[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

Ik kom even niet helemaal uit een opgave m.b.t. complexe getallen:

Schrijf z in de vorm re^iφ en in de vorm x + iy als:

a) z = ((√2-i√2)¹⁵(-√3+i)⁵)/(-2√3+2i)¹⁰

Wat ik zelf al geprobeerd heb is:

Stel dat z₁ = √2-i√2, z₂ = -√3+i, z₃ = -2√3+2i dan is z=(z₁¹⁵z₂⁵)/z₃¹⁰

Vervolgens heb ik respectievlijk z₁¹⁵, z₂⁵ en z₃¹⁰ berekend en met behulp van de stelling van De Moivre in de vorm x + iy geschreven. Dus:

z₁¹⁵ = (√2-i√2)¹⁵

|z₁| = r₁ = √(√2²+√2²) = 2
arg(z₁) = arctan(-√2/√2) = arctan(-1) = -π/4

z₁¹⁵ = 2¹⁵ (cos(-15π/4)+i*sin(-15π/4))
=2¹⁵(((1/2)√2)+i((1/2)√2))
=16384√2+16384i√2

Als ik dit dan voor alle uitdrukkingen gedaan heb krijg ik:

z=(z₁¹⁵z₂⁵)/z₃¹⁰
= ((16384√2+16384i√2)(16√3+16i))/(524288+524288i√3)

En nu kan ik dit wel uit proberen te rekenen met de rekenregels voor vermenigvuldigen en delen in C, maar ik denk dat de kans dat ik dan een fout maak in de getallen vrij groot is en dat de getallen zo groot worden dat ik er ook niet meer uitkom. Dus, is er een alternatieve manier/iets wat ik over het hoofd gezien heb waardoor ik deze opgave op kan lossen?

quote:

Op woensdag 18 november 2015 15:55 schreef Miraculously het volgende:
Ik kom even niet helemaal uit een opgave m.b.t. complexe getallen:

Schrijf z in de vorm re^iφ en in de vorm x + iy als:

a) z = ((√2-i√2)¹⁵(-√3+i)⁵)/(-2√3+2i)¹⁰

Wat ik zelf al geprobeerd heb is:

Stel dat z₁ = √2-i√2, z₂ = -√3+i, z₃ = -2√3+2i dan is z=(z₁¹⁵z₂⁵)/z₃¹⁰

Je ziet om te beginnen over het hoofd dat |z₁| = |z₂| = 2 terwijl z₃ = 2z₂ zodat |z₃| = 4 en daarmee vind je direct dat |z| = 1.

Verder hebben we arg(z₁) ≡ −¼π en arg(z₂) ≡ arg(z₃) ≡ ⅚π (modulo 2π, maak een tekening), en dan vinden we arg(z) ≡ 15·arg(z₁) + 5·arg(z₂) − 10·arg(z₃) ≡ (−15/4)·π − (25/6)·π ≡ (−95/12)·π ≡ (1/12)·π (mod 2π).

Om z = e^iπ/12 in cartesische vorm op te schrijven moeten we nu cos(π/12) = cos 15° en sin(π/12) = sin 15° nog bepalen, en dat gaat het eenvoudigst met de identiteiten voor cos(α−β) en sin(α−β) en de gekende waarden voor de cosinus en de sinus van 45° en 30°, en dan vinden we cos 15° = ¼√6 + ¼√2 en sin 15° = ¼√6 − ¼√2, zodat

z = (¼√6 + ¼√2) + i(¼√6 − ¼√2)

Voilà.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 18-11-2015 20:55:53 ]

quote:

Op woensdag 18 november 2015 16:38 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je ziet om te beginnen over het hoofd dat |z₁| = |z₂| = 2 terwijl z₃ = 2z₂ zodat |z₃| = 4 en daarmee vind je direct dat |z| = 1.

Verder hebben we arg(z₁) ≡ −¼π en arg(z₂) ≡ arg(z₃) ≡ ⅚π (modulo 2π, maak een tekening), en dan vinden we arg(z) ≡ 15·arg(z₁) + 5·arg(z₂) − 10·arg(z₃) ≡ (−15/4)·π − (25/6)·π ≡ (−95/12)·π ≡ (1/12)·π (mod 2π).

Om z = e^iπ/12 in cartesische vorm op te schrijven moeten we nu cos(π/12) = cos 15° en sin(π/12) = sin 15° nog bepalen, en dat gaat het eenvoudigst met de identiteiten voor cos(α−β) en sin(α−β) en de gekende waarden voor de cosinus en de sinus van 45° en 30°, en dan vinden we cos 15° = ¼√6 + ¼√2 en sin 15° = ¼√6 − ¼√2, zodat

z = (¼√6 + ¼√2) + i(¼√6 − ¼√2)

Voilà.

