[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Als je beide zijden met 3 vermenigvuldigt wordt links niet 3^(x^2 + 27x -64) maar gewoon 3^(x^2 + 27x -63).
Rechts vermenigvuldig je dan met 9^(1/2) = 3. 27 ervan maken kan idd niet.

Omdat je beide grondgetallen niet met 3 kan/moet vermenigvuldigen op die manier. Je kunt niet stellen dat 3 * 3^a = 27^a.

Denk ik dan.

@Riparius

Dank u, ik ga ernaar kijken en kom zo hopelijk met wat zinnigs.

quote:

Op dinsdag 22 oktober 2013 20:44 schreef Amoeba het volgende:
Kut, ik ben wel een partij heel scheel dat ik dat even niet zag.

En ik had gewoon al dat ET = sin(a)+cos(a)

Waarom.

Misschien omdat je een mens bent en dat je van fouten, ja werkelijk, leert. Ik heb tig fouten gemaakt met een schumann stuk op de piano, maar ik speel het nu wel redelijk.

Edit:

Besides, ik denk niet dat alle wiskunde studenten van de TU Delft een examen wiskunde b op vwo niveau met een 10 kunnen afsluiten, zelfs met voorbereiding.

quote:

Op dinsdag 22 oktober 2013 20:41 schreef ulq het volgende:
Hoi, ik heb weer een (waarschijnlijk niet al te snuggere) vraag.[ afbeelding ]
Ik snap precies wat ze hier doen bij het oplossen van deze opgave, ik had echter een andere manier in mijn gedachte.

Ik zou beide grondtallen met 3 vermenigvuldigen zodat je vervolgens 3 (links) en 27 (rechts) als grondtal krijgt. Vervolgens wordt de uitdrukking rechts 3^((3)(14x-11)) en links gewoon 3^(x^(2)+27x-64).
Je komt wanneer je dit doet echter niet goed uit. Waar ga ik de fout in?

Alvast bedankt

Rechts staat er dan 3¹*3^28x-22

Hoi fokkers,

Ik begrijp het impliciete differentiëren helaas niet. Kan iemand mij een beetje op weg helpen?

Zoals dit voorbeeld (hij laadt de afbeelding niet dus er staat alleen een link ) : ik kan er helaas geen stappenplan uit opmaken...

http://img545.imageshack.us/img545/466/v2ja.jpg (copy/paste deze link)

Waarom 4y*y' ? En waarom na 6y + 6xy' ?. Ik snap niet waarom ze deze stappen nemen...

quote:

Op woensdag 23 oktober 2013 14:15 schreef Broodje_Koe het volgende:
Hoi fokkers,

Ik begrijp het impliciete differentiëren helaas niet. Kan iemand mij een beetje op weg helpen?

Zoals dit voorbeeld (hij laadt de afbeelding niet dus er staat alleen een link ) : ik kan er helaas geen stappenplan uit opmaken...

http://img545.imageshack.us/img545/466/v2ja.jpg (copy/paste deze link)

Waarom 4y*y' ? En waarom na 6y + 6xy' ?. Ik snap niet waarom ze deze stappen nemen...

Omdat de uitdrukking niet geschreven kan worden als y = ...
Normaliter zou je toch ook gewoon bijvoorbeeld hebben y = 2x en y' = 2? Nou, nu probeer je op een ietwat andere manier een uitdrukking te vinden voor y'.
4yy' volgt gewoon uit de kettingregel, 6y + 6xy' uit de productregel

quote:

Op woensdag 23 oktober 2013 14:15 schreef Broodje_Koe het volgende:
Hoi fokkers,

Ik begrijp het impliciete differentiëren helaas niet. Kan iemand mij een beetje op weg helpen?

Zoals dit voorbeeld (hij laadt de afbeelding niet dus er staat alleen een link ) : ik kan er helaas geen stappenplan uit opmaken...

http://img545.imageshack.us/img545/466/v2ja.jpg (copy/paste deze link)

Waarschijnlijk begrijp je gezien je eerdere posts hier nog niets van differentiëren, en dan is impliciet differentiëren nog wat te hoog gegrepen. Maar afgezien daarvan zou het wel helpen als je boek of dictaat geen stomme fouten zou maken. De herleiding van y' in je plaatje is fout.

De raaklijn aan je curve in het punt (1;3) loopt namelijk verticaal (evenwijdig aan de y-as), zodat y' in dit punt onbepaald is, kijk maar.

Hoe kan ik zonder rekenmachine berekenen/weten dat:

sin 30 graden = 0.5
cos 30 graden = 0.5 wortel 3
sin 60 graden = 0.5 wortel 3
cos 60 graden = 0.5

Is het zonder rekenmachine de bedoeling om gewoon in te stampen?

quote:

Op woensdag 23 oktober 2013 15:52 schreef DefinitionX het volgende:
Hoe kan ik zonder rekenmachine berekenen/weten dat:

sin 30 graden = 0.5
cos 30 graden = 0.5 wortel 3
sin 60 graden = 0.5 wortel 3
cos 60 graden = 0.5

Is het zonder rekenmachine de bedoeling om gewoon in te stampen?

Voor cosinus:
cos 0° = ½√4 = 1
cos 30° = ½√3
cos 45° = ½√2
cos 60° = ½√1 = 0,5
cos 90° = ½√0 = 0

Voor sinus gaat het net andersom:
sin 0° = ½√0 = 0
sin 30° = ½√1 = 0,5
sin 45° = ½√2
sin 60° = ½√3
sin 90° = ½√4 = 1

Zie je het patroon?

quote:

Op woensdag 23 oktober 2013 15:52 schreef DefinitionX het volgende:
Hoe kan ik zonder rekenmachine berekenen/weten dat:

sin 30 graden = 0.5
cos 30 graden = 0.5 wortel 3
sin 60 graden = 0.5 wortel 3
cos 60 graden = 0.5

Is het zonder rekenmachine de bedoeling om gewoon in te stampen?

