[Centraal] Bèta huiswerk en vragen topic

Oh en bedankt beide

Boer wil land afzetten, maar alleen het gedeelte dat niet aan de sloot grenst, zie Figuur. Er is 40m schrikdraad



a. Druk AB uit in x
b. Druk de oppervlakte O van het af te zetten stuk land uit in x.
c. Onderzoek de grootst mogelijke oppervlakte van het land dat Boer op deze manier af kan zetten.

De antwoorden

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Die antwoorden zijn natuurlijk wel leuk, en c snap ik ook wel, max intoetsen op je GR, maar ik snap A en B niet, want buiten de antwoorden heb ik geen uitwerkingen. Wie kan me helpen?

Linkerlengte X
Rechterlengte X-4
Totale lengte AB + X + X-4 = AB + 2X - 4 = 40
AB = 44 - 2x

O = AB * X = 44X - 2X²

Maximum bij dO/dX = 0
dO/dX = 44 - 4X = 0
X = 11
En dat in O invullen

quote:

Op vrijdag 29 september 2006 18:24 schreef -J-D- het volgende:
Het ging me dan ook te ver om het helemaal voor je uit te rekenen.
Ging er wel vanuit dat het nu zou lukken.
Succes

Het is me gelukt ben net klaar, pff wat een werk (mocht je ge-intresseerd zijn: hier is de opgave oa te vinden )
Morgen de foutjes eruit halen, nu eerst pitten

"Max intoetsen op je GR"

quote:

Op zaterdag 30 september 2006 17:51 schreef Haushofer het volgende:
"Max intoetsen op je GR"

En het dan wel snappen

In een huiswerk opdracht moest ik bewijzen dat van een bepaalde parameterfunctie de functie door alle toppen van die parameterfunctie gelijk was aan 1/(2x).
Goed, afgeleide bepalen, p schrijven als x, invullen, en dan krijg ik er uiteindelijk dit uit:

y = (x²+4)/(2x³+8x)
dan moet ik dat dus herleiden tot 1/(2x)
Je ziet dat het antwoord goed is, als je (x²+4)/(2x³+8x) = 1/(2x) kruislings vermenigvuldigt zie je dat het klopt. Maar het lukt me maar niet om via de officiële stappen die functie te herleiden. Ik denk waarschijnlijk heel raar na (bovendien ben ik slecht in deelstrepen etc.)

Kan iemand me laten zien hoe je dat herleidt?

Haal bij 2x³+8x eens 2x buiten haakjes.

volgens mij klopt het opzich wel (typefouten daargelaten), alleen vind ik mijn laatste stap vrij onduidelijk
is er iemand hier (ongetwijfeld) die het beter/duidelijker kan en eventueel feedback kan geven

bvd

3 * (1 + 2n^2) - 12n + 6
>=
1 + 2n^2

Is dit de stap die je niet volgt?
Dit is waar als 8 + 4 n^2 >= 12n , als je dat bewijst ben je er.

quote:

Op zondag 1 oktober 2006 17:43 schreef Wackyduck het volgende:
3 * (1 + 2n^2) - 12n + 6
>=
1 + 2n^2

Is dit de stap die je niet volgt?
Dit is waar als 8 + 4 n^2 >= 12n , als je dat bewijst ben je er.

ja ik volg het wel, ik heb het namelijk zelf gedaan - maar ik kan me voorstellen dat het nogal een grote stap is / onduidelijk is

ik vroeg me af of het niet makkelijker kon :p

oeps

Een tijdje terug postte ik al een aantal vragen mbt linear programmeren. Het meeste heb ik inmiddels wel op kunnen lossen alleen zit ik nog met één probleem.

A_t zijn binaire variabelen
s is een integer variabele
Y_t zijn (binaire) parameters

Nu wil ik het volgende lineariseren:

A_{t+s} >= Y_t voor alle t

Iemand enig idee hoe ik dit aanpak? Het probleem zit hem er dus in dat in de index van variabele A een variabele zit... Als iemand een oplossing weet in het geval dat A_t geen variabele, maar een parameter is hoor ik dat ook graag.

4X tot de 5e = 12

hoe reken je dat uit op de rekenmachine

Bedoel je:

4x⁵ = 12 ?

Dan x = (12/4)^(1/5) = 3^1/5

Zit er niet zo'n x^y knop op je rekenapparaat?

Zelf ook een vraag:

Vandaag bezig geweest met het onderwerp: Hoe rekent een computer? (over machine-getallen enzo en de afrondfouten die daarbij gemaakt worden).

Vandaag dus geleerd dat als je twee getallen a en b hebt (die allebei een onnauwkeurigheid bevatten - denk bijv. aan meetwaarden) dat de berekening erg uit kan maken voor de propagatie van je afrondfouten.

Zo is het beter om a² - b² te bereken als (a+b)*(a-b) en niet als (zoals ik had verwacht) a*a - b*b. In het eerste geval is namelijk de relatieve rekenfout die je maakt kleiner dan bij de tweede.

Reken bovenstaande bijvoorbeeld maar eens uit met a = 100.1001 en b = 100.1000 Dan komt uit beide berekeningen NIET hetzelfde antwoord.

Zo is het bijvoorbeeld ook beter (nauwkeuriger) om NIET sin(a) - sin(b) te berekenen, maar juist

2 * sin((a-b)/2) * cos((a+b)/2)

(wat uiteraard gelijk is aan sin(a) - sin(b) als je over EXACTE waarde zou beschikken, maar dat is dus niet zo).

Nu vraag ik mij bijvoorbeeld af wat de beste (meest nauwkeurige) manier is om bijv:

log(x) - log(x-1) , x>>1

uit te rekenen. Of bijv:

(e^x - 1)/x, |x|<<1

Tot aan vandaag had ik gedacht dat je gewoon de log van x zou berekenen, dan de log van x-1 en dan die van elkaar aftrekken. Maar na vandaag twijfel ik of dat nog wel de meest nauwkeurige manier is.

Iemand suggesties?

b) Een bedrag van ¤6000 is op 1 januari 2005 op een bankrekening gestort. Na 10 jaar staat er ¤8881,47 op deze rekening. Wat is het gehanteerde rentepercentage op jaarbasis?

ik weet hoe ik t moet uitrekenen alleen niet op de calculator

Steeds zie je dat het nauwkeuriger kan door een uitdrukking om te schrijven. log(x) - log(x-1) kun je denk ik niet omschrijven. (exp(x)-1)/x wel: exp(x)/x - 1/x = x-log(x)-1/x. Of het nauwkeuriger is, kun je zelf zo proberen.

quote:

b) Een bedrag van ¤6000 is op 1 januari 2005 op een bankrekening gestort. Na 10 jaar staat er ¤8881,47 op deze rekening. Wat is het gehanteerde rentepercentage op jaarbasis?

ik weet hoe ik t moet uitrekenen alleen niet op de calculator

Als je weet hoe je het uit moet rekenen, gebruik je daar toch al de calculator voor? Waarom zou je dat anders willen? Verder is het natuurlijk van belang of er sprake is van discreet/continu samengestelde of van enkelvoudige interest.

quote:

Op woensdag 4 oktober 2006 21:25 schreef Bioman_1 het volgende:
Zelf ook een vraag:

Vandaag bezig geweest met het onderwerp: Hoe rekent een computer? (over machine-getallen enzo en de afrondfouten die daarbij gemaakt worden).

Vandaag dus geleerd dat als je twee getallen a en b hebt (die allebei een onnauwkeurigheid bevatten - denk bijv. aan meetwaarden) dat de berekening erg uit kan maken voor de propagatie van je afrondfouten.

Zo is het beter om a² - b² te bereken als (a+b)*(a-b) en niet als (zoals ik had verwacht) a*a - b*b. In het eerste geval is namelijk de relatieve rekenfout die je maakt kleiner dan bij de tweede.

