SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Je probeert nu een heleboel zaken op één hoop te gooien. Een post als deze laat mij zien dat er in jouw hoofd nog steeds grote verwarring heerst over heel basale zaken, en dat je daarom teksten zoals in je foto's niet begrijpt.quote:Op dinsdag 30 september 2014 10:39 schreef Brainstorm245 het volgende:
Ik heb even de Leibniz notatie posts van Riparius gelezen, ik heb het wel begrepen, maar ben toch lichtelijk verward geworden.. en dan is het om hoe de regel werkt, want praktisch gezien begrijp ik dat wel als ik letters en getallen zie, maar in notatievorm ben ik nog lichtelijk verward..
Stel je hebt
d F(x) / dx ofwel F'(x) waarbij F(x) = f(x) * g(x)
Waarom is de afgeleide dan:
f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)
en niet:
f'(x) * x' * g(x) + f(x) * g'(x) * x
Want
dY / dI = F'(Y) dY/dI + 1 als Y = f(Y) + I
Je hebt de productregel en de somregel voor het differentiëren van een functie die wordt gevormd door resp. het product of de som te nemen van twee functies, en je hebt de kettingregel die wordt gebruikt voor het differentiëren van een samenstelling van twee functies die wordt gemaakt door de output van de eerste functie te gebruiken als input voor de tweede functie. En ja, de afgeleide van een samengestelde functie blijkt een product te zijn van twee differentiaalquotiënten, maar dit betekent niet dat je dit maar op één hoop mag gooien met de regel voor differentiëren van een product.
Hiernaast heb je te maken met twee verschillende notaties, de notatie van Leibniz en de notatie van Lagrange. Kort gezegd komt het erop neer dat Leibniz letters gebruikt voor namen van variabelen en dat Lagrange letters gebruikt voor namen van functies.
Leibniz werkt met differentialen en noteert een afgeleide als een zogeheten differentiaalquotiënt (dat eigenlijk geen quotiënt is maar een limiet van een differentiequotiënt). Hebben we een variabele y die afhangt van een variabele x, dan geeft dy/dx de rate of change aan van y ten opzichte van x oftewel de afgeleide van de variabele y naar de variabele x.
Lagrange werkt met namen van functies (die in hun eenvoudigste vorm afhankelijkheidsrelaties tussen twee variabelen beschrijven) en noteert een afgeleide functie door de naam van de oorspronkelijke functie te voorzien van een prime, dus f' geeft dan de afgeleide functie aan van een functie f.
Vaak wordt een functie gegeven in de vorm van een functievoorschrift, bijvoorbeeld f(x) = x², en dit is uiteraard de bekende haakjesnotatie f(x) die niet alleen laat zien dat f hier de naam is van de functie maar ook dat x hier de naam is van de onafhankelijke variabele van de functie. De functiewaarde f(x) is dan de afhankelijke variabele, en als we deze afhankelijke variabele aangeven met de letter y dan hebben we dus y = f(x). Voor de afgeleide functie f' van de functie f kunnen we ook een functievoorschrift opschrijven, en in dit eenvoudige voorbeeld is dit f'(x) = 2x. Aangezien we de afhankelijke variabele oftewel de functiewaarde f(x) hier met de letter y hebben aangegeven, kunnen we de afgeleide in de notatie van Leibniz nu ook schrijven als dy/dx, zodat we hier dus hebben dy/dx = f'(x). En omdat y = f(x) kunnen we dit ook schrijven als d(f(x))/dx = f'(x).
Vooral in toegepaste wiskunde, zoals bij de economie, worden de notaties van Leibniz en Lagrange vaak met elkaar gecombineerd of door elkaar gebruikt, en dat gebeurt niet altijd even consequent.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 01-10-2014 07:50:19 ]
Ik krijg colleges erover, maar die zijn weer veelste makkelijk.. Ik heb met de practica opgaven ook totaal geen moeite. Pas wanneer ik de theorie lees in het boek, dan gaat het soms enorm fout of blijf ik erbij hangen.quote:
[..]
Je hebt eerder de tip gekregen om niet zomaar scans/foto's met rode strepen te plaatsen, maar om nauwkeuriger aan te geven wat je niet begrijpt.
Wat begrijp je niet, de vraagstelling of de uitwerking? Welke stappen heb je al gezet? Hoe zou je het probleem zelf aanpakken en waar is dat anders dan de antwoorden in het boek?
Dan wordt het voor de mensen hier wat eenvoudiger om een functioneel en enigszins beknopt antwoord te geven.
Even een vraagje tussendoor, krijg je colleges en/of werkcolleges over deze stof?
Van bijvoorbeeld 10 opgaven, heb ik er 2 of 3 die misgaan en waar ik dan het truucje niet zie.. Met truucje bedoel ik dan wat ik moet doen.
Dit brengt mij dus in de verwarring metquote:
[..]
Je probeert nu een heleboel zaken op één hoop te gooien. Een post als deze laat mij zien dat er in jouw hoofd nog steeds grote verwarring heerst over heel basale zaken, en dat je daarom teksten zoals in je foto's niet begrijpt.
Je hebt de productregel en de somregel voor het differentiëren van een functie die wordt gevormd door resp. het product of de som te nemen van twee functies, en je hebt de kettingregel die wordt gebruikt voor het differentiëren van een samenstelling van twee functies die wordt gemaakt door de output van de eerste functie te gebruiken als input voor de tweede functie. En ja, de afgeleide van een samengestelde functie blijkt een product te zijn van twee differentiaalquotiënten, maar dit betekent niet dat je dit maar op één hoop mag gooien met de regel voor differentiëren van een product.
Hiernaast heb je te maken met twee verschillende notaties, de notatie van Leibniz en de notatie van Lagrange. Kort gezegd komt het erop neer dat Leibniz letters gebruikt voor namen van variabelen en dat Lagrange letters gebruikt voor namen van functies.
