[Centraal] Bèta huiswerk en vragen topic

Oh en bedankt beide

Boer wil land afzetten, maar alleen het gedeelte dat niet aan de sloot grenst, zie Figuur. Er is 40m schrikdraad



a. Druk AB uit in x
b. Druk de oppervlakte O van het af te zetten stuk land uit in x.
c. Onderzoek de grootst mogelijke oppervlakte van het land dat Boer op deze manier af kan zetten.

De antwoorden

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Die antwoorden zijn natuurlijk wel leuk, en c snap ik ook wel, max intoetsen op je GR, maar ik snap A en B niet, want buiten de antwoorden heb ik geen uitwerkingen. Wie kan me helpen?

Linkerlengte X
Rechterlengte X-4
Totale lengte AB + X + X-4 = AB + 2X - 4 = 40
AB = 44 - 2x

O = AB * X = 44X - 2X²

Maximum bij dO/dX = 0
dO/dX = 44 - 4X = 0
X = 11
En dat in O invullen

quote:

Op vrijdag 29 september 2006 18:24 schreef -J-D- het volgende:
Het ging me dan ook te ver om het helemaal voor je uit te rekenen.
Ging er wel vanuit dat het nu zou lukken.
Succes

Het is me gelukt ben net klaar, pff wat een werk (mocht je ge-intresseerd zijn: hier is de opgave oa te vinden )
Morgen de foutjes eruit halen, nu eerst pitten

"Max intoetsen op je GR"

quote:

Op zaterdag 30 september 2006 17:51 schreef Haushofer het volgende:
"Max intoetsen op je GR"

En het dan wel snappen

In een huiswerk opdracht moest ik bewijzen dat van een bepaalde parameterfunctie de functie door alle toppen van die parameterfunctie gelijk was aan 1/(2x).
Goed, afgeleide bepalen, p schrijven als x, invullen, en dan krijg ik er uiteindelijk dit uit:

y = (x²+4)/(2x³+8x)
dan moet ik dat dus herleiden tot 1/(2x)
Je ziet dat het antwoord goed is, als je (x²+4)/(2x³+8x) = 1/(2x) kruislings vermenigvuldigt zie je dat het klopt. Maar het lukt me maar niet om via de officiële stappen die functie te herleiden. Ik denk waarschijnlijk heel raar na (bovendien ben ik slecht in deelstrepen etc.)

Kan iemand me laten zien hoe je dat herleidt?

Haal bij 2x³+8x eens 2x buiten haakjes.

volgens mij klopt het opzich wel (typefouten daargelaten), alleen vind ik mijn laatste stap vrij onduidelijk
is er iemand hier (ongetwijfeld) die het beter/duidelijker kan en eventueel feedback kan geven

bvd

3 * (1 + 2n^2) - 12n + 6
>=
1 + 2n^2

Is dit de stap die je niet volgt?
Dit is waar als 8 + 4 n^2 >= 12n , als je dat bewijst ben je er.

quote:

Op zondag 1 oktober 2006 17:43 schreef Wackyduck het volgende:
3 * (1 + 2n^2) - 12n + 6
>=
1 + 2n^2

Is dit de stap die je niet volgt?
Dit is waar als 8 + 4 n^2 >= 12n , als je dat bewijst ben je er.

ja ik volg het wel, ik heb het namelijk zelf gedaan - maar ik kan me voorstellen dat het nogal een grote stap is / onduidelijk is

ik vroeg me af of het niet makkelijker kon :p

oeps

Een tijdje terug postte ik al een aantal vragen mbt linear programmeren. Het meeste heb ik inmiddels wel op kunnen lossen alleen zit ik nog met één probleem.

A_t zijn binaire variabelen
s is een integer variabele
Y_t zijn (binaire) parameters

Nu wil ik het volgende lineariseren:

A_{t+s} >= Y_t voor alle t

Iemand enig idee hoe ik dit aanpak? Het probleem zit hem er dus in dat in de index van variabele A een variabele zit... Als iemand een oplossing weet in het geval dat A_t geen variabele, maar een parameter is hoor ik dat ook graag.

4X tot de 5e = 12

hoe reken je dat uit op de rekenmachine

Bedoel je:

4x⁵ = 12 ?

Dan x = (12/4)^(1/5) = 3^1/5

Zit er niet zo'n x^y knop op je rekenapparaat?

Zelf ook een vraag:

Vandaag bezig geweest met het onderwerp: Hoe rekent een computer? (over machine-getallen enzo en de afrondfouten die daarbij gemaakt worden).

