W&T Wetenschap & Technologie
Een plek om te discussiëren over wetenschappelijke onderwerpen, wetenschappelijke problemen, technologische projecten en grootse uitvindingen.
Velen hebben bij Wiskunde vooral de associatie ‘saai!’, niet in het minst gevoed door ellenlange rijtjes vergelijkingen die opgelost moesten worden. En het woord ‘bewijs’ roept natuurlijk al helemaal de ergste herinneringen op.
Desondanks denk ik dat er wiskundige bewijzen zijn die toch een zekere schoonheid hebben. Het is moeilijk uit te leggen wat het precies is, dus daarom wordt het – hopelijk – duidelijk in deze topic.
Als je het niet snapt, vraag gerust. Dan zal ik het iets duidelijker proberen te maken, en anders gaan we gewoon verder naar het volgende bewijs.
Desondanks denk ik dat er wiskundige bewijzen zijn die toch een zekere schoonheid hebben. Het is moeilijk uit te leggen wat het precies is, dus daarom wordt het – hopelijk – duidelijk in deze topic.
Als je het niet snapt, vraag gerust. Dan zal ik het iets duidelijker proberen te maken, en anders gaan we gewoon verder naar het volgende bewijs.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Als eerste bewijs, een klassieker, namelijk, dat er oneindig veel priemgetallen zijn. De bedenker, Euklides, leefde zo ongeveer 2300 jaar geleden.
Het bewijs is zo belangrijk omdat het zo ongelooflijk elegant is, en omdat priemgetallen tot op de dag van vandaag fascinerend blijven. Er zijn veel vragen nog niet beantwoord, maar eentje in ieder geval wel: er zijn er namelijk oneindig veel. Er kan dus altijd gezocht worden naar nóg een groter priemgetal.
Als eerste: Een priemgetal is een getal dat precies twee delers heeft: 1 en zichzelf. Bijvoorbeeld 13, of 17, of 1009. Het getal 1 wordt meestal niet als priemgetal beschouwd. Maar nu het bewijs.
Neem aan dat er eindig veel priemgetallen zijn. Zeg, n priemgetallen, waarbij n misschien wel heel groot is, maar toch eindig. We kunnen al die getallen nu op een rijtje zetten: p1, p2, p3, ..., pn. Bereken nu E = p1·p2···pn + 1. Dus vermenigvuldig al die getallen met elkaar, en tel er 1 bij op.
Het is duidelijk dat dit getal E niet deelbaar is door p1, want je houdt nog rest 1 over. Ook niet door p2, daar geldt hetzelfde voor, zo geldt dat voor al die priemgetallen tot en met pn.
Dit betekent óf dat E zelf een priemgetal is, of als het geen priemgetal is (en dus deelbaar is door een ander priemgetal), dat het dan deelbaar is door een priemgetal dat niet in ons rijtje zat.
Maar we hadden aangenomen dat ons rijtje alle priemgetallen bevat. Die aanname moet wel fout zijn, want we komen nu op een tegenspraak uit. Kortom, er moeten wel oneindig veel priemgetallen zijn. □
Dat was het al.
Andere, relatief eenvoudige vragen, zoals: zijn er ook oneindig veel paartjes van getallen zoals 17 en 19, of 107 en 109, die maar 2 van elkaar verschillen en allebei priem zijn, of kun je elk getal groter dan 3 als de som van precies twee priemgetallen schrijven, zijn tot op de dag van vandaag niet beantwoord.
Het bewijs is zo belangrijk omdat het zo ongelooflijk elegant is, en omdat priemgetallen tot op de dag van vandaag fascinerend blijven. Er zijn veel vragen nog niet beantwoord, maar eentje in ieder geval wel: er zijn er namelijk oneindig veel. Er kan dus altijd gezocht worden naar nóg een groter priemgetal.
Als eerste: Een priemgetal is een getal dat precies twee delers heeft: 1 en zichzelf. Bijvoorbeeld 13, of 17, of 1009. Het getal 1 wordt meestal niet als priemgetal beschouwd. Maar nu het bewijs.