Reken bovenstaande bijvoorbeeld maar eens uit met a = 100.1001 en b = 100.1000 Dan komt uit beide berekeningen NIET hetzelfde antwoord.

Zo is het bijvoorbeeld ook beter (nauwkeuriger) om NIET sin(a) - sin(b) te berekenen, maar juist

2 * sin((a-b)/2) * cos((a+b)/2)

(wat uiteraard gelijk is aan sin(a) - sin(b) als je over EXACTE waarde zou beschikken, maar dat is dus niet zo).

Nu vraag ik mij bijvoorbeeld af wat de beste (meest nauwkeurige) manier is om bijv:

log(x) - log(x-1) , x>>1

uit te rekenen. Of bijv:

(e^x - 1)/x, |x|<<1

Tot aan vandaag had ik gedacht dat je gewoon de log van x zou berekenen, dan de log van x-1 en dan die van elkaar aftrekken. Maar na vandaag twijfel ik of dat nog wel de meest nauwkeurige manier is.

Iemand suggesties?

log(x) - log(x-1) = log(x/(x-1)) = log(1 + 1/(x-1)).
Als x >> 1, dan is y = 1/(x-1) heel dicht bij 0.
Nu is log(1+y) = y - y²/2 + y³/3 - ...
Dit convergeert natuurlijk heel snel als y heel klein is.

Evenzo kun je gebruiken dat e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... .
dus
(e^x - 1)/x = 1 + x/2! + x²/3! + ... .

quote:

Op woensdag 4 oktober 2006 22:52 schreef GlowMouse het volgende:
Steeds zie je dat het nauwkeuriger kan door een uitdrukking om te schrijven. log(x) - log(x-1) kun je denk ik niet omschrijven. (exp(x)-1)/x wel: exp(x)/x - 1/x = x-log(x)-1/x. Of het nauwkeuriger is, kun je zelf zo proberen.
[..]

Als je weet hoe je het uit moet rekenen, gebruik je daar toch al de calculator voor? Waarom zou je dat anders willen? Verder is het natuurlijk van belang of er sprake is van discreet/continu samengestelde of van enkelvoudige interest.

jaa via het uitwerking boekje heb ik gezien hoe het moet,alleen op me rekenmachine krijg ik het niet voor elkaar

Weet je al wel welke vergelijking je op moet lossen?

6000 X x tot de 10 = 8881,47

6000*x^10=8881,47 dus.
Ik geef je als tip de algemene regel voor logaritmen.
a log b = c <=> a^c=b

Als je er niet uit komt, vertel dan waar je nu vast komt te zitten.

quote:

Op donderdag 5 oktober 2006 07:15 schreef italiaan1987 het volgende:
6000 X x tot de 10 = 8881,47

Je hebt op je rekenmachine een "e" toets, deze heeft het variabele "× 10ⁿ" Dan moet je dus intypen 6000Xe10.

quote:

Op donderdag 5 oktober 2006 07:26 schreef --Christiaan-- het volgende:

[..]

Je hebt op je rekenmachine een "e" toets, deze heeft het variabele "× 10ⁿ" Dan moet je dus intypen 6000Xe10.

De meeste rekenmachines kunnen niet 6000*x¹⁰ uitrekenen. En zelfs als je een luxe rekenmachine hebt die dat wel kan, zal het je vertellen dat dat gelijk is aan 6000*x¹⁰.

De tip voor logaritmen is trouwens ook nutteloos. Het is nu eenvoudige algebra. De enige regel die je misschien niet kent luidt dat als a^b = c, dan a = c^1/b.

6000*x^10=8881,47
x^10 = 1,4802 berekend door 8881,47 door 6000 te delen


x = ^10wortel van 1,4802
en dit ken ik dus nie berekenen op de calculator

Kun je wel x^y berekenen voor willekeurige x en y? Zoja, zie mijn tip, zonee, dan gaat jou dit niet lukken met deze rekenmachine (of je moet met inklemmen willen werken).

quote:

Op donderdag 5 oktober 2006 15:33 schreef italiaan1987 het volgende:

x = ^10wortel van 1,4802
en dit kan ik dus niet berekenen op de calculator

Tuurlijk wel. Er zit toch wel een toets voor x^y o.i.d. op je calculator, en een toets voor inverse functies? Met de calculator in Windows XP gaat het trouwens ook gemakkelijk. Vinkje bij Inv aanzetten en dan intoetsen: 1.4802 x^y 10 = en je krijgt als antwoord 1.0399968885584896330874361342892. De rente is dus 4%.

Je kunt natuurlijk ook bedenken dat het trekken van de 10-de machtswortel gelijk staat aan verheffen tot de macht 1/10, dan heb je de inverse functietoets van je calculator niet eens nodig.

ik heb het knopje gevonden om het te berekenen op de calculator

het is 10 Shift ^1,4802 en dan kom je indd op 4% rente uit

TVP

Ik ben met Elektrostatica de volgende integraal tegengekomen en het lukt me niet 't onding op te lossen. Weet iemand raad?

Het gaat om de volgende integraal (oplossing komt van Wolfram, maar het gaat me uiteraard om de uitwerking):



Ik zou degene die me 't antwoord verschaf bijzonder dankbaar zijn

quote:

Op zaterdag 7 oktober 2006 20:03 schreef Greus het volgende:
Ik ben met Elektrostatica de volgende integraal tegengekomen en het lukt me niet 't onding op te lossen. Weet iemand raad?

Het gaat om de volgende integraal (oplossing komt van Wolfram, maar het gaat me uiteraard om de uitwerking):

[afbeelding]

Ik zou degene die me 't antwoord verschaf bijzonder dankbaar zijn

Heb je het al geprobeerd met zwavelzuur?

quote:

Op zaterdag 7 oktober 2006 20:03 schreef Greus het volgende:
Ik ben met Elektrostatica de volgende integraal tegengekomen en het lukt me niet 't onding op te lossen. Weet iemand raad?

Het gaat om de volgende integraal (oplossing komt van Wolfram, maar het gaat me uiteraard om de uitwerking):

[afbeelding]

Ik zou degene die me 't antwoord verschaft bijzonder dankbaar zijn

Je vraagt in feite naar het primitiveren van de functie x∙(x² - √2∙a∙x + a²)^-½. In eerste instantie zou je dus (x² - √2∙a∙x + a²)^½ kunnen uitproberen. Differentiëren van de laatste geeft:

½∙(x² - √2∙a∙x + a²)^-½∙ (2x - √2∙a) =

x∙(x² - √2∙a∙x + a²)^-½ - ½∙√2∙a∙(x² - √2∙a∙x + a²)^-½

De eerste term is precies de functie waarvan we een primitieve willen vinden, maar de tweede term willen we er niet bij hebben. Dat betekent dat we nu nog een functie moeten vinden waarvan de afgeleide gelijk is aan het tegendeel van de tweede term, anders gezegd, we zoeken nu nog een primitieve van:

½∙√2∙a∙(x² - √2∙a∙x + a²)^-½

De som van een primitieve van deze functie en (x² - √2∙a∙x + a²)^½ zal dan bij differentiatie het gewenste resultaat x∙(x² - √2∙a∙x + a²)^-½ opleveren.

