[Centraal] Bèta 'huiswerk en vragen topic'

dankjewel
helpt mij enorm
nu kan ik verderwerken
aan dat hoofdstuk

had nog 1 vraagje dan eigenlijk

hoe begin je aan zoiets ?
Bereken de oppervlakte begrensd door de parabool met vgl y = x^2 - 4 en de x-as

en moet je op dezelfde manier een volume berekenen?
bv: Bereken het volume van het lichaam dat ontstaat door het omwentelen om de x-as van het vlakdeel ingelosten door de grafieken van f en g:
f: x->x^3
g: x-> x^2 + 2x
of moet dat met een volledig andere formule ?

[ Bericht 59% gewijzigd door haphazard op 14-12-2005 17:52:56 ]

Ik neem aan dat je integratierekening hebt gehad. Voor y = x^2 - 4. Bereken eens waar dat de x-as snijdt. Lijken dat geen zinnige punten als integratiegrens?

Voor die laatste, dat wordt een omwentelingslichaam, dus daar komt nog een factor met pi bij kijken een een kwadraat. Maar het is vooral van belang om de precieze grenzen van het gebied te vinden. Zie ook Wikipedia.

quote:

Op woensdag 14 december 2005 18:26 schreef Johan-Derksen het volgende:
Wat mn voorganger zegt... Die formule in wiki is alles wat je moet weten.
Succes

Kun jij hier misschien iets mee?

quote:

Op zaterdag 10 december 2005 19:10 schreef Haushofer het volgende:
Een vraagje over wat differentiaalgeometrie

Ik zie hier in mn dictaat ( geomtry and group theory ) het volgende:
De voorwaarde voor het parallel transporteren van een vector V wordt gesteld als
DVⁱ/Dt = 0, waarbij t je parametrisatie is. Als T de connectie voorstelt, wordt dit zoiets als

(dx^j/dt)*[ d_jVⁱ+Tⁱ_jkV^k ] =0.

Vervolgens wordt een infinitesimale verplaatsing van de vector V als gevolg van een infinitesimale verplaatsing van x geschreven als ( lees "delta" voor d )

dVⁱ= - Tⁱ_jk(x) V^k dx^j

Mijn vraag is nou: waarom wordt hier de partiele afgeleide gebruikt voor deze infinitesimale translatie, en niet de covariante afgeleide?

Edit: sowieso heb ik nog niet helemaal goed door waarom er de ene keer Lie-afgeleides worden gebruikt of uitwendige afgeleides, en de andere keer ( zoals in de algemene relativiteitstheorie ) covariante afgeleides. Help

Algebra vraagje:

Stel ik heb een monisch polynoom f in Q[X] met n = deg(f) verschillende complexe nulpunten. Bewijs: Het teken van D(f) (de discriminant van f) is gelijk aan (-1)^s, waarbij 2s het aantal niet reeele nulpunten van f is.

Ik weet wel dat als a een nulpunt is van f dat dan de complex geconjugeerde a* ook een nulpunt is van f. Dit betekent dat voor de term (a - a*)^2 = (2 Im(a)i )^2 = - 4 Im (a)^2. Dus van al deze complexe paren krijg ik al een factor van (-1)^s bij het teken van de discriminant. Ik weet alleen niet echt hoe ik kan laten zien dat alle andere factoren het teken van de discriminant niet verder veranderen.

quote:

Op woensdag 14 december 2005 20:53 schreef Pietjuh het volgende:
Algebra vraagje:

Stel ik heb een monisch polynoom f in Q[X] met n = deg(f) verschillende complexe nulpunten. Bewijs: Het teken van D(f) (de discriminant van f) is gelijk aan (-1)^s, waarbij 2s het aantal niet reeele nulpunten van f is.

Ik weet wel dat als a een nulpunt is van f dat dan de complex geconjugeerde a* ook een nulpunt is van f. Dit betekent dat voor de term (a - a*)^2 = (2 Im(a)i )^2 = - 4 Im (a)^2. Dus van al deze complexe paren krijg ik al een factor van (-1)^s bij het teken van de discriminant. Ik weet alleen niet echt hoe ik kan laten zien dat alle andere factoren het teken van de discriminant niet verder veranderen.

Ik heb moeten googlen wat de discriminant van een polynoom is . Het is als ik het goed begrepen heb het kwadraat van het product van alle mogelijke (a-b) met a en b een nulpunt van het polynoom.

Dit product moet je op splitsen in 4 categorieen:

a-a*, hetgeen jij al gedaan hebt.

(a-b)(a*-b)(a-b*)(a*-b*), a en b complex en geen geconjungeerden van elkaar

(b-a)(b-a*), b reeel en a complex

b-a, a en b reeel.

Aangezien (x*-y*)=(x-y)* en a.a* in R weet je dat het tweede soort reeel is. Het derde geval moet je even uit schrijven en dan zie je dat dat ook reeel is. Het vierde geval is trivialerwijs ook reeel. Als je de hele zooi kwadrateert spelen dus alleen dingen van de eerste soort een rol. .

[ Bericht 2% gewijzigd door Wolfje op 14-12-2005 21:44:21 (tellen in F_2 is eenvoudiger :(.) ]

thanks
Nu weer een vraagje over iets anders

Je bekijkt het polynoom X^3 - X -1 in C. Laat a1, a2 en a3 de nulpunten van het polynoom zijn. Beschouw p_k = a1^k + a2^k + a3^k. Laat zien dat p_k = p_{k-2} + p_{k-3} met p_{-1} = -1, p_0 = 3 en p_1 = 0.

Die identiteiten voor p_1, p_0 en p_-1 zijn niet zo moeilijk, door het polynoom om te schrijven in een algemeen polynoom, namelijk X^3 - s1 X^2 + s2 X - s3, waarbij de s_i de elementaire symmetrische polynomen zijn in de nulpunten van het polynoom. Dan zie je gelijk dat s1 = 0, s2 = -1 en s3 = 1. Dit geeft gelijk dat p_1 = s1 = 0 en p_{-1} = s2 / s3 = -1. p_0 is heel makkelijk want dat is gewoon 1+1+1.

Ik krijg het alleen niet voor elkaar om die recursievergelijking aan te tonen. Het zal vast wel erg makkelijk gaan ......

Als a een nulpunt is, dan weet je dat a^3 = a + 1. Vermenigvuldig dit hele zaakje met a^{k-3} en je krijgt je recursie .

