[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

Ik kom even niet helemaal uit een opgave m.b.t. complexe getallen:

Schrijf z in de vorm re^iφ en in de vorm x + iy als:

a) z = ((√2-i√2)¹⁵(-√3+i)⁵)/(-2√3+2i)¹⁰

Wat ik zelf al geprobeerd heb is:

Stel dat z₁ = √2-i√2, z₂ = -√3+i, z₃ = -2√3+2i dan is z=(z₁¹⁵z₂⁵)/z₃¹⁰

Vervolgens heb ik respectievlijk z₁¹⁵, z₂⁵ en z₃¹⁰ berekend en met behulp van de stelling van De Moivre in de vorm x + iy geschreven. Dus:

z₁¹⁵ = (√2-i√2)¹⁵

|z₁| = r₁ = √(√2²+√2²) = 2
arg(z₁) = arctan(-√2/√2) = arctan(-1) = -π/4

z₁¹⁵ = 2¹⁵ (cos(-15π/4)+i*sin(-15π/4))
=2¹⁵(((1/2)√2)+i((1/2)√2))
=16384√2+16384i√2

Als ik dit dan voor alle uitdrukkingen gedaan heb krijg ik:

z=(z₁¹⁵z₂⁵)/z₃¹⁰
= ((16384√2+16384i√2)(16√3+16i))/(524288+524288i√3)

En nu kan ik dit wel uit proberen te rekenen met de rekenregels voor vermenigvuldigen en delen in C, maar ik denk dat de kans dat ik dan een fout maak in de getallen vrij groot is en dat de getallen zo groot worden dat ik er ook niet meer uitkom. Dus, is er een alternatieve manier/iets wat ik over het hoofd gezien heb waardoor ik deze opgave op kan lossen?

quote:

Op woensdag 18 november 2015 15:55 schreef Miraculously het volgende:
Ik kom even niet helemaal uit een opgave m.b.t. complexe getallen:

Schrijf z in de vorm re^iφ en in de vorm x + iy als:

a) z = ((√2-i√2)¹⁵(-√3+i)⁵)/(-2√3+2i)¹⁰

Wat ik zelf al geprobeerd heb is:

Stel dat z₁ = √2-i√2, z₂ = -√3+i, z₃ = -2√3+2i dan is z=(z₁¹⁵z₂⁵)/z₃¹⁰

Je ziet om te beginnen over het hoofd dat |z₁| = |z₂| = 2 terwijl z₃ = 2z₂ zodat |z₃| = 4 en daarmee vind je direct dat |z| = 1.

Verder hebben we arg(z₁) ≡ −¼π en arg(z₂) ≡ arg(z₃) ≡ ⅚π (modulo 2π, maak een tekening), en dan vinden we arg(z) ≡ 15·arg(z₁) + 5·arg(z₂) − 10·arg(z₃) ≡ (−15/4)·π − (25/6)·π ≡ (−95/12)·π ≡ (1/12)·π (mod 2π).

Om z = e^iπ/12 in cartesische vorm op te schrijven moeten we nu cos(π/12) = cos 15° en sin(π/12) = sin 15° nog bepalen, en dat gaat het eenvoudigst met de identiteiten voor cos(α−β) en sin(α−β) en de gekende waarden voor de cosinus en de sinus van 45° en 30°, en dan vinden we cos 15° = ¼√6 + ¼√2 en sin 15° = ¼√6 − ¼√2, zodat

z = (¼√6 + ¼√2) + i(¼√6 − ¼√2)

Voilà.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 18-11-2015 20:55:53 ]

quote:

Op woensdag 18 november 2015 16:38 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je ziet om te beginnen over het hoofd dat |z₁| = |z₂| = 2 terwijl z₃ = 2z₂ zodat |z₃| = 4 en daarmee vind je direct dat |z| = 1.

