WFL Wetenschap, Filosofie, Levensbeschouwing
Discussieer hier over alle aspecten van de wetenschap, filosofische problemen en zaken van levensbeschouwelijke aard.
Als de uitspraak voor n=1 waar is kan je dus aannemen dat de uitspraak ook waar is voor n<k ?quote:Op donderdag 10 november 2005 01:34 schreef DionysuZ het volgende:
[..]
precies, en daarom de basisstap. Die aanname kan alleen maar genomen worden als de stelling klopt voor de minimale elementen in de verzameling
Het verschil tussen het geloof en het bijgeloof is dat het geloof een conclusie is van rationeel onderzoek.
De waarheid is van iedereen.
De waarheid is van iedereen.
Nee. Als je met de aanname dat de uitspraak klopt voor alle n < k níet kunt bewijzen dat de uitspraak dan ook geldt voor n = k, dan klopt je aanname ook niet. Als je het wél kunt bewijzen, klopt je aanname automatisch ookquote:Op donderdag 10 november 2005 01:49 schreef Aslama het volgende:
[..]
Als de uitspraak voor n=1 waar is kan je dus aannemen dat de uitspraak ook waar is voor n<k ?
□ Reality is merely an illusion,albeit a very persistent one-A.Einstein
■ Of ik ben gek of de rest van de wereld.Ik denk zelf de rest van de wereld-Rudeonline
□ The war is not meant to be won.It is meant to be continuous-G.Orwell
■ Of ik ben gek of de rest van de wereld.Ik denk zelf de rest van de wereld-Rudeonline
□ The war is not meant to be won.It is meant to be continuous-G.Orwell
Kan je mij de vette zinnen nader uitleggen?quote:Op donderdag 10 november 2005 01:51 schreef DionysuZ het volgende:
[..]
Nee. Als je met de aanname dat de uitspraak klopt voor alle n < k níet kunt bewijzen dat de uitspraak dan ook geldt voor n = k, dan klopt je aanname ook niet. Als je het wél kunt bewijzen, klopt je aanname automatisch ook
Het verschil tussen het geloof en het bijgeloof is dat het geloof een conclusie is van rationeel onderzoek.
De waarheid is van iedereen.
De waarheid is van iedereen.
Tuurlijk. de basisstap is een essentiele stap. Die bewijs je. Als die bewezen is klopt de stelling dus voor de minimale elementen in de verzameling. Ok, dit heb je.quote:Op donderdag 10 november 2005 01:54 schreef Aslama het volgende:
[..]
Kan je mij de vette zinnen nader uitleggen?
Vervolgens neem je even voor de lol aan dat de stelling geldt voor alle n < k, voor een k in de verzameling, en k is geen minimaal element. Ok dit is een aanname, je weet niet of deze klopt.
Vervolgens probeer ik mét deze aanname te bewijzen dat de stelling ook geldt voor n=k. Kan ik dat niet, dan klopt de aanname ook niet, logischerwijs. Maar als ik met deze aanname kan bewijzen dat de stelling wél geldt voor n = k, kunnen we dan ook concluderen dat de aanname geldt?
Ja, want we hebben het minimale element m, en hebben net bewezen dat m+1 dan ook klopt. Als m+1 klopt dan hebben we net bewezen dat m+2 klopt. Als m+2 klopt, hebben we net bewezen dat m+3 klopt etc. etc. tot de maximale elementen van de verzameling. De aanname klopt dus.
□ Reality is merely an illusion,albeit a very persistent one-A.Einstein
■ Of ik ben gek of de rest van de wereld.Ik denk zelf de rest van de wereld-Rudeonline
□ The war is not meant to be won.It is meant to be continuous-G.Orwell
■ Of ik ben gek of de rest van de wereld.Ik denk zelf de rest van de wereld-Rudeonline
□ The war is not meant to be won.It is meant to be continuous-G.Orwell
Waar hebben we die vette zin bewezen?quote:Op donderdag 10 november 2005 02:00 schreef DionysuZ het volgende:
[..]
