Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!
Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).
Links:
• http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
• http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
• http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
• http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
• http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...
OP
Handig:
Riparius heeft ooit een PDF geschreven over goniometrische identiteiten. Deze kun je hier downloaden:
www.mediafire.com/view/?2b214qltc7m3v0d
Open eens gewoon een nieuw topic. 
Jij bent ook aan het prutsen nietwaar?quote:Op dinsdag 10 september 2013 16:23 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
Ja en dan wil je dus 1 van de x'en weg hebben.
-edit- ho -32 moet wel 3-2 zijn.
-edit-
Zie je het nu?
Of misschien dat je gelijk in het begin al door 3x kon delen?
Valt toch wel mee?quote:Op dinsdag 10 september 2013 17:01 schreef Amoeba het volgende:
Ik heb minstens één minuut naar het topic gezocht tot ik zag in de MyAT dat Riparius de laatste post had, toen wist ik wel weer hoe laat het was. [ afbeelding ] Open eens gewoon een nieuw topic. [ afbeelding ]
[..]
Jij bent ook aan het prutsen nietwaar?
Die edit was omdat ik niet had gezien dat hij opschreef dat 3^(x-2)=3^x - 3^2.
Omschrijven was natuurlijk niet nodig maar misschien dat hij dan zag dat hij alles kon delen door 3^x.
Je kunt niet delen door 3x.quote:
[..]
Valt toch wel mee?
Die edit was omdat ik niet had gezien dat hij opschreef dat 3^(x-2)=3^x - 3^2.
Omschrijven was natuurlijk niet nodig maar misschien dat hij dan zag dat hij alles kon delen door 3^x.
3^x-2 = 3^x *3^-2 = 3
3^x * 1/9 = 3
3^x = 3 * 9
3^x = 27
x = 3
Tuurlijk kan dat wel.quote:
[ Bericht 0% gewijzigd door t4rt4rus op 10-09-2013 18:50:08 ]
En je vindt dit handig? Je hebt natuurlijk wel gelijk, maar ik vond Riparius zijn aanpak effectiever. Althans, zo had ik het ook opgelost.quote:
Overigens dacht ik dat je bedoelde dat je aan beide zijden door een factor 3x kon delen omdat ze die gemeenschappelijk hadden.
Oh die had ik nog niet gezien.quote:
[..]
En je vindt dit handig? Je hebt natuurlijk wel gelijk, maar ik vond Riparius zijn aanpak effectiever. Althans, zo had ik het ook opgelost.
Maar die doet precies hetzelfde...
Hoe los je dit op 3^x = 26?quote:
Nee dat is niet waar. Hij haalt een factor 3x-2 buiten haakjes om vervolgens 24 door 8 te delen en het probleem te vereenvoudigen tot x-2 = 1 en dus x = 3.quote:
[..]
Oh die had ik nog niet gezien.
Maar die doet precies hetzelfde...
log nemenquote:Op dinsdag 10 september 2013 17:40 schreef wiskundenoob het volgende:
[..]
Hoe los je dit op 3^x = 26?
Hoe kom je tot x-2 = 1?quote:
[..]
Nee dat is niet waar. Hij haalt een factor 3x-2 buiten haakjes om vervolgens 24 door 8 te delen en het probleem te vereenvoudigen tot x-2 = 1 en dus x = 3.
24/8 = 3quote:
3 = 31 = 3x-2
Ergo 1 = x- 2 dus x = 3
Grappig dat zo'n elementaire opgave zoveel reacties losmaakt, en dan deels ook nog onjuiste. Ik herinner me dat dat jaren geleden ook al zo was, maar kan de oude posts van destijds helaas even niet vinden.quote:
Het gaat zo:
3x−2(32 − 1) = 24
3x−2·8 = 24
3x−2 = 3
x − 2 = 1
x = 3
Hoe ga je van derde regel naar vierde regel?quote:
[..]
Grappig dat zo'n elementaire opgave zoveel reacties losmaakt, en dan deels ook nog onjuiste. Ik herinner me dat dat jaren geleden ook al zo was, maar kan de oude posts van destijds helaas even niet vinden.
Het gaat zo:
3x−2(32 − 1) = 24
3x−2·8 = 24
3x−2 = 3
x − 2 = 1
x = 3
Ik maak hier gebruik van de regel dat als twee machten van hetzelfde grondtal aan elkaar gelijk zijn, dat dan de exponenten van die machten aan elkaar gelijk moeten zijn.quote:
[..]
Hoe ga je van derde regel naar vierde regel?
Dus, als we hebben
3p = 3q
dan moet gelden
p = q
Hier hebben we nu
3x−2 = 3
Nu heb je weliswaar rechts (nog) geen macht, maar we weten ook dat de eerste macht van een getal gelijk is aan dat getal zelf. Hier is dus 3 = 31, zodat we kunnen schrijven
3x−2 = 31
En kijk, nu hebben we wel twee machten van 3 die aan elkaar gelijk moeten zijn, en kunnen we dus concluderen dat de exponenten ook gelijk moeten zijn, dus
x − 2 = 1
Zie je het nu?
Ik probeer K vrij te maken, maar kom niet op het juiste antwoord (2252/3), en zie niet waar ik de foute stap heb gemaakt. In mijn boek staat hier verder geen uitleg over, vandaar hier.
SPOILER3K-1/2L1/3=1/5
K-1/2L1/3=1/15
K-1/2=1/15L1/3
K=(1/151/3)-2
K=1-2/152L2/3
K=1/225L2/3
[ Bericht 0% gewijzigd door jordyqwerty op 10-09-2013 19:26:34 ]
Je gaat de fout in bij het bepalen van de macht −2 van je quotiënt in het rechterlid en je verdonkeremaant ook nog eens de L.quote:
3K-1/2L1/3=1/5
Ik probeer K vrij te maken, maar kom niet op het juiste antwoord (2252/3), en zie niet waar ik de foute stap heb gemaakt. In mijn boek staat hier verder geen uitleg over, vandaar hier.SPOILER3K-1/2L1/3=1/5
K-1/2L1/3=1/15
K-1/2=1/15L1/3
K=(1/151/3)-2
K=1-2/152L2/3
K=1/2252/3
Tip: werk hier gewoon consequent met negatieve exponenten in plaats van met een mix van negatieve exponenten en breuken.
Wat ben je nou met L aan het doen?quote:
3K-1/2L1/3=1/5
Ik probeer K vrij te maken, maar kom niet op het juiste antwoord (2252/3), en zie niet waar ik de foute stap heb gemaakt. In mijn boek staat hier verder geen uitleg over, vandaar hier.SPOILER3K-1/2L1/3=1/5
K-1/2L1/3=1/15
K-1/2=1/15L1/3
K=(1/151/3)-2
K=1-2/152L2/3
K=1/2252/3
-edit-
En als je er nog niet uit bent:
1/15^-2 = 15^2
[ Bericht 3% gewijzigd door t4rt4rus op 10-09-2013 18:53:48 ]
Het verdonkeremanen is een spijtige typefout. Ik dacht dat als ik -1/2 van links naar rechts wil halen, ik daar het 'omgekeerde' -2 moet doen, maar dit is fout begrijp ik? Ik ben nog niet zo sterk in het vrijmaken van variabelen in sommen met fractionele machten helaas.quote:
[..]
Je gaat de fout in bij het bepalen van de macht −2 van je quotiënt in het rechterlid en je verdonkeremaant ook nog eens de L.
Tip: werk hier gewoon consequent met negatieve exponenten in plaats van met een mix van negatieve exponenten en breuken.
Ik snap dat 1/15^-2 = 15^2, maar 1/15^-2 gaat hier toch niet op omdat -2 positief wordt?quote:
[..]
Wat ben je nou met L aan het doen?
-edit-
En als je er nog niet uit bent:
1/15^-2 = 15^2
Dit is elementaire algebra, had je in de onderbouw van het midelbaar onderwijs moeten leren.quote:
[..]
Het verdonkeremanen is een spijtige typefout. Ik dacht dat als ik -1/2 van links naar rechts wil halen, ik daar het 'omgekeerde' -2 moet doen, maar dit is fout begrijp ik? Ik ben nog niet zo sterk in het vrijmaken van variabelen in sommen met fractionele machten helaas.
Doe het zo:
3K−1/2L1/3 = 1/5
K−1/2L1/3 = 1/15
K−1/2L1/3 = 15−1
K−1/2 = 15−1·L−1/3
(K−1/2)−2 = (15−1·L−1/3)−2
K = (15−1)−2·(L−1/3)−2
K = 225·L2/3
Een ingeschreven driehoek. Maar meestal bekijkt men dit omgekeerd en spreekt men van de omgeschreven cirkel van een driehoek. Merk op dat je oneindig veel driehoeken hebt waarvan de hoekpunten op een gegeven cirkel liggen, maar dat een gegeven driehoek precies één omgeschreven cirkel heeft.quote:
Hoe heet een driehoek in een cirkel?
Ik kan er niets over vinden. Een driehoek waarvan alle zijden even lang zijn en alle driehoekpunten de omtrek van de cirkel raken.quote:
[..]
Een ingeschreven driehoek. Maar meestal bekijkt men dit omgekeerd en spreekt men van de omgeschreven cirkel van een driehoek. Merk op dat je oneindig veel driehoeken hebt waarvan de hoekpunten op een gegeven cirkel liggen, maar dat een gegeven driehoek precies één omgeschreven cirkel heeft.
[ Bericht 0% gewijzigd door wiskundenoob op 11-09-2013 00:45:23 ]
Dat is dan een gelijkzijdige driehoek ingeschreven in een cirkel. Elk goed boek over vlakke meetkunde kan je vertrouwd maken met dergelijke terminologie. Neem eens een kijkje op de site van het Nederlands schoolmuseum.quote:
[..]
Ik kan er niets over vinden. Een driehoek waarvan alle zijden even lang zijn en alle driehoekpunten de omtrek van de cirkel raakt.
Kan je dat zelf niet?quote:
Een simpele. Maar waarom = (x-p)^2 = x^2-2px+p^2 en niet x^2-p^2 ik snap dat de tweede vergelijking niet klopt maar snap niet hoe je algrabaish bij de x^2-2px+p^2 terecht komt. Kan iemand het uitschrijven?
laat eens zien wat je doet.
Dat is één van de merkwaardige producten die je dient te kennen.quote:
Een simpele. Waarom is (x-p)^2 = x^2 - 2px + p^2 en niet x^2 - p^2 ? Ik snap dat de tweede vergelijking niet klopt maar snap niet hoe je algebraïsch bij x^2 - 2px + p^2 terecht komt. Kan iemand het uitschrijven?
(a − b)(a − b) = a(a − b) − b(a − b) = a2 − ab − ba + b2 = a2 − 2ab + b2
Je kunt dit ook mooi visualiseren:
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 11-09-2013 00:31:48 ]
Bedankt Ripariusquote:
[..]
Dat is één van de merkwaardige producten die je dient te kennen.
(a − b)(a − b) = a(a − b) − b(a − b) = a2 − ab − ba + b2 = a2 − 2ab + b2
Je kunt dit ook mooi visualiseren:
[ afbeelding ]
x^2-2px+p^2
Waarom is de afgeleide if f ' (x) 2x-2p. En niet 2x-2+2p (if p is constant.) staat
dat +- - wordt snap ik maar waarom de 2 helemaal wegvalt snap ik niet ?
Begrijp je het plaatje nu ook? Dat je de oppervlakte (a − b)2 van het grijze vierkantje krijgt door de oppervlaktes van het lila en het gele vierkant op te tellen en daar weer de beide rechthoeken (blauw en groen) af te halen?quote:
Je differentieert hier (termsgewijs) naar x, dat is je variabele, en p is een constante. Maar dan is p2 ook een constante. En de afgeleide van een constante is nul.quote:x^2-2px+p^2
Waarom is de afgeleide f '(x) = 2x - 2p. En niet 2x - 2 + 2p (if p is constant).
Ja snap plaatje ook. Was even vergeten dat (x-p)^2 niets anders is dan (x-p)(x-p) van daar kan ik het oplossen. Maar ben ook van plan al die merkwaardige producten in mijn hoofd te stampen.quote:
[..]
Begrijp je het plaatje nu ook? Dat je de oppervlakte (a − b)2 van het grijze vierkantje krijgt door de oppervlaktes van het lila en het gele vierkant op te tellen en daar weer de beide rechthoeken (blauw en groen) af te halen?
[..]
Je differentieert hier (termsgewijs) naar x, dat is je variabele, en p is een constante. Maar dan is p2 ook een constante. En de afgeleide van een constante is nul.
Kijk hier maar even voor de drie belangrijkste merkwaardige producten die je beslist moet kennen.quote:
[..]
Ja snap plaatje ook. Was even vergeten dat (x-p)^2 niets anders is dan (x-p)(x-p) van daar kan ik het oplossen. Maar ben ook van plan al die merkwaardige producten in mijn hoofd te stampen.
Dat is toch ook niet uitwerken -_-quote:
Ik had er wel aan gedacht om het in het Feedback topic te vragen, maar ik was het alweer grandioos vergeten.quote:
Tsja... alleen er aan denken is niet voldoendequote:
[..]
Ik had er wel aan gedacht om het in het Feedback topic te vragen, maar ik was het alweer grandioos vergeten.
Incidenteel maak ik er ook werk van.quote:
[..]
Tsja... alleen er aan denken is niet voldoende
Nu weer ontopic:quote:Op donderdag 15 augustus 2013 04:15 schreef Amoeba het volgende:
SES / [Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic
Sticky?
32)
Suppose that f is continuous on the closed interval [0,1] and that 0 ≤ f(x) ≤ 1 for every x in [0,1]
Show that there must exist a number c in [0,1] such that f(c) = c.
Hint: if f(0) = 0 or f(1) = 1 you are done, otherwise use the intermediate value theorem to g(x) = f(x) - x.
Ik weet uiteraard dat het klopt. We kunnen eenvoudig een vierkantje tekenen dat het bereik en domein van f representeert, en de diagonaal van dat vierkantje zijn alle punten y = x. Nu moet f(x) minimaal één keer de lijn y=x snijden. Voor dat snijpunt c geldt dan f(c) = c.
Meer een intuïtieve uitleg dan een daadwerkelijk wiskundig bewijs aan de hand van dat intermediate value theorem.
Maar ik weet niet zo goed hoe ik dat intermediate value theorem moet toepassen op g(x). Het lijkt mij zelfs omslachtig, maar enfin.
Mag ik gewoon dit zeggen voor f(x)
Omdat f continu is op het gesloten interval [a,b], is er een waarde x = c zodat er een waarde k bestaat, met k tussen f(a) en f(b) (= [0,1], zodat f(c) = k volgens het intermediate value theorem. En dus bestaat er ook een waarde zodat c = k en dus f(c) = c
?
[ Bericht 4% gewijzigd door Amoeba op 11-09-2013 11:22:44 ]
Nee, dat mag je 'gewoon' niet zeggen. Hier neem je aan dat f(x) alle waarden op het interval [0,1] aanneemt, maar dat weten we helemaal niet. Je doet dus een gratuïte aanname. En verder klopt je gevolgtrekking niet: uit f(c) = k volgt niet dat er een waarde c = k bestaat, je 'en dus bestaat er ook ...' is een non sequitur. De tussenwaardestelling voor een continue functie f(x) op een interval [a,b] zegt dat als f(a) ≠ f(b) dat er dan voor een k tussen f(a) en f(b) een c op [a,b] bestaat waarvoor f(c) = k, niets meer en niets minder. De stelling garandeert niet dat er dan ook een c op [a,b] bestaat waarvoor f(c) = c, en het is evident dat dit in zijn algemeenheid ook niet zo hoeft te zijn, omdat f(a) en f(b), en dus ook alle tussenliggende waarden, helemaal niet op het interval [a,b] hoeven te liggen.quote:
Mag ik gewoon dit zeggen voor f(x)
Omdat f continu is op het gesloten interval [a,b], is er een waarde x = c zodat er een waarde k bestaat, met k tussen f(a) en f(b) (= [0,1], zodat f(c) = k volgens het intermediate value theorem. En dus bestaat er ook een waarde zodat c = k en dus f(c) = c
?
Je moet inderdaad de hint bij de opgave ter harte nemen en de tussenwaardestelling toepassen op g(x) = f(x) − x. Nu maar weer even zelf na gaan denken.
Hoe los je in hemelsnaam zoiets op
Ik neem aan dat je de oplossing in dit topic van je vorige vergelijking hebt begrepen? Daar heb je namelijk zelf niet meer op gereageerd maar het is wel zo correct om dat te doen als je een vraag stelt en iemand de moeite neemt om het voor je uit te werken.quote:
x(ln(x)+6)= 1/e9
Hoe los je in hemelsnaam zoiets op
Neem hier van beide leden van je vergelijking eens de natuurlijke logaritme. Wat krijg je dan? En zie je hoe je dan verder kunt gaan?
Heb niet meer gekeken of er gereageerd was, had geen quote bericht gezien. Zal nu even kijken. Maar neem van beide leden de natuurlijk logaritme zegt mij al vrij weinig.quote:
[..]
Ik neem aan dat je de oplossing in dit topic van je vorige vergelijking hebt begrepen? Daar heb je namelijk zelf niet meer op gereageerd maar het is wel zo correct om dat te doen als je een vraag stelt en iemand de moeite neemt om het voor je uit te werken.
Neem hier van beide leden van je vergelijking eens de natuurlijke logaritme. Wat krijg je dan? En zie je hoe je dan verder kunt gaan?
1/e9=e-9. eln a = a Dus e-9=ln(-9)?
Ik snap niet hoe je aan je eerste regel komt vanuit de originele vergelijking, de rest van je stappen volg ik wel.quote:
[..]
Grappig dat zo'n elementaire opgave zoveel reacties losmaakt, en dan deels ook nog onjuiste. Ik herinner me dat dat jaren geleden ook al zo was, maar kan de oude posts van destijds helaas even niet vinden.
Het gaat zo:
3x−2(32 − 1) = 24
3x−2·8 = 24
3x−2 = 3
x − 2 = 1
x = 3
Als dit je vrij weinig zegt, dan begrijp ik niet waarom je kennelijk wel geacht wordt dit soort vergelijkingen op te kunnen lossen.quote:
[..]
Heb niet meer gekeken of er gereageerd was, had geen quote bericht gezien. Zal nu even kijken. Maar neem van beide leden de natuurlijk logaritme zegt mij al vrij weinig.
1/e9=e-9. eln a = a Dus e-9=ln(-9)?
[..]
Het algemene idee is dat als je hebt
A = B
dat dan ook moet gelden
ln(A) = ln(B)
mits A en B positieve grootheden voorstellen. Pas dit principe nu eens toe op je vergelijking en laat dan zien wat je krijgt. Hint: je moet verder ook nog gebruik maken van de rekenregel ln(ap) = p·ln(a).
Wel, dat heb ik ook uitgelegd, namelijk in de laatste post van het vorige topic in deze reeks die je kennelijk niet eens hebt gezien: je hebtquote:Ik snap niet hoe je aan je eerste regel komt vanuit de originele vergelijking, de rest van je stappen volg ik wel.
3x = 3x−2·32
en dus kun je bij de tweeterm 3x − 3x−2 een factor 3x−2 buiten haakjes halen.
Je hoort de practicum opgaven pas tijdens de les te makenquote:
[..]
Heb niet meer gekeken of er gereageerd was, had geen quote bericht gezien. Zal nu even kijken. Maar neem van beide leden de natuurlijk logaritme zegt mij al vrij weinig.
1/e9=e-9. eln a = a Dus e-9=ln(-9)?
[..]
Ik snap niet hoe je aan je eerste regel komt vanuit de originele vergelijking, de rest van je stappen volg ik wel.
Nu ik je laatste post lees uit het vorige topic begrijp ik het gelijk, dank hiervoorquote:
[..]
Als dit je vrij weinig zegt, dan begrijp ik niet waarom je kennelijk wel geacht wordt dit soort vergelijkingen op te kunnen lossen.
Het algemene idee is dat als je hebt
A = B
dat dan ook moet gelden
ln(A) = ln(B)
mits A en B positieve grootheden voorstellen. Pas dit principe nu eens toe op je vergelijking en laat dan zien wat je krijgt. Hint: je moet verder ook nog gebruik maken van de rekenregel ln(ap) = p·ln(a).
[..]
Wel, dat heb ik ook uitgelegd, namelijk in de laatste post van het vorige topic in deze reeks die je kennelijk niet eens hebt gezien: je hebt
3x = 3x−2·32
en dus kun je bij de tweeterm 3x − 3x−2 een factor 3x−2 buiten haakjes halen.
. Nu ga ik zelf even naar die laatste vergelijk kijken, bedankt voor het opzetjequote:Op woensdag 11 september 2013 17:24 schreef jordyqwerty het volgende:
[..]
Je hoort de practicum opgaven pas tijdens de les te maken
Welke groep zit je 
10quote:
Kijk even hier.quote:
Een kort vraagje, Stel, je hebt een kans op A, een kans op niet-A en binnen A heb je nog een kans op B. Kan je dan in zijn algemeenheid stellen dat geldt: P(A) * P(B|A) = P(B)?
Ik kom dan tot (ln(x)+6)*ln(x)quote:
Als dit je vrij weinig zegt, dan begrijp ik niet waarom je kennelijk wel geacht wordt dit soort vergelijkingen op te kunnen lossen.
Het algemene idee is dat als je hebt
A = B
dat dan ook moet gelden
ln(A) = ln(B)
mits A en B positieve grootheden voorstellen. Pas dit principe nu eens toe op je vergelijking en laat dan zien wat je krijgt. Hint: je moet verder ook nog gebruik maken van de rekenregel ln(ap) = p·ln(a).
ln(e-9). -9*ln(e) of -9
(ln(x)+6)*ln(x) =-9
Daar bracht google mij ook inderdaadquote:
, maar ik zie er eerlijk gezegd 't antwoord op mijn vraag niet in.Juist. De vergelijking ziet er nu nog steeds lastig uit, maar dat is slechts schijn. Je ziet dat we in het linkerlid tweemaal ln(x) hebben. In zo'n geval is het zinnig om een substitutie te gebruiken om de vergelijking overzichtelijker te maken. Dat wil zeggen dat we ln(x) hier (tijdelijk!) even gaan vervangen door een andere variabele. Nu worden x en y vaak gebruikt bij grafieken van functies, dus neem ik het liefst de z, zodat er geen verwarring kan ontstaan. We stellen nu:quote:
[..]
