SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Game onquote:Post hier weer al je vragen, passies, trauma's en andere dingen die je uit je slaap houden met betrekking tot de wiskunde.
Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!
Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).
Links:
• http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
• http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
• http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
• http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
• http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...
OP
Handig:
Riparius heeft ooit een PDF geschreven over goniometrische identiteiten. Deze kun je hier downloaden:
www.mediafire.com/view/?2b214qltc7m3v0d
Als (x −3)2 niet negatief kan zijn, wat is dan de kleinste waarde die (x −3)2 wel kan aannemen?quote:Op vrijdag 27 september 2013 19:03 schreef wiskundenoob het volgende:
[..]
Serieus ik zie het nog steeds niet.
Dat (x-3)2 nooit negatief kan zijn snap ik, maar wat heeft dit te maken met het vinden van het minimum?
Als je over dit hebt (x −3)2 = y dan is het 0.quote:
[..]
Als (x −3)2 niet negatief kan zijn, wat is dan de kleinste waarde die (x −3)2 wel kan aannemen?
Juist. En als nuquote:
[..]
Als je over dit hebt (x −3)2 = y dan is het 0.
(x − 3)2
nul als kleinste waarde heeft, dan heeft
(x − 3)2 + 4
als kleinste waarde?
0+4 =4quote:
[..]
Juist. En als nu
(x − 3)2
nul als kleinste waarde heeft, dan heeft
(x − 3)2 + 4
als kleinste waarde?
Juist. Dus wat is nu het minimum van de functiequote:
f(x) = (x − 3)2 + 4
en voor welke waarde van x wordt dit minimum bereikt?
3 natuurlijk, maar ik snap nog steeds niet wanneer dit zo mag.quote:
[..]
Juist. Dus wat is nu het minimum van de functie
f(x) = (x − 3)2 + 4
en voor welke waarde van x wordt dit minimum bereikt?
Welke stap niet?quote:
[..]
3 natuurlijk, maar ik snap nog steeds niet wanneer dit zo mag.
Je antwoord is niet compleet: de minimale functiewaarde is 4 en dit minimum wordt bereikt bij de waarde x = 3. Maak eens een tabelletje met wat functiewaarden van deze functie. Zet in de linkerkolom de waarde van x en in de rechterkolom de waarde van f(x). En neem voor x de gehele getallen van 0 t/m 6.quote:
[..]
3 natuurlijk, maar ik snap nog steeds niet wanneer dit zo mag.
edit:quote:
[..]
Je antwoord is niet compleet: de minimale functiewaarde is 4 en dit minimum wordt bereikt bij de waarde x = 3. Maak eens een tabelletje met wat functiewaarden van deze functie. Zet in de linkerkolom de waarde van x en in de rechterkolom de waarde van f(x). En neem voor x de gehele getallen van 0 t/m 6.
y= 8,5,4,5, 8 en 13
Dat rijtje klopt niet. Voor x = 0 heb je bijvoorbeeld f(0) = (0 −3)2 + 4 = (−3)2 + 4 = 9 + 4 = 13.quote:
Ik heb het veranderd klopt het nu? Ik ben alleen 0 vergeten.quote:
[..]
Dat rijtje klopt niet. Voor x = 0 heb je bijvoorbeeld f(0) = (0 −3)2 + 4 = (−3)2 + 4 = 9 + 4 = 13.
Lees mijn eerdere post...quote:
[..]
Alles, hoe los je dit op y=x^2 + x − 20 op hetzelfde manier?
Als je het niet snapt zo, bepaal dan gewoon de afgeleide en kijk wanneer die 0 is.. De x-waarde die daar uitkomt vul je in de oorspronkelijke functie in en klaar.
Dus y=x^2 + x − 20
y'= 2x+1
2x+1 = 0, x = -.5
Dat invullen geeft (-1/2^2-1/2-20)
= 1/4-2/4-80/4=-81/4
Dus y=x^2 + x − 20
y'= 2x+1
2x+1 = 0, x = -.5
Dat invullen geeft (-1/2^2-1/2-20)
= 1/4-2/4-80/4=-81/4
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
Dat heb ik al aangegeven: kwadraatafsplitsing. Dan krijg je:quote:
[..]
Alles, hoe los je dit op y=x^2 + x − 20 op hetzelfde manier?
f(x) = (x + ½)2 − (½)2 − 20
en dus
f(x) = (x + ½)2 − 81/4
Deze functie neemt dus een minimum aan van −81/4 = −20¼ bij x = −1/2.
[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 27-09-2013 20:00:32 ]
Nee. De vragensteller heeft geen flauwe notie van differentiaalrekening.quote:
Als je het niet snapt zo, bepaal dan gewoon de afgeleide en kijk wanneer die 0 is.. De x-waarde die daar uitkomt vul je in de oorspronkelijke functie in en klaar.
Ah, sorry, niet gezien.
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
Ja, zo klopt het. De bedoeling was dat je zag dat de term (x − 3)2 bepalend is voor het verloop van de functie en ervoor zorgt dat de functie bij x = 3 een minimum bereikt.quote:
[..]
Ik heb het veranderd klopt het nu? Ik ben alleen 0 vergeten.
Nvm ik weet het alweer!quote:
[..]
Dat heb ik al aangegeven: kwadraatafsplitsing. Dan krijg je:
f(x) = (x + ½)2 − (½)2 − 20
en dus
f(x) = (x + ½)2 − 81/4
Deze functie neemt dus een minimum aan van −81/4 = −20¼ bij x = −1/2.
[ Bericht 2% gewijzigd door wiskundenoob op 27-09-2013 20:18:06 ]
Kwadraatafsplitsing. Dat heb ik afgelopen zomer uitvoerig met je behandeld. Lees de oude wiskunde topics nog maar eens terug.quote:
[..]
Wacht hoe kom je weer aan de tweede regel. Ik dacht dat je dit bedoelde (x-5)(x-4)
Je maakt gebruik van het merkwaardig product
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Als je nu hebt x2 + x − 20, dan halveer je de coëfficiënt van de x, en dat geeft ½. Maar nu is (x + ½)2 = x2 + 2·½·x + (½)2 = x2 + x + ¼, en dat is ¼ teveel, dus moet ik die ¼ er weer aftrekken om te kunnen concluderen dat x2 + x hetzelfde is als (x + ½)2 − ¼.
Het begint me nu te dagen waarom ik constante zag als maximum of minimum!quote:
[..]
Kwadraatafsplitsing. Dat heb ik afgelopen zomer uitvoerig met je behandeld. Lees de oude wiskunde topics nog maar eens terug.
Je maakt gebruik van het merkwaardig product
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Als je nu hebt x2 + x − 20, dan halveer je de coëfficiënt van de x, en dat geeft ½. Maar nu is (x + ½)2 = x2 + 2·½·x + (½)2 = x2 + x + ¼, en dat is ¼ teveel, dus moet ik die ¼ er weer aftrekken om te kunnen concluderen dat x2 + x hetzelfde is als (x + ½)2 − ¼.
Sorry dat ik er ff tussen val maar ik vind het wel echt ongelofelijk chill dat je de moeite neemt de vragen van een random FOK!'er te beantwoorden op een vrijdagavond. Jij moet wel echt een soort wiskunde-passie hebben ofzoquote:
[..]
Kwadraatafsplitsing. Dat heb ik afgelopen zomer uitvoerig met je behandeld. Lees de oude wiskunde topics nog maar eens terug.
Je maakt gebruik van het merkwaardig product
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Als je nu hebt x2 + x − 20, dan halveer je de coëfficiënt van de x, en dat geeft ½. Maar nu is (x + ½)2 = x2 + 2·½·x + (½)2 = x2 + x + ¼, en dat is ¼ teveel, dus moet ik die ¼ er weer aftrekken om te kunnen concluderen dat x2 + x hetzelfde is als (x + ½)2 − ¼.
Wat doe je voor beroep? Of studeer je nog?
Ik beantwoord nooit privé vragen. En de vragensteller is niet random maar mij welbekend. Maar inderdaad, hier is het ook vrijdagavond, en ik wil nu toch wel graag even The Voice kijken ...quote:
[..]
Sorry dat ik er ff tussen val maar ik vind het wel echt ongelofelijk chill dat je de moeite neemt de vragen van een random FOK!'er te beantwoorden op een vrijdagavond. Jij moet wel echt een soort wiskunde-passie hebben ofzo
Wat is dit nu weer.quote:
[..]
Ik beantwoord nooit privé vragen. En de vragensteller is niet random maar mij welbekend. Maar inderdaad, hier is het ook vrijdagavond, en ik wil nu toch wel graag even The Voice kijken ...
Zelfs ik zit te pilsen met een maat onder het genot van een hoorcollege Getallen.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Nee dat klinkt al een stuk beterquote:Op vrijdag 27 september 2013 22:05 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Wat is dit nu weer.
Zelfs ik zit te pilsen met een maat onder het genot van een hoorcollege Getallen.
We bekeken even een bewijs over equivalentieklassen en partities dat in mijn college vaag werd behandeld. Handig als je videocolleges van de RU en de TU/e kunt inzien.quote:
[..]
Nee dat klinkt al een stuk beter
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
En ik definieer dat wiskunde > The Voice.
Commercieel kutprogramma.
Commercieel kutprogramma.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
De vraag of je studeert of werkt is toch niet echt een ingrijpende privé-vraag die je privacy aantast lijkt me? Maarja het is jouw goed recht om geen antwoord te geven natuurlijkquote:
[..]
Ik beantwoord nooit privé vragen. En de vragensteller is niet random maar mij welbekend. Maar inderdaad, hier is het ook vrijdagavond, en ik wil nu toch wel graag even The Voice kijken ...
Hij beantwoordt geen persoonlijke vragen. Lees zijn posthistorie maar eens door, dan zul je vanzelf uitvinden wat het antwoord op je vraag is.quote:
[..]
De vraag of je studeert of werkt is toch niet echt een ingrijpende privé-vraag die je privacy aantast lijkt me? Maarja het is jouw goed recht om geen antwoord te geven natuurlijk
[ Bericht 1% gewijzigd door Amoeba op 28-09-2013 11:08:46 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik zit net in 4 VWO en heb dus voor het eerst de grafische rekenmachine(Casio fx-9860II) te gebruiken. Grafieken plotten enzo was allemaal heel makkelijk, maar nu opeens vult hij steeds een T in als ik op het knopje drukte waarmee ik normaal een X invulde in de formule. Als ik het dan probeer zecht hij Syntax error. Ik heb in plaats daarvan de mogelijkheid om een X in te vullen met F5, maar als ik dat doe geeft hij Argument Error.
Ik had dat 1 keer eerder maar toen kreeg ik het op een of andere manier weer weg. Nu lukt dat niet meer. Hoe krijg ik dit weer gefixt?
Ik had dat 1 keer eerder maar toen kreeg ik het op een of andere manier weer weg. Nu lukt dat niet meer. Hoe krijg ik dit weer gefixt?
Stil maar gauw.
Ik zou zeggen een technicus vooral gericht op hardware/TV's ofzo? Maar daar komt toch ook weer niet zo veel wiskunde bij kijken?quote:
[..]
Hij beantwoordt geen persoonlijke vragen. Lees zijn posthistorie maar eens door, dan zul je vanzelf uitvinden wat het antwoord op je vraag is.
Ik ben wel nieuwsgierig geworden nu door deze geheimzinnigheid
Op een TI heb je dan bij modus lopen klooien. Heb je een mode knop op dat ding?quote:
Ik zit net in 4 VWO en heb dus voor het eerst de grafische rekenmachine(Casio fx-9860II) te gebruiken. Grafieken plotten enzo was allemaal heel makkelijk, maar nu opeens vult hij steeds een T in als ik op het knopje drukte waarmee ik normaal een X invulde in de formule. Als ik het dan probeer zecht hij Syntax error. Ik heb in plaats daarvan de mogelijkheid om een X in te vullen met F5, maar als ik dat doe geeft hij Argument Error.
Ik had dat 1 keer eerder maar toen kreeg ik het op een of andere manier weer weg. Nu lukt dat niet meer. Hoe krijg ik dit weer gefixt?
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Als ik jou was zou ik nog eens nakijken waar wiskunde allemaal gebruikt wordt. De toepassingen van wiskunde zijn eindeloos, en vooral in de sector die je hierboven noemt.quote:
[..]
Ik zou zeggen een technicus vooral gericht op hardware/TV's ofzo? Maar daar komt toch ook weer niet zo veel wiskunde bij kijken?
Ik ben wel nieuwsgierig geworden nu door deze geheimzinnigheid
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ja tuurlijk snap ik dat er bijna alle technische sectoren enorm veel wiskunde wordt gebruikt, maar dat is toch van een (veel) lager niveau als de wiskunde die je zou krijgen bij een studie theoretische wiskunde (en als je daarin bijvoorbeeld nog wil promoveren)? Riparius komt bij mij meer over als iemand die wiskunde gestudeerd heeft ipv iemand die elektrotechniek oid gestudeerd heeft.quote:
[..]
Als ik jou was zou ik nog eens nakijken waar wiskunde allemaal gebruikt wordt. De toepassingen van wiskunde zijn eindeloos, en vooral in de sector die je hierboven noemt.
Zoeentje is het. Welke knoppen moet ik dan gebruiken? Ik ben niet uit het Graph menu geweest totdat hij opeens een T gaf ipv een X.
Stil maar gauw.
Nee hoor.quote:
[..]
Ja tuurlijk snap ik dat er bijna alle technische sectoren enorm veel wiskunde wordt gebruikt, maar dat is toch van een (veel) lager niveau als de wiskunde die je zou krijgen bij een studie theoretische wiskunde (en als je daarin bijvoorbeeld nog wil promoveren)? Riparius komt bij mij meer over als iemand die wiskunde gestudeerd heeft ipv iemand die elektrotechniek oid gestudeerd heeft.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Dus jij zou willen stellen dat de 3 vakken Wiskunde die je in het eerste jaar krijgt bij een studie Elektrotechniek (http://www.tudelft.nl/stu(...)-onderwijsprogramma/) gelijkstaan aan de ongeveer 6 á 9 vakken Wiskunde die je in eerste jaar Wiskunde krijgt? (https://studiegids.leidenuniv.nl/studies/show/2461/wiskunde)quote:
Want je denkt dat wiskundigen niet meedenken bij de ontwikkeling van nieuwe technologie? Dat heeft verder niets van doen met de hoeveelheid wiskunde in een studie elektrotechniek of wiskunde.quote:
[..]
Dus jij zou willen stellen dat de 3 vakken Wiskunde die je in het eerste jaar krijgt bij een studie Elektrotechniek (http://www.tudelft.nl/stu(...)-onderwijsprogramma/) gelijkstaan aan de ongeveer 6 á 9 vakken Wiskunde die je in eerste jaar Wiskunde krijgt? (https://studiegids.leidenuniv.nl/studies/show/2461/wiskunde)
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
? Ik probeer alleen aan te geven dat het toch best raar is dat jij zegt dat een wiskundige op wiskundig gebied net zo bekwaam is als iemand die een random technische studie heeft gedaan. Wat zou dan überhaupt de meerwaarde zijn van een studie wiskunde boven een random technische studie?quote:
Want je denkt dat wiskundigen niet meedenken bij de ontwikkeling van nieuwe technologie? Dat heeft verder niets van doen met de hoeveelheid wiskunde in een studie elektrotechniek
Instellingen resetten.quote:
[ afbeelding ]
Zoeentje is het. Welke knoppen moet ik dan gebruiken? Ik ben niet uit het Graph menu geweest totdat hij opeens een T gaf ipv een X.
Dat is niet wat ik zeg. Ik zeg dat in alle technische sectoren juist wel wiskunde wordt gebruikt die gelijk is aan het niveau wiskunde dat je krijgt bij een studie wiskunde. En met technische sectoren bedoel je m.i. geen studies, maar industrie etc.quote:
[..]
? Ik probeer alleen aan te geven dat het toch best raar is dat jij zegt dat een wiskundige op wiskundig gebied net zo bekwaam is als iemand die een random technische studie heeft gedaan. Wat zou dan überhaupt de meerwaarde zijn van een studie wiskunde boven een random technische studie?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Jij denkt dat een electrotechnisch ingenieur (WO) een soort van electricien is?quote:
[..]
Ik zou zeggen een technicus vooral gericht op hardware/TV's ofzo? Maar daar komt toch ook weer niet zo veel wiskunde bij kijken?
Ik doe nu een beetje populistisch door het door te trekken om een punt te maken.
Er komt erg veel wiskunde bij kijken als je een beetje op niveau werkt. Niet bij alle tehcnische disciplines maar wel bij veel technische disciplines. Het verschil is dat wiskunde, variërend van middelbare-school-niveau t/m zeer complex, gebruikt wordt als middel en dat het niet een doel op zichzelf is.
We moeten zijn behoefte aan privacy respecteren. Ik ken zijn achtergrond niet dus ik kan rustig mijn speculatie uiten: hij is ofwel een elektrotechnisch ingenieur (waarschijnlijker) ofwel een natuurkundige die zichzelf daarnaast flink heeft verdiept in verschillende wiskundige disciplines. Ik schat dat hij ouder dan 60 jaar is. Ik kan er natuurlijk gigantisch ver naast zitten.quote:Ik ben wel nieuwsgierig geworden nu door deze geheimzinnigheid
[ Bericht 9% gewijzigd door Bram_van_Loon op 29-09-2013 01:58:29 ]
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
#NoDAPL
Er wordt in de techniek zat 'lastige' wiskunde gebruikt dat je niet eens in een master (technische) wiskunde tegen komt. De top-notch wiskunde is gewoon heel erg specialistisch, en is er maar een kleine club mensen die van zo'n specifiek onderwerp veel verstand heeft. Bij een studie wiskunde leer je vooral veel vaardigheden, en specifieke kennis is van minder belang. De kans dat je in een baan precies gaat gebruiken wat je leert is ook niet zo groot, maar de vaardigheden zullen onmisbaar zijnquote:
[..]