Bedankt, ik snap nu bijna alles.

Wat ik niet snap is hoe (−95/12)·π herleid tot de hoofdwaarde (1/12)·π

quote:

Op donderdag 19 november 2015 00:37 schreef Miraculously het volgende:

[..]

Bedankt, ik snap nu bijna alles.

Wat ik niet snap is hoe (−95/12)·π wordt herleid tot de hoofdwaarde (1/12)·π

Heel eenvoudig, het argument van een complex getal is slechts bepaald tot op een geheel veelvoud van 2π, want als je in het complexe vlak een punt over een geheel aantal slagen roteert rond de oorsprong, in tegenwijzerzin (positief) of in wijzerzin (negatief), dan kom je weer op hetzelfde punt uit. Als je nu vier maal 2π oftewel 8π oftewel (96/12)·π optelt bij (−95/12)·π dan zie je dat (−95/12)·π ≡ (1/12)·π (mod 2π).

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 19-11-2015 01:03:27 ]

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Iemand die mij snel met deze vergelijking kan helpen? Volgens het uitwerkingsboekje wordt de volgende stap r^2 = 490 000. Om vervolgens met 700 als antwoord uit te komen. Weet niet precies hoe ze daar aan komen.

Bij de linker en rechterkant met bijv. 10 optellen om vervolgens dan die 10 en de linkerkant te vermenigvuldigen met r^2 en zo verder uit te werken word hem niet, denk ik

quote:

Op donderdag 19 november 2015 18:17 schreef Nelvalhil het volgende:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Iemand die mij snel met deze vergelijking kan helpen? Volgens het uitwerkingsboekje wordt de volgende stap r^2 = 490 000. Om vervolgens met 700 als antwoord uit te komen. Weet niet precies hoe ze daar aan komen.

Bij de linker en rechterkant met bijv. 10 optellen om vervolgens dan die 10 en de linkerkant te vermenigvuldigen met r^2 en zo verder uit te werken word hem niet, denk ik

log (x) == 0 -> x = 1

quote:

Op donderdag 19 november 2015 18:17 schreef Nelvalhil het volgende:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Iemand die mij snel met deze vergelijking kan helpen? Volgens het uitwerkingsboekje wordt de volgende stap r^2 = 490 000. Om vervolgens met 700 als antwoord uit te komen. Weet niet precies hoe ze daar aan komen.

Bij de linker en rechterkant met bijv. 10 optellen om vervolgens dan die 10 en de linkerkant te vermenigvuldigen met r^2 en zo verder uit te werken word hem niet, denk ik

10log(490 000/R^2) = 0
Hier staat in principe hetzelfde als 10^0 = 490 000/R^2.

Als je 10 tot de macht 0 verheft, is dat 1, dus 490 000/R^2 = 1

Dan volgt daaruit 490 000 = R^2 (beide kanten vermenigvuldigen met R^2.

quote:

Op donderdag 19 november 2015 18:22 schreef Lokasenna het volgende:
10^0 = 490 000/R^2.

Scherp, deze had ik niet gezien. Dat is het hem, inderdaad. Dank je wel

Hallo allemaal, ik hoop dat jullie mij kunnen helpen.

Helaas is het boek in het Engels, dus ik vertaal het even naar het NL.

De doorlopende samengestelde rente is 12%
10a. Je investeert ¤1.000 met deze rente. Wat is de investering waard na 5 jaar?

In eerste instantie dacht ik gewoon: 1.000x1,12^5. Maar dit klopt niet.

Als ik naar het antwoord kijk is dit als volgt:
FV (future value, toekomstige waarde) = 1.000e^(0,12-5) = 1.000e^6 = ¤1.822,12

Alleen ik kom niet uit op het juiste antwoord... Inmiddels ben ik al wel achter gekomen wat 'e' is: (1+(r/m))^m. Als je dit uitrekent komt ik uit op 1,12 dus ik denk dat ze hier 1+ weg hebben gelaten. Alleen toch kom ik niet op het juiste antwoord.

Is er iemand hier die mij dit kan uitleggen?

quote:

Op maandag 23 november 2015 18:36 schreef mary1995 het volgende:
Hallo allemaal, ik hoop dat jullie mij kunnen helpen.

Helaas is het boek in het Engels, dus ik vertaal het even naar het NL.

De doorlopende samengestelde rente is 12%
10a. Je investeert ¤1.000 met deze rente. Wat is de investering waard na 5 jaar?

In eerste instantie dacht ik gewoon: 1.000x1,12^5. Maar dit klopt niet.