Om nu een primitieve te vinden van ½∙√2∙a∙(x² - √2∙a∙x + a²)^-½ moet je de kwadratische veelterm onder het wortelteken eerst schrijven als een som van twee kwadraten. Je hebt:

(x - ½∙√2∙a)² = x² - √2∙a∙x + (½∙√2∙a)² = x² - √2∙a∙x + ½∙a², zodat we vinden dat:

x² - √2∙a∙x + a² = (x - ½∙√2∙a)² + (½∙√2∙a)²

Nu kun je de factor ½∙√2∙a buiten het wortelteken halen (we nemen aan dat a > 0) en een substitutie z = (x - ½∙√2∙a)/(½∙√2∙a) uitvoeren. We hebben dan:

½∙√2∙a∙(x² - √2∙a∙x + a²)^-½ = (z² + 1)^-½

Uit z = (x - ½∙√2∙a)/(½∙√2∙a) volgt dz/dx = 1/(½∙√2∙a) dus dx/dz = ½∙√2∙a. Het probleem is nu herleid tot het vinden van een primitieve van

½∙√2∙a∙ (z² + 1)^-½

Deze laatste functie is, op de factor ½∙√2∙a na, een standaardfunctie. Een primitieve hiervan is de inverse functie van de hyperbolische functie sinh(z), oftewel arcsinh(z). Deze laatste kun je ook schrijven als

ln(z + (z² + 1)^½)

Substitutie van z = (x - ½∙√2∙a)/(½∙√2∙a) levert dan, op een constante na, hetzelfde resultaat als Mathematica. Bedenk hierbij dat je een constante ½∙√2∙a∙ln(√2∙a) bij de gevonden primitieve op kunt tellen om op precies hetzelfde resultaat uit te komen als Mathematica. Maak hiervoor gebruik van ln(p) + ln(q) = ln(p∙q) en breng dan de factor ½∙√2∙a weer onder het wortelteken.

Nog een opmerking over het primitiveren van de functie

(z² + 1)^-½

Om hiervan een primitieve te vinden maakt men gebruik van de substitutie z = sinh(u) zodat dz/du = cosh(u). Aangezien cosh²(u) - sinh²(u) = 1 volgt dan direct dat u = arcsinh(z) een primitieve is.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 08-10-2006 03:54:21 ]

quote:

Op zondag 8 oktober 2006 03:41 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je vraagt in feite naar het primitiveren van de functie x∙(x² - √2∙a∙x + a²)^-½. In eerste instantie

...

z = sinh(u) zodat dz/du = cosh(u). Aangezien cosh²(u) - sinh²(u) = 1 volgt dan direct dat u = arcsinh(z) een primitieve is.

Fantastisch, bedankt

Maple-vraagje:

Hoe los ik bijvoorbeeld 3 vergelijkingen met evenveel onbekenden op?

Ik heb geen problemen om alles te definieren, maar kom er maar niet achter hoe ik er uitkomsten voor alle onbekenden uitkrijg.

quote:

Op maandag 9 oktober 2006 11:19 schreef Innocence het volgende:
Maple-vraagje:

Hoe los ik bijvoorbeeld 3 vergelijkingen met evenveel onbekenden op?

Ik heb geen problemen om alles te definieren, maar kom er maar niet achter hoe ik er uitkomsten voor alle onbekenden uitkrijg.

solve( { je vergelijkingen gescheiden door komma's} );

quote:

Op zondag 8 oktober 2006 12:28 schreef Greus het volgende:

[..]

Fantastisch, bedankt

Graag gedaan. Ik zag dat je een poos geleden, hier, ook al zat te worstelen met het bepalen van de integraal van (2∙e^2t + 1)^½ over het interval van 0 tot 2π. Er waren wel wat suggesties maar de gouden tip zat er duidelijk niet bij, laat staan dat iemand de moeite nam om het echt uit te werken. Ik heb dat inmiddels wel gedaan en de oplossing die je gaf uit het boekje blijkt te kloppen. Ik vond die integraal trouwens nog wat pittiger dan deze.

quote:

Op maandag 9 oktober 2006 14:29 schreef Riparius het volgende:

[..]

Graag gedaan. Ik zag dat je een poos geleden, hier, ook al zat te worstelen met het bepalen van de integraal van (2∙e^2t + 1)^½ over het interval van 0 tot 2π. Er waren wel wat suggesties maar de gouden tip zat er duidelijk niet bij, laat staan dat iemand de moeite nam om het echt uit te werken. Ik heb dat inmiddels wel gedaan en de oplossing die je gaf uit het boekje blijkt te kloppen. Ik vond die integraal trouwens nog wat pittiger dan deze.

Kan ik deze oplossing misschien van je overnemen?

hee!
de vraag is:
bepaal alle cykeltypes in S₅ van alle even permutaties en die orde 4 hebben.

..
hoe pak ik dit het beste aan?
trouwens, hoeveel permutaties zijn er van ieder cykeltype?
alvast bedankt

quote:

Op maandag 9 oktober 2006 18:50 schreef teletubbies het volgende:
hee!
de vraag is:
bepaal alle cykeltypes in S₅ van alle even permutaties en die orde 4 hebben.

..
hoe pak ik dit het beste aan?
trouwens, hoeveel permutaties zijn er van ieder cykeltype?
alvast bedankt

Volgens mij zijn er geen permutaties die daar aan voldoen, maar wellicht heb ik er niet genoeg over na gedacht.

De orde van een permutatie is gelijk aan het kleinste gemene veelvoud van de ordes van zijn cykels. Aangezien de orde 4 moet zijn, bevat de permutatie dus een 4-cykel en een 1-cykel. Maar een 4-cykel is een oneven permutatie, dus dergelijke permutaties bestaan niet in S_5.

okee..
nu een vraag die daarop lijkt:
bepaal alle cykeltypes in S₆ van alle even permutaties en die orde 5 hebben.
het gaat om een 5-cykel:
5=5.1
de permutatie bevat een 5-cykel en een 1-cykel. Een 5-cykel is even, dit is de enige oplossing.

bepaal alle cykeltypes in S₈ van alle Oneven permutaties en die orde 4 hebben.
het gaat om een 4-cykel:
4=4*1, (2*2 gaat niet..kgv(2,2)=2)
de permutatie bevat een 4-cykel en een 1-cykel. Een 4-cykel is oneven, dit is de enige oplossing.
hoeveel permutaties voldoen hieraan?
je hebt bijv (1234), (1243), (1324), (1342) ....(5678),(5687)...
maar (1234)=(2341)=(3412)=(4123)
het aantal permutaties is volgens mij 4*8/4=16
of is dit fout?

[ Bericht 0% gewijzigd door teletubbies op 09-10-2006 20:56:59 (foutje) ]

quote:

Op maandag 9 oktober 2006 20:29 schreef teletubbies het volgende:
okee..
nu een vraag die daarop lijkt:
bepaal alle cykeltypes in S₆ van alle even permutaties en die orde 5 hebben.
het gaat om een 5-cykel:
5=5.1
de permutatie bevat een 5-cykel en een 1-cykel. Een 5-cykel is even, dit is de enige oplossing.

Ja, dit klopt naar mijn weten.

quote:

bepaal alle cykeltypes in S₈ van alle Oneven permutaties en die orde 4 hebben.
het gaat om een 4-cykel:
4=4*1, (2*2 gaat niet..kgv(2,2)=2)
de permutatie bevat een 4-cykel en een 1-cykel. Een 4-cykel is oneven, dit is de enige oplossing.

Nee, een permutatie met cykels ter lengte 4, 2 en 2 voldoet ook.

quote:

hoeveel permutaties voldoen hieraan?
je hebt bijv (1234), (1243), (1324), (1342) ....(5678),(5687)...
maar (1234)=(2341)=(3412)=(4123)
het aantal permutaties is volgens mij 4*8/4=16
of is dit fout?

Ja, dit is fout omdat 4*8/4=8. Bovendien heb je niet goed geteld. Je kunt op 8 kies 4 manieren de 4 elementen in je cykel kiezen. Deze kun je op 4! manieren ordenen. Zoals je al opmerkte zijn telkens 4 van deze ordeningen hetzelfde. Het gevraagde aantal is dus (8 kies 4)*4!/4 = (8 kies 4)*3!.

okee . ik snap het nu... kgv(4,2,2) is ook twee. en zo'n cykel is oneven.
8 kies 4= 8 boven 4 ..betekende 8!/(4!4!) als het goed is.
merci:)

quote:

Op maandag 9 oktober 2006 17:17 schreef Greus het volgende:

[..]

