SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Is dit surjectief, injectief of bijectief?
Injectief is het iniedergeval niet, dus bijectief ook niet, maar ik denk dat het surjectief is, maar het schijnt geen van allen te zijn, iemand die mij een zeker antwoord kan geven + uitleg waarom het niet/wel surjectief is.
?
Injectief betekent zowel surjectief als injectief. Als het dus niet injectief of surjectief is, kan het per definitie niet bijectief zijn.
Wat betekent injectief?
f(x) = f(y) ⇔ x = y.
Is dat zo bij x2? Nee: (-5)2 = 52 maar (-5) ≠ 5.
Wat betekent surjectief?
Dat élke waarde uit het bereik van de functie inderdaad een beeld is van een bepaalde waarde uit het domein. M.a.w. als je een functie van ℝ → ℝ hebt, dan moeten alle waarden uit ℝ voorkomen als ‘functiewaarde’.
Is dat zo bij x2? Nee, natuurlijk niet, want ∀x : x2 ≥ 0. Dus -1 is nooit het beeld van deze functie.
Kortom, niet injectief, niet surjectief (en dus automatisch niet bijectief).
Wat betekent injectief?
f(x) = f(y) ⇔ x = y.
Is dat zo bij x2? Nee: (-5)2 = 52 maar (-5) ≠ 5.
Wat betekent surjectief?
Dat élke waarde uit het bereik van de functie inderdaad een beeld is van een bepaalde waarde uit het domein. M.a.w. als je een functie van ℝ → ℝ hebt, dan moeten alle waarden uit ℝ voorkomen als ‘functiewaarde’.
Is dat zo bij x2? Nee, natuurlijk niet, want ∀x : x2 ≥ 0. Dus -1 is nooit het beeld van deze functie.
Kortom, niet injectief, niet surjectief (en dus automatisch niet bijectief).
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Overigens, één en ander hangt dus af van hoe je bereik en domein specificeert, jij hebt nu:
Zou je hebben:
Dan is deze functie wél surjectief. Zou je hebben:
Dan is ze zelfs bijectief.
Ook voor:
geldt dat. Informeel wordt wel over ‘injectieve’ of ‘bijectieve’ functies gesproken, maar in feite is dit altijd gekoppeld aan een domein en bereik (of codomein). En dat moet je eigenlijk ook altijd netjes vermelden.
Zou je hebben:
Dan is deze functie wél surjectief. Zou je hebben:
Dan is ze zelfs bijectief.
Ook voor:
geldt dat. Informeel wordt wel over ‘injectieve’ of ‘bijectieve’ functies gesproken, maar in feite is dit altijd gekoppeld aan een domein en bereik (of codomein). En dat moet je eigenlijk ook altijd netjes vermelden.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Ik snap het nu denk ik, 
toevallig waren die 2 voorbeelden die je gaf de 2 opvolgende opgaven en die had ik wel al goed 
En als ik het goed begrijp dan is met :
A = B = R, f(x) = e^x het geen van alle en
A = B = R, f(x) = sin x het ook geen van alle
toevallig waren die 2 voorbeelden die je gaf de 2 opvolgende opgaven en die had ik wel al goed En als ik het goed begrijp dan is met :A = B = R, f(x) = e^x het geen van alle en
A = B = R, f(x) = sin x het ook geen van alle
Waarom zou ex niet injectief zijn? Weet jij een x ≠ y zodanig dat ex = ey?
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Hm, na lang denkwerk weet ik er toch geen, dus inderdaad injectief.quote:Op donderdag 15 oktober 2009 15:01 schreef Iblis het volgende:
Waarom zou e[,sup]x[/sup] niet injectief zijn? Weet jij een x ≠ y zodanig dat ex = ey?
Zeg, dat is geen bewijs natuurlijk! Als je dat niet weet: wat is de afgeleide van ex? Wat betekent dat dus?quote:Op donderdag 15 oktober 2009 15:10 schreef Diabox het volgende:
[..]
Hm, na lang denkwerk weet ik er toch geen, dus inderdaad injectief.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
De afgeleide van ex is gelijk aan zichzelf.quote:Op donderdag 15 oktober 2009 15:14 schreef Iblis het volgende:
[..]
