SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Er moet ook gezegd worden dat het boek bijzonder ongeschikt is voor zelfstudie..quote:Op maandag 5 mei 2014 21:49 schreef Riparius het volgende:
[..]
Dat zegt niet veel. Mensen die aan zelfstudie doen voor een toelatingsexamen wiskunde studeren vaak bijzonder inefficiënt en vliegen voordurend uit de bocht, zo heb ik gemerkt. Een goede leraar die ook echt les geeft is onvervangbaar. Voor welke toets bereid je je voor, en welke boeken gebruik je daarbij?
Snap jij opgave 16.34 e?quote:
[..]
Er moet ook gezegd worden dat het boek bijzonder ongeschikt is voor zelfstudie..
Gedaan.. zie de post hierna die ik ga quoten (zit op mijn mobiel). Ik zit vast bij het schrijven vh eindantwoord.quote:
[..]
Zowel de - als de + versie van het linkerlid berekenen?
antwoordenboek zegt:quote:
| x^2 - 2x | < 1
Ik deed
x^2 - 2x - 1 < 0 en x^2 - 2x + 1 > 0
Bij de eerste abc formule toegepast te hebben kom ik uit op
x < 1 - W2 , x < 1 + W2 en x > 1, x >1
Nu heb ik wel de goede antwoorden, maar heb ik niet de juiste combinatie van oplossingen bij elkaar en onjuiste ongelijkheidstekens...? Wat doe ik fout..?
1 - W2 < x < 1 , 1 < x < 1 + W2
Regard 
as a metric space, with 
. Let 
. Show that 
is closed and bounded in , but that is not compact. Is open in ?
Help?
Overduidelijk, is begrensd. Dat was het makkelijke gedeelte. Volgens de definitie is een set closed iff als zij al haar limietpunten bevat. Omdat 
, lijkt me dat deze set is gesloten is. Waarom mag ik Heine-Borel niet 'invoken'?
[ Bericht 18% gewijzigd door Novermars op 05-05-2014 22:22:26 ]
Help?
Overduidelijk,
[ Bericht 18% gewijzigd door Novermars op 05-05-2014 22:22:26 ]
Grafiek schetsen, daaruit kan je het vervolgens aflezen.quote:Op maandag 5 mei 2014 22:00 schreef Super-B het volgende:
[..]
antwoordenboek zegt:
1 - W2 < x < 1 , 1 < x < 1 + W2
Doe jij het steeds op die manier..?quote:
[..]
Grafiek schetsen, daaruit kan je het vervolgens aflezen.
Grafiek schetsen van de twee mogelijkheden wat betreft het linkerlid?
Ja, dat is de opdracht ook. Niet zo lui zijn en gewoon schetsenquote:
[..]
Doe jij het steeds op die manier..?
Grafiek schetsen van de twee mogelijkheden wat betreft het linkerlid?
Voor compactheidquote:
Regard
Help?
SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Of lukte geslotenheid al niet?
Damn... ik haat daar overheen gelezen.quote:
[..]
Ja, dat is de opdracht ook. Niet zo lui zijn en gewoon schetsen
quote:
[..]
Voor compactheidZie mijn edit, informeel lukt geslotenheid me wel. Maar geen idee hoe ik dit rigoureus opschrijf...SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Of lukte geslotenheid al niet?
Maar jouw open cover, waarom mag je deze gebruiken? Als we het overzouden hebben, dan is hij logisch. Maar
en
zitten niet in
, moeten we ze dan niet helemaal achterwege laten?
[ Bericht 18% gewijzigd door Novermars op 05-05-2014 22:28:38 ]
Zij p is een limietpunt van E.quote:
[..]
Zie mijn edit, informeel lukt geslotenheid me wel. Maar geen idee hoe ik dit rigoureus opschrijf...
Maar jouw open cover, waarom mag je deze gebruiken? Als we het over
Dan voor elke ε > 0 bestaat er een x in E met p ongelijk aan x en |x-p| < ε.
Stel p zit niet in E. Stel bijvoorbeeld p > sqrt(3) (andere gevallen gaan analoog)
Laat ε = (p - sqrt{3})/2 in je definitie van limietpunt en je vind een tegenspraak.
Het gebruik van wortels kan je wel vermijden maar dan wordt het meer gepriegel denk ik omdat je steeds naar p^2 kijkt ipv naar p.
En Heine-Borel geldt dus alleen voor R^n, dat zal het idee van de opgave wel zijn.
Ja, dat heb ik ook al meermaals opgemerkt. Zoals gezegd, een goede (ouderwetse) leraar die ook echt les geeft blijft onvervangbaar. Maar daarnaast liggen de oorzaken van de dramatische achteruitgang van het niveau van het wiskunde onderwijs ook bij het lager onderwijs. Kinderen die nooit goed hebben leren rekenen (met uitsluitend pen en papier alsmede uit het hoofd, wel te verstaan) missen ook de benodigde vaardigheden om bijvoorbeeld eenvoudige algebraïsche herleidingen tot een goed einde te brengen. Dat wordt treffend geïllustreerd door het volgende plaatje op de website van Liesbeth van der Plas:quote:
[..]
Er moet ook gezegd worden dat het boek bijzonder ongeschikt is voor zelfstudie..
Ze merkt daarbij op: Als een kind niet in staat is het getalsommetje probleemloos uit te rekenen, is de algebra-opgave ook veel te hoog gegrepen. Op haar site is ook een interessante PDF te vinden waar ze het onderwijs dat ze zelf kreeg in de elementaire algebra en de vlakke meetkunde vergelijkt met het onderwijs dat haar dochter op school kreeg over deze zelfde onderwerpen, en de consequenties die dat heeft.
Maar goed, ik kan me voorstellen dat diegenen die zich nu op een toets voorbereiden en dit lezen zullen zeggen dat ze hier op dit moment niets mee opschieten, en daarom wil ik jullie ook niet het bos insturen maar toch wat goede en concrete adviezen meegeven.
