[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

quote:

Op woensdag 1 oktober 2014 00:10 schreef Riparius het volgende:

[..]

Begin hier maar even mee, dan zie je het denk ik wel. Ik ben nu echt een beetje te gaar om dit voor te gaan doen en moet nog andere dingen doen ook.

Komt morgen wel. Loop echt ziek achter met Inleiding Numerieke Analyse dus moet serieus aan de bak voor die studiepunten.

quote:

Op woensdag 1 oktober 2014 00:10 schreef Riparius het volgende:

[..]

Begin hier maar even mee, dan zie je het denk ik wel. Ik ben nu echt een beetje te gaar om dit voor te gaan doen en moet nog andere dingen doen ook.

Ik moet bewijzen dat voor Halley's Method geldt:

quote:

Op woensdag 1 oktober 2014 11:49 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik moet bewijzen dat voor Halley's Method geldt:

Succes.

quote:

Op woensdag 1 oktober 2014 14:52 schreef thenxero het volgende:

[..]

Succes.

Bedankt.

Hallo allemaal,
Ik moet de afgeleide doen van y = (5x+3)^x
Als ik dan deze regel toepas: a^x = a^x ln a dan kom ik uit op
(5x+3)^x ln(5x+3) 5

(5 op het einde door de kettingregel)
maar het antwoord moet zijn:

(5x+3)^x ( (5x/5x+3) + ln (5x+3) )

Kan iemand mij uitleggen hoe ze aan dit antwoord komen?
Bedankt.

En dan de kettingregel toepassen.

quote:

Op woensdag 1 oktober 2014 18:18 schreef Novermars het volgende:

En dan de kettingregel toepassen.

Ah, oké! Bedankt.

quote:

Op woensdag 1 oktober 2014 11:49 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik moet bewijzen dat voor Halley's Method geldt:

We kijken eerst eerst nog even naar de Newton-Raphson iteratie. Daarbij bepalen we een (enkelvoudig) nulpunt van f(x) door, uitgaande van een gegeven benadering x = p_n, een betere benadering van het nulpunt te verkrijgen door een vergelijking op te stellen van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (p_n, f(p_n)) en het snijpunt te bepalen van deze raaklijn met de x-as. De x-coördinaat van dit snijpunt is dan de nieuwe benadering p_n+1 van het nulpunt van f(x). Allerlei technische finesses die te maken hebben met de condities waaronder de rij {p_n} convergeert naar het nulpunt in kwestie van f(x) laat ik nu even voor wat ze zijn, maar dit is het idee.

De raaklijn met richtingscoëfficiënt f'(p_n) aan de grafiek van f in het punt (p_n, f(p_n)) heeft als vergelijking



De x-coördinaat van het snijpunt van deze lijn met de x-as is onze nieuwe benadering p_n+1 zodat we dus hebben



en hieruit volgt



Nu kunnen we de vergelijking van de rechte lijn met richtingscoëfficiënt f'(p_n) door het punt (p_n, f(p_n)) op de curve van f ook opvatten als een eerste orde Taylor expansie van f(x) rond het punt x = p_n, en dit leidt als vanzelf tot het idee dat we ook een tweede orde Taylor expansie als benadering zouden kunnen gebruiken, i.e. we benaderen de curve van f dan niet meer met behulp van een rechte lijn maar met behulp van een parabool die de curve van f osculeert in het punt (p_n, f(p_n)). De vergelijking van deze parabool wordt dan



De x-coördinaat van één van de snijpunten van deze parabool met de x-as is dan onze nieuwe benadering p_n+1 van het nulpunt van f(x) zodat we als voorwaarde krijgen



Nu zouden we hieruit p_n+1 op kunnen lossen, maar aangezien we hier een vierkantsvergelijking hebben in p_n+1 krijgen we dan een lastige uitdrukking met een vierkantswortel, en dat is niet attractief. Daarom gaan we iets anders te werk. We halen eerst de gemene factor (p_n+1 − p_n) van de laatste twee termen in het rechterlid buiten haakjes, dit geeft



en dus



Dit is equivalent met de betrekking die je werd gevraagd te bewijzen. Maar we zijn er nog niet, want nu komt pas de clou. We kunnen het verschil p_n+1 − p_n in het rechterlid namelijk benaderen als −f(p_n)/f'(p_n) met behulp van de Newton-Raphson iteratie, en substitutie hiervan geeft na wat herleiding



En deze iteratie staat algemeen bekend als de methode van Halley.

Ik ben echt zoooo dom he. Ik heb heel die shit met die vierkantswortel wel gedaan.
Inderdaad is de vervolgvraag om mbv de Newton-Raphson methode op de onderste betrekking uit te komen (wat me natuurlijk wel gelukt is).