Neem aan dat er eindig veel priemgetallen zijn. Zeg, n priemgetallen, waarbij n misschien wel heel groot is, maar toch eindig. We kunnen al die getallen nu op een rijtje zetten: p1, p2, p3, ..., pn. Bereken nu E = p1·p2···pn + 1. Dus vermenigvuldig al die getallen met elkaar, en tel er 1 bij op.
Het is duidelijk dat dit getal E niet deelbaar is door p1, want je houdt nog rest 1 over. Ook niet door p2, daar geldt hetzelfde voor, zo geldt dat voor al die priemgetallen tot en met pn.
Dit betekent óf dat E zelf een priemgetal is, of als het geen priemgetal is (en dus deelbaar is door een ander priemgetal), dat het dan deelbaar is door een priemgetal dat niet in ons rijtje zat.
Maar we hadden aangenomen dat ons rijtje alle priemgetallen bevat. Die aanname moet wel fout zijn, want we komen nu op een tegenspraak uit. Kortom, er moeten wel oneindig veel priemgetallen zijn. □
Dat was het al.
Andere, relatief eenvoudige vragen, zoals: zijn er ook oneindig veel paartjes van getallen zoals 17 en 19, of 107 en 109, die maar 2 van elkaar verschillen en allebei priem zijn, of kun je elk getal groter dan 3 als de som van precies twee priemgetallen schrijven, zijn tot op de dag van vandaag niet beantwoord.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
hier verlies je mequote:Neem aan dat er eindig veel priemgetallen zijn. Zeg, n priemgetallen, waarbij n misschien wel heel groot is, maar toch eindig. We kunnen al die getallen nu op een rijtje zetten: p1, p2, p3, ..., pn. Bereken nu E = p1·p2···pn + 1. Dus vermenigvuldig al die getallen met elkaar, en tel er 1 bij op.
Waarom wil je dit doen? Niet alleen alle priemgetallen met elkaar vermedigvuldigen, maar ook nog eens '1' bij optellen?
Overigens wat ik zelf een mooie wetmatigheid vind in de wiskunde:
als je alle cijfers in een getal optelt, en je kan dat door 3 delen (en de uitkomst is een heel getal), is het originele getal ook te delen door drie.
Dus: 81 = 8+1=9
9 kan je delen door 3 dus 81 kan je delen door 3
3528921= 3+5+2+8+9+2+1 = 30
30 kan je delen door 3 dus 3528921 kan je delen door 3
8592847932= 8+5+9+2+8+4+7+9+3+2 = 57
57= 5+7=12
12= 1+2 =3
enz.
lolwut
Maar heb je daar ook een bewijs voor?quote:Op maandag 28 september 2009 22:29 schreef BrandX het volgende:
Overigens wat ik zelf een mooie wetmatigheid vind in de wiskunde:
als je alle cijfers in een getal optelt, en je kan dat door 3 delen (en de uitkomst is een heel getal), is het originele getal ook te delen door drie.
Dus: 81 = 8+1=9
9 kan je delen door 3 dus 81 kan je delen door 3
3528921= 3+5+2+8+9+2+1 = 30
30 kan je delen door 3 dus 3528921 kan je delen door 3
8592847932= 8+5+9+2+8+4+7+9+3+2 = 57
57= 5+7=12
12= 1+2 =3
enz.
Ook geen sig dus
ik geef je drie rekenvoorbeelden als bewijs?quote:Op maandag 28 september 2009 22:32 schreef Dennis_enzo het volgende:
[..]
Maar heb je daar ook een bewijs voor?
edit:: ff voor je gegoogled
SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.niet dat ik het verhaal snap, maar dit is de wetenschappelijke verklaring
lolwut
Een voorbeeld is nooit een bewijs in de wiskunde. Al geef je 1000 voorbeelden, je hebt het niet bewezenquote:Op maandag 28 september 2009 22:33 schreef BrandX het volgende:
[..]
ik geef je drie rekenvoorbeelden als bewijs?