Kan ik deze oplossing misschien van je overnemen?

Gevraagd werd de integraal te bepalen van de functie √(2∙e^2t + 1) over het interval [0, 2π].

Bij integralen met een vierkantswortel uit een kwadratische veelterm bestaat de oplossingsmethode erin dat je de veelterm door kwadraatafsplitsing en een geschikt gekozen lineaire substitutie herleidt tot een vorm van de gedaante z² + 1, z² -1 of 1 - z². De reden hiervoor is dat je dan met een substitutie van een goniometrische of hyperbolische functie de integraal in een vorm kunt brengen waarin geen wortelteken meer voorkomt. Hierbij wordt gebruik gemaakt van de bekende identiteiten

cos²(x) + sin²(x) =1
cosh²(x) - sinh²(x) = 1

In dit geval hebben we onder het wortelteken echter geen kwadratische veelterm, maar we kunnen 2∙e^2t + 1 wel herleiden tot z² + 1 als we substitueren z² = 2∙e^2t oftewel

z = √2∙e^t

Merk op dat geldt z > 0 voor alle (reële) waarden van t. We hebben nu dz/dt = √2∙e^t = z, dus dt/dz = z^-1. Hiermee is de integraal omgevormd tot

∫ z^-1∙√(z² + 1)∙dz

Nu kunnen we een substitutie met een hyperbolische functie uitvoeren om de wortel kwijt te raken. Kiezen we z = sinh(u) (waarbij geldt dat u > 0 daar z > 0), dan is √(z² + 1) = cosh(u) en dz/du = cosh(u) zodat we krijgen

∫ (1/sinh(u))∙cosh(u)∙cosh(u)∙du

Aangezien cosh²(u) = 1 + sinh²(u) kunnen we dit schrijven als:

∫ ((1/sinh(u)) + sinh(u))∙du

De tweede term is eenvoudig te primitiveren, want sinh(u) en cosh(u) zijn elkaars afgeleiden, zodat cosh(u) een primitieve is van sinh(u). Maar een primitieve van 1/sinh(u) is niet zo eenvoudig te bepalen. Aangezien 1/x de afgeleide is van ln(x) zou je kunnen denken aan ln(sinh(u)), maar de afgeleide daarvan is, vanwege de kettingregel, (1/sinh(u))∙cosh(u) = coth(u). Evenzo geeft ln(cosh(u)) als afgeleide tanh(u).

Nu valt op dat het differentiëren van de natuurlijke logaritme van een hyperbolische functie een andere hyperbolische functie oplevert, en je zou je daarom kunnen afvragen of ln(tanh(u)) misschien het gewenste resultaat geeft. De afgeleide van tanh(u) is 1/cosh²(u) en dus vinden we voor de afgeleide van ln(tanh(u)) :

(1/tanh(u)) ∙ (1/cosh²(u)) = (cosh(u)/sinh(u)) ∙ (1/cosh²(u)) = (1/ sinh(u))∙(1/cosh(u)) = 1/(sinh(u)∙cosh(u))

Dit is nog niet het gewenste resultaat 1/sinh(u) maar toch kunnen we hier verder mee omdat het mogelijk is sinh(u) te herschrijven als een produkt van een sinh en een cosh. We hebben de volgende identiteit:

sinh(2x) = 2∙sinh(x)∙cosh(x)

Substitutie van 2x = u en dus x = ½∙u levert

sinh(u) = 2∙sinh(½∙u)∙cosh(½∙u)

Nu is eenvoudig te zien dat 1/sinh(u) = 1/(2∙sinh(½∙u)∙cosh(½∙u)) de afgeleide is van ln(tan(½∙u)) en dus vinden we

∫ ((1/sinh(u)) + sinh(u))∙du = cosh(u) + ln(tan(½∙u))

De hyperbolische substitutie was alleen bedoeld om de wortel kwijt te raken, zodat we de primitieve nu weer om gaan zetten naar een uitdrukking in z (die dan op zijn beurt weer is om te zetten naar een uitdrukking in t). We weten al dat cosh(u) = √(z² + 1) maar om de term ln(tan(½∙u)) uit te drukken in z moeten we deze term eerst omzetten naar een uitdruking in sinh(u) of cosh(u). We hebben de volgende identiteit:

cosh(2x) = cosh²(x) + sinh²(x) = 2∙cosh²(x) - 1 = 2∙sinh²(x) + 1

Na substitutie van 2x = u ofwel x = ½∙u kunnen we hieruit afleiden dat geldt

sinh²(½∙u) = (cosh(u) - 1)/2
cosh²(½∙u) = (cosh(u) + 1)/2

Delen we de eerste betrekking door de tweede en nemen we de vierkantswortel dan vinden we dus (voor u ≥ 0):

tanh(½∙u) = √((cosh(u) - 1)/(cosh(u) + 1))

Aangezien ln(√a) = ½∙ln(a) hebben we dan:

∫ ((1/sinh(u)) + sinh(u))∙du = cosh(u) + ½∙ln((cosh(u) - 1)/(cosh(u) + 1))

Hierin is cosh(u) = √(z² + 1) zodat we voor de primitieve uitgedrukt in z vinden:

√(z² + 1) + ½∙ln((√(z² + 1) - 1)/(√(z² + 1) + 1))

Nu kunnen we de breuk (√(z² + 1) - 1)/(√(z² + 1) + 1) nog wat vereenvoudigen door teller en noemer te vermenigvuldigen met (√(z² + 1) - 1) en gebruik te maken van (a+b)(a-b) = a² - b². Merk op dat (√(z² + 1) - 1) positief is aangezien z > 0. De noemer van de breuk wordt dan (z² + 1) - 1² = z² en voor de teller krijgen we:

(√(z² + 1) - 1)² = (z² + 1) - 2∙√(z² + 1)∙1 + 1² = z² + 2 - 2∙√(z² + 1)

Voor de primitieve uitgedrukt in z hebben we nu:

∫ z^-1∙√(z² + 1)∙dz = √(z² + 1) + ½∙ln((z² + 2 - 2∙√(z² + 1))/z²)

Substitutie van z² = 2∙e^2t geeft tenslotte als resultaat:

∫√(2∙e^2t + 1)∙dt = √(2∙e^2t + 1) + ½∙ln((e^2t + 1 - √(2∙e^2t + 1))/e^2t)

Vullen we nu eerst t=2π in en dan t=0 en trekken we het tweede resultaat af van het eerste dan vinden we voor de bepaalde integraal over het interval [0,2π] inderdaad:



Hiermee is de opgave voltooid. Nog enkele aanvullingen. Aangezien ln(a) = - ln(1/a) kunnen we voor de primitieve uitgedrukt in z ook schrijven:

√(z² + 1) - ½∙ln((√(z² + 1) + 1)/(√(z² + 1) - 1))

Vereenvoudigen we weer de breuk door teller en noemer nu met (√(z² + 1) + 1) te vermenigvuldigen dan wordt de noemer weer gereduceerd tot z² terwijl we voor de teller (√(z² + 1) + 1)² krijgen. Beide zijn een kwadraat zodat de gehele breuk ook als een kwadraat ((√(z² + 1) + 1)/z)² is te schrijven, en aangezien ln(a²) = 2∙ln(a) kunnen we de primitieve schrijven als:

√(z² + 1) - ln((√(z² + 1) + 1)/z)

Dit is eenvoudig te herleiden tot

√(z² + 1) - ln(z^-1 + √(z^-2 + 1))

Aangezien arcsinh(z) = ln(z + √(z² + 1)) en dus arcsinh(1/z) = ln(z^-1 + √(z^-2 + 1)) vinden we dat:

∫ z^-1∙√(z² + 1)∙dz = √(z² + 1) - arcsinh(1/z)

Substitutie van z = √2∙e^t, z² = 2∙e^2t geeft dan:

∫√(2∙e^2t + 1)∙dt = √(2∙e^2t + 1) - arcsinh(e^-t/√2)

Hiermee is de bepaalde integraal eenvoudiger numeriek te berekenen met een gewone calculator. Voor de waarde van de bepaalde integraal over het interval [0, 2π] vinden we dan 756,225...

