Ja, dit klopt, afgezien van je typo f''(x) voor f'(x), maar je hebt dit niet allemaal nodig om van de regel voor partieel integreren gebruik te kunnen maken.quote:Op donderdag 12 december 2013 00:06 schreef DefinitionX het volgende:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm
2008b, opgave 2.
Ik heb een strategie om dit op te lossen, maar die gaat uit van iets, namelijk dat deze waarden correct zijn:
F(X) = 1/2 x^2
f(x) = x
f'(x) = 1
G(X) = -sin(x) - cos(x)
g(x) = -cos(x) + sin(x)
g'(x) = sin(x) + cos(x)
Kloppen deze waarden?
Ja, je past in feite de hoofdstelling van de integraalrekening toe om een bepaalde integraal te berekenen, en bij gebruik van de regel voor partieel integreren is dat niet anders. Alleen werk je de integraal dan eerst om naar een integraal waarbij je gemakkelijker een primitieve van de integrand kunt opschrijven.quote:In de opgave wordt er een formule gegeven. Ik bereken rechts van de eerste formule alles voor x=pi en daar trek ik vanaf: alles rechts van de formule maar voor x=0. Klopt dat?
Nee, dat klopt niet. Kijk nog eens naar de eenheidscirkel: als we het startpunt (1;0) over π radialen oftewel een halve slag tegen de klok in roteren om de oorsprong, dan komen we uit in het punt (−1;0). De cosinus van π is dus −1 en niet +1 zoals de cosinus van 0.quote:Edit:
Daarbij merk ik op dat voor cos(x) er geen verschil zit wat betreft een waarde x=pi en x=0, deze geven allebei uiteindelijk 1.
quote:Op donderdag 12 december 2013 01:01 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ja, dit klopt, afgezien van je typo f''(x) voor f'(x), maar je hebt dit niet allemaal nodig om van de regel voor partieel integreren gebruik te kunnen maken.
[..]
Ja, je past in feite de hoofdstelling van de integraalrekening toe om een bepaalde integraal te berekenen, en bij gebruik van de regel voor partieel integreren is dat niet anders. Alleen werk je de integraal dan eerst om naar een integraal waarbij je gemakkelijker een primitieve van de integrand kunt opschrijven.
De hoofdstelling van de integraalrekening zegt dat als f: [a,b] → R een functie is die continu is op [a,b] en F een primitieve is van f, dat je dan hebt
Als je uitleg wil hebben (van mij) waarom dit geldt, dan kan ik je aanbevelen dit eens goed door te nemen.
De regel voor partieel integreren is de tegenhanger van de productregel uit de differentiaalrekening. Heb je een product h(x) = f(x)g(x) van twee functies f(x) en g(x), dan is de afgeleide van het product h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x). Omgekeerd kun je dus zeggen dat f(x)g(x) een primitieve is van f'(x)g(x) + f(x)g'(x), zodat je in overeenstemming met de hoofdstelling van de integraalrekening hebt
en dus
en dus
Hierbij wordt met de notatie [f(x)g(x)]ab bedoeld de waarde van f(x)g(x) voor de bovengrens x = b verminderd met de waarde van f(x)g(x) voor de ondergrens x = a. Deze notatie wordt gebruikt bij het berekenen van bepaalde integralen omdat we dan toch eerst een primitieve opschrijven voordat we de grenzen a en b van het interval waarover we integreren in gaan vullen. In plaats van blokhaken wordt ook wel gebruik gemaakt van een enkele verticale streep rechts van de uitdrukking waarvan we de waarde voor de bovengrens x = b verminderd met de waarde voor de ondergrens x = a moeten bepalen.
Bovenstaande regel kun je nu gebruiken om bijvoorbeeld de integraal uit de opgave uit te rekenen. Maar zoals altijd is het bij gebruik van deze regel van belang dat je je functies f(x) en g(x) handig kiest. Bij deze opgave kies je f(x) = x zodat f'(x) = 1 en dan moet je g(x) zodanig kiezen dat g'(x) = sin x + cos x, zodat je g(x) = −cos x + sin x kunt nemen. Werk nu zelf de opgave verder uit.
