quote:Post hier weer al je vragen, passies, trauma's en andere dingen die je uit je slaap houden met betrekking tot de wiskunde.
Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!
Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).
Links:
• http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
• http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
• http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
• http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
• http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...
OP
Handig:
Riparius heeft ooit een PDF geschreven over goniometrische identiteiten. Deze kun je hier downloaden:
www.mediafire.com/view/?2b214qltc7m3v0d
quote:Op maandag 18 november 2013 14:07 schreef Reemi het volgende:
[..]
Thanks.Ik blijf er mee stoeien, kan iemand me nog met deze helpen?
Bepaal het aantal oplossingen in gehele getallen x1; ...; x6 ≥ 0 van de vergelijking x1 + ... + x6 = 15.
De termen optellen?quote:
Die snap ik niet helemaal.quote:
Bedoeld wordt dus hoeveel verschillende x1, x2, x3, x4, x5 en x6 samen 15 worden.Is het 1x +2x... of x1 +x2...?quote:
[..]
Die snap ik niet helemaal.
Oh, sorry. Geen van beide:quote:
[..]
Is het 1x +2x... of x1 +x2...?
x1 + ... + x6
Geen idee dan. Heeft het iets met meetkundige reeks te maken? xn =arn-1quote:Op maandag 18 november 2013 14:44 schreef Reemi het volgende:
[..]
Oh, sorry. Geen van beide:
x1 + ... + x6
2 + 5 + 1 + 4 + 2 + 1 = 15
?
Nieuwe IQ test met een mean van 50 en een standaard deviatie van 10. De 'normale' IQ resultaten hebben altijd een mean van 100 en st. deviatie van 15.
Wat moet de ontwikkelaar van de nieuwe IQ test doen met zijn scores van zijn sample om een mean van 100 en st. deviatie van 15 krijgen?
We moesten ook de 'general formula' geven voor lineaire transformaties van variabel x. Hierbij antwoordde ik y=a+bx, of zochten ze hier de formule voor het standaardiseren.
Overigens spijt het me als ik een aantal termen niet goed vertaald heb, ik doe de engelse variant van psychologie dus alles komt in het engels
Wie kan het uitleggen? Wil het wel snappen namelijk
Ik kan geen fout ontdekken in mijn berekening. Zou fijn zijn als iemand anders het misschien wel ziet.quote:Op zondag 17 november 2013 23:49 schreef wiskundenoob het volgende:
[..]
Het gegeven antwoord is 202020. Ik zal morgen dit nog eens doornemen.
Ik hebquote:
[..]
Ik kan geen fout ontdekken in mijn berekening. Zou fijn zijn als iemand anders het misschien wel ziet.
MM JJJJ
5 *4 *15 nCr 4 =27300
MJ MJJJ
5 *15 4* 14 nCr 3 =109200
JM MJJJ
5 *15 4* 14 nCr 3 =109200
JJ MMJJ
15*14 *5 nCr 2 *13 nCr 2 =163800
= 409500
Je moet dit zien als een probleem waar je 6 bakken hebt. En over die 6 bakken moet je 15 dingen verdelen.quote:
[..]
Die snap ik niet helemaal.
Dus op hoeveel manieren kan je 15 dingen verdelen over 6 bakken.
Stel we bekijken dit eerst voor een kleiner probleem. Dus hoeveel oplossingen heeft x1 + x2 + x3 = 5
5 is ook te schrijven als 1 1 1 1 1 (5 eenen). Nu kunnen we dit in 3 bakken verdelen door 2 streepjes te zetten.
Dus bijv 1 1 1 | 1 | 1. Dan zitten er 3 eenen in de eerste bak, 1 een in de tweede bak en 1 een in de derde bak. De vraag is dus op hoeveel manieren we die strepen neer kunnnen zetten.
Nu hebben we dus 5+2 = 7 plekken om die strepen neer te zetten. En daarvan moeten we er 2 uitkiezen. Dit is weer een simpele combinatie. (Dit kan je ook zien als een herhalingscombinatie, maar dat maakt het misschien lastiger)
Dus x1 + x2 + x3 = 5 heeft 21 oplossingen.
Nu moet jouw vraag ook wel lukken.
[ Bericht 2% gewijzigd door Ensemble op 18-11-2013 17:07:15 ]
Thanks, bijna duidelijk. Maar waarom 7 plekken om de strepen neer te zetten?quote:
[..]
Je moet dit zien als een probleem waar je 6 bakken hebt. En over die 6 bakken moet je 15 dingen verdelen.
Dus op hoeveel manieren kan je 15 dingen verdelen over 6 bakken.
Stel we bekijken dit eerst voor een kleiner probleem. Dus hoeveel oplossingen heeft x1 + x2 + x3 = 5
5 is ook te schrijven als 1 1 1 1 1 (5 eenen). Nu kunnen we dit in 3 bakken verdelen door 2 streepjes te zetten.
Dus bijv 1 1 1 | 1 | 1. Dan zitten er 3 eenen in de eerste bak, 1 een in de tweede bak en 1 een in de derde bak. De vraag is dus op hoeveel manieren we die strepen neer kunnnen zetten.
Nu hebben we dus 5+2 = 7 plekken om die strepen neer te zetten. En daarvan moeten we er 2 uitkiezen. Dit is weer een simpele combinatie. (Dit kan je ook zien als een herhalingscombinatie, maar dat maakt het misschien lastiger)
Dus x1 + x2 + x3 = 5 heeft 21 oplossingen.
Nu moet jouw vraag ook wel lukken.
Edit: oh, omdat het ook 0 kan zijn.
Ik zou dan denken: 17 boven 5. Klopt dat?
[ Bericht 1% gewijzigd door Reemi op 18-11-2013 18:08:22 ]
wie kan/wil helpen met een uitwerking?
Bijna. Je hebt 15+5 plekken om strepen neer te zetten. Dus het is 20 boven 5 = 15504 oplossingen.quote:
[..]
Thanks, bijna duidelijk. Maar waarom 7 plekken om de strepen neer te zetten?
Edit: oh, omdat het ook 0 kan zijn.
Ik zou dan denken: 17 boven 5. Klopt dat?
En vanwaar die +5 plekken dan?quote:
[..]
Bijna. Je hebt 15+5 plekken om strepen neer te zetten. Dus het is 20 boven 5 = 15504 oplossingen.
E: Oh, 5 stuks kunnen 0 zijn. Duidelijk, thanks!
Je kan het ook zo zien:quote:
[..]
En vanwaar die +5 plekken dan?
E: Oh, 5 stuks kunnen 0 zijn. Duidelijk, thanks!
Stel dit zijn 20 plekken. Als je dan 5 plekken uitkiest om een 'streepje' te zetten: (maakt niet uit waar)
Dan zijn de 15 elementen verdeeld over de overige lege 15 plekken.
Dus daarom heb je in totaal 15+5=20 plekken om streepjes neer te zetten.
[ Bericht 0% gewijzigd door Ensemble op 18-11-2013 18:53:00 ]
Ik zal de eerste even voordoen, daarna moet je zelf de tweede uitwerken. We hebbenquote:Op maandag 18 november 2013 18:21 schreef Manke het volgende:
Veeltermen die in factoren moeten worden ontbonden polynomials die gefactort moeten worden, simpel, maar ik loop er op vast:
[ afbeelding ]
Wie kan/wil helpen met een uitwerking?
2x3 − 8a2x + 24x2 + 72x
Je kijkt nu eerst of de termen factoren gemeen hebben, en zo ja welke factoren dit zijn, want dan kun je beginnen met die factor(en) buiten haakjes te halen. Welnu, het valt direct op dat alle termen een factor x bevatten, en ook zijn alle coëfficiënten even. Dat betekent dus dat we in ieder geval een factor 2x buiten haakjes kunnen halen. Doen we dit, dan krijgen we
2x(x2 − 4a2 + 12x + 36)
Nu zien we dat we eigenlijk één vreemde eend in de bijt hebben, en dat is die term 4a2. Als we die even buiten beschouwing laten, dan zie je dat de overige drie termen x2 + 12x + 36 samen een kwadratische veelterm vormen, en die kun je ontbinden in factoren. In dit geval is dat zelfs heel gemakkelijk als je je merkwaardige producten tenminste kent. Je hebt immers
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
en dus zie je direct dat x2 + 12x + 36 = (x + 6)2. Maar nu zien we verder dat die resterende term 4a2 ook als een kwadraat is te schrijven, immers 4a2 = (2a)2. Dus hebben we nu
2x((x + 6)2 − (2a)2)
Maar nu kun je een verschil van de kwadraten van twee grootheden altijd schrijven als een product van de som en het verschil van die grootheden, want je hebt immers
(a + b)(a − b) = a2 − b2
En dus krijgen we zo
2x(x + 6 + 2a)(x + 6 − 2a)
en daarmee is de ontbinding voltooid.
[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 18-11-2013 19:09:33 ]
Welnu, inderdaad moeten we bewijzen datquote:
[..]
Dat lijkt me wel. Maar laat nog maar even weten hoe je geacht werd opgave 4b te doen zonder gebruik van de ongelijkheid van Bernoulli. Ben ik wel benieuwd naar.
bn < 1/n voor n > 14, met n een natuurlijk getal.
Ik neem aan dat dit een inductiebewijs is, en daarna is het natuurlijk flauw. Als bn < 1/n en het is altijd een positieve breuk, dus
0 < bn < 1/n voor voldoende grote n. Gebruiken we de insluitstelling (wat ook al niet mocht), dan vinden we snel het gevraagde.
Wat betreft l'Hospital, de instructeur was daar duidelijk over: we konden functies van reéle getallen nog niet bevatten, iets met 3√2 ofzo.
Thanks manquote:
[..]
Je kan het ook zo zien:
Stel dit zijn 20 plekken. Als je dan 5 plekken uitkiest om een 'streepje' te zetten: (maakt niet uit waar)
Dan zijn de 15 elementen verdeeld over de overige lege 15 plekken.
Dus daarom heb je in totaal 15+5=20 plekken om streepjes neer te zetten.
quote:
[..]
Ik zal de eerste even voordoen, daarna moet je zelf de tweede uitwerken. We hebben
2x3 − 8a2x + 24x2 + 72x
Je kijkt nu eerst of de termen factoren gemeen hebben, en zo ja welke factoren dit zijn, want dan kun je beginnen met die factor(en) buiten haakjes te halen. Welnu, het valt direct op dat alle termen een factor x bevatten, en ook zijn alle coëfficiënten even. Dat betekent dus dat we in ieder geval een factor 2x buiten haakjes kunnen halen. Doen we dit, dan krijgen we
2x(x2 − 4a2 + 12x + 36)
Nu zien we dat we eigenlijk één vreemde eend in de bijt hebben, en dat is die term 4a2. Als we die even buiten beschouwing laten, dan zie je dat de overige drie termen x2 + 12x + 36 samen een kwadratische veelterm vormen, en die kun je ontbinden in factoren. In dit geval is dat zelfs heel gemakkelijk als je je merkwaardige producten tenminste kent. Je hebt immers
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
en dus zie je direct dat x2 + 12x + 36 = (x + 6)2. Maar nu zien we verder dat die resterende term 4a2 ook als een kwadraat is te schrijven, immers 4a2 = (2a)2. Dus hebben we nu
2x((x + 6)2 − (2a)2)
Maar nu kun je een verschil van de kwadraten van twee grootheden altijd schrijven als een product van de som en het verschil van die grootheden, want je hebt immers
(a + b)(a − b) = a2 − b2
En dus krijgen we zo
2x(x + 6 + 2a)(x + 6 − 2a)
en daarmee is de ontbinding voltooid.
ik zag niet dat die 4a^2 als kwadraat te schrijven is, daar liep ik vast, thanks
buiten haakjes zetten, dat hoorde ik voor het laatst 15 jaar geleden bij wis b
De voorwaarde n5/3n < 1/n, n ∈ N is equivalent met n6 < 3n en dat is het geval voor n > 14. Dan heb je dus 0 < bn < 1/n voor n > 14 en voor elke ε > 0 is dan bn < ε voor n > max(1/ε,14) zodat limn→∞ bn = 0.quote:Op maandag 18 november 2013 19:10 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Welnu, inderdaad moeten we bewijzen dat
bn < 1/n voor n > 14, met n een natuurlijk getal.
Ik neem aan dat dit een inductiebewijs is, en daarna is het natuurlijk flauw. Als bn < 1/n en het is altijd een positieve breuk, dus
0 < bn < 1/n voor voldoende grote n. Gebruiken we de insluitstelling (wat ook al niet mocht), dan vinden we snel het gevraagde.
Wat betreft l'Hospital, de instructeur was daar duidelijk over: we konden functies van reële getallen nog niet bevatten, iets met 3√2 ofzo.
De voorwaarde n6/3n < 1 geldt in ieder geval voor n = 15, en als deze geldt voor een zekere n = k ≥ 15 dan is (k+1)6/3k+1 < ⅓·(1 + 1/k)6 < 1, zodat de voorwaarde dan ook geldt voor n = k+1. Ergo, n6/3n < 1 geldt voor elke n > 14.
Een formele definitie van machten met irrationale exponenten is inderdaad lastig, denk er maar eens over na hoe je dat precies zou willen doen.
Mjah, snap ik. Dat inductiebewijs is aardig lastig als je er niet zo getraind in bent. Ineens wordt de wiskunde heel formeel, dus wellicht kun je mij, daar waar nodig, op terecht wijzen. De heer de Weger vond het ook nodig om vage uitspraken als epsilon willekeurig klein, de limiet van epsilon naar 0 direct naar de prullenbak te verbannen.quote:
[..]
De voorwaarde n5/3n < 1/n, n ∈ N is equivalent met n6 < 3n en dat is het geval voor n > 14. Dan heb je dus 0 < bn < 1/n voor n > 14 en voor elke ε > 0 is dan bn < ε voor n > max(1/ε,14) zodat limn→∞ bn = 0.
De voorwaarde n6/3n < 1 geldt in ieder geval voor n = 15, en als deze geldt voor een zekere n = k ≥ 15 dan is (k+1)6/3k+1 < ⅓·(1 + 1/k)6 < 1, zodat de voorwaarde dan ook geldt voor n = k+1. Ergo, n6/3n < 1 geldt voor elke n > 14.
Een formele definitie van machten met irrationale exponenten is inderdaad lastig, denk er maar eens over na hoe je dat precies zou willen doen.
Wellicht is dat ook de reden dat ik mijn eerste tentamenweek wat minder gemaakt heb.
Verzamelingenleer en Algebra: Eindcijfer 6,48, maar omdat ik een klinkende 4 voor het tentamen had wordt dat een 5 -> hertentamen
Lineaire Algebra 1: 5,4 voor het tentamen, dus nipt gehaald. (Maar ik ga toch een hertentamen doen).
Calculus heb ik wel gehaald. Tentamen helaas nog niet terug gekregen.
Dus maar 2/3 van de vakken gehaald. En dat vind ik in kwartiel 1 al uiterst demotiverend met het moeilijkste vak (Analyse) nog te gaan.
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 18-11-2013 21:43:01 ]
Tja, hier was het bewijs met inductie dat n6 < 3n voor n > 14 toch echt heel eenvoudig. Ik denk dat als je dit lastig vindt, dat je dan eerder een probleem hebt met de gedachtengang als zodanig bij een bewijs met (volledige) inductie. Ik heb dat vaker gezien, ook hier op het forum en ook bij mensen die wiskunde studeerden. Een bewijs met inductie bestaat altijd uit twee delen. Eerst bewijs je dat de aan te tonen uitspraak geldig is voor een bepaalde gehele startwaarde n = n0 (vaak n = 0 of n = 1, maar dat hoeft uiteraard niet). Vervolgens bewijs je dat de aan te tonen uitspraak juist is voor n = k + 1 áls deze juist is voor een zekere n = k ≥ n0. Je creëert daarmee een oneindige keten gevolgtrekkingen (uitspraak is juist voor n = n0 ⇒ uitspraak is juist voor n = n0 + 1 ⇒ uitspraak is juist voor n = n0 + 2 ⇒ ...) op grond waarvan je kunt besluiten dat de uitspraak juist is voor élke gehele n ≥ n0.quote:
[..]
Mjah, snap ik. Dat inductiebewijs is aardig lastig als je er niet zo getraind in bent.
Wat ik vaak heb gezien is dat studenten bijvoorbeeld beginnen met te stellen dat de te bewijzen uitspraak geldig is voor een 'willekeurige' n of zelfs voor 'elke' n, maar dat mag je uiteraard niet doen, dat is een petitio principii. Dan neem je datgene wat je wil bewijzen al op voorhand voor waar aan, en dan bewijs je dus niets. Wat je wel moet doen is laten zien dat de juistheid van de te bewijzen uitspraak voor n = k + 1 volgt uit de juistheid van de te bewijzen uitspraak voor n = k, en dat is iets heel anders. Je gebruikt dan namelijk niet dat de te bewijzen uitspraak geldig is voor n = k, maar toont alleen aan dat de te bewijzen uitspraak geldig is voor n = k + 1 als deze geldig is voor n = k.
Wat dat tweede betreft moet ik hem gelijk geven. Als je het begrip limiet definieert aan de hand van de bekende ε, δ definitie van Weierstrass, dan mag je in die definitie niet spreken over een limiet van bijvoorbeeld ε, of dat ε 'nadert' tot 0, want dan gebruik je in een definitie een begrip dat je nog niet geheel hebt gedefinieerd, resp. in het geheel niet hebt gedefinieerd, en dat mag niet. Het is wel zo dat je uiteindelijk terecht komt bij bepaalde begrippen die je ongedefinieerd moet laten omdat je nu eenmaal niet alles kunt definiëren aan de hand van eerder gedefinieerde begrippen, zoals het begrip 'punt' in de Euclidische meetkunde, wat niet wegneemt dat Euclides toch een poging deed: Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν 'een punt is dat wat geen deel heeft'.quote:Ineens wordt de wiskunde heel formeel, dus wellicht kun je mij, daar waar nodig, op terecht wijzen. De heer de Weger vond het ook nodig om vage uitspraken als epsilon willekeurig klein, de limiet van epsilon naar 0 direct naar de prullenbak te verbannen.
Zelf til ik niet zo zwaar aan een uitspraak als 'voor een willekeurig kleine (positieve) ε bestaat er een N0 zodanig dat ...' en hier is ook niets vaags aan. Ik begrijp het formele bezwaar wel, want de definitie voor limn→∞ an = L houdt in dat er voor elke ε > 0 een N0 ∈ N bestaat zodanig dat | an − L | < ε voor elke (gehele) n > N0, niets meer en niets minder. Maar het is evident dat 'grote' waarden van ε niet interessant zijn, want als we voor een zekere ε0 een N0 hebben zodanig dat | an − L | < ε0 voor elke n > N0, dan is voor elke ε > ε0 evengoed | an − L | < ε voor elke n > N0 met diezelfde N0. Vandaar dat men vaak spreekt van een willekeurig kleine (positieve) ε. Met de woorden willekeurig klein wordt hier bedoeld dat ε > 0 kleiner kan worden gekozen dan elk gegeven positief getal en dat er dan steeds een N0 ∈ N bestaat zodanig dat | an − L | < ε voor elke (gehele) n > N0.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 19-11-2013 19:30:24 ]
Helaas begrijp ik het principe van volledige inductie maar al te goed. Ik zou alleen niet uit mezelf bedenken hoe je die sterkere ongelijkheid forceert.quote:
[..]
Tja, hier was het bewijs met inductie dat n6 < 3n voor n > 14 toch echt heel eenvoudig. Ik denk dat als je dit lastig vindt, dat je dan eerder een probleem hebt met de gedachtengang als zodanig bij een bewijs met (volledige) inductie. Ik heb dat vaker gezien, ook hier op het forum en ook bij mensen die wiskunde studeerden. Een bewijs met inductie bestaat altijd uit twee delen. Eerst bewijs je dat de aan te tonen uitspraak geldig is voor een bepaalde gehele startwaarde n = n0 (vaak n = 0 of n = 1, maar dat hoeft uiteraard niet). Vervolgens bewijs je dat de aan te tonen uitspraak juist is voor n = k + 1 áls deze juist is voor een zekere n = k ≥ n0. Je creëert daarmee een oneindige keten gevolgtrekkingen (uitspraak is juist voor n = n0 ⇒ uitspraak is juist voor n = n0 + 1 ⇒ uitspraak is juist voor n = n0 + 2 ⇒ ...) op grond waarvan je kunt besluiten dat de uitspraak juist is voor élke gehele n ≥ n0.
Wat ik vaak heb gezien is dat studenten bijvoorbeeld beginnen met te stellen dat de te bewijzen uitspraak geldig is voor een 'willekeurige' n of zelfs voor 'elke' n, maar dat mag je uiteraard niet doen, dat is een petitio principii. Dan neem je datgene wat je wil bewijzen al op voorhand voor waar aan, en dan bewijs je dus niets. Wat je wel moet doen is laten zien dat de juistheid van de te bewijzen uitspraak voor n = k + 1 volgt uit de juistheid van de te bewijzen uitspraak voor n = k, en dat is iets heel anders. Je gebruikt dan namelijk niet dat de te bewijzen uitspraak geldig is voor n = k, maar toont alleen aan dat de te bewijzen uitspraak geldig is voor n = k + 1 als deze geldig is voor n = k.
[..]
