Vorige deel: [Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic
Post hier weer al je vragen, passies, trauma's en andere dingen die je uit je slaap houden met betrekking tot de wiskunde.
Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!
Links:
Opmaak:
Een uitleg over LaTeX-code kun je hier vinden
Wiskundig inhoudelijk:
OP
[ Bericht 3% gewijzigd door Iblis op 05-10-2009 16:22:21 ]
Prachtig 13 = (X + (X-3,3375)* 4/6) * 0,7
Iemand?
quote:Welke methodes ken je voor het oplossen van vergelijkingen?Op maandag 5 oktober 2009 18:15 schreef richbitch het volgende:
ff een opfrisser voor mij... Hoe los ik deze op:
13 = (X + (X-3,3375)* 4/6) * 0,7
Iemand?
Welke zou je daarvan hierbij kunnen gebruiken?
quote:gewoon de haakjes wegwerken? maar ben 't helemaal kwijt lolOp maandag 5 oktober 2009 18:23 schreef -J-D- het volgende:
[..]
Welke methodes ken je voor het oplossen van vergelijkingen?
Welke zou je daarvan hierbij kunnen gebruiken?
quote:Ik onderstreep telkens wat verandert:
ff een opfrisser voor mij... Hoe los ik deze op:
13 = (X + (X-3,3375)* 4/6) * 0,7
13 = (X + (X-3,3375)* 4/6) * 0,7
We vermenigvuldigen dus eerst die 4/6e met wat binnen de haakjes staat, dan krijgen we:
13 = (X + 4/6X - 2,225) * 0,7
Nu pakken we alles en vermenigvuldigen we dat met 0,7 (haakjes wegwerken dus):
13 = 0,7X + 0,7*4/6X - 0,7*2,225
Dat reken we even uit:
13 = 0,7X + 0,4667 X - 1,5575
De termen met X tellen we bij elkaar op:
13 = 1,1667X - 1,5575
En de 1,5575 naar de andere kant:
14,5575 = 1,16667X
En beide zijden door 1,16667 delen:
X = 12,4779.
quote:Ja en Derksen ook.
quote:Beste Iblis, volgens mij is mijn boek niet helemaal "allesdekkend". Als ik het hoofdstuk kansberekening doorneem. Kom ik alleen maar andere dingen tegen (Normale verdeling, standaardnormale verdeling, Overschrijdingskans, standaarddeviatie) Ik heb geen flauw idee van waar ik moet beginnen. Kun je me nog een paar hints gevenOp maandag 5 oktober 2009 11:32 schreef Iblis het volgende:
[..]
Eerst even een zeuropmerking: Je moet je wel vergewissen van onderlinge onafhankelijkheid. Je kunt je afvragen of dit realistisch is. Stel, er ligt ergens glas op de weg, of er zijn ergens nieuwe schelpen neergelegd, dan is het goed mogelijk dat een groepje dat daarlangs fietst buitenproportioneel getroffen wordt, terwijl een groepje dat daar niet langs fietst, in het geheel geen problemen heeft.
Om de vragen te kunnen beantwoorden moet je die onderlinge onafhankelijkheid wel aannemen – maar eigenlijk moet de vraagsteller dat expliciet vermelden, anders is er geen zinnig woord over te zeggen.
[..]
Ik geef niet direct het antwoord: Maar je moet dit als Bernoulli-pogingen zien. Dus je doet in feite 7 pogingen met een succeskans van 3%. Kun je dan zelf de uitdrukking vinden?
[..]
Ook deze is niet bijster lastig, maar denk aan de continuïteitscorrectie. Wat denk je dat de bijpassende normale verdeling is, en wat wil je dan precies weten? Kun je dat zelf al formuleren?
3^(2x-1) = 3^(-1,5)
en de volgende stap is dan:
2x-1 = -1,5
Nog een voorbeeldje:
2^(x-3) = 2^(3,5)
x-3 = 3,5
Is dit gewoon een regel, dat je als die 2 getallen waar de machten betrekking op hebben gelijk zijn, dat je ze tegen elkaar weg kunt strepen en dan de machten overhoudt?
quote:Ik zou zeggen, je moet die eerste echt als Bernoulli-poging zien, staat de binomiale verdeling er ook niet in? Als je boek niet ‘allesdekkend’ is, dan is het überhaupt raar dat je die vragen krijgt natuurlijk.
[..]
Beste Iblis, volgens mij is mijn boek niet helemaal "allesdekkend". Als ik het hoofdstuk kansberekening doorneem. Kom ik alleen maar andere dingen tegen (Normale verdeling, standaardnormale verdeling, Overschrijdingskans, standaarddeviatie) Ik heb geen flauw idee van waar ik moet beginnen. Kun je me nog een paar hints geven
Ik wil het dus wel uitleggen (doe ik eerst a), maar misschien zit je dan ook nodeloos werk te doen (en ik ook) en heeft het boek iets heel anders in gedachten (alhoewel ik niet precies zou weten wat).
quote:Noem het een regel, maar het is ook logisch:Op dinsdag 6 oktober 2009 14:58 schreef poesemuis het volgende:
Vraagje:
3^(2x-1) = 3^(-1,5)
en de volgende stap is dan:
2x-1 = -1,5
Nog een voorbeeldje:
2^(x-3) = 2^(3,5)
x-3 = 3,5
Is dit gewoon een regel, dat je als die 2 getallen waar de machten betrekking op hebben gelijk zijn, dat je ze tegen elkaar weg kunt strepen en dan de machten overhoudt?
a^x = a^y
(a^x) / (a^y) = 1
a^(x-y) = 1
x-y = 0
x = y
et voilà
quote:Nou, in feite is dit natuurlijk het gevolg van het gelijkheidsteken. Dat zegt: ‘wat links staat, is gelijk aan wat rechts staat’. Oké, dat is misschien een flinke ‘Duh’ waard, maar daar komt het op neer.
Vraagje:
3^(2x-1) = 3^(-1,5)
en de volgende stap is dan:
2x-1 = -1,5
Nog een voorbeeldje:
2^(x-3) = 2^(3,5)
x-3 = 3,5
Is dit gewoon een regel, dat je als die 2 getallen waar de machten betrekking op hebben gelijk zijn, dat je ze tegen elkaar weg kunt strepen en dan de machten overhoudt?
Dus links staat 3iets en rechts staat 3iets anders. Dit kan natuurlijk alleen gelijk zijn als inderdaad ‘iets = iets anders’. En dan kun je die ‘weg strepen’. (Formeel zou je kunnen zeggen dat je een logaritme neemt aan beide kanten).
Let wel op dat er dus écht iets als 2X = 2Y staat, 2X = 2Y + 2Z geeft natuurlijk niet X = Y + Z. Dit kun je nagaan: 24 = 23 + 23, maar natuurlijk 4 ≠ 3 + 3.
Let daar goed op.
quote:oja, ik snap het, dat 'dit kan alleen gelijk zijn als iets = iets anders' doet het hem. merci!Op dinsdag 6 oktober 2009 15:06 schreef Iblis het volgende:
[..]
Nou, in feite is dit natuurlijk het gevolg van het gelijkheidsteken. Dat zegt: ‘wat links staat, is gelijk aan wat rechts staat’. Oké, dat is misschien een flinke ‘Duh’ waard, maar daar komt het op neer.
Dus links staat 3iets en rechts staat 3iets anders. Dit kan natuurlijk alleen gelijk zijn als inderdaad ‘iets = iets anders’. En dan kun je die ‘weg strepen’. (Formeel zou je kunnen zeggen dat je een logaritme neemt aan beide kanten).
Let wel op dat er dus écht iets als 2X = 2Y staat, 2X = 2Y + 2Z geeft natuurlijk niet X = Y + Z. Dit kun je nagaan: 24 = 23 + 23, maar natuurlijk 4 ≠ 3 + 3.
Let daar goed op.
Stel nu dat de vraag is: Wat is de kans dat je na precies 5 keer gooien voor het eerst 6 gooit met een dobbelsteen? Dus niet eerder, en ook niet later. Daarvoor moet je dus eerst 4 keer iets anders gooien, en daarna één keer 6, dus dit geeft (5/6)4·(1/6) ≈ 8%. Dit is vrij intuïtief denk ik. Ook de algemene formule voor de kans dat iets na n pogingen gebeurt (en daarvoor niet), is dan vrij logisch:
Eerst n - 1 keer niet, dan 1 keer wel. maar dat is eigenlijk niet waar we doorgaans heel erg op zitten te wachten. Wat we ons meer afvragen is, áls ik het nou 10 keer doe, wat is dan de kans dat ik b.v. 1 keer een 6 gooi? Dan kun je dus of de eerste keer zes gooien, of de tweede keer, of de derde keer. Merk op dat de formule voor elk van die gevallen in feite gelijk is:
Eerste keer:
Tweede keer:
Derde keer:
Maar goed, omdat de volgorde bij vermenigvuldiging niet uitmaakt is dat allemaal gelijk, in feite krijg je (neem aan dat X de stochast is) dus:
Wat nu als je je afvraagt wat de kans is dat je twee keer 6 gooit in 10 pogingen? Dat wordt al irritanter, want het zou poging 1 en 2 kunnen zijn, poging 1 en 3, 1 en 4, enz. Hoe dan ook, voor elk van die pogingen zou gelden dat de kans erop is:
Ga maar na. Nu moeten we alleen bedenken hoe we op het juiste aantal kunnen komen. Hier hebben we gelukkig combinaties voor, de aangewezen uitdrukking is:
Dus:
geeft het aantal manieren om 2 plekken uit 10 plekken aan te wijzen. Ik neem aan dat je dat ergens bekend voorkomt. Deze twee ideeën zijn echter te combineren tot de kansdichtheidfunctie voor de binomiaalverdeling, zeg dat je n pogingen doet, de kans dat er daarvan k succesvol zijn:
Nu weer terug naar je fietsers: Je hebt 7 fietsers, die kun je zien als 7 pogingen, de vraag is dan: Wat is de kans dat van de 7 pogingen er precies eentje ‘succes’ heeft (d.w.z. een lekke band). Dat zou je nu hopelijk moeten kunnen beantwoorden.
quote:Hoe bedoel je dat? Ze worden niet goed weergegeven? Kun je evt. een screenshot plaatsen?
quote:Bij mij niet (IE 8.0.7100, windows 7).Op dinsdag 6 oktober 2009 19:44 schreef Iblis het volgende:
Ik bedenk me: die openmath geeft transparent PNG’s, doen die misschien moeilijk in Internet Explorer?
quote:Ik vermoed dat je IE6 gebruikt als browser. Als je die nu nog gebruikt dan verdien je ook niet beter. De veronderstelling van Iblis hierboven is juist. Stap eindelijk eens over op een modernere browser.Op dinsdag 6 oktober 2009 15:54 schreef Thije het volgende:
Bedankt, al zijn je "figuren" erg vaag.
Suppose a 3x5 matrix A has three pivot columns.
Is Col A = R^3?
Antw: (van mij): Ja want het is span (dus pivot in elke rij)
Is Nul(A) = R^2
Antw: En deze snap ik dus niet helemaal. Het boek zegt nee , omdat Nul (a) een subspace is van R^5. Kan iemand mij dit uitleggen?
Ja want de basis voor ColA bestaat uit drie lineair onafhankelijke vectoren. Drie lin.onafh. vectoren in R^3 spannen R^3 op.
NulA zijn de vectoren x waarvoor Ax=0. Omdat A een 3x5 matrix is, is x een vector van lengte vijf. In R^2 zitten alleen vectoren van lengte 2. Wel geldt dimNulA = 2.
Voorbeeld:
5x5 matrix: heeft 1 pivot kolom. Dus spant R^1 en dimcol(A)= 1
Nul(A) heeft dimnul(A) = 4 , maar is dus subspace van R^5 en is dus nooit R^4
Ja, net als dat ColA een subspace is van R^m (A mxn matrix). Je R^1 is dus fout.
Nog één vraag: Stel ik heb een matrix die 3x5 is en met 2 pivotkolommen. Betekent dus:
dimcol(A) = 2
dimNul(A) = 3
Mijn Col(A) is dus dan R^3? terwijl ik maar twee lineair onafhankelijke vectoren heb. Of moet ik dan zeggen: Col(A) is een subspace van R^3 met dimcol(A) = 3 .
Ik zit dus eigenlijk met dat woordje subspace te kloten ook
Col(A) is een subspace van R^3 met dimcol(A) = 2 (niet 3)
(tikfoutje met die dimcol daarnet, goed dat je het zag! foutjes zijn snel gemaakt met lin alg.
)In z’n algemeenheid kunnen deelruimtes echter veel grilliger zijn.
[ Bericht 2% gewijzigd door Iblis op 07-10-2009 21:38:06 ]
quote:Is dat zo? R is het grondlichaam, dus mag ik pi pakken als scalair.Op woensdag 7 oktober 2009 21:28 schreef Iblis het volgende:
In z’n algemeenheid kunnen deelruimtes echter veel grilliger zijn. B.v. de rationale getallen ℚ kun je ook als een deelruimte van de reële getallen ℝ zien.
quote:Daar heb jij gelijk in, ik had ook expres niet ‘lineaire deelruimte’ gezegd. Maar ik had eigenlijk even moeten nadenken over een beter voorbeeld.
Is dat zo? R is het grondlichaam, dus mag ik pi pakken als scalair.
Nu is het alleen maar meer verwarrend terwijl het meer behulpzaam had moeten zijn.
tvp
Zodanig dat:
Dus dan heffen primitieve en afgeleide elkaar in feite op.
Ik zou dit graag willen kunnen bewijzen door de Fourier integraal op te lossen maar ik kom er niet uit?
quote:Volgens mij is het niet zo zeer elegant, als wel een definitiekwestie. De diracfunctie (die natuurlijk eigenlijk geen functie is) heeft als eigenschap dat:Op zaterdag 10 oktober 2009 00:46 schreef Maverick_tfd het volgende:
Kan iemand mij vertellen waarom de Fourier transformatie van een constante K gelijk is aan 2*pi*K*delta(omega)? Ik heb het op verschillende plekken op proberen te zoeken maar ik krijg alleen de - onbevredigende - verklaring dat de inverse Fourier transformatie van 2*pi*K*delta(omega) gelijk is aan K.
Ik zou dit graag willen kunnen bewijzen door de Fourier integraal op te lossen maar ik kom er niet uit?
Nu is die functie altijd een beetje mysterieus voor mij geweest, daar ligt duidelijk niet mijn sterkste punt. Maar ik heb het gevoel dat het daarom met name is. Ik kan me voorstellen dat het op een bepaalde manier wel logisch en intuïtief is om juist dat te definiëren, m.a.w. er zal wel een goede reden voor te geven zijn, maar ik denk dat je uiteindelijk toch op een ‘per definitie’ uitkomt. Maar dat is echt een beetje een gis.
quote:Dat gevoel had ik intuitief gezien ook al ja. Maar eigenlijk vind ik het maar vreemd, je definieerd als het ware de waarde van een integraal van -inf tot inf van een complexe e-macht. Met andere woorden geef je een soort betekenis aan de waarde van sin of cos in inf? Daar zet ik echt mn vraagtekens bij. Ik snap dat het vanuit de definitie van de delta puls (samen met de inverse fourier transformatie) volgt, maar stel je eigenlijk niet iets raars, integraal van -inf tot inf van een sin of cos heeft een bepaalde waarde?Op zaterdag 10 oktober 2009 01:08 schreef Iblis het volgende:
[..]
Volgens mij is het niet zo zeer elegant, als wel een definitiekwestie. De diracfunctie (die natuurlijk eigenlijk geen functie is) heeft als eigenschap dat:
[ afbeelding ]
Nu is die functie altijd een beetje mysterieus voor mij geweest, daar ligt duidelijk niet mijn sterkste punt. Maar ik heb het gevoel dat het daarom met name is. Ik kan me voorstellen dat het op een bepaalde manier wel logisch en intuïtief is om juist dat te definiëren, m.a.w. er zal wel een goede reden voor te geven zijn, maar ik denk dat je uiteindelijk toch op een ‘per definitie’ uitkomt. Maar dat is echt een beetje een gis.
quote:In die krochten van de analyse laat m’n intuïtie me altijd een beetje in de steek, dus ik kan je daar niet heel veel mee verder helpen.
[..]
