaterdag 22 november 2003 13:35 schreef thabit het volgende:
Mag ik ook niet alvast verklappen of het wel of niet kan?

---

quote:

---

Licht je woordkeuzen 'heiligschennis' en 'suf' eens toe, want dat ontgaat me volledig.

---

quote:

---

Ik ben er heilig van overtuigd dat iemand die op de middelbare school wiskunde juist als wiskunde heeft gezien, andere soorten wiskunde ook veel beter zal kunnen begrijpen dan met de manier waarop wiskunde nu wordt onderwezen.

---

quote:

---

Wiskunde is een autonome wetenschap die zichzelf beschrijft en bewijst. Zodra je het op toepassen gaat richten kan het theoretische niveau niet gewaarborgd blijven. Juist de theoretische vakgebieden die het hoogste niveau waarborgen, zoals de arithmetische algebraische meetkunde, zullen daardoor verdwijnen. In toegepaste wiskunde zit zo ontzettend veel minder theoretische diepgang dan in theoretische wiskunde.

---

Als de theoretische vakgebieden zouden verdwijnen dan zal de toegepaste richting erg veel aan niveau verliezen. Zonder goede theoretische onderbouwing is toegepaste wiskunde niks. Of dacht je dat er bij het bepalen van bijv. een betere numerieke integratiemethode maar wat geprobeerd werd en gekeken werd wat het beste uitkwam?

quote:

---

Licht dit eens nader toe, want ik snap niet hoe je hierbij komt?

---

quote:

---

Op zaterdag 22 november 2003 14:13 schreef Evariste_Galois het volgende:
De wiskunde is als een grote stoot amfetamine die andere wetenschappers gebruiken als ze er even niet meer uitkomen.
Als de wiskundigen niet meer verder gaan met het ontwerpen van sterkere, efficiëntere, goedkopere, gewoonweg betere amfetamine raken de andere wetenschappers op een gegeven moment verzadigd van de huidige amfetamine, en komen zij niet meer verder.

Ofwel, als de wiskunde zich gaat richten op de toepasbaarheid, in plaats van het ontwikkelen en perfectioneren van de huidige theorie zal dit al het andere onderzoek juist naar beneden helpen in plaats van helpen.

De wiskundigen maken theorie, en een toepasbaarheid is een zaak voor andere wetenschappers.

---

(Met supervolledige inductie bewijs je iets voor alle gehele getallen. Eerst bewijs je dat iets geldt voor n=0, dan dat als het voor n=k geldt ook geldt voor n=k+1, dan dat als het voor n=k geldt ook voor n=k-1, en daarna concludeer je dat het voor alle gehele getallen geldt.)

quote:

---

Op maandag 24 november 2003 01:59 schreef thabit het volgende:
Je had meegedaan aan de Olympiade zei je?

---

quote:

---

Maar de eigenschappen van een integraal zijn toch ook veel interessanter dan een gesloten uitdrukking? Wat heb je er aan om de precieze uitdrukking van een functie te kennen als je z'n eigenschappen niet begrijpt? De meeste integralen kunnen we niet eens expliciet uitrekenen.

---

quote:

---

Zelf kan ik sommige integralen toevallig uitrekenen omdat ik ooit een keer bij een wiskundevak voor natuurkundigen heb geassisteerd. Ik heb nog nooit zoiets nutteloos gezien als dat. Je kunt allerlei suffe integralen uitrekenen waar je geen zak aan hebt en je wiskundig inzicht wordt er geen millimeter beter van.

---

quote:

---

Zodra de theoretische vakgebieden zich op toepassingen gaan richten gaat het niveau al zakken. Het theoretisch onderzoek moet autonoom blijven. Wat helemaal niet wil zeggen dat het niet toegepast moet worden. Theoretische wiskundigen moeten theoretische wiskunde ontwikkelen. Toegepaste wiskundigen moeten maar uitzoeken hoe het toegepast kan worden.

---

quote:

---

Op maandag 24 november 2003 10:59 schreef Pie.er het volgende:

[..]

Ja, de eerste 2 rondes, toen was het nog gewoon puzzeltjes oplossen, daarna kwam pas het competatieve...

---

quote:

---

Op maandag 24 november 2003 12:56 schreef Alcatraz het volgende:
De Scepsis zeiden meer als 2000 jaar geleden al dat inductie niet leidt tot geldige conclusies. Daar heb je ook al die formules niet voor nodig. Als er 2 miljoen zwanen wit zijn wil dat niet zeggen dat er geen enkele zwarte is.

---

Natuurlijk zijn er ook veel geweldige dingen ontstaan door competitiedrang. Maar een mens is nou eenmaal niet altijd rationeel, ik ook niet, dus probeer ik mij afzijdig te houden van competitie. Gelukkig ben ik ook nog eens inconsequent, zodat ik af en toe toch mezelf kan meten, maar ik maak mezelf altijd wijs dat dat puur voor mezelf is en niet om op te scheppen tegen andere mensen.

quote:

---

Op maandag 24 november 2003 17:21 schreef thabit het volgende:
Dus door niet je best te doen voor de Olympiade wordt het leed op de wereld minder?

---

quote:

---

ps: zat je nou eigenlijk wel of niet in de training?

---

quote:

---

Op maandag 10 november 2003 17:29 schreef gnomaat het volgende:
En voor de newbies inzake dit onderwerp, rara waar zit de fout:

We proberen te bewijzen dat alle natuurlijke getallen aan elkaar gelijk zijn. Bekijk hiertoe de volgende reeks uitspraken:

S_n is de stelling "0=0 en 0=1 en 0=2 en 0=3 en ... en 0=n", ofwel 0=1=2=3=...=n, kortom alle natuurlijke getallen 0 t/m n zijn aan elkaar gelijk.

- Stel nu dat S_n waar is voor een bepaalde n. Dan hebben we dus dat 0=0, 0=1, 0=2, enzovoort t/m 0=n (kortom 0=1=2=3=...=n). Maar tellen we dan overal 1 bij op, dan hebben we ook dat 1=1, 1=2, enzovoort t/m 1=n+1, kortom 1=2=3=4=...=n+1. Voegen we dit samen, dan zien we dat 0=1=2=3=...=n=n+1. Dus: als S_n waar is, dan ook S_n+1.