Tuurlijk. de basisstap is een essentiele stap. Die bewijs je. Als die bewezen is klopt de stelling dus voor de minimale elementen in de verzameling. Ok, dit heb je.
Vervolgens neem je even voor de lol aan dat de stelling geldt voor alle n < k, voor een k in de verzameling, en k is geen minimaal element. Ok dit is een aanname, je weet niet of deze klopt.
Vervolgens probeer ik mét deze aanname te bewijzen dat de stelling ook geldt voor n=k. Kan ik dat niet, dan klopt de aanname ook niet, logischerwijs. Maar als ik met deze aanname kan bewijzen dat de stelling wél geldt voor n = k, kunnen we dan ook concluderen dat de aanname geldt?
Ja, want we hebben het minimale element m, en hebben net bewezen dat m+1 dan ook klopt. Als m+1 klopt dan hebben we net bewezen dat m+2 klopt. Als m+2 klopt, hebben we net bewezen dat m+3 klopt etc. etc. tot de maximale elementen van de verzameling. De aanname klopt dus.
Het verschil tussen het geloof en het bijgeloof is dat het geloof een conclusie is van rationeel onderzoek.
De waarheid is van iedereen.
De waarheid is van iedereen.
we hebben bewezen dat voor een k in de verzameling waarvoor geldt:quote:Op donderdag 10 november 2005 02:06 schreef Aslama het volgende:
[..]
Waar hebben we die vette zin bewezen?
- k is niet minimaal
- voor alle n < k geldt de stelling
Dat k ook klopt.
Trekken we dit door:
- de stelling geldt voor minimale m
- geldt de stelling dan ook voor m+1?
ja, want voor m+1 geldt:
- m+1 is niet minimaal
- voor alle n < m+1 geldt de stelling
Dus klopt m+1 ook
□ Reality is merely an illusion,albeit a very persistent one-A.Einstein
■ Of ik ben gek of de rest van de wereld.Ik denk zelf de rest van de wereld-Rudeonline
□ The war is not meant to be won.It is meant to be continuous-G.Orwell
■ Of ik ben gek of de rest van de wereld.Ik denk zelf de rest van de wereld-Rudeonline
□ The war is not meant to be won.It is meant to be continuous-G.Orwell
Een inductiebewijs werkt net als een dominospel:
Eerst doe je de basisstap, je kijkt of de eerste domino zal vallen. Als de eerste valt, weet je ook dat de tweede valt, als de tweede valt, zal de derde vallen... etc. en zo weet je dat alle dominostenen zullen vallen.
Eerst doe je de basisstap, je kijkt of de eerste domino zal vallen. Als de eerste valt, weet je ook dat de tweede valt, als de tweede valt, zal de derde vallen... etc. en zo weet je dat alle dominostenen zullen vallen.
□ Reality is merely an illusion,albeit a very persistent one-A.Einstein
■ Of ik ben gek of de rest van de wereld.Ik denk zelf de rest van de wereld-Rudeonline
□ The war is not meant to be won.It is meant to be continuous-G.Orwell
■ Of ik ben gek of de rest van de wereld.Ik denk zelf de rest van de wereld-Rudeonline
□ The war is not meant to be won.It is meant to be continuous-G.Orwell
ik zie net bij het teruglezen van mijn post dat ik hier standaard inductie heb aangestipt. Het is niet veel verschillend, bij volledige inductie is de aanname alleen dat de stelling geldt voor alle n < k.quote:Op woensdag 9 november 2005 23:28 schreef DionysuZ het volgende:
[..]
Ook helaas in herhaling . Volledige inductie werkt zo:
1. Basisstap: bewijs dat de stelling geldt voor de minimale elementen (bijv. n = 0) van de verzameling A
2. Aanname: stel dat de stelling geldt voor een willekeurig element x van A
3. Bewijs: als de stelling geldt voor x, bewijs dat hij geldt voor de directe opvolger van x.
Zo ontstaat er een keten van de minimale elementen tot de maximale elementen. En allemaal kloppen ze.