Leibniz werkt met differentialen en noteert een afgeleide als een zogeheten differentiaalquotiënt (dat eigenlijk geen quotiënt is maar een limiet van een differentiequotiënt). Hebben we een variabele y die afhangt van een variabele x, dan geeft dy/dx de rate of change aan van y ten opzichte van x oftewel de afgeleide van de variabele y naar de variabele x.
Lagrange werkt met namen van functies (die in hun eenvoudigste vorm afhankelijkheidsrelaties tussen twee variabelen beschrijven) en noteert een afgeleide functie door de naam van de oorspronkelijke functie te voorzien van een prime, dus f' geeft dan de afgeleide functie aan van een functie f.
Vaak wordt een functie gegeven in de vorm van een functievoorschrift, bijvoorbeeld f(x) = x², en dit is uiteraard de bekende haakjesnotaties f(x) die niet alleen laat zien dat f hier de naam is van de functie maar ook dat x hier de naam is van de onafhankelijke variabele van de functie. De functiewaarde f(x) is dan de afhankelijke variabele, en als we deze afhankelijke variabele aangeven met de letter y dan hebben we dus y = f(x). Voor de afgeleide functie f' van de functie f kunnen we ook een functievoorschrift opschrijven, en in dit eenvoudige voorbeeld is dit f'(x) = 2x. Aangezien we de afhankelijke variabele oftewel de functiewaarde f(x) hier met de letter y hebben aangegeven, kunnen we de afgeleide in de notatie van Leibniz nu ook schrijven als dy/dx, zodat we hier dus hebben dy/dx = f'(x). En omdat y = f(x) kunnen we dit ook schrijven als d(f(x))/dx = f'(x).
Vooral in toegepaste wiskunde, zoals bij de economie, worden de notaties van Leibniz en Lagrange vaak met elkaar gecombineerd of door elkaar gebruikt, en dat gebeurt niet altijd even consequent.
dY/dI = F'(Y) * dY/dI + 1 van y = F(Y) + I
Dan zou ik ook zo denken dY/dI = F'(Y) + 1
Misschien dat ik te moeilijk denk. Owja ik heb al je posts m.b.t. onderwerp goed gelezen vanochtend en ben er in de middag veel over gaan lezen, maar ik probeer de logica te vinden en alles diepzinnig uit te kristalliseren.
Nee je denkt te makkelijk.quote:
[..]
Dit brengt mij dus in de verwarring met
dY/dI = F'(Y) * dY/dI + 1 van y = F(Y) + I
Dan zou ik ook zo denken dY/dI = F'(Y) + 1
Misschien dat ik te moeilijk denk. Owja ik heb al je posts m.b.t. onderwerp goed gelezen vanochtend en ben er in de middag veel over gaan lezen, maar ik probeer de logica te vinden en alles diepzinnig uit te kristalliseren.
Het gaat er bij jouw voorbeeld om het afleiden naar I.
f(Y(I)) afleiden naar I geeft geen f '(Y(I)) maar f '(Y(I)) Y '(I) <--- kettingregel.
Ik blijf het maar raar vinden dat 'afleiden naar I?' wat betekent dat nou precies voor zowel Y als I als je zegt Y afleiden naar I? Dat I dan niet de constante is en I moet benaderen als je doet bij f(x) = 2x dat het dan 2 wordt... en de rest van de getallen/letters een constante is?quote:
[..]
Nee je denkt te makkelijk.
Het gaat er bij jouw voorbeeld om het afleiden naar I.
f(Y(I)) afleiden naar I geeft geen f '(Y(I)) maar f '(Y(I)) Y '(I) <--- kettingregel.
Ik blijf het maar raar vinden dat
f(x) (in het geval met f(x) = 2 ) als afgeleide alleen heeft f'(x) en F(Y) als afgeleide F'(Y) * Y'
Hoe weet je uberhaupt wat de functie van F(Y) is.. Misschien is het wel 2y en wordt het dus gewoon y..
Want door F'(Y) * Y'
Zou je kunnen stellen (althans ik dan) dat F(Y) een functie is zoals; F(Y) = (2y + 5)² waardoor je dus die
F'(Y) * Y' hebt..
Ik weet dat dit behoorlijk dom kan klinken voor mensen, maar ik zit niet op dezelfde lijn als de mensen die het wel snappen.
Laten we die eens als f(x) = (2x + 5)2 schrijven. Dan isquote:
[..]
Ik blijf het maar raar vinden dat 'afleiden naar I?' wat betekent dat nou precies voor zowel Y als I als je zegt Y afleiden naar I? Dat I dan niet de constante is en I moet benaderen als je doet bij f(x) = 2x dat het dan 2 wordt... en de rest van de getallen/letters een constante is?
Ik blijf het maar raar vinden dat
f(x) (in het geval met f(x) = 2 ) als afgeleide alleen heeft f'(x) en F(Y) als afgeleide F'(Y) * Y'
Hoe weet je uberhaupt wat de functie van F(Y) is.. Misschien is het wel 2y en wordt het dus gewoon y..
Want door F'(Y) * Y'
Zou je kunnen stellen (althans ik dan) dat F(Y) een functie is zoals; F(Y) = (2y + 5)² waardoor je dus die
F'(Y) * Y' hebt..
Ik weet dat dit behoorlijk dom kan klinken voor mensen, maar ik zit niet op dezelfde lijn als de mensen die het wel snappen.
f(x) = u2
u = 2x + 5
du/dx = 2.
d(f(x))/du = 2u
d(f(x))/dx = d(f(x))/du * du/dx => d(f(x))/dx = (2(2x + 5)) * 2 = 2(4x + 10) = 8x + 20
Waar d(f(x))/dx = f'(x)
Edit: jij hebt als input variable Y, ik heb daarvoor x genomen. Principe blijft hetzelfde.
