quote:Post hier weer al je vragen, passies, trauma's en andere dingen die je uit je slaap houden met betrekking tot de wiskunde.
Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!
Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).
Links:
• http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
• http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
• http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
• http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
• http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...
OP
Handig:
Riparius heeft ooit een PDF geschreven over goniometrische identiteiten. Deze kun je hier downloaden:
www.mediafire.com/view/?2b214qltc7m3v0d
Misschien omdat je een mens bent en dat je van fouten, ja werkelijk, leert. Ik heb tig fouten gemaakt met een schumann stuk op de piano, maar ik speel het nu wel redelijk.quote:Op dinsdag 22 oktober 2013 20:44 schreef Amoeba het volgende:
Kut, ik ben wel een partij heel scheel dat ik dat even niet zag.
En ik had gewoon al dat ET = sin(a)+cos(a)
Waarom.
TU Eindhoven. Ik mag het mezelf kwalijk nemen dat ik zoiets eenvoudigs niet direct zag.quote:Op dinsdag 22 oktober 2013 20:49 schreef DefinitionX het volgende:
[..]
Misschien omdat je een mens bent en dat je van fouten, ja werkelijk, leert. Ik heb tig fouten gemaakt met een schumann stuk op de piano, maar ik speel het nu wel redelijk.
Edit:
Besides, ik denk niet dat alle wiskunde studenten van de TU Delft een examen wiskunde b op vwo niveau met een 10 kunnen afsluiten, zelfs met voorbereiding.
Rechts staat er dan 31*328x-22quote:Op dinsdag 22 oktober 2013 20:41 schreef ulq het volgende:
Hoi, ik heb weer een (waarschijnlijk niet al te snuggere) vraag.[ afbeelding ]
Ik snap precies wat ze hier doen bij het oplossen van deze opgave, ik had echter een andere manier in mijn gedachte.
Ik zou beide grondtallen met 3 vermenigvuldigen zodat je vervolgens 3 (links) en 27 (rechts) als grondtal krijgt. Vervolgens wordt de uitdrukking rechts 3^((3)(14x-11)) en links gewoon 3^(x^(2)+27x-64).
Je komt wanneer je dit doet echter niet goed uit. Waar ga ik de fout in?
Alvast bedankt
Omdat de uitdrukking niet geschreven kan worden als y = ...quote:Op woensdag 23 oktober 2013 14:15 schreef Broodje_Koe het volgende:
Hoi fokkers,
Ik begrijp het impliciete differentiëren helaas niet. Kan iemand mij een beetje op weg helpen?
Zoals dit voorbeeld (hij laadt de afbeelding niet dus er staat alleen een link ) : ik kan er helaas geen stappenplan uit opmaken...
http://img545.imageshack.us/img545/466/v2ja.jpg (copy/paste deze link)
Waarom 4y*y' ? En waarom na 6y + 6xy' ?. Ik snap niet waarom ze deze stappen nemen...
Waarschijnlijk begrijp je gezien je eerdere posts hier nog niets van differentiëren, en dan is impliciet differentiëren nog wat te hoog gegrepen. Maar afgezien daarvan zou het wel helpen als je boek of dictaat geen stomme fouten zou maken. De herleiding van y' in je plaatje is fout.quote:Op woensdag 23 oktober 2013 14:15 schreef Broodje_Koe het volgende:
Hoi fokkers,
Ik begrijp het impliciete differentiëren helaas niet. Kan iemand mij een beetje op weg helpen?
Zoals dit voorbeeld (hij laadt de afbeelding niet dus er staat alleen een link ) : ik kan er helaas geen stappenplan uit opmaken...
http://img545.imageshack.us/img545/466/v2ja.jpg (copy/paste deze link)
Voor cosinus:quote:Op woensdag 23 oktober 2013 15:52 schreef DefinitionX het volgende:
Hoe kan ik zonder rekenmachine berekenen/weten dat:
sin 30 graden = 0.5
cos 30 graden = 0.5 wortel 3
sin 60 graden = 0.5 wortel 3
cos 60 graden = 0.5
Is het zonder rekenmachine de bedoeling om gewoon in te stampen?
Eerst even een hardnekkig misverstand uit de weg ruimen: nooit stampen bij wiskunde. Sterker nog, nooit denken dat je iets moet gaan stampen. Zelfs de gedachte hieraan is al een indicatie dat je fout bezig bent.quote:Op woensdag 23 oktober 2013 15:52 schreef DefinitionX het volgende:
Hoe kan ik zonder rekenmachine berekenen/weten dat:
sin 30 graden = 0.5
cos 30 graden = 0.5 wortel 3
sin 60 graden = 0.5 wortel 3
cos 60 graden = 0.5
Is het zonder rekenmachine de bedoeling om gewoon in te stampen?
Het scheelt een minteken in de noemer.quote:Op woensdag 23 oktober 2013 15:12 schreef Riparius het volgende:
[..]
Waarschijnlijk begrijp je gezien je eerdere posts hier nog niets van differentiëren, en dan is impliciet differentiëren nog wat te hoog gegrepen. Maar afgezien daarvan zou het wel helpen als je boek of dictaat geen stomme fouten zou maken. De herleiding van y' in je plaatje is fout.
De raaklijn aan je curve in het punt (1;3) loopt namelijk verticaal (evenwijdig aan de y-as), zodat y' in dit punt onbepaald is, kijk maar.
Ik kan hier weinig chocola van maken.quote:Op woensdag 23 oktober 2013 16:47 schreef DefinitionX het volgende:
Lylolyc, bedankt!
Riparius, dank u. Wat betreft die verhoudingen: in een eenheidscirkel is de straal overal gelijk. Nu zie ik dat in die afbeelding een hoek van 60 met daarboven een hoek van 30 graden gevorm wordt. De straal is hier 2, maar had netzogoed 1 kunnen zijn waardoor het horizontale as 0.5 is en met het spiegelbeeld in toaal 1 zou zijn.
U zegt dat het onthouden niet goed is bij wiskunde, wel dan, waar komt logischer gewijs die 2 vandaan? Stel dat ik ipv twee 1 had genomen, dan zou ik in de eenheidscirkel de rechthoekige driehoek gaan tekenen. Als ik een liniaal pak kom ik voor de straal op 1 uit en voor de horizontale gedeelte 0,5. Met een kompas zou ik nog een mooie hoek van 60 graden kunnen maken.
Echter, geen van die instrumenten mag ik gebruiken tijdens het examen dat ik ga maken. Hoe zou je dan, zonder te onthouden, kunnen stellen dat de straal 2 is (of 1) en het horizontale deel 1 (of 0,5)?
Ik denk echter dat dat niet efficient zou zijn om te doen zonder meetinstrumenten.
Waar ik op probeer te doelen is: http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
examen 2010b, opgave 1. Zoals te zien is kun je een aantal berekeningen uitvoeren om tot het juiste antwoord te komen. Ik had deze vraagstelling met rekenmachine kunnen oplossen, maar dat is niet de bedoeling. Nu, doordat ik de waarde van bijvoorbeeld sin30 weet, kan ik het zonder rekenmachine oplossen.
Echter, hoe zou ik blanco zonder te weten wat die waarde zijn (sin60=0.5) dit kunnen oplossen? Hetzelfde als de sinus 60 zonder rekenmachine berekenen met enkel een eenheidscirkel zonder meetinstrumenten.
Ik ratel weer (ik probeer een vraag te stellen als: waar komt het getal pi vandaan, de historie/hoe de grieken/o.i.d. het berekend hebben), laat maar. Maar ik begrijp nu wel beter waar die waarde vandaan komen en hoe ik zo'n opgave de volgende keer moet oplossen.
De opgave van gisteren is gelukt! Bedankt voor de uitleg Alrac4, Aardappeltaart en Riparius (mijn OCD forceert mij om zo'n bedank gedeelte te ordenen van vroegste datum naar laatste datum, heb ik vaak ook met andere dingen in het leven).
Het is beter om bij goniometrische verhoudingen in een rechthoekige driehoek niet te denken in termen van een straal. Historisch is het zo dat men goniometrische verhoudingen eerst heeft bestudeerd aan de hand van rechthoekige driehoeken. Aangezien de lengtes van de zijden van gelijkvormige driehoeken evenredig met elkaar zijn, hangen deze verhoudingen uitsluitend af van de hoeken van de rechthoekige driehoek.quote:Op woensdag 23 oktober 2013 16:47 schreef DefinitionX het volgende:
Lylolyc, bedankt!
Riparius, dank u. Wat betreft die verhoudingen: in een eenheidscirkel is de straal overal gelijk. Nu zie ik dat in die afbeelding een hoek van 60 met daarboven een hoek van 30 graden gevormd wordt. De straal is hier 2, maar had netzogoed 1 kunnen zijn waardoor het horizontale as 0.5 is en met het spiegelbeeld in totaal 1 zou zijn.
Heel eenvoudig: heb je in de eenheidscirkel een driehoek getekend waarvan de hypotenusa (schuine zijde) gelijk is aan een straal van de cirkel, en dus een lengte één heeft, en heeft de basis b van je rechthoekige driehoek een lengte 1/2, en stellen we de hoogte van de rechthoekige driehoek gelijk aan h, dan geldt volgens Pythagorasquote:U zegt dat het onthouden niet goed is bij wiskunde, wel dan, waar komt logischer gewijs die 2 vandaan? Stel dat ik ipv twee 1 had genomen, dan zou ik in de eenheidscirkel de rechthoekige driehoek gaan tekenen. Als ik een liniaal pak kom ik voor de straal op 1 uit en voor de horizontale gedeelte 0,5. Met een kompas zou ik nog een mooie hoek van 60 graden kunnen maken.
Echter, geen van die instrumenten mag ik gebruiken tijdens het examen dat ik ga maken. Hoe zou je dan, zonder te onthouden, kunnen stellen dat de straal 2 is (of 1) en het horizontale deel 1 (of 0,5)?
Daar vergis je je dan in. De oude Grieken konden dit duizenden jaren geleden al uitrekenen zonder instrumenten, en jij kunt dat ook.quote:Ik denk echter dat dat niet efficiënt zou zijn om te doen zonder meetinstrumenten.
Het lijkt me de bedoeling dat je hier de sinusregel gebruikt in ΔBCD, dan vind je namelijk direct dat BC = 2√3 / √2 en dus r = √3/√2 en daarmee voor de oppervlakte van de cirkel (3/2)·π.quote:Waar ik op probeer te doelen is: http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
examen 2010b, opgave 1. Zoals te zien is kun je een aantal berekeningen uitvoeren om tot het juiste antwoord te komen. Ik had deze vraagstelling met rekenmachine kunnen oplossen, maar dat is niet de bedoeling. Nu, doordat ik de waarde van bijvoorbeeld sin 30° weet, kan ik het zonder rekenmachine oplossen.
Heel eenvoudig: je maakt even uit de losse pols een schetsje van een gelijkzijdige driehoek met een hoogtelijn, en dan vind je zoals ik hierboven uitleg gemakkelijk dat sin 60° = ½√3.quote:Echter, hoe zou ik blanco zonder te weten wat die waarde zijn dit kunnen oplossen? Hetzelfde als de sinus 60° zonder rekenmachine berekenen met enkel een eenheidscirkel zonder meetinstrumenten.
Dat hoop ik dan maar. Ik heb namelijk het idee dat je niet zag dat je voor deze opgave het beste de sinusregel kon gebruiken.quote:Ik ratel weer (ik probeer een vraag te stellen als: waar komt het getal pi vandaan, de historie/hoe de Grieken o.i.d. het berekend hebben), laat maar. Maar ik begrijp nu wel beter waar die waarde vandaan komen en hoe ik zo'n opgave de volgende keer moet oplossen.
Heb je de vervolgopgaven ook geprobeerd? De opgave die je uitgelegd wilde hebben heeft op zich bitter weinig met goniometrie te maken: je hoefde alleen de definities van de sinus en de cosinus als verhoudingen tussen de rechthoekszijden en de schuine zijde in een rechthoekige driehoek te kennen, en verder was het eigenlijk vlakke meetkunde, geen goniometrie.quote:De opgave van gisteren is gelukt! Bedankt voor de uitleg Riparius.
Nee, geen asymptoot. De kromme in kwestie heeft wel degelijk een (verticale) raaklijn in het punt (1;3).quote:Op woensdag 23 oktober 2013 16:53 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Het scheelt een minteken in de noemer.
y' = (3y²-6y)/(4y - 6xy + 6x)
Substitueren we nu het punt (1; 3), dan zien we dat de noemer 0 wordt, en de teller 9. Nu gaat y' dus naar ∞, en dat correspondeert met een verticale asympoot.
Overigens heb ik van het wiskunde b examen 2013, eerste zitting, vragen 9 en 10 ook gemaakt. Ik moet zeggen, ik snapte wel wat ze wilden, maar ik wist niet welke methode ik kon gebruiken om de bewijzen te leveren. Toen heb ik de uitwerkingen ervan gezien op youtube (gemaakt door studenten wiskunde van de VU) en snapte ik hoe ze daarbij kwamen.quote:Hoek D = 180-60=120 graden
Sinus(D)/BC = Sinus(C)/2
BC=(Sinus(D)*2)/Sinus(C)
Sinus(D)= 1/2 wortel 3
Sinus(C)= 1/2 wortel 2
Bc=2wortel3/wortel2
Straal = BC/2 = wortel3/wortel2
Oppervlakte cirkel = straal in het kwadraat * pi
Straal in het kwadraat = 3/2
Oppervlakte = 3/2 pi
Het juiste antwoord is C.
Je vraagt dus naar tips om bewijsvragen (vlakke meetkunde) op te lossen. Hier wat dingen die in me opkomen, die ik zelf ook handig vind om te doen bij dergelijke vragen:quote:Op woensdag 23 oktober 2013 20:20 schreef DefinitionX het volgende:
Als iemand aanvulling heeft/tips/tricks om opgaves zoals 9/10 op te lossen, graag.
Dat is in orde zo. Merk nog op dat supplementaire hoeken dezelfde sinus hebben, zodat sin 120° = sin(180° − 120°) = sin 60° = ½√3.quote:Op woensdag 23 oktober 2013 20:20 schreef DefinitionX het volgende:
Dankje Amoeba en dank u Riparius! Wow, echt, wow! Dat is zo mooi om in te zien. Die uitleg over het gebruik van pythagoras bij het berekenen van h, merci!
Overigens, hier de berekeningen van de eerste vraag van de 2010 augustus examen van Belgie:
[..]
Vlakke meetkunde. Bij vraag 9 maak je gebruik van de stelling dat een omtrekshoek op een cirkelboog gelijk is aan de helft van de middelpuntshoek op dezelfde cirkelboog, waaruit volgt dat omtrekshoeken op dezelfde cirkelboog gelijk zijn. Dan zie je gemakkelijk dat twee van de drie hoeken van driehoek BCD gelijk zijn aan 60°, zodat de derde hoek eveneens 60° moet zijn en driehoek BCD dus inderdaad gelijkzijdig is. Bij vraag 10 maak je gebruik van congruentiekenmerken van driehoeken. Hier is CE = CA en BC = DC en verder is ABDC een koordenvierhoek, waaruit volgt dat ∠EBC = ∠ADC. Ook is ∠BCE = ∠DCA en ∠CEB = ∠CAD = 60°. Je kunt dan gebruik maken van congruentiekenmerk ZHZ of HZH of ZHH.quote:Overigens heb ik van het wiskunde b examen 2013, eerste zitting, vragen 9 en 10 ook gemaakt. Ik moet zeggen, ik snapte wel wat ze wilden, maar ik wist niet welke methode ik kon gebruiken om de bewijzen te leveren. Toen heb ik de uitwerkingen ervan gezien op youtube (gemaakt door studenten wiskunde van de VU) en snapte ik hoe ze daarbij kwamen.
Vlakke meetkunde is geen trucendoos, je moet gewoon je stellingen kennen en strict deductief redeneren.quote:Overigens heb ik ook vraag 11 gemaakt en dat was eigenlijk best simpel.
Als iemand aanvulling heeft/tips/tricks om opgaves zoals 9/10 op te lossen, graag.
Ja natuurlijk, ik zie mijn vergissing in.quote:Op woensdag 23 oktober 2013 17:23 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee, geen asymptoot. De kromme in kwestie heeft wel degelijk een (verticale) raaklijn in het punt (1;3).
Het is duidelijk dat c = 3/2, immers is het maximum van deze sinusfunctie y = 3/2, en de evenwichtstand ligt op y = 0.quote:Op vrijdag 25 oktober 2013 12:18 schreef DefinitionX het volgende:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Examen 2011b, vraag 8 versie 2
A=2
b= negatief 0.5 pi
c = 1.5
Ik had dus antwoord A.
