Volledige inductie

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 06:20 schreef Doderok het volgende:
Misschien is een voorbeeld duidelijker:

S_i=1+2+3+4+.. +i

Te Bewijzen: S_i=i(i+1)/2

Bewijs:

het geldt voor i=1
1=1.(1+1)/2

als het voor een waarde i=k geldt, geldt het dan ook voor i=k+1 ?
Dat moet dus aangetoond worden, dat veronderstellen we niet zomaar.
Dus, gegeven dat voor een waarde k geldt S_k=k(k+1)/2
Eveneens gegeven n=k+1
Te bewijzen:
S_n=n(n+1)/2

Uit de definitie van S_k
S_k=1+2+..+k
S_n=S_k+1=1+2+ .. +k+(k+1)
volgt: S_n=S_k+n
formule voor S_k invullen
=(k.(k+1)/2)+n
substitutie k=n-1
=((n-1).n/2)+n
=((n-1).n + 2n)/2
=(n.n + n)/2
=n.(n+1)/2
wat moest bewezen worden.

Het geldt voor k=1, dus ook voor k=2 etc..

Het werken met 3 indices i, k, n maakt het niet duidelijker. Eerder onduidelijker.
Zeker als 2 indices volstaan.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 07:16 schreef Yosomite het volgende:

[..]

Het werken met 3 indices i, k, n maakt het niet duidelijker. Eerder onduidelijker.
Zeker als 2 indices volstaan.

Toch duidelijker dan blauwe grassprietjes

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 05:31 schreef Aslama het volgende:
De kernvraag was: hoe heb je bewezen dat al de grassprieten in de verzameling blauw zijn?
Stel:

Jje hebt grassprieten die op een rij staan. Je kunt ze niet zien. Je pakt de eerste en kijkt: blauw. Vervolgens pakt je een willekeurige grasspriet van de rij en kijkt: ook blauw. Daarna pakt je alle grassprieten die na de willekeurige grasspriet in de rij staan en kijk ze zijn allemaal blauw.

Heb je bewezen dat alle grassprieten in de rij blauw zijn ? Als je de willekeurige grasspriet pakte die meteen na de eerste graspriet staat wel. Maar dat is niet zeker omdat het een willekeurige is. Het voorbeeld is niet helemaal volledige inductie maar laat zien dat je hebt niet bewezen dat de uitspraak voor n<k geldt.

Nee, dan heb je het niet bewezen. Maar dit is ook niet de methode van volledige inductie. Deze gaat zo:

Je hebt grassprieten die op een rij staan. Je kunt ze niet zien. Je pakt de eerste en kijkt: blauw.
Vervolgens bewijs je, op wat voor manier dan ook, dat als je een willekeurige grasspriet pakt, en hij is toevallig blauw, degene die erna staat ook blauw is.

Dit bovenstaande moet voor ELKE willekeurige grasspriet gelden, niet voor zomaar een willekeurige. Eigenlijk bewijs je dus: ALS een grassprietje blauw is, DAN is zijn opvolger ook blauw.

En daarna laat je VI het werk doen. De eerste is blauw, dus is de tweede ook blauw, dus is de derde ook blauw, enzovoorts.


Duidelijk is het dominovoorbeeld:
Omvallende dominostenen op een rijtje voldoen aan twee voorwaarden:
1. De eerste dominosteen wordt door iemand omgeduwd.
2. Als een willekeurige dominosteen omvalt, valt hij tegen de volgende aan, en die valt dan ook. Dit geldt voor ELKE willekeurige dominosteen.

Nu bewijs je hiermee dat ze allemaal omvallen. De eerste valt om, daarom de tweede, enzovoorts.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 05:31 schreef Aslama het volgende:

[..]

De kernvraag was: hoe heb je bewezen dat al de grassprieten in de verzameling blauw zijn?
Stel:

Jje hebt grassprieten die op een rij staan. Je kunt ze niet zien. Je pakt de eerste en kijkt: blauw. Vervolgens pakt je een willekeurige grasspriet van de rij en kijkt: ook blauw. Daarna pakt je alle grassprieten die na de willekeurige grasspriet in de rij staan en kijk ze zijn allemaal blauw.

Heb je bewezen dat alle grassprieten in de rij blauw zijn ? Als je de willekeurige grasspriet pakte die meteen na de eerste graspriet staat wel. Maar dat is niet zeker omdat het een willekeurige is. Het voorbeeld is niet helemaal volledige inductie maar laat zien dat je hebt niet bewezen dat de uitspraak voor n<k geldt.

Als je ziet dat de eerste graspriet blauw is, en je kunt aantonen dat voor elke willekeurige n geld dat als graspriet_n-1 blauw is, dat dan graspriet_n ook blauw is, dan moet je conclusie zijn dat alle grasprieten blauw zijn. De eerste is namelijk blauw, dus is de tweede ook blauw, dus is de derde ook blauw, dus is de vierde ook blauw, enzovoort...

Edit: oh, was al gezegd

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 03:58 schreef Aslama het volgende:

[..]

De vette zin is een aanname dus de gehele bewering is een aanname. Stel je voor dat de vette zin onwaar is (een aanname kan onwaar zijn), wat voor conclusie kan je trekken voor n+1 ?
[..]

Als je deze inductiestap niet kunt maken, dan klopt je veronderstelling niet. Simpel.

Het mooie van inductie is, dat je een afleiding kunt gaan gokken, en dan kunt checken met volledige inductie of je gok ook klopt. Maar als je met de aanname "waar voor n"niet kunt aantonen "waar voor n+1", dan houdt het op; dan was je gokje kennelijk niet goed.
( en natuurlijk moet de aanname gelden voor een kleinste n, bijvoorbeeld 1, 2, 3, etc. ) Je kunt zo gemakkelijk bv de ongelijkheid van Bernoulli bewijzen, da's een aardige oefening

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 12:31 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Als je deze inductiestap niet kunt maken, dan klopt je veronderstelling niet. Simpel.