Maar misschien is die F(Y) wel gewoon 2y.. Dus waarom moet je ervan uitgaan dat het niet F'(Y) is maar F'(Y) * dY/dI ?quote:
[..]
Laten we die eens als f(x) = (2x + 5)2 schrijven. Dan is
f(x) = u2
u = 2x + 5
du/dx = 2.
d(f(x))/du = 2u
d(f(x))/dx = d(f(x))/du * du/dx => d(f(x))/dx = (2(2x + 5)) * 2 = 2(4x + 10) = 8x + 20
Waar d(f(x))/dx = f'(x)
Edit: jij hebt als input variable Y, ik heb daarvoor x genomen. Principe blijft hetzelfde.
Wat is dY/dI in Leibniz notatie bij Y= F(Y) + I en dus Y afleiden naar I.quote:
[..]
Maar misschien is die F(Y) wel gewoon 2y.. Dus waarom moet je ervan uitgaan dat het niet F'(Y) is maar F'(Y) * dY/dI ?
Is dat dan
dY / dI = dF(Y)/dY * dY / dI + dI / dI ?
De F geeft de naam van de functie aan, de Y geeft de naam van de variabele aan, waar F vanaf hangt.quote:
[..]
Maar misschien is die F(Y) wel gewoon 2y.. Dus waarom moet je ervan uitgaan dat het niet F'(Y) is maar F'(Y) * dY/dI ?
Wat bedoel je met dat laatste stuk? Welke regel probeer je toe te passen?
In mijn boek staat het volgende:quote:
[..]
De F geeft de naam van de functie aan, de Y geeft de naam van de variabele aan, waar F vanaf hangt.
Wat bedoel je met dat laatste stuk? Welke regel probeer je toe te passen?
Y = F(Y) + I
bereken dY/dI
dat is dus volgens het boek:
dY/dI = F'(Y) * dY/dI + 1
Oh, dat weet ik niet. Ik zou denken dat dY/dl = 0, maar Janneke/Tartarus/Riparius kan je vast uitleggen waarom het F'(Y) * dY/dl + 1 is. Wel vreemd dat in de afgeleide van een functie diezelfde afgeleide nog een keer voorkomt, maar again: een ander kan je hier meer over vertellen.quote:
[..]
In mijn boek staat het volgende:
Y = F(Y) + I
bereken dY/dI
dat is dus volgens het boek:
dY/dI = F'(Y) * dY/dI + 1
Dat vraag ik mij dus ook af!quote:
[..]
Oh, dat weet ik niet. Ik zou denken dat dY/dl = 0, maar Janneke/Tartarus/Riparius kan je vast uitleggen waarom het F'(Y) * dY/dl + 1 is. Wel vreemd dat in de afgeleide van een functie diezelfde afgeleide nog een keer voorkomt, maar again: een ander kan je hier meer over vertellen.
Ik zou gewoon denken F'(Y) + 1
quote:
[..]
In mijn boek staat het volgende:
Y = F(Y) + I
bereken dY/dI
dat is dus volgens het boek:
dY/dI = F'(Y) * dY/dI + 1
Zeer in het kort gezegd: Y is geen variabele, maar afhankelijk van I. Dus meer volledig zou er staan:quote:
[..]
Oh, dat weet ik niet. Ik zou denken dat dY/dl = 0, maar Janneke/Tartarus/Riparius kan je vast uitleggen waarom het F'(Y) * dY/dl + 1 is. Wel vreemd dat in de afgeleide van een functie diezelfde afgeleide nog een keer voorkomt, maar again: een ander kan je hier meer over vertellen.
Y(I) = F(Y(I)) + I
bereken dY/dI
dat is dus volgens het boek:
dY/dI = F'(Y(I)) * dY/dI + 1
Of, mocht je dit fijner vinden:
Y'(I) = F'(Y(I)) * Y'(I) +1
[ Bericht 0% gewijzigd door Janneke141 op 30-09-2014 20:50:47 ]
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
Huh, voor het functievoorschrift van Y(l) heb je Y(l) zelf nodig? Stel dat je voor l = 5 neemt, dan krijg je dus Y(5) = F(Y(5)) + 5. Maar dan weet je toch nogsteeds niet wat Y(5) is?quote:
[..]
[..]
Zeer in het kort gezegd: Y is geen variabele, maar een functie van I. Dus meer volledig zou er staan:
Y(I) = F(Y(I)) + I
bereken dY/dI
dat is dus volgens het boek:
dY/dI = F'(Y(I) * dY/dI + 1
Of, mocht je dit fijner vinden:
Y'(I) = F'(Y(I)) * Y'(I) +1
Ja, en dat heb ik je hier al uitgelegd. Waarom ben je dit een dag later alweer vergeten?quote:
[..]
Wat is dY/dI in Leibniz notatie bij Y= F(Y) + I en dus Y afleiden naar I.
Is dat dan
dY / dI = dF(Y)/dY * dY / dI + dI / dI ?
Met dit soort posts maak je hem alleen nog maar meer in de war.quote:
[..]
Huh, voor het functievoorschrift van Y(l) heb je Y(l) zelf nodig? Stel dat je voor l = 5 neemt, dan krijg je dus Y(5) = F(Y(5)) + 5. Maar dan weet je toch nogsteeds niet wat Y(5) is?
Die rare notaties brengen mij in de war, dus daarom dat ik mij afvroeg hoe dit zat. Dank je voor je uitleg (SES / [Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.)!quote:
[..]
Met dit soort posts maak je hem alleen nog maar meer in de war.
Waarom heeft die onderste zo'n rare grafiek en is het discontinu? Op WolframAlpha lijkt het gewoon een continue functie..
