SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Dit artikel gaat alleen over het bestaan van de derdemachtswortel van 2 als reëel getal, en daar schiet je niets mee op voor jouw vraagstuk. Ik denk dat je je vraagstuk erg onderschat, dus ik zal even laten zien hoe ik het zou aanpakken.quote:Op woensdag 15 februari 2012 18:19 schreef kutkloon7 het volgende:
[..]
Bedankt voor de reacties!
Hier staat ook een manier, kwam ik toevallig tegen.
Gegeven is de functie f(x) = x3 - A, waarbij ik A > 0 veronderstel om redenen die ik eerder al heb aangegeven. We willen nu het nulpunt x = A1/3 van deze functie gaan benaderen met de iteratiemethode van Newton-Raphson. Dit houdt in dat we een startwaarde x0 > 0 kiezen en dan een steeds betere benadering van het nulpunt berekenen met de recursieve betrekking:
(1) xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)
Gevraagd wordt nu te bewijzen dat (a) de aldus verkregen rij {xn} convergent is en (b) dat de limiet van deze rij gelijk is aan A1/3.
De methode van Newton-Raphson berust erop dat we, uitgaande van een eerder berekende waarde xn, de vergelijking opstellen van de raaklijn aan de curve van f in het punt (xn;f(xn)) en het snijpunt van de raaklijn met de x-as berekenen. De x-coördinaat van het snijpunt van deze raaklijn met de x-as is dan de nieuwe benadering xn+1. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de curve van f in het punt (xn;f(xn)) is f'(xn) en de vergelijking van een rechte lijn met richtingscoëfficiënt m door een punt P(xP;yP) is y - yP = m(x - xP), zodat we voor de vergelijking van de raaklijn krijgen:
(2) y - f(xn) = f'(xn)(x - xn)
Door y = 0 te nemen in (2) vind je x = xn - f(xn)/f'(xn) voor de x-coördinaat van het snijpunt van de raaklijn met de x-as. Deze waarde is dan de nieuwe benadering xn+1, waarmee dus de recursieformule (1) is verklaard.
In ons geval hebben we f(x) = x3 - A en dus f'(x) = 3x2, zodat het recursievoorschrift (1) wordt:
(3) xn+1 = xn - ((xn3 - A)/3xn2)
Hier kunnen we in het rechterlid een factor xn buiten haakjes halen en xn - ((xn3 - A)/3xn2) herschrijven als xn - xn((xn3 - A)/3xn3) = xn + xn((A - xn3)/3xn3) = xn + (1/3)xn((A/xn3 - 1) = xn [1 + (1/3)(A/xn3 -1)], zodat voor (3) ook is te schrijven:
(4) xn+1 = xn [1 + (1/3)(A/xn3 -1)]
En door beide leden van (4) te delen door xn en vervolgens van beide leden 1 af te trekken is (4) ook nog te schrijven als:
(5) xn+1/xn - 1 = (1/3)(A/xn3 - 1)
Uiteraard moet hierbij xn steeds ongelijk aan nul zijn, daar xn+1 anders niet is gedefinieerd en de recursie dan afbreekt.
Zoals ik zal laten zien is het voldoende om een startwaarde x0 > 0 te kiezen om te kunnen garanderen dat xn nooit nul wordt.
We bekijken nu eerst wat er gebeurt met de recursie als xn ≥ A1/3. In dit geval is (xn3 - A) ≥ 0 en dus ook ((xn3 - A)/3xn2) ≥ 0, zodat uit (3) volgt dat dan xn+1 ≤ xn. Dus: als xn ≥ A1/3 dan is xn+1 ≤ xn.
Maar, aan de hand van (4) kunnen we nog iets anders concluderen. Uit A > 0 en xn > 0 volgt uiteraard A/xn3 > 0 en dus ook A/xn3 - 1 > -1 en dus a fortiori (1/3)(A/xn3 -1) > -1. En dus volgt uit (4) op grond van de ongelijkheid van Bernoulli dat:
(6) xn+13 = xn3[1 + (1/3)(A/xn3 -1)]3 ≥ xn3(1 + A/xn3 - 1) = A
Dus: als xn > 0 dan geldt xn+13 ≥ A en derhalve xn+1 ≥ A1/3. Dit impliceert dat voor elke startwaarde x0 > 0 geldt dat x1 ≥ A1/3 en daarmee xn ≥ A1/3 voor elke n > 0. Maar we hadden net al gezien dat voor elke xn ≥ A1/3 ook geldt xn+1 ≤ xn. En dus vinden we dat ongeacht de gekozen startwaarde x0 > 0 geldt:
(7) A1/3 ≤ xn+1 ≤ xn voor elke n > 0
We zien dus dat de rij {xn} in ieder geval vanaf de tweede term x1 monotoon dalend is én dat deze rij een ondergrens A1/3 heeft. En een monotoon dalende rij met een ondergrens is convergent.
We hebben nu bewezen dat limn→∞ xn bestaat, maar daarmee zijn we er nog niet. We moeten nu nog aantonen dat deze limiet inderdaad gelijk is aan A1/3. Laten we deze limiet L noemen, dus:
(8) limn→∞ xn = L
Het is evident dat L ≥ A1/3 moet zijn. Immers, als L < A1/3 zou zijn, dan zou vanaf een zekere n moeten gelden xn < A1/3 en dat is niet zo, want we hebben gezien dat xn ≥ A1/3 voor elke n > 0. Aangezien L > 0 en uiteraard limn→∞ xn+1 = limn→∞ xn = L volgt uit (8) dat ook geldt:
(9) limn→∞ (xn+1/xn - 1) = 0
En op grond van (5) moet dus ook gelden:
(10) limn→∞ (A/xn3 - 1) = 0
Maar dit impliceert dat:
(11) limn→∞ xn3 = A
Uit (8) volgt echter dat:
(12) limn→∞ xn3 = L3
Op grond van (11) en (12) hebben we L3 = A en dus inderdaad:
(13) L = A1/3
QED
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 17-02-2012 22:13:05 ]
Ik wil deze limiet berekenen:
als (x,y) naar (0,0) gaat.