Dat is niet het antwoord op mijn vraag. Je hebt de inductie stap gemaakt, maar de vette zin blijkt onwaar te zijn. Dat kan, want de vette zin is een aanname. Wat voor conclusie kan je trekken voor n+1 ?

quote:

Het mooie van inductie is, dat je een afleiding kunt gaan gokken, en dan kunt checken met volledige inductie of je gok ook klopt. Maar als je met de aanname "waar voor n"niet kunt aantonen "waar voor n+1", dan houdt het op; dan was je gokje kennelijk niet goed.
( en natuurlijk moet de aanname gelden voor een kleinste n, bijvoorbeeld 1, 2, 3, etc. ) Je kunt zo gemakkelijk bv de ongelijkheid van Bernoulli bewijzen, da's een aardige oefening

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 06:20 schreef Doderok het volgende:
Misschien is een voorbeeld duidelijker:

S_i=1+2+3+4+.. +i

Te Bewijzen: S_i=i(i+1)/2

Bewijs:

het geldt voor i=1
1=1.(1+1)/2

(a) als het voor een waarde i=k geldt, geldt het dan ook voor i=k+1 ?
Dat moet dus aangetoond worden, dat veronderstellen we niet zomaar.
(b) Dus, gegeven dat voor een waarde k geldt S_k=k(k+1)/2

(a) is een voorwaarde die nog getoetst (bewezen) moet worden, in (b) is die voorwaarde plotseling als een bewezen feit behandeld. Dat noem ik een omtovering, geen bewijs. Zie je dat ?

quote:

Eveneens gegeven n=k+1
Te bewijzen:
S_n=n(n+1)/2 ..........(d)

Uit de definitie van S_k
S_k=1+2+..+k
S_n=S_k+1=1+2+ .. +k+(k+1)
volgt: S_n=S_k+n
formule voor S_k invullen
=(k.(k+1)/2)+n ...(c)
substitutie k=n-1
=((n-1).n/2)+n
=((n-1).n + 2n)/2
=(n.n + n)/2
=n.(n+1)/2
wat moest bewezen worden.

Het geldt voor k=1, dus ook voor k=2 etc..

In (c) zie je hoe de nog te toetsen voorwaarde als een feit wordt behandeld om de stelling te bewijzen. Dus volledige inductie is gebasseerd op een aanname, staat ook in de beschrijving van VI, en die aanname wordt in de VI niet bewezen.

[ Bericht 0% gewijzigd door Aslama op 12-11-2005 10:13:49 ]

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 09:04 schreef Pie.er het volgende:

[..]

Nee, dan heb je het niet bewezen. Maar dit is ook niet de methode van volledige inductie.

Klopt dat schreef ik ook.

quote:

Deze gaat zo:

Je hebt grassprieten die op een rij staan. Je kunt ze niet zien. Je pakt de eerste en kijkt: blauw.
Vervolgens bewijs je, op wat voor manier dan ook, dat als je een willekeurige grasspriet pakt, en hij is toevallig blauw, degene die erna staat ook blauw is.

Oke je hebt bewezen dat als je een willekeurige grasspriet pakt, en hij is toevallig blauw, degene die erna staat ook blauw is. Dus deze bewering is waar (bewezen):

Als je een willekeurige grasspriet pakt, en hij is toevallig blauw, degene die erna staat ook blauw is.

Het probleem is, er wordt in VI helemaal geen willekeurige grasspriet daadwerkelijk gepakt, het is: als gepakt en blauw, dan pas de volgende blauw.
Dus met VI kan je in feite niets zeggen of die erna staat ook blauw is.

quote:

Dit bovenstaande moet voor ELKE willekeurige grasspriet gelden, niet voor zomaar een willekeurige. Eigenlijk bewijs je dus: ALS een grassprietje blauw is, DAN is zijn opvolger ook blauw.

Dat het aan deze voorwaarde voldoet wordt inderdaad in VI aangenomen. Aangenomen dat een grassprietje blauw is, dan is zijn opvolger ook blauw. Er wordt niet bewezen dat een grassprietje blauw is en dus geen uitspraken over de opvolger.

quote:

En daarna laat je VI het werk doen. De eerste is blauw, dus is de tweede ook blauw, dus is de derde ook blauw, enzovoorts.


Duidelijk is het dominovoorbeeld:
Omvallende dominostenen op een rijtje voldoen aan twee voorwaarden:
1. De eerste dominosteen wordt door iemand omgeduwd.
2. Als een willekeurige dominosteen omvalt, valt hij tegen de volgende aan, en die valt dan ook. Dit geldt voor ELKE willekeurige dominosteen.

Nu bewijs je hiermee dat ze allemaal omvallen. De eerste valt om, daarom de tweede, enzovoorts.

[ Bericht 0% gewijzigd door Aslama op 11-11-2005 17:36:14 ]

Tip: lees een cursus wiskundige logica, er zal een wereld voor je opengaan
Je maakt het allemaal veel moeilijker dan het is.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 17:29 schreef placebeau het volgende:
Tip: lees een cursus wiskundige logica, er zal een wereld voor je opengaan
Je maakt het allemaal veel moeilijker dan het is.

Het heeft meer zin als je kan aantonen waar de logica fout is.

http://www.math.ru.nl/wis(...)wiskundigdenken4.pdf

enneeuh nog een voorbeeld.

Uit onderzoek weten we:
Ik bezit het genoom L.
iedereen die het genoom L bezit geeft dat door aan zijn kinderen.

simpele conclusie:
Heel mijn nageslacht zal het genoom L bezitten.

Ok Aslama, ik zal het stap voor stap proberen.