Zoals gezegd is een goede leraar onvervangbaar, en dat betekent dat je eigenlijk een cursus zou moeten gaan volgen als je ernst maakt met je (vervolg)studie. Als je dat niet kunt bekostigen of anderszins niet in de gelegenheid bent om dat te gaan doen, dan zou je wellicht op zoek kunnen gaan naar iemand die bereid is je tegen een schappelijk tarief bijles te geven. Is ook dat geen reële mogelijkheid, dan blijft uiteraard alleen zelfstudie over. Maar dan kun je beter niet beginnen met het boek van Van de Craats, want dat is meer een opfriscursus en oefenboek, en daarmee bijzonder ongeschikt voor zelfstudie als je de stof nog nooit eerder hebt gezien. Ik zou dan aanraden te beginnen met de spijkers. Dat is een reeks van zeven boekjes die veel beter geschikt zijn voor zelfstudie en waaruit je de basistechnieken ook echt kunt leren. Je moet dan wel beginnen met het eerste boekje over rekenen en uiteindelijk alle zeven delen doorwerken. Dat moet te doen zijn, voor elk deeltje staat volgens de auteur van deze boekjes zo'n 10 à 20 uur studie. En ook al lijkt me dat wat optimistisch, dan nog moet het mogelijk zijn in enkele honderden uren zelfstudie deze gehele reeks door te werken en je de stof in zijn geheel eigen te maken. Pas in een tweede ronde zou je dan kunnen overwegen als herhaling nog wat extra opgaven te maken uit het boek van Van de Craats.
Inderdaad zeer interessant! Ik klikte op de link en heb 't gelijk grotendeels doorgelezen. Ik viel bijna om van verbazing om de verschillen tussen toen en nu en de relevantie van PISA en Cito. Nu begrijp ik ook beter wat ik laatst meemaakte: bij bijles was een jongetje dat een vier stond voor wiskunde in de brugklas. Hij begreep dingen en had inzicht, maar de rekenregels waren hem blijkbaar nooit goed uitgelegd.quote:
[...]
Op haar site is ook een interessante PDF te vinden waar ze het onderwijs dat ze zelf kreeg in de elementaire algebra en de vlakke meetkunde vergelijkt met het onderwijs dat haar dochter op school kreeg over deze zelfde onderwerpen, en de consequenties die dat heeft.
Hmm interessant artikel. Ik moet zeggen dat ik inderdaad het breuken gedeelte in het basisboek wiskunde heb doorgewerkt om weer op niveau te komen. Wist ik veel dat wanneer je breuken deelt je omgekeerd vermenigvuldigtquote:
[..]
Ja, dat heb ik ook al meermaals opgemerkt. Zoals gezegd, een goede (ouderwetse) leraar die ook echt les geeft blijft onvervangbaar. Maar daarnaast liggen de oorzaken van de dramatische achteruitgang van het niveau van het wiskunde onderwijs ook bij het lager onderwijs. Kinderen die nooit goed hebben leren rekenen (met uitsluitend pen en papier alsmede uit het hoofd, wel te verstaan) missen ook de benodigde vaardigheden om bijvoorbeeld eenvoudige algebraïsche herleidingen tot een goed einde te brengen. Dat wordt treffend geïllustreerd door het volgende plaatje op de website van Liesbeth van der Plas:
[ afbeelding ]
Ze merkt daarbij op: Als een kind niet in staat is het getalsommetje probleemloos uit te rekenen, is de algebra-opgave ook veel te hoog gegrepen. Op haar site is ook een interessante PDF te vinden waar ze het onderwijs dat ze zelf kreeg in de elementaire algebra en de vlakke meetkunde vergelijkt met het onderwijs dat haar dochter op school kreeg over deze zelfde onderwerpen, en de consequenties die dat heeft.
Maar goed, ik kan me voorstellen dat diegenen die zich nu op een toets voorbereiden en dit lezen zullen zeggen dat ze hier op dit moment niets mee opschieten, en daarom wil ik jullie ook niet het bos insturen maar toch wat goede en concrete adviezen meegeven.
Zoals gezegd is een goede leraar onvervangbaar, en dat betekent dat je eigenlijk een cursus zou moeten gaan volgen als je ernst maakt met je (vervolg)studie. Als je dat niet kunt bekostigen of anderszins niet in de gelegenheid bent om dat te gaan doen, dan zou je wellicht op zoek kunnen gaan naar iemand die bereid is je tegen een schappelijk tarief bijles te geven. Is ook dat geen reële mogelijkheid, dan blijft uiteraard alleen zelfstudie over. Maar dan kun je beter niet beginnen met het boek van Van de Craats, want dat is meer een opfriscursus en oefenboek, en daarmee bijzonder ongeschikt voor zelfstudie als je de stof nog nooit eerder hebt gezien. Ik zou dan aanraden te beginnen met de spijkers. Dat is een reeks van zeven boekjes die veel beter geschikt zijn voor zelfstudie en waaruit je de basistechnieken ook echt kunt leren. Je moet dan wel beginnen met het eerste boekje over rekenen en uiteindelijk alle zeven delen doorwerken. Dat moet te doen zijn, voor elk deeltje staat volgens de auteur van deze boekjes zo'n 10 à 20 uur studie. En ook al lijkt me dat wat optimistisch, dan nog moet het mogelijk zijn in enkele honderden uren zelfstudie deze gehele reeks door te werken en je de stof in zijn geheel eigen te maken. Pas in een tweede ronde zou je dan kunnen overwegen als herhaling nog wat extra opgaven te maken uit het boek van Van de Craats.
Het optellen van breuken heb ik wel eerder gehad. Hoofdstuk 1 in het basisboek wiskunde bestaat trouwens uit handmatig vermenigvuldigen en delen. Ik liet mijn ouders een vermenigvuldigenopgave maken en die deden dat toch beduidend sneller dan dat ik deed. Ik moest eerst het voorbeeld bestuderen voordat ik aan de opgaven kon beginnen, ik wist simpelweg niet wat de bedoeling was. De staartdelingen gingen mij trouwens wat beter af, deze kan ik me dan ook nog goed herinneren van de basisschool
Over de zelfstudie. Tja, die cursussen zijn inderdaad flink aan de prijs.. En voor mij is de afstand naar de universiteit waar ik wil gaan studeren geen pretje. Verder heb ik wel iemand die mij eventueel bijles kan geven. Maar ik vind het onnodig om hulp in te schakelen zolang ik het zelf nog red.