Ik dacht dus in eerste instantie net als Netchip. Ja ik was het niet vergeten, maar in de war geraakt.quote:
[..]
Met dit soort posts maak je hem alleen nog maar meer in de war.
Die rechte haken in het onderste functievoorschrift betekenen dat je de uitkomst van ½x naar beneden moet afronden op een geheel getal.quote:
[ afbeelding ]
Waarom heeft die onderste zo'n rare grafiek en is het discontinu? Op WolframAlpha lijkt het gewoon een continue functie..
[ afbeelding ]
Dat betekent dat f(0) = └0┘+1 = 1, f(1) = └½┘+1 = 0+1=1, f(1,99)=└0,995┘+1=1 en f(2)=└1┘+1 = 2. Die is in de buurt van ieder even getal dus niet continu, hij maakt een sprongetje. Dat Wolfram iets anders zegt, komt denk ik omdat je de functie niet goed aan het programma hebt weten duidelijk te maken.
[ Bericht 0% gewijzigd door Janneke141 op 30-09-2014 21:25:47 ]
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
Op Wolfram voerde ik [1/2]x + 1 in.quote:
[..]
Die rechte haken in het onderste functievoorschrift betekenen dat je de uitkomst van ½x naar beneden moet afronden op een geheel getal.
Dat betekent dat f(0) = └0┘+1 = 1, f(1) = └½┘+1 = 0+1=1, f(1,99)=└0,9998┘+1=1 en f(2)=└1┘+1 = 2. Die is in de buurt van ieder even getal dus niet continu, hij maakt een sprongetje. Dat Wolfram iets anders zegt, komt denk ik omdat je de functie niet goed aan het programma hebt weten duidelijk te maken.
Ja, maar daarbij moet je wel bedenken dat Y afhangt van I.quote:
[..]
In mijn boek staat het volgende:
Y = F(Y) + I
bereken dY/dI
dat is dus volgens het boek:
dY/dI = F'(Y) * dY/dI + 1
Laten we het eens wat concreter maken. Ik moet even een voorbehoud maken, en dat is dat ik werkelijk geen enkel idee heb of de concrete invulling die ik nu aan Y en F(Y) ga geven binnen de context van de economische theorie in je boek betekenis heeft of zou kunnen hebben, maar daar gaat het nu even niet om.
Laten we zeggen dat
Nu hangt verder Y af van I, dus laten we eens zeggen dat
Nu is verder is gegeven dat
en gevraagd wordt nu de afgeleide van Y naar I oftewel de rate of change van Y ten opzichte van I te bepalen. Welnu, aangezien f(Y) = Y² en Y = 2I + 5 is dus f(Y) = Y² = (2I + 5)² zodat we hebben
en de afgeleide van Y naar I wordt dus onder toepassing van de kettingregel en de somregel
en dat klopt inderdaad met
want je hebt immers
en
Je ziet dat je fout zit doordat je steeds die factor dY/dI wil verdonkeremanen.
Nog even een toevoeging: Ik denk ook dat de verwarring hier ontstaat doordat de 'oude' Y wordt gebruikt om een 'nieuwe' Y te definiëren. Men had die 'nieuwe' Y een andere naam moeten geven, Z bijvoorbeeld. Het is namelijk duidelijk dat Y in het algemeen niet op dezelfde manier van I af kan hangen als f(Y) + I, zodat Y niet identiek gelijk kan zijn aan f(Y) + I. Maar dat moet je de schrijvers van het boek kwalijk nemen, niet mij.
[ Bericht 2% gewijzigd door Riparius op 30-09-2014 23:20:25 ]
Nee jongeman, je hebt hier de zogeheten floor function, en dat is iets heel anders.quote:
[..]
Op Wolfram voerde ik [1/2]x + 1 in.
Zou je kunnen beargumenteren dat de functie die jij gelinkt hebt, niet continu is op, bijvoorbeeld, x = 2, omdat het limiet naar x -> 2, van de positieve zijde, verschilt van het limiet naar x -> 2 vanaf de negatieve zijde? Is dit een correcte beargumentatie?quote:
[..]
Nee jongeman, je hebt hier de zogeheten floor function, en dat is iets heel anders.
Inderdaad. Als de linker limiet en de rechter limiet van f(x) voor x ↑ a resp. x ↓ a beide bestaan maar ze zijn niet aan elkaar gelijk, dan bestaat de limiet van f(x) voor x → a niet. Dit volgt direct uit de (ε, δ) definitie van limx→a f(x) = L. Een functie f is continu in een punt x = a dan en slechts dan als limx→a f(x) = f(a).quote:
[..]
Zou je kunnen beargumenteren dat de functie die jij gelinkt hebt, niet continu is op, bijvoorbeeld, x = 2, omdat het de limiet voor x -> 2, van de positieve zijde, verschilt van het de limiet voor x -> 2 vanaf de negatieve zijde? Is dit een correcte beargumentatie?
Je kunt beter f(x) = ⌊½x⌋ + 1 schrijven.quote:
[..]
Die rechte haken in het onderste functievoorschrift betekenen dat je de uitkomst van ½x naar beneden moet afronden op een geheel getal.
Dat betekent dat f(0) = └0┘+1 = 1, f(1) = └½┘+1 = 0+1=1, f(1,99)=└0,995┘+1=1 en f(2)=└1┘+1 = 2. Die is in de buurt van ieder even getal dus niet continu, hij maakt een sprongetje. Dat Wolfram iets anders zegt, komt denk ik omdat je de functie niet goed aan het programma hebt weten duidelijk te maken.
Die kon ik zo snel niet vinden in het windows-speciale-teken-venstertjequote:
[..]
