[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

uh? ik wil gewoon graag een nummer ipv q. dat nummer is 0.02003

steek maar meer moeite in het stellen van je vraag

quote:

Op zaterdag 28 januari 2012 21:30 schreef GlowMouse het volgende:
steek maar meer moeite in het stellen van je vraag

haha, Ik had niet verwacht dat mijn vraag zo onduidelijk was.

Hmm er ontbreek natuurlijk iets. stom. Ik dacht dat dit stuk wel genoeg was...

nog es kijken dan

100 - 1e ^-(0.04/12) = 100e ^-q/2

Zo dus. Nu is het logischer toch? hoe los ik nu q op?

Sorry van mijn eerdere fuck-up

gaarne

hmm het komt niet echt uit, ik krijg niet echt 0.02etc uit mijn GR..

het moet dus zijn uuuh

100 - 1e^-(0.04/12) = 100e ^-(q/2)

99.003etc = 100e ^-(q/2)

quote:

Op zaterdag 28 januari 2012 22:07 schreef One_conundrum het volgende:
hmm het komt niet echt uit, ik krijg niet echt 0.02etc uit mijn GR..

het moet dus zijn uuuh

100 - 1e^-(0.04/12) = 100e ^-(q/2)

99.003etc = 100e ^-(q/2)

99.003etc = 100e ^-(q/2)

99.003etc/100 = e ^-(q/2)

ln 99.003etc/100 = -(q/2)

-2*(ln 99.003etc/100) = q

De truc is dus om beide kanten maal ln te doen en dan valt de e weg.

Weer ff een vraag over statistiek:

5. Bij een tweezijdige toetsing van een H0 wordt een Z-waarde gevonden van 1,72. Wat zal er met de H0 gebeuren als je toets bij een alfa van 5 %?
a) niet verwerpen, want de p-waarde zal kleiner zijn dan alfa
b) niet verwerpen, want de gevonden z-waarde is kleiner dan de kritieke z-waarde
c) zowel a als b
d) noch a, noch b

Ik heb opgezocht de kans die bij de Z-waarde 1,72 hoort; aflezen in tabel = 0.9564, dan
1 - 0.9564 = 0.0436. De significantie waarde is 0.05, 0,0436 is kleiner als de alfa van 5%, dus
H0 verwerpen lijkt me.. of maak ik hier een denkfout?

Het antwoord is namelijk B.. dan heb ik nog een vraag; hoe kan je weten aan de hand van deze gegevens dat de z-waarde kleiner is dan de kritieke z-waarde?

Geldt eigenlijk precies hetzelfde verhaal bij deze vraag:

6. Bij een rechtzijdige toetsing van een H0 wordt een Z-waarde gevonden van 1,84. Wat zal er met de H0 gebeuren als je toets bij een alfa van 1 %?
a) niet verwerpen, want de p-waarde zal kleiner zijn dan alfa
b) niet verwerpen, want de gevonden z-waarde is kleiner dan de kritieke z-waarde
c) zowel a als b
d) noch a, noch b

Z waarde is hierbij 0.9664 --> 1 - 0.9664 = 0.0336

Wie o wie kan mij helpen???

Er is een verschil tussen een tweezijdige en een enkelzijdige toetsing.

Bij een tweezijdige toetsing kan je z verwerpen als het > 1.96 of <-1.96 is. Bij een enkelzijdig toetsing mag je z verwerpen als het > 1.645 of < -1.645 bij een alfa van 0.05.

Zoek de formules op in de slides of in je boek.

B is inderdaad correct.

Oke dat begrijp ik, maar hoe kan je dan weten dat de p-waarde kleiner zal zijn dan alfa of niet?

"Z-waarde is (in absolute waarde) kleiner dan de kritieke z-waarde" en "p-waarde is groter dan alfa" zijn hier equivalente uitspraken.

Bedankt Zoem en Hattricker. Ik zal er vanaaf weer naar kijken.

x

hoe bedoel je equivalente uitspraken

Ik heb een bepaalde functie sqrt ( x^a + y^b) , x,y>0 Hiervan moet ik aan de hand van de definietheid v/d hessian bepalen voor welke a,b (in R²) deze functie convex dan wel concaaf is. Hessian is te bepalen, dat zijn de 2e orde partiele afgeleiden. Deze zijn makkelijk te bepalen met mathematica.