Verder hebben we arg(z₁) ≡ −¼π en arg(z₂) ≡ arg(z₃) ≡ ⅚π (modulo 2π, maak een tekening), en dan vinden we arg(z) ≡ 15·arg(z₁) + 5·arg(z₂) − 10·arg(z₃) ≡ (−15/4)·π − (25/6)·π ≡ (−95/12)·π ≡ (1/12)·π (mod 2π).

Om z = e^iπ/12 in cartesische vorm op te schrijven moeten we nu cos(π/12) = cos 15° en sin(π/12) = sin 15° nog bepalen, en dat gaat het eenvoudigst met de identiteiten voor cos(α−β) en sin(α−β) en de gekende waarden voor de cosinus en de sinus van 45° en 30°, en dan vinden we cos 15° = ¼√6 + ¼√2 en sin 15° = ¼√6 − ¼√2, zodat

z = (¼√6 + ¼√2) + i(¼√6 − ¼√2)

Voilà.

Bedankt, ik snap nu bijna alles.

Wat ik niet snap is hoe (−95/12)·π herleid tot de hoofdwaarde (1/12)·π

quote:

Op donderdag 19 november 2015 00:37 schreef Miraculously het volgende:

[..]

Bedankt, ik snap nu bijna alles.

Wat ik niet snap is hoe (−95/12)·π wordt herleid tot de hoofdwaarde (1/12)·π

Heel eenvoudig, het argument van een complex getal is slechts bepaald tot op een geheel veelvoud van 2π, want als je in het complexe vlak een punt over een geheel aantal slagen roteert rond de oorsprong, in tegenwijzerzin (positief) of in wijzerzin (negatief), dan kom je weer op hetzelfde punt uit. Als je nu vier maal 2π oftewel 8π oftewel (96/12)·π optelt bij (−95/12)·π dan zie je dat (−95/12)·π ≡ (1/12)·π (mod 2π).

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 19-11-2015 01:03:27 ]

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Iemand die mij snel met deze vergelijking kan helpen? Volgens het uitwerkingsboekje wordt de volgende stap r^2 = 490 000. Om vervolgens met 700 als antwoord uit te komen. Weet niet precies hoe ze daar aan komen.

Bij de linker en rechterkant met bijv. 10 optellen om vervolgens dan die 10 en de linkerkant te vermenigvuldigen met r^2 en zo verder uit te werken word hem niet, denk ik

quote:

Op donderdag 19 november 2015 18:17 schreef Nelvalhil het volgende:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Iemand die mij snel met deze vergelijking kan helpen? Volgens het uitwerkingsboekje wordt de volgende stap r^2 = 490 000. Om vervolgens met 700 als antwoord uit te komen. Weet niet precies hoe ze daar aan komen.

Bij de linker en rechterkant met bijv. 10 optellen om vervolgens dan die 10 en de linkerkant te vermenigvuldigen met r^2 en zo verder uit te werken word hem niet, denk ik

log (x) == 0 -> x = 1

quote:

Op donderdag 19 november 2015 18:17 schreef Nelvalhil het volgende:

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Iemand die mij snel met deze vergelijking kan helpen? Volgens het uitwerkingsboekje wordt de volgende stap r^2 = 490 000. Om vervolgens met 700 als antwoord uit te komen. Weet niet precies hoe ze daar aan komen.

Bij de linker en rechterkant met bijv. 10 optellen om vervolgens dan die 10 en de linkerkant te vermenigvuldigen met r^2 en zo verder uit te werken word hem niet, denk ik

10log(490 000/R^2) = 0
Hier staat in principe hetzelfde als 10^0 = 490 000/R^2.

Als je 10 tot de macht 0 verheft, is dat 1, dus 490 000/R^2 = 1

Dan volgt daaruit 490 000 = R^2 (beide kanten vermenigvuldigen met R^2.

quote:

Op donderdag 19 november 2015 18:22 schreef Lokasenna het volgende:
10^0 = 490 000/R^2.

Scherp, deze had ik niet gezien. Dat is het hem, inderdaad. Dank je wel

Hallo allemaal, ik hoop dat jullie mij kunnen helpen.