Je kunt beter f(x) = ⌊½x⌋ + 1 schrijven.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
Dat begrijp ik, en daarom kun je beter HTML entities gebruiken. Die zijn ook veel gemakkelijker te onthouden.quote:
[..]
Die kon ik zo snel niet vinden in het windows-speciale-teken-venstertje
quote:
[..]
Dat begrijp ik, en daarom kun je beter HTML entities gebruiken. Die zijn ook veel gemakkelijker te onthouden.
Bedankt voor de tip.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
Goedenavond iedereen,
Voor calculus moet ik een opdracht inleveren met betrekking tot integreren.
Laten we aannemen dat | een integraalteken voorstelt.
* Integraal i = 1/2 | sint/(1-(cost)^2) dt
De opdracht is om aan te tonen dat substitutie u=cost geeft
i = -1/4 | (1/(1+u))+(1/(1-u)) du
Wat ik voor elkaar krijg:
* du= -sint dt
* i = -1/2 | sint^2/(1-u^2)
Ook weet ik:
* (1-u²)=(1+u)(1-u)
Zou iemand mij misschien enige hulp kunnen verlenen?
Ik zou graag een afbeelding invoegen van de opdracht, maar hoe?
Voor calculus moet ik een opdracht inleveren met betrekking tot integreren.
Laten we aannemen dat | een integraalteken voorstelt.
* Integraal i = 1/2 | sint/(1-(cost)^2) dt
De opdracht is om aan te tonen dat substitutie u=cost geeft
i = -1/4 | (1/(1+u))+(1/(1-u)) du
Wat ik voor elkaar krijg:
* du= -sint dt
* i = -1/2 | sint^2/(1-u^2)
Ook weet ik:
* (1-u²)=(1+u)(1-u)
Zou iemand mij misschien enige hulp kunnen verlenen?
Ik zou graag een afbeelding invoegen van de opdracht, maar hoe?
Je weet:quote:
Goedenavond iedereen,
Voor calculus moet ik een opdracht inleveren met betrekking tot integreren.
Laten we aannemen dat | een integraalteken voorstelt.
* Integraal i = 1/2 | sint/(1-(cost)^2) dt
De opdracht is om aan te tonen dat substitutie u=cost geeft
i = -1/4 | (1/(1+u))+(1/(1-u)) du
Wat ik voor elkaar krijg:
* du= -sint dt
* i = -1/2 | sint^2/(1-u^2)
Ook weet ik:
* (1-u²)=(1+u)(1-u)
Zou iemand mij misschien enige hulp kunnen verlenen?
Ik zou graag een afbeelding invoegen van de opdracht, maar hoe?
du = -sin(t)*dt
Dus:
dt = -du/sin(t)
Dit moet je invullen in je integraal, dan hou je alleen nog maar de 1/(1-u2) term over.
Met breuksplitsen kun je de uitdrukking vervolgens naar het antwoord toepraten
ℙ(A ∪ B) = ℙ(A) ∪ ℙ(B) is not true for all sets A and B.
What special property do A and B need to have to make the statement hold? Prove that this property is necessary and sufficient.
Voor de duidelijkheid, ℙ = power set.
Goed, ik kwam tot het volgende:
Property: (A ⊆ B) ∨ (B ⊆ A).
To prove: (A ⊆ B) ∨ (B ⊆ A) ⇔ ℙ(A ∪ B) = ℙ(A) ∪ ℙ(B)
First part.
(A ⊆ B) ∨ (B ⊆ A) ⇒ ℙ(A ∪ B) = ℙ(A) ∪ ℙ(B).
Assume A ⊆ B.
Let x ∈ ℙ(A ∪ B).
If x ∈ ℙ(A ∪ B), then by assumption x ∈ ℙ(B) and thus x ∈ ℙ(A) ∪ ℙ(B).
Second part.
ℙ(A ∪ B) = ℙ(A) ∪ ℙ(B) ⇒ (A ⊆ B) ∨ (B ⊆ A).
Hier zit ik vast, 't zal vast niet bijzonder lastig zijn maar ik zie het even niet. Iemand die me een hint kan geven?
What special property do A and B need to have to make the statement hold? Prove that this property is necessary and sufficient.
Voor de duidelijkheid, ℙ = power set.
Goed, ik kwam tot het volgende:
Property: (A ⊆ B) ∨ (B ⊆ A).
To prove: (A ⊆ B) ∨ (B ⊆ A) ⇔ ℙ(A ∪ B) = ℙ(A) ∪ ℙ(B)
First part.
(A ⊆ B) ∨ (B ⊆ A) ⇒ ℙ(A ∪ B) = ℙ(A) ∪ ℙ(B).
Assume A ⊆ B.
Let x ∈ ℙ(A ∪ B).
If x ∈ ℙ(A ∪ B), then by assumption x ∈ ℙ(B) and thus x ∈ ℙ(A) ∪ ℙ(B).
Second part.
ℙ(A ∪ B) = ℙ(A) ∪ ℙ(B) ⇒ (A ⊆ B) ∨ (B ⊆ A).
Hier zit ik vast, 't zal vast niet bijzonder lastig zijn maar ik zie het even niet. Iemand die me een hint kan geven?
Alrac bedankt voor je reactie!
Nog steeds heb je dan het verschil -1/2 <-> -1/4, toch?
Of zit ik verkeerd?
Nog steeds heb je dan het verschil -1/2 <-> -1/4, toch?
Of zit ik verkeerd?
Dat komt goed door het breuksplitsen,quote:
Alrac bedankt voor je reactie!
Nog steeds heb je dan het verschil -1/2 <-> -1/4, toch?
Of zit ik verkeerd?
Trouwens, kun je overweg met
Ik zal me erin verdiepen. Hier ben ik nog niet bekend mee. Ik ben het direct met je eens dat het een beetje lastig is op deze manier.