[..]
Nee, dat klopt niet. Kijk nog eens naar de eenheidscirkel: als we het startpunt (1;0) over π radialen oftewel een halve slag tegen de klok in roteren om de oorsprong, dan komen we uit in het punt (−1;0). De cosinus van π is dus −1 en niet +1 zoals de cosinus van 0.
Hint: limn→∞ 1/n = 0.quote:Op maandag 16 december 2013 12:38 schreef Amoeba het volgende:
Zij {fn} een functierij op een deelinterval D van R, nu moet ik een voorbeeld van zo'n functierij verzinnen die puntsgewijs convergeert naar een onbegrensde functie f* waarbij alle functies fn begrensd zijn.
Ik zat te denken aan f(x) = 1/x, maar ik kan nu geen functierij vinden die convergeert naar f(x).
Wederom geen antwoord gevraagd, maar een trapje in de goede richting.
http://nl.wikipedia.org/wiki/Normale_verdelingquote:Op maandag 16 december 2013 13:01 schreef Trinitrobenzeen het volgende:
Hoe reken je uit wat de kans is dat een de helft (200 van de 400) van een steekproef iets antwoord met antwoord X als je er vanuit gaat dat de kans op antwoord X bij een populatie 0.25 is? Dus dat het met een normale verdeling is met een gemiddelde van 0.25 en een standaardafwijking heeft van 0.022?
Klinkt ook wel als een binomiale verdeling. N = 400. P = 0,25. Je wil weten wat de kans op X = 200 is.quote:Op maandag 16 december 2013 13:01 schreef Trinitrobenzeen het volgende:
Hoe reken je uit wat de kans is dat een de helft (200 van de 400) van een steekproef iets antwoord met antwoord X als je er vanuit gaat dat de kans op antwoord X bij een populatie 0.25 is? Dus dat het met een normale verdeling is met een gemiddelde van 0.25 en een standaardafwijking heeft van 0.022?
Dus f* = 1/x, en fn(x) = 1/x + 1/n?quote:
Nee. Close but no cigar zou een Amerikaan zeggen. Kies D := (0,1) dan is f(x) in ieder geval niet begrensd op D. Nu moet je nog fn(x) definiëren op D zodanig dat limn→∞ fn(x) = f(x) voor elke x ∈ D terwijl fn voor elke n ∈ N wél begrensd is op D.quote:Op maandag 16 december 2013 18:01 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Dus f* = 1/x, en fn(x) = 1/x + 1/n?
Voor vaste x convergeert fn dan in ieder geval naar f*, maar is fn dan begrensd voor alle n?
Dat dacht ik al, want nabij x = 0 gaat het voor mijn 'begrensde functie' fn hard mis.quote:Op maandag 16 december 2013 18:10 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee. Close but no cigar zou een Amerikaan zeggen. Kies D := (0,1) dan is f(x) in ieder geval niet begrensd op D. Nu moet je nog fn(x) definiëren op D zodanig dat limn→∞ fn(x) = f(x) voor elke x ∈ D terwijl fn voor elke n ∈ N wél begrensd is op D.
Mja ik heb uiteindelijk standardizing gebruikt (weet helaas de nederlandse term niet, doe een engelse opleiding), dus Z scores enzo uitgerekend. Weet niet of het de gewenste methode was, want er waren meerdere subvragen en bij sommigen kreeg ik erg hoge Z scores (rond de 9 en 22), waardoor P (probability) dus erg laag was. Maar bij andere subvragen waren mijn antwoorden wel logisch, dus ik weet niet zeker of ik het goed heb gedaan. Waar staat N btw voor? Is denk ik ander symbool in het engels. De formule die ik iig heb gebruikt is deze:quote:Op maandag 16 december 2013 17:38 schreef Aardappeltaart het volgende:
[..]
