Volledige inductie

Ok.

je stelt dat als k=3 dat de vorige uitspraak niet meer geldig is toch? Je moet het zo zien:

je hebt een basisstap: de uitspraak geldt voor k = 1.
Dan gaan we bewijzen dat de uitspraak geldt voor k = 2. Dit is vaak simpel omdat we weten dat de uitspraak geldt voor k=1. Als we weten dat de uitspraak dan geldt voor k = 2, geldt hij dus voor k = 1 EN k = 2. En dat kunnen we weer meenemen naar het bewijs voor k = 3.

Je kunt het ook andersom zien. Als je wil weten of de uitspraak geldt voor k = 5:
- Neem aan dat hij geldt voor k = 4.
- Bewijs dat hij dan geldt voor k = 5 (is vaak simpel dan)
- Omdat je niet weet of hij geldt voor k = 4, neem je aan dat hij geldt voor k = 3
- Bewijs dat hij dan geldt voor k = 4 (is vaak simpel)
- Omdat je niet weet of hij geldt voor k = 3, neem je aan dat hij geldt voor k = 2
- Bewijs dat hij dan geldt voor k = 3 (is vaak simpel)
- Omdat je niet weet of hij geldt voor k = 2, neem je aan dat hij geldt voor k = 1
- Bewijs dat hij dan geldt voor k = 2 (is vaak simpel)
- Je weet dat hij geldt voor k = 1
- Bewijs voor k = 5 is dan geleverd

[ Bericht 0% gewijzigd door DionysuZ op 09-11-2005 22:47:30 ]

Ik snap het punt niet zo. Je kunt met een bewijs uit het ongerijmde vrij gemakkelijk bewijzen dat als A een deelverzameling is van N met

- 1 zit in A
- uit n in A volgt n+1 in A

dan geldt dat A=N.

Je kunt ook gaan twijfelen aan de stelling van pythagoras, of dat voor alle a, b en c in R geldt.

quote:

Op woensdag 9 november 2005 22:39 schreef DionysuZ het volgende:
Ok.

je stelt dat als k=3 dat de vorige uitspraak niet meer geldig is toch? Je moet het zo zien:

je hebt een basisstap: de uitspraak geldt voor k = 1.
Dan gaan we bewijzen dat de uitspraak geldt voor k = 2. Dit is vaak simpel omdat we weten dat de uitspraak geldt voor k=1. Als we weten dat de uitspraak dan geldt voor k = 2, geldt hij dus voor k = 1 EN k = 2. En dat kunnen we weer meenemen naar het bewijs voor k = 3.

VI werkt niet zo. Het bewijst niets voor k=2 of k=3. k is een willekeurige constante dat alleen één waarde kan aannemen op hetzelfde moment. het is geen variabele. Als je aanneemt dat k=2 kan je niet tegelijkertijd aannemen dat k=3 en daardoor is de bewering niet in z'n geheel geldig. n is wel een variabele

quote:

Je kunt het ook andersom zien. Als je wil weten of de uitspraak geldt voor k = 5:
- Neem aan dat hij geldt voor k = 4.
- Bewijs dat hij dan geldt voor k = 5 (is vaak simpel dan)
- Omdat je niet weet of hij geldt voor k = 4, neem je aan dat hij geldt voor k = 3
- Bewijs dat hij dan geldt voor k = 4 (is vaak simpel)
- Omdat je niet weet of hij geldt voor k = 3, neem je aan dat hij geldt voor k = 2
- Bewijs dat hij dan geldt voor k = 3 (is vaak simpel)
- Omdat je niet weet of hij geldt voor k = 2, neem je aan dat hij geldt voor k = 1
- Bewijs dat hij dan geldt voor k = 2 (is vaak simpel)
- Je weet dat hij geldt voor k = 1
- Bewijs voor k = 5 is dan geleverd

In VI is k een willekeurige constante die alleen één waarde tegelijkertijd kan aannemen.

quote:

Op woensdag 9 november 2005 23:11 schreef Aslama het volgende:

[..]

VI werkt niet zo. Het bewijst niets voor k=2 of k=3. k is een willekeurige constante dat alleen één waarde kan aannemen op hetzelfde moment. het is geen variabele. Als je aanneemt dat k=2 kan je niet tegelijkertijd aannemen dat k=3 en daardoor is de bewering niet in z'n geheel geldig. n is wel een variabele
[..]

