[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op woensdag 16 september 2009 21:18 schreef Iblis het volgende:
Op zich is getaltheorie vaak vrij elementair. Het hangt ervanaf hoe het gegeven wordt, maar meestal kun je met heel basale middelen vrij ver komen. Dat zie je ook in deze opgaven. Ik suggereerde eerste volledige inductie, maar dat heb je niet eens nodig. Dat is ook wel fijn aan zo’n vak, ook al ben je de impliciete functiestelling vergeten, weet je niet meer hoe die Borel-σ algebra nu precies werkte of hoe die ene partiële differentiaalvergelijking opgelost moest worden, nu zit je weer bij de basis met delers.

Dát doet me weer denken aan projectieve meetkunde: een prachtig vak. Moeilijk dat wel, maar ook door vol te houden heb ik dit ook behaald. Projectieve meetkunde is ook een vak waar je met heel weinig middelen (bv de dubbelverhouding, enkele contstructies) heel ver kunt doorredeneren.

Ik hoop dat ik je in de toekomst nog ns met wat getaltheorie probleempjes mag lastigvallen.

quote:

Op woensdag 16 september 2009 21:18 schreef Iblis het volgende:
Op zich is getaltheorie vaak vrij elementair.

Dat zou ik toch niet helemaal willen beweren. Uiteraard bestaat er elementaire getaltheorie, wat je kunt doen zonder veel theoretische kennis te hebben, maar als je wat verder wilt komen dan komt er toch een hoop bij kijken.

quote:

Op woensdag 16 september 2009 21:26 schreef thabit het volgende:

[..]

Dat zou ik toch niet helemaal willen beweren. Uiteraard bestaat er elementaire getaltheorie, wat je kunt doen zonder veel theoretische kennis te hebben, maar als je wat verder wilt komen dan komt er toch een hoop bij kijken.

Heb je helemaal gelijk in, maar ik bedoel, een vak zoals Borizzz dat volgt, waarbij je met deze dingen begint. Ik weet niet hoe ver het de diepte in gaat, maar het is doorgaans niet een vak dat bij uitstek voortbouwt op veel andere vakken.

quote:

Op woensdag 16 september 2009 21:23 schreef Borizzz het volgende:
Ik hoop dat ik je in de toekomst nog ns met wat getaltheorie probleempjes mag lastigvallen.

Ik hoop dat ik ze kan beantwoorden.

quote:

Op woensdag 16 september 2009 21:28 schreef Iblis het volgende:

[..]

Heb je helemaal gelijk in, maar ik bedoel, een vak zoals Borizzz dat volgt, waarbij je met deze dingen begint. Ik weet niet hoe ver het de diepte in gaat, maar het is doorgaans niet een vak dat bij uitstek voortbouwt op veel andere vakken.

Als je een beetje serieuze getaltheorie wilt doen, dan heb je wel een hoop algebra (groepen, ringen, lichamen, Galoistheorie etc), meetkunde en complexe analyse nodig.

quote:

Op woensdag 16 september 2009 21:28 schreef Iblis het volgende:

[..]

Ik hoop dat ik ze kan beantwoorden.

Vastwel! Ik ben al blij met alle moeite die (vrijwillig en laten we dat niet vergeten!) gestoken wordt in het helpen van users.

quote:

Op woensdag 16 september 2009 21:43 schreef thabit het volgende:

[..]

Als je een beetje serieuze getaltheorie wilt doen, dan heb je wel een hoop algebra (groepen, ringen, lichamen, Galoistheorie etc), meetkunde en complexe analyse nodig.

Even opgezocht:
congruenties, hoofdstelling, algoritme van euclides, fermat en euler, congruentievergelijkingen, kwadratische reciprociteit komt nog aan bod.

quote:

Op woensdag 16 september 2009 21:45 schreef Borizzz het volgende:

[..]

Even opgezocht:
congruenties, hoofdstelling, algoritme van euclides, fermat en euler, congruentievergelijkingen, kwadratische reciprociteit komt nog aan bod.