- S_n is duidelijk waar voor n=0.

- Met behulp van volledige inductie valt nu te concluderen dat S_n waar is voor iedere n, kortom alle natuurlijke getallen zijn aan elkaar gelijk.

_{thabit jij mag niet meedoen :-)}

---

quote:

---

Op maandag 24 november 2003 17:29 schreef thabit het volgende:
Hoe beinvloedt de wiskunde olympiade het wereldleed dan volgens jou?

---

quote:

---

Je hebt die training niet afgezegd, ondanks dat je geen competitiedrang hebt?

---

quote:

---

Op dinsdag 25 november 2003 16:08 schreef thabit het volgende:
Dus jij vindt het raar dat de olympiadetraining zich richt op training voor de olympiade? Waar mensen zich al niet over kunnen verbazen. .

---

Nu ik meer weet over die olympiade is het natuurlijk onzinnig om te denken dat het niet daar specifiek op gericht zou zijn. Maar hallo, mag een jongetje van 16 jaar geen inschattingsfout maken...
Ik beweer overigens niet dat de olympiade iets slechts is, maar dat de combinatie Pie.er-olympiade niet werkt.

quote:

Op vrijdag 16 april 2004 11:34 schreef Oud_student het volgende:
Als Intuitionist, gebruik ik graag het principe van de volledige inductie om aan te tonen dat "oneindig" niet bestaat, immers:

1. E(1) dwz 1 is eindig. Verder is het triviaal dat het resultaat van de optelling van 2 eindige getallen, dit weer een eindig getal oplevert, i.h.b. E(a) -> E(a+1)

2. Zij k een natuurlijk getal waarvoor geldt E(n) voor alle n kleiner dan k.
Uit E(k-1) volgt E(k)

3. Dus voor alle natuurlijke getallen n geldt E(n)

Er bestaan geen oneindige natuurlijke getallen

quote:

Op vrijdag 16 april 2004 15:26 schreef thabit het volgende:
En wie ben jij dan om te bepalen dat ik statistiek en natuurkunde moet gaan doen omdat ik wiskunde doe?

quote:

Ik vind het soms een beetje jammer dat sommige wiskundigen zich 'te goed' voelen voor dergelijke dingen als statistiek, natuurkunde etc.

quote:

Op vrijdag 16 april 2004 17:17 schreef thabit het volgende:
Als je een vakgebied geen zak aan vindt, omdat het eigenlijk geen uitdaging biedt, dan ben je er toch te slim voor?

quote:

Op vrijdag 16 april 2004 17:07 schreef Sokrates het volgende:
Nooit gehoord van Hilberts Hotel?

quote:

Op maandag 10 november 2003 22:24 schreef thabit het volgende:

[..]

Stel je eens voor hoeveel beter deze werken zouden zijn geweest als deze heren wel kennis hadden genomen van volledige inductie!

quote:

Op vrijdag 16 april 2004 11:54 schreef Haushofer het volgende:
Ik vind het soms een beetje jammer dat sommige wiskundigen zich 'te goed' voelen voor dergelijke dingen als statistiek,

quote:

Op vrijdag 16 april 2004 21:55 schreef lucida het volgende:

[..]

Er zijn drie vormen van liegen:
a. leugentje om bestwil
b. de leugen
c. (als ergste) de statistiek...

quote:

Op donderdag 13 oktober 2005 12:42 schreef ijsklont het volgende:
Is er al een topic over transfiniete inductie?

quote:

Op donderdag 13 oktober 2005 13:20 schreef thabit het volgende:

[..]

Ach, hoe vaak gebruik je dat nu?

quote:

Op woensdag 12 oktober 2005 21:54 schreef thabit het volgende:
Dit topic is ineens weer actueel geworden.

quote:

Op donderdag 13 oktober 2005 16:01 schreef thabit het volgende:
Omdat ik tot mijn grote verbazing constateerde dat volledige inductie nog steeds niet op de middelbare school wordt onderwezen en het dus op deze manier gepresenteerd moet worden door geinteresseerden.

quote:

Op dinsdag 11 november 2003 14:26 schreef nEDerland het volgende:

[..]

Noem eens voorbeelden van sommige dingen die je nu wel begrijpt nu je het begrip volledige inductie kent.
[..]

Het probleem van volledige inductie is echter dat deze alleen kan worden toegepast op de verzameling van natuurlijke getallen. En hoe wil je de verschillende atomaire delen in getallen vatten?
[..]

Hoe?
[..]

Probeer dan eens de volgende zin inductief te beschrijven:

"Thabit heeft ze niet allemaal op een rijtje."

quote:

Op vrijdag 21 november 2003 10:28 schreef thabit het volgende:

[..]

Op toepassingen gericht onderzoek komt het theoretische niveau van een tak van wetenschap niet ten goede. In Enschede zijn ze bijvoorbeeld al zo ver heen dat je kunt afstuderen in de wiskunde zonder te weten wat een groep is (een groep is een basisbegrip in de wiskunde). Zet deze trend door, dan kunnen we binnenkort ons papiertje zelfs ophalen zonder te weten wat volledige inductie is. Een uiterst kwalijke zaak dus.

quote:

Op woensdag 12 oktober 2005 21:54 schreef thabit het volgende:
Dit topic is ineens weer actueel geworden.

quote:

Op maandag 10 november 2003 17:29 schreef gnomaat het volgende:
En voor de newbies inzake dit onderwerp, rara waar zit de fout:

We proberen te bewijzen dat alle natuurlijke getallen aan elkaar gelijk zijn. Bekijk hiertoe de volgende reeks uitspraken:

S_n is de stelling "0=0 en 0=1 en 0=2 en 0=3 en ... en 0=n", ofwel 0=1=2=3=...=n, kortom alle natuurlijke getallen 0 t/m n zijn aan elkaar gelijk.

