SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Kijk even hier.quote:Op woensdag 11 september 2013 17:34 schreef 2thmx het volgende:
Een kort vraagje, Stel, je hebt een kans op A, een kans op niet-A en binnen A heb je nog een kans op B. Kan je dan in zijn algemeenheid stellen dat geldt: P(A) * P(B|A) = P(B)?
Ik kom dan tot (ln(x)+6)*ln(x)quote:Op woensdag 11 september 2013 17:19 schreef Riparius het volgende:
Als dit je vrij weinig zegt, dan begrijp ik niet waarom je kennelijk wel geacht wordt dit soort vergelijkingen op te kunnen lossen.
Het algemene idee is dat als je hebt
A = B
dat dan ook moet gelden
ln(A) = ln(B)
mits A en B positieve grootheden voorstellen. Pas dit principe nu eens toe op je vergelijking en laat dan zien wat je krijgt. Hint: je moet verder ook nog gebruik maken van de rekenregel ln(ap) = p·ln(a).
ln(e-9). -9*ln(e) of -9
(ln(x)+6)*ln(x) =-9
Onoverwinnelijk/Rotterdam/Zeerover
https://www.playgwent.com/en/ - Official beta of Gwent: The Witcher Gard Game
https://www.playgwent.com/en/ - Official beta of Gwent: The Witcher Gard Game
Daar bracht google mij ook inderdaadquote:
, maar ik zie er eerlijk gezegd 't antwoord op mijn vraag niet in.
Voegt hoogtepunten toe aan jullie druilerige bestaan.
Juist. De vergelijking ziet er nu nog steeds lastig uit, maar dat is slechts schijn. Je ziet dat we in het linkerlid tweemaal ln(x) hebben. In zo'n geval is het zinnig om een substitutie te gebruiken om de vergelijking overzichtelijker te maken. Dat wil zeggen dat we ln(x) hier (tijdelijk!) even gaan vervangen door een andere variabele. Nu worden x en y vaak gebruikt bij grafieken van functies, dus neem ik het liefst de z, zodat er geen verwarring kan ontstaan. We stellen nu:quote:Op woensdag 11 september 2013 17:44 schreef CapnIzzy het volgende:
[..]
Ik kom dan tot (ln(x)+6)*ln(x)
ln(e-9). -9*ln(e) of -9
(ln(x)+6)*ln(x) =-9
ln(x) = z
De vergelijking wordt dan
(z + 6)z = −9
Los nu eerst deze vergelijking op, zodat je de waarde(n) van z kent. Dan ken je ook de waarde(n) van ln(x) = z en is het dus eenvoudig om x = ez te bepalen.
Dus (z+6)z=-9quote:Op woensdag 11 september 2013 17:55 schreef Riparius het volgende:
[..]
Juist. De vergelijking ziet er nu nog steeds lastig uit, maar dat is slechts schijn. Je ziet dat we in het linkerlid tweemaal ln(x) hebben. In zo'n geval is het zinnig om een substitutie te gebruiken om de vergelijking overzichtelijker te maken. Dat wil zeggen dat we ln(x) hier (tijdelijk!) even gaan vervangen door een andere variabele. Nu worden x en y vaak gebruikt bij grafieken van functies, dus neem ik het liefst de z, zodat er geen verwarring kan ontstaan. We stellen nu:
ln(x) = z
De vergelijking wordt dan
(z + 6)z = −9
Los nu eerst deze vergelijking op, zodat je de waarde(n) van z kent. Dan ken je ook de waarde(n) van ln(x) = z en is het dus eenvoudig om x = ez te bepalen.
z2+6z=-9
z2+6z+9=0
(z+3)(z+3)=0
z=-3
ln(x)=-3
x=e-3
Klopt dat?
Onoverwinnelijk/Rotterdam/Zeerover
https://www.playgwent.com/en/ - Official beta of Gwent: The Witcher Gard Game
https://www.playgwent.com/en/ - Official beta of Gwent: The Witcher Gard Game
quote:Op woensdag 11 september 2013 17:34 schreef 2thmx het volgende:
Een kort vraagje, Stel, je hebt een kans op A, een kans op niet-A en binnen A heb je nog een kans op B. Kan je dan in zijn algemeenheid stellen dat geldt: P(A) * P(B|A) = P(B)?
Deze situatie dus.
Als ik bv. A op 1/2 stel en B op 1/10, dan klopt het m.i. (1/2 * (1/10 / 1/2) = 1/10).
[ Bericht 5% gewijzigd door 2thmx op 11-09-2013 18:12:37 ]
Voegt hoogtepunten toe aan jullie druilerige bestaan.
