[Bčta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic

Je hebt door de CLT iets staan met Y_n op de plek waar straks f(x_n) komt te staan. Je wilt daar de momentenschatter theta_MM hebben staan. Een logische keuze is dan:

Maar dan krijg ik toch

?

klopt

ik kan 't niet controleren verder zonder i te weten, maar het lijkt allemaal goed te gaan

Docent heeft het antwoord bijgevoegd:



En op deze manier kom ik daar niet op uit, in ieder geval bedankt voor je hulp steeds!

Daar kom ik wel op uit. Wat krijg je voor f'(c)?

En als ik dan verder ga kom ik beetje vast te zitten. Als ik labda 1 wegwerk en dan omschrijf naar iets voor labda 2 en dat weer substitueer kom ik op iets compleet nutteloos (bv x2x3=x2x3).
Aan 1e restrictie kan ik zien dat bv. 2 x_i positief zijn en 1 x_i negatief is.
Mijn ''intuitie'' zegt dat het min te vinden is voor x1=x2=-0.5x3, maar iemand suggestie waarom ik dit hieruit kan afleiden?

quote:

Op donderdag 3 november 2011 21:51 schreef Fingon het volgende:
[ afbeelding ]
En als ik dan verder ga kom ik beetje vast te zitten. Als ik labda 1 wegwerk en dan omschrijf naar iets voor labda 2 en dat weer substitueer kom ik op iets compleet nutteloos (bv x2x3=x2x3).
Aan 1e restrictie kan ik zien dat bv. 2 x_i positief zijn en 1 x_i negatief is.
Mijn ''intuitie'' zegt dat het min te vinden is voor x1=x2=-0.5x3, maar iemand suggestie waarom ik dit hieruit kan afleiden?

Om te beginnen zou ik die Lagrange functie schrijven als Λ(x₁,x₂,x₃,λ₁,λ₂), je hebt tenslotte vijf variabelen, en dus vijf partiële afgeleiden die nul moeten zijn (de drie partiële afgeleiden naar x₁,x₂ en x₃ die je geeft en de twee partiële afgeleiden naar λ₁ en λ₂ die je voorwaarden leveren). We hebben zo dus een stelsel van vijf vergelijkingen met vijf onbekenden. Maar nu zie je gemakkelijk dat een permutatie van x₁, x₂ en x₃ in hetzelfde stelsel vergelijkingen resulteert, zodat we ook zonder rekenwerk al kunnen vermoeden dat er 3∙2∙1 = 6 oplossingen zijn (waarvan drie een minimum en drie een maximum opleveren). Een snelle controle met WolframAlpha leert dat dat klopt (minima en maxima).

Maar goed, je wil dit uiteraard met pen en papier verifiëren. Uit ∂Λ/∂x₁ = ∂Λ/∂x₂ = 0 volgt dat het verschil van deze afgeleiden ook nul moet zijn en dat levert:

(x₂ - x₁)x₃ - 2λ₂(x₁ - x₂) = 0,

waarvoor we ook kunnen schrijven:

(x₂ - x₁)(x₃ + 2λ₂) = 0

Aan deze voorwaarde is voldaan als x₂ = x₁ of als x₃ = -2λ₂. Elk van deze beide substituties afzonderlijk resulteert erin dat je nog maar vier vergelijkingen met vier onbekenden overhoudt, omdat er dan twee vergelijkingen samenvallen (ga dit na). Rekenen we even verder met x₂ = x₁ dan volgt door substitutie daarvan in je beide voorwaarden gemakkelijk dat x₁² = x₂² = 1/6. Nu kun je het verder zelf wel uitwerken. Vanwege het feit dat elke permutatie van x₁, x₂ en x₃ ook voldoet komt het erop neer dat het product x₁x₂x₃ een minimum -(1/3)∙√(1/6) bereikt onder de gegeven voorwaarden als twee van de drie variabelen gelijk zijn aan √(1/6) en de derde gelijk is aan -2√(1/6) = -√(2/3).

quote:

Op donderdag 3 november 2011 19:53 schreef GlowMouse het volgende:

[..]

dan doe je wat fout

Idd, toevallig kwam het excelvoorbeeld wat ik had berekend afgerond op hetzelfde antwoord uit.

Hoe kan ik het numeriek doen?

quote:

Op donderdag 3 november 2011 21:48 schreef GlowMouse het volgende:
Daar kom ik wel op uit. Wat krijg je voor f'(c)?

Ben er uiteindelijk wel uitgekomen, dankjewel!