Klinkt ook wel als een binomiale verdeling. N = 400. P = 0,25. Je wil weten wat de kans op X = 200 is.
SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Al is het een steekproef (en is deze formule voor een populatie), de formule blijft hetzelfde, alleen kon de steekproef formule niet vinden waarbij de sigma en mu zijn vervangen voor de juiste symbolen.It is our light, not our darkness that frightens us the most.
Our biggest fear is not that we are inadequate, our biggest fear is that we are powerful beyond measure.
4 Lineaire vergelijking met 4 onbekenden, niks moeilijks aan alleen wat veel rekenwerk als je geen rekenmachine mag gebruiken. Ik kom iig uit op een afstand van 78 km tussen P en Q en snelheid koerier A = 9km/h en B = 4km/hquote:Op maandag 16 december 2013 19:53 schreef la_perle_rouge het volgende:
Ik heb bij toeval een boek "Schriftelijke opgaven van de eindexamens der Hoogere Burgerescholen" vanaf 1868 gekregen. Diep respect voor de mensen die deze vragen zonder rekenmachines beatwoorden, want sommige vragen zijn niet echt moeilijk, maar vergen flink doorrekenen. Ik ga er overigens vanuit dat men er wel tabellenboekjes bij mocht gebruiken. Het vak wiskunde beslaat meer dan de helft van het boek, want het wordt gesplitst in algebra, trigonometrie, meetkunde en beschrijvende meetkunde.
Nu pieker ik al dagen over een van de opgaven uit het algebra-examen van 1870:
Twee koeriers A en B vertrekken op denzelfden tijd uit de steden P en Q elkander tegemoet. Aan het ontmoetingspunt gekomen, heeft A 30 kilometers meer afgelegd dan B en heeft hij nog 2 2/3 uur noodig om te Q te komen, terwijl B nog 13 1/2 uur noodig zou hebben om P te bereiken. Men vraagt den afstand P tot Q, alsmede de snelheid waarmee de koeriers gereisd hebben.
Iemand enig (eenig) idee hoe die HBS'ers van zo'n 1 1/2 eeuw geleden dit aanpakten?
Is het je gelukt om de correcte vergelijkingen op te stellen?quote:Op maandag 16 december 2013 20:31 schreef spacer730 het volgende:
[..]
4 Lineaire vergelijking met 4 onbekenden, niks moeilijks aan alleen wat veel rekenwerk als je geen rekenmachine mag gebruiken. Ik kom iig uit op een afstand van 78 km tussen P en Q en snelheid koerier A = 9km/h en B = 4km/h
Hoe zou ik anders op een antwoord komen?quote:Op maandag 16 december 2013 20:57 schreef DeHuig het volgende:
[..]
Is het je gelukt om de correcte vergelijkingen op te stellen?
Je antwoord klopt. Maar dat het veel rekenwerk is of dat je vier vergelijkingen met vier onbekenden zou moeten opstellen klopt niet. Je stelsel is overigens niet lineair, want in je derde en vierde vergelijking heb je een product van twee onbekenden.quote:Op maandag 16 december 2013 20:31 schreef spacer730 het volgende:
[..]
4 Lineaire vergelijking met 4 onbekenden, niks moeilijks aan alleen wat veel rekenwerk als je geen rekenmachine mag gebruiken. Ik kom iig uit op een afstand van 78 km tussen P en Q en snelheid koerier A = 9km/h en B = 4km/h
Ik denk zelf aan: 0.25^200 * 0.75^200.quote:Op maandag 16 december 2013 13:01 schreef Trinitrobenzeen het volgende:
Hoe reken je uit wat de kans is dat een de helft (200 van de 400) van een steekproef iets antwoord met antwoord X als je er vanuit gaat dat de kans op antwoord X bij een populatie 0.25 is?
Je vergeet de binomiaalcoëfficiënt.quote:Op maandag 16 december 2013 23:20 schreef DefinitionX het volgende:
[..]