Ook geen sig dus
Zie mijn editquote:
[..]
Een voorbeeld is nooit een bewijs in de wiskunde. Al geef je 1000 voorbeelden, je hebt het niet bewezen
lolwut
quote:Op maandag 28 september 2009 22:33 schreef BrandX het volgende:
[..]
ik geef je drie rekenvoorbeelden als bewijs?
edit:: ff voor je gegoogledH0 = Het is toeval, dat hij 3 toevallig rekenvoorbeelden geeft.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.niet dat ik het verhaal snap, maar dit is de wetenschappelijke verklaring
H1 = H0 is niet waar.
Als je alle getallen met elkaar vermenigvuldigt is het getal dat je dan krijgt deelbaar door al die getallen, als je er dan 1 bij optelt is ie weer slechts deelbaar door zichzelf en door 1, dat betekent dat je een nieuw priemgetal hebt en dat er dus geen eindigheid bestaat in de reeks priemgetallen.quote:Op maandag 28 september 2009 22:29 schreef BrandX het volgende:
[..]
hier verlies je me
Waarom wil je dit doen? Niet alleen alle priemgetallen met elkaar vermedigvuldigen, maar ook nog eens '1' bij optellen?
Fietstas.
ok, ok, als dit topic uitsluitend voor wiskundebollendozen is kan ik beter wegblijven.
Iblis, kan jij mijn vraag in de fipo beantwoorden?
lolwut
ah zo! Helder, thanks.quote:
[..]
Als je alle getallen met elkaar vermenigvuldigt is het getal dat je dan krijgt deelbaar door al die getallen, als je er dan 1 bij optelt is ie weer slechts deelbaar door zichzelf en door 1, dat betekent dat je een nieuw priemgetal hebt en dat er dus geen eindigheid bestaat in de reeks priemgetallen.
lolwut
Nee, het produkt + 1 hoeft geen priemgetal te zijn.quote:
[..]
Als je alle getallen met elkaar vermenigvuldigt is het getal dat je dan krijgt deelbaar door al die getallen, als je er dan 1 bij optelt is ie weer slechts deelbaar door zichzelf en door 1, dat betekent dat je een nieuw priemgetal hebt en dat er dus geen eindigheid bestaat in de reeks priemgetallen.
Het idee is als volgt:
Stel dat Pn het n-de priemgetal is en het grootste priemgetal dat je kent. Dan is het produkt van alle priemgetallen tot en met Pn :
P1*P2*P3* ... *Pn-1*Pn
Deelbaar door elk van zijn factoren Px, oftewel door alle priemgetallen tot en met Pn
Als je er 1 bij optelt, dan hou je bij deling door een willekeurig priemgetal Px een rest 1 over. Pn is dus niet meer deelbaar door alle priemgetallen tot en met Pn en is dan of zelf een priemgetal of deelbaar door een priemgetal groter dan Pn. Je kan overigens het produkt van alle priemgetallen in dit bewijs ook prima vervangen door faculteit, als je dat makkelijker vindt
[ Bericht 9% gewijzigd door #ANONIEM op 28-09-2009 22:49:18 ]
Dat is in feite de truc. Het is slim om dat te doen. Want daarmee bereik je precies wat je wilt. Het is misschien te vergelijken met vragen waarom zet Rembrandt daar net dat lichtaccent neer? Het had ook ergens anders gekund, maar juist door het dáár te doen bereikt hij zo’n magisch effect.quote:Op maandag 28 september 2009 22:29 schreef BrandX het volgende:
[..]
hier verlies je me
Waarom wil je dit doen? Niet alleen alle priemgetallen met elkaar vermedigvuldigen, maar ook nog eens '1' bij optellen?
Het doel bij dit bewijs is dat we willen aantonen dat er oneindig veel priemgetallen zijn. We beginnen nu met aannemen dat er maar eindig veel zijn. De truc is nu om op een of andere manier te bewijzen dat je, als je dat doet, ‘enige priemgetallen overslaat’. Als je ze allemaal op een rijtje zet, dat je rijtje tóch niet compleet is.