Wat dat tweede betreft moet ik hem gelijk geven. Als je het begrip limiet definieert aan de hand van de bekende ε, δ definitie van Weierstrass, dan mag je in die definitie niet spreken over een limiet van bijvoorbeeld ε, of dat ε 'nadert' tot 0, want dan gebruik je in een definitie een begrip dat je nog niet geheel hebt gedefinieerd, resp. in het geheel niet hebt gedefinieerd, en dat mag niet. Het is wel zo dat je uiteindelijk terecht komt bij bepaalde begrippen die je ongedefinieerd moet laten omdat je nu eenmaal niet alles kunt definiëren aan de hand van eerder gedefinieerde begrippen, zoals het begrip 'punt' in de Euclidische meetkunde, wat niet wegneemt dat Euclides toch een poging deed: Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν 'een punt is dat wat geen deel heeft'.
Zelf til ik niet zo zwaar aan een uitspraak als 'voor een willekeurig kleine (positieve) ε bestaat er een N0 zodanig dat ...' en hier is ook niets vaags aan. Ik begrijp het formele bezwaar wel, want de definitie voor limn→∞ an = L houdt in dat er voor elke ε > 0 een N0 ∈ N bestaat zodanig dat | an − L | < ε voor elke (gehele) n > N0, niets meer en niets minder. Maar het is evident dat 'grote' waarden van ε niet interessant zijn, want als we voor een zekere ε0 een N0 hebben zodanig dat | an − L | < ε0 voor elke n > N0, dan is voor elke ε > ε0 evengoed | an − L | < ε voor elke n > N0 met diezelfde N0. Vandaar dat men vaak spreekt van een willekeurig kleine (positieve) ε. Met de woorden willekeurig klein wordt hier bedoeld dat ε > 0 kleiner kan worden gekozen dan elk gegeven positief getal en dat er dan steeds een N0 ∈ N bestaat zodanig dat | an − L | < ε voor elke (gehele) n > N0.
Ik moet zeggen dat de opgaven me nu iets beter afgaan (College 3, ook te bezichtigen op de homepage van G. Prokert. Jammer van dat hertentamen. Nog harder aan de bak dan maar.
Helaas lukt de universiteit op z'n 'janboerenfluitjes' doorlopen niet meer.
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 19-11-2013 12:59:52 ]
Dat is iig al stap 1
En dus
√(x2 + 3x)/x = √x√(x+3)/x
√x√(x+3)/x = √(x+3)/√x
Zodat
√(x+3)/√x = √((x+3)/x) = √(1+3/x)
Mag jij me aanwijzen waar de fout zit. Ik heb alcohol (Grolschquote:
Alleen je laatste stap klopt volgens mij niet?
) op, dus 't zou heel goed kunnen.√((x+3)/x) = √(1+3/x)quote:
[..]
Mag jij me aanwijzen waar de fout zit. Ik heb alcohol (Grolsch
je kan volgens mij niet zo die x wegstrepen of verlagen in de teller, die staat tussen haakjes
proost
(x+3)/x = x/x + 3/x = 1+3/xquote:
[..]
√((x+3)/x) = √(1+3/x)
je kan volgens mij niet zo die x wegstrepen of verlagen in de teller, die staat tussen haakjes
proost
ow ja, ((x+3)/x) stond tussen haakjes onder de wortelquote:
Niemand heeft gezegd wat x überhaupt is, x kan net zo goed een complex getal zijn.quote:
Bedenk wel dat jullie nu aannemen dat x > 0, maar dat is niet gegeven.
Super, hardstikke bedankt!quote:
Bedenk je eens dat x2 + 3x = x(x+3)
En dus
√(x2 + 3x)/x = √x√(x+3)/x
√x√(x+3)/x = √(x+3)/√x
Zodat
√(x+3)/√x = √((x+3)/x) = √(1+3/x)
Ja, maar dan is de vierkantswortel sowieso niet eenduidig. Overigens denk ik bij x eerder aan een reële variabele en zou ik voor een complexe variabele eerder z verwachten. Maar de vragensteller moet beseffen dat zijn vraag zo niet (correct) is te beantwoorden.quote:
[..]
Niemand heeft gezegd wat x überhaupt is, x kan net zo goed een complex getal zijn.
Ik ook. Je vergeet trouwens dat x ≤ -3 ook voldoet.quote:
[..]
Ja, maar dan is de vierkantswortel sowieso niet eenduidig. Overigens denk ik bij x eerder aan een reële variabele en zou ik voor een complexe variabele eerder z verwachten. Maar de vagensteller moet beseffen dat zijn vraag zo niet (correct) is te beantwoorden.
Ja, dat had je gedacht ... Kijk eens wat er gebeurt als je x < −3 neemt.quote:
[..]
Super, hardstikke bedankt!
Ook flink zitten borrelen, of hoe zit het daar?quote:
[..]
Ja, dat had je gedacht ... Kijk eens wat er gebeert als je x < −3 neemt.
In dit geval werd gegeven dat x>0. Maar het ging me er meer om om er even achter te komen hoe dat trucje ook alweer werkte, en dat heeft hij me mooi uitgelegd.quote:
[..]
Ja, dat had je gedacht ... Kijk eens wat er gebeert als je x < −3 neemt.
Nee hoor. Je mag de rekenregels √a/√b = √(a/b) en √a · √b = √(ab) niet gebruiken voor a,b < 0.quote:
[..]
Ook flink zitten borrelen, of hoe zit het daar?
Daar zit wat in.quote:
[..]
Nee hoor. Je mag de rekenregels √a/√b = √(a/b) en √a · √b = √(ab) niet gebruiken voor a,b < 0.
Nochtans is dat weer slordig van me, dat ik er niet bij zet dat het enkel en alleen te herschrijven is voor x > 0, want anders kom je niet ver.
Ik ga slapen, morgen weer een college Analyse van dr. Prokert.
(x+3)^(1/2) - (x+3)^(3/2)
ik kom niet verder dan:
(x+3)^1/2 * (1-(x+3)) = (x+3)^1/2 * (-2-x)
edit:
volgens mij is dit em:
(x+3)^(1/2)*-(2+x)
[ Bericht 18% gewijzigd door Manke op 20-11-2013 17:48:54 ]
-8(4x+3)^-2 + 10(5x+1)(4x+3)^-1
(4x+3)^-2*(-8+10(5x+1)(4x+3))
(4x+3)^-2 * (-8+10(20x^2 + 19x+4))
(4x+3)^-2 *(200x^2 + 190x+32)
Je maakt een fout. Maar stop het gewoon even in WolframAlpha, dan hoef je hier niet te vragen of het klopt en hoeven wij jouw onbeholpen notaties niet te ontcijferen.quote:
[ Bericht 99% gewijzigd door wiskundenoob op 20-11-2013 18:35:31 ]
maar die site is idd handig, thanks
ik zie m'n fout lol, stom
Hoe kan je dit het beste aanpakken? In R1 lukken me dit soort bewijzen wel, maar in Rk heb ik er meer moeite mee. Ik neem aan dat we de euclidean norm ergens moet gebruiken en een shitload een triangle inequalities?
EDIT:
Iemand die een fout kan spotten? Ik denk eigenlijk dat het definiëren van c(n) overbodig is, maar ach...
[ Bericht 13% gewijzigd door Novermars op 20-11-2013 23:41:11 ]
Hoe kun je differentiëren naar x als f onafhankelijk is van x?quote:
Stel je hebt een functie f met f(y,y') (dus onafhankelijk van x). Als je dan de niet-partiele afgeleide df/dx neemt, wat doe je dan precies?
Je bewijs klopt niet. Je beweert o.m. dat |β| < |β+1| maar dat is in zijn algemeenheid niet juist (neem β = −¾).quote:
[ afbeelding ]
Hoe kan je dit het beste aanpakken? In R1 lukken me dit soort bewijzen wel, maar in Rk heb ik er meer moeite mee. Ik neem aan dat we de euclidean norm ergens moet gebruiken en een shitload een triangle inequalities?
EDIT: [ afbeelding ]
Iemand die een fout kan spotten?
Houd de notatie aan van het oorspronkelijke vraagstuk en gebruik dat
xn·yn − x·y = xn·(yn − y) + y·(xn − x)
en dus
|xn·yn − x·y| ≤ ||xn||·||yn − y|| + ||y||·||xn − x||
Maar inhoudelijk, mee eens dat het niet klopt. Is het eventueel snel te fixen door vanaf de ongelijkheid, r5 van onder, absolute waardes te gebruiken en van de 1 die ik er bij optel om problemen te voorkomen als beta =0 is een epsilon te maken? Of kan ik beter gewoon opnieuw beginnen?
Hoe ga je trouwens van de absolute waarde naar de euclidean norm?
Ik zou het herschrijven.quote:
De notatie die ik nu heb, dus met alpha en beta etc is de notatie die de hooglerares gebruikt, de x en y notatie gebruikt het boek. (dit was een opgave uit het boek). Aangezien de hooglerares mijn tentamens nakijkt, prefereer ik de eerste notatie.
Maar inhoudelijk, mee eens dat het niet klopt. Is het eventueel snel te fixen door vanaf de ongelijkheid, r5 van onder, absolute waardes te gebruiken en van de 1 die ik er bij optel om problemen te voorkomen als beta =0 is een epsilon te maken? Of kan ik beter gewoon opnieuw beginnen?
Je hebt |x·y| ≤ ||x||·||y||. Zegt de dubbele naam Cauchy-Schwarz je iets?quote:Hoe ga je trouwens van de absolute waarde naar de euclidean norm?
[ Bericht 51% gewijzigd door wiskundenoob op 22-11-2013 15:29:57 ]
Als een vector a convergeert naar een vector b, dan convergeren alle componenten van a ook naar de componenten van die van b. Als je het inproduct nu uitschrijft als een som, dan kan je dus gewoon het resultaat uit R^1 gebruiken.quote:
[ afbeelding ]
Hoe kan je dit het beste aanpakken? In R1 lukken me dit soort bewijzen wel, maar in Rk heb ik er meer moeite mee. Ik neem aan dat we de euclidean norm ergens moet gebruiken en een shitload een triangle inequalities?
EDIT: [ afbeelding ]
Iemand die een fout kan spotten? Ik denk eigenlijk dat het definiëren van c(n) overbodig is, maar ach...
Dan is
Maar hoe doe je dat? Wat ik ervan heb begrepen is dat je eerst (x-a), a is nulpunt van f(x), moet vinden. En vervolgens f(x)/(x-a) om g(x) te bepalen? En dat steeds herhalen totdat n, macht van het polynoom, 1 is zodat je alle nulpunten hebt gevonden.
[ Bericht 0% gewijzigd door wiskundenoob op 23-11-2013 12:55:05 ]
Ten eerste leg je de factorstelling (met rest 0) verkeerd uit. Als (x-a) een nulpunt is van f(x) te schrijven als het product g(x)(x-a) met deg(g(x)) = deg(f(x))-1quote:
Mbv factorstelling, f(x)=(x-a)g(x)+(a) moet ik de nulpunten vinden vanvinden.
Dan is
Maar hoe doe je dat? Wat ik ervan heb begrepen is dat je eerst (x-a), a is nulpunt van f(x), moet vinden. En vervolgens f(x)/(x-a) om g(x) te bepalen? En dat steeds herhalen totdat n, macht van het polynoom, 1 is zodat je alle nulpunten hebt gevonden.
Het hoeft niet zo te zijn dat een polynoom ontbonden kan worden in n lineaire factoren als de graad van dat polynoom n is binnen de reële getallen. Neem daarvoor eens het polynoom
h(x) = x2 + 1
De discriminant van h(x) is kleiner dan 0, en dus heeft dit polynoom géén nulpunten binnen de reële getallen. Binnen de reële getallen heet dit polynoom ook wel irreducibel.
Binnen de complexe getallen heeft h(x) wel nulpunten, bekijk daarvoor eens de hoofdstelling van de algebra.SPOILERBinnen de complexe getallen heeft h(x) wel nulpunten, maar daarvoor introduceer je een nieuwe eenheid i. Deze eenheid is als volgt gedefinieerd:
Dan kun je h(x) schrijven als h(x) = (x+i)(x-i).
Maar dat is allemaal interessant voor later.
Stel dat x = a een nulpunt is van f(x), dan weten we
f(x) = (x-a)g(x) (factorstelling)
En dus
g(x) = f(x)/(x-a)
Veronderstel f(x) en (x-a) bekend, dan kun je met behulp van een polynoomstaartdeling g(x) eenvoudig berekenen.
http://www.wisfaq.nl/show3archive.asp?id=13995&j=2003
Kijk daarvoor eens hier. Als je het eenmaal snapt is het niet zo moeilijk, maar het uitleggen is best klote en laat ik ook liever aan Riparius over als hij daar tijd/zin in heeft, wellicht heeft hij zelfs een beter alternatief.
De algemene factorstelling is
f(x) = g(x)p(x) + r(x)
Nu moet je zelf even nadenken wat je kunt zeggen over de graad van de polynomen g(x), p(x) en r(x) als
g(x) het quötient heet
p(x) de deler
en r(x) de rest.
waarbij de graad van het polynoom f(x) gelijk is aan n.
[ Bericht 5% gewijzigd door #ANONIEM op 23-11-2013 12:53:47 ]
Dit polynoom heeft geen rationale nulpunten, aangezien eventuele rationale nulpunten geheel zouden moeten zijn en, afgezien van het teken, tevens delers van 2. Maar je kunt gemakkelijk nagaan dat −1, 1, −2 en 2 geen nulpunten zijn. Aangezien het een vijfdegraadspolynoom is, zijn de nulpunten in het algemeen ook niet algebraïsch uit te drukken in de coëfficiënten. Dus zou je de nulpunten numeriek moeten benaderen, maar dat lijkt me gezien de opdracht om het polynoom met behulp van de factorstelling te ontbinden ook niet de bedoeling. Controleer nog eens of je de opgave niet verkeerd hebt overgenomen.quote:
Mbv factorstelling, f(x)=(x-a)g(x)+f(a) als a een reëel getal is, moet ik de nulpunten vinden van
Dan is
Maar hoe doe je dat? Wat ik ervan heb begrepen is dat je eerst (x-a), a is nulpunt van f(x), moet vinden. En vervolgens f(x)/(x-a) om g(x) te bepalen? En dat steeds herhalen totdat n, macht van het polynoom, 1 is zodat je alle nulpunten hebt gevonden.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 23-11-2013 13:40:54 ]
Mwa, dit is allemaal eerstejaars wiskundequote:
Respect dat jullie dit snappen, de tering zeg
. En met al tekentjes als Dat uitschrijven is nu juist overbodig als je gebruik maakt van Cauchy-Schwarz, zoals ik hierboven ook al aangeef. Het bewijs wordt dan een stuk eenvoudiger en eleganter.quote:
[..]
Als een vector a convergeert naar een vector b, dan convergeren alle componenten van a ook naar de componenten van die van b. Als je het inproduct nu uitschrijft als een som, dan kan je dus gewoon het resultaat uit R^1 gebruiken.
Ja en Cauchy Schwarz is overbodig als je het wel uitschrijft. Kwestie van smaak, en altijd goed om meerdere manieren in te zien.quote:
[..]
Dat uitschrijven is nu juist overbodig als je gebruik maakt van Cauchy-Schwarz, zoals ik hierboven ook al aangeef. Het bewijs wordt dan een stuk eenvoudiger en eleganter.
Nou, wat moet ik kan dan concluderen over de n van g(x), p(x) en r(x)?quote:
De algemene factorstelling is
f(x) = g(x)p(x) + r(x)
Nu moet je zelf even nadenken wat je kunt zeggen over de graad van de polynomen g(x), p(x) en r(x) als
g(x) het quötient heet
p(x) de deler
en r(x) de rest.
waarbij de graad van het polynoom f(x) gelijk is aan n.
Het quotiënt is n-degraads polynoom en de deler is een eerstegraads factor en r(x) heeft geen graad.
Vb-opgave is correct overgenomen, maar ik zie nu dat a, nulpunt van f(x), wordt meegegeven. Dus de bedoeling is dat ik die veeltermen deelt door de factor.quote:
[..]
Dit polynoom heeft geen rationale nulpunten, aangezien eventuele rationale nulpunten geheel zouden moeten zijn en, afgezien van het teken, tevens delers van 2. Maar je kunt gemakkelijk nagaan dat −1, 1, −2 en 2 geen nulpunten zijn. Aangezien het een vijfdegraadspolynoom is, zijn de nulpunten in het algemeen ook niet algebraïsch uit te drukken in de coëfficiënten. Dus zou je de nulpunten numeriek moeten benaderen, maar dat lijkt me gezien de opdracht om het polynoom met behulp van de factorstelling te ontbinden ook niet de bedoeling. Controleer nog eens of je de opgave niet verkeerd hebt overgenomen.
Waarom moet je nagaan dat −1, 1, −2 en 2 nulpunten zijn? Ligt dat aan dit soort opgaves? Dat er één van die getallen vaak een nulpunt is.
En wat bedoel je precies met delers van 2?
[ Bericht 47% gewijzigd door wiskundenoob op 23-11-2013 22:52:30 ]
Ik denk niet dat dat de bedoeling is. Je kunt nu wel algebraïsch je veelterm delen door (x − a), maar daarmee vind je echt geen nulpunt, je weet namelijk niet wat a is.quote:
Vb-opgave is correct overgenomen, maar ik zie nu dat a, nulpunt van f(x), wordt meegegeven. Dus de bedoeling is dat ik die veeltermen deel door de factor.
Er is een stelling die zegt dat voor eventuele rationale nulpunten p/q van een veelterm (met p en q geheel en onderling ondeelbaar) geldt dat p een deler is van de constante term en q een deler van de coëfficiënt van de hoogste macht. Welnu, die laatste is hier 1 (de coëfficiënt van x5) en daaruit volgt dat eventuele rationale nulpunten van je veelterm geheel moeten zijn en, afgezien van het teken, delers van de constante term 2. Nu is 2 alleen deelbaar door 1 en door 2, en dus hoeven we alleen −1, 1, −2 en 2 te proberen als mogelijke rationale nulpunten. Maar geen van deze vier blijkt een nulpunt te zijn, en dus kunnen we met zekerheid zeggen dat je veelterm geen rationale nulpunten heeft. Als je de nulpunten van een veelterm (zowel reëel als complex) numeriek wil bepalen dan kun je dat bijvoorbeeld hier doen.quote:Waarom moet je nagaan dat −1, 1, −2 en 2 nulpunten zijn? Ligt dat aan dit soort opgaves? Dat er één van die getallen vaak een nulpunt is.
En wat bedoel je precies met delers van 2?
a = 1 en dus kan je wel de rationele nulpunten vinden als die er zijn. Als er restwaarde ontstaat na het delen dan zijn er geen rationele nulpunten.quote:
[..]
Ik denk niet dat dat de bedoeling is. Je kunt nu wel algebraïsch je veelterm delen door (x − a), maar daarmee vind je echt geen nulpunt, je weet namelijk niet wat a is.
[..]
Zelfs als a niet is meegegeven dan kan je makkelijk de rationele nulpunten vinden als ik het goed begrijp.
Ik zie nu waar mijn fout zit. a is geen nulpunt van f(x). Behalve natuurlijk als f(a)=0 zodat f(x)=(x-a)g(x).
[ Bericht 2% gewijzigd door wiskundenoob op 24-11-2013 00:07:42 ]
Nee. Ten eerste kun je niet spreken over een n van g(x), p(x) en r(x), en daarnaast bestaat 'geen graad' niet. Een constante functie heeft graad 0, namelijk.quote:
[..]
Nou, wat moet ik kan dan concluderen over de n van g(x), p(x) en r(x)?
Het quotiënt is n-degraads polynoom en de deler is een eerstegraads factor en r(x) heeft geen graad.
Ten eerste geldt dat het product g(x)•p(x) graad n heeft en r(x) een graad kleiner dan n heeft.
Daarnaast hoeft r(x) niet constant te zijn, dit kan prima een polynoom zijn.
http://staff.science.uva.nl/~rstevens/oefententamen.pdf
Opgave 1a was makkelijk (nagaan dat het voor de basisfuncties van P_3 geldt, dus 1, x, x^2 en x^3. Rest volgt uit lineariteit). Opgave b lukt me niet. Ik meen me te herinneren dat het idee was om een of andere rare functie te maken, en dan heel vaak (vier keer wss) Rolle toe te passen. Om Rolle zo vaak toe te kunnen passen heb ik een functie nodig met nulpunten in [0,1]..
[ Bericht 15% gewijzigd door Hanneke12345 op 24-11-2013 14:15:37 ]
Ken je Hermite-interpolatie?quote:
Vraag van numerieke wiskunde:
http://staff.science.uva.nl/~rstevens/oefententamen.pdf
Opgave 1a was makkelijk (nagaan dat het voor de basisfuncties van P_3 geldt, dus 1, x, x^2 en x^3. Rest volgt uit lineariteit). Opgave b lukt me niet. Ik meen me te herinneren dat het idee was om een of andere rare functie te maken, en dan heel vaak (vier keer wss) Rolle toe te passen. Om Rolle zo vaak toe te kunnen passen heb ik een functie nodig met nulpunten in [0,1]..