Echter zij zeggen dat het antwoord D moet zijn. Kan iemand dat aub uitleggen?
Je begint even te kijken naar de amplitude. Uit de grafiek lees je af dat de functie alleen waarden aanneemt op het interval [−3/2, 3/2], zodat | c | = 3/2 moet zijn, en dus c = 3/2 óf c = −3/2. Nu vallen antwoorden <B> en <C> af, en houden we dus nog <A> en <D> over, en dus weten we nu dat c = 3/2 moet zijn. Kijken we naar de resterende antwoorden <A> en <D>, dan kunnen we ook concluderen dat a = 2 moet zijn. Dat klopt ook met de grafiek, want hieruit kun je aflezen dat de functie een periode π heeft. Maar nu moeten we nog de waarde van b bepalen.quote:Op vrijdag 25 oktober 2013 12:18 schreef DefinitionX het volgende:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Examen 2011b, vraag 8 versie 2
A=2
b= negatief 0.5 pi
c = 1.5
Ik had dus antwoord A.
Echter zij zeggen dat het antwoord D moet zijn. Kan iemand dat aub uitleggen?
Ik ging ook uit van deze redenatie voor vraag 8 versie 2.quote:Op vrijdag 25 oktober 2013 12:52 schreef Amoeba het volgende:
Voor versie 2 geldt:"
c = 3/2 (zelfde redenatie als hierboven)
b = -π/2, want de sinus is π/2 naar rechts verschoven.
En volgens eenzelfde redenatie als hierboven geldt a = 2
En dit inderdaad in het geval:
Waar komt die 1 vandaan? Als c=1.5 en je haalt de c weg uit de linkerkant door te delen met c krijg je aan de rechterkant geen 1.quote:Op vrijdag 25 oktober 2013 13:03 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je begint even te kijken naar de amplitude. Uit de grafiek lees je af dat de functie alleen waarden aanneemt op het interval [−3/2, 3/2], zodat | c | = 3/2 moet zijn, en dus c = 3/2 óf c = −3/2. Nu vallen antwoorden <B> en <C> af, en houden we dus nog <A> en <D> over, en dus weten we nu dat c = 3/2 moet zijn. Kijken we naar de resterende antwoorden <A> en <D>, dan kunnen we ook concluderen dat a = 2 moet zijn. Dat klopt ook met de grafiek, want hieruit kun je aflezen dat de functie een periode π heeft. Maar nu moeten we nog de waarde van b bepalen.
Welnu, we zien dat de functie voor x = ¾π de waarde 3/2 aanneemt, zodat
sin(2·¾π + b) = 1
Wat je hier aan de linkerkant doet volg ik nog, maar niet aan de rechterkant.quote:en dus
(3/2)·π + b = (1/2)·π + 2kπ, k ∈ Z
quote:en dus
b = −π + 2kπ, k ∈ Z
Hoe kan dit dan? op de grafiek zie je duidelijk dat het met 0.5pi naar rechts is verschoven.quote:Er is geen geheel getal k dat de waarde b = −½π op kan leveren, maar voor k = 0 hebben we wel b = −π. Ergo, <D> is het enige juiste antwoord.
Toch wel. Je hebt namelijkquote:Op vrijdag 25 oktober 2013 13:26 schreef DefinitionX het volgende:
Waar komt die 1 vandaan? Als c=1.5 en je haalt de c weg uit de linkerkant door te delen met c krijg je aan de rechterkant geen 1.
[..]
Dat zou je toch moeten begrijpen. De sinus is een periodieke functie met een periode 2π, zodat niet alleen sin(½π) = 1, maar in het algemeen sin(½π + 2kπ) = 1 voor élk geheel getal k.quote:Wat je hier aan de linkerkant doet volg ik nog, maar niet aan de rechterkant.
Denk liever niet in termen van verschuivingen. Ik weet dat dat zo geleerd wordt, maar mijn ervaring is dat de meeste studenten daar meer van in verwarring raken dan dat het wat verheldert. Bovendien gaan dergelijke aangeleerde trucjes vaak fout als je bijvoorbeeld een negatieve waarde van c zou hebben gehad.quote:Hoe kan dit dan? op de grafiek zie je duidelijk dat het met 0.5pi naar rechts is verschoven.
Hier wordt gebruik gemaakt van het rational root theorem, waar ik je trouwens al eerder op heb gewezen, maar dat ben je blijkbaar al weer vergeten.quote:Op vrijdag 25 oktober 2013 13:38 schreef DefinitionX het volgende:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
2011 a vraag 3.
http://www.kaveurne.be/wiskunde/IGwiskunde2011opl.pdf
Ik heb een vraag over de notitie die de oplosser maakt.
Hij zegt namelijk 'delers van 6'. Hij gebruikt bij het oplossen de regel van Horner. Ik denk dat hij elke deler invult om te kijken welke de vergelijking als waarde 0 laat uitkomen. Zit hier een bepaald idee achter dat hij de delers van 6 gebruikt? Ik zoek de logica hierachter.
Dat gaat vooral fout omdat het niet consequent in 1 keer in zn geheel goed aangeleerd wordt, maar zo halfbakken. Neem bijv. de sinusfuncties: Het algemene geval wordt beschreven door f(x)=a+b*sin(c(x+d)). Hierin is:quote:Op vrijdag 25 oktober 2013 13:39 schreef Riparius het volgende:
Denk liever niet in termen van verschuivingen. Ik weet dat dat zo geleerd wordt, maar mijn ervaring is dat de meeste studenten daar meer van in verwarring raken dan dat het wat verheldert. Bovendien gaan dergelijke aangeleerde trucjes vaak fout als je bijvoorbeeld een negatieve waarde van c zou hebben gehad.
Besef dat die vragen uiterst complex zijn, e.g. field medal level (zowat de hoogste prijs die een wiskundige kan ontvangen, dit komt denk ik boven de nobelprijs voor de wiskunde(?)). Je kan volgens mij met 1 van de problemen maanden/jaren/decennia bezig zijn om te bewijzen.quote:Op vrijdag 25 oktober 2013 19:39 schreef ulq het volgende:
Heeft één van jullie (dan richt ik me vooral op de vraagbeantwoorders hier) hier wel eens naar gekeken? --> http://nl.wikipedia.org/wiki/Millenniumprijsprobleem
Korte reactie om je (?) te beantwoorden, de Nobelprijs voor de wiskunde bestaat niet.quote:Op vrijdag 25 oktober 2013 20:01 schreef DefinitionX het volgende:
[..]
Besef dat die vragen uiterst complex zijn, e.g. field medal level (zowat de hoogste prijs die een wiskundige kan ontvangen, dit komt denk ik boven de nobelprijs voor de wiskunde(?)). Je kan volgens mij met 1 van de problemen maanden/jaren/decennia bezig zijn om te bewijzen.
De Fields Medal is, net als de Abel Prize, een prijs die als een de facto Nobelprijs voor de Wiskunde wordt beschouwd. Een officiële Nobelprijs voor de Wiskunde bestaat namelijk niet .quote:Op vrijdag 25 oktober 2013 20:01 schreef DefinitionX het volgende:
Besef dat die vragen uiterst complex zijn, e.g. field medal level (zowat de hoogste prijs die een wiskundige kan ontvangen, dit komt denk ik boven de nobelprijs voor de wiskunde(?)). Je kan volgens mij met 1 van de problemen maanden/jaren/decennia bezig zijn om te bewijzen.
Ik vind het alleen wel onterecht dat Einstein boven alle andere grootheden uit de fysica op een voetstuk geplaatst en verafgood wordt, met als claim dat hij zn tijdgenoten vooruit was met zn onnavolgbaar inzicht. Dat is simpelweg niet waar. Einstein heeft voor het ontwikkelen van zn Relativiteitstheorie de 4 klassieke Electromagnetische vergelijkingen van Maxwell gepakt en er met de voorwaarde van éénzelfde constante eindige lichtsnelheid (wat volgde uit experimenten die o.a. Tijdsdilatatie en Lorentzcontractie aantoonden) in alle referentiekaders aan zitten rekenen, om uiteindelijk op de Speciale RelativiteitsTheorie uit te komen. Voor het ontwikkelen van de algemene variant heeft Einstein net zolang gewacht totdat Tensor Algebra in voldoende mate ontwikkeld was. Een Dirac, Pauli, Heisenberg, enz had dit ook kunnen doen als 1 van hen zich hierop gestort had.quote:Naar mijn mening mag er best 9 miljoen dollar extra bij per het oplossen van een van die vraagstukken. Ruimtereis/interstellaire reis/vliegende auto's the jetson's style, zijn allen mogelijk door beta mensen. Dan heb ik het met name over mensen die geboren zijn met de liefde voor beta en dit verwezenlijken door er dagelijks mee bezig te zijn.
Ik bedoel, kijk naar Einstein. Niemand zal hem ooit vergeten.
Die problemen zijn echt gruwelijk moeilijk. De Laatste Stelling van Fermat is een peuleschilletje vergeleken met de meeste problemen uit die lijst. Maar goed, het Poincarévermoeden is inmiddels getackeld, dus we kunnen gaan gokken welk probleem het volgende gaat worden. Ik zet zelf in op het Hodgevermoeden.quote:Op vrijdag 25 oktober 2013 19:39 schreef ulq het volgende:
Heeft één van jullie (dan richt ik me vooral op de vraagbeantwoorders hier) hier wel eens naar gekeken? --> http://nl.wikipedia.org/wiki/Millenniumprijsprobleem
Ze moesten Wiles een eervolle vermelding geven omdat hij te oud was om de prijs te mogen ontvangen.quote:Op vrijdag 25 oktober 2013 20:40 schreef VanishedEntity het volgende:
[..]
De Fields Medal is, net als de Abel Prize, een prijs die als een de facto Nobelprijs voor de Wiskunde wordt beschouwd.
Het geheim van een goede kok is dat hij goed de verschillende ingrediënten en combinaties van ingrediënten die al bestaan combineert. Geld hetzelfde niet voor de goede wetenschapper? Hoe kan je creëren zonder te combineren wat er al bestaat? Geld voor al die andere helden zoals onze eigen Lorentz en Maxwell niet eveneens dat zij hun succes weer te danken hebben aan wat anderen al hadden ontwikkeld?quote:Ik vind het alleen wel onterecht dat Einstein boven alle andere grootheden uit de fysica op een voetstuk geplaatst en verafgood wordt, met als claim dat hij zn tijdgenoten vooruit was met zn onnavolgbaar inzicht. Dat is simpelweg niet waar. Einstein heeft voor het ontwikkelen van zn Relativiteitstheorie de 4 klassieke Electromagnetische vergelijkingen van Maxwell gepakt en er met de voorwaarde van éénzelfde constante eindige lichtsnelheid (wat volgde uit experimenten die o.a. Tijdsdilatatie en Lorentzcontractie aantoonden) in alle referentiekaders aan zitten rekenen, om uiteindelijk op de Speciale RelativiteitsTheorie uit te komen. Voor het ontwikkelen van de algemene variant heeft Einstein net zolang gewacht totdat Tensor Algebra in voldoende mate ontwikkeld was. Een Dirac, Pauli, Heisenberg, enz had dit ook kunnen doen als 1 van hen zich hierop gestort had.
Dat gezegd hebbende: de RT ontwikkelen is, op zn engels gezegd, "a feat in and of its own already" .
Wat houdt het oplossen van die problemen dan ongeveer in? Is het een soort hele moeilijke som/opgave die echt 'opgelost' moet worden of is het meer iets zoals ''bewijs dat 1+1=2''?quote:Op vrijdag 25 oktober 2013 23:14 schreef thabit het volgende:
[..]
Die problemen zijn echt gruwelijk moeilijk. De Laatste Stelling van Fermat is een peuleschilletje vergeleken met de meeste problemen uit die lijst. Maar goed, het Poincarévermoeden is inmiddels getackeld, dus we kunnen gaan gokken welk probleem het volgende gaat worden. Ik zet zelf in op het Hodgevermoeden.
Het gaat volgens mij vaak inderdaad om bewijzen dat een bepaalde stelling altijd geldt.quote:Op zaterdag 26 oktober 2013 11:22 schreef ulq het volgende:
[..]
Wat houdt het oplossen van die problemen dan ongeveer in? Is het een soort hele moeilijke som/opgave die echt 'opgelost' moet worden of is het meer iets zoals ''bewijs dat 1+1=2''?
Dat lijkt me nou weer niet zo interessant, om 4 jaar bezig te zijn met het bewijzen van ''1+1=2''quote:Op zaterdag 26 oktober 2013 12:39 schreef Aardappeltaart het volgende:
[..]
Het gaat volgens mij vaak inderdaad om bewijzen dat een bepaalde stelling altijd geldt.
Waarom ben je zo geïnteresseerd in die Millennium Prize Problems? Het gaat in ieder geval niet om 'sommetjes'. Lees je anders eens in, alleen het begrijpen van de vraagstellingen is al een hele studie. Het Clay Institute is in ieder geval wel zo verstandig geweest om allerlei regels op te stellen waaraan voorgestelde oplossingen moeten voldoen, zoals publicatie in een internationaal erkend peer reviewed tijdschrift, en acceptatie van de voorgestelde oplossing door de wiskundige gemeenschap twee jaar na publicatie. Het Clay Institute accepteert zelf geen inzendingen van would be oplossers, maar het zou me niets verbazen als ze desondanks overstroomd worden door waardeloze papers van amateurwiskundigen en cranks, net zoals dat gebeurde nadat Paul Wolfskehl bij zijn dood in 1906 een bedrag van 100.000 Goldmark had nagelaten aan de academie van wetenschappen in Göttingen als prijs voor een bewijs van de laatste (grote) stelling van Fermat.quote:Op zaterdag 26 oktober 2013 11:22 schreef ulq het volgende:
[..]
Wat houdt het oplossen van die problemen dan ongeveer in? Is het een soort hele moeilijke som/opgave die echt 'opgelost' moet worden of is het meer iets zoals ''bewijs dat 1+1=2''?
Hoewel ik hierboven al een uitwerking van dit vraagstuk heb gepost, kom ik hier graag nog even op terug nu ik eens wat meer uitwerkingen heb bekeken van de persoon die ik nu maar even de oplosser van Veurne zal noemen. Heel wat vragen van het Vlaamse toelatingsexamen wiskunde testen op inzicht, hetgeen betekent dat ze zonder noemenswaardig rekenwerk en veelal uit het blote hoofd zijn op te lossen. Maar in de uitwerkingen van de oplosser van Veurne blijkt daar niet veel van, hij of zij doet vaak veel te veel werk. Ik denk dat je je daarom niet te veel vast moet klampen aan deze uitwerkingen.quote:Op vrijdag 25 oktober 2013 13:38 schreef DefinitionX het volgende:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
2011 a vraag 3.
http://www.kaveurne.be/wiskunde/IGwiskunde2011opl.pdf
Ik heb een vraag over de notitie die de oplosser maakt.
Hij zegt namelijk 'delers van 6'. Hij gebruikt bij het oplossen de regel van Horner. Ik denk dat hij elke deler invult om te kijken welke de vergelijking als waarde 0 laat uitkomen. Zit hier een bepaald idee achter dat hij de delers van 6 gebruikt? Ik zoek de logica hierachter.
Om de lengte van een zijde van een driehoek met behulp van de sinusregel te berekenen moet je twee hoeken van de driehoek kennen. Maar hier is slechts de grootte van één hoek gegeven, dus kun je de sinusregel hier niet gebruiken.quote:Op zondag 27 oktober 2013 14:48 schreef DefinitionX het volgende:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Examen 2009 a/juli, vraag 1.
Ik heb dit opgelost met de cosinusregel. Echter, waarom zou hier een sinusregel niet werken?
Beetje analytische meetkunde. Je moet voor deze opgave weten dat de vergelijking van een cirkel met middelpunt (p;q) en straal r is te schrijven alsquote:Op zondag 27 oktober 2013 20:08 schreef DefinitionX het volgende:
Dank u wel voor het verhelderen van de vraag over de cosinusregel Riparius.
Vraag 5 examen 2008 augustus/b: http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Ik begrijp dat ik hier met stelsels moet werken. Ik kom niet verder dan 10b-c=34 te stellen als eerste vergelijking, maar ik weet niet welke andere vergelijking ik kan stellen om de waarde van b en c te berekenen.. Naar de uitwerking van vraag 5 kijkend snap ik niet zo goed hoe de oplosser komt aan b^2-c=9.
Als je weet wat de ketting- en quotiëntregel inhouden, zou het toepassen ook moeten lukken. Het berekenen van een afgeleide is alleen maar het toepassen van de regels. Je moet even wat meer toelichting geven.quote:Op zondag 27 oktober 2013 22:37 schreef MCH het volgende:
Kan iemand mij de stappen uitleggen hoe ik de afgeleide krijg van een wortel en dan staat er binnen de wortel (x^2-1)/(x) Ik weet dat het iets is met de ketting regel en coëfficiënt regel.