Hoe heb ik dat over het hoofd kunnen zien

quote:

Op woensdag 14 december 2005 19:58 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Kun jij hier misschien iets mee?
[..]

Dat je het niet begrijpt is niet zo heel verwonderlijk: de wijze van noteren, met coordinaten en zo, laat geen conceptueel begrip van de meetkunde toe. Het lijkt wel alsof het wiskundige taalgebruik van sommige vakgebieden in een soort stenen tijdperk is blijven steken. En om heel eerlijk te zijn heb ik weinig zin om dit spijkerschrift te gaan ontcijferen.

quote:

Op donderdag 15 december 2005 10:52 schreef thabit het volgende:

[..]

Dat je het niet begrijpt is niet zo heel verwonderlijk: de wijze van noteren, met coordinaten en zo, laat geen conceptueel begrip van de meetkunde toe. Het lijkt wel alsof het wiskundige taalgebruik van sommige vakgebieden in een soort stenen tijdperk is blijven steken. En om heel eerlijk te zijn heb ik weinig zin om dit spijkerschrift te gaan ontcijferen.

Mja, zo'n reactie had ik al van je verwacht, maar ik druk het toch vrij simpel in woorden uit? Op een manifold wat geen kromming kent gebruik je de partiele afgeleide voor variaties, en dat is me volledig duidelijk. Waarom gebruik je op een gekromd manifold niet de covariante afgeleide, maar ook de partieel afgeleide?

Kun je niet eens een moeilijke vraag over eindige lichamen verzinnen, Haushofer? Daar kan ik je misschien wel mee helpen .

Geen moeilijke vraag over lichamen, maar een simpele vraag over cauchy functies.
Even ter herrinering: Laat R = Map( Z>0, Q). Een f in R heet een cauchy functie als voor alle e > 0 er een N bestaat zodat | f(m) - f(n) | < e voor alle m,n> N

Nu wil ik bewijzen dat als je 2 cauchy functies hebt, dat dan het product ook een cauchy functie is. Ik heb al veel geprobeerd met herschrijven met driehoeksongelijkheid maar ik kom er niet echt aan uit.

quote:

Op donderdag 15 december 2005 21:47 schreef Pietjuh het volgende:
Geen moeilijke vraag over lichamen, maar een simpele vraag over cauchy functies.
Even ter herrinering: Laat R = Map( Z>0, Q). Een f in R heet een cauchy functie als voor alle e > 0 er een N bestaat zodat | f(m) - f(n) | < e voor alle m,n> N

Nu wil ik bewijzen dat als je 2 cauchy functies hebt, dat dan het product ook een cauchy functie is. Ik heb al veel geprobeerd met herschrijven met driehoeksongelijkheid maar ik kom er niet echt aan uit.

Hmm... Ik zou kijken naar | f(m)g(m) - f(n)g(n) | =| g(N) |.|f(m)g(m)/g(N) - f(n)g(n)/g(N)|.

Het idee is dat g(m of n )/g(N) het verschil tussen f(m) en f(n) niet teveel op blaast, indien je de epsilonnetjes en dergelijke handig kiest. Ook moet je er rekening mee houden dat f of g naar 0 kunnen convergeren.

Ik heb dit probleem niet helemaal uitgewerkt dus ik weet niet zeker of dit inderdaad allemaal goed komt (ik ben ook maar een 5e orde benadering van thabit).

quote:

Op donderdag 15 december 2005 20:27 schreef Wolfje het volgende:
Kun je niet eens een moeilijke vraag over eindige lichamen verzinnen, Haushofer? Daar kan ik je misschien wel mee helpen .

Helaasch helaasch. Ik studeer alleen natuurkunde

Ik heb weer pww dus waarschijnlijk komen er weer een paar vragen van mij

Hier de eerste

De opdracht is:
Onder in een onweerswolk bevindt zich meestal veel negatieve lading, waardoor er een sterk homogeen elektrisch veld ontstaat tussen het aardopperlvak en de onderkant van de wolk, 300m hoger. De veldsterkte kan wel oplopen tot meer dan 10⁶ N/C.
Bereken de elektrische energie die vrijkomt als -1 C lading zich van onder uit de wolk naar het aardopperlvak verplaats bij E = 10⁶ N/C

Kan iemand mij helpen?

quote:

Op vrijdag 16 december 2005 15:24 schreef _superboer_ het volgende:
Ik heb weer pww dus waarschijnlijk komen er weer een paar vragen van mij

Hier de eerste

De opdracht is:
Onder in een onweerswolk bevindt zich meestal veel negatieve lading, waardoor er een sterk homogeen elektrisch veld ontstaat tussen het aardopperlvak en de onderkant van de wolk, 300m hoger. De veldsterkte kan wel oplopen tot meer dan 10⁶ N/C.
Bereken de elektrische energie die vrijkomt als -1 C lading zich van onder uit de wolk naar het aardopperlvak verplaats bij E = 10⁶ N/C

Kan iemand mij helpen?

Dat elektrische veld is dus 10⁶ N/C = 10⁶ Volt/meter. Dus het spanningsverschil weet je omdat je de afstand weet. Je weet ook dat een volt 1 Joule per Coulomb is. Zo moet het wel lukken, denk ik

quote:

Op vrijdag 16 december 2005 18:45 schreef Haushofer het volgende:

[..]

Dat elektrische veld is dus 10⁶ N/C = 10⁶ Volt/meter. Dus het spanningsverschil weet je omdat je de afstand weet. Je weet ook dat een volt 1 Joule per Coulomb is. Zo moet het wel lukken, denk ik

Owke, is gelukt, hartstikke bedankt

Heb ik gelijk weer een nieuwe vraag mbt de scheikunde

De opgave gaat over een krantenartikel over zure regen. Er wordt gegeven:
1 van de vervuilende stoffen die vworden bedoeld is stikstofdioxide. Deze stof reageert met water en zuurstof tot een oplossing van HNO₃. Geef de vergelijking van deze reactie!

Wie kan mij helpen?
Ik kom tot het volgende:

NO₂ (g) + H₂O (l) + O₂ (g) -> HNO₃ + ???
HNO₃ + H₂O (l) -> H₃O⁺ (aq) + NO₃^- (aq)
________________________________+
NO₂ (g) + H₂O (l) + O₂ (g) -> H₃O⁺ (aq) + NO₃^- (aq) + ???

Hoe moet dit verder of ben ik verkeerd bezig?

