[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op woensdag 14 augustus 2013 23:25 schreef randomo het volgende:

[..]

Ik denk dat ik er inmiddels uit ben, nogmaals dank voor je opmerking! Zoals jij al opmerkte, niet op eigen kracht, maar ik denk toch dat ik er op deze manier meer van heb geleerd dan direct naar het antwoord kijken

In het geval a = b kan je definiëren
f(x) := √(√(x + a) - √x)
dan
f(x-a) = √(√x - √(x - a))
zodat de integraal uit de opgave wordt
∫_a^∞ f(x) - f(x - a) dx
= ∫_a^∞ f(x) dx - ∫_a^∞ f(x - a) dx
= ∫_a^∞ f(x) dx - ∫₀^∞ f(x) dx
= -∫₀^a f(x) dx

En deze integraal is natuurlijk convergent omdat f(x) begrensd is op het interval [0, a]
(er geldt bijvoorbeeld |f(x)| < |(2a)|^1/4, om maar wat te noemen).

Dit is inderdaad het idee, maar je hebt niet aangetoond dat

∫_a^∞ (f(x) − f(x − a))dx

convergeert. Dat zou je eerst moeten doen voor alle drie je integralen, anders mag je niet stellen dat

∫_a^∞ (f(x) − f(x − a))dx = ∫_a^∞ f(x)dx − ∫_a^∞ f(x − a)dx

De integralen in het rechterlid zijn echter divergent, en je kunt natuurlijk niet de convergentie van een oneigenlijke integraal aantonen door deze even te herschrijven als een verschil van twee divergente oneigenlijke integralen.

Maar het bewijs voor de convergentie is nu niet moeilijk meer. Bekijken we eerst de integraal over het eindige interval [a, na] met n > 1 dan hebben we

∫_a^na (f(x) − f(x − a))dx = ∫_a^na f(x)dx − ∫_a^na f(x − a)dx

Nu is ook duidelijk dat

∫_a^na f(x − a)dx = ∫₀^na−a f(x)dx = ∫₀^a f(x)dx + ∫_a^na−a f(x)dx

zodat we hebben

∫_a^na (f(x) − f(x − a))dx = ∫_na−a^na f(x)dx − ∫₀^a f(x)dx

Je merkt terecht op dat f(x) begrensd is op [0, a], maar daarmee ben je er niet. We moeten nu namelijk nog aantonen dat

lim_n→∞ ( ∫_a^na (f(x) − f(x − a))dx ) = lim_n→∞ ( ∫_na−a^na f(x)dx − ∫₀^a f(x)dx )

bestaat. Voor x > 0 hebben we

0 < f(x) < √(a/2)·x^−1/4

Nu is x^−1/4 monotoon dalend op R⁺, zodat we op het interval [na−a, na] hebben

√(a/2)·x^−1/4 ≤ √(a/2)·(na−a)^−1/4

en dus

0 < f(x) < √(a/2)·(na−a)^−1/4

zodat

0 < ∫_na−a^na f(x)dx < a·√(a/2)·(na−a)^−1/4

En aangezien lim_n→∞ (na−a)^−1/4 = 0, volgt dan met behulp van de insluitstelling dat

lim_n→∞ ( ∫_na−a^na f(x)dx ) = 0

zodat inderdaad

∫_a^∞ (f(x) − f(x − a))dx = lim_n→∞ ( ∫_a^na (f(x) − f(x − a))dx ) = lim_n→∞ ( ∫_na−a^na f(x)dx − ∫₀^a f(x)dx ) = − ∫₀^a f(x)dx

QED

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 15-08-2013 13:20:57 ]

Kan iemand me aub helpen? Ik ben nu vergelijkingen, ongelijkheden en stelsels aan het doen, maar ik kom bij sommige gewoon niet uit.

Ik heb met rood aangegeven welke ik niet snap.



Hoe kan ik het beste veeltermen zoals c, d, f en g oplossen?

Die veelvoudtermen in DFG zie ik ook zo snel niet, maar C kan met een simpele substitutie
stel y=x^2
dan staat er 2y^2-y-6=0 --> y= -2/3 v y = 2
y=x^2 --> x = sqrt(-2/3) v x = sqrt(2)
in R is alleen het laatste een antwoord, met opletten dat -sqrt(2) ook een antwoord is.

Bij c heb ik dit:
16x ⁴ -8x ² = 48
(4x ² -1) ² = 49
4x ² = 8
x ² = 2
x = √2 of - √ 2

Bij opgaven d, f en g kun je een euclidische deling gebruiken. Gezien de twee regels boven de opgave neem ik aan dat er iets over uitgelegd staat.

quote:

Op vrijdag 16 augustus 2013 20:40 schreef Fsmxi het volgende:
Die veelvoudtermen in DFG zie ik ook zo snel niet, maar C kan met een simpele substitutie
stel y=x^2
dan staat er 2y^2-y-6=0 --> y= -2/3 v y = 2
y=x^2 --> x = sqrt(-2/3) v x = sqrt(2)
in R is alleen het laatste een antwoord, met opletten dat -sqrt(2) ook een antwoord is.

