SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Post hier weer al je vragen, passies, trauma's en andere dingen die je uit je slaap houden met betrekking tot de wiskunde.
Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!
Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).
Links:
• http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
• http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
• http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
• http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
• http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...
OP
Van MBO tot WO, hier is het topic waar je een antwoord kunt krijgen op je vragen. Vragen over stochastiek in het algemeen en stochastische processen & analyse in het bijzonder worden door sommigen extra op prijs gesteld!
Opmaak:
• met de [tex]-tag kun je Latexcode in je post opnemen om formules er mooier uit te laten zien (uitleg).
Links:
• http://integrals.wolfram.com/index.jsp: site van Wolfram, makers van Mathematica, om online symbolische integratie uit te voeren.
• http://mathworld.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg korte wiki-achtige artikelen over wiskundige concepten en onderwerpen, incl. search.
• http://functions.wolfram.com/: site van Wolfram met een berg identiteiten, gerangschikt per soort functie.
• http://scholar.google.com/: Google scholar, zoek naar trefwoorden specifiek in (wetenschappelijke) artikelen. Vaak worden er meerdere versies van hetzelfde artikel gevonden, waarvan één of meer van de website van een journaal en (dus) niet vrij toegankelijk, maar vaak ook een versie die wel vrij van de website van de auteur te halen is.
• http://www.wolframalpha.com Meest geavanceerde rekenmachine van het internet. Handig voor het berekenen van integralen, afgeleides, etc...
OP
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Het lijkt me allereerst handig dat je ons exact vertelt wat de opgave is. Met deze informatie is het zoals Riparius al stelde slechts mogelijk om uit te rekenen wat zijn gemiddelde snelheid was, en op mijn manier of hij niet minimaal 40 km/h diende te sprinten, wat dus niet het geval was omdat hij in 9,79 seconden meer dan 100 meter aflegde.
Dus wat was de extra randvoorwaarde, hoe nam zijn snelheid toe? Was daar een formule voor?
De afgeleide geeft de helling van een functie op een bepaald moment f'(x) = dy/dx Met dy en dx (infinitesimaal?) kleine verschillen. De quotiëntregel is te onthouden met (nat min tan) ofwel Noemer* afgeleide Teller - Teller * afgeleide Noemer (gedeeld door het kwadraat van de noemer). De kettingregel voor een functie f(x)*g(x) -> f'(x)*g(x)+g'(x)*f(x).
Om te weten waar de helling 0 is van een functie, ofwel het maximum/minimum van een grafiek stel je dus de afgeleide functie gelijk aan 0.
Om nu te weten waar de helling maximaal is geef je de tweede afgeleide, ofwel f''(x). Het nulpunt daarvan zal dus het buigpunt geven.
En nu die opgave.
Een klein voorbeeldje van de quotient regel:
Je ziet zelf ook wel in dat dit nog een maal te vereenvoudigen is..
[ Bericht 7% gewijzigd door Amoeba op 23-06-2012 22:05:03 ]
Dus wat was de extra randvoorwaarde, hoe nam zijn snelheid toe? Was daar een formule voor?
De afgeleide geeft de helling van een functie op een bepaald moment f'(x) = dy/dx Met dy en dx (infinitesimaal?) kleine verschillen. De quotiëntregel is te onthouden met (nat min tan) ofwel Noemer* afgeleide Teller - Teller * afgeleide Noemer (gedeeld door het kwadraat van de noemer). De kettingregel voor een functie f(x)*g(x) -> f'(x)*g(x)+g'(x)*f(x).
Om te weten waar de helling 0 is van een functie, ofwel het maximum/minimum van een grafiek stel je dus de afgeleide functie gelijk aan 0.
Om nu te weten waar de helling maximaal is geef je de tweede afgeleide, ofwel f''(x). Het nulpunt daarvan zal dus het buigpunt geven.
En nu die opgave.
Een klein voorbeeldje van de quotient regel:
Je ziet zelf ook wel in dat dit nog een maal te vereenvoudigen is..
[ Bericht 7% gewijzigd door Amoeba op 23-06-2012 22:05:03 ]
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Ik zal nog even toelichten wat ik hier precies doe. Ik gaf slechts de eerste stap.quote:Op zaterdag 23 juni 2012 21:54 schreef thenxero het volgende:
[..]
Ik zou zeggen
∫ sin(x)∙(-cos(x))' dx = -sin(x)∙cos(x) - ∫ -cos(x)∙(sin(x))' dx
[..]