Dat zijn allemaal nog elementaire onderwerpen, daar hoef je geen zware wiskunde voor te doen. Vooral die kwadratische reciprociteit is een hele mooie stelling die iets bovennatuurlijks in zich lijkt te hebben.

quote:

Op woensdag 16 september 2009 21:58 schreef thabit het volgende:

[..]

Dat zijn allemaal nog elementaire onderwerpen, daar hoef je geen zware wiskunde voor te doen. Vooral die kwadratische reciprociteit is een hele mooie stelling die iets bovennatuurlijks in zich lijkt te hebben.

Ben benieuwd
Maar alles op z'n tijd. Ik werk rustig aan de theorie en opgaven.
Bedankt voor nu!

Ik heb geprobeerd een antwoord te geven op 2 vraagstukken (oa eentje van gisteren).
Kun je even kijken of deze beter zijn?

1.
Bewijs dat elk natuurlijk getal te schrijven is als som van priemgetallen.

- Vast staat dat 2 en 3 priemgetallen zijn.
Er geldt: 2+k*2 geeft alle even getallen (k=nat. getal).
Er geldt 3+k*2 geeft alle oneven getallen (k=nat. getal).
Dus: elk getal is de som van in ieder geval tweeen en drieeen en dus ook de som van priemgetallen.

2.
Bewijs dat elk natuurlijk getal groter dan 7 te schrijven is als som van drieen en vijven.

- Hier pak ik een zelfde type redenering. Maar nu werk ik met 3*k en 5*k, dus drie- en vijfvouden.
Er geldt: 8=3+5, 9=3+3, 10=5+5.
8,9 en 10 zijn dus opgebouwd uit drieeen en vijven.
3-vouden liggen altijd 3 van elkaar op de getallenlijn.
dus met 8+k*3+l*5 en 9+k*3+l*5 en 10+k*3+l*5 worden alle getallen groter dan 7 bereikt.
Deze getallen zijn dan ook opgebouwd uit enkel drieen en vijven.

>> dus met 8+k*3+l*5 en 9+k*3+l*5 en 10+k*3+l*5 worden alle getallen groter dan 7 bereikt.

Daarvan zou ik maken: met 5 + k*3, 3*3*3 + (k-1)*3 en 2*5 + (k-1)*3 (k in N) worden alle getallen groter dan 7 bereikt. Die I*5 heb je niet nodig.

quote:

Op donderdag 17 september 2009 14:55 schreef GlowMouse het volgende:
>> dus met 8+k*3+l*5 en 9+k*3+l*5 en 10+k*3+l*5 worden alle getallen groter dan 7 bereikt.

Daarvan zou ik maken: met 5 + k*3, 3*3*3 + (k-1)*3 en 2*5 + (k-1)*3 (k in N) worden alle getallen groter dan 7 bereikt. Die I*5 heb je niet nodig.

Klopt, vijfvouden heb ik niet echt nodig, omdat je met de drievouden alles al dekt. Maar goed voor de volledigheid
Kloppen ze beide een beetje?

Lijkt me wel.

quote:

Op donderdag 17 september 2009 14:48 schreef Borizzz het volgende:.
Bewijs dat elk natuurlijk getal te schrijven is als som van priemgetallen.

- Vast staat dat 2 en 3 priemgetallen zijn.
Er geldt: 2+k*2 geeft alle even getallen (k=nat. getal).
Er geldt 3+k*2 geeft alle oneven getallen (k=nat. getal).
Dus: elk getal is de som van in ieder geval tweeen en drieeen en dus ook de som van priemgetallen.

Alle natuurlijke even getallen (m.u.v. 0 eventueel als je die erbij rekent), en alle natuurlijke oneven getallen groter dan 1. Als je precies wilt zijn.

Ik heb ook geprobeerd om een bewijs van de hoofdstelling op te schrijven.
Ik heb getracht om het in mijn eigen woorden, correct weer te geven.
Kan deze ook door de beugel?

Bewijs loopt via volledige inductie.
Te bew: elk natuurlijk getal heeft unieke priemf. ontbinding.