- Stel nu dat S_n waar is voor een bepaalde n. Dan hebben we dus dat 0=0, 0=1, 0=2, enzovoort t/m 0=n (kortom 0=1=2=3=...=n). Maar tellen we dan overal 1 bij op, dan hebben we ook dat 1=1, 1=2, enzovoort t/m 1=n+1, kortom 1=2=3=4=...=n+1. Voegen we dit samen, dan zien we dat 0=1=2=3=...=n=n+1. Dus: als S_n waar is, dan ook S_n+1.

- S_n is duidelijk waar voor n=0.

- Met behulp van volledige inductie valt nu te concluderen dat S_n waar is voor iedere n, kortom alle natuurlijke getallen zijn aan elkaar gelijk.

_{thabit jij mag niet meedoen :-)}

quote:

Op vrijdag 14 oktober 2005 00:59 schreef McCarthy het volgende:

[..]

ROFL

quote:

Op vrijdag 14 oktober 2005 01:18 schreef McCarthy het volgende:

[..]

mijn antwoord:
1 = 0 dus optellen maakt niks uit dus je hebt de stap P(n) => P(n) en hebt een tuatologie bewezen (ook leuk )


hoe zit het nou met dat alles-geel?
ik hoor hem graag.

quote:

Op zaterdag 15 oktober 2005 13:37 schreef IvdSangen het volgende:
Het basisgeval is een singleton verzameling waarvoor P geldt. Elke verzameling van 1 element heeft dezelfde kleur. Helaas kun je met deze basis geen inductieve stap genereren, immers als we er een element bij nemen dan hebben we twee verzamelingen waarvan elk element dezelfde kleur heeft. Dit wil niet zeggen dat de elementen in de ene verzameling dezelfde kleur hebben als de elementen in de andere verzameling.

Formeel, de rij a₂,a₃,...,a_n+1 heeft lengte 1 als n=1.Er valt dus niet te concluderen dat kleur(a_n+1)=kleur(a_n).

quote:

Op vrijdag 14 oktober 2005 00:50 schreef McCarthy het volgende:

toon aan dat P(1) waar is.

toon aan P(n) => P(n + 1) voor alle n >= 1

concludeer: P(n) is waar voor alle n >= 1.

quote:

Op donderdag 13 oktober 2005 16:01 schreef thabit het volgende:

[..]

Omdat ik tot mijn grote verbazing constateerde dat volledige inductie nog steeds niet op de middelbare school wordt onderwezen en het dus op deze manier gepresenteerd moet worden door geinteresseerden.

quote:

Op dinsdag 18 oktober 2005 18:38 schreef teletubbies het volgende:

[..]

best grappig;
trouwens in boek van vwo7 of hoe dat ook heet..staat er wel iets over inductie, en men moet ook inductie gebruiken bij het bewijzen van bepaalde sommen 1+2+3+..n of de som van de kwadraten van die getallen..

in de cadeiloscoop van U.Leiden staat de defnitie(principe) anders geschreven:
elk natuurlijk getal heeft eigenschap P als
a) 1 eigenschap P heeft
b) voor elk natuurlijk getal n geldt dat n eigenschap P heeft als elk kleiner ntuurlijk getal eigenschap P heeft.

a) heet de beginwaarde en b) heet de inductiestap..


ik vraag me af waarom het hier anders is geformuleerd.. ik vind deze minder handig..

quote:

Op maandag 10 november 2003 16:28 schreef thabit het volgende:
Volledige inductie is een basisconcept binnen de wiskunde. Een ieder die niet bekend is met dit begrip legt zich een beperking op in de essentie van het denken, een beperking in het mens-zijn dus. Daarom een topic over dit concept.

Stel we willen een uitspraak over natuurlijke getallen bewijzen, bijvoorbeeld de volgende:
1+2+...+n = n(n+1)/2.
Het concept dat we gaan hanteren om deze uitspraak te bewijzen bestaat uit 3 stappen:
1) We beginnen eenvoudig en bewijzen de uitspraak voor n=1.
2) We laten k een natuurlijk getal zijn en nemen voor het gemak aan dat de uitspraak geldt voor alle n kleiner dan k. Vervolgens laten we zien dat uit deze aanname volgt dat de uitspraak ook geldt voor n=k.
3) We concluderen nu dat de uitspraak geldt voor alle n.
Dit concept heet volledige inductie.

quote:

Op dinsdag 8 november 2005 21:34 schreef Aslama het volgende:

[..]

Door de aanname dat de uitspraak geldt voor alle n kleiner dan k, bestaat er dan een kleine kans dat de bewijsvoering niet helemaal correct is?

quote:

Op dinsdag 8 november 2005 23:59 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

Hoe dat dan?

quote:

Op woensdag 9 november 2005 06:06 schreef Aslama het volgende:

[..]

Dat de uitspraak voor n<k geldt is een aanname, dus per definitie nog geen waarheid. De volledige inductie maakt verder gebruik van deze aanname. Het bewijst niet dat de aanname waar is. Alleen denk ik dat de aanname zeer aannemelijk is door de volgende redenen:

1. k is een willekeurig natuurlijk getal.
2. de uitspraak is bewezen voor n=k (uitgaande van de aanname)

Dus ik denk dat de volledige inductie kan bewijzen dat een uitspraak zeer aannemelijk juist is. De methode is ook uitvoerig getest alleen in theorie bestaat een (hele) kleine kans dat een uitspraak toch onwaar is.

quote:

Op woensdag 9 november 2005 06:06 schreef Aslama het volgende:

[..]