Zeg, dat is geen bewijs natuurlijk! Als je dat niet weet: wat is de afgeleide van ex? Wat betekent dat dus?
En ∀x:ex > 0, dus het is een monotoon stijgende functie, die moet wel injectief zijn.quote:
[..]
De afgeleide van ex is gelijk aan zichzelf.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Dankjewel voor de uitleg.quote:Op donderdag 15 oktober 2009 15:51 schreef Iblis het volgende:
[..]
En ∀x:ex > 0, dus het is een monotoon stijgende functie, die moet wel injectief zijn.
Nog een vraagje, wat is het verschil tussen een lineaire en partiële ordening? De uitleg in mijn boek is nogal vaag.
De ideeën zijn hetzelfde in feite, behalve dat in een partiële ordening sommige elementen ‘onvergelijkbaar zijn’.quote:
[..]
Dankjewel voor de uitleg.
Nog een vraagje, wat is het verschil tussen een lineaire en partiële ordening? De uitleg in mijn boek is nogal vaag.
Neem b.v. ≤, dat is een lineaire (of totale) ordening op de natuurlijke getallen.
Neem nu als operatie ⊆, en neem verzamelingen, ook hier is deze weer reflexief, er geldt s ⊆ s, en transitiviteit geldt ook. Maar er geldt níét altijd dat r ⊆ s óf s ⊆ r, ga maar na, neem b.v. {1, 2} en {2, 3}. {1, 2} is geen deelverzameling van {2, 3}, en omgekeerd ook niet.
Je kunt dus niet, zoals op de getallenlijn (waarbij elk getal kleiner of gelijk is dan al z’n opvolgers), verzamelingen in een lange keten rangschikken. Natuurlijk ∅ zit in alle verzamelingen, maar daarna wordt het een soort boom (hier voor {x, y, z}), de pijlen geven ⊆ aan.
Bron: Wikimedia Commons. Maker: KSmrq. Licentie: CC-BY-SA.
Er geldt alleen: als r ⊆ s, dan niet s ⊆ r tenzij s = r, of anders gezegd, als r ⊆ s en s ⊆ r, dan r = s. Dit ‘in plaats van’ die 3e eigenschap bij een lineaire ordening.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Op Wikipedia staat:
Informeel gesproken koppelt een afbeelding ieder element uit een verzameling aan ten hoogste één element uit een andere (of dezelfde) verzameling.
In mijn boek staat:
Het kenmerkende van een afbeelding of functie van A naar B, kort genoteerd als f : A --> B, door f aan elk element van A precies één element van B toegekend wordt.
Welk is nu juist?
Edit:
Oh oops staat hetzelfde, alleen las ik het als: door f aan elk element van B precies een element van A toegekend wordt. 
Informeel gesproken koppelt een afbeelding ieder element uit een verzameling aan ten hoogste één element uit een andere (of dezelfde) verzameling.
In mijn boek staat:
Het kenmerkende van een afbeelding of functie van A naar B, kort genoteerd als f : A --> B, door f aan elk element van A precies één element van B toegekend wordt.
Welk is nu juist?
Edit:
Oh oops staat hetzelfde, alleen las ik het als: door f aan elk element van B precies een element van A toegekend wordt.
De vraag luidt:
Is de relatie R op de verzameling lijnen L in het vlak gegeven door lRm wil zeggen l staat loodrecht op m een equivalentierelatie?
Ik heb nee, want l en l kunnen dan nooit loodrecht opelkaar staan, dus is het geen equivalentierelatie, maar hoe verwoord ik dit correct?
Daarna de vraag:
Idem met lRm wil zeggen l en m hebben dezelfde richting, ik heb:
Ja, lRl, l en l hebben altijd dezelfde richting, dus reflexief
lRm l en m hebben dezelfde richting --> m en l hebben dezelfde richting, mRL. dus symmetrisch
lRm
l en m hebben dezelfde richting
mRz
m en z hebben dezelfde richting
--> l en z zelfde richting
lRz
dus transitief, dus equivalentierelatie, maar hoe verwoord ik dit correct?