Stel we hebben een stelling P op de natuurlijke getallen die we willen bewijzen met behulp van VI. Dat gaan we dan doen:

(1) We bewijzen dat P geldt voor de basiselementen van de verzameling. Omdat het de natuurlijke getallen betreft, is het basiselement 1. Nu bewijzen we P(1).
[ a ] P(1) is bewezen.

(2) Nu P(1) bewezen is, nemen we k, een natuurlijk getal ongelijk aan het basiselement 1.
- We nemen aan (we weten dus niet of het klopt!) dat P geldt voor alle natuurlijke getallen < k.
- Met deze aanname, waarvan we niet weten of hij klopt, proberen we te bewijzen dat P geldt voor k. Als P niet geldt voor k met deze aanname kunnen we de stelling niet bewijzen. Maar goed, we bewijzen dus P(k) en kunnen dan concluderen:

[ b ] P(k) is bewezen voor alle natuurlijke k waarvoor geldt dat P geldt voor alle natuurlijke getallen < k. (Let op: we weten dus nog steeds niet of deze aanname klopt, maar we weten nu WEL dat als deze aanname klopt, dat P(k) ook klopt!!)

(3) Nu gaan we de dominostenen laten vallen . We weten dat P(1) klopt: [ a ].
- Klopt P(2)? Ja, zie [ b ]: omdat P(1) klopt geldt P voor alle natuurlijke getallen < 2, wat onze voorwaarde was, dan klopt P(2) ook.
- Klopt P(3)? Ja, zie [ b ]: omdat P(1) klopt en P(2) klopt geldt P voor alle natuurlijk getallen < 3, wat onze voorwaarde was, en zo kunnen we concluderen dat P(3) klopt.
- Klopt P(4)? Ja, zie [ b ]: omdat P(1), P(2) en P(3) klopt geldt P voor alle natuurlijke getallen < 4, wat onze voorwaarde was, en zo kunnen we concluderen dat P(4) klopt.
enz.
enz.

wat klopt er niet?

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 17:33 schreef Aslama het volgende:

[..]

Het heeft meer zin als je kan aantonen waar de logica fout is.

Mja, ik wil niet lullig doen, maar ik snap werkelijk waar niet wat je probleem is Dat bewijs wat ik je gegeven heb is zonneklaar naar mijn idee. Heb je daar al es goed naar gekeken?

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 17:52 schreef placebeau het volgende:
http://www.math.ru.nl/wis(...)wiskundigdenken4.pdf

Bedankt voor de link. Ik ga lezen als ik tijd heb. Bewezen is als ik tijd heb ga ik lezen. Maar ik heb geen tijd Kan je zeggen dat ik ga lezen?Het is wel bewezen dat als ik tijd heb ik ga lezen .

quote:

enneeuh nog een voorbeeld.

Uit onderzoek weten we:
Ik bezit het genoom L.
iedereen die het genoom L bezit geeft dat door aan zijn kinderen.

simpele conclusie:
Heel mijn nageslacht zal het genoom L bezitten.

Dit is interessant. Als je duidelijk kan maken dat de natuurlijke getallen op die manier werkt dan vind ik VI waterdicht.

Hij heeft problemen met de aanname. Maar die is toch zonneklaar dacht ik

1. bewijs dat de eerste dominosteen omvalt
2. als alle dominostenen < k zijn omgevallen, bewijs dat dan k ook omvalt.
3. omdat dominosteen 1 om is gevallen, zijn alle dominostenen < 2 omgevallen, waardoor 2 ook omvalt.
4. omdat dominosteen 1 en 2 zijn omgevallen, zijn alle dominostenen < 3 omgevallen, waardoor 3 ook omvalt.
5. etc. etc. etc.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:12 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Mja, ik wil niet lullig doen, maar ik snap werkelijk waar niet wat je probleem is Dat bewijs wat ik je gegeven heb is zonneklaar naar mijn idee. Heb je daar al es goed naar gekeken?

Ik wil ook niet lullig doen. Tuurlijk heb ik goed gelezen en er zelfs inhoudelijk op gereageerd. Heb je zelf wel goed begrepen wat ik bedoel ?
Trouwens begrijp je mijn vraag niet? welke conclusie kan je trekken voor n=k+1 als blijkt dat de aanname niet klopt (deze vraag is geldig)

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:28 schreef Aslama het volgende:

[..]

Ik wil ook niet lullig doen. Tuurlijk heb ik goed gelezen en er zelfs inhoudelijk op gereageerd. Heb je zelf wel goed begrepen wat ik bedoel ?
Trouwens begrijp je mijn vraag niet? welke conclusie kan je trekken voor n=k+1 als blijkt dat de aanname niet klopt (deze vraag is geldig)

Je kunt nog steeds dezelfde conclusie trekken: ALS de aanname klopt, dan klopt de conclusie ook. Als blijkt dat de aanname niet klopt, klopt deze stelling nog steeds

[ Bericht 100% gewijzigd door Maethor op 11-11-2005 19:00:53 (Klopt niet helemaal - zie mijn volgende post) ]

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:29 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

Je kunt nog steeds dezelfde conclusie trekken: ALS de aanname klopt, dan klopt de conclusie ook. Als blijkt dat de aanname niet klopt, klopt deze stelling nog steeds

a => b
a is waar dan b is waar.
a is niet waar dan geen uitspraak over b. Dat heeft mijn oma toen verteld.

nou en?

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:37 schreef Aslama het volgende:

[..]

a => b
a is waar dan b is waar.
a is niet waar dan geen uitspraak over b. Dat heeft mijn oma toen verteld.

truth table:

Zoals je ziet is het alleen belangrijk om te weten wat b doet als a waar is. Als b waar is als a waar is, dan is a => b waar.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:35 schreef Maethor het volgende:
Iedereen die genoom L heeft geeft dit door aan zijn kinderen.