Eerst even een hardnekkig misverstand uit de weg ruimen: nooit stampen bij wiskunde. Sterker nog, nooit denken dat je iets moet gaan stampen. Zelfs de gedachte hieraan is al een indicatie dat je fout bezig bent.

Om in te zien hoe het zit met de sinus en de cosinus van 30° en 60° teken je het best even een gelijkzijdige driehoek, en laat je vanuit één hoekpunt een loodlijn neer op de tegenoverliggende zijde:



Nemen we aan dat de zijden van de gelijkzijdige driehoek een lengte 2 hebben, dan heeft de helft van een zijde de lengte 1, en via de stelling van Pythagoras vind je dan direct dat de hoogtelijnen in deze gelijkzijdige driehoek de lengte √3 hebben.

Nu weet je ook dat in een rechthoekige driehoek de sinus van een scherpe hoek gelijk is aan de verhouding van de overstaande rechthoekszijde tot de schuine zijde, en dat de cosinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek gelijk is aan de verhouding van de aanliggende rechthoekszijde tot de schuine zijde. Uit de figuur kun je nu dus direct aflezen dat je hebt

sin 30° = 1 / 2, cos 30° = √3 / 2

en ook

sin 60° = √3 / 2, cos 60° = 1 / 2

Een eenvoudig ezelsbruggetje om de goniometrische verhoudingen voor de 'standaardhoeken' te onthouden gaat als volgt. Schrijf eerst de 'standaardhoeken' op

0°, 30°, 45°, 60°, 90°

De sinussen van deze hoeken zijn nu

½√0, ½√1, ½√2, ½√3, ½√4

En de cosinussen van deze hoeken krijg je door hetzelfde rijtje van rechts naar links op te schrijven, dus

½√4, ½√3, ½√2, ½√1, ½√0

Lylolyc, bedankt!

Riparius, dank u. Wat betreft die verhoudingen: in een eenheidscirkel is de straal overal gelijk. Nu zie ik dat in die afbeelding een hoek van 60 met daarboven een hoek van 30 graden gevorm wordt. De straal is hier 2, maar had netzogoed 1 kunnen zijn waardoor het horizontale as 0.5 is en met het spiegelbeeld in toaal 1 zou zijn.

U zegt dat het onthouden niet goed is bij wiskunde, wel dan, waar komt logischer gewijs die 2 vandaan? Stel dat ik ipv twee 1 had genomen, dan zou ik in de eenheidscirkel de rechthoekige driehoek gaan tekenen. Als ik een liniaal pak kom ik voor de straal op 1 uit en voor de horizontale gedeelte 0,5. Met een kompas zou ik nog een mooie hoek van 60 graden kunnen maken.

Echter, geen van die instrumenten mag ik gebruiken tijdens het examen dat ik ga maken. Hoe zou je dan, zonder te onthouden, kunnen stellen dat de straal 2 is (of 1) en het horizontale deel 1 (of 0,5)?

Ik denk echter dat dat niet efficient zou zijn om te doen zonder meetinstrumenten.

Waar ik op probeer te doelen is: http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm

examen 2010b, opgave 1. Zoals te zien is kun je een aantal berekeningen uitvoeren om tot het juiste antwoord te komen. Ik had deze vraagstelling met rekenmachine kunnen oplossen, maar dat is niet de bedoeling. Nu, doordat ik de waarde van bijvoorbeeld sin30 weet, kan ik het zonder rekenmachine oplossen.

Echter, hoe zou ik blanco zonder te weten wat die waarde zijn (sin60=0.5) dit kunnen oplossen? Hetzelfde als de sinus 60 zonder rekenmachine berekenen met enkel een eenheidscirkel zonder meetinstrumenten.

Ik ratel weer (ik probeer een vraag te stellen als: waar komt het getal pi vandaan, de historie/hoe de grieken/o.i.d. het berekend hebben), laat maar. Maar ik begrijp nu wel beter waar die waarde vandaan komen en hoe ik zo'n opgave de volgende keer moet oplossen.

De opgave van gisteren is gelukt! Bedankt voor de uitleg Alrac4, Aardappeltaart en Riparius (mijn OCD forceert mij om zo'n bedank gedeelte te ordenen van vroegste datum naar laatste datum, heb ik vaak ook met andere dingen in het leven).

quote:

Op woensdag 23 oktober 2013 16:47 schreef DefinitionX het volgende:
Lylolyc, bedankt!

Riparius, dank u. Wat betreft die verhoudingen: in een eenheidscirkel is de straal overal gelijk. Nu zie ik dat in die afbeelding een hoek van 60 met daarboven een hoek van 30 graden gevormd wordt. De straal is hier 2, maar had netzogoed 1 kunnen zijn waardoor het horizontale as 0.5 is en met het spiegelbeeld in totaal 1 zou zijn.

Het is beter om bij goniometrische verhoudingen in een rechthoekige driehoek niet te denken in termen van een straal. Historisch is het zo dat men goniometrische verhoudingen eerst heeft bestudeerd aan de hand van rechthoekige driehoeken. Aangezien de lengtes van de zijden van gelijkvormige driehoeken evenredig met elkaar zijn, hangen deze verhoudingen uitsluitend af van de hoeken van de rechthoekige driehoek.

De eenheidscirkel maakt het mogelijk om het begrip sinus en cosinus uit te breiden naar willekeurige hoeken (eigenlijk: rotaties), zowel positief (tegen de wijzers van de klok in) als negatief (met de wijzers van de klok mee).

quote:

U zegt dat het onthouden niet goed is bij wiskunde, wel dan, waar komt logischer gewijs die 2 vandaan? Stel dat ik ipv twee 1 had genomen, dan zou ik in de eenheidscirkel de rechthoekige driehoek gaan tekenen. Als ik een liniaal pak kom ik voor de straal op 1 uit en voor de horizontale gedeelte 0,5. Met een kompas zou ik nog een mooie hoek van 60 graden kunnen maken.