Dat gevoel had ik intuitief gezien ook al ja. Maar eigenlijk vind ik het maar vreemd, je definieerd als het ware de waarde van een integraal van -inf tot inf van een complexe e-macht. Met andere woorden geef je een soort betekenis aan de waarde van sin of cos in inf? Daar zet ik echt mn vraagtekens bij. Ik snap dat het vanuit de definitie van de delta puls (samen met de inverse fourier transformatie) volgt, maar stel je eigenlijk niet iets raars, integraal van -inf tot inf van een sin of cos heeft een bepaalde waarde?
Heb je het Wikipedia artikel over de Dirac delta function al gelezen? Daar staan ook de nodige opmerkingen in over de relatie m.b.t Fourier. Een fijne intuïtieve verklaring heb ik echter niet paraat.
quote:Nee, op zich niet. Sinus en cosinus zijn gewoon periodiek en gedefinieerd voor alle waarden van ℝ, maar alleen op de intervallen die jij noemt is hun inverse gedefinieerd. Dus arcsin levert altijd een waarde tussen -½π en ½π. Voor -½π ≤ x ≤ ½π geldt daarom: als y = sin x, dan x = arcsin y.
Ik weet niet of het helpt, maar ik dacht altijd dat een sinx begrenst is tussen 1/2pi en -1/2pi en cosx tussen 0 en pi en tanx 1/2pi en -1/2 pi , zodat ze injectief zijn.
En analoog voor de andere functie. Maar dat betekent niet dat sin(100) onzinnig is, die is prima gedefinieerd, alleen er geldt arcsin(sin(100)) ≠ 100 omdat 100 niet in het juiste interval ligt.
[ Bericht 0% gewijzigd door Iblis op 10-10-2009 12:00:46 (- - = + o|O) ]
quote:Om dit soort vragen op te lossen moet je ten eerste weten hoe delta formeel gedefinieerd is en hoe je een integraal van een functie kunt zien als distributie (immers convergeert de integraal niet voor omega=0).Op zaterdag 10 oktober 2009 01:06 schreef Maverick_tfd het volgende:
Kan iemand mij vertellen waarom de Fourier transformatie van een constante K gelijk is aan [ afbeelding ]? Ik heb het op verschillende plekken op proberen te zoeken maar ik krijg alleen de - onbevredigende - verklaring dat de inverse Fourier transformatie van [ afbeelding ] gelijk is aan K.
Ik zou dit graag willen kunnen bewijzen door de Fourier integraal op te lossen maar ik kom er niet uit?
Als T een functie is, gedefinieerd op R en 0 buiten een interval [a,b], dan is de integraal van delta(x)T(x) gelijk aan T(0) . Dat is per definitie zo en dit is dus ook hetgene dat je moet verifieren om die Fourier-transformatie na te gaan. De integraal is hier niets meer dan een formele notatie om aan een functie T(x) een getal te koppelen. De meest directe manier om dit na te gaan is inderdaad die inverse Fouriertransformatie toepassen.
Ket kan misschien ook zo: de integraal van F(K)*T is gelijk aan de integraal van K*F(T), waarbij T een willekeurige functie die snel genoeg naar 0 gaat op oneindig, en F Fouriertransformatie aangeeft. Maar dat komt natuurlijk op hetzelfde neer.
Direct een integraal uitrekenen werkt in dit geval niet zo goed, want dat ding convergeert natuurlijk voor geen meter. Hoe dan ook, je zal een formele definitie moeten toepassen en die komt neer op het nagaan van bepaalde integralen.
quote:Jep klopt. Was alleen, omdat wij dit op de uni hanteren momenteel. Omdat het injectief moet zijn ^^Op zaterdag 10 oktober 2009 11:37 schreef Iblis het volgende:
[..]
Nee, op zich niet. Sinus en cosinus zijn gewoon periodiek en gedefinieerd voor alle waarden van ℝ, maar alleen op de intervallen die jij noemt is hun inverse gedefinieerd. Dus arcsin levert altijd een waarde tussen -½π en ½π. Voor -½π ≤ x ≤ ½π geldt daarom: als y = sin x, dan x = arcsin y.
En analoog voor de andere functie. Maar dat betekent niet dat sin(100) onzinnig is, die is prima gedefinieerd, alleen er geldt arcsin(sin(100)) ≠ 100 omdat 100 niet in het juiste interval ligt.
Het gaat om c, mijn uitwerking:
(En als het zo moet; is dan die laatste matrix (211-121-112) het antwoord?)
g(x)= x^(1/3) - x^(-2/3)
Nu heb ik het al gediffrentieerd: g'(x)= 1/3x^(-2/3) + 2/3x^(-5/3)
Tot nu toe makkelijk natuurlijk. Aangezien een "kritisch" nummer een nummer c in het domein van f, zodat f '(c)= 0 óf dat f ' (c) niet bestaat is moet het herschreven worden?
De uitwerking toont na het differntieren opeens een omschrijving. Zelf twijfel ik sterk of het een omschrijving is, of dat er op een of andere manier de stelling van Fermant wordt gebruikt.
Uitwerking: g'(x)= 1/3x^(-2/3) + 2/3x^(-5/3) ==> 1/3x^(-5/3) * (x+2) ==> (x+2) / 3x^(5/3)
Hoe komen ze nou op (x+2) ??
Daarna is het natuurlijk makkelijk. Critical number is -2 (0 kan het niet zijn door gedeeld etc.).
quote:c is juist, de laatste matrix is precies de omgekeerde bewerking en dat is niet zomaar transponeren.
Ik twijfel heel erg of ik deze som goed doe:
[ afbeelding ]
Het gaat om c, mijn uitwerking:
[ afbeelding ]
(En als het zo moet; is dan die laatste matrix (211-121-112) het antwoord?)
quote:0 kan het niet zijn omdat 0 niet in het domein van f zit.
Find the critical number of the function:
g(x)= x^(1/3) - x^(-2/3)
Nu heb ik het al gediffrentieerd: g'(x)= 1/3x^(-2/3) + 2/3x^(-5/3)
Tot nu toe makkelijk natuurlijk. Aangezien een "kritisch" nummer een nummer c in het domein van f, zodat f '(c)= 0 óf dat f ' (c) niet bestaat is moet het herschreven worden?
De uitwerking toont na het differntieren opeens een omschrijving. Zelf twijfel ik sterk of het een omschrijving is, of dat er op een of andere manier de stelling van Fermant wordt gebruikt.
Uitwerking: g'(x)= 1/3x^(-2/3) + 2/3x^(-5/3) ==> 1/3x^(-5/3) * (x+2) ==> (x+2) / 3x^(5/3)
Hoe komen ze nou op (x+2) ??
Daarna is het natuurlijk makkelijk. Critical number is -2 (0 kan het niet zijn door gedeeld etc.).
Wat ze doen is in beide breuken de noemer op x^(-5/3) zetten en dan de noemer buiten haakjes halen.
quote:M.a.w. je hebt:
Zou jij de omschrijving voor mij in stappen willen doen. Ik kan het maar niet zien. Ben ff niet in mijn wiskunde mojo.
Vermenigvuldig die linker term met x/x:
En haal die 3x-5/3 buiten haakjes:
= 1/(3x^(-2/3)) + 2/(3x^(5/3))
= x/(3x^(5/3)) + 2/(3x^(5/3))
= (x+2) / (3x^(5/3))
quote:Super! Die eerste stap wou me gewoon niet lukken steeds. Ff met markeerstift en nu kan ik het voor altijd. Thx man.Op zondag 11 oktober 2009 16:54 schreef Iblis het volgende:
[..]
M.a.w. je hebt:
[ afbeelding ]
Vermenigvuldig die linker term met x/x:
[ afbeelding ]
En haal die 3x-5/3 buiten haakjes:
[ afbeelding ]
quote:Tja, als je twee breuken wil optellen (of aftrekken) moet je ze gelijknamig maken. Dat heeft de juf op school mij geloof ik verteld toen ik 8 was of zo.Op zondag 11 oktober 2009 17:05 schreef Burakius het volgende:
[..]
Super! Die eerste stap wou me gewoon niet lukken steeds.
quote:Wat bedoel je met dat dat omgekeerde bewerking is?Op zondag 11 oktober 2009 16:43 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
c is juist, de laatste matrix is precies de omgekeerde bewerking en dat is niet zomaar transponeren.
[..]
quote:Als je van e naar b wilt, is dat precies de omgekeerde bewerking van als je van b naar e wilt.
[..]
Wat bedoel je met dat dat omgekeerde bewerking is?
quote:Serieus? Ik wou dat ik zo slim was als jij!Op zondag 11 oktober 2009 17:37 schreef Riparius het volgende:
[..]
Tja, als je twee breuken wil optellen (of aftrekken) moet je ze gelijknamig maken. Dat heeft de juf op school mij geloof ik verteld toen ik 8 was of zo.
quote:Oh, ja, oké. MerciOp zondag 11 oktober 2009 18:09 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
Als je van e naar b wilt, is dat precies de omgekeerde bewerking van als je van b naar e wilt.
Gegeven de matrix
Bepaal een basis voor de kern van A:
Met rijvegen krijg ik
Dus: a1=5p-7q,
a2=4p-6q
a3=p
a4=3q
a5=q
De basis is dan
Of mag ik dit ook als één 2x5-matrix noteren?
Bepaal een selectie van kolommen van A die een basis vormt voor het bereik van A
Eigenlijk loop ik hier pas vast. Normaal (met maar één variabele in de kern) kan je gelijk zien welke van elkaar afhankelijk zijn en welke niet. Nu zie ik dat echt niet. In ieder geval zijn a4 en a5 van elkaar afhankelijk lijkt me, dus hoef ik maar één van beiden in de basis voor het bereik te stoppen. Van de andere drie kolommen weet ik het niet.
[ Bericht 0% gewijzigd door Hanneke12345 op 11-10-2009 20:32:00 ]
Alleen wil ik het niet zomaar aannemen. Met "=" bedoel ik "komt overeen met".
Het is a -1=a(phi m)-1 mod (m) en dit zou volgen uit de stelling van Euler:
aphi(m) =1(mod m).
Mijn vraag is nu hoe deze eigenschap volgt uit Euler.
quote:Moet je hier wel rijvegen? De matrix is al in gereduceerde echelonvorm zoals ik het zie...Op zondag 11 oktober 2009 20:15 schreef Hanneke12345 het volgende:
Nog één trouwens:
Gegeven de matrix
[ afbeelding ]
Bepaal een basis voor de kern van A:
Met rijvegen krijg ik [ afbeelding ]
Dus: a1=5p-7q,
a2=4p-6q
a3=p
a4=3q
a5=q
De basis is dan
[ afbeelding ]
Of mag ik dit ook als één 2x5-matrix noteren?
Bepaal een selectie van kolommen van A die een basis vormt voor het bereik van A
Eigenlijk loop ik hier pas vast. Normaal (met maar één variabele in de kern) kan je gelijk zien welke van elkaar afhankelijk zijn en welke niet. Nu zie ik dat echt niet. In ieder geval zijn a4 en a5 van elkaar afhankelijk lijkt me, dus hoef ik maar één van beiden in de basis voor het bereik te stoppen. Van de andere drie kolommen weet ik het niet.
quote:Ja, zie de eerste kolom. Nu is het vegen nog niet voltooid, zie de vierde kolom.
[..]
Moet je hier wel rijvegen? De matrix is al in gereduceerde echelonvorm zoals ik het zie...
De basis bestaat uit vectoren, niet uit een matrix.
quote:delen door a
Bij de stelling van Euler wordt ineens een 'handige' manier om inversen (mod m) te berekenen. Dit gebruik ik o.a. voor de chinese reststelling.
Alleen wil ik het niet zomaar aannemen. Met "=" bedoel ik "komt overeen met".
Het is a -1=a(phi m)-1 mod (m) en dit zou volgen uit de stelling van Euler:
aphi(m) =1(mod m).
Mijn vraag is nu hoe deze eigenschap volgt uit Euler.
quote:Vermenigvuldig nu eens beide kanten met a.
Bij de stelling van Euler wordt ineens een 'handige' manier om inversen (mod m) te berekenen. Dit gebruik ik o.a. voor de chinese reststelling.
Alleen wil ik het niet zomaar aannemen. Met "=" bedoel ik "komt overeen met".
Het is a -1=a(phi m)-1 mod (m) en dit zou
quote:Ojah over het hoofd gezien. Maar dan moet ze toch sowieso dimcol(a)= 3 hebben? Dus 3 van die onafhankelijke vectoren tussen de accolades. Omdat er dus 3 pivotkolommen zijn.Op zondag 11 oktober 2009 20:27 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
Ja, zie de eerste kolom. Nu is het vegen nog niet voltooid, zie de vierde kolom.
De basis bestaat uit vectoren, niet uit een matrix.
edit: Ik denk dat dit niet is wat ik nu heb op school
daar wordt gevraagd bepaal basis van matrix A en dan krijg je als antwoord col(a) = en nul(a) = etc. Dit is hier niet het geval ofzo? De "kern van een basis" is iets anders???quote:juist; hier (R^3) weet je dus dat de eenheidsvectoren een basis vormen. Normaal pak je de kolommen van A die een pivot hebben in de gereduceerde A.
[..]
Ojah over het hoofd gezien. Maar dan moet ze toch sowieso dimcol(a)= 3 hebben? Dus 3 van die onafhankelijke vectoren tussen de accolades. Omdat er dus 3 pivotkolommen zijn.
quote:Zucht. Dat ik dat niet zag....Op zondag 11 oktober 2009 20:30 schreef Iblis het volgende:
[..]
Vermenigvuldig nu eens beide kanten met a.
quote:Hier ook voor je nulruimte omdat er 3 vrije variabelen zijn.
Drie vectoren geldt toch alleen voor het bereik?
nulruimte heeft dimensie 2.dimcol(a) =3
Je hebt oneindig veel vectoren in col(a) (door die vrije variabele).
Col(a) is een deelruimte van R^3
Nul(a) is een deelruimte van R^5
quote:Dit is geen handige manier want hiervoor moet je de priemfactorisatie van m kennen. Het algoritme van Euclides is handiger om te gebruiken.Op zondag 11 oktober 2009 20:18 schreef Borizzz het volgende:
Bij de stelling van Euler wordt ineens een 'handige' manier om inversen (mod m) te berekenen. Dit gebruik ik o.a. voor de chinese reststelling.
Alleen wil ik het niet zomaar aannemen. Met "=" bedoel ik "komt overeen met".
Het is a -1=a(phi m)-1 mod (m) en dit zou volgen uit de stelling van Euler:
aphi(m) =1(mod m).
Mijn vraag is nu hoe deze eigenschap volgt uit Euler.
1. Ik heb
Ik wil van deze allebei een matrix maken, maar weet niet precies hoe dat moet. "iets met de standaardmatrix", maar waar ik precies wat in moet vullen weet ik niet.
2.
Bewijs dat s,c en e lineair onafhankelijk zijn.
Dus laten zien dat: als a1sin(x)+a2cos(x)+a3=0 dat dan a1,2,3=0. Ik zat te denken om a2cos(x) te schrijven als a2sin(x+0,5pi)=a2sin(0,5pi)sin(x). Ik ben van plan er morgen in de trein nog even verder naar te kijken, maar kom ik er op deze manier of moet het heel anders?
quote:Om daar "een matrix van te maken" moet je toch echt wat meer context geven, want zoals het hier staat is het flauwekul om ergens een matrix van te kunnen maken. Wat moet de matrix representeren bijvoorbeeld?Op maandag 12 oktober 2009 00:44 schreef Hanneke12345 het volgende:
Nog twee korte vragen
1. Ik heb
[ afbeelding ]
Ik wil van deze allebei een matrix maken, maar weet niet precies hoe dat moet. "iets met de standaardmatrix", maar waar ik precies wat in moet vullen weet ik niet.
quote:Dat vetgedrukte zou suggereren dat cos(x) gelijk is aan sin(x), dat is natuurlijk niet waar. In het algemeen is het niet zo belangrijk om formules uit je hoofd te leren, het gaat er bij wiskunde vooral om dat je het begrijpt; ik denk alleen wel dat de optelformules voor sinus en cosinus een uitzondering op deze regel vormen.Op maandag 12 oktober 2009 00:44 schreef Hanneke12345 het volgende:
2.
[ afbeelding ]
Bewijs dat s,c en e lineair onafhankelijk zijn.
Dus laten zien dat: als a1sin(x)+a2cos(x)+a3=0 dat dan a1,2,3=0. Ik zat te denken om a2cos(x) te schrijven als a2sin(x+0,5pi)=a2sin(0,5pi)sin(x). Ik ben van plan er morgen in de trein nog even verder naar te kijken, maar kom ik er op deze manier of moet het heel anders?