Het rijtje is dus p1 t/m pn. De slimmigheid zit ’m nu in die vermenigvuldiging. Dat is waar het wiskundig inzicht en de genialiteit van Euklides naar voren komt. Als je dat leest denk je: dát is een slimme zet. Juist die + 1 na het vermenigvuldigen is in feit het slimme.
Doordat hij dat doet, kan hij daarna zeggen: en het nieuwe getal (E dus) is niet deelbaar door p1, niet door p2, enzovoort. Als hij die + 1 niet had gedaan, dan was het bewijs niet van de grond gekomen. Dus juist daar zit de slimmigheid van het bewijs.
Ik hoop dat het duidelijk is.
Daher iſt die Aufgabe nicht ſowohl, zu ſehn was noch Keiner geſehn hat, als, bei Dem, was Jeder ſieht, zu denken was noch Keiner gedacht hat.
Na twee keer lezen wel ja! Het mooie zit 'em inderdaad in de simpelheid van de +1quote:Op maandag 28 september 2009 22:47 schreef Iblis het volgende:
[..]
Dat is in feite de truc. Het is slim om dat te doen. Want daarmee bereik je precies wat je wilt. Het is misschien te vergelijken met vragen waarom zet Rembrandt daar net dat lichtaccent neer? Het had ook ergens anders gekund, maar juist door het dáár te doen bereikt hij zo’n magisch effect.
Het doel bij dit bewijs is dat we willen aantonen dat er oneindig veel priemgetallen zijn. We beginnen nu met aannemen dat er maar eindig veel zijn. De truc is nu om op een of andere manier te bewijzen dat je, als je dat doet, ‘enige priemgetallen overslaat’. Als je ze allemaal op een rijtje zet, dat je rijtje tóch niet compleet is.
Het rijtje is dus p1 t/m pn. De slimmigheid zit ’m nu in die vermenigvuldiging. Dat is waar het wiskundig inzicht en de genialiteit van Euklides naar voren komt. Als je dat leest denk je: dát is een slimme zet. Juist die + 1 na het vermenigvuldigen is in feit het slimme.
Doordat hij dat doet, kan hij daarna zeggen: en het nieuwe getal (E dus) is niet deelbaar door p1, niet door p2, enzovoort. Als hij die + 1 niet had gedaan, dan was het bewijs niet van de grond gekomen. Dus juist daar zit de slimmigheid van het bewijs.
Ik hoop dat het duidelijk is.
BIjna zo simpel dat het daardoor briljant is.
lolwut
Daarmee kom je trouwens wel weer bij een nieuwe interessante vraag uit:
Had je op de een of andere manier kunnen weten dat je met +1 een bewijs kunt maken, of is dat alleen maar intuïtie en geluk?
Anders gezegd: als je een willekeurige wiskundige stelling hebt, kan een computer deze stelling dan bewijzen of weerleggen?
Nee. Om dat te laten zien moeten we de vraagstelling iets anders formuleren:
Zijn er wiskundige stellingen, waarvan een turing-machine niet zou kunnen zeggen of ze waar zijn of niet?
Ja.
Bewijzen door middel van tegenspraak zijn leuk. Dus:
Aanname: het kan wel. Dan kunnen we dus een computerprogramma maken dat de volgende taak uitvoert:
Om van enig praktisch nut te zijn, moet dit programma uiteraard ooit een antwoord geven, want als het programma voor sommige stellingen in een oneindige lus geraakt en dus nooit antwoord geeft, heb je er ook niks aan.
Stel nou dus, dat er een programma test_stelling bestaat, dat altijd eindigt. Dan kunnen we dat programma ook weer gebruiken om te kijken of andere programma's eindigen. In het bijzonder kunnen we Programma ( Programma ) eindigt als stelling nemen en deze stelling laten testen:
Wat doet deze functie?
Als de stelling Programma ( Programma ) eindigt waar is, komt het programma 'test' in een oneindige lus en eindigt dus niet.