Alleen weet ik niet hoe ik die sinus kan wegwerken. Ik dacht aan een taylorreeks, maar dat hebben we nog niet gehad met twee variabelen. Ik krijg de breuk ook niet kleiner gepraat dan iets zonder sinus.
Heeft iemand een tip?
als (x,y) naar (0,0) gaat.
Alleen weet ik niet hoe ik die sinus kan wegwerken. Ik dacht aan een taylorreeks, maar dat hebben we nog niet gehad met twee variabelen. Ik krijg de breuk ook niet kleiner gepraat dan iets zonder sinus.
Heeft iemand een tip?
Beetje creatief zijn. Bedenk datquote:Op vrijdag 17 februari 2012 22:17 schreef Anoonumos het volgende:
Ik wil deze limiet berekenen:
als (x,y) naar (0,0) gaat.
Alleen weet ik niet hoe ik die sinus kan wegwerken. Ik dacht aan een taylorreeks, maar dat hebben we nog niet gehad met twee variabelen. Ik krijg de breuk ook niet kleiner gepraat dan iets zonder sinus.
Heeft iemand een tip?
(1) limt→0 sin(t)/t = limt→0 t/sin(t) = 1
Dus geldt ook:
(2) lim(x;y)→(0;0) (x2 + y2)/sin(x2 + y2) = 1
Je kunt (xy2)/sin(x2 + y2) herschrijven als het product:
(3) ((x2 + y2)/sin(x2 + y2))∙((xy2)/(x2 + y2))
De limiet van de eerste factor voor (x;y) → (0;0) ken je al, die is 1. Hiermee heb je het probleem herleid tot de bepaling van de limiet van (xy2)/(x2 + y2) voor (x;y) → (0;0). Ga over op poolcoördinaten om aan te tonen dat geldt:
(4) | (xy2)/(x2 + y2) | < √(x2 + y2) voor (x;y) ≠ (0;0)
De limiet van de tweede factor in (3) voor (x;y) → (0;0) is dus 0, zodat de limiet van (3) voor (x;y) → (0;0) ook 0 is. Ergo:
(5) lim(x;y)→(0;0) (xy2)/(sin(x2 + y2)) = 0
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 18-02-2012 00:10:38 ]
.
[ Bericht 99% gewijzigd door M.rak op 19-02-2012 16:11:16 ]
[ Bericht 99% gewijzigd door M.rak op 19-02-2012 16:11:16 ]
The biggest argument against democracy is a five minute discussion with the average voter.
waarbij jequote:
ook op kunt schrijven als:
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Kloptj, de uiteindelijke integraal wordt dusquote:Op zondag 19 februari 2012 16:18 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
waarbij je
ook op kunt schrijven als:
The biggest argument against democracy is a five minute discussion with the average voter.
ik zag het wel, met je ninja-editquote:
[..]
Kloptj, de uiteindelijke integraal wordt dus
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Psst!quote:Op zondag 19 februari 2012 16:20 schreef GlowMouse het volgende:
[..]
ik zag het wel, met je ninja-edit
The biggest argument against democracy is a five minute discussion with the average voter.
waar gaat die initiele +1 dan heen van:quote:
[..]
waarbij je
ook op kunt schrijven als:
Er is geen +1.quote:
[..]
waar gaat die initiele +1 dan heen van:?
Je moet (x+3) buiten haakjes halen, dan heb je er x²+1 van en je hebt er -1 van, dus x² totaal.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
psst, die is nog steeds fout hoor; je vergat nl. de absoluutstrepen om de term v/d logaritmequote:
[..]
Klopt, de uiteindelijke integraal wordt dus
Ach, zolang er geen verdere randvoorwaarden vermeldt staan lig ik daar niet wakker van 
. Foutieve domeinrestrictie daarintegen 
...
. Foutieve domeinrestrictie daarintegen ...
wat is de nederlandse naam voor equation ookalweer? ben het ff helemaal kwijt 
Winnaar KLB verkiezingen 2012.
Vergelijking is denk ik wat het meest in de buurt komt. Google translate?quote:Op dinsdag 21 februari 2012 20:05 schreef gogosweden het volgende:
wat is de nederlandse naam voor equation ookalweer? ben het ff helemaal kwijt
het klonk toch niet helemaal goed dus daarom vroeg ik het hier voor de zekerheid naquote:
[..]
Vergelijking is denk ik wat het meest in de buurt komt. Google translate?
Winnaar KLB verkiezingen 2012.
Ik wil de nde macht van een simpele matrix uitrekenen. Is er een manier voor? Mathematica komt er wel uuit, dus ik dacht dat het ook wel met de hand na te gaan moet zijn.
For the record, dit is de matrix:
En de nde macht van deze matrix is:
Oja, ik ken de manier waarbij je de matrix diagonaliseert, dat kan bij deze matrix niet omdat er geen basis van eigenvectoren is. Er is wel een matrix te maken zodat (als we de matrix met eigenvectoren als kolommen V noemen, de matrix waarvan ik de diagonaalmatrix wil hebben M en de diagonaalmatrix met eigenwaarden L):
MV = VL
Maar nu is v niet inverteerbaar, omdat zijn determinant 0 is.