Ja tuurlijk snap ik dat er bijna alle technische sectoren enorm veel wiskunde wordt gebruikt, maar dat is toch van een (veel) lager niveau als de wiskunde die je zou krijgen bij een studie theoretische wiskunde (en als je daarin bijvoorbeeld nog wil promoveren)? Riparius komt bij mij meer over als iemand die wiskunde gestudeerd heeft ipv iemand die elektrotechniek oid gestudeerd heeft.
.
`Gelijk is aan het niveau van' is een nogal rare stelling. De wiskunde waarin een masterstudent is gespecialiseerd kun je i.h.a. niet uitlegd krijgen aan iemand in een technische sector. Dat betekent niet dat iemand uit die technische sector die wiskunde nooit zou kunnen begrijpen; het kost hem dan wel een paar maanden tot een jaar of twee.quote:
[..]
Dat is niet wat ik zeg. Ik zeg dat in alle technische sectoren juist wel wiskunde wordt gebruikt die gelijk is aan het niveau wiskunde dat je krijgt bij een studie wiskunde. En met technische sectoren bedoel je m.i. geen studies, maar industrie etc.
Dit geldt overigens ook voor wiskundige specialisaties onderling en wordt erger hoe dieper de specialisatie is gegaan.
Technische gebieden hebben de neiging bruikbaar bewezen wiskunde goed onder de knie te hebben. Veel wiskunde, en het gros van de `nieuwe' wiskunde (daar waar nu onderzoek naar wordt gedaan-- wat je als wiskundestudent leert te doen), valt daar gewoonweg niet onder.
More oneness, less categories
Open hearts, no strategies
Decisions based upon faith and not fear
People who live right now and right here
Open hearts, no strategies
Decisions based upon faith and not fear
People who live right now and right here
Inderdaad. Zelfs in het eerste jaar van informatica of elektrotechniek heb je al zo'n voorbeeldje, de booleaanse algebra. Een flinke kluif om dat goed onder de knie te krijgen. Wel een leuke uitdaging. Verre van topnotch maar ter illustratie.quote:
[..]
Er wordt in de techniek zat 'lastige' wiskunde gebruikt dat je niet eens in een master (technische) wiskunde tegen komt. De top-notch wiskunde is gewoon heel erg specialistisch, en is er maar een kleine club mensen die van zo'n specifiek onderwerp veel verstand heeft. Bij een studie wiskunde leer je vooral veel vaardigheden, en specifieke kennis is van minder belang. De kans dat je in een baan precies gaat gebruiken wat je leert is ook niet zo groot, maar de vaardigheden zullen onmisbaar zijn
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
#NoDAPL
Doe jezelf een plezier en gebruik dat apparaatje zo weinig mogelijk, dus alleen als er iets wordt gevraagd wat je niet zonder dat apparaatje kan beantwoorden en niet omdat je te lui bent om zelf eventjes na te denken. De verleiding is begrijpelijk maar je benadeelt jezelf er flink mee.quote:
Ik zit net in 4 VWO en heb dus voor het eerst de grafische rekenmachine(Casio fx-9860II) te gebruiken. Grafieken plotten enzo was allemaal heel makkelijk, maar nu opeens vult hij steeds een T in als ik op het knopje drukte waarmee ik normaal een X invulde in de formule. Als ik het dan probeer zecht hij Syntax error. Ik heb in plaats daarvan de mogelijkheid om een X in te vullen met F5, maar als ik dat doe geeft hij Argument Error.
Ik had dat 1 keer eerder maar toen kreeg ik het op een of andere manier weer weg. Nu lukt dat niet meer. Hoe krijg ik dit weer gefixt?
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
#NoDAPL
Waarom geen wiskundige dan?quote:
We moeten zijn behoefte aan privacy respecteren. Ik ken zijn achtergrond niet dus ik kan rustig mijn speculatie uiten: hij is ofwel een elektrotechnisch ingenieur (waarschijnlijker) ofwel een natuurkundige die zichzelf daarnaast flink heeft verdiept in verschillende wiskundige disciplines. Ik schat dat hij ouder dan 60 jaar is. Ik kan er natuurlijk gigantisch ver naast zitten.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
[roddelmodus]quote:
Hij weet enorm veel van meetkunde, lineare algebra en analyse/calculus. Maar dat zijn allemaal eerstejaars onderwerpen die ook bij niet wiskundige studies aan bod komen. Dat hoeft verder niks te betekenen, maar het wijst er in ieder geval niet op dat het een wiskundige is.
Ik denk ook dat het waarschijnlijker is dat het een techneut/ingenieur is die deels voor zijn beroep, maar grotendeels als hobby allerlei wiskunde bestudeert. Met name ook de geschiedenis van de wiskunde.
[/roddelmodus]
Hij lijkt niet veel van algebra en getaltheorie te weten. Vandaar dat ik ook denk dat hij geen wiskundige is.
Verder over wiskunde nu:
Ik heb een differentiaalvergelijking die voldoet aan 2 voorwaarden:
y' = a+by
y(0) = y0
Nu is de vraag: 'Solve the initial-value problem'
Als dit inhoudt dat ik een functie y(x) op moet stellen zit ik op de goede weg. Ik had al bedacht dat
(y'(x) -a)/b = y(x)
En als ik nu zoiets als K*ebx = y(x) substitueer het dan wel een beetje erop gaat lijken. Maar nu weet ik niet precies hoe ik de opgave nu verder op moet lossen..
Any tips?
EDIT:
Wellicht substitueren van y(0) = y0?
Dan y0 = K - a/b
En dus K = y0+a/b
zodat y(x) = (y0 + a/b)*ebx
[ Bericht 3% gewijzigd door Amoeba op 29-09-2013 13:30:39 ]
Ik heb een differentiaalvergelijking die voldoet aan 2 voorwaarden:
y' = a+by
y(0) = y0
Nu is de vraag: 'Solve the initial-value problem'
Als dit inhoudt dat ik een functie y(x) op moet stellen zit ik op de goede weg. Ik had al bedacht dat
(y'(x) -a)/b = y(x)
En als ik nu zoiets als K*ebx = y(x) substitueer het dan wel een beetje erop gaat lijken. Maar nu weet ik niet precies hoe ik de opgave nu verder op moet lossen..
Any tips?
EDIT:
Wellicht substitueren van y(0) = y0?
Dan y0 = K - a/b
En dus K = y0+a/b
zodat y(x) = (y0 + a/b)*ebx
[ Bericht 3% gewijzigd door Amoeba op 29-09-2013 13:30:39 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
That makes sense. Wat is dan nu the way to go?quote:
Dit gaat niet werken vanwege de "a"-term: je hebt hier een inhomogene differentiaalvergelijking.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Dank, de rekenmachine doet het weer.
Ik zal het proberen, maar het scheelt je inderdaad wel een hoop tijd zo'n grafische rekenmachine
Ik zal het proberen, maar het scheelt je inderdaad wel een hoop tijd zo'n grafische rekenmachine
Stil maar gauw.
Eerst de gehomogeniseerde vergelijking oplossen, daarna een particuliere oplossing zoeken voor de inhomogene vergelijking, en vervolgens dat met elkaar combineren tot een oplossing waar ook de beginvoorwaarde in zit.quote:Op zondag 29 september 2013 14:50 schreef Amoeba het volgende:
[..]
That makes sense. Wat is dan nu the way to go?
Wat wil je later gaan studeren?quote:
Dank, de rekenmachine doet het weer.
Ik zal het proberen, maar het scheelt je inderdaad wel een hoop tijd zo'n grafische rekenmachine
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik krijg die particuliere oplossing al niet gevonden. De oplossing voor de homogene vergelijking lijkt me y' = a + by met a = 0, zodat y = ebxquote:
[..]
Eerst de gehomogeniseerde vergelijking oplossen, daarna een particuliere oplossing zoeken voor de inhomogene vergelijking, en vervolgens dat met elkaar combineren tot een oplossing waar ook de beginvoorwaarde in zit.
Ik heb dit al ooit met wiskunde D gehad, maar nooit echt in deze vorm.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Zeker voor een beetje technische studie is het belangrijk dat je inzicht verkrijgt in de wiskunde. Een GR is een absolute dooddoener op dat gebied, dus zorg dat je algebraïsche technieken goed in de vingers hebt en ook begrijpt.quote:
Ik wil iets gaan doen bij defensie. Vaak ga je dan al snel te technische kant op.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Oke bedankt voor die tip. Ik zal dan inderdaad maar proberen een groot deel zonder rekenmachine op te lossen.
Stil maar gauw.
Voor de homogene vgl. geldt y = Cebx met C een constante.quote:Op zondag 29 september 2013 15:07 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Ik krijg die particuliere oplossing al niet gevonden. De oplossing voor de homogene vergelijking lijkt me y' = a + by met a = 0, zodat y = ebx
Ik heb dit al ooit met wiskunde D gehad, maar nooit echt in deze vorm.
Voor een particuliere oplossing: probeer eens een constante functie uit.
Och natuurlijk, ik noemde hem eerst K en net vergat ik hem en nam ik 1, maar inderdaad iedere C voldoet.quote:
[..]
Voor de homogene vgl. geldt y = Cebx met C een constante.
Voor een particuliere oplossing: probeer eens een constante functie uit.
Als y constant is, dan geldt y' = 0, dus 0 = a+by, zodat y = -a/b.
Normaal eindigde het hier bij wiskunde D, want je nam de som van de homogene en particuliere oplossing en dan klaar.
y(x) = -a/b + Cebx
En nu de tweede voorwaarde implementeren en zo een waarde voor C verkrijgen (C = y0 + a/b)?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Juist.quote:
[..]
Och natuurlijk, ik noemde hem eerst K en net vergat ik hem en nam ik 1, maar inderdaad iedere C voldoet.
Als y constant is, dan geldt y' = 0, dus 0 = a+by, zodat y = -a/b.
Normaal eindigde het hier bij wiskunde D, want je nam de som van de homogene en particuliere oplossing en dan klaar.
y(x) = -a/b + Cebx
En nu de tweede voorwaarde implementeren en zo een waarde voor C verkrijgen (C = y0 + a/b)?
Ik dank u ten zeerste. Louter positieve kritieken, juiste tips zonder de opgave cadeau te doen.quote:
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik kom niet uit bij deze:
3x 2 +2x -1
9x 2 +6x -3
(3x +1)2-4
(-1/3,-4)
Of nogmaals delen door 3:
(3x +1)2-4
(1x +1/3) 2 -4/3
(-1/3, -4/3)
[ Bericht 13% gewijzigd door wiskundenoob op 29-09-2013 18:16:00 ]
3x 2 +2x -1
9x 2 +6x -3
(3x +1)2-4
(-1/3,-4)
Of nogmaals delen door 3:
(3x +1)2-4
(1x +1/3) 2 -4/3
(-1/3, -4/3)
[ Bericht 13% gewijzigd door wiskundenoob op 29-09-2013 18:16:00 ]
(3x+1)^2 - 4 = 0
(3x+1)^2 = 4
3x+1 = 2 v -2
3x = 1 v -3
x = 1/3 v -1
(3x+1)^2 = 4
3x+1 = 2 v -2
3x = 1 v -3
x = 1/3 v -1
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
Ten eerste is het niet duidelijk wat je nu wilt. De nulpunten van de polynoom f(x) = 3x2 =2x -1 bepalen?quote:
Ik kom niet uit bij deze:
3x 2 +2x -1
9x 2 +6x -3
(3x +1)2-4
(-1/3,-4)
Of nogmaals delen door 3:
(3x +1)2-4
(1x +1/3) 2 -4/3
(-1/3, -4/3)
Daarnaast is je laatste alinea onjuist. Als je een kwadraat wil delen mag je nooit stellen dat x2/3 = (x/3)2.
Bedenk nu eens waar je wél door moet delen om het gewenste resultaat (dus rechts van het = teken) te krijgen.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Van het minimum? Dan moet je de afgeleide bepalen
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
Het ligt er helemaal aan op welk niveau je dit geleerd krijgt. Zit je in de onderbouw van het vwo? Of bovenbouw? Differentieren gehad?quote:
De coordinaten van het minimum moet ik bepalen.
Zo niet, dan zijn er andere aanpakken denkbaar.
I asked God for a bike, but I know God doesn't work that way.
So I stole a bike and asked for forgiveness.
So I stole a bike and asked for forgiveness.
Hoe herschrijf je het als a(x -x) 2 + y?quote:
Van het minimum? Dan moet je de afgeleide bepalen
Wacht even, is dit niet dezelfde gebruiker als een paar pagina's geleden? Volgens mij kon die nog niet afleiden, en moet het bijvoorbeeld via kwadraatafsplitsen.
Zie het zo;
Je hebt het al herschreven naar
(3x+1)^2 - 4
Omdat (3x+1)^2 nooit negatief wordt is de laagste waarde die (3x+1)^2 kan aannemen 0
Dus de vraag is wanneer (3x+1)^2 = 0
Nou, wanneer x = -1/3
Invullen in oorspronkelijk functie geeft dan een minimum in (-1/3,-4)
Je hebt het al herschreven naar
(3x+1)^2 - 4
Omdat (3x+1)^2 nooit negatief wordt is de laagste waarde die (3x+1)^2 kan aannemen 0
Dus de vraag is wanneer (3x+1)^2 = 0
Nou, wanneer x = -1/3
Invullen in oorspronkelijk functie geeft dan een minimum in (-1/3,-4)
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
(1/3)(x)2 -y/3quote:
[..]
Ten eerste is het niet duidelijk wat je nu wilt. De nulpunten van de polynoom f(x) = 3x2 =2x -1 bepalen?
Daarnaast is je laatste alinea onjuist. Als je een kwadraat wil delen mag je nooit stellen dat x2/3 = (x/3)2.
Bedenk nu eens waar je wél door moet delen om het gewenste resultaat (dus rechts van het = teken) te krijgen.
Juist?
Het is hetzelfde. Of dat jij nu dat formuletje -b/2a krijgt aangereikt of dat jij dat krijgt door een tweedegraadsvergelijking te differentiëren...quote:
[..]
Het ligt er helemaal aan op welk niveau je dit geleerd krijgt. Zit je in de onderbouw van het vwo? Of bovenbouw? Differentieren gehad?
Zo niet, dan zijn er andere aanpakken denkbaar.
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
#NoDAPL
Nee dit klopt nietquote:
Zie het zo;
Je hebt het al herschreven naar
(3x+1)^2 - 4
Omdat (3x+1)^2 nooit negatief wordt is de laagste waarde die (3x+1)^2 kan aannemen 0
Dus de vraag is wanneer (3x+1)^2 = 0
Nou, wanneer x = -1/3
Invullen in oorspronkelijk functie geeft dan een minimum in (-1/3,-4)
Laat die GR nog even liggen. Handig om het antwoord mee te controleren en om zeker te zijn van je antwoord bij een toets. In andere gevallen is met de hand handiger, omdat je dan beter bewust zou moeten zijn van wat je doet.
Als je het niet via differentiëren kan of wil doen, is dit een manier: Je moet naar de (top)vorm y = c(x-a)2 + b toe, want dan is de extreme waarde (a,b). Dit door kwadraatafsplitsen.
Je verlijking is dus: 3x2 +2x -1 ?
Haal die 3 even buiten haakjes: y = 3(x2 + 2/3 - 1/3). Nu kwadraatafsplitsen zoals je dat geleerd zou moeten hebben voor het stuk binnen de haakjes, daarna werk je de buitenste haakjes weg, zodat die 3 alleen maar meer voor het (x-a)2 gedeelte staat en je dus de topvorm hebt.
[ Bericht 1% gewijzigd door Aardappeltaart op 29-09-2013 18:41:46 ]
Als je het niet via differentiëren kan of wil doen, is dit een manier: Je moet naar de (top)vorm y = c(x-a)2 + b toe, want dan is de extreme waarde (a,b). Dit door kwadraatafsplitsen.
Je verlijking is dus: 3x2 +2x -1 ?
Haal die 3 even buiten haakjes: y = 3(x2 + 2/3 - 1/3). Nu kwadraatafsplitsen zoals je dat geleerd zou moeten hebben voor het stuk binnen de haakjes, daarna werk je de buitenste haakjes weg, zodat die 3 alleen maar meer voor het (x-a)2 gedeelte staat en je dus de topvorm hebt.
[ Bericht 1% gewijzigd door Aardappeltaart op 29-09-2013 18:41:46 ]
// (twee keer ''quote'' in plaats van ''edit'' aanklikken *zucht*. *mompelt iets over ezels en stenen* Hoe haal ik deze dubbelposts weg?!)
Oh nee, moest natuurlijk nog door 3 delen. Minimum in (-1/3,-4/3).quote:
Maar leer eens differentiëren. Makkelijker.
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
Differentiëren kan misschien wel makkelijker zijn, maar je mag bij een toets alleen dingen gebruiken die je gehad hebt. De rest moet je bewijzen/afleiden.
Laten we even beginnen met een inleiding differentiëren.quote:
Een raaklijn aan een punt van de grafiek heeft niets van doen met snijden etc, het betekent alleen dat de helling van de raaklijn (y = ax+b) gelijk is aan de helling van f(x) in dat punt. De helling van de raaklijn is altijd a, dit wordt ook wel de richtingscoëfficient van de raaklijn genoemd.