Als ik naar het antwoord kijk is dit als volgt:
FV (future value, toekomstige waarde) = 1.000e^(0,12-5) = 1.000e^6 = ¤1.822,12

Alleen ik kom niet uit op het juiste antwoord... Inmiddels ben ik al wel achter gekomen wat 'e' is: (1+(r/m))^m. Als je dit uitrekent komt ik uit op 1,12 dus ik denk dat ze hier 1+ weg hebben gelaten. Alleen toch kom ik niet op het juiste antwoord.

Is er iemand hier die mij dit kan uitleggen?

Wat hier wordt berekend is



oftewel



en dan kom je inderdaad, afgerond op twee decimalen, op 1822,12 (vergelijk dit). Je hebt namelijk



en dus



Het getal



is een wiskundige constante, namelijk het grondtal van de natuurlijke logaritme, en wordt ook wel het getal van Euler genoemd. Zie hier, en voor jouw toepassing met name dit.

[ Bericht 7% gewijzigd door Riparius op 24-11-2015 16:20:04 ]

quote:

Op maandag 23 november 2015 21:00 schreef Riparius het volgende:

[..]

Wat hier wordt berekend is



oftewel



en dan kom je inderdaad, afgerond op twee decimalen, op 1822,12 (vergelijk dit). Je hebt namelijk



en dus



Het getal



is een wiskundige constante, namelijk het grondtal van de natuurlijke logaritme, en wordt ook wel het getal van Euler genoemd. Zie hier, en voor jouw toepassing met name dit.

Dankjewel! Ik begin het te begrijpen inmiddels . Alleen apart dat de docent hier niets over heeft gezegd in de les. Maargoed, ik begrijp het inmiddels.

Hoe kan ik achter de volgende onbekenden komen?

quote:

Op woensdag 25 november 2015 19:40 schreef RustCohle het volgende:
Hoe kan ik achter de volgende onbekenden komen?

[ afbeelding ]

Niet.

Twee vergelijkingen, drie onbekenden. Als je niet meer criteria hebt dan dit kun je hooguit een expressie formuleren die één onbekende uitdrukt in de andere twee.

quote:

Op woensdag 25 november 2015 19:42 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Niet.

Twee vergelijkingen, drie onbekenden. Als je niet meer criteria hebt dan dit kun je hooguit een expressie formuleren die één onbekende uitdrukt in de andere twee.

.

quote:

Op woensdag 25 november 2015 19:44 schreef RustCohle het volgende:

[..]

.

[ afbeelding ]

[ afbeelding ]

Juist ja.

Dus, wat wil je nu nog?

quote:

Op woensdag 25 november 2015 19:45 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Juist ja.

Dus, wat wil je nu nog?

Hoe je tot Xa, Xb en Xc komt. Dit is maar het antwoordenmodel..

quote:

Op woensdag 25 november 2015 19:46 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Hoe je tot Xa, Xb en Xc komt. Dit is maar het antwoordenmodel..

Je hebt drie (lineaire) vergelijkingen in drie onbekenden. Dat heb je echt wel eens eerder gezien ...

quote:

Op woensdag 25 november 2015 19:46 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Hoe je tot Xa, Xb en Xc komt. Dit is maar het antwoordenmodel..

Een voor een substitueren. Ook zijn er wel opties denkbaar waarbij je twee vergelijkingen optelt of aftrekt.

Bijvoorbeeld zo: uit de sombetrekking volgt dat xc = 1 - xa - xb

Substitueren in de bovenste levert
0,8xa + 1,5xb + (1 - xa - xb) = 0, oftewel
0,5xb = 0,2xa - 1, oftewel
xb = 0,4xa - 2

Die substitueer je in de tweede, en dan kom je er wel uit. En Riparius komt je zo vertellen dat het sneller kan

quote:

Op woensdag 25 november 2015 19:46 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Hoe je tot Xa, Xb en Xc komt. Dit is maar het antwoordenmodel..

Je begint even met beide leden van de eerste en de tweede vergelijking met 10 te vermenigvuldigen om de breuken kwijt te raken. Beide leden van de derde vergelijking vermenigvuldigen we ook even met 10 zodat x_C in elke vergelijking de coëfficiënt 10 heeft. Dan hebben we



Vervolgens trek je de leden van de derde vergelijking af van de eerste vergelijking en trek je ook de leden van de derde vergelijking af van de tweede vergelijking. Dan krijg je



Vervolgens tel je de leden van deze twee laatste vergelijkingen bij elkaar op en dan krijg je



zodat



De rest kun je nu zelf wel. Dat is gewoon een kwestie van de gevonden waarde van x_A invullen in één van de twee bovenstaande vergelijkingen in x_A en x_B. Heb je ook x_B gevonden, dan vul je x_A en x_B beide in in de derde van je oorspronkelijke vergelijkingen x_A + x_B + x_C = 1 en dan vind je ook x_C.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 26-11-2015 17:30:28 ]

Is deze notatie correct?

quote:

Op donderdag 26 november 2015 21:52 schreef netchip het volgende:
Is deze notatie correct?

