SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Ik weet er niet het fijne van maar ik kan wel zeggen dat grafische kaarten dankzij het hebben van veel processoren bij uitstek geschikt zijn voor het uitvoeren van veel parallelle berekeningen met een hoge snelheid (het is precies dat waarvoor ze ontworpen zijn aangezien dat is vereist voor uitdagende animaties), hiermee zouden ze zich goed moeten lenen voor cryptografie.
[ Bericht 9% gewijzigd door Bram_van_Loon op 21-09-2013 16:23:24 ]
[ Bericht 9% gewijzigd door Bram_van_Loon op 21-09-2013 16:23:24 ]
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
#NoDAPL
Ik denk het wel ja. Er was hier op de UU laatst nog een masterthesis over de toepassing van CUDA (een programmeertaal om GPU's mee te programmeren) bij moleculaire simulaties ("Molecular Simulations using CUDA"). CUDA is inderdaad perfect voor dat soort dingenquote:Op zaterdag 21 september 2013 16:17 schreef Bram_van_Loon het volgende:
Ik weet er niet het fijne van maar ik kan wel zeggen dat grafische kaarten dankzij het hebben van veel processoren bij uitstek geschikt zijn voor het uitvoeren van veel parallelle berekeningen met een hoge snelheid (het is precies dat waarvoor ze ontworpen zijn aangezien dat is vereist voor uitdagende animaties), hiermee zouden ze zich goed moeten lenen voor cryptografie.
Ik ben zelf ook zo'n cursusje op udacity aan het volgen 'parallel computing' oid. Het wordt niet heel boeiend gebracht, maar voor informatici heel nuttig om te leren, denk ik.
Hallo Fok!,
Ik begrijp een stukje theorie in mijn wiskundeboek niet.
Het is maar de tweede bladzijde van de paragraaf dus eigenlijk nog echt basisstof.
Foto's van theorie:
Voor de duidelijkheid, het stukje wat ik niet snap staat op de tweede foto.
Wat heeft de normaalvector te maken met een parametervoorstelling omwerken naar een ''normale'' vergelijking?
Voor mijn gevoel is de uitkomst nu een lijn die loodrecht staat op de parametervoorstelling, wat natuurlijk niet zo is.
Ik kon de sommen die na dit stukje theorie komen wel gewoon maken aangezien het niet moeilijk is om een richtingsvector om te draaien.
Maar snappen doe ik het niet.
Ik hoop dat jullie mijn verhaal wel snappen en iemand mij het iets duidelijker kan maken.
Ik begrijp een stukje theorie in mijn wiskundeboek niet.
Het is maar de tweede bladzijde van de paragraaf dus eigenlijk nog echt basisstof.
Foto's van theorie:
Voor de duidelijkheid, het stukje wat ik niet snap staat op de tweede foto.
Wat heeft de normaalvector te maken met een parametervoorstelling omwerken naar een ''normale'' vergelijking?
Voor mijn gevoel is de uitkomst nu een lijn die loodrecht staat op de parametervoorstelling, wat natuurlijk niet zo is.
Ik kon de sommen die na dit stukje theorie komen wel gewoon maken aangezien het niet moeilijk is om een richtingsvector om te draaien.
Maar snappen doe ik het niet.
Ik hoop dat jullie mijn verhaal wel snappen en iemand mij het iets duidelijker kan maken.
Maak bij de volgende uitleg die ik je nu ga geven zelf een tekening, dan begrijp je het hopelijk wel.quote:
Hallo Fok!,
Ik begrijp een stukje theorie in mijn wiskundeboek niet.
Het is maar de tweede bladzijde van de paragraaf dus eigenlijk nog echt basisstof.
Foto's van theorie:
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
Voor de duidelijkheid, het stukje wat ik niet snap staat op de tweede foto.
Wat heeft de normaalvector te maken met een parametervoorstelling omwerken naar een ''normale'' vergelijking?
Voor mijn gevoel is de uitkomst nu een lijn die loodrecht staat op de parametervoorstelling, wat natuurlijk niet zo is.
Ik kon de sommen die na dit stukje theorie komen wel gewoon maken aangezien het niet moeilijk is om een richtingsvector om te draaien.
Maar snappen doe ik het niet.
Ik hoop dat jullie mijn verhaal wel snappen en iemand mij het iets duidelijker kan maken.
Stel dat we in een plat vlak voorzien van een cartesisch assenstelsel een rechte lijn l hebben die niet door de oorsprong gaat en dat v0 een vaste vector is met een eindpunt op deze lijn l en dat v een willekeurige vector is met eveneens een eindpunt op lijn l. Teken nu de verschilvector v − v0, dan zul je zien dat deze verschilvector evenwijdig is aan de lijn l (mits het eindpunt van de variabele vector v op lijn l niet samenvalt met het eindpunt van de vaste vector v0 op lijn l).
Teken nu ook een normaalvector n voor lijn l, dat is een vector die loodrecht op lijn l staat. De lengte van deze normaalvector doet er niet toe, maar uiteraard mag dit niet de nulvector zijn.
Omdat de verschilvector v − v0 evenwijdig is aan l terwijl vector n loodrecht op l staat, staan deze beide vectoren onderling ook loodrecht op elkaar. Maar dat betekent dat het inproduct van n en v − v0 gelijk is aan nul, dus
n·(v − v0) = 0
Welnu, stel dat het eindpunt van vector n de coördinaten (a; b) heeft, dus
n = (a, b)
Laten we verder zeggen dat de coördinaten van het eindpunt op lijn l van de vaste vector v0 gelijk zijn aan (x0; y0), dus
v0 = (x0, y0)
De variabele coördinaten van de variabele vector v met eindpunt op lijn l kunnen we aangeven met (x; y) zodat
v = (x, y)
Voor de verschilvector v − v0 hebben we zo dus
v − v0 = (x − x0, y − y0)
En omdat we al zagen dat het inproduct van n en v − v0 gelijk is aan 0 geldt dus
a(x − x0) + b(y − y0) = 0
voor elk punt met coördinaten (x; y) dat op lijn l ligt. Maar dat betekent niets anders dan dat we hier een cartesische vergelijking van onze lijn l hebben. Door de haakjes uit te werken en de constante termen over te brengen naar het rechterlid kun je deze vergelijking ook schrijven als
ax + by = ax0 + by0
Zo zie je dus waarom de coëfficiënten a en b van deze cartesische vergelijking van lijn l niets anders zijn dan de coördinaten (a; b) van het eindpunt van de normaalvector n die we gekozen hadden voor onze lijn!
Zoals gezegd doet de lengte (en de zin) van de gekozen normaalvector n voor de lijn l er niet toe, zolang deze vector maar niet de nulvector is en wel loodrecht op de lijn staat. Dit kun je ook goed zien in de cartesische vergelijking voor onze lijn l: als je beide leden van de vergelijking met een reëel getal ongelijk aan nul vermenigvuldigt, dan krijg je een vergelijking die equivalent is met de oorspronkelijke en dus nog steeds dezelfde lijn voorstelt. De coëfficiënten a en b zijn dus niet uniek, elk ander paar dat we krijgen door a en b elk met hetzelfde reële getal ongelijk aan nul te vermenigvuldigen zal ook voldoen.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 22-09-2013 08:09:24 ]
Hoe isoleer ik x?quote:Op dinsdag 10 september 2013 17:40 schreef wiskundenoob het volgende:
[..]
Hoe los je dit op 3^x = 26?
3^x = (3^3) -1
Maak gebruik van de logaritme:quote:
[..]
Hoe isoleer ik x?
3^x = (3^3) -1
Voor aq = x geldt alog(x)=q (a en x groter dan 0, a ongelijk aan 1)
Kun je de vergelijking die jij geeft naar die eerste vorm krijgen, zodat je over kan naar de tweede vorm? Hint: Wat is 33?