Dan begrijp je er dus nog niets van. Laten we eens een dobbelsteen bekijken en laten we zeggen dat P(A) de kans is op een even getal bij het werpen met de dobbelsteen. Dan is P(A) = 1/2. Hierbinnen heb je weer drie gelijkwaardige mogelijkheden, namelijk 2, 4 en 6. De kans P(B|A) op het werpen van een 6 als je al weet dat er een even getal is geworpen is dus 1/3. En inderdaad is de kans op het werpen van een zes P(B) = P(A) · P(B|A) = 1/2 · 1/3 = 1/6. Je kunt omgekeerd ook zeggen dat de kans op het werpen van een even getal als je al weet dat er een zes is geworpen gelijk is aan 100%, en inderdaad heb je P(A|B) = (P(B|A) · P(A))/P(B) = (1/3 · 1/2)/(1/6) = 1. Zie je het nu?quote:Op woensdag 11 september 2013 17:52 schreef 2thmx het volgende:
[..]
Daar bracht google mij ook inderdaad
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 11-09-2013 20:22:27 ]
Dat is correct. Je ziet dat het reuze meevalt!quote:Op woensdag 11 september 2013 17:59 schreef CapnIzzy het volgende:
[..]
Dus (z+6)z=-9
z2+6z=-9
z2+6z+9=0
(z+3)(z+3)=0
z=-3
ln(x)=-3
x=e-3
Klopt dat?
Dankquote:Op woensdag 11 september 2013 18:12 schreef Riparius het volgende:
[..]
Dan begrijp je er dus nog niets van. Laten we eens een dobbelsteen bekijken en laten we zeggen dat A de kans is op een even getal bij het werpen met de dobbelsteen. Dan is P(A) = 1/2. Hierbinnen heb je weer drie gelijkwaardige mogelijkheden, namelijk 2, 4 en 6. De kans P(B|A) op het werpen van een 6 als je al weet dat er een even getal is geworpen is dus 1/3. En inderdaad is de kans op het werpen van een zes P(B) = P(A) · P(B|A) = 1/2 · 1/3 = 1/6. Je kunt omgekeerd ook zeggen dat de kans op het werpen van een even getal als je al weet dat er een zes is geworpen gelijk is aan 100%, en inderdaad heb je P(A|B) = (P(B|A) · P(A))/P(B) = (1/3 · 1/2)/(1/6) = 1. Zie je het nu?
. Had al 't idee dat 't wel klopte, maar had even de bevestiging nodig van iemand met meer parate wiskundekennis 
.
Voegt hoogtepunten toe aan jullie druilerige bestaan.
Is waar, maar soms zie ik het even niet meer als er te veel in staat, reuze bedankt in ieder gevalquote:Op woensdag 11 september 2013 18:14 schreef Riparius het volgende:
[..]
Dat is correct. Je ziet dat het reuze meevalt!
Onoverwinnelijk/Rotterdam/Zeerover
https://www.playgwent.com/en/ - Official beta of Gwent: The Witcher Gard Game
https://www.playgwent.com/en/ - Official beta of Gwent: The Witcher Gard Game
Laat ik even beginnen met je laatste regel. Het is gegeven dat f continu is op het interval [0,1] en dat het bereik van f op het domein [0,1] ook [0,1] is. Zoals ik al aangegeven heb in mijn middelste stuk is het vrij eenvoudig in te zien dat f dan ook de lijn y=x snijdt, maar dat is uiteraard geen bewijs.quote:Op woensdag 11 september 2013 16:15 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee, dat mag je 'gewoon' niet zeggen. Hier neem je aan dat f(x) alle waarden op het interval [0,1] aanneemt, maar dat weten we helemaal niet. Je doet dus een gratuïte aanname. En verder klopt je gevolgtrekking niet: uit f(c) = k volgt niet dat er een waarde c = k bestaat, je 'en dus bestaat er ook ...' is een non sequitur. De tussenwaardestelling voor een continue functie f(x) op een interval [a,b] zegt dat als f(a) ≠ f(b) dat er dan voor een k tussen f(a) en f(b) een c op [a,b] bestaat waarvoor f(c) = k, niets meer en niets minder. De stelling garandeert niet dat er dan ook een c op [a,b] bestaat waarvoor f(c) = c, en het is evident dat dit in zijn algemeenheid ook niet zo hoeft te zijn, omdat f(a) en f(b), en dus ook alle tussenliggende waarden, helemaal niet op het interval [a,b] hoeven te liggen.
Je moet inderdaad de hint bij de opgave ter harte nemen en de tussenwaardestelling toepassen op g(x) = f(x) − x. Nu maar weer even zelf na gaan denken.
Ik begrijp dat f(x) natuurlijk niet noodzakelijkerwijs alle waarden aanneemt tussen 0 en 1 op het interval [0,1].