Zij X de verzameling van functies van de natuurlijke getallen naar zichzelf. Zij A een deelverzameling van X, met de eigenschap dat er voor iedere functie f: N -> N een functie g in A bestaat, zodanig dat er voor ieder natuurlijk getal n een getal bestaat, zodanig dat f(m)<g(m).

Nu wil ik bewijzen dat A niet aftelbaar is.

Het lukt me niet om te bewijzen dat A niet aftelbaar moet zijn, maar het is wel duidelijk dat A niet eindig mag zijn. Stel A is eindig. Definieer de functie

.

Deze functie is goed gedefinieerd omdat A eindig is. Beschouw nu de functie M'(n) = M(n)+1. Voor iedere n in N geldt dan M'(n) > M(n), en dus ook M'(n) > g(n) voor alle g in A. Dus een eindige A kan niet aan de gewenste eigenschap voldoen.

Volgens mij mis ik iets eenvoudigs maar het lukt me niet om een dergelijk bewijs te voeren voor aftelbare verzamelingen. Iemand een idee? Het keuze-axioma mogen we aannemen, mocht die van pas komen.

Stel A is aftelbaar. Dan kunnen we dus voor elke n in N een g_n in A kiezen. Kies nu f(m) = max_n<=mg_n(m). Er is een g_n in A zdd er oneindig veel m zijn met f(m) < g_n(m), per definitie van A. Maar als m >= n, dan geldt, per definitie van f, dat f(m) >= g_n(m); tegenspraak.

Bedankt! ik zat toch in de goede richting alleen ik kwam niet op die functie van f(m), ook al is die bijna hetzelfde als wat ik gebruikte bij M(n).

'Laat a een natuurlijk getal zijn, en [c_n,...,c₀] de tientallige notatie van a zijn.

Bewijs dat a en c_n+...+c₀ dezelfde rest geven met deling door 9.'

Ik zie werkelijk niet in hoe ik dit moet bewijzen, heeft iemand een hint?

Laten we even modulo 9 gaan denken.

0 = 9
1 = 10
2 = 11
3 = 12
4 = 13
etc

Merk op dat de som van de cijfers links steeds hetzelfde is als de som van de cijfers rechts, behalve bij 0=9.
Dus als het getal bijvoorbeeld eindigt op 23, dan kan je er rustig 9 vanafhalen en dan krijg je 14. Nog steeds geldt dan 2+3 = 1+4 dus c_n+...+c₀ blijft hetzelfde.

[ Bericht 50% gewijzigd door thenxero op 06-11-2011 12:00:15 ]

quote:

Op zaterdag 5 november 2011 13:01 schreef thenxero het volgende:
Laten we even modulo 9 gaan denken.

0 = 9
1 = 10
2 = 11
3 = 12
4 = 13
etc

Merk op dat de som van de cijfers links steeds hetzelfde is als de som van de cijfers rechts, behalve bij 0=9.
Dus als het getal bijvoorbeeld eindigt op 23, dan kan je er rustig 9 vanafhalen en dan krijg je 14. Nog steeds geldt dan 2+3 = 1+4 dus c_n+...+c₀ blijft hetzelfde.

Ik weet niet zeker of dit een bewijs is, of juist iets wat uit de stelling die ik moet bewijzen volgt.
En ik weet niet zeker in hoevere ik modulo mag/kan rekenen en hoe dit samenhangt met wat ik nu ben het behandelen, dus ik zal er nog eens naar kijken.
Bedankt in ieder geval.

quote:

Op zaterdag 5 november 2011 19:41 schreef Siddartha het volgende:

[..]

Ik weet niet zeker of dit een bewijs is, of juist iets wat uit de stelling die ik moet bewijzen volgt.
En ik weet niet zeker in hoevere ik modulo mag/kan rekenen en hoe dit samenhangt met wat ik nu ben het behandelen, dus ik zal er nog eens naar kijken.
Bedankt in ieder geval.

Het bewijst nog niks; het was een hint, daar vroeg je immers om. Ik zal het iets verder uitleggen.

De getallen a en b hebben dezelfde rest na deling door 9 d.e.s.d.a. a = b (mod 9). Dus wat je kan doen is laten zien dat a gelijk is aan de som van c_i modulo 9 en dan ben je klaar.

Het idee is als volgt. Stel je hebt een getal a (echt een willekeurige a, niet per se diegene waarvan we iets willen bewijzen). Noem de som van de cijfers in a voor het gemak C. Als je nu a+9 bekijkt, dan is de som van de cijfers in a+9 gelijk aan C of gelijk aan C+9 (zie vorige post). Als je modulo 9 rekent, is de som van de cijfers in a+9 gelijk aan C. Met inductie geldt dus voor iedere natuurlijk getal N dat a + 9n = C_n (mod 9) ofwel a = C_n (mod 9), waarbij C_n staat voor de som van de getallen in a + 9n.