Om te beginnen: gebruik superscript voor het grondtal van de logaritme. Schrijf dusquote:
x = 3^log(26)
Als dit klopt hoe reken je dit handmatig uit?
x = 3log 26
Haakjes om de 26 zijn hier niet nodig, maar ze mogen uiteraard wel.
Nu iets over het handmatig berekenen van logaritmen. Het pragmatische antwoord op de vraag hoe je dit handmatig berekent is: niet. We hebben immers calculators, en daarmee vind je gemakkelijk dat
3log 26 ≈ 2,96564727
Overigens hebben calculators geen logaritmen met grondtal 3, dus moet je de logaritme dan wel eerst omzetten in een logaritme met grondtal 10 (de zogeheten 'gewone' of Briggse logaritmen) of in een logaritme met het bijzondere grondtal e, ook wel het getal van Euler genoemd. Logaritmen met grondtal e worden natuurlijke logaritmen genoemd en meestal (in ieder geval op rekenmachines) aangegeven met het symbool ln, dat staat voor logarithmus naturalis. De 'gewone' of Briggse logaritmen worden op rekenmachines aangegeven met het symbol log.
Om een logaritme met een bepaald grondtal g om te zetten in een logaritme met een ander grondtal b (Engels: base) kun je gebruik maken van de rekenregel
glog a = blog a / blog g
Deze rekenregel lijkt mischien lastig om te onthouden, maar onthouden wordt een stuk eenvoudiger als je de regel eerst even opschrijft in de zogeheten kettingvorm
blog g · glog a = blog a
Beide leden hiervan delen door blog g geeft dan bovenstaande betrekking. Met deze betrekking kunnen we nu zeggen dat
3log 26 = 10log 26 / 10log 3
en ook
3log 26 = ln 26 / ln 3
Nu kun je elke gewone rekenmachine (ook de calculator van Windows) gebruiken om 3log 26 uit te rekenen.
Maar goed, als nieuwsgierig wiskundenoobje ben je vast niet tevreden met dit antwoord, en wil je weten hoe men dit vroeger dan deed, toen er geen rekenmachines bestonden.
Welnu, vroeger gebruikte men hiervoor logaritmentafels. Dat zijn zeer uitgebreide tabellenboekjes (zeg maar rustig boekwerken) waarin meestal de Briggse logaritmen werden gegeven. Die tabellen zijn in vroeger eeuwen allemaal met de hand berekend door mensen als John Napier, Henry Briggs, Ezechiel de Decker en Adriaen Vlacq, die daar allemaal jaren van hun leven aan hebben besteed.
Maar nu de hamvraag, hoe kun je logaritmen berekenen? Daar zijn verschillende manieren voor, maar het zou te ver voeren daar uitgebreid op in te gaan. Briggs bijvoorbeeld deed dat door te beginnen met het getal 10 en daar herhaaldelijk (tot 27 maal toe!) de vierkantswortel uit te trekken, benaderd tot pakweg 16 cijfers achter de komma (daarvoor bestaat een algoritme dat je met pen en papier kunt uitvoeren) en door vervolgens gebruik te maken van interpolaties. Het idee hierbij is dat als je eenmaal weet dat 101/p = qn voor p = 2n, n = 1, 2, 3 ... dat je dan ook weet dat log qn = 1/2n. Vervolgens kun je dan door gebruik te maken van de rekenregel log ab = log a + log b eenvoudig logaritmen voor tussenliggende waarden berekenen, en door gebruik te maken van (lineaire) interpolatie kun je dan weer logaritmen van 'mooie' getallen in elke gewenste nauwkeurigkeid benaderen en zo een complete tabel samenstellen.
Een andere manier, althans voor natuurlijke logaritmen, is om gebruik te maken van reeksontwikkelingen. Voor ln(1 + x) heb je de volgende beroemde reeksontwikkeling die is vernoemd naar Nikolaus Mercator:
ln(1 + x) = x − x2/2 + x3/3 − x4/4 + ...
Nu is er alleen een grote maar ... Deze reeks convergeert alleen voor −1 < x ≤ 1. Convergeren wil zeggen dat je steeds dichter bij de 'echte' waarde - in dit geval ln(1 + x) - komt naarmate je meer termen van de reeks berekent en steeds optelt resp. aftrekt. Maar zodra je gaat proberen om hiermee bijvoorbeeld ln 3 te berekenen door x = 2 in te vullen, zul je ontdekken dat je niet meer steeds dichter bij een bepaalde waarde komt: de reeks divergeert dan.
Het lijkt dus alsof deze reeks waardeloos is als we bijvoorbeeld onze ln 26 en ln 3 met de hand zouden willen berekenen (benaderen). Maar dat is toch niet het geval. We kunnen een trucje uithalen. Als we in bovenstaande reeks de x vervangen door −x, dan krijgen we
ln(1 − x) = −x − x2/2 − x3/3 − x4/4 − ...
En als we nu deze tweede reeks van de eerste hierboven aftrekken, dan hebben we
ln(1 + x) − ln(1 − x) = 2x + 2x3/3 + 2x5/5 + ...
En volgens de bekende rekenregel ln a − ln b = ln(a/b) hebben we dus
ln((1 + x)/(1 − x)) = 2x + 2x3/3 + 2x5/5 + ...
Nu kunnen we voor x nog steeds alleen maar waarden tussen −1 en +1 gebruiken, maar kijk eens wat we nu hebben. We willen berekenen
3log 26 = ln 26 / ln 3 = (ln 2 + ln 13) / ln 3
We moeten dus de natuurlijke logaritmen van 2, van 3 en van 13 bepalen. Als je nu achtereenvolgens x = 1/3, x = 1/2 en x = 6/7 invult, dan wordt (1 + x)/(1 − x) resp. 2, 3 en 13, en zo kunnen we dus ln 2, ln 3 en ln 13 wél bepalen!
Overigens is het verstandig om te werken met waarden van x die liefst niet te ver van 0 liggen, omdat de reeks dan beter convergeert. Maar ook dát kunnen we voor elkaar krijgen: als we eenmaal ln 2 en ln 3 hebben bepaald, dan kennen we ook ln 4 = 2·ln 2 en daarmee ook ln 12 = ln 4 + ln 3. Vervolgens kun je dan x = 1/25 invullen om ln(13/12) te berekenen, en dan heb je ook ln 13 = ln 12 + ln(13/12).
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 22-09-2013 08:22:15 ]
Allereerst bedankt voor deze uitgebreide uitleg!quote:
[..]
Maak bij de volgende uitleg die ik je nu ga geven zelf een tekening, dan begrijp je het hopelijk wel.
Stel dat we in een plat vlak voorzien van een cartesisch assenstelsel een rechte lijn l hebben die niet door de oorsprong gaat en dat v0 een vaste vector is met een eindpunt op deze lijn l en dat v een willekeurige vector is met eveneens een eindpunt op lijn l. Teken nu de verschilvector v − v0, dan zul je zien dat deze verschilvector evenwijdig is aan de lijn l (mits het eindpunt van de variabele vector v op lijn l niet samenvalt met het eindpunt van de vaste vector v0 op lijn l).
Teken nu ook een normaalvector n voor lijn l, dat is een vector die loodrecht op lijn l staat. De lengte van deze normaalvector doet er niet toe, maar uiteraard mag dit niet de nulvector zijn.