Dat de uitspraak voor n<k geldt is een aanname, dus per definitie nog geen waarheid. De volledige inductie maakt verder gebruik van deze aanname. Het bewijst niet dat de aanname waar is. Alleen denk ik dat de aanname zeer aannemelijk is door de volgende redenen:

1. k is een willekeurig natuurlijk getal.
2. de uitspraak is bewezen voor n=k (uitgaande van de aanname)

Dus ik denk dat de volledige inductie kan bewijzen dat een uitspraak zeer aannemelijk juist is. De methode is ook uitvoerig getest alleen in theorie bestaat een (hele) kleine kans dat een uitspraak toch onwaar is.

quote:

1) We beginnen eenvoudig en bewijzen de uitspraak voor n=1.
2) We laten k een natuurlijk getal zijn en nemen voor het gemak aan dat de uitspraak geldt voor alle n kleiner dan k. Vervolgens laten we zien dat uit deze aanname volgt dat de uitspraak ook geldt voor n=k.
3) We concluderen nu dat de uitspraak geldt voor alle n.
Dit concept heet volledige inductie.

quote:

Op woensdag 9 november 2005 10:09 schreef Pie.er het volgende:

[..]

Ik denk dat je de methode niet helemaal begrijpt... Aannemende dat dit zo is probeer ik het te verhelderen.

quote:

De methode was:
[..]

Om te beginnen geldt de uitspraak voor n=1 (uit regel 1)

Neem nu de k uit regel 2 gelijk aan 2.
Als geldt dat voor alle n kleiner dan 2 de uispraak klopt, dan geldt het ook voor n=2.
Even controleren: de enige natuurlijke n kleiner dan 2 is 1, daar geld het voor, dus geldt het ook voor n=2.

quote:

Neem nu de k uit regel 2 gelijk aan 3.
Als geldt dat voor alle n kleiner dan 3 de uispraak klopt, dan geldt het ook voor n=3.
Even controleren: de enige natuurlijke n kleiner dan 3 zijn 1 en 2, daar geld het voor, dus geldt het ook voor n=3.

quote:

Neem nu de k uit regel 2 gelijk aan 4.
Als geldt dat voor alle n kleiner dan 4 de uispraak klopt, dan geldt het ook voor n=4.
Even controleren: de enige natuurlijke n kleiner dan 4 zijn 1, 2 en 3, daar geld het voor, dus geldt het ook voor n=4.

Op deze manier gaat n=5, n=6, n=7, enzovoorts. Alle natuurlijke n dus.
Er is geen kleine kans dat het niet geldt. De eis is namelijk niet dat het voor een willekeurig getal geldt, maar dat het

voor elk willekeurig getal geldt.

quote:

Op woensdag 9 november 2005 09:55 schreef Haushofer het volgende:

[..]

We hebben het over wiskunde. Hoe groot is de kans dat 1000+1000=2000? Is er niet een kleine kans dat het misschien 1999 is?

quote:

Op woensdag 9 november 2005 22:21 schreef DionysuZ het volgende:
het is gewoon recursie Aslama.

quote:

Op woensdag 9 november 2005 22:39 schreef DionysuZ het volgende:
Ok.

je stelt dat als k=3 dat de vorige uitspraak niet meer geldig is toch? Je moet het zo zien:

je hebt een basisstap: de uitspraak geldt voor k = 1.
Dan gaan we bewijzen dat de uitspraak geldt voor k = 2. Dit is vaak simpel omdat we weten dat de uitspraak geldt voor k=1. Als we weten dat de uitspraak dan geldt voor k = 2, geldt hij dus voor k = 1 EN k = 2. En dat kunnen we weer meenemen naar het bewijs voor k = 3.

quote:

Je kunt het ook andersom zien. Als je wil weten of de uitspraak geldt voor k = 5:
- Neem aan dat hij geldt voor k = 4.
- Bewijs dat hij dan geldt voor k = 5 (is vaak simpel dan)
- Omdat je niet weet of hij geldt voor k = 4, neem je aan dat hij geldt voor k = 3
- Bewijs dat hij dan geldt voor k = 4 (is vaak simpel)
- Omdat je niet weet of hij geldt voor k = 3, neem je aan dat hij geldt voor k = 2
- Bewijs dat hij dan geldt voor k = 3 (is vaak simpel)
- Omdat je niet weet of hij geldt voor k = 2, neem je aan dat hij geldt voor k = 1
- Bewijs dat hij dan geldt voor k = 2 (is vaak simpel)
- Je weet dat hij geldt voor k = 1
- Bewijs voor k = 5 is dan geleverd

quote:

Op woensdag 9 november 2005 23:11 schreef Aslama het volgende:

[..]

VI werkt niet zo. Het bewijst niets voor k=2 of k=3. k is een willekeurige constante dat alleen één waarde kan aannemen op hetzelfde moment. het is geen variabele. Als je aanneemt dat k=2 kan je niet tegelijkertijd aannemen dat k=3 en daardoor is de bewering niet in z'n geheel geldig. n is wel een variabele
[..]

In VI is k een willekeurige constante die alleen één waarde tegelijkertijd kan aannemen.

quote:

Op woensdag 9 november 2005 22:49 schreef Haushofer het volgende:
Ik snap het punt niet zo. Je kunt met een bewijs uit het ongerijmde vrij gemakkelijk bewijzen dat als A een deelverzameling is van N met

- 1 zit in A
- uit n in A volgt n+1 in A

dan geldt dat A=N.

quote:

Je kunt ook gaan twijfel en aan de stelling van pythagoras, of dat voor alle a, b en c in R geldt.

quote:

Op woensdag 9 november 2005 23:18 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

ik weet hoe volledige inductie werkt. De post van net was alleen maar omdat je zegt dat het niet altijd geldig hoeft te zijn. Als je weet dat een uitspraak geldt voor n = 1, en je wilt em bewijzen voor een zekere n = k. Dan nemen we aan dat hij geldt voor alle n < k, dus n = 1, 2, 3 ... k-1. Als je daarmee kunt bewijzen dat k dan ook klopt, dan klopt de stelling gewoon: pak maar eens k = 2, die kun je bewijzen met de basisstap (n=1). Pak k = 3, die kun je bewijzen als je aanneemt dat k = 2 en k = 1 klopt, en aangezien je k = 2 kunt bewijzen uit de basisstap klopt deze ook .. etc .. etc

quote:

Op woensdag 9 november 2005 23:24 schreef Aslama het volgende:

[..]

