Vraag over logaritmen

Wat jij doet op je rekenmachine is eigenlijk 5*(10log(3))

Je moet op je rekenmachine log(3)/log(5) gebruiken om de ⁵log(3) te berekenen. Die is 0.682606194 en 5^0.682606194 = 3.

Rekenmachines werken alleen maar met ¹⁰log en ^elog = ln

5*log(3) = log(3^5)
Verder kan je inderdaad de logaritme met een ander grondtal berekenen met het truucje wat de mol gebruikt maar het is belangrijker dat je begrijpt waarom dat dit truucje werkt dan dat je het kan uitrekenen.
Doe jezelf een plezier en oefen zoveel mogelijk zonder rekenmachientje, dat is nu even meer werk maar straks gaat het gemakkelijker zijn.

Op basis van het onderstaande citaat vermoed ik dat jij nog niet goed begrijpt wat een logarithme is, kijk nog eens goed naar die definities.

quote:

5log(3)=2,386...
terwijl 5^2,386 niet gelijk is aan 5

quote:

Op zondag 25 maart 2012 18:24 schreef Bram_van_Loon het volgende:

Op basis van het onderstaande citaat vermoed ik dat jij nog niet goed begrijpt wat een logarithme is, kijk nog eens goed naar die definities.

[..]

Hier leg je precies de vinger op de zere plek. En niet alleen dat, er blijkt ook maar weer eens uit hoe hersenloos gebruik van rekenmachientjes de ontwikkeling van een juist begrip in de weg staat.

quote:

Op zondag 25 maart 2012 18:47 schreef ulq het volgende:

[..]

nee ik snap het wel, alleen die rekenregels had ik niet doorgekeken. dat citaat was dus om te laten zien dat het niet klopte

Niet overtuigend. Het probleem is en blijft dat je niet het verschil zag tussen ⁵log 3 en 5∙log 3.

quote:

Op zondag 25 maart 2012 18:38 schreef Riparius het volgende:

[..]

Hier leg je precies de vinger op de zere plek. En niet alleen dat, er blijkt ook maar weer eens uit hoe hersenloos gebruik van rekenmachientjes de ontwikkeling van een juist begrip in de weg staat.

deze discussie is al lang gaande, maar ik blijf vinden dat het gebruik van een rekenmachine niet slecht is voor de ontwikkeling van iemand. het probleem ligt in het feit dat jochies op de middelbare meteen een dikke TI-84 plus krijgen voor de abc formule, want andere dingen, behalve het gewone, doe je daar niet mee. dat is inderdaad slecht. maar geef ze op de middelbare niks anders dan een normale rekenmachine (scientific) en het probleem is opgelost. ik gebruik nu de TI-84 plus op het HBO, technische opleiding en ook daarvoor is het eigenlijk overkill, laat maar staan havo/vwo.

dus het probleem is niet dat je een rekenmachine gebruikt, het probleem is dat je een rekenmachine gebruikt dat dingen voor je doet zonder dat je in de gaten hebt wat je doet.

quote:

En niet alleen dat, er blijkt ook maar weer eens uit hoe hersenloos gebruik van rekenmachientjes de ontwikkeling van een juist begrip in de weg staat.

Inderdaad. Als je op wat knopjes duwt dan krijg je het juiste antwoord (daarom niet altijd het antwoord wat je wil hebben), waarom zou je dan zelf gaan nadenken?
Beter eerst maar eens zonder rekenmachientje alle bewerkingen automatiseren.


http://americanhistory.si(...)hist/sj1.html#import
Hier een interview met Steve Jobs, dit interview werd afgenomen, vlak voordat Toy Story in de bioscoop kwam (tweede helft jaren 90?).
Wat hij hieronder zegt is een waarheid als een koe, het geeft te denken wanneer uitgerekend zo'n man benadrukt dat het de mensen zijn die het moeten doen en dat geen bestaande technologie de rol van de mens kan vervangen.
Hij heeft nog meer interessants over het onderwijs te zeggen.

The Role of Computers in Education

DM: Some people say that this new technology maybe a way to bypass that. Are you optimistic about that?

SJ: I absolutely don't believe that. As you've pointed out I've helped with more computers in more schools than anybody else in the world and I absolutely convinced that is by no means the most important thing. The most important thing is a person. A person who incites your curiosity and feeds your curiosity; and machines cannot do that in the same way that people can. The elements of discovery are all around you. You don't need a computer. Here - why does that fall? You know why? Nobody in the entire world knows why that falls. We can describe it pretty accurately but no one knows why. I don't need a computer to get a kid interested in that, to spend a week playing with gravity and trying to understand that and come up with reasons why.

DM: But you do need a person.

SJ: You need a person. Especially with computers the way they are now. Computers are very reactive but they're not proactive; they are not agents, if you will. They are very reactive. What children need is something more proactive. They need a guide. They don't need an assistant. I think we have all the material in the world to solve this problem; it's just being deployed in other places. I've been a very strong believer in that what we need to do in education is to go to the full voucher system. I know this isn't what the interview was supposed to be about but it is what I care about a great deal.

DM: This question was meant to be at the end and we're just getting to it now.

SJ: One of the things I feel is that, right now, if you ask who are the customers of education, the customers of education are the society at large, the employers who hire people, things like that. But ultimately I think the customers are the parents. Not even the students but the parents. The problem that we have in this country is that the customers went away. The customers stopped paying attention to their schools, for the most part. What happened was that mothers started working and they didn't have time to spend at PTA meetings and watching their kids' school. Schools became much more institutionalized and parents spent less and less and less time involved in their kids' education. What happens when a customer goes away and a monopoly gets control, which is what happened in our country, is that the service level almost always goes down. I remember seeing a bumper sticker when the telephone company was all one. I remember seeing a bumper sticker with the Bell Logo on it and it said "We don't care. We don't have to." And that's what a monopoly is. That's what IBM was in their day. And that's certainly what the public school system is. They don't have to care.