Omdat de verschilvector v − v0 evenwijdig is aan l terwijl vector n loodrecht op l staat, staan deze beide vectoren onderling ook loodrecht op elkaar. Maar dat betekent dat het inproduct van n en v − v0 gelijk is aan nul, dus
n·(v − v0) = 0
Welnu, stel dat het eindpunt van vector n de coördinaten (a; b) heeft, dus
n = (a, b)
Laten we verder zeggen dat de coördinaten van het eindpunt op lijn l van de vaste vector v0 gelijk zijn aan (x0; y0), dus
v0 = (x0, y0)
De variabele coördinaten van de variabele vector v met eindpunt op lijn l kunnen we aangeven met (x; y) zodat
v = (x, y)
Voor de verschilvector v − v0 hebben we zo dus
v − v0 = (x − x0, y − y0)
En omdat we al zagen dat het inproduct van n en v − v0 gelijk is aan 0 geldt dus
a(x − x0) + b(y − y0) = 0
voor elk punt met coördinaten (x; y) dat op lijn l ligt. Maar dat betekent niets anders dan dat we hier een cartesische vergelijking van onze lijn l hebben. Door de haakjes uit te werken en de constante termen over te brengen naar het rechterlid kun je deze vergelijking ook schrijven als
ax + by = ax0 + by0
Zo zie je dus waarom de coëfficiënten a en b van deze cartesische vergelijking van lijn l niets anders zijn dan de coördinaten (a; b) van het eindpunt van de normaalvector n die we gekozen hadden voor onze lijn!
Zoals gezegd doet de lengte (en de zin) van de gekozen normaalvector n voor de lijn l er niet toe, zolang deze vector maar niet de nulvector is en wel loodrecht op de lijn staat. Dit kun je ook goed zien in de cartesische vergelijking voor onze lijn l: als je beide leden van de vergelijking met een reëel getal ongelijk aan nul vermenigvuldigt, dan krijg je een vergelijking die equivalent is met de oorspronkelijke en dus nog steeds dezelfde lijn voorstelt. De coëfficiënten a en b zijn dus niet uniek, elk ander paar dat we krijgen door a en b elk met hetzelfde reële getal ongelijk aan nul te vermenigvuldigen zal ook voldoen.
Het begint iets duidelijker te worden. De tweede helft van je uitleg snap ik wel redelijk.
Helaas denk ik dat je mijn kennis van vectoren een beetje overschat hebt, eigenlijk maak ik hier voor het eerst kennis met vectoren.
Ik dacht dat vectoren gewoon weer een andere manier van noteren voor een rechte lijn was.
Na wat googelen ben ik wel wat wijzer geworden, maar ik heb geen idee hoe ik de door jouw genoemde vectoren moet tekenen. Ik begrijp niet wat je bedoeld met termen als vaste vector en inproduct.
Nogmaals bedankt voor de moeite die je er in steekt!
Ik moet aantonen dat ze elkaar snijden en het snijpunt geven, maar ik heb echt geen idee hoe. Ik heb al geprobeerd de 'stukjes' aan elkaar gelijk te stellen, dus bijvoorbeeld 14+3t=5+3s, maar daar kom ik ook niet zover mee omdat ik dan nog steeds twee variabelen heb. Ook substitueren leverde weinig op. 14-3t=5+3(s+t) is natuurlijk wel gelijk aan elkaar, maar dan heb ik nog steeds geen waarde voor s en t.
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Voor de x, y en z coordinaat krijg je een vergelijking in de variabelen s en t. Dit stelsel van vergelijkingen moet tegelijkertijd waar zijn. Een oplossing hiervoor kan je vinden mbv Gaussische eliminatie.quote:
[ afbeelding ]
Ik moet aantonen dat ze elkaar snijden en het snijpunt geven, maar ik heb echt geen idee hoe. Ik heb al geprobeerd de 'stukjes' aan elkaar gelijk te stellen, dus bijvoorbeeld 14+3t=5+3s, maar daar kom ik ook niet zover mee omdat ik dan nog steeds twee variabelen heb. Ook substitueren leverde weinig op. 14-3t=5+3(s+t) is natuurlijk wel gelijk aan elkaar, maar dan heb ik nog steeds geen waarde voor s en t.
Gaussische wat? Nog nooit van gehoord.quote:Op zondag 22 september 2013 13:43 schreef Wolfje het volgende:
[..]
Voor de x, y en z coordinaat krijg je een vergelijking in de variabelen s en t. Dit stelsel van vergelijkingen moet tegelijkertijd waar zijn. Een oplossing hiervoor kan je vinden mbv Gaussische eliminatie.
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Gauss-Jordan eliminatie. Een manier om een stelsel vergelijkingen op te lossen. In de volksmond wordt het ook wel het vegen van een matrix genoemd.quote:
[..]
Gaussische wat? Nog nooit van gehoord.
Eh, kan je dat misschien uitleggen? Want het enige wat ik met een matrix kan is een dot product berekenen.quote:
[..]
Gauss-Jordan eliminatie. Een manier om een stelsel vergelijkingen op te lossen. In de volksmond wordt het ook wel het vegen van een matrix genoemd.
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
http://www.win.tue.nl/~rvhassel/Onderwijs/2DS06/ohroot.pdfquote:
[..]
Eh, kan je dat misschien uitleggen? Want het enige wat ik met een matrix kan is een dot product berekenen.
In 3.5 staat het uitgelegd.
I asked God for a bike, but I know God doesn't work that way.
So I stole a bike and asked for forgiveness.
So I stole a bike and asked for forgiveness.
Je veegt een matrix naar de normaalvorm. M.a.w. staat er dan in je matrix x = 2, y = 4, z = 7 , c = 4 etc. etc.quote:
[..]
Eh, kan je dat misschien uitleggen? Want het enige wat ik met een matrix kan is een dot product berekenen.
Ik heb de links die je gepost hebt enigszins bestudeerd en ik heb de indruk dat de matrices waarover wordt gesproken helemaal geen lineaire afbeeldingen zijn. Je moet ze volgens mij eerder opvatten als een soort tabellen met informatie.quote:
[..]
Op zichzelf weet ik voldoende van de wiskunde, maar niet dit type matrices. Er is een wiki-artikel dat erover gaat: http://en.wikipedia.org/wiki/Needleman–Wunsch_algorithm
en deze site: http://www.maths.tcd.ie/~lily/pres2/sld001.htm
Maar het gaat mij om de toepassing van matrices in dit geheel.
quote:
[ afbeelding ]
Ik moet aantonen dat ze elkaar snijden en het snijpunt geven, maar ik heb echt geen idee hoe. Ik heb al geprobeerd de 'stukjes' aan elkaar gelijk te stellen, dus bijvoorbeeld 14+3t=5+3s, maar daar kom ik ook niet zover mee omdat ik dan nog steeds twee variabelen heb. Ook substitueren leverde weinig op. 14-3t=5+3(s+t) is natuurlijk wel gelijk aan elkaar, maar dan heb ik nog steeds geen waarde voor s en t.
Kom op, een beetje moeite doen: http://nl.wikipedia.org/wiki/Gauss-eliminatiequote:
[..]
Gaussische wat? Nog nooit van gehoord.
Als je de x, y en z-coördinaten van de lijnen aan elkaar gelijk stelt, krijg je drie vergelijkingen in twee variabelen. In principe zijn twee vergelijkingen genoeg om een oplossing te krijgen, maar om te kijken of dit ook echt een snijpunt is moet je wel kijken of de derde vergelijking ook klopt als je de oplossing daarin invult.
Door het stelsel gevormd door de eerste twee vergelijkingen op te lossen, krijg je immers een oplossing die voldoet aan de eerste twee vergelijkingen (dus, de x- en y-coördinaten van de twee lijnen zijn hier gelijk). Als de z-coördinaat ook gelijk is, hebben we een snijpunt.
Nouja, je kan op die tweede site zien dat er een matrix als 'datastructuur' (ik zet het tussen haakjes, want technisch gezien is een matrix natuurlijk geen manier om iets in een computergeheugen op te slaan) gebruikt wordt. Ik heb niet heel uitgebreid gekeken (en dat ben ik eerlijk gezegd ook niet van plan), maar volgens mij is verder niet zoveel over te zeggen: ik zie bijvoorbeeld niet dat er matrixvermenigvuldiging of substitutiematrices worden toegepast. Je vraag is ook wel erg vaag, misschien moet je nog iets meer achtergrond geven (wil je dit weten voor een of ander project of verslag? heb je dit onderwerp zelf bedacht of is het door een docent gesuggereerd?).quote:
[..]