Tot slot nog een opmerking over de wijze waarop Mathematica deze integraal behandelt. Aangezien de waarde van tanh(x) tussen -1 en +1 ligt, is de waarde van de inverse functie arctanh(x) strict genomen alleen gedefinieerd voor -1 < x < 1. Voor deze waarden van x geldt:

arctanh(x) = ½∙ln((1+x)/(1-x))

De afgeleide van arctanh(x) is 1/(1-x²) maar deze laatste functie is ook gedefinieerd voor x < -1 en x > 1. Om deze reden is het voor toepassing in de integraalrekening nuttig om het domein van arctanh(x) uit te breiden naar waarden van x < -1 of x > 1. Te vergelijken is de functie x^-1 die ook gedefinieerd is voor x < 0, terwijl de bijbehorende primitieve functie ln(x) binnen de reële getallen alleen is gedefinieerd voor x > 0. We kunnen de primitieve functie van x^-1 echter ongeacht het teken van x weergeven als ln(|x|). Op vergelijkbare wijze is het domein van arctanh(x) uit te breiden door deze functie voor x < -1 of x > 1 te definiëren als:

arctanh(x) = ½∙ln(|(1+x)/(1-x)|)

Grafisch zien de uitgebreide functie arctanh(x) en de bijbehorende afgeleide er als volgt uit:



Voor x > 1 geldt |(1+x)/(1-x)| = (x+1)/(x-1) zodat we voor ½∙ln((√(z² + 1) + 1)/(√(z² + 1) - 1)) bij gebruik van de uitgebreide definitie van arctanh mogen schrijven:

arctanh(√(z² + 1))

Zo krijgen we dan:

∫ z^-1∙√(z² + 1)∙dz = √(z² + 1) - arctanh(√(z² + 1))

En substitutie van z² = 2∙e^2t geeft:

∫√(2∙e^2t + 1)∙dt = √(2∙e^2t + 1) - arctanh(√(2∙e^2t + 1))

Deze laatste variant is alleen geschikt voor de berekening van de bepaalde integraal als de gebruikte calculator of het gebruikte programma de uitgebreide definitie van arctanh hanteert.

Morgen toets over periodieke functies, maar heb nog een paar vraagjes:

Hoe los je 2sin 2x > 0,8 op, zonder intersect en hoe schrijf je dat precies op

Hoe bepaal je de horizontale verschuiving van Y = sin x met verschillende formule( bv. 5 * Sin (0,5x) + 6) of wat is de algemene regel hoe kan je dat zien in de grafiek

Ik had zo een vraagje

Het snijpunt van twee bissectrices in een driehoek is het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Kijk nu naar het snijpunt van de buiten bissectrices bij twee hoekpunten. Dat snijpunt is ook het middelpunt van een bijzondere cirkel. Verklaar dat ?

Geen idee ????? Wat voor cirkel moet dat wezen ?
Appolonius cirkel? Hoe valt dat te verklaren.

[ Bericht 1% gewijzigd door sitting_elfling op 10-10-2006 22:11:24 ]

gewoon een vraagje
wat is het verschil tussen wiskunde A en B??
wat krijgt B wat A niet krijgt

quote:

Hoe los je 2sin 2x > 0,8 op, zonder intersect en hoe schrijf je dat precies op

sin(2x) > 0,4, en hier kun je zonder intersect vrij weinig mee. Het zou wat anders zijn als we het bijvoorbeeld over sin(2x) > wortel(2)/2 hadden.

quote:

# Hoe bepaal je de horizontale verschuiving van Y = sin x met verschillende formule( bv. 5 * Sin (0,5x) + 6) of wat is de algemene regel hoe kan je dat zien in de grafiek

Logisch nadenken: wat gebeurt er nu eigenlijk? 5*sin(x) -> de sinus wordt 5x uitgerekt. Sin(0,5x) -> pas bij x=2pi gaat hij weer door 0, dus de sinus wordt uit elkaar getrokken in horizontale richting. Sin(x+5) -> Ipv x wordt er nu steeds x+5 ingevuld, ofwel een verschuiving van 5 naar links.

quote:

gewoon een vraagje
wat is het verschil tussen wiskunde A en B??
wat krijgt B wat A niet krijgt

B is iets algebraïscher. Dingen die A niet krijgt zijn integralen, wat goniometrie, en misschien nog wel meer.

quote:

Op dinsdag 10 oktober 2006 21:51 schreef italiaan1987 het volgende:
gewoon een vraagje
wat is het verschil tussen wiskunde A en B??
wat krijgt B wat A niet krijgt

B krijgt het bewijzen en redeneren. En gaat volgens mij dieper op de 'abstracte' stof in.
Maar meer weet ik er ook niet vanaf. Alleen dat bewijzen en meetkunde verschil is wel aanwezig. Groot verschil ook

Het is inderdaad alleen meetkunde en bewijzen(op VWO niveau in ieder geval). Verder is het volgens mij exact hetzelfde(heb zelf wb1,2 gehad).

Een vraagje

Als een driehoek een zijde heeft van 5 en een zijde
van 8. Kan de 3e zijde dan 13 zijn ?
Hoe zit dat met de cosinus/sinus regel in dit vlak ?

quote:

Op dinsdag 10 oktober 2006 23:48 schreef sitting_elfling het volgende:
Een vraagje

Als een driehoek een zijde heeft van 5 en een zijde
van 8. Kan de 3e zijde dan 13 zijn ?

Nee, want de som van de lengtes van twee zijden van een driehoek is altijd groter dan de lengte van de derde zijde.

quote:

Hoe zit dat met de cosinus/sinus regel in dit vlak ?

Onduidelijke vraagstelling. De cosinusregel luidt:

a² = b² + c² - 2bc∙cos α

Als nu a = b + c dan is a² = (b+c)² = b² + 2bc + c². Bij een driehoek met a = b + c zou dus moeten gelden cos α = -1 dus α = 180°, maar dat kan niet aangezien de beide andere hoeken dan 0 graden zouden moeten zijn.

quote:

Op woensdag 11 oktober 2006 00:01 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, want de som van de lengtes van twee zijden van een driehoek is altijd groter dan de lengte van de derde zijde.
[..]

Onduidelijke vraagstelling. De cosinusregel luidt:

a² = b² + c² - 2bc?cos ?

Als nu a = b + c dan is a² = (b+c)² = b² + 2bc + c². Bij een driehoek met a = b + c zou dus moeten gelden cos ? = -1 dus ? = 180°, maar dat kan niet aangezien de beide andere hoeken dan 0 graden zouden moeten zijn.

Oke bedankt nu weet ik ook weer wanneer ik dat moet gebruiken .
Nog een bewijs vraag waar ik niet uitkom

Gegeven is een vierkant EFGH
Je verlengt EF met FA
Je verlengt FG met GB
Je verlengt GH met HC
Je verlengt HE met ED

verder is FA = GB = HC = ED
bewijs dat ABCD een vierkant is.
Als ik het teken zie ik ook wel dat het een vierkant is. Maar hoe bewijs ik dat
Er komen gewoon bij vierkant EFGH 4 rechthoekige driehoeken bij.
4 rechthoekige driehoeken passen mooi inelkaar

Maar das geen goed bewijs

quote:

Op woensdag 11 oktober 2006 00:09 schreef sitting_elfling het volgende:

[..]