Ja. Je hebt hier d(e^x) = e^xdx en ∫ u∙dv = u∙v − ∫ v∙du met u = x en v = e^x. Zie ook hier.

quote:

Op donderdag 26 november 2015 21:52 schreef netchip het volgende:
Is deze notatie correct?

Ligt eraan, hoe je je differentialen hebt gedefinieerd.

quote:

Op donderdag 26 november 2015 22:25 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Ligt eraan, hoe je je differentialen hebt gedefinieerd.

Hoe bedoel je?

quote:

Op donderdag 26 november 2015 22:38 schreef netchip het volgende:

[..]

Hoe bedoel je?

Dat de operatie



niet gedefinieerd is voor alle definities van integralen. Het is bijvoorbeeld niet gedefinieerd voor Riemann-integralen, maar wel voor Riemann-Stieltjes-integralen of Lebesgue-intergralen of integralen op een oriënteerbare differentieerbare variëteit.

quote:

Op vrijdag 27 november 2015 11:59 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Dat de operatie



niet gedefinieerd is voor alle definities van integralen. Het is bijvoorbeeld niet gedefinieerd voor Riemann-integralen, maar wel voor Riemann-Stieltjes-integralen of Lebesgue-intergralen of integralen op een oriënteerbare differentieerbare variëteit.

Voor continu differentieerbare functies f is er niets mis met de notatie df. Het wordt pas een probleem zodra f sprongen vertoont.

Druk de variabele x uit in de overige variabelen

1/3x + 1/4y = x/a

Eerste x naar een kant halen:

1/3x - x/a = -1/4y

vermenigvuldigen met a:

1/3ax - x = -1/4ay

x buiten haakjes:

x (1/3a - 1) = -1/4ay

x isoleren:

x = (-1/4ay) / ( 1/3a - 1)

Wat doe ik fout ?

quote:

Op woensdag 2 december 2015 14:28 schreef nickname89 het volgende:

Wat doe ik fout ?

Post eens een scan van de originele opgave.

Som 4e

[ Bericht 91% gewijzigd door nickname89 op 02-12-2015 17:24:37 ]

quote:

Op woensdag 2 december 2015 15:51 schreef nickname89 het volgende:
[ afbeelding ]

Som 4e

Je hebt de opgave niet voltooid, er staat immers dat in het eindantwoord niet meer dan één breukstreep mag voorkomen.

quote:

Op woensdag 2 december 2015 14:28 schreef nickname89 het volgende:
Druk de variabele x uit in de overige variabelen

1/3x + 1/4y = x/a

Eerste x naar een kant halen:

1/3x - x/a = -1/4y

vermenigvuldigen met a:

1/3ax - x = -1/4ay

x buiten haakjes:

x (1/3a - 1) = -1/4ay

x isoleren:

x = (-1/4ay) / ( 1/3a - 1)

Wat doe ik fout ?

Dus dan gaan we vermenigvuldigen met 3:

x = (-3/4ay) / (a-3)

Kruislings vermenigvuldigen:

x= (-3ay * -3) / 4a

quote:

Op woensdag 2 december 2015 16:28 schreef nickname89 het volgende:

[..]

Dus dan gaan we vermenigvuldigen met 3:

x = (-3/4ay) / (a-3)

Kruislings vermenigvuldigen:

Nee. Hier ga je de fout in. Vermenigvuldig teller en noemer van de breuk in het rechterlid nog eens met 4. Je had uiteraard ook direct teller en noemer van de breuk in het rechterlid met 12 kunnen vermenigvuldigen.

Ja idd.

dan kom ik uit op x= (-3ay) / (4 (a-3))

Heb ik een volgende vraag.
De som;
log(x) = 2 + log (4)

Hoe pak ik uberhaupt de eerste stap aan ?

quote:

Op woensdag 2 december 2015 21:00 schreef nickname89 het volgende:
Ja idd.

dan kom ik uit op x= (-3ay) / (4 (a-3))

Heb ik een volgende vraag.
De som;
log(x) = 2 + log (4)

Hoe pak ik uberhaupt de eerste stap aan ?

Je wil graag uitkomen op iets van de vorm
log (x) = log (y), want daarna is je oplossing niet meer zo moeilijk.

De uitdaging is dus om 2 + log (4) te schrijven als log (y). Als het goed is ken je een paar rekenregels voor logaritmen die je daarbij kunnen helpen.

log (x) = log (100) + log (4)
x= 400

Volgende;

x^36 = 0,5

Schrijven naar;
x log (0,5) = 36

en dan ?

quote:

Op woensdag 2 december 2015 21:20 schreef nickname89 het volgende:
Volgende;

x^36 = 0,5

Schrijven naar;
x log (0,5) = 36

en dan ?