Op zichzelf weet ik voldoende van de wiskunde, maar niet dit type matrices. Er is een wiki-artikel dat erover gaat: http://en.wikipedia.org/wiki/Needleman–Wunsch_algorithm
en deze site: http://www.maths.tcd.ie/~lily/pres2/sld001.htm
Maar het gaat mij om de toepassing van matrices in dit geheel.
Dank allen; aan de genoemde sites heb ik denk ik wel voldoende. Mocht er toch nog iets zijn dat verduidelijking behoeft dan kom ik er wel op terugquote:
[..]
Nouja, je kan op die tweede site zien dat er een matrix als 'datastructuur' (ik zet het tussen haakjes, want technisch gezien is een matrix natuurlijk geen manier om iets in een computergeheugen op te slaan) gebruikt wordt. Ik heb niet heel uitgebreid gekeken (en dat ben ik eerlijk gezegd ook niet van plan), maar volgens mij is verder niet zoveel over te zeggen: ik zie bijvoorbeeld niet dat er matrixvermenigvuldiging of substitutiematrices worden toegepast. Je vraag is ook wel erg vaag, misschien moet je nog iets meer achtergrond geven (wil je dit weten voor een of ander project of verslag? heb je dit onderwerp zelf bedacht of is het door een docent gesuggereerd?).
.Het is trouwens inderdaad voor een project.
kloep kloep
quote:
[..]
[..]
Kom op, een beetje moeite doen: http://nl.wikipedia.org/wiki/Gauss-eliminatie
Als je de x, y en z-coördinaten van de lijnen aan elkaar gelijk stelt, krijg je drie vergelijkingen in twee variabelen. In principe zijn twee vergelijkingen genoeg om een oplossing te krijgen, maar om te kijken of dit ook echt een snijpunt is moet je wel kijken of de derde vergelijking ook klopt als je de oplossing daarin invult.
Door het stelsel gevormd door de eerste twee vergelijkingen op te lossen, krijg je immers een oplossing die voldoet aan de eerste twee vergelijkingen (dus, de x- en y-coördinaten van de twee lijnen zijn hier gelijk). Als de z-coördinaat ook gelijk is, hebben we een snijpunt.
quote:
[..]
Je veegt een matrix naar de normaalvorm. M.a.w. staat er dan in je matrix x = 2, y = 4, z = 7 , c = 4 etc. etc.
Ik heb naar de gegevens links gekeken, maar ik snap er eigenlijk nog steeds vrij weinig van. Moet ik gewoon een drie bij drie matrix opstellen? Dus net zoals je bij het bereken van een dot product doet? Ik heb trouwens nooit geleerd met matrices te werken op de middelbare, dus daarom snap ik het waarschijnlijk niet.quote:
[..]
http://www.win.tue.nl/~rvhassel/Onderwijs/2DS06/ohroot.pdf
In 3.5 staat het uitgelegd.
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Laten we dit eens gewoon op zijn janboerenfluitjes oplossen. Je hebt hier twee parametervoorstellingen van rechte lijnen in R3. Als deze lijnen elkaar snijden, dan moeten er dus waarden van de parameters s en t bestaan waarvoor zowel de x-, de y-, als z-coördinaat van beide parametervoorstellingen aan elkaar gelijk worden. Dat betekent dat je dus drie lineaire vergelijkingen krijgt in twee onbekenden. Algebraïsch hoeft zo'n stelsel helemaal geen oplossing te hebben, en je begrijpt meetkundig ook waarom dat niet hoeft: de lijnen zouden immers ook evenwijdig kunnen lopen óf ze zouden elkaar in de ruimte kunnen kruisen.quote:
[ afbeelding ]
Ik moet aantonen dat ze elkaar snijden en het snijpunt geven, maar ik heb echt geen idee hoe. Ik heb al geprobeerd de 'stukjes' aan elkaar gelijk te stellen, dus bijvoorbeeld 14+3t=5+3s, maar daar kom ik ook niet zover mee omdat ik dan nog steeds twee variabelen heb. Ook substitueren leverde weinig op. 14-3t=5+3(s+t) is natuurlijk wel gelijk aan elkaar, maar dan heb ik nog steeds geen waarde voor s en t.
Goed, maar laten we nu eens kijken wat de voorwaarden zijn voor een eventueel snijpunt. Dan moet er dus een waarde van s en een waarde van t bestaan zodanig dat gelijktijdig wordt voldaan aan deze drie voorwaarden:
14 + 3t = 5 + 3s
7 + 2t = 15 + 5s
−16 − 3t = 35 + 6s
Nu laten we de derde van deze voorwaarden even voor wat het is, en gaan we ons eerst eens concentreren op de eerste twee voorwaarden. Deze twee voorwaarden vormen samen een stelsel van twee lineaire vergelijkingen in de twee onbekenden s en t. Nu zien we bij de eerste vergelijking rechts een term 3s en bij de tweede vergelijking rechts een term 5s. Nu vermenigvuldig ik beide leden van de eerste vergelijking met 5, dat geeft
70 + 15t = 25 + 15s
En beide leden van de tweede vergelijking vermenigvuldig ik met 3, dat geeft
21 + 6t = 45 + 15s
Waarom heb ik dit gedaan? Je ziet nu dat we rechts in beide vergelijkingen een term 15s hebben. En dat is heel mooi, want dat betekent dat ik de s kan elimineren door nu de leden van de tweede vergelijking af te trekken van de leden van de eerste vergelijking. Dat mag ik doen, want als je hebt A = B en tevens C = D, dan is ook A − C = B − D nietwaar? Goed, aftrekken van de leden van de tweede vergelijking van de leden van de eerste vergelijking geeft
(70 + 15t) − (21 + 6t) = (25 + 15s) − (45 + 15s)
Uitwerken hiervan geeft
49 + 9t = −20
En kijk eens aan, we hebben nu een eenvoudige lineaire vergelijking waarin alleen de t voorkomt. Van beide leden 49 aftrekken geeft 9t = −69 en dus vinden we
t = −23/3
Deze waarde van t kunnen we nu invullen in hetzij de eerste, hetzij de tweede vergelijking. Laten we de eerste nemen, dat is hier het eenvoudigst. Dan krijgen we
14 + 3·(−23/3) = 5 + 3s
14 − 23 = 5 + 3s
−9 = 5 + 3s
−14 = 3s
En dus hebben we
s = −14/3
Maar nu komt de hamvraag: snijden onze lijnen elkaar nu, of niet? En zo ja, wat zijn dan de coördinaten van het snijpunt?
Om deze vraag te beantwoorden gaan we nu naar de derde vergelijking kijken:
−16 − 3t = 35 + 6s
Invullen van de waarden die we gevonden hebben voor t en s geeft
−16 − 3·(−23/3) = 35 + 6·(−14/3)
−16 + 23 = 35 − 28
7 = 7
En dat klopt als een bus. Ergo: onze lijnen hebben een snijpunt!
Om de coördinaten van het snijpunt te bepalen hoeven we de gevonden waarden van s en t alleen nog in te vullen in één van beide parametervoorstellingen, en dan vinden we
(−9; −25/3; 7)
That's all.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 23-09-2013 00:12:09 ]
Bedankt voor de duidelijke uitleg. Ik snap het nu helemaal.quote:
[..]