Oke bedankt nu weet ik ook weer wanneer ik dat moet gebruiken .
Nog een bewijs vraag waar ik niet uitkom

Gegeven is een vierkant EFGH
Je verlengt EF met FA
Je verlengt FG met GB
Je verlengt GH met HC
Je verlengt HE met ED

verder is FA = GB = HC = ED
bewijs dat ABCD een vierkant is.
Als ik het teken zie ik ook wel dat het een vierkant is. Maar hoe bewijs ik dat

Je moet eerst aantonen dat de vier rechthoekige driehoeken congruent zijn (congruentiekenmerken gebruiken). Dan weet je al dat de vier schuine zijden die samen de grote vierhoek vormen gelijk zijn. Verder moet je laten zien dat de vier hoeken van de grote figuur elk 90 graden zijn. Dat is ook eenvoudig omdat de vier toegevoegde driehoeken rechthoekig zijn zodat de som van de twee andere hoeken van elke driehoek ook 90 graden is.

[ Bericht 2% gewijzigd door Riparius op 11-10-2006 00:25:41 ]

Nog even een hele simpele opdracht, maar hij lukt mij niet

quote:

Op 1-1-2006 zet iemand ¤ 6000,- op een spaarrekening. De rente is 3% per jaar en wordt aan het eind van elk jaar bijgeschreven op de spaarrekening. Verder wordt er niets op de spaarrekening gestort en er wordt ook niets afgehaald.
Hoeveel jaar duurt het voor het saldo verdubbeld is?

Ik heb m opgelost met mn Grafische Rekenmachine:
y1 = 6000*1,03^x
y2 = 12000
En dan het snijpunt opzoeken, en dat geeft x = 23,45 jaar, dus na 24 jaar.

Maar ik moet m natuurlijk berekenen

Zover was ik: 6000*(1,03^x) = 12000

Hoe los je zoiets op

2=1.03^x
1.03log₂=x
En daar zul je toch je rekenmachine moeten pakken vrees ik.

Hier een vraag over Java Programmeren? Wie kan mij helpen en/of tips geven?

http://scp.thrijswijk.nl/vakken/prog3t1/index.html en dan Practicum Handleiding staan de opdrachten in.
Ik maak het in JBuilder. Heb al begin gemaakt, maar lukt mij verder niet..
Bedankt alvast!

quote:

Op woensdag 11 oktober 2006 17:48 schreef Aibmi het volgende:
2=1.03^x
1.03log₂=x
En daar zul je toch je rekenmachine moeten pakken vrees ik.

Zover was ik al gekomen, maar dan kom ik op 0.31006

quote:

Op woensdag 11 oktober 2006 17:49 schreef Elle4 het volgende:
Hier een vraag over Java Programmeren? Wie kan mij helpen en/of tips geven?

[Java] voor dummies - Deel 1

quote:

Op woensdag 11 oktober 2006 17:51 schreef Piles het volgende:

[..]

Zover was ik al gekomen, maar dan kom ik op 0.31006
[..]

[Java] voor dummies - Deel 1

Simpel:

(1,03)^x = 2

log((1,03)^x) = log(2)

x∙log(1,03) = log(2)

x = log(2) / log (1,03)

Dit laatste even uitrekenen met de calculator

Je hoeft dus niet met logaritmen met grondtal 2 te werken, gewone logaritmen voldoen prima.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 11-10-2006 18:12:57 ]

De GR ziet 1.03log2 als 1.03 maal de 10log van 2. Je zult het dus inderdaad op de manier van Riparius in de GR moeten doen.

quote:

Op woensdag 11 oktober 2006 18:00 schreef Riparius het volgende:
log((1,03)^x) = log 2

x∙log(1,03) = log(2)

Ik kende de logica van deze stap nog niet, maar die ga ik zeker ff opschrijven

Bedankt voor de hulp

quote:

Op woensdag 11 oktober 2006 18:06 schreef Piles het volgende:

[..]


Ik kende de logica van deze stap nog niet, maar die ga ik zeker ff opschrijven

Bedankt voor de hulp

Dit is toch echt een basisregel voor het rekenen met logaritmen hoor. Kijk maar eens op je formulekaart:

log(a^p) = p∙log(a)

quote:

Op woensdag 11 oktober 2006 18:08 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dit is toch echt een basisregel voor het rekenen met logaritmen hoor. Kijk maar eens op je formulekaart:

log(a^p) = p∙log(a)

Die heb ik niet
Het staat vast ergens in mn boek, maar dat heb ik denk ik gemist

Ok, hallo Ik ben nogal een idioot op het vlak van bètavakken (Ik doe dan ook de meest alpha opleiding die er is) en heb dus problemen met een vraag die normaal simpel zou moeten zijn:

Eerst moet ik de vergelijking bepalen van een cirkel met M(-4, 1) als middelpunt en r=3
Dat is c <-> (x+4)² + ( y-1)² = 9 (toch?)

Als ik ervanuitga dat dat juist is, dan moet ik nu zien wat de snijpunten met de X-as zijn, dat was toch Y=0 en dan uitrekenen ?

Dan krijg je

(x+4)² + (0-1)² = 9

Hier overal de wortel uit nemen om die kwadraathaakjesdingetjes weg te werken:

x + 4 + 1 = 3

x + 5 = 3

x = -2

En dan denk ik, zo idioot als ik ben, dat de snijpunten met de X-as... oh wacht ik heb er twee nodig
Dat heb ik ergens lang geleden gehad, maar ik weet het al lang niet meer.

Wat doe ik fout ?

quote:

Op woensdag 11 oktober 2006 00:20 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je moet eerst aantonen dat de vier rechthoekige driehoeken congruent zijn (congruentiekenmerken gebruiken). Dan weet je al dat de vier schuine zijden die samen de grote vierhoek vormen gelijk zijn. Verder moet je laten zien dat de vier hoeken van de grote figuur elk 90 graden zijn. Dat is ook eenvoudig omdat de vier toegevoegde driehoeken rechthoekig zijn zodat de som van de twee andere hoeken van elke driehoek ook 90 graden is.

Mag ik zeggen dat de 4 toegevoegde driehoeken congruent zijn omdat ze voldoen aan ZHZ
ZHZ = 2 zijden en een ingesloten hoek. De 4 schuine zijden zijn dus even lang. En omdat de 4 toegevoegde driehoeken rechthoekig zijn, zijn de 2 overige hoeken 90 graden. Wat het dus een vierkant maakt.

Als x²=9 dan x=3 of x=-3.

Oh wacht, ik kan mijn oefening toch met de abc-formule maken ?

Het kan, maar is niet aan te raden omdat het veel makkelijker kan.

quote:

Op woensdag 11 oktober 2006 20:06 schreef sitting_elfling het volgende:

[..]

Mag ik zeggen dat de 4 toegevoegde driehoeken congruent zijn omdat ze voldoen aan ZHZ
ZHZ = 2 zijden en een ingesloten hoek. De 4 schuine zijden zijn dus even lang. En omdat de 4 toegevoegde driehoeken rechthoekig zijn, zijn de 2 overige hoeken 90 graden. Wat het dus een vierkant maakt.

Ja, dat is het, heel compact opgeschreven.

quote:

Op woensdag 11 oktober 2006 20:15 schreef GlowMouse het volgende:
Het kan, maar is niet aan te raden omdat het veel makkelijker kan.