Voor: strict convex moet gelden dat: hessian positief definiet
convex H pos. semidef

Concaaf/strict concaaf evenzo maar dan negatief

Om nu verder te kijken voor welke a & b alle entries groter/gelijk 0 zijn voor positief semidefiniet, respectievelijk kleiner/gelijk 0 voor negatief semidefiniet, lukt me niet. De 2e orde partiele afgeleiden zijn vrij gecompliceerde functies, waar mathematica zo geen raad mee weet. Iemand een tip hoe verder te gaan?

Zo lastig is het niet. De dubbele afgeleide naar a is positief als

De determinant van de Hessiaan is positief als

Dit kun je makkelijk zelf controleren door te gebruiken dat

voor elke a. Bij de Hessiaan kun je ook nog een factor

herkennen.

Ik bepaal nu de Hessiaan twee x met partieel afgeleiden naar 2 * x , xy, yx en 2*y. De hessiaan moet dus worden genomen met a & b als variabelen?

Thanks!

Ik bedoelde naar x, we doen hetzelfde

Zie alleen niet in hoe jij er vanaf hier bij komt dat deze 2e afgeleide positief (> of >= 0?) is wanneer
a(y^b - (2-a) * (x^a + y^b)) .= 0 is. Die tweede regel (wanneer de determinant van de hessian positief is) kan ik ook niet achterhalen hoe je daarbij komt

Vanaf daar zou het mij ook niet lukken, dat is niet te lezen. Maar ik zie al dingen staan met ^{3/2} en een wortel, daarvan weet je dat het niet negatief is.

Sorry voor de onduidelijke post..
Maar kom er nog niet uit hoe jij vanuit:



tot komt?

En hoe kun je deze dan verder oplosssen voor alle waarden van a&b?

Dat snap ik dus voor de determinant van de gehele hessiaan ook niet, alleen waarschijnlijk snap ik die wel als ik deze eerste snap! bedankt alvast!

Die breuk kun je optellen door de noemers gelijk te maken. a-2 ziet er bovendien makkelijker uit dan -2+a. Daarna kun je zien dat de noemer positief is, en concludeer je dat de teller positief moet zijn. In de teller herken je nog een factor



kun je schrijven als:

Wat b is maakt hier niet zo gek veel uit. Je kunt onderscheid maken tussen b=0 en b>0.

quote:

Op zondag 29 januari 2012 22:47 schreef zoem het volgende:
Voor strict concaaf moeten de determinant en de eigenwaardes van de Hessiaan positief zijn. Waarom dan het gelijk-aan-of-groter teken? Of is dit nog niet de (juiste) oplossing voor het strict geval?

Ik ben inderdaad niet helemaal netjes met de tekens. Eigenlijk moet je de volgende twee aanpassingen doen tov wat ik deed:
- Voor strict convex moet de dubbele afgeleide naar x strict positief zijn en de determinant ook.
- Voor gewoon convex moet ook de dubbele afgeleide naar y niet-negatief zijn.
Maar het probleem zat hem niet in de criteria

[ Bericht 0% gewijzigd door GlowMouse op 29-01-2012 22:59:53 ]

En allerlaatste vraag, hoe kom jij vanaf die (in mijn ogen) zeer complexe determinant van de Hessiaan tot ab(2+ab-a-2b) > 0 ? Bedankt voor de hulp

1/16 x^a-2y^b-2 wegdelen, ab buiten haakjes halen, x^a+y^b wegdelen, nog een keer door 2 delen, nog een x^a+y^b wegdelen

12) Een onderzoeker voert een meta-analyse uit naar de correlatie tussen intelligentie van
Nederlandse ouders en dat van hun kinderen. Na combinatie van gegevens van 20
onderzoeken blijkt de correlatie tussen ouders en kinderen 0.75 te zijn, met een 95%
betrouwbaarheidsinterval dat loopt van [ 0.73 ; 0.77 ]. Welke conclusie kan op grond van
deze bevinding worden getrokken?
a) Er is waarschijnlijk geen verband tussen intelligentie van Nederlandse ouders en
hun kinderen
b) Er is waarschijnlijk een verband tussen de intelligentie van Nederlandse ouders en
hun kinderen, maar over de sterkte van dit verband valt niets te zeggen
c) Er is waarschijnlijk een verband tussen de intelligentie van Nederlandse ouders en
hun kinderen, en dit verband is tamelijk sterk
d) Er kan geen conclusie getrokken worden, omdat onbekend is hoe groot de
steekproeven van de 20 onderzoeken waren

Wie kan mij uitleggen wat het antwoord op deze vraag is en waarom?