Hoe los jij x² = 0,5 op?

Wortel (0,5)

Dus dan is;
xlog (0,5) - 36 --> 36machtswortel van 0,5 is afgerond 0.98

quote:

Op woensdag 2 december 2015 21:23 schreef nickname89 het volgende:
Wortel (0,5)

Dus dan is;
xlog (0,5) - 36 --> 36machtswortel van 0,5 is afgerond 0.98

Het onderstreepte gedeelte klopt dus niet. Het stuk achter de pijl wel.

Je oorspronkelijke vergelijking verhef je links en rechts tot de macht 1/36.

Klopt moet zijn;

xlog (0,5) = 36

quote:

Op woensdag 2 december 2015 21:27 schreef nickname89 het volgende:
Klopt moet zijn;

xlog (0,5) = 36

Nee, juist niet.

Jij wil iets met logaritmes gaan doen, maar dat past helemaal niet bij de vergelijking die je wil oplossen.
Bekijk even het verschil tussen

x³⁶ = 0,5

en

36^x = 0,5

Hint: let op de plek van de variabele.

quote:

Op woensdag 2 december 2015 21:20 schreef nickname89 het volgende:
log (x) = log (100) + log (4)
x= 400

Volgende;

x^36 = 0,5

Schrijven naar;
x log (0,5) = 36

en dan ?

Niets je kan er bijzonder weinig mee als logaritme:

x^{xlog (0,5)}=x^³⁶=0,5

Als je x wilt weten is de standaardprocedure gewoon:

x³⁶=0,5
³⁶√x³⁶=x=³⁶√0,5

Hoi, ik had twee redelijk basic calculus vraagjes. Ik ben hier vroeger wel eens goed geholpen dus probeer ze wederom hier te droppen

Allereerst een vraagje over de waarden van cos(x), sin(x) en tan(x).
De volgende tabel met corresponderende waarden:


Valt zoiets nou door middel van de eenheidscirkel, gecombineerd met de definities van de goniometrische functies (sos cas toa) af te leiden? Of is het min of meer de bedoeling dat je dit uit je hoofd weet en kan je de waarden alleen benaderen?

Ik weet uiteraard wel dat je de tan(x) waarden kunt afleiden uit de andere twee functies.

Daarnaast, de volgende vraag:



Ik snap niet helemaal hoe ik deze het beste kan aanpakken.

De tussenwaardestelling zegt dat als een functie continue is en wanneer deze elke waarde tussen f(0) en f(1) aanneemt. Aangezien gegeven is f(0) ≠ 0 en f(1) ≠ 1 weet ik dat de grenswaarden in ieder geval niet gelijk zijn aan c.

Verder zou ik eigenlijk echt niet weten hoe ik hier moet beginnen. Ik weet niks over de functie en de tussenwaardestelling stelt alleen dat elke mogelijke waarde tussen f(0) en f(1) wordt aangenomen en ik zie niet echt hoe ik dit kan gebruiken. Verder zie ik ook niet echt hoe de tip mij kan helpen..

quote:

Op vrijdag 4 december 2015 13:56 schreef ulq het volgende:
Daarnaast, de volgende vraag:

[ afbeelding ]

Ik snap niet helemaal hoe ik deze het beste kan aanpakken.

De tussenwaardestelling zegt dat als een functie continue is en wanneer deze elke waarde tussen f(0) en f(1) aanneemt. Aangezien gegeven is f(0) ≠ 0 en f(1) ≠ 1 weet ik dat de grenswaarden in ieder geval niet gelijk zijn aan c.

Verder zou ik eigenlijk echt niet weten hoe ik hier moet beginnen. Ik weet niks over de functie en de tussenwaardestelling stelt alleen dat elke mogelijke waarde tussen f(0) en f(1) wordt aangenomen en ik zie niet echt hoe ik dit kan gebruiken. Verder zie ik ook niet echt hoe de tip mij kan helpen..

Definieer g(x) = f(x) - x.

Merk op:
g(1) = f(1)-1 < 0
g(0) = f(0) - 0 = f(0) > 0

quote:

Op vrijdag 4 december 2015 14:16 schreef thenxero het volgende:

[..]

Definieer g(x) = f(x) - x.

Merk op:
g(1) = f(1)-1 < 0
g(0) = f(0) - 0 = f(0) > 0

Dank voor je reactie. Ik snap niet helemaal wat je bedoelt met je 'merk op'-gedeelte.