Dit begrijp ik ja en bewezen.

quote:

Als X geldt voor een willekeurige n, dan ook voor n+1

Dit moet dus bewezen worden.

quote:

Ik bezit het genoom L
X geldt voor n=1

Dus mijn zoon bezit genoom L
X geldt voor n=2

Dus mijn kleinzoon bezit genoom L, etc etc
X geldt voor n=3,4,5,...

Dus mijn hele nageslacht bezit genoom L
X geldt voor n>=1

_____
Wat je moet bewijzen is dus dat
- Als X geldt voor een willekeurige n, dan ook voor n+1, én
- X geldt voor n=a.
en dan volgt
- X geldt voor n>=a.

In het voorbeeld namen we a=1. X is een stelling / eigenschap.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:46 schreef Aslama het volgende:
[..]
Dit begrijp ik ja en bewezen.
[..]
Dit moet dus bewezen worden.
[..]

...?

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:45 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

truth table:
[ code verwijderd ]

Zoals je ziet is het alleen belangrijk om te weten wat b doet als a waar is. Als b waar is als a waar is, dan is a => b waar.

a => b is bewezen dus true. je moet nu alleen kijken naar 2, 4 en 5 in de truth table. Je ziet als a false is, kan b zowel fals en true zijn.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:35 schreef Maethor het volgende:
Iedereen die genoom L heeft geeft dit door aan zijn kinderen.

Iedereen weet genoom op die manier werkt.

quote:

Als X geldt voor een willekeurige n, dan ook voor n+1

Dit is de stelling die eerste dmv VI bewezen moet worden. Mijn punt is dat VI gebruik maakt van een aanname.

quote:

Ik bezit het genoom L
X geldt voor n=1

Dus mijn zoon bezit genoom L
X geldt voor n=2

Dus mijn kleinzoon bezit genoom L, etc etc
X geldt voor n=3,4,5,...

Dus mijn hele nageslacht bezit genoom L
X geldt voor n>=1

_____
Wat je moet bewijzen is dus dat
- Als X geldt voor een willekeurige n, dan ook voor n+1, én
- X geldt voor n=a.
en dan volgt
- X geldt voor n>=a.

In het voorbeeld namen we a=1. X is een stelling / eigenschap.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:49 schreef Aslama het volgende:

[..]

a => b is bewezen dus true. je moet nu alleen kijken naar 2, 4 en 5 in de truth table. Je ziet als a false is, kan b zowel fals en true zijn.

Kijk, als ik de uitspraak doe:

Als de maan blauw is dan vliegen er olifantjes rondom pluto
a => b

Je snapt toch dat ik dan alleen hoef te bewijzen dat er olifantjes rondom pluto vliegen als de maan blauw is of niet?

ok a => b is bewezen dus true!

Nu weten we dus dat als a geldt, dat b ook geldt! Immers als a geldt en b is false, dan is a => b false.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:52 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

Kijk, als ik de uitspraak doe:

Als de maan blauw is dan vliegen er olifantjes rondom pluto
a => b

Je snapt toch dat ik dan alleen hoef te bewijzen dat er olifantjes rondom pluto vliegen als de maan blauw is of niet?

Dus als de maan niet blauw is hoef je van die olifantjes niet te bewijzen . de maan kan ook anders dan blauw zijn. dus in dit geval hoef je van die olifantjes niet te bewezen. de stelling werkt alleen als de maan blauw is. De maan is niet altijd blauw en de stelling is dus niet altijd juist.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:55 schreef DionysuZ het volgende:
ok a => b is bewezen dus true!

Nu weten we dus dat als a geldt, dat b ook geldt! Immers als a geldt en b is false, dan is a => b false.

Het is een aanname dat a geldt.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 19:02 schreef Aslama het volgende:

[..]

Dus als de maan niet blauw is hoef je van die olifantjes niet te bewijzen . de maan kan ook anders dan blauw zijn. dus in dit geval hoef je van die olifantjes niet te bewezen. de stelling werkt alleen als de maan blauw is. De maan is niet altijd blauw en de stelling is dus niet altijd juist.

De maan is niet altijd blauw, dat zegt alleen iets over de stelling dat de maan blauw is. Die kan dus kloppen of niet kloppen. De stelling a => b zegt echter iets over de relatie tussen maan en olifantjes. Beter voorbeeld:

Als ik in de zee zwem dan word ik nat
a => b

ik hoef niet altijd in de zee te zwemmen, stelling a hoeft dus niet waar te zijn. toch klopt DEZE stelling (a=>b) altijd. Want ALS ik de zee in ga dan word ik nat. Snap je?

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 19:04 schreef Aslama het volgende:

[..]

Het is een aanname dat a geldt.

Als a niet geldt, klopt a => b nog steeds.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 19:04 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

Als a niet geldt, klopt a => b nog steeds.

a => b geldt nog steeds. maar geen uitspraken over b.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 19:16 schreef Aslama het volgende:

[..]

a => b geldt nog steeds. maar geen uitspraken over b.

wel de uitspraak dat b geldt als a geldt. dat heb je immers bewezen! zo werkt dat bij inductie dus. als a niet geldt, kun je ook geen uitspraken over b doen inderdaad. Maar je kijkt voor ieder element in de verzameling of a geldt: en als a geldt, dan weet je dat b geldt.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 19:19 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

wel de uitspraak dat b geldt als a geldt. dat heb je immers bewezen! zo werkt dat bij inductie dus. als a niet geldt, kun je ook geen uitspraken over b doen inderdaad. Maar je kijkt voor ieder element in de verzameling of a geldt: en als a geldt, dan weet je dat b geldt.