Mocht de tip van thabit niet genoeg zijn:quote:
Vraag van numerieke wiskunde:
http://staff.science.uva.nl/~rstevens/oefententamen.pdf
Opgave 1a was makkelijk (nagaan dat het voor de basisfuncties van P_3 geldt, dus 1, x, x^2 en x^3. Rest volgt uit lineariteit). Opgave b lukt me niet. Ik meen me te herinneren dat het idee was om een of andere rare functie te maken, en dan heel vaak (vier keer wss) Rolle toe te passen. Om Rolle zo vaak toe te kunnen passen heb ik een functie nodig met nulpunten in [0,1]..
je hebt net iets gedaan met polynomen. Hoeveel verschillende nulpunten kan een polynoom van graad n hebben, en hoe vaak kun je daarop Rolle toepassen? (Je hebt nog wel iets extra nodig dan deze hint, dus stop vooral niet als je vastloopt
)
namelijk deze:
en deze
Thanks. Maar wat gebeurt er met hoofdletter pi dan? Waarom is het ineens een sigma aan de rechterkant?quote:
Dat is toch gewoon toepassen van de logaritme-rekenregels?
namelijk deze:
[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
en deze
[ afbeelding ]
Nevermind, dat is die derde rekenregel. Altijd een zwakte van mij geweest, logaritmes.
[ Bericht 4% gewijzigd door Banaanensuiker op 26-11-2013 17:07:31 ]
toch?
Nou, dat kan je dus ook schrijven als een som van losse logs;
Dat kan je dan weer opsplitsen, maar volgens mij moet dat dan duidelijk zijn toch?
''De top van de grafiek van fp(x) = px^2 + (p - 4)x + 3 ligt op de lijn y = x + 9
Bereken p en de bijbehorende extreme waarde.
Bij de uitwerking staat er p * ( etc etc. *Zie het rode vakje op het plaatje* En dan na het = teken staat de p * er niet meer aan het begin, nergens zelfs. Ik vraag me af wat er met die p * is gedaan?
Plaatje met het antwoord uitgewerkt:
Je struikelt over een stukje brugklasalgebra:quote:
Hallo allemaal. Ik snap iets niet bij een opdracht van wiskunde. Het gaat om opdracht 33.
''De top van de grafiek van fp(x) = px^2 + (p - 4)x + 3 ligt op de lijn y = x + 9
Bereken p en de bijbehorende extreme waarde.
Bij de uitwerking staat er p * ( etc etc. *Zie het rode vakje op het plaatje* En dan na het = teken staat de p * er niet meer aan het begin, nergens zelfs. Ik vraag me af wat er met die p * is gedaan?
Plaatje met het antwoord uitgewerkt:
[ afbeelding ]
Als je
kwadrateert, dan heb je
en als je deze breuk nog met p vermenigvuldigt, dan verdwijnt één van de twee factoren p uit de noemer en heb je dus inderdaad
De uitwerking kan trouwens veel eenvoudiger als je weet dat de grafiek van
een parabool is met als top het punt met de coördinaten
waarbij
de discriminant is van de kwadratische veelterm.
Hmm bedankt voor je uitleg maar ik snap niet waarom je (p-4)^2 / 4p^2 vermenigvuldigt met p en dan die factor van p verdwijnt en er dus 4p komt te staan. ik weet dat p ook p/1 is...quote:
[..]
Je struikelt over een stukje brugklasalgebra:
Als je
kwadrateert, dan heb je
en als je deze breuk nog met p vermenigvuldigt, dan verdwijnt één van de twee factoren p uit de noemer en heb je dus inderdaad
De uitwerking kan trouwens veel eenvoudiger als je weet dat de grafiek van
een parabool is met als top het punt met de coördinaten
waarbij
de discriminant is van de kwadratische veelterm.
Je hebt kennelijk nooit leren rekenen met breuken. Na vermenigvuldiging met p = p/1 hebben teller en noemer van de resulterende breuk een factor p gemeen, en kun je de breuk dus vereenvoudigen door teller en noemer van de breuk door p te delen. Daardoor verdwijnt de factor p weer uit de teller en verdwijnt tevens één van de beide factoren p uit de noemer.quote:
[..]
Hmm bedankt voor je uitleg maar ik snap niet waarom je (p-4)^2 / 4p^2 vermenigvuldigt met p en dan die factor van p verdwijnt en er dus 4p komt te staan. ik weet dat p ook p/1 is...
quote:
[..]
Je hebt kennelijk nooit leren rekenen met breuken. Na vermenigvuldiging met p = p/1 hebben teller en noemer van de resulterende breuk een factor p gemeen, en kun je de breuk dus vereenvoudigen door teller en noemer van de breuk door p te delen. Daardoor verdwijnt de factor p weer uit de teller en verdwijnt tevens één van de beide factoren p uit de noemer.
Dus als ik het goed begrepen heb vermenigvuldig je gewoon de hele breuk met p en deel je het daarna door p zodat je de oorspronkelijke breuk weer terug hebt gekregen en je van de p * voor de breuk kwijt bent?
Edit: wacht wat ik net zei klopt sowieso niet.
Nou nee, je verwoordt het niet goed. Ik schijf het even uit met wat meer tussenstappen:quote:
[..]
Dus als ik het goed begrepen heb vermenigvuldig je gewoon de hele breuk met p en deel je het daarna door p zodat je de oorspronkelijke breuk weer terug hebt gekregen en je van de p * voor de breuk kwijt bent?
Meestal als ik een bewijs zie kom ik er gewoon helemaal niet uit, ik probeer van alles maar mis gewoon de laatste stap om het bewijs op te lossen. Aan het begrip van de stof ligt het niet, zodra ik hoor hoe het moet kan ik het met gemak opnieuw maken.
Heeft iemand hier een tip hoe ik die bewijzen kan oplossen op mijn aankomende herkansing?
Meer oefenen.quote:
Ik heb een vraagje over het bewijzen van stellingen, wat mijn grote zwakte is bij de wiskunde. Een paar weken geleden had ik hier een SE over, wat ik dus compleet heb verpest.
Meestal als ik een bewijs zie kom ik er gewoon helemaal niet uit, ik probeer van alles maar mis gewoon de laatste stap om het bewijs op te lossen. Aan het begrip van de stof ligt het niet, zodra ik hoor hoe het moet kan ik het met gemak opnieuw maken.
Heeft iemand hier een tip hoe ik die bewijzen kan oplossen op mijn aankomende herkansing?
Sharelatex.comquote:
Ik ben druk aan mijn profielwerkstuk misleidende statistiek bezig, maar ik loop nu tegen het probleem aan dat mijn MathType trial verlopen is. Heeft er iemand misschien een goed alternatief of oplossing voor me? Dat zou geweldig zijn!
Het kost je wat moeite om latex syntax te leren, maar de mogelijkheden zijn eindeloos. Je kan er ook tegelijkertijd aan werken met een PWS-partner. Je hoeft niks te installeren. Je hebt toegang op iedere PC. Wat wil je nog meer
. Ik heb niet eens Word of een LaTeX editor op mijn computer .Dankjewel! Maar de Syntax leren heb ik geen tijd/zin in nu. Ik vond MathType fijn omdat ik dan (a) een fijnere en betere vergelijkingseditor in Word heb, met wat vooraf ingestelde formules en (b) het kan converteren voor hier op Fok! Ben nu toch al in Word bezig, omdat ik daar automatische bronnen en inhoudsopgave kan doen.quote:
In ieder geval, in het kader van mijn profielwerkstuk. Ik kwam de centrale limietstelling tegen. Is het bewijs hiervan te begrijpen en is er ergens helder iets over te vinden? Het ligt een een beetje buiten mijn onderwerp (misleidende statistiek), maar 'k dacht eraan om het als appendix op te nemen ofzoiets.
Doe ik er dan verstandig aan om de regels van l'hopital te kennen?quote:• Afgeleiden van rationale functies (met graad van teller en noemer ten hoogste 4),
irrationale functies van de vorm
met
reële getallen, en van goniometrische, exponentiële en logaritmische functies met
beperkte moeilijkheidsgraad.
• Verloop van de in a) vermelde types van functies:
domein
tekenverloop
stijgen en dalen
extrema
asymptotisch gedrag
buigpunten
• Gebruik van de eerste en tweede afgeleide om deze kenmerken te onderzoeken.
• Bepaalde en onbepaalde integralen van veeltermfuncties, goniometrische functies,
exponentiële en logaritmische functies
• Berekenen van oppervlakte aan de hand van een bepaalde integraal
Nee. De Regel van l'Hospital zegt iets over de limiet van een quotiënt van functies in bepaalde gevallen.quote:
Als men aan dit denkt:
[..]
Doe ik er dan verstandig aan om de regels van l'hopital te kennen?
Lijkt me vrij pittig voor een profielwerkstuk. Probeer eerst maar eens de precieze formulering van de stelling te begrijpen.quote:
[..]
In ieder geval, in het kader van mijn profielwerkstuk. Ik kwam de centrale limietstelling tegen. Is het bewijs hiervan te begrijpen en is er ergens helder iets over te vinden? Het ligt een een beetje buiten mijn onderwerp (misleidende statistiek), maar 'k dacht eraan om het als appendix op te nemen ofzoiets.
In LaTeX heb je ook een automatische inhoudsopgave en functies om met bronnen om te gaan. Maar ik kan me voorstellen dat je er geen tijd voor hebt. Voordat je het goed onder de knie hebt ben je wel even bezig, maar als je later iets met wiskunde gaat doen zal je er wel veel profijt van hebben.quote:
[..]
Dankjewel! Maar de Syntax leren heb ik geen tijd/zin in nu. Ik vond MathType fijn omdat ik dan (a) een fijnere en betere vergelijkingseditor in Word heb, met wat vooraf ingestelde formules en (b) het kan converteren voor hier op Fok! Ben nu toch al in Word bezig, omdat ik daar automatische bronnen en inhoudsopgave kan doen.
In ieder geval, in het kader van mijn profielwerkstuk. Ik kwam de centrale limietstelling tegen. Is het bewijs hiervan te begrijpen en is er ergens helder iets over te vinden? Het ligt een een beetje buiten mijn onderwerp (misleidende statistiek), maar 'k dacht eraan om het als appendix op te nemen ofzoiets.
Wat betreft de CLT, dat is inderdaad lastig met alleen middelbare-schoolkennis. Voor de meest simpele versie van de CLT heb je volgens mij al de karakteristieke functie van een normale verdeling en een Taylorbenaderingen nodig. Aan de andere kant, als je wel de juiste voorkennis hebt dan is het bewijs vrij eenvoudig.
Dankje!quote:
[..]
Nee. De Regel van l'Hospital zegt iets over de limiet van een quotiënt van functies in bepaalde gevallen.
Die formulering, daar ben ik natuurlijk óók naar op zoek. Heeft iemand een heldere pagina of dictaat dat hierover gaat? Het is meer uit interesse dan om het daadwerkelijk een belangrijk onderdeel te laten zijn. Misschien neem ik het op in een appendix.quote:
[..]
Lijkt me vrij pittig voor een profielwerkstuk. Probeer eerst maar eens de precieze formulering van de stelling te begrijpen.
Later iets met wiskunde zit er wel in (studie), maar voor dat profielwerkstuk heb ik nu gewoon geen tijd ervoor om het te leren. Alles in Word staat nét zo goed afgesteld. Misschien dat ik me er erna eens in ga verdiepen, bedankt voor de tip!quote:
[..]
In LaTeX heb je ook een automatische inhoudsopgave en functies om met bronnen om te gaan. Maar ik kan me voorstellen dat je er geen tijd voor hebt. Voordat je het goed onder de knie hebt ben je wel even bezig, maar als je later iets met wiskunde gaat doen zal je er wel veel profijt van hebben.
Wat betreft de CLT, dat is inderdaad lastig met alleen middelbare-schoolkennis. Voor de meest simpele versie van de CLT heb je volgens mij al de karakteristieke functie van een normale verdeling en een Taylorbenaderingen nodig. Aan de andere kant, als je wel de juiste voorkennis hebt dan is het bewijs vrij eenvoudig.
Klinkt ingewikkeld, maar wel interessant! Van Taylorreeksen heb ik al wel wat gehoord en de functie voor de normale verdeling in termen van mu, sigma en x heb ik al. Ik ben wel bereid om de kennis wat uit te bereiden, uit interesse. Dan gaat mijn begeleider misschien niet huilen dat mijn profielwerkstuk te weinig wiskunde bevat. Hij houdt niet zo van statistiek, dus mijn onderwerp is geweldig gekozen!
En ik heb een formule gekregen om de hoek β te berekenen, namelijk:
Deze heb ik vereenvoudigd tot (aangezien in dit geval geldt dat de lengte e nul is):
Maar nu vraag ik mij af waarom deze formule klopt, ik heb zelf al een aantal dingen geprobeerd maar ik kom er telkens niet uit..
Iemand die mij een stap de goede richting in kan sturen?
Ik denk dat jij de kansdichtheidsfunctie (probability density function, pdf) bedoelt van de normale verdeling. Een karakteristieke functie is weer wat anders. Het is de verwachtingswaarde van een e-macht van de stochast (zie Wikipedia). Er is een stelling die zegt dat iedere verdeling een unieke karakteristieke functie heeft. Als je dus kan bewijzen dat de karakteristieke functie van de gestandaardiseerde stochasten (dus schuiven en schalen van de verdeling zodat gemiddelde 0 wordt en standaard deviatie 1) convergeert naar de karakteristieke functie van de standaard normale verdeling, dan bewijs je daarmee dus de CLT.quote:
[..]
Die formulering, daar ben ik natuurlijk óók naar op zoek. Heeft iemand een heldere pagina of dictaat dat hierover gaat? Het is meer uit interesse dan om het daadwerkelijk een belangrijk onderdeel te laten zijn. Misschien neem ik het op in een appendix.
[..]
Later iets met wiskunde zit er wel in (studie), maar voor dat profielwerkstuk heb ik nu gewoon geen tijd ervoor om het te leren. Alles in Word staat nét zo goed afgesteld. Misschien dat ik me er erna eens in ga verdiepen, bedankt voor de tip!
Klinkt ingewikkeld, maar wel interessant! Van Taylorreeksen heb ik al wel wat gehoord en de functie voor de normale verdeling in termen van mu, sigma en x heb ik al. Ik ben wel bereid om de kennis wat uit te bereiden, uit interesse. Dan gaat mijn begeleider misschien niet huilen dat mijn profielwerkstuk te weinig wiskunde bevat. Hij houdt niet zo van statistiek, dus mijn onderwerp is geweldig gekozen!
Als je het echt interessant vindt kan je hier zo'n beetje je hele PWS over schrijven. Het is niet iets wat je even in een half A4tje kunt uitleggen als je zonder voorkennis begint.
Inderdaad interessant, maar als het zo uitgebreid wordt, laat ik het opnemen ervan maar achterwege. Dankjewel! Ik moet al op gaan passen dat het niet té dik gaat worden. Heeft iemand ergens een goeie bron over de CLT? Ik moet er toch naar gaan verwijzen (reden dat metingen van grootheden, gebaseerd op veel variabelen, normaal verdeeld zijn), zonder het zelf helemaal te begrijpen en te bewijzen dan maar. Lijkt me ook interessant om te lezen.quote:
[..]
Ik denk dat jij de kansdichtheidsfunctie (probability density function, pdf) bedoelt van de normale verdeling. Een karakteristieke functie is weer wat anders. Het is de verwachtingswaarde van een e-macht van de stochast (zie Wikipedia). Er is een stelling die zegt dat iedere verdeling een unieke karakteristieke functie heeft. Als je dus kan bewijzen dat de karakteristieke functie van de gestandaardiseerde stochasten (dus schuiven en schalen van de verdeling zodat gemiddelde 0 wordt en standaard deviatie 1) convergeert naar de karakteristieke functie van de standaard normale verdeling, dan bewijs je daarmee dus de CLT.
Als je het echt interessant vindt kan je hier zo'n beetje je hele PWS over schrijven. Het is niet iets wat je even in een half A4tje kunt uitleggen als je zonder voorkennis begint.
Zojuist mezelf ingeschreven voor Wiskunde aan de UU. Hoera!
Je formule klopt niet, die heb je kennelijk verkeerd overgenomen: daar waar je o hebt staan moet a staan.quote:
Ik heb onderstaand figuur (versimpelde weergave v/d werkelijkheid):
[ afbeelding ]
En ik heb een formule gekregen om de hoek β te berekenen, namelijk:
Deze heb ik vereenvoudigd tot (aangezien in dit geval geldt dat de lengte e nul is):
Maar nu vraag ik mij af waarom deze formule klopt, ik heb zelf al een aantal dingen geprobeerd maar ik kom er telkens niet uit..
Heel eenvoudig: pas de cosinusregel toe in je scheefhoekige driehoek en gebruik de stelling van Pythagoras voor de hypotenusa van de rechthoekige driehoek, dan heb jequote:Iemand die mij een stap de goede richting in kan sturen?
c2 = b2 + (a2 + d2) - 2b·√(a2 + d2)·cos β
Als je een goede bron voor de CLT zoekt, dan voldoet bijna ieder boek waarbij de woorden "Introduction" en "probability" of "statistics" in de titel voorkomenquote:
[..]
Inderdaad interessant, maar als het zo uitgebreid wordt, laat ik het opnemen ervan maar achterwege. Dankjewel! Ik moet al op gaan passen dat het niet té dik gaat worden. Heeft iemand ergens een goeie bron over de CLT? Ik moet er toch naar gaan verwijzen (reden dat metingen van grootheden, gebaseerd op veel variabelen, normaal verdeeld zijn), zonder het zelf helemaal te begrijpen en te bewijzen dan maar. Lijkt me ook interessant om te lezen.
Zojuist mezelf ingeschreven voor Wiskunde aan de UU. Hoera!
. Wiskunde aan de UU is een goede keuze
.Oh ja, in mijn tekening heb ik in plaats van een o een a gebruikt en ben dit vervolgens vergeten aan te passen.quote:
Je formule klopt niet, die heb je kennelijk verkeerd overgenomen: daar waar je o hebt staan moet a staan.
Aah, natuurlijk. Ik dacht weer eens te moeilijk.quote:Heel eenvoudig: pas de cosinusregel toe in je scheefhoekige driehoek en gebruik de stelling van Pythagoras voor de hypotenusa van de rechthoekige driehoek, dan heb je
c2 = b2 + (a2 + d2) - 2b·√(a2 + d2)·cos β
Bedankt!
Schrijf de matrix op in elementen en werk uit wat er komt uit de producten Ae1 etc. Dan zie je zo wat de matrix is.quote:
Kan iemand mij hiermee op weg helpen?
[ afbeelding ]
Ja, dat lukt me wel, maar krijg die t waarde niet uitgerekend op de en of andere manier.quote:
[..]
Schrijf de matrix op in elementen en werk uit wat er komt uit de producten Ae1 etc. Dan zie je zo wat de matrix is.
Je weet dat in het algemeen moet gelden voor eigenwaarden:quote:
[..]
Ja, dat lukt me wel, maar krijg die t waarde niet uitgerekend op de en of andere manier.
det(A-E*1) = 0 (met 1 de identiteitsmatrix en E de eigenwaarde).
Je weet nu dat 0 een eigenwaarde is.
Wat kun je daar dan uit afleiden?
Ik heb twee datasets zoals hierboven. Nu wil ik op beide een curve fitten waaruit ik een tijdschaal kan halen. Die tijdschaal wil ik dan gaan vergelijken. Een directe exponentiële curve hierop fitten is alleen niet direct mogelijk. Hebben jullie enig advies hoe ik het kan aanpakken?
Je hebt voor elk van beide curves iets alsquote:
[ afbeelding ]
Ik heb twee datasets zoals hierboven. Nu wil ik op beide een curve fitten waaruit ik een tijdschaal kan halen. Die tijdschaal wil ik dan gaan vergelijken. Een directe exponentiële curve hierop fitten is alleen niet direct mogelijk. Hebben jullie enig advies hoe ik het kan aanpakken?
y(t) = a + (b − a)·e−ct
Je zou dan a en b kunnen schatten en vervolgens een best fit voor c en daarmee voor de tijdconstante τ = 1/c kunnen zoeken, maar of dat de beste aanpak is hangt af van de eventuele hulpmiddelen (software) waarover je kunt beschikken, daar zeg je namelijk niets over. Zo te zien naderen beide curves asymptotisch tot ca. 3,25, dus dan heb je voor je beide curves a ≈ 3,25. Voor de blauwe curve is dan verder b ≈ 0,5 en voor de rode b ≈ 5,5.
Laat zien:
Ik heb werkelijk waar geen idee hoe ik hieraan moet beginnen. Ik denk dat ik moet laten zien dat f(x) sowieso begrensd is naar boven, maar ik heb zo 1,2,3 geen idee hoe ik hieraan moet beginnen. Tipje, iemand?
Eerste hint dan maar: wat kun je vertellen over een reële functie die continu is op een gesloten interval?quote:
Zijcontinu, f(0) = 1 en
en
Laat zien:
Ik heb werkelijk waar geen idee hoe ik hieraan moet beginnen. Ik denk dat ik moet laten zien dat f(x) sowieso begrensd is naar boven, maar ik heb zo 1,2,3 geen idee hoe ik hieraan moet beginnen. Tipje, iemand?
Deze bereikt een maximale en een minimale waarde. Dat zal wel het hele idee van die opgave zijn.quote:
[..]