Goed, bedenk nu eens wat dit betekent voor een minimum van een functie. Dus de grafiek gaat over van dalend naar stijgend, als je het niet direct weet, teken dan eens wat voorbeelden. Wat zou de waarde van de richtingscoëfficient v/d raaklijn in een minimum van f(x) zijn?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Als je een gehele kwadratische vergelijking vermenigvuldigt met n dan blijven de nulpunten op de x-as altijd hetzelfde toch? Alleen het minimum/maximum van je parabool verandert, toch?quote:
Laat die GR nog even liggen. Handig om het antwoord mee te controleren en om zeker te zijn van je antwoord bij een toets. In andere gevallen is met de hand handiger, omdat je dan beter bewust zou moeten zijn van wat je doet.
Als je het niet via differentiëren kan of wil doen, is dit een manier: Je moet naar de (top)vorm y = c(x-a)2 + b toe, want dan is de extreme waarde (a,b). Dit door kwadraatafsplitsen.
Je verlijking is dus: 3x2 +2x -1 ?
Haal die 3 even buiten haakjes: y = 3(x2 + 2/3 - 1/3). Nu kwadraatafsplitsen zoals je dat geleerd zou moeten hebben voor het stuk binnen de haakjes, daarna werk je de buitenste haakjes weg, zodat die 3 alleen maar meer voor het (x-a)2 gedeelte staat en je dus de topvorm hebt.
[ Bericht 0% gewijzigd door wiskundenoob op 29-09-2013 20:37:44 ]
Een parabool heeft of een minimum óf een maximum. Maar, ja, inderdaad. De hele parabool wordt vermenigvuldigd met een constante n. Elke y gaat dus keer n (verticale vermenigvuldiging). Hij wordt dus verticaal ''uitgetrokken'', maar de vorm en dus zijn top (minimum/maximum) blijft gelijk.
Huh? De top blijft toch niet gelijk?quote:
Een parabool heeft of een minimum óf een maximum. Maar, ja, inderdaad. De hele parabool wordt vermenigvuldigd met een constante n. Elke y gaat dus keer n (verticale vermenigvuldiging). Hij wordt dus verticaal ''uitgetrokken'', maar de vorm en dus zijn top (minimum/maximum) blijft gelijk.
De x-waarde blijft wel gelijk, maar de y-waarde niet nee. Hij zit nog steeds in jouw opgegeven functie bij x = -1/3. Maar de y-waarde is hetzelfde.
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
Ik doelde niet op die manier. Dat is een vervelend trucje waardoor de leerling geen idee heeft wat hij aan het doen is.quote:
[..]
Het is hetzelfde. Of dat jij nu dat formuletje -b/2a krijgt aangereikt of dat jij dat krijgt door een tweedegraadsvergelijking te differentiëren...
Daarnaast zijn dat niet de enige manieren die aangeleerd worden. Er zijn zoveel alternatieven waarbij het begrip van de stof veel beter aan bod komt.
I asked God for a bike, but I know God doesn't work that way.
So I stole a bike and asked for forgiveness.
So I stole a bike and asked for forgiveness.
Ik wilde zeggen dat de top voor dezelfde x is, omdat hij verticaal wordt uitgetrokken. Zijn vorm (en dus plaats van de top, de x) blijft gelijk, maar uitgetrokken.
Ja, ik snap hem al! De x-waarde moet gelijk zijn als de nulpunten ook gelijk zijn!quote:
Ik wilde zeggen dat de top voor dezelfde x is, omdat hij verticaal wordt uitgetrokken. Zijn vorm (en dus plaats van de top, de x) blijft gelijk, maar uitgetrokken.
Prima!quote:
[..]
Ik doelde niet op die manier. Dat is een vervelend trucje waardoor de leerling geen idee heeft wat hij aan het doen is.
Daarnaast zijn dat niet de enige manieren die aangeleerd worden. Er zijn zoveel alternatieven waarbij het begrip van de stof veel beter aan bod komt.
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
#NoDAPL
Hoi,
Ik heb een vraag. Stel, je hebt een plank, met lengte 2, die schuin vanuit een hoekpunt in een steeg tegen de muur staat. Dan heb je nog een plank, met lengte 3, die schuin vanuit het andere hoekpunt tegen de muur staat. Verder is bekend dat die twee planken elkaar op hoogte 1 snijden, vanaf de grond gezien. Hoe breed is dan de steeg?
Plaatje ter verduidelijking:
Ik heb een vraag. Stel, je hebt een plank, met lengte 2, die schuin vanuit een hoekpunt in een steeg tegen de muur staat. Dan heb je nog een plank, met lengte 3, die schuin vanuit het andere hoekpunt tegen de muur staat. Verder is bekend dat die twee planken elkaar op hoogte 1 snijden, vanaf de grond gezien. Hoe breed is dan de steeg?
Plaatje ter verduidelijking:
waarom? volgens mij is het antwoord gewoon 2.quote:
Je hebt onvoldoende gegevens om de breedte te berekenen.
Ik moet de volgende vergelijking tweemaal impliciet differentiëren (dy/dx, d2y/dx2), maar loop compleet vast.
Gegeven vergelijking:
(1)
Impliciet differentiëren:
(2)
(3)
Y vrijmaken uit de gegeven vergelijking:
(4)
Y invullen:
(5)
Vervolgens kwam ik op het volgende:
(6)
Volgensmij ben ik hier de mist in gegaan, ik denk dat deze stap niet klopt:
(2)
(7)
Iemand die me op weg kan helpen/kan zeggen wat ik fout doe? Net begonnen met impliciet differentiëren, vaak lukt het de eerste keer wel maar gaat het vervolgens mis, hier bijvoorbeeld ook.
Gegeven vergelijking:
(1)
Impliciet differentiëren:
(2)
(3)
Y vrijmaken uit de gegeven vergelijking:
(4)
Y invullen:
(5)
Vervolgens kwam ik op het volgende:
(6)
Volgensmij ben ik hier de mist in gegaan, ik denk dat deze stap niet klopt:
(2)
(7)
Iemand die me op weg kan helpen/kan zeggen wat ik fout doe? Net begonnen met impliciet differentiëren, vaak lukt het de eerste keer wel maar gaat het vervolgens mis, hier bijvoorbeeld ook.
Dat is een beetje overhaast.quote:
Stelling van Pythagoras misschien?
Mag je mij vertellen hoe je daaraan komt. Ik heb zo ongeveer alle goniometrische verhoudingen opgesteld wat ik kon bedenken, maar ik kom hier niet bepaald uit. (Twee vergelijkingen - drie onbekenden)quote:
[..]
waarom? volgens mij is het antwoord gewoon 2.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
nvm klopt nietquote:
[..]
Dat is een beetje overhaast.
[..]
Mag je mij vertellen hoe je daaraan komt. Ik heb zo ongeveer alle goniometrische verhoudingen opgesteld wat ik kon bedenken, maar ik kom hier niet bepaald uit. (Twee vergelijkingen - drie onbekenden)
Is het antwoord 1,5? Volgens mij is het wel 2.quote:
Hoi,
Ik heb een vraag. Stel, je hebt een plank, met lengte 2, die schuin vanuit een hoekpunt in een steeg tegen de muur staat. Dan heb je nog een plank, met lengte 3, die schuin vanuit het andere hoekpunt tegen de muur staat. Verder is bekend dat die twee planken elkaar op hoogte 1 snijden, vanaf de grond gezien. Hoe breed is dan de steeg?
Plaatje ter verduidelijking:
[ afbeelding ]
[ Bericht 48% gewijzigd door wiskundenoob op 29-09-2013 22:19:44 ]
Als je bijvoorbeeld weet op welke hoogte een plank tegen een muur aan staat, dan kun je met de stelling van Pythagoras de breedte berekenen. Je kunt het ook berekenen als je van een van de planken weet welke hoek deze maakt met de muur of de grond.quote:
[..]
waarom? volgens mij is het antwoord gewoon 2.
Maar deze gegevens zijn niet beschikbaar. Alleen de lengtes van de planken is gegeven, net als de hoogte waarop de planken elkaar kruisen. En dat is onvoldoende om de som op te lossen.
Breedte kan natuurlijk nooit 2 zijn, omdat de schuine zijde van een van de gevormde driehoeken al 2 is; driehoeksongelijkheid.quote:
[..]
Is het antwoord 1,5? Volgens mij is het wel 2.
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
Ik gooi meteen nog een vraag erachteraan. Stel dat je de volgende vergelijking hebt, waarbij y gedefiniëerd is als een functie van x en je dmv impliciet differentiëren y' moet geven.
(1)
Nu is dit vrij eenvoudig te doen:
(2)
(3)
(4)
Maar stel nu dat er in plaats van g(x) g(x+y) stond, hoe kan je zoiets impliciet differentiëren? Dat is mij namelijk nog niet helemaal duidelijk.
(1)
Nu is dit vrij eenvoudig te doen:
(2)
(3)
(4)
Maar stel nu dat er in plaats van g(x) g(x+y) stond, hoe kan je zoiets impliciet differentiëren? Dat is mij namelijk nog niet helemaal duidelijk.
Kan het 1,25 zijn?quote:
[..]
Breedte kan natuurlijk nooit 2 zijn, omdat de schuine zijde van een van de gevormde driehoeken al 2 is; driehoeksongelijkheid.
quote:
[..]
Als je bijvoorbeeld weet op welke hoogte een plank tegen een muur aan staat, dan kun je met de stelling van Pythagoras de breedte berekenen. Je kunt het ook berekenen als je van een van de planken weet welke hoek deze maakt met de muur of de grond.
Maar deze gegevens zijn niet beschikbaar. Alleen de lengtes van de planken is gegeven, net als de hoogte waarop de planken elkaar kruisen. En dat is onvoldoende om de som op te lossen.
Kan je het zo wel oplossen? Ik dacht dat de 2 planken maar op 1 manier kunnen kruizen! Daarom dacht ik dat je het wel kon uitrekenen...
Tenzij de plank plat op de grond ligt. Maar in dat geval kunnen de planken nooit op hoogte 1 snijden.quote:
[..]
Breedte kan natuurlijk nooit 2 zijn, omdat de schuine zijde van een van de gevormde driehoeken al 2 is; driehoeksongelijkheid.
Volgens mij is het wel mogelijk om dit op te lossen trouwens.
Als je nu eens uitwerkingen post in plaats van lukraak dingen te gaan roepen waar niemand wat mee kan. En heldere uitwerkingen, want vaak zijn je posts maar vaag.quote:
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Kijk een post boven jequote:Op zondag 29 september 2013 22:40 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Tenzij de plank plat op de grond ligt. Maar in dat geval kunnen de planken nooit op hoogte 1 snijden.
Volgens mij is het wel mogelijk om dit op te lossen trouwens.
[..]
Als je nu eens uitwerkingen post in plaats van lukraak dingen te gaan roepen waar niemand wat mee kan. En heldere uitwerkingen, want vaak zijn je posts maar vaag.
quote:
[..]
[ afbeelding ]
Kan je het zo wel oplossen? Ik dacht dat de 2 planken maar op 1 manier kunnen kruizen! Daarom dacht ik dat je het wel kon uitrekenen...
Mag jij mij vertellen hoe je aan die wortel 2 komt.quote:
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Stel de eerste plank zit op hoogte a tegen de muur en de tweede plank op hoogte b. En stel de planken snijden op afstand x van de ene muur en op afstand y van de andere muur. Laten we de breedte z noemen (dus z = x+y).
Dan geldt a : z = 1 : y, en b : z = 1 : x. Ofwel ay = z, en bx = z.
Voorts geldt a2 = 4-z2, en b2=9-z2.
Kwadrateren en invullen geeft
(4-z2)y2 = z2, en (9-z2)x2 = z2.
Dit geeft ook weer
Hieruit volgt
Dit kun je met wat kwadrateren nog wel oplossen.
Dan geldt a : z = 1 : y, en b : z = 1 : x. Ofwel ay = z, en bx = z.
Voorts geldt a2 = 4-z2, en b2=9-z2.
Kwadrateren en invullen geeft
(4-z2)y2 = z2, en (9-z2)x2 = z2.
Dit geeft ook weer
Hieruit volgt
Dit kun je met wat kwadrateren nog wel oplossen.
Ik kwam steeds op onzinnige zooi uit. Ik probeerde jouw x en y uit te drukken in a en b zodat ik 2 vergelijkingen met 2 onbekenden zou krijgen. Ik deed het juist met goniometrische gelijkheden door gelijkvormige driehoeken te gebruiken.quote:
Stel de eerste plank zit op hoogte a tegen de muur en de tweede plank op hoogte b. En stel de planken snijden op afstand x van de ene muur en op afstand y van de andere muur. Laten we de breedte z noemen (dus z = x+y).
Dan geldt a : z = 1 : y, en b : z = 1 : x. Ofwel ay = z, en bx = z.
Voorts geldt a2 = 4-z2, en b2=9-z2.
Kwadrateren en invullen geeft
(4-z2)y2 = z2, en (9-z2)x2 = z2.
Dit geeft ook weer
Hieruit volgt
Dit kun je met wat kwadrateren nog wel oplossen.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Je wil hier een functie van de gedaantequote:
Ik kom niet uit bij deze:
3x 2 +2x - 1
9x 2 +6x - 3
(3x +1)2 - 4
(-1/3,-4)
Of nogmaals delen door 3:
(3x +1 )2-4
(1x + 1/3) 2 - 4/3
(-1/3, -4/3)
f(x) = ax2 + bx + c
omwerken tot een vorm waaruit je de coördinaten kunt aflezen van de top van de parabool die de grafiek is van deze functie. Om dit te kunnen doen haal je eerst een geschikte factor buiten haakjes, vervolgens pas je kwadraatafsplitsing toe op de uitdrukking binnen de haakjes, en tenslotte werk je de buitenste haakjes weer weg.
Even een voorbeeld.
f(x) = 3x2 + 2x − 1
Hier kunnen we 3x2 omvormen tot het kwadraat van 3x door met 3 te vermenigvuldigen, maar dan moeten we daarvoor compenseren door weer met 1/3 te vermenigvuldigen, en krijgen we dus
f(x) = ⅓(9x2 + 6x − 3)
f(x) = ⅓((3x + 1)2 − 1 − 3)
f(x) = ⅓((3x + 1)2 − 4)
f(x) = ⅓(3x + 1)2 − 4/3
De functie neemt dus voor x = −⅓ een minimum f(−⅓) = −4/3 aan. De grafiek van de functie is dus een dalparabool met als top het punt met de coördinaten (−⅓; −4/3).
Andere manier: we halen de coëfficiënt 3 van de kwadratische term buiten haakjes, dan krijgen we
f(x) = 3(x2 + ⅔x − ⅓)
f(x) = 3((x + ⅓)2 − 1/9 − ⅓)
f(x) = 3((x + ⅓)2 − 4/9)
f(x) = 3(x + ⅓)2 − 4/3
En weer kunnen we concluderen dat de functie voor x = −⅓ een minimum f(−⅓) = −4/3 bereikt.
De algemene gedaante van een kwadratische functie is
f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0
Je kunt dit ook met kwadraatafsplitsing omwerken, en daarbij heb je weer de mogelijkheid om bijvoorbeeld eerst met 4a te vermenigvuldigen (methode van Sridhara), maar dan moet je ter compensatie ook weer met een factor 1/4a vermenigvuldigen. Uiteindelijk krijg je dan
f(x) = (1/4a)·(2ax + b)2 − D/4a
waarbij D = b2 − 4ac de discriminant is van de kwadratische veelterm. Deze functie neemt dus voor x = −b/2a een extreme waarde f(−b/2a) = −D/4a aan. Deze extreme waarde is een minimum indien a > 0 en een maximum indien a < 0.
Andere manier: eerst de factor a buiten haakjes halen. Uiteindelijk krijg je dan
f(x) = a(x + b/2a)2 − D/4a
en uiteraard vind je dan ook dat de functie voor x = −b/2a een extreme waarde f(−b/2a) = −D/4a aanneemt. De parabool die de grafiek is van deze functie heeft dus als top het punt met coördinaten
(−b/2a; −D/4a)
In het algemeen is het eenvoudiger om eerst de discriminant van je kwadratische veelterm uit te rekenen, want dan kun je ook meteen de coördinaten van de top van de parabool opschrijven.
Voorbeeld: voor f(x) = 3x2 + 2x − 1 heb je a = 3, b = 2, c = −1, dus D = b2 − 4ac = 4 − 4·3·(−1) = 4 + 12 = 16. De x-coördinaat van de top (xt; yt) van de parabool is dus xt = −b/2a = −2/6 = −1/3 en de y-coördinaat van de top is yt = −D/4a = −16/12 = −4/3. Aangezien a > 0 is de grafiek een dalparabool en aangezien D > 0 zijn er twee snijpunten met de x-as. De x-coördinaten van de snijpunten met de x-as zijn x1 = (−b − √D)/2a = (−2 − 4)/6 = −1 en x2 = (−b + √D)/2a = (−2 + 4)/6 = 1/3.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 01-10-2013 01:21:26 ]
Dit is een klassieker. Iedereen die geïnteresseerd is in dit probleem kan ik aanraden eens te googelen naar crossed ladder problem. Je komt uiteindelijk uit op een vierdegraadsvergelijking (die uiteraard oplosbaar is). Ook via JSTOR zijn er artikelen over te vinden.quote:
Stel de eerste plank zit op hoogte a tegen de muur en de tweede plank op hoogte b. En stel de planken snijden op afstand x van de ene muur en op afstand y van de andere muur. Laten we de breedte z noemen (dus z = x+y).