Maar laat ik dan maar naar de tussenwaardestelling gaan kijken voor g(x) = f(x) - x
0 ≤ f(x) ≤ 1 voor 0 ≤ x ≤ 1 (volgens mij impliceert dit niet dat f(x) en x rechtevenredig zijn met constante 1? Dat bedoel ik in ieder geval niet)
Moet ik dan nu het domein en bijbehorende bereik van g(x) bepalen? Ik 'denk' dat het bereik als volgt is:
-x ≤ f(x) - x ≤ x is equivalent met -x ≤ g(x) ≤ x
Maar op welk domein dit is zou ik zo niet weten Wellicht [-1, 0]. Of denk ik helemaal verkeerd?
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 11-09-2013 18:37:31 ]
Let op je taalgebruik. Als je zegt dat het bereik [0,1] is, dan worden ook alle waardes in [0,1] aangenomen. Je bedoelt dat het co-domein [0,1] is.quote:Op woensdag 11 september 2013 18:36 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Laat ik even beginnen met je laatste regel. Het is gegeven dat f continu is op het interval [0,1] en dat het bereik van f op het domein [0,1] ook [0,1] is. Zoals ik al aangegeven heb in mijn middelste stuk is het vrij eenvoudig in te zien dat f dan ook de lijn y=x snijdt, maar dat is uiteraard geen bewijs.
Ik begrijp dat f(x) natuurlijk niet noodzakelijkerwijs alle waarden aanneemt tussen 0 en 1 op het interval [0,1].
Maar laat ik dan maar naar de tussenwaardestelling gaan kijken voor g(x) = f(x) - x
0 ≤ f(x) ≤ 1 voor 0 ≤ x ≤ 1 (volgens mij impliceert dit niet dat f(x) en x rechtevenredig zijn met constante 1? Dat bedoel ik in ieder geval niet)
Moet ik dan nu het domein en bijbehorende bereik van g(x) bepalen? Ik 'denk' dat het bereik als volgt is:
-x ≤ f(x) - x ≤ x is equivalent met -x ≤ g(x) ≤ x
Maar op welk domein dit is zou ik zo niet weten Wellicht [-1, 0]. Of denk ik helemaal verkeerd?
Daarna is het allemaal nogal verwarrend wat je zegt. Ergens tussen de regels lees ik wel dat je het bereik van g wilt bepalen. Zoiets moet je wel doen inderdaad, alleen het hele bereik is niet belangrijk: het er vooral om of 0 bereikt wordt. Merk op dat 'er een c is zodat f(c)=c' equivalent is met 'er is een c zodat g(c)=0'.
Oh ja natuurlijk. Die term kende ik nog niet.quote:Op woensdag 11 september 2013 18:45 schreef thenxero het volgende:
[..]
Let op je taalgebruik. Als je zegt dat het bereik [0,1] is, dan worden ook alle waardes in [0,1] aangenomen. Je bedoelt dat het co-domein [0,1] is.
Daarna is het allemaal nogal verwarrend wat je zegt. Ergens tussen de regels lees ik wel dat je het bereik van g wilt bepalen. Zoiets moet je wel doen inderdaad, alleen het hele bereik is niet belangrijk: het er vooral om of 0 bereikt wordt. Merk op dat 'er een c is zodat f(c)=c' equivalent is met 'er is een c zodat g(c)=0'.
Ik kom er niet goed uit. Ik kan in een tekeningetje heel eenvoudig uitleggen dat het allemaal wel klopt (intuïtief), maar ik kan het formeel niet uitleggen. Uit je laatste zin volgt dat g(c) = 0 impliceert dat f(c) - c = 0 en dus f(c) = c.
Maar hoe laat ik zien dat g(x) = f(x) - x een nulpunt heeft binnen het domein waar de functie continu is.
[ Bericht 1% gewijzigd door #ANONIEM op 11-09-2013 18:54:14 ]
Nee, dat staat er om te beginnen al niet. Een citaat uit de opgave uit jouw post:quote:Op woensdag 11 september 2013 18:36 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Laat ik even beginnen met je laatste regel. Het is gegeven dat f continu is op het interval [0,1] en dat het bereik van f op het domein [0,1] ook [0,1] is. Zoals ik al aangegeven heb in mijn middelste stuk is het vrij eenvoudig in te zien dat f dan ook de lijn y=x snijdt, maar dat is uiteraard geen bewijs.
Suppose that f is continuous on the closed interval [0,1] and that 0 ≤ f(x) ≤ 1 for every x in [0,1]
Het bereik is de verzameling van alle functiewaarden die f(x) aanneemt op het interval [0,1] en die verzameling hoeft helemaal niet identiek te zijn met [0,1]. Je weet alleen dat f(x) voor 0 ≤ x ≤ 1 op het interval [0, 1] ligt, niet dat f(x) elke waarde op het interval [0, 1] ook aanneemt. Neem bijvoorbeeld f(x) = ½x + ¼, dan is f([0, 1]) = [¼, ¾] en dus niet [0, 1].