Helaas is het boek in het Engels, dus ik vertaal het even naar het NL.

De doorlopende samengestelde rente is 12%
10a. Je investeert ¤1.000 met deze rente. Wat is de investering waard na 5 jaar?

In eerste instantie dacht ik gewoon: 1.000x1,12^5. Maar dit klopt niet.

Als ik naar het antwoord kijk is dit als volgt:
FV (future value, toekomstige waarde) = 1.000e^(0,12-5) = 1.000e^6 = ¤1.822,12

Alleen ik kom niet uit op het juiste antwoord... Inmiddels ben ik al wel achter gekomen wat 'e' is: (1+(r/m))^m. Als je dit uitrekent komt ik uit op 1,12 dus ik denk dat ze hier 1+ weg hebben gelaten. Alleen toch kom ik niet op het juiste antwoord.

Is er iemand hier die mij dit kan uitleggen?

quote:

Op maandag 23 november 2015 18:36 schreef mary1995 het volgende:
Hallo allemaal, ik hoop dat jullie mij kunnen helpen.

Helaas is het boek in het Engels, dus ik vertaal het even naar het NL.

De doorlopende samengestelde rente is 12%
10a. Je investeert ¤1.000 met deze rente. Wat is de investering waard na 5 jaar?

In eerste instantie dacht ik gewoon: 1.000x1,12^5. Maar dit klopt niet.

Als ik naar het antwoord kijk is dit als volgt:
FV (future value, toekomstige waarde) = 1.000e^(0,12-5) = 1.000e^6 = ¤1.822,12

Alleen ik kom niet uit op het juiste antwoord... Inmiddels ben ik al wel achter gekomen wat 'e' is: (1+(r/m))^m. Als je dit uitrekent komt ik uit op 1,12 dus ik denk dat ze hier 1+ weg hebben gelaten. Alleen toch kom ik niet op het juiste antwoord.

Is er iemand hier die mij dit kan uitleggen?

Wat hier wordt berekend is



oftewel



en dan kom je inderdaad, afgerond op twee decimalen, op 1822,12 (vergelijk dit). Je hebt namelijk



en dus



Het getal



is een wiskundige constante, namelijk het grondtal van de natuurlijke logaritme, en wordt ook wel het getal van Euler genoemd. Zie hier, en voor jouw toepassing met name dit.

[ Bericht 7% gewijzigd door Riparius op 24-11-2015 16:20:04 ]

quote:

Op maandag 23 november 2015 21:00 schreef Riparius het volgende:

[..]

Wat hier wordt berekend is



oftewel



en dan kom je inderdaad, afgerond op twee decimalen, op 1822,12 (vergelijk dit). Je hebt namelijk



en dus



Het getal



is een wiskundige constante, namelijk het grondtal van de natuurlijke logaritme, en wordt ook wel het getal van Euler genoemd. Zie hier, en voor jouw toepassing met name dit.

Dankjewel! Ik begin het te begrijpen inmiddels . Alleen apart dat de docent hier niets over heeft gezegd in de les. Maargoed, ik begrijp het inmiddels.

Hoe kan ik achter de volgende onbekenden komen?

quote:

Op woensdag 25 november 2015 19:40 schreef RustCohle het volgende:
Hoe kan ik achter de volgende onbekenden komen?

[ afbeelding ]

Niet.

Twee vergelijkingen, drie onbekenden. Als je niet meer criteria hebt dan dit kun je hooguit een expressie formuleren die één onbekende uitdrukt in de andere twee.

quote:

Op woensdag 25 november 2015 19:42 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Niet.

Twee vergelijkingen, drie onbekenden. Als je niet meer criteria hebt dan dit kun je hooguit een expressie formuleren die één onbekende uitdrukt in de andere twee.

.

quote:

Op woensdag 25 november 2015 19:44 schreef RustCohle het volgende:

[..]

.

[ afbeelding ]

[ afbeelding ]

Juist ja.