Let's go through some economics. The most expensive thing people buy in their lives is a house. The second most expensive thing is a car, usually, and an average car costs approximately twenty thousand dollars. And an average car lasts about eight years. Then you buy another one. Approximately two thousand dollars a year over an eight year period. Well, your child goes to school approximately eight years in K through 8. What does the State of California spent per pupil per year in a public school? About forty-four hundred dollars. Over twice as much as a car. It turns out that when you go to buy a car you have a lot of information available to you to make a choice and you have a lot of choices. General Motors, Ford, Chrysler, Toyota and Nissan. They are advertising to you like crazy. I can't get through a day without seeing five car ads. And they seem to be able to make these cars efficiently enough that they can afford to take some of my money and advertise to other people. So that everybody knows about all these cars and they keep getting better and better because there's a lot of competition.

DM: There's a warranty.


@Chris
Eigenlijk zouden ze de leerlingen die wortelformule (de eigenlijk naam) moeten laten afleiden. Niet elke keer opnieuw maar toch in ieder geval tijdens 1 toets. Zo moeilijk is het niet en je ziet dat het niet een of andere magische formule is maar dat je met een paar simpele algebraïsche bewerkingen zelf die formule kan reproduceren. Terwijl de leerlingen dit doen ontstaat hopelijk wat inzicht en ze leren tegelijkertijd kwadraatsplitsen wat met calculus voor een enkele toepassing weer gemakkelijk is.

[ Bericht 2% gewijzigd door Bram_van_Loon op 25-03-2012 19:16:16 ]

De nieuwe versie van de TI-84 heeft een LOGbase functie in het math menu. Daar kun je wel alle logfuncties letterlijk overnemen.

quote:

nee ik snap het wel, alleen die rekenregels had ik niet doorgekeken. dat citaat was dus om te laten zien dat het niet klopte

Vat het niet verkeerd op maar wat dacht je er van om eerst die regels goed te bestuderen en pas dan het rekenmachientje te pakken? Die sommetjes die je krijgt kan je perfect zonder rekenmachientje oplossen en het is volgens mij zelfs de bedoeling dat je het zonder rekenmachientje doet aangezien ze de sommen dusdanig opstellen dat het kan.

quote:

De nieuwe versie van de TI-84 heeft een LOGbase functie in het match menu. Daar kun je wel alle logfuncties letterlijk overnemen.

Wat heb je er aan? Je kan beter de regeltjes kennen en begrijpen, als hij ooit een bètaopleiding gaat doen dan is de kans groot dat hij dat nog nodig gaat hebben. Je kan niet altijd alles blijven opzoeken, soms moet je gewoon kennis paraat hebben als je het jezelf niet onnodig moeilijk willen maken.

[ Bericht 12% gewijzigd door Bram_van_Loon op 25-03-2012 19:17:48 ]

quote:

Op zondag 25 maart 2012 19:04 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

http://americanhistory.si(...)hist/sj1.html#import
Hier een interview met Steve Jobs, dit interview werd afgenomen, vlak voordat Toy Story in de bioscoop kwam (tweede helft jaren 90?).
Wat hij hieronder zegt is een waarheid als een koe, het geeft te denken wanneer uitgerekend zo'n man benadrukt dat het de mensen zijn die het moeten doen en dat geen bestaande technologie de rol van de mens kan vervangen.
Hij heeft nog meer interessants over het onderwijs te zeggen.

Bram, ik zie niet zo goed hoe dit interview hier relevant is. SJ pleit hier vooral voor particulier initiatief in het onderwijs en tegen door de overheid georganiseerd en gereguleerd onderwijs, en ik denk nu juist dat we die kant niet op moeten, al was het maar omdat goed onderwijs dan helemaal onbereikbaar c.q. onbetaalbaar wordt voor grote groepen van de bevolking. Onderwijs zou juist gratis moeten zijn.

quote:

@Chris
Eigenlijk zouden ze de leerlingen die wortelformule (de eigenlijk naam) moeten laten afleiden. Niet elke keer opnieuw maar toch in ieder geval tijdens 1 toets. Zo moeilijk is het niet en je ziet dat het niet een of andere magische formule is maar dat je met een paar simpele algebraïsche bewerkingen zelf die formule kan reproduceren. Terwijl de leerlingen dit doen ontstaat hopelijk wat inzicht en ze leren tegelijkertijd kwadraatsplitsen wat met calculus voor een enkele toepassing weer gemakkelijk is.

Ik denk dat je juist moet beginnen met het aanleren van de techniek van het kwadraatafsplitsen bij de behandeling van vierkantsvergelijkingen. Vroeger gebeurde dat ook, en in een aantal landen nog steeds. Dat is ook mooi meetkundig te visualiseren (vergelijk de meetkundige oplossing van vierkantsvergelijkingen bij de oude Grieken) en geeft leerlingen inzichten die bij de huidige praktijk in het Nederlandse onderwijs ontbreken.

quote:

Bram, ik zie niet zo goed hoe dit interview hier relevant is. SJ pleit hier vooral voor particulier initiatief in het onderwijs en tegen door de overheid georganiseerd en gereguleerd onderwijs, en ik denk nu juist dat we die kant niet op moeten, al was het maar omdat goed onderwijs dan helemaal onbereikbaar c.q. onbetaalbaar wordt voor grote groepen van de bevolking. Onderwijs zou juist gratis moeten zijn.