Als je de vierkantswortel bedoelt uit (x2 − 1)/x = x − x−1 dan heb je dusquote:Op zondag 27 oktober 2013 22:37 schreef MCH het volgende:
Kan iemand mij de stappen uitleggen hoe ik de afgeleide krijg van een wortel en dan staat er binnen de wortel (x^2-1)/(x) Ik weet dat het iets is met de ketting regel en coëfficiënt regel.
De afgeleide van een breuk. Sorry, ik krijg wiskunde in het Engels.quote:Op zondag 27 oktober 2013 23:01 schreef Riparius het volgende:
[..]
Als je de vierkantswortel bedoelt uit (x2 − 1)/x = x − x−1 dan heb je dus
f(x) = (x − x−1)1/2
Nu lukt het toch wel om hiervan de afgeleide te bepalen? En wat versta je onder coëfficiëntregel?
Dan bedoel je de quotiëntregel. In het Engels is dat de quotient rule, dus ik zie niet waarom je de termen quotiënt en coëfficiënt door elkaar gooit. Ik zou trouwens de quotiëntregel hier niet gebruiken, onnodig ingewikkeld.quote:Op zondag 27 oktober 2013 23:03 schreef MCH het volgende:
[..]
De afgeleide van een breuk. Sorry, ik krijg wiskunde in het Engels.
Hier wordt inderdaad de quotiëntregel en de kettingregel gebruikt, nadat eerst nog het domein van de functie is bepaald. Als je de regels voor het differentiëren goed kent is hier verder niet zoveel aan te snappen. Maar kennelijk begrijp je die regels nog niet voldoende. Maar goed, zoals gezegd, ik zou het zo niet doen.quote:Op zondag 27 oktober 2013 23:07 schreef MCH het volgende:
http://nl.tinypic.com/r/fa60yu/5
Hier staat de uitwerking waar ik dus geen hout van kan snijden.
Maar staat hier nu hetzelfde als 0,5wortel(u)^-0,5 keer de afgeleide van u ? Alleen dan weer herschreven volgens algebraïsche regels?quote:Op zondag 27 oktober 2013 23:12 schreef Riparius het volgende:
[..]
Hier wordt inderdaad de quotiëntregel en de kettingregel gebruikt, nadat eerst nog het domein van de functie is bepaald. Als je de regels voor het differentiëren goed kent is hier verder niet zoveel aan te snappen. Maar kennelijk begrijp je die regels nog niet voldoende. Maar goed, zoals gezegd, ik zou het zo niet doen.
Je kunt inderdaad u = x − x−1 nemen. Maar ik zou het zo doen:quote:Op zondag 27 oktober 2013 23:16 schreef MCH het volgende:
[..]
Maar staat hier nu hetzelfde als 0,5wortel(u)^-0,5 keer de afgeleide van u ? Alleen dan weer herschreven volgens algebraïsche regels?
Dit is niet mijn uitwerking. Dit zijn uitwerkingen van de docenten van de uni. Tot zover hun niveau, mocht dit niet totaal kloppen.quote:Op zondag 27 oktober 2013 23:25 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je kunt inderdaad u = x − x−1 nemen. Maar ik zou het zo doen:
d((x − x−1)1/2)/dx = d((x − x−1)1/2)/d(x − x−1) · d(x − x−1)/dx = ½·(x − x−1)−1/2·(1 + x−2)
Dit kun je uiteraard nog verder herleiden. Je uitwerking klopt trouwens niet helemaal omdat √x niet reëel is voor x < 0.
Als een docent van de uni dat zo opschrijft zou die persoon ontslagen mogen worden wat mij betreft.quote:Op zondag 27 oktober 2013 23:28 schreef MCH het volgende:
[..]
Dit is niet mijn uitwerking. Dit zijn uitwerkingen van de docenten van de uni. Tot zover hun niveau, mocht dit niet totaal kloppen.
Jammer dat ik zelf niet zo goed onderlegd ben om ze hiermee te confronteren.quote:Op zondag 27 oktober 2013 23:31 schreef Riparius het volgende:
[..]
Als een docent van de uni dat zo opschrijft zou die persoon ontslagen mogen worden wat mij betreft.
Uiteraard kunnen (grafieken van) functies meer dan één horizontale of verticale asymptoot hebben. Een eenvoudig voorbeeld is de functiequote:Op maandag 28 oktober 2013 15:16 schreef DefinitionX het volgende:
Tot nu toe geniet ik met volle teugen van "Toegepaste Wiskunde voor het hoger onderwijs (Blankespoort, de Joode en Sluijter)". Ik zit nu met limieten en er is een vraag bij me opgekomen, namelijk: zou een functie niet meer dan 1 verticale/horizontale asymptoot kunnen hebben? Neem de helft van een small eclips . Volgens mij heb je boven de eclips een verticale asymptoot, maar ook daaronder.
Want hij noemt het domein van f ' niet?quote:Op zondag 27 oktober 2013 23:31 schreef Riparius het volgende:
[..]
Als een docent van de uni dat zo opschrijft zou die persoon ontslagen mogen worden wat mij betreft.
Nee, ik doelde op het feit dat hij of zij 1/√(a/b) herschrijft als √b/√a. Dat geldt alleen als a > 0 en tevens b > 0, maar aan die voorwaarde is niet voldaan voor −1 < x < 0, terwijl de functie wel is gedefinieerd en differentieerbaar is op (−1, 0).quote:Op dinsdag 29 oktober 2013 11:08 schreef thenxero het volgende:
[..]
Want hij noemt het domein van f ' niet?
Het is onduidelijk wat nu precies de bedoeling is. Als je polynoom in λ een complexe waarde heeft, dan heeft < hier geen betekenis, dus de vraagstelling klopt zo alvast niet. Het zou kunnen dat je bedoeltquote:Op dinsdag 29 oktober 2013 17:41 schreef Dale. het volgende:
Vraagje... Ik wil de volgende vergelijking oplossen...
Oplossingen mogen reëel of complex zijn zolang het reëel deel maar negatief is.
Als we aannemen dat l1 en l2 reëel zijn en je vierkantsvergelijking heeft twee reële wortels λ1 en λ2, dan zijn deze beide negatief als λ1 + λ2 < 0 en tevens λ1λ2 > 0, dusquote:Op dinsdag 29 oktober 2013 18:50 schreef Dale. het volgende:
-edit-
Sorry beetje in de war...
Wat ik wil is dat de oplossingen van de kwadratische vergelijking
een negatief reëel deel hebben.
Nee, dat kan niemand, want je geeft niet aan wat er wordt gesommeerd ...quote:Op dinsdag 29 oktober 2013 20:15 schreef ronaldoo12 het volgende:
70
∑
k=10
kan iemand me helpen met wat hier uitkomt ?
http://en.wikipedia.org/w(...)lynomial_expressionsquote:Op dinsdag 29 oktober 2013 20:15 schreef ronaldoo12 het volgende:
70
∑
k=10
kan iemand me helpen met wat hier uitkomt ?
70quote:Op dinsdag 29 oktober 2013 20:20 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee, dat kan niemand, want je geeft niet aan wat er wordt gesommeerd ...
Je hebt een rekenkundige reeks. Heeft een rekenkundige reeks n termen en is de eerste term t1 en de laatste term tn, dan is de som S = ½n(t1 + tn).quote:
quote:Op dinsdag 29 oktober 2013 20:33 schreef Dale. het volgende:
[ afbeelding ]
ehmm.. wordt dit dan: 70+(7k-2)-10 ? ...
hoe kom je aan t1 en tn ?quote:Op dinsdag 29 oktober 2013 20:39 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je hebt een rekenkundige reeks. Heeft een rekenkundige reeks n termen en is de eerste term t1 en de laatste term tn, dan is de som S = ½n(t1 + tn).
Hier heb je n = 61, t1 = 68, tn = 488, dus S = ½·61·(68 + 488) = 16958.
Als λ1 en λ2 de wortels zijn van de vierkantsvergelijkingquote:Op dinsdag 29 oktober 2013 20:21 schreef Dale. het volgende:
Het eerste stukje begrijp ik inderdaad, als l2 - l1 + 1 > 0 ∧ 4l1 - l2 - 2 > 0 dat dan inderdaad de waardes van λ kleiner zijn dan 0.
Het tweede stukje niet helemaal... Ik snap dat als er complexe wortels zijn dat als reële delen negatief zijn dat dan λ1 + λ2 negatief is. Alleen waarom geldt l2 - l1 + 1 > 0 dan?
Je uiteindelijke voorwaarde wordtquote:Voor het eerste stukje krijg ik nu:
l2 > l1 - 1 ∧ l2 < 2(2l1 - 1) dus l1 - 1 < l2 < 2(2l1 - 1) dus l1 - 1 < 2(2l1 - 1) impliceert dat l1 > 1/3
Dus voor l1 > 1/3 geldt dat l2 ligt in l1 - 1 < l2 < 2(2l1 - 1).
En nu moet je dus nog de case bepalen voor wanneer l1 ≤ 1/3 wat dus is als er complexe wortels zijn?
LaTeX-hint:quote:Op dinsdag 29 oktober 2013 23:02 schreef Amoeba het volgende:
Ik heb een vraag over Lineaire Algebra 1.
Gegeven zijn de 2x2 matrices A en B. Bewijs dat de kolommenruimte van AB bevat is in de kolommenruimte van A.
Nou, stel
en
dan
Nou, dit laatste lukt al helemaal waardeloos. Enfin, voor de // staat de bovenste rij, na de // staat de onderste rij.
Hoe laat ik nu het gevraagde zien? De kolommenruimte van A is 1,2 of 0. Wanneer die 0 is dan zijn alle a'tjes 0, en is dus de kolommenruimte van AB ook 0, immers is AB dan de nulmatrix.
Als de kolommenruimte van A 1 is dan is er één kolom, en we zien dan in AB ook wéér een nulkolom terug.
Als de kolommenruimte van A gelijk is aan 2 ....
Maar wat als de rijenruimte van B nu eens 1 is?
Ik snap hier echt helemaal niets van.
quote:Op dinsdag 29 oktober 2013 23:43 schreef thabit het volgende:
[..]
LaTeX-hint:
Wiskunde-hint: interpreteer een matrix als een lineaire afbeelding.
Ik snap er nog steeds geen bal van.quote:Op dinsdag 29 oktober 2013 23:56 schreef thabit het volgende:
De matrix A kun je zien als een afbeelding van R2 naar R2 die v naar Av stuurt. De kolomruimte is niets anders dan het beeld van deze afbeelding, d.w.z. alle vectoren die daadwerkelijk van de vorm Av zijn. De matrix AB is als afbeelding gelijk aan B gevolgd door A: (AB)v = A(Bv). Alles wat van geschreven kan worden als ABv kan dus ook zeker geschreven worden als Aw (nl met w = Bv). Daarom is het beeld van AB bevat in het beeld van A.
Gezien de snelheid waarmee je reageert, heb je niet eens de tijd genomen om erover na te denken.quote:Op dinsdag 29 oktober 2013 23:59 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Ik snap er nog steeds geen bal van.
Lineaire Algebra 1 man. Geen hocus pocus.
Het is echt nooit in het college (noch in het dictaat behandeld).quote:Op woensdag 30 oktober 2013 00:02 schreef thabit het volgende:
[..]
Gezien de snelheid waarmee je reageert, heb je niet eens de tijd genomen om erover na te denken.
Thanks! Awesomequote:Op dinsdag 29 oktober 2013 21:23 schreef Riparius het volgende:
[..]
Als λ1 en λ2 de wortels zijn van de vierkantsvergelijking
λ2 + pλ + q = 0
dan geldt
λ1 + λ2 = −p, λ1λ2 = q
Zijn de wortels reëel, dan is de voorwaarde voor twee negatieve reële wortels λ1 + λ2 < 0 en tevens λ1λ2 > 0 en dus p > 0 en tevens q > 0.
Zijn de wortels λ1 en λ2 toegevoegd complex, dan is λ1 = α + βi en λ2 = α − βi waarbij α en β reëel zijn. De voorwaarde dat het reële deel α van de beide wortels negatief is, is dan equivalent met 2α = λ1 + λ2 = −p < 0 en dus p > 0. Merk op dat nu λ1λ2 = α2 + β2 > 0, zodat de voorwaarde λ1λ2 = q > 0 hier redundant is.
[..]
Je uiteindelijke voorwaarde wordt
(p > 0 ∧ q > 0 ∧ p2 − 4q ≥ 0) ∨ (p > 0 ∧ p2 − 4q < 0)
met p = l2 − l1 + 1 en q = 4l1 − l2 − 2
Bekijkquote:Op woensdag 30 oktober 2013 00:12 schreef Amoeba het volgende:
Ik snap je redenering wel, maar het principe van een matrix als lineaire afbeelding is mij totaal onbekend. Daarom begrijp ik niet waarom de kolomruimte het beeld van A is.
Thanks. Morgen. PC staat in slaapstand met die video's open, dus dat is het eerste waar ik mee geconfronteerd ga worden.quote:Op woensdag 30 oktober 2013 00:44 schreef Dale. het volgende:
[..]
Bekijk
https://www.khanacademy.o(...)mn-space-of-a-matrix
en
https://www.khanacademy.o(...)-of-a-transformation
Omdat je bij een vermenigvuldiging het resultaat kan zien als lineaire combinatie van de kolommen van de matrix.quote:Op woensdag 30 oktober 2013 00:12 schreef Amoeba het volgende:
Ik snap je redenering wel, maar het principe van een matrix als lineaire afbeelding is mij totaal onbekend. Daarom begrijp ik niet waarom de kolomruimte het beeld van A is.
Nee.....quote:Op donderdag 31 oktober 2013 16:13 schreef randomo het volgende:
[..]
Verduidelijkt dit het een en ander?
[ afbeelding ]
Inderdaad, wat jij hier wil kan niet. Je weet dat de som van de hoeken van elke driehoek - en dus ook de som van de hoeken van een rechthoekige driehoek - gelijk is aan 180°. Maar dat betekent dus dat er in een rechthoekige driehoek voor de beide andere hoeken samen nog 90° overblijft. En dus is het zo dat de andere hoeken in een rechthoekige driehoek altijd beide scherp zijn. Een scherpe hoek is een hoek die kleiner is dan een rechte hoek, en een stompe hoek is een hoek die groter is dan een rechte hoek maar kleiner dan een gestrekte hoek. Een gestrekte hoek is een hoek van 180°, dat is een hoek waarvan de beide benen niet samenvallen maar wel in elkaars verlengde liggen.quote:Op donderdag 31 oktober 2013 14:03 schreef DefinitionX het volgende:
Riparius, ik ben dat boek dat je me gestuurd hebt aan het bestuderen en ben bij pagina 4: 1.2 Goniometrische Formules, verwante hoeken.
Op de eenheidscirkel snap ik het, maar als ik 2 driehoeken teken met driehoek 1 een hoek van 120 graden en de andere een hoek van 60 graden kan ik niet bevatten hoe sin 120° = sin 60°. Dat is hetzelfde als stellen dat de de overstaande zijde van hoek van 120 graden ook wortel 3 is. Als je kijkt naar mijn tekening kan dat toch niet?
Je ziet dat je in de teller van het quotiënt (x2 − kx + 4)/(x - 1) een kwadratische veelterm x2 − kx + 4 hebt. Stel nu dat deze kwadratische veelterm twee (reële) nulpunten x1 en x2 heeft, dan is deze kwadratische veelterm te schrijven alsquote:Op donderdag 31 oktober 2013 19:47 schreef BalotelliFan het volgende:
Gegeven is de familie van functies
f(x) = (x2 − kx + 4)/(x - 1)
Eén van deze functies heeft geen verticale asymptoot x = 1
Voor welke waarde van k is dat het geval?
Zou iemand mij dit kunnen uitleggen? ik snap er namelijk niks van
SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Wat een bazenpost weer.
Plaatjes zelf gemaakt deze keer?
edit: zo te zien niet.Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
quote:Op donderdag 31 oktober 2013 21:29 schreef Amoeba het volgende:Bestudeer mijn post nog maar wat beter. Hint: klik met de rechter muisknop op één van de plaatjes. Ik kom hier nog op terug, maar dat doe ik pas als de vragensteller zelf heeft gereageerd.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Wat een bazenpost weer.
Plaatjes zelf gemaakt deze keer?
Ja ik had het al gezien.quote:Op donderdag 31 oktober 2013 21:31 schreef Riparius het volgende:
[..]
Bestudeer mijn post nog maar wat beter. Hint: klik met de rechter muisknop op één van de plaatjes. Ik kom hier nog op terug, maar dat doe ik pas als de vragensteller zelf heeft gereageerd.