Laten we dit eens gewoon op zijn janboerenfluitjes oplossen. Je hebt hier twee parametervoorstellingen van rechte lijnen in R3. Als deze lijnen elkaar snijden, dan moeten er dus waarden van de parameters s en t bestaan waarvoor zowel de x-, de y-, als z-coördinaat van beide parametervoorstellingen aan elkaar gelijk worden. Dat betekent dat je dus drie lineaire vergelijkingen krijgt in twee onbekenden. Algebraïsch hoeft zo'n stelsel helemaal geen oplossing te hebben, en je begrijpt meetkundig ook waarom dat niet hoeft: de lijnen zouden immers ook evenwijdig kunnen lopen óf ze zouden elkaar in de ruimte kunnen kruisen.
Goed, maar laten we nu eens kijken wat de voorwaarden zijn voor een eventueel snijpunt. Dan moet er dus een waarde van s en een waarde van t bestaan zodanig dat gelijktijdig wordt voldaan aan deze drie voorwaarden:
14 + 3t = 5 + 3s
7 + 2t = 15 + 5s
−16 − 3t = 35 + 6s
Nu laten we de derde van deze voorwaarden even voor wat het is, en gaan we ons eerst eens concentreren op de eerste twee voorwaarden. Deze twee voorwaarden vormen samen een stelsel van twee lineaire vergelijkingen in de twee onbekenden s en t. Nu zien we bij de eerste vergelijking rechts een term 3s en bij de tweede vergelijking rechts een term 5s. Nu vermenigvuldig ik beide leden van de eerste vergelijking met 5, dat geeft
70 + 15t = 25 + 15s
En beide leden van de tweede vergelijking vermenigvuldig ik met 3, dat geeft
21 + 6t = 45 + 15s
Waarom heb ik dit gedaan? Je ziet nu dat we rechts in beide vergelijkingen een term 15s hebben. En dat is heel mooi, want dat betekent dat ik de s kan elimineren door nu de leden van de tweede vergelijking af te trekken van de leden van de eerste vergelijking. Dat mag ik doen, want als je hebt A = B en tevens C = D, dan is ook A − C = B − D nietwaar? Goed, aftrekken van de leden van de tweede vergelijking van de leden van de eerste vergelijking geeft
(70 + 15t) − (21 + 6t) = (25 + 15s) − (45 + 15s)
Uitwerken hiervan geeft
49 + 9t = −20
En kijk eens aan, we hebben nu een eenvoudige lineaire vergelijking waarin alleen de t voorkomt. Van beide leden 49 aftrekken geeft 9t = −69 en dus vinden we
t = −23/3
Deze waarde van t kunnen we nu invullen in hetzij de eerste, hetzij de tweede vergelijking. Laten we de eerste nemen, dat is hier het eenvoudigst. Dan krijgen we
14 + 3·(−23/3) = 5 + 3s
14 − 23 = 5 + 3s
−9 = 5 + 3s
−14 = 3s
En dus hebben we
s = −14/3
Maar nu komt de hamvraag: snijden onze lijnen elkaar nu, of niet? En zo ja, wat zijn dan de coördinaten van het snijpunt?
Om deze vraag te beantwoorden gaan we nu naar de derde vergelijking kijken:
−16 − 3t = 35 + 6s
Invullen van de waarden die we gevonden hebben voor t en s geeft
−16 −(−23/3) = 35 + 6·(−14/3)
−16 + 23 = 35 − 28
7 = 7
En dat klopt als een bus. Ergo: onze lijnen hebben een snijpunt!
Om de coördinaten van het snijpunt te bepalen hoeven we de gevonden waarden van s en t alleen nog in te vullen in één van beide parametervoorstellingen, en dan vinden we
(−9; −25/3; 7)
That's all.
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Nou, dit is dus precies de reden dat ik het niet zo handig vind om dingen online te vragen. Ik vraag om hulp met wat wiskunde-opgaven en ik krijg een hele preek over hoe triest het wiskundeonderwijs is in NL en hoe gruwelijk laat ik wel niet ben met calculus en dat het me toch niet gaat lukken. Ik moet je even uit een droom helpen; calculus is een steunvak bij deze studie, zeker geen hoofdvak en al helemaal niet zo relevant als jij doet overkomen, dus even gas terug. Genoeg andere onderwerpen waar ik misschien juist heel goed in ben (weet jij veelquote:
[..]
Uiteraard heb ik nog 'ergens' links voor je. Veel meer dan je ooit zou kunnen doorwerken voor je aankomende tentamen. Alleen begrijp ik niet zo goed wat je daar nu mee hoopt te bereiken. Gezien je totale gebrek aan kennis ga je dit nooit op tijd bijspijkeren voor je tentamen, daar ben je nu al veel te laat mee. Ik begrijp verder ook niet waarom ze voor toelating tot jouw studie alleen Wiskunde A vragen en dan kennelijk toch het boek van Adams & Essex voorschrijven, daar zit echt iets helemaal niet goed. Ik hoef later in ieder geval geen pilletje van jou, dat weet ik nu al zeker.
Verder heb ik een beetje de indruk dat je denkt dat je het wel gaat redden door een paar websites door te nemen. Nou, dat is niet zo. Dat is net zo iets als denken dat je een voetballer kunt worden door alleen maar wedstrijden op TV te bekijken. Wiskunde kun je echt alleen maar leren door het te doen. Daarom raad ik hierboven ook aan om al het online materiaal dat je wil gaan gebruiken te printen en er dan mee aan de slag te gaan. Gewoon achter een buro, met pen en papier, in alle rust, zonder afleidingen van welke aard dan ook.
Dit gezegd zijnde heb ik nog wel wat materiaal dat ik je kan aanbevelen. Algemene cursussen die bedoeld zijn om wiskunde deficiënties van beginnende studenten weg te werken vind je bijvoorbeeld hier en hier. Zoek je speciaal iets voor goniometrie dan zou je hier eens mee kunnen beginnen of deze inleidende cursus (engelstalig) kunnen doorwerken. Er is ook een kosteloos boek (engelstalig) met de schoolstof goniometrie dat verspreid wordt onder de GNU Free Documentation License, en dat boek vind je hier.
). Point being: niet zo hoog van de toren blazen als iemand je simpel wat vraagt betreffende het vak, niet je mening.
Ik denk dat je het verrekte handig vindt, maar dat je er moeite mee hebt om dan vervolgens en plein public geconfronteerd te worden met het feit dat je er praktisch niets aan doet om je deficiënties weg te werken.quote:
[..]
Nou, dit is dus precies de reden dat ik het niet zo handig vind om dingen online te vragen.
Je vraagt inderdaad hulp, maar uit je vragen bleek ook pijnlijk duidelijk dat je nog zo goed als niets van de stof begreep. En dan zijn wat summiere aanwijzingen nutteloos, en ben je alleen gebaat met adviezen om je studie serieuzer aan te pakken en met adviezen over de manier waarop je dat zou kunnen doen. En die adviezen heb ik gegeven. Ik wijs er ook nog even op dat ik de enige ben geweest die hier in dit topic gehoor heeft gegeven aan je vraag naar nuttige linkjes.quote:Ik vraag om hulp met wat wiskunde-opgaven en ik krijg een hele preek over hoe triest het wiskundeonderwijs is in NL en hoe gruwelijk laat ik wel niet ben met calculus en dat het me toch niet gaat lukken.
Ik hoef helemaal niet uit de droom te worden geholpen, ik ben klaarwakker. Ik heb me verbaasd over het feit dat voor jouw studie alleen Wiskunde A wordt gevraagd als toelatingseis, maar dat men dan wel het boek van Adams & Essex gebruikt. Daar zit iets helemaal scheef, en ik denk dat de keuze voor dit boek een indicatie is dat calculus bij jouw studie toch een grotere rol zal spelen dan je nu wenst aan te nemen.quote:Ik moet je even uit een droom helpen; calculus is een steunvak bij deze studie, zeker geen hoofdvak en al helemaal niet zo relevant als jij doet overkomen, dus even gas terug.