[ Bericht 2% gewijzigd door _superboer_ op 16-12-2005 20:59:05 ]

quote:

Op donderdag 15 december 2005 20:27 schreef Wolfje het volgende:
Kun je niet eens een moeilijke vraag over eindige lichamen verzinnen, Haushofer? Daar kan ik je misschien wel mee helpen .

jij studeert dus af in de coderingstheorie

Zo klopt het.

4 NO₂ (g) +2 H₂O (l) + O₂ (g) -> 4 HNO₃

Mensen ik heb morgen een toets en heb al 2 cijfers: 4.5 en 1.5.
Nu wil ik graag 2x een 10 dus zouden jullie me even willen helpen?

Ik moet van decimaal naar octaal, binair en hexadecimaal rekenen, en omgekeerd.

Van decimaal naar binair deel je het getal simpelweg door 2 en door de rest heb je een 0 of 1. Dit blijf je herhalen totdat het grondgetal 0 wordt.
Bij hexadecimaal pak je de uitkomst van naar binair en doe je [inster getal]x2⁰. Dat weet ik allemaal wel. _{ik laat de helft weg, ik weet het}

Maar, hoe pak ik het octale nu aan? Ik snap er helemaal niets van! Zal vast wel niet te moeilijk zijn, maar alvast bedankt

Gegeven: y = x^3 + x^2 - (2a-1)x
Gevraagd: bepaal a zodat de raaklijn aan de grafiek van de functie in x = 1 als richtingscoëfficient 1 heeft.
Hoe doe ik dit ? Heb altijd a gekregen, weet hier geen raad mee.

quote:

Op zondag 18 december 2005 17:44 schreef haphazard het volgende:
Gegeven: y = x^3 + x^2 - (2a-1)x
Gevraagd: bepaal a zodat de raaklijn aan de grafiek van de functie in x = 1 als richtingscoëfficient 1 heeft.
Hoe doe ik dit ? Heb altijd a gekregen, weet hier geen raad mee.

afgeleide is 3x^2 + 2x + (1 - 2a)
x=1 invullen geeft 6 - 2a
dus 6 - 2a = 1 dus a = 5/2

check y = x^3 + x^2 - 4x
afgeleide is 3x^2 + 2x - 4
1 invullen geeft 1

Waarom krijgt een resuskindje een wisseltransfusie met negatief bloed? Ik zelf dacht omdat het positieve bloed meteen afgebroken zou worden door de anti-stoffen, maar is dit juist?

Vraagje over categorieen. Stel ik heb een Abelse categorie met als objecten functoren van Delta^{op} -> Ab, met als morfismes natuurlijke transformaties tussen deze functoren. Dit is de categorie van simplicial abelian groups. Stel ik heb een short exact sequence in deze categorie:

0 --> F --> G --> H --> 0

Is dan voor elke [n] in Delta^[op} de sequence

0 --> F([n]) --> G([n]) --> H([n]) --> 0

een exact sequence van Abelse groepen? En hoe kan ik dit inzien?

Even een controllevraagje: Om bij een evenwichtsreactie de exotherme reactie te bevorderen moet toch de temperatuur omlaag?

Hey allemaal. Zijn hier misschien genieen die de volgende stelling uit de propositielogica kunnen bewijzen? De stelling is een tautologie, en heeft dus geen premisses:

|- (p -> q) V (q -> p)

Ik kom er echt niet uit

Waar blijven de bollebozen?

Ik dacht: ik kan hier vast wel een beetje nuttig zijn. Valt tegen meeste vragen zijn enigszins boven m'n niveau. Anyway, Woutabest kan ik wel wat nuttigs tegen zeggen

Kijk eerst wat de grootste macht van 8 is die je uit je getal kunt halen, en hoevaak je dat getal eruit kunt halen. Bij getallen tussen 8 en 64 is dit een aantal keer 8, bij getallen tussen de 64 en 512 is dit een aantal keer 64 etc. Schrijf op hoevaak je dat getal eruit kutn halen en trek het van het totaal af. Ga nu verder totdat je niks overhoudt.

Voorbeeldje: 486396 omrekenen naar een achttallig stelsel.
Je kunt hier 1 keer 262144 uithalen. Blijft over: 196588
Je kunt hier 6 keer 32768 uithalen. Blijft over: 27644
Je kunt hier 6 keer 4096 uithalen. Bljft over: 3068
Je kunt hier 5 keer 512 uithalen. Blijft over: 508
Je kunt hier 7 keer 64 uithalen. Blijft over: 60
Je kunt hier 7 keer 8 uithalen. Blijft over: 6
Je kunt hier 6 keer 1 uithalen. Blijft over: 0

Het getal 486396 zou in achttallig stelsen dan geschreven worden als 1665776 (rekenfouten voorbehouden).

Overigens is het erg makkelijk om van binair naar octadecimaal om te rekenen: je deelt het hele binaire getal op in groepjes van 3, vanaf rechts beginnend. Elk groepje van 3 getallen schrijf je vervolgens als decimaal getal. Komt altijd goed

Wederom voorbeeldje: 1001011101001 (opdelen: ->) 1 001 011 101 001
001 is 1
101 is 5
011 is 3
001 is 1
1 is... nou ja, 1 uiteraard.
In het achttalig stelsel zou dit dus het getal 1531 wezen. Als je dit trouwens niet snapt, bedenk je dan dat het getal 8 in het binaire stelsel als 1000 geschreven wordt en in het achttalig stelsel als 10
Dit laatste trucje werkt trouwens ook andersom: 3561 -> 011 101 110 001 -> 11101110001 (duidelijk genoeg?)

quote:

Op zondag 18 december 2005 21:20 schreef _superboer_ het volgende:
Even een controllevraagje: Om bij een evenwichtsreactie de exotherme reactie te bevorderen moet toch de temperatuur omlaag?

Het evenwicht gaat dan idd naar de kant van de exotherme reactie.

quote:

Op zondag 18 december 2005 21:41 schreef Seneca het volgende:
Hey allemaal. Zijn hier misschien genieen die de volgende stelling uit de propositielogica kunnen bewijzen? De stelling is een tautologie, en heeft dus geen premisses:

|- (p -> q) V (q -> p)

Ik kom er echt niet uit

Jullie hebben nog geen Gentzen's snedevrije calculus gehad zeker? .