Bedankt! C snap ik nu.

quote:

Op vrijdag 16 augustus 2013 20:49 schreef Tochjo het volgende:
Bij opgaven d, f en g kun je een euclidische deling gebruiken. Gezien de twee regels boven de opgave neem ik aan dat er iets over uitgelegd staat.

Dat is niet echt uitleg, maar een opgave op zichzelf (die 2 regels waar je het over hebt). Een euclidische deling uitvoeren, maar met wat?

x=1 is geen oplossing, dus delen door (x-1) gaat niet. x=-1 ook niet, dus delen door (x+1) gaat ook niet.

quote:

Op vrijdag 16 augustus 2013 20:55 schreef DefinitionX het volgende:
Dat is niet echt uitleg, maar een opgave op zichzelf (die 2 regels waar je het over hebt). Een euclidische deling uitvoeren, maar met wat?

x=1 is geen oplossing, dus delen door (x-1) gaat niet. x=-1 ook niet, dus delen door (x+1) gaat ook niet.

Je geeft te snel op; in opgave d is x = -2 wel een oplossing, dus je kunt delen door x+2.

quote:

Op vrijdag 16 augustus 2013 20:57 schreef Tochjo het volgende:

[..]

Je geeft te snel op; in opgave d is x = -2 wel een oplossing, dus je kunt delen door x+2.

Ik had nog -2 geprobeerd, maar zo stom geweest om dat in c in te vullen en niet in d >.<.

Dankje Tochjo.

quote:

Op vrijdag 16 augustus 2013 20:57 schreef Tochjo het volgende:

[..]

Je geeft te snel op; in opgave d is x = -2 wel een oplossing, dus je kunt delen door x+2.

Die staartdeling is geen probleem maar hoe weet je dat x = -2 een oplossing is? Willekeurig invullen?
Riparius heeft hier eens uitgelegd hoe je een derdegraadsvergelijking (met een constante in de som) kan oplossen maar ze gaan er toch zeker niet van uit dat de lezer dit kan?

quote:

Op vrijdag 16 augustus 2013 23:21 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Die staartdeling is geen probleem maar hoe weet je dat x = -2 een oplossing is? Willekeurig invullen?

Volgens mij is de bedoeling van dit soort opgaven inderdaad dat je een gehele oplossing van x achterhaalt, die bijna altijd ergens rondom 0 zit, en de bijbehorende lineaire factor uitdeelt. Het kennen van een standaard aanpak voor derdegraads functies (formule van Cardano of soortgelijk werk) lijkt me niet de bedoeling.

Dan kunnen ze net zo goed die ene oplossing geven, of wel de technieken leren waarmee je de oplossing achterhaalt.

DefX, wat voor boekje gebruik jij?

quote:

Op vrijdag 16 augustus 2013 23:58 schreef Bram_van_Loon het volgende:
Dan kunnen ze net zo goed die ene oplossing geven, of wel de technieken leren waarmee je de oplossing achterhaalt.

DefX, wat voor boekje gebruik jij?

Wiskundige Basisvaardigheden: http://www.bol.com/nl/p/w(...)en/9200000015501914/

Op aanraden van Riparius, nogmaals dank. Goed boek.

Ik gebruik ook youtube voor meer uitgebreide uitleg. Zo snapte ik niet hoe de regel van Horner werkte in het begin, maar na een (weet niet zeker of dit hem was, maar wel van dezelfde maker), wel.

quote:

Op vrijdag 16 augustus 2013 23:21 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Die staartdeling is geen probleem maar hoe weet je dat x = -2 een oplossing is? Willekeurig invullen?
Riparius heeft hier eens uitgelegd hoe je een derdegraadsvergelijking (met een constante in de som) kan oplossen maar ze gaan er toch zeker niet van uit dat de lezer dit kan?

Nee, het is hier de bedoeling om één (gehele) wortel x₀ te vinden door proberen, waarna je een polynoomstaartdeling (euclidische deling) uit kunt voeren om het linkerlid van de vergelijking te schrijven als een product van (x − x₀) en een kwadratische veelterm in x.