Ik kom dan tot (ln(x)+6)*ln(x)
ln(e-9). -9*ln(e) of -9
(ln(x)+6)*ln(x) =-9
ln(x) = z
De vergelijking wordt dan
(z + 6)z = −9
Los nu eerst deze vergelijking op, zodat je de waarde(n) van z kent. Dan ken je ook de waarde(n) van ln(x) = z en is het dus eenvoudig om x = ez te bepalen.
Dus (z+6)z=-9quote:
[..]
Juist. De vergelijking ziet er nu nog steeds lastig uit, maar dat is slechts schijn. Je ziet dat we in het linkerlid tweemaal ln(x) hebben. In zo'n geval is het zinnig om een substitutie te gebruiken om de vergelijking overzichtelijker te maken. Dat wil zeggen dat we ln(x) hier (tijdelijk!) even gaan vervangen door een andere variabele. Nu worden x en y vaak gebruikt bij grafieken van functies, dus neem ik het liefst de z, zodat er geen verwarring kan ontstaan. We stellen nu:
ln(x) = z
De vergelijking wordt dan
(z + 6)z = −9
Los nu eerst deze vergelijking op, zodat je de waarde(n) van z kent. Dan ken je ook de waarde(n) van ln(x) = z en is het dus eenvoudig om x = ez te bepalen.
z2+6z=-9
z2+6z+9=0
(z+3)(z+3)=0
z=-3
ln(x)=-3
x=e-3
Klopt dat?
quote:
Een kort vraagje, Stel, je hebt een kans op A, een kans op niet-A en binnen A heb je nog een kans op B. Kan je dan in zijn algemeenheid stellen dat geldt: P(A) * P(B|A) = P(B)?
Deze situatie dus.
Als ik bv. A op 1/2 stel en B op 1/10, dan klopt het m.i. (1/2 * (1/10 / 1/2) = 1/10).
[ Bericht 5% gewijzigd door 2thmx op 11-09-2013 18:12:37 ]
Dan begrijp je er dus nog niets van. Laten we eens een dobbelsteen bekijken en laten we zeggen dat P(A) de kans is op een even getal bij het werpen met de dobbelsteen. Dan is P(A) = 1/2. Hierbinnen heb je weer drie gelijkwaardige mogelijkheden, namelijk 2, 4 en 6. De kans P(B|A) op het werpen van een 6 als je al weet dat er een even getal is geworpen is dus 1/3. En inderdaad is de kans op het werpen van een zes P(B) = P(A) · P(B|A) = 1/2 · 1/3 = 1/6. Je kunt omgekeerd ook zeggen dat de kans op het werpen van een even getal als je al weet dat er een zes is geworpen gelijk is aan 100%, en inderdaad heb je P(A|B) = (P(B|A) · P(A))/P(B) = (1/3 · 1/2)/(1/6) = 1. Zie je het nu?quote:
[..]
Daar bracht google mij ook inderdaad
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 11-09-2013 20:22:27 ]
Dat is correct. Je ziet dat het reuze meevalt!quote:
[..]
Dus (z+6)z=-9
z2+6z=-9
z2+6z+9=0
(z+3)(z+3)=0
z=-3
ln(x)=-3
x=e-3
Klopt dat?
Dankquote:
[..]
Dan begrijp je er dus nog niets van. Laten we eens een dobbelsteen bekijken en laten we zeggen dat A de kans is op een even getal bij het werpen met de dobbelsteen. Dan is P(A) = 1/2. Hierbinnen heb je weer drie gelijkwaardige mogelijkheden, namelijk 2, 4 en 6. De kans P(B|A) op het werpen van een 6 als je al weet dat er een even getal is geworpen is dus 1/3. En inderdaad is de kans op het werpen van een zes P(B) = P(A) · P(B|A) = 1/2 · 1/3 = 1/6. Je kunt omgekeerd ook zeggen dat de kans op het werpen van een even getal als je al weet dat er een zes is geworpen gelijk is aan 100%, en inderdaad heb je P(A|B) = (P(B|A) · P(A))/P(B) = (1/3 · 1/2)/(1/6) = 1. Zie je het nu?
. Had al 't idee dat 't wel klopte, maar had even de bevestiging nodig van iemand met meer parate wiskundekennis .Is waar, maar soms zie ik het even niet meer als er te veel in staat, reuze bedankt in ieder gevalquote:
[..]
Dat is correct. Je ziet dat het reuze meevalt!
Laat ik even beginnen met je laatste regel. Het is gegeven dat f continu is op het interval [0,1] en dat het bereik van f op het domein [0,1] ook [0,1] is. Zoals ik al aangegeven heb in mijn middelste stuk is het vrij eenvoudig in te zien dat f dan ook de lijn y=x snijdt, maar dat is uiteraard geen bewijs.quote:
[..]
Nee, dat mag je 'gewoon' niet zeggen. Hier neem je aan dat f(x) alle waarden op het interval [0,1] aanneemt, maar dat weten we helemaal niet. Je doet dus een gratuïte aanname. En verder klopt je gevolgtrekking niet: uit f(c) = k volgt niet dat er een waarde c = k bestaat, je 'en dus bestaat er ook ...' is een non sequitur. De tussenwaardestelling voor een continue functie f(x) op een interval [a,b] zegt dat als f(a) ≠ f(b) dat er dan voor een k tussen f(a) en f(b) een c op [a,b] bestaat waarvoor f(c) = k, niets meer en niets minder. De stelling garandeert niet dat er dan ook een c op [a,b] bestaat waarvoor f(c) = c, en het is evident dat dit in zijn algemeenheid ook niet zo hoeft te zijn, omdat f(a) en f(b), en dus ook alle tussenliggende waarden, helemaal niet op het interval [a,b] hoeven te liggen.
Je moet inderdaad de hint bij de opgave ter harte nemen en de tussenwaardestelling toepassen op g(x) = f(x) − x. Nu maar weer even zelf na gaan denken.
Ik begrijp dat f(x) natuurlijk niet noodzakelijkerwijs alle waarden aanneemt tussen 0 en 1 op het interval [0,1].
Maar laat ik dan maar naar de tussenwaardestelling gaan kijken voor g(x) = f(x) - x
0 ≤ f(x) ≤ 1 voor 0 ≤ x ≤ 1 (volgens mij impliceert dit niet dat f(x) en x rechtevenredig zijn met constante 1? Dat bedoel ik in ieder geval niet)
Moet ik dan nu het domein en bijbehorende bereik van g(x) bepalen? Ik 'denk' dat het bereik als volgt is:
-x ≤ f(x) - x ≤ x is equivalent met -x ≤ g(x) ≤ x
Maar op welk domein dit is zou ik zo niet weten Wellicht [-1, 0]. Of denk ik helemaal verkeerd?
Let op je taalgebruik. Als je zegt dat het bereik [0,1] is, dan worden ook alle waardes in [0,1] aangenomen. Je bedoelt dat het co-domein [0,1] is.quote:
[..]
Laat ik even beginnen met je laatste regel. Het is gegeven dat f continu is op het interval [0,1] en dat het bereik van f op het domein [0,1] ook [0,1] is. Zoals ik al aangegeven heb in mijn middelste stuk is het vrij eenvoudig in te zien dat f dan ook de lijn y=x snijdt, maar dat is uiteraard geen bewijs.
Ik begrijp dat f(x) natuurlijk niet noodzakelijkerwijs alle waarden aanneemt tussen 0 en 1 op het interval [0,1].
Maar laat ik dan maar naar de tussenwaardestelling gaan kijken voor g(x) = f(x) - x
0 ≤ f(x) ≤ 1 voor 0 ≤ x ≤ 1 (volgens mij impliceert dit niet dat f(x) en x rechtevenredig zijn met constante 1? Dat bedoel ik in ieder geval niet)
Moet ik dan nu het domein en bijbehorende bereik van g(x) bepalen? Ik 'denk' dat het bereik als volgt is:
-x ≤ f(x) - x ≤ x is equivalent met -x ≤ g(x) ≤ x
Maar op welk domein dit is zou ik zo niet weten Wellicht [-1, 0]. Of denk ik helemaal verkeerd?
Daarna is het allemaal nogal verwarrend wat je zegt. Ergens tussen de regels lees ik wel dat je het bereik van g wilt bepalen. Zoiets moet je wel doen inderdaad, alleen het hele bereik is niet belangrijk: het er vooral om of 0 bereikt wordt. Merk op dat 'er een c is zodat f(c)=c' equivalent is met 'er is een c zodat g(c)=0'.
Oh ja natuurlijk. Die term kende ik nog niet.quote:
[..]
Let op je taalgebruik. Als je zegt dat het bereik [0,1] is, dan worden ook alle waardes in [0,1] aangenomen. Je bedoelt dat het co-domein [0,1] is.
Daarna is het allemaal nogal verwarrend wat je zegt. Ergens tussen de regels lees ik wel dat je het bereik van g wilt bepalen. Zoiets moet je wel doen inderdaad, alleen het hele bereik is niet belangrijk: het er vooral om of 0 bereikt wordt. Merk op dat 'er een c is zodat f(c)=c' equivalent is met 'er is een c zodat g(c)=0'.
Ik kom er niet goed uit. Ik kan in een tekeningetje heel eenvoudig uitleggen dat het allemaal wel klopt (intuïtief), maar ik kan het formeel niet uitleggen. Uit je laatste zin volgt dat g(c) = 0 impliceert dat f(c) - c = 0 en dus f(c) = c.
Maar hoe laat ik zien dat g(x) = f(x) - x een nulpunt heeft binnen het domein waar de functie continu is.
Nee, dat staat er om te beginnen al niet. Een citaat uit de opgave uit jouw post:quote:
[..]
Laat ik even beginnen met je laatste regel. Het is gegeven dat f continu is op het interval [0,1] en dat het bereik van f op het domein [0,1] ook [0,1] is. Zoals ik al aangegeven heb in mijn middelste stuk is het vrij eenvoudig in te zien dat f dan ook de lijn y=x snijdt, maar dat is uiteraard geen bewijs.
Suppose that f is continuous on the closed interval [0,1] and that 0 ≤ f(x) ≤ 1 for every x in [0,1]
Het bereik is de verzameling van alle functiewaarden die f(x) aanneemt op het interval [0,1] en die verzameling hoeft helemaal niet identiek te zijn met [0,1]. Je weet alleen dat f(x) voor 0 ≤ x ≤ 1 op het interval [0, 1] ligt, niet dat f(x) elke waarde op het interval [0, 1] ook aanneemt. Neem bijvoorbeeld f(x) = ½x + ¼, dan is f([0, 1]) = [¼, ¾] en dus niet [0, 1].
Juist, maar dat is dan in tegenspraak met wat je hierboven zegt over het bereik van de functie.quote:Ik begrijp dat f(x) natuurlijk niet noodzakelijkerwijs alle waarden aanneemt tussen 0 en 1 op het interval [0,1].
Juist. Het is echt heel eenvoudig maar ik heb eigenlijk geen zin om het voor te doen want daar leer je niets van. Denk er vanavond nog maar eens goed over na.quote:Maar laat ik dan maar naar de tussenwaardestelling gaan kijken voor g(x) = f(x) - x
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 11-09-2013 19:15:34 ]
Met de tussenwaardestelling dus. De oplossing is alleen leuk als je hem zelf vindt. Als je niet ziet wat je kan doen, helpt het soms om aan te nemen dat de stelling niet waar is. Misschien dat je dan een idee krijgt.quote:
[..]
Oh ja natuurlijk. Die term kende ik nog niet.
Ik kom er niet goed uit. Ik kan in een tekeningetje heel eenvoudig uitleggen dat het allemaal wel klopt (intuïtief), maar ik kan het formeel niet uitleggen. Uit je laatste zin volgt dat g(c) = 0 impliceert dat f(c) - c = 0 en dus f(c) = c.
Maar hoe laat ik zien dat g(x) = f(x) - x een nulpunt heeft binnen het domein waar de functie continu is.
Ik hoef het pas volgende week in te leveren, en ik heb ook al een college Verzamelingenleer dat ik nog eens rustig moet overdenken om de docent zijn geneuzel over transitieve afsluitingen enzulks te begrijpen.quote:
[..]
Nee, dat staat er om te beginnen al niet. Een citaat uit de opgave uit jouw post:
Suppose that f is continuous on the closed interval [0,1] and that 0 ≤ f(x) ≤ 1 for every x in [0,1]
Het bereik is de verzameling van alle functiewaarde die f(x) aanneemt op het interval [0,1] en die verzameling hoeft helemaal niet identiek te zijn met [0,1]. Je weet alleen dat f(x) voor 0 ≤ x ≤ 1 op het interval [0, 1] ligt, niet dat f(x) elke waarde op het interval [0, 1] ook aanneemt. Neem bijvoorbeeld f(x) = ½x + ¼, dan is f([0, 1]) = [¼, ¾] en dus niet [0, 1].
[..]
Juist, maar dat is dan in tegenspraak met wat je hierboven zegt over het bereik van de functie.
[..]
Juist. Het is echt heel eenvoudig maar ik heb eigenlijk geen zin om het voor te doen want daar leer je niets van. Denk er vanavond nog maar eens goed over na.
Is het domein van g(x) belangrijk? Ik heb al gezegd dat ik niet zo goed weet hoe ik het domein van g(x) afleidt uit het domein van f(x).quote:
[..]
Met de tussenwaardestelling dus. De oplossing is alleen leuk als je hem zelf vindt. Als je niet ziet wat je kan doen, helpt het soms om aan te nemen dat de stelling niet waar is. Misschien dat je dan een idee krijgt.
g(x):=f(x)-x, dus g(x) is alleen zinvol gedefinieerd voor x in [0,1], omdat anders f(x) (en dus g(x)) niet gedefinieerd is.quote:
Is het domein van g(x) belangrijk? Ik heb al gezegd dat ik niet zo goed weet hoe ik het domein van g(x) afleidt uit het domein van f(x).
Ik kan mezelf wel voor m'n kop slaan.quote:
[..]
g(x):=f(x)-x, dus g(x) is alleen zinvol gedefinieerd voor x in [0,1], omdat anders f(x) niet gedefinieerd is.
g(x) = 0 is equivalent met f(x) - x = 0
Stel dat g(x) op het interval [0,1] nooit 0 is. Dan f(x) - x < 0 of f(x) - x > 0
dus f(x) < x of f(x) > x
stel dat x = 1, dan f(1) > 1 en dat is een contradictie.
stel x = 0 dan f(0) < 0 en ook dat is in tegenspraak met de gegevens in de vraagstelling. Dus er bestaat een punt c zodanig dat g(c) = 0, en dus f(c) - c = 0 en dus f(c) = c
Is dit juist?
Dat is correctquote:
[..]
Ik kan mezelf wel voor m'n kop slaan.
g(x) = 0 is equivalent met f(x) - x = 0
Stel dat g(x) op het interval [0,1] nooit 0 is. Dan f(x) - x < 0 of f(x) - x > 0
dus f(x) < x of f(x) > x
stel dat x = 1, dan f(1) > 1 en dat is een contradictie.
stel x = 0 dan f(0) < 0 en ook dat is in tegenspraak met de gegevens in de vraagstelling. Dus er bestaat een punt c zodanig dat g(c) = 0, en dus f(c) - c = 0 en dus f(c) = c
Is dit juist?
. Eigenlijk kan je het ook gewoon direct bewijzen (dus zonder bewijs uit het ongerijmde):
Als f(0)=0 of f(1)=1, dan ben je klaar. Dus neem aan dat f(0)>0 en f(1)<1. Dan geldt dus g(0)>0 en g(1)<0. Uit de tussenwaardestelling volgt dus dat er een c bestaat zodat g(c)=0, zoals gewenst.
g(c) = 0 toch?quote:
[..]
Dat is correct
Eigenlijk kan je het ook gewoon direct bewijzen (dus zonder bewijs uit het ongerijmde):
Als f(0)=0 of f(1)=1, dan ben je klaar. Dus neem aan dat f(0)>0 en f(1)<1. Dan geldt dus g(0)>0 en g(1)<0. Uit de tussenwaardestelling volgt dus dat er een c bestaat zodat g(c)=c, zoals gewenst.
Uiteraard, g(c)=0 ofwel f(c)=c.quote:
Ja, ik begrijp het. Wat Riparius zegt; doodeenvoudig eigenlijk. Als je het maar snapt ja. Als..quote:Op woensdag 11 september 2013 19:30 schreef thenxero het volgende:
[..]
Uiteraard, g(c)=0 ofwel f(c)=c.
Goed, dan zal ik het de rest wel even op weg schoppen.
Het begin is altijd lastig. Als je wat routine hebt opgebouwd, schud je dit ook zo uit je mouw.quote:
[..]
Ja, ik begrijp het. Wat Riparius zegt; doodeenvoudig eigenlijk. Als je het maar snapt ja. Als..
Goed, dan zal ik het de rest wel even op weg schoppen.
Er zit een subtiele fout in je redenering. Je zegt dat als g(x) nooit de waarde 0 aanneemt op het interval [0,1] dat dan geldt f(x) - x < 0 of f(x) - x > 0 voor elke x ∈ [0,1]. Dit is uiteraard juist, maar je kunt hier geen tegenspraak uit afleiden, want dan kan volgens je eigen aanname ook f(1) < 1 zijn en f(0) > 0 zodat er geen tegenspraak is. Je bewijs is dus onjuist. Het directe bewijs met de tussenwaardestelling zoals thenxero dat aangeeft is uiteraard wel juist.quote:
[..]
Ik kan mezelf wel voor m'n kop slaan.
g(x) = 0 is equivalent met f(x) - x = 0
Stel dat g(x) op het interval [0,1] nooit 0 is. Dan f(x) - x < 0 of f(x) - x > 0
dus f(x) < x of f(x) > x
stel dat x = 1, dan f(1) > 1 en dat is een contradictie.
stel x = 0 dan f(0) < 0 en ook dat is in tegenspraak met de gegevens in de vraagstelling. Dus er bestaat een punt c zodanig dat g(c) = 0, en dus f(c) - c = 0 en dus f(c) = c
Is dit juist?
De tegenspraak leidt je dan af uit het feit dat zowel f(x)-x<0 voor een zekere x, als f(x)-x>0 voor een zekere x, waaruit het bestaan van een c volgt zodat f(c)-c=0. Ik ging er vanuit dat Amoeba hier doorhad dat hij de tussenwaardestelling gebruikte. Bedankt voor je toevoeging.quote:
[..]
Er zit een subtiele fout in je redenering. Je zegt dat als g(x) nooit de waarde 0 aanneemt op het interval [0,1] dat dan geldt f(x) - x < 0 of f(x) - x > 0 voor elke x ∈ [0,1]. Dit is uiteraard juist, maar je kunt hier geen tegenspraak uit afleiden, want dan kan volgens je eigen aanname ook f(1) < 1 zijn en f(0) > 0 zodat er geen tegenspraak is. Je bewijs is dus onjuist. Het directe bewijs met de tussenwaardestelling zoals thenxero dat aangeeft is uiteraard wel juist.
Dat is inderdaad de verborgen aanname. Als je hebt f(0) ≠ 0 en tevens f(1) ≠ 1 (omdat er anders niets meer te bewijzen is) dan is g(0) > 0 en g(1) < 0 en dan volgt het gestelde uit de tussenwaardestelling. Maar zoals Amoeba het hierboven opschrijft klopt het niet omdat de vermeende tegenspraken er dan niet zijn. Ik heb hem er via DM al op gewezen dat je niet ontkomt aan het gebruik van de tussenwaardestelling (of een stelling die daarmee equivalent is natuurlijk).quote:
[..]
De tegenspraak leidt je dan af uit het feit dat zowel f(x)-x<0 voor een zekere x, als f(x)-x>0 voor een zekere x, waaruit het bestaan van een c volgt zodat f(c)-c=0. Ik ging er vanuit dat Amoeba hier doorhad dat hij de tussenwaardestelling gebruikte. Bedankt voor je toevoeging.
Nee helaas.quote:
[..]
De tegenspraak leidt je dan af uit het feit dat zowel f(x)-x<0 voor een zekere x, als f(x)-x>0 voor een zekere x, waaruit het bestaan van een c volgt zodat f(c)-c=0. Ik ging er vanuit dat Amoeba hier doorhad dat hij de tussenwaardestelling gebruikte. Bedankt voor je toevoeging.
Goed. De tussenwaardestelling vergeet je nu nooit meer. Leuk opwarmertje voor de hoofdstelling van de algebra:quote:
Zij P(x) een polynoom in x van oneven graad met reële coëfficiënten. Bewijs dat P(x) tenminste één reëel nulpunt heeft.
Ik sloot net mijn spel (ter ontspanning) af om me weer te verdiepen in Calculus. FOK! stond nog open: Riparius heeft je gequote. Mijn jongenshart gloeide van vreugde toen ik het zag!quote:
[..]
Goed. De tussenwaardestelling vergeet je nu nooit meer. Leuk opwarmertje voor de hoofdstelling van de algebra:
Zij P(x) een polynoom in x van oneven graad met reële coëfficiënten. Bewijs dat P(x) tenminste één reëel nulpunt heeft.
Goed.
Ik ga hier eens over peinzen. Even pen en papier pakken. Dat zou betekenen dat x = a een nulpunt is met a ∈ ℝ
Wacht wacht
Ter verduidelijking. Zijn alle graden van x oneven of alleen de hoogste graad van x?
Ik zou nu toch kunnen antwoorden dat complexe nulpunten in geconjugeerde paren voorkomen? Maar ik vermoed dat dit niet het antwoord is wat je wil krijgen.quote:
[..]
Goed. De tussenwaardestelling vergeet je nu nooit meer. Leuk opwarmertje voor de hoofdstelling van de algebra:
Zij P(x) een polynoom in x van oneven graad met reële coëfficiënten. Bewijs dat P(x) tenminste één reëel nulpunt heeft.
Dan moet je dus eerst bewijzen dat alle nulpunten complex zijn.quote:
[..]
Ik zou nu toch kunnen antwoorden dat complexe nulpunten in geconjugeerde paren voorkomen? Maar ik vermoed dat dit niet het antwoord is wat je wil krijgen.
Of dat een n-degraads polynoom n oplossingen heeft (multipliciteit meegenomen), zodat er sowieso een even aantal complexe nulpunten zijn en dus minimaal één niet-complex nulpunt?quote:
[..]
Ik zou nu toch kunnen antwoorden dat complexe nulpunten in geconjugeerde paren voorkomen? Maar ik vermoed dat dit niet het antwoord is wat je wil krijgen.