[ Bericht 5% gewijzigd door motorbloempje op 12-08-2013 12:46:22 ]
For the record, dit is de matrix:
En de nde macht van deze matrix is:
Oja, ik ken de manier waarbij je de matrix diagonaliseert, dat kan bij deze matrix niet omdat er geen basis van eigenvectoren is. Er is wel een matrix te maken zodat (als we de matrix met eigenvectoren als kolommen V noemen, de matrix waarvan ik de diagonaalmatrix wil hebben M en de diagonaalmatrix met eigenwaarden L):
MV = VL
Maar nu is v niet inverteerbaar, omdat zijn determinant 0 is.
[ Bericht 5% gewijzigd door motorbloempje op 12-08-2013 12:46:22 ]
Ken je de Jordan-normaalvorm van een matrix?quote:
Ik wil de nde macht van een simpele matrix uitrekenen. Is er een manier voor? Mathematica komt er wel uuit, dus ik dacht dat het ook wel met de hand na te gaan moet zijn.
For the record, dit is de matrix:
[ afbeelding ]
En de nde macht van deze matrix is:
[ afbeelding ]
Oja, ik ken de manier waarbij je de matrix diagonaliseert, dat kan bij deze matrix niet omdat er geen basis van eigenvectoren is. Er is wel een matrix te maken zodat (als we de matrix met eigenvectoren als kolommen V noemen, de matrix waarvan ik de diagonaalmatrix wil hebben M en de diagonaalmatrix met eigenwaarden L):
MV = VL
Maar nu is v niet inverteerbaar, omdat zijn determinant 0 is.
Ik denk dat dat is waar ik naar op zoek ben ja. Het is wel een keer kort behandeld, maar blijkbaar niet blijven hangen. Ik zoek het wel op in mijn dictaat lineaire algebra. Dankje, ouwe baasquote:
[..]
Ken je de Jordan-normaalvorm van een matrix?
Oke morgen tentamen, ik heb een gedefinieerde integraal
wordt: 1/4e^2+ 1/2 - 0 toch?? In het antwoordmodel staat dat als je 0 invult in de formule je er 1/4e uitkrijgt??
Waar staat btw dat wiskundescript? ik kopieer het nu uit vorige post maar zie het niet ergens staan
wordt: 1/4e^2+ 1/2 - 0 toch?? In het antwoordmodel staat dat als je 0 invult in de formule je er 1/4e uitkrijgt??
Waar staat btw dat wiskundescript? ik kopieer het nu uit vorige post maar zie het niet ergens staan
waarbij C een constante is. Grenswaarden invullen geeft
Je zou alle tussenstappen moeten opschrijven. Dus eerst de primitieve uitrekenen met de rekenregeltjes die je kent, en dan de grenswaarden invullen. Haakjes gebruiken en de maat dx opschrijven helpt ook.
Het lijkt net alsof jij niet primitiveert, maar gewoon de grenswaarden in de integrand invult.
Waar invult? In de bovengrens? Ondergrens? Iets anders?quote:In het antwoordmodel staat dat als je 0 invult in de formule je er 1/4e uitkrijgt??
Mijn ervaring is dat als je je vragen heel precies opschrijft, je vaak al bij de helft van je antwoord bent. En voor de persoon die je probeert te helpen is precisie wel zo fijn
-
Op 
Oh shit Haushofer, hij was al geintegreerd, ik had er eigenlijk andere dingen omheen moeten zetten dus zo:
Bovengrens: e
Ondergrens: 0
de integraal had ik al berekend, dus [1/4x^2 + 1/2 ln x]
als ik hierin de grenzen invul krijg ik toch1/4e^2 + 1/2 - 0
Volgens het antwoordmodel moet het 1/4e^2+ 1/2 - 1/4 = 1/4e^2 + 1/4
Bovengrens: e
Ondergrens: 0
de integraal had ik al berekend, dus [1/4x^2 + 1/2 ln x]
als ik hierin de grenzen invul krijg ik toch1/4e^2 + 1/2 - 0
Volgens het antwoordmodel moet het 1/4e^2+ 1/2 - 1/4 = 1/4e^2 + 1/4
niet bestaat; los uit de pols zou je kunnen zeggen dat
Dus ik vrees dat je ergens een foutje maakt. Wat is volgens jou de logaritme van 0?
Als
-
Ik volg nu onderbouw vwo (lees: een naar alle waarschijnlijkheid basis der basisvragen) en ik heb een vraag, of nou ja; ik kom er niet uit. Ik heb net een aantal hoofdstukken wiskunde B afgerond en dat ging voornamelijk over breuken. Aftrekken, optellen, delen en vermenigvuldigen. Alles ging goed en alle oefenvragen heb ik goed gemaakt, maar dan komen de huiswerkopgaven en dan worden er sommen gegeven met negatieve getallen (Dit is ook geen 1 keer voor gekomen in de oefenopgaven) 
En dat snap ik niet.
-13/5 minus 24/6
Zou iemand mij dit stapsgewijs willen uitleggen, dan probeer ik het toe te passen op de andere sommen waar ook plotseling met negatieve getallen wordt gewerkt
En dat snap ik niet. -13/5 minus 24/6
Zou iemand mij dit stapsgewijs willen uitleggen, dan probeer ik het toe te passen op de andere sommen waar ook plotseling met negatieve getallen wordt gewerkt
hoe toon je, gegeven onderstaande definities van de sinus en cosinus, aan dat cos2 + sin2 = 1 ???
(mijn vraag komt van de oorspronkelijke vraag waarom de functie exp(ri) een cirkel in het complexe vlak geeft, geen huiswerk maar eigen interesse)
(mijn vraag komt van de oorspronkelijke vraag waarom de functie exp(ri) een cirkel in het complexe vlak geeft, geen huiswerk maar eigen interesse)
Je kan beter even naar de meetkundige definities kijken (eventueel even een eenheidscirkel bekijken met daarop een punt dat een bepaalde hoek maakt met de x-as, dan zie je het wel denk ik), ik zou je graag verder helpen maar ik moet nu etenquote:
hoe toon je, gegeven onderstaande definities van de sinus en cosinus, aan dat cos2 + sin2 = 1 ???