Het is voor mij al ruim vijf jaar geleden, dus hoe je het precies opschrijft weet ik niet zeker meer (dat zou ik even op moeten zoeken), maar ik denk dat je gevalonderscheid moet maken tussen P en ~P, en dan kun je p -> q en q -> p herschrijven als respectievelijk ~p \/ q en ~q \/ p.
En dan kom je met eliminatie van \/ weer uit op p en ~p.

Help ik je daarmee op weg?


-----

edit- dit is toch helemaal fout vrees ik. Probeer het zo:

p -> q \/ q -> p
(~p \/ q) \/ (~q \/ p)
(~p \/ p) \/ (~q \/ q)
T \/ T

Kan dit? Ik dacht dat de \/ zowel commutatief als associatief was, maar ook dit kan nog altijd grote poep zijn. Moet toch dat studieboek weer eens opduikelen .

[ Bericht 17% gewijzigd door speknek op 19-12-2005 14:24:30 ]

!

Zo'n uitgebreide post had ik niet verwacht Lathund :p

Het is dus allemaal niet zo moeilijk, gewoon de machten van 8 ernaast leggen

btw:

quote:

Voorbeeldje: 486396 omrekenen naar een achttallig stelsel.
Je kunt hier 1 keer 262144 uithalen. Blijft over: 196588

Ik kom uit op 224252.

Rekenfoutje of snap ik het toch niet?

quote:

Op zondag 18 december 2005 21:04 schreef ijsklont het volgende:
Vraagje over categorieen. Stel ik heb een Abelse categorie met als objecten functoren van Delta^{op} -> Ab, met als morfismes natuurlijke transformaties tussen deze functoren. Dit is de categorie van simplicial abelian groups. Stel ik heb een short exact sequence in deze categorie:

0 --> F --> G --> H --> 0

Is dan voor elke [n] in Delta^[op} de sequence

0 --> F([n]) --> G([n]) --> H([n]) --> 0

een exact sequence van Abelse groepen? En hoe kan ik dit inzien?

Hmm heb het al gevonden denk ik. Dit is in principe gewoon de evaluatie-functor laten werken op de de sequence, en deze is exact voor Abelse categorieen van deze vorm.

[ Bericht 1% gewijzigd door ijsklont op 19-12-2005 14:07:09 ]

hee!
er is een vraag
zoek een priemgetal p zodat
2^p-1 geen priem is.


is er een slimme manier (behalve uitproberen van 2,3,5...) om dit op te lossen?
thanx

Wat is het wiskundig symbool voor 'tenminste één'?

edit: typo

quote:

Op zondag 18 december 2005 21:41 schreef Seneca het volgende:
Hey allemaal. Zijn hier misschien genieen die de volgende stelling uit de propositielogica kunnen bewijzen? De stelling is een tautologie, en heeft dus geen premisses:

|- (p -> q) V (q -> p)

Ik kom er echt niet uit

Tip: ongerijmde.

quote:

Op maandag 19 december 2005 14:53 schreef teletubbies het volgende:
hee!
er is een vraag
zoek een priemgetal p zodat
2^p-1 geen priem is.


is er een slimme manier (behalve uitproberen van 2,3,5...) om dit op te lossen?
thanx

Er is wel een slimme test om te checken of zo'n getal priem is. Zoek maar op "Lucas-Lehmer test". Verder kun je ook nog bewijzen dat alle delers van zo'n getal de vorm 2kp+1 moeten hebben. Maar uiteindelijk ontkom je toch niet aan proberen vrees ik.

sorry, weet het al

Naar aanleiding van advies van een mod (dank!) hier een vraagje:

Is er op internet een Nederlandstalig bewijs te vinden voor de Laatste Stelling van Fermat voor het geval n = 3? dus a^3+b^3=c^3 kan nooit waar zijn voor abc niet gelijk aan 0?

DANK!! het is voor mijn eindexamen, dus het is voor mij heel belangrijk!

quote:

Op maandag 19 december 2005 20:10 schreef samchestido het volgende:
Naar aanleiding van advies van een mod (dank!) hier een vraagje:

Is er op internet een Nederlandstalig bewijs te vinden voor de Laatste Stelling van Fermat voor het geval n = 3? dus a^3+b^3=c^3 kan nooit waar zijn voor abc niet gelijk aan 0?

DANK!! het is voor mijn eindexamen, dus het is voor mij heel belangrijk!

Helaas, je zult moeten vertalen in plaats van direct copy-pasten. .

quote:

Op maandag 19 december 2005 20:19 schreef Johan-Derksen het volgende:
Ik denk dat de volgende site je wel op weg kan helpen:
http://mcraefamily.com/Ma(...)LastThCubesEuler.htm

Dat bewijs is weliswaar elementair, maar lijkt totaal uit de lucht te komen vallen. Het oorspronkelijke bewijs maakt gebruik van de eenduidigheid van de priemfactorontbinding in the ring Z[1/2 + 1/2wortel(-3)]. Dit bewijs hier zal wel een soort directe vertaling zijn naar een elementair bewijs.

quote:

Op maandag 19 december 2005 20:27 schreef Johan-Derksen het volgende:
Daarom post ik dus dit elementair bewijs... en met ringen en lichamen, aangezien dat voor een eindexamen te hoog gegrepen is...
Dit bewijs voor sommige examen-kandidaten misschien ook.

Je leert in elk geval helemaal niets van dit bewijs. Wat dat betreft past het dus wel bij het VWO.

Gegeven is de functie f(x)=x+wortel(x) = x + x^0,5
W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van f, de y-as en de lijn y = 2.
Bereken in twee decimalen nauwkeurig de oppervlakte van W.

Ik heb eerst bepaald wat f(x)=2, geldt voor x=1
Dus dacht ik:
W = 2 *1 - integraal van 0 tot 1 van x+x^0,5 dx = 2 - [0,5 x² + 2/3 x^1,5]₀¹ = 2-0,5+2/3 - 0 = 2+1/6

Maar volgens het antwoordblad komt er 0,83 uit :S

wat doe ik fout

Je doet twee dingen fout:

Ten eerste: 2 - [0,5 x² + 2/3 x^1,5]₀¹ = 2 - [(0,5 - 0) + (2/3 - 0)] = 2 - 5/6. Je maakt dus een fout met plussen en minnen. Ten tweede: waar haal je die 2 vandaan? Het oppervlakte van het gebied dat je uit wilt rekenen _is_ niets anders dan je integraal! Oftewel: niks twee min een of andere integraal, maar gewoon die integraal en niks anders.