Echter, geen van die instrumenten mag ik gebruiken tijdens het examen dat ik ga maken. Hoe zou je dan, zonder te onthouden, kunnen stellen dat de straal 2 is (of 1) en het horizontale deel 1 (of 0,5)?

Heel eenvoudig: heb je in de eenheidscirkel een driehoek getekend waarvan de hypotenusa (schuine zijde) gelijk is aan een straal van de cirkel, en dus een lengte één heeft, en heeft de basis b van je rechthoekige driehoek een lengte 1/2, en stellen we de hoogte van de rechthoekige driehoek gelijk aan h, dan geldt volgens Pythagoras

(1/2)² + h² = 1²

en dus

h² = 1² − (1/2)² = 1 − 1/4 = 3/4

en dus

h = √(3/4) = √3 / √4 = √3 / 2 = ½√3

quote:

Ik denk echter dat dat niet efficiënt zou zijn om te doen zonder meetinstrumenten.

Daar vergis je je dan in. De oude Grieken konden dit duizenden jaren geleden al uitrekenen zonder instrumenten, en jij kunt dat ook.

quote:

Waar ik op probeer te doelen is: http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm

examen 2010b, opgave 1. Zoals te zien is kun je een aantal berekeningen uitvoeren om tot het juiste antwoord te komen. Ik had deze vraagstelling met rekenmachine kunnen oplossen, maar dat is niet de bedoeling. Nu, doordat ik de waarde van bijvoorbeeld sin 30° weet, kan ik het zonder rekenmachine oplossen.

Het lijkt me de bedoeling dat je hier de sinusregel gebruikt in ΔBCD, dan vind je namelijk direct dat BC = 2√3 / √2 en dus r = √3/√2 en daarmee voor de oppervlakte van de cirkel (3/2)·π.

quote:

Echter, hoe zou ik blanco zonder te weten wat die waarde zijn dit kunnen oplossen? Hetzelfde als de sinus 60° zonder rekenmachine berekenen met enkel een eenheidscirkel zonder meetinstrumenten.

Heel eenvoudig: je maakt even uit de losse pols een schetsje van een gelijkzijdige driehoek met een hoogtelijn, en dan vind je zoals ik hierboven uitleg gemakkelijk dat sin 60° = ½√3.

quote:

Ik ratel weer (ik probeer een vraag te stellen als: waar komt het getal pi vandaan, de historie/hoe de Grieken o.i.d. het berekend hebben), laat maar. Maar ik begrijp nu wel beter waar die waarde vandaan komen en hoe ik zo'n opgave de volgende keer moet oplossen.

Dat hoop ik dan maar. Ik heb namelijk het idee dat je niet zag dat je voor deze opgave het beste de sinusregel kon gebruiken.

quote:

De opgave van gisteren is gelukt! Bedankt voor de uitleg Riparius.

Heb je de vervolgopgaven ook geprobeerd? De opgave die je uitgelegd wilde hebben heeft op zich bitter weinig met goniometrie te maken: je hoefde alleen de definities van de sinus en de cosinus als verhoudingen tussen de rechthoekszijden en de schuine zijde in een rechthoekige driehoek te kennen, en verder was het eigenlijk vlakke meetkunde, geen goniometrie.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 23-10-2013 23:22:32 ]

quote:

Op woensdag 23 oktober 2013 16:53 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Het scheelt een minteken in de noemer.
y' = (3y²-6y)/(4y - 6xy + 6x)

Substitueren we nu het punt (1; 3), dan zien we dat de noemer 0 wordt, en de teller 9. Nu gaat y' dus naar ∞, en dat correspondeert met een verticale asympoot.

Nee, geen asymptoot. De kromme in kwestie heeft wel degelijk een (verticale) raaklijn in het punt (1;3).

Dankje Amoeba en dank u Riparius! Wow, echt, wow! Dat is zo mooi om in te zien. Die uitleg over het gebruik van pythagoras bij het berekenen van h, merci!

Overigens, hier de berekeningen van de eerste vraag van de 2010 augustus examen van Belgie:

quote:

Hoek D = 180-60=120 graden

Sinus(D)/BC = Sinus(C)/2
BC=(Sinus(D)*2)/Sinus(C)

Sinus(D)= 1/2 wortel 3
Sinus(C)= 1/2 wortel 2

Bc=2wortel3/wortel2

Straal = BC/2 = wortel3/wortel2

Oppervlakte cirkel = straal in het kwadraat * pi

Straal in het kwadraat = 3/2
Oppervlakte = 3/2 pi

Het juiste antwoord is C.

Overigens heb ik van het wiskunde b examen 2013, eerste zitting, vragen 9 en 10 ook gemaakt. Ik moet zeggen, ik snapte wel wat ze wilden, maar ik wist niet welke methode ik kon gebruiken om de bewijzen te leveren. Toen heb ik de uitwerkingen ervan gezien op youtube (gemaakt door studenten wiskunde van de VU) en snapte ik hoe ze daarbij kwamen.

Overigens heb ik ook vraag 11 gemaakt en dat was eigenlijk best simpel.

Als iemand aanvulling heeft/tips/tricks om opgaves zoals 9/10 op te lossen, graag.

quote:

Op woensdag 23 oktober 2013 20:20 schreef DefinitionX het volgende:
Als iemand aanvulling heeft/tips/tricks om opgaves zoals 9/10 op te lossen, graag.