[ Bericht 8% gewijzigd door Amoeba op 11-09-2013 21:38:54 ]
Dat complexe nulpunten bij een polynoom met reële coëfficiënten altijd als geconjugeerde paren optreden is juist (en eenvoudig te bewijzen met wat elementaire rekenregels voor geconjugeerden), maar dan ga je ervan uit dat er nulpunten zijn. Wat nu wordt gevraagd is een existentiebewijs voor een reëel nulpunt van een polynoom van oneven graad met reële coëfficiënten.quote:
[..]
Ik zou nu toch kunnen antwoorden dat complexe nulpunten in geconjugeerde paren voorkomen? Maar ik vermoed dat dit niet het antwoord is wat je wil krijgen.
Twee vlakken in de euclidische driedimensionale ruimte die niet evenwijdig zijn hebben een rechte lijn gemeen. Dat is een postulaat uit de (klassieke) stereometrie, dus je zult je meetkundedocent niet kunnen verblijden met een (meetkundig) bewijs.quote:
Kan iemand een wiskundige verklaring geven waarom een vouw in een stuk papier altijd recht is? Ik kan mij herinneren dat mijn meetkundedocent hier eens een bewijs voor wilde hebben. Maar ik kan het mij niet meer herinneren.
zij P(x) = an•xn+an-1•xn-1+an-2•xn-2 .... +a0 met an, a0 ≠ 0 en n oneven.
lim(x -> ∞)(P(x)) = lim(x -> ∞)(anxn) = ∞ als an > 0 en -∞ als an < 0
lim(x -> -∞)(P(x)) = lim(x -> -∞)(anxn) = -∞ als an > 0 en ∞ als an < 0
Uit de tussenwaardestelling volgt dan dat er een waarde c bestaat zó dat P(c) = 0
Hmm?
[ Bericht 1% gewijzigd door Amoeba op 11-09-2013 22:16:35 ]
Inderdaad, dat is eigenlijk basiskennis... toch had hij een meer praktisch iets kan ik mj herinneren. Over de structuur van het papier enzo. Maar klaarblijkelijk zat hij ons gewoon te dollenquote:
[..]
Twee vlakken in de euclidische driedimensionale ruimte die niet evenwijdig zijn hebben een rechte lijn gemeen. Dat is een postulaat uit de (klassieke) stereometrie, dus je zult je meetkundedocent niet kunnen verblijden met een (meetkundig) bewijs.
Daar komt het op neer. Als |x| groot wordt dan krijgt de term anxn de overhand en omdat n oneven is is er dan een R > 0 zodanig dat het teken van anxn en daarmee van P(x) dan verschillend is voor x > R en voor x < −R zodat er een nulpunt op het interval [−R, R] ligt. Maar om dit echt netjes te bewijzen komt er nog iets meer bij kijken (haal de term anxn buiten haakjes en laat zien dat de uitdrukking binnen de haakjes positief is voor voldoend grote |x|).quote:
Zij P(x) een polynoom van de oneven graad met reële coëfficiënten. P(x) is continu op R.
zij P(x) = an•xn+an•xn+an-2•xn-2 .... +a0 met an, a0 ≠ 0 en n oneven.
lim(x -> ∞)(P(x)) = lim(x -> ∞)(anxn) = ∞ als an > 0 en -∞ als an < 0
lim(x -> -∞)(P(x)) = lim(x -> -∞)(anxn) = -∞ als an > 0 en ∞ als an < 0
Uit de tussenwaardestelling volgt dan dat er een waarde c bestaat zó dat P(c) = 0
Hmm?
Goed, pffquote:
[..]
Daar komt het op neer. Als |x| groot wordt dan krijgt de term anxn de overhand en omdat n oneven is is er dan een R > 0 zodanig dat het teken van anxn en daarmee van P(x) dan verschillend is voor x > R en voor x < −R zodat er een nulpunt op het interval [−R, R] ligt. Maar om dit echt netjes te bewijzen komt er nog iets meer bij kijken (haal de term anxn buiten haakjes en laat zien dat de uitdrukking binnen de haakjes positief is voor voldoend grote |x|).
Zij P(x) een polynoom van de oneven graad met reële coëfficiënten. P(x) is continu op R.
zij P(x) = an•xn+an-1•xn-1+an-2•xn-2 .... +a0 met an, a0 ≠ 0 en n oneven.
Dan
an•xn+an-1•xn-1+an-2•xn-2 ...) = -a0
= an•xn(1+an-2•xn-2+an-3•xn-3 ....)/an = -a0
= an•xn(1+an-2•xn-2+an-3•xn-3 ....) = -a0 want een ai is een willekeurige constante.
Nu heb je het over de driehoeksongelijkheid, maar ik weet alleen wat dat meetkundig inhoudt. Hoe moet ik hier iets van een driehoeksongelijkheid in vinden?
Ons Calculusboek is Calculus: A Complete Course by Adams & Essex *8ste druk*
Als je de term anxn buiten haakjes haalt, dan heb jequote:
[..]
Goed, pff
Zij P(x) een polynoom van de oneven graad met reële coëfficiënten. P(x) is continu op R.
zij P(x) = an•xn+an-1•xn-1+an-2•xn-2 .... +a0 met an, a0 ≠ 0 en n oneven.
P(x) = anxn(1 + (an−1/an)x−1 + (an−2/an)x−2 + ... + (a1/an)x−(n−1) + (a0/an)x−n)
Nu moet je laten zien dat de uitdrukking tussen de haakjes positief is voor voldoend grote |x| en daarvoor heb je de driehoeksongelijkheid nodig.
De driehoeksongelijkheid ontleent haar naam uiteraard aan de meetkunde, maar je hebt ook betrekkingen tussen (de absolute waarden van) reële of complexe getallen die hiermee verband houden. Voor elk tweetal (reële of complexe) getallen a en b geldtquote:Nu heb je het over de driehoeksongelijkheid, maar ik weet alleen wat dat meetkundig inhoudt. Hoe moet ik hier iets van een driehoeksongelijkheid in vinden?
| a + b | ≤ | a | + | b |
Deze ongelijkheid kun je eenvoudig uitbreiden naar een willekeurig aantal termen, bijvoorbeeld
| a + b + c | ≤ | a | + | b | + | c |
Gebruik dit.
Dat vermoedde ik al. Dank voor de bevestiging.quote:Ons Calculusboek is Calculus: A Complete Course by Adams & Essex *8ste druk*
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 11-09-2013 23:39:54 ]
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Schwarz_inequality
Edit: op het moment dat ik mijn reactie plaatste stond die van Riparius nog niet op mijn scherm.
Zie 'm niet.
EDIT: Ik zie hem wel!
Voor de liefhebbers;
[ Bericht 72% gewijzigd door jordyqwerty op 12-09-2013 00:00:21 ]
Je kunt teller en noemer van de breuk in het linkerlid van je vergelijking delen door 223. Wat krijg je dan?quote:
Klopt, het viel me een paar seconden voor je post inquote:
[..]
Je kunt teller en noemer van de breuk in het linkerlid van je vergelijking delen door 223. Wat krijg je dan?
Ik heb echter wel nog een andere som waar ik niet uit kom.
Enfin, beetje klaar mee nu. Morgen weer.
'quote:
[..]
Klopt, het viel me een paar seconden voor je post in
Ik heb echter wel nog een andere som waar ik niet uit kom.
[ afbeelding ]
Breng alles wat onder de noemer staat is in één breuk (evenzo voor de teller) en maak dan gebruik van (a/b)/(c/d) = (a/b)*(d/c)
Ik kijk morgen wel, ben veels te moe. Die + mag nietquote:
Op Je hebt gewoon op WolframAlpha gespiekt en komt zo tot het juiste antwoord, maar je weet niet hoe je het nu netjes moet doen?quote:Op donderdag 12 september 2013 00:46 schreef jordyqwerty het volgende:
[..]
Ik kijk morgen wel, ben veels te moe. Die + mag niet
Ik kom steeds op 1/y-xquote:
[..]
Je hebt gewoon op WolframAlpha gespiekt en komt zo tot het juiste antwoord, maar je weet niet hoe je het nu netjes moet doen?
[ Bericht 7% gewijzigd door jordyqwerty op 12-09-2013 12:16:35 ]
Probeer eerst eens de breuken in de teller samen te nemen (onder een noemer brengen) en daarna ook de breuken in de noemer.quote:
Aan die antwoorden in het boek heb je ook niks, hequote:
Inderdaadquote:
[..]
Aan die antwoorden in het boek heb je ook niks, he
maargoed ik snap ook een heleboel wel, dus wellicht kunnen we elkaar helpen als je iets niet snaptHet antwoord op de som die je hier hebt voorgelegd heb je nog niet gevonden?quote:
[..]
Inderdaad
Dat antwoord heb ik inmiddels gevondenquote:
[..]
Het antwoord op de som die je hier hebt voorgelegd heb je nog niet gevonden?
De uitwerking ook?quote:
[..]
Dat antwoord heb ik inmiddels gevonden
Jaquote:
Ik vermoed dat je je merkwaardige producten niet goed kent. Als je teller en noemer van die breuk met x2y2 vermenigvuldigt krijg je (y − x)/(y2 − x2) = 1/(y + x). Dat zou je zo uit het blote hoofd moeten zien.quote:
Gelijkzijdige driehoek in een cirkel. Ik moet de oppervlakte van die cirkel uitrekenen. Omtrek van driehoek is gegeven(30).quote:
[..]
Dat is dan een gelijkzijdige driehoek ingeschreven in een cirkel. Elk goed boek over vlakke meetkunde kan je vertrouwd maken met dergelijke terminologie. Neem eens een kijkje op de site van het Nederlands schoolmuseum.
Hoe reken ik dit uit?
Ah, zo. Nu begrijp ik de achtergrond van je vorige vraag. Dit gaat het eenvoudigst als je de uitgebreide sinusregel kent.quote:
[..]
Gelijkzijdige driehoek in een cirkel. Ik moet de oppervlakte van die cirkel uitrekenen. Omtrek van driehoek is gegeven (30).
Hoe reken ik dit uit?
De hoekpunten van een driehoek worden gewoonlijk aangegeven met de hoofdletters A, B, C, de lengtes van de tegenovergelegen zijden met resp. de kleine letters a, b, c en de groottes van de hoeken met resp. de kleine Griekse letters α, β, γ, dus
Als we nu verder de straal van de omgeschreven cirkel van de driehoek aangeven met R, dan zegt de uitgebreide sinusregel dat je hebt
a : sin α = b : sin β = c : sin γ = 2R
Heb je een gelijkzijdige driehoek met een omtrek 30, dan heeft elke zijde uiteraard een lengte 10, dus a = b = c = 10. Verder is elke hoek in een gelijkzijdige driehoek 60°, omdat de som van de hoeken van een driehoek immers 180° is, dus α = β = γ = 60̈°. De sinus van 60° is ½√3, en dus vinden we met behulp van de sinusregel dat voor de straal van de omgeschreven cirkel moet gelden
2R = a : sin α = 10 : ½√3 = 20/√3 = (20/3)·√3
En dus
R = (10/3)·√3
De oppervlakte O van de omgeschreven cirkel met straal R is πR2, dus hiervoor vinden we dan
O = π·((10/3)·√3)2 = (100/3)·π = 33⅓ · π
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 13-09-2013 15:53:40 ]
Ik heb uitgelegd waarom ik de sinusregel gebruik, namelijk omdat het hiermee het eenvoudigst gaat. Uiteraard kan het ook anders, zuiver meetkundig bijvoorbeeld, maar ik denk dat je daarvoor ook de nodige basiskennis mist.quote:
Ik snap die sinusregel niet, waarom gebruik je dat? Dat de hoeken 60 graden zijn en de zijden 10 snap ik. Hoe je de oppervlakte van een cirkel uitrekent snap ik ook.
De (uitgebreide) sinusregel is gemakkelijk af te leiden met een beetje vlakke meetkunde. Als je eens wil zien hoe dat gaat moet je deze pagina maar eens bekijken.
Wat moet ik doornemen om dit soort sommen op te lossen zonder de sinus en cosregels?quote:
[..]
Ik heb uitgelegd waarom ik de sinusregel gebruik, namelijk omdat het hiermee het eenvoudigst gaat. Uiteraard kan het ook anders, zuiver meetkundig bijvoorbeeld, maar ik denk dat je daarvoor ook de nodige basiskennis mist.
De (uitgebreide) sinusregel is gemakkelijk af te leiden met een beetje vlakke meetkunde. Als je eens wil zien hoe dat gaat moet je deze pagina maar eens bekijken.
Heel wat. Begin je maar eens te oriënteren op de vlakke meetkunde via de site waarnaar ik hierboven link.quote:
[..]
Wat moet ik doornemen om dit soort sommen opgaven op te lossen zonder de sinus en cosinus regels?
Om toch even aan te geven hoe je het met louter vlakke meetkunde kunt doen: teken twee hoogtelijnen in je gelijkzijdige driehoek. Dit zijn dan tevens zwaartelijnen in deze driehoek, omdat het een gelijkzijdige driehoek is. Welnu, de lengte van zo'n hoogtelijn kun je uitrekenen met behulp van de stelling van Pythagoras. Dan kun je verder gebruik maken van de stelling dat twee zwaartelijnen in een driehoek elkaar verdelen in de verhouding 2 : 1 waarbij het langste stuk aan de zijde van het hoekpunt ligt. Zo kun je zien dat de afstand van het centrum van de gelijkzijdige driehoek tot elk van de hoekpunten, en daarmee de straal van de omgeschreven cirkel, gelijk is aan 2/3 van de lengte van een hoogtelijn.
Maar, zoals gezegd, met de sinusregel gaat het eenvoudiger.
5x - 4y > 3 dan heb ik (3/5,0) en (0, -3/4) en rechtervlak is dan groter dan 3.
[ Bericht 1% gewijzigd door wiskundenoob op 14-09-2013 13:51:05 ]
De abstractere kant van lineaire algebra, waar je met vectorruimtes werkt, komt hier niet in aan de orde. Maar dit is voorlopig wel genoeg stof, neem ik aan
En anders kanik je per DM het dictaat van de TU/e sturen.quote:
Ik zoek materialen met betrekking tot lineaire algebra. Weet er iemand (online) Nederlandstalige bronnen, waar alles stap voor stap wordt uitgelegd aan de hand van voorbeelden?
Als je in een plat vlak met een cartesisch assenstelsel de lijn tekent met als vergelijkingquote:
Wat wordt er met inwendig punt bedoeld bij het tekenen van halfvlakken?
5x - 4y > 3 dan heb ik (3/5,0) en (0, -3/4) en rechtervlak is dan groter dan 3.
5x − 4y = 3
dan verdeelt deze lijn het vlak in twee delen. Voor de coördinaten van de inwendige punten van het ene vlakdeel geldt dan 5x − 4y < 3 en voor coördinaten van de inwendige punten van het andere vlakdeel 5x − 4y > 3.
Met een inwendig punt van een vlakdeel wordt een punt bedoeld dat niet op de rand van dat vlakdeel ligt, maar 'binnen' het vlakdeel. Zo'n inwendig punt van een vlakdeel heeft het kenmerk dat er een omgeving is van dat punt die in zijn geheel tot het vlakdeel behoort. Onder een omgeving van een punt in het vlak verstaan we de verzameling van alle punten van het vlak die dichter dan een bepaalde afstand bij het gegeven punt in de buurt liggen.
De punten met coördinaten (3/5; 0) en (0; −3/4) die je noemt liggen op de lijn met vergelijking 5x − 4y = 3 en zijn (dus) geen inwendige punten van de vlakdelen waarin deze lijn het vlak verdeelt. Immers, elke omgeving van een punt op de lijn, hoe klein ook, bevat punten van beide vlakdelen en behoort dus niet in zijn geheel tot één van beide vlakdelen.
Moet me nog steeds buigen over dat bewijs voor dat nulpunt.
(1,0) is de inwendige punt bij die opgave. Heeft dat iets te maken met een oxy-stelsel?quote:
[..]
Als je in een plat vlak met een cartesisch assenstelsel de lijn tekent met als vergelijking
5x − 4y = 3
dan verdeelt deze lijn het vlak in twee delen. Voor de coördinaten van de inwendige punten van het ene vlakdeel geldt dan 5x − 4y < 3 en voor coördinaten van de inwendige punten van het andere vlakdeel 5x − 4y > 3.
Met een inwendig punt van een vlakdeel wordt een punt bedoeld dat niet op de rand van dat vlakdeel ligt, maar 'binnen' het vlakdeel. Zo'n inwendig punt van een vlakdeel heeft het kenmerk dat er een omgeving is van dat punt die in zijn geheel tot het vlakdeel behoort. Onder een omgeving van een punt in het vlak verstaan we de verzameling van alle punten van het vlak die dichter dan een bepaalde afstand bij het gegeven punt in de buurt liggen.
De punten met coördinaten (3/5; 0) en (0; −3/4) die je noemt liggen op de lijn met vergelijking 5x − 4y = 3 en zijn (dus) geen inwendige punten van de vlakdelen waarin deze lijn het vlak verdeelt. Immers, elke omgeving van een punt op de lijn, hoe klein ook, bevat punten van beide vlakdelen en behoort dus niet in zijn geheel tot één van beide vlakdelen.
Feitelijk ieder punt waarvoor geldt 5x-4y ≠ 3quote:
[..]
(1,0) is de inwendige punt bij die opgave.
?quote:
[..]
Feitelijk ieder punt waarvoor geldt 5x-4y ≠ 3
Lees nu eens wat Riparius zegt.quote:
Ik begrijp het nu, maar wat jij zei klopt niet.quote:
Als ik het goed begreep is het vlak toch oneindig groot? Als de lijn 5x-4y = 3 dan een oneindig vlak in 2 delen verdeelt is dus ieder punt dat niet op de lijn ligt een inwendig punt van een van de vlakken. Dat was even mijn redenering. Moet je nu een inwendig punt van het linker- of het rechtervlak hebben, dan heb je te maken met een ongelijkheid.quote:
[..]
Ik begrijp het nu, maar wat jij zei klopt niet.
[ Bericht 11% gewijzigd door Amoeba op 14-09-2013 16:43:36 ]
P(1,3,-2)
Q(2,4,5)
R(-3,-2,2)
Ik moet het oppervlakte van de driehoek tussen de drie punten vinden. Eerst heb ik de vectoren berekent, daarvan de absolute waarden genomen, en dan de driehoek in twee aparte driehoeken verdeeld. Van die twee driehoeken heb ik het oppervlakte berekent door een half keer lengte keer hoogte te doen. Uiteindelijk heb ik de driehoeken bij elkaar opgeteld voor het totale oppervlakte voor de grote driehoek, maar dan kom ik niet op het goede antwoord uit volgens het boek. Moet ik het anders doen of heeft het boek het gewoon fout?
Kun je de wiskundige uitwerking eens posten?quote:
Ik heb drie punten:
P(1,3,-2)
Q(2,4,5)
R(-3,-2,2)
Ik moet de oppervlakte van de driehoek tussen de drie punten vinden. Eerst heb ik de vectoren berekend, daarvan de absolute waarden genomen, en dan de driehoek in twee aparte driehoeken verdeeld. Van die twee driehoeken heb ik de oppervlakte berekend door een half keer lengte keer hoogte te doen. Uiteindelijk heb ik de driehoeken bij elkaar opgeteld voor de totale oppervlakte voor de grote driehoek, maar dan kom ik niet op het goede antwoord uit volgens het boek. Moet ik het anders doen of heeft het boek het gewoon fout?
Hoe?quote:
[...]en dan de driehoek in twee aparte driehoeken verdeeld[...]
(Interessant topic! Iedereen mag helpen toch?)
Het is onmogelijk te zeggen wat je allemaal fout doet als je niet je volledige berekening post.quote:
Ik heb drie punten:
P(1,3,-2)
Q(2,4,5)
R(-3,-2,2)
Ik moet het de oppervlakte van de driehoek tussen de gevormd door deze drie punten vinden. Eerst heb ik de vectoren berekend, daarvan de absolute waarden genomen, en dan de driehoek in twee aparte driehoeken verdeeld. Van die twee driehoeken heb ik het de oppervlakte berekend door een half keer lengte keer hoogte te doen. Uiteindelijk heb ik de driehoeken bij elkaar opgeteld voor het de totale oppervlakte voor de grote driehoek, maar dan kom ik niet op het goede antwoord uit volgens het boek. Moet ik het anders doen of heeft het boek het gewoon fout?
Maar laat ik een tip geven. De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan de helft van het product van de lengten van twee zijden en de sinus van de ingesloten hoek. Nu weet je ook dat het inproduct van twee vectoren gelijk is aan het product van de lengten van die vectoren en de cosinus van de ingesloten hoek. Verder is de som van de kwadraten van de cosinus en de sinus van een hoek gelijk aan één. Hier kun je wat mee doen.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 14-09-2013 17:48:25 ]
Tijdens het opdelen van de grote driehoeken in twee rechthoekige driehoeken ben ik ervan uitgegaan dat de grote driehoek gelijkbenig was, dat is niet het geval. Daardoor was mijn antwoord anders dan die van het boek.Dat zou betekenen dat je de waarde met 2 vermenigvuldigd hebt. Dat lijkt me inderdaad wat kort door de bocht.quote:
Bedankt voor de snelle reacties, maar ik heb het probleem al gevonden.
Als je de absolute waarde van de verschilvectoren neemt kun je eenvoudig natrekken dat dit niet het geval is.
Ja, zo klopt ie welquote:
[..]
Als ik het goed begreep is het vlak toch oneindig groot? Als de lijn 5x-4y = 3 dan een oneindig vlak in 2 delen verdeelt is dus ieder punt dat niet op de lijn ligt een inwendig punt van een van de vlakken. Dat was even mijn redenering. Moet je nu een inwendig punt van het linker- of het rechtervlak hebben, dan heb je te maken met een ongelijkheid.
Uiteraard. Maar waarom zei je dan eerst dat het niet juist was?quote:
Ik had het over 5x - 4y > 3. Dus dan zijn niet alle punten die niet op 5x - 4y = 3 zitten inwendige punten.quote:
[..]
Uiteraard. Maar waarom zei je dan eerst dat het niet juist was?
[ Bericht 0% gewijzigd door wiskundenoob op 14-09-2013 17:49:17 ]
Ach zo. Dat had ik dan verkeerd begrepen. Maar nog steeds voldoen oneindig aantal paren (x,y) aan deze vergelijking.quote:
[..]
Ik had het over 5x - 4y > 3. Dus dan zijn niet alle punten die niet op 5x - 4y = 3 inwendige punten.