Btw Woutabest: dikke rekenfout van me sorry.

[ Bericht 14% gewijzigd door Lathund op 20-12-2005 02:23:54 ]

quote:

Op maandag 19 december 2005 22:24 schreef Lathund het volgende:
Je doet twee dingen fout:

Ten eerste: 2 - [0,5 x² + 2/3 x^1,5]₀¹ = 2 - [(0,5 - 0) + (2/3 - 0)] = 2 - 5/6 (moet toch zijn = 2 - 7/6?). Je maakt dus een fout met plussen en minnen. Ten tweede: waar haal je die 2 vandaan? Het oppervlakte van het gebied dat je uit wilt rekenen _is_ niets anders dan je integraal! Oftewel: niks twee min een of andere integraal, maar gewoon die integraal en niks anders.

Btw Woutabest: dikke rekenfout van me sorry.

Tuurlijk moet je wel 2 min de integraal doen. Je moet de oppervlakte weten van het stuk tussen y=2, de grafiek en de y-as...

Maar die min was inderdaad dom

quote:

Bij een bepaald product is de kans 25% dat het niet goed werkt.
Er wordt een (aselecte) steekproef genomen van 9 stuks.
Bereken de kans dat er precies 4 producten niet goed werken.
Rond (zo nodig) af op 5 decimalen.

Hoe moet dat allemaal ook alweer ? Is 2 jaar geleden dat ik het gehad heb, echt geen idee meer hoe dat precies moet.

Volgens mij moet je dan de binomiale verdeling gebruiken:
P(X=4) = (9 boven 4)*(0,25)^4*(0,75)^5

Of algemeen:
n = aantal experimenten, k = aantal keer succes, p = kans op succes

P(X = k) = (n boven k)*p^k*(1-p)^n-k

Zoiets?

Zie ook wikipedia:
http://nl.wikipedia.org/wiki/Binomiale_verdeling

Oe, die site ga ik hard nodig hebben voor mijn examen.

quote:

[b]Op [url=http://forum.fok.nl/topic/785794/3/50#33229419]maandag 19
Btw Woutabest: dikke rekenfout van me sorry.

oke

Ah bedankt, zal nu wel lukken .

quote:

Op dinsdag 20 december 2005 07:25 schreef _superboer_ het volgende:

[..]

Tuurlijk moet je wel 2 min de integraal doen. Je moet de oppervlakte weten van het stuk tussen y=2, de grafiek en de y-as...

Maar die min was inderdaad dom

Hmm puntje. Had over die opmerking heengelezen. En die 7/6 klopt ook, zodat je uiteindelijk precies op die 0.833... uitkomt.

Goeie score, 2 vragen beantwoord, twee rekenfouten

quote:

Op dinsdag 20 december 2005 19:51 schreef Merkie het volgende:

[..]

Hoe moet dat allemaal ook alweer ? Is 2 jaar geleden dat ik het gehad heb, echt geen idee meer hoe dat precies moet.

Herkenbaar, en ik heb dit jaar eindexamen gedaan, hehe

Het gaat hier over een PW Geschiedenis

de vraag was dus:
noem 3 soorten Egodocumenten:
ik heb neergezet:
Brieven
Dagboeken
E-mails

nu lijkt die laatste wel erg vreemd, maar het is er wel een.

wat vinden jullie?

Is dit bèta ? Volgens mij niet .

sorry ik dacht dat ik hier moest zijn

ik ben nou onderhand al alle topics langs geweest, en ik word helemaal van het kastje naar de muur gestuurd

ik jank ook niet, ik zeg hoe het er voor staat.
voor de rest, je bent een zeikerd

vriendelijk bedankt

quote:

Op woensdag 21 december 2005 21:41 schreef RvdLinden het volgende:
ik jank ook niet, ik zeg hoe het er voor staat.
voor de rest, je bent een zeikerd

vriendelijk bedankt

Ja wij zijn beta, wij hebben geen verstand van je egodocumenten, zonder te Googlen weet ik niet eens wat het zijn

quote:

Op woensdag 21 december 2005 21:52 schreef fallrite het volgende:

[..]

Ja wij zijn beta, wij hebben geen verstand van je egodocumenten, zonder te Googlen weet ik niet eens wat het zijn

Het is vast een woord dat gamma's hebben bedacht om intellectueler over te komen dan ze zijn. .

nee helaas, het zijn documenten waaruit gedachten en gevoelens zijn af te lijden van mensen.

4Havo stof, niks speciaals dus!

sorry dat ik niet tegen feiten kan,
maar niemand is perfect he!

quote:

Op woensdag 21 december 2005 22:02 schreef RvdLinden het volgende:
af te lijden

Kijk! De gamma's vallen meteen door de mand!

wtf is beta en gamma?

beta is dat niet, voor versie ofzo?

quote:

Op woensdag 21 december 2005 22:03 schreef thabit het volgende:

[..]

Kijk! De gamma's vallen meteen door de mand!

Hehe!

ahaaaaa weer wat geleerd!

Heeft school toch nog nut

quote:

Op woensdag 21 december 2005 22:02 schreef RvdLinden het volgende:
nee helaas, het zijn documenten waaruit gedachten en gevoelens zijn af te lijden van mensen.

4Havo stof, niks speciaals dus!

Voor degenen die een beta profiel hebben wel Alleen je krijgt hier sneller een antwoord aangezien dit topic actiever is. Je zult dus nog even geduld moeten hebben of gewoon aan je leraar vragen

quote:

Op donderdag 22 december 2005 13:51 schreef Nuna het volgende:

[..]