Je vraagt dus naar tips om bewijsvragen (vlakke meetkunde) op te lossen. Hier wat dingen die in me opkomen, die ik zelf ook handig vind om te doen bij dergelijke vragen:

D'r zijn een aantal stellingen van de vlakke meetkunde waarnaar je mag verwijzen, die staan op pagina 1 van je examen. Zorg dat je weet wat deze allemaal inhouden. Probeer het onderlinge verband te zien, associeer dingen met elkaar. Als je bijvoorbeeld een rechte omtrekshoek hebt, is het handig dat er een Pavlov-reactie komt dat je aan Thales denkt. De gegeven stellingen mag je zonder meer gebruiken, dingen die er niet bijstaan mag je niet gebruiken (of moet je zelf bewijzen, eerst).

Als je zo'n bewijsvraag gaat maken is het handig goed naar het plaatje te kijken en het plaatje compleet te maken. Geef bijvoorbeeld in je plaatje aan dat er twee gelijke zijdes staat als gegeven is dat de driehoek gelijkzijdig is.

Bedenk dan even wat je allemaal uit de gegevens, met die stellingen die je mag gebruiken, nog meer kan bewijzen. Probeer hiermee zover mogelijk naar het te bewijzen toe te werken. Je kan ook, als je vast loopt, van achter naar voren gaan werken. Je moet iets bewijzen, maar wanneer geldt dat? En dan kan je daar vanuit terugwerken.

Het lijkt me ook handig dat je, voordat je het daadwerkelijke bewijs netjes uit gaat werken, in je hoofd hebt zitten wat je wilt gaan doen (eventueel kort genoteerd voor jezelf). Voorkom dus dat je een half bewijs hebt opgeschreven en erachter komt dat je een verkeerd zijspoor genomen hebt en je via deze weg helemaal niet bij het te bewijzen uit kan komen.

En oja, en zoals bij alles bij wiskunde: oefenen.

quote:

Op woensdag 23 oktober 2013 20:20 schreef DefinitionX het volgende:
Dankje Amoeba en dank u Riparius! Wow, echt, wow! Dat is zo mooi om in te zien. Die uitleg over het gebruik van pythagoras bij het berekenen van h, merci!

Overigens, hier de berekeningen van de eerste vraag van de 2010 augustus examen van Belgie:

[..]

Dat is in orde zo. Merk nog op dat supplementaire hoeken dezelfde sinus hebben, zodat sin 120° = sin(180° − 120°) = sin 60° = ½√3.

quote:

Overigens heb ik van het wiskunde b examen 2013, eerste zitting, vragen 9 en 10 ook gemaakt. Ik moet zeggen, ik snapte wel wat ze wilden, maar ik wist niet welke methode ik kon gebruiken om de bewijzen te leveren. Toen heb ik de uitwerkingen ervan gezien op youtube (gemaakt door studenten wiskunde van de VU) en snapte ik hoe ze daarbij kwamen.

Vlakke meetkunde. Bij vraag 9 maak je gebruik van de stelling dat een omtrekshoek op een cirkelboog gelijk is aan de helft van de middelpuntshoek op dezelfde cirkelboog, waaruit volgt dat omtrekshoeken op dezelfde cirkelboog gelijk zijn. Dan zie je gemakkelijk dat twee van de drie hoeken van driehoek BCD gelijk zijn aan 60°, zodat de derde hoek eveneens 60° moet zijn en driehoek BCD dus inderdaad gelijkzijdig is. Bij vraag 10 maak je gebruik van congruentiekenmerken van driehoeken. Hier is CE = CA en BC = DC en verder is ABDC een koordenvierhoek, waaruit volgt dat ∠EBC = ∠ADC. Ook is ∠BCE = ∠DCA en ∠CEB = ∠CAD = 60°. Je kunt dan gebruik maken van congruentiekenmerk ZHZ of HZH of ZHH.

quote:

Overigens heb ik ook vraag 11 gemaakt en dat was eigenlijk best simpel.

Als iemand aanvulling heeft/tips/tricks om opgaves zoals 9/10 op te lossen, graag.

Vlakke meetkunde is geen trucendoos, je moet gewoon je stellingen kennen en strict deductief redeneren.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 23-10-2013 23:11:25 ]

Derde Eureka, over de ideale partner.
Weer een interessante. Misschien wat simpel voor velen in dit topic, maar erg boeiend gebracht.
Onder andere: het secateresseprobleem (37 proberen, eerstvolgende betere nemen voor groep van 100. 12 proberen en weer eerstvolgende nemen voor partner bij beste 10%); nonsense over de Gulden Snede (verhouding is in ieder gezicht wel ergens te vinden); benadrukken van je 'lelijkere' kan (gemiddelde kan bestaan uit 1 en 5 en uit twee drieën).
Meer die 't gezien hebben hier? Ik tip 'm hierbij. Volgende week over hoe je een miljoen wint!

http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm

Examen 2011b, vraag 8 versie 2

A=2
b= negatief 0.5 pi
c = 1.5

Ik had dus antwoord A.

Echter zij zeggen dat het antwoord D moet zijn. Kan iemand dat aub uitleggen?

er staat c sin(ax +b), niet c sin(a(x+b)).

quote:

Op vrijdag 25 oktober 2013 12:18 schreef DefinitionX het volgende:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm

Examen 2011b, vraag 8 versie 2

A=2
b= negatief 0.5 pi
c = 1.5

Ik had dus antwoord A.

Echter zij zeggen dat het antwoord D moet zijn. Kan iemand dat aub uitleggen?

Je begint even te kijken naar de amplitude. Uit de grafiek lees je af dat de functie alleen waarden aanneemt op het interval [−3/2, 3/2], zodat | c | = 3/2 moet zijn, en dus c = 3/2 óf c = −3/2. Nu vallen antwoorden <B> en <C> af, en houden we dus nog <A> en <D> over, en dus weten we nu dat c = 3/2 moet zijn. Kijken we naar de resterende antwoorden <A> en <D>, dan kunnen we ook concluderen dat a = 2 moet zijn. Dat klopt ook met de grafiek, want hieruit kun je aflezen dat de functie een periode π heeft. Maar nu moeten we nog de waarde van b bepalen.

