De fraaiste wiskundige bewijzen #1

quote:

Neem aan dat er eindig veel priemgetallen zijn. Zeg, n priemgetallen, waarbij n misschien wel heel groot is, maar toch eindig. We kunnen al die getallen nu op een rijtje zetten: p1, p2, p3, ..., pn. Bereken nu E = p1·p2···pn + 1. Dus vermenigvuldig al die getallen met elkaar, en tel er 1 bij op.

hier verlies je me
Waarom wil je dit doen? Niet alleen alle priemgetallen met elkaar vermedigvuldigen, maar ook nog eens '1' bij optellen?

Overigens wat ik zelf een mooie wetmatigheid vind in de wiskunde:
als je alle cijfers in een getal optelt, en je kan dat door 3 delen (en de uitkomst is een heel getal), is het originele getal ook te delen door drie.

Dus: 81 = 8+1=9
9 kan je delen door 3 dus 81 kan je delen door 3

3528921= 3+5+2+8+9+2+1 = 30
30 kan je delen door 3 dus 3528921 kan je delen door 3

8592847932= 8+5+9+2+8+4+7+9+3+2 = 57
57= 5+7=12
12= 1+2 =3

enz.

quote:

Op maandag 28 september 2009 22:29 schreef BrandX het volgende:

Overigens wat ik zelf een mooie wetmatigheid vind in de wiskunde:
als je alle cijfers in een getal optelt, en je kan dat door 3 delen (en de uitkomst is een heel getal), is het originele getal ook te delen door drie.

Dus: 81 = 8+1=9
9 kan je delen door 3 dus 81 kan je delen door 3

3528921= 3+5+2+8+9+2+1 = 30
30 kan je delen door 3 dus 3528921 kan je delen door 3

8592847932= 8+5+9+2+8+4+7+9+3+2 = 57
57= 5+7=12
12= 1+2 =3

enz.

Maar heb je daar ook een bewijs voor?

quote:

Op maandag 28 september 2009 22:32 schreef Dennis_enzo het volgende:

[..]

Maar heb je daar ook een bewijs voor?

ik geef je drie rekenvoorbeelden als bewijs?

edit:: ff voor je gegoogled

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

_{niet dat ik het verhaal snap, maar dit is de wetenschappelijke verklaring}

quote:

Op maandag 28 september 2009 22:33 schreef BrandX het volgende:

[..]

ik geef je drie rekenvoorbeelden als bewijs?

Een voorbeeld is nooit een bewijs in de wiskunde. Al geef je 1000 voorbeelden, je hebt het niet bewezen

quote:

Op maandag 28 september 2009 22:34 schreef Dennis_enzo het volgende:

[..]

Een voorbeeld is nooit een bewijs in de wiskunde. Al geef je 1000 voorbeelden, je hebt het niet bewezen

Zie mijn edit

quote:

Op maandag 28 september 2009 22:33 schreef BrandX het volgende:

[..]

ik geef je drie rekenvoorbeelden als bewijs?

edit:: ff voor je gegoogled

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

_{niet dat ik het verhaal snap, maar dit is de wetenschappelijke verklaring}

H0 = Het is toeval, dat hij 3 toevallig rekenvoorbeelden geeft.
H1 = H0 is niet waar.

quote:

Op maandag 28 september 2009 22:29 schreef BrandX het volgende:

[..]

hier verlies je me
Waarom wil je dit doen? Niet alleen alle priemgetallen met elkaar vermedigvuldigen, maar ook nog eens '1' bij optellen?

Als je alle getallen met elkaar vermenigvuldigt is het getal dat je dan krijgt deelbaar door al die getallen, als je er dan 1 bij optelt is ie weer slechts deelbaar door zichzelf en door 1, dat betekent dat je een nieuw priemgetal hebt en dat er dus geen eindigheid bestaat in de reeks priemgetallen.

ok, ok, als dit topic uitsluitend voor wiskundebollendozen is kan ik beter wegblijven.

Iblis, kan jij mijn vraag in de fipo beantwoorden?

quote:

Op maandag 28 september 2009 22:38 schreef Kassaa het volgende:

[..]