Is de relatie R op de verzameling lijnen L in het vlak gegeven door lRm wil zeggen l staat loodrecht op m een equivalentierelatie?
Ik heb nee, want l en l kunnen dan nooit loodrecht opelkaar staan, dus is het geen equivalentierelatie, maar hoe verwoord ik dit correct?
Daarna de vraag:
Idem met lRm wil zeggen l en m hebben dezelfde richting, ik heb:
Ja, lRl, l en l hebben altijd dezelfde richting, dus reflexief
lRm l en m hebben dezelfde richting --> m en l hebben dezelfde richting, mRL. dus symmetrisch
lRm
l en m hebben dezelfde richting
mRz
m en z hebben dezelfde richting
--> l en z zelfde richting
lRz
dus transitief, dus equivalentierelatie, maar hoe verwoord ik dit correct?
Voor een equivalentierelatie moet gelden dat ze reflexief, symmetrisch én transitief is. Daar l R l niet geldt, geldt de reflexiviteit niet, ergo, het is geen equivalentierelatie. (Transitiviteit gaat ook niet op overigens.) Dat opmerken is voldoende. Gewoon de eisen erbij halen, en zeggen dat de relatie er niet aan voldoet.quote:
De vraag luidt:
Is de relatie R op de verzameling lijnen L in het vlak gegeven door lRm wil zeggen l staat loodrecht op m een equivalentierelatie?
Ik heb nee, want l en l kunnen dan nooit loodrecht opelkaar staan, dus is het geen equivalentierelatie, maar hoe verwoord ik dit correct?
Zo als je hier boven doet. Ik weet niet ‘of dezelfde richting hebben’ nog formeel gedefinieerd is, dan moet je wel die formele definitie gebruiken, anders lijkt me dit afdoende.quote:Daarna de vraag:
Idem met lRm wil zeggen l en m hebben dezelfde richting, ik heb:
Ja, lRl, l en l hebben altijd dezelfde richting, dus reflexief
lRm l en m hebben dezelfde richting --> m en l hebben dezelfde richting, mRL. dus symmetrisch
lRm
l en m hebben dezelfde richting
mRz
m en z hebben dezelfde richting
--> l en z zelfde richting
lRz
dus transitief, dus equivalentierelatie, maar hoe verwoord ik dit correct?
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Ze zijn niet helemaal hetzelfde natuurlijk, en verwoorden iets andere insteken. Een functie kan namelijk niet gedefinieerd zijn voor sommige waarden. B.v. 1/x is niet gedefinieerd voor x = 0 en log alleen voor positieve getallen.quote:
Op Wikipedia staat:
Informeel gesproken koppelt een afbeelding ieder element uit een verzameling aan ten hoogste één element uit een andere (of dezelfde) verzameling.
In mijn boek staat:
Het kenmerkende van een afbeelding of functie van A naar B, kort genoteerd als f : A --> B, door f aan elk element van A precies één element van B toegekend wordt.
Welk is nu juist?
Edit:
Oh oops staat hetzelfde, alleen las ik het als: door f aan elk element van B precies een element van A toegekend wordt.
Sommigen zullen zeggen dat het domein van 1/x gewoon ℝ is, maar dat de functie niet gedefinieerd is voor 0, anderen zullen zeggen dat in feite het domein ℝ\{0} is, en dan koppelt 1/x wél elke waarde uit het domein aan precies één waarde uit het bereik.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Bij deze vraag snap ik niet precies wat de relatie tussen a en b is, is de relatie gewoon dat a bestaat uit 2^k waarbij k dus een element van Z is en dat vervolgens vermenigvuldigen met het getal b, en dat dít de relatie is? Verder snap ik niet precies hoe ik een tabel van een relatie moet maken.
Er is niet zoveel aan uit te leggen, want het staat er in feite. Dus, geldt a = 2kb, voor een zekere k, dan zit het paartje (a,b) in de relatie. Neem b.v. a = 8 en b = 2, dan geldt a = 22·b, dus die zit erin.
Het makkelijkste om die tabel te maken is er een vierkante tabel van te maken en kruisjes te plaatsen waar het klopt.