Vandaag dus geleerd dat als je twee getallen a en b hebt (die allebei een onnauwkeurigheid bevatten - denk bijv. aan meetwaarden) dat de berekening erg uit kan maken voor de propagatie van je afrondfouten.

Zo is het beter om a² - b² te bereken als (a+b)*(a-b) en niet als (zoals ik had verwacht) a*a - b*b. In het eerste geval is namelijk de relatieve rekenfout die je maakt kleiner dan bij de tweede.

Reken bovenstaande bijvoorbeeld maar eens uit met a = 100.1001 en b = 100.1000 Dan komt uit beide berekeningen NIET hetzelfde antwoord.

Zo is het bijvoorbeeld ook beter (nauwkeuriger) om NIET sin(a) - sin(b) te berekenen, maar juist

2 * sin((a-b)/2) * cos((a+b)/2)

(wat uiteraard gelijk is aan sin(a) - sin(b) als je over EXACTE waarde zou beschikken, maar dat is dus niet zo).

Nu vraag ik mij bijvoorbeeld af wat de beste (meest nauwkeurige) manier is om bijv:

log(x) - log(x-1) , x>>1

uit te rekenen. Of bijv:

(e^x - 1)/x, |x|<<1

Tot aan vandaag had ik gedacht dat je gewoon de log van x zou berekenen, dan de log van x-1 en dan die van elkaar aftrekken. Maar na vandaag twijfel ik of dat nog wel de meest nauwkeurige manier is.

Iemand suggesties?

b) Een bedrag van ¤6000 is op 1 januari 2005 op een bankrekening gestort. Na 10 jaar staat er ¤8881,47 op deze rekening. Wat is het gehanteerde rentepercentage op jaarbasis?

ik weet hoe ik t moet uitrekenen alleen niet op de calculator

Steeds zie je dat het nauwkeuriger kan door een uitdrukking om te schrijven. log(x) - log(x-1) kun je denk ik niet omschrijven. (exp(x)-1)/x wel: exp(x)/x - 1/x = x-log(x)-1/x. Of het nauwkeuriger is, kun je zelf zo proberen.

quote:

b) Een bedrag van ¤6000 is op 1 januari 2005 op een bankrekening gestort. Na 10 jaar staat er ¤8881,47 op deze rekening. Wat is het gehanteerde rentepercentage op jaarbasis?

ik weet hoe ik t moet uitrekenen alleen niet op de calculator

Als je weet hoe je het uit moet rekenen, gebruik je daar toch al de calculator voor? Waarom zou je dat anders willen? Verder is het natuurlijk van belang of er sprake is van discreet/continu samengestelde of van enkelvoudige interest.

quote:

Op woensdag 4 oktober 2006 21:25 schreef Bioman_1 het volgende:
Zelf ook een vraag:

Vandaag bezig geweest met het onderwerp: Hoe rekent een computer? (over machine-getallen enzo en de afrondfouten die daarbij gemaakt worden).

Vandaag dus geleerd dat als je twee getallen a en b hebt (die allebei een onnauwkeurigheid bevatten - denk bijv. aan meetwaarden) dat de berekening erg uit kan maken voor de propagatie van je afrondfouten.

Zo is het beter om a² - b² te bereken als (a+b)*(a-b) en niet als (zoals ik had verwacht) a*a - b*b. In het eerste geval is namelijk de relatieve rekenfout die je maakt kleiner dan bij de tweede.

Reken bovenstaande bijvoorbeeld maar eens uit met a = 100.1001 en b = 100.1000 Dan komt uit beide berekeningen NIET hetzelfde antwoord.

Zo is het bijvoorbeeld ook beter (nauwkeuriger) om NIET sin(a) - sin(b) te berekenen, maar juist

2 * sin((a-b)/2) * cos((a+b)/2)

(wat uiteraard gelijk is aan sin(a) - sin(b) als je over EXACTE waarde zou beschikken, maar dat is dus niet zo).

Nu vraag ik mij bijvoorbeeld af wat de beste (meest nauwkeurige) manier is om bijv:

log(x) - log(x-1) , x>>1

uit te rekenen. Of bijv:

(e^x - 1)/x, |x|<<1

Tot aan vandaag had ik gedacht dat je gewoon de log van x zou berekenen, dan de log van x-1 en dan die van elkaar aftrekken. Maar na vandaag twijfel ik of dat nog wel de meest nauwkeurige manier is.

Iemand suggesties?

log(x) - log(x-1) = log(x/(x-1)) = log(1 + 1/(x-1)).
Als x >> 1, dan is y = 1/(x-1) heel dicht bij 0.
Nu is log(1+y) = y - y²/2 + y³/3 - ...
Dit convergeert natuurlijk heel snel als y heel klein is.