Als je nu in plaats van a de rest r neemt, dan kan je het bewijzen.

[ Bericht 4% gewijzigd door thenxero op 05-11-2011 20:17:48 ]

quote:

Op zaterdag 5 november 2011 20:12 schreef thenxero het volgende:

[..]

Het bewijst nog niks; het was een hint, daar vroeg je immers om. Ik zal het iets verder uitleggen.

De getallen a en b hebben dezelfde rest na deling door 9 d.e.s.d.a. a = b (mod 9). Dus wat je kan doen is laten zien dat a gelijk is aan de som van c_i modulo 9 en dan ben je klaar.

Het idee is als volgt. Stel je hebt een getal a (echt een willekeurige a, niet per se diegene waarvan we iets willen bewijzen). Noem de som van de cijfers in a voor het gemak C. Als je nu a+9 bekijkt, dan is de som van de cijfers in a+9 gelijk aan C of gelijk aan C+9 (zie vorige post). Als je modulo 9 rekent, is de som van de cijfers in a+9 gelijk aan C. Met inductie geldt dus voor iedere natuurlijk getal N dat a + 9n = C_n (mod 9) ofwel a = C_n (mod 9), waarbij C_n staat voor de som van de getallen in a + 9n.

Als je nu in plaats van a de rest r neemt, dan kan je het bewijzen.

Ik probeer de term modulo even te vermijden:
Gegeven a natuurlijk getal, met C als som van de cijfers in a.
a is deelbaar met rest door 9,dwz voor een x en een r (beide natuurljke getallen): a=x9+r
Dan heeft a+9n, voor elke n natuurlijk getal, dezelfde r, want:
a+9n=(x+n)9+r
Hetzelfde voor C, stel C heeft rest r met deling door 9:
C=9x+r
dan..(hetzelfde bewijs)
Dus rest van C is gelijk aan de rest van 'C+9n' voor elke n natuurlijk getal.

Maar hoe verbind ik ze nu (met inductie)?

[ Bericht 0% gewijzigd door Siddartha op 06-11-2011 13:27:40 ]

Als je rest niet nul is dan zeg je toch niet a is deelbaar door 9?

Hoe dan ook... De rest r is altijd in {0,...,9}. Informeel kan je daar dus 9 bij optellen totdat je bij a komt (zeg dat je n keer 9 moet optellen). Je kan ook alle cijfers van r nemen en daar steeds negen bij optellen en dat n keer doen. Dan zijn die twee getallen hetzelfde modulo 9. Volgens mij heb je daar geen inductie voor nodig. Het kan wel natuurlijk. Probeer het maar zelf af te maken zoals je zelf wil.

[ Bericht 6% gewijzigd door thenxero op 06-11-2011 12:37:16 ]

Bedenk eerst:
voor elk natuurlijk getal k.

en dan:


=

=

Als Psi(x,t=0) = B sin (2*pi*x/2a) cos (7*pi*x/2a)

Hoe kom ik dan naar Psi(x,t=0) = B / 2 * [sin (4*pi*x/a) - sin (3*pi*x/a)] ????

ln ( p * 110 + (1-p) * 92.5) / 100 = 0.05

kan iemand mij laten zien hoe ik p oplos? In redelijk detail aub

Links en rechts met 100 vermenigvuldigen:



Dan e-macht nemen aan beide kanten:



Dan haakjes uitwerken:



Dus



Oftewel



Dus



Reken maar ff na op rekenfouten, goeie oefening

quote:

Op dinsdag 8 november 2011 13:25 schreef maniack28 het volgende:
Als Psi(x,t=0) = B sin (2*pi*x/2a) cos (7*pi*x/2a)

Hoe kom ik dan naar Psi(x,t=0) = B / 2 * [sin (4*pi*x/a) - sin (3*pi*x/a)] ????

Er gelden rekenregels: sin(a±b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b). Tel dit voor + en - in ± bij elkaar op, dan staat er bijna al wat je hebben moet.

quote:

Op dinsdag 8 november 2011 15:46 schreef Haushofer het volgende:

Dus



Reken maar ff na op rekenfouten, goeie oefening

Maarrr, hoe krijg ik e⁵ uit mijn calculator?

Als dat 148 nog wat wordt, dan kom ik niet uit op de verwachte

ln{[px110 + (1-p)x92.50]/100} = 5%. -> p = 0.7215 (and: [1-p] = 0.2785)