Delen door een breuk is...quote:
Weet iemand hoe ik dit 'korter' kan opschrijven ofwel beter kan herschrijven?:
[ afbeelding ]
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
Je substitutie u = cos t gaat niet helemaal goed, want je hebt (correct) gevonden dat du = −sin t·dt, zodat we dus krijgenquote:
Goedenavond iedereen,
Voor calculus moet ik een opdracht inleveren met betrekking tot integreren.
Laten we aannemen dat | een integraalteken voorstelt.
* Integraal i = 1/2 | sint/(1-(cost)^2) dt
De opdracht is om aan te tonen dat substitutie u=cost geeft
i = -1/4 | (1/(1+u))+(1/(1-u)) du
Wat ik voor elkaar krijg:
* du= -sint dt
* i = -1/2 | sint^2/(1-u^2)
Ook weet ik:
* (1-u²)=(1+u)(1-u)
Zou iemand mij misschien enige hulp kunnen verlenen?
Ik zou graag een afbeelding invoegen van de opdracht, maar hoe?
Deze integraal kun je verder behandelen met breuksplitsing, want je hebt immers
en zo heb je inderdaad
De rest kun je nu zelf wel bedenken. Ik ga ervan uit dat je een onbepaalde integraal moet evalueren, maar als je een bepaalde (definiete) integraal moet berekenen, dan moet je uiteraard ook nog de integratiegrenzen van je integraal in de nieuwe variabele u aanpassen.
Merk trouwens op dat je integrand gelijk is aan 1/sin t. Door gebruik te maken van de identiteit
en van
en dus
krijg je direct
Je kunt nu gemakkelijk nagaan dat dit equivalent is met het resultaat dat je via je substitutie zult vinden door gebruik te maken van
en
[ Bericht 3% gewijzigd door Riparius op 01-10-2014 22:54:15 ]
Dan kom ik uit opquote:
x / 2√x
Maar dat kan weer korter door zowel boven als onder te vermenigvuldigen met √x, neem ik aan?
Op zich kun je de limiet zo ook wel bepalen, maar als je 'm nog graag korter opschrijft dan kan dat.quote:
[..]
Dan kom ik uit op
x / 2√x
Maar dat kan weer korter door zowel boven als onder te vermenigvuldigen met √x, neem ik aan?
Als je boven en onder vermenigvuldigt met √x, wat komt er dan uit? En kan dat nog korter?
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
x * √x = x^3/2quote:
[..]
Op zich kun je de limiet zo ook wel bepalen, maar als je 'm nog graag korter opschrijft dan kan dat.
Als je boven en onder vermenigvuldigt met √x, wat komt er dan uit? En kan dat nog korter?
Dus: x^3/2 / 2
De kortst mogelijke schrijfwijze voor deze gehele uitdrukking is:quote:
Weet iemand hoe ik dit 'korter' kan opschrijven ofwel beter kan herschrijven?:
[ afbeelding ]
onbepaald
[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 30-09-2014 23:51:32 ]
I demand a proof.quote:
[..]
De kortst mogelijke schrijfwijze voor deze gehele uitdrukking is:
0
Op
quote:
[..]
Dat mag de vragensteller leveren.
Volgens mij moet het toch echt ∞ zijn
Je verpest m'n grap.quote:
[..]
Ah, inderdaad, ½√x. Ik zit weer te lang achter de computer.quote:
[..]
Gelukkig snap jij het nu al.quote:
[..]
Ah, inderdaad, ½√x. Ik zit weer te lang achter de computer.
Mag ik eens een vraagje stellen? Analoog aan de Newton-Raphson iteratie kun je ook een iteratie starten op basis van tweedegraads Taylorexpansies. Dus een startpunt P0 kiezen.
Nu wordt mij gevraagd het bewijs te leveren van die iteratieformule waar P(n+1) niet expliciet inzit. Ik heb geen flauw idee hoe ik daarop moet komen.
Halley's Method dus.
[ Bericht 1% gewijzigd door #ANONIEM op 30-09-2014 23:57:20 ]
Begin hier maar even mee, dan zie je het denk ik wel. Ik ben nu echt een beetje te gaar om dit voor te gaan doen en moet nog andere dingen doen ook.quote:Op dinsdag 30 september 2014 23:55 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Gelukkig snap jij het nu al.
Mag ik eens een vraagje stellen? Analoog aan de Newton-Raphson iteratie kun je ook een iteratie starten op basis van tweedegraads Taylorexpansies. Dus een startpunt P0 kiezen.
Nu wordt mij gevraagd het bewijs te leveren van die iteratieformule waar P(n+1) niet expliciet inzit. Ik heb geen flauw idee hoe ik daarop moet komen.
Halley's Method dus.
Komt morgen wel. Loop echt ziek achter met Inleiding Numerieke Analyse dus moet serieus aan de bak voor die studiepunten.quote:
[..]
Begin hier maar even mee, dan zie je het denk ik wel. Ik ben nu echt een beetje te gaar om dit voor te gaan doen en moet nog andere dingen doen ook.
[ Bericht 8% gewijzigd door #ANONIEM op 01-10-2014 00:16:37 ]
Ik moet bewijzen dat voor Halley's Method geldt:quote:
[..]
Begin hier maar even mee, dan zie je het denk ik wel. Ik ben nu echt een beetje te gaar om dit voor te gaan doen en moet nog andere dingen doen ook.
Succes.quote:Op woensdag 1 oktober 2014 11:49 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Ik moet bewijzen dat voor Halley's Method geldt:
Hallo allemaal,
Ik moet de afgeleide doen van y = (5x+3)^x
Als ik dan deze regel toepas: a^x = a^x ln a dan kom ik uit op
(5x+3)^x ln(5x+3) 5
(5 op het einde door de kettingregel)
maar het antwoord moet zijn:
(5x+3)^x ( (5x/5x+3) + ln (5x+3) )
Kan iemand mij uitleggen hoe ze aan dit antwoord komen?