Evenzo kun je gebruiken dat e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... .
dus
(e^x - 1)/x = 1 + x/2! + x²/3! + ... .

quote:

Op woensdag 4 oktober 2006 22:52 schreef GlowMouse het volgende:
Steeds zie je dat het nauwkeuriger kan door een uitdrukking om te schrijven. log(x) - log(x-1) kun je denk ik niet omschrijven. (exp(x)-1)/x wel: exp(x)/x - 1/x = x-log(x)-1/x. Of het nauwkeuriger is, kun je zelf zo proberen.
[..]

Als je weet hoe je het uit moet rekenen, gebruik je daar toch al de calculator voor? Waarom zou je dat anders willen? Verder is het natuurlijk van belang of er sprake is van discreet/continu samengestelde of van enkelvoudige interest.

jaa via het uitwerking boekje heb ik gezien hoe het moet,alleen op me rekenmachine krijg ik het niet voor elkaar

Weet je al wel welke vergelijking je op moet lossen?

6000 X x tot de 10 = 8881,47

6000*x^10=8881,47 dus.
Ik geef je als tip de algemene regel voor logaritmen.
a log b = c <=> a^c=b

Als je er niet uit komt, vertel dan waar je nu vast komt te zitten.

quote:

Op donderdag 5 oktober 2006 07:15 schreef italiaan1987 het volgende:
6000 X x tot de 10 = 8881,47

Je hebt op je rekenmachine een "e" toets, deze heeft het variabele "× 10ⁿ" Dan moet je dus intypen 6000Xe10.

quote:

Op donderdag 5 oktober 2006 07:26 schreef --Christiaan-- het volgende:

[..]

Je hebt op je rekenmachine een "e" toets, deze heeft het variabele "× 10ⁿ" Dan moet je dus intypen 6000Xe10.

De meeste rekenmachines kunnen niet 6000*x¹⁰ uitrekenen. En zelfs als je een luxe rekenmachine hebt die dat wel kan, zal het je vertellen dat dat gelijk is aan 6000*x¹⁰.

De tip voor logaritmen is trouwens ook nutteloos. Het is nu eenvoudige algebra. De enige regel die je misschien niet kent luidt dat als a^b = c, dan a = c^1/b.

6000*x^10=8881,47
x^10 = 1,4802 berekend door 8881,47 door 6000 te delen


x = ^10wortel van 1,4802
en dit ken ik dus nie berekenen op de calculator

Kun je wel x^y berekenen voor willekeurige x en y? Zoja, zie mijn tip, zonee, dan gaat jou dit niet lukken met deze rekenmachine (of je moet met inklemmen willen werken).

quote:

Op donderdag 5 oktober 2006 15:33 schreef italiaan1987 het volgende:

x = ^10wortel van 1,4802
en dit kan ik dus niet berekenen op de calculator

Tuurlijk wel. Er zit toch wel een toets voor x^y o.i.d. op je calculator, en een toets voor inverse functies? Met de calculator in Windows XP gaat het trouwens ook gemakkelijk. Vinkje bij Inv aanzetten en dan intoetsen: 1.4802 x^y 10 = en je krijgt als antwoord 1.0399968885584896330874361342892. De rente is dus 4%.

Je kunt natuurlijk ook bedenken dat het trekken van de 10-de machtswortel gelijk staat aan verheffen tot de macht 1/10, dan heb je de inverse functietoets van je calculator niet eens nodig.

ik heb het knopje gevonden om het te berekenen op de calculator

het is 10 Shift ^1,4802 en dan kom je indd op 4% rente uit

TVP

Ik ben met Elektrostatica de volgende integraal tegengekomen en het lukt me niet 't onding op te lossen. Weet iemand raad?

Het gaat om de volgende integraal (oplossing komt van Wolfram, maar het gaat me uiteraard om de uitwerking):



Ik zou degene die me 't antwoord verschaf bijzonder dankbaar zijn

quote:

Op zaterdag 7 oktober 2006 20:03 schreef Greus het volgende:
Ik ben met Elektrostatica de volgende integraal tegengekomen en het lukt me niet 't onding op te lossen. Weet iemand raad?

Het gaat om de volgende integraal (oplossing komt van Wolfram, maar het gaat me uiteraard om de uitwerking):

[afbeelding]

Ik zou degene die me 't antwoord verschaf bijzonder dankbaar zijn

Heb je het al geprobeerd met zwavelzuur?

quote:

Op zaterdag 7 oktober 2006 20:03 schreef Greus het volgende:
Ik ben met Elektrostatica de volgende integraal tegengekomen en het lukt me niet 't onding op te lossen. Weet iemand raad?