Ik ben geen statistiek expert maar ik ga voor (c). De correlatie zit altijd tussen -1 en 1. Als het significant van 0 verschilt dan kan je spreken van correlatie. In (c) staat nog een woordje waarschijnlijk, omdat een statistische test altijd heel ver van de werkelijke waarde kan zitten (bijvoorbeeld doordat je niet willekeurig genoeg mensen hebt gekozen). Dus zeker ben je nooit.

(a) is pure onzin, (b) is onzin omdat de correlatie een maat is voor de sterkte. Bij (d) is er op zich wel het punt dat je steekproef groot genoeg moet zijn, maar omdat het confidence interval al [ 0.73 ; 0.77 ] is, is je steekproef kennelijk groot genoeg om te concluderen dat de correlatie significant groter dan 0 is.

a en d wegstrepen is simpel:
a. Zonder verband is de correlatie 0. Op grond van het betrouwbaarheidsinterval kun je de nulhypothese dat de correlatie 0 is, verwerpen.
d. de grootte van de steekproef zit verwerkt in de breedte van het betrouwbaarheidsinterval

Dan resteert de vraag hoe groot het verband is. Ik vind 'tamelijk sterk' een vaag begrip, maar dat er niets over valt te zeggen is ook niet waar (hoe groter de correlatie, hoe sterk het verband). Ik zou zeggen dat geen enkel antwoord echt goed is, maar c is de minst foute.

Hoe duid je de index van het minimum van een rij getallen aan in wiskundige notatie? Meer specifiek, ik heb een matrix R en voor gegeven kolom k, zoek ik het minimum van die vector en daar weer de index j van.

Er staat me iets bij dat je min met de gewenste index letter er onder schrijft maar ik kan het niet terugvinden.

Ik heb nu dit


[ Bericht 14% gewijzigd door synthesix op 30-01-2012 12:42:08 ]

Afhankelijk van je definitie van argmin moet je nog wat doen met een niet-uniek minimum.

Iemand enig idee hoe deze opgelost kan worden?



[ Bericht 2% gewijzigd door 123hopsaflops op 03-02-2012 12:27:04 ]

n/m

[ Bericht 73% gewijzigd door GlowMouse op 03-02-2012 12:39:14 ]

quote:

Op vrijdag 3 februari 2012 12:22 schreef GlowMouse het volgende:
Is y afhankelijk van t?
Rare notatie van een interval.
Als je onderscheid maakt tussen y>=0 en y<0 dan is het toch wel te doen? Alleen opletten bij y=0 wanneer 0<alpha<=1.

verbeterd

Wat gebeurt er met je meetfout als je de meting een aantal keer herhaalt en dan het gemiddelde neemt? Bijvoorbeeld als ik een meetfout van 0,5 cm bij één meting heb en de meting 10x doe en dan het gemiddelde neem.

Is de meetfout systematisch of willekeurig? Is die altijd precies 5mm?

Willekeurig en altijd 5mm.

Nou ja, je zit erboven of eronder, dus je krijgt iets binomiaals denk ik, 10 trekkingen.

quote:

Op zondag 5 februari 2012 23:19 schreef twaalf het volgende:
Nou ja, je zit erboven of eronder, dus je krijgt iets binomiaals denk ik, 10 trekkingen.

Mits de meetfouten onafhankelijk zijn.

Laat A en B 2x2 matrices zijn met de determinanten |A|=4 en |B|=7

ik weet dat |A|+|B| niet gelijk is aan |A+B| maar wat zijn de verschillen dan?

Is |A|+|B|=11 of is |A+B|=11??