De regel voor partieel integreren luidt:
∫ u∙dv = u∙v - ∫ v∙du
In dit geval hadden we u = sin(x), dv = sin(x)∙dx, en dus du = cos(x)∙dx, v = -cos(x). Dit geeft:
∫ sin(x)∙d(-cos(x)) = -sin(x)∙cos(x) - ∫ -cos(x)∙d(sin(x))
Nu volgt uit dv = sin(x)∙dx en v = -cos(x) dat d(-cos(x)) = sin(x)∙dx
Evenzo volgt uit du = cos(x)∙dx en u = sin(x) dat d(sin(x)) = cos(x)∙dx
Dus krijgen we:
∫ sin(x)∙sin(x)∙dx = -sin(x)∙cos(x) - ∫ -cos(x)∙cos(x)∙dx
En dus:
∫ sin2(x)∙dx = -sin(x)∙cos(x) + ∫ cos2(x)∙dx
En toch komen we allemaal op hetzelfde uit. Ik begrijp dat ik slechts de haakjes moet zetten, waar ik inderdaad wel vaker commentaar van die 'flutdocent' op heb gekregen.
Maar enfin, als Superky ook nog eens wil reageren binnen het uur..
Maar enfin, als Superky ook nog eens wil reageren binnen het uur..
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Oh zo. Ik heb geleerd om die tussenstap over te slaan, omdat je dan met infinitesimalen werkt zonder bewijs.
Ik onthou die regel ook als ∫ f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫ f'(x)g(x) dx .
[ Bericht 23% gewijzigd door thenxero op 23-06-2012 22:35:14 ]
Ik onthou die regel ook als ∫ f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫ f'(x)g(x) dx .
[ Bericht 23% gewijzigd door thenxero op 23-06-2012 22:35:14 ]
Sorry voor de late reactie maar hier komt de opgave:quote:
Het lijkt me allereerst handig dat je ons exact vertelt wat de opgave is. Met deze informatie is het zoals Riparius al stelde slechts mogelijk om uit te rekenen wat zijn gemiddelde snelheid was, en op mijn manier of hij niet minimaal 40 km/h diende te sprinten, wat dus niet het geval was omdat hij in 9,79 seconden meer dan 100 meter aflegde.
Dus wat was de extra randvoorwaarde, hoe nam zijn snelheid toe? Was daar een formule voor?
De afgeleide geeft de helling van een functie op een bepaald moment f'(x) = dy/dx Met dy en dx (infinitesimaal?) kleine verschillen. De quotiëntregel is te onthouden met (nat min tan) ofwel Noemer* afgeleide Teller - Teller * afgeleide Noemer (gedeeld door het kwadraat van de noemer). De kettingregel voor een functie f(x)*g(x) -> f'(x)*g(x)+g'(x)*f(x).
Om te weten waar de helling 0 is van een functie, ofwel het maximum/minimum van een grafiek stel je dus de afgeleide functie gelijk aan 0.
Om nu te weten waar de helling maximaal is geef je de tweede afgeleide, ofwel f''(x). Het nulpunt daarvan zal dus het buigpunt geven.
En nu die opgave.
Een klein voorbeeldje van de quotient regel:
Je ziet zelf ook wel in dat dit nog een maal te vereenvoudigen is..
Omrekenen van eenheden
Het wereldrecord op de 100 m hardlopen is kort geleden gebracht op 9,79 s. Heeft de atleet op enig moment gedurende zijn race met een snelheid groter dan 40 km per uur gelopen?
En verder staat er niks meer.
Dan kun je keihard zeggen dat je met behulp van de maximaal afgelegde afstand voor een snelheid van 40 km/h deze vraag niet kan beantwoorden. Dat zal dan ook wel het antwoord zijn.
Want:
40 km/h = 40/3,6 = 11,11 m/s * 9,79 > 100m. Ofwel dit is niet te beantwoorden met deze gegevens.
Want:
40 km/h = 40/3,6 = 11,11 m/s * 9,79 > 100m. Ofwel dit is niet te beantwoorden met deze gegevens.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Uiteraard sla ik de tussenstap gewoonlijk ook over, maar omdat Amoeba deze tussenstap toch maakte wilde ik even laten zien hoe je dat dan correct op kunt schrijven. Uitgaande van de regelquote:
Oh zo. Ik heb geleerd om die tussenstap over te slaan, omdat je dan met infinitesimalen werkt zonder bewijs.