Je hoeft de driehoek niet op te delen. Als het goed is vind je voor de oppervlakte ½√2546.quote:
Bedankt voor de snelle reacties, maar ik heb het probleem al gevonden.
Het boek zegt dat de oppervlakte de helft daarvan is.quote:
[..]
Je hoeft de driehoek niet op te delen. Als het goed is vind je voor de oppervlakte √2546.
De helft daarvan, dan.quote:
[..]
De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan het product van de lengten van twee zijden en de sinus van de ingesloten hoek.
Dat verklaart het verschil tussen het antwoord van Riparius en het boek van Rezania.
EDIT: Nu klopt het wel :p.
Sorry, mijn fout. Ik had de lengte berekend van het uitproduct van twee verschilvectoren, maar dat is uiteraard de oppervlakte van het omspannen parallellogram, dus die moeten we dan nog door 2 delen om de oppervlakte van de driehoek te verkrijgen.quote:
[..]
Het boek zegt dat de oppervlakte de helft daarvan is.
Bedankt.Ik vind het eigenlijk verschrikkelijk dat ik dit snap.quote:
[..]
Sorry, mijn fout. Ik had de lengte berekend van het uitproduct van twee verschilvectoren, maar dat is uiteraard de oppervlakte van het omspannen parallellogram, dus die moeten we dan nog door 2 delen om de oppervlakte van de driehoek te verkrijgen.
Zo erg is dat toch niet? Klinkt best wel logisch als je er even over nadenkt.quote:
[..]
Ik vind het eigenlijk verschrikkelijk dat ik dit snap.
Ik zie niet wat daar nu verschrikkelijk aan is om zoiets te begrijpen?quote:
[..]
Ik vind het eigenlijk verschrikkelijk dat ik dit snap.
Ieder normaal mens schijnt zo slim te zijn om vooral geen studie te doen waarbij je dit nodig hebt, en ik kies een studie waarbij dit in week 2 wordt verteld alsof het niets is.quote:
[..]
Zo erg is dat toch niet? Klinkt best wel logisch als je er even over nadenkt.
Bij mijn studie ook, van de week college in gehad.quote:
[..]
Ieder normaal mens schijnt zo slim te zijn om vooral geen studie te doen waarbij je dit nodig hebt, en ik kies een studie waarbij dit in week 2 wordt verteld alsof het niets is.
Wat studeer je dan? Het werd maandagochtend in Calculus verteld, en vrijdagmiddag in het college Lineaire Algebra waar iedereen dus lag te slapen omdat Habets dat allemaal in 10 minuten uitgelegd had en meneer Sterk nog even 2 uur college gaf over die 10 minuten.quote:
[..]
Bij mijn studie ook, van de week college in gehad.
Life Science & Technology in Leiden en Delft. Jij?quote:
[..]
Wat studeer je dan? Het werd maandagochtend in Calculus verteld, en vrijdagmiddag in het college Lineaire Algebra waar iedereen dus lag te slapen omdat Habets dat allemaal in 10 minuten uitgelegd had en meneer Sterk nog even 2 uur college gaf over die 10 minuten.
Ik wilde je de berekening van het uitproduct van de verschilvectoren besparen door gebruik te maken vanquote:
[..]
Bij mijn studie ook, van de week college in gehad.
Begrijp je dit nu ook?
Technische Wiskunde in Eindhoven. Ik zie eigenlijk nu pas dat ik met 2 accounts tegelijkertijd zit te posten omdat ik op IE ingelogd ben op Muiroe en in Chrome op Amoeba.quote:
[..]
Life Science & Technology in Leiden en Delft. Jij?
Ja, als je de wortel van die a x b kwadraat neemt heb je de oppervlakte van een parallellogram, en dat keer de helft geeft de oppervlakte van een driehoek toch?quote:
[..]
Ik wilde je de berekening van het uitproduct van de verschilvectoren besparen door gebruik te maken van
[ afbeelding ]
Begrijp je dit nu ook?
Ik zie dat dit de Formule van Lagrange is, en dat dit weinig meer inhoudt dan het goniometrisch equivalent van de Stelling van Pythagoras.quote:
[..]
Ik wilde je de berekening van het uitproduct van de verschilvectoren besparen door gebruik te maken van
[ afbeelding ]
Begrijp je dit nu ook?
Mja, met zo'n studie vraag je er natuurlijk ook wel om, met iedere bètastudie eigenlijk wel.quote:
[..]
Technische Wiskunde in Eindhoven. Ik zie eigenlijk nu pas dat ik met 2 accounts tegelijkertijd zit te posten omdat ik op IE ingelogd ben op Muiroe en in Chrome op Amoeba.
Maar goed, dan word je wel lekker uitgedaagd.Jazeker. Maar ik doelde meer op het feit dat a · b gemakkelijker is te berekenen dan a × b.quote:
[..]
Ja, als je de wortel van die a x b kwadraat neemt heb je de oppervlakte van een parallellogram, en dat keer de helft geeft de oppervlakte van een driehoek toch?
Ja, dat klopt natuurlijk. Die ga ik onthouden.quote:
[..]
Jazeker. Maar ik doelde meer op het feit dat a · b gemakkelijker is te berekenen dan a × b.
Jazeker. Beetje wennen is een nieuwe manier van alles opschrijven.quote:
[..]
Mja, met zo'n studie vraag je er natuurlijk ook wel om, met iedere bètastudie eigenlijk wel.
Dus, ergo, daaruit volgt. Eigenlijk moet je dus goedlopende zinnen maken.
Misschien weet Riparius dit. Stel je hebt een willekeurige adjacentiematrix van een relatie, is er dan een snelle manier om de adjacentiematrix van de transitieve afsluiting van die relatie op te schrijven?
De reflexieve en symmetrische afsluiting lukken me wel, maar als ze me naar de kleinst mogelijke equivalentierelatie vragen kom ik altijd in de knel met de transitieve afsluiting. Nu gaat dat wel omdat het vrij kleine relaties zijn, maar stel dat de relaties groter worden gaat het me zo niet meer lukken.
Het is gemakkelijk te begrijpen maar dit is wel een van die dingen die vaak slecht wordt uitegelegd. Het is immers gemakkelijk om te begrijpen dat het kruisproduct van twee vectoren loodrecht staat op het vlak wat door die vectoren wordt gevormd en dat ook de twee vectoren waarvan je het kruisproduct neemt loodrecht op elkaar staan, het is gemakkelijk om te leren hoe je het berekend maar in de koppeling tussen hoe je het berekent en, laten we zeggen, de meetkundige aspecten laten ze m.i. vaak steken vallen. Nu heb ik het ook alleen maar geleerd in de context van andere vakken waarbij in een inleidend hoofdstuk dit summier werd uitgelegd.quote:
[..]
Ik zie niet wat daar nu verschrikkelijk aan is om zoiets te begrijpen?
[ afbeelding ]
Nee, de twee vectoren in R³ waarvan je het kruisproduct (vectorproduct, vectorieel product, uitwendig product, uitproduct, Gibbs product) neemt hoeven helemaal niet loodrecht op elkaar te staan.quote:
[..]
Het is gemakkelijk te begrijpen maar dit is wel een van die dingen die vaak slecht wordt uitegelegd. Het is immers gemakkelijk om te begrijpen dat het kruisproduct van twee vectoren loodrecht staat op het vlak wat door die vectoren wordt gevormd en dat ook de twee vectoren waarvan je het kruisproduct neemt loodrecht op elkaar staan,
Bij een goede inleiding hoort toch te worden aangetoond dat de meetkundige en de algebraïsche definities equivalent zijn, en dat hoeft helemaal niet veel tijd te kosten als je gebruik maakt van de eerder aangetoonde equivalentie van de meetkundige en algebraïsche definities van het inproduct van twee vectoren, zie bijv. p. 67-68 van dit dictaat van Beukers. Wat ik dan wel enigszins inconsequent vind in dit dictaat is dat hij het uitproduct algebraïsch definieert (p. 67) terwijl hij eerder (p. 17) het inproduct nu juist meetkundig definieert.quote:het is gemakkelijk om te leren hoe je het berekent maar in de koppeling tussen hoe je het berekent en, laten we zeggen, de meetkundige aspecten laten ze m.i. vaak steken vallen. Nu heb ik het ook alleen maar geleerd in de context van andere vakken waarbij in een inleidend hoofdstuk dit summier werd uitgelegd.
Een vlak in R3 wordt bepaald door drie punten die niet op één lijn liggen (een kruk op drie poten wiebelt niet), dus het vierde punt van het parallellogram is redundant.quote:
Nog even een vraag. Ik heb een parallellogram PQRS en ik moet een vergelijking van een vlak dat PQRS bevat opstellen. De vergelijking van een vlak dat een gegeven punt bevat lukt wel, alleen bij een parallellogram heb ik echt geen idee waar ik moet beginnen. Tips?
Hint: bepaal eerst een normaalvector voor het vlak, dat is een vector die loodrecht op het vlak staat. Zie ook deze post voor een methode om een cartesische vergelijking te bepalen van een vlak door drie gegeven punten.
Bedankt, morgen even naar kijken dan. Vandaag al genoeg wiskunde gemaakt.quote:
[..]
Een vlak in R3 wordt bepaald door drie punten die niet op één lijn liggen (een kruk op drie poten wiebelt niet), dus het vierde punt van het parallellogram is redundant.
Hint: bepaal eerst een normaalvector voor het vlak, dat is een vector die loodrecht op het vlak staat. Zie ook deze post voor een methode om een cartesische vergelijking te bepalen van een vlak door drie gegeven punten.
Volgens mij bestaat daar niet echt een snel algoritme voor dat je met pen en papier kan uitvoeren, zoals wel het geval is voor de symmetrische en reflexieve afsluiting. Alle praktische methoden zijn O(n3), en komen uiteindelijk neer op gewoon alle drietallen uitproberen. (Voor zover ik weet, ik heb me er nooit echt in verdiept, maar wat ik kan vinden op internet ondersteunt dit vermoeden).quote:
[..]
Misschien weet Riparius dit. Stel je hebt een willekeurige adjacentiematrix van een relatie, is er dan een snelle manier om de adjacentiematrix van de transitieve afsluiting van die relatie op te schrijven?
De reflexieve en symmetrische afsluiting lukken me wel, maar als ze me naar de kleinst mogelijke equivalentierelatie vragen kom ik altijd in de knel met de transitieve afsluiting. Nu gaat dat wel omdat het vrij kleine relaties zijn, maar stel dat de relaties groter worden gaat het me zo niet meer lukken.
Dat vermoeden kreeg ik inderdaad ook al.quote:
[..]
Volgens mij bestaat daar niet echt een snel algoritme voor dat je met pen en papier kan uitvoeren, zoals wel het geval is voor de symmetrische en reflexieve afsluiting. Alle praktische methoden zijn O(n3), en komen uiteindelijk neer op gewoon alle drietallen uitproberen. (Voor zover ik weet, ik heb me er nooit echt in verdiept, maar wat ik kan vinden op internet ondersteunt dit vermoeden).
De volgende tabel bevat de omzetgegeven van een product over de afgelopen 12 maanden
Maand Omzet
1 105
2 135
3 120
4 105
5 90
6 120
7 145
8 140
9 100
10 80
11 100
12 110
Gebruik exponentiële effening om de voorspelling voor periode 13 te bepalen. Kies hierbij een goede startwaarde en geef aan wat de beste keuze is voor de dempingsconstante (op 1 decimaal is goed genoeg).
Nu weet ik dat de formule voor exponentiële effening is:
Ft = α x Dt-1 + (1-α) x Ft-1
Hierin is:
α, een factor zonder dimensie, waarvoor geldt 0 < α < 1 (Dempingsfactor)
Dt-1, de vraag naar een product in de aan een periode t voorafgaande periode, in stuks;
Ft-1, de voorspelling van een vraag naar een product in de aan een periode t voorafgaande periode, in stuks;
Ft, de voorspelling van een vraag naar een product voor een periode t, in stuks.
Hoe kan ik dan ooit die som uitrekenen voor maand 13 terwijl de alpha niet eens is gegeven?
Kan iemand mij helpen?
[ Bericht 4% gewijzigd door ForzaMilan op 16-09-2013 21:00:02 ]
Goed, goniometrie. Zelfs bij de basisopgaven loop ik vast/heb ik geen plan van aanpak.
De volgende opdracht blijft mij een raadsel:
''Find the values of the quantities using various formulas presented in this section. Do NOT use tables or a calculator (voor diegenen die kunnen meekijken, Adams - Essex Calculus section P7 pagina 57)''
tan - 3π/4
In het tabelletje (wat ik volgens de opdracht dus ook niet mag gebruiken?) staan namelijk alleen de sinussen en cosinussen van de hoeken.
Het enige wat ik uit die 3π/4 kan opmaken is dat dat π - π4 is. Vervolgens moet je dit omzetten naar een breuk. Alleen in bovengenoemde tabel staan alleen de waarden van de cos/sin van de hoeken.
Weet iemand trouwens waarom sin(3π/4) = (π - ...) en bij cos(4π/3) krijg je weer (π + ....)?
Dit zijn wss echt basis/noobvragen van gonio maar ik kom er echt niet uit :s
Maar je weet dat je tan met sin en cos kan uitrekenen?
Verder kloppen je sin en cos niet.
Of je bedoelt iets anders
[ Bericht 55% gewijzigd door t4rt4rus op 16-09-2013 22:29:59 ]
Wat heb je tegen het stellen van vragen online, op FOK of op WisFaq.nl bijvoorbeeld?quote:
Hallo allemaal. Ik ben er niet zo'n van fan om online dingen te vragen maar mijn docent is al een weekje ziek en ik ben gewoon een kneusje in wiskunde.
Hoofdstuk P7 in het boek van Adams en Essex geeft een resumé van de schoolstof goniometrie. Deze stof had je dus al lang moeten beheersen, maar mede door het belabberde onderwijs in Nederland is de kans groot dat dat niet het geval is. Niettemin is dat geen excuus om de stof niet alsnog goed te bestuderen. Het is een teken aan de wand dat deze stof überhaupt in dit boek aan de orde wordt gesteld: ik denk dat het onderwijs in de VS inmiddels ook in een dermate diep dal is aangeland dat dergelijke preliminaire hoofdstukken in een boek over calculus veelal bittere noodzaak zijn geworden.quote:Goed, goniometrie. Zelfs bij de basisopgaven loop ik vast/heb ik geen plan van aanpak.
Als dit al 'een raadsel' voor je is dan vrees ik dat je werkelijk zo goed als niets weet van goniometrie. Het bewijst ook dat je je de stof van het hoofdstuk niet hebt eigengemaakt, want kijk nog eens naar definitie 8: de tangens van een (rotatie)hoek wordt gedefinieerd als het quotiënt van de sinus en de cosinus van diezelfde (rotatie)hoek.quote:De volgende opdracht blijft mij een raadsel:
''Find the values of the quantities using various formulas presented in this section. Do NOT use tables or a calculator (voor diegenen die kunnen meekijken, Adams - Essex Calculus section P7 pagina 57)''
tan - 3π/4
In het tabelletje (wat ik volgens de opdracht dus ook niet mag gebruiken?) staan namelijk alleen de sinussen en cosinussen van de hoeken.
Teken nu eens een cartesisch assenstelsel met daarin de eenheidscirkel. Teken ook de halve rechte die je krijgt door de positieve x-as om de oorsprong te roteren over een hoek van −¾π rad. Bepaal nu meetkundig de coördinaten van het snijpunt van deze halve rechte met de eenheidscirkel. Dit snijpunt is het beeld van het punt met coördinaten (1; 0) bij een rotatie om de oorsprong over een hoek −¾π rad en de coördinaten van dit punt zijn dus per definitie (cos(−¾π); sin(−¾π)). Door het quotiënt van de y- en de x-coördinaat te bepalen vind je dan de (exacte) waarde van tan(−¾π).
Ook dit wordt in het boek uitgelegd.quote:Het enige wat ik uit die 3π/4 kan opmaken is dat dat π - π/4 is. Vervolgens moet je dit omzetten naar een breuk. Alleen in bovengenoemde tabel staan alleen de waarden van de cos en sin van de hoeken.
Weet iemand trouwens waarom sin(3π/4) = sin(π - ...) en bij cos(4π/3) krijg je weer cos(π + ....)?
Tip: download en print mijn PDF over goniometrische identiteiten (link in de OP). Waarschijnlijk is een deel ervan nog veel te hoog gegrepen, maar je hebt dan in ieder geval een overzicht van de belangrijkste goniometrische identiteiten die je beslist moet kennen.quote:Dit zijn wss echt basis/noobvragen van gonio maar ik kom er echt niet uit :s
Addendum: ik kan je eveneens sterk aanbevelen deze PDF van een remediëringscursus van de universiteit Leuven te downloaden en te printen. Het eerste deel geeft een overzicht van de goniometrie, en verder komt er wat elementaire vlakke meetkunde en iets over het werken met vectoren aan bod.
[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 17-09-2013 19:18:44 ]
Het is natuurlijk de bedoeling dat je een best fit voor die α bepaalt aan de hand van de beschikbare gegevens, dat is nu juist de opgave. Ik heb zelf geen ervaring met dit soort statistische vraagstukken en de persoon bij uitstek die je had kunnen helpen met deze opgave is al een tijd niet meer actief op dit forum, dus ik vrees dat je hier geen goed antwoord gaat krijgen. Het gaat in ieder geval om exponential smoothing en het Wikipedia artikel geeft aan dat er geen formele procedure is voor de bepaling van een correcte α maar dat je bijvoorbeeld de waarde van α zou kunnen optimaliseren met de methode van de kleinste kwadraten. Ik neem aan dat je leerboek wel uitsluitsel geeft over de methode(n) die je geacht wordt te hanteren, en bestudeer anders dit eens.quote:
Hoe kan ik dan ooit die som opgave maken voor maand 13 terwijl de alpha niet eens is gegeven?
Kan iemand mij helpen?
[ Bericht 4% gewijzigd door Riparius op 17-09-2013 00:47:38 ]
Kan iemand mij helpen met deze vraag?
http://imgur.com/rm8GvfP
Ik heb geen idee hoe ik hieraan moet beginnen
Probeer eerst maar eens alle functies in W te beschrijven.quote:
Hoi,
Kan iemand mij helpen met deze vraag?
http://imgur.com/rm8GvfP
Ik heb geen idee hoe ik hieraan moet beginnen
functies waarin 1 waarde van x(tussen 0 en 1) naar 1 wordt gestuurd(x=c), en de rest naar 0?quote:
[..]
Probeer eerst maar eens alle functies in W te beschrijven.
Bedoel je dit?
Dat zijn de functies die W opspannen. W zelf bestaat uit lineaire combinaties van zulke functies. Hoe zien zulke functies er in het algemeen uit?quote:
[..]
functies waarin 1 waarde van x(tussen 0 en 1) naar 1 wordt gestuurd(x=c), en de rest naar 0?
Bedoel je dit?
Nee. Die vormen namelijk geen lineaire ruimte.quote:
functies die als waarden of 1 of 0 hebben?
Owja, dat is waar. Even denken.quote:
[..]
Nee. Die vormen namelijk geen lineaire ruimte.
Ik heb het gevoel dat het alle reele functies op [0,1] zijn, maar het is overduidelijk dat ik het niet begrijp. Kun je me een hint geven?quote:
[..]
Nee. Die vormen namelijk geen lineaire ruimte.
Dat is inderdaad niet correct. Hoe is een lineaire combinatie gedefinieerd?quote:
[..]
Ik heb het gevoel dat het alle reeele functies op [0,1] zijn, maar het is overduidelijk dat ik het niet begrijp. Kun je me een hint geven?
http://nl.wikipedia.org/wiki/Lineaire_combinatiequote:
[..]
Dat is inderdaad niet correct. Hoe is een lineaire combinatie gedefinieerd?
Heeft het wat te maken met het feit dat een lineaire combinatie EINDIG veel elementen heeft?
Zeker.quote:
[..]
http://nl.wikipedia.org/wiki/Lineaire_combinatie
Heeft het wat te maken met het feit dat een lineaire combinatie EINDIG veel elementen heeft?
Functies die een waarde hebben voor een eindig aantal waarden voor x?quote:
Ik weet niet wat het anders zou kunnen zijn. een niet continue functie dus? met bijvoorbeeld een aantal punten die een waarde hebben die ongelijk zijn aan 0, en de rest 0Juist, dat zijn inderdaad de elementen van W.quote:
[..]
Functies die een waarde hebben voor een eindig aantal waarden voor x?
heb ik het dan juist als ik zeg dat g niet in W zit? omdat g voor oneindig veel x een waarde(ongelijk aan 0) heeft?quote:
[..]
Juist, dat zijn inderdaad de elementen van W.
Ja, inderdaad.quote:
[..]
heb ik het dan juist als ik zeg dat g niet in W zit? omdat g voor oneindig veel x een waarde(ongelijk aan 0) heeft?
Heel erg bedankt! :-)quote:
Is dat hetzelde als x?quote:
∅ is het zgn. "empty set" symbool. Anders gezegd, dat is de 1-teken-notatie voor "De verzameling is leeg"
Ik vermoed toch dat hij de Griekse kleine letter θ (resp. hoofdletter Θ) bedoelt ...quote:
∅ is het zgn. "empty set" symbool. Anders gezegd, dat is de 1-teken-notatie voor "De verzameling is leeg"
Ja, in een hoekpunt.quote:
... tenminste, als noob een operator bedoelt. Bedoelt hij een variabele, dan is dat een hoek.
Dan zal het de Griekse letter θ (theta) zijn. Leer het Griekse alfabet, want dat wordt veel gebruikt in de wiskunde.quote:
Ok, als het een teken is uit de Griekse alfabet is het dan altijd een variabele?quote:
[..]
Dan zal het de Griekse letter θ (theta) zijn. Leer het Griekse alfabet, want dat wordt veel gebruikt in de wiskunde.
Niet altijd, π (pi) stelt bijvoorbeeld een constante voor ...quote:
[..]
Ok, als het een teken is uit de Griekse alfabet is het dan altijd een variabele?
Wat is het verschil tussen sin x en sin θ?quote:
[..]
Niet altijd, π (pi) stelt bijvoorbeeld een constante voor ...
Dat is zo zonder contekst moeilijk te zeggen. In de goniometrie werkt men met hoeken, en de groottes van die hoeken worden traditioneel aangegeven met kleine Griekse letters. Dat heb je hierboven ook al gezien bij de driehoek: de groottes van de hoeken bij de hoekpunten A, B, C worden dan aangegeven met resp. α, β, γ.quote:
[..]
