[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op maandag 18 november 2013 14:07 schreef Reemi het volgende:

[..]

quote:

Op maandag 18 november 2013 14:40 schreef Reemi het volgende:

[..]

Die snap ik niet helemaal. Bedoeld wordt dus hoeveel verschillende x1, x2, x3, x4, x5 en x6 samen 15 worden.

quote:

Op maandag 18 november 2013 14:44 schreef Reemi het volgende:

[..]

Oh, sorry. Geen van beide:

x₁ + ... + x₆

quote:

Op zondag 17 november 2013 23:49 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Het gegeven antwoord is 202020. Ik zal morgen dit nog eens doornemen.

quote:

Op maandag 18 november 2013 15:29 schreef Ensemble het volgende:

[..]

Ik kan geen fout ontdekken in mijn berekening. Zou fijn zijn als iemand anders het misschien wel ziet.

quote:

Op maandag 18 november 2013 14:40 schreef Reemi het volgende:

[..]

Die snap ik niet helemaal. Bedoeld wordt dus hoeveel verschillende x1, x2, x3, x4, x5 en x6 samen 15 worden.

quote:

Op maandag 18 november 2013 17:55 schreef Reemi het volgende:

[..]

Thanks, bijna duidelijk. Maar waarom 7 plekken om de strepen neer te zetten?

Edit: oh, omdat het ook 0 kan zijn.

Ik zou dan denken: 17 boven 5. Klopt dat?

quote:

Op maandag 18 november 2013 18:22 schreef Reemi het volgende:

[..]

En vanwaar die +5 plekken dan?

E: Oh, 5 stuks kunnen 0 zijn. Duidelijk, thanks!

quote:

Op maandag 18 november 2013 18:21 schreef Manke het volgende:
Veeltermen die in factoren moeten worden ontbonden polynomials die gefactort moeten worden, simpel, maar ik loop er op vast:

[ afbeelding ]

Wie kan/wil helpen met een uitwerking?

quote:

Op zondag 17 november 2013 19:18 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat lijkt me wel. Maar laat nog maar even weten hoe je geacht werd opgave 4b te doen zonder gebruik van de ongelijkheid van Bernoulli. Ben ik wel benieuwd naar.

quote:

Op maandag 18 november 2013 19:03 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik zal de eerste even voordoen, daarna moet je zelf de tweede uitwerken. We hebben

2x³ − 8a²x + 24x² + 72x

Je kijkt nu eerst of de termen factoren gemeen hebben, en zo ja welke factoren dit zijn, want dan kun je beginnen met die factor(en) buiten haakjes te halen. Welnu, het valt direct op dat alle termen een factor x bevatten, en ook zijn alle coëfficiënten even. Dat betekent dus dat we in ieder geval een factor 2x buiten haakjes kunnen halen. Doen we dit, dan krijgen we

2x(x² − 4a² + 12x + 36)

Nu zien we dat we eigenlijk één vreemde eend in de bijt hebben, en dat is die term 4a². Als we die even buiten beschouwing laten, dan zie je dat de overige drie termen x² + 12x + 36 samen een kwadratische veelterm vormen, en die kun je ontbinden in factoren. In dit geval is dat zelfs heel gemakkelijk als je je merkwaardige producten tenminste kent. Je hebt immers

(a + b)² = a² + 2ab + b²

en dus zie je direct dat x² + 12x + 36 = (x + 6)². Maar nu zien we verder dat die resterende term 4a² ook als een kwadraat is te schrijven, immers 4a² = (2a)². Dus hebben we nu

2x((x + 6)² − (2a)²)

Maar nu kun je een verschil van de kwadraten van twee grootheden altijd schrijven als een product van de som en het verschil van die grootheden, want je hebt immers

(a + b)(a − b) = a² − b²

En dus krijgen we zo

2x(x + 6 + 2a)(x + 6 − 2a)

en daarmee is de ontbinding voltooid.

quote:

Op maandag 18 november 2013 19:10 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Welnu, inderdaad moeten we bewijzen dat

b_n < 1/n voor n > 14, met n een natuurlijk getal.

Ik neem aan dat dit een inductiebewijs is, en daarna is het natuurlijk flauw. Als b_n < 1/n en het is altijd een positieve breuk, dus

0 < b_n < 1/n voor voldoende grote n. Gebruiken we de insluitstelling (wat ook al niet mocht), dan vinden we snel het gevraagde.

Wat betreft l'Hospital, de instructeur was daar duidelijk over: we konden functies van reële getallen nog niet bevatten, iets met 3^√2 ofzo.

quote:

Op maandag 18 november 2013 20:05 schreef Riparius het volgende:

[..]

De voorwaarde n⁵/3ⁿ < 1/n, n ∈ N is equivalent met n⁶ < 3ⁿ en dat is het geval voor n > 14. Dan heb je dus 0 < b_n < 1/n voor n > 14 en voor elke ε > 0 is dan b_n < ε voor n > max(1/ε,14) zodat lim_n→∞ b_n = 0.

De voorwaarde n⁶/3ⁿ < 1 geldt in ieder geval voor n = 15, en als deze geldt voor een zekere n = k ≥ 15 dan is (k+1)⁶/3^k+1 < ⅓·(1 + 1/k)⁶ < 1, zodat de voorwaarde dan ook geldt voor n = k+1. Ergo, n⁶/3ⁿ < 1 geldt voor elke n > 14.

Een formele definitie van machten met irrationale exponenten is inderdaad lastig, denk er maar eens over na hoe je dat precies zou willen doen.

quote:

Op maandag 18 november 2013 21:42 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Mjah, snap ik. Dat inductiebewijs is aardig lastig als je er niet zo getraind in bent.

quote:

Ineens wordt de wiskunde heel formeel, dus wellicht kun je mij, daar waar nodig, op terecht wijzen. De heer de Weger vond het ook nodig om vage uitspraken als epsilon willekeurig klein, de limiet van epsilon naar 0 direct naar de prullenbak te verbannen.

quote:

Op maandag 18 november 2013 23:29 schreef Riparius het volgende:

[..]

Tja, hier was het bewijs met inductie dat n⁶ < 3ⁿ voor n > 14 toch echt heel eenvoudig. Ik denk dat als je dit lastig vindt, dat je dan eerder een probleem hebt met de gedachtengang als zodanig bij een bewijs met (volledige) inductie. Ik heb dat vaker gezien, ook hier op het forum en ook bij mensen die wiskunde studeerden. Een bewijs met inductie bestaat altijd uit twee delen. Eerst bewijs je dat de aan te tonen uitspraak geldig is voor een bepaalde gehele startwaarde n = n₀ (vaak n = 0 of n = 1, maar dat hoeft uiteraard niet). Vervolgens bewijs je dat de aan te tonen uitspraak juist is voor n = k + 1 áls deze juist is voor een zekere n = k ≥ n₀. Je creëert daarmee een oneindige keten gevolgtrekkingen (uitspraak is juist voor n = n₀ ⇒ uitspraak is juist voor n = n₀ + 1 ⇒ uitspraak is juist voor n = n₀ + 2 ⇒ ...) op grond waarvan je kunt besluiten dat de uitspraak juist is voor élke gehele n ≥ n₀.

Wat ik vaak heb gezien is dat studenten bijvoorbeeld beginnen met te stellen dat de te bewijzen uitspraak geldig is voor een 'willekeurige' n of zelfs voor 'elke' n, maar dat mag je uiteraard niet doen, dat is een petitio principii. Dan neem je datgene wat je wil bewijzen al op voorhand voor waar aan, en dan bewijs je dus niets. Wat je wel moet doen is laten zien dat de juistheid van de te bewijzen uitspraak voor n = k + 1 volgt uit de juistheid van de te bewijzen uitspraak voor n = k, en dat is iets heel anders. Je gebruikt dan namelijk niet dat de te bewijzen uitspraak geldig is voor n = k, maar toont alleen aan dat de te bewijzen uitspraak geldig is voor n = k + 1 als deze geldig is voor n = k.