Over de aanpak van het probleem: ik zou gewoon wat waarden voor x invullen waaruit blijkt dat de functies linear onafhankelijk zijn.
quote:Daar ben ik het wel mee eens hoor, maar als m klein is of priem dan is dit gewoon sneller.Op maandag 12 oktober 2009 00:41 schreef thabit het volgende:
[..]
Dit is geen handige manier want hiervoor moet je de priemfactorisatie van m kennen. Het algoritme van Euclides is handiger om te gebruiken.
quote:Hoe slim ik wel of niet ben daar matig ik me geen oordeel over aan, maar het is toch echt zo dat je vroeger op de lagere school in de derde klas met breuken begon. En ja, toen was ik 8, net als de andere kinderen in mijn klas. Het rekenonderwijs holt al decennia lang achteruit, google er maar eens naar om te zien hoe dat vroeger was.Op zondag 11 oktober 2009 18:18 schreef Burakius het volgende:
[..]
Serieus? Ik wou dat ik zo slim was als jij!
quote:Luister, ik heb nou eenmaal geen olifantengeheugen. Ik ben niet een gozer die formules altijd kan onthouden. Ik moet het even weer herhalen. En vandaar dat ik nu dus vanalles en nogwat herhaal en regelmatig "Oja" zeg. Net zoals bij de som die ik heb voorgelegd hierOp dinsdag 13 oktober 2009 17:41 schreef Riparius het volgende:
[..]
Hoe slim ik wel of niet ben daar matig ik me geen oordeel over aan, maar het is toch echt zo dat je vroeger op de lagere school in de derde klas met breuken begon. En ja, toen was ik 8, net als de andere kinderen in mijn klas. Het rekenonderwijs holt al decennia lang achteruit, google er maar eens naar om te zien hoe dat vroeger was.
. En als jij dan komt met zo een opmerking, dan getuigt dat voor mij van een hoge eigendunk. En als er iets is waar ik niet tegen kan. .....
quote:Het gaat helemaal niet om het onthouden (en vervolgens mechanisch toepassen) van allerlei formules, maar om inzicht. Dat is precies wat Thabit hierboven in een ander verband ook opmerkt. En als je goed (basis)rekenonderwijs had genoten had je dat inzicht ook gehad. Dat is geen kwestie van een olifantengeheugen. Vergelijk het maar met fietsen, dat hoef je ook niet opnieuw te leren zelfs als je het jaren niet hebt gedaan.Op dinsdag 13 oktober 2009 20:07 schreef Burakius het volgende:
[..]
Luister, ik heb nou eenmaal geen olifantengeheugen. Ik ben niet een gozer die formules altijd kan onthouden. Ik moet het even weer herhalen. En vandaar dat ik nu dus vanalles en nogwat herhaal en regelmatig "Oja" zeg. Net zoals bij de som die ik heb voorgelegd hier
quote:Mijn oorspronkelijke opmerking had niet zozeer betrekking op jou zelf of mij zelf, maar op de deplorabele stand van zaken in het (elementaire) onderwijs, die kennelijk leidt tot een dramatisch gebrek aan inzicht ook waar het eenvoudige algebra betreft.En als jij dan komt met zo een opmerking, dan getuigt dat voor mij van een hoge eigendunk. En als er iets is waar ik niet tegen kan. .....
quote:je bent bezig met matrix toestanden maar een som waarbij je op dezelfde manier als waarop je 1/2 en 1/4 bij elkaar optelt kom je er niet uit. Dat getuigd inderdaad niet van heel veel inzicht.. dus waarom reageer je gelijk alsof het een aanval is ofzo.. hij heeft je toch op een heel normale manier geholpen verder.Op dinsdag 13 oktober 2009 21:48 schreef Burakius het volgende:
Net alsof ik gebrek aan inzicht heb. Ja het wiskunde zal niet meer geweest zijn wat het is, maar ik heb het retedruk en heb het al jaren niet gehad. Ik moet toch weer leren fietsen hoor..
quote:Ja dat is de 1ste (zo bedoelde ik em). Dat is iig hoe ik deze zou doen.Op dinsdag 13 oktober 2009 23:15 schreef GlowMouse het volgende:
Je vergeet de 0.5+0.25=0.75=3/4 manier.
oo / oo
Wordt het antwoord normaliter gewoon gedefenieerd als 'kan niet'? Het 'echte' 'antwoord' zou immers kunnen varieren van -oo, tot 1, tot oo. Wat is eigenlijk een gebruikelijke oplossing in de wiskunde?
(met oo bedoel ik overigens oneindig)
quote:Doorgaans ongedefinieerd. Al kun je in bepaalde contexten wel een zinnige betekenis aan dergelijke uitdrukkingen geven, maar niet in het algemeen.Op woensdag 14 oktober 2009 16:55 schreef Matthijs- het volgende:
Zojuist op de fiets dacht ik aan het volgende, misschien ietwat onbenullige, probleem, maar ik wist geen oplossing:
oo / oo
Wordt het antwoord normaliter gewoon gedefenieerd als 'kan niet'? Het 'echte' 'antwoord' zou immers kunnen varieren van -oo, tot 1, tot oo. Wat is eigenlijk een gebruikelijke oplossing in de wiskunde?
(met oo bedoel ik overigens oneindig)
Je zou bovenstaande limiet als een vorm van ∞/∞ kunnen beschouwen. Maar de volgende ook:
Of deze:
Of deze:
Welke anders is dan:
Of juist:
Dus gewoon als ∞/∞ heeft dit geen betekenis. Want elk van bovenstaande vormen voldoet daar in feite aan. En je kunt elke uitkomst krijgen die je wilt.
quote:Nee. Zolang x niet gelijk is aan 0 is x/x2 immers gelijk aan 1/x.Op woensdag 14 oktober 2009 17:52 schreef Matthijs- het volgende:
Is die laatste ook niet gewoon ongedefinieerd? Want oo in het kwadraat lijkt me ook gewoon oo, dus kom je weer uit op oo/oo.
quote:Nee, dat zou ook wat raar zijn. Een limiet naar oneindig kun je je voorstellen als een definitie die zegt neem x verschrikkelijk groot. Een truc die nog al eens verkeerd kan aflopen, maar nu wel geoorloofd is, is om te kijken wat er gebeurt als je eens wat getallen voor x invult, nou, voor elk getal n dat je invult krijg je uiteraard 1/n eruit. Voor 3 krijg je 3/9 = 1/3. Voor 100 krijg je 100/10000 = 1/100. Voor 1 miljoen krijg je 1/1000000, en zo voort. Dus hoe groter x wordt, hoe kleiner die breuk wordt.
Is die laatste ook niet gewoon ongedefenieerd? Want oo in het kwadraat lijkt me ook gewoon oo, dus kom je weer uit op oo/oo.
Dat die breuk dan voor x → ∞ naar 0 gaat, is toch niet zo raar?
Je moet ∞ overigens (althans niet in zulke analyse) nooit als getal interpreteren. Dus niet denken ∞2 = ∞. Dat heeft geen zin. ∞ is geen getal, het is een begrip. De rekenregels voor ∞ werken niet op de ‘normale’ manier.
Acht echtparen worden aan vier tafels voor elk vier personen genood. We nummeren de personen
van 1 t/m 16, de tafels van 1 t/m 4 en de stoelen van elke tafel ook van 1 t/m 4. Een ‘uitkomst’
zou dan bijvoorbeeld als volgt beschreven kunnen worden:
(x11 , x12 , x13 , x14 ), (x21 , x22 , x23 , x24 ), (x31 , x32 , x33 , x34 ), (x41 , x42 , x43 , x44 )),
waarbij xij de persoon is die aan tafel i op stoel j plaats neemt (i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3, 4).
A Stel nu dat de stoelen ongenummerd zijn, i.e. ononderscheidbaar. Op hoeveel verschillende
manieren kunnen dan de personen plaats nemen?
B Laat nu ook de tafels ongenummerd zijn. Wat is dan het totale aantal mogelijkheden om de
acht echtparen te laten plaats nemen?
C Stel nu dat we alleen de uitkomsten bekijken waarbij alle echtelieden bij elkaar aan dezelfde
tafel plaats nemen. Hoeveel verschillende uitkomsten zijn er dan in geval de stoelen onge-
nummerd en de tafels genummerd zijn?
Nu weet ik dat het om 'ballen trekken zonder teruglegging' gaat en dan dus blijkbaar gedeeltelijk 'zonder inachtneming van de volgorde', maar loop nu dus vast hoe ik de verschillen tussen A en B moet meenemen in de berekening van de kans en C geeft helemaal een groot vraagteken ..
quote:Toch kun je niet zomaar beweren dat 1/∞ gelijk zou zijn aan 0. Je mag ∞ niet behandelen als een getal. Een uitspraak als:Op woensdag 14 oktober 2009 18:14 schreef Matthijs- het volgende:
Ik weet dat 1/oo = 0, maar ik dacht dat in het laatste voorbeeld oo / oo2 werd gedaan, wat neer zou komen op oo/oo, wat weer ongedefinieerd zou zijn. Vandaar mijn opmerking. Maar ik zie hem nu, thanks!
limx→∞ x/x2 = 0
betekent eenvoudig dat er voor elke ε > 0 een waarde N bestaat, zodanig dat |x/x2| < ε voor elke x > N. Niets meer en niets minder.
Verder hoeft er geen ∞ aan te pas te komen om ongedefinieerde uitdrukkingen te hebben. Delen door 0 is ook niet gedefinieerd. En wat dacht je van:
00
Probeer eens te beredeneren wat je hier voor betekenis aan zou willen geven.
Waarom is A afhankelijk? Ik zie toch echt in elke kolom een pivot, waardoor het toch juist onafhankelijk is en triviaal omdat Ax=0...
quote:welke pivots zie jij dan?
[ afbeelding ]
Waarom is A afhankelijk? Ik zie toch echt in elke kolom een pivot, waardoor het toch juist onafhankelijk is en triviaal omdat Ax=0...
quote:Bij A = [ 3 2 ]
[ 3 8 ] --> vegen --> [3 2]
..................................................[0 6] zie ik toch echt 3 en 6 als pivots....
edit: argh layout is mislukt... iig na vegen van A zie ik 3 en 6 als pivot.
quote:Jij kijkt naar A terwijl zij het hebben over A-2I.
[..]
Bij A = [ 3 2 ]
[ 3 8 ] --> vegen --> [3 2]
..................................................[0 6] zie ik toch echt 3 en 6 als pivots....
edit: argh layout is mislukt... iig na vegen van A zie ik 3 en 6 als pivot.
quote:Jep ik zie het nuOp woensdag 14 oktober 2009 21:30 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
Jij kijkt naar A terwijl zij het hebben over A-2I.
, moest het alleen nog even vegen ( of jij ziet het natuurlijk in één keer misschien , maar ik veeg altijd voor de zekerheid).quote:besliskunde met goede kans op een promotieplek, voor de vaste lezertjes hier
Wat hebben jullie twee trouwens gestudeerd? (Glowmouse en Ibo)
quote:A) 16! / (4!)4Op woensdag 14 oktober 2009 18:24 schreef Hap_Slik het volgende:
Ik ben even met kansrekening aan het stoeien en kom niet uit de volgende vragen:
Acht echtparen worden aan vier tafels voor elk vier personen genood. We nummeren de personen
van 1 t/m 16, de tafels van 1 t/m 4 en de stoelen van elke tafel ook van 1 t/m 4. Een ‘uitkomst’
zou dan bijvoorbeeld als volgt beschreven kunnen worden:
(x11 , x12 , x13 , x14 ), (x21 , x22 , x23 , x24 ), (x31 , x32 , x33 , x34 ), (x41 , x42 , x43 , x44 )),
waarbij xij de persoon is die aan tafel i op stoel j plaats neemt (i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3, 4).
A Stel nu dat de stoelen ongenummerd zijn, i.e. ononderscheidbaar. Op hoeveel verschillende
manieren kunnen dan de personen plaats nemen?
B Laat nu ook de tafels ongenummerd zijn. Wat is dan het totale aantal mogelijkheden om de
acht echtparen te laten plaats nemen?
C Stel nu dat we alleen de uitkomsten bekijken waarbij alle echtelieden bij elkaar aan dezelfde
tafel plaats nemen. Hoeveel verschillende uitkomsten zijn er dan in geval de stoelen onge-
nummerd en de tafels genummerd zijn?
Nu weet ik dat het om 'ballen trekken zonder teruglegging' gaat en dan dus blijkbaar gedeeltelijk 'zonder inachtneming van de volgorde', maar loop nu dus vast hoe ik de verschillen tussen A en B moet meenemen in de berekening van de kans en C geeft helemaal een groot vraagteken ..
B) 16! / (4!)5
C) 8! / (2!)4
Hoe bewijs ik dit?
quote:Duiventilprincipe.
Elke deelverzameling van {1, 2 . . . , 10} die uit 6 getallen bestaat bevat altijd twee elementen die 11 als som hebben.
Hoe bewijs ik dit?
quote:Ik ken het pidgeon hole principe ('n beetje), maar hoe moet ik dat dan toepassen op deze som?
quote:de 6 getallen stop je in hokjes; totaal moeten er dus hoogstens vijf hokjes zijn want dan is tenminste één met twee getallen.
[..]
Ik ken het pidgeon hole principe ('n beetje), maar hoe moet ik dat dan toepassen op deze som?
quote:Je hebt dus {1,…,10} daar zijn vijf paartjes te vormen die als som 11 hebben (1,10), (2,9), (3,8), (4,7), (5,6); dit kun je als vijf vakjes zien. Als je er 6 pakt, moet je dus uit minstens een paartje 2 getallen kiezen. En dus heb je 11 als som.
[..]
Ik ken het pidgeon hole principe ('n beetje), maar hoe moet ik dat dan toepassen op deze som?
quote:Ja, maar waarom betekent het dan gelijk dat als je 2 getallen in 1 hokje hebt dat de som 11 is?Op woensdag 14 oktober 2009 22:29 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
de 6 getallen stop je in hokjes; totaal moeten er dus hoogstens vijf hokjes zijn want dan is tenminste één met twee getallen.
quote:Het is me duidelijk nu.Op woensdag 14 oktober 2009 22:31 schreef Iblis het volgende:
[..]
Je hebt dus {1,…,10} daar zijn vijf paartjes te vormen die als som 11 hebben (1,10), (2,9), (3,8), (4,7), (5,6); dit kun je als vijf vakjes zien. Als je er 6 pakt, moet je dus uit minstens een paartje 2 getallen kiezen. En dus heb je 11 als som.
Btw, maar wiskundig gezien is dit toch niet 'n écht keihard bewijs waar ik QED achter mag plempen, of wel?
quote:Zeker wel dat dit een hard bewijs is.
[..]
Ja, maar waarom betekent het dan gelijk dat als je 2 getallen in 1 hokje hebt dat de som 11 is?
[..]
Het is me duidelijk nu.
Btw, maar wiskundig gezien is dit toch niet 'n écht keihard bewijs waar ik QED achter mag plempen, of wel?
SPOILERIk dacht trouwens dat er niemand zou kijken in deze topics.
quote:Op woensdag 14 oktober 2009 22:45 schreef Iblis het volgende:
[..]
Zeker wel dat dit een hard bewijs is.SPOILERIk dacht trouwens dat er niemand zou kijken in deze topics.
SPOILERBtw krijg ik later ook calculus? Aangezien mij dat veel leuker lijkt.Dacht ik ook
quote:Ik maak het onderwijsprogramma van jouw opleiding niet, dus ik heb geen idee. Maar ik raad je aan jezelf dit voor te houden als je m.b.v. een ε-δ-constructie een limiet bewijst.
[..]SPOILERBtw krijg ik later ook calculus? Aangezien mij dat veel leuker lijkt.Dacht ik ook
quote:Ja, maar dat doe ik niet nogmaals met jullie welnemen.Op woensdag 14 oktober 2009 22:53 schreef GlowMouse het volgende:
Iblis, heb jij je ooit uitgelaten over je opleiding?
quote:Sorry, ik nam aan dat je iets in de richting van informatica/informatiekunde/kunstmatige intelligentie had gestudeerd en dat je het daardoor wel zou weten. Was een aannameOp woensdag 14 oktober 2009 22:52 schreef Iblis het volgende:
[..]
Ik maak het onderwijsprogramma van jouw opleiding niet, dus ik heb geen idee. Maar ik raad je aan jezelf dit voor te houden als je m.b.v. een ε-δ-constructie een limiet bewijst.