Wat is het verschil tussen sin x en sin θ?
Om een algemene (variabele) hoekgrootte aan te geven wordt vaak de letter θ gebruikt, waarschijnlijk omdat dit de eerste 'vrije' letter uit het Griekse alfabet was: α, β, γ, δ worden vaak gebruikt voor de groottes van de hoeken in een driehoek resp. vierhoek, ε en δ ook in de analyse bij de definitie van een limiet (en van continuïteit), en ξ, η, ζ worden vaak als pendanten van x, y, z gebruikt.
In de reële analyse (differentiaal- en integraalrekening) wordt de onafhankelijke variabele van een functie met de letter x aangeduid, en zo schrijft men in de analyse liever sin x voor de sinus van een reëel getal x. Dan werk je dus eigenlijk niet meer met een hoek uitgedrukt in radialen, en wordt de sinus niet meer opgevat als een goniometrische verhouding of de tweede coördinaat van een punt op de eenheidscirkel maar als een reële functie van een reële variabele.
Domain is [4,∞)
Inverse geeft x=(y2+2)2
Range is dan toch (-∞,∞)? Het goede antwoord is blijkbaar [0,∞)
Voor y kan je toch elk getal invullen in de inverse?
Hoe kun je aantonen dat lim p->0 van (a/p)-(2+a)/(p^2)+(4/p^5)-2 naar infinity gaat?
Intuitief kun je het al zien, aangezien 4/p^5 het snelst naar oneindig gaat en dus sterker is dan -(2+a)/(p^2). ik moet het echter ook formeel aantonen?
iemand advies?
Ook loop ik vast omtrent de inverse vinden van y = (x+1)/(x-2)quote:
y=√(√(x)-2)
Domain is [4,∞)
Inverse geeft x=(y2+2)2
Range is dan toch (-∞,∞)? Het goede antwoord is blijkbaar [0,∞)
Voor y kan je toch elk getal invullen in de inverse?
Ik kom tot
y(x-2)=x+1
yx-2y=x+1
Maar dit zal het niet zijn?
Zet alles met x aan een kant en de rest aan de andere kant.quote:
[..]
Ook loop ik vast omtrent de inverse vinden van y = (x+1)/(x-2)
Ik kom tot
y(x-2)=x+1
yx-2y=x+1
Maar dit zal het niet zijn?
Dan moet je wel zien dat je x buiten de haakjes kan halen.
quote:
[..]
Zet alles met x aan een kant en de rest aan de andere kant.
Ik had hem al, thanks. Weet je misschien de vraag die ik gequote had?quote:
[..]
Zet alles met x aan een kant en de rest aan de andere kant.
Dan moet je wel zien dat je x buiten de haakjes kan halen.
Een wortel van een element x is per definitie groter dan 0.quote:
[..]
Ik had hem al, thanks. Weet je misschien de vraag die ik gequote had?
Nou zet alles met eens aan een kant en de rest aan de andere kant.quote:
Laat eens zien of je dat kan...
Dankquote:
[..]
Een wortel van een element x is per definitie groter dan 0.
In dit geval alleen de vierkantswortel. Niet voor bijv. een derdemachtswortels voor de azijnpissers.quote:
Maar ook groter en gelijk aan 0 dan?quote:
[..]
In dit geval alleen de vierkantswortel. Niet voor bijv. een derdemachtswortels voor de azijnpissers.
Jaja, natuurlijk. Mijn fout. Het bereik van de vierkantswortel van x is inderdaad groter of gelijk aan 0.quote:
[..]
Maar ook groter en gelijk aan 0 dan?
Nee, want het rechterlid kan geen negatieve waarden aannemen vanwege al die kwadraten. Kijk maar:quote:
y=√(√(x)-2)
Domain is [4,∞)
Inverse geeft x=(y2+2)2
Range is dan toch (-∞,∞)? Het goede antwoord is blijkbaar [0,∞)
Voor y kan je toch elk getal invullen in de inverse?
y=√(√(x)-2)
inverteren (a.k.a. x en y verwisselen) geeft
x=√(√(y)-2)
x2 = (√(y)-2)
x2 + 2 = √(y)
(x2+2)2 = y
[ Bericht 6% gewijzigd door VanishedEntity op 18-09-2013 16:46:19 ]
Bedoel jequote:
Yo,
Hoe kun je aantonen dat lim p->0 van (a/p)-(2+a)/(p^2)+(4/p^5)-2 naar infinity gaat?
Intuitief kun je het al zien, aangezien 4/p^5 het snelst naar oneindig gaat en dus sterker is dan -(2+a)/(p^2). ik moet het echter ook formeel aantonen?
iemand advies?
?
[ Bericht 0% gewijzigd door VanishedEntity op 18-09-2013 17:18:52 ]
Heb je je best gedaan om een antwoord te typen, blijkt er een volgende pagina te zijn met de antwoorden. Oeps...
Ik zie nergens een x staanquote:
Wat is je punt nu, in je verhaaltje?quote:
Range (bereik) zijn waarden die de functie aan kan nemen voor y. Domain (domein) zijn waarden die je voor x invult. Geen idee (6 vwo) wat het nut van die inverse in dit verhaaltje is, maar als je kijkt naar de functie zie je dat het in principe om een wortel gaat, en wortels altijd een positief getal opleveren. Ik weet niet precies waarom je de inverse bepaalt (kijken wat je kan invullen in de inverse? Geen idee), maar wortel trekken en kwadrateren zijn alleen elkaars inverse voor positieve getallen. (-2^2=4, maar wortel(4)=/=-2)
Heb je je best gedaan om een antwoord te typen, blijkt er een volgende pagina te zijn met de antwoorden. Oeps...
Of je leest eerst evenquote:
[..]
Nee, want het rechterlid kan geen negatieve waarden aannemen vanwege al die kwadraten. Kijk maar:
y=√(√(x)-2)
inverteren (a.k.a. x en y verwisselen) geeft
x=√(√(y)-2)
x2 = (√(y)-2)
x2 + 2 = √(y)
(x2+2)2 = y
Duidelijk maken dat wortels een positief getal opleveren en het niet altijd als inverse kwadrateren heeft, waarna ik erachter kwam dat dat al 42x eerder gezegd was, omdat er nog een pagina bijgekomen was.quote:
[..]
Wat is je punt nu, in je verhaaltje?
Je zeurt nu een beetje. Iemand die keurig TeX gebruikt maakt een schoonheidsfoutje terwijl je zelf vrij slordige unicode gebruikt zonder de mogelijkheden tot opmaak die FOK! biedt zoals superscript of subscript.quote:
Je moet ervoor zorgen dat je de functie f(p) zo omschrijft dat je niet meer door nul gaat delen als je de limiet neemt.
Rustig aan hèquote:
[..]
Je zeurt nu een beetje. Iemand die keurig TeX gebruikt maakt een schoonheidsfoutje terwijl je zelf vrij slordige unicode gebruikt zonder de mogelijkheden tot opmaak die FOK! biedt zoals superscript of subscript.
Je moet ervoor zorgen dat je de functie f(p) zo omschrijft dat je niet meer door nul gaat delen als je de limiet neemt.
En ik bepaal de inverse zodat je makkelijk kan zien wat de range is van zo'n functie, domein kan je gelijk aflezen vanuit de originele functie. De originele functie heeft dus wortels, dus dan heeft de range sowieso geen negatieve getallen. Dat heb ik geleerd van Amoebaquote:
[..]
Duidelijk maken dat wortels een positief getal opleveren en het niet altijd als inverse kwadrateren heeft, waarna ik erachter kwam dat dat al 42x eerder gezegd was, omdat er nog een pagina bijgekomen was.
quote:
Schatteke, dat ís de procedure voor het bepalen van een inverse: In de oorspronkelijke functie x en y omwisselen en daarna y uitdrukken als (in dat geval) functie van x. Trouwens, voor het bepalen van het bereik van de oorspronkelijke functie heb je diens inverse niet eens nodig.quote:
En ik bepaal de inverse zodat je makkelijk kan zien wat de range is van zo'n functie, domein kan je gelijk aflezen vanuit de originele functie. De originele functie heeft dus wortels, dus dan heeft de range sowieso geen negatieve getallen. Dat heb ik geleerd van Amoeba
Sorry hoor, maarquote:
Schatteke, dat ís de procedure voor het bepalen van een inverse: In de oorspronkelijke functie x en y omwisselen en daarna y uitdrukken als (in dat geval) functie van x. Trouwens, voor het bepalen van het bereik van de oorspronkelijke functie heb je diens inverse niet eens nodig.
Je geeft antwoord op een vraag die niet eens gesteld wordtMisschien moet je zelf even tot bezinning komen.quote:
Mss toch maar eerst beter leren lezen dan. Je vraagt zelf naar het bereik van je oorspronkelijke functie en geeft aan dat je dat geprobeerd hebt door de inverse te berekenen.quote:
Sorry hoor, maar
dikgedrukte door mij...quote:
y=√(√(x)-2)
Domain is [4,∞)
Inverse geeft x=(y2+2)2
Range is dan toch (-∞,∞)? Het goede antwoord is blijkbaar [0,∞)
Voor y kan je toch elk getal invullen in de inverse?
Los van het feit dat je inverse fout is (je had x en y omgewisseld) en mijn afleiding daarvan en verdere argumenten in post #212 domweg negeert, zie je ook over het hoofd dat je het bereik van de oorspronkelijke functie in dit geval kunt bepalen door de elementaire eigenschappen van vierkantswortelfuncties in ℜ te beschouwen. De radicant moet nl. 0 of groter zijn en de radicaal kan dan elke waarde in ℜ+ aannemen, indien je je beperkt tot de positieve wortel. Wat een vereiste is als je aan de nr.1 voorwaarde voor eigenschappen van functies wilt voldoen; nl. dat elke waarde van het origineel (de x-waarde) correspondeert met 1 bijbehorende unieke waarde voor het beeld (de y-waarde).
[ Bericht 2% gewijzigd door VanishedEntity op 18-09-2013 18:06:39 ]
.quote:
Ook loop ik vast omtrent de inverse vinden van y = (x+1)/(x-2)
Ik kom tot
y(x-2)=x+1
yx-2y=x+1
Maar dit zal het niet zijn?
inverteren (a.k.a. x en y omwisselen) geeft
Set up the optimization problem of household S. Determine the optimal nonmarket time l
S as a function of the price of houses pH. (Hint: Remember that for
f(x) = log(x) we have f(x) = 1/x
We hebben de volgende functies uit de tekst U= wat het huishouden wilt, de voorkeur wat het heeft huishouden heeft voor een bepaalde goed. Dit huishouden gaat voor vrije tijd (leisure) (Ls) en Consumptie (Cs)
Household S does not value houses
and has preferences over consumption and non-market time
US(Cs,Ls)=log(Cs)+log(Ls)
The budget constraint is Cs = 1-ls+phHS.
HS : de hoeveelheid huizen huizen
ph: de prijs van de huizen.
1: de hoeveelheid tijd het huishouden in totaal bezit. dit is constant en blijft 1
Uit de vraagstelling volgt volgens mij moet ik de budget contraint 2x invullen, Een keer normaal en een keer herleid naar Ls.
Als we CS = 1-Ls+phHS herleiden naar een functie van Ls krijgen we +Ls en _Cs
= Ls = 1+ph*HS-C
De bovenste en het orgineel moeten we dan invullen in de formule.
Dan krijg je US(Cs,Ls)=log(1-ls+phHS )+log(1+ph*HS-C)
En dan moet ik de afgeleiden van de functie nemen, met ik denk de kettingregel. Hier loop ik vast
afgeleide van log is iig 1/2x Hoe nu verder?
Voor logaritmen in het algemeen geldt dan (blogx) ' = 1/x*lnb met als voorwaarde b ∈ <0,1>U<1,∞>
[ Bericht 2% gewijzigd door VanishedEntity op 19-09-2013 18:51:31 ]
Thanks!quote:
[..]
Het is natuurlijk de bedoeling dat je een best fit voor die α bepaalt aan de hand van de beschikbare gegevens, dat is nu juist de opgave. Ik heb zelf geen ervaring met dit soort statistische vraagstukken en de persoon bij uitstek die je had kunnen helpen met deze opgave is al een tijd niet meer actief op dit forum, dus ik vrees dat je hier geen goed antwoord gaat krijgen. Het gaat in ieder geval om exponential smoothing en het Wikipedia artikel geeft aan dat er geen formele procedure is voor de bepaling van een correcte α maar dat je bijvoorbeeld de waarde van α zou kunnen optimaliseren met de methode van de kleinste kwadraten. Ik neem aan dat je leerboek wel uitsluitsel geeft over de methode(n) die je geacht wordt te hanteren, en bestudeer anders dit eens.
De website heeft veel geholpen.
edit: Eigenlijk is de rede dat ik de vraag snap vooral het feit dat het over een functie F(x,y) gaat. Wat wordt daar precies mee bedoeld? Ik denk altijd aan functies als f(x), dat hiermee wordt bedoeld dat je er een x-waarde ingooit en dat je er dan een y-waarde uitkrijgt. Hier moet je echter een x en een y waarde erin gooien en wat is dan de uitkomst? Hoe zou de grafiek van deze functie F(x,y) er überhaupt uitzien?
[ Bericht 31% gewijzigd door ulq op 19-09-2013 14:21:01 ]
Ok maar zou je dan niet kunnen zeggen F '(x,y) = f(x)f '(y) + f '(x)f(y) ? Oftewel de productregel toepassen?quote:
Het is een functie van 2 variabelen. De variabelen x en y zijn op hun beurt weer afhankelijk van variabelen t en s.
Met f(y)=t^2-s en f(x)=t^2s
Nee, wat je hier ziet is de kettingregel voor een functie van meerdere variabelen. In je calculusboek staat vast wel een bewijs voor deze regel.quote:
Hoi, ik heb een vraagje. Zou je deze opgave kunnen beschouwen als een toegepaste vorm van de productregel? Dat je functie f(x) en f(y) los van elkaar neemt en deze differentieert met behulp van de productregel, maar dan op een andere manier omdat hier niet x maar t de variabele is die je differentieert? Of heeft deze hele som opgave niks met de productregel te maken?
[ afbeelding ]
F is hier een functie van twee variabelen x en y. En ook hangen x en y hier elk weer af van twee variabelen t en s. Hier wordt vervolgens de afgeleide naar t bepaald van de samengestelde functie F(x(t,s),y(t,s)). Omdat F(x,y) afhangt van zowel x als y en x en y elk weer afhangen van zowel t als s heb je hier te maken met partiële afgeleiden.quote:edit: Eigenlijk is de reden dat ik de vraag niet snap vooral het feit dat het over een functie F(x,y) gaat. Wat wordt daar precies mee bedoeld?
Dat wordt gegeven door het functievoorschrift, en dat staat gewoon voor je neus. Hier heb jequote:Ik denk altijd aan functies als f(x), dat hiermee wordt bedoeld dat je er een x-waarde ingooit en dat je er dan een y-waarde uitkrijgt. Hier moet je echter een x en een y waarde erin gooien en wat is dan de uitkomst?
F(x, y) = xy2
Je kunt de functiewaarde bijvoorbeeld z noemen, dan heb je dus
z = xy2
Hierin kun je x = t2s en y = t2 − s substitueren, en dan krijg je
z = t2s(t2 − s)2
en dus
z = t6s − 2t4s2 + t2s3
Voor de partiële afgeleide van z naar t krijgen we dus
∂z/∂t = 6t5s − 8t3s2 + 2ts3
Vul je hier t = 1 en s = 2 in dan vind je voor de partiële afgeleide van z naar t in dit punt inderdaad ∂z/∂t |(t,s) = (1,2) = −4.
Dat is bij een functie van twee variabelen nog heel goed te visualiseren. In R3 levert z = xy2 een gekromd oppervlak op. Kijk hier maar eens. En sla je calculusboeken eens open.quote:Hoe zou de grafiek van deze functie F(x,y) er überhaupt uitzien?
doet dan heb je de regelketting dus niet eens nodig als ik het goed begrijp?quote:
Hierin kun je x = t2s en y = t2 − s substitueren, en dan krijg je
z = t2s(t2 − s)2
en dus
z = t6s − 2t4s2 + t2s3
Voor de partiële afgeleide van z naar t krijgen we dus
∂z/∂t = 6t5s − 8t3s2 + 2ts3
Vul je hier t = 1 en s = 2 in dan vind je voor de partiële afgeleide van z naar t in dit punt inderdaad ∂z/∂t |(t,s) = (1,2) = −4.
Super bedankt voor je reactie trouwens
Het kan niet anders. Je moet de definities van x en y (in (s,t)) substitueren. Daarna is het gevraagd om dit naar t te differentiëren. Je moet ook de vraag goed lezen.quote:
Aha, ja nu je het zo zegt is het veel logischer om in dit geval die zogenaamde kettingregel toe te passen inderdaad. Maar als je het op jouw manier (je vervangt meteen x en y voor hun definities in t en s)
[..]
doet dan heb je de regelketting dus niet eens nodig als ik het goed begrijp?
Super bedankt voor je reactie trouwens
In het antwoord wordt eerst de functie gedifferentieerd en daarna worden de x en y waarden bepaald en pas daarna komt het antwoord eruit rollen. Riparius substitueerde echter meteen t en s in x en y en differentieerde daarna het hele geval (dus zonder x en y erin). Op zijn manier werd de kettingregel dus ook niet toegepast, of klopt het niet wat ik zeg?quote:
[..]
Het kan niet anders. Je moet de definities van x en y (in (s,t)) substitueren. Daarna is het gevraagd om dit naar t te differentiëren. Je moet ook de vraag goed lezen.
Het is niet alleen logisch, maar noodzakelijk. Jouw idee dat je hier de productregel zou kunnen gebruiken is onjuist.quote:
Aha, ja nu je het zo zegt is het veel logischer om in dit geval die zogenaamde kettingregel toe te passen inderdaad.
Dat klopt. Maar dat geldt net zo goed bij het samenstellen van functies van één variabele.quote:Maar als je het op jouw manier (je vervangt meteen x en y voor hun definities in t en s)
[..]
doet dan heb je de regelketting dus niet eens nodig als ik het goed begrijp?
Graag gedaan. Welke calculusboeken gebruik je?quote:Super bedankt voor je reactie trouwens
Waar heb je deze opgave vandaan als ik vragen mag?quote:
Hoi, ik heb een vraagje. Zou je deze opgave kunnen beschouwen als een toegepaste vorm van de productregel? Dat je functie f(x) en f(y) los van elkaar neemt en deze differentieert met behulp van de productregel, maar dan op een andere manier omdat hier niet x maar t de variabele is die je differentieert? Of heeft deze hele som niks met de productregel te maken?
[ afbeelding ]
edit: Eigenlijk is de rede dat ik de vraag snap vooral het feit dat het over een functie F(x,y) gaat. Wat wordt daar precies mee bedoeld? Ik denk altijd aan functies als f(x), dat hiermee wordt bedoeld dat je er een x-waarde ingooit en dat je er dan een y-waarde uitkrijgt. Hier moet je echter een x en een y waarde erin gooien en wat is dan de uitkomst? Hoe zou de grafiek van deze functie F(x,y) er überhaupt uitzien?
Oh, dan heb ik niets gezegd. Ik ben ook maar eerstejaarsstudent (wiskunde)quote:
[..]
In het antwoord wordt eerst de functie gedifferentieerd en daarna worden de x en y waarden bepaald en pas daarna komt het antwoord eruit rollen. Riparius substitueerde echter meteen t en s in x en y en differentieerde daarna het hele geval (dus zonder x en y erin). Op zijn manier werd de kettingregel dus ook niet toegepast, of klopt het niet wat ik zeg?
Ik weet niet of het een calculusboek is(ken de term calculus eigenlijk niet eens), maar voor het vak Wiskunde 1 (onderdeel van de Bachelor economie aan de EUR) gebruik ik ''Essential Mathematics for Economic Analysis''.quote:
Graag gedaan. Welke calculusboeken gebruik je?
Het komt uit een oud tentamen van de EUR voor wiskunde 1(voor de bachelor economie) die op studeersnel.nl staat.quote:
[..]
Waar heb je deze opgave vandaan als ik vragen mag?
Ik ga het doornemenquote:
[..]
Wat heb je tegen het stellen van vragen online, op FOK of op WisFaq.nl bijvoorbeeld?
[..]
Hoofdstuk P7 in het boek van Adams en Essex geeft een resumé van de schoolstof goniometrie. Deze stof had je dus al lang moeten beheersen, maar mede door het belabberde onderwijs in Nederland is de kans groot dat dat niet het geval is. Niettemin is dat geen excuus om de stof niet alsnog goed te bestuderen. Het is een teken aan de wand dat deze stof überhaupt in dit boek aan de orde wordt gesteld: ik denk dat het onderwijs in de VS inmiddels ook in een dermate diep dal is aangeland dat dergelijke preliminaire hoofdstukken in een boek over calculus veelal bittere noodzaak zijn geworden.
[..]
Als dit al 'een raadsel' voor je is dan vrees ik dat je werkelijk zo goed als niets weet van goniometrie. Het bewijst ook dat je je de stof van het hoofdstuk niet hebt eigengemaakt, want kijk nog eens naar definitie 8: de tangens van een (rotatie)hoek wordt gedefinieerd als het quotiënt van de sinus en de cosinus van diezelfde (rotatie)hoek.
Teken nu eens een cartesisch assenstelsel met daarin de eenheidscirkel. Teken ook de halve rechte die je krijgt door de positieve x-as om de oorsprong te roteren over een hoek van −¾π rad. Bepaal nu meetkundig de coördinaten van het snijpunt van deze halve rechte met de eenheidscirkel. Dit snijpunt is het beeld van het punt met coördinaten (1; 0) bij een rotatie om de oorsprong over een hoek −¾π rad en de coördinaten van dit punt zijn dus per definitie (cos(−¾π); sin(−¾π)). Door het quotiënt van de y- en de x-coördinaat te bepalen vind je dan de (exacte) waarde van tan(−¾π).
[..]
Ook dit wordt in het boek uitgelegd.
[..]
Tip: download en print mijn PDF over goniometrische identiteiten (link in de OP). Waarschijnlijk is een deel ervan nog veel te hoog gegrepen, maar je hebt dan in ieder geval een overzicht van de belangrijkste goniometrische identiteiten die je beslist moet kennen.