Is |A+B| dan eerst de A+B matrices bij elkaar optellen en daar de determinant van ofzo?? Ik heb geen idee..

quote:

Op donderdag 9 februari 2012 13:43 schreef bezemsteeltaart het volgende:
Is |A+B| dan eerst de A+B matrices bij elkaar optellen en daar de determinant van?

precies, dat staat er

quote:

Op donderdag 9 februari 2012 13:43 schreef bezemsteeltaart het volgende:
Laat A en B 2x2 matrices zijn met de determinanten |A|=4 en |B|=7

ik weet dat |A|+|B| niet gelijk is aan |A+B| maar wat zijn de verschillen dan?

Is |A|+|B|=11 of is |A+B|=11??

Is |A+B| dan eerst de A+B matrices bij elkaar optellen en daar de determinant van ofzo?? Ik heb geen idee..

ik zou twee voorbeeldmatrices maken en het dan allebei uitproberen

let er op dat je geen 0 invoert op x_12 en x_21

(met die laatste tip zou je al moeten zien waar het mis gaat)

Ik moet bewijzen dat


als



Kan iemand me een aanwijzing geven? Ik kan wel aantonen dat als


ook



maar hier kom ik niet echt verder mee.

Ten eerste kun je kijken of A^1/3 het enige vaste punt van de substitutie is. Als dat zo is, is het genoeg om na te gaan dat de rij convergeert. Je kan dan bijvoorbeeld nagaan of x_n steeds dichterbij A^1/3 komt te liggen.

quote:

Op vrijdag 10 februari 2012 01:19 schreef kutkloon7 het volgende:
Ik moet bewijzen dat


als



Kan iemand me een aanwijzing geven? Ik kan wel aantonen dat als


ook



maar hier kom ik niet echt verder mee.

Je hebt hier in feite gewoon de bekende Newton-Raphson iteratie voor de bepaling van het nulpunt van - in dit geval - f(x) = x³ - A, waarbij geldt:



Je zou eerst moeten aantonen dat je rij {x_n} überhaupt convergeert, en dat is nog niet zo eenvoudig (zie hier).

quote:

Op vrijdag 10 februari 2012 11:31 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je hebt hier in feite gewoon de bekende Newton-Raphson iteratie voor de bepaling van het nulpunt van - in dit geval - f(x) = x³ - A, waarbij geldt:

[ afbeelding ]

Je zou eerst moeten aantonen dat je rij {x_n} überhaupt convergeert, en dat is nog niet zo eenvoudig (zie hier).

Dat hoeft ook helemaal niet in het algemeen te bewezen worden, maar alleen in dit specifieke geval. Dan wordt het vast makkelijker.

1) Kan elke permutatie van {A,B,C,D} gemaakt worden uit de tranposities (AB), (BC) en (CD)?
Ja, want ik kan de transposities (AC), (AD) en (BD) schrijven als product van de andere drie transposities, en elke permutatie is een product van transposities.

2) Hoeveel vermenigvuldigingen zijn er dan maximaal nodig?

Bij 1) vond ik dat ik (AC) 3 stappen kost om te maken. (BD) ook 3 en (AD) 5.
Van ABCD naar DCBA (of CDAB) gaan kost dan 6 stappen en ik vermoed dat dit het maximale is. Maar hoe bewijs je zoiets?

quote:

Op zaterdag 11 februari 2012 21:05 schreef Anoonumos het volgende:
1) Kan elke permutatie van {A,B,C,D} gemaakt worden uit de tranposities (AB), (BC) en (CD)?
Ja, want ik kan de transposities (AC), (AD) en (BD) schrijven als product van de andere drie transposities, en elke permutatie is een product van transposities.

2) Hoeveel vermenigvuldigingen zijn er dan maximaal nodig?

Bij 1) vond ik dat ik (AC) 3 stappen kost om te maken. (BD) ook 3 en (AD) 5.
Van ABCD naar DCBA (of CDAB) gaan kost dan 6 stappen en ik vermoed dat dit het maximale is. Maar hoe bewijs je zoiets?

Neem {A,B,C,D} als beginpermutatie. Gegeven een eindpermutatie. Neem de letter die in de eindpermutatie in de uiterst rechter positie terecht moet komen (positie 4). Dit kan in hoogstens 3 stappen. Nu de rechterletter vaststaat, is het probleem gereduceerd tot het volgende:
"Hoeveel vermenigvuldigingen zijn er maximaal nodig om van {A,B,C} met de transposities (AB) en (BC) een willekeurige permutatie van {A,B,C} te maken".