Ik onthou die regel ook als ∫ f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫ f'(x)g(x) dx .
∫ u∙dv = u∙v - ∫ v∙du
en
u = sin(x), dv = sin(x)∙dx, du = cos(x)∙dx, v = -cos(x)
krijg je direct
∫ sin(x)∙sin(x)∙dx = -sin(x)∙cos(x) - ∫ -cos(x)∙cos(x)∙dx
en dat is ook gebruikelijke manier van werken met de regel voor partieel integreren in deze vorm, zie bijvoorbeeld hier.
Werken met differentialen is niet hetzelfde als werken met infinitesimalen, dus hier is niets inexacts aan, vooropgesteld dat je een formele definitie kunt geven voor (betrekkingen tussen) differentialen die niet steunt op het intuïtieve begrip van 'oneindig kleine' grootheden. Vroeger was dat uiteraard anders, de gehele Leibniz notatie is gebaseerd op de idee van inifinitesimale grootheden.
Toch is de notatie van Leibniz niet stuk te krijgen en heeft deze alle paradigmawisselingen binnen de wiskunde overleefd, en daar zijn goede redenen voor. Deze notatie vereenvoudigt het werken met afgeleiden van samengestelde functies (kettingregel), het werken met de substitutieregel in de integraalrekening (en inderdaad, ook het werken met partieel integreren) en bijvoorbeeld ook het oplossen van bepaalde differentiaalvergelijkingen (scheiding van variabelen).
De substitutieregel (voor onbepaalde integralen) kunnen we weergeven als
∫ f(x)∙dx = ∫ f(g(t))∙g'(t)∙dt
waarbij x = g(t) en dx = g'(t)∙dt zodat d(g(t)) = g'(t)∙dt en we de substitutieregel dus ook kunnen weergeven als
∫ f(x)∙dx = ∫ f(g(t))∙d(g(t))
Als nu F een primitieve is van f dan is dus
∫ f(g(t))∙d(g(t)) = F(g(t)) + C
Hiervan maakte ik gebruik bij enkele herleidingen voor het primitiveren van de secans.
Hebben we f(x) = 1, zodat F(x) = x een primitieve is, dan reduceert dit tot:
∫ d(g(t)) = g(t) + C
zodat je, afgezien van de integratieconstante, kunt zeggen dat ∫ en d inverse operatoren zijn.
Als we hebben y = f(x) waarbij f een differentieerbare functie is van x, dan kunnen we zeggen dat dy/dx = f'(x), en als we het hierbij laten dan zijn dit gewoon twee verschillende notaties voor hetzelfde, namelijk de notatie van Leibniz en de notatie van Lagrange voor de (eerste) afgeleide van de gegeven functie. De uitdrukking dy/dx lijkt verdacht veel op een breuk en om de verwarring nog groter te maken heet dit ook nog een differentiaalquotiënt, terwijl het in de thans gebruikelijke opvatting geen quotiënt is maar een limiet van een differentiequotiënt ∆y/∆x = (f(x + ∆x) - f(x))/∆x voor ∆x → 0.
Maar zo hebben dy en dx afzonderlijk geen betekenis (meer), zodat je nog moet verantwoorden wat je dan precies verstaat onder dy = f'(x)∙dx en hoe dit equivalent is met dy/dx = f'(x) zonder daarbij terug te vallen op intuïtieve begrippen als 'oneindig kleine' grootheden. Er zijn verschillende manieren om het begrip differentiaal te formaliseren maar die zijn niet zo geschikt voor een elementaire behandeling. Je zou echter kunnen afspreken dat je met dy = f'(x)∙dx bedoelt dat de grootheid x (en daarmee ook y) afhangt van een andere variabele, zeg t, zodanig dat dy/dt = f'(x) ∙ dx/dt. Dan is dus y'(t) = f'(x)∙x'(t) oftewel y'(t) = f'(x(t))∙x'(t) en dat is niets anders dan de kettingregel voor y(t) = f(x(t)). Dit is altijd mogelijk, want we kunnen eenvoudig x(t) = t nemen. Betrekkingen tussen differentialen van grootheden kun je zo dus zien als betrekkingen tussen de afgeleiden van die grootheden waarbij de onafhankelijke variabele impliciet is.