Chinese Reststelling: 34 = 2 * 17, en 2 en 17 zijn copriem, dus de vgl is equivalent met het stelselquote:Op donderdag 31 oktober 2013 21:37 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Ja ik had het al gezien.
Ik heb je post doorgelezen. Heb me voorgenomen even wat minder te posten, die complete faal die ik laatst had neergeschreven met de translatie van die sinus heb ik mezelf nog niet vergeven.
Mijn tentamen ging vandaag ook echt ruk trouwens. Ik heb werkelijk geen idee hoe ik
18X = 20 mod 34
moet oplossen.
Het uitgebreide algoritme van Euclides geeft ggd(34,18) = 2*18 - 34 = 2, maar hoe krijg ik hieruit dat
X = 3 + 17a
?
En zo nog wat meer punten laten liggen. De hoop is gevestigd op een vijfje, de inzet is een hertentamen.
Ah, dat was 'm dus. Verzuimd door te nemen, helaas.quote:Op donderdag 31 oktober 2013 21:58 schreef thabit het volgende:
[..]
Chinese Reststelling: 34 = 2 * 17, en 2 en 17 zijn copriem, dus de vgl is equivalent met het stelsel
18X = 20 mod 2;
18X = 20 mod 17.
De eerste vergelijking geldt altijd, want daar staat gewoon 0 = 0 mod 2, en de tweede vergelijking is X = 3 mod 17.
Toen u stelde dat punt P coordinaten (1,0) had (voor de rotatie) was ik even door de war (punt P heeft de coordinaten cos teta: sin teta), maar toen ik zag wat u deed in de plaatjes begreep ik het. Nu kan ik de logica gewoon uit de eenheidscirkel halen. Dank u!quote:
Gezien de groteske fouten in de schetsjes die je hierboven had gepost is het wel duidelijk dat je zelfstudie niet erg efficiënt verloopt en dat je de feedback mist van een goede docent die tijdig bij kan sturen zodat je niet voortdurend uit de bocht vliegt. Als je een stomphoekige driehoek tekent en je noemt de lengte van de zijde tegenover de stompe hoek x en de lengte van één van de andere zijden y, dan is x/y > 1 zodat deze verhouding onmogelijk een sinus voor kan stellen, die immers niet groter dan 1 kan zijn. Dat had je toch onmiddellijk moeten zien. Ik denk daarom dat je nog maar weinig van goniometrie begrijpt en dat je er dus veel meer aan zou moeten doen in plaats van het nu al af te willen sluiten.quote:Op vrijdag 1 november 2013 11:34 schreef DefinitionX het volgende:
[..]
Toen u stelde dat punt P coördinaten (1;0) had (voor de rotatie) was ik even door de war (punt P heeft de coördinaten (cos θ; sin θ), maar toen ik zag wat u deed in de plaatjes begreep ik het. Nu kan ik de logica gewoon uit de eenheidscirkel halen. Dank u!
Waarschijnlijk was het de bedoeling om gebruik te maken vanquote:Op vrijdag 1 november 2013 19:41 schreef Amoeba het volgende:
Ik had vandaag tentamen Lineaire Algebra (dat ik zeker gehaald heb), en daar stond een vraag in over een reële vectorruimte V met inproduct.
Nu waren er 2 lijnen in die vectorruimte:
en
Nu was gegeven dat en
Nu was de vraag de volgende uitspraak te bewijzen:
Als bovenstaande geldt, dan geldt:
Waarbij een willekeurige vector op l is, en een willekeurige vector op m.
Nu had ik eigenlijk een heel kort antwoord. Als geldt:
en
dan geldt
en dus
Maar nu ik hierover nadenk vind ik dit heel veel op een cirkelredenering lijken. Wat vinden jullie van mijn antwoord?
Geen geknoei met Taylorbenaderingen.quote:Op vrijdag 1 november 2013 20:13 schreef tacos049 het volgende:
Kan iemand me helpen met lim(x->0) sin(x^2)/(x*arctan(x))? Ik heb al geprobeerd met taylorbenaderingen en dan kom ik op lim(x->0) (x^2-1/6x^6+O(x^10))/(x^2-1/3x^4+O(x^6), maar weet ik niet hoe ik verder moet
.
Ik zie dat sin(x^2)/x^2 1 wordt en voor x/arctan(x) zie ik niks gemakkelijks en zou ik alsnog geneigd zijn l'hopital of een benadering te gebruiken. De vraag was overigens de limiet met orde benaderingen te berekenenquote:Op vrijdag 1 november 2013 20:33 schreef Riparius het volgende:
[..]
Geen geknoei met Taylorbenaderingen.
Herschrijf
sin(x2)/(x·arctan(x))
als
(sin(x2) / x2) · (x / arctan(x))
Wat denk je daarvan?
Beide factoren gaan naar 1 voor x → 0.quote:Op vrijdag 1 november 2013 20:42 schreef tacos049 het volgende:
[..]
Ik zie dat sin(x^2)/x^2 1 wordt en voor x/arctan(x) zie ik niks gemakkelijks en zou ik alsnog geneigd zijn l'hopital of een benadering te gebruiken. De vraag was overigens de limiet met orde benaderingen te berekenen
Maak gebruik van ongelijkheden.quote:Op vrijdag 1 november 2013 21:39 schreef tacos049 het volgende:
[ afbeelding ]
Ik heb de eerste geprobeerd te bewijzen met de middelwaardestelling voor integralen dan zou de integraal dus gelijk zijn aan (1-0)*(1-c^2)/(3+cos(c)) voor een c tussen 0 en 1. Als ik kan laten zien dat de max kleiner is dan 2/9 en de min groter is dan 1/6 dan heb ik em bewezen, maar ik krijg de afgeleide=0 niet opgelost :/. Iemand een ander idee?
Bedankt ik begrijp em nu (ze hadden de de integraal van b nog beter kunnen benaderen volgens jouw methode bij b, maar dat ziet er natuurlijk wat lelijker uit)quote:Op vrijdag 1 november 2013 22:10 schreef Riparius het volgende:
[..]
Maak gebruik van ongelijkheden.
a) Je hebt 0 < cos x < 1 voor 0 < x < 1 en dus
(1 − x2)/4 < (1 − x2)/(3 + cos x) < (1 − x2)/3 voor 0 < x < 1
b) Haal bij de integrand een factor x4 voor het wortelteken, dan zie je dat
x3 < x3√(1 + x−3) < x3√2 voor 2 < x < 3
x = -6 is een randpunt van je functie f. Waarschijnlijk concludeer je dat f'(x) > 0 rond x = -6, dus een lokaal minimum.quote:Op zondag 3 november 2013 10:47 schreef Rickerd het volgende:
Ik heb een vraagje lokale extreme waarden:
Het gaat om de functie: (1+2/x)*sqrt(x+6)
Van deze functie worden de lokale extreme waarden gevraagd. Deze functie is gedefinieerd voor x groter of gelijk aan -6 en x ongelijk aan 0. Voor de lokale extreme waarden kan je dan de eerste afgeleide vd functie bepalen en gelijk stellen aan nul en vervolgens de first-derivative test toepassen. Dat lukt ook allemaal wel, maar nu zit ik met het punt x = -6. Zelf dacht ik dat je daar niet zoveel over kon zeggen aan de hand van de first-derivative test, maar het antwoordenboek zegt dat je aan de hand van de first-derivative test kan concluderen dat x = -6 een lokaal minimum is. Kan iemand mij verlichten met hoe je dat kan concluderen?
Ah, ik lees het ja. Bedankt!quote:Op zondag 3 november 2013 11:07 schreef Amoeba het volgende:
[..]
x = -6 is een randpunt van je functie f. Waarschijnlijk concludeer je dat f'(x) > 0 rond x = -6, dus een lokaal minimum.
En met 'rond' bedoel ik groter dan x = -6, maar wel in de omgeving van.
Kijk hier even:
http://www.google.nl/url?(...)Ro6ljvxh5MxwWSWvYMiA
Dat is juist jaquote:Op maandag 4 november 2013 13:19 schreef DefinitionX het volgende:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Examen 2008 deel 1, vraag 3. Ik heb het antwoord goed, maar ik wil weten of ik juist redeneer:
335*3=1005
+75= 1080
Daar zit 3 keer 360 in. Om cos(x)=1 te krijgen zul je cos 0 cq 360 graden moeten hebben. Ongeacht hoevaak je 360 graden draait, je komt op dezelfde plek op de eenheidscirkel, namelijk voor 0 of 360 graden graden.
Ik heb nog niet gonio. vergelijkingen bestudeerd, maar ik geloof dat het oplossen op deze manier gaat.
Nee, voor de cosinus is de regel net iets anders:quote:Op dinsdag 5 november 2013 18:53 schreef DefinitionX het volgende:
cos(pi/12)
cos(pi/12)=cos(pi/4 - pi/6)=cos(pi/4)*sin(pi/6) - cos(pi/6)*sin(pi/4)
Klopt dit? Ik ben uitgegaan van wat die video deed, maar dan voor de cosinus.
Het is van belang dat je de zogeheten additietheorema's voor de cosinus en de sinus van de som en het verschil van twee (rotatie)hoeken goed kent. Deze identiteiten luiden als volgtquote:Op dinsdag 5 november 2013 18:53 schreef DefinitionX het volgende:
cos(pi/12)
Ik ben uitgegaan van wat die video deed, maar dan voor de cosinus. Volgens mij is het niet goed.
Dan ga je ervan uit dat de vragensteller wel de formule van Euler kent, maar dat is voor zover ik weet niet het geval. Het gaat trouwens veel eenvoudiger met complexe getallen als je weet dat argumenten optellen (modulo 2π) bij vermenigvuldiging van complexe getallen. Een vermenigvuldiging met cos θ + i·sin θ beantwoordt aan een rotatie om de oorsprong over een hoek θ in het complexe vlak, en dus hebben wequote:Op dinsdag 5 november 2013 19:00 schreef Alrac4 het volgende:
En deze e-machten vervolgens weer om te schrijven naar cosinussen/sinussen en dan de haakjes uit te werken (dat wordt me wat veel werk om uit te schrijven )
Simpelweg nog een keer de kettingregel toepassen:quote:Op dinsdag 5 november 2013 22:31 schreef Ensemble het volgende:
Ik moet laten zien dat als y = f(u) en u = g(x), en f en g zijn beide twee keer differentieerbaar, dat:
Nu ben ik eerst begonnen met de kettingregel voor de eerste afgeleide:
Daarna:
Dit is dus de productregel:
Nu lukt het mij nog om dat eerste deel samen te nemen tot:
De vraag:
Maar ik snap niet hoe ze van dat tweede deel na de plus:
naar:
komen.
Heeft er iemand een idee?
Ah oke, dan snap ik hem. Bedankt.quote:Op dinsdag 5 november 2013 22:55 schreef M.rak het volgende:
[..]
Simpelweg nog een keer de kettingregel toepassen:
Gewoon, omdat het kan, en omdat we jou daar dan lekker lastige vragen over kunnen stellen. En ze zijn handig als je de grafiek van een functie gaat schetsen. Maar ja, wie doet dat tegenwoordig nog met potlood en (ruitjes)papier?quote:Op dinsdag 5 november 2013 23:56 schreef wiskundenoob het volgende:
Kan iemand mij vertellen waarom je bij gebroken lineaire functies de verticale en horizontale asymptoten wil weten?
Om maar een banaal voorbeeld te geven.quote:Op dinsdag 5 november 2013 23:56 schreef wiskundenoob het volgende:
Kan iemand mij vertellen waarom je bij gebroken lineaire functies de verticale en horizontale asymptoten wil weten?
Volstaat.quote:
quote:Op woensdag 6 november 2013 17:28 schreef Enix het volgende:
15=(2000-16,3v)(-5--18)^-16,68
Zou iemand 'v' kunnen vrijmaken? In micky mouse taal a.u.b (5 havo)
Weet je zeker dat je de vergelijking dan goed hebt ingetypt? Want mijn antwoord klopt met de gegeven vergelijking.quote:Op woensdag 6 november 2013 17:52 schreef Enix het volgende:
Klopt niet volgens het antwoordenboek. Het is wiskunde A dus houd het aub een beetje simpel.
Het antwoord moet 56 zijn.
Toch bedankt voor je hulp.
Als je in mijn uitwerking van net -16.68 vervangt door -1.668 krijg je dit:quote:Op woensdag 6 november 2013 18:01 schreef Enix het volgende:
Zucht.. Je hebt gelijk.
Bedankt voor de hulp!
Heb je een grafische rekenmachine? Als ik dat zo zie, is de gedachte waarschijnlijk geweest dat je de grafieken vanquote:Op woensdag 6 november 2013 17:52 schreef Enix het volgende:
Het is wiskunde A dus houd het aub een beetje simpel.
Nee, hier gaat het al fout, wantquote:Op woensdag 6 november 2013 22:47 schreef DefinitionX het volgende:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/IGwiskunde2007b.pdf
Vraag 5.
Ik kom zover:
2 cos² (3x + 30°) = 1
cos² (3x + 30°) = 1/2
cos (3x + 30°) = wortel(1/2) oftewel 1/4
Ken uw goniometrische identiteiten!!quote:Op woensdag 6 november 2013 22:47 schreef DefinitionX het volgende:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/IGwiskunde2007b.pdf
Vraag 5.
Ik kom zover:
2 cos² (3x + 30°) = 1
cos² (3x + 30°) = 1/2
cos (3x + 30°) = wortel(1/2) oftewel 1/4
Nu wil ik eerst weten wat cos(x)=1/4 is, maar ik krijg dit niet voor elkaar. Ik weet wel dat de waarde van x tussen de 60 en 90 graden ligt, dat moet wel, want voor cos(60°)=1/2 en cos(90°)=0.
Ik denk niet dat de additietheorum hier zal helpen.
√a = a v √a = -a ja?quote:Op woensdag 6 november 2013 23:12 schreef VanishedEntity het volgende:
[..]
Ken uw goniometrische identiteiten!!
cos(2x) = cos2(x) - sin2(x) = 2cos2(x) - 1 = 1 - 2sin2(x)
... en zoals Riparius hierboven al aangeeft; houdt rekening met het feit dat √a zowel +a als -a als oplossing heeft; wel effe checken of ze beide valide zijn natuurlijk.
Het is je vergeven.quote:Op donderdag 7 november 2013 00:39 schreef VanishedEntity het volgende:
[..]
erhm, ja dat was best wel slordig
Bedoel jequote:Op donderdag 7 november 2013 00:18 schreef wiskundenoob het volgende:
Bepaal mbv de grafiek van f voor welke reële getallen x geldt dat -1 ≤ f(x) ≤1
f(x) = -2x -2 /2x -1
-1 = -2x -2 /2x -1
x = -2/5
als x = 1 dan is f(x)= -4
Dus x ≥ -2/5?
1 = -2x -2 /2x -1
x = -6
als x = -5 dan is f(x)= -8/11
Dus x ≤ -6?
En omdat het een gebroken lineaire functie is kan je de twee voorwaardes niet bij elkaar brengen?
huh? Wat ben je precies aan het doen?quote:Op donderdag 7 november 2013 00:58 schreef VanishedEntity het volgende:
[..]
Daarvan zou ik maken:
knock yourself out
Nope.quote:Op donderdag 7 november 2013 01:08 schreef VanishedEntity het volgende:
Je weet wat ik met een tekenoverzicht bedoel???
Ik wel. Maar eerst een opmerking: die identiteiten heten additietheorema's. Je moet er geen mengelmoes van steenkolenengels en potjeslatijn van maken, ook al heb je het voornemen om medicijnen te gaan studeren.quote:Op woensdag 6 november 2013 22:47 schreef DefinitionX het volgende:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/IGwiskunde2007b.pdf
Vraag 5.
Ik kom zover:
2 cos² (3x + 30°) = 1
cos² (3x + 30°) = 1/2
Ik denk niet dat de additietheorum hier zal helpen.
Nee, want je moet in feite een dubbele ongelijkheid oplossen. En als je dat algebraïsch wil doen, dan zul je toch echt het één en ander moeten herleiden. Je hebt overigens ook weinig aan het maken van een tekenschema als je niet eerst het rechterlid van de betreffende ongelijkheden op nul herleidt.quote:Op donderdag 7 november 2013 01:23 schreef wiskundenoob het volgende:
[..]
Waarom zou je de functie willen herleiden? x is toch gewoon makkelijk te berekenen?
Je zou zo zonder herleidingen uit het functievoorschiftquote:En bedoel je met het schetsen van de teller en noemer gewoon de grafiek van de functie? Zoja, hoe kan ik uit die schets afleiden welke ongelijkheidtekens ik moet gebruiken?