Juist, maar dat is dan in tegenspraak met wat je hierboven zegt over het bereik van de functie.quote:Ik begrijp dat f(x) natuurlijk niet noodzakelijkerwijs alle waarden aanneemt tussen 0 en 1 op het interval [0,1].
Juist. Het is echt heel eenvoudig maar ik heb eigenlijk geen zin om het voor te doen want daar leer je niets van. Denk er vanavond nog maar eens goed over na.quote:Maar laat ik dan maar naar de tussenwaardestelling gaan kijken voor g(x) = f(x) - x
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 11-09-2013 19:15:34 ]
Met de tussenwaardestelling dus. De oplossing is alleen leuk als je hem zelf vindt. Als je niet ziet wat je kan doen, helpt het soms om aan te nemen dat de stelling niet waar is. Misschien dat je dan een idee krijgt.quote:Op woensdag 11 september 2013 18:53 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Oh ja natuurlijk. Die term kende ik nog niet.
Ik kom er niet goed uit. Ik kan in een tekeningetje heel eenvoudig uitleggen dat het allemaal wel klopt (intuïtief), maar ik kan het formeel niet uitleggen. Uit je laatste zin volgt dat g(c) = 0 impliceert dat f(c) - c = 0 en dus f(c) = c.
Maar hoe laat ik zien dat g(x) = f(x) - x een nulpunt heeft binnen het domein waar de functie continu is.
Ik hoef het pas volgende week in te leveren, en ik heb ook al een college Verzamelingenleer dat ik nog eens rustig moet overdenken om de docent zijn geneuzel over transitieve afsluitingen enzulks te begrijpen.quote:Op woensdag 11 september 2013 18:58 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee, dat staat er om te beginnen al niet. Een citaat uit de opgave uit jouw post:
Suppose that f is continuous on the closed interval [0,1] and that 0 ≤ f(x) ≤ 1 for every x in [0,1]
Het bereik is de verzameling van alle functiewaarde die f(x) aanneemt op het interval [0,1] en die verzameling hoeft helemaal niet identiek te zijn met [0,1]. Je weet alleen dat f(x) voor 0 ≤ x ≤ 1 op het interval [0, 1] ligt, niet dat f(x) elke waarde op het interval [0, 1] ook aanneemt. Neem bijvoorbeeld f(x) = œx + Œ, dan is f([0, 1]) = [Œ, Ÿ] en dus niet [0, 1].
[..]
Juist, maar dat is dan in tegenspraak met wat je hierboven zegt over het bereik van de functie.
[..]
Juist. Het is echt heel eenvoudig maar ik heb eigenlijk geen zin om het voor te doen want daar leer je niets van. Denk er vanavond nog maar eens goed over na.
Is het domein van g(x) belangrijk? Ik heb al gezegd dat ik niet zo goed weet hoe ik het domein van g(x) afleidt uit het domein van f(x).quote:Op woensdag 11 september 2013 19:03 schreef thenxero het volgende:
[..]
Met de tussenwaardestelling dus. De oplossing is alleen leuk als je hem zelf vindt. Als je niet ziet wat je kan doen, helpt het soms om aan te nemen dat de stelling niet waar is. Misschien dat je dan een idee krijgt.
g(x):=f(x)-x, dus g(x) is alleen zinvol gedefinieerd voor x in [0,1], omdat anders f(x) (en dus g(x)) niet gedefinieerd is.quote:Op woensdag 11 september 2013 19:05 schreef Amoeba het volgende:
Is het domein van g(x) belangrijk? Ik heb al gezegd dat ik niet zo goed weet hoe ik het domein van g(x) afleidt uit het domein van f(x).
Ik kan mezelf wel voor m'n kop slaan.quote:Op woensdag 11 september 2013 19:08 schreef thenxero het volgende:
[..]
g(x):=f(x)-x, dus g(x) is alleen zinvol gedefinieerd voor x in [0,1], omdat anders f(x) niet gedefinieerd is.
g(x) = 0 is equivalent met f(x) - x = 0
Stel dat g(x) op het interval [0,1] nooit 0 is. Dan f(x) - x < 0 of f(x) - x > 0
dus f(x) < x of f(x) > x
stel dat x = 1, dan f(1) > 1 en dat is een contradictie.
stel x = 0 dan f(0) < 0 en ook dat is in tegenspraak met de gegevens in de vraagstelling. Dus er bestaat een punt c zodanig dat g(c) = 0, en dus f(c) - c = 0 en dus f(c) = c
Is dit juist?