Willekeurig uitproberen is niet handig en ook niet nodig, want volgens het rational root theorem geldt voor rationale oplossingen x = p/q (met p en q geheel en onderling ondeelbaar) dat p een deler van 8 moet zijn en q een deler van 2, afgezien van het teken. En dan vind je al gauw dat x = 8/2 = 4 inderdaad voldoet. Dan hebben we

(x −4)(2x² + 3x − 2) = 0

Nu zien we dat we de resterende vierkantsvergelijking

2x² + 3x − 2 = 0

gemakkelijk op kunnen lossen door ontbinden in factoren: we moeten twee (gehele) getallen zoeken waarvan het product 2·(−2) = −4 is en de som +3, en die getallen zijn uiteraard +4 en −1. Dus krijgen we

2x² + 4x − x − 2 = 0
2x(x + 2) − (x + 2) = 0
(x + 2)(2x − 1) = 0
x = −2 ∨ x = 1/2

De drie (reële) wortels van de kubische vergelijking zijn dus x = 4, x = −2, x = 1/2. Overigens, als je door uitproberen al weet dat x = 4 en x = −2 oplossingen zijn van de kubische vergelijking, dan is direct duidelijk dat de derde oplossing x = 1/2 moet zijn, aangezien het product van de drie oplossingen immers gelijk moet zijn aan −8/2 = −4.

quote:

Op vrijdag 16 augustus 2013 20:00 schreef DefinitionX het volgende:
Kan iemand me aub helpen? Ik ben nu vergelijkingen, ongelijkheden en stelsels aan het doen, maar ik kom bij sommige gewoon niet uit.

Ik heb met rood aangegeven welke ik niet snap.

[ afbeelding ]

Hoe kan ik het beste veeltermen zoals c, d, f en g oplossen?

c. Substitutie, zie hierboven.

d. Zie mijn antwoord aan Bram hierboven.

f. Gehele wortels van deze vergelijking moeten, afgezien van het teken, delers zijn van 6. Zo vind je door uitproberen gemakkelijk dat zowel x = 1 als x = −1 voldoen. Maar dan bevat het polynoom in het linkerlid van deze vergelijking dus zowel een factor (x − 1) als een factor (x + 1), en daarmee dus ook een kwadratische factor (x − 1)(x + 1) = (x² − 1).

Je kunt nu middels een polynoomstaartdeling x⁴ − x³ − 7x² + x + 6 delen door x² − 1, maar je kunt ook anders te werk gaan, als volgt. We gaan nu de vierdegraads veelterm in het linkerlid van de vergelijking herschrijven als een som of verschil van termen met elk een factor (x² − 1). We moeten dan in ieder geval een term x²(x² − 1) = x⁴ − x² hebben, aangezien de vergelijking van de vierde graad is en de coëfficiënt van de hoogste macht van x in de vergelijking gelijk is aan 1. Maar nu zien we ook dat de coëfficiënt van de kwadratische term niet −1 is maar −7. Daarom splitsen we de term − 7x² eerst even op in − x² − 6x², zodat we dus krijgen

x⁴ − x³ − x² − 6x² + x + 6 = 0

Nu zie je gemakkelijk dat we hebben x⁴ − x² = x²(x² − 1), − x³ + x = − x(x² − 1) en − 6x² + 6 = − 6(x² − 1), zodat we dus hebben

x²(x² − 1) − x(x² − 1) − 6(x² − 1) = 0

Nu kunnen we de gemene factor (x² − 1) buiten haakjes halen zodat we krijgen

(x² − 1)(x² − x − 6) = 0

De resterende twee oplossingen van de vergelijking zijn dus de wortels van de vierkantsvergelijking

x² − x − 6 = 0

Deze vierkantsvergelijking is eenvoudig op te lossen door ontbinden in factoren. We zoeken twee (gehele) getallen waarvan het product gelijk is aan −6 en de som gelijk is aan −1, en die getallen zijn uiteraard +2 en −3, zodat we krijgen

(x + 2)(x − 3) = 0
x = −2 ∨ x = 3

De vier (reële) oplossingen van de vierdemachtsvergelijking zijn dus x = −2, x = −1, x = 1 en x = 3. Uiteraard had je in dit geval alle vier de oplossingen ook gemakkelijk kunnen vinden door uitproberen, omdat je wist dat gehele oplossingen, afgezien van het teken, delers van 6 moeten zijn, maar ik wilde even laten zien dat je niet per se een polynoomstaartdeling hoeft uit te voeren om een polynoom waarvan je al een factor kent te herschrijven als een product van veeltermen.

g. Een eventuele gehele wortel van deze kubische vergelijking moet, afgezien van het teken, een deler zijn van 13. We zien direct dat x = 1 en x = −1 niet voldoen, dus proberen we x = 13, en die voldoet inderdaad wel. Dus gaan we nu in het linkerlid een factor (x − 13) buiten haakjes halen. Dat kunnen we weer doen door de veelterm in het linkerlid te herschrijven als een som of verschil van termen die elk een factor (x − 13) bevatten. We hebben x²(x − 13) = x³ − 13x² zodat we − 18x² eerst even opsplitsen in − 13x² − 5x² en we krijgen

x³ − 13x² − 5x² + 66x − 13 = 0

en dus

x²(x − 13) − 5x² + 66x − 13 = 0

Nu hebben we verder − 5x(x − 13) = − 5x² + 65x, dus splitsen we 66x op in 65x + x en krijgen we