. Volledige inductie werkt zo:
□ Reality is merely an illusion,albeit a very persistent one-A.Einstein
■ Of ik ben gek of de rest van de wereld.Ik denk zelf de rest van de wereld-Rudeonline
□ The war is not meant to be won.It is meant to be continuous-G.Orwell
■ Of ik ben gek of de rest van de wereld.Ik denk zelf de rest van de wereld-Rudeonline
□ The war is not meant to be won.It is meant to be continuous-G.Orwell
Dat is de kern van de discussie. Geldt ie dan ook als je n gelijk gaat stellen aan k. Hij is danquote:Op donderdag 10 november 2005 02:24 schreef DionysuZ het volgende:
[..]
bij volledige inductie is de aanname alleen dat de stelling geldt voor alle n < k.
niet bewezen, dat staat duidelijk in de preconditie van de aanname.
En dan nog, ik snap niet wat er getracht wordt te bewijzen dat alles aan elkaar gelijk is. So what? De wiskunde bestaat ook uit gratie dat niet alles gelijk aan elkaar is, anders zou het zich niet zo onderscheiden dat het een naam heeft. (Elk vak had dan gelijk geweest.)
Dus...
dat weet ik ook wel, het gaat niet over toepassing van inductie, het gaat over het bewijs van haushofer.quote:Op donderdag 10 november 2005 01:46 schreef DionysuZ het volgende:
[..]
De basisstap is een inductiestap, die bewijs je niet door inductie toe te passen.
Bijvoorbeeld. Stel je wilt bewijzen dat n2 > 2*n voor alle n > 2, n in |N.
Dan is je basisstap: neem n = 3. 32 = 9, 2*3 = 6. 9 > 6. Hiermee dus de basisstap bewijzend.
Naar mijn idee is het zo klaar als een klontje, maar dat kan aan mij liggen; wiskunde is niet mijn sterkste kant, daarvoor moet je bij Thabit zijn. Ik kan het iig proberen:quote:Op donderdag 10 november 2005 01:16 schreef Aslama het volgende:
Hieronder probeer ik met je te discusseren zonder te beweren dat A ongelijk aan N is. Ik stel alleen een vraag over je afleiding
****************
Stel es dat A niet gelijk is aan N. Dan kun je een verzameling B definieren als volgt:
{n e N : n niet in A} , dus B=N\A. B heeft een kleinste element, bijvoorbeeld m. De eerste aanname zegt dat m niet gelijk is aan 1, want 1 zit immers in A. Dus m>1. Die m is het kleinste element, dus m-1 hoort niet meer tot B, dus m-1 e A. Nou pakken we de tweede aanname er bij: die zegt dan dat m e A, maar we stelden dat m e B, dus hebben we een tegenspraak. Conclusie: B is de nulverzameling, en A=N.
*****************
Ik begrijp deze logica niet helemaal (bold gemaakte zinnen) Kan je uitleggen waarom uit de tweede aanname en de tegenspraak met de eerste aanname het bewijs van onwaarheid van de eerste aanname volgt?
[..]
Je definieert je verzameling B als alle natuurlijke getallen n die niet in A zitten. Die B moet een kleinste element hebben, die m, en daarmee concludeer je dat m-1 in A zit. Echter, stel nu dat je hebt aangetoond dat met de aanname " de formule klopt voor n" hebt kunnen aantonen "de formule klopt voor n+1", voor willekeurige n. Dan heb je toch een rechtstreekse tegenspraak te pakken? Je hebt dan een stelling die zowel waar als onwaar is ( namelijk m e A en m e B, terwijl B=N\A ). Dus kennelijk geldt dat A=N. Ik vrees dat je dit niet echt duidelijker kunt uitleggen.
Trouwens, moet je dit voor je studie gebruiken ofzo?
Ik schrijf boeken over wetenschap en filosofie!
https://www.epsilon-uitga(...)e-tijd-materie/10996
https://www.spectrumboeke(...)k-niet-9789000386765
https://www.spectrumboeke(...)tronen-9789000395071
https://www.epsilon-uitga(...)e-tijd-materie/10996
https://www.spectrumboeke(...)k-niet-9789000386765
https://www.spectrumboeke(...)tronen-9789000395071
Even voor de goede orde: dat bewijs deugt toch wel? Ik zie zelf iig niet waar het de mist in gaat.quote:Op donderdag 10 november 2005 10:30 schreef placebeau het volgende:
[..]
dat weet ik ook wel, het gaat niet over toepassing van inductie, het gaat over het bewijs van haushofer.