[ afbeelding ]
(mijn vraag komt van de oorspronkelijke vraag waarom de functie exp(ri) een cirkel in het complexe vlak geeft, geen huiswerk maar eigen interesse)
.
Ik zou niet weten hoe dat moet met die reeksen. Maar met de stelling van Pythagoras en de meetkundige definities is het heel makkelijk aan te tonen.
Het kan trouwens wel gewoon:
cos²(x) = 1- (1/2! + 1/2!)x² + (1/4! + 1/2!2! + 1/4!)x^4/4! - ...
sin²(x) = x² - (1/3! + 1/3!) x^4/4! + ...
Alles valt tegen elkaar weg behalve die 1, die blijft staan. Probeer het zelf maar eens netjes uit te schrijven.
cos²(x) = 1- (1/2! + 1/2!)x² + (1/4! + 1/2!2! + 1/4!)x^4/4! - ...
sin²(x) = x² - (1/3! + 1/3!) x^4/4! + ...
Alles valt tegen elkaar weg behalve die 1, die blijft staan. Probeer het zelf maar eens netjes uit te schrijven.
Iemand een idee wat handig is om aan te tonen dat als je de Peterson graaf
SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.inbed in het platte vlak, er minstens twee snijpunten zijn? (dus waar twee zijden elkaar snijden...)
(En dezelfde vraag voor K6, de complete graaf met 6 en 3 snijpunten, maar misschien kom ik daar zelf wel achter als ik deze snap)
Ik wil eigenlijk gebruiken dat als je bijvoorbeeld K5 inbed in het platte vlak met maar een (ik kan geen accenten op de e doen?) snijpunt, dat de topologie dan als het ware elke keer hetzelfde is, anders moet je erg veel gevallen gaan onderscheiden. Als iemand me kan helpen, graag!
Ik kan er weinig over zeggen, maar het is de Petersengraaf, zonder o en zonder spatie. En het zijn geen zijden maar kanten.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Hehe, twee fouten en dat nog wel in een dikgedrukte tekstquote:Op zaterdag 25 februari 2012 22:03 schreef GlowMouse het volgende:
Ik kan er weinig over zeggen, maar het is de Petersengraaf, zonder o en zonder spatie. En het zijn geen zijden maar kanten.
. Ik weet trouwens zeker dat het bij college wel zijdes werden genoemd (maar dat zegt natuurlijk niks, behalve dat ik het dan misschien verkeerd geleerd heb 
).
quote:
Iemand een idee wat handig is om aan te tonen dat als je de Peterson graafDenk dat je deze stelling moet gebruiken:SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.inbed in het platte vlak, er minstens twee snijpunten zijn? (dus waar twee zijden elkaar snijden...)
(En dezelfde vraag voor K6, de complete graaf met 6 en 3 snijpunten, maar misschien kom ik daar zelf wel achter als ik deze snap)
Ik wil eigenlijk gebruiken dat als je bijvoorbeeld K5 inbed in het platte vlak met maar een (ik kan geen accenten op de e doen?) snijpunt, dat de topologie dan als het ware elke keer hetzelfde is, anders moet je erg veel gevallen gaan onderscheiden. Als iemand me kan helpen, graag!
A finite graph is planar if and only if it does not have K5 or K3,3 as a minor.
Van wikipedia.
Gebruik dat sin'(x) = cos(x) en cos'(x) = -sin(x); dat volgt direct uit die machtreeksdefinities. Daarna kun je sin2(x) + cos2(x) eenvoudig differentiëren en zien dat daar 0 uitkomt. De uitdrukking is dus constant; x=0 invullen geeft dat er 1 uitkomt.quote:
hoe toon je, gegeven onderstaande definities van de sinus en cosinus, aan dat cos2 + sin2 = 1 ???
[ afbeelding ]
(mijn vraag komt van de oorspronkelijke vraag waarom de functie exp(ri) een cirkel in het complexe vlak geeft, geen huiswerk maar eigen interesse)
Je zou dit heel eenvoudig kunnen doen door eerst aan de hand van de reeksontwikkelingen aan te tonen dat cos x en sin x resp. -sin x en cos x als afgeleide hebben. Vervolgens definieer je de functie:quote:
hoe toon je, gegeven onderstaande definities van de sinus en cosinus, aan dat cos2x + sin2x = 1 ???
[ afbeelding ]
f(x) = cos2x + sin2x
Je kunt nu gemakkelijk controleren dat f'(x) = 2∙cos x∙(-sin x) + 2∙sin x∙cos x = 0 voor elke x ∈ R, zodat f(x) een constante functie moet zijn. Substitutie van x = 0 geeft f(0) = 1, zodat geldt f(x) = 1 voor elke x ∈ R, QED.
