[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

hoe toon je, gegeven onderstaande definities van de sinus en cosinus, aan dat cos² + sin² = 1 ???



(mijn vraag komt van de oorspronkelijke vraag waarom de functie exp(ri) een cirkel in het complexe vlak geeft, geen huiswerk maar eigen interesse)

quote:

Op zaterdag 25 februari 2012 18:36 schreef Setting_Sun het volgende:
hoe toon je, gegeven onderstaande definities van de sinus en cosinus, aan dat cos² + sin² = 1 ???

[ afbeelding ]

(mijn vraag komt van de oorspronkelijke vraag waarom de functie exp(ri) een cirkel in het complexe vlak geeft, geen huiswerk maar eigen interesse)

Je kan beter even naar de meetkundige definities kijken (eventueel even een eenheidscirkel bekijken met daarop een punt dat een bepaalde hoek maakt met de x-as, dan zie je het wel denk ik), ik zou je graag verder helpen maar ik moet nu eten .

Ik zou niet weten hoe dat moet met die reeksen. Maar met de stelling van Pythagoras en de meetkundige definities is het heel makkelijk aan te tonen.

Het kan trouwens wel gewoon:

cos²(x) = 1- (1/2! + 1/2!)x² + (1/4! + 1/2!2! + 1/4!)x^4/4! - ...
sin²(x) = x² - (1/3! + 1/3!) x^4/4! + ...

Alles valt tegen elkaar weg behalve die 1, die blijft staan. Probeer het zelf maar eens netjes uit te schrijven.

Lekker kansrekenen en matrix 2 volgend blok, zal jullie wel weer lastig vallen met vragen

Iemand een idee wat handig is om aan te tonen dat als je de Peterson graaf

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

inbed in het platte vlak, er minstens twee snijpunten zijn? (dus waar twee zijden elkaar snijden...)
(En dezelfde vraag voor K₆, de complete graaf met 6 en 3 snijpunten, maar misschien kom ik daar zelf wel achter als ik deze snap)

Ik wil eigenlijk gebruiken dat als je bijvoorbeeld K₅ inbed in het platte vlak met maar een (ik kan geen accenten op de e doen?) snijpunt, dat de topologie dan als het ware elke keer hetzelfde is, anders moet je erg veel gevallen gaan onderscheiden. Als iemand me kan helpen, graag!

Ik kan er weinig over zeggen, maar het is de Petersengraaf, zonder o en zonder spatie. En het zijn geen zijden maar kanten.

quote:

Op zaterdag 25 februari 2012 22:03 schreef GlowMouse het volgende:
Ik kan er weinig over zeggen, maar het is de Petersengraaf, zonder o en zonder spatie. En het zijn geen zijden maar kanten.

Hehe, twee fouten en dat nog wel in een dikgedrukte tekst . Ik weet trouwens zeker dat het bij college wel zijdes werden genoemd (maar dat zegt natuurlijk niks, behalve dat ik het dan misschien verkeerd geleerd heb ).

quote:

Op zaterdag 25 februari 2012 21:37 schreef kutkloon7 het volgende:
Iemand een idee wat handig is om aan te tonen dat als je de Peterson graaf

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

inbed in het platte vlak, er minstens twee snijpunten zijn? (dus waar twee zijden elkaar snijden...)
(En dezelfde vraag voor K₆, de complete graaf met 6 en 3 snijpunten, maar misschien kom ik daar zelf wel achter als ik deze snap)

Ik wil eigenlijk gebruiken dat als je bijvoorbeeld K₅ inbed in het platte vlak met maar een (ik kan geen accenten op de e doen?) snijpunt, dat de topologie dan als het ware elke keer hetzelfde is, anders moet je erg veel gevallen gaan onderscheiden. Als iemand me kan helpen, graag!

Denk dat je deze stelling moet gebruiken:

A finite graph is planar if and only if it does not have K₅ or K_3,3 as a minor.

Van wikipedia.

quote:

Op zaterdag 25 februari 2012 18:36 schreef Setting_Sun het volgende:
hoe toon je, gegeven onderstaande definities van de sinus en cosinus, aan dat cos² + sin² = 1 ???

[ afbeelding ]

(mijn vraag komt van de oorspronkelijke vraag waarom de functie exp(ri) een cirkel in het complexe vlak geeft, geen huiswerk maar eigen interesse)

Gebruik dat sin'(x) = cos(x) en cos'(x) = -sin(x); dat volgt direct uit die machtreeksdefinities. Daarna kun je sin²(x) + cos²(x) eenvoudig differentiëren en zien dat daar 0 uitkomt. De uitdrukking is dus constant; x=0 invullen geeft dat er 1 uitkomt.

quote:

Op zaterdag 25 februari 2012 18:36 schreef Setting_Sun het volgende:
hoe toon je, gegeven onderstaande definities van de sinus en cosinus, aan dat cos²x + sin²x = 1 ???