Ik moet helaas in herhaling vallen. k is een willekeurige constante die alleen één waarde tegelijkertijd kan aannemen. Zodra je k=3 pakt dan is k ongelijk aan 2 dus de bewering in niet in zijn geheel geldig.

quote:

Op woensdag 9 november 2005 23:28 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

Ook helaas in herhaling . Volledige inductie werkt zo:
1. Basisstap: bewijs dat de stelling geldt voor de minimale elementen (bijv. n = 0) van de verzameling A
2. Aanname: stel dat de stelling geldt voor een willekeurig element x van A
3. Bewijs: als de stelling geldt voor x, bewijs dat hij geldt voor de directe opvolger van x.

Zo ontstaat er een keten van de minimale elementen tot de maximale elementen. En allemaal kloppen ze.

quote:

Op woensdag 9 november 2005 23:18 schreef Aslama het volgende:

[..]

Helaas werkt de VI niet zo.

quote:

Op woensdag 9 november 2005 23:44 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Het bewijs staat hier voor mijn neus. Volledige Inductie, met bewijs voor mijn eerdere post. VI werkt weldegelijk zo. Als je wilt kan ik het bewijs hier zo neerkwakken.

quote:

Op woensdag 9 november 2005 23:46 schreef Aslama het volgende:

[..]

Gewoon uitleggen

quote:

Op woensdag 9 november 2005 23:52 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Ok, komt ie. Ik gebruik een 'e' voor "is element van".

Ik stel dus dat A een deelverzameling is van N ( de natuurlijke getallen ) met

* 1 e A
* uit n e A volgt n+1 e A

Dan A=N.

quote:

Waarom?
Stel es dat A niet gelijk is aan N. Dan kun je een verzameling B definieren als volgt:
{n e N : n niet in A} , dus B=N\A. B heeft een kleinste element, bijvoorbeeld m. De eerste aanname zegt dat m niet gelijk is aan 1, want 1 zit immers in A. Dus m>1. Die m is het kleinste element, dus m-1 hoort niet meer tot B, dus m-1 e A. Nou pakken we de tweede aanname er bij: die zegt dan dat m e A, maar we stelden dat m e B, dus hebben we een tegenspraak. Conclusie: B is de nulverzameling, en A=N.

quote:

Je gebruikt hierbij dat de natuurlijke getallen welgeordend zijn.

quote:

Op donderdag 10 november 2005 00:00 schreef DionysuZ het volgende:
ik snap niet zozeer wat er zo onlogisch aan is Aslama, kun je het nog een keer uitleggen?

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:25 schreef DionysuZ het volgende:
je neemt helemaal niet k=3 of k=2. Je neemt dat k = een zeker getal in de verzameling. Welk getal benoemen we niet. Hierdoor moet hetgeen je bewijst dus gelden voor alle k in die verzameling.

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:16 schreef Aslama het volgende:


Ik begrijp deze logica niet helemaal (bold gemaakte zinnen) Kan je uitleggen waarom uit de tweede aanname en de tegenspraak met de eerste aanname het bewijs van onwaarheid van de eerste aanname volgt?
[..]

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:30 schreef Aslama het volgende:

[..]

Klopt, maar het bewijs volgt uit de aanname dat de uitspraak geldt voor n<k.

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:31 schreef placebeau het volgende:

[..]

Je stelt nu ook bewijzen uit het ongerijmde in twijfel

quote:

iets kan niet niet waar en wel waar tegelijk zijn, da's de eerste wet van de logica.

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:34 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

precies, en daarom de basisstap. Die aanname kan alleen maar genomen worden als de stelling klopt voor de minimale elementen in de verzameling

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:39 schreef placebeau het volgende:

[..]

het is uit die twee aannames dat je iets wil bewijzen.
je wilt dus uitgaande van het feit dat die twee aannames waar zijn, tot je resultaat dat A=N is komen.
Dat die twee waar zijn heb je dus gegeven.

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:40 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

De basisstap neem je niet aan, die bewijs je. Die is meestal triviaal, niet altijd.

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:39 schreef placebeau het volgende:

[..]

het is uit die twee aannames dat je iets wil bewijzen.
je wilt dus uitgaande van het feit dat die twee aannames waar zijn, tot je resultaat dat A=N is komen.

quote:

Dat die twee waar zijn heb je dus gegeven.

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:42 schreef placebeau het volgende:

[..]

ja, als je de inductie toepast.
Maar het gaat hier over het bewijs van haushofer

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:34 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

precies, en daarom de basisstap. Die aanname kan alleen maar genomen worden als de stelling klopt voor de minimale elementen in de verzameling

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:49 schreef Aslama het volgende:

[..]

Als de uitspraak voor n=1 waar is kan je dus aannemen dat de uitspraak ook waar is voor n<k ?

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:51 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

Nee. Als je met de aanname dat de uitspraak klopt voor alle n < k níet kunt bewijzen dat de uitspraak dan ook geldt voor n = k, dan klopt je aanname ook niet. Als je het wél kunt bewijzen, klopt je aanname automatisch ook

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:54 schreef Aslama het volgende:

[..]

Kan je mij de vette zinnen nader uitleggen?

quote:

Op donderdag 10 november 2005 02:00 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

Tuurlijk. de basisstap is een essentiele stap. Die bewijs je. Als die bewezen is klopt de stelling dus voor de minimale elementen in de verzameling. Ok, dit heb je.

Vervolgens neem je even voor de lol aan dat de stelling geldt voor alle n < k, voor een k in de verzameling, en k is geen minimaal element. Ok dit is een aanname, je weet niet of deze klopt.

Vervolgens probeer ik mét deze aanname te bewijzen dat de stelling ook geldt voor n=k. Kan ik dat niet, dan klopt de aanname ook niet, logischerwijs. Maar als ik met deze aanname kan bewijzen dat de stelling wél geldt voor n = k, kunnen we dan ook concluderen dat de aanname geldt?