Ik denk zelf aan: 0.25^200 * 0.75^200.
0.25^200 * 0.75^200. * ( 400 200)quote:Op maandag 16 december 2013 23:55 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je vergeet de binomiaalcoëfficiënt.
Bedankt allebei. Ik heb wel een heleboel met verhoudingen zitten frutten, en met vergelijkingen, maar ik raakte steeds maar de draad kwijt. Die antwoorden kloppen (die staan ook in het boek). Ik snapte alleen niet hoe ze eraan kwamen, maar nu dus wel. Ik zal eens kijken of ik met deze methode zelf opgave 1 van het examen van 1910 kan oplossen, dat is iets soortgelijks, met een voetganger en een rijtuig. (Die koeriers gingen overigens niet snel, handkar en bakfiets? En dan koudweg vertrekken voor een afstand van 78 km?)quote:Op maandag 16 december 2013 21:08 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je antwoord klopt. Maar dat het veel rekenwerk is of dat je vier vergelijkingen met vier onbekenden zou moeten opstellen klopt niet.
Op het moment dat de koeriers elkaar ontmoeten in een punt R op de route tussen P en Q geldt dat de tot dan toe door de koeriers afgelegde afstanden zich verhouden als hun snelheden, die we a en b kunnen noemen. Aangezien koerier B dan nog 27/2 uur zal doen over het stuk RP dat A op dat moment heeft afgelegd en koerier A nog 8/3 uur zal doen over het stuk RQ dat B al heeft afgelegd geldt dan
(27/2)·b : (8/3)·a = RP : RQ = a : b
en dit levert
16a2 = 81b2
en daarmee
a : b = 9 : 4
Maar dit is tevens de verhouding van de afgelegde afstanden in het ontmoetingspunt R, zodat
PR : RQ = 9 : 4
en omdat PR = RQ + 30 geeft dit
(RQ + 30) : RQ = 9 : 4
30 : RQ = 5 : 4
RQ = 24
en dus PR = RQ + 30 = 54 en daarmee PQ = PR + RQ = 54 + 24 = 78 km. Koerier A doet nog 8/3 uur over RQ = 24 km en heeft dus een snelheid van 24·(3/8) = 9 km/h en koerier B doet nog 27/2 uur over RP = 54 km en heeft dus een snelheid 54·(2/27) = 4 km/h.
Nog even een aanvulling. Ik bedacht nadat ik mijn uitwerking had gepost dat het berekenen van de afstand PQ eenvoudiger en eleganter gaat als je gebruik maakt van een bekende eigenschap van evenredigheden. Uit p : q = r : s volgt namelijk dat (p + q) : (p − q) = (r + s) : (r − s) mits p ≠ q. Welnu, we hadden gevonden datquote:Op dinsdag 17 december 2013 08:03 schreef la_perle_rouge het volgende:
[..]
Bedankt allebei. Ik heb wel een heleboel met verhoudingen zitten frutten, en met vergelijkingen, maar ik raakte steeds maar de draad kwijt. Die antwoorden kloppen (die staan ook in het boek). Ik snapte alleen niet hoe ze eraan kwamen, maar nu dus wel. Ik zal eens kijken of ik met deze methode zelf opgave 1 van het examen van 1910 kan oplossen, dat is iets soortgelijks, met een voetganger en een rijtuig. (Die koeriers gingen overigens niet snel, handkar en bakfiets? En dan koudweg vertrekken voor een afstand van 78 km?)
We definiëren op D = [0,1]quote:Op maandag 16 december 2013 18:10 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee. Close but no cigar zou een Amerikaan zeggen. Kies D := (0,1) dan is f(x) in ieder geval niet begrensd op D. Nu moet je nog fn(x) definiëren op D zodanig dat limn→∞ fn(x) = f(x) voor elke x ∈ D terwijl fn voor elke n ∈ N wél begrensd is op D.