We kunnen nu bijvoorbeeld schrijven d(u∙v) = du∙v + u∙dv waarbij u en v functies zijn van een impliciete variabele (i.e. als we deze impliciete variabele t noemen: d(u∙v)/dt = du/dt ∙ v + u ∙ dv/dt) en dit geeft dan ∫ d(u∙v) = ∫ du∙v + ∫ u∙dv en dus ∫ u∙dv = u∙v - ∫ v∙du aangezien ∫ d(u∙v) = u∙v, waarbij we de integratieconstante achterwege laten omdat deze al in ∫ v∙du zit.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 24-06-2012 19:44:32 ]
Deze post kan dus ook in de bundel. En die tussenstap maak ik omdat ik anders sneller fouten maak.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Deze nog iemand tips?
Hoe laat ik zien dat:
gelijk is aan
Achtergrond: beiden zijn uitdrukkingen voor het aantal blokken in een t-(v,k,lambda) design (X, B) dat geen punten overeenkomt met een j-subset van X, J.
De eerste uitdrukking komt van een dubbeltelargument het tweede van het gebruik van het principe van inclusie exclusie. Dit is het enige wat ik me nog afvraag, hoe je ze omschrijft in elkaar.
Hoe laat ik zien dat:
gelijk is aan
Achtergrond: beiden zijn uitdrukkingen voor het aantal blokken in een t-(v,k,lambda) design (X, B) dat geen punten overeenkomt met een j-subset van X, J.
De eerste uitdrukking komt van een dubbeltelargument het tweede van het gebruik van het principe van inclusie exclusie. Dit is het enige wat ik me nog afvraag, hoe je ze omschrijft in elkaar.
Als het beide uitdrukkingen zijn voor hetzelfde aantal, heb je daarmee bewezen dat ze gelijk aan elkaar zijn.
Ik had alleen die notatie nooit gezien, voor de rest ben ik volledig op de hoogte. Dat bewijs dat infinitesimalen bestaan is wel leuk, heb dat een keer gezien. Als het er was geweest had ik ook een vak nonstandaard analyse gedaanquote:
.
Als je de afgeleide van Fréchet gebruikt, hebben dy en dx wel gewoon een betekenis, net als dy/dx.quote:
[..]
Maar zo hebben dy en dx afzonderlijk geen betekenis (meer), zodat je nog moet verantwoorden wat je dan precies verstaat onder dy = f'(x)∙dx en hoe dit equivalent is met dy/dx = f'(x) zonder daarbij terug te vallen op intuïtieve begrippen als 'oneindig kleine' grootheden. Er zijn verschillende manieren om het begrip differentiaal te formaliseren maar die zijn niet zo geschikt voor een elementaire behandeling. Je zou echter kunnen afspreken dat je met dy = f'(x)∙dx bedoelt dat de grootheid x (en daarmee ook y) afhangt van een andere variabele, zeg t, zodanig dat dy/dt = f'(x) ∙ dx/dt. Dan is dus y'(t) = f'(x)∙x'(t) oftewel y'(t) = f'(x(t))∙x'(t) en dat is niets anders dan de kettingregel voor y(t) = f(x(t)). Dit is altijd mogelijk, want we kunnen eenvoudig x(t) = t nemen. Betrekkingen tussen differentialen van grootheden kun je zo dus zien als betrekkingen tussen de afgeleiden van die grootheden waarbij de onafhankelijke variabele impliciet is.
Het lijkt me toch dat je hier het een en ander wel kunt vereenvoudigen. Schrijf die binomiaalcoëfficiënten maar eens uit in faculteiten. In beide uitdrukkingen zie je dan al een (k-t)!/(v-t)! verschijnen, en in die onderste uitdrukking valt er in elke term een (t-i)! tegen elkaar weg.quote:
Deze nog iemand tips?
Hoe laat ik zien dat:
gelijk is aan
Achtergrond: beiden zijn uitdrukkingen voor het aantal blokken in een t-(v,k,lambda) design (X, B) dat geen punten overeenkomt met een j-subset van X, J.
De eerste uitdrukking komt van een dubbeltelargument het tweede van het gebruik van het principe van inclusie exclusie. Dit is het enige wat ik me nog afvraag, hoe je ze omschrijft in elkaar.
quote:
Deze nog iemand tips?
Hoe laat ik zien dat:
gelijk is aan
Achtergrond: beiden zijn uitdrukkingen voor het aantal blokken in een t-(v,k,lambda) design (X, B) dat geen punten overeenkomt met een j-subset van X, J.