Bekijk het eens als volgt. Je weet dat je een curve in een plat vlak met een cartesisch assenstelsel kunt beschrijven met een parametervoorstelling x = x(t) en y = y(t). Op dezelfde wijze kun je in het complexe vlak een curve beschrijven met een complexe functie z(t) = x(t) + i∙y(t) van een reële variabele t, aangezien het punt (x(t);y(t)) het beeldpunt is van het complexe getal x(t) + i∙y(t).quote:(mijn vraag komt van de oorspronkelijke vraag waarom de functie exp(ti) een cirkel in het complexe vlak geeft, geen huiswerk maar eigen interesse)
Laten we nu verder aannemen dat x(t) en y(t) differentieerbare functies zijn van t, zodat ook z(t) differentieerbaar is met z'(t) = x'(t) + i∙y'(t). Als je de parametervoorstelling z(t) = x(t) + i∙y(t) nu even 'fysisch' beschouwt als de baan van een puntvormig deeltje in het complexe vlak als functie van de tijd t, dan begrijp je dat de afgeleide z'(t) = x'(t) + i∙y'(t) eigenlijk de snelheidsvector voorstelt van het bewegende puntdeeltje. En dat betekent dat de richting (i.e het argument) van z'(t) steeds de richting aangeeft van de beweging - en dus de richting van de raaklijn aan de curve - en dat de absolute waarde ofwel modulus | z'(t) | van z'(t) steeds de grootte van de snelheid aangeeft waarmee het puntdeeltje op dat moment beweegt.
Laten we ons nu voorstellen dat we een parametervoorstelling z(t) hebben van een curve in het complexe vlak die voldoet aan:
(1) z'(t) = i∙z(t), z(0) = 1
Wat betekent dit meetkundig? Wel, zoals je (hopelijk) weet representeert een vermenigvuldiging van een complex getal z = a + bi met i meetkundig een rotatie om de oorsprong tegen de klok in over een rechte hoek van het beeldpunt (a;b) van z = a + bi. Immers, we hebben i∙z = i∙(a + bi) = a∙i + b∙i2 = -b + ai, en je kunt gemakkelijk controleren dat het beeldpunt (-b;a) van i∙z een kwart slag tegen de klok in is gedraaid t.o.v. het beeldpunt (a;b) van z (als je dit niet begrijpt, maak dan een tekening of kijk even hier).
Goed, maar wat betekent dit meetkundig voor de curve die wordt beschreven door (1)? Wel, aangezien z'(t) op ieder tijdstip (i.e. voor elke reële waarde van t) gelijk is aan i∙z(t) en dus op ieder tijdstip de raaklijn aan de curve loodrecht staat op het lijnstuk tussen de oorsprong het beeldpunt van z(t), volgt dat (1) een cirkelbeweging rond de oorsprong beschrijft. Immers, kenmerkend voor een cirkel is nu juist dat de raaklijn aan ieder punt op de cirkel loodrecht staat op de straal naar het raakpunt.
Maar, we kunnen nog meer zeggen over de curve die wordt beschreven door (1). Aangezien is gespecificeerd dat z(0) = 1 ligt het startpunt (i.e. de positie op tijdstip t = 0) van de baan van z(t) in het beeldpunt (1;0) van het getal 1 + 0∙i = 1. En omdat uit z'(t) = i∙z(t) en z(0) = 1 volgt dat z'(0) = i en dus | z'(0) | = 1 weten we dat de beweging op het tijdstip t = 0 loodrecht omhoog is gericht en dat de snelheid op dat moment een grootte 1 (eenheid per eenheid van tijd) heeft. Maar omdat er sprake is van een cirkelbeweging rond de oorsprong is de afstand | z(t) | van het beeldpunt van z(t) tot de oorsprong constant. En dus is | z'(t) | = | i∙z(t) | = | i |∙| z(t) | = | z(t) | eveneens constant, en wel gelijk aan | z(0) | = 1. De baan die wordt beschreven door (1) is dus een eenparige cirkelbeweging tegen de klok in langs de eenheidscirkel met een snelheid één, en waarbij het puntdeeltje zich op tijdstip t = 0 in het punt (1;0) bevindt.
Laten we nu eens kijken naar de curve die wordt beschreven door:
(2) z(t) = eit
Als je nu even aanneemt dat eit differentieerbaar is naar t en dat voor het differentiëren de gewone rekenregels gelden zoals je die kent van reële functies, dan kun je gemakkelijk nagaan (kettingregel) dat de afgeleide van (2) zou moeten zijn:
(3) z'(t) = i∙eit
Maar dit betekent dat voor (2) geldt z'(t) = i∙z(t), en door substitutie van t = 0 in (2) vinden we ook dat z(0) = e0 = 1. De curve die beschreven wordt door (2) voldoet dus aan (1), en zoals we hebben gezien betekent dit niets anders dan dat (2) een parametervoorstelling is van de eenheidscirkel!
Zoals je weet kunnen we een parametervoorstelling van een eenparige cirkelbeweging tegen de klok in met snelheid één langs de eenheidscirkel in een cartesisch assenstelsel met startpunt (1;0) ook voorstellen door x(t) = cos t, y(t) = sin t. Dit is een direct gevolg van de definitie van de cosinus en sinus functies aan de hand van de eenheidscirkel. En dus kunnen we de curve z(t) = x(t) + i∙y(t) die wordt gekarakteriseerd door (1) ook beschrijven als:
(4) z(t) = cos t + i∙sin t
En aangezien (2) en (4) dezelfde curve beschrijven met dezelfde parametrisering hebben we dus:
(5) eit = cos t + i∙sin t
Dit is uiteraard de bekende formule van Euler.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 28-02-2012 11:58:53 ]
quote:
Iemand een idee wat handig is om aan te tonen dat als je de Peterson graafJe kunt proberen aan te tonen dat je minstens 2 kanten moet weghalen om de graaf planair te maken. Een standaardargument met Euler's formule zou hier wel moeten werken denk ik. Je hebt in elk geval dat elk vlakdeel minstens een vijfhoek is.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.inbed in het platte vlak, er minstens twee snijpunten zijn? (dus waar twee zijden elkaar snijden...)