x²(x − 13) − 5x² + 65x + x − 13 = 0

en dus

x²(x − 13) − 5x(x − 13) + (x − 13) = 0

Nu kunnen we de gemene factor (x − 13) buiten haakjes halen en krijgen we

(x − 13)(x² − 5x + 1) = 0

Om nu de resterende twee wortels van de kubische vergelijking te vinden moeten we dus nog de vierkantsvergelijking

x² − 5x + 1 = 0

oplossen. Dit kan op verschillende manieren, maar ik kies hier voor kwadraatafsplitsing volgens de methode van Sridhara. We brengen eerst de constante term over naar het rechter lid door van beide leden 1 af te trekken. Dit geeft

x² − 5x = −1

Nu vermenigvuldigen we beide leden met het viervoud van de coëfficiënt van de kwadratische term, dus met 4·1 = 4. Dit geeft

4x² − 20x = −4

Nu is 4x² het kwadraat van 2x en 20x = 2·2x·5 het dubbele product van 2x en 5, zodat we het linkerlid kunnen completeren tot een volkomen kwadraat door bij beide leden 5² = 25 op te tellen. Dit geeft

(2x)² − 2·(2x)·5 + 5² = 21

en dus

(2x − 5)² = 21

zodat

2x − 5 = √21 ∨ 2x − 5 = −√21

en daarmee

x = 5/2 + ½√21 ∨ x = 5/2 − ½√21

De drie (reële) wortels van de kubische vergelijking zijn dus x = 13, x = 5/2 + ½√21, x = 5/2 − ½√21.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 17-08-2013 03:55:35 ]

Riparius super bedankt!

[ Bericht 69% gewijzigd door DefinitionX op 19-08-2013 00:55:19 ]

Iemand die mij kan helpen onderstaande vraag op een begrijpelijke maar snelle manier op te lossen?

Schrijf de tweede vergelijking als y = 1 - 4x en substitueer dit in de eerste vergelijking.

Kan iemand mij misschien uitleg geven over hoe ik het best een tekenverloop van een functie kan opschrijven? En dan met name bij ongelijkheden.

Bij het mbo boek/pre-hbo boek heb ik ook ongelijkheden gehad, maar daar hoefde ik enkel de oplossing als [2,->) op te schrijven voor x is gelijk aan of groter dan 2.

In het boek dat ik nu gebruik wordt dat echter gedaan in tabelvorm (in de foto gaat het niet om een ongelijkheid, maar een normale kwadratische vergelijking).

Foto:



En mijn tweede vraag hierbij, hoe zou je een dergelijk tabel kunnen gebruiken om wat te zeggen over de minima en maxima van een functie? Dat wordt nog niet behandeld in het boek (pas in een later hoofdstuk), maar dit zou ik toch graag willen weten. Mijn begrip van de termen is dat een minima de minimale y waarde is en maxima de maximale y waarde van de top van een parabool. Maar een parabool is enkel bij een x2 functie en bij een x macht 3 functie anders.

Je ziet ook staan in het tabel 'teken van a' en 'tegengesteld van a'. Kun je dat opschrijven gebaseerd op waarde die kleiner zijn dan x1, tussen x1 en x2 en groter dan x2? Dat je daaruit dan concludeert dat de waarde het teken van a nemen?

quote:

Op woensdag 21 augustus 2013 16:09 schreef DefinitionX het volgende:
Kan iemand mij misschien uitleg geven over hoe ik het best een tekenverloop van een functie kan opschrijven? En dan met name bij ongelijkheden.

Dat hangt erg van de ongelijkheid af. Als je het rechterlid van de ongelijkheid herleidt op nul en dan de nulpunten van de uitdrukking in het linkerlid bepaalt, dan kun je die uitdrukking opvatten als een functie en daarvan een tekenschema maken en hieruit vervolgens de oplossing van de ongelijkheid aflezen.

quote:

En mijn tweede vraag hierbij, hoe zou je een dergelijk tabel kunnen gebruiken om wat te zeggen over de minima en maxima van een functie? Dat wordt nog niet behandeld in het boek (pas in een later hoofdstuk), maar dit zou ik toch graag willen weten. Mijn begrip van de termen is dat een minimum de minimale y waarde is en een maximum de maximale y waarde van de top van een parabool. Maar een parabool is enkel bij een x2 functie en bij een x macht 3 functie is het anders.

Bij een kwadratische functie f(x) = ax² + bx + c met twee nulpunten x₁ en x₂ is het zo dat het minimum of maximum wordt bereikt precies midden tussen de beide nulpunten in, dus voor x = (x₁ + x₂)/2 = −b/2a, om de eenvoudige reden dat de parabool die de grafiek is van deze functie een verticale symmetrie-as heeft. Voor a > 0 is de grafiek een dalparabool en neemt de functie voor x = −b/2a een minimum aan, en voor a < 0 is de grafiek een bergparabool en neemt de functie bij x = −b/2a een maximum aan.