Voor mij is het nu aan de late kant om nog een andere methode te gaan proberen. Ik zit nu bij het laatste onderdeel van de examenstof (calcalus: differentiëren). Met alleen het boek had ik het niet gered. Maar in combinatie met khanacademy.org (aanrader!), youtubekanaal wiskundeacademie (behandelt dingen als differentieren niet maar wel parabolen, kwadratische vergelijking, snijpunten + asymptoten etc.) is het al goed te doen. Daarnaast kan je de opgave googlen + het woord wiskundeforum, daar zijn namelijk een hoop topics over de moeilijkere vragen uit het basisboek van mensen die er ook niet uitkwamen. En anders is er nog de mogelijkheid om zelf een vraag te stellen op een forum.
Ik heb je hier al het advies gegeven om bij het oplossen van wat lastiger ongelijkheden te werken met tekenschema's. Ik geef zo'n advies niet voor niets, het is de bedoeling dat je dat ook ter harte neemt.quote:
| x^2 - 2x | < 1
Ik deed
[snip]
Nu heb ik wel de goede antwoorden, maar heb ik niet de juiste combinatie van oplossingen bij elkaar en onjuiste ongelijkheidstekens...? Wat doe ik fout..?
Als de absolute waarde van een (reële) grootheid kleiner is dan 1, dan ligt de waarde van die grootheid zelf tussen −1 en +1. De ongelijkheid
| x2 − 2x | < 1
is dus equivalent met
−1 < x2 − 2x < 1
en dit is weer equivalent met
−1 < x2 − 2x ∧ x2 − 2x < 1
oftewel
x2 − 2x > −1 ∧ x2 − 2x < 1
en dus
x2 − 2x + 1 > 0 ∧ x2 − 2x − 1 < 0
Nu hebben we dus een combinatie van twee kwadratische ongelijkheden met een rechterlid herleid op nul en waaraan tegelijkertijd moet worden voldaan. Deze kwadratische ongelijkheden lossen we op door eerst de nulpunten te bepalen van de kwadratische veeltermen in het linkerlid van deze ongelijkheden. En daar heb je de abc-formule helemaal niet bij nodig. De bepaling van de nulpunten van de eerste kwadratische veelterm is wel heel eenvoudig. Hiervoor vinden we
x2 − 2x + 1 = 0
(x − 1)2 = 0
x − 1 = 0
x = 1
Voor de bepaling van de nulpunten van de tweede kwadratische veelterm kunnen we kwadraatafsplitsing gebruiken. Dan vinden we
x2 − 2x − 1 = 0
(x − 1)2 − 1 − 1 = 0
(x − 1)2 = 2
x − 1 = √2 ∨ x − 1 = −√2
x = 1 + √2 ∨ x = 1 − √2
Nu moet je zelf maar even twee tekenschema's maken (één voor elk van beide kwadratische ongelijkheden) waarbij je deze tekenschema's uitgelijnd onder elkaar plaatst. Maar strict genomen is dit hier niet eens nodig.
De grafiek van y = x2 − 2x + 1 is een dalparabool waarvan de top met coördinaten (1; 0) de x-as raakt, zodat we hebben x2 − 2x + 1 > 0 voor elke x ≠ 1.
De grafiek van y = x2 − 2x − 1 is een dalparabool die de x-as snijdt in de punten met coördinaten (1 − √2; 0) en (1 + √2; 0), zodat we hebben x2 − 2x − 1 < 0 voor 1 − √2 < x < 1 + √2.
Voor de waarden van x die aan de oorspronkelijke ongelijkheid voldoen vinden we dus de voorwaarde
x ≠ 1 ∧ 1 − √2 < x < 1 + √2
Het open interval (1 − √2, 1 + √2) waarop x moet liggen om aan de ongelijkheid te voldoen wordt hier dus in twee delen geknipt doordat de waarde x = 1 niet mee mag doen. Deze knip geeft aldus twee open intervallen. Je kunt de oplossing van de ongelijkheid nu noteren als
1 − √2 < x < 1 ∨ 1 < x < 1 + √2
of als
x ∈ (1 − √2, 1) ∪ (1, 1 + √2)
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 06-05-2014 00:16:00 ]
Differentieer met behulp van quotientregel:
Ik kom dan tot:
Maar het moet nog vereenvoudigd worden tot:
Hoe pak ik dit aan?
[ Bericht 14% gewijzigd door nodig op 06-05-2014 00:58:10 ]
Ik kom dan tot:
Maar het moet nog vereenvoudigd worden tot:
Hoe pak ik dit aan?
[ Bericht 14% gewijzigd door nodig op 06-05-2014 00:58:10 ]
Dit is alvast niet goed, je bent een kwadraat in de noemer vergeten. De quotiëntregel luidt in symbolische vormquote:
Differentieer met behulp van quotientregel:
Ik kom dan tot:
(f/g)' = (f'g − fg')/g2
Woops sorry, verkeerd overgenomenquote:
[..]
Dit is alvast niet goed, je bent een kwadraat in de noemer vergeten. De quotiëntregel luidt in symbolische vorm
(f/g)' = (f'g − fg')/g2
De kwadraat had ik wel in mijn schrift staan.De correctie:
Ook aangepast in eerste post.
Goed. Vermenigvuldig nu teller en noemer van je oorspronkelijke quotiënt met 2·x1/2 en pas daarna rekenregels voor het werken met exponenten toe.quote:
[..]
Woops sorry, verkeerd overgenomen
De correctie:
Ook aangepast in eerste post.
De noemer is dan duidelijk. Maar van de teller kan ik weinig maken. Wat bedoel je met oorspronkelijke quotiënt?quote:
[..]
Goed. Vermenigvuldig nu teller en noemer van je oorspronkelijke quotiënt met 2·x1/2 en pas daarna rekenregels voor het werken met exponenten toe.