(En dezelfde vraag voor K6, de complete graaf met 6 en 3 snijpunten, maar misschien kom ik daar zelf wel achter als ik deze snap)
Ik wil eigenlijk gebruiken dat als je bijvoorbeeld K5 inbed in het platte vlak met maar een (ik kan geen accenten op de e doen?) snijpunt, dat de topologie dan als het ware elke keer hetzelfde is, anders moet je erg veel gevallen gaan onderscheiden. Als iemand me kan helpen, graag!
Merk eerst op dat je alle complexe functies als het volgende kunt schrijven met i als het complexe getalquote:
mijn vraag komt van de oorspronkelijke vraag waarom de functie exp(ri) een cirkel in het complexe vlak geeft, geen huiswerk maar eigen interesse
Beschouw vervolgens de machtsreeks van de complexe e-macht, die kun je schrijven als de machtsreeks van de cosinus plus de sinus (de formule van Euler). Definieer als voorbereiding
We kunnen met de formule van Euler schrijven dat
Je kunt de laatste uitdrukking herschrijven naar iets bekends van de vwo
oftewel in parametervoorstelling
Croce e delizia cor. Misterioso, Misterioso altero, croce e delizia al cor.
Op
Dat is de definite van een inverse functie. Je kan er pas concreet mee aan de slag als je f weet.quote:
[..]
Bedankt voor het antwoord, zou u misschien uit willen leggen hoe u er op gekomen bent?
Ik ben het trouwens niet helemaal met GM eens, want het is niet gegeven dat f inverteerbaar is
[ Bericht 14% gewijzigd door thenxero op 27-02-2012 19:40:44 ]
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Ik heb een hekel aan de -1 notatie want dat impliceert multiplicatieve inverse terwijl in ons geval compositief inverse bedoeld wordt. voorbeeld: sin-1x = 1/sinx =/= arcsinx
cscxquote:
[..]
Dat is een kutnotatie. Gebruik liever (sin x)-1 voor zoiets.
Ik ben er niet helemaal uitgekomen, maar het was een inleveropgave en ik heb van niemand gehoord dat hij er helemaal uitgekomen is. Misschien was het niet de bedoeling om een bewijs te geven (er stond 'laat zien'). In ieder geval bedankt!quote:
[..]
Je kunt proberen aan te tonen dat je minstens 2 kanten moet weghalen om de graaf planair te maken. Een standaardargument met Euler's formule zou hier wel moeten werken denk ik. Je hebt in elk geval dat elk vlakdeel minstens een vijfhoek is.
Volgens mij werkt het wel op de manier die ik voorstelde.quote:
[..]
Ik ben er niet helemaal uitgekomen, maar het was een inleveropgave en ik heb van niemand gehoord dat hij er helemaal uitgekomen is. Misschien was het niet de bedoeling om een bewijs te geven (er stond 'laat zien'). In ieder geval bedankt!
Voor planaire grafen geldt de formule van Euler: v - e + f = 2. Voor de Petersengraaf hebben v=10 en e=15. Hieruit volgt 10 - 15 + f = 2, ofwel f = 7. Elk vlak is minstens een vijfhoek (elke cykel heeft lengte minstens 5). Verder grenst elke kant aan 2 vlakken, dus 5f <= 2e = 30, dus f <= 6, in tegenspraak met f=7.
Wat we moeten bewijzen is, dat als we 1 kant weghalen, dat dat ding nog steeds niet planair is (als er maar 1 snijpunt zou zijn, dan zou je namelijk 1 van de twee betreffende kanten weg kunnen halen om het planair te maken). De resulterende graaf heeft dan v=10 en e=14, dus f=6. Maar nog steeds geldt 5f <= 2e, wat in dit geval 28 is. Dit is in tegenspraak met f=6.
Aangezien er wel inbeddingen bestaan met 2 snijpunten, zou nog een kant weghalen geen tegenspraak meer moeten geven (even als sanity check). Maar dan krijg je inderdaad e=13 en f=5 uit Euler, dus 5f = 25 en 2e = 26.
Klopt, het was alleen niet de bedoeling dat we de formule van Euler gebruikten 'want die kwam pas in het hoofdstuk erna'. Wel bewonderenswaardig dat je zo snel een bewijs weet te producerenquote:
[..]
Volgens mij werkt het wel op de manier die ik voorstelde.
Voor planaire grafen geldt de formule van Euler: v - e + f = 2. Voor de Petersengraaf hebben v=10 en e=15. Hieruit volgt 10 - 15 + f = 2, ofwel f = 7. Elk vlak is minstens een vijfhoek (elke cykel heeft lengte minstens 5). Verder grenst elke kant aan 2 vlakken, dus 5f <= 2e = 30, dus f <= 6, in tegenspraak met f=7.
Wat we moeten bewijzen is, dat als we 1 kant weghalen, dat dat ding nog steeds niet planair is (als er maar 1 snijpunt zou zijn, dan zou je namelijk 1 van de twee betreffende kanten weg kunnen halen om het planair te maken). De resulterende graaf heeft dan v=10 en e=14, dus f=6. Maar nog steeds geldt 5f <= 2e, wat in dit geval 28 is. Dit is in tegenspraak met f=6.
Aangezien er wel inbeddingen bestaan met 2 snijpunten, zou nog een kant weghalen geen tegenspraak meer moeten geven (even als sanity check). Maar dan krijg je inderdaad e=13 en f=5 uit Euler, dus 5f = 25 en 2e = 26.
.
y is de variabele en alpha>0 is gegeven. Waarom mag je dan stellen dat dit 0 is? Het lijkt mij dat je krijgt -(e^(-inf))*inf^(a-1), ik zie niet hoezo dat 0 is, 0*oneindig is toch niet gedefiniëerd?
Özil | Ki SY| Son HM| Lee SW| Taeguk Warriors|
Je moet de termen niet los bekijken. Een exponentiële functie 'wint' altijd van een machtsfunctie.