Eerste hint dan maar: wat kun je vertellen over een reële functie die continu is op een gesloten interval?
Ik moet ook in termen van rijen denken, wellicht mis ik hier iets. Ik wil inderdaad de stelling van een maximum/minimum gebruiken op een gesloten interval voor een reële, continu functie.
[ Bericht 1% gewijzigd door #ANONIEM op 08-12-2013 21:27:21 ]
Rijen lijken me niet nodig. Hint: Op een gegeven moment is de functie buiten het gesloten interval bevat in [-epsilon, +epsilon]. Leuke opgave, ik kende deze nog niet.quote:
[..]
Deze bereikt een maximale en een minimale waarde. Dat zal wel het hele idee van die opgave zijn.
Ik moet ook in termen van rijen denken, wellicht mis ik hier iets. Ik wil inderdaad de stelling van een maximum/minimum gebruiken op een gesloten interval voor een reële, continu functie.
Aaaah, ik zie het. Doordat f(0) = 1 > 0 kan ik 2 limietdefinities uitschrijven en zo een gesloten interval maken.quote:
[..]
Rijen lijken me niet nodig. Hint: Op een gegeven moment is de functie buiten het gesloten interval bevat in [-epsilon, +epsilon]. Leuke opgave, ik kende deze nog niet.
Het rigoreus opschrijven vergt nog wel wat inspanningquote:
[..]
Aaaah, ik zie het. Doordat f(0) = 1 > 0 kan ik 2 limietdefinities uitschrijven en zo een gesloten interval maken.
.Ja, maar ik begrijp het idee. Doordat die limiet bestaat is er dus een x* en een x" zodat |f(x)| < 1 voor alle x kleiner gelijk x* en voor alle x groter gelijk x", en dus omdat f(0) = 1 > 0 kan ik dus het gesloten interval [x*, x"] beschouwen en hierop de extremumstelling van Weierstrass toepassen, omdat alles buiten dit interval toch kleiner is dan f(0) = 1.quote:
[..]
Het rigoreus opschrijven vergt nog wel wat inspanning
Ik denk dat ik ook moet vermelden dat 0 een element uit dat interval is, maar in principe spreekt dat voor zich.
[ Bericht 1% gewijzigd door #ANONIEM op 09-12-2013 07:39:30 ]
Bedankt! Qua software heb ik MATLAB tot mijn beschikking met veel toolboxes. Had het al geprobeerd met de Curve Fitting toolbox, maar die werkte niet mee. Zal zo eens kijken naar jouw handmatige methode. Of heeft MATLAB daar ook een geschikte functie voor?quote:
[..]
Je hebt voor elk van beide curves iets als
y(t) = a + (b − a)·e−ct
Je zou dan a en b kunnen schatten en vervolgens een best fit voor c en daarmee voor de tijdconstante τ = 1/c kunnen zoeken, maar of dat de beste aanpak is hangt af van de eventuele hulpmiddelen (software) waarover je kunt beschikken, daar zeg je namelijk niets over. Zo te zien naderen beide curves asymptotisch tot ca. 3,25, dus dan heb je voor je beide curves a ≈ 3,25. Voor de blauwe curve is dan verder b ≈ 0,5 en voor de rode b ≈ 5,5.
Handmatig is helemaal niet zo moeilijk. Ik had al geschatte waarden voor a en b gegeven. Uitquote:
[..]
Bedankt! Qua software heb ik MATLAB tot mijn beschikking met veel toolboxes. Had het al geprobeerd met de Curve Fitting toolbox, maar die werkte niet mee. Zal zo eens kijken naar jouw handmatige methode. Of heeft MATLAB daar ook een geschikte functie voor?
volgt
Voor de blauwe curve nemen we a = 3,25, b = 0,5 en lezen we uit de grafiek af dat y(150) = 2, en dat geeft dus c = (1/150)·ln(−2,75/−1,25) ≈ 0,00526 en daarmee τ ≈ 190 sec.
Voor de rode curve nemen we a = 3,25, b = 5,5 en lezen we uit de grafiek af dat y(200) = 4, en dat geeft dus c = (1/200)·ln(2,25/0,75) ≈ 0,00549 en daarmee τ ≈ 182 sec.
De (geschatte) tijdconstantes liggen dicht bij elkaar, en dat is ook niet zo vreemd, want de curves zijn vrijwel elkaars spiegelbeeld in hun gemeenschappelijke horizontale asymptoot.
Als je de meetwaarden in numerieke vorm hebt, dan kun je uiteraard een betere fit krijgen dan je alleen uit de grafiek kunt afleiden. Wil je dat doen met Matlab, kijk dan eens hier.
Heel goedquote:
[..]
Ja, maar ik begrijp het idee. Doordat die limiet bestaat is er dus een x* en een x" zodat |f(x)| < 1 voor alle x kleiner gelijk x* en voor alle x groter gelijk x", en dus omdat f(0) = 1 > 0 kan ik dus het gesloten interval [x*, x"] beschouwen en hierop de extremumstelling van Weierstrass toepassen, omdat alles buiten dit interval toch kleiner is dan f(0) = 1.
Ik denk dat ik ook moet vermelden dat 0 een element uit dat interval is, maar in principe spreekt dat voor zich.
.Nogmaals bedankt!quote:
[..]
Handmatig is helemaal niet zo moeilijk. Ik had al geschatte waarden voor a en b gegeven. Uit
volgt
Voor de blauwe curve nemen we a = 3,25, b = 0,5 en lezen we uit de grafiek af dat y(150) = 2, en dat geeft dus c = (1/150)·ln(−2,75/−1,25) ≈ 0,00526 en daarmee τ ≈ 190 sec.
Voor de rode curve nemen we a = 3,25, b = 5,5 en lezen we uit de grafiek af dat y(200) = 4, en dat geeft dus c = (1/200)·ln(2,25/0,75) ≈ 0,00549 en daarmee τ ≈ 182 sec.
De (geschatte) tijdconstantes liggen dicht bij elkaar, en dat is ook niet zo vreemd, want de curves zijn vrijwel elkaars spiegelbeeld in hun gemeenschappelijke horizontale asymptoot.
Als je de meetwaarden in numerieke vorm hebt, dan kun je uiteraard een betere fit krijgen dan je alleen uit de grafiek kunt afleiden. Wil je dat doen met Matlab, kijk dan eens hier.
Heb besloten om het zelf te programmeren, omdat je dan alles goed kan zien en aanpassen en vooral omdat het niet al te moeilijk is! Code voor de vorm: (met x en y de ingangsdata)
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 | for a=3:0.0005:3.5; for b=0:000.1:1; k=k+1; situation(k,:)=[a b]; c=(1./x).*log((b-a)./(y-a)); tau=c.^-1; taustd(k)=std(tau); end end idealk=find(taustd==min(taustd)) |
Het doel is overigens om te controleren of de tijdsconstantes gelijkwaardig zijn, dus vandaar!
Mij word gevraagd om het volgende te differentieren: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28sinx%29^6+%2B+%28cosx%29^6
Ik verdeel de functie in twee functies g(x) en h(x).
g'(x)=6(sinx)^5 * cosx
h'(x)= - 6(cosx)^5 * sinx
Samenvoegen geeft
6sin(x)^5 * cosx - 6(cosx)^5 * sinx
Delen door 6 geeft
sin(x)^5 * cosx - cos(x)^5 * sin x Ik zou hier een goniometrische identiteit op los kunnen laten, maar waarom zou ik.
Delen door eerst cos x en daarna sin x geeft
sin(x)^4 - cos(x)^4
Dit klopt echter niet....Of ik schrijf het op een andere manier. Ik zie werkelijk niet waar ik de mist in ga. Telkens gebruik ik goede algebra.
Je mag toch niet gewoon een term wegdelen?quote:
Ik ben aan het klunzen met een vraagstuk dat niet zo moeilijk moet zijn.
Mij word gevraagd om het volgende te differentieren: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28sinx%29^6+%2B+%28cosx%29^6
Ik verdeel de functie in twee functies g(x) en h(x).
g'(x)=6(sinx)^5 * cosx
h'(x)= - 6(cosx)^5 * sinx
Samenvoegen geeft
6sin(x)^5 * cosx - 6(cosx)^5 * sinx
Delen door 6 geeft
sin(x)^5 * cosx - cos(x)^5 * sin x Ik zou hier een goniometrische identiteit op los kunnen laten, maar waarom zou ik.
Delen door eerst cos x en daarna sin x geeft
sin(x)^4 - cos(x)^4
Dit klopt echter niet....Of ik schrijf het op een andere manier. Ik zie werkelijk niet waar ik de mist in ga. Telkens gebruik ik goede algebra.
Als je functie x^3 is, dan is je afgeleide 3*x^2. Je mag dan niet opeens een x wegstrepen, want dan heb je 3*x en dat is een heel andere functie. Je mag natuurlijk wel een x buiten de haakjes halen, zodat je x*(3x) krijgt, dat is gewoon dezelfde functie. Zo mag jij in je opgave wel gewoon 6cos(x)sin(x) buiten haakjes halen, maar deze mag je niet zomaar wegstrepen.
sin(x)^4 - cos(x)^4
vermenigvuldigen met sin(x) geeft
sin(x)^5 - cos(x)^4sin(x)
vermenigvuldigen met cos(x) geeft
sin(x)^5cos(x) - cos(x)^5sin(x)
vermenigvuldigen met 6 geeft
6sin(x)^5 * cosx - 6(cosx)^5 * sinx
Ik dacht dat ik aan het vereenvoudigen was.
Edit:
Alrac4, ik denk dat je gelijk hebt. Morgen maar even terugkijken naar deze vraagstuk, of zometeen.
6sin(x)cos(x)(sin4(x) - cos4(x)) =
6sin(x)cos(x)(sin2(x) - cos2(x))(sin2(x) + cos2(x)) =
3sin(2x) * - cos(2x) * 1 =
-1½ * sin(4x)
Differentiëren en vervolgens vereenvoudigen van het resultaat zijn twee heel verschillende bewerkingen ...quote:
Ik weet het nu even niet meer.
Ik dacht dat ik aan het vereenvoudigen was.
Je functie was
en differentiëren hiervan (met behulp van de kettingregel) geeft inderdaad
Nu kun je een factor 6·sin x·cos x buiten haakjes halen, en dat geeft
De factor tussen haakjes kunnen we nu ontbinden met behulp van het merkwaardig product a2 − b2 = (a − b)(a + b), zodat we krijgen
Maar nu weten we dat sin 2α = 2·sin α·cos α en cos 2α = cos2α − sin2α en ook is sin2x + cos2x = 1, zodat we dus krijgen
Nu zie je dat we nogmaals gebruik kunnen maken van de identiteit sin 2α = 2·sin α·cos α voor de sinus van de dubbele hoek, zodat we uiteindelijk krijgen
[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 11-12-2013 10:43:53 ]
Kan iemand mij helpen? Boek van vd craats heb ik al.f(x) = 1/ (1 + x^2)
Ik zou graag de tussenstappen ook willen zien.
Dit is een standaardprimitieve. Het blijkt dat de afgeleide van arctan(x) gelijk is aan f(x), dus als je de stappen van de afgeleide kunt volgen van F(x) (hint: denk aan de formele definitie van de afgeleide) dan weet je de primitieve functie.quote:
Als iemand even tijd heeft......Hoe zouden jullie de primitieve functie van deze functie vinden:
f(x) = 1/ (1 + x^2)
Ik zou graag de tussenstappen ook willen zien.
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 10-12-2013 16:59:21 ]
Laat zien: er is een x zodanig dat f(x) = f(x+T/2)
Ik weet dat f(x) = f(x+T) omdat f periodiek is met periode T, maar hoe ik dan aantoon dat er zo'n waarde bestaat weet ik niet.
Wederom vraag ik niet om een uitwerking, maar om een duwtje in de goede richting. Ik kom steeds uit op de tussenwaardestelling, mjah, hoe gebruik ik die?
Ik zat te denken aan een bewijs uit het ongerijmde. Stel er is géén x zodanig dat f(x) = f(x+T/2), dan is f(x) - f(x+T/2) ongelijk 0 voor alle x, maar kan ik nu al een tussenwaardestelling toepassen om te laten zien dat dit niet waar is?
Wacht wacht ik denk dat ik hem heb! Werk hem zo even uit.
[ Bericht 4% gewijzigd door #ANONIEM op 10-12-2013 18:04:51 ]
Hyperbool, zoek je dat?quote:
Bij een xy-plot kan je een (of meerdere) curve(s) trekken waarbij x*y gelijk is aan een (verschillende) constante(s), is er een naam voor die lijn(en)?
quote:SPOILERIk heb een vraagje over analyse. Zij f: R -> R, f continu op R met periode T > 0
Laat zien: er is een x zodanig dat f(x) = f(x+T/2)
Ik weet dat f(x) = f(x+T) omdat f periodiek is met periode T, maar hoe ik dan aantoon dat er zo'n waarde bestaat weet ik niet.
Wederom vraag ik niet om een uitwerking, maar om een duwtje in de goede richting. Ik kom steeds uit op de tussenwaardestelling, mjah, hoe gebruik ik die?
Ik zat te denken aan een bewijs uit het ongerijmde. Stel er is géén x zodanig dat f(x) = f(x+T/2), dan is f(x) - f(x+T/2) ongelijk 0 voor alle x, maar kan ik nu al een tussenwaardestelling toepassen om te laten zien dat dit niet waar is?
Wacht wacht ik denk dat ik hem heb! Werk hem zo even uit.
Willen jullie even verifiëren of mijn bewijs juist is?
Bewijs:
Definieer: f: R → R continu en periodiek met T>0
Definieer: g(x) = f(x) - f(x+T/2), g(x) is een verschil van 2 continu periodieke functies en is dus zelf ook periodiek en continu.
Neem aan dat er géén waarde x ∈ R bestaat zodanig dat f(x) = f(x+T/2)
dan:
(1): ∃x ∈ R: f(x) > f(x+T/2) (of andersom: analoog)
Neem nu aan dat f(x) > f(x+T/2) ∀x ∈ R
Dit kan niet, want als f(x) > f(x+T/2) ∀x ∈ R, dan f(x) > f(x+T/2) > f(x+T), en er geldt juist f(x) = f(x+T), dus: (?)
(2):: ∃x ∈ R: f(x) < f(x+T/2)
dus:
(1) ∃x1 ∈ R: ⇒ g(x) > 0
(2) ∃x2 ∈ R: ⇒ g(x) < 0
Passen we nu de tussenwaardestelling op g(x) toe dan:
∃x3 ∈ [x1, x2]: g(x3) = 0 ⇒ f(x3) - f(x3+T/2) = 0 ⇒ f(x3) = f(x3+T/2) en het gevraagde volgt.
Ik heb ergens een (?) bij geplaatst. Dit formuleren vind ik nogal lastig, wellicht maak ik hier een fout. Kan iemand me dan vertellen hoe ik dat wel goed opschrijf?
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 10-12-2013 19:06:22 ]
Substitueer x=tan(x)quote:
Als iemand even tijd heeft......Hoe zouden jullie de primitieve functie van deze functie vinden:
f(x) = 1/ (1 + x^2)
Ik zou graag de tussenstappen ook willen zien.
Ik neem aan dat je met (1) en (2) bedoelt geval 1 en geval 2. Wel raar dat je binnen geval (1) je aanname opeens verruimt naar "voor alle x" ipv "er bestaat een x".quote:
[..]
[ afbeelding ]
Willen jullie even verifiëren of mijn bewijs juist is?
Bewijs:
Definieer: f: R → R continu en periodiek met T>0
Definieer: g(x) = f(x) - f(x+T/2), g(x) is een verschil van 2 continu periodieke functies en is dus zelf ook periodiek en continu.
Neem aan dat er géén waarde x ∈ R bestaat zodanig dat f(x) = f(x+T/2)
dan:
(1): ∃x ∈ R: f(x) > f(x+T/2) (of andersom: analoog)
Neem nu aan dat f(x) > f(x+T/2) ∀x ∈ R
Dit kan niet, want als f(x) > f(x+T/2) ∀x ∈ R, dan f(x) > f(x+T/2) > f(x+T), en er geldt juist f(x) = f(x+T), dus: (?)
(2):: ∃x ∈ R: f(x) < f(x+T/2)
dus:
(1) ∃x1 ∈ R: ⇒ g(x) > 0
(2) ∃x2 ∈ R: ⇒ g(x) < 0
Passen we nu de tussenwaardestelling op g(x) toe dan:
∃x3 ∈ [x1, x2]: g(x3) = 0 ⇒ f(x3) - f(x3+T/2) = 0 ⇒ f(x3) = f(x3+T/2) en het gevraagde volgt.
Ik heb ergens een (?) bij geplaatst. Dit formuleren vind ik nogal lastig, wellicht maak ik hier een fout. Kan iemand me dan vertellen hoe ik dat wel goed opschrijf?
Dus nogal vaag opgeschreven, maar er zitten wel juiste ideeën in.
Dit mag natuurlijk nooit. x = tan(x) is een relatie waarbij x = tan(x) voor alle x in het domein. En dat is niet het geval voor R...quote:
[ Bericht 6% gewijzigd door #ANONIEM op 10-12-2013 20:34:01 ]
Betere notatie is inderdaad x=tan(y) ofquote:
[..]
Dit mag natuurlijk nooit. x = tan(x) is een relatie waarbij x = tan(x) voor alle x in het domein. Nou, dan beperk je je domein tot 0, en dat is natuurlijk niet wenselijk.
Maar het punt van de poster lijkt me duidelijk
.Jazeker. Ik neem aan dat f(x) > f(x+T/2) voor alle x, en wil laten zien dat dit niet kan, zodat er een x bestaat waarvoor f(x) < f(x+T/2). Maar hoe laat ik dat netjes zien?quote:
[..]
Ik neem aan dat je met (1) en (2) bedoelt geval 1 en geval 2. Wel raar dat je binnen geval (1) je aanname opeens verruimt naar "voor alle x" ipv "er bestaat een x".
Dus nogal vaag opgeschreven, maar er zitten wel juiste ideeën in.
Inderdaad. Dan krijg je inderdaad een uitdrukking die je wel kunt integreren. Wilde even dat hij het zelf zou zien.quote:
[..]
Betere notatie is inderdaad x=tan(y) of
Maar het punt van de poster lijkt me duidelijk
[ Bericht 36% gewijzigd door #ANONIEM op 10-12-2013 20:31:35 ]
Dat heb je toch ook gedaan (alleen dan dat f(x) <= f(x+T/2)) ?quote:
[..]
Jazeker. Ik neem aan dat f(x) > f(x+T/2) voor alle x, en wil laten zien dat dit niet kan, zodat er een x bestaat waarvoor f(x) < f(x+T/2). Maar hoe laat ik dat netjes zien?
Je laat zien "niet voor alle x geldt f(x) > f(x+T/2)" en dus "er bestaat een x zodat f(x) <= f(x+T/2)".
Ja dat komt op hetzelfde neer. Mijn vraag is of die redenering juist is. Onze instructeur kijkt nogal streng na, en dit is een inleveropgave voor het van Analyse I. Vandaar dat ik het even goed op wil schrijven. En jazeker, ik heb dit helemaal zelf verzonnen. Ik moest denken aan die post waar ik ook zo'n probleem met de tussenwaardestelling had.quote:
[..]
Dat heb je toch ook gedaan (alleen dan dat f(x) <= f(x+T/2)) ?
Je laat zien "niet voor alle x geldt f(x) > f(x+T/2)" en dus "er bestaat een x zodat f(x) <= f(x+T/2)".
Dat stukje van de redenering is goed. Maar de bewijsstructuur is niet goed of op zijn minst rommelig. Kijk daar nog eens naar.quote:
[..]
Ja dat komt op hetzelfde neer. Mijn vraag is of die redenering juist is. Onze instructeur kijkt nogal streng na, en dit is een inleveropgave voor het van Analyse I. Vandaar dat ik het even goed op wil schrijven. En jazeker, ik heb dit helemaal zelf verzonnen. Ik moest denken aan die post waar ik ook zo'n probleem met de tussenwaardestelling had.
En is een verschil van periodieke functies wel altijd periodiek? Neem een functie met periode 1 en één met periode pi. Wat is de periode van het verschil?
Je maakt het veel te moeilijk. Je kunt gemakkelijk laten zien dat voor jouw functie g(x) geldtquote:
[..]
Ja dat komt op hetzelfde neer. Mijn vraag is of die redenering juist is. Onze instructeur kijkt nogal streng na, en dit is een inleveropgave voor het van Analyse I. Vandaar dat ik het even goed op wil schrijven. En jazeker, ik heb dit helemaal zelf verzonnen. Ik moest denken aan die post waar ik ook zo'n probleem met de tussenwaardestelling had.
g(T/2) = −g(0)
Als g(0) = 0 dan is er niets meer te bewijzen, dus veronderstel g(0) ≠ 0. Dan hebben g(0) en g(T/2) een tegengesteld teken, en is er dus volgens de tussenwaardestelling een ξ ∈ (0, T/2) zodanig dat g(ξ) = 0 en daarmee f(ξ) = f(ξ + T/2), QED.
Het maakt eigenlijk ook geen fluit of g(x) periodiek is. Doet niet eens ter zake.quote:
[..]
Dat stukje van de redenering is goed. Maar de bewijsstructuur is niet goed of op zijn minst rommelig. Kijk daar nog eens naar.