Dan geldt a : z = 1 : y, en b : z = 1 : x. Ofwel ay = z, en bx = z.
Voorts geldt a2 = 4-z2, en b2=9-z2.
Kwadrateren en invullen geeft
(4-z2)y2 = z2, en (9-z2)x2 = z2.
Dit geeft ook weer
Hieruit volgt
Dit kun je met wat kwadrateren nog wel oplossen.
Dat is een veel voorkomende reactie van mensen die het probleem voor het eerst onder ogen krijgen. Maar wat je zegt is niet juist, het vraagstuk is op te lossen.quote:
[..]
Maar deze gegevens zijn niet beschikbaar. Alleen de lengtes van de planken is gegeven, net als de hoogte waarop de planken elkaar kruisen. En dat is onvoldoende om de som op te lossen.
Uiteindelijk heb ik twee vergelijkingen in a en b staan (met een direct verband tussen x+y=z uiteraard), maar dat ging WolframAlpha wat te ver. Ik had met de sinus van dat stuk v/d schuine zijde en de stelling van Pythagoras x en y uitgedrukt in c en d om zo twee vergelijkingen in c en d te krijgen. Maar zelfs Mathematica gaf daar geen output over.quote:
[..]
Dat is een veel voorkomende reactie van mensen die het probleem voor het eerst onder ogen krijgen. Maar wat je zegt is niet juist, het vraagstuk is op te lossen.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik heb de voorzet van thabit inmiddels gezien en ik moet inderdaad toegeven dat dit op te lossen moet zijn.quote:
de hoogte waarop de planken elkaar kruisen. En dat is onvoldoende om de som op te lossen.
Dat is een veel voorkomende reactie van mensen die het probleem voor het eerst onder ogen krijgen. Maar wat je zegt is niet juist, het vraagstuk is op te lossen.
Ik had uiteindelijk:
Overigens zijn d,c de hoogte van mijn ladders tegen de muur.
En uiteraard geldt ook d2 - c2 = 5
Substitueer de gevonden waarde voor d2 in bovenstaande vergelijking, gebruik dat de lengte van het steegje z gegeven wordt door:
En je bent klaar. Alleen het berekenen van c is een aardige kluif.
Maar dan schieten mijn algebraïsche technieken toch echt te kort. WolframAlpha zegt trouwens dat het ongeveer 1.23122 is. En dat stemt overeen met de vergelijking van Thabit.
[ Bericht 19% gewijzigd door Amoeba op 30-09-2013 00:08:28 ]
Overigens zijn d,c de hoogte van mijn ladders tegen de muur.
En uiteraard geldt ook d2 - c2 = 5
Substitueer de gevonden waarde voor d2 in bovenstaande vergelijking, gebruik dat de lengte van het steegje z gegeven wordt door:
En je bent klaar. Alleen het berekenen van c is een aardige kluif.
Maar dan schieten mijn algebraïsche technieken toch echt te kort. WolframAlpha zegt trouwens dat het ongeveer 1.23122 is. En dat stemt overeen met de vergelijking van Thabit.
[ Bericht 19% gewijzigd door Amoeba op 30-09-2013 00:08:28 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ga uit van de vergelijking in z van Thabit en substitueer daar z2 = w en werk daarna de wortels weg door (tweemaal!) te kwadrateren. Dan kom je uit op een vierdegraadsvergelijking in w.quote:
Ik had uiteindelijk:
[ afbeelding ]
En uiteraard geldt ook d^2 - c^2 = 5
Maar dan schieten mijn algebraïsche technieken toch echt te kort. WolframAlpha zegt trouwens dat het ongeveer 1.23122 is. En dat stemt overeen met de vergelijking van Thabit.
Je moet volgens mij gewoon (3) nog een keer differentiëren en vervolgens de y' die je in die vergelijking nog 'over' hebt vervangen door je definitie die je hiervoor hebt gevonden (4) of (5). Correct me if I'm wrong.quote:
Ik moet de volgende vergelijking tweemaal impliciet differentiëren (dy/dx, d2y/dx2), maar loop compleet vast.
Gegeven vergelijking:
[ afbeelding ] (1)
Impliciet differentiëren:
[ afbeelding ] (2)
[ afbeelding ] (3)
Y vrijmaken uit de gegeven vergelijking:
[ afbeelding ] (4)
Y invullen:
[ afbeelding ] (5)
Vervolgens kwam ik op het volgende:
[ afbeelding ] (6)
Volgensmij ben ik hier de mist in gegaan, ik denk dat deze stap niet klopt:
[ afbeelding ] (2)
[ afbeelding ] (7)
Iemand die me op weg kan helpen/kan zeggen wat ik fout doe? Net begonnen met impliciet differentiëren, vaak lukt het de eerste keer wel maar gaat het vervolgens mis, hier bijvoorbeeld ook.
Ga er straks na mijn college nog eens naar kijken, vandaag wordt immers sowieso weer een wiskunde-dag.quote:
[..]
Je moet volgens mij gewoon (3) nog een keer differentiëren en vervolgens de y' die je in die vergelijking nog 'over' hebt vervangen door je definitie die je hiervoor hebt gevonden (4) of (5). Correct me if I'm wrong.
Ok post maar of de juiste uitkomst overeenkomt met mijn methode, ben wel benieuwd en ik moet het immers ook onder de knie krijgenquote:Op maandag 30 september 2013 11:42 schreef jordyqwerty het volgende:
[..]
Ga er straks na mijn college nog eens naar kijken, vandaag wordt immers sowieso weer een wiskunde-dag.
(5) volgt direct uit (4) en bij (7) heeft hij de productregel incorrect gebruikt. Impliciet differentiëren is hier feitelijk overbodig.quote:
[..]
Je moet volgens mij gewoon (3) nog een keer differentiëren en vervolgens de y' die je in die vergelijking nog 'over' hebt vervangen door je definitie die je hiervoor hebt gevonden (4) of (5). Correct me if I'm wrong.
Oh ja klopt, ik bedoelde inderdaad dat ie gewoon (5) moet gebruiken om de y' weg te werken. Maar het enige wat je nog moet doen om het antwoord (de tweede afgeleide van deze functie) te krijgen is (3) nog een keer differentiëren en dan dmv (5) de y' weg werken toch?quote:
[..]
(5) volgt direct uit (4) en bij (7) heeft hij de productregel incorrect gebruikt. Impliciet differentiëren is hier feitelijk overbodig.
Nog eenvoudiger: je kunt (5) differentiëren om direct y'' te krijgen.quote:
[..]
Oh ja klopt, ik bedoelde inderdaad dat ie gewoon (5) moet gebruiken om de y' weg te werken. Maar het enige wat je nog moet doen om het antwoord (de tweede afgeleide van deze functie) te krijgen is (3) nog een keer differentiëren en dan dmv (5) de y' weg werken toch?
Ik weet natuurlijk niet wat je allemaal in Mathematica hebt gestopt, maar een goniometrische oplossing is ook heel goed mogelijk, WolframAlpha heeft daar geen moeite mee, en Mathematica naar ik aanneem dus ook niet.quote:
[..]
Uiteindelijk heb ik twee vergelijkingen in a en b staan (met een direct verband tussen x+y=z uiteraard), maar dat ging WolframAlpha wat te ver. Ik had met de sinus van dat stuk v/d schuine zijde en de stelling van Pythagoras x en y uitgedrukt in c en d om zo twee vergelijkingen in c en d te krijgen. Maar zelfs Mathematica gaf daar geen output over.
Laat ik even uitgaan van de aanduidingen van Thabit hierboven. De kortste van de twee ladders steunt op een hoogte a boven de grond tegen de linker muur en de langste van de twee ladders steunt op een hoogte b boven de grond tegen de rechter muur. Verder noem ik de hoek die de kortste van de twee ladders met de straat maakt α en de hoek die de langste van de twee ladders met de straat maakt β. We hadden we al gezien dat geldt
(1) 1/a + 1/b = 1
Verder hebben we nu
(2) cos α = z/2, cos β = z/3, cot α = z/a, cot β = z/b
zodat
(3) z = cot α + cot β, z = 2·cos α, z = 3·cos β
Zo krijgen we dus voor α en β de voorwaarde
(4) cot α + cot β = 2·cos α = 3·cos β
waarbij moet gelden
(6) 0 < α < π/2, 0 < β < π/2
Dit stelsel kun je numeriek oplossen en dan krijgen we
(7) α ≈ 0,907658, β ≈ 1,14791
En dus hebben we
(8) z = 2·cos α ≈ 1,231186
Algebraïsch gaat het ook prima als je a en b oplost uit het stelsel
(9) b2 − a2 = 5, 1/a + 1/b = 1
Dit levert een vergelijking op die wat makkelijker te hanteren is dan de vergelijking die je voor z af kunt leiden. Aangezien a en b positief zijn volgt uit 1/a + 1/b = 1 dat 1/a < 1 en dus a > 1 en verder is a < 2 aangezien a2 = 4 − z2, zodat we dus voor a een waarde zoeken op het interval (1,2). Numeriek oplossen geeft dan
(10) a ≈ 1,57613, b ≈ 2,73572
De exacte uitdrukkingen zien er inderdaad tamelijk hopeloos uit, maar dat komt omdat de kubische resolventes van de vierdemachtsvergelijkingen die dit stelsel oplevert niet prettig zijn (lees: geen rationale oplossingen hebben). Ik neem aan dat je er begrip voor hebt dat ik die exacte oplossing hier dan ook niet uit ga werken.
Uit 1/a + 1/b = 1 volgt b = a/(a − 1) en substitutie daarvan in b2 − a2 = 5 geeft dan
(11) (a/(a − 1))2 − a2 = 5
en dit kunnen we verder herleiden tot
(12) a4 − 2a3 + 5a2 − 10a + 5 = 0
Numeriek zou je (ook met pen en papier) de gezochte oplossing op het interval (1,2) kunnen benaderen met een Newton-Raphson iteratie, waarbij het voor de hand ligt om als startwaarde a0 = 1,5 te nemen. Dan krijg je dit en dan zie je dat we na enkele iteraties inderdaad op a ≈ 1,57613 uitkomen.
Tot slot zal ik toch nog even aangeven hoe (12) althans in principe exact is op te lossen met de methode van Ferrari. We brengen eerst de termen met de tweede en lagere machten van de onbekende over naar het rechterlid, dit geeft
(13) a4 − 2a3 = −5a2 + 10a − 5
Nu kwadraat afsplitsen in het linkerlid
(14) (a2 − a)2 − a2 = −5a2 + 10a − 5
en de kwadratische term weer overbrengen naar het rechterlid
(15) (a2 − a)2 = −4a2 + 10a − 5
Nu zou het mooi zijn als we het rechterlid ook als een kwadraat konden schrijven, maar dat is hier niet zo, de discriminant van de kwadratische veelterm in het rechterlid is namelijk niet nul. Daarom gaan we een parameter t invoeren waarmee we een beetje kunnen schuiven, zodat we alsnog het rechterlid ook als een kwadraat kunnen schrijven. Maar dan moeten we wel zorgen dat we het linkerlid tevens als een kwadraat kunnen blijven schrijven. Daarom tellen we nu bij beide leden
(16) t(a2 − a) + ¼t2 = ta2 − ta + ¼t2
op, zodat we krijgen
(17) (a2 − a)2 + t(a2 − a) + ¼t2 = −4a2 + 10a − 5 + ta2 − ta + ¼t2
en dit geeft
(18) (a2 − a + ½t)2 = (t − 4)a2 + (10 − t)a + (¼t2 − 5)
Nu willen we t zó kiezen dat de discriminant van de kwadratische veelterm in a in het rechterlid gelijk wordt aan nul, en dus moet gelden
(19) (10 − t)2 − 4(t − 4)(¼t2 − 5) = 0
Uitwerken hiervan geeft
(20) t3 − 5t2 − 20 = 0
En zie, we hebben nu een kubische vergelijking in t, en als we een oplossing hiervan substitueren in (18) dan kunnen we het rechterlid van (18) ook als een kwadraat schrijven, en dan is (18) te herleiden tot twee vierkantsvergelijkingen in a, die we op de bekende manier(en) kunnen oplossen.
Nu heeft (20) echter geen rationale wortels, en dus krijg je hier vrij ongelukkige uitdrukkingen voor t en dus ook voor de waarden van a die je dan krijgt door vervolgens (18) op te lossen. Maar je kunt wel zien dat WolframAlpha het op een soortgelijke manier doet, want als je (20) laat oplossen en je kijkt dan naar de exacte uitdrukkingen voor de oplossingen van (20) dan herken je hier inderdaad precies dezelfde derdemachtswortels als in de exacte uitdrukkingen voor de oplossingen van (12).
[ Bericht 5% gewijzigd door Riparius op 01-10-2013 10:54:41 ]
quote:
[..]
Nog eenvoudiger: je kunt (5) differentiëren om direct y'' te krijgen.
Ik poogde (2) verder te differentieren, geen idee waarom, maar raakte verward doordat er al eenmaal y' staat. (5) direct differentieren is natuurlijk een stuk eenvoudiger.
Ah, super, bedankt!quote:
Stel de eerste plank zit op hoogte a tegen de muur en de tweede plank op hoogte b. En stel de planken snijden op afstand x van de ene muur en op afstand y van de andere muur. Laten we de breedte z noemen (dus z = x+y).
Dan geldt a : z = 1 : y, en b : z = 1 : x. Ofwel ay = z, en bx = z.
Voorts geldt a2 = 4-z2, en b2=9-z2.
Kwadrateren en invullen geeft
(4-z2)y2 = z2, en (9-z2)x2 = z2.
Dit geeft ook weer
Hieruit volgt
Dit kun je met wat kwadrateren nog wel oplossen.
Zat een flinke tijd te puzzelen, maar eigenlijk is het best logisch
Kan iemand mij deze vergelijking uitleggen?
100-(2x+1)^5 = 68
Ik snap dus niet wat er wordt bedoeld met die uitleg, waar komt die = 2 op het laatst bijvoorbeeld vandaan?
100-(2x+1)^5 = 68
Ik snap dus niet wat er wordt bedoeld met die uitleg, waar komt die = 2 op het laatst bijvoorbeeld vandaan?
Learn how to eat in the jungle full of hyenas
100-(2x+1)^5 = 68
-(2x+1)^5 = 68-100 ;logische stap toch?
-(2x+1)^5 = -32 ;moet ook nog te volgen zijn?
(2x+1)^5 = 32 ;alle beide kanten maal -1
2x+1 = 5_sqrt(32) = 2 ;5de macht links, verdwijnt door links en rechts 5de machtswortel te nemen, 5demachtswortel van 32 is 2, want 2^5 = 32
2x+1 = 2 ;logisch
2x = 1 ;gewoon links en rechts 1 eraf
x = 1/2 ;beide kanten door 2 delen
[ Bericht 22% gewijzigd door MaximusTG op 30-09-2013 18:04:58 ]
-(2x+1)^5 = 68-100 ;logische stap toch?
-(2x+1)^5 = -32 ;moet ook nog te volgen zijn?
(2x+1)^5 = 32 ;alle beide kanten maal -1
2x+1 = 5_sqrt(32) = 2 ;5de macht links, verdwijnt door links en rechts 5de machtswortel te nemen, 5demachtswortel van 32 is 2, want 2^5 = 32
2x+1 = 2 ;logisch
2x = 1 ;gewoon links en rechts 1 eraf
x = 1/2 ;beide kanten door 2 delen
[ Bericht 22% gewijzigd door MaximusTG op 30-09-2013 18:04:58 ]
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
Zit even mobiel. Maar vijfde machts wortel uit 32; dat is 32^(1/5). Enig idee hoe je dit uitrekent?
kloep kloep
Priemgetallen van maken.quote:
Zit even mobiel. Maar vijfde machts wortel uit 32; dat is 32^(1/5). Enig idee hoe je dit uitrekent?
Ah, zo dus, helemaal niet zo moeilijk eigenlijk. Gewoon 5e machtswortel nemen van beide kanten.quote:
100-(2x+1)^5 = 68
-(2x+1)^5 = 68-100 ;logische stap toch?
-(2x+1)^5 = -32 ;moet ook nog te volgen zijn?
(2x+1)^5 = 32 ;alle beide kanten maal -1
2x+1 = 5_sqrt(32) = 2 ;5de macht links, verdwijnt door links en rechts 5de machtswortel te nemen, 5demachtswortel van 32 is 2, want 2^5 = 32
2x+1 = 2 ;logisch
2x = 1 ;gewoon links en rechts 1 eraf
x = 1/2 ;beide kanten door 2 delen
Ik meen het, als ik niet in het antwoordenboekje keek voor een antwoord had ik gewoon serieus 5 keer achter elkaar (2x+1) geschreven lol.
Gelukkig is er ook een andere route.
Dankjewel
Learn how to eat in the jungle full of hyenas
Ik kan je nog 4 andere antwoorden geven, mocht dat nodig zijn.quote:
[..]
Ah, zo dus, helemaal niet zo moeilijk eigenlijk. Gewoon 5e machtswortel nemen van beide kanten.
Ik meen het, als ik niet in het antwoordenboekje keek voor een antwoord had ik gewoon serieus 5 keer achter elkaar (2x+1) geschreven lol.
Gelukkig is er ook een andere route.
Dankjewel
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Er is maar één antwoord toch? Je bedoelt 4 andere manieren?quote:
[..]
Ik kan je nog 4 andere antwoorden geven, mocht dat nodig zijn.
Learn how to eat in the jungle full of hyenas
Ik moet een kwadratische vergelijking bepalen(ax 2 +bx +c) met de volgende gegevens:
Top: (0,0) en gaat ook door punt: (1,2).