Als je het argument op deze manier afmaakt krijg je 3+2+1=6.

Dank.
Dus voor het geval dat je alleen de transpositie (AB) en 4-cykel (ABCD) mag gebruiken, is het:

4 + 3 + 1 = 7
maximaal 4 stappen om de eerste 2 in volgorde te zetten, en dan nog 3 + 1 om alles om op de goede plaats te zetten (doorschuiven) en eventueel de laatste 2 nog in goede volgorde te zetten.

quote:

Op zaterdag 11 februari 2012 21:50 schreef thenxero het volgende:

[..]

Neem {A,B,C,D} als beginpermutatie. Gegeven een eindpermutatie. Neem de letter die in de eindpermutatie in de uiterst rechter positie terecht moet komen (positie 4). Dit kan in hoogstens 3 stappen. Nu de rechterletter vaststaat, is het probleem gereduceerd tot het volgende:
"Hoeveel vermenigvuldigingen zijn er maximaal nodig om van {A,B,C} met de transposities (AB) en (BC) een willekeurige permutatie van {A,B,C} te maken".

Als je het argument op deze manier afmaakt krijg je 3+2+1=6.

Je geeft nu een bovengrens voor het aantal vermenigvuldigingen.

quote:

Op zaterdag 11 februari 2012 23:15 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

Je geeft nu een bovengrens voor het aantal vermenigvuldigingen.

De vraagsteller had 6 ook al als ondergrens.

Ahja, al zou dat wel even bewezen moeten worden.

quote:

Op zaterdag 11 februari 2012 23:10 schreef Anoonumos het volgende:
Dank.
Dus voor het geval dat je alleen de transpositie (AB) en 4-cykel (ABCD) mag gebruiken, is het:

4 + 3 + 1 = 7
maximaal 4 stappen om de eerste 2 in volgorde te zetten, en dan nog 3 + 1 om alles om op de goede plaats te zetten (doorschuiven) en eventueel de laatste 2 nog in goede volgorde te zetten.

Ik snap niet echt wat je hier bedoelt. (ABCD) verandert de volgorde van je permutatie niet (?).

En daarnaast is 4+3+1 natuurlijk geen 7

quote:

Op vrijdag 10 februari 2012 12:52 schreef thenxero het volgende:

[..]

Dat hoeft ook helemaal niet in het algemeen te bewezen worden, maar alleen in dit specifieke geval. Dan wordt het vast makkelijker.

Je hebt wel gelijk dat alleen een bewijs gevraagd wordt voor de convergentie van deze specifieke iteratie, maar ook dat is niet echt eenvoudig en in zijn algemeenheid trouwens niet juist. Als we bijvoorbeeld A = 2 kiezen en als startwaarde x₀ = -1, dan breekt de iteratie af na x₁ = 0 omdat x₂ dan ongedefinieerd is. De vragensteller geeft dus onvolledige informatie. Als we echter veronderstellen dat A > 0 en tevens x₀ > 0 kiezen dan gaat het wel goed. Het is dan mogelijk te bewijzen dat de rij {x_n} in ieder geval vanaf de tweede term x₁ monotoon dalend is en tevens begrensd, waaruit volgt dat de rij een limiet heeft. En dan is het niet moeilijk meer te bewijzen dat die limiet inderdaad A^1/3 is.

Kan iemand deze voor mij oplossen?

3 √16
---------- =
2 * 4√64

(de 4 is de 4e machtswortel van 64)

quote:

Op dinsdag 14 februari 2012 15:13 schreef solidslayer het volgende:
Kan iemand deze voor mij oplossen?

3 √16
---------- =
2 * 4√64

(de 4 is de 4e machtswortel van 64)

Klik.

quote:

Op vrijdag 10 februari 2012 01:19 schreef kutkloon7 het volgende:
Ik moet bewijzen dat


[...]

Bedankt voor de reacties!
Hier staat ook een manier, kwam ik toevallig tegen .

quote:

Op woensdag 15 februari 2012 18:19 schreef kutkloon7 het volgende:

[..]

Bedankt voor de reacties!
Hier staat ook een manier, kwam ik toevallig tegen .

Dit artikel gaat alleen over het bestaan van de derdemachtswortel van 2 als reëel getal, en daar schiet je niets mee op voor jouw vraagstuk. Ik denk dat je je vraagstuk erg onderschat, dus ik zal even laten zien hoe ik het zou aanpakken.