Het gaat om de volgende integraal (oplossing komt van Wolfram, maar het gaat me uiteraard om de uitwerking):

[afbeelding]

Ik zou degene die me 't antwoord verschaft bijzonder dankbaar zijn

Je vraagt in feite naar het primitiveren van de functie x∙(x² - √2∙a∙x + a²)^-½. In eerste instantie zou je dus (x² - √2∙a∙x + a²)^½ kunnen uitproberen. Differentiëren van de laatste geeft:

½∙(x² - √2∙a∙x + a²)^-½∙ (2x - √2∙a) =

x∙(x² - √2∙a∙x + a²)^-½ - ½∙√2∙a∙(x² - √2∙a∙x + a²)^-½

De eerste term is precies de functie waarvan we een primitieve willen vinden, maar de tweede term willen we er niet bij hebben. Dat betekent dat we nu nog een functie moeten vinden waarvan de afgeleide gelijk is aan het tegendeel van de tweede term, anders gezegd, we zoeken nu nog een primitieve van:

½∙√2∙a∙(x² - √2∙a∙x + a²)^-½

De som van een primitieve van deze functie en (x² - √2∙a∙x + a²)^½ zal dan bij differentiatie het gewenste resultaat x∙(x² - √2∙a∙x + a²)^-½ opleveren.

Om nu een primitieve te vinden van ½∙√2∙a∙(x² - √2∙a∙x + a²)^-½ moet je de kwadratische veelterm onder het wortelteken eerst schrijven als een som van twee kwadraten. Je hebt:

(x - ½∙√2∙a)² = x² - √2∙a∙x + (½∙√2∙a)² = x² - √2∙a∙x + ½∙a², zodat we vinden dat:

x² - √2∙a∙x + a² = (x - ½∙√2∙a)² + (½∙√2∙a)²

Nu kun je de factor ½∙√2∙a buiten het wortelteken halen (we nemen aan dat a > 0) en een substitutie z = (x - ½∙√2∙a)/(½∙√2∙a) uitvoeren. We hebben dan:

½∙√2∙a∙(x² - √2∙a∙x + a²)^-½ = (z² + 1)^-½

Uit z = (x - ½∙√2∙a)/(½∙√2∙a) volgt dz/dx = 1/(½∙√2∙a) dus dx/dz = ½∙√2∙a. Het probleem is nu herleid tot het vinden van een primitieve van

½∙√2∙a∙ (z² + 1)^-½

Deze laatste functie is, op de factor ½∙√2∙a na, een standaardfunctie. Een primitieve hiervan is de inverse functie van de hyperbolische functie sinh(z), oftewel arcsinh(z). Deze laatste kun je ook schrijven als

ln(z + (z² + 1)^½)

Substitutie van z = (x - ½∙√2∙a)/(½∙√2∙a) levert dan, op een constante na, hetzelfde resultaat als Mathematica. Bedenk hierbij dat je een constante ½∙√2∙a∙ln(√2∙a) bij de gevonden primitieve op kunt tellen om op precies hetzelfde resultaat uit te komen als Mathematica. Maak hiervoor gebruik van ln(p) + ln(q) = ln(p∙q) en breng dan de factor ½∙√2∙a weer onder het wortelteken.

Nog een opmerking over het primitiveren van de functie

(z² + 1)^-½

Om hiervan een primitieve te vinden maakt men gebruik van de substitutie z = sinh(u) zodat dz/du = cosh(u). Aangezien cosh²(u) - sinh²(u) = 1 volgt dan direct dat u = arcsinh(z) een primitieve is.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 08-10-2006 03:54:21 ]

quote:

Op zondag 8 oktober 2006 03:41 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je vraagt in feite naar het primitiveren van de functie x∙(x² - √2∙a∙x + a²)^-½. In eerste instantie

...

z = sinh(u) zodat dz/du = cosh(u). Aangezien cosh²(u) - sinh²(u) = 1 volgt dan direct dat u = arcsinh(z) een primitieve is.

Fantastisch, bedankt

Maple-vraagje:

Hoe los ik bijvoorbeeld 3 vergelijkingen met evenveel onbekenden op?

Ik heb geen problemen om alles te definieren, maar kom er maar niet achter hoe ik er uitkomsten voor alle onbekenden uitkrijg.

quote:

Op maandag 9 oktober 2006 11:19 schreef Innocence het volgende:
Maple-vraagje:

Hoe los ik bijvoorbeeld 3 vergelijkingen met evenveel onbekenden op?