Het gaat om het eerste deel van dat stukje tekst:
"DM: Some people say that this new technology maybe a way to bypass that. Are you optimistic about that?

SJ: I absolutely don't believe that. As you've pointed out I've helped with more computers in more schools than anybody else in the world and I absolutely convinced that is by no means the most important thing. The most important thing is a person. A person who incites your curiosity and feeds your curiosity; and machines cannot do that in the same way that people can. The elements of discovery are all around you. You don't need a computer. Here - why does that fall? You know why? Nobody in the entire world knows why that falls. We can describe it pretty accurately but no one knows why. I don't need a computer to get a kid interested in that, to spend a week playing with gravity and trying to understand that and come up with reasons why.

DM: But you do need a person.

SJ: You need a person. Especially with computers the way they are now. Computers are very reactive but they're not proactive; they are not agents, if you will. They are very reactive. What children need is something more proactive. They need a guide. They don't need an assistant."

Het lijkt niet zo bijzonder maar wat hij hier zegt is enorm belangrijk. Hij legt uit waarom je software slechts voor een zeer beperkt aantal toepassingen in het onderwijs kan gebruiken, waarom het onwenselijk is om kinderen heel de dag achter de computer te zetten in plaats van een leraar de stof te laten uitleggen en te laten toetsen ofdat de leerling het begrepen heeft. Hij legt tevens uit waarom een grafisch rekenmachientje leerlingen eerder 'dommer' dan 'slimmer' maakt. Computers kunnen alleen maar routines volgen die van a tot z van te voren zijn bedacht, ze kunnen niet reageren op een mens. Het grafisch rekenmachientje werkt alles keurig voor je uit maar het grafisch rekenmachientje kan niet nagaan ofdat je wel iets begrijpt van wat je invoert, van wat wordt uitgewerkt en van de uitkomst. Als je daarentegen niet zo'n computertje gebruikt dan wordt je gedwongen om zelf na te denken en je fouten te corrigeren.

Dat vouchersysteem is op zich geen slecht idee maar ik zal niet stellen dat we dat hier moeten invoeren (ik zal ook niet stellen dat we dat niet moeten doen). Het is in ieder geval duidelijk, lijkt mij, dat er behoefte is aan een bepaald type school en onderwijs wat nu nauwelijks bestaat in Nederland. Hoe dat te implementeren weet ik niet, daar moeten we het in deze discussie maar niet over hebben.
Ik wil wel even opmerken dat een vouchersysteem wellicht te combineren is met een financieel laagdrempelig onderwijsstelsel maar het opent inderdaad ook de deur voor een groei in aantal van private scholen. Dat hoeft niet noodzakelijk een probleem te zijn, er zijn uitstekende private scholen die iedere geschikte leerling aannemen, de rijkere ouders betalen in feite (een groot deel van) de onderwijskosten van de armere ouders. Ik denk dat er betere oplossingen zijn voor ons onderwijsstelsel. Het onderwijs moet finaniceel gezien laagdrempelig zijn en qua inhoud sterk differentiëren.

fuck de log
gebruik de ln

de log invoeren in het middelbare onderwijs is echt een blunder geweest, ze hadden het bij de ln moeten laten

[ Bericht 29% gewijzigd door Setting_Sun op 26-03-2012 02:13:42 ]

quote:

Op maandag 26 maart 2012 01:47 schreef Setting_Sun het volgende:
fuck de log
gebruik de ln

De log invoeren in het middelbaar onderwijs is echt een blunder geweest, ze hadden het bij de ln moeten laten

Nee, dit is laaiende onzin. Logaritmen zijn in het elementaire onderwijs ingevoerd ergens aan het begin van de 19e eeuw, toen er van rekenmachines nog geen sprake was. En om praktische redenen, namelijk vanwege ons tientallige talstelsel, werden berekeningen toen voornamelijk uitgevoerd met de zogeheten Briggse logaritmen met grondtal 10. De notatie log is trouwens veel ouder dan de notatie ln, die pas in 1893 werd geïntroduceerd door de wiskundige Irving Stringham (1847-1909). Uiteraard waren natuurlijke logaritmen ook van oudsher bekend en in gebruik, maar deze speelden vooral een rol in de zuivere wiskunde, en minder bij praktische berekeningen. Bij toepassingen buiten de zuivere wiskunde spelen logaritmen met grondtal 10 nog altijd een belangrijke rol, denk alleen maar aan de geluidssterkte in dB, de zuurgraad in pH, de schaal van Richter voor aardbevingen, of de helderheid (magnitude) van sterren in de astronomie.

Er bestaat geen eenduidige notatie voor logaritmen en hun grondtal, deze verschilt per land en taalgebied en per discipline. In Nederland werd altijd de notatie ^glog x gebezigd voor de logaritme van x met grondtal g, maar onder angelsaksische invloed vindt men tegenwoordig ook vaak log_gx. Deze laatste notatie kan vooral in handschrift gauw aanleiding geven tot verwarringen en is daarom af te raden.

De notatie log zonder aanduiding van het grondtal is ambigu. In veel toepassingsgerichte disciplines duidt log de logaritme met grondtal 10 aan, terwijl er in de zuivere wiskunde doorgaans de natuurlijke logaritme mee wordt bedoeld. Maar op zogeheten 'wetenschappelijke' rekenmachines wordt met LOG juist de logaritme met grondtal 10 bedoeld, en worden natuurlijke logaritmen aangeduid met LN.