Met het oorspronkelijke quotiënt bedoel ik de breuk zoals je die krijgt direct na toepassing van de quotiëntregel en zoals je die hierboven (gecorrigeerd) weergeeft.quote:
[..]
De noemer is dan duidelijk. Maar van de teller kan ik weinig maken. Wat bedoel je met oorspronkelijke quotiënt?
Goed, de noemer is je duidelijk. Nu gaan we kijken wat je krijgt als je de teller vermenigvuldigt met 2·x1/2. Hiervoor krijgen we dan
2·x1/2·(½·x−1/2·(x−1) − x1/2) = 2·½·x1/2·x−1/2·(x−1) − 2·x1/2·x1/2 = 1·x0·(x−1) − 2·x1 = 1·1·(x−1) − 2x = (x−1) − 2x = −x −1
Ik maak hier gebruik van de distributiviteit van vermenigvuldiging t.o.v. optelling (en aftrekking), dus
a(b+c) = ab + ac
a(b−c) = ab − ac
alsmede van de rekenregel die zegt dat exponenten optellen bij vermenigvuldiging van twee machten van hetzelfde grondtal, dus
ap·aq = ap+q
Ook maak ik nog gebruik van de eigenschap dat de nulde macht van een getal gelijk is aan 1, dus
a0 = 1
Dit laatste volgt ook direct uit de regel ap·aq = ap+q met q = 0, want dan krijg je ap·a0 = ap zodat vermenigvuldiging met a0 niets verandert en a0 dus wel 1 moet zijn.
Q is een deelverzameling van R en heeft als zodanig de deeltopologie van de standaardtopologie op R. Dat wil zeggen dat S een open resp. gesloten deel van Q is in deze topologie precies als S geschreven kan worden als de doorsnede van Q met een open resp. gesloten deel van R.quote:
[..]
Zie mijn edit, informeel lukt geslotenheid me wel. Maar geen idee hoe ik dit rigoureus opschrijf...
Maar jouw open cover, waarom mag je deze gebruiken? Als we het over
Danku!quote:
[..]
Met het oorspronkelijke quotiënt bedoel ik de breuk zoals je die krijgt direct na toepassing van de quotiëntregel en zoals je die hierboven (gecorrigeerd) weergeeft.
Goed, de noemer is je duidelijk. Nu gaan we kijken wat je krijgt als je de teller vermenigvuldigt met 2·x1/2. Hiervoor krijgen we dan
2·x1/2·(½·x−1/2·(x−1) − x1/2) = 2·½·x1/2·x−1/2·(x−1) − 2·x1/2·x1/2 = 1·x0·(x−1) − 2·x1 = 1·1·(x−1) − 2x = (x−1) − 2x = −x −1
Ik maak hier gebruik van de distributiviteit van vermenigvuldiging t.o.v. optelling (en aftrekking), dus
a(b+c) = ab + ac
a(b−c) = ab − ac
alsmede van de rekenregel die zegt dat exponenten optellen bij vermenigvuldiging van twee machten van hetzelfde grondtal, dus
ap·aq = ap+q
Ook maak ik nog gebruik van de eigenschap dat de nulde macht van een getal gelijk is aan 1, dus
a0 = 1
Dit laatste volgt ook direct uit de regel ap·aq = ap+q met q = 0, want dan krijg je ap·a0 = ap zodat vermenigvuldiging met a0 niets verandert en a0 dus wel 1 moet zijn.
Ik heb het even uitgeschreven op papier en begrijp het inderdaad. Ga de opgave nu nog een keer maken
. In je laatste 3 stappen: = 1·1·(x−1) − 2x = (x−1) − 2x = −x −1
Moet de één-na-laatste stap niet gewoon x - 1 - 2x zijn? Ik zat de hele tijd die haakjes uit te werken maar dat komt niet uit. Die haakjes mag je toch weghalen omdat er in de stap ervoor de haakjes al uitgewerkt zijn?
Hoe meen je die haakjes weg te werken? Er staat in feite een 1 voor. 1(x-1) - 2x = x - 1 - 2x = -x -1. Het is dus hetzelfde.quote:
[..]
Danku!
Ik heb het even uitgeschreven op papier en begrijp het inderdaad. Ga de opgave nu nog een keer maken
In je laatste 3 stappen: = 1·1·(x−1) − 2x = (x−1) − 2x = −x −1
Moet de één-na-laatste stap niet gewoon x - 1 - 2x zijn? Ik zat de hele tijd die haakjes uit te werken maar dat komt niet uit. Die haakjes mag je toch weghalen omdat er in de stap ervoor de haakjes al uitgewerkt zijn?
Daar had ik nog niet aan gedachtquote:Op dinsdag 6 mei 2014 15:33 schreef jordyqwerty het volgende:
[..]
Hoe meen je die haakjes weg te werken? Er staat in feite een 1 voor. 1(x-1) - 2x = x - 1 - 2x = -x -1. Het is dus hetzelfde.
Ik zat te vermenigvuldigen met die -2x
Bedankt! Hartstikke handige methode! Ik maak er nu een grafiektekening bij, vind ik opzicht wel handiger!quote:
[..]
Ik heb je hier al het advies gegeven om bij het oplossen van wat lastiger ongelijkheden te werken met tekenschema's. Ik geef zo'n advies niet voor niets, het is de bedoeling dat je dat ook ter harte neemt.