Het makkelijkste om die tabel te maken is er een vierkante tabel van te maken en kruisjes te plaatsen waar het klopt.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Dus inprincipe moet ik steeds kijken of
a = 2^k . b kan waarbij ik voor a en b steeds alle getallen van 1 t/m 10 af ga, en waarbij ik een k kies die ervoor zorgt dat de uitkomst a kloppend is, zo niet zet ik geen kruisje?
a = 2^k . b kan waarbij ik voor a en b steeds alle getallen van 1 t/m 10 af ga, en waarbij ik een k kies die ervoor zorgt dat de uitkomst a kloppend is, zo niet zet ik geen kruisje?
Ja, maar, je kunt gegeven een b natuurlijk wel vrij snel bedenken welke a’s erbij horen. Verder kun je uit de vraagstelling al enige dingen opmaken, met name (b) opmaken die wel zullen moeten gelden, dus daar kun je ook al rekening mee houden. (Overigens staat er bij (b) ‘ga na’, maar het is natuurlijk vrij eenvoudig te bewijzen).quote:
Dus inprincipe moet ik steeds kijken of
a = 2^k . b kan waarbij ik voor a en b steeds alle getallen van 1 t/m 10 af ga, en waarbij ik een k kies die ervoor zorgt dat de uitkomst a kloppend is, zo niet zet ik geen kruisje?
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Als a = 2kb voor zekere k ∈ ℤ, dan… (los die vergelijking eens op naar b).
Als a = 2kb voor zekere k ∈ ℤ, en b = 2nc, voor zekere n ∈ ℤ, dan… (vervang b eens door 2nc in die eerste vergelijking).
Als a = 2kb voor zekere k ∈ ℤ, en b = 2nc, voor zekere n ∈ ℤ, dan… (vervang b eens door 2nc in die eerste vergelijking).
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Was ik even vergeten, ook met het opstellen van m'n grafiek.quote:
a = 2kbquote:Op vrijdag 16 oktober 2009 15:48 schreef Iblis het volgende:
Als a = 2kb voor zekere k ∈ ℤ, dan… (los die vergelijking eens op naar b).
Als a = 2kb voor zekere k ∈ ℤ, en b = 2nc, voor zekere n ∈ ℤ, dan… (vervang b eens door 2nc in die eerste vergelijking).
b = a / 2k
--> bRa
Dus symmetrisch?
a = 2kb
b = 2nc
--> a = 2k(2nc)
Dus, aRc, dus transitief?
Maar om reflexiviteit te kunnen bewijzen heb je al nodig dat k = 0 ook kan gelden.quote:
Was ik even vergeten, ook met het opstellen van m'n grafiek.
b = 2-ka, en k ∈ ℤ ⇔ -k ∈ ℤ, dus:quote:a = 2kb
b = a / 2k
quote:--> bRa
Dus symmetrisch?
a = 2k + nc, en als k en n geheel zijn, dan is k + n dat ook natuurlijk. Je moet ietsje preciezer zijn hier denk ik.quote:a = 2kb
b = 2nc
--> a = 2k(2nc)
quote:Dus, aRc, dus transitief?
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
En daarom klopt mijn reflexiviteit bewijs achteraf ook niet zie ik.quote:Op vrijdag 16 oktober 2009 16:11 schreef Iblis het volgende:
[..]
Maar om reflexiviteit te kunnen bewijzen heb je al nodig dat k = 0 ook kan gelden.
En hoe teken ik netjes een ongerichte graaf hierbij?
En wat is een equivalentieklasse en wat zijn de equivalentieklassen bij deze relatie
?SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
[ Bericht 19% gewijzigd door Diabox op 16-10-2009 16:42:21 ]
Ik had dit even gemist doordat je had geëdit en niet een nieuwe post had gemaakt.
Een ongerichte graaf maak je gewoon door tien punten te tekenen voor de tien getallen en die punten die in relatie staan tot elkaar (dus b.v. 2 en 8) te verbinden. Je zult zien dat de graaf dan uiteenvalt in een paar groepen.
Die groepen zijn ook je equivalentieklassen. Immers een equivalentierelatie zegt welke elementen (onder die relatie!) equivalent zijn. Dus b.v. 2 en 8 zijn (voor deze relatie) equivalent.