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 11-09-2013 19:15:56 ]
Dat is correctquote:Op woensdag 11 september 2013 19:14 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Ik kan mezelf wel voor m'n kop slaan.
g(x) = 0 is equivalent met f(x) - x = 0
Stel dat g(x) op het interval [0,1] nooit 0 is. Dan f(x) - x < 0 of f(x) - x > 0
dus f(x) < x of f(x) > x
stel dat x = 1, dan f(1) > 1 en dat is een contradictie.
stel x = 0 dan f(0) < 0 en ook dat is in tegenspraak met de gegevens in de vraagstelling. Dus er bestaat een punt c zodanig dat g(c) = 0, en dus f(c) - c = 0 en dus f(c) = c
Is dit juist?
. Eigenlijk kan je het ook gewoon direct bewijzen (dus zonder bewijs uit het ongerijmde):
Als f(0)=0 of f(1)=1, dan ben je klaar. Dus neem aan dat f(0)>0 en f(1)<1. Dan geldt dus g(0)>0 en g(1)<0. Uit de tussenwaardestelling volgt dus dat er een c bestaat zodat g(c)=0, zoals gewenst.
g(c) = 0 toch?quote:Op woensdag 11 september 2013 19:26 schreef thenxero het volgende:
[..]
Dat is correct
Eigenlijk kan je het ook gewoon direct bewijzen (dus zonder bewijs uit het ongerijmde):
Als f(0)=0 of f(1)=1, dan ben je klaar. Dus neem aan dat f(0)>0 en f(1)<1. Dan geldt dus g(0)>0 en g(1)<0. Uit de tussenwaardestelling volgt dus dat er een c bestaat zodat g(c)=c, zoals gewenst.
Ja, ik begrijp het. Wat Riparius zegt; doodeenvoudig eigenlijk. Als je het maar snapt ja. Als..quote:Op woensdag 11 september 2013 19:30 schreef thenxero het volgende:
[..]
Uiteraard, g(c)=0 ofwel f(c)=c.
Goed, dan zal ik het de rest wel even op weg schoppen.
Het begin is altijd lastig. Als je wat routine hebt opgebouwd, schud je dit ook zo uit je mouw.quote:Op woensdag 11 september 2013 19:32 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Ja, ik begrijp het. Wat Riparius zegt; doodeenvoudig eigenlijk. Als je het maar snapt ja. Als..
Goed, dan zal ik het de rest wel even op weg schoppen.
Er zit een subtiele fout in je redenering. Je zegt dat als g(x) nooit de waarde 0 aanneemt op het interval [0,1] dat dan geldt f(x) - x < 0 of f(x) - x > 0 voor elke x ∈ [0,1]. Dit is uiteraard juist, maar je kunt hier geen tegenspraak uit afleiden, want dan kan volgens je eigen aanname ook f(1) < 1 zijn en f(0) > 0 zodat er geen tegenspraak is. Je bewijs is dus onjuist. Het directe bewijs met de tussenwaardestelling zoals thenxero dat aangeeft is uiteraard wel juist.quote:Op woensdag 11 september 2013 19:14 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Ik kan mezelf wel voor m'n kop slaan.
g(x) = 0 is equivalent met f(x) - x = 0
Stel dat g(x) op het interval [0,1] nooit 0 is. Dan f(x) - x < 0 of f(x) - x > 0
dus f(x) < x of f(x) > x
stel dat x = 1, dan f(1) > 1 en dat is een contradictie.
stel x = 0 dan f(0) < 0 en ook dat is in tegenspraak met de gegevens in de vraagstelling. Dus er bestaat een punt c zodanig dat g(c) = 0, en dus f(c) - c = 0 en dus f(c) = c
Is dit juist?
De tegenspraak leidt je dan af uit het feit dat zowel f(x)-x<0 voor een zekere x, als f(x)-x>0 voor een zekere x, waaruit het bestaan van een c volgt zodat f(c)-c=0. Ik ging er vanuit dat Amoeba hier doorhad dat hij de tussenwaardestelling gebruikte. Bedankt voor je toevoeging.quote:Op woensdag 11 september 2013 19:39 schreef Riparius het volgende:
[..]
Er zit een subtiele fout in je redenering. Je zegt dat als g(x) nooit de waarde 0 aanneemt op het interval [0,1] dat dan geldt f(x) - x < 0 of f(x) - x > 0 voor elke x ∈ [0,1]. Dit is uiteraard juist, maar je kunt hier geen tegenspraak uit afleiden, want dan kan volgens je eigen aanname ook f(1) < 1 zijn en f(0) > 0 zodat er geen tegenspraak is. Je bewijs is dus onjuist. Het directe bewijs met de tussenwaardestelling zoals thenxero dat aangeeft is uiteraard wel juist.