[..]

Wat dat tweede betreft moet ik hem gelijk geven. Als je het begrip limiet definieert aan de hand van de bekende ε, δ definitie van Weierstrass, dan mag je in die definitie niet spreken over een limiet van bijvoorbeeld ε, of dat ε 'nadert' tot 0, want dan gebruik je in een definitie een begrip dat je nog niet geheel hebt gedefinieerd, resp. in het geheel niet hebt gedefinieerd, en dat mag niet. Het is wel zo dat je uiteindelijk terecht komt bij bepaalde begrippen die je ongedefinieerd moet laten omdat je nu eenmaal niet alles kunt definiëren aan de hand van eerder gedefinieerde begrippen, zoals het begrip 'punt' in de Euclidische meetkunde, wat niet wegneemt dat Euclides toch een poging deed: Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν 'een punt is dat wat geen deel heeft'.

Zelf til ik niet zo zwaar aan een uitspraak als 'voor een willekeurig kleine (positieve) ε bestaat er een N₀ zodanig dat ...' en hier is ook niets vaags aan. Ik begrijp het formele bezwaar wel, want de definitie voor lim_n→∞ a_n = L houdt in dat er voor elke ε > 0 een N₀ ∈ N bestaat zodanig dat | a_n − L | < ε voor elke (gehele) n > N₀, niets meer en niets minder. Maar het is evident dat 'grote' waarden van ε niet interessant zijn, want als we voor een zekere ε₀ een N₀ hebben zodanig dat | an − L | < ε₀ voor elke n > N₀, dan is voor elke ε > ε₀ evengoed | an − L | < ε voor elke n > N₀ met diezelfde N₀. Vandaar dat men vaak spreekt van een willekeurig kleine (positieve) ε. Met de woorden willekeurig klein wordt hier bedoeld dat ε > 0 kleiner kan worden gekozen dan elk gegeven positief getal en dat er dan steeds een N₀ ∈ N bestaat zodanig dat | an − L | < ε voor elke (gehele) n > N₀.

quote:

Op dinsdag 19 november 2013 23:16 schreef MaximusTG het volgende:
Alleen je laatste stap klopt volgens mij niet?

quote:

Op dinsdag 19 november 2013 23:20 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Mag jij me aanwijzen waar de fout zit. Ik heb alcohol (Grolsch ) op, dus 't zou heel goed kunnen.

quote:

Op dinsdag 19 november 2013 23:27 schreef Manke het volgende:

[..]

√((x+3)/x) = √(1+3/x)
je kan volgens mij niet zo die x wegstrepen of verlagen in de teller, die staat tussen haakjes

proost

quote:

Op dinsdag 19 november 2013 23:28 schreef Amoeba het volgende:

[..]

(x+3)/x = x/x + 3/x = 1+3/x

quote:

Op dinsdag 19 november 2013 23:36 schreef Riparius het volgende:
Bedenk wel dat jullie nu aannemen dat x > 0, maar dat is niet gegeven.

quote:

Op dinsdag 19 november 2013 23:04 schreef Amoeba het volgende:
Bedenk je eens dat x² + 3x = x(x+3)

En dus

√(x² + 3x)/x = √x√(x+3)/x

√x√(x+3)/x = √(x+3)/√x

Zodat
√(x+3)/√x = √((x+3)/x) = √(1+3/x)

quote:

Op dinsdag 19 november 2013 23:38 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Niemand heeft gezegd wat x überhaupt is, x kan net zo goed een complex getal zijn.

quote:

Op dinsdag 19 november 2013 23:42 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, maar dan is de vierkantswortel sowieso niet eenduidig. Overigens denk ik bij x eerder aan een reële variabele en zou ik voor een complexe variabele eerder z verwachten. Maar de vagensteller moet beseffen dat zijn vraag zo niet (correct) is te beantwoorden.

quote:

Op dinsdag 19 november 2013 23:40 schreef koekjestrommel1 het volgende:

[..]

Super, hardstikke bedankt!

quote:

Op dinsdag 19 november 2013 23:43 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, dat had je gedacht ... Kijk eens wat er gebeert als je x < −3 neemt.

quote:

Op dinsdag 19 november 2013 23:43 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, dat had je gedacht ... Kijk eens wat er gebeert als je x < −3 neemt.

quote:

Op dinsdag 19 november 2013 23:46 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ook flink zitten borrelen, of hoe zit het daar?

quote:

Op dinsdag 19 november 2013 23:49 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee hoor. Je mag de rekenregels √a/√b = √(a/b) en √a · √b = √(ab) niet gebruiken voor a,b < 0.

quote:

Op woensdag 20 november 2013 18:16 schreef Manke het volgende:
Klopt dit of kan het simpeler?

quote:

Op woensdag 20 november 2013 22:01 schreef Crisisstudent het volgende:
Stel je hebt een functie f met f(y,y') (dus onafhankelijk van x). Als je dan de niet-partiele afgeleide df/dx neemt, wat doe je dan precies?

quote:

Op woensdag 20 november 2013 21:49 schreef Novermars het volgende:
[ afbeelding ]
Hoe kan je dit het beste aanpakken? In R¹ lukken me dit soort bewijzen wel, maar in R^k heb ik er meer moeite mee. Ik neem aan dat we de euclidean norm ergens moet gebruiken en een shitload een triangle inequalities?

EDIT: [ afbeelding ]
Iemand die een fout kan spotten?

quote:

Op donderdag 21 november 2013 00:27 schreef Novermars het volgende:
De notatie die ik nu heb, dus met alpha en beta etc is de notatie die de hooglerares gebruikt, de x en y notatie gebruikt het boek. (dit was een opgave uit het boek). Aangezien de hooglerares mijn tentamens nakijkt, prefereer ik de eerste notatie.

Maar inhoudelijk, mee eens dat het niet klopt. Is het eventueel snel te fixen door vanaf de ongelijkheid, r5 van onder, absolute waardes te gebruiken en van de 1 die ik er bij optel om problemen te voorkomen als beta =0 is een epsilon te maken? Of kan ik beter gewoon opnieuw beginnen?

quote:

Hoe ga je trouwens van de absolute waarde naar de euclidean norm?

quote:

Op woensdag 20 november 2013 21:49 schreef Novermars het volgende:
[ afbeelding ]
Hoe kan je dit het beste aanpakken? In R¹ lukken me dit soort bewijzen wel, maar in R^k heb ik er meer moeite mee. Ik neem aan dat we de euclidean norm ergens moet gebruiken en een shitload een triangle inequalities?

EDIT: [ afbeelding ]
Iemand die een fout kan spotten? Ik denk eigenlijk dat het definiëren van c(n) overbodig is, maar ach...

quote:

Op zaterdag 23 november 2013 12:28 schreef wiskundenoob het volgende:
Mbv factorstelling, f(x)=(x-a)g(x)+(a) moet ik de nulpunten vinden van

vinden.

Dan is

Maar hoe doe je dat? Wat ik ervan heb begrepen is dat je eerst (x-a), a is nulpunt van f(x), moet vinden. En vervolgens f(x)/(x-a) om g(x) te bepalen? En dat steeds herhalen totdat n, macht van het polynoom, 1 is zodat je alle nulpunten hebt gevonden.