Overigens geldt ook als de kwadratische functie geen nulpunten heeft, dus als D < 0, dat de kwadratische functie een minimum of een maximum aanneemt bij x = −b/2a. De waarde van dit minimum of maximum is steeds f(−b/2a) = −D/4a, waarbij D = b² − 4ac de discriminant is van de kwadratische veelterm ax² + bx + c. De top van de parabool die de grafiek is van deze kwadratische functie heeft dus de coördinaten (−b/2a ; −D/4a).

Maar in het algemeen moet je differentiaalrekening gebruiken en de afgeleide van de functie bepalen om (locale) minima en maxima te vinden. Dan kun je een tekenschema maken, niet van de functie f(x), maar van de afgeleide functie f'(x) en daarvan de nulpunten bepalen, zie hier.

quote:

Je ziet ook staan in het tabel 'teken van a' en 'tegengesteld van a'. Kun je dat opschrijven gebaseerd op waarde die kleiner zijn dan x1, tussen x1 en x2 en groter dan x2? Dat je daaruit dan concludeert dat de waarde het teken van a nemen?

Wat je hier vraagt is onduidelijk. Het boek bedoelt gewoon dat in het tekenschema het teken van de functiewaarde tussen de beide nulpunten tegengesteld is aan het teken van a. Dus, als a > 0 (a positief) dan is de functiewaarde negatief voor waarden van x tussen x₁ en x₂, en als a < 0 (a negatief) dan is de functiewaarde positief voor waarden van x tussen x₁ en x₂.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 24-08-2013 00:15:40 ]

quote:

Op woensdag 21 augustus 2013 15:05 schreef Tochjo het volgende:
Schrijf de tweede vergelijking als y = 1 - 4x en substitueer dit in de eerste vergelijking.

Aah thx man!

Danke Riparius, ik ga er zo met een kop thee naar je uitleg kijken. Ik heb het gelezen, maar ik moet het even absorberen.

Is het trouwens verstandig om eigen wiskunde opgaves te maken en dan via w-alpha kijken of ik de juiste antwoord heb? Ongeveer zoiets als zelf 100 verschillende lineaire vergelijkingen maken en dan oplossen. Zoiets zou ook moeten kunnen bij termen tot graad 3, 4.

Ik vraag het omdat ik anders steeds dezelfde opgaves moet maken.

Beetje moe, maar hier komt die dan:



Waarom mag dit niet?

Ik heb het over de -5 elimineren uit de noemer.

Edit: zelfs al mocht het, ik zie ineens waarom de rest niet kan. Je houdt namelijk geen 2 over aan de linkerkant.

Het is (x+5)*-5 in de teller. Dit kan je alleen wegdelen als er in de noemer een factor -5 staat, maar dat is niet het geval.

quote:

Op woensdag 21 augustus 2013 21:47 schreef thenxero het volgende:
Het is (x+5)*-5 in de teller. Dit kan je alleen wegdelen als er in de noemer een factor -5 staat, maar dat is niet het geval.

Dus de x-5 in de noemer in mijn opgave moet ik zien als 1 geheel ipv als x en -5?

Laat maar snap niet echt wat je doet

quote:

Op woensdag 21 augustus 2013 18:57 schreef DefinitionX het volgende:
Danke Riparius, ik ga er zo met een kop thee naar je uitleg kijken. Ik heb het gelezen, maar ik moet het even absorberen.

Is het trouwens verstandig om eigen wiskunde opgaves te maken en dan via w-alpha kijken of ik de juiste antwoord heb? Ongeveer zoiets als zelf 100 verschillende lineaire vergelijkingen maken en dan oplossen. Zoiets zou ook moeten kunnen bij termen tot graad 3, 4.

Ik vraag het omdat ik anders steeds dezelfde opgaves moet maken.

Controleren van je antwoorden via WolframAlpha is zeker een goed idee, maar dan wel pas nadat je de opgave uitsluitend met behulp van pen en papier hebt uitgewerkt. Houd er wel rekening mee dat WolframAlpha de uitkomsten wellicht niet altijd geeft in de vorm waarin je die gewoonlijk zou opschrijven.

Het lijkt me niet erg zinvol al te veel vergelijkingen of ongelijkheden van eenzelfde type op te lossen, dan besteed je je tijd niet optimaal. Het - zelfstandig - oplossen van alle opgaven in je boek lijkt me echt wel voldoende, daar leer je meer van dan van het steeds maar weer herhalen van eenzelfde techniek, want dan wordt het alleen maar het oefenen van een kunstje. Zoals hierboven op je foto is te zien zijn de opgaven gevarieerd, zodat je steeds een iets andere insteek moet gebruiken en zo wordt geprikkeld om creatief te zijn, maar ook om het geleerde in praktijk te brengen.

quote:

Op woensdag 21 augustus 2013 21:59 schreef DefinitionX het volgende:

[..]

Dus de x-5 in de noemer in mijn opgave moet ik zien als 1 geheel ipv als x en -5?