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Daar kan ik nog wel inkomen, maar waarom is dit dan onbepaald, want dat is toch feitelijk hetzelfde?quote:
Je moet de termen niet los bekijken. Een exponentiële functie 'wint' altijd van een machtsfunctie.
Özil | Ki SY| Son HM| Lee SW| Taeguk Warriors|
je rekent een oneigenlijke integraal per definitie uit als limiet: linkquote:
[..]
Daar kan ik nog wel inkomen, maar waarom is dit dan onbepaald, want dat is toch feitelijk hetzelfde?
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Ah, ok, dat wist ik niet. Hoe kan ik trouwens laten zien dat de ene functie het "wint" van de andere? Het enige wat ik kan verzinnen is van zowel de teller als de noemer de afgeleide nemen en dan laten zien dat die van de noemer voor elke a>0 en x>0 groter is, maar dat is hier duidelijk niet het geval, (a-1)*x^(a-2) is niet kleiner dan e^x voor elke combinatie van x en a.quote:
[..]
je rekent een oneigenlijke integraal per definitie uit als limiet: link
Of is dit gewoon een regel die ik maar moet onthouden zonder dat het veel te ingewikkeld wordt?
Özil | Ki SY| Son HM| Lee SW| Taeguk Warriors|
Hallo, ik heb een vraag over deze algebra opgave:
Zij X = {1,2,3...} de verzameling van positieve natuurlijke getallen en vat S_n op als ondergroep van S(X) door zijn natuurlijke werking op {1,2,3,...,n}. Laat zien dat
een ondergroep is van S(X). Is H gelijk aan S(X)?
Ik zou zeggen dat voor alle n geldt dat
, en dan heb ik al een bewijs dat zegt dat de vereniging van twee ondergroepen een ondergroep is als er één bevat is in de ander.
En voor het tweede deel lijkt me dat een element a in S(X) bevat is in S_a, en andersom iets soortgelijks.
Maar het kan nooit zo gemakkelijk zijn, dus ik vroeg me af of iemand hier weet wat ik over het hoofd zie?
Zij X = {1,2,3...} de verzameling van positieve natuurlijke getallen en vat S_n op als ondergroep van S(X) door zijn natuurlijke werking op {1,2,3,...,n}. Laat zien dat
een ondergroep is van S(X). Is H gelijk aan S(X)?
Ik zou zeggen dat voor alle n geldt dat
En voor het tweede deel lijkt me dat een element a in S(X) bevat is in S_a, en andersom iets soortgelijks.
Maar het kan nooit zo gemakkelijk zijn, dus ik vroeg me af of iemand hier weet wat ik over het hoofd zie?
Deze kun je wel onthouden, maar je kunt ook laten zien dat er voor elke epsilon altijd wel een x* bestaat zodanig dat ax / xb < epsilon voor x>x* (mits a>1). Daarvoor kun je gebruiken datquote:
[..]
Ah, ok, dat wist ik niet. Hoe kan ik trouwens laten zien dat de ene functie het "wint" van de andere? Het enige wat ik kan verzinnen is van zowel de teller als de noemer de afgeleide nemen en dan laten zien dat die van de noemer voor elke a>0 en x>0 groter is, maar dat is hier duidelijk niet het geval, (a-1)*x^(a-2) is niet kleiner dan e^x voor elke combinatie van x en a.
Of is dit gewoon een regel die ik maar moet onthouden zonder dat het veel te ingewikkeld wordt?
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
Versta je onder natuurlijke werking dat je modulo n rekent met optelling?quote:
Hallo, ik heb een vraag over deze algebra opgave:
Zij X = {1,2,3...} de verzameling van positieve natuurlijke getallen en vat S_n op als ondergroep van S(X) door zijn natuurlijke werking op {1,2,3,...,n}. Laat zien dat
een ondergroep is van S(X). Is H gelijk aan S(X)?
Ik zou zeggen dat voor alle n geldt dat
En voor het tweede deel lijkt me dat een element a in S(X) bevat is in S_a, en andersom iets soortgelijks.
Maar het kan nooit zo gemakkelijk zijn, dus ik vroeg me af of iemand hier weet wat ik over het hoofd zie?
Wat je nog kan laten zien is dat die eigenschap van ondergroepen die je gebruikt, ook aftelbaar vaak toegepast mag worden.
DIe uitspraak is nooit voorgekomen voor deze vraag, dus ik weet ook niet helemaal hoe ik dat moet interpreteren. Dat zal ik morgen vragen. Bedankt in ieder geval.quote:
[..]
Versta je onder natuurlijke werking dat je modulo n rekent met optelling?
Nee, je permuteert alleen de eerste n getallen; de rest laat je op z'n plaats.quote:
[..]
Versta je onder natuurlijke werking dat je modulo n rekent met optelling?
Wat je nog kan laten zien is dat die eigenschap van ondergroepen die je gebruikt, ook aftelbaar vaak toegepast mag worden.
H is niet gelijk aan S(X). De bijectie die 2k met 2k-1 verwisselt voor alle k zit wel in S(X) maar niet in H.
Nee, je integreert nu over een halve kubus in plaats van een halve bol.quote:
[ afbeelding ]
Lijkt mij niet te kloppen?
HJ 14-punt-gift.
Lijst met rukmateriaal!
Lijst met rukmateriaal!