De eerste uitdrukking komt van een dubbeltelargument het tweede van het gebruik van het principe van inclusie exclusie. Dit is het enige wat ik me nog afvraag, hoe je ze omschrijft in elkaar.
Het moest overigens zijn (macht i niet j):quote:
[..]
Het lijkt me toch dat je hier het een en ander wel kunt vereenvoudigen. Schrijf die binomiaalcoëfficiënten maar eens uit in faculteiten. In beide uitdrukkingen zie je dan al een (k-t)!/(v-t)! verschijnen, en in die onderste uitdrukking valt er in elke term een (t-i)! tegen elkaar weg.
Dit is
Dus blijft over:
Oh en
Maar die som.... welke regel kan ik daar voor gebruiken?
Iets van: http://mathworld.wolfram.com/BinomialSums.html ?
[ Bericht 0% gewijzigd door Oneironaut op 24-06-2012 23:32:01 ]
Ik zou 
laten staan, en 
kun je schrijven als 
. De factor (v-k)! heb je ook in die eerste formule. Op die manier krijg je al een heel wat eenvoudigere identiteit die je moet bewijzen.
Als het goed is krijg je dus iets met de sommatie 
erin. Ga even na of dit klopt. Dit soort sommen zijn namelijk vrij algemeen uit te werken, als je het truukje weet.
Nog maar een vraagje, want ik loop hier vast.
Hoe kom je op die 17,55% (onderste zin)? Want dat staat er niet bij.
Hoe kom je op die 17,55% (onderste zin)? Want dat staat er niet bij.
GR niet, dat laatste dan denk ik.quote:
Misschien met je GR, of met een normale benadering?
Met de normale benadering krijg ik 17.2%. Lijkt mij prima maar ik weet niet wat ze van je verwachten. Omdat exact te doen lijkt me vrij vervelend.
Kan zijn dat ze dan het gemiddelde hebben genomen van de normale benadering voor X = 11 en X = 10. Exact hoeft volgens mij niet.quote:
Met de normale benadering krijg ik 17.2%. Lijkt mij prima maar ik weet niet wat ze van je verwachten. Omdat exact te doen lijkt me vrij vervelend.
Het is echt een exact resultaat, lijkt me dus GR-werk of pc-werk.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Oh dan heeft de docent het met de GR gedaan denk ik. Maar dat mogen wij niet.quote:Op maandag 25 juni 2012 15:52 schreef GlowMouse het volgende:
Het is echt een exact resultaat, lijkt me dus GR-werk of pc-werk.
Simpel vraagje denk ik:
Wat heeft de waarde constant voor een betekenis in een logistic regression?
[ Bericht 17% gewijzigd door Soldier2000 op 25-06-2012 17:19:13 ]
Wat heeft de waarde constant voor een betekenis in een logistic regression?
[ Bericht 17% gewijzigd door Soldier2000 op 25-06-2012 17:19:13 ]
BlaBlaBla
bereken de odds ratio dan voor X=0quote:
[..]
Ik ben opzoek naar de algemene betekenis van constant
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Je hoeft toch helemaal niets te berekenen om te weten wat de waarde constant wil zeggen in de bovenstaande tabel? Ik heb de data set namelijk niet.quote:
The response to the test mailing = -3.648 when X (M, R, F etc.) =0 ?
Is het niet zo dat de constante waarde wel onderdeel van de formule is, maar geen interpreteerbare betekenis heeft?
dan weet ik namelijk al voldoende [ Bericht 12% gewijzigd door Soldier2000 op 25-06-2012 20:41:07 ]
BlaBlaBla
Nee, bereken de odds ratio symbolisch.quote:
[..]
Is het niet zo dat de constante waarde wel onderdeel van de formule is, maar geen interpreteerbare betekenis heeft?
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Het klinkt zo gemakkelijk, maar mijn statistiek is zo snel zo ver weggezaktquote:Op maandag 25 juni 2012 20:44 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
Nee, bereken de odds ratio symbolisch.
BlaBlaBla
Dadelijk even m'n vorige vraag terug zoeken, m'n internet lag er een aantal dagen uit. Voor nu even een nieuwe vraag, maar zie me als een investering - wanneer mijn kennis op niveau is kom ik hier helpen.
Hoe bereken ik arctan (3/4) uit m'n hoofd? Een sinus of cosinus is gesneden koek, maar de tangens ligt me wat minder lekker.
Hoe bereken ik arctan (3/4) uit m'n hoofd? Een sinus of cosinus is gesneden koek, maar de tangens ligt me wat minder lekker.