Als je alle getallen met elkaar vermenigvuldigt is het getal dat je dan krijgt deelbaar door al die getallen, als je er dan 1 bij optelt is ie weer slechts deelbaar door zichzelf en door 1, dat betekent dat je een nieuw priemgetal hebt en dat er dus geen eindigheid bestaat in de reeks priemgetallen.

ah zo! Helder, thanks.

quote:

Op maandag 28 september 2009 22:47 schreef Iblis het volgende:

[..]

Dat is in feite de truc. Het is slim om dat te doen. Want daarmee bereik je precies wat je wilt. Het is misschien te vergelijken met vragen waarom zet Rembrandt daar net dat lichtaccent neer? Het had ook ergens anders gekund, maar juist door het dáár te doen bereikt hij zo’n magisch effect.

Het doel bij dit bewijs is dat we willen aantonen dat er oneindig veel priemgetallen zijn. We beginnen nu met aannemen dat er maar eindig veel zijn. De truc is nu om op een of andere manier te bewijzen dat je, als je dat doet, ‘enige priemgetallen overslaat’. Als je ze allemaal op een rijtje zet, dat je rijtje tóch niet compleet is.

Het rijtje is dus p₁ t/m p_n. De slimmigheid zit ’m nu in die vermenigvuldiging. Dat is waar het wiskundig inzicht en de genialiteit van Euklides naar voren komt. Als je dat leest denk je: dát is een slimme zet. Juist die + 1 na het vermenigvuldigen is in feit het slimme.

Doordat hij dat doet, kan hij daarna zeggen: en het nieuwe getal (E dus) is niet deelbaar door p₁, niet door p₂, enzovoort. Als hij die + 1 niet had gedaan, dan was het bewijs niet van de grond gekomen. Dus juist daar zit de slimmigheid van het bewijs.

Ik hoop dat het duidelijk is.

Na twee keer lezen wel ja! Het mooie zit 'em inderdaad in de simpelheid van de +1
BIjna zo simpel dat het daardoor briljant is.

Vierkantswortel van 2 is geen rationaal getal (maw kan niet als breuk van twee gehele getallen geschreven worden.)

(in het volgende stelt a een geheel getal voor)
Wat is een even getal? Een getal dat geschreven kan worden als 2*a
a=0 geeft 0 a=1 geeft 2 etc..
Een oneven getal kan geschreven worden als (2*a + 1) (dus een even getal +1)
a=0 geeft 1 a=1 geeft 3 etc...

Eerst bewijzen we dat het kwadraat van een even getal even is, en het kwadraat van een oneven getal oneven:

(2*a)²=4 * a² = 2 * (2*a²); dus even

(2*a+1)² = 4*a² + 4*a + 1 = 2*(2*a² + 2*a) + 1 (eerste term is even want factor twee; plus één wordt dus oneven)

Een rationaal getal is een getal dat geschreven kan worden als een breuk van gehele getallen. Elke breuk kan vereenvoudigd worden tot z'n eenvoudigste schrijfwijze (=met de kleinst mogelijke teller en noemer), door teller en noemer te delen door hun gemeenschappelijke delers. Daaruit volgt dat elke breuk kan geschreven worden als T/N waarbij minstens één van beide ( T of N) oneven zijn; immers: als ze beide even zijn kan je ze delen door twee, en herhalen tot T of N oneven wordt.

Stel nu dat T/N = wortel van 2. waarbij minstens één van beide oneven is.

Dus: (T/N)² = 2
of T² = 2*N² ---> hieruit volgt dat T² even is. T zelf kan dan niet oneven zijn, want dan zou het kwadraat ook oneven zijn (zie boven)
Als T even is bestaat er een geheel getal K = T/2
--> T = 2*K ---> T² = 4*K²
vervangen we T door 2*K in bovenstaande vergelijking
4*K²=2*N²
of (linker en rechterhelft delen door twee)
2*K²=N²
dus N kwadraat is even, N zelf dus ook. En we hadden reeds gevonden dat T even was. Wat in tegenspraak is met onze veronderstelling, dat T en N niet beide even kunnen zijn.