Als de absolute waarde van een (reële) grootheid kleiner is dan 1, dan ligt de waarde van die grootheid zelf tussen −1 en +1. De ongelijkheid
| x2 − 2x | < 1
is dus equivalent met
−1 < x2 − 2x < 1
en dit is weer equivalent met
−1 < x2 − 2x ∧ x2 − 2x < 1
oftewel
x2 − 2x > −1 ∧ x2 − 2x < 1
en dus
x2 − 2x + 1 > 0 ∧ x2 − 2x − 1 < 0
Nu hebben we dus een combinatie van twee kwadratische ongelijkheden met een rechterlid herleid op nul en waaraan tegelijkertijd moet worden voldaan. Deze kwadratische ongelijkheden lossen we op door eerst de nulpunten te bepalen van de kwadratische veeltermen in het linkerlid van deze ongelijkheden. En daar heb je de abc-formule helemaal niet bij nodig. De bepaling van de nulpunten van de eerste kwadratische veelterm is wel heel eenvoudig. Hiervoor vinden we
x2 − 2x + 1 = 0
(x − 1)2 = 0
x − 1 = 0
x = 1
Voor de bepaling van de nulpunten van de tweede kwadratische veelterm kunnen we kwadraatafsplitsing gebruiken. Dan vinden we
x2 − 2x − 1 = 0
(x − 1)2 − 1 − 1 = 0
(x − 1)2 = 2
x − 1 = √2 ∨ x − 1 = −√2
x = 1 + √2 ∨ x = 1 − √2
Nu moet je zelf maar even twee tekenschema's maken (één voor elk van beide kwadratische ongelijkheden) waarbij je deze tekenschema's uitgelijnd onder elkaar plaatst. Maar strict genomen is dit hier niet eens nodig.
De grafiek van y = x2 − 2x + 1 is een dalparabool waarvan de top met coördinaten (1; 0) de x-as raakt, zodat we hebben x2 − 2x + 1 > 0 voor elke x ≠ 1.
De grafiek van y = x2 − 2x − 1 is een dalparabool die de x-as snijdt in de punten met coördinaten (1 − √2; 0) en (1 + √2; 0), zodat we hebben x2 − 2x − 1 < 0 voor 1 − √2 < x < 1 + √2.
Voor de waarden van x die aan de oorspronkelijke ongelijkheid voldoen vinden we dus de voorwaarde
x ≠ 1 ∧ 1 − √2 < x < 1 + √2
Het open interval (1 − √2, 1 + √2) waarop x moet liggen om aan de ongelijkheid te voldoen wordt hier dus in twee delen geknipt doordat de waarde x = 1 niet mee mag doen. Deze knip geeft aldus twee open intervallen. Je kunt de oplossing van de ongelijkheid nu noteren als
1 − √2 < x < 1 ∨ 1 < x < 1 + √2
of als
x ∈ (1 − √2, 1) ∪ (1, 1 + √2)
Dat klopt dus niet hèquote:Op dinsdag 6 mei 2014 15:39 schreef nodig het volgende:
[..]
Daar had ik nog niet aan gedacht
Ik zat te vermenigvuldigen met die -2x
Oké, nog een vraagje:
Differentieer:
![ln \sqrt[3]{1-x}](https://forum.fok.nl/lib/mimetex.cgi?ln%20%5Csqrt%5B3%5D%7B1-x%7D)
Nu kom ik tot:
Maar het moet uiteindelijk worden:
Wat doe ik fout?
Bij de volgende opgaven zijn de plus en minnen ook omgedraaid?
[ Bericht 7% gewijzigd door nodig op 06-05-2014 20:07:27 ]
Differentieer:
Nu kom ik tot:
Maar het moet uiteindelijk worden:
Wat doe ik fout?
Bij de volgende opgaven zijn de plus en minnen ook omgedraaid?
[ Bericht 7% gewijzigd door nodig op 06-05-2014 20:07:27 ]
Zie hieronder.quote:
Oké, nog een vraagje:
Differentieer:
Nu kom ik tot:
Maar het moet uiteindelijk worden:
Wat doe ik fout?
[ Bericht 17% gewijzigd door MrRiot op 06-05-2014 20:14:17 ]
Nope
quote:
Oké, nog een vraagje:
Differentieer:
Nu kom ik tot:
Maar het moet uiteindelijk worden:
Wat doe ik fout?
Bij de volgende opgaven zijn de plus en minnen ook omgedraaid?
Kan je via de logaritmeregels schrijven als:
Als je nu de kettingregel toepast krijg je als afgeleide:
quote:
Dankje! Ik denk dat ik met deze informatie een heel eind verder ga komenquote:
[..]
Kan je via de logaritmeregels schrijven als:
Als je nu de kettingregel toepast krijg je als afgeleide:
Wat zag je hier niet in? Ik vind het nogal veel op die andere som lijkenquote:
[..]
[..]
Dankje! Ik denk dat ik met deze informatie een heel eind verder ga komen
Ik kwam er niet op om die (1/3) voor de ln te zettenquote:
[..]
Wat zag je hier niet in? Ik vind het nogal veel op die andere som lijken
Maar inderdaad is dat gisteren ook al gezegd nu ik terug lees:
quote:
Jouw afgeleide van
klopt niet.
Je vergeet de kettingregel.
Maar de kettingregel kan je vermijden.
Hint:
Bepaal met een staartdeling het polynoom g(x) waarvoor geldt f(x) = (x - a) g(x)
a = -1
f(x) = x^3 + 1
ik had
(x + 1) / x^3 + 1 \ x^2 - x + 1
Maar ik doe volgens mij iets fout want ik kom op ook uit op " rest 1"... dus er gaat wat in het uitschrijven fout.. hoe zouden jullie het doen?
en tenslotte:
(2x^3 - x^2 + 2x - 1) / (3x^3 - 3x^2 - 3x + 3)
ik denk dat dat wordt:
(2 - 1/x + 2/x^2 - 1/x^3 ) / ( 3 - 3/x - 3/x^2 + 3/x^3)
Echter weet ik niet hoe ik het verder moet oplossen om achter de nulpunten te komen
[ Bericht 28% gewijzigd door Super-B op 06-05-2014 21:07:54 ]
a = -1
f(x) = x^3 + 1
ik had
(x + 1) / x^3 + 1 \ x^2 - x + 1
Maar ik doe volgens mij iets fout want ik kom op ook uit op " rest 1"... dus er gaat wat in het uitschrijven fout.. hoe zouden jullie het doen?
en tenslotte:
(2x^3 - x^2 + 2x - 1) / (3x^3 - 3x^2 - 3x + 3)
ik denk dat dat wordt:
(2 - 1/x + 2/x^2 - 1/x^3 ) / ( 3 - 3/x - 3/x^2 + 3/x^3)
Echter weet ik niet hoe ik het verder moet oplossen om achter de nulpunten te komen
[ Bericht 28% gewijzigd door Super-B op 06-05-2014 21:07:54 ]
Dit klopt gewoon.quote:
Bepaal met een staartdeling het polynoom g(x) waarvoor geldt f(x) = (x - a) g(x)
a = -1
f(x) = x^3 + 1
ik had
(x + 1) / x^3 + 1 \ x^2 - x + 1
Maar ik doe volgens mij iets fout want ik kom op ook uit op " rest 1"... dus er gaat wat in het uitschrijven fout.. hoe zouden jullie het doen?