In VI is k een willekeurige constante die alleen één waarde tegelijkertijd kan aannemen.

ik weet hoe volledige inductie werkt. De post van net was alleen maar omdat je zegt dat het niet altijd geldig hoeft te zijn. Als je weet dat een uitspraak geldt voor n = 1, en je wilt em bewijzen voor een zekere n = k. Dan nemen we aan dat hij geldt voor alle n < k, dus n = 1, 2, 3 ... k-1. Als je daarmee kunt bewijzen dat k dan ook klopt, dan klopt de stelling gewoon: pak maar eens k = 2, die kun je bewijzen met de basisstap (n=1). Pak k = 3, die kun je bewijzen als je aanneemt dat k = 2 en k = 1 klopt, en aangezien je k = 2 kunt bewijzen uit de basisstap klopt deze ook .. etc .. etc

quote:

Op woensdag 9 november 2005 22:49 schreef Haushofer het volgende:
Ik snap het punt niet zo. Je kunt met een bewijs uit het ongerijmde vrij gemakkelijk bewijzen dat als A een deelverzameling is van N met

- 1 zit in A
- uit n in A volgt n+1 in A

dan geldt dat A=N.

Helaas werkt de VI niet zo.

quote:

Je kunt ook gaan twijfel en aan de stelling van pythagoras, of dat voor alle a, b en c in R geldt.

Ik heb het over de volledige inductie. Pythagoras is niet afgeleid dmv de VI. Wat je kan doen is dmv de VI bewijzen dat Pythagoras geldt voor alle a,b en c in R. Ga je gang .. Nou doe maar niet want VI geldt alleen voor natuurlijke getallen.

quote:

Op woensdag 9 november 2005 23:18 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

ik weet hoe volledige inductie werkt. De post van net was alleen maar omdat je zegt dat het niet altijd geldig hoeft te zijn. Als je weet dat een uitspraak geldt voor n = 1, en je wilt em bewijzen voor een zekere n = k. Dan nemen we aan dat hij geldt voor alle n < k, dus n = 1, 2, 3 ... k-1. Als je daarmee kunt bewijzen dat k dan ook klopt, dan klopt de stelling gewoon: pak maar eens k = 2, die kun je bewijzen met de basisstap (n=1). Pak k = 3, die kun je bewijzen als je aanneemt dat k = 2 en k = 1 klopt, en aangezien je k = 2 kunt bewijzen uit de basisstap klopt deze ook .. etc .. etc

Ik moet helaas in herhaling vallen. k is een willekeurige constante die alleen één waarde tegelijkertijd kan aannemen. Zodra je k=3 pakt dan is k ongelijk aan 2 en de bewering is dus niet in zijn geheel geldig.

quote:

Op woensdag 9 november 2005 23:24 schreef Aslama het volgende:

[..]

Ik moet helaas in herhaling vallen. k is een willekeurige constante die alleen één waarde tegelijkertijd kan aannemen. Zodra je k=3 pakt dan is k ongelijk aan 2 dus de bewering in niet in zijn geheel geldig.

Ook helaas in herhaling . Volledige inductie werkt zo:
1. Basisstap: bewijs dat de stelling geldt voor de minimale elementen (bijv. n = 0) van de verzameling A
2. Aanname: stel dat de stelling geldt voor een willekeurig element x van A
3. Bewijs: als de stelling geldt voor x, bewijs dat hij geldt voor de directe opvolger van x.

Zo ontstaat er een keten van de minimale elementen tot de maximale elementen. En allemaal kloppen ze.

quote:

Op woensdag 9 november 2005 23:28 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

Ook helaas in herhaling . Volledige inductie werkt zo:
1. Basisstap: bewijs dat de stelling geldt voor de minimale elementen (bijv. n = 0) van de verzameling A
2. Aanname: stel dat de stelling geldt voor een willekeurig element x van A
3. Bewijs: als de stelling geldt voor x, bewijs dat hij geldt voor de directe opvolger van x.

Zo ontstaat er een keten van de minimale elementen tot de maximale elementen. En allemaal kloppen ze.

Ik gebruik liever VI zoals in de OP wordt beschreven. Jouw beschrijving is niet helemaal dezelfde.
Zelfs als we jou VI-beschrijving hanteren, blijft stap 2 een aanname. Zie je dat niet? Kan je bovendien ingaan op mijn argument dat k een willekeurige constante is?

quote:

Op woensdag 9 november 2005 23:18 schreef Aslama het volgende:

[..]