Dat is inderdaad de verborgen aanname. Als je hebt f(0) ≠ 0 en tevens f(1) ≠ 1 (omdat er anders niets meer te bewijzen is) dan is g(0) > 0 en g(1) < 0 en dan volgt het gestelde uit de tussenwaardestelling. Maar zoals Amoeba het hierboven opschrijft klopt het niet omdat de vermeende tegenspraken er dan niet zijn. Ik heb hem er via DM al op gewezen dat je niet ontkomt aan het gebruik van de tussenwaardestelling (of een stelling die daarmee equivalent is natuurlijk).quote:Op woensdag 11 september 2013 19:58 schreef thenxero het volgende:
[..]
De tegenspraak leidt je dan af uit het feit dat zowel f(x)-x<0 voor een zekere x, als f(x)-x>0 voor een zekere x, waaruit het bestaan van een c volgt zodat f(c)-c=0. Ik ging er vanuit dat Amoeba hier doorhad dat hij de tussenwaardestelling gebruikte. Bedankt voor je toevoeging.
Nee helaas.quote:Op woensdag 11 september 2013 19:58 schreef thenxero het volgende:
[..]
De tegenspraak leidt je dan af uit het feit dat zowel f(x)-x<0 voor een zekere x, als f(x)-x>0 voor een zekere x, waaruit het bestaan van een c volgt zodat f(c)-c=0. Ik ging er vanuit dat Amoeba hier doorhad dat hij de tussenwaardestelling gebruikte. Bedankt voor je toevoeging.
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 11-09-2013 20:11:14 ]
Goed. De tussenwaardestelling vergeet je nu nooit meer. Leuk opwarmertje voor de hoofdstelling van de algebra:quote:
Zij P(x) een polynoom in x van oneven graad met reële coëfficiënten. Bewijs dat P(x) tenminste één reëel nulpunt heeft.
Ik sloot net mijn spel (ter ontspanning) af om me weer te verdiepen in Calculus. FOK! stond nog open: Riparius heeft je gequote. Mijn jongenshart gloeide van vreugde toen ik het zag!quote:Op woensdag 11 september 2013 20:38 schreef Riparius het volgende:
[..]
Goed. De tussenwaardestelling vergeet je nu nooit meer. Leuk opwarmertje voor de hoofdstelling van de algebra:
Zij P(x) een polynoom in x van oneven graad met reële coëfficiënten. Bewijs dat P(x) tenminste één reëel nulpunt heeft.
Goed.
Ik ga hier eens over peinzen. Even pen en papier pakken. Dat zou betekenen dat x = a een nulpunt is met a ∈ ℝ
Wacht wacht
Ter verduidelijking. Zijn alle graden van x oneven of alleen de hoogste graad van x?
[ Bericht 3% gewijzigd door #ANONIEM op 11-09-2013 21:11:54 ]
Ik zou nu toch kunnen antwoorden dat complexe nulpunten in geconjugeerde paren voorkomen? Maar ik vermoed dat dit niet het antwoord is wat je wil krijgen.quote:Op woensdag 11 september 2013 20:38 schreef Riparius het volgende:
[..]
Goed. De tussenwaardestelling vergeet je nu nooit meer. Leuk opwarmertje voor de hoofdstelling van de algebra:
Zij P(x) een polynoom in x van oneven graad met reële coëfficiënten. Bewijs dat P(x) tenminste één reëel nulpunt heeft.
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
#NoDAPL
Dan moet je dus eerst bewijzen dat alle nulpunten complex zijn.quote:Op woensdag 11 september 2013 21:31 schreef Bram_van_Loon het volgende:
[..]
Ik zou nu toch kunnen antwoorden dat complexe nulpunten in geconjugeerde paren voorkomen? Maar ik vermoed dat dit niet het antwoord is wat je wil krijgen.
Of dat een n-degraads polynoom n oplossingen heeft (multipliciteit meegenomen), zodat er sowieso een even aantal complexe nulpunten zijn en dus minimaal één niet-complex nulpunt?quote:Op woensdag 11 september 2013 21:31 schreef Bram_van_Loon het volgende:
[..]
Ik zou nu toch kunnen antwoorden dat complexe nulpunten in geconjugeerde paren voorkomen? Maar ik vermoed dat dit niet het antwoord is wat je wil krijgen.
[ Bericht 8% gewijzigd door #ANONIEM op 11-09-2013 21:38:54 ]
Dat complexe nulpunten bij een polynoom met reële coëfficiënten altijd als geconjugeerde paren optreden is juist (en eenvoudig te bewijzen met wat elementaire rekenregels voor geconjugeerden), maar dan ga je ervan uit dat er nulpunten zijn. Wat nu wordt gevraagd is een existentiebewijs voor een reëel nulpunt van een polynoom van oneven graad met reële coëfficiënten.quote:Op woensdag 11 september 2013 21:31 schreef Bram_van_Loon het volgende:
[..]