3 schijven met cijfertjes erop die onafhankelijk van elkaar draaien
3x een 3 = 100 euro winnen
de kans daarop is 1/120
Hoevaak moet dit spel gespeeld worden zodat de kans op de hoofdprijs (100 euro) groter is dan 0,3
Ik had gedacht: x(1/120) = 0,3 en dan x berekenen
Maar dit is niet goed, je moet 1 - (119/120)^x = 0,3 en dan x uitrekenen, ik zie niet helemaal in waarom, iemand die dit misschien voor me kan verduidelijken?
quote:Wat jij wilt gaat niet goed. Immers, vul eens voor x 240 in, dan krijg je 240(1/120) = 240/120 = 2. Een kans van 2? Dat is natuurlijk niet zo zinnig! Ook als je 240 keer speelt is er natuurlijk een kans dat je 240 keer niet wint (niet zo’n grote hoor). Wat jij in feite uitrekent is de verwachting – als dat begrip je wat zegt. Anders kun je deze opmerking negeren.
Ik had gedacht: x(1/120) = 0,3 en dan x berekenen
Maar dit is niet goed, je moet 1 - (119/120)^x = 0,3 en dan x uitrekenen, ik zie niet helemaal in waarom, iemand die dit misschien voor me kan verduidelijken?
Nu de eigenlijke uitwerking. Je wilt dus dat de kans om te winnen groter of gelijk is aan 30%. In het antwoord wordt de vraag omgekeerd. Als de kans 30% is dat je de hoofdprijs wint, dan is de kans dat je die niet wint 70%. Immers, je wint de hoofdprijs wel, of je wint die niet, dus P(wel) + P(niet) = 1 moet gelden.
Dit niet winnen is echter makkelijker uit te rekenen. Dat betekent gewoon dat je telkens niet-wint (kans 119/120), het wél winnen betekent namelijk de kans uitrekenen dat je óf de eerste keer wint, óf de tweede keer, óf de derde keer, óf de eerste én de tweede keer, maar de derde keer niet, óf de eerste en de derde keer, maar de tweede keer niet, en ga zo maar door. Heel veel mogelijkheden, heel lastig. P(wel) is namelijk hetzelfde als P(minstens één keer winnen).
En P(niet) is dus, zoals ik net zei, gewoon P(nooit winnen). Dat P(nooit winnen) kun je gewoon door vermenigvuldiging uitrekenen: de eerste keer niet winnen (119/120) én de tweede keer niet (119/120) én de derde keer niet (119/120), en ga zo maar door. Dit geeft (119/120)x.
1 - (119/120)x = 0,3 is natuurlijk hetzelfde als: (119/120)x = 0,7 als je het herschrijft, het is maar net welke interpretatie je het meest ligt. Hoe dan ook, we moeten oplossen:
Het gemakkelijkste gaat dit met logaritmes:
Maak gebruik van log(ab) = b log(a):
Dus:
Dus je moet 43 keer spelen.
quote:ahh ik snap het, als het via de winkans uit zou willen rekenen zou je iedere keer ook met combinaties enzo moeten vermenigvuldigen, omdat bv 1x winnen op de 6x spelen de eerste, 2e, 3e enz x zou kunnen gebeuren. merci!Op donderdag 15 oktober 2009 11:44 schreef Iblis het volgende:
[..]
Wat jij wilt gaat niet goed. Immers, vul eens voor x 240 in, dan krijg je 240(1/120) = 240/120 = 2. Een kans van 2? Dat is natuurlijk niet zo zinnig! Ook als je 240 keer speelt is er natuurlijk een kans dat je 240 keer niet wint (niet zo’n grote hoor). Wat jij in feite uitrekent is de verwachting – als dat begrip je wat zegt. Anders kun je deze opmerking negeren.
Nu de eigenlijke uitwerking. Je wilt dus dat de kans om te winnen groter of gelijk is aan 30%. In het antwoord wordt de vraag omgekeerd. Als de kans 30% is dat je de hoofdprijs wint, dan is de kans dat je die niet winst 70%. Immers, je wint de hoofdprijs wel, of je wint die niet, dus P(wel) + P(niet) = 1 moet gelden.
Dit niet winnen is echter makkelijker uit te rekenen. Dat betekent gewoon dat je telkens niet-wint (kans 119/120), het wél winnen betekent namelijk de kans uitrekenen dat je óf de eerste keer wint, óf de tweede keer, óf de derde keer, óf de eerste én de tweede keer, maar de derde keer niet, óf de eerste en de derde keer, maar de tweede keer niet, en ga zo maar door. Heel veel mogelijkheden, heel lastig. P(wel) is namelijk hetzelfde als P(minstens één keer winnen).
En P(niet) is gewoon P(nooit winnen). Dat P(nooit winnen) kun je gewoon door vermenigvuldiging uitrekenen: de eerste keer niet winnen (119/120) én de tweede keer niet (119/120) én de derde keer niet (119/120), en ga zo maar door.
1 - (119/120)x = 0,3 is natuurlijk hetzelfde als: (119/120)x = 0,7 als je het herschrijft, het is maar net welke interpretatie je het meest ligt. Hoe dan ook, we moeten oplossen:
[ afbeelding ]
Het gemakkelijkste gaat dit met logaritmes:
[ afbeelding ]
Maak gebruik van log(ab) = b log(a):
[ afbeelding ]
Dus:
[ afbeelding ]
Dus je moet 43 keer spelen.
quote:Maar je rekent nu in feite uit dat de kans dat je minstens één keer wint 30% is. In principe is het ook mogelijk dat je 43 keer wint als je 43 keer speelt, en die kans neem je ook mee.
[..]
ahh ik snap het, als het via de winkans uit zou willen rekenen zou je iedere keer ook met combinaties enzo moeten vermenigvuldigen, omdat bv 1x winnen op de 6x spelen de eerste, 2e, 3e enz x zou kunnen gebeuren. merci!
quote:oja, dat ook nog, dat zou idd een in ingewikkelde berekening worden via de winkansOp donderdag 15 oktober 2009 11:53 schreef Iblis het volgende:
[..]
Maar je rekent nu in feite uit dat de kans dat je minstens één keer wint 30% is. In principe is het ook mogelijk dat je 43 keer wint als je 43 keer speelt, en die kans neem je ook mee.
Is dit surjectief, injectief of bijectief?
Injectief is het iniedergeval niet, dus bijectief ook niet, maar ik denk dat het surjectief is, maar het schijnt geen van allen te zijn, iemand die mij een zeker antwoord kan geven + uitleg waarom het niet/wel surjectief is.
?Wat betekent injectief?
f(x) = f(y) ⇔ x = y.
Is dat zo bij x2? Nee: (-5)2 = 52 maar (-5) ≠ 5.
Wat betekent surjectief?
Dat élke waarde uit het bereik van de functie inderdaad een beeld is van een bepaalde waarde uit het domein. M.a.w. als je een functie van ℝ → ℝ hebt, dan moeten alle waarden uit ℝ voorkomen als ‘functiewaarde’.
Is dat zo bij x2? Nee, natuurlijk niet, want ∀x : x2 ≥ 0. Dus -1 is nooit het beeld van deze functie.
Kortom, niet injectief, niet surjectief (en dus automatisch niet bijectief).
Zou je hebben:
Dan is deze functie wél surjectief. Zou je hebben:
Dan is ze zelfs bijectief.
Ook voor:
geldt dat. Informeel wordt wel over ‘injectieve’ of ‘bijectieve’ functies gesproken, maar in feite is dit altijd gekoppeld aan een domein en bereik (of codomein). En dat moet je eigenlijk ook altijd netjes vermelden.
toevallig waren die 2 voorbeelden die je gaf de 2 opvolgende opgaven en die had ik wel al goed En als ik het goed begrijp dan is met :A = B = R, f(x) = e^x het geen van alle en
A = B = R, f(x) = sin x het ook geen van alle
quote:Hm, na lang denkwerk weet ik er toch geen, dus inderdaad injectief.Op donderdag 15 oktober 2009 15:01 schreef Iblis het volgende:
Waarom zou e[,sup]x[/sup] niet injectief zijn? Weet jij een x ≠ y zodanig dat ex = ey?
quote:Zeg, dat is geen bewijs natuurlijk! Als je dat niet weet: wat is de afgeleide van ex? Wat betekent dat dus?
[..]
Hm, na lang denkwerk weet ik er toch geen, dus inderdaad injectief.
quote:De afgeleide van ex is gelijk aan zichzelf.Op donderdag 15 oktober 2009 15:14 schreef Iblis het volgende:
[..]
Zeg, dat is geen bewijs natuurlijk! Als je dat niet weet: wat is de afgeleide van ex? Wat betekent dat dus?
quote:En ∀x:ex > 0, dus het is een monotoon stijgende functie, die moet wel injectief zijn.
[..]
De afgeleide van ex is gelijk aan zichzelf.
quote:Dankjewel voor de uitleg.Op donderdag 15 oktober 2009 15:51 schreef Iblis het volgende:
[..]
En ∀x:ex > 0, dus het is een monotoon stijgende functie, die moet wel injectief zijn.
Nog een vraagje, wat is het verschil tussen een lineaire en partiële ordening? De uitleg in mijn boek is nogal vaag.
quote:De ideeën zijn hetzelfde in feite, behalve dat in een partiële ordening sommige elementen ‘onvergelijkbaar zijn’.
[..]
Dankjewel voor de uitleg.
Nog een vraagje, wat is het verschil tussen een lineaire en partiële ordening? De uitleg in mijn boek is nogal vaag.
Neem b.v. ≤, dat is een lineaire (of totale) ordening op de natuurlijke getallen.
Neem nu als operatie ⊆, en neem verzamelingen, ook hier is deze weer reflexief, er geldt s ⊆ s, en transitiviteit geldt ook. Maar er geldt níét altijd dat r ⊆ s óf s ⊆ r, ga maar na, neem b.v. {1, 2} en {2, 3}. {1, 2} is geen deelverzameling van {2, 3}, en omgekeerd ook niet.
Je kunt dus niet, zoals op de getallenlijn (waarbij elk getal kleiner of gelijk is dan al z’n opvolgers), verzamelingen in een lange keten rangschikken. Natuurlijk ∅ zit in alle verzamelingen, maar daarna wordt het een soort boom (hier voor {x, y, z}), de pijlen geven ⊆ aan.
Bron: Wikimedia Commons. Maker: KSmrq. Licentie: CC-BY-SA.
Er geldt alleen: als r ⊆ s, dan niet s ⊆ r tenzij s = r, of anders gezegd, als r ⊆ s en s ⊆ r, dan r = s. Dit ‘in plaats van’ die 3e eigenschap bij een lineaire ordening.
Informeel gesproken koppelt een afbeelding ieder element uit een verzameling aan ten hoogste één element uit een andere (of dezelfde) verzameling.
In mijn boek staat:
Het kenmerkende van een afbeelding of functie van A naar B, kort genoteerd als f : A --> B, door f aan elk element van A precies één element van B toegekend wordt.
Welk is nu juist?
Edit:
Oh oops staat hetzelfde, alleen las ik het als: door f aan elk element van B precies een element van A toegekend wordt.
Is de relatie R op de verzameling lijnen L in het vlak gegeven door lRm wil zeggen l staat loodrecht op m een equivalentierelatie?
Ik heb nee, want l en l kunnen dan nooit loodrecht opelkaar staan, dus is het geen equivalentierelatie, maar hoe verwoord ik dit correct?
Daarna de vraag:
Idem met lRm wil zeggen l en m hebben dezelfde richting, ik heb:
Ja, lRl, l en l hebben altijd dezelfde richting, dus reflexief
lRm l en m hebben dezelfde richting --> m en l hebben dezelfde richting, mRL. dus symmetrisch
lRm
l en m hebben dezelfde richting
mRz
m en z hebben dezelfde richting
--> l en z zelfde richting
lRz
dus transitief, dus equivalentierelatie, maar hoe verwoord ik dit correct?
quote:Voor een equivalentierelatie moet gelden dat ze reflexief, symmetrisch én transitief is. Daar l R l niet geldt, geldt de reflexiviteit niet, ergo, het is geen equivalentierelatie. (Transitiviteit gaat ook niet op overigens.) Dat opmerken is voldoende. Gewoon de eisen erbij halen, en zeggen dat de relatie er niet aan voldoet.
De vraag luidt:
Is de relatie R op de verzameling lijnen L in het vlak gegeven door lRm wil zeggen l staat loodrecht op m een equivalentierelatie?
Ik heb nee, want l en l kunnen dan nooit loodrecht opelkaar staan, dus is het geen equivalentierelatie, maar hoe verwoord ik dit correct?
quote:Zo als je hier boven doet. Ik weet niet ‘of dezelfde richting hebben’ nog formeel gedefinieerd is, dan moet je wel die formele definitie gebruiken, anders lijkt me dit afdoende.Daarna de vraag:
Idem met lRm wil zeggen l en m hebben dezelfde richting, ik heb:
Ja, lRl, l en l hebben altijd dezelfde richting, dus reflexief
lRm l en m hebben dezelfde richting --> m en l hebben dezelfde richting, mRL. dus symmetrisch
lRm
l en m hebben dezelfde richting
mRz
m en z hebben dezelfde richting
--> l en z zelfde richting
lRz
dus transitief, dus equivalentierelatie, maar hoe verwoord ik dit correct?
quote:Ze zijn niet helemaal hetzelfde natuurlijk, en verwoorden iets andere insteken. Een functie kan namelijk niet gedefinieerd zijn voor sommige waarden. B.v. 1/x is niet gedefinieerd voor x = 0 en log alleen voor positieve getallen.
Op Wikipedia staat:
Informeel gesproken koppelt een afbeelding ieder element uit een verzameling aan ten hoogste één element uit een andere (of dezelfde) verzameling.
In mijn boek staat:
Het kenmerkende van een afbeelding of functie van A naar B, kort genoteerd als f : A --> B, door f aan elk element van A precies één element van B toegekend wordt.
Welk is nu juist?
Edit:
Oh oops staat hetzelfde, alleen las ik het als: door f aan elk element van B precies een element van A toegekend wordt.
Sommigen zullen zeggen dat het domein van 1/x gewoon ℝ is, maar dat de functie niet gedefinieerd is voor 0, anderen zullen zeggen dat in feite het domein ℝ\{0} is, en dan koppelt 1/x wél elke waarde uit het domein aan precies één waarde uit het bereik.
Bij deze vraag snap ik niet precies wat de relatie tussen a en b is, is de relatie gewoon dat a bestaat uit 2^k waarbij k dus een element van Z is en dat vervolgens vermenigvuldigen met het getal b, en dat dít de relatie is? Verder snap ik niet precies hoe ik een tabel van een relatie moet maken.
Het makkelijkste om die tabel te maken is er een vierkante tabel van te maken en kruisjes te plaatsen waar het klopt.
a = 2^k . b kan waarbij ik voor a en b steeds alle getallen van 1 t/m 10 af ga, en waarbij ik een k kies die ervoor zorgt dat de uitkomst a kloppend is, zo niet zet ik geen kruisje?
quote:Ja, maar, je kunt gegeven een b natuurlijk wel vrij snel bedenken welke a’s erbij horen. Verder kun je uit de vraagstelling al enige dingen opmaken, met name (b) opmaken die wel zullen moeten gelden, dus daar kun je ook al rekening mee houden. (Overigens staat er bij (b) ‘ga na’, maar het is natuurlijk vrij eenvoudig te bewijzen).
Dus inprincipe moet ik steeds kijken of
a = 2^k . b kan waarbij ik voor a en b steeds alle getallen van 1 t/m 10 af ga, en waarbij ik een k kies die ervoor zorgt dat de uitkomst a kloppend is, zo niet zet ik geen kruisje?
Als a = 2kb voor zekere k ∈ ℤ, en b = 2nc, voor zekere n ∈ ℤ, dan… (vervang b eens door 2nc in die eerste vergelijking).
quote:Was ik even vergeten, ook met het opstellen van m'n grafiek.
quote:a = 2kbOp vrijdag 16 oktober 2009 15:48 schreef Iblis het volgende:
Als a = 2kb voor zekere k ∈ ℤ, dan… (los die vergelijking eens op naar b).
Als a = 2kb voor zekere k ∈ ℤ, en b = 2nc, voor zekere n ∈ ℤ, dan… (vervang b eens door 2nc in die eerste vergelijking).
b = a / 2k
--> bRa
Dus symmetrisch?
a = 2kb
b = 2nc
--> a = 2k(2nc)
Dus, aRc, dus transitief?
quote:Maar om reflexiviteit te kunnen bewijzen heb je al nodig dat k = 0 ook kan gelden.