Dus, wat wil je nu nog?

quote:

Op woensdag 25 november 2015 19:45 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Juist ja.

Dus, wat wil je nu nog?

Hoe je tot Xa, Xb en Xc komt. Dit is maar het antwoordenmodel..

quote:

Op woensdag 25 november 2015 19:46 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Hoe je tot Xa, Xb en Xc komt. Dit is maar het antwoordenmodel..

Je hebt drie (lineaire) vergelijkingen in drie onbekenden. Dat heb je echt wel eens eerder gezien ...

quote:

Op woensdag 25 november 2015 19:46 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Hoe je tot Xa, Xb en Xc komt. Dit is maar het antwoordenmodel..

Een voor een substitueren. Ook zijn er wel opties denkbaar waarbij je twee vergelijkingen optelt of aftrekt.

Bijvoorbeeld zo: uit de sombetrekking volgt dat xc = 1 - xa - xb

Substitueren in de bovenste levert
0,8xa + 1,5xb + (1 - xa - xb) = 0, oftewel
0,5xb = 0,2xa - 1, oftewel
xb = 0,4xa - 2

Die substitueer je in de tweede, en dan kom je er wel uit. En Riparius komt je zo vertellen dat het sneller kan

quote:

Op woensdag 25 november 2015 19:46 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Hoe je tot Xa, Xb en Xc komt. Dit is maar het antwoordenmodel..

Je begint even met beide leden van de eerste en de tweede vergelijking met 10 te vermenigvuldigen om de breuken kwijt te raken. Beide leden van de derde vergelijking vermenigvuldigen we ook even met 10 zodat x_C in elke vergelijking de coëfficiënt 10 heeft. Dan hebben we



Vervolgens trek je de leden van de derde vergelijking af van de eerste vergelijking en trek je ook de leden van de derde vergelijking af van de tweede vergelijking. Dan krijg je



Vervolgens tel je de leden van deze twee laatste vergelijkingen bij elkaar op en dan krijg je



zodat



De rest kun je nu zelf wel. Dat is gewoon een kwestie van de gevonden waarde van x_A invullen in één van de twee bovenstaande vergelijkingen in x_A en x_B. Heb je ook x_B gevonden, dan vul je x_A en x_B beide in in de derde van je oorspronkelijke vergelijkingen x_A + x_B + x_C = 1 en dan vind je ook x_C.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 26-11-2015 17:30:28 ]

Is deze notatie correct?

quote:

Op donderdag 26 november 2015 21:52 schreef netchip het volgende:
Is deze notatie correct?

Ja. Je hebt hier d(e^x) = e^xdx en ∫ u∙dv = u∙v − ∫ v∙du met u = x en v = e^x. Zie ook hier.

quote:

Op donderdag 26 november 2015 21:52 schreef netchip het volgende:
Is deze notatie correct?

Ligt eraan, hoe je je differentialen hebt gedefinieerd.

quote:

Op donderdag 26 november 2015 22:25 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Ligt eraan, hoe je je differentialen hebt gedefinieerd.

Hoe bedoel je?

quote:

Op donderdag 26 november 2015 22:38 schreef netchip het volgende:

[..]

Hoe bedoel je?

Dat de operatie



niet gedefinieerd is voor alle definities van integralen. Het is bijvoorbeeld niet gedefinieerd voor Riemann-integralen, maar wel voor Riemann-Stieltjes-integralen of Lebesgue-intergralen of integralen op een oriënteerbare differentieerbare variëteit.

quote:

Op vrijdag 27 november 2015 11:59 schreef Mathemaat het volgende:

[..]

Dat de operatie



niet gedefinieerd is voor alle definities van integralen. Het is bijvoorbeeld niet gedefinieerd voor Riemann-integralen, maar wel voor Riemann-Stieltjes-integralen of Lebesgue-intergralen of integralen op een oriënteerbare differentieerbare variëteit.

Voor continu differentieerbare functies f is er niets mis met de notatie df. Het wordt pas een probleem zodra f sprongen vertoont.