Onze veronderstelling leidt tot een tegenspraak, maw, T en N bestaan niet (als eindige getallen)

_{(btw: let erop dat de conclusie T² = even, dus T is even volgt uit de stelling dat het kwadraat van een oneven getal oneven is, niet uit de stelling dat het kwadraat van een even getal even is. Nederlanders zijn mensen betekent niet dat mensen Nederlanders zijn)}

-nevermind-

[ Bericht 98% gewijzigd door Gavin_de_Becker op 29-09-2009 14:45:33 ]

quote:

Op maandag 28 september 2009 22:18 schreef Iblis het volgende:
Als eerste bewijs, een klassieker, namelijk, dat er oneindig veel priemgetallen zijn. De bedenker, Euklides, leefde zo ongeveer 2300 jaar geleden.

Het bewijs is zo belangrijk omdat het zo ongelooflijk elegant is, en omdat priemgetallen tot op de dag van vandaag fascinerend blijven. Er zijn veel vragen nog niet beantwoord, maar eentje in ieder geval wel: er zijn er namelijk oneindig veel. Er kan dus altijd gezocht worden naar nóg een groter priemgetal.

Als eerste: Een priemgetal is een getal dat precies twee delers heeft: 1 en zichzelf. Bijvoorbeeld 13, of 17, of 1009. Het getal 1 wordt meestal niet als priemgetal beschouwd. Maar nu het bewijs.

Neem aan dat er eindig veel priemgetallen zijn. Zeg, n priemgetallen, waarbij n misschien wel heel groot is, maar toch eindig. We kunnen al die getallen nu op een rijtje zetten: p₁, p₂, p₃, ..., p_n. Bereken nu E = p₁·p₂···p_n + 1. Dus vermenigvuldig al die getallen met elkaar, en tel er 1 bij op.

Het is duidelijk dat dit getal E niet deelbaar is door p₁, want je houdt nog rest 1 over. Ook niet door p₂, daar geldt hetzelfde voor, zo geldt dat voor al die priemgetallen tot en met p_n.

Dit betekent óf dat E zelf een priemgetal is, of als het geen priemgetal is (en dus deelbaar is door een ander priemgetal), dat het dan deelbaar is door een priemgetal dat niet in ons rijtje zat.

Maar we hadden aangenomen dat ons rijtje alle priemgetallen bevat. Die aanname moet wel fout zijn, want we komen nu op een tegenspraak uit. Kortom, er moeten wel oneindig veel priemgetallen zijn. □

Dat was het al. Andere, relatief eenvoudige vragen, zoals: zijn er ook oneindig veel paartjes van getallen zoals 17 en 19, of 107 en 109, die maar 2 van elkaar verschillen en allebei priem zijn, of kun je elk getal groter dan 3 als de som van precies twee priemgetallen schrijven, zijn tot op de dag van vandaag niet beantwoord.

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Ik vind wiskunde nog steeds saai geloof ik

SPOILER

Om spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.

Tijd voor een nieuwe stelling, wederom een over priemgetallen. Ik zal eerst de stelling uitleggen, later een bewijs.

We kunnen ons afvragen welke priemgetallen p te schrijven zijn als som van twee kwadraten. De welbekende identiteit 1 + 1 = 2 laat zien dat 2 hier in elk geval aan voldoet, waarna we ons kunnen concentreren op de oneven priemgetallen.

Wil een som van twee kwadraten oneven zijn, dan zal precies 1 van deze kwadraten even moeten zijn en de andere oneven. Een even kwadraat is altijd deelbaar door 4 en een oneven kwadraat is altijd 1 modulo 4. We zien dus dat p sowieso 1 modulo 4 zal moeten zijn en priemgetallen die 3 modulo 4 zijn, zoals 3, 7, 11, etc kunnen dan ook niet als som van twee kwadraten geschreven worden. De stelling zegt nu dat ook het omgekeerde geldt:

Stelling. Elk priemgetal dat 1 modulo 4 is kan geschreven worden als de som van twee kwadraten.