Hoe pak ik dit aan?
Enige wat ik kan bedenken: er is geen constante. Dus dan krijg je f(x) = (h)2 en h is 2 1/2
Of zoals bij lin. vergl. y/x = 2/1 = hellingsgetal dus y = x 2 +2x +0
Top is volgens mij ook gelijke het enige nulpunt.
[ Bericht 5% gewijzigd door wiskundenoob op 30-09-2013 22:54:57 ]
Top: (0,0) en gaat ook door punt: (1,2).
Hoe pak ik dit aan?
Enige wat ik kan bedenken: er is geen constante. Dus dan krijg je f(x) = (h)2 en h is 2 1/2
Of zoals bij lin. vergl. y/x = 2/1 = hellingsgetal dus y = x 2 +2x +0
Top is volgens mij ook gelijke het enige nulpunt.
[ Bericht 5% gewijzigd door wiskundenoob op 30-09-2013 22:54:57 ]
Ik hoopte al dat je nieuwsgierig zou worden. Algemeen geldt dat een polynoom van de graad n ook n nulpunten heeft, als je de multipliciteit van ieder nulpunt meeneemtquote:
[..]
Er is maar één antwoord toch? Je bedoelt 4 andere manieren?
Dus er zijn 5 oplossingen, maar daarvoor heb je wel complexe getallen nodig.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Dat is juist, c = 0.quote:
Ik moet een kwadratische vergelijking bepalen(ax 2 +bx +c) met de volgende gegevens:
Top: (0,0) en gaat ook door punt: (1,2).
Hoe pak ik dit aan?
Enige wat ik kan bedenken: er is geen constante. Dus dan krijg je f(x) = (h)2 en h is 2 1/2
Of zoals bij lin. vergl. y/x = 2/1 = hellingsgetal dus y = x 2 +2x +0
Top is volgens mij ook gelijke het enige nulpunt.
Schrijf nu eens y = x(ax+b) en gebruik dat (1,2) een functiewaarde is. Maar je weet ook dat xtop = -b/(2a) = 0
Volgens mij is het dan wel heel eenvoudig om te concluderen wat f(x) nu moet zijn.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
a ≠ 0, anders heb je geen polynoom van de tweede graad.quote:
b = 0 ? Omdat a niet nul kan zijn?
Maar inderdaad, uit -b/(2a) = 0 concludeer je dat b = 0.
Substitueer nu dat punt in je vergelijking en je vindt op z'n janboerenfluitjes dat a = 2 en dus f(x) = 2x2
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Yep
Lang geleden maar volgens mij is het gewoon y=2x^2
Lang geleden maar volgens mij is het gewoon y=2x^2
Winnaar wielerprono 2006 en biatlon wk prono 2016
Overigens voldoet f(x) = x2 + x niet aan beide voorwaarden, want f(x) heeft geen top in de oorsprong.quote:
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Nee, dat is niet waar
edit: haha, ik dacht even dat ik het verkeerd gelezen had, maar het was wel een edit
edit: haha, ik dacht even dat ik het verkeerd gelezen had, maar het was wel een edit
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
afgeleide in (0,0) moest toch ook 0 zijnquote:
[..]
Overigens voldoet f(x) = x2 + x ook niet aan beide voorwaarden, want f(x) heeft geen top in de oorsprong.
Winnaar wielerprono 2006 en biatlon wk prono 2016
Uhm, jazeker. Maar dat is de consequentie omdat er een maximum of minimum in (0,0) is. Je kunt ook zeggen dat:quote:
[..]
afgeleide in (0,0) moest toch ook 0 zijn
f'(0) = 0
En ook dan concludeer je dat b = 0.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Wat bedoel je hiermee?quote:
[..]
Overigens voldoet f(x) = x2 + x niet aan beide voorwaarden, want f(x) heeft geen top in de oorsprong.
De top van de functie f(x) = x(x+1) ligt niet in de oorsprong maar op x = -½quote:
En dat is in tegenspraak met de eigenschappen van de gezochte functie.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Je hebtquote:
b = 0 ? Omdat a niet nul kan zijn?
xtop = 0
maar je weet ook dat
xtop = −b/2a
en dus volgt b = 0, niet omdat a ≠ 0 maar omdat xtop anders niet 0 kan zijn.
Huh? a kan toch sws niet 0 zijn?quote:
[..]
Je hebt
xtop = 0
maar je weet ook dat
xtop = −b/2a
en dus volgt b = 0, niet omdat a ≠ 0 maar omdat xtop anders niet 0 kan zijn.
Inderdaad, a kan sowieso niet nul zijn, maar je mag niet zeggen dat hier dan wel b = 0 moet zijn omdat a ≠ 0, dat is geen geldige gevolgtrekking. Het gaat immers niet om een product ab maar om een quotiënt −b/2a.quote:
[..]
Huh? a kan toch sws niet 0 zijn?
hier stond onzinquote:
[..]
Huh? a kan toch sws niet 0 zijn?
Winnaar wielerprono 2006 en biatlon wk prono 2016
Ik had vandaag ook een mooie vraag.
p•q = 4q + 7p
Met p,q ¤ N en als extra voorwaarde: zowel p als q zijn priemgetallen.
Hoe bewijs ik dan dat de gevonden waarde p = q = 11 ook de enige oplossing is? Ik probeerde iets met een diophantische vergelijking oplossen en kwam zo op nogal onmogelijke waarden uit. Iets als
p = 11 + 1/(4a), q = 11-1/(7a)
Maar ik heb het sterke vermoeden dat dit een foute gedachtegang is.
p•q = 4q + 7p
Met p,q ¤ N en als extra voorwaarde: zowel p als q zijn priemgetallen.
Hoe bewijs ik dan dat de gevonden waarde p = q = 11 ook de enige oplossing is? Ik probeerde iets met een diophantische vergelijking oplossen en kwam zo op nogal onmogelijke waarden uit. Iets als
p = 11 + 1/(4a), q = 11-1/(7a)
Maar ik heb het sterke vermoeden dat dit een foute gedachtegang is.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Gelukkig dat je dat zelf ook ziet.quote:
En breng hem nou niet in verwarring, hij weet niets van differentiëren.
Noemer kan toch ook nooit nul zijn dus dan moet b 0 zijn.quote:
[..]
Inderdaad, a kan sowieso niet nul zijn, maar je mag niet zeggen dat hier dan wel b = 0 moet zijn omdat a ≠ 0, dat is geen geldige gevolgtrekking. Het gaat immers niet om een product ab maar om een quotiënt −b/2a.
Dit is wederom onjuist. De noemer mag niet 0 zijn.quote:
[..]
Noemer kan toch ook nooit nul zijn dus dan moet b 0 zijn.
Maar 7/0 ≠ 0. 0/7 = 0.
7/0 is niet gedefinieerd.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
te lang geledenquote:
[..]
Gelukkig dat je dat zelf ook ziet.
En breng hem nou niet in verwarring, hij weet niets van differentiëren.
En ik hoop dat hij wel iets van differentiëren weet anders was hij niet op 2ax+b=0 gekomen
Winnaar wielerprono 2006 en biatlon wk prono 2016
Herschrijf de vergelijking eens alsquote:
Ik had vandaag ook een mooie vraag.
p•q = 4q + 7p
Met p,q ¤ N en als extra voorwaarde: zowel p als q zijn priemgetallen.
Hoe bewijs ik dan dat de gevonden waarde p = q = 11 ook de enige oplossing is? Ik probeerde iets met een diophantische vergelijking oplossen en kwam zo op nogal onmogelijke waarden uit. Iets als
p = 11 + 1/(4a), q = 11-1/(7a)
Maar ik heb het sterke vermoeden dat dit een foute gedachtegang is.
pq - 4q = 7p
oftewel
q(p - 4) = 7p
Lol...quote:
[..]
Dit is wederom onjuist. De noemer mag niet 0 zijn.
Maar 7/0 ≠ 0. 0/7 = 0.
7/0 is niet gedefinieerd.
Die laatste regel is onjuist.quote:
[..]
Herschrijf de vergelijking eens als
pq - 4p = 7q
oftewel
q(p - 4) = 7q
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
q(p-4) = 7p
Dus 7 deelt p-4?
Dus p-4 is een veelvoud van 7.
Dus p-4 = 7k → p = 7k + 4
En verder?
.
edit:
Of moet ik juist zeggen dat p-4 een deler is van 7, en dus p-4 = 1 v p-4 = 7
Dus p = 5 v p = 11
En p = 5 levert geen goede q op. Uit het hoofd rolt er dan q = 35 uit, wat deelbaar is door 5 en 7 en dus geen priemgetal is.
Dus 7 deelt p-4?
Dus p-4 is een veelvoud van 7.
Dus p-4 = 7k → p = 7k + 4
En verder?
.
edit:
Of moet ik juist zeggen dat p-4 een deler is van 7, en dus p-4 = 1 v p-4 = 7
Dus p = 5 v p = 11
En p = 5 levert geen goede q op. Uit het hoofd rolt er dan q = 35 uit, wat deelbaar is door 5 en 7 en dus geen priemgetal is.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
q(p-4) = 7pquote:
[..]
Nou nee, p en q zijn onderling ondeelbaar als p ≠ q, dus p - 4 kan dan alleen 7 zijn ...
Ik denk dat ik te snel naar Euclid's Lemma grijp, wat alleen opgaat voor priemgetallen.
Snap 'm half. Even laten bezinken, het kwartje valt vanzelf.
.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Inderdaad. Een soort slowchat lijkt me geen goed idee, trouwens überhaupt niet voor wiskundige vraagstukken. Mijn post over het probleem van de gekruiste ladders hierboven nog doorgenomen?quote:
[..]
q(p-4) = 7p
Ik denk dat ik te snel naar Euclid's Lemma grijp, wat alleen opgaat voor priemgetallen.
Snap 'm half. Even laten bezinken, het kwartje valt vanzelf.
.
Vluchtig, ik heb hem voor morgenmiddag na Calculus gereserveerd.quote:
[..]
Inderdaad. Een soort slowchat lijkt me geen goed idee, trouwens überhaupt niet voor wiskundige vraagstukken. Mijn post over het probleem van de gekruiste ladders hierboven nog doorgenomen?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Dat zie je verkeerd. Het is via kwadraatafsplitsing heel eenvoudig aan te tonen dat de functie f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) een extreme waarde aanneemt voor x = −b/2a en dat de waarde van dit extremum f(−b/2a) = −D/4a bedraagt, waarbij D = b2 − 4ac de discriminant is van de kwadratische veelterm ax2 + bx + c. Dat heb ik hier trouwens net nog uitgelegd.quote:
[..]
te lang geleden
En ik hoop dat hij wel iets van differentiëren weet anders was hij niet op 2ax+b=0 gekomen
(1)
Ik probeer het volgende limiet te berekenen dmv de regel van l'Hopital, (1) voldoet immers aan 0/0. Hoe differentiëer je echter een waarde als xx?
Ik probeer het volgende limiet te berekenen dmv de regel van l'Hopital, (1) voldoet immers aan 0/0. Hoe differentiëer je echter een waarde als xx?
Kun je dat ook zelf afleiden?quote:
Ah, gevonden!
[ afbeelding ] (2)
Mooi, dat wordt nog een keertje differentiëren (0/0)
Stel y = x^x
dan ln(y) = ln(x^x) = xln(x)
Nu impliciet differentiëren en dan lukt het.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Schrijf als kwadratische vergelijking mbv:
T= (-2,0) P=(2,1)
1 = a(2+2)2+0
1 = a(4) 2
1/16 = a
-2 = -b/(2(1/16))
b = 1/4
c = 1- 1/16 *22 + 1/4 *2
c = 1/4
y = ax + bx + c
T= (-2,0) P=(2,1)
1 = a(2+2)2+0
1 = a(4) 2
1/16 = a
-2 = -b/(2(1/16))
b = 1/4
c = 1- 1/16 *22 + 1/4 *2
c = 1/4
y = ax + bx + c
Ik was het uit het hoofd aan het doen, ben 'm nu even netjes aan het uitwerken.quote:
Ik heb het idee dat hij een flink deel van z'n uitwerking onder de tafel schopt met hoe hij a berekent.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Je weet dat
-b/(2a) = -2
Dus b = 4a
Substitueren van het punt (-2,0) in je functie levert het volgende op:
y = ax(x+4) + c
0 = -4a +c
Dus 4a = c
En nu op basis van transitiviteit van het =-teken concluderen we dat b = c
dus ax^2 + 4ax + 4a = y
Substitueer nu (2,1)
dus
4a + 8a + 4a = 1
dus a = 1/16
4a = b = c dus b = c = 1/4
En daarmee klopt je antwoord dus.
-b/(2a) = -2
Dus b = 4a
Substitueren van het punt (-2,0) in je functie levert het volgende op:
y = ax(x+4) + c
0 = -4a +c
Dus 4a = c
En nu op basis van transitiviteit van het =-teken concluderen we dat b = c
dus ax^2 + 4ax + 4a = y
Substitueer nu (2,1)
dus
4a + 8a + 4a = 1
dus a = 1/16
4a = b = c dus b = c = 1/4
En daarmee klopt je antwoord dus.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Zijn antwoord klopt ja. Maar hij schrijft het wel erg cryptisch op. En hij doet teveel werk, net als jij trouwens. Een parabool met een verticale symmetrie-as en met als top het punt (−2; 0) heeft als vergelijkingquote:
y = a(x + 2)2
Dan hoeven we dus alleen a te bepalen, en daarvoor vinden we dan a = 1/16. Bepaling van b en c is nu overbodig want (1/16)·(x + 2)2 = (1/16)(x2 + 4x + 4), ergo b = c = 1/4.
We zijn in de mood vandaag.quote:
[..]
Zijn antwoord klopt ja. Maar hij schrijft het wel erg cryptisch op. En hij doet teveel werk, net als jij trouwens. Een parabool met een verticale symmetrie-as en met als top het punt (−2; 0) heeft als vergelijking
y = a(x + 2)2
Dan hoeven we dus alleen a te bepalen, en daarvoor vinden we dan a = 1/16. Bepaling van b en c is nu overbodig want (1/16)·(x + 2)2 = (1/16)(x2 + 4x + 4), ergo b = c = 1/4.
Algemener gezegd, een parabool met een top in het punt (p, q) heeft een vergelijking
y - q = a(x-p)2
Dat klopt uiteraard, en daar had ik compleet niet bij stilgestaan.
Net een uurtje verplichte RSI-voorlichting gehad. Je moet je eens voorstellen dat de beste man één compleet uur moet herhalen dat je een gezonde houding moet aannemen bij het computeren op een niet-saaie monotone manier. Gaat niet lukken.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Vriend, je moet echt eens leren je vragen duidelijker te formuleren. Met deze oneliners kan niemand iets.quote:
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
f(x) = a(x + b/2a)^2 − D/4a = y = a(x + x)^2 -y
Klopt bovenstaande?
[ Bericht 2% gewijzigd door wiskundenoob op 01-10-2013 16:00:57 ]
Klopt bovenstaande?
[ Bericht 2% gewijzigd door wiskundenoob op 01-10-2013 16:00:57 ]
Waarom werk je dat niet even mooi zelf uit.quote:
f(x) = a(x + b/2a)^2 − D/4a = y = a(x + 2)^2
Klopt bovenstaande?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Nogmaals, is het geen optie dat je zelf een pen en wat papier zoekt en even aan het puzzelen gaat? Dit ziet er niet bijster ingewikkeld uit om na te trekken of dat klopt.quote:
[..]
Ik had verkeerde getallen gekopieerd. Kijk mijn edit.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Gebruik trouwens niet ¤ voor ∈ 'element van'.quote:
Ik had vandaag ook een mooie vraag.
p•q = 4q + 7p
Met p,q ¤ N en als extra voorwaarde: zowel p als q zijn priemgetallen.
Hoe bewijs ik dan dat de gevonden waarde p = q = 11 ook de enige oplossing is?
Gegeven: pq = 4q + 7p, p,q ∈ N zijn priemgetallen.
Te bewijzen: p = q = 11.
Bewijs: uit pq = 4q + 7p volgt dat q(p - 4) = 7p een zevenvoud is zodat hetzij q hetzij (p - 4) een factor 7 bevat. Maar q kan geen factor 7 bevatten want dan zou q = 7 zijn aangezien q priem is, en dat kan niet aangezien p - 4 ≠ p. Dus moet (p - 4) een factor 7 bevatten en is er dus een k ∈ N zodanig dat (p - 4) = 7k. Maar dan is 7kq = 7p en dus kq = p. Dit impliceert echter dat k = 1 aangezien p anders niet priem zou zijn. Ergo, p = q. Maar dan is q(p - 4) = 7q en dus p - 4 = 7 en dus p = 11 en daarmee ook q = 11, QED.
Ik weet het, ik stelde die vraag op m'n telefoon en kon zo snel dat teken niet vinden.quote:
[..]
Gebruik trouwens niet ¤ voor ∈ 'element van'.
Kwartje is gevallen. Wederom dank.quote:Gegeven: pq = 4q + 7p, p,q ∈ N zijn priemgetallen.
Te bewijzen: p = q = 11.
Bewijs: uit pq = 4q + 7p volgt dat q(p - 4) = 7p een zevenvoud is zodat hetzij q hetzij (p - 4) een factor 7 bevat. Maar q kan geen factor 7 bevatten want dan zou q = 7 zijn aangezien q priem is, en dat kan niet aangezien p - 4 ≠ p. Dus moet (p - 4) een factor 7 bevatten en is er dus een k ∈ N zodanig dat (p - 4) = 7k. Maar dan is 7kq = 7p en dus kq = p. Dit impliceert echter dat k = 1 aangezien p anders niet priem zou zijn. Ergo, p = q. Maar dan is q(p - 4) = 7q en dus p - 4 = 7 en dus p = 11 en daarmee ook q = 11, QED.