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

quote:

Op zaterdag 23 november 2013 12:28 schreef wiskundenoob het volgende:
Mbv factorstelling, f(x)=(x-a)g(x)+f(a) als a een reëel getal is, moet ik de nulpunten vinden van



Dan is

Maar hoe doe je dat? Wat ik ervan heb begrepen is dat je eerst (x-a), a is nulpunt van f(x), moet vinden. En vervolgens f(x)/(x-a) om g(x) te bepalen? En dat steeds herhalen totdat n, macht van het polynoom, 1 is zodat je alle nulpunten hebt gevonden.

quote:

Op zaterdag 23 november 2013 13:30 schreef Noppie2000 het volgende:
Respect dat jullie dit snappen, de tering zeg

quote:

Op vrijdag 22 november 2013 16:31 schreef thenxero het volgende:

[..]

Als een vector a convergeert naar een vector b, dan convergeren alle componenten van a ook naar de componenten van die van b. Als je het inproduct nu uitschrijft als een som, dan kan je dus gewoon het resultaat uit R^1 gebruiken.

quote:

Op zaterdag 23 november 2013 13:58 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat uitschrijven is nu juist overbodig als je gebruik maakt van Cauchy-Schwarz, zoals ik hierboven ook al aangeef. Het bewijs wordt dan een stuk eenvoudiger en eleganter.

quote:

Op zaterdag 23 november 2013 12:38 schreef Amoeba het volgende:

De algemene factorstelling is

f(x) = g(x)p(x) + r(x)

Nu moet je zelf even nadenken wat je kunt zeggen over de graad van de polynomen g(x), p(x) en r(x) als

g(x) het quötient heet
p(x) de deler
en r(x) de rest.

waarbij de graad van het polynoom f(x) gelijk is aan n.

quote:

Op zaterdag 23 november 2013 13:31 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dit polynoom heeft geen rationale nulpunten, aangezien eventuele rationale nulpunten geheel zouden moeten zijn en, afgezien van het teken, tevens delers van 2. Maar je kunt gemakkelijk nagaan dat −1, 1, −2 en 2 geen nulpunten zijn. Aangezien het een vijfdegraadspolynoom is, zijn de nulpunten in het algemeen ook niet algebraïsch uit te drukken in de coëfficiënten. Dus zou je de nulpunten numeriek moeten benaderen, maar dat lijkt me gezien de opdracht om het polynoom met behulp van de factorstelling te ontbinden ook niet de bedoeling. Controleer nog eens of je de opgave niet verkeerd hebt overgenomen.

quote:

Op zaterdag 23 november 2013 22:08 schreef wiskundenoob het volgende:

Vb-opgave is correct overgenomen, maar ik zie nu dat a, nulpunt van f(x), wordt meegegeven. Dus de bedoeling is dat ik die veeltermen deel door de factor.

quote:

Waarom moet je nagaan dat −1, 1, −2 en 2 nulpunten zijn? Ligt dat aan dit soort opgaves? Dat er één van die getallen vaak een nulpunt is.
En wat bedoel je precies met delers van 2?

quote:

Op zaterdag 23 november 2013 23:08 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik denk niet dat dat de bedoeling is. Je kunt nu wel algebraïsch je veelterm delen door (x − a), maar daarmee vind je echt geen nulpunt, je weet namelijk niet wat a is.

[..]

quote:

Op zaterdag 23 november 2013 22:08 schreef wiskundenoob het volgende:

[..]

Nou, wat moet ik kan dan concluderen over de n van g(x), p(x) en r(x)?
Het quotiënt is n-degraads polynoom en de deler is een eerstegraads factor en r(x) heeft geen graad.

quote:

Op zondag 24 november 2013 14:08 schreef Hanneke12345 het volgende:
Vraag van numerieke wiskunde:

http://staff.science.uva.nl/~rstevens/oefententamen.pdf

Opgave 1a was makkelijk (nagaan dat het voor de basisfuncties van P_3 geldt, dus 1, x, x^2 en x^3. Rest volgt uit lineariteit). Opgave b lukt me niet. Ik meen me te herinneren dat het idee was om een of andere rare functie te maken, en dan heel vaak (vier keer wss) Rolle toe te passen. Om Rolle zo vaak toe te kunnen passen heb ik een functie nodig met nulpunten in [0,1]..

quote:

Op zondag 24 november 2013 14:08 schreef Hanneke12345 het volgende:
Vraag van numerieke wiskunde:

http://staff.science.uva.nl/~rstevens/oefententamen.pdf

Opgave 1a was makkelijk (nagaan dat het voor de basisfuncties van P_3 geldt, dus 1, x, x^2 en x^3. Rest volgt uit lineariteit). Opgave b lukt me niet. Ik meen me te herinneren dat het idee was om een of andere rare functie te maken, en dan heel vaak (vier keer wss) Rolle toe te passen. Om Rolle zo vaak toe te kunnen passen heb ik een functie nodig met nulpunten in [0,1]..

quote:

Op dinsdag 26 november 2013 16:43 schreef MaximusTG het volgende:
Dat is toch gewoon toepassen van de logaritme-rekenregels?

namelijk deze:

[ afbeelding ]
[ afbeelding ]
en deze
[ afbeelding ]

quote:

Op zaterdag 30 november 2013 18:44 schreef Spinosaurus het volgende:
Hallo allemaal. Ik snap iets niet bij een opdracht van wiskunde. Het gaat om opdracht 33.
''De top van de grafiek van fp(x) = px^2 + (p - 4)x + 3 ligt op de lijn y = x + 9
Bereken p en de bijbehorende extreme waarde.

Bij de uitwerking staat er p * ( etc etc. *Zie het rode vakje op het plaatje* En dan na het = teken staat de p * er niet meer aan het begin, nergens zelfs. Ik vraag me af wat er met die p * is gedaan?
Plaatje met het antwoord uitgewerkt:
[ afbeelding ]

quote:

Op zaterdag 30 november 2013 20:54 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je struikelt over een stukje brugklasalgebra:



Als je



kwadrateert, dan heb je



en als je deze breuk nog met p vermenigvuldigt, dan verdwijnt één van de twee factoren p uit de noemer en heb je dus inderdaad



De uitwerking kan trouwens veel eenvoudiger als je weet dat de grafiek van



een parabool is met als top het punt met de coördinaten



waarbij



de discriminant is van de kwadratische veelterm.

quote:

Op zaterdag 30 november 2013 21:22 schreef Spinosaurus het volgende:

[..]

Hmm bedankt voor je uitleg maar ik snap niet waarom je (p-4)^2 / 4p^2 vermenigvuldigt met p en dan die factor van p verdwijnt en er dus 4p komt te staan. ik weet dat p ook p/1 is...

quote:

Op zaterdag 30 november 2013 21:29 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je hebt kennelijk nooit leren rekenen met breuken. Na vermenigvuldiging met p = p/1 hebben teller en noemer van de resulterende breuk een factor p gemeen, en kun je de breuk dus vereenvoudigen door teller en noemer van de breuk door p te delen. Daardoor verdwijnt de factor p weer uit de teller en verdwijnt tevens één van de beide factoren p uit de noemer.

quote:

Op zaterdag 30 november 2013 21:41 schreef Spinosaurus het volgende:

[..]


Dus als ik het goed begrepen heb vermenigvuldig je gewoon de hele breuk met p en deel je het daarna door p zodat je de oorspronkelijke breuk weer terug hebt gekregen en je van de p * voor de breuk kwijt bent?

quote:

Op zondag 1 december 2013 15:40 schreef Nattekat het volgende:
Ik heb een vraagje over het bewijzen van stellingen, wat mijn grote zwakte is bij de wiskunde. Een paar weken geleden had ik hier een SE over, wat ik dus compleet heb verpest.