En is een verschil van periodieke functies wel altijd periodiek? Neem een functie met periode 1 en één met periode pi. Wat is de periode van het verschil?
Crap, je bent echt een genie.quote:
[..]
Je maakt het veel te moeilijk. Je kunt gemakkelijk laten zien dat voor jouw functie g(x) geldt
g(T/2) = −g(0)
Als g(0) = 0 dan is er niets meer te bewijzen, dus veronderstel g(0) ≠ 0. Dan hebben g(0) en g(T/2) een tegengesteld teken, en is er dus volgens de tussenwaardestelling een ξ ∈ (0, T/2) zodanig dat g(ξ) = 0 en daarmee f(ξ) = f(ξ + T/2), QED.
[ Bericht 4% gewijzigd door #ANONIEM op 10-12-2013 22:03:47 ]
En opmerking vooraf: je kunt niet spreken van de primitieve van een functie, omdat een primitieve altijd slechts tot op een constante is bepaald: als F(x) een primitieve is van f(x), dan is G(x) = F(x) + C met een willekeurige constante C eveneens een primitieve van f(x), omdat de afgeleide van een constante immers nul is en je dus ook hebt G'(x) = F'(x) + 0 = f(x).quote:
Als iemand even tijd heeft......Hoe zouden jullie de primitieve functie van deze functie vinden:
f(x) = 1/ (1 + x^2)
Ik zou graag de tussenstappen ook willen zien.
Je hebt
Dit is een standaardintegraal, een primitieve van f(x) = 1/(1 + x2) is F(x) = arctan x oftewel de inverse van de tangens functie. Let op dat men de inversen van de goniometrische functies in Vlaanderen meestal noteert met het prefix bg voor 'boog' en dus niet met het prefix arc voor 'arcus' (Latijn voor 'boog').
Om te begrijpen hoe dit zit moet je eerst weten wat de afgeleide is van de tangens functie en hoe het verband is tussen de afgeleiden van twee functies die elkaars inverse zijn. Als je hebt
g(x) = tan x
dan is
g'(x) = 1 + tan2x
Ga dit na door te schrijven g(x) = sin x / cos x, en dan gebruik te maken van de quotiëntregel om g'(x) te bepalen. De afgeleide van de tangens functie is ook nog op een andere manier te schrijven, namelijk
g'(x) = 1 / cos2x
en aangezien de secans de multplicatieve inverse is van de cosinus, zou je hiervoor ook nog kunnen schrijven
g'(x) = sec2x
maar dit laatste wordt nog maar zelden gedaan.
Heb je twee functies f en g dan kun je ook een samengestelde functie h maken, waarbij je als het ware de 'output' van de eerste functie f weer gebruikt als 'input' voor de tweede functie g, zodat je dus hebt
h(x) = g(f(x))
Zoals bekend vertelt de kettingregel je dan hoe je de afgeleide kunt bepalen van deze samengestelde functie, als je tenminste al weet hoe je de afgeleiden van f en g bepaalt:
h'(x) = g'(f(x))·f'(x)
Maar stel nu eens dat f en g elkaars inverse zijn. Dan doet g weer teniet wat f heeft bewerkstelligd, dus als we de 'output' van f in g stoppen als 'input', dan geeft g weer de oorspronkelijke 'input' x van f terug, dus
g(f(x)) = x
Maar dan is dus h(x) = g(f(x)) = x, zodat h'(x) = 1 moet zijn. Maar we weten dat volgens de kettingregel h'(x) = g'(f(x))·f'(x), en dus hebben we nu
g'(f(x))·f'(x) = 1
zodat
f'(x) = 1 / g'(f(x))
Welnu, stel dat f(x) = arctan x en g(x) = tan x, dan weten we al dat
g'(x) = 1 + tan2x = 1 + (g(x))2
zodat
g'(f(x)) = 1 + (g(f(x)))2 = 1 + x2
en dus hebben we
f'(x) = 1 / g'(f(x)) = 1/(1 + x2)
De afgeleide van f(x) = arctan x is dus inderdaad f'(x) = 1/(1 + x2), zodat arctan x een primitieve is van 1/(1 + x2).
Waar je wel op moet letten bij periodieke functies, zoals de goniometrische functies, is dat je hier niet 'zomaar' kunt spreken van een inverse functie. Immers, arctan x = θ impliceert tan θ = x, maar je mag dit niet omkeren. Uit tan θ = x volgt niet zonder meer dat arctan x = θ, omdat er voor elke reële waarde van x oneindig veel waarden van θ zijn waarvoor tan θ = x, de tangens functie is immers een periodieke functie met een periode π. Men moest dus een keuze maken en bij elke reële x één van de waarden van θ kiezen waarvoor tan θ = x. De afspraak is dat men dan de waarde van θ (uitgedrukt in radialen) op het interval (−π/2, π/2) kiest. Met arctan x bedoelen we dus de (unieke) waarde van θ (in radialen) op het interval (−π/2, π/2) waarvoor tan θ = x. Zo heb je bijvoorbeeld arctan(1) = π/4 omdat tan(π/4) = 1 en omdat π/4 de enige waarde is op het interval (−π/2, π/2) waarvan de tangens gelijk is aan 1.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 12-12-2013 02:23:57 ]
Nee, ik bedoel een naam voor specifiek de curve die ik omschrijf. Zoiets (met z als constante):quote:
Kan goed zijn dat er geen naam voor bestaat hoor
.[ Bericht 1% gewijzigd door #ANONIEM op 10-12-2013 23:49:21 ]
Exponentiële functie?quote:
[..]
Nee, ik bedoel een naam voor specifiek de curve die ik omschrijf. Zoiets: [ afbeelding ]
Kan goed zijn dat er geen naam voor bestaat hoor
Nee, ik bedoel dus een naam specifiek voor deze curvequote:
. Als die bestaat, that is.[ Bericht 8% gewijzigd door #ANONIEM op 10-12-2013 23:52:13 ]
De curve in je figuur is één tak van een orthogonale hyperbool. De andere tak ligt in het derde kwadrant. Deze hyperbool heet orthogonaal omdat de asymptoten van deze hyperbool loodrecht op elkaar staan, de coördinaatassen zijn immers de asymptoten.quote:
[..]
Nee, ik bedoel dus een naam specifiek voor deze curve
Ah dat kan niet. Er is geen veelvoud van 1 wat deelbaar is door piquote:
[..]
Dat stukje van de redenering is goed. Maar de bewijsstructuur is niet goed of op zijn minst rommelig. Kijk daar nog eens naar.
En is een verschil van periodieke functies wel altijd periodiek? Neem een functie met periode 1 en één met periode pi. Wat is de periode van het verschil?
[ Bericht 95% gewijzigd door friekin_ op 11-12-2013 19:42:55 ]
2008b, opgave 2.
Ik heb een strategie om dit op te lossen, maar die gaat uit van iets, namelijk dat deze waarden correct zijn:
F(X)=1/2 x^2
f(x)=x
f''(x)=1
G(X)= -sin(x) - cos(x)
g(x)= -cos(x) + sin(x)
g'(x)= sin(x) + cos(x)
Kloppen deze waarden?
In de opgave wordt er een formule gegeven. Ik bereken rechts van de eerste formule alles voor x=pi en daar trek ik vanaf: alles rechts van de formule maar voor x=0. Klopt dat?
Edit:
Daarbij merk ik op dat voor cos(x) er geen verschil zit wat betreft een waarde x=pi en x=0, deze geven allebei uiteindelijk 1. Voor sin(x) is dat ook hetzelfde, maar dan krijg je voor de waarde x=pi en x=0 allebei uiteindelijk 0. Dat maakt de opgave wat eenvoudiger denk ik.
Ja, dit klopt, afgezien van je typo f''(x) voor f'(x), maar je hebt dit niet allemaal nodig om van de regel voor partieel integreren gebruik te kunnen maken.quote:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
2008b, opgave 2.
Ik heb een strategie om dit op te lossen, maar die gaat uit van iets, namelijk dat deze waarden correct zijn:
F(X) = 1/2 x^2
f(x) = x
f'(x) = 1
G(X) = -sin(x) - cos(x)
g(x) = -cos(x) + sin(x)
g'(x) = sin(x) + cos(x)
Kloppen deze waarden?
Ja, je past in feite de hoofdstelling van de integraalrekening toe om een bepaalde integraal te berekenen, en bij gebruik van de regel voor partieel integreren is dat niet anders. Alleen werk je de integraal dan eerst om naar een integraal waarbij je gemakkelijker een primitieve van de integrand kunt opschrijven.quote:In de opgave wordt er een formule gegeven. Ik bereken rechts van de eerste formule alles voor x=pi en daar trek ik vanaf: alles rechts van de formule maar voor x=0. Klopt dat?
De hoofdstelling van de integraalrekening zegt dat als f: [a,b] → R een functie is die continu is op [a,b] en F een primitieve is van f, dat je dan hebt
Als je uitleg wil hebben (van mij) waarom dit geldt, dan kan ik je aanbevelen dit eens goed door te nemen.
De regel voor partieel integreren is de tegenhanger van de productregel uit de differentiaalrekening. Heb je een product h(x) = f(x)g(x) van twee functies f(x) en g(x), dan is de afgeleide van het product h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x). Omgekeerd kun je dus zeggen dat f(x)g(x) een primitieve is van f'(x)g(x) + f(x)g'(x), zodat je in overeenstemming met de hoofdstelling van de integraalrekening hebt
en dus
en dus
Hierbij wordt met de notatie [f(x)g(x)]ab bedoeld de waarde van f(x)g(x) voor de bovengrens x = b verminderd met de waarde van f(x)g(x) voor de ondergrens x = a. Deze notatie wordt gebruikt bij het berekenen van bepaalde integralen omdat we dan toch eerst een primitieve opschrijven voordat we de grenzen a en b van het interval waarover we integreren in gaan vullen. In plaats van blokhaken wordt ook wel gebruik gemaakt van een enkele verticale streep rechts van de uitdrukking waarvan we de waarde voor de bovengrens x = b verminderd met de waarde voor de ondergrens x = a moeten bepalen.
Bovenstaande regel kun je nu gebruiken om bijvoorbeeld de integraal uit de opgave uit te rekenen. Maar zoals altijd is het bij gebruik van deze regel van belang dat je je functies f(x) en g(x) handig kiest. Bij deze opgave kies je f(x) = x zodat f'(x) = 1 en dan moet je g(x) zodanig kiezen dat g'(x) = sin x + cos x, zodat je g(x) = −cos x + sin x kunt nemen. Werk nu zelf de opgave verder uit.
Nee, dat klopt niet. Kijk nog eens naar de eenheidscirkel: als we het startpunt (1;0) over π radialen oftewel een halve slag tegen de klok in roteren om de oorsprong, dan komen we uit in het punt (−1;0). De cosinus van π is dus −1 en niet +1 zoals de cosinus van 0.quote:Edit:
Daarbij merk ik op dat voor cos(x) er geen verschil zit wat betreft een waarde x=pi en x=0, deze geven allebei uiteindelijk 1.
[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 12-12-2013 03:50:58 ]
quote:
[..]
Ja, dit klopt, afgezien van je typo f''(x) voor f'(x), maar je hebt dit niet allemaal nodig om van de regel voor partieel integreren gebruik te kunnen maken.
[..]
Ja, je past in feite de hoofdstelling van de integraalrekening toe om een bepaalde integraal te berekenen, en bij gebruik van de regel voor partieel integreren is dat niet anders. Alleen werk je de integraal dan eerst om naar een integraal waarbij je gemakkelijker een primitieve van de integrand kunt opschrijven.
De hoofdstelling van de integraalrekening zegt dat als f: [a,b] → R een functie is die continu is op [a,b] en F een primitieve is van f, dat je dan hebt
Als je uitleg wil hebben (van mij) waarom dit geldt, dan kan ik je aanbevelen dit eens goed door te nemen.
De regel voor partieel integreren is de tegenhanger van de productregel uit de differentiaalrekening. Heb je een product h(x) = f(x)g(x) van twee functies f(x) en g(x), dan is de afgeleide van het product h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x). Omgekeerd kun je dus zeggen dat f(x)g(x) een primitieve is van f'(x)g(x) + f(x)g'(x), zodat je in overeenstemming met de hoofdstelling van de integraalrekening hebt
en dus
en dus
Hierbij wordt met de notatie [f(x)g(x)]ab bedoeld de waarde van f(x)g(x) voor de bovengrens x = b verminderd met de waarde van f(x)g(x) voor de ondergrens x = a. Deze notatie wordt gebruikt bij het berekenen van bepaalde integralen omdat we dan toch eerst een primitieve opschrijven voordat we de grenzen a en b van het interval waarover we integreren in gaan vullen. In plaats van blokhaken wordt ook wel gebruik gemaakt van een enkele verticale streep rechts van de uitdrukking waarvan we de waarde voor de bovengrens x = b verminderd met de waarde voor de ondergrens x = a moeten bepalen.
Bovenstaande regel kun je nu gebruiken om bijvoorbeeld de integraal uit de opgave uit te rekenen. Maar zoals altijd is het bij gebruik van deze regel van belang dat je je functies f(x) en g(x) handig kiest. Bij deze opgave kies je f(x) = x zodat f'(x) = 1 en dan moet je g(x) zodanig kiezen dat g'(x) = sin x + cos x, zodat je g(x) = −cos x + sin x kunt nemen. Werk nu zelf de opgave verder uit.
[..]
Nee, dat klopt niet. Kijk nog eens naar de eenheidscirkel: als we het startpunt (1;0) over π radialen oftewel een halve slag tegen de klok in roteren om de oorsprong, dan komen we uit in het punt (−1;0). De cosinus van π is dus −1 en niet +1 zoals de cosinus van 0.
Dank u! De opgave heb ik opgelost en snap ik nu.
Ik zat te denken aan f(x) = 1/x, maar ik kan nu geen functierij vinden die convergeert naar f(x).
Wederom geen antwoord gevraagd, maar een trapje in de goede richting.
[ Bericht 3% gewijzigd door Trinitrobenzeen op 16-12-2013 13:19:49 ]
Hint: limn→∞ 1/n = 0.quote:
Zij {fn} een functierij op een deelinterval D van R, nu moet ik een voorbeeld van zo'n functierij verzinnen die puntsgewijs convergeert naar een onbegrensde functie f* waarbij alle functies fn begrensd zijn.
Ik zat te denken aan f(x) = 1/x, maar ik kan nu geen functierij vinden die convergeert naar f(x).
Wederom geen antwoord gevraagd, maar een trapje in de goede richting.
http://nl.wikipedia.org/wiki/Normale_verdelingquote:
Hoe reken je uit wat de kans is dat een de helft (200 van de 400) van een steekproef iets antwoord met antwoord X als je er vanuit gaat dat de kans op antwoord X bij een populatie 0.25 is? Dus dat het met een normale verdeling is met een gemiddelde van 0.25 en een standaardafwijking heeft van 0.022?
Klinkt ook wel als een binomiale verdeling. N = 400. P = 0,25. Je wil weten wat de kans op X = 200 is.quote:
Hoe reken je uit wat de kans is dat een de helft (200 van de 400) van een steekproef iets antwoord met antwoord X als je er vanuit gaat dat de kans op antwoord X bij een populatie 0.25 is? Dus dat het met een normale verdeling is met een gemiddelde van 0.25 en een standaardafwijking heeft van 0.022?
Dus f* = 1/x, en fn(x) = 1/x + 1/n?quote:
Voor vaste x convergeert fn dan in ieder geval naar f*, maar is fn dan begrensd voor alle n?
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 16-12-2013 18:01:33 ]
Nee. Close but no cigar zou een Amerikaan zeggen. Kies D := (0,1) dan is f(x) in ieder geval niet begrensd op D. Nu moet je nog fn(x) definiëren op D zodanig dat limn→∞ fn(x) = f(x) voor elke x ∈ D terwijl fn voor elke n ∈ N wél begrensd is op D.quote:
[..]
Dus f* = 1/x, en fn(x) = 1/x + 1/n?
Voor vaste x convergeert fn dan in ieder geval naar f*, maar is fn dan begrensd voor alle n?
Dat dacht ik al, want nabij x = 0 gaat het voor mijn 'begrensde functie' fn hard mis.quote:
[..]
Nee. Close but no cigar zou een Amerikaan zeggen. Kies D := (0,1) dan is f(x) in ieder geval niet begrensd op D. Nu moet je nog fn(x) definiëren op D zodanig dat limn→∞ fn(x) = f(x) voor elke x ∈ D terwijl fn voor elke n ∈ N wél begrensd is op D.
Ik moet hier even over nadenken. Überhaupt van de laatste 2 college's weinig begrepen, dus even de aantekeningen nog eens goed doornemen. Uniforme convergentie..
Mja ik heb uiteindelijk standardizing gebruikt (weet helaas de nederlandse term niet, doe een engelse opleiding), dus Z scores enzo uitgerekend. Weet niet of het de gewenste methode was, want er waren meerdere subvragen en bij sommigen kreeg ik erg hoge Z scores (rond de 9 en 22), waardoor P (probability) dus erg laag was. Maar bij andere subvragen waren mijn antwoorden wel logisch, dus ik weet niet zeker of ik het goed heb gedaan. Waar staat N btw voor? Is denk ik ander symbool in het engels. De formule die ik iig heb gebruikt is deze:quote:
[..]
Klinkt ook wel als een binomiale verdeling. N = 400. P = 0,25. Je wil weten wat de kans op X = 200 is.
Al is het een steekproef (en is deze formule voor een populatie), de formule blijft hetzelfde, alleen kon de steekproef formule niet vinden waarbij de sigma en mu zijn vervangen voor de juiste symbolen.SPOILER
Nu pieker ik al dagen over een van de opgaven uit het algebra-examen van 1870:
Twee koeriers A en B vertrekken op denzelfden tijd uit de steden P en Q elkander tegemoet. Aan het ontmoetingspunt gekomen, heeft A 30 kilometers meer afgelegd dan B en heeft hij nog 2 2/3 uur noodig om te Q te komen, terwijl B nog 13 1/2 uur noodig zou hebben om P te bereiken. Men vraagt den afstand P tot Q, alsmede de snelheid waarmee de koeriers gereisd hebben.
Iemand enig (eenig) idee hoe die HBS'ers van zo'n 1 1/2 eeuw geleden dit aanpakten?
4 Lineaire vergelijking met 4 onbekenden, niks moeilijks aan alleen wat veel rekenwerk als je geen rekenmachine mag gebruiken. Ik kom iig uit op een afstand van 78 km tussen P en Q en snelheid koerier A = 9km/h en B = 4km/hquote:
Ik heb bij toeval een boek "Schriftelijke opgaven van de eindexamens der Hoogere Burgerescholen" vanaf 1868 gekregen. Diep respect voor de mensen die deze vragen zonder rekenmachines beatwoorden, want sommige vragen zijn niet echt moeilijk, maar vergen flink doorrekenen. Ik ga er overigens vanuit dat men er wel tabellenboekjes bij mocht gebruiken. Het vak wiskunde beslaat meer dan de helft van het boek, want het wordt gesplitst in algebra, trigonometrie, meetkunde en beschrijvende meetkunde.
Nu pieker ik al dagen over een van de opgaven uit het algebra-examen van 1870:
Twee koeriers A en B vertrekken op denzelfden tijd uit de steden P en Q elkander tegemoet. Aan het ontmoetingspunt gekomen, heeft A 30 kilometers meer afgelegd dan B en heeft hij nog 2 2/3 uur noodig om te Q te komen, terwijl B nog 13 1/2 uur noodig zou hebben om P te bereiken. Men vraagt den afstand P tot Q, alsmede de snelheid waarmee de koeriers gereisd hebben.
Iemand enig (eenig) idee hoe die HBS'ers van zo'n 1 1/2 eeuw geleden dit aanpakten?
Is het je gelukt om de correcte vergelijkingen op te stellen?quote:
[..]
4 Lineaire vergelijking met 4 onbekenden, niks moeilijks aan alleen wat veel rekenwerk als je geen rekenmachine mag gebruiken. Ik kom iig uit op een afstand van 78 km tussen P en Q en snelheid koerier A = 9km/h en B = 4km/h
Hoe zou ik anders op een antwoord komen?quote:
[..]
Is het je gelukt om de correcte vergelijkingen op te stellen?
Deze vergelijkingen zijn het:
Vb * 13.5 = x+30
Va * 8/3 = x
Vb * t = x
Va * t = x +30
Met Va en Vb de snelheden van koerier A en B in km/h, x de afstand tussen het ontmoetingspunt en P in km, en t de tijd in uren van wanneer de koeriers vertrokken tot ze elkaar ontmoeten op het ontmoetingspunt.
De afstand tussen P en Q is dan 2x + 30 km
Je antwoord klopt. Maar dat het veel rekenwerk is of dat je vier vergelijkingen met vier onbekenden zou moeten opstellen klopt niet. Je stelsel is overigens niet lineair, want in je derde en vierde vergelijking heb je een product van twee onbekenden.quote:
[..]