[ afbeelding ]

Je zou dit heel eenvoudig kunnen doen door eerst aan de hand van de reeksontwikkelingen aan te tonen dat cos x en sin x resp. -sin x en cos x als afgeleide hebben. Vervolgens definieer je de functie:

f(x) = cos²x + sin²x

Je kunt nu gemakkelijk controleren dat f'(x) = 2∙cos x∙(-sin x) + 2∙sin x∙cos x = 0 voor elke x ∈ R, zodat f(x) een constante functie moet zijn. Substitutie van x = 0 geeft f(0) = 1, zodat geldt f(x) = 1 voor elke x ∈ R, QED.

quote:

(mijn vraag komt van de oorspronkelijke vraag waarom de functie exp(ti) een cirkel in het complexe vlak geeft, geen huiswerk maar eigen interesse)

Bekijk het eens als volgt. Je weet dat je een curve in een plat vlak met een cartesisch assenstelsel kunt beschrijven met een parametervoorstelling x = x(t) en y = y(t). Op dezelfde wijze kun je in het complexe vlak een curve beschrijven met een complexe functie z(t) = x(t) + i∙y(t) van een reële variabele t, aangezien het punt (x(t);y(t)) het beeldpunt is van het complexe getal x(t) + i∙y(t).

Laten we nu verder aannemen dat x(t) en y(t) differentieerbare functies zijn van t, zodat ook z(t) differentieerbaar is met z'(t) = x'(t) + i∙y'(t). Als je de parametervoorstelling z(t) = x(t) + i∙y(t) nu even 'fysisch' beschouwt als de baan van een puntvormig deeltje in het complexe vlak als functie van de tijd t, dan begrijp je dat de afgeleide z'(t) = x'(t) + i∙y'(t) eigenlijk de snelheidsvector voorstelt van het bewegende puntdeeltje. En dat betekent dat de richting (i.e het argument) van z'(t) steeds de richting aangeeft van de beweging - en dus de richting van de raaklijn aan de curve - en dat de absolute waarde ofwel modulus | z'(t) | van z'(t) steeds de grootte van de snelheid aangeeft waarmee het puntdeeltje op dat moment beweegt.

Laten we ons nu voorstellen dat we een parametervoorstelling z(t) hebben van een curve in het complexe vlak die voldoet aan:

(1) z'(t) = i∙z(t), z(0) = 1

Wat betekent dit meetkundig? Wel, zoals je (hopelijk) weet representeert een vermenigvuldiging van een complex getal z = a + bi met i meetkundig een rotatie om de oorsprong tegen de klok in over een rechte hoek van het beeldpunt (a;b) van z = a + bi. Immers, we hebben i∙z = i∙(a + bi) = a∙i + b∙i² = -b + ai, en je kunt gemakkelijk controleren dat het beeldpunt (-b;a) van i∙z een kwart slag tegen de klok in is gedraaid t.o.v. het beeldpunt (a;b) van z (als je dit niet begrijpt, maak dan een tekening of kijk even hier).

Goed, maar wat betekent dit meetkundig voor de curve die wordt beschreven door (1)? Wel, aangezien z'(t) op ieder tijdstip (i.e. voor elke reële waarde van t) gelijk is aan i∙z(t) en dus op ieder tijdstip de raaklijn aan de curve loodrecht staat op het lijnstuk tussen de oorsprong het beeldpunt van z(t), volgt dat (1) een cirkelbeweging rond de oorsprong beschrijft. Immers, kenmerkend voor een cirkel is nu juist dat de raaklijn aan ieder punt op de cirkel loodrecht staat op de straal naar het raakpunt.

Maar, we kunnen nog meer zeggen over de curve die wordt beschreven door (1). Aangezien is gespecificeerd dat z(0) = 1 ligt het startpunt (i.e. de positie op tijdstip t = 0) van de baan van z(t) in het beeldpunt (1;0) van het getal 1 + 0∙i = 1. En omdat uit z'(t) = i∙z(t) en z(0) = 1 volgt dat z'(0) = i en dus | z'(0) | = 1 weten we dat de beweging op het tijdstip t = 0 loodrecht omhoog is gericht en dat de snelheid op dat moment een grootte 1 (eenheid per eenheid van tijd) heeft. Maar omdat er sprake is van een cirkelbeweging rond de oorsprong is de afstand | z(t) | van het beeldpunt van z(t) tot de oorsprong constant. En dus is | z'(t) | = | i∙z(t) | = | i |∙| z(t) | = | z(t) | eveneens constant, en wel gelijk aan | z(0) | = 1. De baan die wordt beschreven door (1) is dus een eenparige cirkelbeweging tegen de klok in langs de eenheidscirkel met een snelheid één, en waarbij het puntdeeltje zich op tijdstip t = 0 in het punt (1;0) bevindt.