Ja dat dacht ik al idd maar hoe fix ik dat? Denk dat ik naar cillindercoordinaten (of bol) moet omzetten toch 
? Dus dan wordt het...
loopt van 0 naar 2, 
is 360 graden, en 
is van 0 naar 2? Weet alleen [tex]\phi[/tex] niet zeker want dat kan ook 180 graden zijn? Omdat het een halve bol zeg maar is? Nee is fout want dat is eigenlijk een functie van 
en 
dus is 
... maar arg
[ Bericht 29% gewijzigd door Dale. op 29-02-2012 16:29:57 ]
maar hoe fix ik dat? Denk dat ik naar cillindercoordinaten (of bol) moet omzetten toch ? Dus dan wordt het...[ Bericht 29% gewijzigd door Dale. op 29-02-2012 16:29:57 ]
Op
z = r cos(phi) moet positief zijn, dus phi loopt van ...
eee7a201261dfdad9fdfe74277d27e68890cf0a220f41425870f2ca26e0521b0
True dus van -.5pi tot .5pi en theta is de cirkel dus van 0 tot 2pi i.p.v. tot pi.
Maar dit moet toch makkelijker kunnen?
[ Bericht 10% gewijzigd door Dale. op 29-02-2012 17:30:00 ]
Maar dit moet toch makkelijker kunnen
?[ Bericht 10% gewijzigd door Dale. op 29-02-2012 17:30:00 ]
Ik krijg er 16π uit. Zo dus. Je kunt gewoon in cartesische coördinaten blijven werken en het is met de hand te doen, maar ik ga het hier niet voor je uitschrijven.quote:
Maar dit moet toch makkelijker kunnen
Je eerste idee om x en y om te zetten naar poolcoördinaten en z te behouden is ook prima, maar je vergeet hierbij te bedenken dat het interval waarover r loopt afhangt van z. We hebben immers x2 + y2 + z2 ≤ 4 en dus r2 = x2 + y2 ≤ 4 - z2, zodat 0 ≤ r ≤ √(4 - z2). Je krijgt dan deze integraal, en de waarde daarvan is uiteraard ook 16π.
[ Bericht 13% gewijzigd door Riparius op 01-03-2012 16:34:57 ]
Nee, je mag ∞ niet als een getal behandelen, wat je hier doet heeft geen betekenis.quote:
[..]
Daar kan ik nog wel inkomen, maar waarom is dit dan onbepaald, want dat is toch feitelijk hetzelfde?
Wil je limx→∞ xa/ex bepalen, bedenk dan dat je xa voor x > 0 kunt schrijven als ea∙ln(x), zodat:
(1) xa/ex = ea∙ln(x)∙e-x = ea∙ln(x) - x = e-x∙(1 - a∙ln(x)/x)
Nu is:
(2) limx→∞ ln(x)/x = 0,
en dus:
(3) limx→∞ e(1 - a∙ln(x)/x) = e1 = e,
zodat:
(4) limx→∞ xa/ex = limx→∞ (e(1 - a∙ln(x)/x))-x = limx→∞ e-x = 0.
Om in te zien dat (2) geldt kun je bedenken dat:
(5) ln(x) < x - 1 < x voor x > 1
En aangezien voor x > 1 ook ln(x) > 0 hebben we dus:
(6) ln(x)/x > 0 voor x > 1
Verder is ln(x)/x = ln((√x)2)/x = 2∙ln(√x)/x < 2∙(√x)/x voor x > 1, en dus:
(7) ln(x)/x < 2/√x voor x > 1
Uit (6) en (7) volgt nu:
(8) 0 < ln(x)/x < 2/√x voor x > 1,
en aangezien limx→∞ 2/√x = 0 volgt (2) uit (8) op grond van de insluitstelling.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 01-03-2012 21:23:32 ]
Als je niet weet wat natuurlijke logaritmen zijn, zul je het antwoord van thenxzero niet begrijpen.quote:
Sorry hoor maar wat is In(a)
Het verschil tussen die twee is dat bij 3x^2 de variabele op de grond staat en bij 3^x in de macht. Dus die kan je niet hetzelfde behandelen.quote:
Sorry hoor maar wat is In(a)
ln staat voor de natuurlijke logaritme, d.w.z. de logaritme met grondtal e.
Hmm... Dat zegt me niks eigenlijk. De opgave waar ik op vastloop is: gegeven is f(x) = 3^x. Bereken de hellimg van f voor x = -2. Het antwoord is f'(-2) = 0,122.
Ik heb alleen geen idee hoe ik dat zelf moet invullen.
Ik heb alleen geen idee hoe ik dat zelf moet invullen.
Je berekent de afgeleide van 3^x en in die afgeleide vul je voor x -2 in.
It's 106 miles to Chicago, we've got a full tank of gas, half a pack of cigarettes, its dark, and we're wearing sunglasses. Hit it.
Door het numerieke antwoord verwacht ik dat het met de GR moet.quote:
Hmm... Dat zegt me niks eigenlijk. De opgave waar ik op vastloop is: gegeven is f(x) = 3^x. Bereken de hellimg van f voor x = -2. Het antwoord is f'(-2) = 0,122.
Ik heb alleen geen idee hoe ik dat zelf moet invullen.
Daarvoor moet je de machtsregel toepassen:
Dus voor 3x wordt dat:
Vul x = -2 in en je zult 0.122068... als antwoord vinden.
Dus voor 3x wordt dat:
Vul x = -2 in en je zult 0.122068... als antwoord vinden.
Wtf wat vaag allemaal. Ik heb dit vorig jaar wel eens gehad maar zo ingewikkeld met die formules kan het toch niet zijn?
Voor een normale afgeleide kun je gewoon zeggen je doet de macht keer het voorste getal en trekt 1 van die macht af en dat is de afgeleide? En dat In komt me ook totaal onbekend voor.
Voor een normale afgeleide kun je gewoon zeggen je doet de macht keer het voorste getal en trekt 1 van die macht af en dat is de afgeleide? En dat In komt me ook totaal onbekend voor.
| Forum Opties | |
|---|---|
| Forumhop: | |
| Hop naar: | |