4 Lineaire vergelijking met 4 onbekenden, niks moeilijks aan alleen wat veel rekenwerk als je geen rekenmachine mag gebruiken. Ik kom iig uit op een afstand van 78 km tussen P en Q en snelheid koerier A = 9km/h en B = 4km/h
Op het moment dat de koeriers elkaar ontmoeten in een punt R op de route tussen P en Q geldt dat de tot dan toe door de koeriers afgelegde afstanden zich verhouden als hun snelheden, die we a en b kunnen noemen. Aangezien koerier B dan nog 27/2 uur zal doen over het stuk RP dat A op dat moment heeft afgelegd en koerier A nog 8/3 uur zal doen over het stuk RQ dat B al heeft afgelegd geldt dan
(27/2)·b : (8/3)·a = RP : RQ = a : b
en dit levert
16a2 = 81b2
en daarmee
a : b = 9 : 4
Maar dit is tevens de verhouding van de afgelegde afstanden in het ontmoetingspunt R, zodat
PR : RQ = 9 : 4
en omdat PR = RQ + 30 geeft dit
(RQ + 30) : RQ = 9 : 4
30 : RQ = 5 : 4
RQ = 24
en dus PR = RQ + 30 = 54 en daarmee PQ = PR + RQ = 54 + 24 = 78 km. Koerier A doet nog 8/3 uur over RQ = 24 km en heeft dus een snelheid van 24·(3/8) = 9 km/h en koerier B doet nog 27/2 uur over RP = 54 km en heeft dus een snelheid 54·(2/27) = 4 km/h.
[ Bericht 3% gewijzigd door Riparius op 17-12-2013 10:35:04 ]
Ik denk zelf aan: 0.25^200 * 0.75^200.quote:
Hoe reken je uit wat de kans is dat een de helft (200 van de 400) van een steekproef iets antwoord met antwoord X als je er vanuit gaat dat de kans op antwoord X bij een populatie 0.25 is?
Je vergeet de binomiaalcoëfficiënt.quote:
[..]
Ik denk zelf aan: 0.25^200 * 0.75^200.
0.25^200 * 0.75^200. * ( 400 200)quote:
[..]
Je vergeet de binomiaalcoëfficiënt.
Klik
Bedankt allebei. Ik heb wel een heleboel met verhoudingen zitten frutten, en met vergelijkingen, maar ik raakte steeds maar de draad kwijt. Die antwoorden kloppen (die staan ook in het boek). Ik snapte alleen niet hoe ze eraan kwamen, maar nu dus wel. Ik zal eens kijken of ik met deze methode zelf opgave 1 van het examen van 1910 kan oplossen, dat is iets soortgelijks, met een voetganger en een rijtuig. (Die koeriers gingen overigens niet snel, handkar en bakfiets? En dan koudweg vertrekken voor een afstand van 78 km?)quote:
[..]
Je antwoord klopt. Maar dat het veel rekenwerk is of dat je vier vergelijkingen met vier onbekenden zou moeten opstellen klopt niet.
Op het moment dat de koeriers elkaar ontmoeten in een punt R op de route tussen P en Q geldt dat de tot dan toe door de koeriers afgelegde afstanden zich verhouden als hun snelheden, die we a en b kunnen noemen. Aangezien koerier B dan nog 27/2 uur zal doen over het stuk RP dat A op dat moment heeft afgelegd en koerier A nog 8/3 uur zal doen over het stuk RQ dat B al heeft afgelegd geldt dan
(27/2)·b : (8/3)·a = RP : RQ = a : b
en dit levert
16a2 = 81b2
en daarmee
a : b = 9 : 4
Maar dit is tevens de verhouding van de afgelegde afstanden in het ontmoetingspunt R, zodat
PR : RQ = 9 : 4
en omdat PR = RQ + 30 geeft dit
(RQ + 30) : RQ = 9 : 4
30 : RQ = 5 : 4
RQ = 24
en dus PR = RQ + 30 = 54 en daarmee PQ = PR + RQ = 54 + 24 = 78 km. Koerier A doet nog 8/3 uur over RQ = 24 km en heeft dus een snelheid van 24·(3/8) = 9 km/h en koerier B doet nog 27/2 uur over RP = 54 km en heeft dus een snelheid 54·(2/27) = 4 km/h.
Nog even een aanvulling. Ik bedacht nadat ik mijn uitwerking had gepost dat het berekenen van de afstand PQ eenvoudiger en eleganter gaat als je gebruik maakt van een bekende eigenschap van evenredigheden. Uit p : q = r : s volgt namelijk dat (p + q) : (p − q) = (r + s) : (r − s) mits p ≠ q. Welnu, we hadden gevonden datquote:
[..]
Bedankt allebei. Ik heb wel een heleboel met verhoudingen zitten frutten, en met vergelijkingen, maar ik raakte steeds maar de draad kwijt. Die antwoorden kloppen (die staan ook in het boek). Ik snapte alleen niet hoe ze eraan kwamen, maar nu dus wel. Ik zal eens kijken of ik met deze methode zelf opgave 1 van het examen van 1910 kan oplossen, dat is iets soortgelijks, met een voetganger en een rijtuig. (Die koeriers gingen overigens niet snel, handkar en bakfiets? En dan koudweg vertrekken voor een afstand van 78 km?)
PR : RQ = 9 : 4
en dus is ook
(PR + RQ) : (PR − RQ) = (9 + 4) : (9 − 4)
Nu is PR + RQ = PQ en PR − RQ = 30, zodat
PQ : 30 = 13 : 5
waarmee we direct vinden dat PQ = 30·(13/5) = (30/5)·13 = 6·13 = 78 km en daarmee ook PR = (9/13)·78 = 9·(78/13) = 9·6 = 54 km en RP = (4/13)·78 = 4·(78/13) = 4·6 = 24 km. De snelheden van de koeriers volgen dan uiteraard door hun nog af te leggen afstanden te delen door hun reistijden, en ook dat is eenvoudig hoofdrekenen, aangezien delen door een breuk neerkomt op vermenigvuldigen met de omgekeerde breuk. Dit is nauwelijks algebra te noemen, en ook het gebruik van een rekenmachine is hierbij niet alleen volstrekt overbodig maar eerder hinderlijk.
We definiëren op D = [0,1]quote:
[..]
Nee. Close but no cigar zou een Amerikaan zeggen. Kies D := (0,1) dan is f(x) in ieder geval niet begrensd op D. Nu moet je nog fn(x) definiëren op D zodanig dat limn→∞ fn(x) = f(x) voor elke x ∈ D terwijl fn voor elke n ∈ N wél begrensd is op D.
f: D -> R, gegeven door f(x) = 1/x voor x ongelijk 0 en f(0) = 0
En de bijbehorende functierij {fn} wordt gegeven door fn(x) = 1/x als x > 1/n en fn(x) = 0 als x ≤ 1/n.
Wat vind je hiervan?
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 17-12-2013 12:31:53 ]
Ja, dat kan, alleen zijn je functies fn(x) nu niet continu op D = [0,1]. Ik dacht zelf aan fn(x) = 1/(x + 1/n), dan is elke fn(x) continu op D = (0,1), en heb je | fn(x) | < n voor x > 0 maar dan moet je 0 uitsluiten uit het domein omdat limn→∞ fn(0) dan niet bestaat.quote:
[..]
We definiëren op D = [0,1]
f: D -> R, gegeven door f(x) = 1/x voor x ongelijk 0 en f(0) = 0
En de bijbehorende functierij {fn} wordt gegeven door fn(x) = 1/x als x > 1/n en fn(x) = 0 als x ≤ 1/n.
Wat vind je hiervan?
Maar continuïteit was geen eis, en dat vind ik wel mooi. Maar ik mag 0 niet uitsluiten van het domein, want ik moet een functie op dat domein [0,1] vinden.quote:
[..]
Ja, dat kan, alleen zijn je functies fn(x) nu niet continu op D = [0,1]. Ik dacht zelf aan fn(x) = 1/(x + 1/n), dan is elke fn(x) continu op D = (0,1), en heb je | fn(x) | < n voor x > 0 maar dan moet je 0 uitsluiten uit het domein omdat limn→∞ fn(0) dan niet bestaat.
Ah zo. Dat had je dan hierboven wel aan moeten geven.quote:
[..]
Maar continuïteit was geen eis, en dat vind ik wel mooi. Maar ik mag 0 niet uitsluiten van het domein, want ik moet een functie op dat domein [0,1] vinden.
Nee dit is precies de opgave. Er wordt toch nergens een eis gesteld aan de continuïteit van fn(x) en f(x)?quote:
[..]
Ah zo. Dat had je dan hierboven wel aan moeten geven.
Nee dat niet, maar jij maakte bezwaar tegen mijn keuze D := (0,1) en toen pas gaf je aan dat je een functie op het domein [0,1] moest vinden, terwijl je die eis eerder niet stelde.quote:
[..]
Nee dit is precies de opgave. Er wordt toch nergens een eis gesteld aan de continuïteit van fn(x) en f(x)?
Ah, excuus, vergeten.quote:
[..]
Nee dat niet, maar jij maakte bezwaar tegen mijn keuze D := (0,1) en toen pas gaf je aan dat je een functie op het domein [0,1] moest vinden, terwijl je die eis eerder niet stelde.
Dit wordt slecht uitgelegd in mijn boek en op internet kan ik er ook weinig over vinden wat mij verder helpt.
Het gaat om deze opgave:
Schrijf als macht of product van machten.
5√18 x 10√12
Ten eerste, wil je de letter x niet gebruiken als vermenigvuldigingsteken? Daarvoor is de center dot uitgevonden. Vaak wordt de letter x gebruikt voor een variabele.quote:
Ik ben bezig met het onderwerp machten met gebroken exponent.
Dit wordt slecht uitgelegd in mijn boek en op internet kan ik er ook weinig over vinden wat mij verder helpt.
Het gaat om deze opgave:
Schrijf als macht of product van machten.
5√18 x 10√12
De opgave luidt:
181/5·121/10
Nu kun je dit als volgt doen:
181/5·121/10 = (18·√12)1/5 = (36√3)1/5
Bedankt voor je tijd en moeite!
Maar in mijn antwoordenboek wordt het antwoord van de desbetreffende opgave als volgt aangegeven:
22/5·31/2..
36 = 4*9 = 22 * 32quote:
Mijn excuses, die zal ik voortaan gebruiken.
Bedankt voor je tijd en moeite!
Maar in mijn antwoordenboek wordt het antwoord van de desbetreffende opgave als volgt aangegeven:
22/5·31/2
En dus
36√3 = 22 * 35/2 (want 2+1/2 = 5/2)
En dus (36√3)1/5 = 22/5·31/2
We definiëren de functierij (fk) als volgt
gegeven door
Nu wordt er gevraagd om voor de functiereeks van fk uniforme convergentie aan te tonen of te weerleggen. Ik zie dat fk puntsgewijs convergent is, en met de stelling van Dini kan ik zelfs uniforme convergentie aantonen, maar ik heb geen idee hoe ik nu uniforme convergentie voor de functiereeks kan aantonen of weerleggen. Tipje iemand?
Het is duidelijk dat je voor alle x>1 puntsgewijze convergentie hebt naar 0. Merk op dat voor x=1 iedere functie 1/2 zou zijn, en dat hoe dichter je x=1 van boven nadert, hoe langzamer de convergentie naar 0 gaat. Uniforme convergentie betekent dat er een bovengrens moet zijn voor hoe snel de convergentie over alle x plaatsvindt. Dat is hier niet het geval, dus is er geen uniforme convergentie.quote:
Ik heb trouwens nog een vraagje over uniforme convergentie.
We definiëren de functierij (fk) als volgt, met D := (1, ∞)
gegeven door
Nu wordt er gevraagd om voor de functiereeks van fk uniforme convergentie aan te tonen of te weerleggen. Ik zie dat fk puntsgewijs convergent is, en met de stelling van Dini kan ik zelfs uniforme convergentie aantonen, maar ik heb geen idee hoe ik nu uniforme convergentie voor de functiereeks kan aantonen of weerleggen. Tipje iemand? [ afbeelding ]
Dit is even een snel intuïtief argument, maar ik denk dat het wel klopt, dus probeer het eens om te zetten in een bewijs.
fk(x) is wel degelijk uniform convergent, volgens de stelling van Dini.quote:
[..]
Het is duidelijk dat je voor alle x>1 puntsgewijze convergentie hebt naar 0. Merk op dat voor x=1 iedere functie 1/2 zou zijn, en dat hoe dichter je x=1 van boven nadert, hoe langzamer de convergentie naar 0 gaat. Uniforme convergentie betekent dat er een bovengrens moet zijn voor hoe snel de convergentie over alle x plaatsvindt. Dat is hier niet het geval, dus is er geen uniforme convergentie.
Dit is even een snel intuïtief argument, maar ik denk dat het wel klopt, dus probeer het eens om te zetten in een bewijs.
Hij is dalend, continu en puntsgewijs convergent.
Ik heb het over de functiereeks, dwz ∑fk(x), en natuurlijk sommeer je over k.
'Nu weet ik nog niets.
Als de functiereeks uniform convergent is, dan is die ook in het bijzonder puntsgewijs convergent. Dus deze functiereeks moet naar de nul-functie convergeren, als die uniform convergent wil zijn. Nu moet je laten zien dat het niet kan; je moet laten zien dat de functiereeks niet uniform convergeert naar de nul-functie onder de functienorm (sup-norm).quote:
Oh fuck, je mag de stelling van Dini alleen toepassen op begrensde en gesloten intervallen.
'Nu weet ik nog niets.
Ja dat snap ik, ik heb alleen geen idee hoe ik dat doe.quote:
[..]
Als de functiereeks uniform convergent is, dan is die ook in het bijzonder puntsgewijs convergent. Dus deze functiereeks moet naar de nul-functie convergeren, als die uniform convergent wil zijn. Nu moet je laten zien dat het niet kan; je moet laten zien dat de functiereeks niet uniform convergeert naar de nul-functie onder de functienorm (sup-norm).
Gewoon zoals je het met een reële rij zou doen onder de euclidische norm, maar nu met functies onder de sup-norm. Probeer gewoon maar wat aan te kloten met papier en pen. Iedereen gaat door deze fase binnen wiskunde, als je er goed in wil wordenquote:
[..]
Ja dat snap ik, ik heb alleen geen idee hoe ik dat doe.
Dit gaat over constante hoeken, omtrekshoeken en vooral hoek tussen raaklijn en koorde. Heeft iemand een goede site met duidelijke uitleg.
Opdracht 50 van getal en ruimte h13 voor de mensen die met dezelfde methode werken.
http://www.wjvanderzanden(...)20Hoofdstuk%2012.pdfquote:
constante hoeken, omtrekshoeken en vooral hoek tussen raaklijn en koorde.
Die site kan je iets verder helpen, maar wijkt niet veel af van het boek.
Heb je al geprobeerd mijn intuïtieve bewijs om te zetten in een formeel bewijs?quote:
[..]
Ja dat snap ik, ik heb alleen geen idee hoe ik dat doe.
Volgens mij kwam jouw intuïtief bewijs niet verder dan een kreet dat hij niet uniform convergent was.quote:
[..]
Heb je al geprobeerd mijn intuïtieve bewijs om te zetten in een formeel bewijs?
Maar nee, nog niet. Geen tijd gehad, stervens druk hier.
Laat maar, ik zie nu pas dat je het over de som hebt. Maar ook voor de som geldt dat de convergentie langzamer gaat naarmate x dichter naar 1 gaat, dus alsnog wel de moeite waard om te bekijken.quote:
Nee.quote:
De som is onbegrensd op (1, a), met a willekeurig. Denk je dat de reeks dan nog uniform kan convergeren?
Maar hoe weet dat ik de som onbegrensd is op op D := (1,a)?
Hmm, okay. Even kijken hoe ik dat formeel opschrijf dan.quote:
lijkt alleen voor kleine waarden van x te werken?
Waarschijnlijk wordt er slim gebruik gemaakt van deze regel
ja dus
Algorithms for calculating the built-in functions
Dat wortel truukje is wel leuk[ Bericht 6% gewijzigd door LogiteX op 26-12-2013 22:52:37 ]
Die eerste formule heet een Taylorreeks. Je moet maar eens opzoeken hoe dat werkt.quote:Op donderdag 26 december 2013 22:29 schreef LogiteX het volgende:
Hoe berekenen computers de natuurlijke logaritme? Want deze formule
[ afbeelding ]
lijkt alleen voor kleine waarden van x te werken?
Waarschijnlijk wordt er slim gebruik gemaakt van deze regel
[ afbeelding ]
ja dus
Algorithms for calculating the built-in functions
Integraal sin(x)^6 = integraal sin(x)^3 * integraal sin(x)^3 ?
Nee, dat gaat niet werken. Je kan wel gaan lopen truken met goniometrische identiteiten, maar het makkelijkst is het om het om te schrijven naar complexe e-machten.quote:
Ik kan nu sin(x)^2 en cos(x)^2 integreren. Van welke regel maak je gebruik om sin(of cos)(x)^n, met n>2 op te lossen? Mag je zeggen dat
Integraal sin(x)^6 = integraal sin(x)^3 * integraal sin(x)^3 ?
Geen idee hoe dat moet. Ik zoek wel wat op youtube op.quote:
[..]
Nee, dat gaat niet werken. Je kan wel gaan lopen truken met goniometrische identiteiten, maar het makkelijkst is het om het om te schrijven naar complexe e-machten.
![Integration of [sin x]^3](https://i.ytimg.com/vi/VeULk9R1z5E/default.jpg)
Hij stelt op een gegeven moment:
u=cos(x)
du=-sin(x)dx
-du=sin(x)dx
En rekent daarmee verder. Maar hij gebruikt regels die ik niet snap. Bij het integraal rekenen van cos(x)^2 zeg ik toch ook niet dat het antwoord ((cos(x)^3)/3) + c is.
Maar als cos(x) je variabele is, wel.quote:
Hij stelt op een gegeven moment:
u=cos(x)
du=-sin(x)dx
-du=sin(x)dx
En rekent daarmee verder. Maar hij gebruikt regels die ik niet snap. Bij het integraal rekenen van cos(x)^2 zeg ik toch ook niet dat het antwoord ((cos(x)^3)/3) + c is.
Plus a fucking constant.quote:
[..]
Maar als cos(x) je variabele is, wel.
Voor het gemak even 0 genomenquote:
.Je zou bijvoorbeeld gebruik kunnen maken van de techniek van het partieel integreren die ik je hier onlangs nog heb uitgelegd. Dan kun je de volgende recursieve betrekkingen afleiden:quote:
Ik kan nu sin(x)^2 en cos(x)^2 integreren. Van welke regel maak je gebruik om sin(of cos)(x)^n, met n>2 op te lossen?
Door herhaaldelijk gebruik te maken van partiële integratie kun je dus de exponent steeds met 2 reduceren, totdat je uitkomt bij een integraal met als integrand cos2x of cos x resp. sin2x of sin x, en waarvan je al weet hoe je deze kunt primitiveren.
Nee.quote:
[..]
Voor het gemak even 0 genomen
Hoeveel raaklijnen aan deze functie zijn evenwijdig met de rechte 3x−y=2?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
3x2 - 2 = 3SPOILERoplossing:
C
uitwerking:
Evenwijdig lopen betekent dat de rico's van de raaklijn en de gegeven rechte gelijk zijn. De rico van 3x−y=2 of, anders geschreven, y=3x−2, is 3. De "-2" in de vergelijking heeft geen invloed op de helling van de rechte.
De rico van een raaklijn aan de functie f(x) is f'(x). De rico's van een raaklijn aan y(x)=x3−2x+4 is dus 3x²-2. Er zijn twee punten waar deze rico gelijk is aan 3: voor x=1 en x=−1. Deze twee punten liggen binnen het domein van de functie
3x2 = 5
x2 = 5/3
x= wortel(5/3) of -wortel(5/3)
Hoe komt men dan aan 1 en -1?
Edit:
Vul 1 in de afgeleiden van f(x) en ook in y=3x-2. Dan krijg je precies hetzelfde. Wilt dat zeggen dat de lijn y=3x-2 gelijk is aan de raaklijn van het punt f(1)?
Edit2:
Nee dat kan niet, want de afgeleiden is een kwadratische functie....
Edit3:
Volgens mij klopt het antwoord wel, dat het C is, maar niet de uitkomsten.
[ Bericht 5% gewijzigd door DefinitionX op 30-12-2013 16:50:42 ]
Dit is af te leiden uit de formule van Stirling.quote:
Ik ben bezig met bestuderen van een bepaald bewijs. In grote lijnen kan ik het wel volgen. Maar er wordt vanuit een bepaalde benadering geredeneerd. Waarvan ik niet kan zien hoe deze is afgeleid. het gaat om de volgende benadering: (n!)^1/n is ongeveer gelijk aan n*e^-1. De eerste formule doet me denken aan de meetkundige gemiddelde. Maar hoe dit in relatie staat met n*e^-1 is mij een raadsel. Wie kan me uit de brand helpen?
Ja dat klopt. Ik heb het t gisteren uitgevogeld. Als je de representatie n/(n!)^1/n van e gebruikt dan volgt de benadering vanzelf. Maar bedankt voor het meedenken.quote:
[..]
Dit is af te leiden uit de formule van Stirling.
y = f(x) = 3 + x^2
Alvast bedankt!
Een domein kan je niet bepalen, maar definieer je. Je kunt bijvoorbeeld f(x)=x^2 definiëren op [3,5] of op [-3, oneindig)... zolang f(x) voor alle x in het domein maar goed gedefinieerd is. Bij f(x)=1/x mag bijvoorbeeld 0 niet in het domein zitten, want 1/0 kan niet.quote:
Kan iemand mij uitleggen hoe je het domein kan bepalen bij bijvoorbeeld de onderstaande functie?
y = f(x) = 3 + x^2
Alvast bedankt!