Maar ik snap eigenlijk niet wat ik met jouw raad moet (als je eerste post voor mij bedoelt is)

Als (x+4)² + (0-1)² = 9 dan (x+4)² = 8. Ofwel x+4 = wortel(8) of x+4 = -wortel(8)
Je deed zelf trouwens dat wortel((x+4)² + (0-1)²) = (x+4) + (0-1), maar dit gaat fout (voorbeeld: wortel(2+2) = 2, terwijl wortel(2) geen 1 is).

quote:

Op woensdag 11 oktober 2006 19:58 schreef Secretus het volgende:
Ok, hallo Ik ben nogal een idioot op het vlak van bètavakken (Ik doe dan ook de meest alpha opleiding die er is) en heb dus problemen met een vraag die normaal simpel zou moeten zijn:

Eerst moet ik de vergelijking bepalen van een cirkel met M(-4, 1) als middelpunt en r=3
Dat is c <-> (x+4)² + ( y-1)² = 9 (toch?)

Als ik ervanuitga dat dat juist is, dan moet ik nu zien wat de snijpunten met de X-as zijn, dat was toch Y=0 en dan uitrekenen ?

Dan krijg je

(x+4)² + (0-1)² = 9

Hier overal de wortel uit nemen om die kwadraathaakjesdingetjes weg te werken:

x + 4 + 1 = 3

x + 5 = 3

x = -2

En dan denk ik, zo idioot als ik ben, dat de snijpunten met de X-as... oh wacht ik heb er twee nodig
Dat heb ik ergens lang geleden gehad, maar ik weet het al lang niet meer.

Wat doe ik fout ?

De grote fout die je maakt is dat je denkt dat de wortel uit de som van twee termen gelijk is aan de som van de wortels van die termen. Je denkt dus dat √(a+b) hetzelfde is als √a + √b, maar dat is niet zo.

Je hebt:

(x+4)² + (0-1)² = 9

(x+4)² + 1 = 9

(x+4)² = 8

Nu is:

x+4 = √8 of x+4 = -√8

De rest kun je nu denk ik zelf wel oplossen. Merk nog op dat √8 = 2√2.

quote:

Op woensdag 11 oktober 2006 20:20 schreef GlowMouse het volgende:
Als (x+4)² + (0-1)² = 9 dan (x+4)² = 8. Ofwel x+4 = wortel(8) of x+4 = -wortel(8)
Je deed zelf trouwens dat wortel((x+4)² + (0-1)²) = (x+4) + (0-1), maar dit gaat fout (voorbeeld: wortel(2+2) = 2, terwijl wortel(2) geen 1 is).

Ja, die fout heb ik bijna juist na het typen van mijn post ook ontdekt
Bedankt voor het helpen, nu ik terugkijk is het wel makkelijk, maarja, ik kom niet zo snel op die dingen.

Ik heb een vraagje. Je hebt een driehoek met een zijde 5 cm 8 cm en 10 cm.

Ik moet een driehoek construeren met die 3 zijdes. Als 'hint' staat er een passer. :S Snap er geen knurft van. Als ik een driehoek teken kom ik niet verder dan 9.5 cm als 3e schuine zijde.

stel f is twee keer differentieerbaar op een interval I.
In I zitten 0 en 2. Bovendien geldt f(0)=f(1)=0 en f(2)=1.

Toon aan dat er getallen a,b in I zitten zodat:
f'(a)=1/2

f''(b) > 1/2

de eerste vraag doet me denken aan: als f(0)=f(1) dan f(m)=f(m+1/2) voor een of ander m uit [0,1/2]
dus ook f'(m)=f'(m+1/2)
maar goed, k weet niet of dit helpt..

weet iemand het? thanx

quote:

Op woensdag 4 oktober 2006 21:25 schreef Bioman_1 het volgende:
Zelf ook een vraag:

Vandaag bezig geweest met het onderwerp: Hoe rekent een computer? (over machine-getallen enzo en de afrondfouten die daarbij gemaakt worden).

[...]

Zo is het beter om a² - b² te bereken als (a+b)*(a-b) en niet als (zoals ik had verwacht) a*a - b*b. In het eerste geval is namelijk de relatieve rekenfout die je maakt kleiner dan bij de tweede.

Reken bovenstaande bijvoorbeeld maar eens uit met a = 100.1001 en b = 100.1000 Dan komt uit beide berekeningen NIET hetzelfde antwoord.

In zijn algemeenheid klopt je bewering niet. Als ik in de calculator van WinXP deze berekening uitvoer dan komt er op beide manieren toch echt precies hetzelfde uit, namelijk 0.02002001.

quote:

Op woensdag 11 oktober 2006 21:00 schreef sitting_elfling het volgende:
Ik heb een vraagje. Je hebt een driehoek met een zijde 5 cm 8 cm en 10 cm.

Ik moet een driehoek construeren met die 3 zijdes. Als 'hint' staat er een passer. :S Snap er geen knurft van. Als ik een driehoek teken kom ik niet verder dan 9.5 cm als 3e schuine zijde.

Teken een lijnstuk van 10 cm. Zet de punt van de passer in het ene eindpunt en trek een cirkel met straal 5 cm. Zet dan de punt van de passer in het andere eindpunt en trek een cirkel met straal 8 cm. Het snijpunt van de cirkels (nu ja, één van beide snijpunten) is nu het derde punt van je driehoek, samen met de twee eindpunten van je lijnstuk van 10 cm waar je mee begon.

quote:

Op woensdag 11 oktober 2006 21:00 schreef teletubbies het volgende:
stel f is twee keer differentieerbaar op een interval I.
In I zitten 0 en 2. Bovendien geldt f(0)=f(1)=0 en f(2)=1.

Toon aan dat er getallen a,b in I zitten zodat:
f'(a)=1/2

f''(b) > 1/2

Gebruik de middelwaardestelling, eerst toegepast op f(x) en dan toegepast op f'(x).

quote:

Op woensdag 11 oktober 2006 21:21 schreef Riparius het volgende:
[..]
Gebruik de middelwaardestelling, eerst toegepast op f(x) en dan toegepast op f'(x).

Voor f'(a)=1/2 in ieder geval gecombineerd met de tussenwaardestelling.

Ik blijf erg moeite houden met mn kansrekening. Hier weer een vraag mbt Markov-ketens. Heb dit nu al zo vaak gezien, maar weet nog steeds niet hoe ik dit soort problemen op moet lossen. Op één of andere manier wil het er gewoon niet in :S

Persoon A gaat iedere ochtend hardlopen. Het is even waarschijnlijk dat A het huis via de voordeur of via de achterdeur verlaat. Bij het verlaten van het huis, trekt A een paar schoenen aan (indien aanwezig, anders gaat A blootvoets naar buiten).
Bij terugkeer laat A de schoenen achter bij de voordeur of achterdeur, al naar gelang waar A binnenkomt (waarbij voor- of achterdeur weer willekeurig wordt gekozen).
Neem aan dat A 3 paar schoenen heeft, en laat X_n het aantal paar schoenen zijn dat aan het begin van de n-de dag bij de deur van vertrek staan.

(a) Bepaal de overgangsmatrix van de Markovketen {X_n : n >= 0}.
(b) Met welke frequentie zal A blootvoets rondhollen?

waarom is de congruentie zhz en zhh gelijk ?

quote:

Op woensdag 11 oktober 2006 23:29 schreef sitting_elfling het volgende:
waarom is de congruentie zhz en zhh gelijk ?

Onduidelijke vraag. Ik denk trouwens dat je een beetje in de war bent. Kijk maar eens hier.

quote:

Op woensdag 11 oktober 2006 23:52 schreef Riparius het volgende:

[..]

Onduidelijke vraag. Ik denk trouwens dat je een beetje in de war bent. Kijk maar eens hier.

Oh ik heb hier namelijk een opgave waarin staat.
Als 2 driehoeken congruent zijn volgens ZHZ zijn dat ook volgens ZHH. Waarom is dat zo ?
Dat is de Letterlijke vraag in mn boekje staat. Ik zie niet in waarom, de site die je me gaf geeft aan dat beide opzich wat anders betekenen.