Voor degenen die een beta profiel hebben wel Alleen je krijgt hier sneller een antwoord aangezien dit topic actiever is. Je zult dus nog even geduld moeten hebben of gewoon aan je leraar vragen

Er zijn al wel antwoorden gegeven in het Gamma topic

kzal eens een kijkje gaan nemen daar!

quote:

Reductio ad absurdum (Latijn voor reduceren tot in het absurde), of bewijs uit het ongerijmde, is een bewijsmethode in de logica en de wiskunde. Hierbij wordt aangenomen dat de stelling die bewezen moet worden niet waar is, en wordt daaruit een tegenspraak afgeleid. In de standaardlogica is dit voldoende om te bewijzen dat de stelling waar is. In de wiskundefilosofische school van het intuïtionisme wordt een dergelijk bewijs echter niet geaccepteerd.

heeft iemand een voorbeeld waar bij het bewijs uit het ongerijmde niet deugt? of een verklaring voor het stand punt van intuitionisten..?
bijvoorbaat dank

quote:

Op vrijdag 23 december 2005 19:26 schreef teletubbies het volgende:

[..]

heeft iemand een voorbeeld waar bij het bewijs uit het ongerijmde niet deugt? of een verklaring voor het stand punt van intuitionisten..?
bijvoorbaat dank

Het bewijs uit het ongerijmde gaat er vanuit dat er maar twee mogelijke antwoorden zijn op een wiskundig probleem, namelijk 'waar' of 'onwaar'. Er kan zelfs gesteld worden dat men wiskundige stellingen ziet als zaken die ontdekt moeten worden; stel je voor dat ze ergens al bestaan in een abstract rijk, dat de wiskundigen langzaam verkennen en in kaart brengen.

Dit idee is tot op zekere hoogte leuk en aardig en werkt ook vaak goed. Luitzen Brouwer voelde echter aan dat 't niet zo goed zat (al voor Gödel met zijn onvolledigheidsstellingen kwam). Brouwer zei: "Wij ontdekken wiskunde niet, wij maken het zelf." Wij maken zelf een bouwwerk van wiskundige stellingen, en ik accepteer iets alleen als ik dit kan construeren. Een propositie als 'p' heeft in de klassieke logica de waarde 'p is waar'. Dus, p -> q lees je als: "als p waar is, dan is q ook waar". In de constructionistische (of intuïstionistische) logica lees je dit als "als ik p kan bewijzen, dan kan ik q bewijzen" (construeren). De constructionisten zeggen, dat je p niet kunt bewijzen, betekent nog niet dat je !p wel kunt bewijzen. En dit is wat Gödel heeft geformaliseerd. Er zijn zaken die niet bewijsbaar zijn.

Een bekend voorbeeld is de vraag of (het wordt wat theoretischer nog) de cardinaliteit van R gelijk is aan die van Aleph_1. Ter toelichting, de cardinaliteit is, voor eindige verzamelingen, het aantal elementen in de verzameling. (Vaak genoteerd met |..|), dus |{1,2,3}| = 3. Voor oneindige verzamelingen is het systeem met Alephs geïntroduceerd. Daarbij geldt |N| = Aleph_0 (dus de cardinaliteit van de natuurlijke getallen). Binnen oneindigheid heb je echter ook nog gradaties, want in R zitten 'meer' elementen dan in N. De eerst volgende gradatie van meer-oneindig wordt Aleph_1 genoemd. De vraag is nu of |R| = Aleph_1, of dat |R| = Aleph_2 o.i.d. Met andere woorden, dan zou er nog een andere verzameling zijn die tussen N en R inzit qua grootte. (Continuümhypothese heet dit, deze zegt Er is geen A zodat Aleph_0 < |A| < 2^Aleph_0, en dit impliceert dat |R| = 2^Aleph_0 = Aleph_1).

Nou, een razend interessant probleem dus, waar menigeen meerdere nachten van wakker ligt: Is er zo'n verzameling A die 'groter dan N' maar 'kleiner dan R' is. Direct bewijzen is wat lastig. Maar daar komt de troef van het ongerijmde. Neem aan dat het zo is. Als je dat doet, dan loop je niet tegen een tegenspraak aan. Dat is niet wat je wilde, want je hoopte juist op een tegenspraak. Maar goed, je kunt natuurlijk ook aannemen dat het niet zo is. Dan blijkt dat je dan ook niet tegen een tegenspraak aanloopt. (De continuümhypothese is onafhankelijk van de axiomata van ZF-verzamelingen-theorie kortom). Dat is dus irritant. Maar, dit is dus een voorbeeld waar bewijs uit het ongerijmde je eigenlijk niet verder helpt, of eigenlijk nieteens van toepassing is. Daar ligt dus het gevaar in van het bewijs uit het ongerijmde, want dat impliceert dat je altijd waar of onwaar op een stelling kunt plakken. (Gödel, die overigens ook meegeholpen heeft met het (niet) bewijzen van de continuümhypothese vond dit okay, was ook een Platonist in die zin) en dacht dat de CH niet waar was. Anderen, ook niet de minsten, vinden dat-ie waar moet zijn. Ze vechten dus nu met mooie woorden, opgerolde mouwen et cetera. Misschien dat ze ooit een nieuw axioma toevoegen.

Dus, om te besluiten: Er zijn stellingen waar je niet kunt bewijzen of ze waar of onwaar zijn, en aangezien je niet weet van te voren welke dat zijn en welke niet, moet je niet bewijs uit het ongerijmde accepteren, want zo 'bewijs' je wellicht dingen die 'onbewijsbaar' zijn. Vandaar dat constructionisten (of intuistionisten) alleen bewijzen accepteren die echt iets construeren.

heel goed uitgelegd! bedankt voor de moeite..
als je wiskunde gaat studeren, krijg je ook een vak of een paar colleges over dezet wee wiskunde-scholen?
zeer indrukwekkend..

huh!

Ik vermoed van niet eigenlijk; ik vind het meer iets voor wijsbegeerte van de wiskunde. Wellicht dat je bij een logicavak er wat over vermeld krijgt, maar voor de toegepaste en technische wiskunde is dit niet direct van nutte. Brouwer heeft geprobeerd ook een constructionistische analyse te maken, maar dit heeft verstrekkende gevolgen.

Het concept van oneindig wordt herzien, er is alleen nog een potentiële oneindigheid (jij noemt een getal, ik kan altijd nog een groter getal noemen), Reële getallen worden vervelend, daar gaat het ook om willekeurige nauwkeurige benadering, b.v. wortel twee, dat loopt oneindig ver door. Allemaal naar. Veel wiskundigen hebben toch het gevoel dat je te veel weggooid door constructionistisch bezig te gaan, en wat het precies oplevert? De wiskunde op haar oude manier werkt ook nog wel.

Desondanks zijn die grenzen van de wiskunde wel fascinerend (vind ik). Zo heb je ook getallen die je wel kunt definiëren, maar niet kunt berekenen. Bijvoorbeeld Chaitins constante. Eigenschappen van het getal, zoals dat het normaal is, kun je dan wel weer bewijzen, maar het uitrekenen, gewoon uitschrijven, willekeurig ver, dat kan niet.