Was ik even vergeten, ook met het opstellen van m'n grafiek.
quote:b = 2-ka, en k ∈ ℤ ⇔ -k ∈ ℤ, dus:a = 2kb
b = a / 2k
quote:--> bRa
Dus symmetrisch?
quote:a = 2k + nc, en als k en n geheel zijn, dan is k + n dat ook natuurlijk. Je moet ietsje preciezer zijn hier denk ik.a = 2kb
b = 2nc
--> a = 2k(2nc)
quote:Dus, aRc, dus transitief?
quote:En daarom klopt mijn reflexiviteit bewijs achteraf ook niet zie ik.Op vrijdag 16 oktober 2009 16:11 schreef Iblis het volgende:
[..]
Maar om reflexiviteit te kunnen bewijzen heb je al nodig dat k = 0 ook kan gelden.
En hoe teken ik netjes een ongerichte graaf hierbij?
En wat is een equivalentieklasse en wat zijn de equivalentieklassen bij deze relatie
?SPOILERVolgens mij kan ik beter stoppen met de opleiding, snap niks van de uitleg in dit wiskunde boek
[ Bericht 19% gewijzigd door Diabox op 16-10-2009 16:42:21 ]
Een ongerichte graaf maak je gewoon door tien punten te tekenen voor de tien getallen en die punten die in relatie staan tot elkaar (dus b.v. 2 en 8) te verbinden. Je zult zien dat de graaf dan uiteenvalt in een paar groepen.
Die groepen zijn ook je equivalentieklassen. Immers een equivalentierelatie zegt welke elementen (onder die relatie!) equivalent zijn. Dus b.v. 2 en 8 zijn (voor deze relatie) equivalent.
1,2,4,8
3,6
5,10
7
9
En dit zijn dus de equivalentieklasse, dus er zijn 5 equivalentieklasse?
Een equivalentierelatie deelt gewoon op onder een bepaald criterium. Dus hier is het criterium: de getallen verschillen alleen met een factor die een twee-macht is van elkaar.
Maar je zou ook b.v. mensen kunnen partitioneren volgens ‘heeft het zelfde geslacht als’, dan zou je een groep mannen en een groep vrouwen krijgen (ga zelf na dat dat een equivalentierelatie is
), en je zou ‘is op dezelfde dag jarig als’ kunnen gebruiken: dat geeft 366 groepen. Op getallen zou je kunnen doen ‘heeft dezelfde rest als je door 2 deelt’: dat geeft in feite de even en oneven getallen.
Op breuken kun je doen ‘heeft dezelfde gereduceerde vorm’, dus b.v. 1/4, 2/8, 20/80 zitten allemaal in dezelfde klasse.
Hopelijk heb je nou een beetje ‘het idee’ achter een equivalentierelatie.
Ik heb hierbij dus als bewijs van een equivalentierelatie:
a1 = a1
a1Ra1 -> dus reflexief
a1=a2
a2 = a1
a2Ra1 -> dus symmetrisch
a1 = a2
a2 = a3
a1 = a3
a1Ra3 --> dus transitief, uit al het voorgaande blijkt dus dat het een equivalentierelatie is.
Ik hoop dat dit goed is, en dan moet ik dus de equivalentieklassen omschrijven, betekent dit dan dat alles onder 1 en dezelfde equivalentieklassen valt? (alle a(n) geven namelijk hetzelfde beeld)
Edit:
Is inderdaad heel wat duidelijker nu wat een equivalentieklassen is, in feite is het dus een gezamelijke overeenkomst van een bepaalde eigenschap bij groepen verzamelingen. of iets dergelijks
En hier bevat een equivalentieklasse zeker niet alle waarden uit het domein, maar alleen de waarden die hetzelfde beeld geven. Ik kan wel een concreet voorbeeld geven, neem f: x → x2, dan zijn de equivalentie klassen {0}, {-1,1}, {-2,2}, {-3,3}, enz. (ook de kommagetallen natuurlijk) Maar niet alles in één klasse!
Bedenk anders eens wat b.v. de equivalentieklassen zouden zijn bij f = sin(x).
quote:{0}Op vrijdag 16 oktober 2009 18:24 schreef Iblis het volgende:
Je moet iets uitgebreider zijn. a1 R a2 wil zeggen dat f(a1) = f(a2), en dus f(a2) = f(a1) en dus a2 R a1. Wel even die tussenstappen opschrijven!
En hier bevat een equivalentieklasse zeker niet alle waarden uit het domein, maar alleen de waarden die hetzelfde beeld geven. Ik kan wel een concreet voorbeeld geven, neem f: x → x2, dan zijn de equivalentie klassen {0}, {-1,1}, {-2,2}, {-3,3}, enz. (ook de kommagetallen natuurlijk) Maar niet alles in één klasse!
Bedenk anders eens wat b.v. de equivalentieklassen zouden zijn bij f = sin(x).
{-1/2pi, 1 1/2pi}
{-pi, pi}
{-1 1/2 pi, 2 1/2 pi}
{-2pi, 2pi}
Zoiets?
Maar hoe moet ik dan de equivalentieklassen beschrijven bij zo'n functie? Aangezien het dus ook iets anders kon zijn dan x²
Edit:
Volgens mij is
{0, -pi, pi, -2pi, 2pi}
{-1/2pi, 1 1/2pi, - 2 1/2 pi, 3 1/2pi}
{-1 1/2 pi, 1/2 pi, -3 1/2 pi, 2 1/2 pi}
beter
[ Bericht 1% gewijzigd door Diabox op 16-10-2009 18:39:04 ]
In het geval van x2 is dat concreet {-x, x} in het geval van sin x is het iets lastiger. Sowieso is het {…-4πx, -2πx, x, 2πx, 4πx,…}, omdat sin periodiek is met periode 2π, maar daarnaast heb je nog dat sin 1/4π = sin 3/4π natuurlijk, dus die zitten er ook bij (het kan wel helemaal uitgewerkt worden, maar het ging me meer om het idee), het komt dus neer op alle punten die op dezelfde y-hoogte liggen in onderstaande grafiek, m.a.w. als je een horizontale lijn trekt door onderstaande grafiek maak je eigenlijk een equivalentieklasse:
Bron: Wikimedia Commons. Maker: Geek3. Licentie: CC-BY-SA.
Dat is namelijk een visuele interpretatie: teken je de grafiek, dan zitten in de equivalentieklasse die punten die op een horizontale lijn door de grafiek zitten (m.a.w. waarvoor het beeld van de functie gelijk is).
quote:Hierdoor was mijn verwachting vrij hoog, maar ik vind het nu ik tegen het einde van de cursus zit toch wat tegenvallen. Met deze theorie en die van legendre symbolen kan ik alleen maar uitrekenen of een kwadratische congruentie vergelijking al dan niet oplossingen heeft. Maar de oplossingen zélf berekenen we niet. Jammer.Op woensdag 16 september 2009 21:58 schreef thabit het volgende:
[..]
Dat zijn allemaal nog elementaire onderwerpen, daar hoef je geen zware wiskunde voor te doen. Vooral die kwadratische reciprociteit is een hele mooie stelling die iets bovennatuurlijks in zich lijkt te hebben.
quote:Het trekken van vierkantswortels modulo p kan wel, maar er is geen deterministisch algoritme bekend dat dat in polynomiale tijd (in log p) kan. Je moet hier probabilistische technieken gebruiken. Dat kan dan vervolgens op meerdere manieren.Op vrijdag 16 oktober 2009 20:34 schreef Borizzz het volgende:
[..]
Hierdoor was mijn verwachting vrij hoog, maar ik vind het nu ik tegen het einde van de cursus zit toch wat tegenvallen. Met deze theorie en die van legendre symbolen kan ik alleen maar uitrekenen of een kwadratische congruentie vergelijking al dan niet oplossingen heeft. Maar de oplossingen zélf berekenen we niet. Jammer.
De bekendste methode is het Shanks-Tonelli algoritme en berust op het kiezen van een niet-kwadraatrest modulo p. Voor dat laatste is geen deterministisch algoritme bekend dat het in polynomiale tijd kan, tenzij we de Gegeneraliseerde Riemannhypothese mogen aannemen. Probabilistisch is het eenvoudig: probeer random restklassen modulo p en en test of ze een kwadraat zijn of niet.
Een andere manier om een vierkantswortel uit a modulo p te trekken, is door nulpunten van f(x) = x2-a te berekenen. Hier zijn ook meerdere methodes voor. De eenvoudigste is door de ggd van de polynomen f(x) en (x-c)(p-1)/2±1 te berekenen voor random waarden van c, even aangenomen dat p niet 2 is.. Dit werkt dan algemener voor het vinden van nulpunten van polynomen modulo priemgetallen.
[ Bericht 1% gewijzigd door thabit op 16-10-2009 22:27:07 ]
1,96Xa + 5(1-Xa) = 2 1/2
Wat is Xa en hoe kom ik daar. Een vriend van me zei; alle x naar links en de rest dus naar rechts, maar hoe. 2 1/2 is gewoon 2,5 trouwens.
quote:Een vergelijking zegt: Wat links van het =-teken staat, is gelijk aan wat rechts van het =-teken staat. Dat is vrij banaal om op te merken, maar in wezen zit daar de kern.
Wiskunde leek meld zich...
1,96Xa + 5(1-Xa) = 2 1/2
Wat is Xa en hoe kom ik daar. Een vriend van me zei; alle x naar links en de rest dus naar rechts, maar hoe. 2 1/2 is gewoon 2,5 trouwens.
Eerst werken we echter de haakjes weg:
1,96Xa + 5(1-Xa) = 2 1/2
wordt dus:
1,96Xa + 5 - 5Xa = 2 1/2
Behalve de notatie is er nu nog niet veel veranderd. Volgende stap is de termen met Xa bij elkaar zoeken: 1,96 - 5 = -3,04, dus 1,96 Xa - 5 Xa is ook -3,04 Xa:
-3,04Xa + 5 = 2 1/2
Nu ‘brengen we 5 naar de andere kant’, zoals dat zo mooi heet: Of eigenlijk, wat we doen is zowel links als rechts 5 van de vergelijking afhalen. Immers, als de linkerkant gelijk is aan de rechterkant, dan blijven ze ook aan elkaar gelijk als je aan beide zijden er hetzelfde afhaalt:
-3,04Xa + 5 - 5 = 2 1/2 - 5
Nu zie je dat +5 - 5 = 0, dus:
-3,04Xa = 2 1/2 - 5
En hopelijk is nu ook duidelijk waar dat ‘naar de andere kant brengen vandaan komt’, want die 5 verschijnt weer aan de andere kant, behalve dat het teken is omgeklapt. Ook 2 1/2 - 5 is te vereenvoudigen tot 2 1/2 - 5 = -2 1/5:
-3,04Xa = -2 1/2
Nu zijn we er bijna. We gaan nu echter delen door -3,04 – ook daar geldt weer, als we dat aan beide kanten doen, dan geldt het =-teken nog steeds:
Xa = (-2 1/2)/(-3,04) = 0,822 (en een beetje)
Kortom, Xa ≈ 0,822
Nu een vergelijking van iets andere aard. Dit is één som. de beide Xa's zijn dus hetzelfde.
0,2Xa - 0,1Xb = c
-0,1Xa - 0,2Xb = c
c is een constante, dusuuuh 1.
Help
quote:Je zou bv. de Xb vrij kunnen maken in de bovenste vergelijking.
Dat is duidelijk. Dank!
Nu een vergelijking van iets andere aard. Dit is één som. de beide Xa's zijn dus hetzelfde.
0,2Xa - 0,1Xb = c
-0,1Xa - 0,2Xb = c
c is een constante, dusuuuh 1.
Help
Je schrijft het er dan als Xb = .....
Die kan je dan invullen in de tweede vergelijking.
'constante dusuuuh 1' ontgaat mij even
-0,1Xa - 0,2Xb = c
dat je voor C een willekeurig getal in mag vullen, dus bijv 1
Hoe gaat dan dit voorbeeld. Ik heb een begin gemaakt:
"=" staat voor "komt overeen met".
2y2 +16y +4 = 0 (mod 19)
2(y2+8y+2) = 0 (mod 19)
2(y+4)2 -14) = 0 (mod 19)
2(y+4)2 = 28 = 9 (mod 19)
noem y+4=k dan geldt verder
2k2 = 9 mod (19).
En dan? Volg mij geen fouten in bovenstaande. Maar hoe ga ik verder?
quote:Een constante hoeft niet altijd 1 te zijn. Het staat voor een willekeurig getal.Op zaterdag 17 oktober 2009 12:31 schreef One_conundrum het volgende:
Dat is duidelijk. Dank!
Nu een vergelijking van iets andere aard. Dit is één som. de beide Xa's zijn dus hetzelfde.
0,2Xa - 0,1Xb = c
-0,1Xa - 0,2Xb = c
c is een constante, dusuuuh 1.
Help
Weet je hoe je variabelen elimineert?
quote:Ik snap niet precies wat je bedoelt, maar het klinkt wel aantrekkelijkOp zaterdag 17 oktober 2009 12:40 schreef Borizzz het volgende:
Weet je hoe je variabelen elimineert?
quote:zo dus
[..]
Je zou bv. de Xb vrij kunnen maken in de bovenste vergelijking.
Je schrijft het er dan als Xb = .....
Die kan je dan invullen in de tweede vergelijking.
Ik was even aant prutsen;
2Xa - 1Xb = 10
2Xa = 10 + Xb
Maar wat schiet ik hier mee op
Had ik al vermeld dat ik een leek ben...
quote:nu maak je Xa vrij, kan ook.
ja maar hoe maak ik Xb vrij
Ik was even aant prutsen;
2Xa - 1Xb = 10
2Xa = 10 + Xb
Maar wat schiet ik hier mee op
Had ik al vermeld dat ik een leek ben...
-0,1Xa - 0,2Xb = c
Onderste maal 2
En dan optellen... Dan is Xa uit de vergelijking verdwenen. En hoe ga je dan verder?
-Xb = 10 - 2Xa
Maar hoe de fuck los ik deze dan weer op? als ik deze oplos kan ik daarna die waarde gewoon in de andere vergelijking invullen toch?
quote:Ze in elkaar stoppen, daar is ook wel es over gesproken jaa. Ik vroeg me al af hoe dat ook alweer zat. NiiceOp zaterdag 17 oktober 2009 12:51 schreef Borizzz het volgende:
0,2Xa - 0,1Xb = c
-0,1Xa - 0,2Xb = c
Onderste maal 2
En dan optellen... Dan is Xa uit de vergelijking verdwenen. En hoe ga je dan verder?
-2Xa + 4Xb = 20
3xb = 30
toch ?
quote:Ik geef je even een eenvoudig getallenvoorbeeld zodat je hopelijk duidelijk wordt hoe het werkt.Op zaterdag 17 oktober 2009 12:53 schreef One_conundrum het volgende:
[..]
Ze in elkaar stoppen, daar is ook wel es over gesproken jaa. Ik vroeg me al af hoe dat ook alweer zat. Niice
Pas het dan eens toe in de opgave die jij hebt.
Stel
1) a+2b=4
2) a+b=3
Trek in dit geval 2) van 1) af. Dit geeft
b=1.
Nu is het zo dat je al meteen een waarde vindt voor b. Dit zet je dan in een van de twee vergelijkingen.
a+2b=4. Je weet nu b=1 dus volgt
a+2 = 4
a=2.
Controleren in vergelijking 2) a+b=3.
2+1=3. Klopt.
Dus a=2 en b=1.
Pas dit principe nu eens toe in jouw vergelijking.
quote:dit jaOp zaterdag 17 oktober 2009 12:59 schreef Borizzz het volgende:
[..]
Ik geef je even een eenvoudig getallenvoorbeeld zodat je hopelijk duidelijk wordt hoe het werkt.
Pas het dan eens toe in de opgave die jij hebt.
Stel
1) a+2b=4
2) a+b=3
Trek in dit geval 2) van 1) af. Dit geeft
b=1.
Nu is het zo dat je al meteen een waarde vindt voor b. Dit zet je dan in een van de twee vergelijkingen.
a+2b=4. Je weet nu b=1 dus volgt
a+2 = 4
a=2.
Controleren in vergelijking 2) a+b=3.
2+1=3. Klopt.
Dus a=2 en b=1.
Pas dit principe nu eens toe in jouw vergelijking.