Slecht hoor. Schop je (vroegere) wiskundedocent namens mij maar voor zn ballen .quote:
Ach, zoveel scheelt het qua rekenwerk ook weer niet, en het laat een truck zien die je later nog wel vaker zult tegenkomen.quote:Waarom zou je de functie willen herleiden? x is toch gewoon makkelijk te berekenen?
Nee, wat ik bedoel is een tekenoverzicht van de functie opstellen, en in het geval van dit slag gebroken a.k.a, rationale functies om eerst adhv zo'n tekenoverzicht het gedrag van tellen en noemer in kaart te brengen. Om met de teller te beginnen:quote:En bedoel je met het schetsen van de teller en noemer gewoon de grafiek van de functie? Zoja, hoe kan ik uit die schets afleiden welke ongelijkheidtekens ik moet gebruiken?
1 2 3 4 | T(f(x)) +++++++++++++++++++++ 0 --- -2 --------------------- ____________________________________________________ x -1 0 |
1 2 3 4 | N(f(x)) --------------------------- -1 -- * +++++++++++++++ ____________________________________________________ x 0 1/2 |
1 2 3 4 | T(f(x)) +++++++++++++++++++++ 0 --- -2 -- -3 --------------- ____________________________________________________ x -1 0 1/2 |
1 2 3 4 | N(f(x)) --------------------------- -1 --- * +++++++++++++++ ____________________________________________________ x 0 1/2 |
1 2 3 4 | f(x) --------------------- 0 ++++ 2 +++ * --------------- ____________________________________________________ x -1 0 1/2 |
Dank u! Ik ga dit bestuderen met het boekje. Excuus voor het gebruiken van de verkeerde terminologie, dat is niet enkel bij wiskunde zo bij mij.quote:Op donderdag 7 november 2013 01:55 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ik wel. Maar eerst een opmerking: die identiteiten heten additietheorema's. Je moet er geen mengelmoes van steenkolenengels en potjeslatijn van maken, ook al heb je het voornemen om medicijnen te gaan studeren.
De kleinste (rotatie)hoek onder de vier gegeven alternatieven is <A> 140°, zodat k > 4 moet zijn om één van de gegeven antwoorden te krijgen. En zo zie je direct dat we met k = 5 uitkomen op <D> 155°.
Je zult zien dat je veel plezier gaat beleven aan het boekje. Alle schoolstof goniometrie zoals die vroeger in Nederland werd behandeld (en nog steeds in andere beschaafde landen) wordt duidelijk uitgelegd in het eerste deel en daarmee heb je een uitstekende voorbereiding op bijvoorbeeld Vlaamse examens.quote:Op donderdag 7 november 2013 17:50 schreef DefinitionX het volgende:
[..]
Dank u! Ik ga dit bestuderen met het boekje. Excuus voor het gebruiken van de verkeerde terminologie, dat is niet enkel bij wiskunde zo bij mij.
Het antwoord van het boekje is correct.quote:Twee algemene vragen over limieten/asymptoten:
1. Hoeveel horizontale asymptoten kan een grafiek van een functie maximaal hebben.
2. Hoeveel verticale asymptoten kan een grafiek van een functie maximaal hebben?
Volgens het boekje is het antwoord op 1: 2(delen) en voor 2: oneindig.
Je houdt er geen rekening mee dat het de grafiek moet zijn van een functie. Uiteraard is het mogelijk een curve te bedenken die meer dan twee - zelfs oneindig veel - horizontale asymptoten heeft. Denk bijvoorbeeld aan de grafiek van de tangensfunctie als je deze een kwart slag draait. Maar: dan is het niet meer de grafiek van een functie.quote:Als er maximaal 2 horizontale asymptoten kunnen bestaan voor een functie dan betekent dat de functie ingesloten wordt tussen de 2 bijbehorende y-waarde. Waarom zou er geen 3e of 4e bij kunnen komen? Stel 4 horizontale asymptoten voor functie f(x)=een functie:
y=-1
y=0
y=1
y=2
Ik zou dan een grafiek tekenen die uit stukjes bestaat: ieder stuk gaat precies verder na respectievelijk y=-1, 0, 1 en 2. Dan zitten de lijnen van de grafiek niet aan elkaar, maar heb je wel een grafiek, enkel bestaan er geen x waarde voor de genoemde y waarde.
Een eenvoudig voorbeeld van een grafiek van een functie met oneindig veel verticale asymptoten is de grafiek van de functie f(x) = tan x op R. Deze functie is niet gedefinieerd voor x = ½π + kπ, k ∈ Z, omdat tan x = sin x / cos x terwijl cos x = 0 voor x = ½π + kπ, k ∈ Z. Het is echter ook zo dat de absolute waarde |f(x)| van deze functie willekeurig groot kan worden als we voor x maar een waarde nemen die voldoende dicht in de buurt ligt van een x = ½π + kπ, k ∈ Z. En dat is kenmerkend voor een verticale asymptoot, waarvan de grafiek van deze functie er dus oneindig veel heeft.quote:Datzelfde principe zou ik gebruiken voor de verticale asymptoten. Maar daar staat het antwoord al waarna ik verlang: oneindig veel verticale asymptoten.
De grafiek van een functie hoeft inderdaad niet uit één aaneengesloten curve te bestaan. Maar de grafiek van de functie die je hier geeft heeft helemaal geen asymptoot. Het lijkt er dus op dat je nog niet begrijpt wat een asymptoot nu eigenlijk is.quote:Als het niet kan, dan zou dat voor mij betekenen dat een functie een andere definitie heeft dan ik denk: namelijk dat de functie per definitie aan elkaar moet zitten. Echter, dat betwijfel ik omdat een functie: (x^2 - 1)/(x^2 - 2x - 3) uit 2 delen bestaat: een linker- en rechterlimiet.
Nee, dat is niet zo. De twee delen van de grafiek van deze functie zijn 'los' van elkaar omdat de functie een discontinuïteit heeft bij x = −1. Maar dat is iets totaal anders dan een asymptoot.quote:Deze twee delen raken elkaar niet aan door de horizontale asymptoot.
Nee. De grafiek van de functie in je plaatje heeft geen asymptoot, maar de functie heeft wel een discontinuïteit bij x = 1.quote:Er komt nu iets bij me op: een 2e horizontale asymptoot bij mijn vorige functie zou betekenen dat de functie in 3 delen kan worden opgedeeld.
Om mijn punt te illustreren en te verdedigen waarom ik denk dat een functie oneindig veel horizontale asymptoten kan hebben (uiteraard afhangend van de functie zelf!):
[ afbeelding ]
Mischien heb je hier iets aan. Kijk ook naar de literatuurverwijzingen.quote:Op donderdag 7 november 2013 19:16 schreef gaussie het volgende:
Ik zit met het volgende probleem: schrijf pi*(a+b) als machtreeks van de excentriciteit van de ellips. Waarbij a en b de assen van de ellips zijn. Voor de duidelijkheid pi*(a+b) is een benadering van de omtrek van een ellips. Alle hulp is welkom!
Pas de definities toe van injectie en surjectie. Als je dit nu nog niet begrijpt, dan vraag ik me af hoe het morgen met je toets gaat. Eerder beginnen met studeren en je stof bijhouden.quote:Op donderdag 7 november 2013 20:13 schreef ronaldoo12 het volgende:
Heey, zou iemand mij deze vraag kunnen uitleggen:
http://www.freebits.nl/images/161opgave_6.png
Het is een opgave uit de proeftoets, heb morgen de echte toets. Dus als iemand mij zou kunnen helpen, graag!
Daar heb ik al gekeken. Heb geprobeerd om de methode die wordt gebruikt om de exacte omtrek af te leiden toe te passen. Maar ik zie niet hoe dat zou moeten. De exacte uitdrukking wordt afgeleid door de ellips als parametrische kromme te schrijven. Dat idee uitwerken levert een elliptische integraal op. Dat uitwerken levert een oneindige reeks uitgedrukt in de excentriciteit. Maar om deze methode toe te passen zou je eerst pi*(a+b) als integraal moeten schrijven. Maar is dat uberhaupt mogelijk?quote:Op donderdag 7 november 2013 19:29 schreef Riparius het volgende:
[..]
Mischien heb je hier iets aan. Kijk ook naar de literatuurverwijzingen.
Ja. Tot zover kan ik je volgen.quote:Op donderdag 7 november 2013 21:59 schreef gaussie het volgende:
[..]
Daar heb ik al gekeken. Heb geprobeerd om de methode die wordt gebruikt om de exacte omtrek af te leiden toe te passen. Maar ik zie niet hoe dat zou moeten. De exacte uitdrukking wordt afgeleid door de ellips als parametrische kromme te schrijven. Dat idee uitwerken levert een elliptische integraal op. Dat uitwerken levert een oneindige reeks uitgedrukt in de excentriciteit.
Ik begrijp niet precies wat je hiermee bedoelt c.q. wat je nu eigenlijk wil. Je kunt π(a + b) strict genomen niet schrijven als machtreeks in ε = √(1 − b2/a2) omdat a + b onbepaald is als je alleen b/a kent.quote:Maar om deze methode toe te passen zou je eerst pi*(a+b) als integraal moeten schrijven. Maar is dat uberhaupt mogelijk?
Voor pi zijn er toch verscheidene bepaalde integralen, als ik het goed heb. Dan zou het toch mogelijk kunnen zijn om pi*(a+b) ook als bepaalde integraal uit te drukken? Als dat lukt, dan kan ik de methode voor de exacte uitdrukking 1 op 1 kopieren.quote:Op donderdag 7 november 2013 22:11 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ja. Tot zover kan ik je volgen.
[..]
Ik begrijp niet precies wat je hiermee bedoelt c.q. wat je nu eigenlijk wil. Je kunt π(a + b) strict genomen niet schrijven als machtreeks in ε = √(1 − b2/a2) omdat a + b onbepaald is als je alleen b/a kent.
Een meetkundige rij heeft als vorm:quote:Op donderdag 7 november 2013 22:56 schreef ronaldoo12 het volgende:
ik weet hoe ik t met mn rekenmachine kan doen, steeds keer 3.. en dan kom ik op n=7 . maar is er een andere manier ?
Beetje creatief zijn. Noem de eerste term van je meetkundige rij te en de laatste tl, en de reden r, dan isquote:Op donderdag 7 november 2013 22:56 schreef ronaldoo12 het volgende:
ik weet hoe ik t met mn rekenmachine kan doen, steeds keer 3.. en dan kom ik op n=7 . maar is er een andere manier ?
In feite staat erquote:Op donderdag 7 november 2013 22:56 schreef ronaldoo12 het volgende:
ik weet hoe ik t met mn rekenmachine kan doen, steeds keer 3.. en dan kom ik op n=7 . maar is er een andere manier ?
Ja, uiteraard zijn er integraaluitdrukkingen voor π, een heel eenvoudige is bijvoorbeeldquote:Op donderdag 7 november 2013 23:19 schreef gaussie het volgende:
[..]
Voor pi zijn er toch verscheidene bepaalde integralen, als ik het goed heb. Dan zou het toch mogelijk kunnen zijn om pi*(a+b) ook als bepaalde integraal uit te drukken? Als dat lukt, dan kan ik de methode voor de exacte uitdrukking 1 op 1 kopieren.
Wel, we hebben hierboven gezien dat er drie identiteiten zijn voor de cosinus van de dubbele hoek die vaak van pas komen. Eén daarvan isquote:Op vrijdag 8 november 2013 18:57 schreef DefinitionX het volgende:
Ik heb werkelijk geen idee hoe ik de goniometrische identiteiten moet gebruiken om dit te herleiden:
ik snap niet hoe zij stellen dat
1 - cos x = 2(sin^2)0.5x
[ afbeelding ]
De man in de video maakt wel een nodeloos lang verhaal van iets heel simpels. Je kunt inderdaad teller en noemer ook met (1 + cos x) vermenigvuldigen. Dit is onlangs ook nog op het forum aan de orde geweest voor de bepaling van een iets andere limiet, zie hier.quote:Op vrijdag 8 november 2013 18:57 schreef DefinitionX het volgende:
Even kijken of ik het begrijp na deze video.
Edit2:
Hoe de videomaker het uitlegt lijkt veel minder omslachtig dan de uitleg van het boek.
Of in 2 regels.quote:Op vrijdag 8 november 2013 18:57 schreef DefinitionX het volgende:
Ik heb werkelijk geen idee hoe ik de goniometrische identiteiten moet gebruiken om dit te herleiden:
ik snap niet hoe zij stellen dat
1 - cos x = 2(sin^2)0.5x
[ afbeelding ]
Ik ben steeds aan het kijken naar deze twee standaardlimieten, maar weet deze niet te gebruiken hiervoor.
(sinx)/x = 1 voor lim x nadert 0
(tanx)/x = 1 voor lim x nadert 0
Ik snap ook niet zo goed hoe ik zelf kan herleiden dat x/4 een factor is van (1-cosx)/x voor lim x nadert 0.
Edit:
Even kijken of ik het begrijp na deze video.
Edit2:
Hoe de videomaker het uitlegt lijkt veel minder omslachtig dan de uitleg van het boek.
DefinitionX is nog niet toe aan differentiëren, laat staan de stelling van l'Hospital (die eigenlijk van Johann Bernoulli is). En het gevaar ligt zo op de loer van een cirkelredenering als je deze limiet weer zou willen gebruiken om te bewijzen dat d(sin x)/dx = cos x.quote:Op vrijdag 8 november 2013 20:36 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Of in 2 regels.
limx→0(1-cos(x))/x = limx→0sin(x)/1 = 0
Stelling van l'Hospital, maar nu krijg ik gegarandeerd een haatreactie van Riparius die vindt dat het veel eleganter kan.
Okay.quote:Op vrijdag 8 november 2013 21:03 schreef Riparius het volgende:
[..]
DefinitionX is nog niet toe aan differentiëren, laat staan de stelling van l'Hospital (die eigenlijk van Johann Bernoulli is). En het gevaar ligt zo op de loer van een cirkelredenering als je deze limiet weer zou willen gebruiken om te bewijzen dat d(sin x)/dx = cos x.
Nee het klopt niet. |x| = -x voor x < 0. Duidelijk snap je het nog niet helemaal.quote:Op zaterdag 9 november 2013 13:24 schreef wiskundenoob het volgende:
Ik snap niet hoe je de voorwaarden van de absolute waarde moet schrijven
|x| = x als x>0 en x=0
|x| = -x als x<0 en x=0
en dit bijvoorbeeld toepassen op:
f(x) = |1 -(x +1)2|
Moet je eerst de nulpunten uitrekenen?
f(x) = 1 -(x +1)2 als 0≥ x≥ -2
En dan nog 2 voorwaardes voor x ≥ 0 en -2 ≥ x
Maar daar kom ik niet uit.
|1 -(x +1)2)| = 1 -(x +1)2 als 0≥ x≥ -2
|1 -(x +1)2)| = -(1 -(x +1)2) als x ≥ 0 en -2 ≥ x
Ok, volgens mij snap ik het al.
Jawel, de tweede voorwaarde is tegenovergestelde van de eerste voorwaarde. Heb het verkeerd opgeschreven.quote:Op zaterdag 9 november 2013 14:10 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Nee het klopt niet. |x| = -x voor x < 0. Duidelijk snap je het nog niet helemaal.
Heb even wat toegevoegd. Dat het nu toevallig uitkomt zegt niet dat het mag.quote:Op zaterdag 9 november 2013 14:14 schreef wiskundenoob het volgende:
[..]
Jawel, de tweede voorwaarde is tegenovergestelde van de eerste voorwaarde. Heb het verkeerd opgeschreven.
Ok, geef een vergelijking dan probeer ik het op te lossen.quote:Op zaterdag 9 november 2013 14:16 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Heb even wat toegevoegd. Dat het nu toevallig uitkomt zegt niet dat het mag.
Maar je voorwaarden kloppen niet.quote:Op zaterdag 9 november 2013 14:30 schreef wiskundenoob het volgende:
Oke, misschien snap ik het toch niet? Als ik mijn antwoorden plot en de voorwaarden controleert dan klopt het gewoon?
Je hebt −0 = 0 want (−1)·0 = 0, dus je mag ook zeggen dat |x| = −x voor x ≤ 0.quote:Op zaterdag 9 november 2013 17:12 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Maar je voorwaarden kloppen niet.
|x| = x voor x ≥ 0
|x| = -x voor x < 0 niet x ≤ 0
Ik denk dat je vooral een notatieprobleem hebt. Het is gebruikelijk om functies die je niet met een eenduidig functievoorschrift weer kunt geven (althans: in jouw geval niet zonder absoluutstrepen te gebruiken) weer te geven met een accolade waarbij je de verschillende functievoorschriften met de bijbehorende voorwaarde voor de onafhankelijke variabele (meestal x) elk op een aparte regel achter de accolade zet. De benodigde TeX code om dit weer te geven werkt niet op FOK, dus dan maar even een plaatje als voorbeeld:quote:Op zaterdag 9 november 2013 14:30 schreef wiskundenoob het volgende:
Oke, misschien snap ik het toch niet? Als ik mijn antwoorden plot en de voorwaarden controleert dan klopt het gewoon?