Nee. Als (je kijkt voor ieder element in de verzameling of a geldt en als a geldt) dan weet je dat b geldt. Je kijkt niet daadwerkelijk. b geldt niet daadwerklijk

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 19:28 schreef Aslama het volgende:

[..]

Nee. Als (je kijkt voor ieder element in de verzameling of a geldt en als a geldt) dan weet je dat b geldt. Je kijkt niet daadwerkelijk. b geldt niet daadwerklijk

b geldt als a geldt.

daarom ook de basisstap! daardoor weet je dat P(1) geldt. En omdat P(1) geldt dan geldt a voor 2, b waar makend: P(2). En omdat P(1) en P(2) gelden, geldt a voor 3, b waar makend: P(3) .. etc..

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:28 schreef Aslama het volgende:

[..]

Ik wil ook niet lullig doen. Tuurlijk heb ik goed gelezen en er zelfs inhoudelijk op gereageerd. Heb je zelf wel goed begrepen wat ik bedoel ?
Trouwens begrijp je mijn vraag niet? welke conclusie kan je trekken voor n=k+1 als blijkt dat de aanname niet klopt (deze vraag is geldig)

Dat is idd een aanname. Maar dat geeft niet. Als je het bewijs begrijpt, zie je dat als je aanname voor n=1 klopt, en uit "de uitdrukking is waar voor n" kunt concluderen dat " de uitdrukking klopt voor n+1", dan klopt de bewering voor alle n. Zodra je die laatste stap kunt vaststellen, klopt dus je aanname dat de uitdrukking voor n klopt, dat vetgedrukte. Die n is immers willekeurig, en uit je bewijs volgt nu dat die A gelijk is aan de verzameling van alle natuurlijke getallen.

Je kunt, als dat je beter uitkomt, natuurlijk ook uit de aanname " het klopt voor n+80" proberen af te leiden dat het klopt voor n+81. Dat maakt niks uit. Die n is willekeurig. Moet je natuurlijk wel aantonen dat de aanname voor een bepaalde minimum n klopt. Vaak is dat voor n=1, maar het kan net zo goed n=79 zijn voor bepaalde uitdrukkingen, bv bij ongelijkheden.

Als je het nu nog niet begrijpt, dan raad ik je aan om es wat meer wiskunde door te lezen

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:52 schreef Aslama het volgende:
Mijn punt is dat VI gebruik maakt van een aanname.

Klopt, maar je komt wel tot een sluitend bewijs.
Aangezien mijn laatste post niet helemaal correct was (ik heb hem ge-edit) voor de volledigheid nog maar eens een voorbeeld. Misschien ten overvloede, maar goed. Het is ook wel weer eens goed dat ik hier naar kijk.
En ik denk dat een uitvoerige stap-voor-stap benadering nooit kwaad kan.

[TE BEWIJZEN]
Som(i loopt van 1 tot n) i^2 = n(n+1)(2n+1)/6
oftewel
6*Som(i loopt van 1 tot n) i^2 = n(n+1)(2n+1)

Vanaf nu noemen we de laatste formule: vgl. (1).

[STAP 1]
We bewijzen dat de eigenschap geldt voor het minimale element, hier n=1. De sommatie loopt immers vanaf i=1.

Voor n=1 hebben we:
6*Som(i loopt van 1 tot 1) i^2 = 6* 1^2 = 6,
en
n(n+1)(2n+1) = 1*2*3 = 6.

Voor n=1 klopt vgl. (1) dus.

[STAP 2]
Neem nu aan dat vgl. (1) klopt voor een willekeurige n.

Dus dat
6* Som(i loopt van 1 tot n) i^2 = n(n+1)(2n+1)
geldt.

[STAP 3]
Nu bewijzen we dat vgl. (1) dan ook juist is voor n+1

6*Som(i loopt van 1 tot n+1) i^2
= 6(n+1)^2 + 6*Som(i loopt van 1 tot n) i^2
= 6(n+1)^2 + n(n+1)(2n+1)
= (n+1){6(n+1) + n(2n+1)}
= (n+1){6n+6+2n^2+n}
= (n+1){2n^2+7n+6}
= (n+1)(n+2)(2n+3)
= (n+1)(n+2){2(n+1)+1}

Recapitulerend: (introduceer m=n+1)
We hebben aangetoond dat geldt

6*Som(i loopt van 1 tot m) i^2 = m(m+1){2m+1}

[STAP 4]
We weten nu:
- vgl. (1) is juist voor n=1, én
- als vgl. (1) klopt voor een bepaalde n, dan ook voor n+1

Hieruit concluderen we dat voor alle n groter of gelijk aan 1 geldt:
6*Som(i loopt van 1 tot n) i^2 = n(n+1)(2n+1)

Q.E.D.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 19:32 schreef Maethor het volgende:

Jij had het Dif&Int dictaat van meneer Top ook al op schoot liggen?

Dus:
(P(n-1) => P(n)) <=> true, heb je bewezen.
P(1) = true, heb je bewezen.

Klopt de aanname dan voor zeg, element 80? Of element 112929 van de verzameling? Ja want:
P(1) => P(2),
P(2) => P(3),
P(3) => P(4),
P(4) => P(5) .....

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 19:35 schreef Haushofer het volgende:
Jij had het Dif&Int dictaat van meneer Top ook al op schoot liggen?

Nog net niet. Even gegoogled en ik bleek het nog te kunnen.

@Haushofer, DionysuZ en Maethor. Ik heb de indruk dat jullie nog steeds niet bewust zijn van de aanname die wordt gebruikt in VI en/of dat die niet bewezen is. Ik stel voor dat jullie eerst dit lezen en op mijn beweringen reageren. Hopelijk wordt zo voorkomen dat we langs elkaar heen praten of in herhalingen vallen. Het is VI, en ik heb laten zien dat het gebruik van die aanname twijfelachtig is. IMO kan VI sluitend zijn maar dat heb ik nog niet gezien en ook niet van jullie. Ik vind dat DionysuZ hier het verst komt. Helaas is zijn stelling (de vet gedrukte) nog niet bewezen. Dus als je kan bewijzen dat:

als de aanname voor n<k ervoor kan zorgen dat de stelling voor n=k waar is dan is de aanname ook automatisch waar.

dan is VI wat mij betreft sluitend.