Bedankt allemaal, en tot de volgende keer
De inductiebasis snap ik wel, maar bij de inductiestap snap ik niet waarom als er 1/2(n+1)((n+1)+1) uitkomt dat P(n+1) dan geldt..
http://img11.imageshack.us/img11/2065/basiswiskunde5.jpg
Klopt niet
Ik weet 't niet [ Bericht 31% gewijzigd door Diabox op 17-10-2009 14:39:01 ]
quote:P(n+1) is de uitspraak som_{k=1 t/m n+1} k = 1/2 (n+1)(n+2). En dat heb je bewezen.
Is P(n+1) dan niet gewoon 1/2n(n+1) +1? En dat je dat dan herleidt en ook 1/2(n+2)(n+1) krijgt en dus 1/2(n+1)((n+1)+1) is? Ofzo?
, dus dan neem ik bijv. m met m = n+1, en dan moet sigma k=0 tot m = 1/2m(m+1) ook gelden, en ik had dus gesubstitueerd dus dan staat er sigma k=0 tot n+1 = 1/2(n+1)((n+1)+1) = 1/2(n+1)(n+2) 
Wat betekent dat dakje in dit geval? Het is de eerste keer dat ik hem tegenkom in dit hele boek.
quote:Alleen substitueren is niet genoeg, je hebt die hele afleiding nodig.
A-ha, ik doe het nu met substitutie, dan zie ik het wat sneller zeg maar
quote:Wat is dan precies het verschil tussen de negatie en "niet phi"?Op zaterdag 17 oktober 2009 15:20 schreef GlowMouse het volgende:
Dat is de formule 'niet phi'.
[..]
Alleen substitueren is niet genoeg, je hebt die hele afleiding nodig.
En waarom is alleen substitueren niet genoeg?
quote:oh, dát dakje, de omgekeerde V, dat is de 'en'.
[..]
Wat is dan precies het verschil tussen de negatie en "niet phi"?
quote:dan kun je alles bewijzenEn waarom is alleen substitueren niet genoeg?
quote:Even een zeurpuntje tegenover degene die de tekst heeft geschreven:
[ afbeelding ]
Wat betekent dat dakje in dit geval? Het is de eerste keer dat ik hem tegenkom in dit hele boek.
Op zich is dit een gebruikelijke inductieve definitie, alleen beperken ze zich nu eigenlijk tot drie propositieletters: p, q en r.
Juister zou zijn te zeggen dat men een eindige verzameling P of AP of Pl – net wat men wil – met atomaire proposities heeft, en als p ∈ P, dan is p een formule. Zo omzeil je dat probleem.
Dan kan als notatie voor die atomaire formules p, q, r of eventueel pi met i ∈ ℕ geïntroduceerd worden.
quote:Zo lang je niet modulo 2 werkt kun je de abc-formule toepassen. Discriminant is 162 - 4*2*4 = (-3)2 - 32 = 9 + 6 = 15 = -4 = (-1)*22 mod 19. Dit kan alleen een oplossing hebben als -1 een kwadraatrest modulo 19 is, maar dat is niet het geval want 19 is 3 modulo 4.Op zaterdag 17 oktober 2009 12:39 schreef Borizzz het volgende:
Als ik bijv. deze kwadratische congruentievergelijking moet oplossen, ik dacht dat kwadraat afsplitsen misschien een goed idee is.
Hoe gaat dan dit voorbeeld. Ik heb een begin gemaakt:
"=" staat voor "komt overeen met".
2y2 +16y +4 = 0 (mod 19)
2(y2+8y+2) = 0 (mod 19)
2(y+4)2 -14) = 0 (mod 19)
2(y+4)2 = 28 = 9 (mod 19)
noem y+4=k dan geldt verder
2k2 = 9 mod (19).
En dan? Volg mij geen fouten in bovenstaande. Maar hoe ga ik verder?
quote:De auteur van de tekst is P.J.I.M. de Paepe.Op zaterdag 17 oktober 2009 16:04 schreef Iblis het volgende:
[..]
Even een zeurpuntje tegenover degene die de tekst heeft geschreven:
Op zich is dit een gebruikelijke inductieve definitie, alleen beperken ze zich nu eigenlijk tot drie propositieletters: p, q en r.
Juister zou zijn te zeggen dat men een eindige verzameling P of AP of Pl – net wat men wil – met atomaire proposities heeft, en als p ∈ P, dan is p een formule. Zo omzeil je dat probleem.
Dan kan als notatie voor die atomaire formules p, q, r of eventueel pi met i ∈ ℕ geïntroduceerd worden.
Iniedergeval, nu heb ik de volgende opdracht:
Deze werk ik als volgt uit:
Noem de som n sigma k=1 k2 P
Inductiebasis n=1
linkerlid is 1² = 1 en rechterlid is 1/6(1+1)(2.1 + 1) = 1
--> voor P(1) is waar
Inductiestap, stel nu dat P(n) geldt voor zekere n element van N, met andere woorden er geldt n sigma k=1 k² = 1/6n(n+1)(2n+1), aan te tonen dat (n+1) geldt, met andere woorden dat geldt:
n+1 sigma k=1 k² = 1/6(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)
Herleid: 1/6(n+1)(n+2)(2n+3)
Bewijs:
n+1 sigma k=1 k² = ( n sigma k=1 k²) + (n+1)²
= 1/6n(n+1)(2n+1) + (n+1)²
= 1/6(n)(n+1)(2n+1) + (n+1)²
= (n+1) (1/6n(2n+1)+ (n+1))
= 1/6(n+1) (n(2n+1)+6n+6)
= 1/6(n+1)(2n²+7n+6)
= 1/6(n+1) (n + ... ) (2n + ...)
Nu weet ik (omdat ik naar mijn antwoord van 1/6(n+1)(n+2)(2n+3) wil toewerken), dat er op de stipjes 2 en 3 moeten komen te staan, wist ik dat niet, dan zou ik er alleen d.m.v. gokken achterkomen denk ik
Is hier geen manier op om dit zo te kunnen zien? En zitten er verder nog fouten in mijn bewijs?SPOILERIk spam dit hele topic in m'n eentje met vragen
Omdat er niet voor het hele domein een f(x) in het codomein is?
quote:Hangt een beetje van je conventies af denk ik. Als je duidelijk maakt dat het als een partiële functie bedoeld is, dan moet het wel kunnen.
Mag je een afbeelding definieren als
[ afbeelding ]
Omdat er niet voor het hele domein een f(x) in het codomein is?
quote:Merk op: Volgens de inductiehypothese:
n+1 sigma k=1 k² = ( n sigma k=1 k²) + (n+1)²
quote:Het makkelijkste in dit geval is gewoon uitschrijven als je het niet ziet. Echter, je weet dat je (n + a)(2n + b) krijgt voor zekere a en b, en dat als je dat uitschrijft dat dit 2n2 + (2a+b)n + ab wordt.= 1/6n(n+1)(2n+1) + (n+1)²
= 1/6(n)(n+1)(2n+1) + (n+1)²
= (n+1) (1/6n(2n+1)+ (n+1))
= 1/6(n+1) (n(2n+1)+6n+6)
= 1/6(n+1)(2n²+7n+6)
= 1/6(n+1) (n + ... ) (2n + ...)
[quote]
Nu weet ik (omdat ik naar mijn antwoord van 1/6(n+1)(n+2)(2n+3) wil toewerken), dat er op de stipjes 2 en 3 moeten komen te staan, wist ik dat niet, dan zou ik er alleen d.m.v. gokken achterkomen denk ik
Ga maar na. Dus er moet gelden ab = 6 en 2a + b = 7, anders klopt het niet, dat kun je oplossen, maar je kunt nu ook al wel vrij rap zien dat het a = 2 en b = 3 werkt. Maar goed, als je dat niet ziet, moet je dus die twee vergelijkingen oplossen naar a en b.
Verder klopt het wel, al is het zo wat onoverzichtelijk.
[ Bericht 0% gewijzigd door Iblis op 17-10-2009 17:11:01 ]
quote:ben benieuwd wat thabit ervan vindt, maar ik vind hem fout.
[..]
Hangt een beetje van je conventies af denk ik. Als je duidelijk maakt dat het als een partiële functie bedoeld is, dan moet het wel kunnen.
quote:Deze vraag is onlangs nog voorbij gekomen, kijk hier even. Is overigens niets meer dan wat elementaire algebra.Op zaterdag 17 oktober 2009 16:31 schreef Diabox het volgende:
[..]
Iniedergeval, nu heb ik de volgende opdracht:
[ afbeelding ]
quote:Op zaterdag 17 oktober 2009 16:55 schreef Iblis het volgende:
[..]
Hangt een beetje van je conventies af denk ik. Als je duidelijk maakt dat het als een partiële functie bedoeld is, dan moet het wel kunnen.
is eigenlijk een soortgelijke afbeelding waar ook niet het hele domein in het domein van de functie f(x)=sqrt(x) zit. Alleen heb je dan geen "sprongen" in de afbeelding. Toch?
quote:* thabit vindt hem ook fout.Op zaterdag 17 oktober 2009 17:07 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
ben benieuwd wat thabit ervan vindt, maar ik vind hem fout.
quote:Wat versta je onder sprongen? Die functie ‘doet het ook niet’ voor een heleboel waarden in het domein, alleen voor de kwadraten (1,4,9, enz.) werkt deze.
[..]
[ afbeelding ]
is eigenlijk een soortgelijke afbeelding waar ook niet het hele domein in het domein van de functie f(x)=sqrt(x) zit. Alleen heb je dan geen "sprongen" in de afbeelding. Toch?
[ Bericht 0% gewijzigd door Iblis op 17-10-2009 18:10:36 (d’oh) ]
quote:Maar goed, die notatie heb ik wel eens gezien die jij gebruikt, ik ben er zelf ook niet helemaal dol op, maar goed, m.i. hangt het dus wat van je conventies af.
Oh, wacht, ja, daar had ik niet bij nagedacht. ;x Maar als je R naar R zou hebben (of Z naar R ofzo)?
Maar niets staat je in de weg om te zeggen dat K = {x2 | x ∈ ℕ} en of W = {√x | x ∈ ℕ} ∪ {-√x | x ∈ ℕ}, zodat je over f: W → ℕ, x
Voorbeeld: (2129/2729). 2729 is priem dus het Legendre symbool is gedefinieerd.
Dan geldt 2129=-600 (mod 2729).
Dus (2129/2729)=(-600/2729)
Priemfactorontbinding -600: -1*23*3*52
Dus ik krijg
(-600/2729)= (-1/2729) * (2/2729)3 * (3/2729) * (5/2729)2
Tot dusver logisch.
Maar nu staat er dat dit ineens gelijk is aan:
(-1/2729)*(2/2729)*(3/2729).
De macht is weg en die 5/2729 is al helemaal weg... Waarom? Wat zie ik dan over het hoofd?
ik weet dat geldt (a2/p) =1 . Maar dit betekent toch niet dat bijv (5/2729)2 =1? Want dan krijg ik toch (22 / 27292). Of is er iets in de definitie wat ik niet goed toepas.
quote:Prachtig ditOp zaterdag 17 oktober 2009 19:09 schreef thabit het volgende:
Legendresymbolen (a/p) hebben 1 of -1 als waarde (mits a niet deelbaar is door p). Het kwadraat is dus altijd 1.
In één zin geheel duidelijk.
L=E dan, toch?
[ Bericht 27% gewijzigd door Hanneke12345 op 18-10-2009 12:24:53 ]
Denk ik?
Oh, één x vergeten Lx van te maken, nja \care.
[ Bericht 41% gewijzigd door Hanneke12345 op 18-10-2009 12:38:30 ]
quote:Overigens hoef je niet zo met priemfactorisaties te pielen. Je kunt ook met Jacobi-symbolen werken. Het Jacobi-symbool (a/n)Op zaterdag 17 oktober 2009 19:21 schreef Borizzz het volgende:
[..]
Prachtig dit
In één zin geheel duidelijk.
Je hoeft dus alleen factoren -1 en 2 weg te werken.
Het Jacobi-symbool geeft echter niet aan of a een kwadraatrest modulo n is. Hoe dat precies werkt, leg ik wel een andere keer uit (mocht daar behoefte aan zijn
).quote:Waar jij L hebt, zou ik een E zetten.
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
Denk ik?
Oh, één x vergeten Lx van te maken, nja \care.
Als je de afbeelding L wilt toepassen op een vector [x]b, moet je die vector eerst omzetten naar de normale basis, dat gaat met vermenigvuldigen van [v1 v2], dan de afbeelding L doen, en dan terugconverteren naar de basis b. Dat gaat met de volgende matrix:
B = Minv*E*M met M = [v1 v2];
Wat jij hebt is bijna goed, alleen de x in jouw laatste regel is een x in de standaardbasis.
4511x +1625y = ggd(4511, 1625)
Ik snap dit niet zo goed. Ik kan natuurlijk wel met Euclides' algoritme de ggd vinden (mits ik geen telfouten maak, maar dat terzijde ;p) en dan heb ik ggd(4511, 1625)=13. Moet ik dan gewoon de vergelijking 4511x+1625y=13 opschrijven als y=ax+b?
Stelling4.2. Laat a en b gehele getallen zijn,niet beide gelijk aan 0.Dan is de
grootste gemene deler van a en b gelijk aan het kleinste positieve element van de
verzameling
L = {ax + by : x,y ∈ Z}.
Eigenlijk snap ik dit vooral niet, maar ik denk dat je dit moet gebruiken bij die som. Het kleinste positieve element uit die verzameling is toch altijd a-b (aanagenomen dat a>b)?
quote:Ik denk dat je beter kunt beginnen met 4511 en 1625 vervangen door a*13 en b*13. Je weet dan dat a en b relatief priem zijn, als ik het goed heb.
1.Bepaal ggd(4511, 1625) en bepaal alle gehele x,y ∈ Z met:
4511x +1625y = ggd(4511, 1625)
Ik snap dit niet zo goed. Ik kan natuurlijk wel met Euclides' algoritme de ggd vinden (mits ik geen telfouten maak, maar dat terzijde ;p) en dan heb ik ggd(4511, 1625)=13. Moet ik dan gewoon de vergelijking 4511x+1625y=13 opschrijven als y=ax+b?
quote:Als a=10 en b=4 dan is 10-2*4 kleiner dan 10-4, maar toch positief.Stelling4.2. Laat a en b gehele getallen zijn,niet beide gelijk aan 0.Dan is de
grootste gemene deler van a en b gelijk aan het kleinste positieve element van de
verzameling
L = {ax + by : x,y ∈ Z}.
Eigenlijk snap ik dit vooral niet, maar ik denk dat je dit moet gebruiken bij die som. Het kleinste positieve element uit die verzameling is toch altijd a-b (aanagenomen dat a>b)?
quote:Het kan met Euclides, als volgt. We schrijven getallen als 4511x + 1625y.Op zondag 18 oktober 2009 14:55 schreef Hanneke12345 het volgende:
1.Bepaal ggd(4511, 1625) en bepaal alle gehele x,y ∈ Z met:
4511x +1625y = ggd(4511, 1625)
Ik snap dit niet zo goed. Ik kan natuurlijk wel met Euclides' algoritme de ggd vinden (mits ik geen telfouten maak, maar dat terzijde ;p) en dan heb ik ggd(4511, 1625)=13. Moet ik dan gewoon de vergelijking 4511x+1625y=13 opschrijven als y=ax+b?
| 1 2 | 1625 = 4511 * 0 + 1625 * 1 |
Nu doen we deling met rest: 4511 = 2 * 1625 + 1261. We trekken de tweede regel dus twee keer van de eerste af en krijgen
| 1 2 | 1261 = 4511 * 1 + 1625 * (-2) |
Dit geintje kunnen we herhalen:
| 1 2 3 4 5 | 364 = 4511 * (-1) + 1625 * 3 169 = 4511 * 4 + 1625 * (-11) 26 = 4511 * (-9) + 1625 * 25 13 = 4511 * 58 + 1625 * (-161) |
En 13 is de ggd want dat is een deler van 26.
We zoeken dus oplossingen van de vergelijking 4511x + 1625y = 0. Delen door 13 geeft 347x + 125y = 0, waarbij 125 en 347 onderling ondeelbaar zijn. UIt de vgl volgt 347x = -125y. We zien dat 347x deelbaar moet zijn door 125. Wegens ggd(125, 347) = 1 en uniciteit priemfactorontbinding geldt dat x al deelbaar is door 125. Schrijf x = 125r, dan volgt y = -347r. Het verschil tussen twee oplossingen van de vergelijking is dus altijd van de vorm (125r, -347r).
:x(1 + y) = y. Thus y = x/1−x
Het gaat trouwens om de inverse van x/1+x..