Meestal als ik een bewijs zie kom ik er gewoon helemaal niet uit, ik probeer van alles maar mis gewoon de laatste stap om het bewijs op te lossen. Aan het begrip van de stof ligt het niet, zodra ik hoor hoe het moet kan ik het met gemak opnieuw maken.

Heeft iemand hier een tip hoe ik die bewijzen kan oplossen op mijn aankomende herkansing?

quote:

Op maandag 2 december 2013 15:24 schreef Aardappeltaart het volgende:
Ik ben druk aan mijn profielwerkstuk misleidende statistiek bezig, maar ik loop nu tegen het probleem aan dat mijn MathType trial verlopen is. Heeft er iemand misschien een goed alternatief of oplossing voor me? Dat zou geweldig zijn!

quote:

Op maandag 2 december 2013 18:01 schreef thenxero het volgende:
Sharelatex.com

quote:

• Afgeleiden van rationale functies (met graad van teller en noemer ten hoogste 4),
irrationale functies van de vorm  
 met     
reële getallen, en van goniometrische, exponentiële en logaritmische functies met
beperkte moeilijkheidsgraad.
• Verloop van de in a) vermelde types van functies:

domein

tekenverloop

stijgen en dalen

extrema

asymptotisch gedrag

buigpunten
• Gebruik van de eerste en tweede afgeleide om deze kenmerken te onderzoeken.
• Bepaalde en onbepaalde integralen van veeltermfuncties, goniometrische functies,
exponentiële en logaritmische functies
• Berekenen van oppervlakte aan de hand van een bepaalde integraal

quote:

Op maandag 2 december 2013 22:01 schreef DefinitionX het volgende:
Als men aan dit denkt:

[..]

Doe ik er dan verstandig aan om de regels van l'hopital te kennen?

quote:

Op maandag 2 december 2013 20:34 schreef Aardappeltaart het volgende:

[..]

In ieder geval, in het kader van mijn profielwerkstuk. Ik kwam de centrale limietstelling tegen. Is het bewijs hiervan te begrijpen en is er ergens helder iets over te vinden? Het ligt een een beetje buiten mijn onderwerp (misleidende statistiek), maar 'k dacht eraan om het als appendix op te nemen ofzoiets.

quote:

Op maandag 2 december 2013 20:34 schreef Aardappeltaart het volgende:

[..]

Dankjewel! Maar de Syntax leren heb ik geen tijd/zin in nu. Ik vond MathType fijn omdat ik dan (a) een fijnere en betere vergelijkingseditor in Word heb, met wat vooraf ingestelde formules en (b) het kan converteren voor hier op Fok! Ben nu toch al in Word bezig, omdat ik daar automatische bronnen en inhoudsopgave kan doen.

In ieder geval, in het kader van mijn profielwerkstuk. Ik kwam de centrale limietstelling tegen. Is het bewijs hiervan te begrijpen en is er ergens helder iets over te vinden? Het ligt een een beetje buiten mijn onderwerp (misleidende statistiek), maar 'k dacht eraan om het als appendix op te nemen ofzoiets.

quote:

Op maandag 2 december 2013 22:11 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Nee. De Regel van l'Hospital zegt iets over de limiet van een quotiënt van functies in bepaalde gevallen.

quote:

Op maandag 2 december 2013 22:19 schreef thabit het volgende:

[..]

Lijkt me vrij pittig voor een profielwerkstuk. Probeer eerst maar eens de precieze formulering van de stelling te begrijpen.

quote:

Op maandag 2 december 2013 22:52 schreef thenxero het volgende:

[..]

In LaTeX heb je ook een automatische inhoudsopgave en functies om met bronnen om te gaan. Maar ik kan me voorstellen dat je er geen tijd voor hebt. Voordat je het goed onder de knie hebt ben je wel even bezig, maar als je later iets met wiskunde gaat doen zal je er wel veel profijt van hebben.

Wat betreft de CLT, dat is inderdaad lastig met alleen middelbare-schoolkennis. Voor de meest simpele versie van de CLT heb je volgens mij al de karakteristieke functie van een normale verdeling en een Taylorbenaderingen nodig. Aan de andere kant, als je wel de juiste voorkennis hebt dan is het bewijs vrij eenvoudig.

quote:

Op dinsdag 3 december 2013 16:44 schreef Aardappeltaart het volgende:

[..]

Die formulering, daar ben ik natuurlijk óók naar op zoek. Heeft iemand een heldere pagina of dictaat dat hierover gaat? Het is meer uit interesse dan om het daadwerkelijk een belangrijk onderdeel te laten zijn. Misschien neem ik het op in een appendix.

[..]

Later iets met wiskunde zit er wel in (studie), maar voor dat profielwerkstuk heb ik nu gewoon geen tijd ervoor om het te leren. Alles in Word staat nét zo goed afgesteld. Misschien dat ik me er erna eens in ga verdiepen, bedankt voor de tip!

Klinkt ingewikkeld, maar wel interessant! Van Taylorreeksen heb ik al wel wat gehoord en de functie voor de normale verdeling in termen van mu, sigma en x heb ik al. Ik ben wel bereid om de kennis wat uit te bereiden, uit interesse. Dan gaat mijn begeleider misschien niet huilen dat mijn profielwerkstuk te weinig wiskunde bevat. Hij houdt niet zo van statistiek, dus mijn onderwerp is geweldig gekozen!

quote:

Op dinsdag 3 december 2013 20:50 schreef thenxero het volgende:

[..]

Ik denk dat jij de kansdichtheidsfunctie (probability density function, pdf) bedoelt van de normale verdeling. Een karakteristieke functie is weer wat anders. Het is de verwachtingswaarde van een e-macht van de stochast (zie Wikipedia). Er is een stelling die zegt dat iedere verdeling een unieke karakteristieke functie heeft. Als je dus kan bewijzen dat de karakteristieke functie van de gestandaardiseerde stochasten (dus schuiven en schalen van de verdeling zodat gemiddelde 0 wordt en standaard deviatie 1) convergeert naar de karakteristieke functie van de standaard normale verdeling, dan bewijs je daarmee dus de CLT.

Als je het echt interessant vindt kan je hier zo'n beetje je hele PWS over schrijven. Het is niet iets wat je even in een half A4tje kunt uitleggen als je zonder voorkennis begint.

quote:

Op dinsdag 3 december 2013 19:30 schreef Miraculously het volgende:
Ik heb onderstaand figuur (versimpelde weergave v/d werkelijkheid):
[ afbeelding ]

En ik heb een formule gekregen om de hoek β te berekenen, namelijk:


Deze heb ik vereenvoudigd tot (aangezien in dit geval geldt dat de lengte e nul is):


Maar nu vraag ik mij af waarom deze formule klopt, ik heb zelf al een aantal dingen geprobeerd maar ik kom er telkens niet uit..

quote:

Iemand die mij een stap de goede richting in kan sturen?

quote:

Op dinsdag 3 december 2013 20:56 schreef Aardappeltaart het volgende:

[..]

Inderdaad interessant, maar als het zo uitgebreid wordt, laat ik het opnemen ervan maar achterwege. Dankjewel! Ik moet al op gaan passen dat het niet té dik gaat worden. Heeft iemand ergens een goeie bron over de CLT? Ik moet er toch naar gaan verwijzen (reden dat metingen van grootheden, gebaseerd op veel variabelen, normaal verdeeld zijn), zonder het zelf helemaal te begrijpen en te bewijzen dan maar. Lijkt me ook interessant om te lezen.