"Social order at the expense of liberty is hardly a bargain."
Wolfram alpha geeft geen exact antwoord (dus die zal niet bestaan of vrij gecompliceerd zijn), dus je zult het dan moeten benaderen net zoals je rekenmachine dat doet. Je kan hiervoor een Taylorreeks gebruiken... die van de arctan convergeert heel snel dus na een aantal termen ben je wel klaar (vooral als x dichtbij 0 zit).quote:Op maandag 25 juni 2012 22:19 schreef Quir het volgende:
Dadelijk even m'n vorige vraag terug zoeken, m'n internet lag er een aantal dagen uit. Voor nu even een nieuwe vraag, maar zie me als een investering - wanneer mijn kennis op niveau is kom ik hier helpen.
Hoe bereken ik arctan (3/4) uit m'n hoofd? Een sinus of cosinus is gesneden koek, maar de tangens ligt me wat minder lekker.
Die snelle benadering geeft al arctan(3/4) = 0.656 terwijl het eigenlijk 0.643 is.
Sommige waarden kan je wel makkelijk exact berekenen, zoals arctan(1) of arctan(0) (probeer maar).
Ah, zo - nouja, de vraag in het boek was arccos(-arctan(3/4)), maar ik probeerde de bijbehorende hoek te vinden. Als dat niet zo makkelijk gaat, dan laat ik 't mooi zitten. En arctan 1 of 0 had ik al door ((pi/4) en 0). Dank voor je antwoord.
"Social order at the expense of liberty is hardly a bargain."
Misschien kan onze gonio-vriend Riparius je beter helpenquote:
Ah, zo - nouja, de vraag in het boek was arccos(-arctan(3/4)), maar ik probeerde de bijbehorende hoek te vinden. Als dat niet zo makkelijk gaat, dan laat ik 't mooi zitten. En arctan 1 of 0 had ik al door ((pi/4) en 0). Dank voor je antwoord.
Weet je zeker dat er niet naar cos(-arctan(3/4)) wordt gevraagd?quote:
Ah, zo - nouja, de vraag in het boek was arccos(-arctan(3/4)), maar ik probeerde de bijbehorende hoek te vinden. Als dat niet zo makkelijk gaat, dan laat ik 't mooi zitten. En arctan 1 of 0 had ik al door ((pi/4) en 0). Dank voor je antwoord.
Gevraagd om te berekenen:
met C een curve in 
en 
, 
Mijn berekening:
, 
dus 
en dus 
dus de integraal wordt:
Klopt dit tot hier?
Mijn berekening:
dus de integraal wordt:
Klopt dit tot hier?
Ja, maar je maakt het jezelf onnodig moeilijk. Je heb namelijk:quote:
Gevraagd om te berekenen:
Mijn berekening:
dus de integraal wordt:
Klopt dit tot hier?
ds = (dx2 + dy2)1/2 = (1 + (dy/dx)2)1/2∙dx
en aangezien dy/dx = ½∙x-1/2 krijg je dan meteen de integraal die je geeft, maar dan met x als variabele.
Oke de integraal klopt dus. Maar dan hoe reken ik deze uit? Wolfram geeft http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+sqrt%281+%2B+4*t%29+*+sqrt%281+%2B+1%2F%284*t%29%29+dt maar daar begrijp ik de stap niet van 
naar 
niet. De integraal moet simpeler op te lossen zijn toch ook trouwens?
Het is beter om gebruik te maken van:quote:
[..]
Wolfram alpha geeft geen exact antwoord (dus die zal niet bestaan of vrij gecompliceerd zijn), dus je zult het dan moeten benaderen net zoals je rekenmachine dat doet. Je kan hiervoor een Taylorreeks gebruiken... die van de arctan convergeert heel snel dus na een aantal termen ben je wel klaar (vooral als x dichtbij 0 zit).
Die snelle benadering geeft al arctan(3/4) = 0.656 terwijl het eigenlijk 0.643 is.
Sommige waarden kan je wel makkelijk exact berekenen, zoals arctan(1) of arctan(0) (probeer maar).
arctan(3/4) = 2∙arctan(1/3)
aangezien de reeks (zoals je zelf opmerkt) sneller convergeert naarmate x dichter bij 0 ligt.
Dan krijg je:
arctan(3/4) ≈ 2∙(1/3 - (1/3)3/3 + (1/3)5/5) = 782/1215 = 0,6436 ...