Als Programma ( Programma ) eindigt niet waar is, is het programma 'test' meteen klaar.
En nu komt de truc:
Nou zijn er twee opties:
1. test_stelling ( test ( test ) eindigt ) == 'ja', maar dat betekent dat test ( test ) in een oneindige lus raakt en dus niet eindigt, tegenspraak!
2. test_stelling ( test ( test ) eindigt ) == 'nee', maar dat betekent dat test ( test ) meteen klaar is en dus wel eindigt, tegenspraak!
M.a.w. de aanname was fout. Het kan dus niet.
Edit: Toen ik wiskunde studeerde deden we nooit aan bronvermeldingen. Maar ik geloof dat het wel zo netjes is, dus ik zal er maar even bij vermelden dat dit bewijs werd geleverd door Turing en ook wel het 'stopprobleem' wordt genoemd.
En nou hoop ik maar dat ik zo laat op de avond met m'n slaperige hoofd geen fout heb gemaakt...
[ Bericht 3% gewijzigd door #ANONIEM op 29-09-2009 00:01:48 ]
Had je op de een of andere manier kunnen weten dat je met +1 een bewijs kunt maken, of is dat alleen maar intuïtie en geluk?
Anders gezegd: als je een willekeurige wiskundige stelling hebt, kan een computer deze stelling dan bewijzen of weerleggen?
Nee. Om dat te laten zien moeten we de vraagstelling iets anders formuleren:
Zijn er wiskundige stellingen, waarvan een turing-machine niet zou kunnen zeggen of ze waar zijn of niet?
Ja.
Bewijzen door middel van tegenspraak zijn leuk. Dus:
Aanname: het kan wel. Dan kunnen we dus een computerprogramma maken dat de volgende taak uitvoert:
| 1 2 3 | als Stelling waar: antwoord 'ja' anders: antwoord 'nee' |
Om van enig praktisch nut te zijn, moet dit programma uiteraard ooit een antwoord geven, want als het programma voor sommige stellingen in een oneindige lus geraakt en dus nooit antwoord geeft, heb je er ook niks aan.
Stel nou dus, dat er een programma test_stelling bestaat, dat altijd eindigt. Dan kunnen we dat programma ook weer gebruiken om te kijken of andere programma's eindigen. In het bijzonder kunnen we Programma ( Programma ) eindigt als stelling nemen en deze stelling laten testen:
| 1 2 | doe niks zolang test_stelling ( Programma ( Programma ) eindigt ) == 'ja' |
Wat doet deze functie?
Als de stelling Programma ( Programma ) eindigt waar is, komt het programma 'test' in een oneindige lus en eindigt dus niet.
Als Programma ( Programma ) eindigt niet waar is, is het programma 'test' meteen klaar.
En nu komt de truc:
| 1 |
Nou zijn er twee opties:
1. test_stelling ( test ( test ) eindigt ) == 'ja', maar dat betekent dat test ( test ) in een oneindige lus raakt en dus niet eindigt, tegenspraak!
2. test_stelling ( test ( test ) eindigt ) == 'nee', maar dat betekent dat test ( test ) meteen klaar is en dus wel eindigt, tegenspraak!
M.a.w. de aanname was fout. Het kan dus niet.
Edit: Toen ik wiskunde studeerde deden we nooit aan bronvermeldingen. Maar ik geloof dat het wel zo netjes is, dus ik zal er maar even bij vermelden dat dit bewijs werd geleverd door Turing en ook wel het 'stopprobleem' wordt genoemd.
En nou hoop ik maar dat ik zo laat op de avond met m'n slaperige hoofd geen fout heb gemaakt...
[ Bericht 3% gewijzigd door #ANONIEM op 29-09-2009 00:01:48 ]
Vierkantswortel van 2 is geen rationaal getal (maw kan niet als breuk van twee gehele getallen geschreven worden.)