Welnu, we zien dat de functie voor x = ¾π de waarde 3/2 aanneemt, zodat

sin(2·¾π + b) = 1

en dus

(3/2)·π + b = (1/2)·π + 2kπ, k ∈ Z

en dus

b = −π + 2kπ, k ∈ Z

Er is geen geheel getal k dat de waarde b = −½π op kan leveren, maar voor k = 0 hebben we wel b = −π. Ergo, <D> is het enige juiste antwoord.

quote:

Op vrijdag 25 oktober 2013 12:52 schreef Amoeba het volgende:
Voor versie 2 geldt:"

c = 3/2 (zelfde redenatie als hierboven)
b = -π/2, want de sinus is π/2 naar rechts verschoven.

En volgens eenzelfde redenatie als hierboven geldt a = 2

En dit inderdaad in het geval:

Ik ging ook uit van deze redenatie voor vraag 8 versie 2.

quote:

Op vrijdag 25 oktober 2013 13:03 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je begint even te kijken naar de amplitude. Uit de grafiek lees je af dat de functie alleen waarden aanneemt op het interval [−3/2, 3/2], zodat | c | = 3/2 moet zijn, en dus c = 3/2 óf c = −3/2. Nu vallen antwoorden <B> en <C> af, en houden we dus nog <A> en <D> over, en dus weten we nu dat c = 3/2 moet zijn. Kijken we naar de resterende antwoorden <A> en <D>, dan kunnen we ook concluderen dat a = 2 moet zijn. Dat klopt ook met de grafiek, want hieruit kun je aflezen dat de functie een periode π heeft. Maar nu moeten we nog de waarde van b bepalen.

Welnu, we zien dat de functie voor x = ¾π de waarde 3/2 aanneemt, zodat

sin(2·¾π + b) = 1

Waar komt die 1 vandaan? Als c=1.5 en je haalt de c weg uit de linkerkant door te delen met c krijg je aan de rechterkant geen 1.

quote:

en dus

(3/2)·π + b = (1/2)·π + 2kπ, k ∈ Z

Wat je hier aan de linkerkant doet volg ik nog, maar niet aan de rechterkant.

quote:

en dus

b = −π + 2kπ, k ∈ Z

quote:

Er is geen geheel getal k dat de waarde b = −½π op kan leveren, maar voor k = 0 hebben we wel b = −π. Ergo, <D> is het enige juiste antwoord.

Hoe kan dit dan? op de grafiek zie je duidelijk dat het met 0.5pi naar rechts is verschoven.

Ik snap hem al, maar enkel via de algebra.

http://www.kaveurne.be/wiskunde/IGwiskunde2011bopl.pdf

http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm

2011 a vraag 3.

http://www.kaveurne.be/wiskunde/IGwiskunde2011opl.pdf

Ik heb een vraag over de notitie die de oplosser maakt.

Hij zegt namelijk 'delers van 6'. Hij gebruikt bij het oplossen de regel van Horner. Ik denk dat hij elke deler invult om te kijken welke de vergelijking als waarde 0 laat uitkomen. Zit hier een bepaald idee achter dat hij de delers van 6 gebruikt? Ik zoek de logica hierachter.

quote:

Op vrijdag 25 oktober 2013 13:26 schreef DefinitionX het volgende:

Waar komt die 1 vandaan? Als c=1.5 en je haalt de c weg uit de linkerkant door te delen met c krijg je aan de rechterkant geen 1.

[..]

Toch wel. Je hebt namelijk

(3/2)·sin(2·¾π + b) = 3/2

en beide leden delen door 3/2 geeft dan

sin(2·¾π + b) = 1

De sinusfunctie neemt alleen waarden aan op het interval [−1, 1]. Maar nu hebben we bij de gegeven functie f(¾π) = 3/2, en omdat we al weten dat c = 3/2 en a = 2 moet dus sin(2·¾π + b) = 1 zijn.

quote:

Wat je hier aan de linkerkant doet volg ik nog, maar niet aan de rechterkant.

Dat zou je toch moeten begrijpen. De sinus is een periodieke functie met een periode 2π, zodat niet alleen sin(½π) = 1, maar in het algemeen sin(½π + 2kπ) = 1 voor élk geheel getal k.

quote:

Hoe kan dit dan? op de grafiek zie je duidelijk dat het met 0.5pi naar rechts is verschoven.

Denk liever niet in termen van verschuivingen. Ik weet dat dat zo geleerd wordt, maar mijn ervaring is dat de meeste studenten daar meer van in verwarring raken dan dat het wat verheldert. Bovendien gaan dergelijke aangeleerde trucjes vaak fout als je bijvoorbeeld een negatieve waarde van c zou hebben gehad.

[ Bericht 100% gewijzigd door wiskundenoob op 25-10-2013 13:57:50 ]

quote:

Op vrijdag 25 oktober 2013 13:38 schreef DefinitionX het volgende:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm

2011 a vraag 3.

http://www.kaveurne.be/wiskunde/IGwiskunde2011opl.pdf

Ik heb een vraag over de notitie die de oplosser maakt.

Hij zegt namelijk 'delers van 6'. Hij gebruikt bij het oplossen de regel van Horner. Ik denk dat hij elke deler invult om te kijken welke de vergelijking als waarde 0 laat uitkomen. Zit hier een bepaald idee achter dat hij de delers van 6 gebruikt? Ik zoek de logica hierachter.

Hier wordt gebruik gemaakt van het rational root theorem, waar ik je trouwens al eerder op heb gewezen, maar dat ben je blijkbaar al weer vergeten.