En dan nog een laatste vraag, de afsluiting van mijn boekje met vragen.
Gegeven is driehoek ABC die congruent is met XYZ en gegeven is AB = 3 XY
CD is de loodlijn vanuit C op AB
ZW is de loodlijn vanuit Z op XY
Laat zien dat CD = 3 ZW

men dit bewijzen zeg pfft

bedankt btw voor het helpen bewijzen en redeneren vind ik altijd pittig.

quote:

Op donderdag 12 oktober 2006 00:26 schreef sitting_elfling het volgende:

[..]

Oh ik heb hier namelijk een opgave waarin staat.
Als 2 driehoeken congruent zijn volgens ZHZ zijn dat ook volgens ZHH. Waarom is dat zo ?
Dat is de Letterlijke vraag in mn boekje staat. Ik zie niet in waarom, de site die je me gaf geeft aan dat beide opzich wat anders betekenen.

Het enige wat ik zo gauw kan bedenken is dat ZHZ in je boek een drukfout is voor HZH. Gelijkheid van twee hoeken impliceert namelijk altijd gelijkheid van de derde hoek, omdat de som van de hoeken van een driehoek 180 graden is.

quote:

En dan nog een laatste vraag, de afsluiting van mijn boekje met vragen.
Gegeven is driehoek ABC die congruent is met XYZ en gegeven is AB = 3 XY
CD is de loodlijn vanuit C op AB
ZW is de loodlijn vanuit Z op XY
Laat zien dat CD = 3 ZW

Zoals het hier staat kan het strict genomen niet kloppen, want als je stelt dat driehoek ABC congruent is met driehoek XYZ dan impliceer je daarmee dat AB=XY, BC=YZ en CA=ZX, terwijl is gegeven dat AB = 3*XY: een tegenstrijdigheid dus.

Geef eerst eens een tekening die volgens jou alle gegevens die je hebt laat zien.

quote:

men dit bewijzen zeg pfft

Logisch leren denken en redeneren is altijd goed.

quote:

bedankt btw voor het helpen bewijzen en redeneren vind ik altijd pittig.

Volgens mij maken ZHZ en HZH beiden unieke driehoeken. Als je twee zijdes hebt, en de hoek er tussen, dan kun je de 3e zijde maar op 1 manier tekenen, namelijk tussen de uiteindes van de twee zijden. HZH is logisch, je weet immers 2 van de 3 hoeken, en daarmee is het al gelijkvormig, je voegt een zijde toe en het is congruent. Zelfde voor ZHH.

Ik heb 2 sommen over integralen
Som 1
Integraal Wortel X * exp(2xwortel x) dx
De bedoeling bij deze is substitueren.
Mij lijkt dan:
u=2xwortelx
du/dx = (2x)/(2wortelx) +2 wortelx
du= (2x*dx)/(2wortelx) +2 wortelx

En dan moet du de originele vergelijking met het integraal teken in, maar hoe gaat dit nu precies?

Som 2
De bedoeling is hier partitieel integreren
Integraal ln(1+x²)
ik dacht dus:
x*ln(1+x²) - [integraal] (2x*dx)/1+x²
Hoe los ik dat integraal op?

quote:

Integraal Wortel X * exp(2xwortel x) dx
De bedoeling bij deze is substitueren.
Mij lijkt dan:
u=2xwortelx
du/dx = (2x)/(2wortelx) +2 wortelx

Probeer eens u = wortel(x)
Bovendien zou ik niet du maar dx los schrijven.
We krijgen: du/dx = 1/(2wortel(x)), dus dx = 2 wortel(x) du = 2 u du. Dit kun je in de integraal gewoon invullen voor dx.
Mocht je toch 2xwortel(x) doen, differentieer dan 2x^3/2 in plaats van de kettingregel te gebruiken.

Partieel integreren is handig wanneer je een product van twee functies hebt. Bij je tweede opgave zie ik die niet terug. Door u=1+x² te substitueren krijg je wel een product.

Dus dan krijg ik bij som 1:
[Integraal] 2*u*du* exp (2xu) ?
Dat snap ik niet helemaal, daarom dacht ik dat ik 2xwortelx moest substitueren.

quote:

Op donderdag 12 oktober 2006 22:07 schreef Rejected het volgende:
Dus dan krijg ik bij som 1:
[Integraal] 2*u*du* exp (2xu) ?
Dat snap ik niet helemaal, daarom dacht ik dat ik 2xwortelx moest substitueren.

De x in de integrand moet je dan uiteraard wel door u² vervangen. En waar is wortel(x) gebleven?

Oja natuurlijk!
[Integraal] 2*u*du* exp (2u³)
antwoord= 1/3 exp 2xwortelx
Ik snap wel hoe je aan dat 1/3 komt, ik snap niet hoe die u voor de exp verdwijnt.

Je hebt exp(2xwortel(x)) door exp(2u³) vervangen, dx door 2udu, maar de wortel(x) die ervoor staat heb je helemaal laten verdwijnen. Hoe je toch op het juiste antwoord uitkomt, is me een raadsel.

Thank you very much!
Heb Som 1 opgelost.

quote:

Op donderdag 12 oktober 2006 21:59 schreef GlowMouse het volgende:

Partieel integreren is handig wanneer je een product van twee functies hebt. Bij je tweede opgave zie ik die niet terug. Door u=1+x² te substitueren krijg je wel een product.

Nou het product is een beetje "verborgen"
[Integraal] 1* ln(1+x²), verder kom ik dus niet.

Substitueren van u=x² was al makkelijker zie ik, maar wat je nu hebt kun je dezelfde substitutie alsnog uitvoeren. Je ziet dan dat de 2x in de teller wegvalt.

ff kijken ik heb
[integraal] (2x*dx)/1+x²
u= x²
du/dx=2x dus du=2xdx
Dit geeft:
[integraal] du/(1+u) = 0.5ln (1+u)+C = 0.5ln (1+x²) +C Klopt dit?

d/dx 0.5ln(1+x²)+C = x/(1+x²). De factor 0,5 moet er dus niet voor.

Bedankt!! Je zou een fotoboek moeten openen, het zou vollopen door bedankjes!
Nu ga ik met een fijn hoofd naar bed.

Ik kom hier helaas niet uit. Kan iemand mij uitleggen hoe je hiervan de uitkomst berekend??

Gegeven: f(x) = 2x4 + 2x3 - 2x2 - 2
Bereken f '(3). (Vul als antwoord een geheel getal in.)

Zijn die getallen machten? Zo ja:
Maak de afgeleide van f(x). Vul daarna x=3 in. Als je geen afgeleides kunt maken zou ik goed in je boek kijken, want ik kan me niet voorstellen dat een methode dit níet goed uit legt (of in ieder geval het "trucje" waarmee je het kunt berekenen).
Zo nee:f'(x)=10, dus f'(3) is dan ook 10.

quote:

Op donderdag 12 oktober 2006 23:06 schreef Rejected het volgende:
Bedankt!! Je zou een fotoboek moeten openen, het zou vollopen door bedankjes!
Nu ga ik met een fijn hoofd naar bed.

Nu ik er nog eens naar kijk, zie ik dat je te kort door de bocht bent gegaan bij de tweede vraag. x*ln(1+x²) - [integraal] (2x*dx)/1+x² is namelijk fout. Wat je krijgt, is x*ln(1+x²) - [integraal] (2x²*dx)/(1+x²). Het uitwerken van deze integraal vergt iets meer inzicht: 2x²/(1+x²) = 2*(x²+1-1) / (x²+1) = 2(1 - 1/(x²+1)). Je ziet dan de afgeleide van de arctangens terugkomen, en de uitwerking is niet zo moeilijk meer.