Ja, want we hebben het minimale element m, en hebben net bewezen dat m+1 dan ook klopt. Als m+1 klopt dan hebben we net bewezen dat m+2 klopt. Als m+2 klopt, hebben we net bewezen dat m+3 klopt etc. etc. tot de maximale elementen van de verzameling. De aanname klopt dus.

quote:

Op donderdag 10 november 2005 02:06 schreef Aslama het volgende:

[..]

Waar hebben we die vette zin bewezen?

quote:

Op woensdag 9 november 2005 23:28 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

Ook helaas in herhaling . Volledige inductie werkt zo:
1. Basisstap: bewijs dat de stelling geldt voor de minimale elementen (bijv. n = 0) van de verzameling A
2. Aanname: stel dat de stelling geldt voor een willekeurig element x van A
3. Bewijs: als de stelling geldt voor x, bewijs dat hij geldt voor de directe opvolger van x.

Zo ontstaat er een keten van de minimale elementen tot de maximale elementen. En allemaal kloppen ze.

quote:

Op donderdag 10 november 2005 02:24 schreef DionysuZ het volgende:

[..]
bij volledige inductie is de aanname alleen dat de stelling geldt voor alle n < k.

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:46 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

De basisstap is een inductiestap, die bewijs je niet door inductie toe te passen.

Bijvoorbeeld. Stel je wilt bewijzen dat n² > 2*n voor alle n > 2, n in |N.

Dan is je basisstap: neem n = 3. 3² = 9, 2*3 = 6. 9 > 6. Hiermee dus de basisstap bewijzend.

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:16 schreef Aslama het volgende:


Hieronder probeer ik met je te discusseren zonder te beweren dat A ongelijk aan N is. Ik stel alleen een vraag over je afleiding

****************
Stel es dat A niet gelijk is aan N. Dan kun je een verzameling B definieren als volgt:
{n e N : n niet in A} , dus B=N\A. B heeft een kleinste element, bijvoorbeeld m. De eerste aanname zegt dat m niet gelijk is aan 1, want 1 zit immers in A. Dus m>1. Die m is het kleinste element, dus m-1 hoort niet meer tot B, dus m-1 e A. Nou pakken we de tweede aanname er bij: die zegt dan dat m e A, maar we stelden dat m e B, dus hebben we een tegenspraak. Conclusie: B is de nulverzameling, en A=N.
*****************

Ik begrijp deze logica niet helemaal (bold gemaakte zinnen) Kan je uitleggen waarom uit de tweede aanname en de tegenspraak met de eerste aanname het bewijs van onwaarheid van de eerste aanname volgt?
[..]

quote:

Op donderdag 10 november 2005 10:30 schreef placebeau het volgende:

[..]

dat weet ik ook wel, het gaat niet over toepassing van inductie, het gaat over het bewijs van haushofer.

quote:

Op donderdag 10 november 2005 13:12 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Even voor de goede orde: dat bewijs deugt toch wel? Ik zie zelf iig niet waar het de mist in gaat.

quote:

Op donderdag 10 november 2005 19:53 schreef Athlon_2o0o het volgende:
Waarom is iedereen zo gehamerd op inductie in de wiskunde? Dit speelt bij alle vormen van wetenschap een belangrijke rol. Net zo goed bij alpha-wetenschappen..

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:31 schreef placebeau het volgende:

[..]

Je stelt nu ook bewijzen uit het ongerijmde in twijfel
iets kan niet niet waar en wel waar tegelijk zijn, da's de eerste wet van de logica.

quote:

Op donderdag 10 november 2005 13:09 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Naar mijn idee is het zo klaar als een klontje, maar dat kan aan mij liggen; wiskunde is niet mijn sterkste kant, daarvoor moet je bij Thabit zijn. Ik kan het iig proberen:

Je definieert je verzameling B als alle natuurlijke getallen n die niet in A zitten. Die B moet een kleinste element hebben, die m, en daarmee concludeer je dat m-1 in A zit. Echter, stel nu dat je hebt aangetoond dat met de aanname " de formule klopt voor n" hebt kunnen aantonen "de formule klopt voor n+1", voor willekeurige n. Dan heb je toch een rechtstreekse tegenspraak te pakken? Je hebt dan een stelling die zowel waar als onwaar is ( namelijk m e A en m e B, terwijl B=N\A ). Dus kennelijk geldt dat A=N. Ik vrees dat je dit niet echt duidelijker kunt uitleggen.

quote:

Trouwens, moet je dit voor je studie gebruiken ofzo?

quote:

Op donderdag 10 november 2005 02:14 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

we hebben bewezen dat voor een k in de verzameling waarvoor geldt:
- k is niet minimaal
- voor alle n < k geldt de stelling
Dat k ook klopt.

quote:

Trekken we dit door:
- de stelling geldt voor minimale m
- geldt de stelling dan ook voor m+1?

ja, want voor m+1 geldt:
- m+1 is niet minimaal
- voor alle n < m+1 geldt de stelling
Dus klopt m+1 ook

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 04:01 schreef Aslama het volgende:

[..]

Deze bewering klopt niet. De vette zin is niet bewezen.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 04:56 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

Als je goed leest opper ik dat nergens:

we hebben bewezen dat voor een k in de verzameling waarvoor geldt:
- k is niet minimaal
- voor alle n < k geldt de stelling
Dat k ook klopt.

Dat is precies hetzelfde als zeggen:
we hebben bewezen dat voor een grasspriet waarvoor geldt:
- alle grassprieten zijn blauw
dat die grasspriet ook blauw is.

Dan hoef ik nog niet te bewijzen dat alle grassprieten blauw zijn toch?

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 06:20 schreef Doderok het volgende:
Misschien is een voorbeeld duidelijker:

S_i=1+2+3+4+.. +i

Te Bewijzen: S_i=i(i+1)/2

Bewijs:

het geldt voor i=1
1=1.(1+1)/2

als het voor een waarde i=k geldt, geldt het dan ook voor i=k+1 ?
Dat moet dus aangetoond worden, dat veronderstellen we niet zomaar.
Dus, gegeven dat voor een waarde k geldt S_k=k(k+1)/2
Eveneens gegeven n=k+1
Te bewijzen:
S_n=n(n+1)/2

Uit de definitie van S_k
S_k=1+2+..+k
S_n=S_k+1=1+2+ .. +k+(k+1)
volgt: S_n=S_k+n
formule voor S_k invullen
=(k.(k+1)/2)+n
substitutie k=n-1
=((n-1).n/2)+n
=((n-1).n + 2n)/2
=(n.n + n)/2
=n.(n+1)/2
wat moest bewezen worden.