Zojuist mezelf ingeschreven voor Wiskunde aan de UU. Hoera!

quote:

Op dinsdag 3 december 2013 21:24 schreef Riparius het volgende:

Je formule klopt niet, die heb je kennelijk verkeerd overgenomen: daar waar je o hebt staan moet a staan.

quote:

Heel eenvoudig: pas de cosinusregel toe in je scheefhoekige driehoek en gebruik de stelling van Pythagoras voor de hypotenusa van de rechthoekige driehoek, dan heb je

c² = b² + (a² + d²) - 2b·√(a² + d²)·cos β

quote:

Op donderdag 5 december 2013 18:07 schreef Banaanensuiker het volgende:
Kan iemand mij hiermee op weg helpen?

[ afbeelding ]

quote:

Op donderdag 5 december 2013 21:32 schreef thenxero het volgende:

[..]

Schrijf de matrix op in elementen en werk uit wat er komt uit de producten Ae1 etc. Dan zie je zo wat de matrix is.

quote:

Op donderdag 5 december 2013 22:20 schreef Banaanensuiker het volgende:

[..]

Ja, dat lukt me wel, maar krijg die t waarde niet uitgerekend op de en of andere manier.

quote:

Op vrijdag 6 december 2013 11:29 schreef Quyxz_ het volgende:
[ afbeelding ]

Ik heb twee datasets zoals hierboven. Nu wil ik op beide een curve fitten waaruit ik een tijdschaal kan halen. Die tijdschaal wil ik dan gaan vergelijken. Een directe exponentiële curve hierop fitten is alleen niet direct mogelijk. Hebben jullie enig advies hoe ik het kan aanpakken?

quote:

Op zondag 8 december 2013 15:45 schreef Amoeba het volgende:
Zij continu, f(0) = 1 en en

Laat zien:



Ik heb werkelijk waar geen idee hoe ik hieraan moet beginnen. Ik denk dat ik moet laten zien dat f(x) sowieso begrensd is naar boven, maar ik heb zo 1,2,3 geen idee hoe ik hieraan moet beginnen. Tipje, iemand?

quote:

Op zondag 8 december 2013 21:14 schreef Riparius het volgende:

[..]

Eerste hint dan maar: wat kun je vertellen over een reële functie die continu is op een gesloten interval?

quote:

Op zondag 8 december 2013 21:26 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Deze bereikt een maximale en een minimale waarde. Dat zal wel het hele idee van die opgave zijn.
Ik moet ook in termen van rijen denken, wellicht mis ik hier iets. Ik wil inderdaad de stelling van een maximum/minimum gebruiken op een gesloten interval voor een reële, continu functie.

quote:

Op zondag 8 december 2013 23:32 schreef thenxero het volgende:

[..]

Rijen lijken me niet nodig. Hint: Op een gegeven moment is de functie buiten het gesloten interval bevat in [-epsilon, +epsilon]. Leuke opgave, ik kende deze nog niet.

quote:

Op maandag 9 december 2013 00:13 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Aaaah, ik zie het. Doordat f(0) = 1 > 0 kan ik 2 limietdefinities uitschrijven en zo een gesloten interval maken.

quote:

Op maandag 9 december 2013 00:43 schreef thenxero het volgende:

[..]

Het rigoreus opschrijven vergt nog wel wat inspanning .

quote:

Op vrijdag 6 december 2013 17:27 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je hebt voor elk van beide curves iets als

y(t) = a + (b − a)·e^−ct

Je zou dan a en b kunnen schatten en vervolgens een best fit voor c en daarmee voor de tijdconstante τ = 1/c kunnen zoeken, maar of dat de beste aanpak is hangt af van de eventuele hulpmiddelen (software) waarover je kunt beschikken, daar zeg je namelijk niets over. Zo te zien naderen beide curves asymptotisch tot ca. 3,25, dus dan heb je voor je beide curves a ≈ 3,25. Voor de blauwe curve is dan verder b ≈ 0,5 en voor de rode b ≈ 5,5.

quote:

Op maandag 9 december 2013 09:18 schreef Quyxz_ het volgende:

[..]

Bedankt! Qua software heb ik MATLAB tot mijn beschikking met veel toolboxes. Had het al geprobeerd met de Curve Fitting toolbox, maar die werkte niet mee. Zal zo eens kijken naar jouw handmatige methode. Of heeft MATLAB daar ook een geschikte functie voor?

quote:

Op maandag 9 december 2013 07:37 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ja, maar ik begrijp het idee. Doordat die limiet bestaat is er dus een x* en een x" zodat |f(x)| < 1 voor alle x kleiner gelijk x* en voor alle x groter gelijk x", en dus omdat f(0) = 1 > 0 kan ik dus het gesloten interval [x*, x"] beschouwen en hierop de extremumstelling van Weierstrass toepassen, omdat alles buiten dit interval toch kleiner is dan f(0) = 1.

Ik denk dat ik ook moet vermelden dat 0 een element uit dat interval is, maar in principe spreekt dat voor zich.

quote:

Op maandag 9 december 2013 10:14 schreef Riparius het volgende:

[..]

Handmatig is helemaal niet zo moeilijk. Ik had al geschatte waarden voor a en b gegeven. Uit



volgt



Voor de blauwe curve nemen we a = 3,25, b = 0,5 en lezen we uit de grafiek af dat y(150) = 2, en dat geeft dus c = (1/150)·ln(−2,75/−1,25) ≈ 0,00526 en daarmee τ ≈ 190 sec.

Voor de rode curve nemen we a = 3,25, b = 5,5 en lezen we uit de grafiek af dat y(200) = 4, en dat geeft dus c = (1/200)·ln(2,25/0,75) ≈ 0,00549 en daarmee τ ≈ 182 sec.

De (geschatte) tijdconstantes liggen dicht bij elkaar, en dat is ook niet zo vreemd, want de curves zijn vrijwel elkaars spiegelbeeld in hun gemeenschappelijke horizontale asymptoot.

Als je de meetwaarden in numerieke vorm hebt, dan kun je uiteraard een betere fit krijgen dan je alleen uit de grafiek kunt afleiden. Wil je dat doen met Matlab, kijk dan eens hier.

quote:

Op maandag 9 december 2013 23:14 schreef DefinitionX het volgende:
Ik ben aan het klunzen met een vraagstuk dat niet zo moeilijk moet zijn.

Mij word gevraagd om het volgende te differentieren: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28sinx%29^6+%2B+%28cosx%29^6

Ik verdeel de functie in twee functies g(x) en h(x).

g'(x)=6(sinx)^5 * cosx
h'(x)= - 6(cosx)^5 * sinx

Samenvoegen geeft

6sin(x)^5 * cosx - 6(cosx)^5 * sinx

Delen door 6 geeft

sin(x)^5 * cosx - cos(x)^5 * sin x Ik zou hier een goniometrische identiteit op los kunnen laten, maar waarom zou ik.

Delen door eerst cos x en daarna sin x geeft

sin(x)^4 - cos(x)^4

Dit klopt echter niet....Of ik schrijf het op een andere manier. Ik zie werkelijk niet waar ik de mist in ga. Telkens gebruik ik goede algebra.

quote:

Op maandag 9 december 2013 23:59 schreef DefinitionX het volgende:
Ik weet het nu even niet meer.

Ik dacht dat ik aan het vereenvoudigen was.

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 16:49 schreef DefinitionX het volgende:
Als iemand even tijd heeft......Hoe zouden jullie de primitieve functie van deze functie vinden:

f(x) = 1/ (1 + x^2)

Ik zou graag de tussenstappen ook willen zien.