Een ongerichte graaf maak je gewoon door tien punten te tekenen voor de tien getallen en die punten die in relatie staan tot elkaar (dus b.v. 2 en 8) te verbinden. Je zult zien dat de graaf dan uiteenvalt in een paar groepen.
Die groepen zijn ook je equivalentieklassen. Immers een equivalentierelatie zegt welke elementen (onder die relatie!) equivalent zijn. Dus b.v. 2 en 8 zijn (voor deze relatie) equivalent.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Oooooh, ik heb zeg maar in mijn graaf 5 verschillende groepen, namelijk:
1,2,4,8
3,6
5,10
7
9
En dit zijn dus de equivalentieklasse, dus er zijn 5 equivalentieklasse?
1,2,4,8
3,6
5,10
7
9
En dit zijn dus de equivalentieklasse, dus er zijn 5 equivalentieklasse?
Ja, dat is correct.
Een equivalentierelatie deelt gewoon op onder een bepaald criterium. Dus hier is het criterium: de getallen verschillen alleen met een factor die een twee-macht is van elkaar.
Maar je zou ook b.v. mensen kunnen partitioneren volgens ‘heeft het zelfde geslacht als’, dan zou je een groep mannen en een groep vrouwen krijgen (ga zelf na dat dat een equivalentierelatie is
), en je zou ‘is op dezelfde dag jarig als’ kunnen gebruiken: dat geeft 366 groepen.
Op getallen zou je kunnen doen ‘heeft dezelfde rest als je door 2 deelt’: dat geeft in feite de even en oneven getallen.
Op breuken kun je doen ‘heeft dezelfde gereduceerde vorm’, dus b.v. 1/4, 2/8, 20/80 zitten allemaal in dezelfde klasse.
Hopelijk heb je nou een beetje ‘het idee’ achter een equivalentierelatie.
Een equivalentierelatie deelt gewoon op onder een bepaald criterium. Dus hier is het criterium: de getallen verschillen alleen met een factor die een twee-macht is van elkaar.
Maar je zou ook b.v. mensen kunnen partitioneren volgens ‘heeft het zelfde geslacht als’, dan zou je een groep mannen en een groep vrouwen krijgen (ga zelf na dat dat een equivalentierelatie is
), en je zou ‘is op dezelfde dag jarig als’ kunnen gebruiken: dat geeft 366 groepen. Op getallen zou je kunnen doen ‘heeft dezelfde rest als je door 2 deelt’: dat geeft in feite de even en oneven getallen.
Op breuken kun je doen ‘heeft dezelfde gereduceerde vorm’, dus b.v. 1/4, 2/8, 20/80 zitten allemaal in dezelfde klasse.
Hopelijk heb je nou een beetje ‘het idee’ achter een equivalentierelatie.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Ik heb hierbij dus als bewijs van een equivalentierelatie:
a1 = a1
a1Ra1 -> dus reflexief
a1=a2
a2 = a1
a2Ra1 -> dus symmetrisch
a1 = a2
a2 = a3
a1 = a3
a1Ra3 --> dus transitief, uit al het voorgaande blijkt dus dat het een equivalentierelatie is.
Ik hoop dat dit goed is, en dan moet ik dus de equivalentieklassen omschrijven, betekent dit dan dat alles onder 1 en dezelfde equivalentieklassen valt? (alle a(n) geven namelijk hetzelfde beeld)
Edit:
Is inderdaad heel wat duidelijker nu wat een equivalentieklassen is, in feite is het dus een gezamelijke overeenkomst van een bepaalde eigenschap bij groepen verzamelingen. of iets dergelijks
Je moet iets uitgebreider zijn. a1 R a2 wil zeggen dat f(a1) = f(a2), en dus f(a2) = f(a1) en dus a2 R a1. Wel even die tussenstappen opschrijven!
En hier bevat een equivalentieklasse zeker niet alle waarden uit het domein, maar alleen de waarden die hetzelfde beeld geven. Ik kan wel een concreet voorbeeld geven, neem f: x → x2, dan zijn de equivalentie klassen {0}, {-1,1}, {-2,2}, {-3,3}, enz. (ook de kommagetallen natuurlijk) Maar niet alles in één klasse!