Ik dwaal wat af: Voor praktische logica en wiskunde spelen deze zaken geen directe rol. Daar redt de wiskunde zich nog wel.

Heb vraagje over wiskundige notatie. Hoe noteer ik bijvoorbeeld op correcte wijze:

Voor alle elementen a uit A en b uit B: als a of b in C bevat zijn, dan a=b=1.

Nu zou ik zoiets doen


Maar dat is volgens mij niet correct, en als dat wel zo is dan is het nog steeds niet elegant.

Bedankt voor de tips

Ik zou dat "als" weglaten, en dan de dubbele punt vervangen door "->", dus {a,b} doorsnede C niet leeg impliceert a=b=1. De komma zou je trouwens ook wel weg kunnen laten, en eventueel haakjes plaatsen om de leesbaarheid te vergroten.

hee!
hier een vraagje over (boven/onder) begrensde deelverzamelingen van R.

quote:

rekenregel voor supremum
Voor iedere niet-lege, naar boven begrensde deelverzameling S van R en voor iedere e >0 geldt:
sup{e.s: s element uit S}=e.sup S

voor het bewijs van deze regel staat er o.a "noem T={e.s: s element uit S}. Ook al suggereert de uitspraak van de stelling dat T een supremum heeft, toch zullen we dit eerst moeten aantonen...etc".

ik vraag me af, waarom wordt er niet aangenomen dat T een supremum heeft?als supT niet bestond, zou de rekenregel toch niet kloppen....

alvast bedankt

quote:

Op vrijdag 23 december 2005 21:50 schreef AtraBilis het volgende:
Ik vermoed van niet eigenlijk; ik vind het meer iets voor wijsbegeerte van de wiskunde. Wellicht dat je bij een logicavak er wat over vermeld krijgt, maar voor de toegepaste en technische wiskunde is dit niet direct van nutte. Brouwer heeft geprobeerd ook een constructionistische analyse te maken, maar dit heeft verstrekkende gevolgen.

Het concept van oneindig wordt herzien, er is alleen nog een potentiële oneindigheid (jij noemt een getal, ik kan altijd nog een groter getal noemen), Reële getallen worden vervelend, daar gaat het ook om willekeurige nauwkeurige benadering, b.v. wortel twee, dat loopt oneindig ver door. Allemaal naar. Veel wiskundigen hebben toch het gevoel dat je te veel weggooid door constructionistisch bezig te gaan, en wat het precies oplevert? De wiskunde op haar oude manier werkt ook nog wel.

Desondanks zijn die grenzen van de wiskunde wel fascinerend (vind ik). Zo heb je ook getallen die je wel kunt definiëren, maar niet kunt berekenen. Bijvoorbeeld Chaitins constante. Eigenschappen van het getal, zoals dat het normaal is, kun je dan wel weer bewijzen, maar het uitrekenen, gewoon uitschrijven, willekeurig ver, dat kan niet.

Ik dwaal wat af: Voor praktische logica en wiskunde spelen deze zaken geen directe rol. Daar redt de wiskunde zich nog wel.

nu ken ik twee soorten 'wiskundigen'
mensen die werken met 0 en 1 : waar of onwaar
en mensen die werken met waar, onwaar en onbeslisbaar..

zijn er meer soorten?

quote:

Op zondag 25 december 2005 18:34 schreef Knakker het volgende:
Ik studeer Econometrie, afstudeerrichting Operations Research. Ben op dit moment bezig met mijn afstudeeronderzoek en heb daarvoor een drietal heuristieken ontwikkeld, reeds geimplementeerd in C++ en geevalueerd.

Het probleem is dat ik precies weet hoe deze in elkaar steken maar niet weet hoe ik dit correct in wiskundige notatie neer moet zetten (ten behoeve van mijn scriptie). Gezien het aantal theoretische wiskunde colleges dat ik gehad én gehaald heb is dat behoorlijk schandalig , maar ik vrees dat ik er zonder hulp kom niet uit kom.

Eén van de heuristieken is een modificatie op een andere heuristiek genaamd GKS, Greedy Karp-Steele Patching. GKS is een heuristiek voor het handelsreizigersprobleem (TSP) - het vinden van de kortste hamiltonian cycle die alle vertices van de graaf omvat (NP-hard). GKS lost eerst het assignment probleem (AP) op; het AP is het probleem van het vinden van een minimal bipartite matching (niet NP-hard). Beschouw je deze oplossing in de TSP-context, dan heb je een onbestemd aantal hamiltonian cycles; zie bijvoorbeeld onderstaand plaatje:



Deze individuele cycles kun je door hulp van een "patching operation" aan elkaar plakken: als je namelijk uit cycle 1 arc (p,q) en uit cycle 2 arc (r,s) verwijderd en vervolgens arcs (p,s) en (r,q) aan de oplossing toevoegd, worden cycle 1 en cycle 2 tot één gemaakt. GKS bekijkt iteratief alle mogelijke patching operations en voert steeds de goedkoopste uit, totdat alle cycles tot één verworden zijn.

Op dit moment heb ik het zó staan, en ja ik weet dat enkele dingen (wiskundige) onzin zijn Oh ja, er staat ook nog een typfoutje in stap 2 maar heb geen zin om het gif-je te veranderen


TeX versie: klik hier

CM is de kostenmatrix; CM(i,j) zijn de kosten voor het 'gaan' van vertex i naar vertex j. PC bevat de patchingcosts gerelateerd aan het verwijderen van twee arcs (p,q) en (r,s), en LPC(i,j) is een 'pointer' naar de index van PC (en dus twee arcs) die voor cycles i en j de goedkoopste patching operation oplevert. Bij stap 6 worden de kosten van alle mogelijke patching operations met betrekking de twee nieuwe arcs (p,s) en (r,q) berekend en opgeslagen.

Mijn implementatie is uitgebreider en vele malen efficienter dan hierboven staat, maar dat maakt het voor buitenstaanders alleen maar onbegrijpelijker en als dit eenmaal goed genoteerd is kan ik daaruit de rest wel afleiden.

Alvast bedankt! Suggesties met betrekking tot de leesbaarheid zijn uiteraard net zo hard welkom!

quote:

Op zondag 25 december 2005 18:34 schreef Knakker het volgende:
verhaaltje over greedy Karp-Steele patching

Ik heb een aantal opmerkingen !

Bij je uitleg over het handelsreizigersprobleem heb je het over een Hamilton cykel die alle vertices bevat. Dat laatste is overbodig aangezien een Hamilton cykel bij definitie alle punten van de graaf bevat.