Addendum: ik kan je eveneens sterk aanbevelen deze PDF van een remediëringscursus van de universiteit Leuven te downloaden en te printen. Het eerste deel geeft een overzicht van de goniometrie, en verder komt er wat elementaire vlakke meetkunde en iets over het werken met vectoren aan bod.
Ik heb wiskunde A gehad dus zo'n onderwerp is nooit aan bod gekomen. Als iemand nog ergens een link heeft dan is dat meer dan welkom. We hebben binnenkort namelijk al een tentamen 
Uiteraard heb ik nog 'ergens' links voor je. Veel meer dan je ooit zou kunnen doorwerken voor je aankomende tentamen. Alleen begrijp ik niet zo goed wat je daar nu mee hoopt te bereiken. Gezien je totale gebrek aan kennis ga je dit nooit op tijd bijspijkeren voor je tentamen, daar ben je nu al veel te laat mee. Ik begrijp verder ook niet waarom ze voor toelating tot jouw studie alleen Wiskunde A vragen en dan kennelijk toch het boek van Adams & Essex voorschrijven, daar zit echt iets helemaal niet goed. Ik hoef later in ieder geval geen pilletje van jou, dat weet ik nu al zeker.quote:
[..]
Ik ga het doornemen
Verder heb ik een beetje de indruk dat je denkt dat je het wel gaat redden door een paar websites door te nemen. Nou, dat is niet zo. Dat is net zo iets als denken dat je een voetballer kunt worden door alleen maar wedstrijden op TV te bekijken. Wiskunde kun je echt alleen maar leren door het te doen. Daarom raad ik hierboven ook aan om al het online materiaal dat je wil gaan gebruiken te printen en er dan mee aan de slag te gaan. Gewoon achter een buro, met pen en papier, in alle rust, zonder afleidingen van welke aard dan ook.
Dit gezegd zijnde heb ik nog wel wat materiaal dat ik je kan aanbevelen. Algemene cursussen die bedoeld zijn om wiskunde deficiënties van beginnende studenten weg te werken vind je bijvoorbeeld hier en hier. Zoek je speciaal iets voor goniometrie dan zou je hier eens mee kunnen beginnen of deze inleidende cursus (engelstalig) kunnen doorwerken. Er is ook een kosteloos boek (engelstalig) met de schoolstof goniometrie dat verspreid wordt onder de GNU Free Documentation License, en dat boek vind je hier.
Je bent uiterst streng de laatste tijd. Zelfs ik moest op zoek in de postgeschiedenis van Broodje_Koe om uit te vinden dat hij farmacie studeert.quote:
[..]
Uiteraard heb ik nog 'ergens' links voor je. Veel meer dan je ooit zou kunnen doorwerken voor je aankomende tentamen. Alleen begrijp ik niet zo goed wat je daar nu mee hoopt te bereiken. Gezien je totale gebrek aan kennis ga je dit nooit op tijd bijspijkeren voor je tentamen, daar ben je nu al veel te laat mee. Ik begrijp verder ook niet waarom ze voor toelating tot jouw studie alleen Wiskunde A vragen en dan kennelijk toch het boek van Adams & Essex voorschrijven, daar zit echt iets helemaal niet goed. Ik hoef later in ieder geval geen pilletje van jou, dat weet ik nu al zeker.
Verder heb ik een beetje de indruk dat je denkt dat je het wel gaat redden door een paar websites door te nemen. Nou, dat is niet zo. Dat is net zo iets als denken dat je een voetballer kunt worden door alleen maar wedstrijden op TV te bekijken. Wiskunde kun je echt alleen maar leren door het te doen. Daarom raad ik hierboven ook aan om al het online materiaal dat je wil gaan gebruiken te printen en er dan mee aan de slag te gaan. Gewoon achter een buro, met pen en papier, in alle rust, zonder afleidingen van welke aard dan ook.
Dit gezegd zijnde heb ik nog wel wat materiaal dat ik je kan aanbevelen. Algemene cursussen die bedoeld zijn om wiskunde deficiënties van beginnende studenten weg te werken vind je bijvoorbeeld hier en hier. Zoek je speciaal iets voor goniometrie dan zou je hier eens mee kunnen beginnen of deze inleidende cursus (engelstalig) kunnen doorwerken. Er is ook een kosteloos boek (engelstalig) met de schoolstof goniometrie dat verspreid wordt onder de GNU Free Documentation License, en dat boek vind je hier.
Desalniettemin heb je wel gelijk. Als Broodje_Koe nú nog moet beginnen met het bijspijkeren van goniometrie is hij wel gruwelijk te laat.
Ik heb dat boek dus bij mij kom je niet weg met smoezen, je kan er als lezer niet overheen kijken dat die P-paragrafen er zijn en waarvoor ze dienen. Eigen verantwoordelijkheid nemen.
Klinkt als een biologendingetje, ik had er nog nooit van gehoordquote:
Ik zoek naar info over toepassing van subsititutiematrices die worden gebruikt bij DNA sequentieveranderingen. Niet de biologische kant, maar juist de wiskundige kant hiervan. Dus m.n. de werking van deze matrix binnen bioinformatica. Is er iemand die e.e.a. kan adviseren?
. Kan je je vraag misschien iets specifieker maken, wat wil je precies van de wiskunde weten?Op zichzelf weet ik voldoende van de wiskunde, maar niet dit type matrices. Er is een wiki-artikel dat erover gaat: http://en.wikipedia.org/wiki/Needleman–Wunsch_algorithmquote:
[..]
Klinkt als een biologendingetje, ik had er nog nooit van gehoord
en deze site: http://www.maths.tcd.ie/~lily/pres2/sld001.htm
Maar het gaat mij om de toepassing van matrices in dit geheel.
Kijk b.v. eens naar onderzoek van Nvidia, parallellisation van cryptografische methodes en de gebruikelijke sequencing, met behulp van hun grafische cores. Ik denk dat het ietsje meer is dan alleen een verkooppraatje.quote:
Maar het gaat mij om de toepassing van matrices in dit geheel.
http://nvidia.com/docs/IO/67189/che_sasp08.pdf[ Bericht 9% gewijzigd door Bram_van_Loon op 21-09-2013 16:23:24 ]
Ik denk het wel ja. Er was hier op de UU laatst nog een masterthesis over de toepassing van CUDA (een programmeertaal om GPU's mee te programmeren) bij moleculaire simulaties ("Molecular Simulations using CUDA"). CUDA is inderdaad perfect voor dat soort dingenquote:
Ik weet er niet het fijne van maar ik kan wel zeggen dat grafische kaarten dankzij het hebben van veel processoren bij uitstek geschikt zijn voor het uitvoeren van veel parallelle berekeningen met een hoge snelheid (het is precies dat waarvoor ze ontworpen zijn aangezien dat is vereist voor uitdagende animaties), hiermee zouden ze zich goed moeten lenen voor cryptografie.
Ik ben zelf ook zo'n cursusje op udacity aan het volgen 'parallel computing' oid. Het wordt niet heel boeiend gebracht, maar voor informatici heel nuttig om te leren, denk ik.
Ik begrijp een stukje theorie in mijn wiskundeboek niet.
Het is maar de tweede bladzijde van de paragraaf dus eigenlijk nog echt basisstof.
Foto's van theorie:
Voor de duidelijkheid, het stukje wat ik niet snap staat op de tweede foto.
Wat heeft de normaalvector te maken met een parametervoorstelling omwerken naar een ''normale'' vergelijking?
Voor mijn gevoel is de uitkomst nu een lijn die loodrecht staat op de parametervoorstelling, wat natuurlijk niet zo is.
Ik kon de sommen die na dit stukje theorie komen wel gewoon maken aangezien het niet moeilijk is om een richtingsvector om te draaien.
Maar snappen doe ik het niet.
Ik hoop dat jullie mijn verhaal wel snappen en iemand mij het iets duidelijker kan maken.
Maak bij de volgende uitleg die ik je nu ga geven zelf een tekening, dan begrijp je het hopelijk wel.quote:
Hallo Fok!,
Ik begrijp een stukje theorie in mijn wiskundeboek niet.
Het is maar de tweede bladzijde van de paragraaf dus eigenlijk nog echt basisstof.
Foto's van theorie:
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
Voor de duidelijkheid, het stukje wat ik niet snap staat op de tweede foto.
Wat heeft de normaalvector te maken met een parametervoorstelling omwerken naar een ''normale'' vergelijking?
Voor mijn gevoel is de uitkomst nu een lijn die loodrecht staat op de parametervoorstelling, wat natuurlijk niet zo is.
Ik kon de sommen die na dit stukje theorie komen wel gewoon maken aangezien het niet moeilijk is om een richtingsvector om te draaien.
Maar snappen doe ik het niet.
Ik hoop dat jullie mijn verhaal wel snappen en iemand mij het iets duidelijker kan maken.
Stel dat we in een plat vlak voorzien van een cartesisch assenstelsel een rechte lijn l hebben die niet door de oorsprong gaat en dat v0 een vaste vector is met een eindpunt op deze lijn l en dat v een willekeurige vector is met eveneens een eindpunt op lijn l. Teken nu de verschilvector v − v0, dan zul je zien dat deze verschilvector evenwijdig is aan de lijn l (mits het eindpunt van de variabele vector v op lijn l niet samenvalt met het eindpunt van de vaste vector v0 op lijn l).
Teken nu ook een normaalvector n voor lijn l, dat is een vector die loodrecht op lijn l staat. De lengte van deze normaalvector doet er niet toe, maar uiteraard mag dit niet de nulvector zijn.
Omdat de verschilvector v − v0 evenwijdig is aan l terwijl vector n loodrecht op l staat, staan deze beide vectoren onderling ook loodrecht op elkaar. Maar dat betekent dat het inproduct van n en v − v0 gelijk is aan nul, dus
n·(v − v0) = 0
Welnu, stel dat het eindpunt van vector n de coördinaten (a; b) heeft, dus
n = (a, b)
Laten we verder zeggen dat de coördinaten van het eindpunt op lijn l van de vaste vector v0 gelijk zijn aan (x0; y0), dus
v0 = (x0, y0)
De variabele coördinaten van de variabele vector v met eindpunt op lijn l kunnen we aangeven met (x; y) zodat
v = (x, y)
Voor de verschilvector v − v0 hebben we zo dus
v − v0 = (x − x0, y − y0)
En omdat we al zagen dat het inproduct van n en v − v0 gelijk is aan 0 geldt dus
a(x − x0) + b(y − y0) = 0
voor elk punt met coördinaten (x; y) dat op lijn l ligt. Maar dat betekent niets anders dan dat we hier een cartesische vergelijking van onze lijn l hebben. Door de haakjes uit te werken en de constante termen over te brengen naar het rechterlid kun je deze vergelijking ook schrijven als
ax + by = ax0 + by0
Zo zie je dus waarom de coëfficiënten a en b van deze cartesische vergelijking van lijn l niets anders zijn dan de coördinaten (a; b) van het eindpunt van de normaalvector n die we gekozen hadden voor onze lijn!
Zoals gezegd doet de lengte (en de zin) van de gekozen normaalvector n voor de lijn l er niet toe, zolang deze vector maar niet de nulvector is en wel loodrecht op de lijn staat. Dit kun je ook goed zien in de cartesische vergelijking voor onze lijn l: als je beide leden van de vergelijking met een reëel getal ongelijk aan nul vermenigvuldigt, dan krijg je een vergelijking die equivalent is met de oorspronkelijke en dus nog steeds dezelfde lijn voorstelt. De coëfficiënten a en b zijn dus niet uniek, elk ander paar dat we krijgen door a en b elk met hetzelfde reële getal ongelijk aan nul te vermenigvuldigen zal ook voldoen.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 22-09-2013 08:09:24 ]
Hoe isoleer ik x?quote:
[..]
Hoe los je dit op 3^x = 26?
3^x = (3^3) -1
Maak gebruik van de logaritme:quote:
[..]
Hoe isoleer ik x?
3^x = (3^3) -1
Voor aq = x geldt alog(x)=q (a en x groter dan 0, a ongelijk aan 1)
Kun je de vergelijking die jij geeft naar die eerste vorm krijgen, zodat je over kan naar de tweede vorm? Hint: Wat is 33?
Als dit klopt hoe reken je dit handmatig uit?
Om te beginnen: gebruik superscript voor het grondtal van de logaritme. Schrijf dusquote:
x = 3^log(26)
Als dit klopt hoe reken je dit handmatig uit?
x = 3log 26
Haakjes om de 26 zijn hier niet nodig, maar ze mogen uiteraard wel.
Nu iets over het handmatig berekenen van logaritmen. Het pragmatische antwoord op de vraag hoe je dit handmatig berekent is: niet. We hebben immers calculators, en daarmee vind je gemakkelijk dat
3log 26 ≈ 2,96564727
Overigens hebben calculators geen logaritmen met grondtal 3, dus moet je de logaritme dan wel eerst omzetten in een logaritme met grondtal 10 (de zogeheten 'gewone' of Briggse logaritmen) of in een logaritme met het bijzondere grondtal e, ook wel het getal van Euler genoemd. Logaritmen met grondtal e worden natuurlijke logaritmen genoemd en meestal (in ieder geval op rekenmachines) aangegeven met het symbool ln, dat staat voor logarithmus naturalis. De 'gewone' of Briggse logaritmen worden op rekenmachines aangegeven met het symbol log.
Om een logaritme met een bepaald grondtal g om te zetten in een logaritme met een ander grondtal b (Engels: base) kun je gebruik maken van de rekenregel
glog a = blog a / blog g
Deze rekenregel lijkt mischien lastig om te onthouden, maar onthouden wordt een stuk eenvoudiger als je de regel eerst even opschrijft in de zogeheten kettingvorm
blog g · glog a = blog a
Beide leden hiervan delen door blog g geeft dan bovenstaande betrekking. Met deze betrekking kunnen we nu zeggen dat
3log 26 = 10log 26 / 10log 3
en ook
3log 26 = ln 26 / ln 3
Nu kun je elke gewone rekenmachine (ook de calculator van Windows) gebruiken om 3log 26 uit te rekenen.
Maar goed, als nieuwsgierig wiskundenoobje ben je vast niet tevreden met dit antwoord, en wil je weten hoe men dit vroeger dan deed, toen er geen rekenmachines bestonden.
Welnu, vroeger gebruikte men hiervoor logaritmentafels. Dat zijn zeer uitgebreide tabellenboekjes (zeg maar rustig boekwerken) waarin meestal de Briggse logaritmen werden gegeven. Die tabellen zijn in vroeger eeuwen allemaal met de hand berekend door mensen als John Napier, Henry Briggs, Ezechiel de Decker en Adriaen Vlacq, die daar allemaal jaren van hun leven aan hebben besteed.
Maar nu de hamvraag, hoe kun je logaritmen berekenen? Daar zijn verschillende manieren voor, maar het zou te ver voeren daar uitgebreid op in te gaan. Briggs bijvoorbeeld deed dat door te beginnen met het getal 10 en daar herhaaldelijk (tot 27 maal toe!) de vierkantswortel uit te trekken, benaderd tot pakweg 16 cijfers achter de komma (daarvoor bestaat een algoritme dat je met pen en papier kunt uitvoeren) en door vervolgens gebruik te maken van interpolaties. Het idee hierbij is dat als je eenmaal weet dat 101/p = qn voor p = 2n, n = 1, 2, 3 ... dat je dan ook weet dat log qn = 1/2n. Vervolgens kun je dan door gebruik te maken van de rekenregel log ab = log a + log b eenvoudig logaritmen voor tussenliggende waarden berekenen, en door gebruik te maken van (lineaire) interpolatie kun je dan weer logaritmen van 'mooie' getallen in elke gewenste nauwkeurigkeid benaderen en zo een complete tabel samenstellen.
Een andere manier, althans voor natuurlijke logaritmen, is om gebruik te maken van reeksontwikkelingen. Voor ln(1 + x) heb je de volgende beroemde reeksontwikkeling die is vernoemd naar Nikolaus Mercator:
ln(1 + x) = x − x2/2 + x3/3 − x4/4 + ...
Nu is er alleen een grote maar ... Deze reeks convergeert alleen voor −1 < x ≤ 1. Convergeren wil zeggen dat je steeds dichter bij de 'echte' waarde - in dit geval ln(1 + x) - komt naarmate je meer termen van de reeks berekent en steeds optelt resp. aftrekt. Maar zodra je gaat proberen om hiermee bijvoorbeeld ln 3 te berekenen door x = 2 in te vullen, zul je ontdekken dat je niet meer steeds dichter bij een bepaalde waarde komt: de reeks divergeert dan.
Het lijkt dus alsof deze reeks waardeloos is als we bijvoorbeeld onze ln 26 en ln 3 met de hand zouden willen berekenen (benaderen). Maar dat is toch niet het geval. We kunnen een trucje uithalen. Als we in bovenstaande reeks de x vervangen door −x, dan krijgen we
ln(1 − x) = −x − x2/2 − x3/3 − x4/4 − ...
En als we nu deze tweede reeks van de eerste hierboven aftrekken, dan hebben we
ln(1 + x) − ln(1 − x) = 2x + 2x3/3 + 2x5/5 + ...
En volgens de bekende rekenregel ln a − ln b = ln(a/b) hebben we dus
ln((1 + x)/(1 − x)) = 2x + 2x3/3 + 2x5/5 + ...
Nu kunnen we voor x nog steeds alleen maar waarden tussen −1 en +1 gebruiken, maar kijk eens wat we nu hebben. We willen berekenen
3log 26 = ln 26 / ln 3 = (ln 2 + ln 13) / ln 3
We moeten dus de natuurlijke logaritmen van 2, van 3 en van 13 bepalen. Als je nu achtereenvolgens x = 1/3, x = 1/2 en x = 6/7 invult, dan wordt (1 + x)/(1 − x) resp. 2, 3 en 13, en zo kunnen we dus ln 2, ln 3 en ln 13 wél bepalen!
Overigens is het verstandig om te werken met waarden van x die liefst niet te ver van 0 liggen, omdat de reeks dan beter convergeert. Maar ook dát kunnen we voor elkaar krijgen: als we eenmaal ln 2 en ln 3 hebben bepaald, dan kennen we ook ln 4 = 2·ln 2 en daarmee ook ln 12 = ln 4 + ln 3. Vervolgens kun je dan x = 1/25 invullen om ln(13/12) te berekenen, en dan heb je ook ln 13 = ln 12 + ln(13/12).
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 22-09-2013 08:22:15 ]
Allereerst bedankt voor deze uitgebreide uitleg!quote:
[..]
Maak bij de volgende uitleg die ik je nu ga geven zelf een tekening, dan begrijp je het hopelijk wel.
Stel dat we in een plat vlak voorzien van een cartesisch assenstelsel een rechte lijn l hebben die niet door de oorsprong gaat en dat v0 een vaste vector is met een eindpunt op deze lijn l en dat v een willekeurige vector is met eveneens een eindpunt op lijn l. Teken nu de verschilvector v − v0, dan zul je zien dat deze verschilvector evenwijdig is aan de lijn l (mits het eindpunt van de variabele vector v op lijn l niet samenvalt met het eindpunt van de vaste vector v0 op lijn l).
Teken nu ook een normaalvector n voor lijn l, dat is een vector die loodrecht op lijn l staat. De lengte van deze normaalvector doet er niet toe, maar uiteraard mag dit niet de nulvector zijn.
Omdat de verschilvector v − v0 evenwijdig is aan l terwijl vector n loodrecht op l staat, staan deze beide vectoren onderling ook loodrecht op elkaar. Maar dat betekent dat het inproduct van n en v − v0 gelijk is aan nul, dus
n·(v − v0) = 0
Welnu, stel dat het eindpunt van vector n de coördinaten (a; b) heeft, dus
n = (a, b)
Laten we verder zeggen dat de coördinaten van het eindpunt op lijn l van de vaste vector v0 gelijk zijn aan (x0; y0), dus
v0 = (x0, y0)
De variabele coördinaten van de variabele vector v met eindpunt op lijn l kunnen we aangeven met (x; y) zodat
v = (x, y)
Voor de verschilvector v − v0 hebben we zo dus
v − v0 = (x − x0, y − y0)
En omdat we al zagen dat het inproduct van n en v − v0 gelijk is aan 0 geldt dus
a(x − x0) + b(y − y0) = 0
voor elk punt met coördinaten (x; y) dat op lijn l ligt. Maar dat betekent niets anders dan dat we hier een cartesische vergelijking van onze lijn l hebben. Door de haakjes uit te werken en de constante termen over te brengen naar het rechterlid kun je deze vergelijking ook schrijven als
ax + by = ax0 + by0
Zo zie je dus waarom de coëfficiënten a en b van deze cartesische vergelijking van lijn l niets anders zijn dan de coördinaten (a; b) van het eindpunt van de normaalvector n die we gekozen hadden voor onze lijn!
Zoals gezegd doet de lengte (en de zin) van de gekozen normaalvector n voor de lijn l er niet toe, zolang deze vector maar niet de nulvector is en wel loodrecht op de lijn staat. Dit kun je ook goed zien in de cartesische vergelijking voor onze lijn l: als je beide leden van de vergelijking met een reëel getal ongelijk aan nul vermenigvuldigt, dan krijg je een vergelijking die equivalent is met de oorspronkelijke en dus nog steeds dezelfde lijn voorstelt. De coëfficiënten a en b zijn dus niet uniek, elk ander paar dat we krijgen door a en b elk met hetzelfde reële getal ongelijk aan nul te vermenigvuldigen zal ook voldoen.
Het begint iets duidelijker te worden. De tweede helft van je uitleg snap ik wel redelijk.
Helaas denk ik dat je mijn kennis van vectoren een beetje overschat hebt, eigenlijk maak ik hier voor het eerst kennis met vectoren.
Ik dacht dat vectoren gewoon weer een andere manier van noteren voor een rechte lijn was.
Na wat googelen ben ik wel wat wijzer geworden, maar ik heb geen idee hoe ik de door jouw genoemde vectoren moet tekenen. Ik begrijp niet wat je bedoeld met termen als vaste vector en inproduct.
Nogmaals bedankt voor de moeite die je er in steekt!
Ik moet aantonen dat ze elkaar snijden en het snijpunt geven, maar ik heb echt geen idee hoe. Ik heb al geprobeerd de 'stukjes' aan elkaar gelijk te stellen, dus bijvoorbeeld 14+3t=5+3s, maar daar kom ik ook niet zover mee omdat ik dan nog steeds twee variabelen heb. Ook substitueren leverde weinig op. 14-3t=5+3(s+t) is natuurlijk wel gelijk aan elkaar, maar dan heb ik nog steeds geen waarde voor s en t.