(in het volgende stelt a een geheel getal voor)
Wat is een even getal? Een getal dat geschreven kan worden als 2*a
a=0 geeft 0 a=1 geeft 2 etc..
Een oneven getal kan geschreven worden als (2*a + 1) (dus een even getal +1)
a=0 geeft 1 a=1 geeft 3 etc...
Eerst bewijzen we dat het kwadraat van een even getal even is, en het kwadraat van een oneven getal oneven:
(2*a)2=4 * a2 = 2 * (2*a2); dus even
(2*a+1)2 = 4*a2 + 4*a + 1 = 2*(2*a2 + 2*a) + 1 (eerste term is even want factor twee; plus één wordt dus oneven)
Een rationaal getal is een getal dat geschreven kan worden als een breuk van gehele getallen. Elke breuk kan vereenvoudigd worden tot z'n eenvoudigste schrijfwijze (=met de kleinst mogelijke teller en noemer), door teller en noemer te delen door hun gemeenschappelijke delers. Daaruit volgt dat elke breuk kan geschreven worden als T/N waarbij minstens één van beide ( T of N) oneven zijn; immers: als ze beide even zijn kan je ze delen door twee, en herhalen tot T of N oneven wordt.
Stel nu dat T/N = wortel van 2. waarbij minstens één van beide oneven is.
Dus: (T/N)2 = 2
of T2 = 2*N2 ---> hieruit volgt dat T2 even is. T zelf kan dan niet oneven zijn, want dan zou het kwadraat ook oneven zijn (zie boven)
Als T even is bestaat er een geheel getal K = T/2
--> T = 2*K ---> T2 = 4*K2
vervangen we T door 2*K in bovenstaande vergelijking
4*K2=2*N2
of (linker en rechterhelft delen door twee)
2*K2=N2
dus N kwadraat is even, N zelf dus ook. En we hadden reeds gevonden dat T even was. Wat in tegenspraak is met onze veronderstelling, dat T en N niet beide even kunnen zijn.
Onze veronderstelling leidt tot een tegenspraak, maw, T en N bestaan niet (als eindige getallen)
(btw: let erop dat de conclusie T2 = even, dus T is even volgt uit de stelling dat het kwadraat van een oneven getal oneven is, niet uit de stelling dat het kwadraat van een even getal even is. Nederlanders zijn mensen betekent niet dat mensen Nederlanders zijn)
(in het volgende stelt a een geheel getal voor)
Wat is een even getal? Een getal dat geschreven kan worden als 2*a
a=0 geeft 0 a=1 geeft 2 etc..
Een oneven getal kan geschreven worden als (2*a + 1) (dus een even getal +1)
a=0 geeft 1 a=1 geeft 3 etc...
Eerst bewijzen we dat het kwadraat van een even getal even is, en het kwadraat van een oneven getal oneven:
(2*a)2=4 * a2 = 2 * (2*a2); dus even
(2*a+1)2 = 4*a2 + 4*a + 1 = 2*(2*a2 + 2*a) + 1 (eerste term is even want factor twee; plus één wordt dus oneven)
Een rationaal getal is een getal dat geschreven kan worden als een breuk van gehele getallen. Elke breuk kan vereenvoudigd worden tot z'n eenvoudigste schrijfwijze (=met de kleinst mogelijke teller en noemer), door teller en noemer te delen door hun gemeenschappelijke delers. Daaruit volgt dat elke breuk kan geschreven worden als T/N waarbij minstens één van beide ( T of N) oneven zijn; immers: als ze beide even zijn kan je ze delen door twee, en herhalen tot T of N oneven wordt.
Stel nu dat T/N = wortel van 2. waarbij minstens één van beide oneven is.
Dus: (T/N)2 = 2
of T2 = 2*N2 ---> hieruit volgt dat T2 even is. T zelf kan dan niet oneven zijn, want dan zou het kwadraat ook oneven zijn (zie boven)
Als T even is bestaat er een geheel getal K = T/2
--> T = 2*K ---> T2 = 4*K2
vervangen we T door 2*K in bovenstaande vergelijking
4*K2=2*N2
of (linker en rechterhelft delen door twee)
2*K2=N2
dus N kwadraat is even, N zelf dus ook. En we hadden reeds gevonden dat T even was. Wat in tegenspraak is met onze veronderstelling, dat T en N niet beide even kunnen zijn.