Veel 'zuivere' wiskundigen hebben iets tegen het gebruik van de aanduiding ln voor natuurlijke logaritmen, waardoor de ambiguïteit van het symbool log in stand wordt gehouden. De aanduiding ln is echter een officiële ISO aanduiding voor natuurlijke logaritmen, evenals lg (niet log) volgens ISO de correcte aanduiding is voor logaritmen met grondtal 10. En dan is er ook nog de ISO aanduiding lb voor binaire logaritmen, i.e. logaritmen met grondtal 2. De aanduiding log wordt in de ISO standaard gereserveerd voor logaritmen waarvan het grondtal niet nader is gespecificeerd, of - met aanduiding van het grondtal - voor logaritmen met een grondtal anders dan 2, e of 10.

WolframAlpha maakt er een potje van doordat lg weliswaar wordt gerespecteerd als aanduiding voor logaritmen met grondtal 10, maar lb niet wordt herkend als aanduiding van binaire logaritmen: de aanduiding lb wordt naar angelsaksisch gebruik opgevat als eenheid van massa (avoirdupois pound). Anderzijds worden log en ln weer niet onderscheiden maar zonder specificatie van het grondtal beide opgevat als aanduiding van natuurlijke logaritmen. Bij WolframAlpha is het mogelijk een grondtal te specificeren door log(g,x) in te voeren voor ^glog x, maar het negeren van het onderscheid tussen log en ln heeft de idiote consequentie dat ln(g,x) ook wordt opgevat als ^glog x. Daarentegen werkt lg(g,x) niet maar wordt hierbij ook geen foutmelding gegenereerd. Tja ...

[ Bericht 2% gewijzigd door Riparius op 27-03-2012 17:00:57 ]

prachtig verhaal maar het gebruik van e als grondtal (ik schrijf daar ln voor) zorgt ervoor dat onderstaande handige regel geldt:

ln x^a = a ln x

Hier is op de middelbare school minimale aandacht voor terwijl het het leven zoveel makkelijker maakt.
'Ingewikkelde' berekeningen met andere grondtallen, daar vullen ze echter de boeken mee sukkels

quote:

Op zondag 25 maart 2012 17:54 schreef ulq het volgende:
Even een vraagje over logaritmen.

Ik had dus het idee dat een logaritme van getal X met grondtal Y eigenlijk gewoon het getal is waarmee je Y moet verheffen om X te krijgen. Oftewel Ylog(X)=Y^Ylog(X)

log(3)=0,477...
en 10^0,477

Dit klopt vooralsnog dus. Maar als ik een ander grondtal als 10 of e wil invoeren klopt het niet meer. Hier bijvoorbeeld:

5log(3)=2,386...
terwijl 5^2,386 niet gelijk is aan 5

Dus mijn vraag is: wat klopt er niet of wat doe ik fout?

Bij voorbaat dank!

Probeer het eens met log(3)/log(5) en doe dan 5^uitkomst? 5log(3) is vermoedelijk 5*¹⁰log3?

quote:

prachtig verhaal maar het gebruik van e als grondtal (ik schrijf daar ln voor) zorgt ervoor dat onderstaande handige regel geldt:

ln xa = a ln x

Gebruik 10 als grondtal en hetzelfde regeltje geldt. Dat regeltje wordt wel degelijk goed uitgelegd op het VWO. Het is eigenlijk al van de zotten dat zoveel stof zoveel wordt herhaald, 1 of 2 herhalingen zou moeten volstaan.
Ingewikkelde berekeningen ben ik niet tegengekomen (Getal en Ruimte), wel moet je voor sommige sommetjes de regeltjes (die overigens allemaal door de leerling zelf af te leiden zijn) goed kennen maar de regeltjes dril je vanzelf doordat per oefening 1 regeltje wordt geïntroduceerd. Als je die 'opbouw'oefeningen overslaat dan maak je het jezelf onnodig moeilijk.

quote:

Op maandag 26 maart 2012 12:57 schreef Setting_Sun het volgende:
prachtig verhaal maar het gebruik van e als grondtal (ik schrijf daar ln voor) zorgt ervoor dat onderstaande handige regel geldt:

ln x^a = a ln x

Hier is op de middelbare school minimale aandacht voor terwijl het het leven zoveel makkelijker maakt.

Je bent zelf een exponent (pun intended) van slecht onderwijs, want hiermee geef je er blijk van dat je het toch niet hebt begrepen. De regel die je geeft geldt onafhankelijk van het grondtal. Logaritmen zetten vermenigvuldigingen om in optellingen (die eenvoudiger zijn uit te voeren met pen en papier), terwijl machtsverheffingen worden omgezet in vermenigvuldigingen (die eveneens eenvoudiger met de hand zijn uit te voeren). Dit is precies de reden waarom logaritmen vroeger toen er nog geen elektronische hulpmiddelen voorhanden waren zo'n belangrijke rol speelden, en dan juist vooral de logaritmen met grondtal 10.

quote:

'Ingewikkelde' berekeningen met andere grondtallen, daar vullen ze echter de boeken mee sukkels

Wie is hier nu de sukkel? Om bijvoorbeeld te begrijpen wat een decibel is, of een pH waarde, zul je toch echt enig benul moeten hebben van logaritmen met grondtal 10.

quote:

Op maandag 26 maart 2012 15:40 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Gebruik 10 als grondtal en hetzelfde regeltje geldt. Dat regeltje wordt wel degelijk goed uitgelegd op het VWO. Het is eigenlijk al van de zotten dat zoveel stof zoveel wordt herhaald, 1 of 2 herhalingen zou moeten volstaan.
Ingewikkelde berekeningen ben ik niet tegengekomen (Getal en Ruimte), wel moet je voor sommige sommetjes de regeltjes (die overigens allemaal door de leerling zelf af te leiden zijn) goed kennen maar de regeltjes dril je vanzelf doordat per oefening 1 regeltje wordt geïntroduceerd. Als je die 'opbouw'oefeningen overslaat dan maak je het jezelf onnodig moeilijk.

goh warempel, nou ja, ik heb mijn hele leven lang alles met de ln (grondtal e) kunnen doen. Wel zo handig als je ook iets concreet moet uitrekenen. Maakt werken met afgeleiden ook het makkelijkst

quote:

Op dinsdag 27 maart 2012 20:43 schreef Setting_Sun het volgende:

[..]

goh warempel, nou ja, ik heb mijn hele leven lang alles met de ln (grondtal e) kunnen doen. Wel zo handig als je ook iets concreet moet uitrekenen. Maakt werken met afgeleiden ook het makkelijkst

Nee, als je rekent aan grootheden die gerelateerd zijn aan decadische logaritmen is het gebruik van natuurlijke logaritmen juist niet handig. Waarschijnlijk heb je nog nooit echt berekeningen uitgevoerd met logaritmen(tafels) anders zou je het nut van decadische logaritmen begrijpen. Tegenwoordig is het uitvoeren van berekeningen met behulp van logaritmentafels evenwel niet meer relevant door de beschikbaarheid van elektronische rekenhulpmiddelen. In de analyse is de natuurlijke logaritme uiteraard wel fundamenteel.

quote:

Maakt werken met afgeleiden ook het makkelijkst

Wat heeft differentiëren hiermee te maken? Om te begrijpen hoe je logarithmes, e^x enz. differentiëert moet je gewoon de limiet toepassen.

quote:

Op dinsdag 27 maart 2012 23:30 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Wat heeft differentiëren hiermee te maken?

Hij bedoelt waarschijnlijk dat de afgeleide van een logaritmische functie f(x) = ^glog x het eenvoudigst is als het grondtal gelijk is aan e. Immers, f'(x) = x^-1∙^glog e reduceert tot f'(x) = x^-1 uitsluitend voor g = e.

quote:

Om te begrijpen hoe je logarithmes, e^x enz. differentiëert moet je gewoon de limiet toepassen.

Bram, dat lijkt me geen goed advies. Laten we even naar de afgeleide van f(x) = ^glog x op R⁺ kijken. Volgens de definitie is de afgeleide hiervan:

f'(x) = lim_h→0 (f(x + h) - f(x))/h = lim_h→0 (^glog(x + h) - ^glog(x))/h = lim_h→0 (^glog(1 + h/x))/h = lim_h→0 ^glog(1 + h/x)^1/h.

Maar: denk je nu echt dat een hedendaagse gemiddelde vwo scholier in staat is zelfstandig aan te tonen dat:

lim_h→0 ^glog(1 + h/x)^1/h = x^-1∙^glog e ?

Gezien het 'niveau' dat hier wordt tentoongespreid heb ik daar ernstige twijfels over.

quote:

Op woensdag 28 maart 2012 09:51 schreef ulq het volgende:

[..]

Wat is überhaupt eigenlijk het nut van logaritmen? Is het enige praktische nut dat je grote complexe getallen vereenvoudigd op kan schrijven ofzo?

Neem nou bijvoorbeeld geluid. Als dit, qua vermogen, 2x zo sterk is als een ander geluid dan ervaren je oren dit als (ongeveer) 0,3x zo hard. Vandaar dat de dB schaal logaritmisch is. ¹⁰log2 = 0,301, en dan in deci-bel (dus 10e bel) is dan 3 dB. Er zou anders een rare verhouding tussen ervaren geluid en werkelijke geluidsdruk bestaan.

of de pH, de zuurgraad. Deze wordt uitgedrukt als -log[H₃O⁺]. Als de concentratie 10x zo groot is dan daalt de pH met 1 eenheid. Ook dit levert weer een lineaire schaal op van een exponentiele verhouding.

En inderdaad, in de tijd van vóór electronische hulpmiddellen waren logaritme-tafels (tafel=tabel) een handig hulpmiddel om met grote getallen te rekeken.

quote:

Op woensdag 28 maart 2012 15:16 schreef ulq het volgende:

[..]

Wat ben jij voor gekke wiskundeleraar dan dat je dit even rustig uit je mouw schudt?

Hier is niets vreemds aan, dit was vroeger normale leerstof voor het hoger voortgezet onderwijs. Ik wilde alleen Bram even laten zien dat zijn advies om maar met de definitie van de afgeleide als de limiet van het differentiequotiënt te gaan werken als je het even niet meer weet voor de gemiddelde hedendaagse vwo leerling geen haalbare kaart meer is. Jouw reactie is daar het levende bewijs van. Overigens stelt het onderwijs in het Nederlands kennelijk ook niets meer voor ...

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 28-03-2012 19:39:26 ]

quote:

Ik wilde alleen Bram even laten zien dat zijn advies om maar met de definitie van de afgeleide als de limiet van het differentiequotiënt te gaan werken als je het even niet meer weet voor de gemiddelde hedendaagse vwo leerling geen haalbare kaart meer is.