(x^2 -x + 1)(x+1) = x^3 + 1
Zou je de staartdeling kunnen uitwerken voor me? Daar gaat het mis bij mij..quote:
[..]
Dit klopt gewoon.
(x^2 -x + 1)(x+1) = x^3 + 1
Thanks!! Zou je me ook kunnen helpen met mijn tweede vraagstuk in de post?quote:
[ afbeelding ]
Zoiets. Maar misschien is mijn notatie anders dan de jouwe.
(2x^3 - x^2 + 2x - 1) / (3x^3 - 3x^2 - 3x + 3) = 0
'Gewoon' de nulpunten van de teller bepalen en controleren of het ook niet toevallig nulpunten van de noemer zijn.
Anders even invullen bij Wolfram Alpha om de ontbindingen te bepalen als het je zelf niet lukt.
'Gewoon' de nulpunten van de teller bepalen en controleren of het ook niet toevallig nulpunten van de noemer zijn.
Anders even invullen bij Wolfram Alpha om de ontbindingen te bepalen als het je zelf niet lukt.
Hoe bedoel je? Ik snap het niet..? Hebben de teller en noemer allebei eigen nulpunten? Maar het is samen 1 functie toch..?quote:
(2x^3 - x^2 + 2x - 1) / (3x^3 - 3x^2 - 3x + 3) = 0
'Gewoon' de nulpunten van de teller bepalen en controleren of het ook niet toevallig nulpunten van de noemer zijn.
Anders even invullen bij Wolfram Alpha om de ontbindingen te bepalen als het je zelf niet lukt.
Ik zit even te kijken in dat boek van Craats
(Deze versie althans http://staff.science.uva.nl/~craats/BasisboekWiskunde2HP.pdf)
En dit staat toch gewoon op de pagina van 'Rationale functies' ?
Die functie f(x) = (x^2 + 1)(2x-1) / (3(x-1)^2(x+1)) die daar bovenaan de bladzijde staat is precies
gelijk aan jouw (2x^3 - x^2 + 2x - 1) / (3x^3 - 3x^2 - 3x + 3).
"Als dat gebeurd is, zijn de nulpunten van de teller a(x) ook de nulpunten van f (x)."
(Deze versie althans http://staff.science.uva.nl/~craats/BasisboekWiskunde2HP.pdf)
En dit staat toch gewoon op de pagina van 'Rationale functies' ?
Die functie f(x) = (x^2 + 1)(2x-1) / (3(x-1)^2(x+1)) die daar bovenaan de bladzijde staat is precies
gelijk aan jouw (2x^3 - x^2 + 2x - 1) / (3x^3 - 3x^2 - 3x + 3).
"Als dat gebeurd is, zijn de nulpunten van de teller a(x) ook de nulpunten van f (x)."
Exact! Ik schrijf mee en probeer wat dingetjes uit, maar het wil niet helemaal lukken. Het boek is echt boek voor naslagwerk...quote:
Ik zit even te kijken in dat boek van Craats
(Deze versie althans http://staff.science.uva.nl/~craats/BasisboekWiskunde2HP.pdf)
En dit staat toch gewoon op de pagina van 'Rationale functies' ?
Die functie f(x) = (x^2 + 1)(2x-1) / (3(x-1)^2(x+1)) die daar bovenaan de bladzijde staat is precies
gelijk aan jouw (2x^3 - x^2 + 2x - 1) / (3x^3 - 3x^2 - 3x + 3).
Grotendeels heb ik het hulp van jullie nodig en dan willen de puzzelstukjes goed samenvallen.
Waarom zijn de nulpunten van de noemer niet ook de nulpunten van f(x) ? Dat heb ik niet zo begrepen, want zowel de teller en noemer horen toch bij elkaar en het is toch 1 functie? Die twee kun je toch niet los van elkaar zien?quote:
Ik zit even te kijken in dat boek van Craats
(Deze versie althans http://staff.science.uva.nl/~craats/BasisboekWiskunde2HP.pdf)
En dit staat toch gewoon op de pagina van 'Rationale functies' ?
Die functie f(x) = (x^2 + 1)(2x-1) / (3(x-1)^2(x+1)) die daar bovenaan de bladzijde staat is precies
gelijk aan jouw (2x^3 - x^2 + 2x - 1) / (3x^3 - 3x^2 - 3x + 3).
"Als dat gebeurd is, zijn de nulpunten van de teller a(x) ook de nulpunten van f (x)."
''Als dat gebeurd is, zijn de nulpunten van de teller a(x) ook de nulpunten
van f(x). De nulpunten van de noemer b(x) heten dan de polen van f(x). Bij
elke pool hoort een verticale asymptoot.''
Ik heb er werkelijk niks van begrepen wat er staat.
f(x) = a(x) / b(x)
Een rationale functie is altijd een samenstelling van twee andere functies (de teller a(x) en de noemer b(x))
f(x) = a(x) / b(x) = 0
Vermenigvuldig beide kanten met b(x)....
Dus de nulpunten van a(x) zijn de nulpunten van f(x)
Alleen a(x) = b(x) = 0 is een speciaal geval omdat je niet mag delen door 0.
Maar als a(x) en b(x) hetzelfde nulpunt c hebben dan kan je a(x) schrijven als a(x) = (x-c)g(x) en b(x) als b(x) = (x-c) q(x).
Oftewel dan kan je de term (x-c) wegdelen en heb je het probleem verholpen
f(x) = a(x) / b(x) = (x-c)g(x) / ((x-c)q(x)) = g(x)/q(x).