Als dat zo is dan krijg je de komende jaren genoeg gelegenheid om dat te laten zien.quote:Genoeg andere onderwerpen waar ik misschien juist heel goed in ben (weet jij veel
Aan een 'simpele' antwoorden op 'simpele' vragen heb je niets als je nog bijna niets van de stof begrijpt. Daarom heb ik geprobeerd om aan te geven wat je naar mijn idee nu het beste zou kunnen doen en tevens geprobeerd je irreële verwachtingen (namelijk dat je je aankomende tentamen zult gaan halen) wat naar beneden bij te stellen.quote:Point being: niet zo hoog van de toren blazen als iemand je simpel wat vraagt betreffende het vak, niet je mening.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 22-09-2013 23:56:17 ]
Nu is het een vergelijking met 2 onbekenden. Stel je nu eens voor dat je n vergelijkingen met n onbekenden hebt, dan gaat het met de hand niet meer lukken voor een wat grotere n. Dan stel je een matrix op en die (laat) je vegen.quote:Op zondag 22 september 2013 20:04 schreef Rezania het volgende:
[..]
Bedankt voor de duidelijke uitleg. Ik snap het nu helemaal.
Result of solution using Gauss-Jordan elimination
Your matrix
№ X1 X2 b
1 -3 3 -9
2 -5 2 8
3 -6 -3 51
SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Solution set:
x1 = -14/3
x2 = -23/3
[ Bericht 4% gewijzigd door #ANONIEM op 22-09-2013 22:35:05 ]
quote:
[..]
Nu is het een vergelijking met 2 onbekenden. Stel je nu eens voor dat je n vergelijkingen met n onbekenden hebt, dan gaat het met de hand niet meer lukken voor een wat grotere n. Dan stel je een matrix op en die (laat) je vegen.
Result of solution using Gauss-Jordan elimination
Your matrix
№ X1 X2 b
1 -3 3 -9
2 -5 2 8
3 -6 -3 51Even onthouden dit, kan wel eens van pas komen. Bedankt.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Solution set:
x1 = -14/3
x2 = -23/3Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Vectoren kun je opvatten als gerichte lijnstukken met een beginpunt en een eindpunt, het zijn geen lijnen. Dat zou toch in je boek aan de orde moeten zijn gekomen omdat je anders ook niet duidelijk kunt maken wat je moet verstaan onder de som en het verschil van twee vectoren en wat je je moet voorstellen bij de vermenigvuldiging van een vector met een scalar (een reëel getal). En dit alles heb je weer nodig om te begrijpen wat een vectorvoorstelling van een rechte lijn nu eigenlijk is en hoe deze samenhangt met een parametervoorstelling in cartesische coördinaten van een rechte lijn.quote:
[..]
Allereerst bedankt voor deze uitgebreide uitleg!
Het begint iets duidelijker te worden. De tweede helft van je uitleg snap ik wel redelijk.
Helaas denk ik dat je mijn kennis van vectoren een beetje overschat hebt, eigenlijk maak ik hier voor het eerst kennis met vectoren.
Ik dacht dat vectoren gewoon weer een andere manier van noteren voor een rechte lijn was.
Na wat googelen ben ik wel wat wijzer geworden, maar ik heb geen idee hoe ik de door jouw genoemde vectoren moet tekenen. Ik begrijp niet wat je bedoelt met termen als vaste vector en inproduct.
Nogmaals bedankt voor de moeite die je er in steekt!
Ik begrijp dat je mijn uitleg niet kunt volgen als je niet weet wat een inproduct van twee vectoren is. Gewoonlijk wordt het inproduct behandeld voordat men het begrip normaalvector van een rechte lijn introduceert, omdat het verband tussen de kentallen van een normaalvector van een rechte lijn en de coëfficiënten van een cartesische vergelijking van die lijn dan evident is, zoals ik heb laten zien. In jouw boek gebeurt dat kennelijk niet, en daarom komen normaalvectoren van rechte lijnen in de behandeling zoals die in jouw boek wordt gegeven eigenlijk volkomen uit de lucht vallen. Dat is niet goed, want op deze manier veroorzaakt het begrip normaalvector eerder verwarring dan dat het wat verheldert, dat blijkt wel uit jouw vragen. Ik kan je aanraden eens te beginnen met het doornemen van dit Wikipedia artikel over vectoren.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 23-09-2013 00:01:42 ]
De oplossing met matrices is natuurlijk prima, en als je veel variabelen hebt en een lineair stelsel door een computerprogramma wil laten oplossen is dit de aangewezen weg, maar ik denk ook dat de kans op fouten bij een uitwerking met pen en papier van een stelsel met slechts enkele variabelen hierbij groter is dan bij de eenvoudige methode die ik heb aangegeven.quote:
[..]
Even onthouden dit, kan wel eens van pas komen. Bedankt.
Ik denk dat je probleem vooral zit in een gebrek aan basale algebraïsche vaardigheden, want je beweerde dat ook substitueren weinig opleverde en gaf vervolgens een vergelijking die niet klopte. Toch gaat het ook met substitutie heel eenvoudig. De eerste vergelijking luidt
14 + 3t = 5 + 3s
Als we hier van beide leden 14 aftrekken en vervolgens beide leden delen door 3, dan hebben we
t = s − 3
oftewel
s = t + 3
Nu kun je één van deze beide betrekkingen invullen in de tweede (of derde) voorwaarde, en dan krijg je een lineaire vergelijking in uitsluitend s resp. uitsluitend t, die je uiteraard weer eenvoudig op kunt lossen.
Dat was een typefout zie ik nu. Ik had ook gewoon s=t+3 op papier staan. Maar het probleem was dus dat ik niet verder keek dan mijn neus lang was en alleen substitutie op de eerste vergelijking toepaste.quote:
[..]
De oplossing met matrices is natuurlijk prima, en als je veel variabelen hebt en een lineair stelsel door een computerprogramma wil laten oplossen is dit de aangewezen weg, maar ik denk ook dat de kans op fouten bij een uitwerking met pen en papier van een stelsel met slechts enkele variabelen hierbij groter is dan bij de eenvoudige methode die ik heb aangegeven.
Ik denk dat je probleem vooral zit in een gebrek aan basale algebraïsche vaardigheden, want je beweerde dat ook substitueren weinig opleverde en gaf vervolgens een vergelijking die niet klopte. Toch gaat het ook met substitutie heel eenvoudig. De eerste vergelijking luidt
14 + 3t = 5 + 3s
Als we hier van beide leden 14 aftrekken en vervolgens beide leden delen door 3, dan hebben we
t = s − 3
oftewel
s = t + 3
Nu kun je één van deze beide betrekkingen invullen in de tweede (of derde) voorwaarde, en dan krijg je een lineaire vergelijking in uitsluitend s resp. uitsluitend t, die je uiteraard weer eenvoudig op kunt lossen.
Gist is liefde, gist is leven. Vooral in een vagijn.
Hier heeft Riparius uiteraard gelijk in. Het vegen van een matrix met de hand is foutgevoelig. Voor je algebraïsche skills is het wel handig om beide methoden te beheersen.quote:
[..]
De oplossing met matrices is natuurlijk prima, en als je veel variabelen hebt en een lineair stelsel door een computerprogramma wil laten oplossen is dit de aangewezen weg, maar ik denk ook dat de kans op fouten bij een uitwerking met pen en papier van een stelsel met slechts enkele variabelen hierbij groter is dan bij de eenvoudige methode die ik heb aangegeven.
Ik denk dat je probleem vooral zit in een gebrek aan basale algebraïsche vaardigheden, want je beweerde dat ook substitueren weinig opleverde en gaf vervolgens een vergelijking die niet klopte. Toch gaat het ook met substitutie heel eenvoudig. De eerste vergelijking luidt
14 + 3t = 5 + 3s
Als we hier van beide leden 14 aftrekken en vervolgens beide leden delen door 3, dan hebben we
t = s − 3
oftewel
s = t + 3
Nu kun je één van deze beide betrekkingen invullen in de tweede (of derde) voorwaarde, en dan krijg je een lineaire vergelijking in uitsluitend s resp. uitsluitend t, die je uiteraard weer eenvoudig op kunt lossen.