Ik ben echter wel zo ver om te begrijpen dat wanneer g(x)=f(x)-x gelijk is aan 0, dit betekent dat f(x)=x en dus f(c)=c (te bewijzen stelling).

Kan je vervolgens niet gewoon stellen dat het domein van g(x) gelijk is aan [0, 1] en het bereik aan [-1, 0] en dat dus, omdat de waarde 0 omvat is in het bereik plus het feit dat g(x) continu is, de tussenwaardestelling stelt dat deze waarde wordt aangenomen?

[ Bericht 0% gewijzigd door ulq op 06-12-2015 11:13:11 ]

quote:

Op vrijdag 4 december 2015 14:41 schreef ulq het volgende:

[..]

Dank voor je reactie. Ik snap niet helemaal wat je bedoelt met je 'merk op'-gedeelte.

De functie g is continu op [0, 1] en je hebt g(0) > 0 en tevens g(1) < 0. Dan is er dus volgens de tussenwaardestelling een c ∈ (0, 1) zodanig dat g(c) = 0. Zie je?

quote:

Ik ben immers wel zo ver om te begrijpen dat wanneer g(x)=f(x)-x gelijk is aan 0, dit betekent dat f(x)=x en dus f(c)=c (te bewijzen stelling).

Dat is wat ongelukkig geformuleerd. Je bedoelt dat je nu begrijpt dat als er een c ∈ [0, 1] bestaat zodanig dat g(c) = 0 dat dan f(c) = c.

quote:

Kan je vervolgens niet gewoon stellen dat het domein van g(x) gelijk is aan [0, 1] en het bereik aan [-1, 0] ...

Nee. Kies f(x) = 1 − x met D_f = [0, 1]. Dan is B_f = [0, 1] maar B_g ≠ [−1, 0].

[ Bericht 3% gewijzigd door Riparius op 05-12-2015 01:21:32 ]

quote:

Op vrijdag 4 december 2015 13:47 schreef ulq het volgende:
Hoi, ik had twee redelijk basic calculus vraagjes. Ik ben hier vroeger wel eens goed geholpen dus probeer ze wederom hier te droppen

Allereerst een vraagje over de waarden van cos(x), sin(x) en tan(x).
De volgende tabel met corresponderende waarden:
[ afbeelding ]

Valt zoiets nou door middel van de eenheidscirkel, gecombineerd met de definities van de goniometrische functies (sos cas toa) af te leiden?

Deze waarden zijn af te leiden met een klein beetje elementaire meetkunde. Of je daar ook nog de eenheidscirkel bij wil betrekken mag je zelf weten. Nodig is dat niet aangezien de goniometrische verhoudingen - uitsluitend voor scherpe hoeken - aanvankelijk zijn gedefinieerd aan de hand van rechthoekige driehoeken. Omdat de lengtes van de zijden van gelijkvormige driehoeken evenredig met elkaar zijn, hangen de verhoudingen tussen de lengtes van twee zijden in een rechthoekige driehoek uitsluitend af van de hoeken van de rechthoekige driehoek. De definitie aan de hand van de eenheidscirkel maakt het mogelijk om betekenis toe te kennen aan de sinus en de cosinus voor willekeurige (rotatie)hoeken, zie ook hier.

Teken om te beginnen een gelijkbenige driehoek waarvan de basishoeken 45° zijn zodat de tophoek 90° is (aangezien de som van de hoeken 180° is):



Stel de lengtes van de twee gelijke benen gelijk aan 1, dan volgt met behulp van de stelling van Pythagoras dat de lengte van de basis gelijk is aan √2, aangezien dit een rechthoekige driehoek is en de basis van deze gelijkbenige driehoek dus de hypotenusa is van deze rechthoekige driehoek.

Nu weet je dat in een rechthoekige driehoek de sinus van een scherpe hoek per definitie gelijk is aan de verhouding van de lengte van de overstaande rechthoekszijde tot de lengte van de hypotenusa, terwijl de cosinus van een scherpe hoek per definitie gelijk is aan de verhouding van de lengte van de aanliggende rechthoekszijde tot de lengte van de hypotenusa. En dus vinden we met behulp van deze driehoek dat

sin 45° = 1 : √2 = ½√2

cos 45° = 1 : √2 = ½√2

Om de sinus en de cosinus van 30° en van 60° te bepalen teken je een gelijkzijdige driehoek (waarvan elk van de hoeken 60° is) en en laat je vanuit één hoekpunt een loodlijn neer op de tegenoverliggende zijde:



Nemen we aan dat de zijden van de gelijkzijdige driehoek een lengte 2 hebben, dan heeft de helft van een zijde de lengte 1, en met behulp van de stelling van Pythagoras vind je dan direct dat de hoogtelijnen in deze gelijkzijdige driehoek de lengte √3 hebben.