Elke reële waarde van x levert een reële waarde van f(x), dus als het de bedoeling is voor het domein D van f opgevat als reële functie de grootst mogelijke deelverzameling van R te bepalen, dan is D = R. Maar ik heb het idee dat dit niet is wat er wordt gevraagd ...quote:
Kan iemand mij uitleggen hoe je het domein kan bepalen bij bijvoorbeeld de onderstaande functie?
y = f(x) = 3 + x^2
Alvast bedankt!
Volgens mij wel. De uitleg is vrij gebrekkig in mijn wiskundeboek helaas..quote:
[..]
Elke reële waarde van x levert een reële waarde van f(x), dus als het de bedoeling is voor het domein D van f opgevat als reële functie de grootst mogelijke deelverzameling van R te bepalen, dan is D = R. Maar ik heb het idee dat dit niet is wat er wordt gevraagd ...
Het antwoord luidt als volgt:
Df = R, Bf = [3, ∞]
Ok. Dat zal dan inderdaad de bedoeling zijn, zoals meestal in schoolboeken. Thenxero heeft natuurlijk gelijk als hij zegt dat het domein van een functie gegeven moet zijn. Maar wat is nu je moeilijkheid?quote:
[..]
Volgens mij wel. De uitleg is vrij gebrekkig in mijn wiskundeboek helaas..
Het antwoord luidt als volgt:
Df = R, Bf = [3, ∞]
In de opdracht staat (letterlijk) dat ik het domein moet bepalen, vervolgens een grafiek moet schetsen en ten slotte het bereik van de desbetreffende functie moet bepalen.quote:
[..]
Ok. Dat zal dan inderdaad de bedoeling zijn, zoals meestal in schoolboeken. Thenxero heeft natuurlijk gelijk als hij zegt dat het domein van een functie gegeven moet zijn. Maar wat is nu je moeilijkheid?
Maar ik snap het principe van domeinen niet dus daar begint voor mij de moeilijkheid.
Beschouw een functie eens als een black box waar je iets in stopt (namelijk een waarde van x) en waar dan ook weer iets uit komt, namelijk een waarde y = f(x). Dan is het domein van een functie de verzameling van alle mogelijke invoerwaarden, en het bereik is dan de verzameling van alle mogelijke uitvoerwaarden.quote:
[..]
In de opdracht staat (letterlijk) dat ik het domein moet bepalen, vervolgens een grafiek moet schetsen en ten slotte het bereik van de desbetreffende functie moet bepalen.
Maar ik snap het principe van domeinen niet dus daar begint voor mij de moeilijkheid.
Eigenlijk moet het domein zijn gegeven als onderdeel van de definitie van een functie, maar als je alleen een functievoorschrift hebt, zoals f(x) = x² + 3, en de invoer en uitvoer worden verondersteld reële getallen te zijn, dan kiest men als domein gewoonlijk de grootst mogelijke deelverzameling van R. In dit voorbeeld is dan Df = R omdat je voor x elk reëel getal kunt invullen. Maar als je bijvoorbeeld hebt
g(x) = 1/(x − 1)
dan mag je niet x = 1 invullen, want dan krijg je 1/0, en dat heeft geen betekenis, omdat delen door nul niet is gedefinieerd. In dit geval bestaat het (grootst mogelijke) domein van de functie g dus uit alle reële getallen behalve 1, en dat kun je noteren als volgt:
Dg = R\{1}
Bedankt voor je uitleg! Dit maakt het een stuk duidelijker. Dus als ik het goed begrijp betekent R dat je voor x elk getal kunt gebruiken?quote:
[..]
Beschouw een functie eens als een black box waar je iets in stopt (namelijk een waarde van x) en waar dan ook weer iets uit komt, namelijk een waarde y = f(x). Dan is het domein van een functie de verzameling van alle mogelijke invoerwaarden, en het bereik is dan de verzameling van alle mogelijke uitvoerwaarden.
Eigenlijk moet het domein zijn gegeven als onderdeel van de definitie van een functie, maar als je alleen een functievoorschrift hebt, zoals f(x) = x² + 3, en de invoer en uitvoer worden verondersteld reële getallen te zijn, dan kiest men als domein gewoonlijk de grootst mogelijke deelverzameling van R. In dit voorbeeld is dan Df = R omdat je voor x elk reëel getal kunt invullen. Maar als je bijvoorbeeld hebt
g(x) = 1/(x − 1)
dan mag je niet x = 1 invullen, want dan krijg je 1/0, en dat heeft geen betekenis, omdat delen door nul niet is gedefinieerd. In dit geval bestaat het (grootst mogelijke) domein van de functie g dus uit alle reële getallen behalve 1, en dat kun je noteren als volgt:
Dg = R\{1}
Ja. De vetgedrukte letter R staat voor de verzameling van alle reële getallen. Zo heb je ook nog andere standaardverzamelingen van getallen. De verzameling van alle gehele getallen bijvoorbeeld wordt aangegeven met Z en de verzameling van alle rationale getallen met Q.quote:
[..]
Bedankt voor je uitleg! Dit maakt het een stuk duidelijker. Dus als ik het goed begrijp betekent R dat je voor x elk getal kunt gebruiken?
Elk reëel getal ja: positief, negatief, nul, breuken en irrationale getallen zoals pi. Het gaat niet om álle getallen, want er zijn ook verzamelingen getallen zoals complexe getallen, die niet in R zitten.quote:
[..]
Bedankt voor je uitleg! Dit maakt het een stuk duidelijker. Dus als ik het goed begrijp betekent R dat je voor x elk getal kunt gebruiken?
Je kunt beginnen met te bedenken dat het kwadraat van een reëel getal nooit negatief kan zijn. Dus is x² zeker groter dan of gelijk aan nul. Maar dan is f(x) = x² + 3 zeker groter dan of gelijk aan 3. Getallen kleiner dan 3 kunnen dus in ieder geval niet tot het bereik van deze functie behoren.quote:
Bedankt thenxero, Riparius en Aardappeltaart! Zou iemand mij ook uit kunnen leggen hoe ik het bereik kan bepalen van desbetreffende functie? f(x) = x² + 3
Nu rest nog de vraag of ook elk reëel getal groter dan of gelijk aan 3 deel uitmaakt van het bereik. Dat is inderdaad het geval, maar probeer nu zelf eens te bedenken hoe je dat (algebraïsch) aan zou kunnen tonen.
http://fermatslasttheorem(...)rmats-one-proof.html
In de overgang van (5) naar (6) wordt gesteld dat omdat S = 2W² + V², (2W²)² + (V²)² een kwadraat is. Waarom is dat zo? En als bonus, is dit waarom ik niet snap waarom in (7) uit de oplossing voor de Pythagoreïsche drietallen volgt dat het verschil inderdaad een kwadraat is?
Op hoeveel manieren kun je deze paren neerzetten?
Opschrijven geeft:
AB
CD
AB
DC
BA
CD
BA
DC
Dus 4. Ik kan zo doorgaan met paren zoals ABC en DCE of ABCF en GHIJ.
Wiskundig kom je dan uit op verschillende manieren = 2^n, waarin n staat voor verschillend aantal letters in een enkele paar.
Betekent dat ook dat als je een drievoudig paar moet vormen zoals:
ABC
DCE
FGH
De formule om de verschillende aantal combinaties te berekenen 3^n is?
Ik denk dat ik het een beetje verwarrend formulier, maar ik hoop dat het duidelijk is wat ik vraag wat betreft 2^n en 3^n.
Ook vraag ik mij af waarom n niet 8 is bij iets zoals ABCD en EFGH. Je hebt per paar weliswaar 4 verschillende letters, maar totaal zijn het er 8.
Kortom; ik heb de vraagstukken wel goed, maar ik snap het niet wat ik aan het doen ben.
Nee, dat is iets te makkelijk gedacht.quote:
Betekent dat ook dat als je een drievoudig paar moet vormen zoals:
ABC
DCE
FGH
De formule om de verschillende aantal combinaties te berekenen 3^n is?
Stel je hebt ABC. Dit kan je schrijven als: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
Dit zijn 6 manieren, oftwel 3! = 3x2x1 = 6.
Nu heb je dus een drietal dat elk op 6 manieren geschreven kan worden.
Dus dan krijg je 6x6x6 = 63 = 216 manieren.
Baseer je je algemene oplossing nu op één voorbeeld? Wie zegt dat het voor andere aantallen per paar of meerdere paren ook zo gaat?quote:
Als ik het goed begrijp is dit je vraagstuk: Je hebt q paren letters, met n letters per paar. Op hoeveel manieren kan je deze letters achter elkaar zetten, waarbij de letters uit hetzelfde paar bij elkaar blijven?
Per paar begin je met één van de n letters. Voor de volgende zijn er (n-1) over, enzovoorts. Er zijn per paar dus n! (n faculteit) mogelijkheden.
Wat niet duidelijk is is of je de paren van volgorde mag verwisselen. Als dit niet zo is, geldt wat Ensemble zei. Als dat wel zo is, moet je denk ik nog wat met de faculteit van het aantal paren dat je hebt doen: q! (je begint met één paar, de volgende moet één van de paren die overblijven zijn, etc...).
Als de volgorde van de paren van belang is moet je het nog met q! vermenigvuldigen ja.quote:
[..]
Wat niet duidelijk is is of je de paren van volgorde mag verwisselen. Als dit niet zo is, geldt wat Ensemble zei. Als dat wel zo is, moet je denk ik nog wat met de faculteit van het aantal paren dat je hebt doen: q! (je begint met één paar, de volgende moet één van de paren die overblijven zijn, etc...).
Precies, ik wilde niet óók de allerlaatste stap nog helemaal voorzeggen, maar dat kwam door de 'vind ik' misschien een beetje onzeker over, zie ik nu.quote:
[..]
Als de volgorde van de paren van belang is moet je het nog met q! vermenigvuldigen ja.
Ah, ik dacht inderdaad dat je het niet zeker wist.quote:
[..]
Precies, ik wilde niet óók de allerlaatste stap nog helemaal voorzeggen, maar dat kwam door de 'vind ik' misschien een beetje onzeker over, zie ik nu.
Misschien kan DefinitionX als allerlaatste stap nog de algemene formule geven voor q paren met n letters. Dat moet niet meer zo moeilijk zijn, en dan snapt hij hem zeker.
Niet achter elkaar. Zie het zo:quote:
[..]
Baseer je je algemene oplossing nu op één voorbeeld? Wie zegt dat het voor andere aantallen per paar of meerdere paren ook zo gaat?
Als ik het goed begrijp is dit je vraagstuk: Je hebt q paren letters, met n letters per paar. Op hoeveel manieren kan je deze letters achter elkaar zetten, waarbij de letters uit hetzelfde paar bij elkaar blijven?
ABC
DEF
Twee paren die 1 groter paar vormen. Dit noem ik 1 van de mogelijk combinaties. A is verbonden met D, B met E, C met F.
ABC
EFD
Dit noem ik de 2e mogelijkheid van het totaal aantal combinaties. Nu is A verbonden met E, B met F en C met D.
Edit:
Komt het op hetzelfde neer als achter elkaar?
Edit2:
Het heeft te maken met een vraagstuk over chromosomen. Je hebt in een cel 4 chromosomen met elke chromosoom een dubbel. Dan heb je 8 chromosomen in de cel.
Vraag: op hoeveel verschillende manieren kun je de chromosomen sorteren in paren.
Het antwoord is 16, gebruikmakend van 2^n. Waarin n is verschillend aantal chromosomen.
[ Bericht 8% gewijzigd door DefinitionX op 04-01-2014 01:33:52 ]
Al gevonden.quote:Op vrijdag 3 januari 2014 15:52 schreef Diacetylmorfine het volgende:
Ik heb een vraag waarop het antwoord makkelijk zou moeten zijn, maar ik mis hem:
http://fermatslasttheorem(...)rmats-one-proof.html
In de overgang van (5) naar (6) wordt gesteld dat omdat S = 2W² + V², (2W²)² + (V²)² een kwadraat is. Waarom is dat zo? En als bonus, is dit waarom ik niet snap waarom in (7) uit de oplossing voor de Pythagoreïsche drietallen volgt dat het verschil inderdaad een kwadraat is?
Die blogger waar je naar verwijst maakt het allemaal veel te moeilijk door een hoop overbodige variabelen te introduceren waardoor je door de bomen het bos niet meer ziet, en bovendien kan hij ook niet goed uitleggen. Typisch kwaaltje van een ICTer die naar hartelust variabelen declareert zonder zich af te vragen of die wel nuttig zijn.quote:
De m.i. duidelijkste en meest eenvoudige reconstructie van de gedachtengang van Fermat is gegeven door André Weil, Number Theory: An approach through history from Hammurapi to Legendre, Birkhäuser 1984, p. 76-77, zie hier.
Ah, de mensen die bang zijn hun oorspronkelijke variabelen aan te passen. Iedereen houdt toch van een rommelig script? Bedankt voor de link.quote:
[..]
Die blogger waar je naar verwijst maakt het allemaal veel te moeilijk door een hoop overbodige variabelen te introduceren waardoor je door de bomen het bos niet meer ziet, en bovendien kan hij ook niet goed uitleggen. Typisch kwaaltje van een ICTer die naar hartelust variabelen declareert zonder zich af te vragen of die wel nuttig zijn.
De m.i. duidelijkste en meest eenvoudige reconstructie van de gedachtengang van Fermat is gegeven door André Weil, Number Theory: An approach through history from Hammurapi to Legendre, Birkhäuser 1984, p. 76-77, zie hier.
Nee, ik houd helemaal niet van rommelige code of redundante variabelen. Die blogger kent zijn literatuur niet, anders had hij het nooit zo onbeholpen opgeschreven. Hij heeft de Engelse vertaling van de Latijnse tekst van Fermat kennelijk overgenomen uit het boek van Edwards die weer verwijst naar T.L. Heath als bron, maar hij heeft niet de moeite genomen T.L. Heath, Diophantus of Alexandria; a study in the history of Greek algebra, Cambridge University Press, ²1910 te raadplegen, waar het ook glashelder wordt uitgelegd (lees online of download dit boek als PDF of als DjVu).quote:
[..]
Ah, de mensen die bang zijn hun oorspronkelijke variabelen aan te passen. Iedereen houdt toch van een rommelig script? Bedankt voor de link.
Dat was ironisch bedoeld, we zitten op een lijn. Je blijft me verbazen met alle kennis en informatie die je ogenschijnlijk met een handomdraai produceert - hoe doe je dat toch?quote:
[..]
Nee, ik houd helemaal niet van rommelige code of redundante variabelen. Die blogger kent zijn literatuur niet, anders had hij het nooit zo onbeholpen opgeschreven. Hij heeft de Engelse vertaling van de Latijnse tekst van Fermat kennelijk overgenomen uit het boek van Edwards die weer verwijst naar T.L. Heath als bron, maar hij heeft niet de moeite genomen T.L. Heath, Diophantus of Alexandria; a study in the history of Greek algebra, Cambridge University Press, ²1910 te raadplegen, waar het ook glashelder wordt uitgelegd (lees online of download dit boek als PDF of als DjVu).
De laatste stap begrijp ik niet en als ik hem nareken met mijn rekenmachine lijkt hij ook niet te kloppen. Kan iemand mij uitleggen hoe ze die laatste stap (y/x) komen?quote:U(x,y) = xy1/2
MRS(x,y) = U'x(x,y) / U'y(x,y) = (1/2)x-1/2y1/2 / (1/2)x1/2y-1/2 = Y / X
Dit kan je vinden door ff te spelen met de regels voor machten:quote:
Een stuk uit een voorbeeld opgave waarmee ik bezig ben:
[..]
De laatste stap begrijp ik niet en als ik hem nareken met mijn rekenmachine lijkt hij ook niet te kloppen. Kan iemand mij uitleggen hoe ze die laatste stap (y/x) komen?
an/am = an-m en
a-n=1/an
Bedoel je deze stap:quote:
Een stuk uit een voorbeeld opgave waarmee ik bezig ben:
[..]
De laatste stap begrijp ik niet en als ik hem nareken met mijn rekenmachine lijkt hij ook niet te kloppen. Kan iemand mij uitleggen hoe ze die laatste stap (y/x) komen?
Of het uitrekenen van de afgeleide? (btw, volgens mij ben je de haakjes vergeten in je eerste formule. Het lijkt me dat U(x,y) = (xy)1/2
Wow, dat zijn even heel wat stappen die eventjes zijn overgeslagen! XDquote:
[..]
Bedoel je deze stap:
Of het uitrekenen van de afgeleide? (btw, volgens mij ben je de haakjes vergeten in je eerste formule. Het lijkt me dat U(x,y) = (xy)^1/2
En inderdaad, (xy)^1/2 had tussen haakjes moeten staan!
Thanks!
Voor een machine komt dit heel nauw. In principe is (xy)^1/2 gelijk aan dit:quote:
[..]
Wow, dat zijn even heel wat stappen die eventjes zijn overgeslagen! XD
En inderdaad, (xy)^1/2 had tussen haakjes moeten staan!
Thanks!
Nu weet iedereen dat je
Ik mag hopen dat je bedoelt U(x,y) = (xy)1/2 anders klopt je partiële afgeleide naar x niet. Verder moet je hiervoor niet je rekenmachine gebruiken, maar rekenregels voor breuken en machten. Vermenigvuldig teller en noemer van je quotiënt eens met x1/2y1/2, wat krijg je dan?quote:
Een stuk uit een voorbeeld opgave waarmee ik bezig ben:
[..]
De laatste stap begrijp ik niet en als ik hem nareken met mijn rekenmachine lijkt hij ook niet te kloppen. Kan iemand mij uitleggen hoe ze die laatste stap (y/x) komen?
Ik heb nog een vraag over de analyse.quote:
[..]
Ik mag hopen dat je bedoelt U(x,y) = (xy)1/2 anders klopt je partiële afgeleide naar x niet. Verder moet je hiervoor niet je rekenmachine gebruiken, maar rekenregels voor breuken en machten. Vermenigvuldig teller en noemer van je quotiënt eens met x1/2y1/2, wat krijg je dan?
Stel ik heb een stelling die iets zegt over differentieerbaarheid van een functiereeks. Een voorwaarde voor deze stelling is dat het over een gesloten interval [a,b] gaat.
Nu moet ik differentieerbaarheid voor mijn functiereeks op [a, ∞) aantonen, met a > 1.
Heb je enig idee of ik die stelling toe mag passen, en hoe ik dat dan goed opschrijf?
Neem b willekeurig groot. Als de functie differentieerbaar is op [a,b] met b willekeurig groot, dan is die differentieerbaar op [a,∞).quote:
[..]
Ik heb nog een vraag over de analyse.
Stel ik heb een stelling die iets zegt over differentieerbaarheid van een functiereeks. Een voorwaarde voor deze stelling is dat het over een gesloten interval [a,b] gaat.
Nu moet ik differentieerbaarheid voor mijn functiereeks op [a, ∞) aantonen, met a > 1.
Heb je enig idee of ik die stelling toe mag passen, en hoe ik dat dan goed opschrijf?
Okay. Intuïtief is precies hoe je aanvoelt dat zoiets wel zou kloppen, ik wist alleen niet hoe ik het formeel op ging schrijven. Mijn instructeur loopt namelijk te azijnpissen om alles en niets (en terecht).quote:
[..]
Neem b willekeurig groot. Als de functie differentieerbaar is op [a,b] met b willekeurig groot, dan is die differentieerbaar op [a,∞).
Het klopt toch dat je wanneer je integreert wél de kettingregel kan toepassen maar niet de productregel en de quotiëntregel?
Nee, wat je hier zegt klopt niet. Zowel de productregel als de kettingregel uit de differentiaalrekening hebben elk een tegenhanger in de integraalrekening. De tegenhanger van de productregel is de regel voor partieel integreren, zoals ik hier onlangs nog heb uiteengezet, en de tegenhanger van de kettingregel is de substitutieregel uit de integraalrekening.quote:
Hoi. Kort vraagje wat ik even niet zo 1,2,3 kon vinden :
Het klopt toch dat je wanneer je integreert wél de kettingregel kan toepassen maar niet de productregel en de quotiëntregel?
Het gaat om de stap onderaan de pagina:
Op het eind veranderen ze de functie π(y)=p - (9y^2-36y+36) = 0 in een functie y(p) waarbij y kennelijk gewoon vervangen kan worden door p blijkbaar.
Ik snap niet hoe ze bij deze stap komen, waarom is y ineens gelijk aan p?
Dank!
Gegeven is de betrekking
c = (100√R) / m + √R
En ik moet dus 'm' uitdrukken.
Ik ben zelf als volgt te werk gegaan
(100√R) / m + √R = c___________want_____________((6 * 2) / 4) + 2 = 5
(100√R) / m = c - √R_____________________________((6 * 2) / 4) = 5 - 2
m = (100√R) / c - √R_____________________________4 = (6 * 2) / 3
Antwoordenboek zegt volgende: m = (100 - c)√R) / c wat dus niet overeenkomt. Wat doe ik fout?