Nog veel beter wordt het als je gebruik maakt van
arctan(3/4) = π/4 - arctan(1/7)
Aangezien we niet eerst een benadering voor π uit willen rekenen (waarvoor we ook weer een reeksontwikkeling nodig zouden hebben) maken we hiervoor gebruik van de benadering 355/113 (het getal van Metius). Dan krijgen we:
arctan(3/4) ≈ (1/4)∙(355/113) - (1/7 - (1/7)3/3 + (1/7)5/5) = 0,643501...
En zie daar, we hebben arctan(3/4) in zes decimalen nauwkeurig.
[ Bericht 15% gewijzigd door Riparius op 26-06-2012 03:32:50 ]
Je moet niet meteen je probleem in WolframAlpha (of een ander computeralgebra systeem) stoppen en dan proberen dat slaafs na te doen met pen en papier. Een mens is nog altijd creatiever dan een computer (maar jij kennelijk niet ...).quote:
Oke de integraal klopt dus. Maar dan hoe reken ik deze uit? Wolfram geeft http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+sqrt%281+%2B+4*t%29+*+sqrt%281+%2B+1%2F%284*t%29%29+dt maar daar begrijp ik de stap niet van
Ik ga eerst je integrand in een wat hanteerbaarder vorm brengen. We hebben:
√(1 + 4t)∙√(1 + 1/(4t)) = √(1 + 1/(4t) + 4t + 1) = √(4t + 2 + 1/(4t))
Nu gaan we de termen onder het wortelteken onder één noemer brengen. Dit geeft:
4t + 2 + 1/(4t) = (16t2 + 8t + 1)/(4t) = (4t + 1)2/(4t)
Dus krijgen we:
√(4t + 2 + 1/(4t)) = (4t + 1)∙(4t)-1/2 = ½∙(4t + 1)∙t-1/2 = 2∙t1/2 + ½∙t-1/2
De integraal wordt nu:
∫01 (2∙t1/2 + ½∙t-1/2)∙dt = [(4/3)∙t3/2 + t1/2]01 = 4/3 + 1 = 7/3.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 26-06-2012 02:33:30 ]
Volgens mij zou het rekenmachine het ook niet eens zijn met arccos(-arctan(3/4)), dus, ja, het moest inderdaad cos zijn. Foutje.quote:
[..]
Weet je zeker dat er niet naar cos(-arctan(3/4)) wordt gevraagd?
"Social order at the expense of liberty is hardly a bargain."
Je begrijpt er kennelijk nog niet veel van, want -arctan(3/4) ligt tussen -π/4 en 0 en daarmee binnen het domein [-1,1] van de (reële) arcus cosinus functie, zodat arccos(-arctan(3/4)) gewoon (numeriek) is te bepalen.quote:
[..]
Volgens mij zou de rekenmachine het ook niet eens zijn met arccos(-arctan(3/4)), dus, ja, het moest inderdaad cos zijn. Foutje.
Maar goed, het ging dus om cos(-arctan(3/4)).
Laten we zeggen dat
arctan(3/4) = α,
dan is
tan α = 3/4, met -½π < α < ½π
Nu maken we gebruik van de identiteit
1 + tan2α = sec2α,
waarvoor we uiteraard ook kunnen schrijven
1 + tan2α = 1/cos2α
We weten dat tan α = 3/4, dus hebben we
1/cos2α = 1 + (3/4)2 = 25/16,
en dus
cos2α = 16/25
Nu hebben we ook -½π < α < ½π en dus is cos α > 0, zodat we vinden
cos α = 4/5
De cosinusfunctie is een even functie, en dus is ook
cos(-α) = 4/5
En aangezien arctan(3/4) = α heb je dus:
cos(-arctan(3/4)) = cos(-α) = 4/5.
Voila.
Je zou ook een plaatje kunnen tekenen, en dan zie je dat je te maken hebt met een rechthoekige driehoek waarvan de zijden zich verhouden als 3 : 4 : 5 aangezien tan α = 3/4 gelijk is aan de overstaande rechthoekszijde gedeeld door de aanliggende rechthoekszijde van hoek α. En aangezien de cosinus van deze hoek gelijk is aan de aanliggende rechthoekszijde gedeeld door de schuine zijde, weet je dan direct dat cos α = 4/5.