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 17:15 schreef 2thmx het volgende:
Bij een xy-plot kan je een (of meerdere) curve(s) trekken waarbij x*y gelijk is aan een (verschillende) constante(s), is er een naam voor die lijn(en)?

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 17:06 schreef Amoeba het volgende:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 16:49 schreef DefinitionX het volgende:
Als iemand even tijd heeft......Hoe zouden jullie de primitieve functie van deze functie vinden:

f(x) = 1/ (1 + x^2)

Ik zou graag de tussenstappen ook willen zien.

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 18:48 schreef Amoeba het volgende:

[..]

[ afbeelding ]

Willen jullie even verifiëren of mijn bewijs juist is?
Bewijs:

Definieer: f: R → R continu en periodiek met T>0
Definieer: g(x) = f(x) - f(x+T/2), g(x) is een verschil van 2 continu periodieke functies en is dus zelf ook periodiek en continu.

Neem aan dat er géén waarde x ∈ R bestaat zodanig dat f(x) = f(x+T/2)
dan:

(1): ∃x ∈ R: f(x) > f(x+T/2) (of andersom: analoog)

Neem nu aan dat f(x) > f(x+T/2) ∀x ∈ R
Dit kan niet, want als f(x) > f(x+T/2) ∀x ∈ R, dan f(x) > f(x+T/2) > f(x+T), en er geldt juist f(x) = f(x+T), dus: (?)

(2):: ∃x ∈ R: f(x) < f(x+T/2)

dus:

(1) ∃x₁ ∈ R: ⇒ g(x) > 0
(2) ∃x₂ ∈ R: ⇒ g(x) < 0

Passen we nu de tussenwaardestelling op g(x) toe dan:

∃x₃ ∈ [x₁, x₂]: g(x₃) = 0 ⇒ f(x₃) - f(x₃+T/2) = 0 ⇒ f(x₃) = f(x₃+T/2) en het gevraagde volgt.

Ik heb ergens een (?) bij geplaatst. Dit formuleren vind ik nogal lastig, wellicht maak ik hier een fout. Kan iemand me dan vertellen hoe ik dat wel goed opschrijf?

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 20:09 schreef Novermars het volgende:

[..]

Substitueer x=tan(x)

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 20:27 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Dit mag natuurlijk nooit. x = tan(x) is een relatie waarbij x = tan(x) voor alle x in het domein. Nou, dan beperk je je domein tot 0, en dat is natuurlijk niet wenselijk.

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 20:27 schreef thenxero het volgende:

[..]

Ik neem aan dat je met (1) en (2) bedoelt geval 1 en geval 2. Wel raar dat je binnen geval (1) je aanname opeens verruimt naar "voor alle x" ipv "er bestaat een x".

Dus nogal vaag opgeschreven, maar er zitten wel juiste ideeën in.

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 20:28 schreef thenxero het volgende:

[..]

Betere notatie is inderdaad x=tan(y) of


Maar het punt van de poster lijkt me duidelijk .

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 20:29 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Jazeker. Ik neem aan dat f(x) > f(x+T/2) voor alle x, en wil laten zien dat dit niet kan, zodat er een x bestaat waarvoor f(x) < f(x+T/2). Maar hoe laat ik dat netjes zien?

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 20:32 schreef thenxero het volgende:

[..]

Dat heb je toch ook gedaan (alleen dan dat f(x) <= f(x+T/2)) ?

Je laat zien "niet voor alle x geldt f(x) > f(x+T/2)" en dus "er bestaat een x zodat f(x) <= f(x+T/2)".

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 20:36 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ja dat komt op hetzelfde neer. Mijn vraag is of die redenering juist is. Onze instructeur kijkt nogal streng na, en dit is een inleveropgave voor het van Analyse I. Vandaar dat ik het even goed op wil schrijven. En jazeker, ik heb dit helemaal zelf verzonnen. Ik moest denken aan die post waar ik ook zo'n probleem met de tussenwaardestelling had.

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 20:36 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ja dat komt op hetzelfde neer. Mijn vraag is of die redenering juist is. Onze instructeur kijkt nogal streng na, en dit is een inleveropgave voor het van Analyse I. Vandaar dat ik het even goed op wil schrijven. En jazeker, ik heb dit helemaal zelf verzonnen. Ik moest denken aan die post waar ik ook zo'n probleem met de tussenwaardestelling had.

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 21:05 schreef thenxero het volgende:

[..]

Dat stukje van de redenering is goed. Maar de bewijsstructuur is niet goed of op zijn minst rommelig. Kijk daar nog eens naar.

En is een verschil van periodieke functies wel altijd periodiek? Neem een functie met periode 1 en één met periode pi. Wat is de periode van het verschil?

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 21:18 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je maakt het veel te moeilijk. Je kunt gemakkelijk laten zien dat voor jouw functie g(x) geldt

g(T/2) = −g(0)

Als g(0) = 0 dan is er niets meer te bewijzen, dus veronderstel g(0) ≠ 0. Dan hebben g(0) en g(T/2) een tegengesteld teken, en is er dus volgens de tussenwaardestelling een ξ ∈ (0, T/2) zodanig dat g(ξ) = 0 en daarmee f(ξ) = f(ξ + T/2), QED.

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 16:49 schreef DefinitionX het volgende:
Als iemand even tijd heeft......Hoe zouden jullie de primitieve functie van deze functie vinden:

f(x) = 1/ (1 + x^2)

Ik zou graag de tussenstappen ook willen zien.

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 17:36 schreef Aardappeltaart het volgende:

[..]

Hyperbool, zoek je dat?

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 23:48 schreef 2thmx het volgende:

[..]

Nee, ik bedoel een naam voor specifiek de curve die ik omschrijf. Zoiets: [ afbeelding ]

Kan goed zijn dat er geen naam voor bestaat hoor .

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 23:49 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Exponentiële functie?

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 23:52 schreef 2thmx het volgende:

[..]

Nee, ik bedoel dus een naam specifiek voor deze curve . Als die bestaat, that is.

quote:

Op dinsdag 10 december 2013 21:05 schreef thenxero het volgende:

[..]

Dat stukje van de redenering is goed. Maar de bewijsstructuur is niet goed of op zijn minst rommelig. Kijk daar nog eens naar.

En is een verschil van periodieke functies wel altijd periodiek? Neem een functie met periode 1 en één met periode pi. Wat is de periode van het verschil?

quote:

Op donderdag 12 december 2013 00:06 schreef DefinitionX het volgende:
http://www.kaveurne.be/wiskunde/wiskunde.htm

2008b, opgave 2.

Ik heb een strategie om dit op te lossen, maar die gaat uit van iets, namelijk dat deze waarden correct zijn:

F(X) = 1/2 x^2
f(x) = x
f'(x) = 1

G(X) = -sin(x) - cos(x)
g(x) = -cos(x) + sin(x)
g'(x) = sin(x) + cos(x)

Kloppen deze waarden?

quote:

In de opgave wordt er een formule gegeven. Ik bereken rechts van de eerste formule alles voor x=pi en daar trek ik vanaf: alles rechts van de formule maar voor x=0. Klopt dat?

quote:

Edit:

Daarbij merk ik op dat voor cos(x) er geen verschil zit wat betreft een waarde x=pi en x=0, deze geven allebei uiteindelijk 1.

quote:

Op donderdag 12 december 2013 01:01 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, dit klopt, afgezien van je typo f''(x) voor f'(x), maar je hebt dit niet allemaal nodig om van de regel voor partieel integreren gebruik te kunnen maken.

[..]