Ja, want de breukstreep strekt zich uit over de gehele tweeterm x − 5. De ongelijkheid die je op moet lossen in R luidt dus

(x + 2)/(x − 5) ≤ x

Je moet trouwens je x wel iets duidelijker schrijven, deze lijkt namelijk soms meer op de Griekse letter λ.

Tip: herleid eerst het rechterlid van de ongelijkheid op nul door van beide leden x af te trekken, en herleid vervolgens het linkerlid tot één breuk. Bedenk vervolgens wat je kunt zeggen over de teller en over de noemer van een breuk waarvan de waarde kleiner dan of gelijk aan nul moet zijn.

quote:

Op woensdag 21 augustus 2013 21:19 schreef DefinitionX het volgende:
Beetje moe, maar hier komt die dan:

[ afbeelding ]

Waarom mag dit niet?

Ik heb het over de -5 elimineren uit de noemer.

Edit: zelfs al mocht het, ik zie ineens waarom de rest niet kan. Je houdt namelijk geen 2 over aan de linkerkant.

Het gaat om deze twee regels:

(a+b)/c = a/c + b/c

Bijvoorbeeld:

• (6+4)/2 = 6/2 + 4/2 = 3+2 = 5

(a*b)/c = a/c * b of a * b/c

Bijvoorbeeld:

• (6*4)/2 = 6/2 * 4 = 3 * 4 = 12
• (6*4)/2 = 6 * 4/2 = 6 * 2 = 12
• 16x / 2 = 8x
• 16x / 2 = 16 * (x/2) = 16 * (0,5x) = 8x

Mag ik stellen dat:

(64^-1 * 3^-6)^x= (64^-x)*(3^-6x)

?

quote:

Op donderdag 22 augustus 2013 21:32 schreef DefinitionX het volgende:
Mag ik stellen dat:

(64^-1 * 3^-6)^x= (64^-x)*(3^-6x)

?

Rekenregels:

(a·b)^p = a^p·b^p

(a^p)^q = a^p·q

Dus?

quote:

Op donderdag 22 augustus 2013 23:16 schreef Riparius het volgende:

[..]

Rekenregels:

(a·b)^p = a^p·b^p

(a^p)^q = a^p·q

Dus?

Mag dus wel.

Maar wat als:

(a+b)^n

Als je dit stelt aan (a^n + b^n), hoe kun je dit dan nadien verklaren als n=2, want dan zou het eigenlijk (a^2 + 2ab + b^2) moeten zijn.

Dus dan is:

(a+b)^n

a^n + nab + b^n

Wel, als n=1, dan krijg je niet a + ab + b, maar gewoon (a+b).

Volgens mij is dan (a+b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2 een bijzondere eigenschap?

Zie binomium van Newton.

Merkwaardige producten heet het xD

quote:

Op donderdag 22 augustus 2013 23:42 schreef DefinitionX het volgende:

[..]

Mag dus wel.

Inderdaad. Je kunt ook zeggen dat (64^-1 · 3⁻⁶)^x = (2⁻⁶ · 3⁻⁶)^x = (6⁻⁶)^x = 6^−6x

quote:

Maar wat als:

(a+b)^n

Als je dit stelt aan (a^n + b^n), hoe kun je dit dan nadien verklaren als n=2, want dan zou het eigenlijk (a^2 + 2ab + b^2) moeten zijn.

Dus dan is:

(a+b)^n

a^n + nab + b^n

Wel, als n=1, dan krijg je niet a + ab + b, maar gewoon (a+b).

Volgens mij is dan (a+b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2 een bijzondere eigenschap?

Nee, hier ga je de mist in. Als je (a + b)ⁿ uitwerkt krijg je een veelterm waarvan de coëfficiënten zogeheten binomiaalcoëfficiënten zijn, bijvoorbeeld

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

En in het algemeen



met



Zie hier.

quote:

Op donderdag 22 augustus 2013 00:03 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, want de breukstreep strekt zich uit over de gehele tweeterm x − 5. De ongelijkheid die je op moet lossen in R luidt dus

(x + 2)/(x − 5) ≤ x

Je moet trouwens je x wel iets duidelijker schrijven, deze lijkt namelijk soms meer op de Griekse letter λ.

Tip: herleid eerst het rechterlid van de ongelijkheid op nul door van beide leden x af te trekken, en herleid vervolgens het linkerlid tot één breuk. Bedenk vervolgens wat je kunt zeggen over de teller en over de noemer van een breuk waarvan de waarde kleiner dan of gelijk aan nul moet zijn.

Hoe moet je het dan uitwerken?

Ik heb als oplossing:
3 +/- √ 11 ≤ x

Dit uitrekenen?

-x^2 -4x +2 / (x-5) ≤ 0

Teller moet kleiner zijn dan noemer.