Ik schrijf boeken over wetenschap en filosofie!
https://www.epsilon-uitga(...)e-tijd-materie/10996
https://www.spectrumboeke(...)k-niet-9789000386765
https://www.spectrumboeke(...)tronen-9789000395071
https://www.epsilon-uitga(...)e-tijd-materie/10996
https://www.spectrumboeke(...)k-niet-9789000386765
https://www.spectrumboeke(...)tronen-9789000395071
Inductie kun je dus afleiden uit het welordeningsprincipe: elke niet-lege deelverzameling van N heeft een kleinste element.
klopt volgens mij perfectquote:Op donderdag 10 november 2005 13:12 schreef Haushofer het volgende:
[..]
Even voor de goede orde: dat bewijs deugt toch wel? Ik zie zelf iig niet waar het de mist in gaat.
vandaag kwam ik tot mijn stomme verbazing een andere versie van inductie..
het was nog ingewikkelder dan de versie die reeds werd genoemd..
er was iets van P(m) en P(m-1) ofzo. maar in ieder geval het boek ging over Algebra en de schrijfster heet iets met Lindsay..
er werd gezegd dat de welordeningprincipe en die tweede versie eigenlijk 'bijna hetzelfde' zijn ofzoiets.. in ieder geval.. het was een zeer vreemde versie..
er staat dat deze versie heel handig is als je uitspraken wilt doen over natuurlijke getallen en direct daarna stond er een toepassing van: welordening in N
het was nog ingewikkelder dan de versie die reeds werd genoemd..
er was iets van P(m) en P(m-1) ofzo. maar in ieder geval het boek ging over Algebra en de schrijfster heet iets met Lindsay..
er werd gezegd dat de welordeningprincipe en die tweede versie eigenlijk 'bijna hetzelfde' zijn ofzoiets.. in ieder geval.. het was een zeer vreemde versie..
er staat dat deze versie heel handig is als je uitspraken wilt doen over natuurlijke getallen en direct daarna stond er een toepassing van: welordening in N
verlegen :)
Waarom is iedereen zo gehamerd op inductie in de wiskunde? Dit speelt bij alle vormen van wetenschap een belangrijke rol. Net zo goed bij alpha-wetenschappen..
misschien omdat je met inductie zeer krachtige uitspraken kan bewijzen... die uitspraken (stellingen) kan je gebruiken om andere dingen te bewijzen..die ook belangrijk schijnen te zijnquote:Op donderdag 10 november 2005 19:53 schreef Athlon_2o0o het volgende:
Waarom is iedereen zo gehamerd op inductie in de wiskunde? Dit speelt bij alle vormen van wetenschap een belangrijke rol. Net zo goed bij alpha-wetenschappen..
denk ik
verlegen :)
Heerlijk, verzamelingenleer. Ik heb een leuke, kijken wie eruit komt (hij is vrije bekend): Stel je de verzameling V voor van alle verzamelingen die zichzelf niet als deel hebben. Heeft verzameling V zichzelf dan als deel?
Maar ontopic. In hoeverre is wiskundige inductie 'echte' inductie? Als het namelijk zo is dat volledige wiskundige inductie altijd werkt, dan is het dus, zoals het meeste in de wiskunde, a priori kennis en dan is inductie een misleidende term. Als dat niet zo is, hoe weet je dan dat inductie ooit correct is?
Maar ontopic. In hoeverre is wiskundige inductie 'echte' inductie? Als het namelijk zo is dat volledige wiskundige inductie altijd werkt, dan is het dus, zoals het meeste in de wiskunde, a priori kennis en dan is inductie een misleidende term. Als dat niet zo is, hoe weet je dan dat inductie ooit correct is?