Het geldt voor k=1, dus ook voor k=2 etc..

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 07:16 schreef Yosomite het volgende:

[..]

Het werken met 3 indices i, k, n maakt het niet duidelijker. Eerder onduidelijker.
Zeker als 2 indices volstaan.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 05:31 schreef Aslama het volgende:
De kernvraag was: hoe heb je bewezen dat al de grassprieten in de verzameling blauw zijn?
Stel:

Jje hebt grassprieten die op een rij staan. Je kunt ze niet zien. Je pakt de eerste en kijkt: blauw. Vervolgens pakt je een willekeurige grasspriet van de rij en kijkt: ook blauw. Daarna pakt je alle grassprieten die na de willekeurige grasspriet in de rij staan en kijk ze zijn allemaal blauw.

Heb je bewezen dat alle grassprieten in de rij blauw zijn ? Als je de willekeurige grasspriet pakte die meteen na de eerste graspriet staat wel. Maar dat is niet zeker omdat het een willekeurige is. Het voorbeeld is niet helemaal volledige inductie maar laat zien dat je hebt niet bewezen dat de uitspraak voor n<k geldt.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 05:31 schreef Aslama het volgende:

[..]

De kernvraag was: hoe heb je bewezen dat al de grassprieten in de verzameling blauw zijn?
Stel:

Jje hebt grassprieten die op een rij staan. Je kunt ze niet zien. Je pakt de eerste en kijkt: blauw. Vervolgens pakt je een willekeurige grasspriet van de rij en kijkt: ook blauw. Daarna pakt je alle grassprieten die na de willekeurige grasspriet in de rij staan en kijk ze zijn allemaal blauw.

Heb je bewezen dat alle grassprieten in de rij blauw zijn ? Als je de willekeurige grasspriet pakte die meteen na de eerste graspriet staat wel. Maar dat is niet zeker omdat het een willekeurige is. Het voorbeeld is niet helemaal volledige inductie maar laat zien dat je hebt niet bewezen dat de uitspraak voor n<k geldt.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 03:58 schreef Aslama het volgende:

[..]

De vette zin is een aanname dus de gehele bewering is een aanname. Stel je voor dat de vette zin onwaar is (een aanname kan onwaar zijn), wat voor conclusie kan je trekken voor n+1 ?
[..]

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 12:31 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Als je deze inductiestap niet kunt maken, dan klopt je veronderstelling niet. Simpel.

quote:

Het mooie van inductie is, dat je een afleiding kunt gaan gokken, en dan kunt checken met volledige inductie of je gok ook klopt. Maar als je met de aanname "waar voor n"niet kunt aantonen "waar voor n+1", dan houdt het op; dan was je gokje kennelijk niet goed.
( en natuurlijk moet de aanname gelden voor een kleinste n, bijvoorbeeld 1, 2, 3, etc. ) Je kunt zo gemakkelijk bv de ongelijkheid van Bernoulli bewijzen, da's een aardige oefening

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 06:20 schreef Doderok het volgende:
Misschien is een voorbeeld duidelijker:

S_i=1+2+3+4+.. +i

Te Bewijzen: S_i=i(i+1)/2

Bewijs:

het geldt voor i=1
1=1.(1+1)/2

(a) als het voor een waarde i=k geldt, geldt het dan ook voor i=k+1 ?
Dat moet dus aangetoond worden, dat veronderstellen we niet zomaar.
(b) Dus, gegeven dat voor een waarde k geldt S_k=k(k+1)/2

quote:

Eveneens gegeven n=k+1
Te bewijzen:
S_n=n(n+1)/2 ..........(d)

Uit de definitie van S_k
S_k=1+2+..+k
S_n=S_k+1=1+2+ .. +k+(k+1)
volgt: S_n=S_k+n
formule voor S_k invullen
=(k.(k+1)/2)+n ...(c)
substitutie k=n-1
=((n-1).n/2)+n
=((n-1).n + 2n)/2
=(n.n + n)/2
=n.(n+1)/2
wat moest bewezen worden.

Het geldt voor k=1, dus ook voor k=2 etc..

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 09:04 schreef Pie.er het volgende:

[..]

Nee, dan heb je het niet bewezen. Maar dit is ook niet de methode van volledige inductie.

quote:

Deze gaat zo:

Je hebt grassprieten die op een rij staan. Je kunt ze niet zien. Je pakt de eerste en kijkt: blauw.
Vervolgens bewijs je, op wat voor manier dan ook, dat als je een willekeurige grasspriet pakt, en hij is toevallig blauw, degene die erna staat ook blauw is.

quote:

Dit bovenstaande moet voor ELKE willekeurige grasspriet gelden, niet voor zomaar een willekeurige. Eigenlijk bewijs je dus: ALS een grassprietje blauw is, DAN is zijn opvolger ook blauw.

quote:

En daarna laat je VI het werk doen. De eerste is blauw, dus is de tweede ook blauw, dus is de derde ook blauw, enzovoorts.


Duidelijk is het dominovoorbeeld:
Omvallende dominostenen op een rijtje voldoen aan twee voorwaarden:
1. De eerste dominosteen wordt door iemand omgeduwd.
2. Als een willekeurige dominosteen omvalt, valt hij tegen de volgende aan, en die valt dan ook. Dit geldt voor ELKE willekeurige dominosteen.

Nu bewijs je hiermee dat ze allemaal omvallen. De eerste valt om, daarom de tweede, enzovoorts.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 17:29 schreef placebeau het volgende:
Tip: lees een cursus wiskundige logica, er zal een wereld voor je opengaan
Je maakt het allemaal veel moeilijker dan het is.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 17:33 schreef Aslama het volgende:

[..]