[ Bericht 0% gewijzigd door Amoeba op 01-10-2013 17:21:48 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ok. Dit inmiddels ook duidelijk?quote:
[..]
Ik weet het, ik stelde die vraag op m'n telefoon en kon zo snel dat teken niet vinden.
[..]
Kwartje is gevallen. Wederom dank.
Grappig dat dit wiskunde topic sneller loopt dan het bèta algemeen topic. Nadert in zijn limiet zelfs aan een slowchat.
Overigens, wat zijn die gebruikte methodes om de vergelijking van een parabool met een bekende top en punt te bepalen soms ietwat omslachtig, zoals Riparius al aangaf. Overigens, die 'andere' methodes zijn wel interessant. Ook andere dingen in dit topic, zoals dat met die ladder.
Volgens mij is dit dan ook de methode die vaak in het begin aangeleerd wordt op de onderbouw van de middelbare school:
Parabool y = c(x-a)2+b heeft als top (a,b). Die kun je invullen. De c bepaal je vervolgens door het gegeven punt (x,y) in te vullen.
Overigens, wat zijn die gebruikte methodes om de vergelijking van een parabool met een bekende top en punt te bepalen soms ietwat omslachtig, zoals Riparius al aangaf. Overigens, die 'andere' methodes zijn wel interessant. Ook andere dingen in dit topic, zoals dat met die ladder.
Volgens mij is dit dan ook de methode die vaak in het begin aangeleerd wordt op de onderbouw van de middelbare school:
Parabool y = c(x-a)2+b heeft als top (a,b). Die kun je invullen. De c bepaal je vervolgens door het gegeven punt (x,y) in te vullen.
Hoe haal je de factor a buiten haakjes?quote:
Andere manier: eerst de factor a buiten haakjes halen. Uiteindelijk krijg je dan
f(x) = a(x + b/2a)2 − D/4a
[ Bericht 0% gewijzigd door wiskundenoob op 01-10-2013 18:14:38 ]
Weet iemand een andere term voor cos-1? De docent wil dat we die term gaan gebruiken, maar ik verstond hem niet goed toen hij de term zei.
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Inverse cosinus.quote:
Weet iemand een andere term voor cos-1? De docent wil dat we die term gaan gebruiken, maar ik verstond hem niet goed toen hij de term zei.
kloep kloep
Ik heb de vergelijking
(1)
en moet dmv impliciet differentiëren y' en y'' vinden in het punt (x,y) = (1,2)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Als ik nu y'' wil vinden, kan ik dan y vrijmaken uit (1), invullen in (4) en vervolgens deze verder afleiden?
Daarnaast, als je 2yy' verder wilt afleiden, klopt het dan dat je 2y'y' + 2yy'' = 2(y')2 + 2yy'' krijgt?
(1)
en moet dmv impliciet differentiëren y' en y'' vinden in het punt (x,y) = (1,2)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Als ik nu y'' wil vinden, kan ik dan y vrijmaken uit (1), invullen in (4) en vervolgens deze verder afleiden?
Daarnaast, als je 2yy' verder wilt afleiden, klopt het dan dat je 2y'y' + 2yy'' = 2(y')2 + 2yy'' krijgt?
Ik bedoel iets qua notatie, dat je dus in een som of vergelijking kan schrijven in plaats van cos-1.quote:
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Jep, het schoot me te binnen dat xx toevallig werd behandeld in een webcastquote:
[..]
Kun je dat ook zelf afleiden?
Stel y = x^x
dan ln(y) = ln(x^x) = xln(x)
Nu impliciet differentiëren en dan lukt het.
1/cos ?quote:
[..]
Ik bedoel iets qua notatie, dat je dus in een som of vergelijking kan schrijven in plaats van cos-1.
arccos. (http://nl.wikipedia.org/wiki/Arccosinus)quote:
[..]
Ik bedoel iets qua notatie, dat je dus in een som of vergelijking kan schrijven in plaats van cos-1.
Dat zal hem dan wel zijn.quote:
[..]
arccos. (http://nl.wikipedia.org/wiki/Arccosinus)
Bedankt.
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Grappige 'fout'. Cos2x is inderdaad Cos(x) tot de macht twee. Maar voor -1 op de plaats waar die macht 2 stond, kan het ook de inverse betekenen (en zo wordt het meestal ook gezien), volgens mij.quote:
quote:
Zijn er serieus nog docenten die erop staan dat de cos-1 notatie gebruikt wordtquote:
Grappige 'fout'. Cos2x is inderdaad Cos(x) tot de macht twee. Maar voor -1 op de plaats waar die macht 2 stond, kan het ook de inverse betekenen (en zo wordt het meestal ook gezien), volgens mij.
? Direct hun maths geek card en graad afnemen en terug de schoolbanken intrappen 
; we hebben hele fraaie èn eenduidige notaties voor de inverse van de (co)sinus enerzijds en de reciproke van de (co)sinus anderzijds, nl. arccos(x)//arcsin(x) resp. sec(x)//csc(x) . Use them FFS!! 
Ik kom met de breuken er niet uit:
Bepaal de kwadratische vergelijking op mbv:
Toppunt= (-3/4, 3/4) en Punt= (-1/2, 7/8)
y= a(x-xt)2 +yt
7/8= a(-1/2 -(-3/4)2 +3/4
7= 8a(-1/2 -(-3/4)2 +6
7= 8a(1/4)2 +6
1= 8a(1/16)
16= 8a
2= a
Vervolgens a:8 = 2/8 = 1/4
y= 1/4(x +3/4)2 +3/4
y= 1/4(x2 +3/2x +9/16) +3/4
[ Bericht 19% gewijzigd door wiskundenoob op 01-10-2013 19:50:01 ]
Bepaal de kwadratische vergelijking op mbv:
Toppunt= (-3/4, 3/4) en Punt= (-1/2, 7/8)
y= a(x-xt)2 +yt
7/8= a(-1/2 -(-3/4)2 +3/4
7= 8a(-1/2 -(-3/4)2 +6
7= 8a(1/4)2 +6
1= 8a(1/16)
16= 8a
2= a
Vervolgens a:8 = 2/8 = 1/4
y= 1/4(x +3/4)2 +3/4
y= 1/4(x2 +3/2x +9/16) +3/4
[ Bericht 19% gewijzigd door wiskundenoob op 01-10-2013 19:50:01 ]
Je uitwerking van (x+3/4)^2 gaat al de mist in. Dat is niet x^2 + 3/2x + 3/4, maar x^2 + 3/2x + 9/16
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
Klopt 2 =a wel?quote:
Je uitwerking van (x+3/4)^2 gaat al de mist in. Dat is niet x^2 + 3/2x + 3/4, maar x^2 + 3/2x + 9/16
Ja, dat klopt wel ja.
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
Ja, dat ook ja. Maar waarom je het eerst maal 8 doet..
Waarom niet;
7/8= a(-1/2 -(-3/4)^2 +3/4
7/8= a(-1/2 +3/4)^2 +3/4
7/8= a(1/4)^2 +3/4
7/8 - 3/4 = a(1/4)^2
7/8 - 6/8 = a(1/4)^2
1/8 = a * 1/16
a = 1/8 * 16/1 = 16/8 = 2
(overdreven uitgebreid opgeschreven)
Waarom niet;
7/8= a(-1/2 -(-3/4)^2 +3/4
7/8= a(-1/2 +3/4)^2 +3/4
7/8= a(1/4)^2 +3/4
7/8 - 3/4 = a(1/4)^2
7/8 - 6/8 = a(1/4)^2
1/8 = a * 1/16
a = 1/8 * 16/1 = 16/8 = 2
(overdreven uitgebreid opgeschreven)
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
Is het nou 2 of 1/4? Want ik deel a nog eens door 8.quote:
Ja, dat ook ja. Maar waarom je het eerst maal 8 doet..
Waarom niet;
7/8= a(-1/2 -(-3/4)^2 +3/4
7/8= a(-1/2 +3/4)^2 +3/4
7/8= a(1/4)^2 +3/4
7/8 - 3/4 = a(1/4)^2
7/8 - 6/8 = a(1/4)^2
1/8 = a * 1/16
a = 1/8 * 16/1 = 16/8 = 2
(overdreven uitgebreid opgeschreven)
Oh, die delen door 8. Nee, die is fout. a = 2.
Waarom doe je dat?
Waarom doe je dat?
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
Ik haal wat door elkaar, denk ik.quote:
Oh, die delen door 8. Nee, die is fout. a = 2.
Waarom doe je dat?
Met a= 2 krijg ik:quote:
Ja, dat ook ja. Maar waarom je het eerst maal 8 doet..
Waarom niet;
7/8= a(-1/2 -(-3/4)^2 +3/4
7/8= a(-1/2 +3/4)^2 +3/4
7/8= a(1/4)^2 +3/4
7/8 - 3/4 = a(1/4)^2
7/8 - 6/8 = a(1/4)^2
1/8 = a * 1/16
a = 1/8 * 16/1 = 16/8 = 2
(overdreven uitgebreid opgeschreven)
y= 2(x +3/4)^2 +3/4
y=2(x2+6/4x+9/16)+3/4
2x2 +3x +15/8
Dat klopt helemaal
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
Weet je het zeker? Want volgens mij bestaat het antwoord maar uit 2 termen, maar ik heb het antwoordenboek niet bij me.quote:
Je kunt het toch zelf wel even checken zeker?? Gewoon de x waarde van de top en dat punt invullen; wat komt er dan uit?
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
Ja, ik heb gecheckt via wolframquote:
Je kunt het toch zelf wel even checken zeker?? Gewoon de x waarde van de top en dat punt invullen; wat komt er dan uit?
[ Bericht 2% gewijzigd door wiskundenoob op 01-10-2013 20:53:53 ]
Het leest wel wat gemakkelijker als je de [tex] tag gebruikt in jouw posts.quote:
Ik kom met de breuken er niet uit:
Uitleg hierover vind je hier.
kloep kloep
Aaaah! LaTeX gebruik ik al langer, maar ik wist niet dat Fok! een TeX-tag had! Handig!
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
Stond overigens gewoon in de OPquote:
Aaaah! LaTeX gebruik ik al langer, maar ik wist niet dat Fok! een TeX-tag had! Handig!
Ik ga ook even oefenen.
kloep kloep
Misschien moet ik ook maar eens met Tex gaan oefenen. Praktisch bij Wiskund(ige) studie en een profielwerkstuk Misleidende Statistiek, misschien...
Waar beginnen?
Waar beginnen?
quote:
[ Bericht 4% gewijzigd door wiskundenoob op 01-10-2013 20:59:35 ]
Windows of *nix? Als Windows dan FF miktex installeren. Bij *nix bv tetex of via package manager. Dan een editor. Bv winedt voor Windows.
Download dan een template voor het soort document dat je wil maken. Lees handleiding latex (pdf, te downloaden). En probeer dan een simpel documentje te maken en kijk bij problemen in de handleiding of googlen.
Download dan een template voor het soort document dat je wil maken. Lees handleiding latex (pdf, te downloaden). En probeer dan een simpel documentje te maken en kijk bij problemen in de handleiding of googlen.
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
Ik heb een macbook en iMac.quote:
Windows of *nix? Als Windows dan FF miktex installeren. Bij *nix bv tetex of via package manager. Dan een editor. Bv winedt voor Windows.
Download dan een template voor het soort document dat je wil maken. Lees handleiding latex (pdf, te downloaden). En probeer dan een simpel documentje te maken en kijk bij problemen in de handleiding of googlen.
kloep kloep
AH, dat kan ook. Maar het was eigenlijk @Aardappeltaart
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
Ow okequote:
AH, dat kan ook. Maar het was eigenlijk @Aardappeltaart
. Maar toen ik wiskunde studeerde heb ik vooral met potlood en papier gewerkt.
kloep kloep
Windows inderdaad. Bedankt!
Denk dat ik ook gewoon met pen en papier ga werken, Wiskunde typen blijft ruk. Maar voor mijn profielwerkstuk is 't misschien wel handig. En Fok. Een misschien dingen die ik uit moet werken voor de studie dan?
Denk dat ik ook gewoon met pen en papier ga werken, Wiskunde typen blijft ruk. Maar voor mijn profielwerkstuk is 't misschien wel handig. En Fok. Een misschien dingen die ik uit moet werken voor de studie dan?
Zijn er leraren die het fout rekenen als je arccos(x) of arc(sin) schrijft?quote:
[..]
[..]
Zijn er serieus nog docenten die erop staan dat de cos-1 notatie gebruikt wordt
Een leraar mag best wat kuren hebben maar een officiële notatie fout rekenen...:N
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
#NoDAPL
OK OK, ik overdreef een beetje daar; ik heb draken van leraren gehad maar niet eentje die dat fout zou keuren. Maar die cos-1x notatie wil ik iig niet zien. Als je dat dan toch moet gebruiken, bijv. in tussenstappen waar manipulaties van machten van goniometrische/hyperbolische termen bij betrokken zijn, zet op zn minst dan die cos(x) of cosh(x) zelf ook tussen haken.quote:
Zijn er leraren die het fout rekenen als je arccos(x) of arc(sin) schrijft?
Een leraar mag best wat kuren hebben maar een officiële notatie fout rekenen...
Ja joh, je moet er niet in gaan werken om iets uit te rekenen. Dat is ook het idee niet. LaTeX is juist bedoeld om mooie opmaak mee te maken, en vergelijkingen e.d. goed mee weer te geven. Daar blijft papier natuurlijk het beste in.quote:
Windows inderdaad. Bedankt!
Denk dat ik ook gewoon met pen en papier ga werken, Wiskunde typen blijft ruk. Maar voor mijn profielwerkstuk is 't misschien wel handig. En Fok. Een misschien dingen die ik uit moet werken voor de studie dan?
Maar voor verslagen etc.
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
Officiële notatie bestaat nietquote:
[..]
Zijn er leraren die het fout rekenen als je arccos(x) of arc(sin) schrijft?
Een leraar mag best wat kuren hebben maar een officiële notatie fout rekenen...:N
.
Ik ben het met je eens dat het een slechte notatie is gezien de logische verwarring (bij leerlingen) met sec en cosec. Met arccos en arcsin is er geen twijfel over mogelijk.quote:
[..]
OK OK, ik overdreef een beetje daar; ik heb draken van leraren gehad maar niet eentje die dat fout zou keuren. Maar die cos-1x notatie wil ik iig niet zien. Als je dat dan toch moet gebruiken, bijv. in tussenstappen waar manipulaties van machten van goniometrische/hyperbolische termen bij betrokken zijn, zet op zn minst dan die cos(x) of cosh(x) zelf ook tussen haken.
Helaas niet, ik had inderdaad beter gesproken over de conventionele notatie binnen ...quote:
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
#NoDAPL
Mee eens. Jammer om te zien: voor infi hebben we nu ook dat Adams and Essex boek, wordt ook die sin-1 notatie nog gebruikt (wel samen met de arcsin-notatie, maar voor de arctangens en arcsecans en al die troep wordt dan weer tan-1 genoteerd)quote:
[..]
[..]
Zijn er serieus nog docenten die erop staan dat de cos-1 notatie gebruikt wordt
Toch wel. Er bestaat een ISO standaard (ISO 80000-2) die dat allemaal regelt, echter krijg je die standaard alleen te zien als je een hoop geld op tafel legt. En in die standaard - waar de Amerikanen zich niets van aantrekken - staat duidelijk dat je het prefix arc (voor Latijn arcus 'boog') moet gebruiken voor de inversen van de goniometrische functies, en het prefix ar (voor Latijn area 'oppervlak') voor de inversen van de hyperbolische functies. Dus: arcsin, arccos, arctan maar arsinh, arcosh, artanh.quote:
De Vlamingen zijn ook een beetje eigenzinnig, want die blijven het hebben over een boogsinus en boogtangens met als symbool Bgsin resp. Bgtan. Overigens werd dat vroeger in Nederland ook gedaan. En ja, dan hebben we nog de Fransen en de Russen, die vast houden aan de notaties sh en ch die teruggaan op Vincenzo Riccati, terwijl de gangbare notaties sinh en cosh teruggaan op Johann Heinrich Lambert.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 03-10-2013 09:17:35 ]
Als je werkt met Microsoft Word moet je eens kijken naar MathType. Dat is erg gebruiksvriendelijk en levert heel goede resultaten op. Recente versies van Word hebben trouwens een nieuwe equation editor aan boord waarvan de ontwikkelaars bij Microsoft beweren dat die typografisch betere resultaten kan geven dan TeX (bron). Het probleem met TeX is dat het is ontwikkeld in een tijd waarin er van webpagina's, smart fonts (à la OpenType) en Unicode nog geen sprake was, en dat maakt integratie van TeX met deze nieuwe technologieën en standaards op zijn minst problematisch.quote:
Windows inderdaad. Bedankt!
Denk dat ik ook gewoon met pen en papier ga werken, Wiskunde typen blijft ruk. Maar voor mijn profielwerkstuk is 't misschien wel handig. En Fok. Een misschien dingen die ik uit moet werken voor de studie dan?
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 02-10-2013 14:16:03 ]
Het ironische is nu juist dat de secans en cosecans vooral in de angelsaksische wereld in het onderwijs 'populair' zijn gebleven, precies om de verwarring van sin−1 x en cos−1 x met (sin x)−1 resp. (cos x)−1 tegen te gaan. Tegelijkertijd wordt die verwarring krachtig in de hand gewerkt door datzelfde onderwijs door te insisteren dat (sin x)n voor n > 1 dient te worden genoteerd als sinnx.quote:
[..]