[ Bericht 5% gewijzigd door Riparius op 26-06-2012 14:02:15 ]
Pagina 149 zegt [0, pi] en daar ligt -arctan(3/4) voor zover ik weet niet in. Als ik danwel 't boek iets fout heeft hoor ik het graag.
SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt."Social order at the expense of liberty is hardly a bargain."
En ohja, sec ben ik nog niet tegengekomen in 't boek, maar de rest wel. Ik volg het verder, dank!
"Social order at the expense of liberty is hardly a bargain."
quote:Op dinsdag 26 juni 2012 12:35 schreef Quir het volgende:
Pagina 149 zegt [0, pi] en daar ligt -arctan(3/4) voor zover ik weet niet in. Als ik danwel 't boek iets fout heeft hoor ik het graag.Nee, je begrijpt het niet. Het pleit ook niet voor je dat je kennelijk meer vertrouwen hebt in een - foutief - gebruik van je rekenmachine dan in mijn uitleg. Ik vermoed dat je je rekenmachine op graden hebt laten staan in plaats van op radialen, en dan is het nogal wiedes dat de machine je invoer niet accepteert. Dit is weer typisch zo'n hersenloos gebruik van een calculator.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.
Je hebt -½π < arctan(x) < ½π voor elke reële x, en arctan(0) = 0 en arctan(1) = ¼π. De arcus tangens functie is strict monotoon stijgend zodat arctan(0) < arctan(¾) < arctan(1) en dus 0 < arctan(¾) < ¼π en dus -¼π < -arctan(¾) < 0. En aangezien 0 < π < 4 is dus -1 < -¼π < 0 en daarmee -1 < -arctan(¾) < 0.
[ Bericht 14% gewijzigd door Riparius op 26-06-2012 14:56:31 ]
Ik had dus een paar uur geleden m'n wiskunde mondeling.
1. casus, wat eenvoudige goniometrie, raaklijnen en integralen. Op her en der een haakje en een k*2π na foutloos.
2. meetkunde: totaal verneukt (zoals iedereen)
3. wentelen, piece of cake.,
3. logaritmen. peanuts
4. optimaliseren, slordig begonnen, na een vermaning foutloos.
5. Mijn klok! Kreeg wat historische vragen(hij gaf toe dat mijn kennis van de wiskundige historie verder was dan de zijne)
6. Mercatorprojectie. Hij was onder de indruk, ondanks de geringe hoeveelheid tijd kreeg ik toch nog een vraag over poolcoördinaten. Mijn werkstuk is daarna ingenomen voor nadere observatie (hij wilde wel even kijken wat ik van deze 'hogere' wiskunde bakte.
Rip, bedankt!
1. casus, wat eenvoudige goniometrie, raaklijnen en integralen. Op her en der een haakje en een k*2π na foutloos.
2. meetkunde: totaal verneukt (zoals iedereen)
3. wentelen, piece of cake.,
3. logaritmen. peanuts
4. optimaliseren, slordig begonnen, na een vermaning foutloos.
5. Mijn klok! Kreeg wat historische vragen(hij gaf toe dat mijn kennis van de wiskundige historie verder was dan de zijne)
6. Mercatorprojectie. Hij was onder de indruk, ondanks de geringe hoeveelheid tijd kreeg ik toch nog een vraag over poolcoördinaten. Mijn werkstuk is daarna ingenomen voor nadere observatie (hij wilde wel even kijken wat ik van deze 'hogere' wiskunde bakte.
Rip, bedankt!
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
Graag gedaan. Maar wat hielden die meetkunde opgaven in?quote:
Ik had dus een paar uur geleden m'n wiskunde mondeling.
1. casus, wat eenvoudige goniometrie, raaklijnen en integralen. Op her en der een haakje en een k*2π na foutloos.
2. meetkunde: totaal verneukt (zoals iedereen)
3. wentelen, piece of cake.,
3. logaritmen. peanuts
4. optimaliseren, slordig begonnen, na een vermaning foutloos.
5. Mijn klok! Kreeg wat historische vragen(hij gaf toe dat mijn kennis van de wiskundige historie verder was dan de zijne)
6. Mercatorprojectie. Hij was onder de indruk, ondanks de geringe hoeveelheid tijd kreeg ik toch nog een vraag over poolcoördinaten. Mijn werkstuk is daarna ingenomen voor nadere observatie (hij wilde wel even kijken wat ik van deze 'hogere' wiskunde bakte.
Rip, bedankt!
| Forum Opties | |
|---|---|
| Forumhop: | |
| Hop naar: | |