Principle of Strong Induction
Suppose that P(n) is a statement abou t the positive integers and
. P(1) is true, and
(ii). For each k >= 1, if P(m) is true for all m < k, then P(k) is true.
Then P(n) is true for all integers n >= 1.
dit wsa de inductie die ik bedoelde, Lindsay scheen een man te zijn ..achteraf
blijkbaar heet deze de 'strong'inductie..!
Suppose that P(n) is a statement abou t the positive integers and
. P(1) is true, and
. P(1) is true, and(ii). For each k >= 1, if P(m) is true for all m < k, then P(k) is true.
Then P(n) is true for all integers n >= 1.
dit wsa de inductie die ik bedoelde, Lindsay scheen een man te zijn ..achteraf
blijkbaar heet deze de 'strong'inductie..!
verlegen :)
Deze zin is onwaar?quote:Op donderdag 10 november 2005 01:31 schreef placebeau het volgende:
[..]
Je stelt nu ook bewijzen uit het ongerijmde in twijfel
iets kan niet niet waar en wel waar tegelijk zijn, da's de eerste wet van de logica.
Power perceived is power achieved.
De vette zin is een aanname dus de gehele bewering is een aanname. Stel je voor dat de vette zin onwaar is (een aanname kan onwaar zijn), wat voor conclusie kan je trekken voor n+1 ?quote:Op donderdag 10 november 2005 13:09 schreef Haushofer het volgende:
[..]
Naar mijn idee is het zo klaar als een klontje, maar dat kan aan mij liggen; wiskunde is niet mijn sterkste kant, daarvoor moet je bij Thabit zijn. Ik kan het iig proberen:
Je definieert je verzameling B als alle natuurlijke getallen n die niet in A zitten. Die B moet een kleinste element hebben, die m, en daarmee concludeer je dat m-1 in A zit. Echter, stel nu dat je hebt aangetoond dat met de aanname " de formule klopt voor n" hebt kunnen aantonen "de formule klopt voor n+1", voor willekeurige n. Dan heb je toch een rechtstreekse tegenspraak te pakken? Je hebt dan een stelling die zowel waar als onwaar is ( namelijk m e A en m e B, terwijl B=N\A ). Dus kennelijk geldt dat A=N. Ik vrees dat je dit niet echt duidelijker kunt uitleggen.
Ach nee .. gewoon voor een Nobelprijsnominatiequote:Trouwens, moet je dit voor je studie gebruiken ofzo?
Het verschil tussen het geloof en het bijgeloof is dat het geloof een conclusie is van rationeel onderzoek.
De waarheid is van iedereen.
De waarheid is van iedereen.
Deze bewering klopt niet. De vette zin is niet bewezen.quote:Op donderdag 10 november 2005 02:14 schreef DionysuZ het volgende:
[..]
we hebben bewezen dat voor een k in de verzameling waarvoor geldt:
- k is niet minimaal
- voor alle n < k geldt de stelling
Dat k ook klopt.
quote:Trekken we dit door:
- de stelling geldt voor minimale m
- geldt de stelling dan ook voor m+1?
ja, want voor m+1 geldt:
- m+1 is niet minimaal
- voor alle n < m+1 geldt de stelling
Dus klopt m+1 ook
Het verschil tussen het geloof en het bijgeloof is dat het geloof een conclusie is van rationeel onderzoek.
De waarheid is van iedereen.
De waarheid is van iedereen.
Als je goed leest opper ik dat nergens:quote:Op vrijdag 11 november 2005 04:01 schreef Aslama het volgende:
[..]
Deze bewering klopt niet. De vette zin is niet bewezen.
we hebben bewezen dat voor een k in de verzameling waarvoor geldt:
- k is niet minimaal
- voor alle n < k geldt de stelling
Dat k ook klopt.
Dat is precies hetzelfde als zeggen:
we hebben bewezen dat voor een grasspriet waarvoor geldt:
- alle grassprieten zijn blauw
dat die grasspriet ook blauw is.
Dan hoef ik nog niet te bewijzen dat alle grassprieten blauw zijn toch?