[ Bericht 1% gewijzigd door wiskundenoob op 23-08-2013 00:53:36 ]

quote:

Op vrijdag 23 augustus 2013 00:38 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Hoe moet je het dan uitwerken?

Ik heb als oplossing:
3 +/- √ 11 ≤ x

Dit uitrekenen?

-x^2 -4x +2 / (x-5) ≤ 0

Je oplossing is niet correct. Maar aangezien ook WolframAlpha een fout maakt bij de herleiding zal ik je even op weg helpen. De ongelijkheid luidt

(x + 2)/(x − 5) ≤ x

Rechterlid herleiden op nul geeft

(x + 2)/(x − 5) − x ≤ 0

Nu gaan we het linkerlid herleiden tot één breuk. Aangezien x = x(x −5)/(x − 5) = (x² − 5x)/(x − 5) voor x ≠ 5 krijgen we dan

(x + 2 − x² + 5x)/(x − 5) ≤ 0

en dus

(−x² + 6x + 2)/(x − 5) ≤ 0

Nu vermenigvuldig ik beide leden nog even met −1 om het minteken bij de coëfficiënt van x² kwijt te raken. Hierbij moet je bedenken dat het ongelijkheidsteken omklapt (en dat is precies wat WolframAlpha niet goed doet). Dan krijgen we

(x² − 6x − 2)/(x − 5) ≥ 0

Nu kun je bedenken dat de breuk in het linkerlid alleen groter dan of gelijk aan nul kan zijn als (a) de teller groter dan of gelijk is aan nul en tevens de noemer positief is of als (b) de teller kleiner dan of gelijk is aan nul en tevens de noemer negatief is. Dus hebben we nu

(x² − 6x − 2 ≥ 0 ∧ x > 5) ∨ (x² − 6x − 2 ≤ 0 ∧ x < 5)

Nu mag je zelf bedenken hoe je de ongelijkheid verder op kunt lossen.

[ Bericht 20% gewijzigd door wiskundenoob op 23-08-2013 17:13:17 ]

3-√11 ≥ x ≥ 3+√11

Klopt?

[ Bericht 65% gewijzigd door wiskundenoob op 24-08-2013 12:57:14 ]

quote:

Op zaterdag 24 augustus 2013 00:50 schreef wiskundenoob het volgende:
3-√11 ≥ x ≥ 3+√11

Nee. Je antwoord is trouwens onmogelijk omdat 3−√11 < 3+√11.

quote:

Op zaterdag 24 augustus 2013 14:02 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee. Je antwoord is trouwens onmogelijk omdat 3−√11 < 3+√11.

Dit had ik eerst:
x ≥ 3+√11
x ≤ 3-√11

Klopt dit?

quote:

Op zaterdag 24 augustus 2013 14:14 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Dit had ik eerst:
x ≥ 3+√11
x ≤ 3-√11

Klopt dit?

Nee. Voor deze waarden van x geldt weliswaar dat x² − 6x − 2 ≥ 0 maar dan vergeet je helemaal dat je tegelijk ook nog aan de voorwaarde x > 5 moet voldoen. En je vergeet ook de waarden van x te bekijken waarvoor geldt x² − 6x − 2 ≤ 0 en tevens x < 5.

Dit is vast wiskundig gezien het feit dat geluid een sinusbeweging maakt (als ik mijn boek mag geloven).

1 viool speelt op 80db.
2 violen beide 80db, maken een geluid zo hard als 83db.
10 violen samen van 80db elk, maken een geluid zo hard als 90db.

Hoe kun je dit wiskundig uitdrukken? Dat je dan krijgt Functiehardheid(x)=x.l, waarin x het aantal violen is en l iets met logaritme te maken heeft. Ik zeg logaritme omdat ik dat las in een boek. Je kunt bijvoorbeeld niet zeggen dat 3 violen elk 80db samen zorgen voor een geluid van 86db.

Maar volgens mij zie ik het al:

1 viool = 80db
2 violen = 83 db
4 violen = elke unit is 2 violen, dus 1 unit is 83db en dan kun je weer gebruik maken van +3db bij dubbel zo hard, want er zijn dan 2 units. Dus 4 violen is 86db
8 violen is 89 db
10 violen is dan 90 db, hoewel, dit betekent dan dat 8 violen (89db) + 2 violen (83db) = 90db.

Is er een formule voor?

Edit:

Net wakker, niet zo helder.

In Binas gevonden, even kijken. :p

quote:

Op zondag 25 augustus 2013 11:57 schreef DefinitionX het volgende:
Dit is vast wiskundig gezien het feit dat geluid een sinusbeweging maakt (als ik mijn boek mag geloven).

1 viool speelt op 80db.
2 violen beide 80db, maken een geluid zo hard als 83db.
10 violen samen van 80db elk, maken een geluid zo hard als 90db.

Hoe kun je dit wiskundig uitdrukken?

Bij n violen heb je dan

80 + 10·¹⁰log(n)

dB.

quote:

Dit is vast wiskundig gezien het feit dat geluid een sinusbeweging maakt (als ik mijn boek mag geloven).