Het is ook zoiets van:
als iets met een onbekende eigenschap ervoor kan zorgen dat zijn opvolger een bepaalde eigenschap heeft, dan moet dat iets onbekends ook dezelfde eigenschap hebben.
Vandaar dat ik geinteresseerd ben in het voorbeeld van genoom. Als dit in wiskunde/logica bewezen kan worden dan zullen we tot grotere ontdekkingen kunnen komen.

Ik hoop dat dit een beetje begrijpelijk is.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 23:14 schreef Aslama het volgende:
@Haushofer, DionysuZ en Maethor. Ik heb de indruk dat jullie nog steeds niet bewust zijn van de aanname die wordt gebruikt in VI en/of dat die niet bewezen is. Ik stel voor dat jullie eerst dit lezen en op mijn beweringen reageren.

Prima. Je zegt daar:

quote:

Aslama
(a) is een voorwaarde die nog getoetst (bewezen) moet worden, in (b) is die voorwaarde plotseling als een bewezen feit behandeld. Dat noem ik een omtovering, geen bewijs. Zie je dat ?

Nee, dat zie je verkeerd. Bij (b) wordt die voorwaarde niet als bewezen feit behandeld. Doderok bewijst bij (b) juist dat bewering (a) klopt.

quote:

Hopelijk wordt zo voorkomen dat we langs elkaar heen praten of in herhalingen vallen. Het is VI, en ik heb laten zien dat het gebruik van die aanname twijfelachtig is. IMO kan VI sluitend zijn maar dat heb ik nog niet gezien en ook niet van jullie.

Heb je mijn uitwerking stap voor stap gevolgd? Bij welke stap vind je mijn gedachtengang daar niet meer sluitend?

quote:

Ik vind dat DionysuZ hier het verst komt. Helaas is zijn stelling (de vet gedrukte) nog niet bewezen. Dus als je kan bewijzen dat:

als de aanname voor n<k ervoor kan zorgen dat de stelling voor n=k waar is dan is de aanname ook automatisch waar.

dan is VI wat mij betreft sluitend.

Als ik het goed begrijp gaat het hierom.

Met VI bewijs je iets voor een minimaal element (1). Vervolgens neem je aan dat het voor een willekeurig element geldt (2), en bewijs je dat dit betekent dat het ook voor het volgende element geldt (3). Voeg (3) en (1) samen en je moet concluderen dat 'het' voor alle elementen vanaf die minimale geldt.

Dan zegt D. hier dat die basisstap (je bewijst het voor een minimaal element) cruciaal is. Dit is nl. de eerste dominosteen die je omwerpt.

Vervolgens zeg jij hier: dus als je het voor het minimale element bewijst, geldt het voor alle elementen vanaf die minimale.

En dan komt D's cruciale post (hier). Hij zegt in feite (als ik het goed begrijp) dat het feit dat je (3) kunt bewijzen de aanname (2) rechtvaardigt. En dat is dus waar jij over struikelt?

Het grappige is juist dat je al weet dat je die aanname kunt maken, want je hebt al bewezen dat de stellen voor een bepaald element opgaat. Je weet dus dat er een element is waarvoor het geldt. Vervolgens ga je bewijzen dat uit het feit dat het voor een willekeurig element geldt, volgt dat het ook voor het volgende element moet gelden. Samen met de eerdere conclusie dat er één element is waarvoor het geldt moet je dus nu concluderen dat het voor alle elementen vanaf die eerste geldt.

Als ik je niet goed begrepen heb, lees ik het wel.

quote:

Het is ook zoiets van:
als iets met een onbekende eigenschap ervoor kan zorgen dat zijn opvolger een bepaalde eigenschap heeft, dan moet dat iets onbekends ook dezelfde eigenschap hebben.
Vandaar dat ik geinteresseerd ben in het voorbeeld van genoom. Als dit in wiskunde/logica bewezen kan worden dan zullen we tot grotere ontdekkingen kunnen komen.

Ik hoop dat dit een beetje begrijpelijk is.

De analogie met het genoom is dat je weet dat gen X altijd overgaat van vader op zoon. Dit feit kun je vergelijken met bovengenoemde (3). Bovengenoemde (1) is in dit geval het feit dat jij gen X bij je draagt. Jij draagt het bij je, en daarom ook je zoon (volgens (3)). Op dezelfde wijze moet ook zijn zoon het bij zich dragen, enz.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 18:09 schreef DionysuZ het volgende:
Ok Aslama, ik zal het stap voor stap proberen.

Stel we hebben een stelling P op de natuurlijke getallen die we willen bewijzen met behulp van VI. Dat gaan we dan doen:

(1) We bewijzen dat P geldt voor de basiselementen van de verzameling. Omdat het de natuurlijke getallen betreft, is het basiselement 1. Nu bewijzen we P(1).
[ a ] P(1) is bewezen.

(2) Nu P(1) bewezen is, nemen we k, een natuurlijk getal ongelijk aan het basiselement 1.
- We nemen aan (we weten dus niet of het klopt!) dat P geldt voor alle natuurlijke getallen < k.
- Met deze aanname, waarvan we niet weten of hij klopt, proberen we te bewijzen dat P geldt voor k. Als P niet geldt voor k met deze aanname kunnen we de stelling niet bewijzen. Maar goed, we bewijzen dus P(k) en kunnen dan concluderen:

[ b ] P(k) is bewezen voor alle natuurlijke k waarvoor geldt dat P geldt voor alle natuurlijke getallen < k. (Let op: we weten dus nog steeds niet of deze aanname klopt, maar we weten nu WEL dat als deze aanname klopt, dat P(k) ook klopt!!)