Ik heb geen problemen om alles te definieren, maar kom er maar niet achter hoe ik er uitkomsten voor alle onbekenden uitkrijg.

solve( { je vergelijkingen gescheiden door komma's} );

quote:

Op zondag 8 oktober 2006 12:28 schreef Greus het volgende:

[..]

Fantastisch, bedankt

Graag gedaan. Ik zag dat je een poos geleden, hier, ook al zat te worstelen met het bepalen van de integraal van (2∙e^2t + 1)^½ over het interval van 0 tot 2π. Er waren wel wat suggesties maar de gouden tip zat er duidelijk niet bij, laat staan dat iemand de moeite nam om het echt uit te werken. Ik heb dat inmiddels wel gedaan en de oplossing die je gaf uit het boekje blijkt te kloppen. Ik vond die integraal trouwens nog wat pittiger dan deze.

quote:

Op maandag 9 oktober 2006 14:29 schreef Riparius het volgende:

[..]

Graag gedaan. Ik zag dat je een poos geleden, hier, ook al zat te worstelen met het bepalen van de integraal van (2∙e^2t + 1)^½ over het interval van 0 tot 2π. Er waren wel wat suggesties maar de gouden tip zat er duidelijk niet bij, laat staan dat iemand de moeite nam om het echt uit te werken. Ik heb dat inmiddels wel gedaan en de oplossing die je gaf uit het boekje blijkt te kloppen. Ik vond die integraal trouwens nog wat pittiger dan deze.

Kan ik deze oplossing misschien van je overnemen?

hee!
de vraag is:
bepaal alle cykeltypes in S₅ van alle even permutaties en die orde 4 hebben.

..
hoe pak ik dit het beste aan?
trouwens, hoeveel permutaties zijn er van ieder cykeltype?
alvast bedankt

quote:

Op maandag 9 oktober 2006 18:50 schreef teletubbies het volgende:
hee!
de vraag is:
bepaal alle cykeltypes in S₅ van alle even permutaties en die orde 4 hebben.

..
hoe pak ik dit het beste aan?
trouwens, hoeveel permutaties zijn er van ieder cykeltype?
alvast bedankt

Volgens mij zijn er geen permutaties die daar aan voldoen, maar wellicht heb ik er niet genoeg over na gedacht.

De orde van een permutatie is gelijk aan het kleinste gemene veelvoud van de ordes van zijn cykels. Aangezien de orde 4 moet zijn, bevat de permutatie dus een 4-cykel en een 1-cykel. Maar een 4-cykel is een oneven permutatie, dus dergelijke permutaties bestaan niet in S_5.

okee..
nu een vraag die daarop lijkt:
bepaal alle cykeltypes in S₆ van alle even permutaties en die orde 5 hebben.
het gaat om een 5-cykel:
5=5.1
de permutatie bevat een 5-cykel en een 1-cykel. Een 5-cykel is even, dit is de enige oplossing.

bepaal alle cykeltypes in S₈ van alle Oneven permutaties en die orde 4 hebben.
het gaat om een 4-cykel:
4=4*1, (2*2 gaat niet..kgv(2,2)=2)
de permutatie bevat een 4-cykel en een 1-cykel. Een 4-cykel is oneven, dit is de enige oplossing.
hoeveel permutaties voldoen hieraan?
je hebt bijv (1234), (1243), (1324), (1342) ....(5678),(5687)...
maar (1234)=(2341)=(3412)=(4123)
het aantal permutaties is volgens mij 4*8/4=16
of is dit fout?

[ Bericht 0% gewijzigd door teletubbies op 09-10-2006 20:56:59 (foutje) ]

quote:

Op maandag 9 oktober 2006 20:29 schreef teletubbies het volgende:
okee..
nu een vraag die daarop lijkt:
bepaal alle cykeltypes in S₆ van alle even permutaties en die orde 5 hebben.
het gaat om een 5-cykel:
5=5.1
de permutatie bevat een 5-cykel en een 1-cykel. Een 5-cykel is even, dit is de enige oplossing.

Ja, dit klopt naar mijn weten.

quote:

bepaal alle cykeltypes in S₈ van alle Oneven permutaties en die orde 4 hebben.
het gaat om een 4-cykel:
4=4*1, (2*2 gaat niet..kgv(2,2)=2)
de permutatie bevat een 4-cykel en een 1-cykel. Een 4-cykel is oneven, dit is de enige oplossing.

Nee, een permutatie met cykels ter lengte 4, 2 en 2 voldoet ook.

quote:

hoeveel permutaties voldoen hieraan?
je hebt bijv (1234), (1243), (1324), (1342) ....(5678),(5687)...
maar (1234)=(2341)=(3412)=(4123)
het aantal permutaties is volgens mij 4*8/4=16
of is dit fout?