Ik ben het met je eens dat het een slechte notatie is gezien de logische verwarring (bij leerlingen) met sec en cosec. Met arccos en arcsin is er geen twijfel over mogelijk.
Op het Europese vasteland bestond deze bron van verwarring in het onderwijs vroeger uiteraard niet, omdat men de inverse van e.g. de sinusfunctie noteerde als Bg sin x of als Arc sin x of ook wel bg Sin of arc Sin (niet aaneengeschreven). Nog in de jaren '60 van de vorige eeuw was deze notatie heel gebruikelijk. Pas vrij recent is men consequent arcsin gaan schrijven, maar in Vlaanderen schijft men nog Bgsin (nu echter wél aaneengeschreven). Je komt ook wel Arcsin tegen (met een hoofdletter A) maar de officiële ISO recommendatie schijft arcsin voor met een kleine letter a. En om de verwarring nog groter te maken zijn er ook wel auteurs die zowel Arcsin x als arcsin x gebruiken om de zogeheten hoofdwaarde en de verzameling van alle waarden waarvan de sinus gelijk is aan x van elkaar te onderscheiden. En dan is het altijd maar de vraag wat wat is, want hier heerst dezelfde chaos als bijvoorbeeld bij het onderscheid tussen Arg z en arg z of Log z en log z (om nog maar even te zwijgen over de verwarring die de notatie log voor hetzij 10log hetzij elog oplevert).
De secans en cosecans waren in Europa langzaam maar zeker uit het onderwijs verdwenen, maar ze hebben tot op zekere hoogte een comeback gemaakt door de opkomst van de rekenmachine waar de inverse van de sinusfunctie steevast wordt aangeduid met sin−1x en waarmee de verwarring met (sin x)−1 wereldwijd een issue is geworden. Ik zie dat als een subtiel staaltje Amerikaans cultuurimperialisme, net zo goed als de rekenmachine erin heeft geresulteerd dat het een janboel is geworden met het gebruik van de punt naast de komma als decimaal scheidingsteken.
De vermaledijde sin−1 notatie voor de inverse van de sinusfunctie gaat terug op de Britse astronoom en wiskundige John Herschel (niet te verwarren met zijn vader, de astronoom William Herschel). John Herschel introduceerde de notatie in dit artikel verschenen in de Philosophical Transactions van 1813. Hij stelt hier voor om φ(φ(x)), φ(φ(φ(x))) ... te noteren als φ2(x), φ3(x) ... en beredeneert dat de inverse operatie dan is te noteren als φ−1(x). Heel consequent verwerpt hij dan de notatie sinnx voor (sin x)n en wil hij bijv. sin2x opvatten als sin (sin x). En evenals hij sin. −1 x noteert voor arcsin x wil hij bijvoorbeeld ook log.−1 x noteren voor ex ... In een boek dat enkele jaren later, in 1820, werd gepubliceerd herhaalde hij nog eens zijn voorstellen, en hier introduceert hij de notatie f−1(x) voor de inverse van de functie f(x), een notatie die we nog steeds gebruiken. De meeste van zijn voorstellen hebben het niet gehaald, en dat is maar goed ook, want stel je voor dat we nu log−1 x hadden voor exp x terwijl log x of log10 x of 10log x dan weer de Briggse logaritme voorstelt ...
Opmerkelijk genoeg konden de voorstellen van Herschel wel de goedkeuring wegdragen van niemand minder dan Gauss, die weinig moest hebben van de notatie sin2x voor (sin x)2. In een brief aan Bessel gedateerd 21 november 1811, dus nog vóór de publicatie van Herschel's artikel, schrijft hij:
Auch is mir jedes Mal fatal das gar nicht analogische sin2φ, obgleich auch Laplace es gebraucht; fürchtet man, dass sin φ2 zweideutig werden könne (was doch vielleicht nie oder höchst selten eintritt, wenn man von sin (φ2) spräche), ei nun, so schreibe man (sin φ)2 aber nicht sin2φ, was der Analogie nach nur sin (sin φ) bedeuten sollte.
Veel later, in een brief aan Schumacher gedateerd 23 september 1839 kwam hij nog eens op de kwestie terug:
Ich finde diese Schreibart aller Analogie zuwider, da die Analogie überall sonst ein an die Spitze gesetztes 2 als eine Abkürzung für doppeltes Schreiben des nächst vorhergehenden erfordert also sin2φ = sin (sin φ). Die Schreibart sin2φ wird allerdings von angesehenen Namen gebraucht, wie Laplace und Poisson und ist an sich gut gemeint, nemlich einer falschen Interpretation vorzubeugen, damit man das was (sin φ)2 sein soll nicht als sin (φ2) verstehe, wenn man sin φ2 schlechthin schreibt. Aber unter 1000 Fällen kommt die letztere Bedeutung nicht Einmahl vor, es kann gewiss ein Missverständniss nie eintreten, und wo ein solches denkbar wäre, ist es weit besser durch eine Parenthese (wie oben) vorzubeugen, als eine durchaus analogisch unrichtige Schreibart anzuwenden. Ich erinnere mich, dass Herschel sich auch einmahl nachdrücklich gegen die Schreibart sin2φ erklärt hat. Bessel, der wie mir scheint, auf correctes Formelnschreiben etwas hält, schreibt meines Wissens nie so.
De meningen over wat nu de beste notatie is voor e.g. de inverse van sin x en de machten van sin x lopen dus uiteen, maar het is wel duidelijk dat je niet het gebruik van sin−1x voor arcsin x moet combineren met het gebruik van sin2x voor (sin x)2 zoals men in de angelsaksische wereld doet. Gebruik je sin−1x voor arcsin x, wat op zich heel goed te verdedigen is zoals Herschel en Gauss aangeven, dan zou je de notatie sin2x voor (sin x)2 moeten verbannen. Maar het voorstel om dan maar sin x2 te schrijven voor (sin x)2 is ook weinig gelukkig, want dan zet je de deur op een kier om bijv. ook log x2 op te vatten als (log x)2. Omgekeerd, als je de notatie sinnx voor (sin x)n aanvaardt, dan zou je de notatie sin−1x voor arcsin x moeten verbannen. En aangezien sinnx voor (sin x)n al heel lang wereldwijd is aanvaard (in weerwil van de bedenkingen van Gauss) is de conclusie dus dat sin−1x voor arcsin x al lang had moeten zijn afgeschaft. Maar ja, dan moet je consequent zijn en ook de notatie f−1(x) voor de inverse van f(x) verwerpen, en dat is dan waarschijnlijk voor de meesten weer een brug te ver. En zolang je f−1 aanvaardt als notatie voor de inverse van f is er an sich ook weinig in te brengen tegen de notatie sin−1 voor de inverse van sin. Zo blijft het dus behelpen met onze notaties.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 03-10-2013 15:15:02 ]
Je bent hier weer vreemd aan het goochelen. De algemene vergelijking van een parabool met verticale symmetrie-as en met het punt (xt; yt) als top is inderdaadquote:
Ik kom met de breuken er niet uit:
Bepaal de kwadratische vergelijking op mbv:
Toppunt = (-3/4, 3/4) en Punt = (-1/2, 7/8)
y = a(x − xt)2 + yt
Hier is xt = −¾ en yt = ¾. Vullen we dat vast in, dan hebben we dus
y = a(x + ¾)2 + ¾
Nu moeten we alleen de waarde van a nog bepalen, en daarvoor hebben we de coördinaten nodig van een tweede punt op de parabool anders dan de top. Dat punt is ook gegeven en heeft de coördinaten (−1/2; 7/8).
Je berekening van a is in orde, en je komt uit op de correcte waarde a = 2, maar vervolgens negeer je dan het resultaat van je eigen berekening en ga je a zomaar 8 maal zo klein maken. Dat mag je natuurlijk niet doen, want dan klopt de vergelijking niet meer. Kennelijk doe je dit omdat je eerst beide leden van je vergelijking met 8 had vermenigvuldigd om het werken met breuken zoveel mogelijk te vermijden. Daar is op zich niets mis mee, maar je had toch echt gevonden dat a = 2, en niet a = ¼, dus dan moet je wel consequent blijven. Ik denk dat je deze fout kunt vermijden door eerst de vergelijking met de ingevulde waarden van xt en yt op te schrijven, zoals ik hierboven doe.
Verder hoef je hier niet beide leden van de vergelijking met 8 te vermenigvuldigen, want een beetje rekenen met breuken kun je best. Dan wordt de uitwerking als volgt
y = a(x + ¾)2 + ¾
7/8 = a(−½ + ¾)2 + ¾
7/8 = a(¼)2 + ¾
7/8 − 3/4 = a(¼)2
1/8 = (1/16)a
a = 2
Dit weer invullen in de vergelijking geeft
y = 2(x + ¾)2 + ¾
Dat is alles.
Ik had vandaag een tussentoets calculus, en op zich ging het wel goed (denk ik uiteraard ), maar er was één vraag waar ik echt niet uit kwam.
De opdracht was om het limiet van
als x->0 te berekenen.
Nou goed, tangens is gelijk aan sinus gedeeld door cosinus, dus:
Ik heb geleerd dat het limiet van
altijd 1 is, dus ik deed:
Maar wat dan? Want als je nu het limiet gaat berekenen wordt de noemer nul, wat natuurlijk niet werkt.
), maar er was één vraag waar ik echt niet uit kwam.De opdracht was om het limiet van
Nou goed, tangens is gelijk aan sinus gedeeld door cosinus, dus:
Ik heb geleerd dat het limiet van
Maar wat dan? Want als je nu het limiet gaat berekenen wordt de noemer nul, wat natuurlijk niet werkt.
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
x/sin(x)/cos(x) is te versimpelen tot xcos(x)/sin(x)quote:
Ik had vandaag een tussentoets calculus, en op zich ging het wel goed (denk ik uiteraard
De opdracht was om het limiet van
Nou goed, tangens is gelijk aan sinus gedeeld door cosinus, dus:
Ik heb geleerd dat het limiet van
Maar wat dan? Want als je nu het limiet gaat berekenen wordt de noemer nul, wat natuurlijk niet werkt.
limiet naar nul geeft 0/0, dus mag je l'Hôpital toepassen.
boven en onder de breuk afgeleide nemen, en dan kun je dat herleiden tot
1/5-xtan(5x)
de limiet van een product is product van limiet als ik het me goed herinner, dus dan heb je uiteindelijk
lim(x->0) 1/5 - lim(x->0)x * lim(x->0)tan(5x)
= lim(x->0)1/5 - lim(x->0)x * lim(x->0) sin(x)/cos(x)
= 1/5 - 0*(0/1) = 1/5
Die heb ik dus (nog) niet gehad.quote:
[..]
x/sin(x)/cos(x) is te versimpelen tot xcos(x)/sin(x)
limiet naar nul geeft 0/0, dus mag je l'Hôpital toepassen.
boven en onder de breuk afgeleide nemen, en dan kun je dat herleiden tot
1/5-xtan(5x)
de limiet van een product is product van limiet als ik het me goed herinner, dus dan heb je uiteindelijk
lim(x->0) 1/5 - lim(x->0)x * lim(x->0)tan(5x)
= lim(x->0)1/5 - lim(x->0)x * lim(x->0) sin(x)/cos(x)
= 1/5 - 0*(0/1) = 1/5
Zijn er nog andere methoden om dit op te lossen?
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Je kent de 'standaardlimiet'quote:
Ik had vandaag een tussentoets calculus, en op zich ging het wel goed (denk ik uiteraard
De opdracht was om het limiet van
Nou goed, tangens is gelijk aan sinus gedeeld door cosinus, dus:
limθ→0 sin(θ)/θ = 1
Nu kun je gemakkelijk bedenken dat je ook hebt
limθ→0 tan(θ)/θ = 1
Immers:
tan(θ)/θ = (sin(θ)/θ)·(1/cos(θ))
En dus
limθ→0 tan(θ)/θ = limθ→0 sin(θ)/θ · limθ→0 1/cos(θ) = 1·1 = 1
En uiteraard betekent het bovenstaande dat je ook hebt
limθ→0 θ/sin(θ) = 1
en
limθ→0 θ/tan(θ) = 1
Welnu, voor
x/tan(5x)
kun je schrijven
(1/5)·(5x/tan(5x))
en dus krijgen we
limx→0 (1/5)·(5x/tan(5x)) = (1/5)·limx→0 5x/tan(5x) = (1/5)·1 = 1/5
Eenvoudig toch?
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 02-10-2013 16:57:58 ]
Ah ja, best logisch eigenlijk. Maar dat moet je ook maar net bedenken tijdens zo'n toets. Bedankt.quote:
[..]
Je kent de 'standaardlimiet'
limθ→0 sin(θ)/θ = 1
Nu kun je gemakkelijk bedenken dat je ook hebt
limθ→0 tan(θ)/θ = 1
Immers:
tan(θ)/θ = (sin(θ)/θ)·(1/cos(θ))
En dus
limθ→0 tan(θ)/θ = limθ→0 sin(θ)/θ · limθ→0 1/cos(θ) = 1·1 = 1
En uiteraard betekent het bovenstaande dat je ook hebt
limθ→0 θ/sin(θ) = 1
en
limθ→0 θ/tan(θ) = 1
Welnu, voor
x/tan(5x)
kun je schrijven
(1/5)·(5x/tan(5x))
en dus krijgen we
limθ→0 (1/5)·(5x/tan(5x)) = (1/5)·limθ→0 5x/tan(5x) = (1/5)·1 = 1/5
Eenvoudig toch?
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Didactisch is het helemaal fout om hier a, b en c op deze manier te gebruiken, want dat levert dan gegarandeerd hopeloze verwarring op als je het gaat hebben over de algemene gedaante van een kwadratische functiequote:
Volgens mij is dit dan ook de methode die vaak in het begin aangeleerd wordt op de onderbouw van de middelbare school:
Parabool y = c(x-a)2+b heeft als top (a,b). Die kun je invullen. De c bepaal je vervolgens door het gegeven punt (x,y) in te vullen.
f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
Het is wel gebruikelijk om de topvergelijking van een parabool met een symmetrie-as parallel aan de y-as te geven als
y = a(x − h)2 + k
zodat (h; k) de coördinaten zijn van de top. Dan komt de a uiteraard overeen met de a in de vergelijking y = ax2 + bx + c en heb je verder h = −b/2a, k = −D/4a met D = b2 − 4ac.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 02-10-2013 17:18:34 ]
Aangezien je dit niet kon bedenken vraag ik me toch af hoe het verder met je toets is gegaan.quote:
[..]
Ah ja, best logisch eigenlijk. Maar dat moet je ook maar net bedenken tijdens zo'n toets. Bedankt.
Ik heb nog wel een aardige oefening voor je:
En nee, hierbij mag je niet gebruik maken van de regel van l'Hôpital (die je toch niet kent).
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 02-10-2013 20:06:16 ]
Ik begrijp je, bedankt voor je aanvulling! Ik meen me te herinneren dat ik 't met die a en b geleerd heb, of 't in ieder geval zo zou doen, maar voor 't aanleren is 't niet de beste keuze nee. Die (h,k) notatie voor de top is nieuw voor me.quote:
[..]
Didactisch is het helemaal fout om hier a, b en c op deze manier te gebruiken, want dat levert dan gegarandeerd hopeloze verwarring op als je het gaat hebben over de algemene gedaante van een kwadratische functie
f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
Het is wel gebruikelijk om de topvergelijking van een parabool met een symmetrie-as parallel aan de y-as te geven als
y = a(x −h)2 + k
zodat (h; k) de coördinaten zijn van de top. Dan komt de a uiteraard overeen met de a in de vergelijking y = ax2 + bx + c en heb je verder h = −b/2a, k = −D/4a met D = b2 − 4ac.
Bedankt voor de tip, ben 'm nu aan't downloaden!quote:
[..]
Als je werkt met Microsoft Word moet je eens kijken naar MathType. Dat is erg gebruiksvriendelijk en levert heel goede resultaten op. Recente versies van Word hebben trouwens een nieuwe equation editor aan boord waarvan de ontwikkelaars bij Microsoft beweren dat die typografisch betere resultaten kan geven dan TeX (bron). Het probleem met TeX is dat het is ontwikkeld in een tijd waarin er van webpagina's, smart fonts (à la OpenType) en Unicode nog geen sprake was, en dat maakt integratie van TeX met deze nieuwe technologieën en standaards op zijn minst problematisch.
Rustig maar, de rest van de opgaven (vooral complexe getallen en vectoren) kon ik wel gewoon maken. Gebeurt me wel vaker, dat ik van die hele simpele dingen niet kan bedenken tijdens een toets, maar de wat moeilijkere opgaven zo kan maken.quote:
[..]
Aangezien je dit niet kon bedenken vraag ik me toch af hoe het verder met je toets is gegaan.
Ik heb nog wel een aardige oefening voor je:
[ afbeelding ]
En nee, hierbij mag je niet gebruik maken van de regel van L'Hôpital (die je toch niet kent).
Die opgave zal ik zo meteen proberen uit te werken.
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Het makkelijkste is een Taylorreeks invullen.quote:
[..]
Die heb ik dus (nog) niet gehad.
tan(5x) = 5x + O(x³).
Dus x/tan(5x) = x/(5x+O(x³)) = 1/(5+O(x²)). Met x-->0 krijg je dus 1/5.
Klinkt bekend. Heb zelf vaak (kleine) slordigheidsfoutjes of rekenfoutjes. Fouten in het 'simpele' inderdaad.quote:
[..]