Volgens deze stelling moeten eventuele rationale nulpunten van deze veelterm tevens geheel zijn, aangezien de coëfficiënt van de hoogste macht x⁴ van de veelterm gelijk is aan 1. Bovendien moeten deze gehele nulpunten dan, afgezien van het teken, delers zijn van de constante term 6. Maar als je nu even goed kijkt, dan zie je ook dat deze veelterm geen negatieve (reële) nulpunten kan hebben, aangezien x⁴ − 3x³ + x² − 5x + 6 > 0 voor x < 0. Dus houden we alleen 1, 2, 3 en 6 over als mogelijke kandidaten voor gehele nulpunten van deze veelterm. Door uitproberen vind je dan gemakkelijk dat x = 1 en x = 3 voldoen, zodat x⁴ − 3x³ + x² − 5x + 6 dus een factor (x − 1)(x − 3) = x² − 4x + 3 bevat.

Goed, nu gaan we deze factor x² − 4x + 3 buiten haakjes halen:

x⁴ − 3x³ + x² − 5x + 6
x²(x² − 4x + 3) + x³ − 2x² − 5x + 6
x²(x² − 4x + 3) + x(x² − 4x + 3) + 2x² − 8x + 6
x²(x² − 4x + 3) + x(x² − 4x + 3) + 2(x² − 4x + 3)
(x² − 4x + 3)(x² + x + 2)

Welnu, de discriminant van de kwadratische veelterm x² + x + 2 is negatief, en dus heeft deze vierdegraads veelterm geen andere reële nulpunten dan x = 1 en x = 3. Het aantal reële nulpunten van de vierdegraads veelterm is dus 2.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 27-10-2013 13:29:02 ]

quote:

Op vrijdag 25 oktober 2013 13:39 schreef Riparius het volgende:
Denk liever niet in termen van verschuivingen. Ik weet dat dat zo geleerd wordt, maar mijn ervaring is dat de meeste studenten daar meer van in verwarring raken dan dat het wat verheldert. Bovendien gaan dergelijke aangeleerde trucjes vaak fout als je bijvoorbeeld een negatieve waarde van c zou hebben gehad.

Dat gaat vooral fout omdat het niet consequent in 1 keer in zn geheel goed aangeleerd wordt, maar zo halfbakken. Neem bijv. de sinusfuncties: Het algemene geval wordt beschreven door f(x)=a+b*sin(c(x+d)). Hierin is:

a = de verschuiving langs de y-as.
d = de verschuiving langs de x-as. LET OP!!: De eigenlijke verschuiving is het tegengestelde van de waarde d, oftewel, exact de andere kant van de x-as op.
b = de expansiefactor in de y-richting a.k.a. de verticale richting.
c = de, let op nu, compressiefactor in de x-richting a.k.a. de horizontale richting. Net als de parameter d in dezen is het effect op de grafiek exact het tegenovergestelde van de waarde b (compressie ipv van expansie met factor c).

Ja die dubbele haken zijn belangrijk!! Vergelijk de translatie van sin(x+½π) tov sin(x) vergeleken met sin(2x+½π) tov sin(2x). De eerste twee zijn verschoven van elkaar met translatie T:(-½π,0,0), de laatste twee met translatie T:(-¼π,0,0). Dit omdat het argument (2x+½π) te schrijven valt als (2(x+¼π)). Een andere manier van redeneren is; wanneer is sin(x+½π) = 0 en wanneer is sin(2x+½π) = 0 ? Het antwoord voor beide is: wanneer het argument 0 is. Dit levert op:

sin(x+½π) = 0
x+½π = 0
x = -½π

vergelijk: sin(2x+½π) = 0
2x+½π = 0
2x = -½π
x = -¼π.

want, sin(2x+½π) ≡ sin(2(x+¼π))

De andere elementaire functieklassen zijn op dezelfde als in paraaf 2 van mn reply beschreven wijze te manipuleren. Vervang hiertoe de sinus in f(x)=a+b*sin(c(x+d)) voor een andere functietype (2de, 3de enz, graads machtsfunctie, (n-de machts) wortelfunctie, cyclometrisch, log, exp...)

[ Bericht 0% gewijzigd door VanishedEntity op 25-10-2013 16:50:58 ]

quote:

Op vrijdag 25 oktober 2013 19:39 schreef ulq het volgende:
Heeft één van jullie (dan richt ik me vooral op de vraagbeantwoorders hier) hier wel eens naar gekeken? --> http://nl.wikipedia.org/wiki/Millenniumprijsprobleem

Besef dat die vragen uiterst complex zijn, e.g. field medal level (zowat de hoogste prijs die een wiskundige kan ontvangen, dit komt denk ik boven de nobelprijs voor de wiskunde(?)). Je kan volgens mij met 1 van de problemen maanden/jaren/decennia bezig zijn om te bewijzen.

Naar mijn mening mag er best 9 miljoen dollar extra bij per het oplossen van een van die vraagstukken. Ruimtereis/interstellaire reis/vliegende auto's the jetson's style, zijn allen mogelijk door beta mensen. Dan heb ik het met name over mensen die geboren zijn met de liefde voor beta en dit verwezenlijken door er dagelijks mee bezig te zijn.

Ik bedoel, kijk naar Einstein. Niemand zal hem ooit vergeten.

quote:

Op vrijdag 25 oktober 2013 20:01 schreef DefinitionX het volgende:

[..]

Besef dat die vragen uiterst complex zijn, e.g. field medal level (zowat de hoogste prijs die een wiskundige kan ontvangen, dit komt denk ik boven de nobelprijs voor de wiskunde(?)). Je kan volgens mij met 1 van de problemen maanden/jaren/decennia bezig zijn om te bewijzen.

Korte reactie om je (?) te beantwoorden, de Nobelprijs voor de wiskunde bestaat niet.
Ik heb een keer een documentaire gezien over de laatste stelling van Fermat, wat een denkstappen zitten achter dergelijke stellingen zeg... Hij deed zo'n 7 jaar over het bewijs.