□ Reality is merely an illusion,albeit a very persistent one-A.Einstein
■ Of ik ben gek of de rest van de wereld.Ik denk zelf de rest van de wereld-Rudeonline
□ The war is not meant to be won.It is meant to be continuous-G.Orwell
■ Of ik ben gek of de rest van de wereld.Ik denk zelf de rest van de wereld-Rudeonline
□ The war is not meant to be won.It is meant to be continuous-G.Orwell
De kernvraag was: hoe heb je bewezen dat al de grassprieten in de verzameling blauw zijn?quote:Op vrijdag 11 november 2005 04:56 schreef DionysuZ het volgende:
[..]
Als je goed leest opper ik dat nergens:
we hebben bewezen dat voor een k in de verzameling waarvoor geldt:
- k is niet minimaal
- voor alle n < k geldt de stelling
Dat k ook klopt.
Dat is precies hetzelfde als zeggen:
we hebben bewezen dat voor een grasspriet waarvoor geldt:
- alle grassprieten zijn blauw
dat die grasspriet ook blauw is.
Dan hoef ik nog niet te bewijzen dat alle grassprieten blauw zijn toch?
Stel:
Jje hebt grassprieten die op een rij staan. Je kunt ze niet zien. Je pakt de eerste en kijkt: blauw. Vervolgens pakt je een willekeurige grasspriet van de rij en kijkt: ook blauw. Daarna pakt je alle grassprieten die na de willekeurige grasspriet in de rij staan en kijk ze zijn allemaal blauw.
Heb je bewezen dat alle grassprieten in de rij blauw zijn ? Als je de willekeurige grasspriet pakte die meteen na de eerste graspriet staat wel. Maar dat is niet zeker omdat het een willekeurige is. Het voorbeeld is niet helemaal volledige inductie maar laat zien dat je hebt niet bewezen dat de uitspraak voor n<k geldt.
Het verschil tussen het geloof en het bijgeloof is dat het geloof een conclusie is van rationeel onderzoek.
De waarheid is van iedereen.
De waarheid is van iedereen.
Misschien is een voorbeeld duidelijker:
Si=1+2+3+4+.. +i
Te Bewijzen: Si=i(i+1)/2
Bewijs:
het geldt voor i=1
1=1.(1+1)/2
als het voor een waarde i=k geldt, geldt het dan ook voor i=k+1 ?
Dat moet dus aangetoond worden, dat veronderstellen we niet zomaar.
Dus, gegeven dat voor een waarde k geldt Sk=k(k+1)/2
Eveneens gegeven n=k+1
Te bewijzen:
Sn=n(n+1)/2
Uit de definitie van Sk
Sk=1+2+..+k
Sn=Sk+1=1+2+ .. +k+(k+1)
volgt: Sn=Sk+n
formule voor Sk invullen
=(k.(k+1)/2)+n
substitutie k=n-1
=((n-1).n/2)+n
=((n-1).n + 2n)/2
=(n.n + n)/2
=n.(n+1)/2
wat moest bewezen worden.
Het geldt voor k=1, dus ook voor k=2 etc..
Si=1+2+3+4+.. +i
Te Bewijzen: Si=i(i+1)/2
Bewijs:
het geldt voor i=1
1=1.(1+1)/2
als het voor een waarde i=k geldt, geldt het dan ook voor i=k+1 ?
Dat moet dus aangetoond worden, dat veronderstellen we niet zomaar.
Dus, gegeven dat voor een waarde k geldt Sk=k(k+1)/2
Eveneens gegeven n=k+1
Te bewijzen:
Sn=n(n+1)/2
Uit de definitie van Sk
Sk=1+2+..+k
Sn=Sk+1=1+2+ .. +k+(k+1)
volgt: Sn=Sk+n
formule voor Sk invullen
=(k.(k+1)/2)+n
substitutie k=n-1
=((n-1).n/2)+n
=((n-1).n + 2n)/2
=(n.n + n)/2
=n.(n+1)/2
wat moest bewezen worden.
Het geldt voor k=1, dus ook voor k=2 etc..
|
|