Gegeven is de functie f(x) = x³ - A, waarbij ik A > 0 veronderstel om redenen die ik eerder al heb aangegeven. We willen nu het nulpunt x = A^1/3 van deze functie gaan benaderen met de iteratiemethode van Newton-Raphson. Dit houdt in dat we een startwaarde x₀ > 0 kiezen en dan een steeds betere benadering van het nulpunt berekenen met de recursieve betrekking:

(1) x_n+1 = x_n - f(x_n)/f'(x_n)

Gevraagd wordt nu te bewijzen dat (a) de aldus verkregen rij {x_n} convergent is en (b) dat de limiet van deze rij gelijk is aan A^1/3.



De methode van Newton-Raphson berust erop dat we, uitgaande van een eerder berekende waarde x_n, de vergelijking opstellen van de raaklijn aan de curve van f in het punt (x_n;f(x_n)) en het snijpunt van de raaklijn met de x-as berekenen. De x-coördinaat van het snijpunt van deze raaklijn met de x-as is dan de nieuwe benadering x_n+1. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de curve van f in het punt (x_n;f(x_n)) is f'(x_n) en de vergelijking van een rechte lijn met richtingscoëfficiënt m door een punt P(x_P;y_P) is y - y_P = m(x - x_P), zodat we voor de vergelijking van de raaklijn krijgen:

(2) y - f(x_n) = f'(x_n)(x - x_n)

Door y = 0 te nemen in (2) vind je x = x_n - f(x_n)/f'(x_n) voor de x-coördinaat van het snijpunt van de raaklijn met de x-as. Deze waarde is dan de nieuwe benadering x_n+1, waarmee dus de recursieformule (1) is verklaard.

In ons geval hebben we f(x) = x³ - A en dus f'(x) = 3x², zodat het recursievoorschrift (1) wordt:

(3) x_n+1 = x_n - ((x_n³ - A)/3x_n²)

Hier kunnen we in het rechterlid een factor x_n buiten haakjes halen en x_n - ((x_n³ - A)/3x_n²) herschrijven als x_n - x_n((x_n³ - A)/3x_n³) = x_n + x_n((A - x_n³)/3x_n³) = x_n + (1/3)x_n((A/x_n³ - 1) = x_n [1 + (1/3)(A/x_n³ -1)], zodat voor (3) ook is te schrijven:

(4) x_n+1 = x_n [1 + (1/3)(A/x_n³ -1)]

En door beide leden van (4) te delen door x_n en vervolgens van beide leden 1 af te trekken is (4) ook nog te schrijven als:

(5) x_n+1/x_n - 1 = (1/3)(A/x_n³ - 1)

Uiteraard moet hierbij x_n steeds ongelijk aan nul zijn, daar x_n+1 anders niet is gedefinieerd en de recursie dan afbreekt.

Zoals ik zal laten zien is het voldoende om een startwaarde x₀ > 0 te kiezen om te kunnen garanderen dat x_n nooit nul wordt.

We bekijken nu eerst wat er gebeurt met de recursie als x_n ≥ A^1/3. In dit geval is (x_n³ - A) ≥ 0 en dus ook ((x_n³ - A)/3x_n²) ≥ 0, zodat uit (3) volgt dat dan x_n+1 ≤ x_n. Dus: als x_n ≥ A^1/3 dan is x_n+1 ≤ x_n.

Maar, aan de hand van (4) kunnen we nog iets anders concluderen. Uit A > 0 en x_n > 0 volgt uiteraard A/x_n³ > 0 en dus ook A/x_n³ - 1 > -1 en dus a fortiori (1/3)(A/x_n³ -1) > -1. En dus volgt uit (4) op grond van de ongelijkheid van Bernoulli dat:

(6) x_n+1³ = x_n³[1 + (1/3)(A/x_n³ -1)]³ ≥ x_n³(1 + A/x_n³ - 1) = A

Dus: als x_n > 0 dan geldt x_n+1³ ≥ A en derhalve x_n+1 ≥ A^1/3. Dit impliceert dat voor elke startwaarde x₀ > 0 geldt dat x₁ ≥ A^1/3 en daarmee x_n ≥ A^1/3 voor elke n > 0. Maar we hadden net al gezien dat voor elke x_n ≥ A^1/3 ook geldt x_n+1 ≤ x_n. En dus vinden we dat ongeacht de gekozen startwaarde x₀ > 0 geldt:

(7) A^1/3 ≤ x_n+1 ≤ x_n voor elke n > 0

We zien dus dat de rij {x_n} in ieder geval vanaf de tweede term x₁ monotoon dalend is én dat deze rij een ondergrens A^1/3 heeft. En een monotoon dalende rij met een ondergrens is convergent.