EDIT: Zeer kort filmpje gevonden over 'nobelprijs voor de wiskunde'. De nobelprijs voor de economie, natuurkunde en zelfs literatuur ging een paar keer naar een wiskundige.

quote:

Op vrijdag 25 oktober 2013 20:01 schreef DefinitionX het volgende:
Besef dat die vragen uiterst complex zijn, e.g. field medal level (zowat de hoogste prijs die een wiskundige kan ontvangen, dit komt denk ik boven de nobelprijs voor de wiskunde(?)). Je kan volgens mij met 1 van de problemen maanden/jaren/decennia bezig zijn om te bewijzen.

De Fields Medal is, net als de Abel Prize, een prijs die als een de facto Nobelprijs voor de Wiskunde wordt beschouwd. Een officiële Nobelprijs voor de Wiskunde bestaat namelijk niet .

quote:

Naar mijn mening mag er best 9 miljoen dollar extra bij per het oplossen van een van die vraagstukken. Ruimtereis/interstellaire reis/vliegende auto's the jetson's style, zijn allen mogelijk door beta mensen. Dan heb ik het met name over mensen die geboren zijn met de liefde voor beta en dit verwezenlijken door er dagelijks mee bezig te zijn.

Ik bedoel, kijk naar Einstein. Niemand zal hem ooit vergeten.

Ik vind het alleen wel onterecht dat Einstein boven alle andere grootheden uit de fysica op een voetstuk geplaatst en verafgood wordt, met als claim dat hij zn tijdgenoten vooruit was met zn onnavolgbaar inzicht. Dat is simpelweg niet waar. Einstein heeft voor het ontwikkelen van zn Relativiteitstheorie de 4 klassieke Electromagnetische vergelijkingen van Maxwell gepakt en er met de voorwaarde van éénzelfde constante eindige lichtsnelheid (wat volgde uit experimenten die o.a. Tijdsdilatatie en Lorentzcontractie aantoonden) in alle referentiekaders aan zitten rekenen, om uiteindelijk op de Speciale RelativiteitsTheorie uit te komen. Voor het ontwikkelen van de algemene variant heeft Einstein net zolang gewacht totdat Tensor Algebra in voldoende mate ontwikkeld was. Een Dirac, Pauli, Heisenberg, enz had dit ook kunnen doen als 1 van hen zich hierop gestort had.

Dat gezegd hebbende: de RT ontwikkelen is, op zn engels gezegd, "a feat in and of its own already" .

http://nl.wikipedia.org/wiki/Diederik_Samsom

Had nooit een beta achter hem gezocht eerlijk gezegd.

Aardappeltaart, interessante video (het feit dat er wiskundige zijn die met een nobelprijs voor de literatuur/fysica weg zijn gekomen verbaast me eigenlijk niet).

VanishedEntity, hmmm, ik weet het niet hoor.

[ Bericht 27% gewijzigd door DefinitionX op 25-10-2013 21:03:46 ]

quote:

Op vrijdag 25 oktober 2013 19:39 schreef ulq het volgende:
Heeft één van jullie (dan richt ik me vooral op de vraagbeantwoorders hier) hier wel eens naar gekeken? --> http://nl.wikipedia.org/wiki/Millenniumprijsprobleem

Die problemen zijn echt gruwelijk moeilijk. De Laatste Stelling van Fermat is een peuleschilletje vergeleken met de meeste problemen uit die lijst. Maar goed, het Poincarévermoeden is inmiddels getackeld, dus we kunnen gaan gokken welk probleem het volgende gaat worden. Ik zet zelf in op het Hodgevermoeden.

quote:

Op vrijdag 25 oktober 2013 20:40 schreef VanishedEntity het volgende:

[..]

De Fields Medal is, net als de Abel Prize, een prijs die als een de facto Nobelprijs voor de Wiskunde wordt beschouwd.

Ze moesten Wiles een eervolle vermelding geven omdat hij te oud was om de prijs te mogen ontvangen.
Jammer dat ze die leeftijdsgrens nog steeds niet willen afschaffen.

quote:

Ik vind het alleen wel onterecht dat Einstein boven alle andere grootheden uit de fysica op een voetstuk geplaatst en verafgood wordt, met als claim dat hij zn tijdgenoten vooruit was met zn onnavolgbaar inzicht. Dat is simpelweg niet waar. Einstein heeft voor het ontwikkelen van zn Relativiteitstheorie de 4 klassieke Electromagnetische vergelijkingen van Maxwell gepakt en er met de voorwaarde van éénzelfde constante eindige lichtsnelheid (wat volgde uit experimenten die o.a. Tijdsdilatatie en Lorentzcontractie aantoonden) in alle referentiekaders aan zitten rekenen, om uiteindelijk op de Speciale RelativiteitsTheorie uit te komen. Voor het ontwikkelen van de algemene variant heeft Einstein net zolang gewacht totdat Tensor Algebra in voldoende mate ontwikkeld was. Een Dirac, Pauli, Heisenberg, enz had dit ook kunnen doen als 1 van hen zich hierop gestort had.

Dat gezegd hebbende: de RT ontwikkelen is, op zn engels gezegd, "a feat in and of its own already" .

Het geheim van een goede kok is dat hij goed de verschillende ingrediënten en combinaties van ingrediënten die al bestaan combineert. Geld hetzelfde niet voor de goede wetenschapper? Hoe kan je creëren zonder te combineren wat er al bestaat? Geld voor al die andere helden zoals onze eigen Lorentz en Maxwell niet eveneens dat zij hun succes weer te danken hebben aan wat anderen al hadden ontwikkeld?
Maar goed, misschien is dat ook wel jouw punt, geen enkele wetenschapper moet op een voetstuk worden gezet aangezien de toppers elkaar nodig hebben voor hun succes.

Weer even naar sticky

quote:

Op zaterdag 26 oktober 2013 11:22 schreef ulq het volgende:

[..]

Wat houdt het oplossen van die problemen dan ongeveer in? Is het een soort hele moeilijke som/opgave die echt 'opgelost' moet worden of is het meer iets zoals ''bewijs dat 1+1=2''?