Bedankt.
Ik moet de afgeleide doen van y = (5x+3)^x
Als ik dan deze regel toepas: a^x = a^x ln a dan kom ik uit op
(5x+3)^x ln(5x+3) 5
(5 op het einde door de kettingregel)
maar het antwoord moet zijn:
(5x+3)^x ( (5x/5x+3) + ln (5x+3) )
Kan iemand mij uitleggen hoe ze aan dit antwoord komen?
Bedankt.
We kijken eerst eerst nog even naar de Newton-Raphson iteratie. Daarbij bepalen we een (enkelvoudig) nulpunt van f(x) door, uitgaande van een gegeven benadering x = pn, een betere benadering van het nulpunt te verkrijgen door een vergelijking op te stellen van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (pn, f(pn)) en het snijpunt te bepalen van deze raaklijn met de x-as. De x-coördinaat van dit snijpunt is dan de nieuwe benadering pn+1 van het nulpunt van f(x). Allerlei technische finesses die te maken hebben met de condities waaronder de rij {pn} convergeert naar het nulpunt in kwestie van f(x) laat ik nu even voor wat ze zijn, maar dit is het idee.quote:
[..]
Ik moet bewijzen dat voor Halley's Method geldt:
De raaklijn met richtingscoëfficiënt f'(pn) aan de grafiek van f in het punt (pn, f(pn)) heeft als vergelijking
De x-coördinaat van het snijpunt van deze lijn met de x-as is onze nieuwe benadering pn+1 zodat we dus hebben
en hieruit volgt
Nu kunnen we de vergelijking van de rechte lijn met richtingscoëfficiënt f'(pn) door het punt (pn, f(pn)) op de curve van f ook opvatten als een eerste orde Taylor expansie van f(x) rond het punt x = pn, en dit leidt als vanzelf tot het idee dat we ook een tweede orde Taylor expansie als benadering zouden kunnen gebruiken, i.e. we benaderen de curve van f dan niet meer met behulp van een rechte lijn maar met behulp van een parabool die de curve van f osculeert in het punt (pn, f(pn)). De vergelijking van deze parabool wordt dan
De x-coördinaat van één van de snijpunten van deze parabool met de x-as is dan onze nieuwe benadering pn+1 van het nulpunt van f(x) zodat we als voorwaarde krijgen
Nu zouden we hieruit pn+1 op kunnen lossen, maar aangezien we hier een vierkantsvergelijking hebben in pn+1 krijgen we dan een lastige uitdrukking met een vierkantswortel, en dat is niet attractief. Daarom gaan we iets anders te werk. We halen eerst de gemene factor (pn+1 − pn) van de laatste twee termen in het rechterlid buiten haakjes, dit geeft
en dus
Dit is equivalent met de betrekking die je werd gevraagd te bewijzen. Maar we zijn er nog niet, want nu komt pas de clou. We kunnen het verschil pn+1 − pn in het rechterlid namelijk benaderen als −f(pn)/f'(pn) met behulp van de Newton-Raphson iteratie, en substitutie hiervan geeft na wat herleiding
En deze iteratie staat algemeen bekend als de methode van Halley.
Ik ben echt zoooo dom he. Ik heb heel die shit met die vierkantswortel wel gedaan. 
Inderdaad is de vervolgvraag om mbv de Newton-Raphson methode op de onderste betrekking uit te komen (wat me natuurlijk wel gelukt is).
Thanks
[ Bericht 19% gewijzigd door #ANONIEM op 01-10-2014 19:33:10 ]
Inderdaad is de vervolgvraag om mbv de Newton-Raphson methode op de onderste betrekking uit te komen (wat me natuurlijk wel gelukt is).
Thanks
[ Bericht 19% gewijzigd door #ANONIEM op 01-10-2014 19:33:10 ]
Je bent in zekere zin in goed gezelschap, want ik heb de originele publicatie van Halley uit 1694 nog even geraadpleegd (fantastisch trouwens dat zoiets tegenwoordig zo maar kan binnen enkele seconden) en daar zie je dat Halley ook met een iteratie met vierkantswortels werkte. Hij beweert in dit artikel ook dat dit beter is (i.e. een snellere convergentie oplevert) dan de rationale iteratie die nu algemeen bekend staat als de methode van Halley, maar dat is in het algemeen niet waar. Dat kun je bijvoorbeeld testen door het nulpunt x = ln 2 van f(x) = ex − 2 met beide iteraties te benaderen en dan de resultaten te vergelijken.quote:Op woensdag 1 oktober 2014 19:32 schreef Amoeba het volgende:
Ik ben echt zoooo dom he. Ik heb heel die shit met die vierkantswortel wel gedaan.
Inderdaad is de vervolgvraag om mbv de Newton-Raphson methode op de onderste betrekking uit te komen (wat me natuurlijk wel gelukt is).
Thanks
Is dit Latijn?quote:
[..]
Je bent in zekere zin in goed gezelschap, want ik heb de originele publicatie van Halley uit 1694 nog even geraadpleegd (fantastisch trouwens dat zoiets tegenwoordig zo maar kan binnen enkele seconden) en daar zie je dat Halley ook met een iteratie met vierkantswortels werkte. Hij beweert in dit artikel ook dat dit beter is (i.e. een snellere convergentie oplevert) dan de rationale iteratie die nu algemeen bekend staat als de methode van Halley, maar dat is in het algemeen niet waar. Dat kun je bijvoorbeeld testen door het nulpunt x = ln 2 van f(x) = ex − 2 met beide iteraties te benaderen en dan de resultaten te vergelijken.