Voor de x, y en z coordinaat krijg je een vergelijking in de variabelen s en t. Dit stelsel van vergelijkingen moet tegelijkertijd waar zijn. Een oplossing hiervoor kan je vinden mbv Gaussische eliminatie.quote:
[ afbeelding ]
Ik moet aantonen dat ze elkaar snijden en het snijpunt geven, maar ik heb echt geen idee hoe. Ik heb al geprobeerd de 'stukjes' aan elkaar gelijk te stellen, dus bijvoorbeeld 14+3t=5+3s, maar daar kom ik ook niet zover mee omdat ik dan nog steeds twee variabelen heb. Ook substitueren leverde weinig op. 14-3t=5+3(s+t) is natuurlijk wel gelijk aan elkaar, maar dan heb ik nog steeds geen waarde voor s en t.
Gaussische wat? Nog nooit van gehoord.quote:
[..]
Voor de x, y en z coordinaat krijg je een vergelijking in de variabelen s en t. Dit stelsel van vergelijkingen moet tegelijkertijd waar zijn. Een oplossing hiervoor kan je vinden mbv Gaussische eliminatie.
Gauss-Jordan eliminatie. Een manier om een stelsel vergelijkingen op te lossen. In de volksmond wordt het ook wel het vegen van een matrix genoemd.quote:
[..]
Gaussische wat? Nog nooit van gehoord.
Eh, kan je dat misschien uitleggen? Want het enige wat ik met een matrix kan is een dot product berekenen.quote:
[..]
Gauss-Jordan eliminatie. Een manier om een stelsel vergelijkingen op te lossen. In de volksmond wordt het ook wel het vegen van een matrix genoemd.
http://www.win.tue.nl/~rvhassel/Onderwijs/2DS06/ohroot.pdfquote:
[..]
Eh, kan je dat misschien uitleggen? Want het enige wat ik met een matrix kan is een dot product berekenen.
In 3.5 staat het uitgelegd.
Je veegt een matrix naar de normaalvorm. M.a.w. staat er dan in je matrix x = 2, y = 4, z = 7 , c = 4 etc. etc.quote:
[..]
Eh, kan je dat misschien uitleggen? Want het enige wat ik met een matrix kan is een dot product berekenen.
Ik heb de links die je gepost hebt enigszins bestudeerd en ik heb de indruk dat de matrices waarover wordt gesproken helemaal geen lineaire afbeeldingen zijn. Je moet ze volgens mij eerder opvatten als een soort tabellen met informatie.quote:
[..]
Op zichzelf weet ik voldoende van de wiskunde, maar niet dit type matrices. Er is een wiki-artikel dat erover gaat: http://en.wikipedia.org/wiki/Needleman–Wunsch_algorithm
en deze site: http://www.maths.tcd.ie/~lily/pres2/sld001.htm
Maar het gaat mij om de toepassing van matrices in dit geheel.
quote:
[ afbeelding ]
Ik moet aantonen dat ze elkaar snijden en het snijpunt geven, maar ik heb echt geen idee hoe. Ik heb al geprobeerd de 'stukjes' aan elkaar gelijk te stellen, dus bijvoorbeeld 14+3t=5+3s, maar daar kom ik ook niet zover mee omdat ik dan nog steeds twee variabelen heb. Ook substitueren leverde weinig op. 14-3t=5+3(s+t) is natuurlijk wel gelijk aan elkaar, maar dan heb ik nog steeds geen waarde voor s en t.
Kom op, een beetje moeite doen: http://nl.wikipedia.org/wiki/Gauss-eliminatiequote:
[..]
Gaussische wat? Nog nooit van gehoord.
Als je de x, y en z-coördinaten van de lijnen aan elkaar gelijk stelt, krijg je drie vergelijkingen in twee variabelen. In principe zijn twee vergelijkingen genoeg om een oplossing te krijgen, maar om te kijken of dit ook echt een snijpunt is moet je wel kijken of de derde vergelijking ook klopt als je de oplossing daarin invult.
Door het stelsel gevormd door de eerste twee vergelijkingen op te lossen, krijg je immers een oplossing die voldoet aan de eerste twee vergelijkingen (dus, de x- en y-coördinaten van de twee lijnen zijn hier gelijk). Als de z-coördinaat ook gelijk is, hebben we een snijpunt.
Nouja, je kan op die tweede site zien dat er een matrix als 'datastructuur' (ik zet het tussen haakjes, want technisch gezien is een matrix natuurlijk geen manier om iets in een computergeheugen op te slaan) gebruikt wordt. Ik heb niet heel uitgebreid gekeken (en dat ben ik eerlijk gezegd ook niet van plan), maar volgens mij is verder niet zoveel over te zeggen: ik zie bijvoorbeeld niet dat er matrixvermenigvuldiging of substitutiematrices worden toegepast. Je vraag is ook wel erg vaag, misschien moet je nog iets meer achtergrond geven (wil je dit weten voor een of ander project of verslag? heb je dit onderwerp zelf bedacht of is het door een docent gesuggereerd?).quote:
[..]
Op zichzelf weet ik voldoende van de wiskunde, maar niet dit type matrices. Er is een wiki-artikel dat erover gaat: http://en.wikipedia.org/wiki/Needleman–Wunsch_algorithm
en deze site: http://www.maths.tcd.ie/~lily/pres2/sld001.htm
Maar het gaat mij om de toepassing van matrices in dit geheel.
Dank allen; aan de genoemde sites heb ik denk ik wel voldoende. Mocht er toch nog iets zijn dat verduidelijking behoeft dan kom ik er wel op terugquote:
[..]
Nouja, je kan op die tweede site zien dat er een matrix als 'datastructuur' (ik zet het tussen haakjes, want technisch gezien is een matrix natuurlijk geen manier om iets in een computergeheugen op te slaan) gebruikt wordt. Ik heb niet heel uitgebreid gekeken (en dat ben ik eerlijk gezegd ook niet van plan), maar volgens mij is verder niet zoveel over te zeggen: ik zie bijvoorbeeld niet dat er matrixvermenigvuldiging of substitutiematrices worden toegepast. Je vraag is ook wel erg vaag, misschien moet je nog iets meer achtergrond geven (wil je dit weten voor een of ander project of verslag? heb je dit onderwerp zelf bedacht of is het door een docent gesuggereerd?).
.Het is trouwens inderdaad voor een project.
quote:
[..]
[..]
Kom op, een beetje moeite doen: http://nl.wikipedia.org/wiki/Gauss-eliminatie
Als je de x, y en z-coördinaten van de lijnen aan elkaar gelijk stelt, krijg je drie vergelijkingen in twee variabelen. In principe zijn twee vergelijkingen genoeg om een oplossing te krijgen, maar om te kijken of dit ook echt een snijpunt is moet je wel kijken of de derde vergelijking ook klopt als je de oplossing daarin invult.
Door het stelsel gevormd door de eerste twee vergelijkingen op te lossen, krijg je immers een oplossing die voldoet aan de eerste twee vergelijkingen (dus, de x- en y-coördinaten van de twee lijnen zijn hier gelijk). Als de z-coördinaat ook gelijk is, hebben we een snijpunt.
quote:
[..]
Je veegt een matrix naar de normaalvorm. M.a.w. staat er dan in je matrix x = 2, y = 4, z = 7 , c = 4 etc. etc.
Ik heb naar de gegevens links gekeken, maar ik snap er eigenlijk nog steeds vrij weinig van. Moet ik gewoon een drie bij drie matrix opstellen? Dus net zoals je bij het bereken van een dot product doet? Ik heb trouwens nooit geleerd met matrices te werken op de middelbare, dus daarom snap ik het waarschijnlijk niet.quote:
[..]
http://www.win.tue.nl/~rvhassel/Onderwijs/2DS06/ohroot.pdf
In 3.5 staat het uitgelegd.
Laten we dit eens gewoon op zijn janboerenfluitjes oplossen. Je hebt hier twee parametervoorstellingen van rechte lijnen in R3. Als deze lijnen elkaar snijden, dan moeten er dus waarden van de parameters s en t bestaan waarvoor zowel de x-, de y-, als z-coördinaat van beide parametervoorstellingen aan elkaar gelijk worden. Dat betekent dat je dus drie lineaire vergelijkingen krijgt in twee onbekenden. Algebraïsch hoeft zo'n stelsel helemaal geen oplossing te hebben, en je begrijpt meetkundig ook waarom dat niet hoeft: de lijnen zouden immers ook evenwijdig kunnen lopen óf ze zouden elkaar in de ruimte kunnen kruisen.quote:
[ afbeelding ]
Ik moet aantonen dat ze elkaar snijden en het snijpunt geven, maar ik heb echt geen idee hoe. Ik heb al geprobeerd de 'stukjes' aan elkaar gelijk te stellen, dus bijvoorbeeld 14+3t=5+3s, maar daar kom ik ook niet zover mee omdat ik dan nog steeds twee variabelen heb. Ook substitueren leverde weinig op. 14-3t=5+3(s+t) is natuurlijk wel gelijk aan elkaar, maar dan heb ik nog steeds geen waarde voor s en t.
Goed, maar laten we nu eens kijken wat de voorwaarden zijn voor een eventueel snijpunt. Dan moet er dus een waarde van s en een waarde van t bestaan zodanig dat gelijktijdig wordt voldaan aan deze drie voorwaarden:
14 + 3t = 5 + 3s
7 + 2t = 15 + 5s
−16 − 3t = 35 + 6s
Nu laten we de derde van deze voorwaarden even voor wat het is, en gaan we ons eerst eens concentreren op de eerste twee voorwaarden. Deze twee voorwaarden vormen samen een stelsel van twee lineaire vergelijkingen in de twee onbekenden s en t. Nu zien we bij de eerste vergelijking rechts een term 3s en bij de tweede vergelijking rechts een term 5s. Nu vermenigvuldig ik beide leden van de eerste vergelijking met 5, dat geeft
70 + 15t = 25 + 15s
En beide leden van de tweede vergelijking vermenigvuldig ik met 3, dat geeft
21 + 6t = 45 + 15s
Waarom heb ik dit gedaan? Je ziet nu dat we rechts in beide vergelijkingen een term 15s hebben. En dat is heel mooi, want dat betekent dat ik de s kan elimineren door nu de leden van de tweede vergelijking af te trekken van de leden van de eerste vergelijking. Dat mag ik doen, want als je hebt A = B en tevens C = D, dan is ook A − C = B − D nietwaar? Goed, aftrekken van de leden van de tweede vergelijking van de leden van de eerste vergelijking geeft
(70 + 15t) − (21 + 6t) = (25 + 15s) − (45 + 15s)
Uitwerken hiervan geeft
49 + 9t = −20
En kijk eens aan, we hebben nu een eenvoudige lineaire vergelijking waarin alleen de t voorkomt. Van beide leden 49 aftrekken geeft 9t = −69 en dus vinden we
t = −23/3
Deze waarde van t kunnen we nu invullen in hetzij de eerste, hetzij de tweede vergelijking. Laten we de eerste nemen, dat is hier het eenvoudigst. Dan krijgen we
14 + 3·(−23/3) = 5 + 3s
14 − 23 = 5 + 3s
−9 = 5 + 3s
−14 = 3s
En dus hebben we
s = −14/3
Maar nu komt de hamvraag: snijden onze lijnen elkaar nu, of niet? En zo ja, wat zijn dan de coördinaten van het snijpunt?
Om deze vraag te beantwoorden gaan we nu naar de derde vergelijking kijken:
−16 − 3t = 35 + 6s
Invullen van de waarden die we gevonden hebben voor t en s geeft
−16 − 3·(−23/3) = 35 + 6·(−14/3)
−16 + 23 = 35 − 28
7 = 7
En dat klopt als een bus. Ergo: onze lijnen hebben een snijpunt!
Om de coördinaten van het snijpunt te bepalen hoeven we de gevonden waarden van s en t alleen nog in te vullen in één van beide parametervoorstellingen, en dan vinden we
(−9; −25/3; 7)
That's all.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 23-09-2013 00:12:09 ]
Bedankt voor de duidelijke uitleg. Ik snap het nu helemaal.quote:
[..]
Laten we dit eens gewoon op zijn janboerenfluitjes oplossen. Je hebt hier twee parametervoorstellingen van rechte lijnen in R3. Als deze lijnen elkaar snijden, dan moeten er dus waarden van de parameters s en t bestaan waarvoor zowel de x-, de y-, als z-coördinaat van beide parametervoorstellingen aan elkaar gelijk worden. Dat betekent dat je dus drie lineaire vergelijkingen krijgt in twee onbekenden. Algebraïsch hoeft zo'n stelsel helemaal geen oplossing te hebben, en je begrijpt meetkundig ook waarom dat niet hoeft: de lijnen zouden immers ook evenwijdig kunnen lopen óf ze zouden elkaar in de ruimte kunnen kruisen.
Goed, maar laten we nu eens kijken wat de voorwaarden zijn voor een eventueel snijpunt. Dan moet er dus een waarde van s en een waarde van t bestaan zodanig dat gelijktijdig wordt voldaan aan deze drie voorwaarden:
14 + 3t = 5 + 3s
7 + 2t = 15 + 5s
−16 − 3t = 35 + 6s
Nu laten we de derde van deze voorwaarden even voor wat het is, en gaan we ons eerst eens concentreren op de eerste twee voorwaarden. Deze twee voorwaarden vormen samen een stelsel van twee lineaire vergelijkingen in de twee onbekenden s en t. Nu zien we bij de eerste vergelijking rechts een term 3s en bij de tweede vergelijking rechts een term 5s. Nu vermenigvuldig ik beide leden van de eerste vergelijking met 5, dat geeft
70 + 15t = 25 + 15s
En beide leden van de tweede vergelijking vermenigvuldig ik met 3, dat geeft
21 + 6t = 45 + 15s
Waarom heb ik dit gedaan? Je ziet nu dat we rechts in beide vergelijkingen een term 15s hebben. En dat is heel mooi, want dat betekent dat ik de s kan elimineren door nu de leden van de tweede vergelijking af te trekken van de leden van de eerste vergelijking. Dat mag ik doen, want als je hebt A = B en tevens C = D, dan is ook A − C = B − D nietwaar? Goed, aftrekken van de leden van de tweede vergelijking van de leden van de eerste vergelijking geeft
(70 + 15t) − (21 + 6t) = (25 + 15s) − (45 + 15s)
Uitwerken hiervan geeft
49 + 9t = −20
En kijk eens aan, we hebben nu een eenvoudige lineaire vergelijking waarin alleen de t voorkomt. Van beide leden 49 aftrekken geeft 9t = −69 en dus vinden we
t = −23/3
Deze waarde van t kunnen we nu invullen in hetzij de eerste, hetzij de tweede vergelijking. Laten we de eerste nemen, dat is hier het eenvoudigst. Dan krijgen we
14 + 3·(−23/3) = 5 + 3s
14 − 23 = 5 + 3s
−9 = 5 + 3s
−14 = 3s
En dus hebben we
s = −14/3
Maar nu komt de hamvraag: snijden onze lijnen elkaar nu, of niet? En zo ja, wat zijn dan de coördinaten van het snijpunt?
Om deze vraag te beantwoorden gaan we nu naar de derde vergelijking kijken:
−16 − 3t = 35 + 6s
Invullen van de waarden die we gevonden hebben voor t en s geeft
−16 −(−23/3) = 35 + 6·(−14/3)
−16 + 23 = 35 − 28
7 = 7
En dat klopt als een bus. Ergo: onze lijnen hebben een snijpunt!
Om de coördinaten van het snijpunt te bepalen hoeven we de gevonden waarden van s en t alleen nog in te vullen in één van beide parametervoorstellingen, en dan vinden we
(−9; −25/3; 7)
That's all.
Nou, dit is dus precies de reden dat ik het niet zo handig vind om dingen online te vragen. Ik vraag om hulp met wat wiskunde-opgaven en ik krijg een hele preek over hoe triest het wiskundeonderwijs is in NL en hoe gruwelijk laat ik wel niet ben met calculus en dat het me toch niet gaat lukken. Ik moet je even uit een droom helpen; calculus is een steunvak bij deze studie, zeker geen hoofdvak en al helemaal niet zo relevant als jij doet overkomen, dus even gas terug. Genoeg andere onderwerpen waar ik misschien juist heel goed in ben (weet jij veelquote:
[..]
Uiteraard heb ik nog 'ergens' links voor je. Veel meer dan je ooit zou kunnen doorwerken voor je aankomende tentamen. Alleen begrijp ik niet zo goed wat je daar nu mee hoopt te bereiken. Gezien je totale gebrek aan kennis ga je dit nooit op tijd bijspijkeren voor je tentamen, daar ben je nu al veel te laat mee. Ik begrijp verder ook niet waarom ze voor toelating tot jouw studie alleen Wiskunde A vragen en dan kennelijk toch het boek van Adams & Essex voorschrijven, daar zit echt iets helemaal niet goed. Ik hoef later in ieder geval geen pilletje van jou, dat weet ik nu al zeker.
Verder heb ik een beetje de indruk dat je denkt dat je het wel gaat redden door een paar websites door te nemen. Nou, dat is niet zo. Dat is net zo iets als denken dat je een voetballer kunt worden door alleen maar wedstrijden op TV te bekijken. Wiskunde kun je echt alleen maar leren door het te doen. Daarom raad ik hierboven ook aan om al het online materiaal dat je wil gaan gebruiken te printen en er dan mee aan de slag te gaan. Gewoon achter een buro, met pen en papier, in alle rust, zonder afleidingen van welke aard dan ook.
Dit gezegd zijnde heb ik nog wel wat materiaal dat ik je kan aanbevelen. Algemene cursussen die bedoeld zijn om wiskunde deficiënties van beginnende studenten weg te werken vind je bijvoorbeeld hier en hier. Zoek je speciaal iets voor goniometrie dan zou je hier eens mee kunnen beginnen of deze inleidende cursus (engelstalig) kunnen doorwerken. Er is ook een kosteloos boek (engelstalig) met de schoolstof goniometrie dat verspreid wordt onder de GNU Free Documentation License, en dat boek vind je hier.
). Point being: niet zo hoog van de toren blazen als iemand je simpel wat vraagt betreffende het vak, niet je mening.
Oke, dit was dus de eerste post van FOK! door mijn 15-maanden oude zoon.quote:
Ik denk dat je het verrekte handig vindt, maar dat je er moeite mee hebt om dan vervolgens en plein public geconfronteerd te worden met het feit dat je er praktisch niets aan doet om je deficiënties weg te werken.quote:
[..]
Nou, dit is dus precies de reden dat ik het niet zo handig vind om dingen online te vragen.
Je vraagt inderdaad hulp, maar uit je vragen bleek ook pijnlijk duidelijk dat je nog zo goed als niets van de stof begreep. En dan zijn wat summiere aanwijzingen nutteloos, en ben je alleen gebaat met adviezen om je studie serieuzer aan te pakken en met adviezen over de manier waarop je dat zou kunnen doen. En die adviezen heb ik gegeven. Ik wijs er ook nog even op dat ik de enige ben geweest die hier in dit topic gehoor heeft gegeven aan je vraag naar nuttige linkjes.quote:Ik vraag om hulp met wat wiskunde-opgaven en ik krijg een hele preek over hoe triest het wiskundeonderwijs is in NL en hoe gruwelijk laat ik wel niet ben met calculus en dat het me toch niet gaat lukken.
Ik hoef helemaal niet uit de droom te worden geholpen, ik ben klaarwakker. Ik heb me verbaasd over het feit dat voor jouw studie alleen Wiskunde A wordt gevraagd als toelatingseis, maar dat men dan wel het boek van Adams & Essex gebruikt. Daar zit iets helemaal scheef, en ik denk dat de keuze voor dit boek een indicatie is dat calculus bij jouw studie toch een grotere rol zal spelen dan je nu wenst aan te nemen.quote:Ik moet je even uit een droom helpen; calculus is een steunvak bij deze studie, zeker geen hoofdvak en al helemaal niet zo relevant als jij doet overkomen, dus even gas terug.
Als dat zo is dan krijg je de komende jaren genoeg gelegenheid om dat te laten zien.quote:Genoeg andere onderwerpen waar ik misschien juist heel goed in ben (weet jij veel
Aan een 'simpele' antwoorden op 'simpele' vragen heb je niets als je nog bijna niets van de stof begrijpt. Daarom heb ik geprobeerd om aan te geven wat je naar mijn idee nu het beste zou kunnen doen en tevens geprobeerd je irreële verwachtingen (namelijk dat je je aankomende tentamen zult gaan halen) wat naar beneden bij te stellen.quote:Point being: niet zo hoog van de toren blazen als iemand je simpel wat vraagt betreffende het vak, niet je mening.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 22-09-2013 23:56:17 ]
Nu is het een vergelijking met 2 onbekenden. Stel je nu eens voor dat je n vergelijkingen met n onbekenden hebt, dan gaat het met de hand niet meer lukken voor een wat grotere n. Dan stel je een matrix op en die (laat) je vegen.quote:
[..]
Bedankt voor de duidelijke uitleg. Ik snap het nu helemaal.
Result of solution using Gauss-Jordan elimination
Your matrix
№ X1 X2 b
1 -3 3 -9
2 -5 2 8
3 -6 -3 51
Solution set:SPOILERMake the pivot in the 1st column by dividing the 1st row by -3
№ X1 X2 b
1 1 -1 3
2 -5 2 8
3 -6 -3 51
Multiply the 1st row by -5
№ X1 X2 b
1 -5 5 -15
2 -5 2 8
3 -6 -3 51
Subtract the 1st row from the 2nd row and restore it
№ X1 X2 b
1 1 -1 3
2 0 -3 23
3 -6 -3 51
Multiply the 1st row by -6
№ X1 X2 b
1 -6 6 -18
2 0 -3 23
3 -6 -3 51
Subtract the 1st row from the 3rd row and restore it
№ X1 X2 b
1 1 -1 3
2 0 -3 23
3 0 -9 69
Make the pivot in the 2nd column by dividing the 2nd row by -3
№ X1 X2 b
1 1 -1 3
2 0 1 -23/3
3 0 -9 69
Multiply the 2nd row by -1
№ X1 X2 b
1 1 -1 3
2 0 -1 23/3
3 0 -9 69
Subtract the 2nd row from the 1st row and restore it
№ X1 X2 b
1 1 0 -14/3
2 0 1 -23/3
3 0 -9 69
Multiply the 2nd row by -9
№ X1 X2 b
1 1 0 -14/3
2 0 -9 69
3 0 -9 69
Subtract the 2nd row from the 3rd row and restore it
№ X1 X2 b
1 1 0 -14/3
2 0 1 -23/3
3 0 0 0
x1 = -14/3
x2 = -23/3
Even onthouden dit, kan wel eens van pas komen. Bedankt.quote:
[..]