Het assignment probleem moet je ook beter uitleggen. Om te kunnen spreken over een bipartiete matching zul je toch eerst de punten van de graaf moeten opdelen op de een of andere manier. De matching moet ook minimaal zijn, maar met betrekking tot wat? Cardinaliteit of totaal gewicht? En hoe krijg je dan die cykels?

In stap 2 zou ik een verzameling V van de cykels introduceren, dus iets als V = { C_1, ..., C_m }. Dan heb je meteen gezegd dat er m cykels zijn.

De derde stap is wel correct, maar niet zo goed leesbaar door alle variabelen en indices. Ik zou een kant met een enkel symbool aangeven, dus iets als e = (e_1,e_2). Je eist in feite dat j >= i, maar dit is niet nodig en bovendien onjuist indien i = j (je creeert dan een extra cykel!). j <> i is voldoende om de werking van het algoritme uit te leggen. In een daadwerkelijke implementatie maak je natuurlijk gebruik van de symmetrie PC(e,f) = PC(f,e). Ik zou het opschrijven als
Voor alle e in C_i en f in C_j met i <> j, PC(e,f) = CM(e_1,f_2) + .. etc ...

De vierde en vijfde stap zou ik samen nemen:
PC_min = min_{e in C_i, f in C_j, i<>j} PC(e,f) en
(e_min, f_min ) = arg min ... zelfde spul als hierboven ...
Je moet ook nog uitleggen wat je doet als het minimum in meerdere paren van kanten wordt behaald.

Bij stap 6 zou ik dan zeggen dat e_min in C_k en f_min in C_l voor zekere k en l. In de zevende stap kun je hier dan ook gebruik van maken als je de verzameling cykels aanpast. Je hebt het over een verening van cykels, maar je moet dan wel goed uit leggen hoe dit dan precies gebeurt.

Bij de aanpassing van S heb je overigens iets teveel { } gebruikt .

Stap 8 zou je misschien inzichtelijker kunnen maken door | V | > 1 te gebruiken (cardinaliteit van de verzameling cykels), maar de variant die jij hebt is ook goed.

Wellicht is het ook nog handig om uit te leggen wat het = teken in je algoritme betekent (een alternatief is om := te gebruiken).

quote:

Op zondag 25 december 2005 18:35 schreef teletubbies het volgende:

[..]

nu ken ik twee soorten 'wiskundigen'
mensen die werken met 0 en 1 : waar of onwaar
en mensen die werken met waar, onwaar en onbeslisbaar..

zijn er meer soorten?

Nou, het licht iets genuanceerder. De logica van beide wiskundigen werkt in beide gevallen met waar en onwaar. Er is geen derde waarde 'onbeslisbaar'. Dus, bij een stelling als p \/ q kun je niet zeggen: "Stel dat p onbeslisbaar is". _{Dat kan wel, maar dan hebben we het over een beslisbaarheidslogica of zo, en niet over de standaard propositielogica.}

Of iets onbeslisbaar is ligt eigenlijk 'een niveau hoger'; dit wordt een meta-niveau genoemd. Je kunt dus een stelling hebben (niet in de propositielogica trouwens, die wordt 'volledig' genoemd), maar bijvoorbeeld in de rekenkunde waarvan je niet kunt bewijzen of deze waar of onwaar is. Meta-niveau is in de logica belangrijk, dit is het niveau dat over de gehele theorie redeneert. Op dat niveau kun je zeggen: "In deze theorie zijn er stellingen die onbeslisbaar zijn." Of, "de propositielogica is volledig." Normale afleidingen als "p -> q" en ik weet "p", dus "q" gebeuren binnen het raamwerk van de theorie.

Als uitsmijter de paradox: "Deze zin is niet waar", is ook (deels) problematisch omdat deze theorie-niveau en meta-niveau door elkaar gooit. Normaal wordt namelijk op een meta-niveau gedefinieerd wat waar is in een logica. Maar zodra je nu binnen je theorie naar dat niveau gaat verwijzen loop je in de problemen. Zeg dus, spelling en grammatica zijn de regels van de taal, en zeggen wat geldige zinnen zijn; maar welke zinnen 'waar' of 'mooi' of 'welluidend' zijn volgen niet uit grammatica en spelling, die volgen uit afspraken die wij maken op een hoger niveau (meta-niveau). Ik hoop dat het wat duidelijk is.

Overigens zijn er wel logica's met meerdere waarden, waarbij 'p' inderdaad 'waar', 'onwaar' of 'onbekend' kan zijn; maar deze logica's hebben natuurlijk ook weer hun eigen meta niveau. (Of vage logica (fuzzy logic) waarbij je een continue schaal van 0 tot 1 hebt).

quote:

Op zondag 25 december 2005 18:31 schreef teletubbies het volgende:
hee!
hier een vraagje over (boven/onder) begrensde deelverzamelingen van R.
[..]

voor het bewijs van deze regel staat er o.a "noem T={e.s: s element uit S}. Ook al suggereert de uitspraak van de stelling dat T een supremum heeft, toch zullen we dit eerst moeten aantonen...etc".

ik vraag me af, waarom wordt er niet aangenomen dat T een supremum heeft?als supT niet bestond, zou de rekenregel toch niet kloppen....

alvast bedankt

Het supremum is de kleinste bovengrens. Je zult dus moeten aan tonen dat e.sup S inderdaad een bovengrens is en dat er bovendien geen kleinere bovengrens kan bestaan. Dat is niet zo moeilijk, maar je moet het wel doen .

Eitje; ik zie deze som:
wortel0,5 = 1/wortel2

Snapt 1 van jullie dit?

Of door wortel(a/b) = wortel(a)/wortel(b); dus wortel(1/2) = wortel(1)/wortel(2) = 1/wortel(2).

Oké, bedankt

quote:

Op vrijdag 23 december 2005 21:24 schreef teletubbies het volgende:
heel goed uitgelegd! bedankt voor de moeite..
als je wiskunde gaat studeren, krijg je ook een vak of een paar colleges over dezet wee wiskunde-scholen?
zeer indrukwekkend..

Hangt ervan af of ze logica doceren op de betreffende universiteit.

Wolfje, bedankt voor je reactie. Ik ben dit weekend even druk en maandag heb ik een gesprek met mn afstudeerbegeleider, daarna zal ik er weer aan gaan werken. Bedankt zover!