[ Bericht 0% gewijzigd door _MwB_ op 11-01-2014 16:29:09 ]
=> c - √R = (100√R) / m
=> (100√R)/(c - √R) = m
Ook jij zit fout, maar dat is meer een kwestie van je haakjes niet vergeten!!!
Verder is mijn antwoord het juiste antwoord. Je zou nog kunnen 'vereenvoudigen' door teller en noemer door √R te delen, maar m.i. voegt dat niets toe.
Amoebaquote:
c = (100√R) / m + √R
=> c - √R = (100√R) / m
=> (100√R)/(c - √R) = m
Ook jij zit fout, maar dat is meer een kwestie van je haakjes niet vergeten!!!
Verder is mijn antwoord het juiste antwoord. Je zou nog kunnen 'vereenvoudigen' door teller en noemer door √R te delen, maar m.i. voegt dat niets toe.
Hartelijk dank voor uw post!
Nog wel een vraag; u plaatst haakjes maar dit is in dit geval toch niet geldig ivm dat ik de wiskunige volgorde aan moet houden? => ((100 * √R) / c ) - (√R) = m
moet het niet zijn?
Hieronder ter verduidelijking de uitwerking van de docente zelf
[ Bericht 16% gewijzigd door _MwB_ op 11-01-2014 17:11:47 ]
Kijk, die (correcte) uitwerking van je docente had je beter meteen kunnen posten. Je hebt de formule om te beginnen al verkeerd overgenomen ...quote:
[..]
Amoeba
Hartelijk dank voor uw post!
=> ((100 * √R) / c ) - (√R) = m
moet het niet zijn?
Hieronder ter verduidelijking de uitwerking van de docente zelf
[ afbeelding ]
Als je niets meer opneemt kun je beter even stoppen en een kwartiertje een luchtje gaan scheppen (niet gaan pielen met je computer of zo, dat ontspant niet). Maar, belangrijker, begrijp je nu ook waar je eigen fout zat en dat je antwoordenboekje wel het correcte antwoord geeft?quote:
Excuses qua verkeerde overname, ik ben al behoorlijk wat uren achter elkaar aan het leren/oefenen en zo ontgaan sommige dingen nog weleens.
Kijk:quote:
Nee, ook wat betreft verkeerde overname niet. In het antwoordenboek staat het als een breuk, en ik heb het enkel languit geschreven.
Wel, in de uitwerking van de docente is (m + √R) de noemer van de breuk, maar jij vatte het op alsof alleen m in de noemer van de breuk stond en √R een toegevoegde term was. Dusquote:
Nee, ook wat betreft verkeerde overname niet. In het antwoordenboek staat het als een breuk, en ik heb het enkel languit geschreven.
is niet hetzelfde als
((6 * 2) / 6) + 2 = 4,00 (geen breukvorm)
Zit hier dus het verschil in zeker.. ?
Je moet niet steeds je omwerkingen proberen te rechtvaardigen met getalvoorbeelden, want dat kan nog wel eens verkeerd uitpakken. Gewoon de bekende rekenregels toepassen op je algebraïsche uitdrukkingen.quote:
(6 * 2) / (6 + 2) = 0,33 (breukvorm)
(6 * 2 / 6) + 2 = 4,00 (geen breukvorm)
Zit hier dus het verschil in zeker..
(100√R) / (m + √R) = c gaat, en niet ((100√R) / m) + √R = c gaat? Want als ik met omwerken van formules aan de slag moet wil de boel kunnen balanceren en dus schrijf ik het voluit
-Dank ook voor uw hulp overigens-quote:
[..]
Je moet niet steeds je omwerkingen proberen te rechtvaardigen met getalvoorbeelden, want dat kan nog wel eens verkeerd uitpakken. Gewoon de bekende rekenregels toepassen op je algebraïsche uitdrukkingen.
Dat was trouwens geen rechtvaardiging, ik was een vraagteken vergeten, wilde de fout even duidelijk hebben voor mijzelf.
Kijk goed naar de breuksteep. Alles wat boven die breukstreep staat behoort tot de teller van de breuk en alles wat onder de breukstreep staat behoort tot de noemer.quote:
In de opgegeven formule staan dus geheel geen haakjes, hoe moet in dan interpreteren dat het om
(100√R) / (m + √R) = c gaat, en niet ((100√R) / m) + √R = c gaat? Want als ik met omwerken van formules aan de slag moet wil de boel kunnen balanceren en dus schrijf ik het voluit
Echter, als je (bijvoorbeeld op FOK, zonder TeX) geen horizontale breukstreep kunt maken, dan moet je gebruik maken van de / (slash) en dan zijn haakjes vaak nodig om ambiguïteiten te vermijden. Dus
moet je dan noteren als
(a+b)/(c+d)
De verwarring en misplaatsing van haakjes hier komt omdat ik breukvormen en 'gewone' deelsommen door elkaar ben gaan halen omdat alle breuken deelsommen zijn, maar het me dus ontglipt is dat bij een breuk de (teller) en (noemer) haakjes moeten bevatten. Oftewel tijd voor een pauze.
[ Bericht 0% gewijzigd door _MwB_ op 11-01-2014 20:15:03 ]
Ik volg alles behalve dat hij bij de laatste stap nog +2 doet in de noemer. Waar komt dat vandaan? Hij heeft die +2 toch al meegenomen bij de vorige berekeningen?SPOILER
Edit:
Oeps, verkeerde vraag, ik ga effe reuploaden.
Edit2: De goede staat er nu wel.
Als je dan de kans om zwanger te raken met beide voorbehoedsmiddelen wilt berekenen, moet je het snel zwanger geraakte vrouwen delen door het aantal niet zwangere vrouwen + het aantal wel zwangere vrouwen (totaal aantal vrouwen dat beide middelen gebruikt).
Kwestie waar staat x eigenlijk voor.
Maar er staat: 2 vrouwen die beide middelen samen gebruikten werden toch zwanger.quote:
Die 602 (x) bestaat alleen uit het aantal vrouwen dat beide voorbehoedsmiddelen gebruikt en niet zwanger raakt. Daarom telt hij eerst de 2 nog op bij het totaal, die zit niet al in x.
Als je dan de kans om zwanger te raken met beide voorbehoedsmiddelen wilt berekenen, moet je het snel zwanger geraakte vrouwen delen door het aantal niet zwangere vrouwen + het aantal wel zwangere vrouwen (totaal aantal vrouwen dat beide middelen gebruikt).
Kwestie waar staat x eigenlijk voor.
En als je bij de vorige stap kijkt zie je dat hij +2+14 doet. Dus die +2 zit er wel in.
T_T ???
Edit:
Kijk maar:
2000=1190-x+x-1386-x+10+2+14
Daar staat:quote:
[..]
Maar er staat: 2 vrouwen die beide middelen samen gebruikten werden toch zwanger.
En als je bij de vorige stap kijkt zie je dat hij +2+14 doet. Dus die +2 zit er wel in.
T_T ???
Edit:
Kijk maar:
2000=1190-x+x-1386-x+10+2+14
totaal aantal vrouwen (2000) = (pil niet zwanger (1190) - beide niet zwanger (x) --> dus: alleen pil niet zwanger) + beide niet zwanger (x) + (condoom niet zwanger (1386) - beide niet zwanger (x) --> dus: alleen condoom niet zwanger) + pil wel zwanger (10) + beide wel zwanger (2) + condoom wel zwanger (14)
Die 2 hoort bij het totale aantal vrouwen. x is het aantal vrouwen wat NIET zwanger wordt, terwijl ze wel beide voorbehoedsmiddelen gebruiken. Die 2 is het aantal vrouwen wat WEL zwanger wordt, terwijl ze wel beide voorbehoedsmiddelen gebruiken.
De formule voor de kans om zwanger te raken met gebruik van beide voorbehoedsmiddelen is:
beide wel zwanger (2) / beide wel+niet zwanger
Beide niet zwanger = x, beide wel zwanger = 2, beide wel+niet zwanger = x+2.
Je moet je even beseffen dat de 2 in die optelsom hoort omdat de 2 vrouwen onderdeel zijn van het totaal. Dat heeft niets te maken met de deelsom die de kans berekent om zwanger te raken terwijl men beide voorbehoedsmiddelen gebruikt.
Als ik wil berekenen hoeveel kans ik heb om de lotto te winnen, bereken ik:
mensen die lotto winnen / mensen die aan lotto meedoen
Mensen die aan lotto meedoen = mensen die lotto winnen + mensen die lotto verliezen
Snap je?
Ja nu wel, dankje!quote:
[..]
Daar staat:
totaal aantal vrouwen (2000) = (pil niet zwanger (1190) - beide niet zwanger (x) --> dus: alleen pil niet zwanger) + beide niet zwanger (x) + (condoom niet zwanger (1386) - beide niet zwanger (x) --> dus: alleen condoom niet zwanger) + pil wel zwanger (10) + beide wel zwanger (2) + condoom wel zwanger (14)
Die 2 hoort bij het totale aantal vrouwen. x is het aantal vrouwen wat NIET zwanger wordt, terwijl ze wel beide voorbehoedsmiddelen gebruiken. Die 2 is het aantal vrouwen wat WEL zwanger wordt, terwijl ze wel beide voorbehoedsmiddelen gebruiken.
De formule voor de kans om zwanger te raken met gebruik van beide voorbehoedsmiddelen is:
beide wel zwanger (2) / beide wel+niet zwanger
Beide niet zwanger = x, beide wel zwanger = 2, beide wel+niet zwanger = x+2.
Je moet je even beseffen dat de 2 in die optelsom hoort omdat de 2 vrouwen onderdeel zijn van het totaal. Dat heeft niets te maken met de deelsom die de kans berekent om zwanger te raken terwijl men beide voorbehoedsmiddelen gebruikt.
Als ik wil berekenen hoeveel kans ik heb om de lotto te winnen, bereken ik:
mensen die lotto winnen / mensen die aan lotto meedoen
Mensen die aan lotto meedoen = mensen die lotto winnen + mensen die lotto verliezen
Snap je?
. Ik dacht eerst dat het een drukfout was, maar het komt consistent terug, dus het wekt toch mijn nieuwsgierigheid.
Geen idee, wellicht om aan te geven dat r een vector is?quote:
Een detailvraagje over notatie: weet iemand wat het wil zeggen als men bij afgeleiden de noemer (van bijvoorbeeld d/dx) overstreept? Zoals bij: [ afbeelding ].
Ik dacht eerst dat het een drukfout was, maar het komt consistent terug, dus het wekt toch mijn nieuwsgierigheid.
Je kan dit doen door partieel te integreren, Immers, er staat log(t+12)*log(t+12). Dan moet je wel de primitieve van log(t+12) weten, maar ook die kan weer via partieel.quote:
Kan iemand me helpen met de integraal van log^2(t+12)dt?
r is in dit geval gewoon een scalaire variabele (de vergelijking is afgeleid in bolcoördinaten en de hoekafhankelijkheid is weggevallen).quote:
[..]
Geen idee, wellicht om aan te geven dat r een vector is?
Het ziet er uit als quantummechanica, welk boek gebruiken jullie?quote:
[..]
r is in dit geval gewoon een scalaire variabele (de vergelijking is afgeleid in bolcoördinaten en de hoekafhankelijkheid is weggevallen).
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 14-01-2014 14:04:26 ]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=log^2%28t%2B12%29dtquote:
Kan iemand me helpen met de integraal van log^2(t+12)dt?
Want nu weet hij hoe de oplossing gevonden kan wordenquote:
[..]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=log^2%28t%2B12%29dt
Wolfram heeft toch step by step uitleg?quote:
[..]
Want nu weet hij hoe de oplossing gevonden kan worden
Moet je wel registreren, bovendien zijn hints bij wiskunde nuttiger, omdat het kwartje bij jezelf moet vallen.quote:
[..]
Wolfram heeft toch step by step uitleg?
Maar goed, ieder zijn mening.
Als je de uitwerking ziet kun je toch zelf ook beredeneren wat er gebeurt?quote:
[..]
Moet je wel registreren, bovendien zijn hints bij wiskunde nuttiger, omdat het kwartje bij jezelf moet vallen.
Maar goed, ieder zijn mening.
Dit is een heel oude en eigenlijk niet meer gebruikte notatie. Wonderlijk om te zien dat deze toch nog gebruikt wordt. Het gaat hier om een zogeheten vinculum. Dat is een horizontale streep boven een uitdrukking die dezelfde rol vervult als onze haakjes en die wordt gebruikt om een aggregaat aan te duiden. Hier is het de bedoeling om aan te geven dat er in de noemer van het differentiaalquotiënt (dr)² staat en niet d(r²).quote:
Een detailvraagje over notatie: weet iemand wat het wil zeggen als men bij afgeleiden de noemer (van bijvoorbeeld d/dx) overstreept? Zoals bij: [ afbeelding ].
Ik dacht eerst dat het een drukfout was, maar het komt consistent terug, dus het wekt toch mijn nieuwsgierigheid.
Leibniz gebruikte deze notatie aanvankelijk bij zijn differentiaal- en integraalrekening, maar gaf deze later op, omdat hij inzag dat het gebruik van vincula hier redundant was. Een overblijfsel is nog het gebruik van de lange horizontale streep bij het wortelteken, om aan te geven van welke uitdrukking we de wortel nemen.
Hebben we een functie y = f(x) dan kan de eerste afgeleide in de Leibniz notatie zoals bekend worden aangegeven als dy/dx = d(f(x))/dx. Nemen we hier weer de afgeleide van, dan hebben we in de Leibniz notatie
waarvoor is te schrijven
en dat kunnen we symbolisch ook weergeven als
of als
De superscripts ² in de 'teller' en in de 'noemer' hebben hier een verschillende betekenis: in de 'teller' geeft de ² een herhaling aan van de operator d, maar in de noemer geeft ² een kwadraat aan, namelijk het kwadraat van dx. Zie voor meer voorbeelden van de oude notatie met vincula bijvoorbeeld J.M. Child, The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz (lees online of download dit boek als PDF of als DjVu).
Bedankt, hier heb ik wel wat aan.quote:
[..]
Je kan dit doen door partieel te integreren, Immers, er staat log(t+12)*log(t+12). Dan moet je wel de primitieve van log(t+12) weten, maar ook die kan weer via partieel.
Bedankt, maar heb inderdaad meer aan hints. En je moet inderdaad betalen om daar de complete step-by-step solution te zien. Je kan inloggen met facebook of google, maar dan moet je alsnog betalen volgens mij.quote:
[..]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=log^2%28t%2B12%29dt
even in context:
"bereken exact de extreme waarde van F-9(x)"
nvm heb het al gevonden lol
Ga nu gewoon zelf eens wat proberen, want van een voorgekauwde oplossing leer je niets. Hint: ik zou hier eerst even een substitutiequote:
[..]
Bedankt, hier heb ik wel wat aan.
[..]
Bedankt, maar heb inderdaad meer aan hints. En je moet inderdaad betalen om daar de complete step-by-step solution te zien. Je kan inloggen met facebook of google, maar dan moet je alsnog betalen volgens mij.
u = ln(t + 12)
uitvoeren, dan hebben we
t = eu − 12
en dus
dt/du = eu
oftewel
dt = eu·du
De onbepaalde integraal wordt dan
∫ u2eudu
en deze is een stuk eenvoudiger te behandelen met (herhaalde) partiële integratie. Als je het goed doet krijg je dan
∫ u2eudu = eu(u2 − 2u + 2) + C
en dan is het nog slechts een kwestie van terugsubstitueren van u = ln(t + 12).
Bedankt man, je doet nu toch gewoon hetzelfde als Wolfram.quote:
[..]
Ga nu gewoon zelf eens wat proberen, want van een voorgekauwde oplossing leer je niets. Hint: ik zou hier eerst even een substitutie
u = ln(t + 12)
uitvoeren, dan hebben we
t = eu − 12
en dus
dt/du = eu
oftewel
dt = eu·du
De onbepaalde integraal wordt dan
∫ u2eudu
en deze is een stuk eenvoudiger te behandelen met (herhaalde) partiële integratie. Als je het goed doet krijg je dan
∫ u2eudu = eu(u2 − 2u + 2) + C
en dan is het nog slechts een kwestie van terugsubstitueren van u = ln(t + 12).
Dat kan natuurlijk ook ja. Bij een lelijk kwadraat heb ik meestal de neiging om eerst partieel te proberen.quote:
[..]
Ga nu gewoon zelf eens wat proberen, want van een voorgekauwde oplossing leer je niets. Hint: ik zou hier eerst even een substitutie
u = ln(t + 12)
uitvoeren, dan hebben we
t = eu − 12
en dus
dt/du = eu
oftewel
dt = eu·du
De onbepaalde integraal wordt dan
∫ u2eudu
en deze is een stuk eenvoudiger te behandelen met (herhaalde) partiële integratie. Als je het goed doet krijg je dan
∫ u2eudu = eu(u2 − 2u + 2) + C
en dan is het nog slechts een kwestie van terugsubstitueren van u = ln(t + 12).
Aha dank je wel! Exact wat ik zocht.quote:
[..]
Dit is een heel oude en eigenlijk niet meer gebruikte notatie. Wonderlijk om te zien dat deze toch nog gebruikt wordt. Het gaat hier om een zogeheten vinculum. Dat is een horizontale streep boven een uitdrukking die dezelfde rol vervult als onze haakjes en die wordt gebruikt om een aggregaat aan te duiden. Hier is het de bedoeling om aan te geven dat er in de noemer van het differentiaalquotiënt (dr)² staat en niet d(r²).
Leibniz gebruikte deze notatie aanvankelijk bij zijn differentiaal- en integraalrekening, maar gaf deze later op, omdat hij inzag dat het gebruik van vincula hier redundant was. Een overblijfsel is nog het gebruik van de lange horizontale streep bij het wortelteken, om aan te geven van welke uitdrukking we de wortel nemen.
Hebben we een functie y = f(x) dan kan de eerste afgeleide in de Leibniz notatie zoals bekend worden aangegeven als dy/dx = d(f(x))/dx. Nemen we hier weer de afgeleide van, dan hebben we in de Leibniz notatie
waarvoor is te schrijven
en dat kunnen we symbolisch ook weergeven als
of als
De superscripts ² in de 'teller' en in de 'noemer' hebben hier een verschillende betekenis: in de 'teller' geeft de ² een herhaling aan van de operator d, maar in de noemer geeft ² een kwadraat aan, namelijk het kwadraat van dx. Zie voor meer voorbeelden van de oude notatie met vincula bijvoorbeeld J.M. Child, The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz (lees online of download dit boek als PDF of als DjVu).
Ja, het komt inderdaad uit een syllabus over kwantummechanica (ter afleiding van de orbitalen van een waterstofachtig atoom). Maar dus niet uit een boekquote:
[..]
Het ziet er uit als quantummechanica, welk boek gebruiken jullie?
.1. Als f'(x)=0, waarin x=a. Is dan voor de 2e afgeleide x=a ook per definitie 0 en dus tevens een buigpunt voor f(x), of is het alleen meestal zo?
2. Als f'(x)=0 niet gedefinieerd is, wat voor gevolgen heeft dit voor de extremen/buigpunten van f(x)?
1. Nee, natuurlijk niet. Denk eens aan f(x) = sin(x)quote:
Ik heb wat vragen over functieonderzoek.
1. Als f'(x)=0, waarin x=a. Is dan voor de 2e afgeleide x=a ook per definitie 0 en dus tevens een buigpunt voor f(x), of is het alleen meestal zo?
2. Als f'(x)=0 niet gedefinieerd is, wat voor gevolgen heeft dit voor de extremen/buigpunten van f(x)?
2. Dat is afhankelijk per situatie. Tevens kun je f'(x) = 0 is niet gedefinieerd niet zo zeggen. Een functie is wel of niet gedefinieerd in een punt, mocht dat zo zijn dan hoort daar een functiewaarde bij.
Vaak zul je zien dat functies niet continu zijn in dat punt.
[ Bericht 0% gewijzigd door #ANONIEM op 17-01-2014 23:04:35 ]
Thanks! Ik wilde 'niet continu' zeggen.quote:
[..]
1. Nee, natuurlijk niet. Denk eens aan f(x) = sin(x)
2. Dat is afhankelijk per situatie. Tevens kun je f'(x) = 0 is niet gedefinieerd niet zo zeggen. Een functie is wel of niet gedefinieerd in een punt, mocht dat zo zijn dan hoort daar een functiewaarde bij.
Vaak zul je zien dat functies niet continu zijn in dat punt.
Besef je dat 'niet gedefinieerd' en 'niet continu' absoluut geen equivalente uitspraken zijn.quote:
[..]
Thanks! Ik wilde 'niet continu' zeggen.
Beschouw de functie gegeven door f(x) = |x| op de reële getallen. Geef een domein waarop deze functie volledig differentieerbaar is en licht toe.
Tot slot wil ik uiteraard ook een functievoorschrift van f'(x) zien.
[ Bericht 10% gewijzigd door #ANONIEM op 18-01-2014 00:23:37 ]
Bedenk dat je functies kunt hebben die wel continu zijn, maar niet (in elk punt) differentieerbaar zijn. Zo isquote:
[..]
Thanks! Ik wilde 'niet continu' zeggen.
f(x) = |x|
in elk punt continu, maar deze functie is niet differentieerbaar in het punt x = 0, dus f'(x) is hier niet gedefinieerd voor x = 0. En toch heeft deze functie een minimum bij x = 0.