Helaas werkt de VI niet zo.

Het bewijs staat hier voor mijn neus. Volledige Inductie, met bewijs voor mijn eerdere post. VI werkt weldegelijk zo. Als je wilt kan ik het bewijs hier zo neerkwakken.

quote:

Op woensdag 9 november 2005 23:44 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Het bewijs staat hier voor mijn neus. Volledige Inductie, met bewijs voor mijn eerdere post. VI werkt weldegelijk zo. Als je wilt kan ik het bewijs hier zo neerkwakken.

Gewoon uitleggen

quote:

Op woensdag 9 november 2005 23:46 schreef Aslama het volgende:

[..]

Gewoon uitleggen

Ok, komt ie. Ik gebruik een 'e' voor "is element van".

Ik stel dus dat A een deelverzameling is van N ( de natuurlijke getallen ) met

* 1 e A
* uit n e A volgt n+1 e A

Dan A=N.

Waarom?
Stel es dat A niet gelijk is aan N. Dan kun je een verzameling B definieren als volgt:
{n e N : n niet in A} , dus B=N\A. B heeft een kleinste element, bijvoorbeeld m. De eerste aanname zegt dat m niet gelijk is aan 1, want 1 zit immers in A. Dus m>1. Die m is het kleinste element, dus m-1 hoort niet meer tot B, dus m-1 e A. Nou pakken we de tweede aanname er bij: die zegt dan dat m e A, maar we stelden dat m e B, dus hebben we een tegenspraak. Conclusie: B is de nulverzameling, en A=N.

Je gebruikt hierbij dat de natuurlijke getallen welgeordend zijn.

ik snap niet zozeer wat er zo onlogisch aan is Aslama, kun je het nog een keer uitleggen?

quote:

Op woensdag 9 november 2005 23:52 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Ok, komt ie. Ik gebruik een 'e' voor "is element van".

Ik stel dus dat A een deelverzameling is van N ( de natuurlijke getallen ) met

* 1 e A
* uit n e A volgt n+1 e A

Dan A=N.

Ik zie dat het bewijs van A=N geleverd wordt dmv VI. Sorry het was niet goed nagedacht. Hieronder heb je waarschijnlijk A=N bewezen via een andere manier als een tweede bewijs. Het feit dat iets wordt bewezen via een andere manier zegt niet dat de eerste methode (VI) geen kans op fout laat. Je bewijst immers niet dat de methode zelf (VI) juist is. Het zou kunnen dat A=N waar is. Ik betwijfel alleen of VI een waterdichte methode is omdat uit de tweede stap (zie OP) een aanname wordt gebruikt waaruit een bewijs moet volgen. (in je voorbeeld: uit n e A volgt n+1 e A). In de logica kan je iets niet als waar classificeren als het uit een aanname volgt. Verder vind ik dat wat Pie.er uitlegt niet zoals VI werkelijk werkt omdat k in de VI een willekeurige constante is die tegelijkertijd alleen één waarde kan aannemen. Als je k=3 neemt kan je niet tegelijk k=2 nemen waaruit een gedeelte van het bewijs moest volgen. Als k=3 is de geldigheid van de uitspraak voor n=2 niet bewezen (wel aangenomen) Lees nogmaals mijn discussie met Pie.er en DionysuZ. Ik geloof best dat veel formule's dmv van VI zijn bewezen. Alleen constateer ik vooralsnog dat VI niet waterdicht is.

Hieronder probeer ik met je te discusseren zonder te beweren dat A ongelijk aan N is. Ik stel alleen een vraag over je afleiding

quote:

Waarom?
Stel es dat A niet gelijk is aan N. Dan kun je een verzameling B definieren als volgt:
{n e N : n niet in A} , dus B=N\A. B heeft een kleinste element, bijvoorbeeld m. De eerste aanname zegt dat m niet gelijk is aan 1, want 1 zit immers in A. Dus m>1. Die m is het kleinste element, dus m-1 hoort niet meer tot B, dus m-1 e A. Nou pakken we de tweede aanname er bij: die zegt dan dat m e A, maar we stelden dat m e B, dus hebben we een tegenspraak. Conclusie: B is de nulverzameling, en A=N.

Ik begrijp deze logica niet helemaal (bold gemaakte zinnen) Kan je uitleggen waarom uit de tweede aanname en de tegenspraak met de eerste aanname het bewijs van onwaarheid van de eerste aanname volgt?

quote:

Je gebruikt hierbij dat de natuurlijke getallen welgeordend zijn.