Het heeft meer zin als je kan aantonen waar de logica fout is.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 17:52 schreef placebeau het volgende:
http://www.math.ru.nl/wis(...)wiskundigdenken4.pdf

quote:

enneeuh nog een voorbeeld.

Uit onderzoek weten we:
Ik bezit het genoom L.
iedereen die het genoom L bezit geeft dat door aan zijn kinderen.

simpele conclusie:
Heel mijn nageslacht zal het genoom L bezitten.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:12 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Mja, ik wil niet lullig doen, maar ik snap werkelijk waar niet wat je probleem is Dat bewijs wat ik je gegeven heb is zonneklaar naar mijn idee. Heb je daar al es goed naar gekeken?

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:28 schreef Aslama het volgende:

[..]

Ik wil ook niet lullig doen. Tuurlijk heb ik goed gelezen en er zelfs inhoudelijk op gereageerd. Heb je zelf wel goed begrepen wat ik bedoel ?
Trouwens begrijp je mijn vraag niet? welke conclusie kan je trekken voor n=k+1 als blijkt dat de aanname niet klopt (deze vraag is geldig)

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:29 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

Je kunt nog steeds dezelfde conclusie trekken: ALS de aanname klopt, dan klopt de conclusie ook. Als blijkt dat de aanname niet klopt, klopt deze stelling nog steeds

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:37 schreef Aslama het volgende:

[..]

a => b
a is waar dan b is waar.
a is niet waar dan geen uitspraak over b. Dat heeft mijn oma toen verteld.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:35 schreef Maethor het volgende:
Iedereen die genoom L heeft geeft dit door aan zijn kinderen.

quote:

Als X geldt voor een willekeurige n, dan ook voor n+1

quote:

Ik bezit het genoom L
X geldt voor n=1

Dus mijn zoon bezit genoom L
X geldt voor n=2

Dus mijn kleinzoon bezit genoom L, etc etc
X geldt voor n=3,4,5,...

Dus mijn hele nageslacht bezit genoom L
X geldt voor n>=1

_____
Wat je moet bewijzen is dus dat
- Als X geldt voor een willekeurige n, dan ook voor n+1, én
- X geldt voor n=a.
en dan volgt
- X geldt voor n>=a.

In het voorbeeld namen we a=1. X is een stelling / eigenschap.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:46 schreef Aslama het volgende:
[..]
Dit begrijp ik ja en bewezen.
[..]
Dit moet dus bewezen worden.
[..]

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:45 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

truth table:
[ code verwijderd ]

Zoals je ziet is het alleen belangrijk om te weten wat b doet als a waar is. Als b waar is als a waar is, dan is a => b waar.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:35 schreef Maethor het volgende:
Iedereen die genoom L heeft geeft dit door aan zijn kinderen.

quote:

Als X geldt voor een willekeurige n, dan ook voor n+1

quote:

Ik bezit het genoom L
X geldt voor n=1

Dus mijn zoon bezit genoom L
X geldt voor n=2

Dus mijn kleinzoon bezit genoom L, etc etc
X geldt voor n=3,4,5,...

Dus mijn hele nageslacht bezit genoom L
X geldt voor n>=1

_____
Wat je moet bewijzen is dus dat
- Als X geldt voor een willekeurige n, dan ook voor n+1, én
- X geldt voor n=a.
en dan volgt
- X geldt voor n>=a.

In het voorbeeld namen we a=1. X is een stelling / eigenschap.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:49 schreef Aslama het volgende:

[..]

a => b is bewezen dus true. je moet nu alleen kijken naar 2, 4 en 5 in de truth table. Je ziet als a false is, kan b zowel fals en true zijn.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:52 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

Kijk, als ik de uitspraak doe:

Als de maan blauw is dan vliegen er olifantjes rondom pluto
a => b

Je snapt toch dat ik dan alleen hoef te bewijzen dat er olifantjes rondom pluto vliegen als de maan blauw is of niet?

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:55 schreef DionysuZ het volgende:
ok a => b is bewezen dus true!

Nu weten we dus dat als a geldt, dat b ook geldt! Immers als a geldt en b is false, dan is a => b false.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 19:02 schreef Aslama het volgende:

[..]

Dus als de maan niet blauw is hoef je van die olifantjes niet te bewijzen . de maan kan ook anders dan blauw zijn. dus in dit geval hoef je van die olifantjes niet te bewezen. de stelling werkt alleen als de maan blauw is. De maan is niet altijd blauw en de stelling is dus niet altijd juist.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 19:04 schreef Aslama het volgende:

[..]

Het is een aanname dat a geldt.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 19:04 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

Als a niet geldt, klopt a => b nog steeds.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 19:16 schreef Aslama het volgende:

[..]

a => b geldt nog steeds. maar geen uitspraken over b.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 19:19 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

wel de uitspraak dat b geldt als a geldt. dat heb je immers bewezen! zo werkt dat bij inductie dus. als a niet geldt, kun je ook geen uitspraken over b doen inderdaad. Maar je kijkt voor ieder element in de verzameling of a geldt: en als a geldt, dan weet je dat b geldt.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 19:28 schreef Aslama het volgende:

[..]

Nee. Als (je kijkt voor ieder element in de verzameling of a geldt en als a geldt) dan weet je dat b geldt. Je kijkt niet daadwerkelijk. b geldt niet daadwerklijk

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:28 schreef Aslama het volgende:

[..]

Ik wil ook niet lullig doen. Tuurlijk heb ik goed gelezen en er zelfs inhoudelijk op gereageerd. Heb je zelf wel goed begrepen wat ik bedoel ?
Trouwens begrijp je mijn vraag niet? welke conclusie kan je trekken voor n=k+1 als blijkt dat de aanname niet klopt (deze vraag is geldig)

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:52 schreef Aslama het volgende:
Mijn punt is dat VI gebruik maakt van een aanname.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 19:32 schreef Maethor het volgende: