SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Kijk, die ongelijkheid hadden we dus nog niet gehad. Ik kan me inderdaad je post herinneren over het bewijs met de ongelijkheid van Bernoulli.quote:Op zondag 17 november 2013 01:17 schreef Riparius het volgende:
[..]
Bij het werken met (limieten van) rijen komt de ongelijkheid van Bernoulli vaak van pas (vernoemd naar Jakob Bernoulli, de broer van Johann). Deze ongelijkheid zegt dat je hebt
(1 + h)n ≥ 1 + nh, h ≥ −1, n ≥ 0
Er is ook een strikte versie van de ongelijkheid die zegt dat je hebt
(1 + h)n > 1 + nh, h ≥ −1, h ≠ 0, n > 1
De juistheid van deze ongelijkheden is triviaal voor h > 0 op grond van het binomium, maar ze hebben dus een ruimere geldigheid. Meestal neemt men voor n een natuurlijk getal, en dan kun je eenvoudig een bewijs met inductie geven. De ongelijkheid is ook uit te breiden naar reële exponenten r, dan heb je
(1 + h)r ≥ 1 + rh, h > −1, r ≤ 0 ∨ r ≥ 1
(1 + h)r ≤ 1 + rh, h > −1, 0 ≤ r ≤ 1
En de strikte vorm hiervan is
(1 + h)r > 1 + rh, h > −1, h ≠ 0, r < 0 ∨ r > 1
(1 + h)r < 1 + rh, h > −1, h ≠ 0, 0 < r < 1
Voor een (niet triviaal) gebruik van de ongelijkheid van Bernoulli moet je mijn post met het bewijs voor de convergentie van de Newton-Raphson iteratie voor derdemachtswortels nog maar eens bestuderen.
Een heel bekende (en wel triviale) toepassing van de ongelijkheid van Bernoulli is het bewijs dat je voor α > 1 en n positief geheel hebt
limn→∞ 1/αn = 0
Immers, zij α = 1 + h, dan is h > 0 en hebben we
0 < 1/αn = 1/(1+h)n ≤ 1/(1 + nh) < 1/nh
zodat het gestelde direct volgt met behulp van de insluitstelling.
Maar nu moesten we bewijzen dat voor α > 1 en n positief geheel geldt
limn→∞ n/αn = 0
en dan komen we met de ongelijkheid van Bernoulli niet verder dan 0 < n/αn < 1/h, en dat is niet bruikbaar voor het bewijs. Maar we kunnen een uitdrukking voor de bovengrens krijgen waarbij wel een factor met n in de noemer zit als we bedenken dat (1 + h)n voor n > 1 als derde term (n(n−1)/2)·h2 heeft, zodat we voor h > 0, n > 1 hebben
(1 + h)n > (n(n−1)/2)·h2
en daarmee
0 < n/αn < 2/((n−1)·h2)
waaruit het gestelde weer volgt met behulp van de insluitstelling.
Maar dan zitten we met het volgende probleem:
Er wordt hier geroepen dat het waarschijnlijk niet de bedoeling was om de regel van l'Hôpital te gebruiken, maar nu kan ik net zo hard roepen dat het niet de bedoeling is om de ongelijkheid van Bernoulli te gebruiken.
Maar dat is een zorg voor het Wiskundepracticum, ik hoef die zooi niet na te kijken in ieder geval.
Vriendelijk dank.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Wel netjes werken: er zijn twee punten op de eenheidscirkel waarbij de y-coördinaat (en dus ook de sinus van de bijbehorende rotatiehoeken) gelijk is aan −½. Je krijgtquote:
[..]
Nu je het zegt, inderdaad!
Trouwens, ik heb 1 antwoord kunnen vinden, namelijk sin(x)=-1 oftewel x= 3pi/2 + k2pi
En opgelost voor
sin(x)=-1 v sin(x)= - (1/2)
x = 3π/2 + k·2π ∨ x = 7π/6 + k·2π ∨ x = 11π/6 + k·2π, k ∈ Z
Het is muggenziften, maar je gooit ineens een variabele k in het spel. Formeel moet je definiëren wat die k is, zoals Riparius hierboven doet, hij definieert k als een element van Z (de gehele getallen). Stel dat ik dat element k nu als een element van R (de reële getallen) opvat dan klopt het gewoon niet meer voor alle k.quote:
Opgave d op een zelfde manier opgelost, bedankt Amoeba en Riparius!
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik heb je boekje niet, anders zou ik waarschijnlijk kunnen achterhalen wat dan wel de bedoeling was.quote:Op zondag 17 november 2013 18:44 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Er wordt hier geroepen dat het waarschijnlijk niet de bedoeling was om de regel van l'Hôpital te gebruiken, maar nu kan ik net zo hard roepen dat het niet de bedoeling is om de ongelijkheid van Bernoulli te gebruiken.
College 2: Reële getallen II, rijen Iquote:
[..]
Ik heb je boekje niet, anders zou ik waarschijnlijk kunnen achterhalen wat dan wel de bedoeling was.
Materiaal: [K] 1.7, 2.1
Kernbegrippen: rij, naar boven / beneden begrensde rij, (strict) monotoon stijgende/dalende rij, limiet
Centrale stellingen: Eenduidigheid van de limiet, begrensdheid van convergente rijen
Vaardigheden: herkennen van eigenschappen van rijen, werken met de limietdefinitie
http://www.win.tue.nl/~gprokert/opcoll02.pdf
Dit zijn de opgaven.
En dan vind ik opgave 2 nog wel het vaagste (en meest triviaalste). Volgt dat niet direct uit de limietdefinitie?
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Dat lijkt me wel. Maar laat nog maar even weten hoe je geacht werd opgave 4b te doen zonder gebruik van de ongelijkheid van Bernoulli. Ben ik wel benieuwd naar.quote:
[..]
En dan vind ik opgave 2 nog wel het vaagste (en meest triviaalste). Volgt dat niet direct uit de limietdefinitie?
Edit: je kunt bedenken dat je hebt
bn+1/bn = ⅓·(1 + 1/n)5
Voor voldoend grote n, zeg n ≥ 20, heb je dan
bn+1 < ½·bn
en daarmee is er een c > 0 zodanig dat voor n > 20
bn < c·2−n
De rij is dus monotoon dalend vanaf een zekere term, de termen zijn positief zodat nul een ondergrens is, en een monotoon dalende rij met een ondergrens heeft een limiet. Die limiet kan bovendien niet groter zijn dan nul omdat je voor elke ε > 0 een N ≥ 20 kunt vinden zodanig dat 2n > c/ε voor n > N en dus 2−n < ε/c en dus bn < ε voor n > N. Ergo, de limiet van de rij is nul. Wat denk je daarvan?
[ Bericht 19% gewijzigd door Riparius op 17-11-2013 22:46:26 ]
Ik zou zoiets noteren:
Te bewijzen:
xn → x* ↔ |xn - x*| → 0
Bewijs:
Stel dat x*, de limiet waarnaar xn convergeert, dan geldt de limietdefinitie:
∀ε>0 ∃N∈N∀n>N [ |xn - x*| < ε ]
Dus nemen we nu voor ε nu willekeurig klein, dan volgt het gevraagde.
Maar de opgave is om te bewijzen dat het één het ander impliceert, dus volgens mij moet ik het nu ook nog andersom bewijzen.
Maar dat is net zo simpel, neem nu aan dat |xn - x*| → 0, dan kunnen we dus de limietdefinitie erbij halen, laten zien dat die waar is, en dat dus dan ook x* de limiet is waarmee bewezen is dat xn → x*
Te bewijzen:
xn → x* ↔ |xn - x*| → 0
Bewijs:
Stel dat x*, de limiet waarnaar xn convergeert, dan geldt de limietdefinitie:
∀ε>0 ∃N∈N∀n>N [ |xn - x*| < ε ]
Dus nemen we nu voor ε nu willekeurig klein, dan volgt het gevraagde.
Maar de opgave is om te bewijzen dat het één het ander impliceert, dus volgens mij moet ik het nu ook nog andersom bewijzen.
Maar dat is net zo simpel, neem nu aan dat |xn - x*| → 0, dan kunnen we dus de limietdefinitie erbij halen, laten zien dat die waar is, en dat dus dan ook x* de limiet is waarmee bewezen is dat xn → x*
Komt in orde.quote:
[..]
Dat lijkt me wel. Maar laat nog maar even weten hoe je geacht werd opgave 4b te doen zonder gebruik van de ongelijkheid van Bernoulli. Ben ik wel benieuwd naar.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik zal proberen in het vervolg netter te werken.quote:
[..]
Wel netjes werken: er zijn twee punten op de eenheidscirkel waarbij de y-coördinaat (en dus ook de sinus van de bijbehorende rotatiehoeken) gelijk is aan −½. Je krijgt
x = 3π/2 + k·2π ∨ x = 7π/6 + k·2π ∨ x = 11π/6 + k·2π, k ∈ Z
Zal ik aan denken.quote:
[..]
Het is muggenziften, maar je gooit ineens een variabele k in het spel. Formeel moet je definiëren wat die k is, zoals Riparius hierboven doet, hij definieert k als een element van Z (de gehele getallen). Stel dat ik dat element k nu als een element van R (de reële getallen) opvat dan klopt het gewoon niet meer voor alle k.
Overigens:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
Examen 2010 a/1/juli, vraag 3:
Mijn antwoord is C en dat klopt volgens het antwoordmodel. Ik heb het opgelost door:
x - pi/3 = pi/2 + k2pi v x - pi/3 = - pi/2 + k2pi
x=5pi/6 + k2pi v x=pi/6 + k2pi
Waarin k een element van Z is. Dus 2 oplossingen.
Goede redenatie?
Een tijdje terug zag ik hoe je vrij eenvoudig de derdemachtswortel van een natuurlijk getal tussen de 1 en 100 kunt 'berekenen'. Ik zou graag willen weten waarom dit werkt.
Een 'demonstratie':
³√(50653)
50653
We weten dat 7³ eindigt op een 3 en weten zo dat het getal dat we zoeken eindigt op een 7. We strepen de laatste 3 cijfers door, 50 blijft over.
50653
Vervolgens zien we dat 50 tussen 3³ en 4³ ligt, ons getal begint dus met een 3.
37.
Ja, dit is een matige formulering.
Op een zelfde wijze volgt bijvoorbeeld dat ³√(658503) = 87
Maar waarom werkt het?
Een 'demonstratie':
³√(50653)
50653
We weten dat 7³ eindigt op een 3 en weten zo dat het getal dat we zoeken eindigt op een 7. We strepen de laatste 3 cijfers door, 50 blijft over.
50653
Vervolgens zien we dat 50 tussen 3³ en 4³ ligt, ons getal begint dus met een 3.
37.
Ja, dit is een matige formulering.
Op een zelfde wijze volgt bijvoorbeeld dat ³√(658503) = 87
Maar waarom werkt het?
Creatief. Alleen ik snap je regel niet waar je die c introduceert. Dat je daaruit concludeert dat de rij monotoon dalend is begrijp ik wel.quote:
[..]
Kijk eens naar mijn edit hierboven. Gewoon een beetje creatief zijn.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Voor n > 20 heb je bn < 220−n·b20, dus neem bijvoorbeeld c = 220·b20, dan is bn < c·2−n voor n > 20. Zo, en nu niet meer mekkeren dat de opgave niet oplosbaar zou zijn met uitsluitend de stof die tot nu toe in het college aan de orde is geweest.quote:
[..]
Creatief. Alleen ik snap je regel niet waar je die c introduceert. Dat je daaruit concludeert dat de rij monotoon dalend is begrijp ik wel.
[ Bericht 22% gewijzigd door Riparius op 17-11-2013 20:51:55 ]
Dadelijk krijgen we te horen dat we hadden moeten gebruiken dat een macht van n altijd sneller groeide dan een macht op n voor voldoende grote n. Dat was een ´vuistregeltje´ bij Calculus.quote:
[..]
Voor n > 20 heb je bn < 220−n·b20, dus neem bijvoorbeeld c = 220·b20, dan is bn < c·2−n voor n > 20. Zo, en nu niet meer mekkeren dat de opgave niet oplosbaar zou zijn met uitsluitend de stof die tot nu toe in het college aan de orde is geweest.
Maar dit moet nog even vallen, staat genoteerd voor morgen. Dank, en nog een fijne avond.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Zes parkeerplaatsen voor auto’s liggen naast elkaar. Drie chauffeurs gaan hun auto er parkeren. Ze hebben verschillende auto’s.
Op hoeveel verschillende manieren kan dat?
Kan iemand mij deze uitleggen?
Op hoeveel verschillende manieren kan dat?
Kan iemand mij deze uitleggen?
Uit 6 plekken moeten ze er 3 kiezen. Dit is een combinatie, namelijk:quote:Op zondag 17 november 2013 22:21 schreef wiskundenoob het volgende:
Zes parkeerplaatsen voor auto’s liggen naast elkaar. Drie chauffeurs gaan hun auto er parkeren. Ze hebben verschillende auto’s.
Op hoeveel verschillende manieren kan dat?
Kan iemand mij deze uitleggen?
Maar omdat ze verschillende auto's hebben maakt de volgorde onderling ook uit. Dit is nu een permutatie, namelijk: 3! = 3 x 2 x 1
Dan krijg je
Dus op 120 manieren.
Maar je kan het ook op een makkelijkere manier bekijken. De eerste auto heeft 6 opties, de tweede auto heeft 5 opties en de derde auto heeft 4 opties. Dus 6*5*4 = 120
Ok gesnopen. Bij deze kom ik ook niet uit:quote:
[..]