[ Bericht 1% gewijzigd door Aslama op 10-11-2005 01:59:53 ]

quote:

Op donderdag 10 november 2005 00:00 schreef DionysuZ het volgende:
ik snap niet zozeer wat er zo onlogisch aan is Aslama, kun je het nog een keer uitleggen?

Zie mijn post hierboven

je neemt helemaal niet k=3 of k=2. Je neemt dat k = een zeker getal in de verzameling. Welk getal benoemen we niet. Hierdoor moet hetgeen je bewijst dus gelden voor alle k in die verzameling.

Leuk onderwerp geleerd, maar ook helemaal geen fuck van toegepast bij het tentamen..

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:25 schreef DionysuZ het volgende:
je neemt helemaal niet k=3 of k=2. Je neemt dat k = een zeker getal in de verzameling. Welk getal benoemen we niet. Hierdoor moet hetgeen je bewijst dus gelden voor alle k in die verzameling.

Klopt, maar het bewijs volgt uit de aanname dat de uitspraak geldt voor n<k.

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:16 schreef Aslama het volgende:


Ik begrijp deze logica niet helemaal (bold gemaakte zinnen) Kan je uitleggen waarom uit de tweede aanname en de tegenspraak met de eerste aanname het bewijs van onwaarheid van de eerste aanname volgt?
[..]

Je stelt nu ook bewijzen uit het ongerijmde in twijfel
iets kan niet niet waar en wel waar tegelijk zijn, da's de eerste wet van de logica.

er volgt trouwens geen ontkrachting van de eerste aanname maar van de veronderstelling die je in het bewijs zelf gemaakt hebt.
Die veronderstelling kan niet anders dan fout zijn, want als hij juist is heb je een paradox.

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:30 schreef Aslama het volgende:

[..]

Klopt, maar het bewijs volgt uit de aanname dat de uitspraak geldt voor n<k.

precies, en daarom de basisstap. Die aanname kan alleen maar genomen worden als de stelling klopt voor de minimale elementen in de verzameling

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:31 schreef placebeau het volgende:

[..]

Je stelt nu ook bewijzen uit het ongerijmde in twijfel

Was een vraag hoor

quote:

iets kan niet niet waar en wel waar tegelijk zijn, da's de eerste wet van de logica.

Ja maar beide zijn aanname's, waarom omdat ze elkaar tegenspreken de tweede waar is?

[ Bericht 15% gewijzigd door Aslama op 10-11-2005 01:39:55 ]

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:34 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

precies, en daarom de basisstap. Die aanname kan alleen maar genomen worden als de stelling klopt voor de minimale elementen in de verzameling

het is uit die twee aannames dat je iets wil bewijzen.
je wilt dus uitgaande van het feit dat die twee aannames waar zijn, tot je resultaat dat A=N is komen.
Dat die twee waar zijn heb je dus gegeven.

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:39 schreef placebeau het volgende:

[..]

het is uit die twee aannames dat je iets wil bewijzen.
je wilt dus uitgaande van het feit dat die twee aannames waar zijn, tot je resultaat dat A=N is komen.
Dat die twee waar zijn heb je dus gegeven.

De basisstap neem je niet aan, die bewijs je. Die is meestal triviaal, niet altijd.

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:40 schreef DionysuZ het volgende:

[..]

De basisstap neem je niet aan, die bewijs je. Die is meestal triviaal, niet altijd.

ja, als je de inductie toepast.
Maar het gaat hier over het bewijs van haushofer

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:39 schreef placebeau het volgende:

[..]

het is uit die twee aannames dat je iets wil bewijzen.
je wilt dus uitgaande van het feit dat die twee aannames waar zijn, tot je resultaat dat A=N is komen.

Het is toch geen feit dat die twee aannames waar waren, of volg ik het niet meer?

quote:

Dat die twee waar zijn heb je dus gegeven.

quote:

Op donderdag 10 november 2005 01:42 schreef placebeau het volgende:

[..]

ja, als je de inductie toepast.
Maar het gaat hier over het bewijs van haushofer

De basisstap is een inductiestap, die bewijs je niet door inductie toe te passen.

Bijvoorbeeld. Stel je wilt bewijzen dat n² > 2*n voor alle n > 2, n in |N.

Dan is je basisstap: neem n = 3. 3² = 9, 2*3 = 6. 9 > 6. Hiermee dus de basisstap bewijzend.