Denk ik dat de gemiddelde VWO-leerling dat begrijpt? Nee.
De wiskundeleraren zouden er wel naar moeten streven om zoveel mogelijk leerlingen dit te laten begrijpen (misschien ook wel eisen!) en ze moeten de logische volgorde respecteren: eerst fundamentele algebra, dan limieten (eventueel tussendoor nog continuïteit) en pas dan vanuit die limieten het differentiëren,
Ik heb overigens eens gelezen dat sommigen er juist voor pleiten om eerst het integreren te behandelen en dan pas het differentiëren. Hoe dan ook, eerst de fundamentele algebra (waaronder logarithmen), dan die limieten en dan pas dat.
In Nederland gaat het volgens mij al heel erg fout bij stap 1, de fundamentele algebraïsche bewerkingen. Er is geen sluiproute, je moet eerst dat goed leren alvorens je serieus wiskune kan leren en om dit te leren moet je gewoon tal van oefeningen maken, stijgende in moeilijkheidsgraad.
Ik herinner me nog goed hoe traag ik in het begin was met het toepassen van de som-product-methode, nu doe ik dat op de automatische piloot zonder er bij na te denken. Idem voor al die andere bewerkingen. Oefening baart kunst.

Als het gevolg hiervan is dat nog maar 5% van de Nederlandse tieners of minder wiskunde B op het VWO volgt dan vind ik dat prima, in ieder geval leert dat deel van de leerlingen dan ook goed wiskunde.

het hedendaagse onderwijs is verkloot door de ponzi-bubbel van 30 jaar, over enkele jaren hebben we een grote depressie, dan gaan cijfers als een trein omhoog. kinderen van nu denken niet dat de wereld hard is. over enkele jaren denken ze als ze geen wiskunde snappen gaan ze dood van honger. ik heb op middelbare school een leraar gehad die het vooral belangrijk vondt grappige verhalen te vertellen en niet de stof goed uit te leggen, dat wordt immers door de huidige verklote generatie meer gewaardeerd.

Riparius is een wiskundestudent, ik ben een technische student (WO bèta dus).

quote:

Op woensdag 28 maart 2012 04:57 schreef Riparius het volgende:
Maar: denk je nu echt dat een hedendaagse gemiddelde vwo scholier in staat is zelfstandig aan te tonen dat:

lim_h→0 ^glog(1 + h/x)^1/h = x^-1∙^glog e ?

Gezien het 'niveau' dat hier wordt tentoongespreid heb ik daar ernstige twijfels over.

Ja dat denk ik wel. Het is immers een standaardlimiet dat . Deze ziet iedere vwo-scholier terug bij het vak economie bij samengestelde rentevoeten. Natuurlijk leidt niemand even die standaardlimiet af, maar men kent hem wel, net als .

quote:

Op woensdag 28 maart 2012 21:07 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

[quote]

Ik heb overigens eens gelezen dat sommigen er juist voor pleiten om eerst het integreren te behandelen en dan pas het differentiëren.

Dat idee is niet nieuw, en wordt bijvoorbeeld in het bekende (klassieke) leerboek van Richard Courant (oorspronkelijk verschenen in het Duits in 1927, opnieuw bewerkte Engelse editie 1965) consequent uitgewerkt. En het blijft niet bij een beetje theorie, maar Courant laat zien hoe verschillende integralen kunnen worden geëvalueerd als limieten van Riemann sommen zonder gebruik van de zogeheten hoofdstelling van de integraalrekening maar met gebruik van methoden die teruggaan op de antieke exhaustiemethode of op Fermat en Pascal (die leefden voordat de infinitesimaalrekening in de eigenlijke zin van het woord tot ontwikkeling kwam). Erg interessant en leerzaam allemaal.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 29-03-2012 05:54:37 ]

quote:

Op donderdag 29 maart 2012 00:16 schreef twaalf het volgende:

[..]

Ja dat denk ik wel. Het is immers een standaardlimiet dat . Deze ziet iedere vwo-scholier terug bij het vak economie bij samengestelde rentevoeten. Natuurlijk leidt niemand even die standaardlimiet af, maar men kent hem wel, net als .

Ik vraag me af of 'iedere' vwo-er die wiskunde doet economie in het pakket heeft? Blijft vreemd dat men zoiets fundamenteels aan de economiedocenten overlaat. Op de zogeheten wiskunde formulekaarten die je her en der op internet kunt vinden zie ik de 'standaardlimieten' in ieder geval niet terug. En dan nog, de clou is natuurlijk dat je inziet dat je lim_h→0 ^glog(1 + h/x)^1/h kunt herschrijven als lim_h→0 x^-1∙^glog(1 + h/x)^x/h = lim_k→0 x^-1∙^glog(1 + k)^1/k = x^-1∙^glog e.

Dat die 6-VWO-scholier het zelf afleidt mag je van de huigie VWO-scholier niet verwachten, dat hij het begrijpt wel. Riparius gebruikt enkel standaardregeltjes die jij als het goed is zou moeten kennen:
- een definitie van de constante van Euler (er zijn er meer)
- log (a^k) = k*log(a)
- fundamentele algebra: in de eerste stap doet hij tegelijkertijd vermenigvuldigen met en delen door x

Dit is echt niet zo moeilijk, gewoon het toepassen van standaardregeltjes.
Hetzelfde geldt voor die andere afleiding die Riparius hierboven gaf (waarvoor je moet weten hoe je logarithmen optelt en aftrekt).

quote:

Erg interessant en leerzaam allemaal.

Ik zou het graag nog eens lezen. Naar mijn gevoel wordt het nu niet zo goed uitgelegd hoe het komt dat je met integreren oppervlaktes kan berekenen. Ik had een 9 voor calculus en ik moet bekennen dat ik nog een beetje inzicht mis om het volledig te begrijpen, het feit dat een limiet van Riemannsommen hetzelfde resultaat geeft als de 'antidifferentiaal' vind ik nog vaag.