We hebben nu bewezen dat lim_n→∞ x_n bestaat, maar daarmee zijn we er nog niet. We moeten nu nog aantonen dat deze limiet inderdaad gelijk is aan A^1/3. Laten we deze limiet L noemen, dus:

(8) lim_n→∞ x_n = L

Het is evident dat L ≥ A^1/3 moet zijn. Immers, als L < A^1/3 zou zijn, dan zou vanaf een zekere n moeten gelden x_n < A^1/3 en dat is niet zo, want we hebben gezien dat x_n ≥ A^1/3 voor elke n > 0. Aangezien L > 0 en uiteraard lim_n→∞ x_n+1 = lim_n→∞ x_n = L volgt uit (8) dat ook geldt:

(9) lim_n→∞ (x_n+1/x_n - 1) = 0

En op grond van (5) moet dus ook gelden:

(10) lim_n→∞ (A/x_n³ - 1) = 0

Maar dit impliceert dat:

(11) lim_n→∞ x_n³ = A

Uit (8) volgt echter dat:

(12) lim_n→∞ x_n³ = L³

Op grond van (11) en (12) hebben we L³ = A en dus inderdaad:

(13) L = A^1/3

QED

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 17-02-2012 22:13:05 ]

Ik wil deze limiet berekenen:


als (x,y) naar (0,0) gaat.

Alleen weet ik niet hoe ik die sinus kan wegwerken. Ik dacht aan een taylorreeks, maar dat hebben we nog niet gehad met twee variabelen. Ik krijg de breuk ook niet kleiner gepraat dan iets zonder sinus.
Heeft iemand een tip?

quote:

Op vrijdag 17 februari 2012 22:17 schreef Anoonumos het volgende:
Ik wil deze limiet berekenen:


als (x,y) naar (0,0) gaat.

Alleen weet ik niet hoe ik die sinus kan wegwerken. Ik dacht aan een taylorreeks, maar dat hebben we nog niet gehad met twee variabelen. Ik krijg de breuk ook niet kleiner gepraat dan iets zonder sinus.
Heeft iemand een tip?

Beetje creatief zijn. Bedenk dat

(1) lim_t→0 sin(t)/t = lim_t→0 t/sin(t) = 1

Dus geldt ook:

(2) lim_{(x;y)→(0;0)} (x² + y²)/sin(x² + y²) = 1

Je kunt (xy²)/sin(x² + y²) herschrijven als het product:

(3) ((x² + y²)/sin(x² + y²))∙((xy²)/(x² + y²))

De limiet van de eerste factor voor (x;y) → (0;0) ken je al, die is 1. Hiermee heb je het probleem herleid tot de bepaling van de limiet van (xy²)/(x² + y²) voor (x;y) → (0;0). Ga over op poolcoördinaten om aan te tonen dat geldt:

(4) | (xy²)/(x² + y²) | < √(x² + y²) voor (x;y) ≠ (0;0)

De limiet van de tweede factor in (3) voor (x;y) → (0;0) is dus 0, zodat de limiet van (3) voor (x;y) → (0;0) ook 0 is. Ergo:

(5) lim_{(x;y)→(0;0)} (xy²)/(sin(x² + y²)) = 0

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 18-02-2012 00:10:38 ]

Ik snap hem, bedankt.

Kan iemand mij helpen met het berekenen van de volgende integraal:

dx

ik kom er niet zover mee, bvd.

.

[ Bericht 99% gewijzigd door M.rak op 19-02-2012 16:11:16 ]

quote:

Op zondag 19 februari 2012 16:13 schreef zoem het volgende:

[..]

Bijna

quote:

Op zondag 19 februari 2012 16:13 schreef zoem het volgende:

[..]

Bijna

Ook bijna .