Laten we nu eens kijken naar de curve die wordt beschreven door:

(2) z(t) = e^it

Als je nu even aanneemt dat e^it differentieerbaar is naar t en dat voor het differentiëren de gewone rekenregels gelden zoals je die kent van reële functies, dan kun je gemakkelijk nagaan (kettingregel) dat de afgeleide van (2) zou moeten zijn:

(3) z'(t) = i∙e^it

Maar dit betekent dat voor (2) geldt z'(t) = i∙z(t), en door substitutie van t = 0 in (2) vinden we ook dat z(0) = e⁰ = 1. De curve die beschreven wordt door (2) voldoet dus aan (1), en zoals we hebben gezien betekent dit niets anders dan dat (2) een parametervoorstelling is van de eenheidscirkel!

Zoals je weet kunnen we een parametervoorstelling van een eenparige cirkelbeweging tegen de klok in met snelheid één langs de eenheidscirkel in een cartesisch assenstelsel met startpunt (1;0) ook voorstellen door x(t) = cos t, y(t) = sin t. Dit is een direct gevolg van de definitie van de cosinus en sinus functies aan de hand van de eenheidscirkel. En dus kunnen we de curve z(t) = x(t) + i∙y(t) die wordt gekarakteriseerd door (1) ook beschrijven als:

(4) z(t) = cos t + i∙sin t

En aangezien (2) en (4) dezelfde curve beschrijven met dezelfde parametrisering hebben we dus:

(5) e^it = cos t + i∙sin t

Dit is uiteraard de bekende formule van Euler.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 28-02-2012 11:58:53 ]

quote:

Op zaterdag 25 februari 2012 21:37 schreef kutkloon7 het volgende:
Iemand een idee wat handig is om aan te tonen dat als je de Peterson graaf

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

inbed in het platte vlak, er minstens twee snijpunten zijn? (dus waar twee zijden elkaar snijden...)
(En dezelfde vraag voor K₆, de complete graaf met 6 en 3 snijpunten, maar misschien kom ik daar zelf wel achter als ik deze snap)

Ik wil eigenlijk gebruiken dat als je bijvoorbeeld K₅ inbed in het platte vlak met maar een (ik kan geen accenten op de e doen?) snijpunt, dat de topologie dan als het ware elke keer hetzelfde is, anders moet je erg veel gevallen gaan onderscheiden. Als iemand me kan helpen, graag!

Je kunt proberen aan te tonen dat je minstens 2 kanten moet weghalen om de graaf planair te maken. Een standaardargument met Euler's formule zou hier wel moeten werken denk ik. Je hebt in elk geval dat elk vlakdeel minstens een vijfhoek is.

quote:

Op zaterdag 25 februari 2012 18:36 schreef Setting_Sun het volgende:
mijn vraag komt van de oorspronkelijke vraag waarom de functie exp(ri) een cirkel in het complexe vlak geeft, geen huiswerk maar eigen interesse

Merk eerst op dat je alle complexe functies als het volgende kunt schrijven met i als het complexe getal



Beschouw vervolgens de machtsreeks van de complexe e-macht, die kun je schrijven als de machtsreeks van de cosinus plus de sinus (de formule van Euler). Definieer als voorbereiding




We kunnen met de formule van Euler schrijven dat



Je kunt de laatste uitdrukking herschrijven naar iets bekends van de vwo



oftewel in parametervoorstelling

Hallo,

Ik kom er niet uit:los algebraisch op : f (x)=3.

Iemand die wel weet hoe het moet?

x = f^-1(3)

quote:

Op maandag 27 februari 2012 18:18 schreef GlowMouse het volgende:
x = f^-1(3)

Bedankt voor het antwoord, zou u misschien uit willen leggen hoe u er op gekomen bent?

quote:

Op maandag 27 februari 2012 18:20 schreef pocketplayer09 het volgende:

[..]

Bedankt voor het antwoord, zou u misschien uit willen leggen hoe u er op gekomen bent?

Dat is de definite van een inverse functie. Je kan er pas concreet mee aan de slag als je f weet.

Ik ben het trouwens niet helemaal met GM eens, want het is niet gegeven dat f inverteerbaar is

[ Bericht 14% gewijzigd door thenxero op 27-02-2012 19:40:44 ]

quote:

Op maandag 27 februari 2012 18:18 schreef GlowMouse het volgende:
x = f^inv(3)

fixed that for ya

quote:

Op maandag 27 februari 2012 19:41 schreef VanishedEntity het volgende:

[..]

fixed that for ya

http://mathworld.wolfram.com/InverseFunction.html

quote:

Op maandag 27 februari 2012 19:41 schreef VanishedEntity het volgende:

[..]

fixed that for ya

Die notatie heb ik nog nooit gezien