In principe wel, maar waarom zou je dat jezelf aanleren? Definieer subdomeinen niet dubbel in een functievoorschrift, klaar.quote:Op zaterdag 9 november 2013 17:23 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je hebt −0 = 0 want (−1)·0 = 0, dus je mag ook zeggen dat |x| = −x voor x ≤ 0.
Gewoon, omdat het juist is. Als je wordt gevraagd wat de verzameling is van alle reële waarden x waarvoor geldt |x| = −x, dan is het correcte antwoord { x ∈ R | x ≤ 0 } en niet { x ∈ R | x < 0 }.quote:Op zaterdag 9 november 2013 17:46 schreef Amoeba het volgende:
[..]
In principe wel, maar waarom zou je dat jezelf aanleren?
Dit is een goed advies, maar het staat los van het voorgaande.quote:Definieer subdomeinen niet dubbel in een functievoorschrift, klaar.
Oke, maar dat waren functies die ik moest schetsen.quote:Op zaterdag 9 november 2013 17:40 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ik denk dat je vooral een notatieprobleem hebt. Het is gebruikelijk om functies die je niet met een eenduidig functievoorschrift weer kunt geven (althans: in jouw geval niet zonder absoluutstrepen te gebruiken) weer te geven met een accolade waarbij je de verschillende functievoorschriften met de bijbehorende voorwaarde voor de onafhankelijke variabele (meestal x) elk op een aparte regel achter de accolade zet. De benodigde TeX code om dit weer te geven werkt niet op FOK, dus dan maar even een plaatje als voorbeeld:
[ afbeelding ]
Zie ook hier.
Waarvoor leer je al deze wiskunde eigenlijkquote:Op zaterdag 9 november 2013 18:18 schreef wiskundenoob het volgende:
[..]
Oke, maar dat waren functies die ik moest schetsen.
Gewoon niks te doen soms en dan maak ik wat opgaves in mijn boek.quote:Op zaterdag 9 november 2013 23:42 schreef tacos049 het volgende:
[..]
Waarvoor leer je al deze wiskunde eigenlijk
Maar het voorgaande staat los van het originele vraagstuk.quote:Op zaterdag 9 november 2013 17:55 schreef Riparius het volgende:
[..]
Gewoon, omdat het juist is. Als je wordt gevraagd wat de verzameling is van alle reële waarden x waarvoor geldt |x| = −x, dan is het correcte antwoord { x ∈ R | x ≤ 0 } en niet { x ∈ R | x < 0 }.
[..]
Dit is een goed advies, maar het staat los van het voorgaande.
Het was daarom ook niet bedoeld op het originele vraagstuk, maar juist wat jij beweerdequote:Op zondag 10 november 2013 13:35 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Maar het voorgaande staat los van het originele vraagstuk.
Maar ik begrijp je wel.
Waarom niet? Daar ging de vraag juist over.quote:Op zondag 10 november 2013 13:56 schreef tacos049 het volgende:
[..]
Het was daarom ook niet bedoeld op het originele vraagstuk, maar juist wat jij beweerde
Hmm, ja eigenlijk wel he.quote:Op zondag 10 november 2013 15:14 schreef wiskundenoob het volgende:
[..]
Waarom niet? Daar ging de vraag juist over.
Je notatie is compleet hopeloos. Het kost mij meer tijd om je bericht te ontcijferen dan om je vragen te beantwoorden, en dat kan niet de bedoeling zijn. Gebruik om te beginnen nooit, maar dan ook helemaal nooit, de letter x als teken van vermenigvuldiging. Dit teken is ook geen x, maar een Andreaskruis × dat je op FOK kunt krijgen door & times; te typen zonder de spatie na de ampersand. Maar dan nog, gebruik liever de middle dot · die je krijgt door & middot; te typen zonder spatie na de &.quote:Op maandag 11 november 2013 17:16 schreef JelleTheOwner het volgende:
Even een paar simpele vragen,maar ik kan niet echt concreet antwoord vinden in mijn boek:
Parameters differentieer je niet, je differentieert een functie die afhangt van een parameter. De parameter hangt hier niet af van je variabele x, en is dus een constante.quote:1) Als je een parameter differentieert ...
Om een functie als deze te inverteren pas je elementaire algebraïsche regels toe die je als het goed is al jaren geleden hebt geleerd. De grafiek van de inverse van een functie krijg je door de grafiek te spiegelen in de lijn met vergelijking y = x, en aangezien hierbij een punt met coördinaten (x;y) overgaat in het punt met coördinaten (y;x) verkrijg je de vergelijking van de grafiek van de inverse functie door x en y om te wisselen. Vervolgens kun je dan proberen uit je nieuwe betrekking weer y op te lossen om zo een functievoorschrift te krijgen voor de inverse functie. Dat kan uiteraard alleen als de oorspronkelijke functie inverteerbaar is. Hier heb je danquote:2) Als je de inverse moet geven van: 3/(2x+4) ...
sorry hiervoor,ik wist zo 1,2,3 niet hoe het moest,bedankt voor de uitleg daarvan, ik zal dat volgende keer zeker toepassenquote:Je notatie is compleet hopeloos. Het kost mij meer tijd om je bericht te ontcijferen dan om je vragen te beantwoorden, en dat kan niet de bedoeling zijn
Het is niet nodig om de oplossingen expliciet te vinden. Ik zou persoonlijk even een cirkel tekenen. Als je dat doet zie je dat er voor sin(x)=y met y in (-1, 1) heb je twee oplossingen x in [0°,360°).quote:Op maandag 11 november 2013 19:44 schreef DefinitionX het volgende:
Vraag 2009a, 6.
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Het antwoord moet hier D zijn.
We beschouwen een goniometrische vergelijking: sin²(2x)= 1/2
Hoeveel oplossingen voor deze vergelijking liggen tussen 0° en 360°
<A> 1
<B> 2
<C> 4
<D> 8
Ik had C, maar ik weet geloof ik waarom het D moet zijn. Als ik het m.b.v. algebra oplos kom ik op 4 antwoordmogelijkheden uit, echter deze bestaan tot 180 graden:
x= 23.5° + k * 180°
x= -23.5° + k * 180°
x= 67.5° + k * 180°
x= -67.5° + k * 180°
360 graden is het dubbele van 180 graden, dus het moet D zijn. Redeneer ik zo correct?
yups afgezien van die 23,5 deg waar Riparius even hieronder terecht op wijst want 45/2 = 22,5quote:Op maandag 11 november 2013 19:44 schreef DefinitionX het volgende:
Vraag 2009a, 6.
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Het antwoord moet hier D zijn.
We beschouwen een goniometrische vergelijking: sin²(2x)= 1/2
Hoeveel oplossingen voor deze vergelijking liggen tussen 0° en 360°
<A> 1
<B> 2
<C> 4
<D> 8
Ik had C, maar ik weet geloof ik waarom het D moet zijn. Als ik het m.b.v. algebra oplos kom ik op 4 antwoordmogelijkheden uit, echter deze bestaan tot 180 graden:
x= 23.5° + k * 180°
x= -23.5° + k * 180°
x= 67.5° + k * 180°
x= -67.5° + k * 180°
360 graden is het dubbele van 180 graden, dus het moet D zijn. Redeneer ik zo correct?
Dit is niet correct geredeneerd. Bestudeer de uitwerking van de oplosser van Veurne. De helft van 45° is 22,5°, niet 23,5°. Verder geef je hier niet de juiste hoeken na elkaar. Bij de sinus is het zo dat supplementaire (rotatie)hoeken dezelfde sinus hebben, maar jij lijkt hier te veronderstellen dat tegengestelde (rotatie)hoeken dezelfde sinus hebben, en dat is niet zo. Tegengestelde rotatiehoeken hebben ook tegengestelde sinussen (maar wel dezelfde cosinus).quote:Op maandag 11 november 2013 19:44 schreef DefinitionX het volgende:
Vraag 2009a, 6.
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Het antwoord moet hier D zijn.
We beschouwen een goniometrische vergelijking: sin²(2x)= 1/2
Hoeveel oplossingen voor deze vergelijking liggen tussen 0° en 360°
<A> 1
<B> 2
<C> 4
<D> 8
Ik had C, maar ik weet geloof ik waarom het D moet zijn. Als ik het m.b.v. algebra oplos kom ik op 4 antwoordmogelijkheden uit, echter deze bestaan tot 180 graden:
x= 23.5° + k * 180°
x= -23.5° + k * 180°
x= 67.5° + k * 180°
x= -67.5° + k * 180°
360 graden is het dubbele van 180 graden, dus het moet D zijn. Redeneer ik zo correct?
Nitpicking, maar wel terecht.quote:Op maandag 11 november 2013 20:21 schreef Riparius het volgende:
Dit is niet correct geredeneerd. De helft van 45° is 22,5°, niet 23,5°.
Daar ligt het probleem niet; de fout, voor zover je het een fout kan noemen, die DefinitionX daar heeft gemaakt is dat hij de negatieve oplossingen niet dusdanig verschoven heeft, dat ze binnen dezelfde periode, die van 0 tot pi loopt, waarin ook de positieve oplossingen zitten, komen te liggen. Doordat de sinus in de oorspronkelijke opgave gekwadrateerd is, heb je hier met zowel positieve als negatieve oplossingen te maken, en zowel de positieve oplossing als de negatieve oplossing komt in de vorm van een paar, nl. arg + 2kπ, én π-arg + 2kπ. Je ziet dit mooi in mijn oplossingsstrategie; de derde oplossing op lijn 4 ligt niet binnen 0 en 2π, maar door 2π erbij op te tellen krijg ik uiteindelijk 1¾pi wat wel daarbinnen ligt. Als we vervolgens alle 4 gevonden oplossingen ( ¼π; ¾π; (5/4)π; (7/4)π) delen door 2, krijgen we uiteindelijk alle 4 de antwoorden binnen een periode van 0 tot π .quote:Verder neem je hier niet de juiste hoeken. Bij de sinus is het zo dat supplementaire (rotatie)hoeken dezelfde sinus hebben, maar jij lijkt hier te veronderstellen dat tegengestelde (rotatie)hoeken dezelfde sinus heben, en dat is niet zo. Tegengestelde rotatiehoeken hebben ook tegengestelde sinussen (maar wel dezelfde cosinus).
Niet nodig zoals je even hierboven kunt zien. 6 regels en klaarquote:Je kunt het hier weer veel eenvoudiger doen dan wat de oplosser van Veurne doet als je gebruik maakt van het procédé dat bekend staat als overgaan op de dubbele hoek (zie het boekje van Van der Linden, p. 59).
Nee, dat is niet waar ik op doelde. DefinitionX zegt dat hij de vergelijking 'algebraïsch' heeft opgelost. Daarmee bedoelt hij hoogstwaarschijnlijk datquote:Op maandag 11 november 2013 20:59 schreef VanishedEntity het volgende:
Daar ligt het probleem niet; de fout, voor zover je het een fout kan noemen, die DefinitionX daar heeft gemaakt is dat hij de negatieve oplossingen niet dusdanig verschoven heeft, dat ze binnen dezelfde periode, die van 0 tot pi loopt, waarin ook de positieve oplossingen zitten, komen te liggen.
[..]
Overgaan op de dubbele hoek is een beproefde techniek die vroeger in Nederland ook op school werd geleerd, en in Vlaanderen is dat nog steeds zo. Er komen in die Vlaamse toelatingsexamens vaak goniometrische vergelijkingen voor met een kwadraat van een sinus of een cosinus, en dan is het uitermate zinnig om te weten dat je deze kwadraten kunt herschrijven met behulp van een cosinus van de dubbele hoek:quote:Niet nodig zoals je even hierboven kunt zien. 6 regels en klaar
Nee, die conclusie kan je uit zijn twee antwoordenparen niet trekken, dat is te voorbarig becommentarieerd van jou!! Het klopt idd dat tegengestelde (rotatie)hoeken een tegengestelde sinus hebben, maar als men twee tegengestelde sinuswaarden elk afzonderlijk kwadrateert, blijken zowel de positieve sinus als de negatieve sinus beide dezelfde oplossing te geven. Dit is geen toevalligheid, maar volgt direct uit de eigenschap van 2 oplossingen voor even machten. Daar maak ik hier gebruik van. Bovendien, die -1/8pi en -3/8pi zijn op te vatten als de 5/8pi en 7/8pi van de vorige periode/golf, en je weet dat het antwoord niet verandert wanneer je een periode opschuift.quote:Op maandag 11 november 2013 21:25 schreef Riparius het volgende:
Nee, dat is niet waar ik op doelde. DefinitionX zegt dat hij de vergelijking 'algebraïsch' heeft opgelost. Daarmee bedoelt hij hoogstwaarschijnlijk dat
sin22x = ½
equivalent is met
sin 2x = ½√2 ∨ sin 2x = −½√2
Voor de eerste vergelijking hebben we dan
x = 22,5° + k·180° ∨ x = 67,5° + k·180°, k ∈ Z
en voor de tweede vergelijking
x = −22,5° + k·180° ∨ x = −67,5° + k·180°, k ∈ Z
Maar als je nu kijkt naar de volgorde waarin DefinitionX deze vier mogelijkheden opschrijft, dan zie je dat hij (afgezien van zijn rekenfout) eerst x = 22,5° + k·180° en x = −22,5° + k·180° geeft en dan x = 67,5° + k·180° en x = −67,5° + k·180°. Dit verraadt dat hij is uitgegaan van de onjuiste veronderstelling dat tegengestelde (rotatie)hoeken dezelfde sinus hebben. Het komt hier inderdaad goed uit, maar de onderliggende redenatie blijft gewoon fout.
Dat neemt niet weg dat strikt genomen dat stuk gonio niet nodig is geweest om dit vraagstuk tot een goed einde brengen.quote:Overgaan op de dubbele hoek is een beproefde techniek die vroeger in Nederland ook op school werd geleerd, en in Vlaanderen is dat nog steeds zo. Er komen in die Vlaamse toelatingsexamens vaak goniometrische vergelijkingen voor met een kwadraat van een sinus of een cosinus, en dan is het uitermate zinnig om te weten dat je deze kwadraten kunt herschrijven met behulp van een cosinus van de dubbele hoek:
cos2a = ½(1 + cos 2α)
sin2a = ½(1 − cos 2α)
De oplossing wordt dan toch stukken eenvoudiger:
sin22x = ½
cos 4x = 0
x = 22,5° + k·45°, k ∈ Z
De identiteiten voor de herleiding van het kwadraat van een cosinus of een sinus tot de cosinus van de dubbele hoek worden ook vaak gebruikt in de integraalrekening, en ook daarover kunnen opgaven voorkomen bij de Vlaamse toelatingsexamens.
Kijk, als je nou je merkwaardige producten kende en vroeger had geleerd om kwadraten af te splitsen, dan deed je gewoon dit:quote:Op dinsdag 12 november 2013 14:56 schreef tacos049 het volgende:
Bepaal alle complexe getallen z, met Re(z^2)=Im(z^2).
Ik dacht laat z=a+bi dan Re(z^2)=a^2-b^2 en Im(z^2)=2ab en dan oplossen a^2-b^2=2ab, maar dat lukt me niet echt. Iemand een ander idee?
Dus als ik het goed heb is de verzameling van alle z die daaraan voldoet: v = {z=(1+sqrt(2))x+xi of z=(1-sqrt(2))x+xi met x element van de reële getallen} ?quote:Op dinsdag 12 november 2013 15:36 schreef Riparius het volgende:
[..]
Kijk, als je nou je merkwaardige producten kende en vroeger had geleerd om kwadraten af te splitsen, dan deed je gewoon dit:
a2 − b2 − 2ab = 0
(a − b)2 − 2b2 = 0
(a − b − √2·b)(a − b + √2·b) = 0
a = (1 + √2)b ∨ a = (1 − √2)b
Re(z) = (1 + √2)·Im(z) ∨ Re(z) = (1 − √2)·Im(z)
V = { z ∈ C | (z = (1 + √2)x + xi ∨ z = (1 − √2)x + xi) ∧ x ∈ R }quote:Op dinsdag 12 november 2013 15:55 schreef tacos049 het volgende:
[..]
Dus als ik het goed heb is de verzameling van alle z die daaraan voldoet: v = {z=(1+sqrt(2))x+xi of z=(1-sqrt(2))x+xi met x element van de reële getallen} ?