Ja, dit is fout omdat 4*8/4=8. Bovendien heb je niet goed geteld. Je kunt op 8 kies 4 manieren de 4 elementen in je cykel kiezen. Deze kun je op 4! manieren ordenen. Zoals je al opmerkte zijn telkens 4 van deze ordeningen hetzelfde. Het gevraagde aantal is dus (8 kies 4)*4!/4 = (8 kies 4)*3!.

okee . ik snap het nu... kgv(4,2,2) is ook twee. en zo'n cykel is oneven.
8 kies 4= 8 boven 4 ..betekende 8!/(4!4!) als het goed is.
merci:)

quote:

Op maandag 9 oktober 2006 17:17 schreef Greus het volgende:

[..]

Kan ik deze oplossing misschien van je overnemen?

Gevraagd werd de integraal te bepalen van de functie √(2∙e^2t + 1) over het interval [0, 2π].

Bij integralen met een vierkantswortel uit een kwadratische veelterm bestaat de oplossingsmethode erin dat je de veelterm door kwadraatafsplitsing en een geschikt gekozen lineaire substitutie herleidt tot een vorm van de gedaante z² + 1, z² -1 of 1 - z². De reden hiervoor is dat je dan met een substitutie van een goniometrische of hyperbolische functie de integraal in een vorm kunt brengen waarin geen wortelteken meer voorkomt. Hierbij wordt gebruik gemaakt van de bekende identiteiten

cos²(x) + sin²(x) =1
cosh²(x) - sinh²(x) = 1

In dit geval hebben we onder het wortelteken echter geen kwadratische veelterm, maar we kunnen 2∙e^2t + 1 wel herleiden tot z² + 1 als we substitueren z² = 2∙e^2t oftewel

z = √2∙e^t

Merk op dat geldt z > 0 voor alle (reële) waarden van t. We hebben nu dz/dt = √2∙e^t = z, dus dt/dz = z^-1. Hiermee is de integraal omgevormd tot

∫ z^-1∙√(z² + 1)∙dz

Nu kunnen we een substitutie met een hyperbolische functie uitvoeren om de wortel kwijt te raken. Kiezen we z = sinh(u) (waarbij geldt dat u > 0 daar z > 0), dan is √(z² + 1) = cosh(u) en dz/du = cosh(u) zodat we krijgen

∫ (1/sinh(u))∙cosh(u)∙cosh(u)∙du

Aangezien cosh²(u) = 1 + sinh²(u) kunnen we dit schrijven als:

∫ ((1/sinh(u)) + sinh(u))∙du

De tweede term is eenvoudig te primitiveren, want sinh(u) en cosh(u) zijn elkaars afgeleiden, zodat cosh(u) een primitieve is van sinh(u). Maar een primitieve van 1/sinh(u) is niet zo eenvoudig te bepalen. Aangezien 1/x de afgeleide is van ln(x) zou je kunnen denken aan ln(sinh(u)), maar de afgeleide daarvan is, vanwege de kettingregel, (1/sinh(u))∙cosh(u) = coth(u). Evenzo geeft ln(cosh(u)) als afgeleide tanh(u).

Nu valt op dat het differentiëren van de natuurlijke logaritme van een hyperbolische functie een andere hyperbolische functie oplevert, en je zou je daarom kunnen afvragen of ln(tanh(u)) misschien het gewenste resultaat geeft. De afgeleide van tanh(u) is 1/cosh²(u) en dus vinden we voor de afgeleide van ln(tanh(u)) :

(1/tanh(u)) ∙ (1/cosh²(u)) = (cosh(u)/sinh(u)) ∙ (1/cosh²(u)) = (1/ sinh(u))∙(1/cosh(u)) = 1/(sinh(u)∙cosh(u))

Dit is nog niet het gewenste resultaat 1/sinh(u) maar toch kunnen we hier verder mee omdat het mogelijk is sinh(u) te herschrijven als een produkt van een sinh en een cosh. We hebben de volgende identiteit:

sinh(2x) = 2∙sinh(x)∙cosh(x)

Substitutie van 2x = u en dus x = ½∙u levert

sinh(u) = 2∙sinh(½∙u)∙cosh(½∙u)

Nu is eenvoudig te zien dat 1/sinh(u) = 1/(2∙sinh(½∙u)∙cosh(½∙u)) de afgeleide is van ln(tan(½∙u)) en dus vinden we

∫ ((1/sinh(u)) + sinh(u))∙du = cosh(u) + ln(tan(½∙u))