(3) Nu gaan we de dominostenen laten vallen . We weten dat P(1) klopt: [ a ].
- Klopt P(2)? Ja, zie [ b ]: omdat P(1) klopt geldt P voor alle natuurlijke getallen < 2, wat onze voorwaarde was, dan klopt P(2) ook.
- Klopt P(3)? Ja, zie [ b ]: omdat P(1) klopt en P(2) klopt geldt P voor alle natuurlijk getallen < 3, wat onze voorwaarde was, en zo kunnen we concluderen dat P(3) klopt.
- Klopt P(4)? Ja, zie [ b ]: omdat P(1), P(2) en P(3) klopt geldt P voor alle natuurlijke getallen < 4, wat onze voorwaarde was, en zo kunnen we concluderen dat P(4) klopt.
enz.
enz.

wat klopt er niet?

Ik wil deze post even naar voren brengen, omdat als je deze post leest je het wel moet snappen...

Iets simpeler; voor sommige bewerlingen geldt:

1 - f(n) is waar.
2 - Als f(n) waar is, dan is f(n+1) ook waar.
3 - Als f(n+1) waar is, dan noem je n+1 gewoon n en begin je weer met stap 2.

Zo kun je met VI bewijzen dat voor alle n een dergelijke bewering waar is. Voorwaarde is wel dat hij waar is natuurlijk. Er kan een probleem ontstaan als je niet doorhebt dat n een variabele is en niet een constante waarde. Ik kan bijvoorbeeld zeggen dat n=6 en daarna dat n=127 bij een nieuwe berekening en dat is dan geldig. Ik kan iedere waarde aannemen voor iedere variabele.

Voorbeeld: ik beweer dat de som van 1 tot n is n(n+1)/2 =
1 - De bewering gaat op voor n=2, want 1+2 = 2(2+1)/2 = 3.
2 - voor n+1 geldt dat de som gelijk moet zijn aan (n+1)(n+2)/2 = (n²+2n+2) / 2 = ((n²+n) + (n+1)) / 2 = ((n+1) + (n(n+1)) / 2.
Dit is de som voor 1 tot n plus n+1, dus de bewering geldt voor n+1.
3 - De bewering geldt voor n=3, dan moet de bewering ook gelden voor n+1 = 4 enzovoort.

[ Bericht 9% gewijzigd door NiwiKaiha op 12-11-2005 05:22:15 ]

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 23:14 schreef Aslama het volgende:
@Haushofer, DionysuZ en Maethor. Ik heb de indruk dat jullie nog steeds niet bewust zijn van de aanname die wordt gebruikt in VI en/of dat die niet bewezen is.

Ik persoonlijk ben me heel erg bewust van die aanname. Duidelijker dan dit wordt het niet, vrees ik
Met je laatste stap rechtvaardig je die aanname.

@Maethor. Ik ben het op essentiële punten niet met je eens, maar ik vind dat deze post van je laat zien dat jij (en nog een paar anderen) tot degenen behoort die serieus kunnen discusseren en heel goed de relevante discussiepunten pakken. Dat is zelfs bij WFL lang niet iedereen. Sommigen weten niet waar ik het over heb maar toch durven ze te reageren . Sommigen herhalen de punten als of het nog niet aan de orde zijn geweest . Best vermoeiend, maar goed.

quote:

Op vrijdag 11 november 2005 23:47 schreef Maethor het volgende:

[..]

Prima. Je zegt daar:
[..]

Nee, dat zie je verkeerd. Bij (b) wordt die voorwaarde niet als bewezen feit behandeld. Doderok bewijst bij (b) juist dat bewering (a) klopt.

We hebben het over dit. Voor de goede orde laten we de discussie zoveel mogelijk hierop baseren. (achteraf toch geen goede keuze geweest daar 3 indices worden gebruikt, maar goed het gaat om die aanname)
Het is duidelijk dat bewering (a) een nog te toetsen conditie is vandaar het woord als. Bij (b) is (a) in eens een conclusie (feit) geworden. Dit blijkt uit de woorden 'dus, gegeven dat' ipv. 'als' zoals in (a). Deze aaname is vervolgens gebruikt om de stelling (d) te bewijzen. Endat zie je in (c) waarin (a) onterecht als een feit wordt behandeld om te bewijzen dat de stelling klopt. Dit is zoals VI formeel werkt. In VI wordt de aanname (a) dus nergens bewezen. In de hele VI procedure is het in feite voortdurend een aanname. Dit zie je ook overduidelijk in de OP.

quote:

[..]

Heb je mijn uitwerking stap voor stap gevolgd? Bij welke stap vind je mijn gedachtengang daar niet meer sluitend?

Ja, ik heb het stap voor stap gevolgd en ik denk dat je met mijn bovenstaande uitleg zal zien waar het volgens mij niet sluitend is. Het is in principe hetzelfde.

quote:

[..]

Als ik het goed begrijp gaat het hierom.

Met VI bewijs je iets voor een minimaal element (1). Vervolgens neem je aan dat het voor een willekeurig element geldt (2), en bewijs je dat dit betekent dat het ook voor het volgende element geldt (3). Voeg (3) en (1) samen en je moet concluderen dat 'het' voor alle elementen vanaf die minimale geldt.

Inderdaad als die aanname (2) waar is dan bewijs je (3). Die aanname wordt in VI niet bewezen.

quote:

Dan zegt D. hier dat die basisstap (je bewijst het voor een minimaal element) cruciaal is. Dit is nl. de eerste dominosteen die je omwerpt.