Dat mag je volgens mij niet zo stellen. Uit mijn hoofd een globale uitleg. Geluid is in essentie niets anders dan een verplaatsing van lucht. Het geluid wat je gehoor waarneemt is het gevolg van lokale verdichtingen en verdunningen van geluid (as loodrecht op je gehoorsingang) met een bepaalde frequentie. Deze veranderingen geven een zekere kracht op je trommelvlies waarachter botjes (met daaraan spiertjes) zitten die voor een sterke amplificatie van die drukveranderingen zorgen. Dit resulteert in een golf op het membraan van het slakkenhuis wat uiteindelijk fijne haartjes van het slakkenhuis doet bewegen. Deze bewegingen zorgen voor potentiaalveranderingen in de zenuwtjes waaraan die haartjes zijn verbonden die een signaal geven aan dat deel van onze hersenen wat ervoor zorgt dat wij geluid horen. Vandaar dat je sneller slechthorend wordt wanneer je vaak luide muziek hoort, vooral als dat voor een langere periode is (die spiertjes kunnen het geluid wat dempen door de botjes wat te verplaatsen en die geraken uiteindelijk vermoeid). De haartjes breken af bij overbelasting.

De deskundigen hebben een maat voor geluidsintensiteit moeten bedenken, het bleek dat een logaritmische schaal praktischer is dan een 'gewone' schaal. In principe hadden ze ook voor een gewone schaal kunnen kiezen. Breek daar je hoofd niet over, het is voor jou nu niet belangrijk. Als je echt wil weten waarom er voor een logaritmische schaal is gekozen dan moet je je wat in het gehoor verdiepen. Om enig inzicht te geven, wanneer de output kwadratisch toeneemt in functie van de input bij een systeem (in dit geval het gehoor) dan krijg je bij een semilogaritmische schaal een rechte lijn in plaats van een (halve) parabool.

quote:

Op zondag 25 augustus 2013 11:57 schreef DefinitionX het volgende:
Dit is vast wiskundig gezien het feit dat geluid een sinusbeweging maakt (als ik mijn boek mag geloven).

1 viool speelt op 80db.
2 violen beide 80db, maken een geluid zo hard als 83db.
10 violen samen van 80db elk, maken een geluid zo hard als 90db.

Hoe kun je dit wiskundig uitdrukken? Dat je dan krijgt Functiehardheid(x)=x.l, waarin x het aantal violen is en l iets met logaritme te maken heeft. Ik zeg logaritme omdat ik dat las in een boek. Je kunt bijvoorbeeld niet zeggen dat 3 violen elk 80db samen zorgen voor een geluid van 86db.

Maar volgens mij zie ik het al:

1 viool = 80db
2 violen = 83 db
4 violen = elke unit is 2 violen, dus 1 unit is 83db en dan kun je weer gebruik maken van +3db bij dubbel zo hard, want er zijn dan 2 units. Dus 4 violen is 86db
8 violen is 89 db
10 violen is dan 90 db, hoewel, dit betekent dan dat 8 violen (89db) + 2 violen (83db) = 90db.

Is er een formule voor?

Edit:

Net wakker, niet zo helder.

In Binas gevonden, even kijken. :p

Jij weet dat het altijd zo is dat bij een verdubbeling van de geluidsintensiteit ongeveer 3 dB erbij komt?Dat komt doordat log(2x) - log(x) = 0,301...
Je zou dus voor 2, 4, 8, 16, ... violen ook kunnen uitrekenen hoeveeldB het is door het aantal dB voor 1 viool steeds te vermenigvuldigen met 2 voor elke keer dat je 2 keer zo veel violen hebt.

Onderwerp: Complexe getallen

Mag ik stellen dat: i^3 = i x i^2 = -i

Immers i^2 = -1

quote:

Op dinsdag 27 augustus 2013 19:00 schreef DefinitionX het volgende:
Onderwerp: Complexe getallen

Mag ik stellen dat: i^3 = i x i^2 = -i

Immers i^2 = -1

Ja, dat is juist. Je kunt het ook mooi visualiseren in het complexe vlak: een vermenigvuldiging met i betekent meetkundig een rotatie om de oorsprong over een rechte hoek tegen de klok in. Het beeldpunt van −1 is (−1;0) en als we dit punt om de oorsprong roteren over een rechte hoek tegen de klok in, dan zitten we in het punt (0; −1), en dat is het beeldpunt van −i.

Hier nog een plaatje dat mooi laat zien hoe je vermenigvuldiging met i meetkundig kunt interpreteren. Na viermaal achtereen vermenigvuldigen met i, oftewel vermenigvuldiging met i⁴ = i²·i² = (−1)·(−1) = 1 ben je weer terug op het uitgangspunt:



[ Bericht 11% gewijzigd door Riparius op 27-08-2013 19:37:07 ]