Ja, dat kan, alleen zijn je functies fn(x) nu niet continu op D = [0,1]. Ik dacht zelf aan fn(x) = 1/(x + 1/n), dan is elke fn(x) continu op D = (0,1), en heb je | fn(x) | < n voor x > 0 maar dan moet je 0 uitsluiten uit het domein omdat limn→∞ fn(0) dan niet bestaat.quote:Op dinsdag 17 december 2013 12:31 schreef Amoeba het volgende:
[..]
We definiëren op D = [0,1]
f: D -> R, gegeven door f(x) = 1/x voor x ongelijk 0 en f(0) = 0
En de bijbehorende functierij {fn} wordt gegeven door fn(x) = 1/x als x > 1/n en fn(x) = 0 als x ≤ 1/n.
Wat vind je hiervan?
Maar continuïteit was geen eis, en dat vind ik wel mooi. Maar ik mag 0 niet uitsluiten van het domein, want ik moet een functie op dat domein [0,1] vinden.quote:Op dinsdag 17 december 2013 12:56 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ja, dat kan, alleen zijn je functies fn(x) nu niet continu op D = [0,1]. Ik dacht zelf aan fn(x) = 1/(x + 1/n), dan is elke fn(x) continu op D = (0,1), en heb je | fn(x) | < n voor x > 0 maar dan moet je 0 uitsluiten uit het domein omdat limn→∞ fn(0) dan niet bestaat.
Ah zo. Dat had je dan hierboven wel aan moeten geven.quote:Op dinsdag 17 december 2013 16:27 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Maar continuïteit was geen eis, en dat vind ik wel mooi. Maar ik mag 0 niet uitsluiten van het domein, want ik moet een functie op dat domein [0,1] vinden.
Nee dit is precies de opgave. Er wordt toch nergens een eis gesteld aan de continuïteit van fn(x) en f(x)?quote:Op dinsdag 17 december 2013 16:35 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ah zo. Dat had je dan hierboven wel aan moeten geven.
Nee dat niet, maar jij maakte bezwaar tegen mijn keuze D := (0,1) en toen pas gaf je aan dat je een functie op het domein [0,1] moest vinden, terwijl je die eis eerder niet stelde.quote:Op dinsdag 17 december 2013 16:46 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Nee dit is precies de opgave. Er wordt toch nergens een eis gesteld aan de continuïteit van fn(x) en f(x)?
Ah, excuus, vergeten.quote:Op dinsdag 17 december 2013 16:52 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee dat niet, maar jij maakte bezwaar tegen mijn keuze D := (0,1) en toen pas gaf je aan dat je een functie op het domein [0,1] moest vinden, terwijl je die eis eerder niet stelde.
Ten eerste, wil je de letter x niet gebruiken als vermenigvuldigingsteken? Daarvoor is de center dot uitgevonden. Vaak wordt de letter x gebruikt voor een variabele.quote:Op zondag 22 december 2013 20:09 schreef Senderious het volgende:
Ik ben bezig met het onderwerp machten met gebroken exponent.
Dit wordt slecht uitgelegd in mijn boek en op internet kan ik er ook weinig over vinden wat mij verder helpt.
Het gaat om deze opgave:
Schrijf als macht of product van machten.
5√18 x 10√12
36 = 4*9 = 22 * 32quote:Op zondag 22 december 2013 20:38 schreef Senderious het volgende:
Mijn excuses, die zal ik voortaan gebruiken.
Bedankt voor je tijd en moeite!
Maar in mijn antwoordenboek wordt het antwoord van de desbetreffende opgave als volgt aangegeven:
22/5·31/2
Het is duidelijk dat je voor alle x>1 puntsgewijze convergentie hebt naar 0. Merk op dat voor x=1 iedere functie 1/2 zou zijn, en dat hoe dichter je x=1 van boven nadert, hoe langzamer de convergentie naar 0 gaat. Uniforme convergentie betekent dat er een bovengrens moet zijn voor hoe snel de convergentie over alle x plaatsvindt. Dat is hier niet het geval, dus is er geen uniforme convergentie.quote:Op zondag 22 december 2013 20:57 schreef Amoeba het volgende:
Ik heb trouwens nog een vraagje over uniforme convergentie.