Het gaat volgens mij vaak inderdaad om bewijzen dat een bepaalde stelling altijd geldt.

quote:

Op zaterdag 26 oktober 2013 11:22 schreef ulq het volgende:

[..]

Wat houdt het oplossen van die problemen dan ongeveer in? Is het een soort hele moeilijke som/opgave die echt 'opgelost' moet worden of is het meer iets zoals ''bewijs dat 1+1=2''?

Waarom ben je zo geïnteresseerd in die Millennium Prize Problems? Het gaat in ieder geval niet om 'sommetjes'. Lees je anders eens in, alleen het begrijpen van de vraagstellingen is al een hele studie. Het Clay Institute is in ieder geval wel zo verstandig geweest om allerlei regels op te stellen waaraan voorgestelde oplossingen moeten voldoen, zoals publicatie in een internationaal erkend peer reviewed tijdschrift, en acceptatie van de voorgestelde oplossing door de wiskundige gemeenschap twee jaar na publicatie. Het Clay Institute accepteert zelf geen inzendingen van would be oplossers, maar het zou me niets verbazen als ze desondanks overstroomd worden door waardeloze papers van amateurwiskundigen en cranks, net zoals dat gebeurde nadat Paul Wolfskehl bij zijn dood in 1906 een bedrag van 100.000 Goldmark had nagelaten aan de academie van wetenschappen in Göttingen als prijs voor een bewijs van de laatste (grote) stelling van Fermat.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 27-10-2013 18:51:44 ]

quote:

Op vrijdag 25 oktober 2013 13:38 schreef DefinitionX het volgende:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm

2011 a vraag 3.

http://www.kaveurne.be/wiskunde/IGwiskunde2011opl.pdf

Ik heb een vraag over de notitie die de oplosser maakt.

Hij zegt namelijk 'delers van 6'. Hij gebruikt bij het oplossen de regel van Horner. Ik denk dat hij elke deler invult om te kijken welke de vergelijking als waarde 0 laat uitkomen. Zit hier een bepaald idee achter dat hij de delers van 6 gebruikt? Ik zoek de logica hierachter.

Hoewel ik hierboven al een uitwerking van dit vraagstuk heb gepost, kom ik hier graag nog even op terug nu ik eens wat meer uitwerkingen heb bekeken van de persoon die ik nu maar even de oplosser van Veurne zal noemen. Heel wat vragen van het Vlaamse toelatingsexamen wiskunde testen op inzicht, hetgeen betekent dat ze zonder noemenswaardig rekenwerk en veelal uit het blote hoofd zijn op te lossen. Maar in de uitwerkingen van de oplosser van Veurne blijkt daar niet veel van, hij of zij doet vaak veel te veel werk. Ik denk dat je je daarom niet te veel vast moet klampen aan deze uitwerkingen.

Ook bovenstaande opgave over het aantal reële nulpunten van de veelterm x⁴ − 3x³ + x² − 5x + 6 blijkt veel eenvoudiger dan de oplosser van Veurne het doet voorkomen. Noem de nulpunten x₁ t/m x₄. Nadat je door uitproberen hebt gevonden dat x₁ = 1 en x₂ = 3 is het eenvoudig om som en product van de twee resterende nulpunten x₃ en x₄ te bepalen. Immers, de som van alle vier de nulpunten moet 3 zijn, zodat

x₃ + x₄ = 3 − (1 + 3) = −1

Verder moet het product van alle vier de nulpunten 6 zijn, zodat

x₃x₄ = 6/(1·3) = 2

Nu is dus

(x₃ − x₄)² = (x₃ + x₄)² − 4x₃x₄ = (−1)² − 4·2 = 1 − 8 = −7

en dat betekent dat x₃ en x₄ niet reëel zijn (ze zijn toegevoegd complex). Ergo, de veelterm heeft 2 reële nulpunten.

Ander leuk voorbeeld (hier, vraag 3):

We beschouwen de volgende veelterm:

x⁴ − x³ − 4x² + 5x − 5

Deze veelterm is deelbaar door x² − x + 1

Bereken de som van de reële nulpunten van deze veelterm?

De gegeven keuzemogelijkheden zijn

<A> 10

<B> 6

<C> 0

<D> −6

De oplosser van Veurne slaat nu weer driftig aan het rekenen en gaat een polynoomstaartdeling uitvoeren (hier). Maar al dit werk is overbodig: de discriminant van de kwadratische veelterm x² − x + 1 is negatief en deze veelterm heeft dus geen reële nulpunten, maar wel twee toegevoegd complexe nulpunten waarvan de som gelijk is aan 1. En omdat de som van alle vier de nulpunten van het vierdegraadspolynoom ook gelijk is aan 1, is de som van de reële nulpunten van dit polynoom 1 − 1 = 0. Het antwoord is dus <C>.

Nog een voorbeeld (hier, vraag 3):

Gegeven is de volgende rationale functie: y = (x² + x + 1)/(x + 2)
Welke uitspraak is verkeerd?

<A> Deze functie heeft geen nulwaarden en één verticale asymptoot.

<B> Deze functie heeft één buigpunt en een verticale asymptoot.

<C> Deze functie heeft één verticale asymptoot en één schuine asymptoot.

<D> Deze functie heeft geen buigpunt en een schuine asymptoot.

De oplosser van Veurne slaat nu weer direct flink aan het rekenen en gaat niet alleen asymptoten maar ook zowel de eerste als de tweede afgeleide bepalen (hier). Maar al dit werk is overbodig: we hebben (x + 2)y = (x² + x + 1) en dus een tweedegraads kromme. Dat is een (al dan niet ontaarde) kegelsnede, en kegelsneden hebben geen buigpunten. Ergo, uitspraak <B> is onjuist, en aangezien slechts één van de vier uitspraken onjuist is, is <B> het antwoord op de vraag.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 27-10-2013 17:38:29 ]