Daar maak ik van:
-integraal sinx/tanx + secx/tanx
-integraal sinx/(sinx/cosx) + 1/(sinx/cosx) * 1/sinx
- integraal sinx/1 * cosx/sinx + cosx/(sinx)^2
----> integraal cosx + cosx/(sinx)^2 dx wat doe ik fout want het boek komt op: integraal (cosx + csc x) dx
quote:Je vervangt secx door 1/sinx.
Integraal sinx+secx/tanx
Daar maak ik van:
-integraal sinx/tanx + secx/tanx
-integraal sinx/(sinx/cosx) + 1/(sinx/cosx) * 1/sinx
- integraal sinx/1 * cosx/sinx + cosx/(sinx)^2
----> integraal cosx + cosx/(sinx)^2 dx wat doe ik fout want het boek komt op: integraal (cosx + csc x) dx
quote:met alleen partieel integreren moet je eruit komen denk ik
Ik zoek de integraal van cos^4(x)sin^4(x) dmv substitutie en partiële integratie, maar ik zie niet direct welke richting ik uit zou moeten gaan. Heeft iemand een opstapje?
quote:Dat is ook precies wat ik heb gedaan..
quote:De vraag was toch wat je fout deed?
[..]
Dat is ook precies wat ik heb gedaan..
quote:o hahahhaOp zondag 18 oktober 2009 19:52 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
De vraag was toch wat je fout deed?
nou ff weer herzien 
Nou zegt het boek:
Bepaal eerst x4 en generaliseer naar xk. Heel leuk, maar waarom specifiek 4? en niet 3? of 5? Of maakt dit in principe niet uit?
Naja dan gaan ze uitschrijven:
x4 = 2x3 + 1 = 2(2x2+1) + 1 = .... verder uitschrijven... = 24x0 + 23 + 22 + 2 +1
Dus: xk = 2kx0 + 2k-1 + .... + 2 + 1 =
Tot dusverre snap ik het maar nu komt het:
2k+1 - 1 / 2-1
= 2k+1 - 1
Waar komt opeens die 2k+1 - 1 / 2-1 vandaan? Ik zie dat niet zo 1,2,3!
quote:Lees: Geometric progression.
Los op : [ afbeelding ]
Nou zegt het boek:
Bepaal eerst x4 en generaliseer naar xk. Heel leuk, maar waarom specifiek 4? en niet 3? of 5? Of maakt dit in principe niet uit?
Naja dan gaan ze uitschrijven:
x4 = 2x3 + 1 = 2(2x2+1) + 1 = .... verder uitschrijven... = 24x0 + 23 + 22 + 2 +1
Dus: xk = 2kx0 + 2k-1 + .... + 2 + 1 =
Tot dusverre snap ik het maar nu komt het:
2k+1 - 1 / 2-1
= 2k+1 - 1
Waar komt opeens die 2k+1 - 1 / 2-1 vandaan? Ik zie dat niet zo 1,2,3!
Deze ‘truc’ zul je nog wel vaker tegenkomen.
quote:cos2α + sin2α = 1,Op zondag 18 oktober 2009 19:42 schreef frenkck het volgende:
Ik zoek de integraal van cos^4(x)sin^4(x) dmv substitutie en partiële integratie, maar ik zie niet direct welke richting ik uit zou moeten gaan. Heeft iemand een opstapje?
dus:
cos4x = (1 - sin2x)2
Op dezelfde manier als de som eerder gepost kom ik tot:
Ik heb echt geen idee hoe ik nu verder moet.
quote:Ik zie vanuit die vorm nou niet echt hoe je makkelijk verder kan tot partiële integratie, die omschrijving had ik al wel bedacht ja.Op zondag 18 oktober 2009 20:35 schreef Riparius het volgende:
[..]
cos2α + sin2α = 1,
dus:
cos4x = (1 - sin2x)2
quote:Goed, volgende opstapje op de ladder dan maar ...Op zondag 18 oktober 2009 21:55 schreef frenkck het volgende:
[..]
Ik zie vanuit die vorm nou niet echt hoe je makkelijk verder kan tot partiële integratie, die omschrijving had ik al wel bedacht ja.
Als je de bedoelde substitutie maakt dan kun je de integrand omschrijven naar een polynoom in machten van sin x. Daarmee is het vraagstuk dus gereduceerd tot het integreren van sinnx. Daarvoor kun je de volgende recursieve formule gebruiken die je - inderdaad - af kunt leiden met partiële integratie:
Nu mag je zelf weer even aan de slag.
quote:Dat gaat hier niet werken. Het antwoord staat al vrijwel in de opgave, het opschrijven van een matrix betekent in wezen gewoon het uitschrijven van de beelden van basisvectoren van het domein in termen van de basis van het codomein.Op zondag 18 oktober 2009 21:44 schreef Hanneke12345 het volgende:
[ afbeelding ]
Op dezelfde manier als de som eerder gepost kom ik tot:
[ afbeelding ]
Ik heb echt geen idee hoe ik nu verder moet.
Wat is a en wat is b? Ik kom er ff niet meer uit, ja ik weet wat surjectief en injectief is, maar ik raak vet in de war door R² --> R² enzo, ik dacht eerst dat het niet surjecdtief en ook niet injectief was bij a, en toen dacht ik, nee wacht, 't is ook --> R² dus dat klopt niet, en nou ben ik de weg kwijt
Iemand antwoord plus heldere uitleg het waarom?SPOILERb weet ik helemaal niet door dat x-3 en y-5
Een functie van de ℝ2 → ℝ2 kun je je voorstellen als een functie die een punt uit een vlak pakt, en die afbeeldt op een punt (in een ander vlak).
quote:A is surjectief, want bij elke b uit B hoort minstens één A, en dat is ook het geval. Maar niet injectief, want niet elke b uit B heeft hoogstens een origineel, want -1² = 1 en 1² = 1.Op zondag 18 oktober 2009 22:53 schreef Iblis het volgende:
Ik snap niet waarom je het niet snapt. Wat betekent ‘surjectief’? Dat elke waarde uit het bereik als beeld optreedt. Wat is het bereik? Treedt elke waarde op?
Een functie van de ℝ2 → ℝ2 kun je je voorstellen als een functie die een punt uit een vlak pakt, en die afbeeldt op een punt (in een ander vlak).
B is surjectief, want bij elke b uit B hoort minstens één A, en is niet injectief want niet elke b uit B heeft hoogstens een origineel, want y+5 met y = -1² wordt 6 en met y=1² wordt 6. Klopt dit?
Hoe moet ik nu aantonen dat deze verzameling reflexief, symmetrisch en transitief is?
a1Ra2
a1 = -2
a2 = -1² = 1
-2 != 1?
quote:Alle kwadraten van reeele getallen?
Dus 1², 2², 2 1/2², maar ook pi² etc.
In het geval van a) geldt f(x,y) = (x, 1), b.v. f(3,4) = (3,1) – dus je kwadrateert die waarden niet (zoals jij wilt). Het geeft alleen aan ‘dat de functie twee parameters heeft’ – maar dat is in informatica-termen praten. En f(5,6) = (5,1)$. Kortom, alle punten uit het ene vlak worden door die functie afgebeeld op een lijn in het andere vlak.
Voor de functie van b) geldt dat f(10,8) = (10 - 3, 8 + 5) = (7,13). Nu heb je hopelijk door hoe die notatie werkt.
quote:Uhm, nee. R2 zijn alle paren (x, y) van reele getallen, te visualiseren als punten in het vlak.Op zondag 18 oktober 2009 23:05 schreef Diabox het volgende:
[..]
Alle kwadraten van reeele getallen?
Dus 1², 2², 2 1/2², maar ook pi² etc.
quote:Ik snap het helaas nog niet helemaal, ten eerste;Op zondag 18 oktober 2009 23:09 schreef Iblis het volgende:
Je snapt de notatie ℝ2 niet volgens mij. Dit geeft gewoon aan dat het domein (en het bereik ook hier) twee dimensies heeft. Een waarde uit het domein heeft dus twee componenten. Zoals je je ℝ kunt voorstellen als een lijn, kun je je ℝ2 als een vlak voorstellen. Een waarde uit ℝ is een punt op een lijn, een waarde uit ℝ2 is een punt in een vlak.
In het geval van a) geldt f(x,y) = (x, 1), b.v. f(3,4) = (3,1) – dus je kwadrateert die waarden niet (zoals jij wilt). Het geeft alleen aan ‘dat de functie twee parameters heeft’ – maar dat is in informatica-termen praten. En f(5,6) = (5,1)$. Kortom, alle punten uit het ene vlak worden door die functie afgebeeld op een lijn in het andere vlak.
Voor de functie van b) geldt dat f(10,8) = (10 - 3, 8 + 5) = (7,13). Nu heb je hopelijk door hoe die notatie werkt.
Bij a staat ℝ2 --> ℝ2, dus dan zou dit toch in feite betekenen dat het van een vlak naar een vlak gaat i.p.v. een lijn naar een vlak? (Ook snap ik het lijn/vlak gebeuren niet echt).
En bij b) is het dus zo dat het surjectief én injectief is, aangezien dus ieder punt in het beeld wordt "gedekt" door één punt in het domein, toch? Die -3 en +5 doen er in feite niks aan lijkt mij.
Edit: Ik snap het lijn/vlak gedoe nu wel, ℝ2 betekent gewoon dat het 2 parameters zijn met de eigenschap ℝ zeg maar, dit kon inprincipe ook ℝ3 wezen waardor het (x,y,z) zijn, een 3d-vlak.
[ Bericht 4% gewijzigd door Diabox op 18-10-2009 23:25:23 ]
| 1 2 3 4 5 6 7 8 | float x; float y; } public R² f(R² o) { return (o.x, 1); } |
ℝ² geeft in feite het type aan van de waarden in het domein (en ook in het bereik). En dat type kun je je voorstellen als paartje met een x en een y. f levert net zo’n paartje op, behalve dat het altijd het tweede element op 1 zet.
Die f(a) = a2 functie is een andere vraag, die moet je hier nog even niet in betrekken.
quote:a1 R a2 wil dus zeggen dat f(a1) = f(a2), m.a.w. (a1)2 = (a2)2. Voor welke paartjes geldt dit allemaal?
[ afbeelding ]
Hoe moet ik nu aantonen dat deze verzameling reflexief, symmetrisch en transitief is?
a1Ra2
a1 = -2
a2 = -1² = 1
-2 != 1?
b) is surjectief én injectief (die -3 en +5 doen er eigenlijk niet toe toch?), dus het is bijectief, dus er bestaat een inverse functie en die is:
f(x,y) = (x-3,y+5)
Dus de x bij het beeld was eerst 3 hoger en de y in het beeld 5 lager, dus de inverse functie is
f-1(x,y) = (x+3,y-5) , toch?
Ik doe het nu in woorden, maar volgens mij kan dit heel netjes met een vergelijking opgelost worden, weet alleen nu even niet hoe
quote:Voor de paren {-2,2}, {-1,1} en {0}, maar dit zijn niet alle punten uit de verzameling, maar als er minstens één deelverzameling is die voldoet aan a1Ra2 dan kan je zeggen hij is reflexief? Of wacht, ik hoef dit zeker dus alleen aan te tonen voor de deelverzamelingen en niet de verzameling op zichzelf, en vervolgens zijn deze verschillende deelverzamelingen de verschillende equivalentieklassen?Op zondag 18 oktober 2009 23:27 schreef Iblis het volgende:
[..]
a1 R a2 wil dus zeggen dat f(a1) = f(a2), m.a.w. (a1)2 = (a2)2. Voor welke paartjes geldt dit allemaal?
quote:Injectief is-ie inderdaad niet want f(x,y) = f(x,z) of concreter f(3,2) = f(3,5) = (3,1).
Oké, dus a) is alleen surjectief, iedere b uit B heeft namelijk minstens één element uit a. En niet injectief, want het beeld y is altijd 1, dus zijn er meerdere elementen uit a die zorgen voor hetzelfde beeld b.
Maar nu surjectief: Dan moet élke waarde uit het bereik voorkomen. Maar ℝ2 bevat álle paartjes van getallen, dus ook b.v. (10,10). Of (π,π). Wanneer treden die op als beeld?
quote:Ja, het is injectief. In feite wordt het hele vlak ‘3 omlaag en 5 naar links geschoven’. Dus alle punten blijven even ver van elkaar liggen, ze veranderen onderling niet. Natuurlijk kun je het wel formeel doen:b) is surjectief én injectief (die -3 en +5 doen er eigenlijk niet toe toch?), dus het is bijectief, dus er bestaat een inverse functie en die is:
f(x,y) = (x-3,y+5)
Dus de x bij het beeld was eerst 3 hoger en de y in het beeld 5 lager, dus de inverse functie is
f-1(x,y) = (x+3,y-5) , toch?
Ik doe het nu in woorden, maar volgens mij kan dit heel netjes met een vergelijking opgelost worden, weet alleen nu even niet hoe
f(x,y) = (x - 3, y - 5), m.a.w. f(x1, y1) = f(x2, y2) betekent (x1 - 3, y1 - 5) = (x2 - 3, y2 - 5), dus x1 - 3 = x2 - 3 en y1 - 5 y2 - 5. En dat kan alleen als x1 = x2 en y1 = y2.
En surjectief volgt inderdaad uit het feit dat je zo een inverse kunt uitrekenen.
quote:Je kunt getallen ook met zichzelf paren. Er staat nergens dat a1 ≠ a2 moet gelden. Dus (-2, -2) is ook een paartje.
[..]
Voor de paren {-2,2}, {-1,1} en {0}, maar dit zijn niet alle punten uit de verzameling, maar als er minstens één deelverzameling is die voldoet aan a1Ra2 dan kan je zeggen hij is reflexief? Of wacht, ik hoef dit zeker dus alleen aan te tonen voor de deelverzamelingen en niet de verzameling op zichzelf, en vervolgens zijn deze verschillende deelverzamelingen de verschillende equivalentieklassen?
quote:(10,10) --> (10,1)Op zondag 18 oktober 2009 23:37 schreef Iblis het volgende:
[..]
Injectief is-ie inderdaad niet want f(x,y) = f(x,z) of concreter f(3,2) = f(3,5) = (3,1).
Maar nu surjectief: Dan moet élke waarde uit het bereik voorkomen. Maar ℝ2 bevat álle paartjes van getallen, dus ook b.v. (10,10). Of (π,π). Wanneer treden die op als beeld?
(π,π) --> (π, 1)
Ze treden toch allemaal op als beeld? Alleen omvat het beeld van y alle getallen R van het domein.
quote:Dus;Op zondag 18 oktober 2009 23:38 schreef Iblis het volgende:
[..]
Je kunt getallen ook met zichzelf paren. Er staat nergens dat a1 ≠ a2 moet gelden. Dus (-2, -2) is ook een paartje.
{-2,-2}, {-2,2}, {-1,-1}, {-1,1}, {0}?
En nu hoef ik dus maar van 1 van deze paren aan te tonen dat zij zowel reflexief, symmetrisch als transitief is?Oftewel, dat dit een equivalentierelatie definieert? En de equivalentieklassen zijn dus alle paren die ik daarnet noemde?
quote:Voor geeneen van alle, dus hij is ook niet surjectief?Op zondag 18 oktober 2009 23:43 schreef Iblis het volgende:
Nee, voor welke (x,y) geldt f(x, y) = (10, 10), dát wil ik van je weten, of voor welke (x, y) geldt f(x, y) = (π, π)?
quote:Nee, nee, nee, nee. Er is een relatie, die op A is gedefinieerd. D.w.z. die geldt tussen elementen van A. Net zoals b.v. ≤ op de getallen is gedefinieerd, en tussen twee getallen geldt, geldt R tussen twee elementen van A. Dus neem b.v. (-2, -1), nu is de vraag, geldt -2 R -1? Nou, kijk naar de definitie van R en die zegt er moet gelden f(-2) = f(-1), dus nee, R geldt niet voor die twee.
[..]
Dus;
{-2,-2}, {-2,2}, {-1,-1}, {-1,1}, {0}?
En nu hoef ik dus maar van 1 van deze paren aan te tonen dat zij zowel reflexief, symmetrisch als transitief is?Oftewel, dat dit een equivalentierelatie definieert? En de equivalentieklassen zijn dus alle paren die ik daarnet noemde?
Maar neem nu -2 en 2, geldt -2 R 2? Ja, want f(-2) = f(2) = 4. Of neem 5 en 5, er geldt f(5) = f(5) = 25, dus 5 R 5.