Ja, je past in feite de hoofdstelling van de integraalrekening toe om een bepaalde integraal te berekenen, en bij gebruik van de regel voor partieel integreren is dat niet anders. Alleen werk je de integraal dan eerst om naar een integraal waarbij je gemakkelijker een primitieve van de integrand kunt opschrijven.

De hoofdstelling van de integraalrekening zegt dat als f: [a,b] → R een functie is die continu is op [a,b] en F een primitieve is van f, dat je dan hebt



Als je uitleg wil hebben (van mij) waarom dit geldt, dan kan ik je aanbevelen dit eens goed door te nemen.

De regel voor partieel integreren is de tegenhanger van de productregel uit de differentiaalrekening. Heb je een product h(x) = f(x)g(x) van twee functies f(x) en g(x), dan is de afgeleide van het product h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x). Omgekeerd kun je dus zeggen dat f(x)g(x) een primitieve is van f'(x)g(x) + f(x)g'(x), zodat je in overeenstemming met de hoofdstelling van de integraalrekening hebt



en dus



en dus



Hierbij wordt met de notatie [f(x)g(x)]_a^b bedoeld de waarde van f(x)g(x) voor de bovengrens x = b verminderd met de waarde van f(x)g(x) voor de ondergrens x = a. Deze notatie wordt gebruikt bij het berekenen van bepaalde integralen omdat we dan toch eerst een primitieve opschrijven voordat we de grenzen a en b van het interval waarover we integreren in gaan vullen. In plaats van blokhaken wordt ook wel gebruik gemaakt van een enkele verticale streep rechts van de uitdrukking waarvan we de waarde voor de bovengrens x = b verminderd met de waarde voor de ondergrens x = a moeten bepalen.

Bovenstaande regel kun je nu gebruiken om bijvoorbeeld de integraal uit de opgave uit te rekenen. Maar zoals altijd is het bij gebruik van deze regel van belang dat je je functies f(x) en g(x) handig kiest. Bij deze opgave kies je f(x) = x zodat f'(x) = 1 en dan moet je g(x) zodanig kiezen dat g'(x) = sin x + cos x, zodat je g(x) = −cos x + sin x kunt nemen. Werk nu zelf de opgave verder uit.

[..]

Nee, dat klopt niet. Kijk nog eens naar de eenheidscirkel: als we het startpunt (1;0) over π radialen oftewel een halve slag tegen de klok in roteren om de oorsprong, dan komen we uit in het punt (−1;0). De cosinus van π is dus −1 en niet +1 zoals de cosinus van 0.

quote:

Op maandag 16 december 2013 12:38 schreef Amoeba het volgende:
Zij {f_n} een functierij op een deelinterval D van R, nu moet ik een voorbeeld van zo'n functierij verzinnen die puntsgewijs convergeert naar een onbegrensde functie f* waarbij alle functies f_n begrensd zijn.

Ik zat te denken aan f(x) = 1/x, maar ik kan nu geen functierij vinden die convergeert naar f(x).

Wederom geen antwoord gevraagd, maar een trapje in de goede richting.

quote:

Op maandag 16 december 2013 13:01 schreef Trinitrobenzeen het volgende:
Hoe reken je uit wat de kans is dat een de helft (200 van de 400) van een steekproef iets antwoord met antwoord X als je er vanuit gaat dat de kans op antwoord X bij een populatie 0.25 is? Dus dat het met een normale verdeling is met een gemiddelde van 0.25 en een standaardafwijking heeft van 0.022?

quote:

Op maandag 16 december 2013 13:01 schreef Trinitrobenzeen het volgende:
Hoe reken je uit wat de kans is dat een de helft (200 van de 400) van een steekproef iets antwoord met antwoord X als je er vanuit gaat dat de kans op antwoord X bij een populatie 0.25 is? Dus dat het met een normale verdeling is met een gemiddelde van 0.25 en een standaardafwijking heeft van 0.022?

quote:

Op maandag 16 december 2013 15:54 schreef Riparius het volgende:

[..]

Hint: lim_n→∞ 1/n = 0.

quote:

Op maandag 16 december 2013 18:01 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Dus f* = 1/x, en f_n(x) = 1/x + 1/n?

Voor vaste x convergeert f_n dan in ieder geval naar f*, maar is f_n dan begrensd voor alle n?

quote:

Op maandag 16 december 2013 18:10 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee. Close but no cigar zou een Amerikaan zeggen. Kies D := (0,1) dan is f(x) in ieder geval niet begrensd op D. Nu moet je nog f_n(x) definiëren op D zodanig dat lim_n→∞ f_n(x) = f(x) voor elke x ∈ D terwijl f_n voor elke n ∈ N wél begrensd is op D.

quote:

Op maandag 16 december 2013 17:38 schreef Aardappeltaart het volgende:

[..]

Klinkt ook wel als een binomiale verdeling. N = 400. P = 0,25. Je wil weten wat de kans op X = 200 is.

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

quote:

Op maandag 16 december 2013 19:53 schreef la_perle_rouge het volgende:
Ik heb bij toeval een boek "Schriftelijke opgaven van de eindexamens der Hoogere Burgerescholen" vanaf 1868 gekregen. Diep respect voor de mensen die deze vragen zonder rekenmachines beatwoorden, want sommige vragen zijn niet echt moeilijk, maar vergen flink doorrekenen. Ik ga er overigens vanuit dat men er wel tabellenboekjes bij mocht gebruiken. Het vak wiskunde beslaat meer dan de helft van het boek, want het wordt gesplitst in algebra, trigonometrie, meetkunde en beschrijvende meetkunde.
Nu pieker ik al dagen over een van de opgaven uit het algebra-examen van 1870:

Twee koeriers A en B vertrekken op denzelfden tijd uit de steden P en Q elkander tegemoet. Aan het ontmoetingspunt gekomen, heeft A 30 kilometers meer afgelegd dan B en heeft hij nog 2 2/3 uur noodig om te Q te komen, terwijl B nog 13 1/2 uur noodig zou hebben om P te bereiken. Men vraagt den afstand P tot Q, alsmede de snelheid waarmee de koeriers gereisd hebben.

Iemand enig (eenig) idee hoe die HBS'ers van zo'n 1 1/2 eeuw geleden dit aanpakten?

quote:

Op maandag 16 december 2013 20:31 schreef spacer730 het volgende:

[..]

4 Lineaire vergelijking met 4 onbekenden, niks moeilijks aan alleen wat veel rekenwerk als je geen rekenmachine mag gebruiken. Ik kom iig uit op een afstand van 78 km tussen P en Q en snelheid koerier A = 9km/h en B = 4km/h

quote:

Op maandag 16 december 2013 20:57 schreef DeHuig het volgende:

[..]

Is het je gelukt om de correcte vergelijkingen op te stellen?

quote:

Op maandag 16 december 2013 20:31 schreef spacer730 het volgende:

[..]

4 Lineaire vergelijking met 4 onbekenden, niks moeilijks aan alleen wat veel rekenwerk als je geen rekenmachine mag gebruiken. Ik kom iig uit op een afstand van 78 km tussen P en Q en snelheid koerier A = 9km/h en B = 4km/h

quote:

Op maandag 16 december 2013 13:01 schreef Trinitrobenzeen het volgende:
Hoe reken je uit wat de kans is dat een de helft (200 van de 400) van een steekproef iets antwoord met antwoord X als je er vanuit gaat dat de kans op antwoord X bij een populatie 0.25 is?

quote:

Op maandag 16 december 2013 23:20 schreef DefinitionX het volgende:

[..]