Er zijn meerdere bewijzen van deze stelling bekend, eigenlijk allemaal wel behoorlijk fraai. Om de spanning op te voeren en om de stelling even te laten bezinken bij de lezer zal ik nog even wachten met het posten van het fraaiste bewijs.

tvp als wiskundestudent

Geinig

tvp, ik ben benieuwd naar het bewijs van thabit

quote:

Op dinsdag 29 september 2009 10:41 schreef thabit het volgende:
Stelling. Elk priemgetal dat 1 modulo 4 is kan geschreven worden als de som van twee kwadraten.

Tijd voor een bewijs, inderdaad. Het bewijs dat ik hier geef is afkomstig van Don Zagier, onthoud die naam.

Zij p = 4k + 1 een priemgetal. We gaan kijken naar alle oplossingen van de vergelijking
(*) x² + 4yz = p
in positieve gehele getallen x, y en z. Het doel is om aan te tonen dat er een oplossing bestaat met y=z. Zo'n oplossing geeft dan namelijk x² + (2y)².

De grap is nu, dat we oplossingen in paren kunnen opdelen: als (x,y,z) een oplossing van (*) is, dan is (x,z,y) dat ook. De oplossingen met y=z zijn precies diegenen die onder deze paring aan zichzelf zijn gekoppeld. Het doel is nu, om aan te tonen dat (*) een oneven aantal oplossingen heeft: als dat zo is, moet er onder de paring een oplossing zijn die bij zichzelf hoort, en dus y=z heeft.

Om aan te tonen dat (*) een oneven aantal oplossingen heeft definieren we een andere paring op de verzameling oplossingen. Hiervoor jat ik gewoon een plaatje van Wikipedia:

Zagier claimt nu 2 dingen:
(a) Dit is inderdaad een paring op de oplossingen van (*).
(b) Het enige punt dat aan zichzelf gekoppeld wordt is (1, 1, k).

Laten we eerst eens aannemen dat dit klopt, dan bewijzen we de claims morgen wel. . De paring deelt de verzameling oplossingen op in paren, maar er zit 1 eenling tussen op die manier (namelijk (1,1,k)). Dus heeft (*) een oneven aantal oplossingen.

De mooiste bewijzen zijn de bewijzen waar je een half uur naar kijkt om dan "ow zo doen ze dat" te zeggen

tvp, thabit kan het dat ik les van je hebt gehad voor Algebra 1 in Leiden?

Dat zou heel goed kunnen, -jos-.

Stelling: Elk positief natuurlijk getal is voor wiskundigen interessant.

Bewijs: Neem aan dat er minimaal 1 positief natuurlijk getal N bestaat die voor wiskundigen niet interessant is. Dat betekent dat er ook een kleinste positief natuurlijk getal N bestaat. Het feit dat dat getal het kleinste positieve natuurlijke getal N maakt het voor wiskundigen een interessant getal. Contradictie!

QED.

[ Bericht 0% gewijzigd door Dennis_enzo op 30-09-2009 05:32:24 ]

Tvp voor leuke bewijzen

quote:

Op woensdag 30 september 2009 05:13 schreef Dennis_enzo het volgende:
Stelling: Elk positief natuurlijk getal is voor wiskundigen interessant.

Bewijs: Neem aan dat er minimaal 1 positief natuurlijk getal N bestaat die voor wiskundigen niet interessant is. Dat betekent dat er ook een kleinste positief natuurlijk getal N bestaat. Het feit dat dat getal het kleinste positieve natuurlijke getal N maakt het voor wiskundigen een interessant getal. Contradictie!

QED.

quote:

Op woensdag 30 september 2009 23:05 schreef ..-._---_-.- het volgende:
-Garfieldbewijs-

Die kende ik niet, nice

quote:

Op dinsdag 29 september 2009 22:21 schreef thabit het volgende:

[..]

Zij p = 4k + 1 een priemgetal. We gaan kijken naar alle oplossingen van de vergelijking
(*) x² + 4yz = p
in positieve gehele getallen x, y en z. Het doel is om aan te tonen dat er een oplossing bestaat met y=z. Zo'n oplossing geeft dan namelijk x² + (2y)².


Zagier claimt nu 2 dingen:
(a) Dit is inderdaad een paring op de oplossingen van (*).
(b) Het enige punt dat aan zichzelf gekoppeld wordt is (1, 1, k).