Als R een equivalentie relatie is geldt dus voor élke a ∈ A dat a R a (ga na), en voor a, b ∈ A geldt a R b ⇔ b R a en als laatste geldt voor a, b, c ∈ A: als a R b en b R c dan ook a R c. En dat moet je nagaan.
Ik snap niet waarom je opeens naar maar één paartje gaat – we hebben toch onlangs tal van die voorbeelden behandeld? Kun je niet nagaan hoe je die toen gedaan hebt?
Je kunt nu b.v. ook weer zo’n graaf tekenen met 8 punten voor de getallen -2 t/m 5, en ze verbinden als R geldt, als je dat helpt.
quote:Inderdaad, het domein van de functie moet samenvallen met de ℝ2 wil deze surjectief zijn, maar dat is niet zo, alleen één ‘lijn’ in de ℝ2 treedt op als beeld, namelijk die waarvoor y = 1.
[..]
Voor geeneen van alle, dus hij is ook niet surjectief?
En ja ik weet dat we onlangs genoeg van die voorbeelden hebben behandeld, maar alles blijft heel slecht hangen bij mij
, en ik heb ook 6 hoofdstukken geleerd in de afgelopen 3-4 dagen en ik ben echt super slecht in wiskunde, dus alles gaat bij mij nogal traag.SPOILERHad voor m'n wiskunde examen 'n 3 komma zoveel, en heb dus ook herexamen moeten doen, na 'n week keihard leren kwam er gelukkig 'n 6,6 uit, het duurt allemaal gewoon wat langer bij mij
Echter, 6 hoofdstukken in 3–4 dagen, zit je keihard te blokken voor je tentamens? In dat geval: begin de volgende keer op tijd, zeker als je geen ster bent in Wiskunde. In zulke korte tijd worden heel veel dingen die prima te doen zijn als je er genoeg tijd voor neemt veel lastiger. Onder de tijdsdruk moet je door en door, terwijl je anders gewoon wat anders kunt doen, het even kunt laten bezinken – wat ook heel belangrijk is – en er later weer fris mee verder kunt. Het is echt veel en veel slimmer om het uit te spreiden.
Als je het zo snel doet, dan ga je op een gegeven moment alleen het trucje leren, en dan denk je het ongeveer te kunnen, nadat je het vier keer gezien hebt, maar het blijkt dan toch niet zo te zijn. En dat breekt je vroeg of laat op.
Ik zie de afgelopen dagen tig onderwerpen langskomen: Doe je een overstap HBO-WO?
quote:Nope, ben gewoon gelijk van het VWO naar het WO gegaan, alleen het zit zo, ik heb in de 5e en 6e zo goed als niks aan wiskunde gedaan, met wat geluk en wat practica cijfers en dat soort dingen kwam ik toch uit met 'n 5,4 voordat ik mijn examens inging. Dat terwijl ik zo goed als niks kon met wiskunde. Met het examen haalde ik dan ook 'n 3,nogwat waarbij ik die 3 punten wist te pakken met kansberekening (enige dat ik voor de volle 100% snap) en slim punten zien te pakken door sommige dingen gewoon over te schrijven en 'n beetje te gaan vereenvoudigen. Dus in principe verdiende ik 'n 1, voor het herexamen ben ik dus keihard wezen blokken, examen-gericht, dus sommige basis dingen die niet in de examens voorkwamen, maar die ik wel zeker hoor te kennen kon ik toen niet, verder skipte ik sommige onderwerpen zodat ik meer tijd had om andere onderwerpen te leren (zo heb ik niks meegekregen van sommen en rijen). Vandaar dat mijn wiskunde kennis nogal slecht is, de reden dat ik deze keer te laat ben begonnen is simpel, ik dacht dat ik als eerst van 2 andere vakken een tentamen zou hebben alvorens ik wiskunde zou krijgen, bleek dus dat ik maandag al wiskunde zou hebben.Op maandag 19 oktober 2009 00:06 schreef Iblis het volgende:
Je hoeft het natuurlijk niet per se voor alle paartjes expliciet te doen, want je kunt in principe wel aan de definitie zien voor welke het geldt (en dus wat de equivalentieklassen zijn), maar uiteindelijk moet je redenatie wel álle paartjes afdekken.
Echter, 6 hoofdstukken in 3–4 dagen, zit je keihard te blokken voor je tentamens? In dat geval: begin de volgende keer op tijd, zeker als je geen ster bent in Wiskunde. In zulke korte tijd worden heel veel dingen die prima te doen zijn als je er genoeg tijd voor neemt veel lastiger. Onder de tijdsdruk moet je door en door, terwijl je anders gewoon wat anders kunt doen, het even kunt laten bezinken – wat ook heel belangrijk is – en er later weer fris mee verder kunt. Het is echt veel en veel slimmer om het uit te spreiden.
Als je het zo snel doet, dan ga je op een gegeven moment alleen het trucje leren, en dan denk je het ongeveer te kunnen, nadat je het vier keer gezien hebt, maar het blijkt dan toch niet zo te zijn. En dat breekt je vroeg of laat op.
Ik zie de afgelopen dagen tig onderwerpen langskomen: Doe je een overstap HBO-WO?
Daar verslikt menig student in, dus het is allemaal geen drama, maar als je doorgaat zoals op het VWO, dan kun je het eigenlijk wel vergeten. En áls je het al haalt: je komt jezelf tegen doordat je het niet goed in de vingers hebt. Je doet jezelf echt een plezier door er gewoon met regelmaat aan te werken.
En b.v. nu naar bed te gaan.
Beter uitgerust dan helemaal sloom en moe. En precies werken.quote:Mja, ik dacht weer hetzelfde te kunnen doen op de univeristeit, zoals ik het dee op het VWO, helaas ligt het tempo inderdaad (heel veel) hoger en wil ik het inderdaad liever gewoon allemaal kunnen.Op maandag 19 oktober 2009 00:15 schreef Iblis het volgende:
Oké, dan is er op zich niet veel verloren als dit je eerste poging is, maar begin op tijd voor deel 2, en ook voor je herexamen mocht het nodig zijn. Wiskunde op de universiteit is echt wel een ander pakkie-an dan op het VWO. En nu is informatica nog redelijk te behappen, het is allemaal echt hoger tempo dan VWO.
Daar verslikt menig student in, dus het is allemaal geen drama, maar als je doorgaat zoals op het VWO, dan kun je het eigenlijk wel vergeten. En áls je het al haalt: je komt jezelf tegen doordat je het niet goed in de vingers hebt. Je doet jezelf echt een plezier door er gewoon met regelmaat aan te werken.
En b.v. nu naar bed te gaan.
En nu naar bed gaan heeft voor mij geen zin
, werd vandaag pas om 12 uur wakker en ik heb nogal een inslaap probleem, normaal duurt het 1 uur voordat ik slaap, maar op de zondag meestal 2 uur, dus dan ga ik meestal ook 'n stuk later op bed, zodat het wel meevalt. Verder hoef ik pas rond kwart voor 1 's middags in de bus te zitten, dus kan morgen lekker uitslapen Al zet ik wel 'n wekkertje om 10 uur om nog even te kunnen leren! Je hebt twee rijen getallen, an en bn, limiet van ab gaat naar nul, maar limiet van an en bn gaan beide niet naar nul. Zoek een a en b...??
Ik heb gister heel lang zitten kloten met sin, cos, 1/n,... maar ben er niet uitgekomen... Iemand een idee?
an= 1 als n even is en 1/n als n oneven is
bn= 1/n als n even is en 1 als n oneven is
beiden hebben geen limiet, maar het product wel.
Je moet trouwens sowieso minstens één rij nemen die geen limiet heeft. want als an en bn wel een limiet hebben kan je makkelijk aantonen dat dit niet kan.
an= 0,1,0,1,0,1,0,...
bn= 1,0,1,0,1,0,1,...
quote:je hebt gelijk inderdaad, ik dacht dat die rij echt naar 1 punt moest divergeren, maar er staat als voorwaarde dat als de limiet niet bestaat, dan divergeert de rij...Op maandag 19 oktober 2009 13:06 schreef Dzy het volgende:
Zonder absolute waarde is het: [1,-1,1,-1...], de limiet bestaat niet. Als je de absolute waarde neemt convergeert hij gewoon naar 1.
Terwijl de gewone Harmonische reeks
divergeert.
quote:dat kan nietOp maandag 19 oktober 2009 13:34 schreef Dzy het volgende:
Wel een beetje flauwe oplossing maar ik zit een beetje na te denken maar ik kan zo niet echt iets bedenken waarbij het anders kan.
een rij die divergeert naar +oneindig of -oneindig zal nooit convergeren in absolute waarde, dat is eenvoudig te bewijzen
Bepaal P4 (x), het vierde orde Taylor-polynoom, van f (x) = x² e^x−sin(x²) , rond x = 0.
Nu verwacht ik dat de oplossing onuitgewerkt als volgt te schrijven is:
f (x) = x²(1 + x +(x²/2) +(x³/6)) − ((x² ) + (x⁴/4!))
Nu klopt dit niet, want i.p.v. (x³/6) wordt geschreven als O(x³) en (x⁴/4!) wordt geschreven als O(x⁶).
(O= Grote O)..
Wie kan mij hier verder meehelpen ?
quote:Tuurlijk,Op maandag 19 oktober 2009 14:36 schreef Iblis het volgende:
Kun je iets uitgebreider zijn waar je de termen vandaan haalt? Dan kan ik misschien specifiek zeggen waar je de fout in gaat.
Ik gebruik de standaard taylorpolynomen van e^x en sin (x) rond x=0
Voor e^x is dit: 1+x+(x²/2)....
Voor sin(x) is dit: x-(x³/6)+(x⁵/5!)....
Nu zie ik wel in mijn boek staan dat e^x= 1+x+(x²/2)+O(x³), maar dit snap ik al niet helemaal denk ik :
quote:Nee staat er niet bij, maar bij het uitwerken hiervan wordt het nog vager voor mij,Op maandag 19 oktober 2009 14:36 schreef Iblis het volgende:
Edit, oh, hij is wel correct, maar je bent haakjes vergeten x2(ex + sin(x2)). Het is dan verder een notatie kwestie, staat er niet bij hoeveel termen je moet?
x³ + 1/2(x⁴) + O(x⁵ ). Hoe komen ze dan aan de grote O(x⁵)?
quote:Ja, denk dat daar de crux zit.Op maandag 19 oktober 2009 14:42 schreef Iblis het volgende:
Het probleem is dus met name de betekenis van O(xn)?
M.a.w. als de eerste term die je weglaat c·xn is, dan krijg je + O(xn). Dit is niet echt een truc, want die O heeft wel zeker betekenis.
Die is als volgt, als men zegt:
dan zegt men dat voor voldoende kleine waarden van x f(x) kleiner of gelijk is aan g(x) maal een positieve constante c. M.a.w.:
Het is voor voldoende kleine x, omdat het ‘verder weg’ niet hoeft te gelden, een functie kan best richting oneindig b.v. (heel veel) groter zijn dan g(x), als richting 0 dit gedrag maar klopt.
Laten we nu nog eens naar de machtreeks van ex rond 0 kijken:
Met O-notatie, afgebroken na de 4e term wordt dit b.v.:
Dit geeft aan dat wat ik weglaat richting 0 kleiner of gelijk is dan c·x4 voor een zekere positieve c. Nu, dat klopt natuurlijk, kies b.v. c = 1/24, of gewoon c=1 (je vermeldt het doorgaans niet echter welke c het is, dat hoeft ook niet).
Een andere interpretatie is dat |ex - (1 + x + (x2)/2 + (x3)/6)| richting 0 kleiner is dan c·x4 voor een zekere c.
Maar, nu zeg je misschien, en wat dan nog, ik zou toch ook hebben kunnen schrijven: O(x2)? Want tussen 0 en 1 is x2 altijd groter dan x4.
En dat klopt, die O-notatie is ‘een ruwe schatting’. Daarom vertelt deze niet altijd bijster veel over het gedrag van je functie. Gebruik is echter om een ‘zo strak mogelijke’ grens te trekken, en dat is in dit geval x4.
Merk op dat verder als je meerdere O-termen hebt, b.v. O(x4) + O(x6), je de grotere weg moet halen. Immers, die x4 term geeft rond 0 de grootste fout.
Als laatste kan x ook naar b.v. ∞ gaan, dan wordt de notatie ook wel gebruikt. Of, bij een ontwikkeling rond een bepaald punt a, is de interpretatie dat x → a.
[ Bericht 10% gewijzigd door Iblis op 19-10-2009 15:31:36 ]
quote:In dit geval gaat het niet om limieten met x naar oneindig, maar x naar 0.Op maandag 19 oktober 2009 15:03 schreef Iblis het volgende:
Als je die Taylor-polynomen uitschrijft, dan moet je op een gegeven moment stoppen, immers je kunt wel blijven schrijfen. Om nu toch wat te zeggen over de termen die je weglaat gebruik je de Grote-O-notatie. Praktisch gezien komt die erop neer dat deze de vorm O(xn) heeft waarbij O(xn) de x-macht is in de eerste term die je weglaat. Zou je b.v. ex verder expanderen, dan krijg je als volgende term x3/6. In die grote-O-notatie laat je de constanten echter weg.
M.a.w. als de eerste term die je weglaat c·xn is, dan krijg je + O(xn). Dit is niet echt een truc, want die O heeft wel zeker betekenis.
Die is als volgt, als men zegt:
[ afbeelding ]
dan zegt men dat voor voldoende grote waarden van x f(x) kleiner of gelijk is aan g(x) maal een positieve constante c. M.a.w.:
[ afbeelding ]
Het is voor voldoende grote x, omdat het ‘in het begin’ niet hoeft te gelden, een functie kan best rond 0 b.v. (heel veel) groter zijn dan g(x), als richting oneindig dit gedrag maar klopt.
Laten we nu nog eens naar de machtreeks van ex rond 0 kijken:
[ afbeelding ]
Met O-notatie, afgebroken na de 4e term wordt dit b.v.:
[ afbeelding ]
Dit geeft aan dat wat ik weglaat richting oneindig kleiner of gelijk is dan c·x4 voor een zekere positieve c. Nu, dat klopt natuurlijk, kies b.v. c = \frac{1}{24} (je vermeldt het doorgaans niet echter welke c het is). Maar, nu zeg je misschien, en wat dan nog, ik zou toch ook hebben kunnen schrijven: O(x10)? Want voor c = 1/10! klopt dat ook zeker weten.
En dat klopt, die O-notatie is ‘een ruwe schatting’. Daarom vertelt deze niet altijd bijster veel over het gedrag van je functie. Gebruik is echter om een ‘zo strak mogelijke’ grens te trekken, en dat is in dit geval x4.
Merk op dat verder als je meerdere O-termen hebt, b.v. O(x4) + O(x6), je de grotere weg kunt halen – immers, als O(x4) geldt dan zeker ook O(x6).
quote:Ik met m’n informatica-mindset soms.Op maandag 19 oktober 2009 15:08 schreef thabit het volgende:
[..]
In dit geval gaat het niet om limieten met x naar oneindig, maar x naar 0.
quote:bedankt!Op maandag 19 oktober 2009 13:52 schreef Iblis het volgende:
Omgekeerd is wel er een ‘mooier’ voorbeeld, de alternerende Harmonische reeks convergeert:
[ afbeelding ]
Terwijl de gewone Harmonische reeks
[ afbeelding ]
divergeert.
quote:Op maandag 19 oktober 2009 16:51 schreef thabit het volgende:
Alleen het gedeelte dat in dit topic is voorgekauwd is correct.
commentaar is wel welkom hoor! misschien heb ik de definitie van een deelrij niet goed begrepen?
het bewijs is een beetje krom, dat weet ik, maar bij die andere vragen zie ik niet zo goed wat ik fout heb gedaan?
Los op: xk = -xk-1 + 4 (k >= 1), x0 = 7.
quote:Schrijf 3 termen uit, dan zie je het vanzelf.Op maandag 19 oktober 2009 17:37 schreef Diabox het volgende:
Ik kreeg de volgende vraag tijdens mijn tentamen, maar het lukte mij niet om deze op te lossen, maar ben toch wel benieuwd naar hoe die moet;
Los op: xk = -xk-1 + 4 (k >= 1), x0 = 7.
quote:Ik had hem uitgeschreven voor k =4 en k=3, er kwam dus uit dat hij voor alle even k's 7 was, en voor alle oneven k's -3, maar hoe verder?Op maandag 19 oktober 2009 17:41 schreef thabit het volgende:
[..]
Schrijf 3 termen uit, dan zie je het vanzelf.
SPOILERHoezo trouwens 3 termen en niet 2?