We definiëren de functierij (fk) als volgt
, met D := (1, ∞)
gegeven door
Nu wordt er gevraagd om voor de functiereeks van fk uniforme convergentie aan te tonen of te weerleggen. Ik zie dat fk puntsgewijs convergent is, en met de stelling van Dini kan ik zelfs uniforme convergentie aantonen, maar ik heb geen idee hoe ik nu uniforme convergentie voor de functiereeks kan aantonen of weerleggen. Tipje iemand? [ afbeelding ]
fk(x) is wel degelijk uniform convergent, volgens de stelling van Dini.quote:Op maandag 23 december 2013 01:55 schreef thenxero het volgende:
[..]
Het is duidelijk dat je voor alle x>1 puntsgewijze convergentie hebt naar 0. Merk op dat voor x=1 iedere functie 1/2 zou zijn, en dat hoe dichter je x=1 van boven nadert, hoe langzamer de convergentie naar 0 gaat. Uniforme convergentie betekent dat er een bovengrens moet zijn voor hoe snel de convergentie over alle x plaatsvindt. Dat is hier niet het geval, dus is er geen uniforme convergentie.
Dit is even een snel intuïtief argument, maar ik denk dat het wel klopt, dus probeer het eens om te zetten in een bewijs.
Als de functiereeks uniform convergent is, dan is die ook in het bijzonder puntsgewijs convergent. Dus deze functiereeks moet naar de nul-functie convergeren, als die uniform convergent wil zijn. Nu moet je laten zien dat het niet kan; je moet laten zien dat de functiereeks niet uniform convergeert naar de nul-functie onder de functienorm (sup-norm).quote:Op maandag 23 december 2013 08:15 schreef Amoeba het volgende:
Oh fuck, je mag de stelling van Dini alleen toepassen op begrensde en gesloten intervallen.
'Nu weet ik nog niets.
Ja dat snap ik, ik heb alleen geen idee hoe ik dat doe.quote:Op maandag 23 december 2013 09:05 schreef Mathemaat het volgende:
[..]
Als de functiereeks uniform convergent is, dan is die ook in het bijzonder puntsgewijs convergent. Dus deze functiereeks moet naar de nul-functie convergeren, als die uniform convergent wil zijn. Nu moet je laten zien dat het niet kan; je moet laten zien dat de functiereeks niet uniform convergeert naar de nul-functie onder de functienorm (sup-norm).
Gewoon zoals je het met een reële rij zou doen onder de euclidische norm, maar nu met functies onder de sup-norm. Probeer gewoon maar wat aan te kloten met papier en pen. Iedereen gaat door deze fase binnen wiskunde, als je er goed in wil wordenquote:Op maandag 23 december 2013 11:19 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Ja dat snap ik, ik heb alleen geen idee hoe ik dat doe.
http://www.wjvanderzanden(...)20Hoofdstuk%2012.pdfquote:Op maandag 23 december 2013 16:09 schreef ibri het volgende:
constante hoeken, omtrekshoeken en vooral hoek tussen raaklijn en koorde.
Heb je al geprobeerd mijn intuïtieve bewijs om te zetten in een formeel bewijs?quote:Op maandag 23 december 2013 11:19 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Ja dat snap ik, ik heb alleen geen idee hoe ik dat doe.
Volgens mij kwam jouw intuïtief bewijs niet verder dan een kreet dat hij niet uniform convergent was.quote:Op maandag 23 december 2013 18:23 schreef thenxero het volgende:
[..]
Heb je al geprobeerd mijn intuïtieve bewijs om te zetten in een formeel bewijs?
Forum Opties | |
---|---|
Forumhop: | |
Hop naar: |