Bestaan:
-a=2 heeft unieke priemf. ontbinding.
nu een redenering met volledige inductie van a-1 naar a.
-Veronderstel: alle getallen kleiner dan a hebben unieke priemf. ontbinding.
voor het getal a zijn er dan 2 mogelijkheden: a=priem of a=niet priem.
als a priem is, dan heeft ook a een unieke priemf. ontbinding. Klaar.
als a niet priem is, dan is a samengesteld. Dus a=a1*a2. Door dit feit geldt ook a1 en a2 kleiner dan a.
Door mijn veronderstelling hebben a1 en a2 een unieke priemf. ontbinding. En dus heeft a1*a2=a dit ook. Klaar.

Uniciteit
a=2 is weer een unieke priemf. ontbinding.
weer een redenering van a-1 naar a.
Neem a groter gelijk 3.
Veronderstel: priemfactor ontbinding van alle getallen kleiner dan a is uniek.
Stel a heeft 2 unieke priemf. ontbindingen: p1*p2*...pR en q1*q2*...*qS.
Dus a=p1*p2*...pR = q1*q2*...*qS.
Met de theorie van deler volgt p1|q1*q2*...*qS.
Er geldt p1|qi. p1 is dus deler van een van de factoren q. _{(hiervoor heb ik een apart bewijs).}
Door de volgorde te wisselen mag je ook stellen dat p1|q1 (volgorde in een priemf. ontbinding niet belangrijk).
Aangezien p1 en q1 beide priemgetallen zijn en ook p1|q1 moet gelden p1=q1.
Dan geldt ook a/p1=q2*q3*...qS=p2*p3*..pR.
Met mijn eerdere veronderstelling (priemf. ontbindingen van getallen kleiner dan a uniek) moet gelden
q2*q3*...qS=p2*p3*..pR.
met p1=q1 volgt nu
p1*p2*...pR = q1*q2*...*qS en R=S, dus de priemf. ontbindingen zijn volledig gelijk.
En a heeft dus maar 1 priemfactorontbinding.

(met name R=S moet worden aangetoond, anders was je met p1*p2*...pR = q1*q2*...*qS al veel eerder klaar geweest).

[ Bericht 2% gewijzigd door Borizzz op 17-09-2009 16:19:09 ]

Misschien kun je het woord 'uniek' even opzoeken in een woordenboek.

quote:

Op donderdag 17 september 2009 16:16 schreef thabit het volgende:
Misschien kun je het woord 'uniek' even opzoeken in een woordenboek.

wat voor fout maak ik dan? ik bedoelde uiteraard "er is er maar 1".

Waar staat 15.27 voor? Is dat de stelling die zegt als p priem p|ab dan p|a of p|b? Dat is de belangrijkste stap in het hele bewijs, dus die kun je beter maar wel snappen.

quote:

Op donderdag 17 september 2009 16:19 schreef thabit het volgende:
Waar staat 15.27 voor? Is dat de stelling die zegt als p priem p|ab dan p|a of p|b? Dat is de belangrijkste stap in het hele bewijs, dus die kun je beter maar wel snappen.

Ja, dat heb ik inmiddels weggehaald, stond idd voor die stelling.
Voor p|ab dan p|a of p|b heb ik een bewijs met inductie, die ik wel snapte. (moet haast wel).

quote:

Op donderdag 17 september 2009 16:13 schreef Borizzz het volgende:
Stel a heeft 2 unieke priemf. ontbindingen

quote:

Op donderdag 17 september 2009 16:13 schreef Borizzz het volgende:
Ik heb ook geprobeerd om een bewijs van de hoofdstelling op te schrijven.
Ik heb getracht om het in mijn eigen woorden, correct weer te geven.
Kan deze ook door de beugel?

Bewijs loopt via volledige inductie.
Te bew: elk natuurlijk getal heeft unieke priemf. ontbinding.

