[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

quote:

Op dinsdag 6 mei 2014 00:10 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik heb je hier al het advies gegeven om bij het oplossen van wat lastiger ongelijkheden te werken met tekenschema's. Ik geef zo'n advies niet voor niets, het is de bedoeling dat je dat ook ter harte neemt.

Als de absolute waarde van een (reële) grootheid kleiner is dan 1, dan ligt de waarde van die grootheid zelf tussen −1 en +1. De ongelijkheid

| x² − 2x | < 1

is dus equivalent met

−1 < x² − 2x < 1

en dit is weer equivalent met

−1 < x² − 2x ∧ x² − 2x < 1

oftewel

x² − 2x > −1 ∧ x² − 2x < 1

en dus

x² − 2x + 1 > 0 ∧ x² − 2x − 1 < 0

Nu hebben we dus een combinatie van twee kwadratische ongelijkheden met een rechterlid herleid op nul en waaraan tegelijkertijd moet worden voldaan. Deze kwadratische ongelijkheden lossen we op door eerst de nulpunten te bepalen van de kwadratische veeltermen in het linkerlid van deze ongelijkheden. En daar heb je de abc-formule helemaal niet bij nodig. De bepaling van de nulpunten van de eerste kwadratische veelterm is wel heel eenvoudig. Hiervoor vinden we

x² − 2x + 1 = 0
(x − 1)² = 0
x − 1 = 0
x = 1

Voor de bepaling van de nulpunten van de tweede kwadratische veelterm kunnen we kwadraatafsplitsing gebruiken. Dan vinden we

x² − 2x − 1 = 0
(x − 1)² − 1 − 1 = 0
(x − 1)² = 2
x − 1 = √2 ∨ x − 1 = −√2
x = 1 + √2 ∨ x = 1 − √2

Nu moet je zelf maar even twee tekenschema's maken (één voor elk van beide kwadratische ongelijkheden) waarbij je deze tekenschema's uitgelijnd onder elkaar plaatst. Maar strict genomen is dit hier niet eens nodig.

De grafiek van y = x² − 2x + 1 is een dalparabool waarvan de top met coördinaten (1; 0) de x-as raakt, zodat we hebben x² − 2x + 1 > 0 voor elke x ≠ 1.

De grafiek van y = x² − 2x − 1 is een dalparabool die de x-as snijdt in de punten met coördinaten (1 − √2; 0) en (1 + √2; 0), zodat we hebben x² − 2x − 1 < 0 voor 1 − √2 < x < 1 + √2.

Voor de waarden van x die aan de oorspronkelijke ongelijkheid voldoen vinden we dus de voorwaarde

x ≠ 1 ∧ 1 − √2 < x < 1 + √2

Het open interval (1 − √2, 1 + √2) waarop x moet liggen om aan de ongelijkheid te voldoen wordt hier dus in twee delen geknipt doordat de waarde x = 1 niet mee mag doen. Deze knip geeft aldus twee open intervallen. Je kunt de oplossing van de ongelijkheid nu noteren als

1 − √2 < x < 1 ∨ 1 < x < 1 + √2

of als

x ∈ (1 − √2, 1) ∪ (1, 1 + √2)

quote:

Op dinsdag 6 mei 2014 21:09 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

Dit klopt gewoon.
(x^2 -x + 1)(x+1) = x^3 + 1

quote:

Op dinsdag 6 mei 2014 21:55 schreef Anoonumos het volgende:
[ afbeelding ]

Zoiets. Maar misschien is mijn notatie anders dan de jouwe.

quote:

Op dinsdag 6 mei 2014 22:09 schreef Anoonumos het volgende:
(2x^3 - x^2 + 2x - 1) / (3x^3 - 3x^2 - 3x + 3) = 0

'Gewoon' de nulpunten van de teller bepalen en controleren of het ook niet toevallig nulpunten van de noemer zijn.

Anders even invullen bij Wolfram Alpha om de ontbindingen te bepalen als het je zelf niet lukt.

quote:

Op dinsdag 6 mei 2014 22:49 schreef Anoonumos het volgende:
Ik zit even te kijken in dat boek van Craats
(Deze versie althans http://staff.science.uva.nl/~craats/BasisboekWiskunde2HP.pdf)
En dit staat toch gewoon op de pagina van 'Rationale functies' ?

Die functie f(x) = (x^2 + 1)(2x-1) / (3(x-1)^2(x+1)) die daar bovenaan de bladzijde staat is precies
gelijk aan jouw (2x^3 - x^2 + 2x - 1) / (3x^3 - 3x^2 - 3x + 3).

quote:

Op dinsdag 6 mei 2014 22:49 schreef Anoonumos het volgende:
Ik zit even te kijken in dat boek van Craats
(Deze versie althans http://staff.science.uva.nl/~craats/BasisboekWiskunde2HP.pdf)
En dit staat toch gewoon op de pagina van 'Rationale functies' ?

Die functie f(x) = (x^2 + 1)(2x-1) / (3(x-1)^2(x+1)) die daar bovenaan de bladzijde staat is precies
gelijk aan jouw (2x^3 - x^2 + 2x - 1) / (3x^3 - 3x^2 - 3x + 3).

"Als dat gebeurd is, zijn de nulpunten van de teller a(x) ook de nulpunten van f (x)."