Ik denk zelf aan: 0.25^200 * 0.75^200.

quote:

Op maandag 16 december 2013 23:55 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je vergeet de binomiaalcoëfficiënt.

quote:

Op maandag 16 december 2013 21:08 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je antwoord klopt. Maar dat het veel rekenwerk is of dat je vier vergelijkingen met vier onbekenden zou moeten opstellen klopt niet.

Op het moment dat de koeriers elkaar ontmoeten in een punt R op de route tussen P en Q geldt dat de tot dan toe door de koeriers afgelegde afstanden zich verhouden als hun snelheden, die we a en b kunnen noemen. Aangezien koerier B dan nog 27/2 uur zal doen over het stuk RP dat A op dat moment heeft afgelegd en koerier A nog 8/3 uur zal doen over het stuk RQ dat B al heeft afgelegd geldt dan

(27/2)·b : (8/3)·a = RP : RQ = a : b

en dit levert

16a² = 81b²

en daarmee

a : b = 9 : 4

Maar dit is tevens de verhouding van de afgelegde afstanden in het ontmoetingspunt R, zodat

PR : RQ = 9 : 4

en omdat PR = RQ + 30 geeft dit

(RQ + 30) : RQ = 9 : 4

30 : RQ = 5 : 4

RQ = 24

en dus PR = RQ + 30 = 54 en daarmee PQ = PR + RQ = 54 + 24 = 78 km. Koerier A doet nog 8/3 uur over RQ = 24 km en heeft dus een snelheid van 24·(3/8) = 9 km/h en koerier B doet nog 27/2 uur over RP = 54 km en heeft dus een snelheid 54·(2/27) = 4 km/h.

quote:

Op dinsdag 17 december 2013 08:03 schreef la_perle_rouge het volgende:

[..]

Bedankt allebei. Ik heb wel een heleboel met verhoudingen zitten frutten, en met vergelijkingen, maar ik raakte steeds maar de draad kwijt. Die antwoorden kloppen (die staan ook in het boek). Ik snapte alleen niet hoe ze eraan kwamen, maar nu dus wel. Ik zal eens kijken of ik met deze methode zelf opgave 1 van het examen van 1910 kan oplossen, dat is iets soortgelijks, met een voetganger en een rijtuig. (Die koeriers gingen overigens niet snel, handkar en bakfiets? En dan koudweg vertrekken voor een afstand van 78 km?)

quote:

Op maandag 16 december 2013 18:10 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee. Close but no cigar zou een Amerikaan zeggen. Kies D := (0,1) dan is f(x) in ieder geval niet begrensd op D. Nu moet je nog f_n(x) definiëren op D zodanig dat lim_n→∞ f_n(x) = f(x) voor elke x ∈ D terwijl f_n voor elke n ∈ N wél begrensd is op D.

quote:

Op dinsdag 17 december 2013 12:31 schreef Amoeba het volgende:

[..]

We definiëren op D = [0,1]
f: D -> R, gegeven door f(x) = 1/x voor x ongelijk 0 en f(0) = 0

En de bijbehorende functierij {fn} wordt gegeven door f_n(x) = 1/x als x > 1/n en f_n(x) = 0 als x ≤ 1/n.

Wat vind je hiervan?

quote:

Op dinsdag 17 december 2013 12:56 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ja, dat kan, alleen zijn je functies f_n(x) nu niet continu op D = [0,1]. Ik dacht zelf aan f_n(x) = 1/(x + 1/n), dan is elke f_n(x) continu op D = (0,1), en heb je | f_n(x) | < n voor x > 0 maar dan moet je 0 uitsluiten uit het domein omdat lim_n→∞ f_n(0) dan niet bestaat.

quote:

Op dinsdag 17 december 2013 16:27 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Maar continuïteit was geen eis, en dat vind ik wel mooi. Maar ik mag 0 niet uitsluiten van het domein, want ik moet een functie op dat domein [0,1] vinden.

quote:

Op dinsdag 17 december 2013 16:35 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ah zo. Dat had je dan hierboven wel aan moeten geven.

quote:

Op dinsdag 17 december 2013 16:46 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Nee dit is precies de opgave. Er wordt toch nergens een eis gesteld aan de continuïteit van f_n(x) en f(x)?

quote:

Op dinsdag 17 december 2013 16:52 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee dat niet, maar jij maakte bezwaar tegen mijn keuze D := (0,1) en toen pas gaf je aan dat je een functie op het domein [0,1] moest vinden, terwijl je die eis eerder niet stelde.

quote:

Op zondag 22 december 2013 20:09 schreef Senderious het volgende:
Ik ben bezig met het onderwerp machten met gebroken exponent.
Dit wordt slecht uitgelegd in mijn boek en op internet kan ik er ook weinig over vinden wat mij verder helpt.

Het gaat om deze opgave:

Schrijf als macht of product van machten.

⁵√18 x ¹⁰√12

quote:

Op zondag 22 december 2013 20:38 schreef Senderious het volgende:
Mijn excuses, die zal ik voortaan gebruiken.
Bedankt voor je tijd en moeite!
Maar in mijn antwoordenboek wordt het antwoord van de desbetreffende opgave als volgt aangegeven:
2^2/5·3^1/2

quote:

Op zondag 22 december 2013 20:57 schreef Amoeba het volgende:
Ik heb trouwens nog een vraagje over uniforme convergentie.

We definiëren de functierij (f_k) als volgt

, met D := (1, ∞)

gegeven door



Nu wordt er gevraagd om voor de functiereeks van f_k uniforme convergentie aan te tonen of te weerleggen. Ik zie dat f_k puntsgewijs convergent is, en met de stelling van Dini kan ik zelfs uniforme convergentie aantonen, maar ik heb geen idee hoe ik nu uniforme convergentie voor de functiereeks kan aantonen of weerleggen. Tipje iemand? [ afbeelding ]

quote:

Op maandag 23 december 2013 01:55 schreef thenxero het volgende:

[..]

Het is duidelijk dat je voor alle x>1 puntsgewijze convergentie hebt naar 0. Merk op dat voor x=1 iedere functie 1/2 zou zijn, en dat hoe dichter je x=1 van boven nadert, hoe langzamer de convergentie naar 0 gaat. Uniforme convergentie betekent dat er een bovengrens moet zijn voor hoe snel de convergentie over alle x plaatsvindt. Dat is hier niet het geval, dus is er geen uniforme convergentie.

Dit is even een snel intuïtief argument, maar ik denk dat het wel klopt, dus probeer het eens om te zetten in een bewijs.

quote:

Op maandag 23 december 2013 08:15 schreef Amoeba het volgende:
Oh fuck, je mag de stelling van Dini alleen toepassen op begrensde en gesloten intervallen.
'Nu weet ik nog niets.

quote:

Op maandag 23 december 2013 09:05 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Als de functiereeks uniform convergent is, dan is die ook in het bijzonder puntsgewijs convergent. Dus deze functiereeks moet naar de nul-functie convergeren, als die uniform convergent wil zijn. Nu moet je laten zien dat het niet kan; je moet laten zien dat de functiereeks niet uniform convergeert naar de nul-functie onder de functienorm (sup-norm).

quote:

Op maandag 23 december 2013 11:19 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ja dat snap ik, ik heb alleen geen idee hoe ik dat doe.

quote:

Op maandag 23 december 2013 16:09 schreef ibri het volgende:
constante hoeken, omtrekshoeken en vooral hoek tussen raaklijn en koorde.

quote:

Op maandag 23 december 2013 11:19 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ja dat snap ik, ik heb alleen geen idee hoe ik dat doe.

quote:

Op maandag 23 december 2013 18:23 schreef thenxero het volgende:

[..]

Heb je al geprobeerd mijn intuïtieve bewijs om te zetten in een formeel bewijs?