Bedenk je nu weer dat in een rechthoekige driehoek de sinus van een scherpe hoek gelijk is aan de verhouding van de overstaande rechthoekszijde tot de schuine zijde, en dat de cosinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek gelijk is aan de verhouding van de aanliggende rechthoekszijde tot de schuine zijde, dan kun je uit de figuur direct aflezen dat je hebt

sin 30° = 1 : 2 = ½

cos 30° = √3 : 2 = ½√3

en ook

sin 60° = √3 : 2 = ½√3

cos 60° = 1 : 2 = ½

Een eenvoudig ezelsbruggetje om de goniometrische verhoudingen voor de 'standaardhoeken' te onthouden gaat als volgt. Schrijf eerst de 'standaardhoeken' op:

0°, 30°, 45°, 60°, 90°

De sinussen van deze hoeken zijn nu respectievelijk

½√0, ½√1, ½√2, ½√3, ½√4

oftewel

0, ½, ½√2, ½√3, 1

En de cosinussen van deze hoeken krijg je achtereenvolgens door hetzelfde rijtje van rechts naar links op te schrijven, dus

½√4, ½√3, ½√2, ½√1, ½√0

oftewel

1, ½√3, ½√2, ½, 0

quote:

Of is het min of meer de bedoeling dat je dit uit je hoofd weet en kan je de waarden alleen benaderen?

Je moet deze waarden inderdaad uit het hoofd kennen, en bovenstaand ezelsbruggetje helpt je daarbij. Uiteraard kun je ook altijd even een schetsje maken met bovenstaande driehoeken om deze waarden te vinden. Het is zeker niet zo dat deze waarden alleen zijn te benaderen, de gevonden waarden zijn exact. Het feit dat ze deels irrationaal zijn doet daar niets aan af. Ook voor een aantal andere hoeken (zoals gehele veelvouden van 3°) zijn de exacte waarden af te leiden en uit te drukken met behulp van vierkantswortels, maar deze uitdrukkingen zijn gecompliceerder en hoef je niet uit het hoofd te kennen. Probeer zelf eens te bedenken hoe je exacte waarden voor cos 15° en sin 15° af zou kunnen leiden. Idem voor cos 18° en sin 18°.

quote:

Ik weet uiteraard wel dat je de tan(x) waarden kunt afleiden uit de andere twee functies.

Inderdaad, de tangens is het quotiënt van de sinus en de cosinus. In een rechthoekige driehoek is de tangens van een scherpe hoek gelijk aan de verhouding van de lengte van de overstaande rechthoekszijde tot de lengte van de aanliggende rechthoekszijde. Je kunt zo ook direct uit de eerste van de bovenstaande figuren aflezen dat

tan 45° = 1 : 1 = 1

En uit de tweede van de bovenstaande figuren kun je evenzo direct aflezen dat je hebt

tan 30° = 1 : √3 = ⅓√3

en ook

tan 60° = √3 : 1 = √3

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 05-12-2015 18:11:41 ]

Zeer veel dank voor de uitgebreide reacties Riparius!

quote:

Op vrijdag 4 december 2015 15:28 schreef Riparius het volgende:
De functie g is continu op [0, 1] en je hebt g(0) > 0 en tevens g(1) < 0. Dan is er dus volgens de tussenwaardestelling een c ∈ (0, 1) zodanig dat g(c) = 0. Zie je?

Hmm ja. Je stelt dus eigenlijk dat het bereik van g(x) 'maximaal' 0 als ondergrens en 'minimaal' 0 als bovengrens heeft. En hieruit kan je je concluderen dat 0 omvat is in het bereik dat dus er een c bestaat waarvoor f(c) = c.

Wat betreft de goniometrie. Is het dan wel zo dat je min of meer moet onthouden dat bij de 30 en 60 graden hoeken een zijde van 2 en 1 correspondeert met een hoek van 30 en 60 graden?

Ik zie verder ook niet zo hoe je de waarden van veelvouden van 3 graden kan afleiden.. Je moet toch immers altijd de verhouding tussen de zijden en de hoek weten? (tenzij je goede geo-driehoek hebt)

quote:

Op zaterdag 5 december 2015 21:38 schreef ulq het volgende:
Zeer veel dank voor de uitgebreide reacties Riparius!

[..]

Hmm ja. Je stelt dus eigenlijk dat het bereik van g(x) 'maximaal' 0 als ondergrens en 'minimaal' 0 als bovengrens heeft. En hieruit kan je je concluderen dat 0 omvat is in het bereik dat dus er een c bestaat waarvoor f(c) = c.