Onze veronderstelling leidt tot een tegenspraak, maw, T en N bestaan niet (als eindige getallen)
(btw: let erop dat de conclusie T2 = even, dus T is even volgt uit de stelling dat het kwadraat van een oneven getal oneven is, niet uit de stelling dat het kwadraat van een even getal even is. Nederlanders zijn mensen betekent niet dat mensen Nederlanders zijn)
I'll be back
quote:Op maandag 28 september 2009 22:18 schreef Iblis het volgende:
Als eerste bewijs, een klassieker, namelijk, dat er oneindig veel priemgetallen zijn. De bedenker, Euklides, leefde zo ongeveer 2300 jaar geleden.
Het bewijs is zo belangrijk omdat het zo ongelooflijk elegant is, en omdat priemgetallen tot op de dag van vandaag fascinerend blijven. Er zijn veel vragen nog niet beantwoord, maar eentje in ieder geval wel: er zijn er namelijk oneindig veel. Er kan dus altijd gezocht worden naar nóg een groter priemgetal.
Als eerste: Een priemgetal is een getal dat precies twee delers heeft: 1 en zichzelf. Bijvoorbeeld 13, of 17, of 1009. Het getal 1 wordt meestal niet als priemgetal beschouwd. Maar nu het bewijs.
Neem aan dat er eindig veel priemgetallen zijn. Zeg, n priemgetallen, waarbij n misschien wel heel groot is, maar toch eindig. We kunnen al die getallen nu op een rijtje zetten: p1, p2, p3, ..., pn. Bereken nu E = p1·p2···pn + 1. Dus vermenigvuldig al die getallen met elkaar, en tel er 1 bij op.
Het is duidelijk dat dit getal E niet deelbaar is door p1, want je houdt nog rest 1 over. Ook niet door p2, daar geldt hetzelfde voor, zo geldt dat voor al die priemgetallen tot en met pn.
Dit betekent óf dat E zelf een priemgetal is, of als het geen priemgetal is (en dus deelbaar is door een ander priemgetal), dat het dan deelbaar is door een priemgetal dat niet in ons rijtje zat.
Maar we hadden aangenomen dat ons rijtje alle priemgetallen bevat. Die aanname moet wel fout zijn, want we komen nu op een tegenspraak uit. Kortom, er moeten wel oneindig veel priemgetallen zijn. □
Dat was het al.Ik vind wiskunde nog steeds saai geloof ikSPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.SPOILEROm spoilers te kunnen lezen moet je zijn ingelogd. Je moet je daarvoor eerst gratis Registreren. Ook kun je spoilers niet lezen als je een ban hebt.Eindelijk iemand die denkt wat iedereen zegt
Tijd voor een nieuwe stelling, wederom een over priemgetallen. Ik zal eerst de stelling uitleggen, later een bewijs.
We kunnen ons afvragen welke priemgetallen p te schrijven zijn als som van twee kwadraten. De welbekende identiteit 1 + 1 = 2 laat zien dat 2 hier in elk geval aan voldoet, waarna we ons kunnen concentreren op de oneven priemgetallen.
Wil een som van twee kwadraten oneven zijn, dan zal precies 1 van deze kwadraten even moeten zijn en de andere oneven. Een even kwadraat is altijd deelbaar door 4 en een oneven kwadraat is altijd 1 modulo 4. We zien dus dat p sowieso 1 modulo 4 zal moeten zijn en priemgetallen die 3 modulo 4 zijn, zoals 3, 7, 11, etc kunnen dan ook niet als som van twee kwadraten geschreven worden. De stelling zegt nu dat ook het omgekeerde geldt:
Stelling. Elk priemgetal dat 1 modulo 4 is kan geschreven worden als de som van twee kwadraten.