Thanks

quote:

Op woensdag 1 oktober 2014 19:32 schreef Amoeba het volgende:
Ik ben echt zoooo dom he. Ik heb heel die shit met die vierkantswortel wel gedaan.
Inderdaad is de vervolgvraag om mbv de Newton-Raphson methode op de onderste betrekking uit te komen (wat me natuurlijk wel gelukt is).

Thanks

Je bent in zekere zin in goed gezelschap, want ik heb de originele publicatie van Halley uit 1694 nog even geraadpleegd (fantastisch trouwens dat zoiets tegenwoordig zo maar kan binnen enkele seconden) en daar zie je dat Halley ook met een iteratie met vierkantswortels werkte. Hij beweert in dit artikel ook dat dit beter is (i.e. een snellere convergentie oplevert) dan de rationale iteratie die nu algemeen bekend staat als de methode van Halley, maar dat is in het algemeen niet waar. Dat kun je bijvoorbeeld testen door het nulpunt x = ln 2 van f(x) = e^x − 2 met beide iteraties te benaderen en dan de resultaten te vergelijken.

quote:

Op woensdag 1 oktober 2014 20:26 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je bent in zekere zin in goed gezelschap, want ik heb de originele publicatie van Halley uit 1694 nog even geraadpleegd (fantastisch trouwens dat zoiets tegenwoordig zo maar kan binnen enkele seconden) en daar zie je dat Halley ook met een iteratie met vierkantswortels werkte. Hij beweert in dit artikel ook dat dit beter is (i.e. een snellere convergentie oplevert) dan de rationale iteratie die nu algemeen bekend staat als de methode van Halley, maar dat is in het algemeen niet waar. Dat kun je bijvoorbeeld testen door het nulpunt x = ln 2 van f(x) = e^x − 2 met beide iteraties te benaderen en dan de resultaten te vergelijken.

Is dit Latijn?

quote:

Op woensdag 1 oktober 2014 20:38 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Is dit Latijn?

Jazeker, wat dacht je dan?

quote:

Op woensdag 1 oktober 2014 21:06 schreef Riparius het volgende:

[..]

Jazeker, wat dacht je dan?

Door omstandigheden heb ik nooit onderwijs in het Latijn mogen genieten, derhalve ben ik de taal ook niet machtig.

Wel een beperking.

quote:

Op woensdag 1 oktober 2014 21:06 schreef Riparius het volgende:

[..]

Jazeker, wat dacht je dan?

Welke talen spreek jij eigenlijk allemaal?

quote:

Op woensdag 1 oktober 2014 21:12 schreef OllieWilliams het volgende:

[..]

Welke talen spreek jij eigenlijk allemaal?

Echt (vloeiend) spreken niet eens zoveel (naast Nederlands, Frans, Duits, Engels) maar ik heb wel leesvaardigheid in veel Indo-Europese talen (Germaans, Romaans, Slavisch) naast uiteraard Latijn en klassiek Grieks. Maar meer wil ik hierover niet kwijt.

quote:

Op woensdag 1 oktober 2014 21:26 schreef Riparius het volgende:

[..]

Echt (vloeiend) spreken niet eens zoveel (naast Nederlands, Frans, Duits, Engels) maar ik heb wel leesvaardigheid in veel Indo-Europese talen (Germaans, Romaans, Slavisch) naast uiteraard Latijn en klassiek Grieks. Maar meer wil ik hierover niet kwijt.

Stevig lijstje

quote:

Op woensdag 1 oktober 2014 21:26 schreef Riparius het volgende:

[..]

Echt (vloeiend) spreken niet eens zoveel (naast Nederlands, Frans, Duits, Engels) maar ik heb wel leesvaardigheid in veel Indo-Europese talen (Germaans, Romaans, Slavisch) naast uiteraard Latijn en klassiek Grieks. Maar meer wil ik hierover niet kwijt.

Ik had eerlijk gezegd Russisch wel verwacht, zeker gezien jouw interesse in (klassieke) wiskundige teksten.

Weet iemand een goed boek over calculus? Ik ben eigenlijk opzoek naar een boek dat ook laat zien waarom een bepaalde methode werkt.

quote:

Op donderdag 2 oktober 2014 18:53 schreef netchip het volgende:
Weet iemand een goed boek over calculus? Ik ben eigenlijk opzoek naar een boek dat ook laat zien waarom een bepaalde methode werkt.