Rustig maar, de rest van de opgaven (vooral complexe getallen en vectoren) kon ik wel gewoon maken. Gebeurt me wel vaker, dat ik van die hele simpele dingen niet kan bedenken tijdens een toets, maar de wat moeilijkere opgaven zo kan maken.
Die heb ik ook nog niet gehad.quote:
[..]
Het makkelijkste is een Taylorreeks invullen.
tan(5x) = 5x + O(x³).
Dus x/tan(5x) = x/(5x+O(x³)) = 1/(5+O(x²)). Met x-->0 krijg je dus 1/5.
Je moet er even vanuit gaan dat ik echt alleen de basis heb gehad qua limieten.
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Bedoel je nu dat je wilt dat we de opgave op een andere manier oplossen dan met de regel van l'Hôpital, of dat de regel hier niet opgaat (nochtans krijg je een vorm van 0/0)?quote:
[..]
Aangezien je dit niet kon bedenken vraag ik me toch af hoe het verder met je toets is gegaan.
Ik heb nog wel een aardige oefening voor je:
[ afbeelding ]
En nee, hierbij mag je niet gebruik maken van de regel van L'Hôpital (die je toch niet kent).
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Het eerste. Deze opgave is op te lossen zonder gebruik van de regel van l'Hôpital (die eigenlijk van Johann Bernoulli is, maar dat terzijde). Het is ook niet de bedoeling om Taylorreeksen te gebruiken. Succes.quote:
[..]
Bedoel je nu dat je wilt dat we de opgave op een andere manier oplossen dan met de regel van l'Hôpital, of dat de regel hier niet opgaat (nochtans krijg je een vorm van 0/0)?
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 02-10-2013 19:56:12 ]
Het eerste.quote:
[..]
Bedoel je nu dat je wilt dat we de opgave op een andere manier oplossen dan met de regel van l'Hôpital, of dat de regel hier niet opgaat (nochtans krijg je een vorm van 0/0)?
Ik moet zeggen dat ik niet zo snel een andere manier zie dan taylorreeksen invullen.
In leerboeken analytische meetkunde werd (h; k) vroeger veel gebruikt voor de coördinaten van de top van een parabool of het centrum van een ellips of hyperbool. Ik zie nu dat de Engelse Wikipedia dat ook doet in dit artikel.quote:
[..]
Ik begrijp je, bedankt voor je aanvulling! Ik meen me te herinneren dat ik 't met die a en b geleerd heb, of 't in ieder geval zo zou doen, maar voor 't aanleren is 't niet de beste keuze nee. Die (h,k) notatie voor de top is nieuw voor me.
[..]
Graag gedaan. Als je 'problemen' hebt met de registratie moet je maar even een PM sturen.quote:Bedankt voor de tip, ben 'm nu aan't downloaden!
Mooi gevalletje Stigler's Law weer.quote:
[..]
Het eerste. Deze opgave is op te lossen zonder gebruik van de regel van L'Hôpital (die eigenlijk van Johann Bernoulli is, maar dat terzijde). Het is ook niet de bedoeling om Taylorreeksen te gebruiken. Succes.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik heb ook nog een mooie:quote:
[..]
Het eerste. Deze opgave is op te lossen zonder gebruik van de regel van L'Hôpital (die eigenlijk van Johann Bernoulli is, maar dat terzijde). Het is ook niet de bedoeling om Taylorreeksen te gebruiken. Succes.
limx→0(3sin(x) - sin(3x)/(3tan(x) - tan(3x))
Zelfs met de regel van l'Hôpital kwam ik niet uit de goniometrische herleiding die Mathematica wel gaf. Wellicht zijn Taylorreeksen hier handiger?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Welke standaardlimieten veronderstel je bekend?quote:
[..]
Aangezien je dit niet kon bedenken vraag ik me toch af hoe het verder met je toets is gegaan.
Ik heb nog wel een aardige oefening voor je:
[ afbeelding ]
En nee, hierbij mag je niet gebruik maken van de regel van L'Hôpital (die je toch niet kent).
Tja, niet helemaal.quote:
[..]
Mooi gevalletje Stigler's Law weer.
Markies Guillaume de l'Hopital had een deal gesloten met Johann Bernoulli waarbij hij de exclusieve rechten kreeg om boeken over differentiaal- en integraalrekening te publiceren gebaseerd op het werk van Bernoulli en Bernoulli zelf verder niets mocht publiceren over zijn ontdekkingen op het gebied van de analyse. In ruil ontving Bernoulli daarvoor jaarlijks een substantieel bedrag. In 1696 verscheen zo het eerste echte leerboek over differentiaalrekening, met daarin de beroemde regel. Geen wonder dus dat die regel naar l'Hôpital werd vernoemd. Er was ook nog een tweede boek over integraalrekening gepland, maar dat is er niet van gekomen omdat l'Hôpital jong overleed in 1704. Na de dood van l'Hôpital kwam Bernoulli met het hele verhaal over de deal naar buiten en claimde hij zelf de auteur te zijn van het boek en de bedenker van de regel. Maar Johann Bernoulli was ook al verwikkeld in allerlei andere ruzies over prioriteitskwesties, en dus geloofde niemand hem. Pas in de 20ste eeuw werden er manuscripten van Bernoulli's hand ontdekt die zijn versie van het verhaal deels bevestigden. Inhoudelijk was het boek van l'Hôpital inderdaad gebaseerd op Bernoulli's werk, maar de ordening van het materiaal en de glasheldere presentatie ervan waren wel degelijk l'Hôpital's eigen werk geweest. Maar ja, de beroemde regel heette al twee eeuwen de regel van l'Hôpital toen Bernoulli's manuscripten werden ontdekt, en dus is dat zo gebleven.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 02-10-2013 22:06:55 ]
En bedoel je met log(1+x) het Briggse of het natuurlijke logaritme? Het doet er natuurlijk niets toe, gezien de limiet, maar toch.
Het doet er natuurlijk niets toe, gezien de limiet, maar toch.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
limh→0 sin(h)/h = 1, limh→0 (1 + h)1/h = equote:
[..]
Welke standaardlimieten veronderstel je bekend?
Natuurlijke logaritme. Had ik inderdaad even moeten vermelden, want dit doet er wel toe.quote:
En bedoel je met log(1+x) het Briggse of het natuurlijke logaritme?
Het zou inderdaad kunnen.
De limiet van log(1+x) en ln(1+x) gaan beide naar 0, vandaar dat ik even dacht dat het er toch niet toe zou doen.
De limiet van log(1+x) en ln(1+x) gaan beide naar 0, vandaar dat ik even dacht dat het er toch niet toe zou doen.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Je haakjes matchen niet, dus dat heb ik even gecorrigeerd.quote:
[..]
Ik heb ook nog een mooie:
limx→0(3sin(x) - sin(3x))/(3tan(x) - tan(3x))
Zelfs met de regel van l'Hôpital kwam ik niet uit de goniometrische herleiding die Mathematica wel gaf. Wellicht zijn Taylorreeksen hier handiger?
Maar goed, niks Taylorreeksen, gewoon lekker ouderwets je goniometrische identiteiten kennen. We hebben voor de drievoudige hoek de volgende identiteiten
(1) sin(3x) = 3 sin(x) − 4 sin3(x)
(2) tan(3x) = [3 tan(x) − tan3(x)] / [1 − 3 tan2(x)]
Met behulp van (1) hebben we nu
(3) 3 sin(x) − sin(3x) = 4 sin3x
en met behulp van (2) vinden we na wat herleiding
(4) 3 tan(x) − tan(3x) = [−8]·[tan3(x)] / [1 − 3 tan2x]
En voor het quotiënt krijgen we zo
(5) [3 sin x − sin 3x] / [3 tan x − tan 3x] = −[1/2]·[(1 − 3 tan2x)/sec3x]
Welnu, [(1 − 3 tan2x)/sec3x] gaat naar (1 − 3·0)/1 = 1 voor x → 0, en dus hebben we
(6) limx→0 [3 sin x − sin 3x]/[3 tan x − tan 3x] = −1/2
en dat klopt met hetgeen WolframAlpha geeft.
Piece of cake.
(1), (2) en (3) had ik zelf ook al bedacht, en toen ging de regel van l'Hôpital toepassen waardoor het allemaal nog slechter werd dan het al was.
Enfin, hartelijk dank voor de les wederom.
Enfin, hartelijk dank voor de les wederom.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Geprobeerd, maar ik kom niet verder danquote:
[..]
Aangezien je dit niet kon bedenken vraag ik me toch af hoe het verder met je toets is gegaan.
Ik heb nog wel een aardige oefening voor je:
[ afbeelding ]
En nee, hierbij mag je niet gebruik maken van de regel van l'Hôpital (die je toch niet kent).
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
quote:
(1), (2) en (3) had ik zelf ook al bedacht, en toen ging de regel van l'Hôpital toepassen waardoor het allemaal nog slechter werd dan het al was.
Enfin, hartelijk dank voor de les wederom.
Beetje extra oefening goniometrie kan geen kwaad. Ik vond zojuist nog een leuke oude opgave. Deze is van het eindexamen H.B.S. 1884:quote:
(1), (2) en (3) had ik zelf ook al bedacht, en toen ging de regel van l'Hôpital toepassen waardoor het allemaal nog slechter werd dan het al was.
Enfin, hartelijk dank voor de les wederom.
Van een driehoek met hoeken α, β, γ is gegeven dat
cos2α + cos2β + cos2γ = 1
Bewijs dat één van de hoeken van deze driehoek recht is.
Deze herleiding levert inderdaad niets op. Maar ik vind het een beetje zonde om nu al hints te gaan geven. Gewoon nog maar eens goed kijken wat je hier verder mee kunt.quote:
[..]
Geprobeerd, maar ik kom niet verder dan. Ik heb geen idee wat ik met die noemer aanmoet.
Net als die 3 integralen die je toendertijd gepost hebt.quote:
[..]
Deze herleiding levert inderdaad niets op. Maar ik vind het een beetje zonde om nu al hints te gaan geven. Gewoon nog maar eens goed kijken wat je hier verder mee kunt.
Laat ik daar maar eens mee beginnen dan.quote:
[..]
[..]
Beetje extra oefening goniometrie kan geen kwaad. Ik vond zojuist nog een leuke oude opgave. Deze is van het eindexamen H.B.S. 1884:
Van een driehoek met hoeken α, β, γ is gegeven dat
cos2α + cos2β + cos2γ = 1
Bewijs dat één van de hoeken van deze driehoek recht is.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Tja, daar kwam niet veel respons op. Ik zal nog eens kijken of ik de tijd kan vinden om daar echt iets over te vertellen. Moet ik wel mijn aantekeningen weer even terugzoeken.quote:
[..]
Net als die 3 integralen die je toentertijd gepost hebt.
[..]
Prima.quote:Laat ik daar maar eens mee beginnen dan.
Zijn er speciale regels voor logaritmes bij limieten die ik toe moet passen om dit limiet op te lossen? Want als dat zo is kan ik hem niet oplossen, ik heb namelijk niks over logaritmes gehad bij limieten.quote:
[..]
Deze herleiding levert inderdaad niets op. Maar ik vind het een beetje zonde om nu al hints te gaan geven. Gewoon nog maar eens goed kijken wat je hier verder mee kunt.
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Nee, geen speciale regels. Je moet natuurlijk wel rekenregels voor het werken met logaritmen kennen, zoals log ap = p·log a.quote:
[..]
Zijn er speciale regels voor logaritmes bij limieten die ik toe moet passen om deze limiet op te lossen? Want als dat zo is kan ik hem niet oplossen, ik heb namelijk niks over logaritmes gehad bij limieten.
Ah, die ken ik nog wel.quote:
[..]
Nee, geen speciale regels. Je moet natuurlijk wel rekenregels voor het werken met logaritmen kennen, zoals log ap = p·log a.
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Ik ben er al klaar mee.quote:
Wat wil je dat ik doe, de uitwerking posten?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ja, als je wil, en als je zeker weet dat je oplossing correct is.quote:
[..]
Ik ben er al klaar mee.
De enige alternatieve form voor die noemer die ik met de rekenregels kan bedenken is 
, maar daar heb je geloof ik vrij weinig aan.
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Met log(x+1) werd al het natuurlijke logaritme bedoeld.quote:
De enige alternatieve form voor die noemer die ik met de rekenregels kan bedenken is
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Oh, dan heb ik er helemaal niks aan.quote:
[..]
Met log(x+1) werd al het natuurlijke logaritme bedoeld.
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
[ Bericht 30% gewijzigd door Amoeba op 02-10-2013 21:40:11 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
fuhuk.
[ Bericht 94% gewijzigd door Amoeba op 02-10-2013 21:44:43 ]
[ Bericht 94% gewijzigd door Amoeba op 02-10-2013 21:44:43 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Nee, dit bewijs klopt niet. Je hebt inderdaad cos2α = cos2(β + γ) omdat α + β + γ = π zodat α en (β + γ) supplementair zijn. Maar dat impliceert helemaal niet dat α en (β + γ) ook gelijk zijn. Neem bijvoorbeeld α = ¼π en β + γ = ¾π. Dan geldt evengoed cos2α = cos2(β + γ) maar is hoek α niet recht. Anders gezegd, met jouw redenatie kun je 'bewijzen' dat alle drie de hoeken van de driehoek recht zijn, en dat kan niet. Je bent gezakt.quote:
[..]
cos2(B+C) + cos2B + cos2C = 1
En hieruit concluderen we dat A = B+C
Ik begon ook te twijfelen omdat ik totaal niet had gebruikt dat het allemaal gelijk was aan 1. Ik zal er nog eens over nadenken.quote:
[..]
Nee, dit bewijs klopt niet. Je hebt inderdaad cos2α = cos2(β + γ) omdat α + β + γ = π zodat α en (β + γ) supplementair zijn. Maar dat impliceert helemaal niet dat α en (β + γ) ook gelijk zijn. Neem bijvoorbeeld α = ¼π en β + γ = ¾π. Dan geldt evengoed cos2α = cos2(β + γ) maar is hoek α niet recht. Anders gezegd, met jouw redenatie kun je 'bewijzen' dat alle drie de hoeken van de driehoek recht zijn, en dat kan niet. Je bent gezakt.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Toch wel. Je moet nooit te snel roepen dat je ergens niets aan hebt of dat iets niet oplosbaar is. Wijze les: post #105 in dit topic.quote:
[..]
Oh, dan heb ik er helemaal niks aan.
Kijk nog eens goed naar de twee standaardlimieten waarvan ik heb aangegeven dat je ze nodig hebt voor de opgave.
Oh. Nou ja, morgen maar verder uit proberen te werken met die vorm dan, vandaag al genoeg tijd aan wiskunde besteedt.quote:
[..]
Toch wel. Je moet nooit te snel roepen dat je ergens niets aan hebt of dat iets niet oplosbaar is. Wijze les: post #105 in dit topic.
Kijk nog eens goed naar de twee standaardlimieten waarvan ik heb aangegeven dat je ze nodig hebt voor de opgave.
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Oh, deze post had ik niet eens gezien, hier kan ik wel wat mee denk ik.quote:
[..]
limh→0 sin(h)/h = 1, limh→0 (1 + h)1/h = e
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Ik ben bezig met mijn huiswerk. Helaas begrijp ik niet hoe men in het uitwerkingenboek van stap 1 naar stap 2 gaat.
Hint:quote:Op woensdag 2 oktober 2013 22:42 schreef uvastudentje het volgende:
Ik ben bezig met mijn huiswerk. Helaas begrijp ik niet hoe men in het uitwerkingenboek van stap 1 naar stap 2 gaat. [ afbeelding ]
Dat is niet zo moeilijk;
Je moet even weten dat
hetzelfde is als 
Dus dan staat er
Je moet even weten dat
Dus dan staat er
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
Niet per se aan wiskunde zelf gerelateerd, maar wat is een goede plaats/manier voor het leren van LaTeX gebruik. Voor ons natuurkundigen wordt dit namelijk impliciet verwacht (iig voor bacheloropdracht), maar er wordt alleen bij de wiskundeopleiding als vak gegeven naar mijn weten.
Ik denk dat je je hetzelf gemakkelijk kan aanleren door eens te klikken op de link in de OP, tenzij ik je verkeerd begrijp.quote:
Niet per se aan wiskunde zelf gerelateerd, maar wat is een goede plaats/manier voor het leren van LaTeX gebruik. Voor ons natuurkundigen wordt dit namelijk impliciet verwacht (iig voor bacheloropdracht), maar er wordt alleen bij de wiskundeopleiding als vak gegeven naar mijn weten.
Lol, ik heb er uiteindelijk nog wel even naar gekeken, maar integralen zijn sowieso niet mijn sterkste punt.quote:
[..]
Net als die 3 integralen die je toendertijd gepost hebt.
Nvm. Randomo, die integralen zijn speciaal door Riparius geselecteerd om je nachtrust in zekere zin te vergallen.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Bv deze documenten:quote:
Niet per se aan wiskunde zelf gerelateerd, maar wat is een goede plaats/manier voor het leren van LaTeX gebruik. Voor ons natuurkundigen wordt dit namelijk impliciet verwacht (iig voor bacheloropdracht), maar er wordt alleen bij de wiskundeopleiding als vak gegeven naar mijn weten.
https://bitbucket.org/Vic(...)Topic.pdf?at=default
https://www.google.nl/url(...)vm=bv.53537100,d.bGE
https://www.google.nl/url(...)vm=bv.53537100,d.bGE
Zin in pizza? Simpel pizzarecept - Uitgebreid pizzarecept! - DIY pizzaschep - Bestron Alfredo Tuning - kookkompas.nl
