quote:
Op vrijdag 4 december 2015 13:47 schreef ulq het volgende:Hoi, ik had twee redelijk basic calculus vraagjes. Ik ben hier vroeger wel eens goed geholpen dus probeer ze wederom hier te droppen
Allereerst een vraagje over de waarden van cos(x), sin(x) en tan(x).
De volgende tabel met corresponderende waarden:
[
afbeelding ]
Valt zoiets nou door middel van de eenheidscirkel, gecombineerd met de definities van de goniometrische functies (sos cas toa) af te leiden?
Deze waarden zijn af te leiden met een klein beetje elementaire meetkunde. Of je daar ook nog de eenheidscirkel bij wil betrekken mag je zelf weten. Nodig is dat niet aangezien de goniometrische verhoudingen - uitsluitend voor scherpe hoeken - aanvankelijk zijn gedefinieerd aan de hand van rechthoekige driehoeken. Omdat de lengtes van de zijden van gelijkvormige driehoeken evenredig met elkaar zijn, hangen de
verhoudingen tussen de lengtes van twee zijden in een rechthoekige driehoek uitsluitend af van de hoeken van de rechthoekige driehoek. De definitie aan de hand van de eenheidscirkel maakt het mogelijk om betekenis toe te kennen aan de sinus en de cosinus voor willekeurige (rotatie)hoeken, zie ook
hier.
Teken om te beginnen een gelijkbenige driehoek waarvan de basishoeken 45° zijn zodat de tophoek 90° is (aangezien de som van de hoeken 180° is):
Stel de lengtes van de twee gelijke benen gelijk aan 1, dan volgt met behulp van de stelling van Pythagoras dat de lengte van de basis gelijk is aan √2, aangezien dit een rechthoekige driehoek is en de basis van deze gelijkbenige driehoek dus de hypotenusa is van deze rechthoekige driehoek.
Nu weet je dat in een rechthoekige driehoek de sinus van een scherpe hoek per definitie gelijk is aan de verhouding van de lengte van de overstaande rechthoekszijde tot de lengte van de hypotenusa, terwijl de cosinus van een scherpe hoek per definitie gelijk is aan de verhouding van de lengte van de aanliggende rechthoekszijde tot de lengte van de hypotenusa. En dus vinden we met behulp van deze driehoek dat
sin 45° = 1 : √2 = ½√2
cos 45° = 1 : √2 = ½√2
Om de sinus en de cosinus van 30° en van 60° te bepalen teken je een gelijkzijdige driehoek (waarvan elk van de hoeken 60° is) en en laat je vanuit één hoekpunt een loodlijn neer op de tegenoverliggende zijde:
Nemen we aan dat de zijden van de gelijkzijdige driehoek een lengte 2 hebben, dan heeft de helft van een zijde de lengte 1, en met behulp van de stelling van Pythagoras vind je dan direct dat de hoogtelijnen in deze gelijkzijdige driehoek de lengte √3 hebben.
Bedenk je nu weer dat in een rechthoekige driehoek de sinus van een scherpe hoek gelijk is aan de verhouding van de overstaande rechthoekszijde tot de schuine zijde, en dat de cosinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek gelijk is aan de verhouding van de aanliggende rechthoekszijde tot de schuine zijde, dan kun je uit de figuur direct aflezen dat je hebt
sin 30° = 1 : 2 = ½
cos 30° = √3 : 2 = ½√3
en ook
sin 60° = √3 : 2 = ½√3
cos 60° = 1 : 2 = ½
Een eenvoudig ezelsbruggetje om de goniometrische verhoudingen voor de 'standaardhoeken' te onthouden gaat als volgt. Schrijf eerst de 'standaardhoeken' op:
0°, 30°, 45°, 60°, 90°
De sinussen van deze hoeken zijn nu respectievelijk
½√0, ½√1, ½√2, ½√3, ½√4
oftewel
0, ½, ½√2, ½√3, 1
En de cosinussen van deze hoeken krijg je achtereenvolgens door hetzelfde rijtje van rechts naar links op te schrijven, dus
½√4, ½√3, ½√2, ½√1, ½√0
oftewel
1, ½√3, ½√2, ½, 0
quote:
Of is het min of meer de bedoeling dat je dit uit je hoofd weet en kan je de waarden alleen benaderen?
Je moet deze waarden inderdaad uit het hoofd kennen, en bovenstaand ezelsbruggetje helpt je daarbij. Uiteraard kun je ook altijd even een schetsje maken met bovenstaande driehoeken om deze waarden te vinden. Het is zeker niet zo dat deze waarden alleen zijn te benaderen, de gevonden waarden zijn
exact. Het feit dat ze deels irrationaal zijn doet daar niets aan af. Ook voor een aantal andere hoeken (zoals gehele veelvouden van 3°) zijn de exacte waarden af te leiden en uit te drukken met behulp van vierkantswortels, maar deze uitdrukkingen zijn gecompliceerder en hoef je niet uit het hoofd te kennen. Probeer zelf eens te bedenken hoe je exacte waarden voor cos 15° en sin 15° af zou kunnen leiden. Idem voor cos 18° en sin 18°.
quote:
Ik weet uiteraard wel dat je de tan(x) waarden kunt afleiden uit de andere twee functies.
Inderdaad, de tangens is het quotiënt van de sinus en de cosinus. In een rechthoekige driehoek is de tangens van een scherpe hoek gelijk aan de verhouding van de lengte van de overstaande rechthoekszijde tot de lengte van de aanliggende rechthoekszijde. Je kunt zo ook direct uit de eerste van de bovenstaande figuren aflezen dat
tan 45° = 1 : 1 = 1
En uit de tweede van de bovenstaande figuren kun je evenzo direct aflezen dat je hebt
tan 30° = 1 : √3 = ⅓√3
en ook
tan 60° = √3 : 1 = √3
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 05-12-2015 18:11:41 ]