Nu al een grotere kwaliteitsuser dan jij.quote:
[..]
Oke, dit was dus de eerste post van FOK! door mijn 15-maanden oude zoon.
quote:Op maandag 23 september 2013 07:10 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Nu al een grotere kwaliteitsuser dan jij.
kloep kloep
Als 1 jarige een bijdrage leveren in het wiskunde topic.quote:
[..]
Oke, dit was dus de eerste post van FOK! door mijn 15-maanden oude zoon.
Door hier weer op te reageren bevestig ik wel een beetje je punt dat op internet dingen vragen veel gedoe oplevert, maar je als je dingen leest die je niet bevallen, hoef je er niet op te reageren. Uiteindelijk wordt je hier gewoon prima geholpen hoor, misschien wel beter dan als je iets aan een docent IRL vraagt. Bovendien kunnen die ook gewoon een preek beginnen, en dat lijkt me een stuk vervelender dan een post op internet. Je wordt niet gedwongen om reacties helemaal te lezen.quote:
[..]
Nou, dit is dus precies de reden dat ik het niet zo handig vind om dingen online te vragen. Ik vraag om hulp met wat wiskunde-opgaven en ik krijg een hele preek over hoe triest het wiskundeonderwijs is in NL en hoe gruwelijk laat ik wel niet ben met calculus en dat het me toch niet gaat lukken. Ik moet je even uit een droom helpen; calculus is een steunvak bij deze studie, zeker geen hoofdvak en al helemaal niet zo relevant als jij doet overkomen, dus even gas terug. Genoeg andere onderwerpen waar ik misschien juist heel goed in ben (weet jij veel
Point being: niet zo hoog van de toren blazen als iemand je simpel wat vraagt betreffende het vak, niet je mening.
Ik ga morgen met het uitgereikte materiaal geprint en al aan de slag. Ik begrijp zelf ook niet waarom ze wiskunde A instromers wel aannemen gezien het feit calculus voortborduurt op wiskunde B onderwerpen. Als ik dat had geweten had ik deze studiekeuze wel heroverwogen. Maar goed, ik ben er nu eenmaal aan begonnen, dan kan ik het net zo goed proberen ook 
Gewoon je best doen en er hard voor werken. Het lijkt me dat ze niet voor niks wiskunde A'ers toelaten. Als die gemiddeld genomen de studie niet halen, dan kost ze dat alleen maar geld. Riparius heeft natuurlijk gelijk dat je er laat mee bent, maar laat je daardoor niet uit het veld slaanquote:
Ik ga morgen met het uitgereikte materiaal geprint en al aan de slag. Ik begrijp zelf ook niet waarom ze wiskunde A instromers wel aannemen gezien het feit calculus voortborduurt op wiskunde B onderwerpen. Als ik dat had geweten had ik deze studiekeuze wel heroverwogen. Maar goed, ik ben er nu eenmaal aan begonnen, dan kan ik het net zo goed proberen ook
.
Ze zullen het niveau van de examens wel aanpassen aan de doelgroep maar dan nog is het raar dat ze dit boek gebruiken als ze dat eindniveau nastreven. Ik vind het trouwens wel behoorlijk naïef dat hij niet wist dat hij wat wiskunde zou krijgen.
ING en ABN investeerden honderden miljoenen euro in DAPL.
#NoDAPL
#NoDAPL
Hoe reken je de extreme punten van zowel een berg als dalparabool uit?
Bijv van:
x 2 +x -20 =0
Is -20 laagste punt?
Met -b/2a kwam ik op een andere waarde(-20,25).
Klopt dat?
Ik had:
Verschil tussen de nulpunten 9 omdat 5 = -4 +x
9/2 = 4,5
4,5 + -4 = 0,5
Laagste dalpunt is (1/2, -77/4)
Ik kwam ook een keer op een waarde van -20,25 via gr.
[ Bericht 4% gewijzigd door wiskundenoob op 27-09-2013 16:41:46 ]
Bijv van:
x 2 +x -20 =0
Is -20 laagste punt?
Met -b/2a kwam ik op een andere waarde(-20,25).
Klopt dat?
Ik had:
Verschil tussen de nulpunten 9 omdat 5 = -4 +x
9/2 = 4,5
4,5 + -4 = 0,5
Laagste dalpunt is (1/2, -77/4)
Ik kwam ook een keer op een waarde van -20,25 via gr.
[ Bericht 4% gewijzigd door wiskundenoob op 27-09-2013 16:41:46 ]
Als je geen gebruik maakt van differentiaalrekening, dan kun je voor het berekenen van het extremum (minimum of maximum) van een kwadratische functie gebruik maken van het feit dat de grafiek van een kwadratische functie een parabool is met een verticale symmetrie-as.quote:
Hoe reken je de extreme punten van zowel een berg- als een dalparabool uit?
Hebben we de kwadratische functie
f(x) = ax2 + bx + c
dan is de grafiek hiervan een parabool met als symmetrie-as de lijn met vergelijking
x = −b/2a
Is a > 0 dan is de grafiek een dalparabool en dan neemt f(x) voor x = −b/2a een minimum aan. Is daarentegen a < 0, dan is de grafiek een bergparabool en neemt f(x) voor x = −b/2a dus een maximum aan.
De waarde van het aangenomen extremum is altijd −D/4a, dus
f(−b/2a) = −D/4a
waarbij
D = b2 − 4ac
de discriminant is van de kwadratische veelterm ax2 + bx + c. De discriminant bepaalt hoeveel reële nulpunten de functie f(x) = ax2 + bx + c heeft, en daarmee ook of de parabool die de grafiek is van deze functie de x-as snijdt (D > 0), raakt (D = 0) of geheel boven of onder de x-as ligt (D < 0).
Nee, want je kunt het minimum van een kwadratische veelterm niet bepalen door simpelweg x = 0 te nemen. Let bovendien op de juiste terminologie. Hier geef je een kwadratische vergelijking terwijl je in feite vraagt naar het minimum van de kwadratische functie f(x) = x2 + x − 20. Dat is wat anders.quote:Bijv van:
x 2 + x - 20 = 0
Is -20 laagste punt?
Ja, want zoals gezegd kun je het minimum of maximum niet bepalen door simpelweg x = 0 te nemen. En als je iets eerst op een verkeerde manier uitrekent en dan op een correcte manier, is het niet zo vreemd als je twee verschillende uitkomsten krijgt toch?quote:Met -b/2a kwam ik op een andere waarde.
Klopt dat?
Dat mag je om te beginnen niet zo slordig opschrijven. De kwadratische veelterm x2 + x − 20 heeft de nulpunten x1 = −5 en x2 = +4. Je mag ook zeggen dat de functie f(x) = x2 + x − 20 twee nulpunten heeft of dat de kwadratische vergelijking x2 + x − 20 = 0 twee reële oplossingen heeft.quote:Verschil tussen de nulpunten 9 omdat 5 = -4 +x
Nee. Je maakt hier een tekenfout. De nulpunten zijn x1 = −5 en x2 = 4 dus de functie neemt een extremum aan bij x = −1/2 en de waarde van dit extremum is −81/4 = −20¼, kijk maar.quote:9/2 = 4,5
4,5 + -4 = 0,5
Laagste dalpunt is (1/2, 77/4)
Ik kwam ook een keer op een waarde van 20,25 via gr.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 27-09-2013 17:30:09 ]
Als je x2 + x − 20 neemt enquote:
Nee, want je kunt het minimum van een kwadratische veelterm niet bepalen door simpelweg x = 0 te nemen. Let bovendien op de juiste terminologie. Hier geef je een kwadratische vergelijking terwijl je in feite vraagt naar het minimum van de kwadratische functie f(x) = x2 + x − 20. Dat is wat anders.
x(x+1) = 0
van maakt. Wat staat hier dan?