Bestaan:
-a=2 heeft unieke priemf. ontbinding.
nu een redenering met volledige inductie van a-1 naar a.
-Veronderstel: alle getallen kleiner dan a hebben unieke priemf. ontbinding.
voor het getal a zijn er dan 2 mogelijkheden: a=priem of a=niet priem.
als a priem is, dan heeft ook a een unieke priemf. ontbinding. Klaar.
als a niet priem is, dan is a samengesteld. Dus a=a1*a2. Door dit feit geldt ook a1 en a2 kleiner dan a.
Door mijn veronderstelling hebben a1 en a2 een unieke priemf. ontbinding. En dus heeft a1*a2=a dit ook. Klaar.

Hier toon je nog helemaal niks unieks aan, het woord uniek kan dus overal weg.

quote:

Uniciteit
a=2 is weer een unieke priemf. ontbinding.
weer een redenering van a-1 naar a.
Neem a groter gelijk 3.
Veronderstel: priemfactor ontbinding van alle getallen kleiner dan a is uniek.
Stel a heeft 2 unieke priemf. ontbindingen: p1*p2*...pR en q1*q2*...*qS.

Twee unieke priemfactorontbindingen, dat kan niet.

quote:

Dus a=p1*p2*...pR = q1*q2*...*qS.
Met de theorie van deler volgt p1|q1*q2*...*qS.
Er geldt p1|qi. p1 is dus deler van een van de factoren q. _{(hiervoor heb ik een apart bewijs).}
Door de volgorde te wisselen mag je ook stellen dat p1|q1 (volgorde in een priemf. ontbinding niet belangrijk).
Aangezien p1 en q1 beide priemgetallen zijn en ook p1|q1 moet gelden p1=q1.
Dan geldt ook a/p1=q2*q3*...qS=p2*p3*..pR.
Met mijn eerdere veronderstelling (priemf. ontbindingen van getallen kleiner dan a uniek) moet gelden
q2*q3*...qS=p2*p3*..pR.

Hier zou ik opmerken dat de ontbindingen q2 * ... * qS en p2 * ... * pR hetzelfde zijn.

quote:

met p1=q1 volgt nu
p1*p2*...pR = q1*q2*...*qS en R=S, dus de priemf. ontbindingen zijn volledig gelijk.
En a heeft dus maar 1 priemfactorontbinding.

(met name R=S moet worden aangetoond, anders was je met p1*p2*...pR = q1*q2*...*qS al veel eerder klaar geweest).

quote:

Op donderdag 17 september 2009 16:21 schreef Borizzz het volgende:

[..]

Ja, dat heb ik inmiddels weggehaald, stond idd voor die stelling.
Voor p|ab dan p|a of p|b heb ik een bewijs met inductie, die ik wel snapte. (moet haast wel).

Hoe heb je dat bewezen dan?

quote:

Op donderdag 17 september 2009 16:30 schreef thabit het volgende:

[..]

Hoe heb je dat bewezen dan?

Als volgt:
Laat a,b geheel getal en p priem. Te bew als p|ab dan p|a of p|b.
Gegeven p|ab.
Veronderstel dat p geen deler is dan b.
Omdat p priem is heeft het geen echte delers.
dus ggd(b,p)=1.
Met theorie over lineaire combinatie geldt: 1=xb+yp (x,y geheel).
dan geldt ook a=axb+ayp
ander geschreven a=x(ab) + p(ay).
p|ab (gegeven) en p|p(ay)
dus ook p|(x(ab) + p(ay).
dus ook p|a.

Leek me een heel eind in de goede richting.
Dit is volgens mij ook uit te breiden naar factoren met meer dan 2 termen.

Okee, dat lijkt me dan verder wel correct.

quote:

Op donderdag 17 september 2009 16:40 schreef thabit het volgende:
Okee, dat lijkt me dan verder wel correct.

Klopte, op jouw opmerking na, dat bewijs van de hoofdstelling een beetje verder?
Ik kon dat toch redelijk volgen (vergeleken met gister).

quote:

Op donderdag 17 september 2009 16:42 schreef Borizzz het volgende:

[..]

Klopte, op jouw opmerking na, dat bewijs van de hoofdstelling een beetje verder?
Ik kon dat toch redelijk volgen (vergeleken met gister).

Ja.