Bissectricequote:Op dinsdag 12 november 2013 17:49 schreef Rezania het volgende:
Als je een lijn vanuit het midden van een hoek tekent, hoe heet die lijn dan ook al weer? Dus je hebt bijvoorbeeld een hoek van 90 graden ten opzichte van lijn a en de lijn teken je dan op een hoek van 45 graden ten opzichte van lijn a.
Daar heb ik te weinig gegevens voor.quote:Op donderdag 14 november 2013 19:49 schreef wiskundenoob het volgende:
Iets met dit?
x2 +y2 + ax +by +c =0
Bedoel je nu dat je het middelpunt van een deel van een cirkel wil bepalen, en daarmee de straal?quote:Op donderdag 14 november 2013 19:40 schreef Rezania het volgende:
Ik heb een kopie van een stuk van een CD, 1 op 1, en moet de straal van de CD bepalen daarmee. Nu is me dat al gelukt door twee raaklijnen te tekenen en dan loodrecht daarop lijnen te tekenen, die lijnen te laten kruisen, en dan gewoon te meten. Maar de docent zei dat ik er ook een formule was. Met wat googelen kan ik eigenlijk niet veel vinden, kom vaak terecht op formules om de omtrek van de cirkel te bepalen aan de hand van de straal. Iemand een idee?
Dat met de loodlijnen heb ik dus al gedaan. En hij zei dat we die formule moesten opzoeken, dus denk niet dat het de stelling van Pythagoras is.quote:Op donderdag 14 november 2013 20:07 schreef Aardappeltaart het volgende:
[..]
Bedoel je nu dat je het middelpunt van een deel van een cirkel wil bepalen, en daarmee de straal?
Misschien wat analytische meetkunde: kies drie punten op het cirkelsegment. Geef deze coördinaten. Laat deze een driehoek vormen. Stel vergelijkingen voor de middelloodlijnen van twee zijdes van die driehoek op. Die snijden elkaar in het middelpunt (want de middelloodlijnen van een driehoek snijden elkaar in het middelpunt van de omgeschreven cirkel; dit gebruik je andersom). Afstand van het bepaalde middelpunt tot één van de drie gekozen punten bepalen (Pythagoras) en je hebt de straal.
Of denk ik te moeilijk? Bedoelt de docent iets anders?
quote:Voor de berekening van de straal moet je ook zelf op zoek naar een formule. Afleiden is niet nodig, maar geef wel aan wat de formule is die je gebruikt hebt en waar die vandaan komt (bronvermelding!).
Pythagoras is helemaal niet de kern van mijn idee. Het is een stukje analytische meetkunde (dus met formules). Je kiest drie punten op de cirkel, je geeft die coördinaten en de rest van je oplossing komt neer op dat het snijpunt van de middelloodlijnen van een driehoek het middelpunt van de omgeschreven cirkel is. Dat is iets heel anders dan raaklijnen tekenen en daar lijnen loodrecht op nemen.quote:Op donderdag 14 november 2013 20:11 schreef Rezania het volgende:
[..]
Dat met de loodlijnen heb ik dus al gedaan. En hij zei dat we die formule moesten opzoeken, dus denk niet dat het de stelling van Pythagoras is.
Het rechte stuk is een koorde van de cirkel gevormd door de omtrek van de CD. Noem de straal van de cirkel r en de halve middelpuntshoek die door de koorde wordt omspannen α, dan is de lengte van de koorde 2·r·sin α en de afstand van het midden van de koorde tot de cirkel r·(1 − cos α). Het quotiënt van deze lengtes is danquote:Op donderdag 14 november 2013 20:13 schreef Rezania het volgende:
[ afbeelding ]
Zo'n stuk heb ik dus, en dan moet ik de straal bepalen op twee manieren. Dit is het enige wat de docent er over zegt:
[..]
Ik had de formule net gevonden in mijn boek, en toen las ik je post, toevallig allemaal. In ieder geval bedankt.quote:Op donderdag 14 november 2013 20:46 schreef Riparius het volgende:
[..]
Het rechte stuk is een koorde van de cirkel gevormd door de omtrek van de CD. Noem de straal van de cirkel r en de halve middelpuntshoek die door de koorde wordt omspannen α, dan is de lengte van de koorde 2·r·sin α en de afstand van het midden van de koorde tot de cirkel r·(1 − cos α). Het quotiënt van deze lengtes is dan
r·(1 − cos α) / 2·r·sin α = ½·tan ½α
aangezien
tan ½α = (1 − cos α)/sin α
zodat je tan ½α en daarmee α kunt bepalen (0 < α < ½π). Zodoende ken je ook sin α en cos α en kun je dus r berekenen uit de opgemeten lengte 2·r·sin α van de koorde.
Het kan natuurlijk ook met Pythagoras, en dat is misschien hier wel zo makkelijk.quote:Op donderdag 14 november 2013 21:08 schreef Rezania het volgende:
[..]
Ik had de formule net gevonden in mijn boek, en toen las ik je post, toevallig allemaal. In ieder geval bedankt.
Ja, die is wel een stuk makkelijker inderdaad, vooral met het plaatje. Ik gebruik die wel.quote:Op donderdag 14 november 2013 21:31 schreef Riparius het volgende:
[..]
Het kan natuurlijk ook met Pythagoras, en dat is misschien hier wel zo makkelijk.
[ afbeelding ]
Noem de lengte van de koorde k en de afstand van het midden van de koorde tot de cirkel p, en de gezochte straal R, dan hebben we volgens Pythagoras
(½k)2 + (R − p)2 = R2
Uitwerken geeft
¼k2 + R2 − 2Rp + p2 = R2
¼k2 − 2Rp + p2 = 0
2pR = ¼k2 + p2
[ afbeelding ]
Je probleem was kennelijk dat je niet wist hoe z'n stuk van een cirkelschijf heet. Welnu, zo'n stuk noemen we een cirkelsegment.quote:Op donderdag 14 november 2013 21:57 schreef Rezania het volgende:
[..]
Ja, die is wel een stuk makkelijker inderdaad, vooral met het plaatje. Ik gebruik die wel.
Hoe vind je zoiets iets eigenlijk, dat plaatje bedoel ik? Heeft het een specifieke naam, zoek je op specifieke termen, of maak je het gewoon zelf? Want ik probeerde eerst te zoeken op internet, maar daar kwam ik niet heel ver mee. Misschien ook wel doordat ik zocht op "omtrek cirkel straal berekenen".
Oh mijn god, zo simpel.quote:Op donderdag 14 november 2013 22:00 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je probleem was kennelijk dat je niet wist hoe z'n stuk van een cirkelschijf heet. Welnu, zo'n stuk noemen we een cirkelsegment.
Ik denk niet dat het de bedoeling is hier gebruik te maken van l'Hôpital.quote:Op vrijdag 15 november 2013 19:13 schreef Amoeba het volgende:
Ik moet de limiet van de rij
an = n5 / 3n met n ∈ N
geven en bewijzen zonder de formele definitie van de limiet. Mag ik nu gebruik maken van de regel van l'Hospital, of is deze functie/rij niet differentieerbaar? Als dat een probleem is, mag ik hem dan uitbreiden naar de reële getallen?
Dat begrijp ik.quote:Op vrijdag 15 november 2013 20:48 schreef Riparius het volgende:
[..]
Hint: beschouw eerst de rij {bn}1∞ gedefinieerd door
bn = n / αn met α > 1
Als je nu kunt bewijzen dat
limn→∞ bn = 0
dan ben je klaar, aangezien je voor α = 31/5 dan hebt an = (bn)5 en dus ook
limn→∞ an = 0
Wellicht niet. Ons boekje (A Friendly Introduction to Analysis) zegt echter dat er geen foute ´bewijzen´ zijn. Een aantal (logische) stappen die uiteindelijk leiden tot een sluitend bewijs wordt als voldoende beschouwd.quote:Ik denk niet dat het de bedoeling is hier gebruik te maken van l'Hôpital.
Foute bewijzen genoeg, maar dat bedoelt het boekje waarschijnlijk niet. Ik ken dit boekje niet en kan het zo gauw ook niet vinden, dus ik weet niet wat er allemaal aan kennis wordt voorondersteld. Maar het lijkt me evident dat je bij de oefeningen niet gebruik mag maken van resultaten die verderop in het boek pas aan de orde komen.quote:Op vrijdag 15 november 2013 20:58 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Dat begrijp ik.
[..]
Wellicht niet. Ons boekje (A Friendly Introduction to Analysis) zegt echter dat er geen foute ´bewijzen´ zijn. Een aantal (logische) stappen die uiteindelijk leiden tot een sluitend bewijs wordt als voldoende beschouwd.
Vergeet l'Hôpital / l'Hospital en wees eens creatief.quote:Ik ga zeer zeker naar je hint kijken, maar ik ben wel benieuwd of ik hier nu de regel van l'Hospital mag toepassen. In dat geval is je hint ook zeer gemakkelijk op te lossen.
Een fout bewijs is geen bewijs maar een 'attempted proof'. Maar dat is een discussie die taalkundigen maar moeten voeren, ik geef het op.quote:Op vrijdag 15 november 2013 21:41 schreef Riparius het volgende:
[..]
Foute bewijzen genoeg, maar dat bedoelt het boekje waarschijnlijk niet. Ik ken dit boekje niet en kan het zo gauw ook niet vinden, dus ik weet niet wat er allemaal aan kennis wordt voorondersteld. Maar het lijkt me evident dat je bij de oefeningen niet gebruik mag maken van resultaten die verderop in het boek pas aan de orde komen.
[..]
Vergeet l'Hôpital / l'Hospital en wees eens creatief.
Volgende hint: kies α = 1 + h zodat h > 0 aangezien α > 1 en bedenk dat dan voor n > 1 geldt
(1 + h)n ≥ 1 + nh + (n(n−1)/2)h2 > (n(n−1)/2)h2
Je lijkt te willen zeggen 'bewijs is bewijs', en dat het je daarom niet interesseert hoe het bewijs wordt verkregen of hoe het bewijs eruit ziet, als je maar een bewijs hebt, liefst zonder al te veel na te denken.quote:Op vrijdag 15 november 2013 22:08 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Een fout bewijs is geen bewijs maar een 'attempted proof'. Maar dat is een discussie die taalkundigen maar moeten voeren, ik geef het op.
Omdat het hier een vorm van intellectuele luiheid is. Door mechanisch een bestaand regeltje toe te passen krijg je geen nieuwe inzichten en het is niet creatief. Je verschuift dan alleen de echte moeilijkheid naar een andere stelling die je zonder bewijs aanneemt. Een algemeen geldig bewijs van de regel van l'Hôpital is overigens een stuk lastiger dan het elementaire bewijs dat je nu hebt gezien voor je opgave.quote:De regel van l'Hospital is aan de orde gekomen in het basisvak Calculus, dus ik zie niet in waarom ik die niet mag gebruiken.
Ik ontwijk helemaal niets, ik probeer je ergens van af te houden. Dat is iets anders.quote:Maar je ontwijkt steeds de vraag. Het is nou niet noodzakelijkerwijs de bedoeling om de regel van l'Hospital te gebruiken, ik wil alleen weten of dat mag i.v.m. de definitie van n als een natuurlijk getal en differentieerbaarheid.
Kijk, en zo heb je toch weer iets geleerd.quote:Nu op basis van je onderste regel:
(1 + h)n ≥ 1 + nh + (n(n−1)/2)h2 > (n(n−1)/2)h2
Dus
n/αn met α > 1 en α = 1 + h
dan geldt:
n/αn < n / (nh2(n−1)/2) = 1/(h2(n−1)/2) = 2/(h2(n−1))
En voor n voldoende groot nadert dat willekeurig dicht tot 0.
Maar ik moet heel eerlijk bekennen dat ik op die regel niet zou zijn gekomen.
Nee, dat zegt het boekje. Ik ben het met je eens dat het ene bewijs eleganter is dan het andere bewijs. Als je de homepage van Georg Prokert, docent Analyse (hij is al eens eerder ter sprake gekomen), bezoekt, dan zie je bij het vak 2WA30 een treffende quote van Da Vinci, waar ik mij zeker in herken.quote:Op zaterdag 16 november 2013 06:30 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je lijkt te willen zeggen 'bewijs is bewijs', en dat het je daarom niet interesseert hoe het bewijs wordt verkregen of hoe het bewijs eruit ziet, als je maar een bewijs hebt, liefst zonder al te veel na te denken.
Dat is juist, maar ik vroeg me juist af of ik dit zo mocht doen. Mocht het op een tentamen van pas komen dan behoort het tot mijn arsenaal.quote:[..]
Omdat het hier een vorm van intellectuele luiheid is. Door mechanisch een bestaand regeltje toe te passen krijg je geen nieuwe inzichten en het is niet creatief. Je verschuift dan alleen de echte moeilijkheid naar een andere stelling die je zonder bewijs aanneemt. Een algemeen geldig bewijs van de regel van l'Hôpital is overigens een stuk lastiger dan het elementaire bewijs dat je nu hebt gezien voor je opgave.
[..]
Ik ontwijk helemaal niets, ik probeer je ergens van af te houden. Dat is iets anders.
Hartelijk dank, maar zou je de eerste ongelijkheid toe kunnen lichten, en dan vooral het denkproces hoe je aan die ongelijkheid komt? Ik vermoed een deel van het binomium van Newton, maar dat weet ik niet zeker.quote:Maar goed, L'Hôpital. Definieer op [1, ∞) de functies f(x) = x5 en g(x) = 3x. Deze functies zijn oneindig vaak differentieerbaar op (1, ∞) en bovendien nemen |f(x)| en |g(x)| onbeperkt toe voor x → ∞ zodat we nu (behoudens in bepaalde gevallen, zie hier) inderdaad de regel van L'Hôpital zo vaak als nodig kunnen gebruiken om
limx→∞ f(x)/g(x)
te bepalen, als deze limiet althans bestaat.
Verder heb je nu
an = f(n)/g(n)
Als nu limx→∞ f(x)/g(x) = L
dan is ook
limn→∞ an = limn→∞ f(n)/g(n) = L
Je mag dit laatste echter niet omkeren. Neem bijvoorbeeld h(x) = x−1·tan(¼π+xπ) op [1,∞)\{ x ∈ R | x = n + ¼ ∧ n ∈ N }, dan is limn→∞ h(n) = 0, maar limx→∞ h(x) bestaat niet.
[..]
Kijk, en zo heb je toch weer iets geleerd.
Ik heb dat boek eens opgezocht en van wat ik kan zien is het absoluut niet de bedoeling dat je l'hopital gebruikt, dat komt veel later in het boekje pas in orde.quote:Op zaterdag 16 november 2013 11:09 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Nee, dat zegt het boekje. Ik ben het met je eens dat het ene bewijs eleganter is dan het andere bewijs. Als je de homepage van Georg Prokert, docent Analyse (hij is al eens eerder ter sprake gekomen), bezoekt, dan zie je bij het vak 2WA30 een treffende quote van Da Vinci, waar ik mij zeker in herken.
http://www.win.tue.nl/~gprokert/2WA30.html
[..]
Dat is juist, maar ik vroeg me juist af of ik dit zo mocht doen. Mocht het op een tentamen van pas komen dan behoort het tot mijn arsenaal.
[..]
Hartelijk dank, maar zou je de eerste ongelijkheid toe kunnen lichten, en dan vooral het denkproces hoe je aan die ongelijkheid komt? Ik vermoed een deel van het binomium van Newton, maar dat weet ik niet zeker.
Waarom? Als ik een bewijs kan formuleren wat wiskundig juist is scoor je gewoon punten op het tentamen.quote:Op zaterdag 16 november 2013 13:48 schreef tacos049 het volgende:
[..]
Ik heb dat boek eens opgezocht en van wat ik kan zien is het absoluut niet de bedoeling dat je l'hopital gebruikt, dat komt veel later in het boekje pas in orde.
Zul je zien dat er boven staat: 'Maak geen gebruik van de regel van l'Hôpital'.quote:Op zaterdag 16 november 2013 14:04 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Waarom? Als ik een bewijs kan formuleren wat wiskundig juist is scoor je gewoon punten op het tentamen.
sin(2x-0.25pi) heeft volgens mij als complementair cos(0.75pi - 2x). In de uitwerkingen hebben ze gedeeld door -1, maar ik vraag me af of dat wel mag. Daarbij zeggen ze dat -cos(x + 0.33pi) gelijk staat aan cos(2x + 1.33pi), echter mijn boekje geeft mij 2 mogelijkheden: door -cos(a)=cos(pi+a) of cos(pi-a), maakt het uit welke ik kies?quote:Opgaven:
a. sin(2x - 0.25pi) = - cos(x + 0.33pi)
b. cos(2x + 0.33pi) = - sin(x - 0.75pi)
Uitwerkingen:
a. cos(2x - 0.75pi) = cos(2x + 1.33pi)
b. sin(2x + 0.83pi) = sin(x + 0.25pi)
Okay.quote:Op zaterdag 16 november 2013 15:56 schreef jordyqwerty het volgende:
[..]