Een rationale functie is altijd een samenstelling van twee andere functies (de teller a(x) en de noemer b(x))
f(x) = a(x) / b(x) = 0
Vermenigvuldig beide kanten met b(x)....
Dus de nulpunten van a(x) zijn de nulpunten van f(x)
Alleen a(x) = b(x) = 0 is een speciaal geval omdat je niet mag delen door 0.
Maar als a(x) en b(x) hetzelfde nulpunt c hebben dan kan je a(x) schrijven als a(x) = (x-c)g(x) en b(x) als b(x) = (x-c) q(x).
Oftewel dan kan je de term (x-c) wegdelen en heb je het probleem verholpen
f(x) = a(x) / b(x) = (x-c)g(x) / ((x-c)q(x)) = g(x)/q(x).
Tja, dat krijg je als je een boek gaat doornemen dat niet geschikt is als leerboek en je bovendien de stof nog nooit eerder hebt gezien en kennelijk ook de nodige voorkennis mist, zoals rekenen met breuken (zie de site en de PDF van Liesbeth van der Plas waarnaar ik hierboven verwijs).quote:
[..]
Waarom zijn de nulpunten van de noemer niet ook de nulpunten van f(x) ? Dat heb ik niet zo begrepen, want zowel de teller en noemer horen toch bij elkaar en het is toch 1 functie? Die twee kun je toch niet los van elkaar zien?
''Als dat gebeurd is, zijn de nulpunten van de teller a(x) ook de nulpunten
van f(x). De nulpunten van de noemer b(x) heten dan de polen van f(x). Bij
elke pool hoort een verticale asymptoot.''
Ik heb er werkelijk niks van begrepen wat er staat.
Delen door nul is niet gedefinieerd (onmogelijk), dus een breuk waarvan de noemer nul is heeft geen betekenis (geen waarde). Een breuk heeft alleen de waarde nul als de teller nul is terwijl de noemer niet nul is.
Als je dus een rationale functie hebt, dat is een functie met het functievoorschrift
f(x) = a(x)/b(x)
waarbij a(x) en b(x) veeltermen (polynomen) zijn in x, dan kan f(x) alleen nul zijn als a(x) nul is terwijl b(x) niet nul is.
Als je de omgekeerde situatie hebt, dus dat b(x) voor een zekere waarde x = x0 gelijk is aan nul terwijl a(x0) ≠ 0, dan neemt de absolute waarde van het quotiënt a(x)/b(x) en dus |f(x)| onbeperkt toe naarmate je x dichter in de buurt van die waarde x = x0 kiest, maar voor de waarde x = x0 zelf is de functiewaarde dan onbepaald. In dit geval heeft de grafiek van y = f(x) een verticale asymptoot bij x = x0, en men zegt dan ook dat de functie f een pool x = x0 heeft. Een verticale asymptoot is, eenvoudig gezegd, een verticale rechte lijn waar de grafiek van de functie steeds dichter tegenaan kruipt naarmate je x dichter bij x0 laat komen, maar dan zonder dat de grafiek van de functie ooit samenvalt met deze lijn.
[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 07-05-2014 01:09:25 ]
Vereenvoudig zo ver mogelijk:
2^(1+x) 3^x
ik had 2^(1+x) * 3^x dat wordt dan 6^(2x)
Maar het antwoord is 2 * 6^x
hoe..?
[ Bericht 1% gewijzigd door RustCohle op 08-05-2014 12:14:42 ]
2^(1+x) 3^x
ik had 2^(1+x) * 3^x dat wordt dan 6^(2x)
Maar het antwoord is 2 * 6^x
hoe..?
[ Bericht 1% gewijzigd door RustCohle op 08-05-2014 12:14:42 ]
Het is 3^x neem ik aan?quote:
Vereenvoudig zo ver mogelijk:
2^(1+x) 3x
ik had 2^(1+x) * 3x dat wordt dan 6^(x^2)
Maar het antwoord is 2 * 6^x
hoe..?
2^(1+x) = 2^1 * 2^x = 2 * 2^x
Dit * 3^x geeft 2 * 2^x * 3^x = 2 * 6^x
Ja het is 3^x.quote:
[..]
Het is 3^x neem ik aan?
2^(1+x) = 2^1 * 2^x = 2 * 2^x
Dit * 3^x geeft 2 * 2^x * 3^x = 2 * 6^x
Waarom worden ze apart genomen? Ik dacht eerst 2^1 is 2 en dan 2^x.. en dat vermenigvuldigen met 3^x maakt 6^2x
weet je ook hoe je deelt met machten?quote:
[..]
Het is 3^x neem ik aan?
2^(1+x) = 2^1 * 2^x = 2 * 2^x
Dit * 3^x geeft 2 * 2^x * 3^x = 2 * 6^x
4(^2x) / 2x
ik deed alles delen door 2x maakt 2^x.. echter is het antwoord 2^(3x) of 8^x
Gewoon braaf rekenregels voor machten toepassen:quote:
Vereenvoudig zo ver mogelijk:
2^(1+x) 3^x
hoe..?
ap·aq = ap+q
ap·bp = (a·b)p
Bedenk dat je deze regels ook van rechts naar links kunt gebruiken.
http://nl.wikipedia.org/wiki/Machtsverheffen#Rekenen_met_machtenquote:
[..]
Ja het is 3^x.
Waarom worden ze apart genomen? Ik dacht eerst 2^1 is 2 en dan 2^x.. en dat vermenigvuldigen met 3^x maakt 6^2x
Hier ook weer zo"n pittige...
2^x * 4^(1-x) : 8^x
Sowieso is het eerst het delen.. maar dan weet ik het niet meer.
[ Bericht 0% gewijzigd door RustCohle op 08-05-2014 12:53:22 ]
2^x * 4^(1-x) : 8^x
Sowieso is het eerst het delen.. maar dan weet ik het niet meer.