Bedenk anders eens wat b.v. de equivalentieklassen zouden zijn bij f = sin(x).
En hier bevat een equivalentieklasse zeker niet alle waarden uit het domein, maar alleen de waarden die hetzelfde beeld geven. Ik kan wel een concreet voorbeeld geven, neem f: x → x2, dan zijn de equivalentie klassen {0}, {-1,1}, {-2,2}, {-3,3}, enz. (ook de kommagetallen natuurlijk) Maar niet alles in één klasse!
Bedenk anders eens wat b.v. de equivalentieklassen zouden zijn bij f = sin(x).
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
{0}quote:Op vrijdag 16 oktober 2009 18:24 schreef Iblis het volgende:
Je moet iets uitgebreider zijn. a1 R a2 wil zeggen dat f(a1) = f(a2), en dus f(a2) = f(a1) en dus a2 R a1. Wel even die tussenstappen opschrijven!
En hier bevat een equivalentieklasse zeker niet alle waarden uit het domein, maar alleen de waarden die hetzelfde beeld geven. Ik kan wel een concreet voorbeeld geven, neem f: x → x2, dan zijn de equivalentie klassen {0}, {-1,1}, {-2,2}, {-3,3}, enz. (ook de kommagetallen natuurlijk) Maar niet alles in één klasse!
Bedenk anders eens wat b.v. de equivalentieklassen zouden zijn bij f = sin(x).
{-1/2pi, 1 1/2pi}
{-pi, pi}
{-1 1/2 pi, 2 1/2 pi}
{-2pi, 2pi}
Zoiets?
Maar hoe moet ik dan de equivalentieklassen beschrijven bij zo'n functie? Aangezien het dus ook iets anders kon zijn dan x²
Edit:
Volgens mij is
{0, -pi, pi, -2pi, 2pi}
{-1/2pi, 1 1/2pi, - 2 1/2 pi, 3 1/2pi}
{-1 1/2 pi, 1/2 pi, -3 1/2 pi, 2 1/2 pi}
beter
[ Bericht 1% gewijzigd door Diabox op 16-10-2009 18:39:04 ]
In z’n algemeenheid bevatten die equivalentieklassen dus elementen waarvoor de functie dezelfde waarde heeft.
In het geval van x2 is dat concreet {-x, x} in het geval van sin x is het iets lastiger. Sowieso is het {…-4πx, -2πx, x, 2πx, 4πx,…}, omdat sin periodiek is met periode 2π, maar daarnaast heb je nog dat sin 1/4π = sin 3/4π natuurlijk, dus die zitten er ook bij (het kan wel helemaal uitgewerkt worden, maar het ging me meer om het idee), het komt dus neer op alle punten die op dezelfde y-hoogte liggen in onderstaande grafiek, m.a.w. als je een horizontale lijn trekt door onderstaande grafiek maak je eigenlijk een equivalentieklasse:
Bron: Wikimedia Commons. Maker: Geek3. Licentie: CC-BY-SA.
Dat is namelijk een visuele interpretatie: teken je de grafiek, dan zitten in de equivalentieklasse die punten die op een horizontale lijn door de grafiek zitten (m.a.w. waarvoor het beeld van de functie gelijk is).
In het geval van x2 is dat concreet {-x, x} in het geval van sin x is het iets lastiger. Sowieso is het {…-4πx, -2πx, x, 2πx, 4πx,…}, omdat sin periodiek is met periode 2π, maar daarnaast heb je nog dat sin 1/4π = sin 3/4π natuurlijk, dus die zitten er ook bij (het kan wel helemaal uitgewerkt worden, maar het ging me meer om het idee), het komt dus neer op alle punten die op dezelfde y-hoogte liggen in onderstaande grafiek, m.a.w. als je een horizontale lijn trekt door onderstaande grafiek maak je eigenlijk een equivalentieklasse:
Bron: Wikimedia Commons. Maker: Geek3. Licentie: CC-BY-SA.