De hyperbolische substitutie was alleen bedoeld om de wortel kwijt te raken, zodat we de primitieve nu weer om gaan zetten naar een uitdrukking in z (die dan op zijn beurt weer is om te zetten naar een uitdrukking in t). We weten al dat cosh(u) = √(z² + 1) maar om de term ln(tan(½∙u)) uit te drukken in z moeten we deze term eerst omzetten naar een uitdruking in sinh(u) of cosh(u). We hebben de volgende identiteit:

cosh(2x) = cosh²(x) + sinh²(x) = 2∙cosh²(x) - 1 = 2∙sinh²(x) + 1

Na substitutie van 2x = u ofwel x = ½∙u kunnen we hieruit afleiden dat geldt

sinh²(½∙u) = (cosh(u) - 1)/2
cosh²(½∙u) = (cosh(u) + 1)/2

Delen we de eerste betrekking door de tweede en nemen we de vierkantswortel dan vinden we dus (voor u ≥ 0):

tanh(½∙u) = √((cosh(u) - 1)/(cosh(u) + 1))

Aangezien ln(√a) = ½∙ln(a) hebben we dan:

∫ ((1/sinh(u)) + sinh(u))∙du = cosh(u) + ½∙ln((cosh(u) - 1)/(cosh(u) + 1))

Hierin is cosh(u) = √(z² + 1) zodat we voor de primitieve uitgedrukt in z vinden:

√(z² + 1) + ½∙ln((√(z² + 1) - 1)/(√(z² + 1) + 1))

Nu kunnen we de breuk (√(z² + 1) - 1)/(√(z² + 1) + 1) nog wat vereenvoudigen door teller en noemer te vermenigvuldigen met (√(z² + 1) - 1) en gebruik te maken van (a+b)(a-b) = a² - b². Merk op dat (√(z² + 1) - 1) positief is aangezien z > 0. De noemer van de breuk wordt dan (z² + 1) - 1² = z² en voor de teller krijgen we:

(√(z² + 1) - 1)² = (z² + 1) - 2∙√(z² + 1)∙1 + 1² = z² + 2 - 2∙√(z² + 1)

Voor de primitieve uitgedrukt in z hebben we nu:

∫ z^-1∙√(z² + 1)∙dz = √(z² + 1) + ½∙ln((z² + 2 - 2∙√(z² + 1))/z²)

Substitutie van z² = 2∙e^2t geeft tenslotte als resultaat:

∫√(2∙e^2t + 1)∙dt = √(2∙e^2t + 1) + ½∙ln((e^2t + 1 - √(2∙e^2t + 1))/e^2t)

Vullen we nu eerst t=2π in en dan t=0 en trekken we het tweede resultaat af van het eerste dan vinden we voor de bepaalde integraal over het interval [0,2π] inderdaad:



Hiermee is de opgave voltooid. Nog enkele aanvullingen. Aangezien ln(a) = - ln(1/a) kunnen we voor de primitieve uitgedrukt in z ook schrijven:

√(z² + 1) - ½∙ln((√(z² + 1) + 1)/(√(z² + 1) - 1))

Vereenvoudigen we weer de breuk door teller en noemer nu met (√(z² + 1) + 1) te vermenigvuldigen dan wordt de noemer weer gereduceerd tot z² terwijl we voor de teller (√(z² + 1) + 1)² krijgen. Beide zijn een kwadraat zodat de gehele breuk ook als een kwadraat ((√(z² + 1) + 1)/z)² is te schrijven, en aangezien ln(a²) = 2∙ln(a) kunnen we de primitieve schrijven als:

√(z² + 1) - ln((√(z² + 1) + 1)/z)

Dit is eenvoudig te herleiden tot

√(z² + 1) - ln(z^-1 + √(z^-2 + 1))

Aangezien arcsinh(z) = ln(z + √(z² + 1)) en dus arcsinh(1/z) = ln(z^-1 + √(z^-2 + 1)) vinden we dat:

∫ z^-1∙√(z² + 1)∙dz = √(z² + 1) - arcsinh(1/z)

Substitutie van z = √2∙e^t, z² = 2∙e^2t geeft dan:

∫√(2∙e^2t + 1)∙dt = √(2∙e^2t + 1) - arcsinh(e^-t/√2)

Hiermee is de bepaalde integraal eenvoudiger numeriek te berekenen met een gewone calculator. Voor de waarde van de bepaalde integraal over het interval [0, 2π] vinden we dan 756,225...