Ik zou nu toch kunnen antwoorden dat complexe nulpunten in geconjugeerde paren voorkomen? Maar ik vermoed dat dit niet het antwoord is wat je wil krijgen.
Kan iemand een wiskundige verklaring geven waarom een vouw in een stuk papier altijd recht is? Ik kan mij herinneren dat mijn meetkundedocent hier eens een bewijs voor wilde hebben. Maar ik kan het mij niet meer herinneren.
kloep kloep
Twee vlakken in de euclidische driedimensionale ruimte die niet evenwijdig zijn hebben een rechte lijn gemeen. Dat is een postulaat uit de (klassieke) stereometrie, dus je zult je meetkundedocent niet kunnen verblijden met een (meetkundig) bewijs.quote:Op woensdag 11 september 2013 21:39 schreef Borizzz het volgende:
Kan iemand een wiskundige verklaring geven waarom een vouw in een stuk papier altijd recht is? Ik kan mij herinneren dat mijn meetkundedocent hier eens een bewijs voor wilde hebben. Maar ik kan het mij niet meer herinneren.
Zij P(x) een polynoom van de oneven graad met reële coëfficiënten. P(x) is continu op R.
zij P(x) = an•xn+an-1•xn-1+an-2•xn-2 .... +a0 met an, a0 ≠ 0 en n oneven.
lim(x -> ∞)(P(x)) = lim(x -> ∞)(anxn) = ∞ als an > 0 en -∞ als an < 0
lim(x -> -∞)(P(x)) = lim(x -> -∞)(anxn) = -∞ als an > 0 en ∞ als an < 0
Uit de tussenwaardestelling volgt dan dat er een waarde c bestaat zó dat P(c) = 0
Hmm?
[ Bericht 1% gewijzigd door #ANONIEM op 11-09-2013 22:16:35 ]
zij P(x) = an•xn+an-1•xn-1+an-2•xn-2 .... +a0 met an, a0 ≠ 0 en n oneven.
lim(x -> ∞)(P(x)) = lim(x -> ∞)(anxn) = ∞ als an > 0 en -∞ als an < 0
lim(x -> -∞)(P(x)) = lim(x -> -∞)(anxn) = -∞ als an > 0 en ∞ als an < 0
Uit de tussenwaardestelling volgt dan dat er een waarde c bestaat zó dat P(c) = 0
Hmm?
[ Bericht 1% gewijzigd door #ANONIEM op 11-09-2013 22:16:35 ]
Inderdaad, dat is eigenlijk basiskennis... toch had hij een meer praktisch iets kan ik mj herinneren. Over de structuur van het papier enzo. Maar klaarblijkelijk zat hij ons gewoon te dollenquote:Op woensdag 11 september 2013 22:01 schreef Riparius het volgende:
[..]
Twee vlakken in de euclidische driedimensionale ruimte die niet evenwijdig zijn hebben een rechte lijn gemeen. Dat is een postulaat uit de (klassieke) stereometrie, dus je zult je meetkundedocent niet kunnen verblijden met een (meetkundig) bewijs.
kloep kloep
Daar komt het op neer. Als |x| groot wordt dan krijgt de term anxn de overhand en omdat n oneven is is er dan een R > 0 zodanig dat het teken van anxn en daarmee van P(x) dan verschillend is voor x > R en voor x < −R zodat er een nulpunt op het interval [−R, R] ligt. Maar om dit echt netjes te bewijzen komt er nog iets meer bij kijken (haal de term anxn buiten haakjes en laat zien dat de uitdrukking binnen de haakjes positief is voor voldoend grote |x|).quote:Op woensdag 11 september 2013 22:09 schreef Amoeba het volgende:
Zij P(x) een polynoom van de oneven graad met reële coëfficiënten. P(x) is continu op R.
zij P(x) = an•xn+an•xn+an-2•xn-2 .... +a0 met an, a0 ≠ 0 en n oneven.
lim(x -> ∞)(P(x)) = lim(x -> ∞)(anxn) = ∞ als an > 0 en -∞ als an < 0
lim(x -> -∞)(P(x)) = lim(x -> -∞)(anxn) = -∞ als an > 0 en ∞ als an < 0
Uit de tussenwaardestelling volgt dan dat er een waarde c bestaat zó dat P(c) = 0
Hmm?
Goed, pffquote:Op woensdag 11 september 2013 22:26 schreef Riparius het volgende:
[..]
Daar komt het op neer. Als |x| groot wordt dan krijgt de term anxn de overhand en omdat n oneven is is er dan een R > 0 zodanig dat het teken van anxn en daarmee van P(x) dan verschillend is voor x > R en voor x < −R zodat er een nulpunt op het interval [−R, R] ligt. Maar om dit echt netjes te bewijzen komt er nog iets meer bij kijken (haal de term anxn buiten haakjes en laat zien dat de uitdrukking binnen de haakjes positief is voor voldoend grote |x|).