Dat is namelijk een visuele interpretatie: teken je de grafiek, dan zitten in de equivalentieklasse die punten die op een horizontale lijn door de grafiek zitten (m.a.w. waarvoor het beeld van de functie gelijk is).
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Hierdoor was mijn verwachting vrij hoog, maar ik vind het nu ik tegen het einde van de cursus zit toch wat tegenvallen. Met deze theorie en die van legendre symbolen kan ik alleen maar uitrekenen of een kwadratische congruentie vergelijking al dan niet oplossingen heeft. Maar de oplossingen zélf berekenen we niet. Jammer.quote:Op woensdag 16 september 2009 21:58 schreef thabit het volgende:
[..]
Dat zijn allemaal nog elementaire onderwerpen, daar hoef je geen zware wiskunde voor te doen. Vooral die kwadratische reciprociteit is een hele mooie stelling die iets bovennatuurlijks in zich lijkt te hebben.
kloep kloep
Het trekken van vierkantswortels modulo p kan wel, maar er is geen deterministisch algoritme bekend dat dat in polynomiale tijd (in log p) kan. Je moet hier probabilistische technieken gebruiken. Dat kan dan vervolgens op meerdere manieren.quote:Op vrijdag 16 oktober 2009 20:34 schreef Borizzz het volgende:
[..]
Hierdoor was mijn verwachting vrij hoog, maar ik vind het nu ik tegen het einde van de cursus zit toch wat tegenvallen. Met deze theorie en die van legendre symbolen kan ik alleen maar uitrekenen of een kwadratische congruentie vergelijking al dan niet oplossingen heeft. Maar de oplossingen zélf berekenen we niet. Jammer.
De bekendste methode is het Shanks-Tonelli algoritme en berust op het kiezen van een niet-kwadraatrest modulo p. Voor dat laatste is geen deterministisch algoritme bekend dat het in polynomiale tijd kan, tenzij we de Gegeneraliseerde Riemannhypothese mogen aannemen. Probabilistisch is het eenvoudig: probeer random restklassen modulo p en en test of ze een kwadraat zijn of niet.
Een andere manier om een vierkantswortel uit a modulo p te trekken, is door nulpunten van f(x) = x2-a te berekenen. Hier zijn ook meerdere methodes voor. De eenvoudigste is door de ggd van de polynomen f(x) en (x-c)(p-1)/2±1 te berekenen voor random waarden van c, even aangenomen dat p niet 2 is.. Dit werkt dan algemener voor het vinden van nulpunten van polynomen modulo priemgetallen.
[ Bericht 1% gewijzigd door thabit op 16-10-2009 22:27:07 ]
Wiskunde leek meld zich...
1,96Xa + 5(1-Xa) = 2 1/2
Wat is Xa en hoe kom ik daar. Een vriend van me zei; alle x naar links en de rest dus naar rechts, maar hoe. 2 1/2 is gewoon 2,5 trouwens.
1,96Xa + 5(1-Xa) = 2 1/2
Wat is Xa en hoe kom ik daar. Een vriend van me zei; alle x naar links en de rest dus naar rechts, maar hoe. 2 1/2 is gewoon 2,5 trouwens.
"Vanity, definitely my favorite sin. . . ."
Een vergelijking zegt: Wat links van het =-teken staat, is gelijk aan wat rechts van het =-teken staat. Dat is vrij banaal om op te merken, maar in wezen zit daar de kern.quote:
Wiskunde leek meld zich...
1,96Xa + 5(1-Xa) = 2 1/2
Wat is Xa en hoe kom ik daar. Een vriend van me zei; alle x naar links en de rest dus naar rechts, maar hoe. 2 1/2 is gewoon 2,5 trouwens.