Tot slot nog een opmerking over de wijze waarop Mathematica deze integraal behandelt. Aangezien de waarde van tanh(x) tussen -1 en +1 ligt, is de waarde van de inverse functie arctanh(x) strict genomen alleen gedefinieerd voor -1 < x < 1. Voor deze waarden van x geldt:

arctanh(x) = ½∙ln((1+x)/(1-x))

De afgeleide van arctanh(x) is 1/(1-x²) maar deze laatste functie is ook gedefinieerd voor x < -1 en x > 1. Om deze reden is het voor toepassing in de integraalrekening nuttig om het domein van arctanh(x) uit te breiden naar waarden van x < -1 of x > 1. Te vergelijken is de functie x^-1 die ook gedefinieerd is voor x < 0, terwijl de bijbehorende primitieve functie ln(x) binnen de reële getallen alleen is gedefinieerd voor x > 0. We kunnen de primitieve functie van x^-1 echter ongeacht het teken van x weergeven als ln(|x|). Op vergelijkbare wijze is het domein van arctanh(x) uit te breiden door deze functie voor x < -1 of x > 1 te definiëren als:

arctanh(x) = ½∙ln(|(1+x)/(1-x)|)

Grafisch zien de uitgebreide functie arctanh(x) en de bijbehorende afgeleide er als volgt uit:



Voor x > 1 geldt |(1+x)/(1-x)| = (x+1)/(x-1) zodat we voor ½∙ln((√(z² + 1) + 1)/(√(z² + 1) - 1)) bij gebruik van de uitgebreide definitie van arctanh mogen schrijven:

arctanh(√(z² + 1))

Zo krijgen we dan:

∫ z^-1∙√(z² + 1)∙dz = √(z² + 1) - arctanh(√(z² + 1))

En substitutie van z² = 2∙e^2t geeft:

∫√(2∙e^2t + 1)∙dt = √(2∙e^2t + 1) - arctanh(√(2∙e^2t + 1))

Deze laatste variant is alleen geschikt voor de berekening van de bepaalde integraal als de gebruikte calculator of het gebruikte programma de uitgebreide definitie van arctanh hanteert.

Morgen toets over periodieke functies, maar heb nog een paar vraagjes:

Hoe los je 2sin 2x > 0,8 op, zonder intersect en hoe schrijf je dat precies op

Hoe bepaal je de horizontale verschuiving van Y = sin x met verschillende formule( bv. 5 * Sin (0,5x) + 6) of wat is de algemene regel hoe kan je dat zien in de grafiek

Ik had zo een vraagje

Het snijpunt van twee bissectrices in een driehoek is het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Kijk nu naar het snijpunt van de buiten bissectrices bij twee hoekpunten. Dat snijpunt is ook het middelpunt van een bijzondere cirkel. Verklaar dat ?

Geen idee ????? Wat voor cirkel moet dat wezen ?
Appolonius cirkel? Hoe valt dat te verklaren.

[ Bericht 1% gewijzigd door sitting_elfling op 10-10-2006 22:11:24 ]

gewoon een vraagje
wat is het verschil tussen wiskunde A en B??
wat krijgt B wat A niet krijgt

quote:

Hoe los je 2sin 2x > 0,8 op, zonder intersect en hoe schrijf je dat precies op

sin(2x) > 0,4, en hier kun je zonder intersect vrij weinig mee. Het zou wat anders zijn als we het bijvoorbeeld over sin(2x) > wortel(2)/2 hadden.

quote:

# Hoe bepaal je de horizontale verschuiving van Y = sin x met verschillende formule( bv. 5 * Sin (0,5x) + 6) of wat is de algemene regel hoe kan je dat zien in de grafiek

Logisch nadenken: wat gebeurt er nu eigenlijk? 5*sin(x) -> de sinus wordt 5x uitgerekt. Sin(0,5x) -> pas bij x=2pi gaat hij weer door 0, dus de sinus wordt uit elkaar getrokken in horizontale richting. Sin(x+5) -> Ipv x wordt er nu steeds x+5 ingevuld, ofwel een verschuiving van 5 naar links.

quote:

gewoon een vraagje
wat is het verschil tussen wiskunde A en B??
wat krijgt B wat A niet krijgt

B is iets algebraïscher. Dingen die A niet krijgt zijn integralen, wat goniometrie, en misschien nog wel meer.

quote:

Op dinsdag 10 oktober 2006 21:51 schreef italiaan1987 het volgende:
gewoon een vraagje
wat is het verschil tussen wiskunde A en B??
wat krijgt B wat A niet krijgt

B krijgt het bewijzen en redeneren. En gaat volgens mij dieper op de 'abstracte' stof in.
Maar meer weet ik er ook niet vanaf. Alleen dat bewijzen en meetkunde verschil is wel aanwezig. Groot verschil ook