Nu is het een vergelijking met 2 onbekenden. Stel je nu eens voor dat je n vergelijkingen met n onbekenden hebt, dan gaat het met de hand niet meer lukken voor een wat grotere n. Dan stel je een matrix op en die (laat) je vegen.
Result of solution using Gauss-Jordan elimination
Your matrix
№ X1 X2 b
1 -3 3 -9
2 -5 2 8
3 -6 -3 51Solution set:SPOILERMake the pivot in the 1st column by dividing the 1st row by -3
№ X1 X2 b
1 1 -1 3
2 -5 2 8
3 -6 -3 51
Multiply the 1st row by -5
№ X1 X2 b
1 -5 5 -15
2 -5 2 8
3 -6 -3 51
Subtract the 1st row from the 2nd row and restore it
№ X1 X2 b
1 1 -1 3
2 0 -3 23
3 -6 -3 51
Multiply the 1st row by -6
№ X1 X2 b
1 -6 6 -18
2 0 -3 23
3 -6 -3 51
Subtract the 1st row from the 3rd row and restore it
№ X1 X2 b
1 1 -1 3
2 0 -3 23
3 0 -9 69
Make the pivot in the 2nd column by dividing the 2nd row by -3
№ X1 X2 b
1 1 -1 3
2 0 1 -23/3
3 0 -9 69
Multiply the 2nd row by -1
№ X1 X2 b
1 1 -1 3
2 0 -1 23/3
3 0 -9 69
Subtract the 2nd row from the 1st row and restore it
№ X1 X2 b
1 1 0 -14/3
2 0 1 -23/3
3 0 -9 69
Multiply the 2nd row by -9
№ X1 X2 b
1 1 0 -14/3
2 0 -9 69
3 0 -9 69
Subtract the 2nd row from the 3rd row and restore it
№ X1 X2 b
1 1 0 -14/3
2 0 1 -23/3
3 0 0 0
x1 = -14/3
x2 = -23/3
Vectoren kun je opvatten als gerichte lijnstukken met een beginpunt en een eindpunt, het zijn geen lijnen. Dat zou toch in je boek aan de orde moeten zijn gekomen omdat je anders ook niet duidelijk kunt maken wat je moet verstaan onder de som en het verschil van twee vectoren en wat je je moet voorstellen bij de vermenigvuldiging van een vector met een scalar (een reëel getal). En dit alles heb je weer nodig om te begrijpen wat een vectorvoorstelling van een rechte lijn nu eigenlijk is en hoe deze samenhangt met een parametervoorstelling in cartesische coördinaten van een rechte lijn.quote:
[..]
Allereerst bedankt voor deze uitgebreide uitleg!
Het begint iets duidelijker te worden. De tweede helft van je uitleg snap ik wel redelijk.
Helaas denk ik dat je mijn kennis van vectoren een beetje overschat hebt, eigenlijk maak ik hier voor het eerst kennis met vectoren.
Ik dacht dat vectoren gewoon weer een andere manier van noteren voor een rechte lijn was.
Na wat googelen ben ik wel wat wijzer geworden, maar ik heb geen idee hoe ik de door jouw genoemde vectoren moet tekenen. Ik begrijp niet wat je bedoelt met termen als vaste vector en inproduct.
Nogmaals bedankt voor de moeite die je er in steekt!
Ik begrijp dat je mijn uitleg niet kunt volgen als je niet weet wat een inproduct van twee vectoren is. Gewoonlijk wordt het inproduct behandeld voordat men het begrip normaalvector van een rechte lijn introduceert, omdat het verband tussen de kentallen van een normaalvector van een rechte lijn en de coëfficiënten van een cartesische vergelijking van die lijn dan evident is, zoals ik heb laten zien. In jouw boek gebeurt dat kennelijk niet, en daarom komen normaalvectoren van rechte lijnen in de behandeling zoals die in jouw boek wordt gegeven eigenlijk volkomen uit de lucht vallen. Dat is niet goed, want op deze manier veroorzaakt het begrip normaalvector eerder verwarring dan dat het wat verheldert, dat blijkt wel uit jouw vragen. Ik kan je aanraden eens te beginnen met het doornemen van dit Wikipedia artikel over vectoren.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 23-09-2013 00:01:42 ]
De oplossing met matrices is natuurlijk prima, en als je veel variabelen hebt en een lineair stelsel door een computerprogramma wil laten oplossen is dit de aangewezen weg, maar ik denk ook dat de kans op fouten bij een uitwerking met pen en papier van een stelsel met slechts enkele variabelen hierbij groter is dan bij de eenvoudige methode die ik heb aangegeven.quote:
[..]
Even onthouden dit, kan wel eens van pas komen. Bedankt.
Ik denk dat je probleem vooral zit in een gebrek aan basale algebraïsche vaardigheden, want je beweerde dat ook substitueren weinig opleverde en gaf vervolgens een vergelijking die niet klopte. Toch gaat het ook met substitutie heel eenvoudig. De eerste vergelijking luidt
14 + 3t = 5 + 3s
Als we hier van beide leden 14 aftrekken en vervolgens beide leden delen door 3, dan hebben we
t = s − 3
oftewel
s = t + 3
Nu kun je één van deze beide betrekkingen invullen in de tweede (of derde) voorwaarde, en dan krijg je een lineaire vergelijking in uitsluitend s resp. uitsluitend t, die je uiteraard weer eenvoudig op kunt lossen.
Dat was een typefout zie ik nu. Ik had ook gewoon s=t+3 op papier staan. Maar het probleem was dus dat ik niet verder keek dan mijn neus lang was en alleen substitutie op de eerste vergelijking toepaste.quote:
[..]
De oplossing met matrices is natuurlijk prima, en als je veel variabelen hebt en een lineair stelsel door een computerprogramma wil laten oplossen is dit de aangewezen weg, maar ik denk ook dat de kans op fouten bij een uitwerking met pen en papier van een stelsel met slechts enkele variabelen hierbij groter is dan bij de eenvoudige methode die ik heb aangegeven.
Ik denk dat je probleem vooral zit in een gebrek aan basale algebraïsche vaardigheden, want je beweerde dat ook substitueren weinig opleverde en gaf vervolgens een vergelijking die niet klopte. Toch gaat het ook met substitutie heel eenvoudig. De eerste vergelijking luidt
14 + 3t = 5 + 3s
Als we hier van beide leden 14 aftrekken en vervolgens beide leden delen door 3, dan hebben we
t = s − 3
oftewel
s = t + 3
Nu kun je één van deze beide betrekkingen invullen in de tweede (of derde) voorwaarde, en dan krijg je een lineaire vergelijking in uitsluitend s resp. uitsluitend t, die je uiteraard weer eenvoudig op kunt lossen.
Hier heeft Riparius uiteraard gelijk in. Het vegen van een matrix met de hand is foutgevoelig. Voor je algebraïsche skills is het wel handig om beide methoden te beheersen.quote:
[..]
De oplossing met matrices is natuurlijk prima, en als je veel variabelen hebt en een lineair stelsel door een computerprogramma wil laten oplossen is dit de aangewezen weg, maar ik denk ook dat de kans op fouten bij een uitwerking met pen en papier van een stelsel met slechts enkele variabelen hierbij groter is dan bij de eenvoudige methode die ik heb aangegeven.
Ik denk dat je probleem vooral zit in een gebrek aan basale algebraïsche vaardigheden, want je beweerde dat ook substitueren weinig opleverde en gaf vervolgens een vergelijking die niet klopte. Toch gaat het ook met substitutie heel eenvoudig. De eerste vergelijking luidt
14 + 3t = 5 + 3s
Als we hier van beide leden 14 aftrekken en vervolgens beide leden delen door 3, dan hebben we
t = s − 3
oftewel
s = t + 3
Nu kun je één van deze beide betrekkingen invullen in de tweede (of derde) voorwaarde, en dan krijg je een lineaire vergelijking in uitsluitend s resp. uitsluitend t, die je uiteraard weer eenvoudig op kunt lossen.
Nu al een grotere kwaliteitsuser dan jij.quote:
[..]
Oke, dit was dus de eerste post van FOK! door mijn 15-maanden oude zoon.
quote:Op maandag 23 september 2013 07:10 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Nu al een grotere kwaliteitsuser dan jij.
Als 1 jarige een bijdrage leveren in het wiskunde topic.quote:
[..]
Oke, dit was dus de eerste post van FOK! door mijn 15-maanden oude zoon.
Door hier weer op te reageren bevestig ik wel een beetje je punt dat op internet dingen vragen veel gedoe oplevert, maar je als je dingen leest die je niet bevallen, hoef je er niet op te reageren. Uiteindelijk wordt je hier gewoon prima geholpen hoor, misschien wel beter dan als je iets aan een docent IRL vraagt. Bovendien kunnen die ook gewoon een preek beginnen, en dat lijkt me een stuk vervelender dan een post op internet. Je wordt niet gedwongen om reacties helemaal te lezen.quote:
[..]
Nou, dit is dus precies de reden dat ik het niet zo handig vind om dingen online te vragen. Ik vraag om hulp met wat wiskunde-opgaven en ik krijg een hele preek over hoe triest het wiskundeonderwijs is in NL en hoe gruwelijk laat ik wel niet ben met calculus en dat het me toch niet gaat lukken. Ik moet je even uit een droom helpen; calculus is een steunvak bij deze studie, zeker geen hoofdvak en al helemaal niet zo relevant als jij doet overkomen, dus even gas terug. Genoeg andere onderwerpen waar ik misschien juist heel goed in ben (weet jij veel
Point being: niet zo hoog van de toren blazen als iemand je simpel wat vraagt betreffende het vak, niet je mening.
Gewoon je best doen en er hard voor werken. Het lijkt me dat ze niet voor niks wiskunde A'ers toelaten. Als die gemiddeld genomen de studie niet halen, dan kost ze dat alleen maar geld. Riparius heeft natuurlijk gelijk dat je er laat mee bent, maar laat je daardoor niet uit het veld slaanquote:
Ik ga morgen met het uitgereikte materiaal geprint en al aan de slag. Ik begrijp zelf ook niet waarom ze wiskunde A instromers wel aannemen gezien het feit calculus voortborduurt op wiskunde B onderwerpen. Als ik dat had geweten had ik deze studiekeuze wel heroverwogen. Maar goed, ik ben er nu eenmaal aan begonnen, dan kan ik het net zo goed proberen ook
.Bijv van:
x 2 +x -20 =0
Is -20 laagste punt?
Met -b/2a kwam ik op een andere waarde(-20,25).
Klopt dat?
Ik had:
Verschil tussen de nulpunten 9 omdat 5 = -4 +x
9/2 = 4,5
4,5 + -4 = 0,5
Laagste dalpunt is (1/2, -77/4)
Ik kwam ook een keer op een waarde van -20,25 via gr.
[ Bericht 4% gewijzigd door wiskundenoob op 27-09-2013 16:41:46 ]
Als je geen gebruik maakt van differentiaalrekening, dan kun je voor het berekenen van het extremum (minimum of maximum) van een kwadratische functie gebruik maken van het feit dat de grafiek van een kwadratische functie een parabool is met een verticale symmetrie-as.quote:
Hoe reken je de extreme punten van zowel een berg- als een dalparabool uit?
Hebben we de kwadratische functie
f(x) = ax2 + bx + c
dan is de grafiek hiervan een parabool met als symmetrie-as de lijn met vergelijking
x = −b/2a
Is a > 0 dan is de grafiek een dalparabool en dan neemt f(x) voor x = −b/2a een minimum aan. Is daarentegen a < 0, dan is de grafiek een bergparabool en neemt f(x) voor x = −b/2a dus een maximum aan.
De waarde van het aangenomen extremum is altijd −D/4a, dus
f(−b/2a) = −D/4a
waarbij
D = b2 − 4ac
de discriminant is van de kwadratische veelterm ax2 + bx + c. De discriminant bepaalt hoeveel reële nulpunten de functie f(x) = ax2 + bx + c heeft, en daarmee ook of de parabool die de grafiek is van deze functie de x-as snijdt (D > 0), raakt (D = 0) of geheel boven of onder de x-as ligt (D < 0).
Nee, want je kunt het minimum van een kwadratische veelterm niet bepalen door simpelweg x = 0 te nemen. Let bovendien op de juiste terminologie. Hier geef je een kwadratische vergelijking terwijl je in feite vraagt naar het minimum van de kwadratische functie f(x) = x2 + x − 20. Dat is wat anders.quote:Bijv van:
x 2 + x - 20 = 0
Is -20 laagste punt?
Ja, want zoals gezegd kun je het minimum of maximum niet bepalen door simpelweg x = 0 te nemen. En als je iets eerst op een verkeerde manier uitrekent en dan op een correcte manier, is het niet zo vreemd als je twee verschillende uitkomsten krijgt toch?quote:Met -b/2a kwam ik op een andere waarde.
Klopt dat?
Dat mag je om te beginnen niet zo slordig opschrijven. De kwadratische veelterm x2 + x − 20 heeft de nulpunten x1 = −5 en x2 = +4. Je mag ook zeggen dat de functie f(x) = x2 + x − 20 twee nulpunten heeft of dat de kwadratische vergelijking x2 + x − 20 = 0 twee reële oplossingen heeft.quote:Verschil tussen de nulpunten 9 omdat 5 = -4 +x
Nee. Je maakt hier een tekenfout. De nulpunten zijn x1 = −5 en x2 = 4 dus de functie neemt een extremum aan bij x = −1/2 en de waarde van dit extremum is −81/4 = −20¼, kijk maar.quote:9/2 = 4,5
4,5 + -4 = 0,5
Laagste dalpunt is (1/2, 77/4)
Ik kwam ook een keer op een waarde van 20,25 via gr.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 27-09-2013 17:30:09 ]
Als je x2 + x − 20 neemt enquote:
Nee, want je kunt het minimum van een kwadratische veelterm niet bepalen door simpelweg x = 0 te nemen. Let bovendien op de juiste terminologie. Hier geef je een kwadratische vergelijking terwijl je in feite vraagt naar het minimum van de kwadratische functie f(x) = x2 + x − 20. Dat is wat anders.
x(x+1) = 0
van maakt. Wat staat hier dan?
Je hebt dan x = -1 en x = 0. 2 oplossingen dus -1/2 = x
Leg mij eens uit hoe jij er x (x+1) =0 van maakt.quote:
[..]
Als je x2 + x − 20 neemt en
x(x+1) = 0
van maakt. Wat staat hier dan?
Je hebt dan x = -1 en x = 0. 2 oplossingen dus -1/2 = x
-20 weglaten en dan x buiten haakjes halen.quote:
[..]
Leg mij eens uit hoe jij er x (x+1) =0 van maakt.
Nee, hier klopt niets van. Jammer genoeg lijkt het erop alsof je al mijn uiteenzettingen over kwadraatafsplitsen al weer helemaal bent vergeten.quote:
[..]
Als je x2 + x − 20 neemt en
x(x+1) = 0
van maakt. Wat staat hier dan?
Je hebt dan x = -1 en x = 0. 2 oplossingen dus -1/2 = x
Je mag die constante term −20 niet buiten beschouwing laten.
Het is waar dat je in ax2 + bx + c bij de eerste twee termen een x buiten haakjes kunt halen en dat je dan krijgt x(ax + b) + c, maar dit betekent niet dat x = 0 en x = −b/a de nulpunten zijn van deze kwadratische veelterm. Je kunt direct zien dat dat niet klopt: als we in de functie f(x) = ax2 + bx + c de waarde x = 0 invullen, dan krijgen we f(0) = c, dus x = 0 is geen nulpunt van deze functie, tenzij c = 0.
Wat je wél kunt zeggen is dat als een kwadratische vergelijking
ax2 + bx + c = 0
de oplossingen x1 en x2 heeft, dat voor deze oplossingen dan de volgende betrekkingen (genoemd naar Viète) gelden:
x1 + x2 = −b/a
x1x2 = c/a
Je had zelf al bedacht dat je het gemiddelde kunt nemen van de x-coördinaten van de snijpunten van de parabool met de x-as om de ligging van de verticale symmetrie-as te bepalen, en zo te vinden voor welke waarde van x de bijbehorende functie een extreme waarde aanneemt. Welnu, als er twee nulpunten x1 en x2 zijn, dan is het gemiddelde
(x1 + x2)/2 = −b/2a
en inderdaad bereikt de functie f(x) = ax2 + bx + c een extreme waarde bij x = −b/2a. Dat geldt trouwens ook als er geen nulpunten zijn, maar om dat in te zien moet je gebruik maken van kwadraatafsplitsing.
Oke, een vraag die ik heb gevonden op internet.quote:
[..]
Nee, hier klopt niets van. Jammer genoeg lijkt het erop alsof je al mijn uiteenzettingen over kwadraatafsplitsen al weer helemaal bent vergeten.
Je mag die constante term −20 niet buiten beschouwing laten.
Het is waar dat je in ax2 + bx + c bij de eerste twee termen een x buiten haakjes kunt halen en dat je dan krijgt x(ax + b) + c, maar dit betekent niet dat x = 0 en x = −b/a de nulpunten zijn van deze kwadratische veelterm. Je kunt direct zien dat dat niet klopt: als we in de functie f(x) = ax2 + bx + c de waarde x = 0 invullen, dan krijgen we f(0) = c, dus x = 0 is geen nulpunt van deze functie, tenzij c = 0.
Wat je wél kunt zeggen is dat als een kwadratische vergelijking
ax2 + bx + c = 0
de oplossingen x1 en x2 heeft, dat voor deze oplossingen dan de volgende betrekkingen (genoemd naar Viète) gelden:
x1 + x2 = −b/a
x1x2 = c/a
Je had zelf al bedacht dat je het gemiddelde kunt nemen van de x-coördinaten van de snijpunten van de parabool met de x-as om de ligging van de verticale symmetrie-as te bepalen, en zo te vinden voor welke waarde van x de bijbehorende functie een extreme waarde aanneemt. Welnu, als er twee nulpunten x1 en x2 zijn, dan is het gemiddelde
(x1 + x2)/2 = −b/2a
en inderdaad bereikt de functie f(x) = ax2 + bx + c een extreme waarde bij x = −b/2a. Dat geldt trouwens ook als er geen nulpunten zijn, maar om dat in te zien moet je gebruik maken van kwadraatafsplitsing.
If y= 4 + (x-3)2, then y is least when x =
Het is een dalparabool omdat a > 0 dus moeten we minimum vinden.
4+ x2 -6x +9 = x2 -6x +13
En dan gebruiken we -b/2a om x te vinden.
-(-6/2) = 3 = x-coördinaat van het minimum
Om y te vinden vullen we x = 3 in y = 4 + (x-3)2
y = 4 + (3-3)^2 = 4
Het minimum is dus (3,4)
Antwoord op de vraag is dus 3.
Maar de uitleg die bij deze vraag staat is veel simpeler, alleen snap ik de uitleg niet:
(x-3)2 = 0
x - 3 = 0
x = 3
[ Bericht 0% gewijzigd door wiskundenoob op 27-09-2013 18:45:11 ]
u2 heeft minimum in u = 0 (u reeel)quote:
Maar de uitleg die bij deze vraag is veel simpeler, alleen snap ik de uitleg niet:
(x-3)2 = 0
x - 3 = 0
x = 3
y = 4 + (x+3)2
4 is gewoon een constante, dus maakt niet uit voor het minimum.
Dan hou je over (x+3)2 en het minimum daarvan is x - 3 = 0
-edit-
Wat je ook kan doen (algemener) is kijken naar wanneer de afgeleide 0 is, daarmee vind je een lokaal minimum of maximum.
Eigenlijk komt het hier op hetzelfde neer:
y = 4 + (x-3)^2
y' = 2(x-3) = 0
x = 3
[ Bericht 7% gewijzigd door t4rt4rus op 27-09-2013 18:57:33 ]
De clou is hier dat de kwadratische functie al is gegeven in een vorm die je krijgt als je kwadraatafspliting toepast. Je hebtquote:
[..]
Oke, een vraag die ik heb gevonden op internet.
If y= 4 + (x-3)2, then y is least when x =
Het is een dalparabool omdat a > 0 dus moeten we minimum vinden.
4+ x2 -6x +9 = x2 -6x +13
En dan gebruiken we -b/2a om x te vinden.
-6/2 = 3 = x-coördinaat van het minimum
Om y te vinden vullen we x = 3 in y = 4 + (x-3)2
y = 4 + (3-3)^2 = 4
Het minimum is dus (3,4)
Antwoord op de vraag is dus 3.
Maar de uitleg die bij deze vraag is veel simpeler, alleen snap ik de uitleg niet:
(x-3)2 = 0
x - 3 = 0
x = 3
f(x) = (x −3)2 + 4
Nu kun je inderdaad de haakjes gaan uitwerken, en dan krijg je
f(x) = x2 − 6x + 13
Maar dat moet je nu juist niet doen, want daardoor maak je het jezelf alleen maar moeilijker.
Als je eens even kijkt naar de uitdrukking
(x −3)2 + 4
dan zie je dat je hier een kwadraat (x −3)2 hebt en een constante term + 4. Maar nu weet je dat een kwadraat (van een reëel getal) nooit negatief kan zijn. Dat wil dus zeggen dat (x −3)2 nul als laagste waarde heeft, en dat die laagste waarde wordt bereikt als (x − 3) zelf nul is, en dus als x = 3. En omdat we voor onze functiewaarde 4 optellen bij (x −3)2 zie je dus ook direct dat de waarde van deze functie nooit lager kan worden dan 4. De functie bereikt dus een minimum van 4 bij x = 3.
Serieus ik zie het nog steeds niet.quote:
(x −3)2 + 4
dan zie je dat je hier een kwadraat (x −3)2 hebt en een constante term + 4. Maar nu weet je dat een kwadraat (van een reëel getal) nooit negatief kan zijn. Dat wil dus zeggen dat (x −3)2 nul als laagste waarde heeft, en dat die laagste waarde wordt bereikt als (x − 3) zelf nul is, en dus als x = 3. En omdat we voor onze functiewaarde 4 optellen bij (x −3)2 zie je dus ook direct dat de waarde van deze functie nooit lager kan worden dan 4. De functie bereikt dus een minimum van 4 bij x = 3.
Dat (x-3)2 nooit negatief kan zijn snap ik, maar wat heeft dit te maken met het vinden van het minimum?