Zul je zien dat er boven staat: 'Maak geen gebruik van de regel van l'Hopital'.
Bedenk dat de cosinus van een (rotatie)hoek gelijk is aan de sinus van het complement van die (rotatie)hoek. Daar komt ook de naam cosinus vandaan, deze naam is ontstaan uit co. sinus dat stond voor complementi sinus oftewel 'de sinus van het complement'.quote:
Dit mag je om te beginnen niet zo opschrijven. Gebruik geen decimale breuken, 0.33 is niet hetzelfde als 1/3. Ook ben ik tegen het gebruik van de punt als decimaal scheidingsteken, maar dat is weer een andere kwestie. Verder maak je rekenfouten met breuken en vergeet je een deel van de oplossingen, omdat je niet bedenkt dat twee cosinussen niet alleen gelijk zijn als de rotatiehoeken gelijk zijn (op een geheel veelvoud van 2π na) maar ook als de rotatiehoeken tegengesteld zijn (op een geheel veelvoud van 2π na).quote:Op zaterdag 16 november 2013 17:26 schreef DefinitionX het volgende:
Ik zou a zo oplossen:
sin(2x - 0.25pi) = - cos(x + 0.33pi)
Het is in ieder geval belangrijk om altijd in het achterhoofd te houden dat cosinus eigenlijk sinus van het complement betekent, en dusquote:Op zaterdag 16 november 2013 22:20 schreef DefinitionX het volgende:
http://i43.tinypic.com/55sfo6.jpg
Dank u wel voor de uitleg!
Ik moet zeggen dat ik dit blijf lastig vinden i.v.m. het kiezen van de juiste vorm van overzetten en het aantal antwoorden.
Dat je bijvoorbeeld in de ene situatie kiest om π/2 als basis voor het aftrekken te gebruiken of juist gewoon π. Ik moet wennen aan de logica (want je kiest niet zomaar getallen), want als ik het gewoon test, dus waardes invul, kom ik gewoon netjes uit voor de identiteits regels. Bijvoorbeeld in "wiskundige basisvaardigheden" 3e druk, pagina 125 is er een net overzicht daarvan.
Een beetje inzicht verwerven is waardevoller dan het maken van enkele opgaven waarvan je de achterliggende theorie maar half begrijpt.quote:Ik ben niet ontzettend ver gekomen met dit onderdeel, al heb ik er wel wat uren in gestopt vandaag, maar wat ik nu wel met gemak kan oplossen zijn vragen zoals vraag 2 van het 2013 juli examen en vraag 3 van het 2013 augustus examen.
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Vandaag is meer logica naar binnen gekomen dan opgaves.
Bij het werken met (limieten van) rijen komt de ongelijkheid van Bernoulli vaak van pas (vernoemd naar Jakob Bernoulli, de broer van Johann). Deze ongelijkheid zegt dat je hebtquote:Op zaterdag 16 november 2013 11:09 schreef Amoeba het volgende:
Hartelijk dank, maar zou je de eerste ongelijkheid toe kunnen lichten, en dan vooral het denkproces hoe je aan die ongelijkheid komt? Ik vermoed een deel van het binomium van Newton, maar dat weet ik niet zeker.
Merk op dat dit een kwadratische vergelijking is, en je dus de nulpunten kunt bepalen, dus substitueer eens sin(x) = p.quote:Op zondag 17 november 2013 18:28 schreef DefinitionX het volgende:
[ afbeelding ]
Opgave c kom ik niet uit. Ik krijg hem maar tot:
[ afbeelding ]
Ik 'zie' het gewoon niet.
Edit:
Ik ben nu de 4e regel aan het delen door sinkwadraatx. Even kijken of daar wat uitkomt.
quote:Op zondag 17 november 2013 18:30 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Merk op dat dit een kwadratische vergelijking is, en je dus de nulpunten kunt bepalen, dus substitueer eens sin(x) = p.
Deze vergelijking is eigenlijk een vierkantsvergelijking in sin(x). Wat je hier kunt doen is eerst een substitutie uitvoeren. Stellen wequote:Op zondag 17 november 2013 18:28 schreef DefinitionX het volgende:
[ afbeelding ]
Opgave c kom ik niet uit. Ik krijg hem maar tot:
[ afbeelding ]
Ik 'zie' het gewoon niet.
Edit:
Ik ben nu de 4e regel aan het delen door sinkwadraatx. Even kijken of daar wat uitkomt.
Kijk, die ongelijkheid hadden we dus nog niet gehad. Ik kan me inderdaad je post herinneren over het bewijs met de ongelijkheid van Bernoulli.quote:Op zondag 17 november 2013 01:17 schreef Riparius het volgende:
[..]
Bij het werken met (limieten van) rijen komt de ongelijkheid van Bernoulli vaak van pas (vernoemd naar Jakob Bernoulli, de broer van Johann). Deze ongelijkheid zegt dat je hebt
(1 + h)n ≥ 1 + nh, h ≥ −1, n ≥ 0
Er is ook een strikte versie van de ongelijkheid die zegt dat je hebt
(1 + h)n > 1 + nh, h ≥ −1, h ≠ 0, n > 1
De juistheid van deze ongelijkheden is triviaal voor h > 0 op grond van het binomium, maar ze hebben dus een ruimere geldigheid. Meestal neemt men voor n een natuurlijk getal, en dan kun je eenvoudig een bewijs met inductie geven. De ongelijkheid is ook uit te breiden naar reële exponenten r, dan heb je
(1 + h)r ≥ 1 + rh, h > −1, r ≤ 0 ∨ r ≥ 1
(1 + h)r ≤ 1 + rh, h > −1, 0 ≤ r ≤ 1
En de strikte vorm hiervan is
(1 + h)r > 1 + rh, h > −1, h ≠ 0, r < 0 ∨ r > 1
(1 + h)r < 1 + rh, h > −1, h ≠ 0, 0 < r < 1
Voor een (niet triviaal) gebruik van de ongelijkheid van Bernoulli moet je mijn post met het bewijs voor de convergentie van de Newton-Raphson iteratie voor derdemachtswortels nog maar eens bestuderen.
Een heel bekende (en wel triviale) toepassing van de ongelijkheid van Bernoulli is het bewijs dat je voor α > 1 en n positief geheel hebt
limn→∞ 1/αn = 0
Immers, zij α = 1 + h, dan is h > 0 en hebben we
0 < 1/αn = 1/(1+h)n ≤ 1/(1 + nh) < 1/nh
zodat het gestelde direct volgt met behulp van de insluitstelling.
Maar nu moesten we bewijzen dat voor α > 1 en n positief geheel geldt
limn→∞ n/αn = 0
en dan komen we met de ongelijkheid van Bernoulli niet verder dan 0 < n/αn < 1/h, en dat is niet bruikbaar voor het bewijs. Maar we kunnen een uitdrukking voor de bovengrens krijgen waarbij wel een factor met n in de noemer zit als we bedenken dat (1 + h)n voor n > 1 als derde term (n(n−1)/2)·h2 heeft, zodat we voor h > 0, n > 1 hebben
(1 + h)n > (n(n−1)/2)·h2
en daarmee
0 < n/αn < 2/((n−1)·h2)
waaruit het gestelde weer volgt met behulp van de insluitstelling.
Wel netjes werken: er zijn twee punten op de eenheidscirkel waarbij de y-coördinaat (en dus ook de sinus van de bijbehorende rotatiehoeken) gelijk is aan −½. Je krijgtquote:Op zondag 17 november 2013 18:32 schreef DefinitionX het volgende:
[..]
Nu je het zegt, inderdaad!
Trouwens, ik heb 1 antwoord kunnen vinden, namelijk sin(x)=-1 oftewel x= 3pi/2 + k2pi
En opgelost voor
sin(x)=-1 v sin(x)= - (1/2)
Het is muggenziften, maar je gooit ineens een variabele k in het spel. Formeel moet je definiëren wat die k is, zoals Riparius hierboven doet, hij definieert k als een element van Z (de gehele getallen). Stel dat ik dat element k nu als een element van R (de reële getallen) opvat dan klopt het gewoon niet meer voor alle k.quote:Op zondag 17 november 2013 18:51 schreef DefinitionX het volgende:
Opgave d op een zelfde manier opgelost, bedankt Amoeba en Riparius!
Ik heb je boekje niet, anders zou ik waarschijnlijk kunnen achterhalen wat dan wel de bedoeling was.quote:Op zondag 17 november 2013 18:44 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Er wordt hier geroepen dat het waarschijnlijk niet de bedoeling was om de regel van l'Hôpital te gebruiken, maar nu kan ik net zo hard roepen dat het niet de bedoeling is om de ongelijkheid van Bernoulli te gebruiken.
College 2: Reële getallen II, rijen Iquote:Op zondag 17 november 2013 19:01 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ik heb je boekje niet, anders zou ik waarschijnlijk kunnen achterhalen wat dan wel de bedoeling was.
Dat lijkt me wel. Maar laat nog maar even weten hoe je geacht werd opgave 4b te doen zonder gebruik van de ongelijkheid van Bernoulli. Ben ik wel benieuwd naar.quote:Op zondag 17 november 2013 19:05 schreef Amoeba het volgende:
[..]
En dan vind ik opgave 2 nog wel het vaagste (en meest triviaalste). Volgt dat niet direct uit de limietdefinitie?
Komt in orde.quote:Op zondag 17 november 2013 19:18 schreef Riparius het volgende:
[..]
Dat lijkt me wel. Maar laat nog maar even weten hoe je geacht werd opgave 4b te doen zonder gebruik van de ongelijkheid van Bernoulli. Ben ik wel benieuwd naar.
Ik zal proberen in het vervolg netter te werken.quote:Op zondag 17 november 2013 18:54 schreef Riparius het volgende:
[..]
Wel netjes werken: er zijn twee punten op de eenheidscirkel waarbij de y-coördinaat (en dus ook de sinus van de bijbehorende rotatiehoeken) gelijk is aan −½. Je krijgt
x = 3π/2 + k·2π ∨ x = 7π/6 + k·2π ∨ x = 11π/6 + k·2π, k ∈ Z
Zal ik aan denken.quote:Op zondag 17 november 2013 19:01 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Het is muggenziften, maar je gooit ineens een variabele k in het spel. Formeel moet je definiëren wat die k is, zoals Riparius hierboven doet, hij definieert k als een element van Z (de gehele getallen). Stel dat ik dat element k nu als een element van R (de reële getallen) opvat dan klopt het gewoon niet meer voor alle k.
Creatief. Alleen ik snap je regel niet waar je die c introduceert. Dat je daaruit concludeert dat de rij monotoon dalend is begrijp ik wel.quote:Op zondag 17 november 2013 20:08 schreef Riparius het volgende:
[..]
Kijk eens naar mijn edit hierboven. Gewoon een beetje creatief zijn.
Voor n > 20 heb je bn < 220−n·b20, dus neem bijvoorbeeld c = 220·b20, dan is bn < c·2−n voor n > 20. Zo, en nu niet meer mekkeren dat de opgave niet oplosbaar zou zijn met uitsluitend de stof die tot nu toe in het college aan de orde is geweest.quote:Op zondag 17 november 2013 20:22 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Creatief. Alleen ik snap je regel niet waar je die c introduceert. Dat je daaruit concludeert dat de rij monotoon dalend is begrijp ik wel.
Dadelijk krijgen we te horen dat we hadden moeten gebruiken dat een macht van n altijd sneller groeide dan een macht op n voor voldoende grote n. Dat was een ´vuistregeltje´ bij Calculus.quote:Op zondag 17 november 2013 20:38 schreef Riparius het volgende:
[..]
Voor n > 20 heb je bn < 220−n·b20, dus neem bijvoorbeeld c = 220·b20, dan is bn < c·2−n voor n > 20. Zo, en nu niet meer mekkeren dat de opgave niet oplosbaar zou zijn met uitsluitend de stof die tot nu toe in het college aan de orde is geweest.
Uit 6 plekken moeten ze er 3 kiezen. Dit is een combinatie, namelijk:quote:Op zondag 17 november 2013 22:21 schreef wiskundenoob het volgende:
Zes parkeerplaatsen voor auto’s liggen naast elkaar. Drie chauffeurs gaan hun auto er parkeren. Ze hebben verschillende auto’s.
Op hoeveel verschillende manieren kan dat?
Kan iemand mij deze uitleggen?
Ok gesnopen. Bij deze kom ik ook niet uit:quote:Op zondag 17 november 2013 22:28 schreef Ensemble het volgende:
[..]
Uit 6 plekken moeten ze er 3 kiezen. Dit is een combinatie, namelijk:
Maar omdat ze verschillende auto's hebben maakt de volgorde onderling ook uit. Dit is nu een permutatie, namelijk: 3! = 3 x 2 x 1
Dan krijg je
Dus op 120 manieren.
Maar je kan het ook op een makkelijkere manier bekijken. De eerste auto heeft 6 opties, de tweede auto heeft 5 opties en de derde auto heeft 4 opties. Dus 6*5*4 = 120
Net een heel verhaal getypt, maar dat is nu perongeluk weg.quote:Op zondag 17 november 2013 23:04 schreef wiskundenoob het volgende:
[..]
Ok gesnopen. Bij deze kom ik ook niet uit:
Uit een groep van 15 heren en 5 dames moet een bestuur gekozen worden, bestaande uit een voorzitter, een penningmeester en 4 leden.
Op hoeveel manieren kan een bestuur met precies 2 dames erin gekozen worden?
Ik heb
5*4 *18!/14!4! = 5*4*(18*17*16*15)/(4*3*2*1) = 61200
Het gegeven antwoord is 202020. Ik zal morgen dit nog eens doornemen.quote:Op zondag 17 november 2013 23:42 schreef Ensemble het volgende:
[..]
Net een heel verhaal getypt, maar dat is nu perongeluk weg.
Maar in ieder geval zou ik het zo doen:
Eerst kies je 2 van de 5 vrouwen en 4 van de 15 mannen. Deze kun je dan op 30 verschillende manieren verdelen over het bestuur. Eerst uit 6 mensen 1 voorzitter kiezen, dan uit 5 mensen 1 penningmeester en de overige 4 zijn de leden.
Dit laatste noemen ze ook wel multinomiaal
Ik zal er morgen ook nog wel even naar kijken. Is het nu te laat voor.quote:Op zondag 17 november 2013 23:49 schreef wiskundenoob het volgende:
[..]
Het gegeven antwoord is 202020. Ik zal morgen dit nog eens doornemen.
Heb je toevallig een linkje naar het bestand met de vragen en antwoorden? Kan ik wel gebruiken voor m'n tentamenquote:Op zondag 17 november 2013 23:49 schreef wiskundenoob het volgende:
[..]
Het gegeven antwoord is 202020. Ik zal morgen dit nog eens doornemen.
Volgensmij komt dit van hhofstedequote:Op maandag 18 november 2013 01:06 schreef Reemi het volgende:
[..]
Heb je toevallig een linkje naar het bestand met de vragen en antwoorden? Kan ik wel gebruiken voor m'n tentamen
Thanks!quote:Op maandag 18 november 2013 01:50 schreef jordyqwerty het volgende:
[..]
Volgensmij komt dit van hhofstede
http://www.hhofstede.nl/modules/tellen2.htm
Als aanvulling op deze: kan iemand mij uitleggen op hoeveel manieren dat kan als de drie overblijvende plaatsen naast elkaar liggen?quote:Op zondag 17 november 2013 22:21 schreef wiskundenoob het volgende:
Zes parkeerplaatsen voor auto’s liggen naast elkaar. Drie chauffeurs gaan hun auto er parkeren. Ze hebben verschillende auto’s.
Op hoeveel verschillende manieren kan dat?
Kan iemand mij deze uitleggen?
Simpel. Als V voor vol en L voor leeg staat, zijn vier mogelijkheden om drie lege plekken naast elkaar te zetten:quote:Op maandag 18 november 2013 11:46 schreef Reemi het volgende:
[..]
Als aanvulling op deze: kan iemand mij uitleggen op hoeveel manieren dat kan als de drie overblijvende plaatsen naast elkaar liggen?
Thanks. Ik blijf er mee stoeien, kan iemand me nog met deze helpen?quote:Op maandag 18 november 2013 13:00 schreef thenxero het volgende:
[..]
Simpel. Als V voor vol en L voor leeg staat, zijn vier mogelijkheden om drie lege plekken naast elkaar te zetten:
LLLVVV
VLLLVV
VVLLLV
VVVLLL
Iedere mogelijkheid heeft weer 3! permutaties.
Forum Opties | |
---|---|
Forumhop: | |
Hop naar: |