Je hebt dan x = -1 en x = 0. 2 oplossingen dus -1/2 = x
Leg mij eens uit hoe jij er x (x+1) =0 van maakt.quote:
[..]
Als je x2 + x − 20 neemt en
x(x+1) = 0
van maakt. Wat staat hier dan?
Je hebt dan x = -1 en x = 0. 2 oplossingen dus -1/2 = x
kloep kloep
-20 weglaten en dan x buiten haakjes halen.quote:
[..]
Leg mij eens uit hoe jij er x (x+1) =0 van maakt.
Nee, hier klopt niets van. Jammer genoeg lijkt het erop alsof je al mijn uiteenzettingen over kwadraatafsplitsen al weer helemaal bent vergeten.quote:
[..]
Als je x2 + x − 20 neemt en
x(x+1) = 0
van maakt. Wat staat hier dan?
Je hebt dan x = -1 en x = 0. 2 oplossingen dus -1/2 = x
Je mag die constante term −20 niet buiten beschouwing laten.
Het is waar dat je in ax2 + bx + c bij de eerste twee termen een x buiten haakjes kunt halen en dat je dan krijgt x(ax + b) + c, maar dit betekent niet dat x = 0 en x = −b/a de nulpunten zijn van deze kwadratische veelterm. Je kunt direct zien dat dat niet klopt: als we in de functie f(x) = ax2 + bx + c de waarde x = 0 invullen, dan krijgen we f(0) = c, dus x = 0 is geen nulpunt van deze functie, tenzij c = 0.
Wat je wél kunt zeggen is dat als een kwadratische vergelijking
ax2 + bx + c = 0
de oplossingen x1 en x2 heeft, dat voor deze oplossingen dan de volgende betrekkingen (genoemd naar Viète) gelden:
x1 + x2 = −b/a
x1x2 = c/a
Je had zelf al bedacht dat je het gemiddelde kunt nemen van de x-coördinaten van de snijpunten van de parabool met de x-as om de ligging van de verticale symmetrie-as te bepalen, en zo te vinden voor welke waarde van x de bijbehorende functie een extreme waarde aanneemt. Welnu, als er twee nulpunten x1 en x2 zijn, dan is het gemiddelde
(x1 + x2)/2 = −b/2a
en inderdaad bereikt de functie f(x) = ax2 + bx + c een extreme waarde bij x = −b/2a. Dat geldt trouwens ook als er geen nulpunten zijn, maar om dat in te zien moet je gebruik maken van kwadraatafsplitsing.
Oke, een vraag die ik heb gevonden op internet.quote:
[..]
Nee, hier klopt niets van. Jammer genoeg lijkt het erop alsof je al mijn uiteenzettingen over kwadraatafsplitsen al weer helemaal bent vergeten.
Je mag die constante term −20 niet buiten beschouwing laten.
Het is waar dat je in ax2 + bx + c bij de eerste twee termen een x buiten haakjes kunt halen en dat je dan krijgt x(ax + b) + c, maar dit betekent niet dat x = 0 en x = −b/a de nulpunten zijn van deze kwadratische veelterm. Je kunt direct zien dat dat niet klopt: als we in de functie f(x) = ax2 + bx + c de waarde x = 0 invullen, dan krijgen we f(0) = c, dus x = 0 is geen nulpunt van deze functie, tenzij c = 0.
Wat je wél kunt zeggen is dat als een kwadratische vergelijking
ax2 + bx + c = 0
de oplossingen x1 en x2 heeft, dat voor deze oplossingen dan de volgende betrekkingen (genoemd naar Viète) gelden:
x1 + x2 = −b/a
x1x2 = c/a
Je had zelf al bedacht dat je het gemiddelde kunt nemen van de x-coördinaten van de snijpunten van de parabool met de x-as om de ligging van de verticale symmetrie-as te bepalen, en zo te vinden voor welke waarde van x de bijbehorende functie een extreme waarde aanneemt. Welnu, als er twee nulpunten x1 en x2 zijn, dan is het gemiddelde
(x1 + x2)/2 = −b/2a
en inderdaad bereikt de functie f(x) = ax2 + bx + c een extreme waarde bij x = −b/2a. Dat geldt trouwens ook als er geen nulpunten zijn, maar om dat in te zien moet je gebruik maken van kwadraatafsplitsing.
If y= 4 + (x-3)2, then y is least when x =
Het is een dalparabool omdat a > 0 dus moeten we minimum vinden.
4+ x2 -6x +9 = x2 -6x +13
En dan gebruiken we -b/2a om x te vinden.
-(-6/2) = 3 = x-coördinaat van het minimum
Om y te vinden vullen we x = 3 in y = 4 + (x-3)2
y = 4 + (3-3)^2 = 4
Het minimum is dus (3,4)
Antwoord op de vraag is dus 3.
Maar de uitleg die bij deze vraag staat is veel simpeler, alleen snap ik de uitleg niet:
(x-3)2 = 0
x - 3 = 0
x = 3
[ Bericht 0% gewijzigd door wiskundenoob op 27-09-2013 18:45:11 ]
u2 heeft minimum in u = 0 (u reeel)quote:
Maar de uitleg die bij deze vraag is veel simpeler, alleen snap ik de uitleg niet:
(x-3)2 = 0
x - 3 = 0
x = 3
y = 4 + (x+3)2
4 is gewoon een constante, dus maakt niet uit voor het minimum.
Dan hou je over (x+3)2 en het minimum daarvan is x - 3 = 0
-edit-
Wat je ook kan doen (algemener) is kijken naar wanneer de afgeleide 0 is, daarmee vind je een lokaal minimum of maximum.
Eigenlijk komt het hier op hetzelfde neer:
y = 4 + (x-3)^2
y' = 2(x-3) = 0
x = 3
[ Bericht 7% gewijzigd door t4rt4rus op 27-09-2013 18:57:33 ]
De clou is hier dat de kwadratische functie al is gegeven in een vorm die je krijgt als je kwadraatafspliting toepast. Je hebtquote:
[..]
Oke, een vraag die ik heb gevonden op internet.
If y= 4 + (x-3)2, then y is least when x =
Het is een dalparabool omdat a > 0 dus moeten we minimum vinden.
4+ x2 -6x +9 = x2 -6x +13
En dan gebruiken we -b/2a om x te vinden.
-6/2 = 3 = x-coördinaat van het minimum
Om y te vinden vullen we x = 3 in y = 4 + (x-3)2
y = 4 + (3-3)^2 = 4
Het minimum is dus (3,4)
Antwoord op de vraag is dus 3.
Maar de uitleg die bij deze vraag is veel simpeler, alleen snap ik de uitleg niet:
(x-3)2 = 0
x - 3 = 0
x = 3
f(x) = (x −3)2 + 4
Nu kun je inderdaad de haakjes gaan uitwerken, en dan krijg je
f(x) = x2 − 6x + 13
Maar dat moet je nu juist niet doen, want daardoor maak je het jezelf alleen maar moeilijker.
Als je eens even kijkt naar de uitdrukking
(x −3)2 + 4
dan zie je dat je hier een kwadraat (x −3)2 hebt en een constante term + 4. Maar nu weet je dat een kwadraat (van een reëel getal) nooit negatief kan zijn. Dat wil dus zeggen dat (x −3)2 nul als laagste waarde heeft, en dat die laagste waarde wordt bereikt als (x − 3) zelf nul is, en dus als x = 3. En omdat we voor onze functiewaarde 4 optellen bij (x −3)2 zie je dus ook direct dat de waarde van deze functie nooit lager kan worden dan 4. De functie bereikt dus een minimum van 4 bij x = 3.
| Forum Opties | |
|---|---|
| Forumhop: | |
| Hop naar: | |