[ Bericht 0% gewijzigd door RustCohle op 08-05-2014 12:53:22 ]
En dat is fout. Je begrijp er nog niet veel van.quote:
W(10^(20x+10))
De w is wel een vijfdemachtswortel..
ik zelf kwam uit op 100^20x
Je hebt (1020x+10)1/5 = 10(20x+10)·(1/5) = 104x+2
En gebruik superscript voor exponenten. Die carets zijn nergens voor nodig.
ohhh ik dacht dat je bovenop die superscript van 20x+10 nog een superscript moest doen met ^(1/5)quote:
[..]
En dat is fout. Je begrijp er nog niet veel van.
Je hebt (1020x+10)1/5 = 10(20x+10)·(1/5) = 104x+2
En gebruik superscript voor exponenten. Die carets zijn nergens voor nodig.
(10^-2x)^2
ik kwam uit op 100^-4x..
toch is het 10000^-x
Ik zit op mijn mobiel vandaar dat ik geen superscript doe.
ik kwam uit op 100^-4x..
toch is het 10000^-x
Ik zit op mijn mobiel vandaar dat ik geen superscript doe.
(10−2x)2 = 10−2x·2 = 10−4x = (104)−x = 10000−xquote:
(10^-2x)^2
ik kwam uit op 100^-4x..
toch is het 10000^-x
Ik zit op mijn mobiel vandaar dat ik geen superscript doe.
Die overgang.. snap ik niet.. dus van 10^-4x naar (10^4)^xquote:
[..]
(10−2x)2 = 10−2x·2 = 10−4x = (104)−x = 10000−x
Heel eenvoudig, −4x kun je ook schrijven als het product van +4 en −x, dus 4·(−x). En dus hebben wequote:
[..]
Die overgang.. snap ik niet.. dus van 10^-4x naar (10^4)^x
10−4x = 104·−x = (104)−x
Echt, dit is doodsimpele brugklas algebra.
Waarom kan dit niet bij 10^(4x +2) dat je dan gewoon 10^2 hebt en dus 100^4x?quote:
[..]
Heel eenvoudig, −4x kun je ook schrijven als het product van +4 en −x, dus 4·(−x). En dus hebben we
10−4x = 104·−x = (104)−x
Echt, dit is doodsimpele brugklas algebra.
quote:
Hier ook weer zo"n pittige...
2^x * 4^(1-x) : 8^x
Sowieso is het eerst het delen.. maar dan weet ik het niet meer.
Je hebt 104x+2 = 104x·102 = 104x·100 = 100·104xquote:
[..]
Waarom kan dit niet bij 10^(4x +2) dat je dan gewoon 10^2 hebt en dus 100^4x?
maar dit is niet hetzelfde als 1004x want dan zou 100 gelijk moeten zijn aan 104x, en dat is in het algemeen niet zo, behalve als x = ½.
Herschrijf hier eerst alle factoren als machten van 2, en bedenk ook dat delen door 8x = 23x hetzelfde is als vermenigvuldigen met het omgekeerde, dus vermenigvuldigen met 2−3x.quote:
Hier ook weer zo"n pittige...
2^x * 4^(1-x) : 8^x
Sowieso is het eerst het delen.. maar dan weet ik het niet meer.
even kijken.. dan kom ik als eerst uit totquote:
[..]
Herschrijf hier eerst alle factoren als machten van 2, en bedenk ook dat delen door 8x = 23x hetzelfde is als vermenigvuldigen met het omgekeerde, dus vermenigvuldigen met 2−3x.
2^x * 2^(1-2x) : 2^3x
en dat resulteert tot
2^(1-x) : 2^3x
Dat is niet goed. We hebbenquote:
[..]
even kijken.. dan kom ik als eerst uit tot
2^x * 2^(1-2x) : 2^3x
en dat resulteert tot
2^(1-x) : 2^3x
2x·41−x·2−3x = 2x·22−2x·2−3x = 2x+2−2x−3x = 22−4x
waarom alles vermenigvuldigen? Er is toch ook een deelsom? Opeens is het een vermenigvuldiging?quote:
[..]
Dat is niet goed. We hebben
2x·41−x·2−3x = 2x·22−2x·2−3x = 2x+2−2x−3x = 22−4x
en hoezo 2^(2-2x) ik zou denken 2^(2-x)
Omdat ik dan gebruik kan maken van de rekenregel die zegt dat exponenten optellen bij vermenigvuldiging van machten met hetzelfde grondtal.quote:
Jazeker, maar ik heb je al gezegd dat delen hetzelfde is als vermenigvuldiging met het omgekeerde. En ik wil juist een vermenigvuldiging hebben omdat ik de exponenten dan kan optellen.quote:Er is toch ook een deelsom?
Nee, niet opeens, maar om de bovengenoemde reden.quote:Opeens is het een vermenigvuldiging?
Nee, want 2(1−x) = 2 − 2x (distributiviteit van vermenigvuldiging ten opzichte van optelling).quote:en hoezo 2^(2-2x) ik zou denken 2^(2-x)
Dat snap ik niet.. xdquote:
[..]
Omdat ik dan gebruik kan maken van de rekenregel die zegt dat exponenten optellen bij vermenigvuldiging van machten met hetzelfde grondtal.
[..]
Jazeker, maar ik heb je al gezegd dat delen hetzelfde is als vermenigvuldiging met het omgekeerde. En ik wil juist een vermenigvuldiging hebben omdat ik de exponenten dan kan optellen.
[..]
Nee, niet opeens, maar om de bovengenoemde reden.
[..]
Nee, want 2(1−x) = 2 − 2x (distributiviteit van vermenigvuldiging ten opzichte van optelling).
Je hebtquote:
a(b + c) = ab + ac
a(b − c) = ab − ac
Je gaat me toch niet vertellen dat je dat nog nooit hebt gezien?
Ik bedoelde de tekst distributiviteit van de optelling..quote:
[..]
Je hebt
a(b + c) = ab + ac
a(b − c) = ab − ac
Je gaat me toch niet vertellen dat je dat nog nooit hebt gezien?
Snap jij 10log(2^6) - 10log 1/5
ik deed 10log 64/0,5 is 10log 128
Echter is het 7 10log2...
| Forum Opties | |
|---|---|
| Forumhop: | |
| Hop naar: | |