[ Bericht 11% gewijzigd door Bram_van_Loon op 29-03-2012 14:34:52 ]

quote:

Op donderdag 29 maart 2012 14:20 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Ik zou het graag nog eens lezen. Naar mijn gevoel wordt het nu niet zo goed uitgelegd hoe het komt dat je met integreren oppervlaktes kan berekenen. Ik had een 9 voor calculus en ik moet bekennen dat ik nog een beetje inzicht mis om het volledig te begrijpen, het feit dat een limiet van Riemannsommen hetzelfde resultaat geeft als de 'antidifferentiaal' vind ik nog vaag.

Bij calculus leer je de regeltjes, bij analyse leer je de bewijzen. Zoek eens een analysedictaat op als je het interessant vindt. Of zoek gewoon direct het bewijs van de fundamentele stelling van de calculus op.

quote:

Op woensdag 28 maart 2012 23:32 schreef Bram_van_Loon het volgende:
Riparius is een wiskundestudent

Ik dacht altijd dat Riparius geboren was toen het onderwijs nog goed was, zo rond 1960.

quote:

Op donderdag 29 maart 2012 14:20 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Ik zou het graag nog eens lezen. Naar mijn gevoel wordt het nu niet zo goed uitgelegd hoe het komt dat je met integreren oppervlaktes kan berekenen. Ik had een 9 voor calculus en ik moet bekennen dat ik nog een beetje inzicht mis om het volledig te begrijpen, het feit dat een limiet van Riemannsommen hetzelfde resultaat geeft als de 'antidifferentiaal' vind ik nog vaag.

Het integraalteken ∫ is eigenlijk een langgerekte s voor summa, en bedoeld als tegenhanger (inverse operator) van het symbool d voor differentia. Beide symbolen zijn bedacht door Leibniz (1646-1716), en voor hem was het dan ook evident dat ∫ dy = y, immers, als je alle (oneindig klein gedachte) differenties (stapjes) dy van een ordinaat y bij elkaar optelde dan moest je weer uitkomen op de ordinaat y (waarbij we dan stilzwijgend veronderstellen dat we beginnen te rekenen vanaf nul). Leibniz sprak dan ook oorspronkelijk van calculus summatorius. Maar Johann Bernoulli (1667-1748) met wie Leibniz veel correspondeerde, hanteerde liever de door hemzelf bedachte term calculus integralis en gebruikte als symbool daarvoor de hoofdletter I. Uiteindelijk bereikten beide heren een compromis, waarbij werd besloten de naam calculus integralis van Bernoulli te gebruiken maar de notatie ∫ van Leibniz.

Om nu de 'oppervlakte onder de curve' van een functie y = f(x) over een interval [a,b] te bepalen (waarbij we f(x) ≥ 0 veronderstellen voor een positieve uitkomst) stelde Leibniz zich aanvankelijk voor dat je oppervlaktes van 'alle' (oneindig vele) verticale lijnstukken vanaf de horizontale as (abscissa) tot aan de curve bij elkaar op moest tellen, en noteerde hij dit in zijn privé aantekeningen als ∫y. Maar al heel gauw bedacht hij dat dit eigenlijk onzinnig was, omdat lijnstukken geen 'dikte' hebben, en dus ook geen oppervlakte. Wat je eigenlijk moest doen, zo redeneerde hij, is de oppervlakte onder de curve verdelen in 'oneindig dunne' verticale rechthoekjes met een breedte dx en een hoogte y. De oppervlakte van één zo'n 'infinitesimaal' rechthoekje is ydx, en omdat we ze allemaal bij elkaar op moeten tellen om de 'oppervlakte onder de curve' te verkrijgen noteerde hij dit als ∫ ydx, waarmee dus de notatie was ontstaan die we nog steeds gebruiken. Leibniz opereerde feitelijk avant la lettre met Riemannsommen (genoemd naar Bernhard Riemann, 1826-1866), maar kon dit niet preciseren omdat het limietbegrip nog niet was ontwikkeld (dat gebeurde pas in de 19e eeuw door Cauchy en Weierstraß). Vreemd genoeg heeft het ook nog tot in de 19de eeuw geduurd voordat men de grenzen van bepaalde integralen expliciet ging noteren. Vaak werd impliciet 0 aangenomen als ondergrens terwijl de bovengrens variabel werd genomen. Men noteerde dan bijvoorbeeld ∫ xdx = ½x² (dat is de oppervlakte van een driehoek met breedte x en hoogte x). Zo is onze gewoonte ontstaan om de primitieve(n) van f(x) te noteren als ∫ f(x)dx. In andere gevallen moest je als lezer maar uit de contekst opmaken wat nu precies de bedoeling was. Pas rond 1820 introduceert Fourier (1768-1830) de bekende notatie ∫_a^b f(x)dx voor de bepaalde integraal van een functie over een interval [a,b]. Dit was zo evident praktisch dat het direct algemeen ingang vond.