Vervolgens zeg jij hier: dus als je het voor het minimale element bewijst, geldt het voor alle elementen vanaf die minimale.

En dan komt D's cruciale post (hier). Hij zegt in feite (als ik het goed begrijp) dat het feit dat je (3) kunt bewijzen de aanname (2) rechtvaardigt. En dat is dus waar jij over struikelt?

Je hebt het goed begrepen . Helaas zoals ik eerder gezegd heb is de stelling hier (vette zin) nog niet bewezen.

quote:

Het grappige is juist dat je al weet dat je die aanname kunt maken, want je hebt al bewezen dat de stellen voor een bepaald element opgaat. Je weet dus dat er een element is waarvoor het geldt. Vervolgens ga je bewijzen dat uit het feit dat het voor een willekeurig element geldt, volgt dat het ook voor het volgende element moet gelden.

Het geldt alleen voor een bepaald element (minimale element) en daarna wordt het als feit gesteld dat het voor een willekeurige element geldt. Willekeurige element houdt niet alleen minimale element in. Het kan zelfs ver boven de minimale element. De aanname kan je IMO niet maken. Hier zie je hopelijk de kans op kleine fout waar ik het over heb.

quote:

Samen met de eerdere conclusie dat er één element is waarvoor het geldt moet je dus nu concluderen dat het voor alle elementen vanaf die eerste geldt.

Als ik je niet goed begrepen heb, lees ik het wel.

Zie je dat de omzetting van minimale naar willekeurige element niet gerechtvaardig is ? Daardoor geldt het niet zeker vanaf de tweede, de derde enz. , behalve als je de formule ook voor die waarden verifieert. Maar dit valt buiten VI. Voor het gemaakt nemen we aan dat het zo is, zie de OP.

quote:

[..]

De analogie met het genoom is dat je weet dat gen X altijd overgaat van vader op zoon. Dit feit kun je vergelijken met bovengenoemde (3). Bovengenoemde (1) is in dit geval het feit dat jij gen X bij je draagt. Jij draagt het bij je, en daarom ook je zoon (volgens (3)). Op dezelfde wijze moet ook zijn zoon het bij zich dragen, enz.

Ik weet hoe het genoom werkt. Het punt is dat VI nog moet bewijzen dat de formules (stellingen) zoals het genoom werkt, namelijk voor alle natuurlijke getallen in de verzameling. Dat is waar het de hele tijd over gaat.

[ Bericht 1% gewijzigd door Aslama op 12-11-2005 11:25:08 ]

"gegeven dat" betekent hetzelfde als "als"...

quote:

Op zaterdag 12 november 2005 11:15 schreef Aslama het volgende:
@Maethor. Ik ben het op essentiële punten niet met je eens, maar ik vind dat deze post van je laat zien dat jij (en nog een paar anderen) tot degenen behoort die serieus kunnen discusseren en heel goed de relevante discussiepunten pakken. Dat is zelfs bij WFL lang niet iedereen. Sommigen weten niet waar ik het over heb maar toch durven ze te reageren . Sommigen herhalen de punten als of het nog niet aan de orde zijn geweest . Best vermoeiend, maar goed.
[..]

We hebben het over dit. Voor de goede orde laten we de discussie zoveel mogelijk hierop baseren. (achteraf toch geen goede keuze geweest daar 3 indices worden gebruikt, maar goed het gaat om die aanname)
Het is duidelijk dat bewering (a) een nog te toetsen conditie is vandaar het woord als. Bij (b) is (a) in eens een conclusie (feit) geworden. Dit blijkt uit de woorden 'dus, gegeven dat' ipv. 'als' zoals in (a). Deze aaname is vervolgens gebruikt om de stelling (d) te bewijzen. Endat zie je in (c) waarin (a) onterecht als een feit wordt behandeld om te bewijzen dat de stelling klopt. Dit is zoals VI formeel werkt. In VI wordt de aanname (a) dus nergens bewezen. In de hele VI procedure is het in feite voortdurend een aanname. Dit zie je ook overduidelijk in de OP.
[..]

Je bewijst het voor n=1, de aanname is dus waar voor n=2, dus is het bewezen voor n=2, voor n=3 klopt de aanname dus, dus n=3 is ook bewezen, enzovoorts...

wat klopt hier niet?

quote:

Op zaterdag 12 november 2005 11:15 schreef Aslama het volgende:
Het geldt alleen voor een bepaald element (minimale element) en daarna wordt het als feit gesteld dat het voor een willekeurige element geldt. Willekeurige element houdt niet alleen minimale element in. Het kan zelfs ver boven de minimale element. De aanname kan je IMO niet maken. Hier zie je hopelijk de kans op kleine fout waar ik het over heb.

Willekeurig element houdt idd niet alleen het minimale element in. Het kan 1 zijn, het kan 2 zijn, het kan 30000 zijn.
Maar het punt is dat je bewijst dat het voor elk element is, welke je ook pakt. Niet zomaar 1 willekeurig element, maar voor elk denkbaar element.
Ik denk dat het woordje 'willekeurig' je in de war brengt.
Je bewijst voor ELK getal n dat P(n)=>P(n+1).
Je gaat niet eerst een willekeurig getal n pakken en het dan bewijzen voor dat speciale geval... Nee, je bewijst het voor elk willekeurig geval.
Dus ook voor het willekeurige geval dat n=1. En n=2. En n=3. En n=4.
Je weet dat P(1) geldt (uit de eerste stap van het bewijs).
Je weet ook dat, pak maar het willekeurige geval dat n=1, P(1)=>P(2). Dus geldt P(2).

Ik hoop dat dit misschien iets duidelijk maakt

Volgens mij snapt aslama het gewoon al lang, en zit hij nu te gniffelen bij al die reacties.