Dat is dus analyse en daar ben jij nog lang niet aan toe! Ga eerst maar eens dat lineaire algebra dictaat doorwerken.

quote:

Op donderdag 2 oktober 2014 18:53 schreef netchip het volgende:
Weet iemand een goed boek over calculus? Ik ben eigenlijk opzoek naar een boek dat ook laat zien waarom een bepaalde methode werkt.

Heb je concrete vragen over methodes die bij calculus worden gebruikt en waarvan je wil weten waarom ze werken? Ik heb hier trouwens nog een post klaar staan over de meetkundige interpretatie van vermenigvuldiging van complexe getallen en aanverwante zaken. Is een hele tijd blijven liggen vanwege de vakantieperiode maar kan ik wel posten nu de rust lijkt weergekeerd in dit topic. Zou je nu prima moeten kunnen volgen.

quote:

Overtuig je er zelf van dat de verzameling W = {λa + μb|λ, μ ∈ R} precies
het vlak door O, A,B voorstelt. Zij nu P een willekeurig punt in de ruimte
met bijbehorende vector p. Geef het vlak door P, evenwijdig aan W, aan met
V . Omdat we V ook kunnen krijgen door W over de vector p te transleren
zien we dat V gegeven wordt door de vectoren {p + λa + μb|λ, μ ∈ R}.

Ik heb moeite met wiskundige termen, "het vlak door P", bijvoorbeeld. Welk vlak? Hoe groot is dat vlak? Hoe wordt dat vlak gedefinïeerd?

Ook snap ik λa + μb niet, dat is toch een lijn?

quote:

Op donderdag 2 oktober 2014 22:00 schreef netchip het volgende:

[..]

Ik heb moeite met wiskundige termen, "het vlak door P", bijvoorbeeld. Welk vlak? Hoe groot is dat vlak? Hoe wordt dat vlak gedefinïeerd?

Voor definities van begrippen kun je goed op Wikipedia terecht. Het is echter wel zo dat definities van begrippen gebruik moeten maken van eerder gedefinieerde begrippen, en daar kun je niet eindeloos mee doorgaan, en dus loop je zo onherroepelijk tegen het probleem aan dat je niet alle begrippen formeel kunt definiëren. Enkele basisbegrippen zoals in de meetkunde het begrip punt, rechte lijn en vlak moet je daarom formeel ongedefinieerd laten, maar je kunt ze wel beschrijven aan de hand van hun onderlinge relaties. Hetzelfde geldt voor stellingen. Die bewijs je aan de hand van eerder bewezen stellingen, maar ook daar kun je niet eindeloos mee doorgaan, en dus moet je vertrekken vanuit een aantal proposities waarvan je aanneemt dat ze waar zijn, en die uiteraard niet met elkaar in strijd mogen zijn en die ook onafhankelijk van elkaar zijn, zodat geen van deze proposities uit de overige aangenomen proposities is te bewijzen. Dat zijn dan je axioma's.

Een vlak in de meetkunde strekt zich oneindig ver uit, het heeft dus geen randen, net zo goed als we ons een rechte lijn denken als iets dat zich (naar beide zijden) oneindig ver uitstrekt.

quote:

Ook snap ik λa + μb niet, dat is toch een lijn?

Nee, want je hebt hier niet één parameter, maar twee parameters λ en μ, en de vectoren a en b liggen niet in elkaars verlengde. We zeggen dan ook dat a en b lineair onafhankelijk zijn. Je kunt a niet uitdrukken in b en b niet in a. Maar het wel zo dat als je een willekeurig punt P kiest in het vlak dat wordt opgespannen door de vectoren OA = a en OB = b (i.e. het vlak bepaald door de drie punten O, A, B) dat je dan de vector OP = p op een unieke manier kunt schrijven als een lineaire combinatie λa + μb van de vectoren a en b met λ, μ ∈ R.We noemen {a, b} daarom een basis voor de vectorruimte die bestaat uit alle vectoren in dat vlak en we noemen het unieke geordende paar (λ, μ) de kentallen van vector p maar ook de coördinaten van het punt P ten opzichte van de basis {a, b}.

Kan iemand mij helpen met de volgende som:

Q * P ^1/2 = 38

Find dQ / dP by implicit differentiation.

quote:

Op vrijdag 3 oktober 2014 00:48 schreef Super-B het volgende:
Kan iemand mij helpen met de volgende som:

Q * P ^1/2 = 38

Find dQ / dP by implicit differentiation.

Deze vraag heb je al eerder gesteld en toen heb je ook antwoorden gekregen.

Met andere woorden, leg uit wat je wel en niet hebt begrepen en ze kunnen je verder helpen. Ze kunnen je niet helpen als ze niet weten wat je wel en niet weet en begrijpt.