Laten we eerst eens aannemen dat dit klopt, dan bewijzen we de claims morgen wel. .

Dit moest ik nog even afmaken. Zagier schrijft hier zelf geen bewijs van op, omdat het door een geoefende wiskundige makkelijk te verifieren is. Het is in de wiskunde dan ook zeer gebruikelijk om bewijzen die de lezer direct na kan gaan, niet op te schrijven, of daar in elk geval heel kort in te zijn. Er gebeuren hier dus ook geen bijzonder interessante dingen meer.

De fraaiheid van het bewijs zit hem er dan ook in dat het volkomen gestoord is en niet te bevatten hoe iemand erop komt; dat het volkomen elementair en direct is, maar dat het je totaal geen inzicht in wat dan ook geeft. Hieraan herken je Don Zagier: zijn voordrachten zijn ook eigenlijk altijd een soort wiskundige goochelacts, uiterst vermakelijk om naar te kijken, maar je leert er geen ene kloot van. .

Laat ik vooral opmerken dat het hier cruciaal is dat p een priemgetal is: een getal als 21 is ook 1 modulo 4, maar niet te schrijven als som van twee kwadraten.

Hieruit volgt dan ook meteen dat de gevallen x = y-z en x = 2y niet kunnen voorkomen: in het eerste geval is (*) gelijk aan (y+z)² en in het tweede geval deelbaar door 4, in geen van beide gevallen dus een priemgetal. Het is ook direct duidelijk dat door de gestelde ongelijkheden in elk van de gevallen, positieve getallen naar positieve getallen worden gestuurd. Door haakjes uit te werken kun je ook zien dat in elk van de drie gevallen de waarde van de uitdrukking x²+4yz gelijk blijft,.

We beginnen met (b): in een oplossing (x,y,z) kan x alleen naar zichzelf gestuurd worden in het tweede geval. Dan geldt ook automatisch x=y en dus p = x² + 4xz = x(x + 4z). Omdat p een priemgetal is, moet x nu wel 1 zijn en dan hebben we automatisch y=1 en z=k.

Okee, nu (a). Hierbij moeten we eigenlijk alleen bekijken dat als je begint met een oplossing van (*) die aan een van de 3 gestelde ongelijkheden voldoet, aan welke ongelijkheid de oplossing voldoet waar je haar heenstuurt, dan weet je namelijk ook waar dat weer heen wordt gestuurd en dan kun je in alle geval direct zien dat het (x,y,z) is.

Het eerste geval wordt naar het derde geval gestuurd: er geldt altijd x+2z > 2z. Zo ook wordt het derde geval naar het eerste geval gestuurd: altijd geldt x-2y < x-2y+z = (x-y+z) + y. Een oplossing uit geval 2 wordt naar een oplossing uit geval 2 gestuurd: altijd geldt y - (x-y+z) = 2y-x-z < 2y-x en 2y-x < 2y.

quote:

Op donderdag 1 oktober 2009 13:32 schreef Friek_ het volgende:
Oh, mochten users ook requests kunnen plaatsen: het bewijs van 1 plus 1 gelijkstaat aan 2. Graag met zo duidelijk mogelijke uitleg!

Bedankt.

Is daar wel bewijs voor? 1+1=2 is toch een axioma?

Hmm, toch wel:

quote:

The proof starts from the Peano Postulates, which define the natural
numbers N. N is the smallest set satisfying these postulates:

P1. 1 is in N.
P2. If x is in N, then its "successor" x' is in N.
P3. There is no x such that x' = 1.
P4. If x isn't 1, then there is a y in N such that y' = x.
P5. If S is a subset of N, 1 is in S, and the implication
(x in S => x' in S) holds, then S = N.

Then you have to define addition recursively:
Def: Let a and b be in N. If b = 1, then define a + b = a'
(using P1 and P2). If b isn't 1, then let c' = b, with c in N
(using P4), and define a + b = (a + c)'.

Then you have to define 2:
Def: 2 = 1'

2 is in N by P1, P2, and the definition of 2.

Theorem: 1 + 1 = 2

Proof: Use the first part of the definition of + with a = b = 1.
Then 1 + 1 = 1' = 2 Q.E.D.