Uit 6 plekken moeten ze er 3 kiezen. Dit is een combinatie, namelijk:
Maar omdat ze verschillende auto's hebben maakt de volgorde onderling ook uit. Dit is nu een permutatie, namelijk: 3! = 3 x 2 x 1
Dan krijg je
Dus op 120 manieren.
Maar je kan het ook op een makkelijkere manier bekijken. De eerste auto heeft 6 opties, de tweede auto heeft 5 opties en de derde auto heeft 4 opties. Dus 6*5*4 = 120
Uit een groep van 15 heren en 5 dames moet een bestuur gekozen worden, bestaande uit een voorzitter, een penningmeester en 4 leden.
Op hoeveel manieren kan een bestuur met precies 2 dames erin gekozen worden?
Ik heb
5*4 *18!/14!4! = 5*4*(18*17*16*15)/(4*3*2*1) = 61200
Net een heel verhaal getypt, maar dat is nu perongeluk weg.quote:
[..]
Ok gesnopen. Bij deze kom ik ook niet uit:
Uit een groep van 15 heren en 5 dames moet een bestuur gekozen worden, bestaande uit een voorzitter, een penningmeester en 4 leden.
Op hoeveel manieren kan een bestuur met precies 2 dames erin gekozen worden?
Ik heb
5*4 *18!/14!4! = 5*4*(18*17*16*15)/(4*3*2*1) = 61200
Maar in ieder geval zou ik het zo doen:
Eerst kies je 2 van de 5 vrouwen en 4 van de 15 mannen. Deze kun je dan op 30 verschillende manieren verdelen over het bestuur. Eerst uit 6 mensen 1 voorzitter kiezen, dan uit 5 mensen 1 penningmeester en de overige 4 zijn de leden.
Dit laatste noemen ze ook wel een multinomiale coefficient:
Kan je ook lezen als 6 mensen verdelen over 3 groepen, waarbij de groepen respectievelijk 1, 1 en 4 mensen bevatten. De onderste 3 getallen moeten daarom ook altijd optellen tot het bovenste getal.
[ Bericht 7% gewijzigd door Ensemble op 17-11-2013 23:52:56 ]
Het gegeven antwoord is 202020. Ik zal morgen dit nog eens doornemen.quote:
[..]
Net een heel verhaal getypt, maar dat is nu perongeluk weg.
Maar in ieder geval zou ik het zo doen:
Eerst kies je 2 van de 5 vrouwen en 4 van de 15 mannen. Deze kun je dan op 30 verschillende manieren verdelen over het bestuur. Eerst uit 6 mensen 1 voorzitter kiezen, dan uit 5 mensen 1 penningmeester en de overige 4 zijn de leden.
Dit laatste noemen ze ook wel multinomiaal
Ik zal er morgen ook nog wel even naar kijken. Is het nu te laat voor.quote:
[..]
Het gegeven antwoord is 202020. Ik zal morgen dit nog eens doornemen.
Heb je toevallig een linkje naar het bestand met de vragen en antwoorden? Kan ik wel gebruiken voor m'n tentamenquote:
[..]
Het gegeven antwoord is 202020. Ik zal morgen dit nog eens doornemen.
Smile like you mean it
www.wefut.com
www.wefut.com
Volgensmij komt dit van hhofstedequote:
[..]
Heb je toevallig een linkje naar het bestand met de vragen en antwoorden? Kan ik wel gebruiken voor m'n tentamen
http://www.hhofstede.nl/modules/tellen2.htm
quote:Op maandag 18 november 2013 01:50 schreef jordyqwerty het volgende:
[..]
Volgensmij komt dit van hhofstede
http://www.hhofstede.nl/modules/tellen2.htm
Thanks!
Smile like you mean it
www.wefut.com
www.wefut.com
Als aanvulling op deze: kan iemand mij uitleggen op hoeveel manieren dat kan als de drie overblijvende plaatsen naast elkaar liggen?quote:
Zes parkeerplaatsen voor auto’s liggen naast elkaar. Drie chauffeurs gaan hun auto er parkeren. Ze hebben verschillende auto’s.
Op hoeveel verschillende manieren kan dat?
Kan iemand mij deze uitleggen?
Smile like you mean it
www.wefut.com
www.wefut.com
Simpel. Als V voor vol en L voor leeg staat, zijn vier mogelijkheden om drie lege plekken naast elkaar te zetten:quote:
[..]
Als aanvulling op deze: kan iemand mij uitleggen op hoeveel manieren dat kan als de drie overblijvende plaatsen naast elkaar liggen?
LLLVVV
VLLLVV
VVLLLV
VVVLLL
Iedere mogelijkheid heeft weer 3! permutaties.