Door omstandigheden heb ik nooit onderwijs in het Latijn mogen genieten, derhalve ben ik de taal ook niet machtig.quote:
Wel een beperking.
Echt (vloeiend) spreken niet eens zoveel (naast Nederlands, Frans, Duits, Engels) maar ik heb wel leesvaardigheid in veel Indo-Europese talen (Germaans, Romaans, Slavisch) naast uiteraard Latijn en klassiek Grieks. Maar meer wil ik hierover niet kwijt.quote:
[..]
Welke talen spreek jij eigenlijk allemaal?
Stevig lijstjequote:
[..]
Echt (vloeiend) spreken niet eens zoveel (naast Nederlands, Frans, Duits, Engels) maar ik heb wel leesvaardigheid in veel Indo-Europese talen (Germaans, Romaans, Slavisch) naast uiteraard Latijn en klassiek Grieks. Maar meer wil ik hierover niet kwijt.
Ik had eerlijk gezegd Russisch wel verwacht, zeker gezien jouw interesse in (klassieke) wiskundige teksten.quote:
[..]
Echt (vloeiend) spreken niet eens zoveel (naast Nederlands, Frans, Duits, Engels) maar ik heb wel leesvaardigheid in veel Indo-Europese talen (Germaans, Romaans, Slavisch) naast uiteraard Latijn en klassiek Grieks. Maar meer wil ik hierover niet kwijt.
Weet iemand een goed boek over calculus? Ik ben eigenlijk opzoek naar een boek dat ook laat zien waarom een bepaalde methode werkt.
Dat is dus analyse en daar ben jij nog lang niet aan toe! Ga eerst maar eens dat lineaire algebra dictaat doorwerken.quote:
Weet iemand een goed boek over calculus? Ik ben eigenlijk opzoek naar een boek dat ook laat zien waarom een bepaalde methode werkt.
Heb je concrete vragen over methodes die bij calculus worden gebruikt en waarvan je wil weten waarom ze werken? Ik heb hier trouwens nog een post klaar staan over de meetkundige interpretatie van vermenigvuldiging van complexe getallen en aanverwante zaken. Is een hele tijd blijven liggen vanwege de vakantieperiode maar kan ik wel posten nu de rust lijkt weergekeerd in dit topic. Zou je nu prima moeten kunnen volgen.quote:
Weet iemand een goed boek over calculus? Ik ben eigenlijk opzoek naar een boek dat ook laat zien waarom een bepaalde methode werkt.
Ik heb moeite met wiskundige termen, "het vlak door P", bijvoorbeeld. Welk vlak? Hoe groot is dat vlak? Hoe wordt dat vlak gedefinïeerd?quote:Overtuig je er zelf van dat de verzameling W = {λa + μb|λ, μ ∈ R} precies
het vlak door O, A,B voorstelt. Zij nu P een willekeurig punt in de ruimte
met bijbehorende vector p. Geef het vlak door P, evenwijdig aan W, aan met
V . Omdat we V ook kunnen krijgen door W over de vector p te transleren
zien we dat V gegeven wordt door de vectoren {p + λa + μb|λ, μ ∈ R}.
Ook snap ik λa + μb niet, dat is toch een lijn?
Voor definities van begrippen kun je goed op Wikipedia terecht. Het is echter wel zo dat definities van begrippen gebruik moeten maken van eerder gedefinieerde begrippen, en daar kun je niet eindeloos mee doorgaan, en dus loop je zo onherroepelijk tegen het probleem aan dat je niet alle begrippen formeel kunt definiëren. Enkele basisbegrippen zoals in de meetkunde het begrip punt, rechte lijn en vlak moet je daarom formeel ongedefinieerd laten, maar je kunt ze wel beschrijven aan de hand van hun onderlinge relaties. Hetzelfde geldt voor stellingen. Die bewijs je aan de hand van eerder bewezen stellingen, maar ook daar kun je niet eindeloos mee doorgaan, en dus moet je vertrekken vanuit een aantal proposities waarvan je aanneemt dat ze waar zijn, en die uiteraard niet met elkaar in strijd mogen zijn en die ook onafhankelijk van elkaar zijn, zodat geen van deze proposities uit de overige aangenomen proposities is te bewijzen. Dat zijn dan je axioma's.quote:
[..]
Ik heb moeite met wiskundige termen, "het vlak door P", bijvoorbeeld. Welk vlak? Hoe groot is dat vlak? Hoe wordt dat vlak gedefinïeerd?
Een vlak in de meetkunde strekt zich oneindig ver uit, het heeft dus geen randen, net zo goed als we ons een rechte lijn denken als iets dat zich (naar beide zijden) oneindig ver uitstrekt.
Nee, want je hebt hier niet één parameter, maar twee parameters λ en μ, en de vectoren a en b liggen niet in elkaars verlengde. We zeggen dan ook dat a en b lineair onafhankelijk zijn. Je kunt a niet uitdrukken in b en b niet in a. Maar het wel zo dat als je een willekeurig punt P kiest in het vlak dat wordt opgespannen door de vectoren OA = a en OB = b (i.e. het vlak bepaald door de drie punten O, A, B) dat je dan de vector OP = p op een unieke manier kunt schrijven als een lineaire combinatie λa + μb van de vectoren a en b met λ, μ ∈ R.We noemen {a, b} daarom een basis voor de vectorruimte die bestaat uit alle vectoren in dat vlak en we noemen het unieke geordende paar (λ, μ) de kentallen van vector p maar ook de coördinaten van het punt P ten opzichte van de basis {a, b}.quote:Ook snap ik λa + μb niet, dat is toch een lijn?
Deze vraag heb je al eerder gesteld en toen heb je ook antwoorden gekregen.quote:
Kan iemand mij helpen met de volgende som:
Q * P 1/2 = 38
Find dQ / dP by implicit differentiation.