Zij P(x) een polynoom van de oneven graad met reële coëfficiënten. P(x) is continu op R.
zij P(x) = an•xn+an-1•xn-1+an-2•xn-2 .... +a0 met an, a0 ≠ 0 en n oneven.
Dan
an•xn+an-1•xn-1+an-2•xn-2 ...) = -a0
= an•xn(1+an-2•xn-2+an-3•xn-3 ....)/an = -a0
= an•xn(1+an-2•xn-2+an-3•xn-3 ....) = -a0 want een ai is een willekeurige constante.
Nu heb je het over de driehoeksongelijkheid, maar ik weet alleen wat dat meetkundig inhoudt. Hoe moet ik hier iets van een driehoeksongelijkheid in vinden?
Ons Calculusboek is Calculus: A Complete Course by Adams & Essex *8ste druk*
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 11-09-2013 22:45:28 ]
Als je de term anxn buiten haakjes haalt, dan heb jequote:Op woensdag 11 september 2013 22:41 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Goed, pff
Zij P(x) een polynoom van de oneven graad met reële coëfficiënten. P(x) is continu op R.
zij P(x) = an•xn+an-1•xn-1+an-2•xn-2 .... +a0 met an, a0 ≠ 0 en n oneven.
P(x) = anxn(1 + (an−1/an)x−1 + (an−2/an)x−2 + ... + (a1/an)x−(n−1) + (a0/an)x−n)
Nu moet je laten zien dat de uitdrukking tussen de haakjes positief is voor voldoend grote |x| en daarvoor heb je de driehoeksongelijkheid nodig.
De driehoeksongelijkheid ontleent haar naam uiteraard aan de meetkunde, maar je hebt ook betrekkingen tussen (de absolute waarden van) reële of complexe getallen die hiermee verband houden. Voor elk tweetal (reële of complexe) getallen a en b geldtquote:Nu heb je het over de driehoeksongelijkheid, maar ik weet alleen wat dat meetkundig inhoudt. Hoe moet ik hier iets van een driehoeksongelijkheid in vinden?
| a + b | ≤ | a | + | b |
Deze ongelijkheid kun je eenvoudig uitbreiden naar een willekeurig aantal termen, bijvoorbeeld
| a + b + c | ≤ | a | + | b | + | c |
Gebruik dit.
Dat vermoedde ik al. Dank voor de bevestiging.quote:Ons Calculusboek is Calculus: A Complete Course by Adams & Essex *8ste druk*
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 11-09-2013 23:39:54 ]
Is dit wat jij zoekt Amoeba?
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Schwarz_inequality
Edit: op het moment dat ik mijn reactie plaatste stond die van Riparius nog niet op mijn scherm.
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Schwarz_inequality
Edit: op het moment dat ik mijn reactie plaatste stond die van Riparius nog niet op mijn scherm.
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
#NoDAPL
Zie 'm niet.
EDIT: Ik zie hem wel!
Voor de liefhebbers;
[ Bericht 72% gewijzigd door jordyqwerty op 12-09-2013 00:00:21 ]
Je kunt teller en noemer van de breuk in het linkerlid van je vergelijking delen door 223. Wat krijg je dan?quote:
Klopt, het viel me een paar seconden voor je post inquote:Op woensdag 11 september 2013 23:57 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je kunt teller en noemer van de breuk in het linkerlid van je vergelijking delen door 223. Wat krijg je dan?
Ik heb echter wel nog een andere som waar ik niet uit kom.
Nog die factor verkeerd eruit gehaald ook. Slecht van me.
Enfin, beetje klaar mee nu. Morgen weer.
Breng alles wat onder de noemer staat is in één breuk (evenzo voor de teller) en maak dan gebruik van (a/b)/(c/d) = (a/b)*(d/c)
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 12-09-2013 00:18:26 ]
Enfin, beetje klaar mee nu. Morgen weer.
'quote:Op donderdag 12 september 2013 00:14 schreef jordyqwerty het volgende:
[..]
Klopt, het viel me een paar seconden voor je post in
Ik heb echter wel nog een andere som waar ik niet uit kom.
[ afbeelding ]
Breng alles wat onder de noemer staat is in één breuk (evenzo voor de teller) en maak dan gebruik van (a/b)/(c/d) = (a/b)*(d/c)
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 12-09-2013 00:18:26 ]
Je hebt gewoon op WolframAlpha gespiekt en komt zo tot het juiste antwoord, maar je weet niet hoe je het nu netjes moet doen?quote:Op donderdag 12 september 2013 00:46 schreef jordyqwerty het volgende:
[..]
Ik kijk morgen wel, ben veels te moe. Die + mag niet