Dat is niet helemaal het idee. Bekijk het eens als volgt. Het beginpunt (0; g(0)) van de grafiek van g ligt boven de x-as omdat g(0) > 0 en het eindpunt (1; g(1)) van de grafiek van g ligt onder de x-as omdat g(1) < 0. En omdat g een continue functie is en de grafiek van g dus een ononderbroken curve is, moet het zo zijn dat de grafiek van g tenminste éénmaal de x-as passeert, anders kun je immers niet van een beginpunt boven de x-as uitkomen op een eindpunt onder de x-as. En dus moet het zo zijn dat er tenminste één waarde c is op het interval (0,1) waarvoor geldt g(c) = 0 (en dus f(c) = c).

quote:

Wat betreft de goniometrie. Is het dan wel zo dat je min of meer moet onthouden dat bij de 30 en 60 graden hoeken een zijde van 2 en 1 correspondeert met een hoek van 30 en 60 graden?

Nee, want een driehoek is niet volledig bepaald door de lengte van twee zijden. In de tweede figuur in de post van mij hierboven zie je dat een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden met lengte 1 resp. √3 en met een hypotenusa met lengte 2 de helft is van een gelijkzijdige driehoek (met zijden met lengte 2). En dus heeft zo'n rechthoekige driehoek scherpe hoeken van 30° en 60°.

quote:

Ik zie verder ook niet zo hoe je de waarden van veelvouden van 3 graden kan afleiden.. Je moet toch immers altijd de verhouding tussen de zijden en de hoek weten? (tenzij je goede geo-driehoek hebt)

Werken met een geodriehoek is niet de bedoeling, dat is niet exact. Het is de bedoeling dat je beredeneert wat de exacte waarde is van bijvoorbeeld cos 15° en sin 15°. Je kunt redeneren aan de hand van een meetkundige figuur, maar dat hoeft niet eens. Je zou kunnen bedenken dat 15° het verschil is tussen 45° en 30°. Heb je nu een idee hoe je cos 15° en sin 15° exact zou kunnen uitrekenen met behulp van de reeds bekende exacte waarden van de cosinus en de sinus van 45° en van 30° ?

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 07-12-2015 11:19:00 ]

Gegeven de formule:

Gt = G0 * 0,5^0,8t

Gt = de hoeveelheid narcoticastof aanwezig in menselijk lichaam na tijdstip t
G0 = de hoeveelheid narcoticastof die oorspronkelijk is toegediend.

Vraag:
a) Na hoeveel tijd is de hoeveelheid narcosestof nog maar de helft van de hoeveelheid toegediende stof?
b) NA heoveel tijd is er nog 10% van de toegediende stof aanwezig?

Uitwerking:
a)
Gt = G0 * 0,5^0,8t

Om de vraagstelling te beantwoorden vul ik getallen in voor gt en g0.
100 = 50 * 0,5^0,8t

100/50 = 0,5^0,8t

0,5 = 0,5^0,8t

0,8t = 1

t = 1,25

Ik denk echter dat ik wiskundig niet correct bezig ben, hoewel ik wel tot het correcte antwoord kom kan ik deze methode niet toepassen in soms b. Er dient dus een andere mogelijkheid te wezen tot het oplossen van deze som.

Som B)
Getallen invullen:
10 = 100 * 0,5^0,8t
0,1 = 0,5^0,8t
Hoe nu verder ?

quote:

Op donderdag 10 december 2015 16:33 schreef nickname89 het volgende:
Gegeven de formule:

Gt = G0 * 0,5^0,8t

Gt = de hoeveelheid narcoticastof aanwezig in menselijk lichaam na tijdstip t
G0 = de hoeveelheid narcoticastof die oorspronkelijk is toegediend.

Vraag:
a) Na hoeveel tijd is de hoeveelheid narcosestof nog maar de helft van de hoeveelheid toegediende stof?
b) NA heoveel tijd is er nog 10% van de toegediende stof aanwezig?

Uitwerking:
a)
Gt = G0 * 0,5^0,8t

Om de vraagstelling te beantwoorden vul ik getallen in voor gt en g0.
100 = 50 * 0,5^0,8t

100/50 = 0,5^0,8t

0,5 = 0,5^0,8t

0,8t = 1

t = 1,25

Ik denk echter dat ik wiskundig niet correct bezig ben, hoewel ik wel tot het correcte antwoord kom kan ik deze methode niet toepassen in soms b. Er dient dus een andere mogelijkheid te wezen tot het oplossen van deze som.

Som B)
Getallen invullen:
10 = 100 * 0,5^0,8t
0,1 = 0,5^0,8t
Hoe nu verder ?

Je idee van die getallen op deze manier invullen, is wel correct. Maar in het rekenwerk gaat e.e.a. fout.

Sowieso is 100/50 = 2. Heb je ooit met logaritmen leren rekenen?