Eerst werken we echter de haakjes weg:
1,96Xa + 5(1-Xa) = 2 1/2
wordt dus:
1,96Xa + 5 - 5Xa = 2 1/2
Behalve de notatie is er nu nog niet veel veranderd. Volgende stap is de termen met Xa bij elkaar zoeken: 1,96 - 5 = -3,04, dus 1,96 Xa - 5 Xa is ook -3,04 Xa:
-3,04Xa + 5 = 2 1/2
Nu ‘brengen we 5 naar de andere kant’, zoals dat zo mooi heet: Of eigenlijk, wat we doen is zowel links als rechts 5 van de vergelijking afhalen. Immers, als de linkerkant gelijk is aan de rechterkant, dan blijven ze ook aan elkaar gelijk als je aan beide zijden er hetzelfde afhaalt:
-3,04Xa + 5 - 5 = 2 1/2 - 5
Nu zie je dat +5 - 5 = 0, dus:
-3,04Xa = 2 1/2 - 5
En hopelijk is nu ook duidelijk waar dat ‘naar de andere kant brengen vandaan komt’, want die 5 verschijnt weer aan de andere kant, behalve dat het teken is omgeklapt. Ook 2 1/2 - 5 is te vereenvoudigen tot 2 1/2 - 5 = -2 1/5:
-3,04Xa = -2 1/2
Nu zijn we er bijna. We gaan nu echter delen door -3,04 – ook daar geldt weer, als we dat aan beide kanten doen, dan geldt het =-teken nog steeds:
Xa = (-2 1/2)/(-3,04) = 0,822 (en een beetje)
Kortom, Xa ≈ 0,822
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Dat is duidelijk. Dank!
Nu een vergelijking van iets andere aard. Dit is één som. de beide Xa's zijn dus hetzelfde.
0,2Xa - 0,1Xb = c
-0,1Xa - 0,2Xb = c
c is een constante, dusuuuh 1.
Help
Nu een vergelijking van iets andere aard. Dit is één som. de beide Xa's zijn dus hetzelfde.
0,2Xa - 0,1Xb = c
-0,1Xa - 0,2Xb = c
c is een constante, dusuuuh 1.
Help
"Vanity, definitely my favorite sin. . . ."
Je zou bv. de Xb vrij kunnen maken in de bovenste vergelijking.quote:Op zaterdag 17 oktober 2009 12:31 schreef One_conundrum het volgende:
Dat is duidelijk. Dank!
Nu een vergelijking van iets andere aard. Dit is één som. de beide Xa's zijn dus hetzelfde.
0,2Xa - 0,1Xb = c
-0,1Xa - 0,2Xb = c
c is een constante, dusuuuh 1.
Help
Je schrijft het er dan als Xb = .....
Die kan je dan invullen in de tweede vergelijking.
'constante dusuuuh 1' ontgaat mij even
I asked God for a bike, but I know God doesn't work that way.
So I stole a bike and asked for forgiveness.
So I stole a bike and asked for forgiveness.
0,2Xa - 0,1Xb = c
-0,1Xa - 0,2Xb = c
dat je voor C een willekeurig getal in mag vullen, dus bijv 1
-0,1Xa - 0,2Xb = c
dat je voor C een willekeurig getal in mag vullen, dus bijv 1
"Vanity, definitely my favorite sin. . . ."
Als ik bijv. deze kwadratische congruentievergelijking moet oplossen, ik dacht dat kwadraat afsplitsen misschien een goed idee is.
Hoe gaat dan dit voorbeeld. Ik heb een begin gemaakt:
"=" staat voor "komt overeen met".
2y2 +16y +4 = 0 (mod 19)
2(y2+8y+2) = 0 (mod 19)
2(y+4)2 -14) = 0 (mod 19)
2(y+4)2 = 28 = 9 (mod 19)
noem y+4=k dan geldt verder
2k2 = 9 mod (19).
En dan? Volg mij geen fouten in bovenstaande. Maar hoe ga ik verder?
Hoe gaat dan dit voorbeeld. Ik heb een begin gemaakt:
"=" staat voor "komt overeen met".
2y2 +16y +4 = 0 (mod 19)
2(y2+8y+2) = 0 (mod 19)
2(y+4)2 -14) = 0 (mod 19)
2(y+4)2 = 28 = 9 (mod 19)
noem y+4=k dan geldt verder
2k2 = 9 mod (19).
En dan? Volg mij geen fouten in bovenstaande. Maar hoe ga ik verder?
kloep kloep
| Forum Opties | |
|---|---|
| Forumhop: | |
| Hop naar: | |