Om nu het verband tussen de bepaalde integraal ∫_a^b f(x)dx gedefinieerd als limiet van een Riemannsom en een functie F(x) zodanig dat F'(x) = f(x) beter te begrijpen helpt het om niet de 'oppervlakte onder de curve' (en dus de limiet van de Riemannsom) over het vaste interval [a,b] te beschouwen, maar de 'oppervlakte onder de curve' over een interval [a,x], waarbij we dus de ondergrens a vast houden maar de bovengrens x variabel nemen. Zo is de 'oppervlakte onder de curve' uiteraard afhankelijk van de keuze van x en daarmee een functie van x. We kunnen de oppervlakte onder de curve over het interval [a,x] nu noteren als A(x) (met de A van area). We kunnen dan bestuderen hoe A(x) afhangt van x, i.e. wat er met A gebeurt als we x variëren. Laten we x toenemen tot x + h, dan neemt de 'oppervlakte onder de curve' toe van A(x) tot A(x + h). Nu helpt het om dit te visualiseren:



De toename van de 'oppervlakte onder de curve' is het verschil A(x+h) - A(x), dit is het lichtgroen gekleurde vlakdeel onder de curve in de figuur. Het zal duidelijk zijn dat A(x) 'sneller' toeneemt naamate f(x) 'hoger' is, anders gezegd de 'snelheid' waarmee A(x) verandert is direct gerelateerd aan de functiewaarde f(x). We kunnen dit intuïtieve inzicht preciseren als we bedenken dat de toename A(x + h) - A(x) gelijk is aan de oppervlakte van een rechthoek waarvan de breedte h is, terwijl de hoogte ergens tussen de minimale waarde m en de maximale waarde M in ligt die f aanneemt op het interval [x, x+h]. Aangezien we f continu veronderstellen neemt f op het interval [x,x+h] ook alle tussenliggende waarden op het interval [m,M] aan en is er dus een waarde t* op [x,x+h] zodanig dat:

A(x+h) - A(x) = h∙f(t*)

We kunnen dit ook uitdrukken door t* = x + θ∙h te nemen met 0 ≤ θ ≤ 1 zodat we kunnen zeggen dat er een θ is op het interval [0,1] zodanig dat:

A(x+h) - A(x) = h∙f(x + θ∙h)

En dus hebben we ook:

(A(x+h) - A(x))/h = f(x + θ∙h)

En dus vinden we:

A'(x) = lim_h→0 (A(x+h) - A(x))/h = lim_h→0 f(x + θ∙h) = f(x)

Dit is precies wat we intuïtief ook uit de figuur kunnen begrijpen: de snelheid waarmee de oppervlakte A(x) onder de curve over het interval [a,x] verandert als we de bovengrens x verschuiven is gelijk aan de functiewaarde f(x) ter plaatse van die bovengrens.

Dit inzicht levert de sleutel om integralen te berekenen zonder daartoe rechtstreeks de limiet van een Riemannsom te hoeven bepalen. Alleen hebben we nu een ander probleem: we moeten nu een functie A(x) zien te bepalen zodanig dat A'(x) = f(x) en tevens A(a) = 0, omdat a de ondergrens is van het interval waarover we de oppervlakte onder de curve beschouwen. Dat betekent dat A(x) in ieder geval een primitieve moet zijn van f(x). Maar daarmee zijn we er nog niet, want als twee functies, in casu onze oppervlaktefunctie A(x) en een primitieve F(x), dezelfde afgeleide f(x) hebben, dan betekent dat nog helemaal niet dat A(x) en F(x) ook identiek zijn. Twee functies die dezelfde afgeleide hebben kunnen immers nog een constante van elkaar verschillen. Is nu F(x) een willekeurige primitieve van f(x), dan zal dus in het algemeen gelden A(x) - F(x) = C en dus:

A(x) = F(x) + C

Nu moeten we de waarde van C nog bepalen. Dat kunnen we doen omdat we weten dat voor onze oppervlaktefunctie A(x) geldt A(a) = 0. Substitutie van x = a geeft A(a) = F(a) + C en dus 0 = F(a) + C en dus C = -F(a). Dus hebben we:

A(x) = F(x) - F(a)

De waarde van de integraal van f(x) over het interval [a,b] is nu de oppervlakte A(x) onder de curve voor x = b, oftewel A(b) = F(b) - F(a), en dus geldt:

∫_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)

Dit is de hoofdstelling van de integraalrekening. Merk nog op dat het voor de bepaling van de waarde van de integraal niets uitmaakt welke primitieve van f we nemen, aangezien een willekeurige aan F toegevoegde constante wegvalt bij de bepaling van het verschil van F(b) en F(a). Deze stelling geldt uiteraard ook als f(x) negatieve waarden aanneemt op het interval [a,b] en een meetkundige interpretatie blijft mogelijk, alleen worden oppervlakten van vlakdelen die zich 'onder' de x-as bevinden dan negatief gerekend.

Wil je een T-shirt met het Fundamental Theorem of Calculus, klik dan op het plaatje (maar als je op zoek bent naar een vriendin kun je misschien beter een ander T-shirt nemen ...).

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 31-03-2012 01:03:17 ]

quote:

Op donderdag 29 maart 2012 23:49 schreef thenxero het volgende:

[..]

Bij calculus leer je de regeltjes, bij analyse leer je de bewijzen. Zoek eens een analysedictaat op als je het interessant vindt. Of zoek gewoon direct het bewijs van de fundamentele stelling van de calculus op.

[..]

Ik dacht altijd dat Riparius geboren was toen het onderwijs nog goed was, zo rond 1960.

Bram doet inderdaad ongefundeerde aannames. Maar uit privacy-overwegingen wil ik daar verder niet op ingaan.

Ik meende mij dat te herinneren, ik zal waarschijnlijk foutief die conclusie hebben getrokken omdat ik constateerde dat jij ofwel wiskunde studeert ofwel een wiskundestudie had voltooid en omdat ik een jonger iemand verwachtte op dit forum. Bedankt voor je voortreffelijke uitleg Riparius.