Er zijn meerdere bewijzen van deze stelling bekend, eigenlijk allemaal wel behoorlijk fraai. Om de spanning op te voeren en om de stelling even te laten bezinken bij de lezer zal ik nog even wachten met het posten van het fraaiste bewijs.
We kunnen ons afvragen welke priemgetallen p te schrijven zijn als som van twee kwadraten. De welbekende identiteit 1 + 1 = 2 laat zien dat 2 hier in elk geval aan voldoet, waarna we ons kunnen concentreren op de oneven priemgetallen.
Wil een som van twee kwadraten oneven zijn, dan zal precies 1 van deze kwadraten even moeten zijn en de andere oneven. Een even kwadraat is altijd deelbaar door 4 en een oneven kwadraat is altijd 1 modulo 4. We zien dus dat p sowieso 1 modulo 4 zal moeten zijn en priemgetallen die 3 modulo 4 zijn, zoals 3, 7, 11, etc kunnen dan ook niet als som van twee kwadraten geschreven worden. De stelling zegt nu dat ook het omgekeerde geldt:
Stelling. Elk priemgetal dat 1 modulo 4 is kan geschreven worden als de som van twee kwadraten.
Er zijn meerdere bewijzen van deze stelling bekend, eigenlijk allemaal wel behoorlijk fraai. Om de spanning op te voeren en om de stelling even te laten bezinken bij de lezer zal ik nog even wachten met het posten van het fraaiste bewijs.
tvp als wiskundestudent
-----------------------------------------------------
So happy to show us, I ate the lotus
... and I feel fine.
So happy to show us, I ate the lotus
... and I feel fine.
Geinig
I have the cape. I make the fucking Whoosh noise.
Op donderdag 12 juli 2012 19:56 schreef Lithia het volgende:
Ik durf hier niets over te zeggen. Bart is koning hier.
Op donderdag 12 juli 2012 19:56 schreef Lithia het volgende:
Ik durf hier niets over te zeggen. Bart is koning hier.
tvp, ik ben benieuwd naar het bewijs van thabit
Want ik heb destijds besloten, dat ik de harde weg ontwijk.
Dus blijf ik lopen door de sloten, het liefst in zeven tegelijk.
BZB - Zeven Sloten
Dus blijf ik lopen door de sloten, het liefst in zeven tegelijk.
BZB - Zeven Sloten
Tijd voor een bewijs, inderdaad. Het bewijs dat ik hier geef is afkomstig van Don Zagier, onthoud die naam.quote:Op dinsdag 29 september 2009 10:41 schreef thabit het volgende:
Stelling. Elk priemgetal dat 1 modulo 4 is kan geschreven worden als de som van twee kwadraten.
Zij p = 4k + 1 een priemgetal. We gaan kijken naar alle oplossingen van de vergelijking
(*) x2 + 4yz = p
in positieve gehele getallen x, y en z. Het doel is om aan te tonen dat er een oplossing bestaat met y=z. Zo'n oplossing geeft dan namelijk x2 + (2y)2.
De grap is nu, dat we oplossingen in paren kunnen opdelen: als (x,y,z) een oplossing van (*) is, dan is (x,z,y) dat ook. De oplossingen met y=z zijn precies diegenen die onder deze paring aan zichzelf zijn gekoppeld. Het doel is nu, om aan te tonen dat (*) een oneven aantal oplossingen heeft: als dat zo is, moet er onder de paring een oplossing zijn die bij zichzelf hoort, en dus y=z heeft.
Om aan te tonen dat (*) een oneven aantal oplossingen heeft definieren we een andere paring op de verzameling oplossingen. Hiervoor jat ik gewoon een plaatje van Wikipedia:
Zagier claimt nu 2 dingen:
(a) Dit is inderdaad een paring op de oplossingen van (*).
(b) Het enige punt dat aan zichzelf gekoppeld wordt is (1, 1, k).
Laten we eerst eens aannemen dat dit klopt, dan bewijzen we de claims morgen wel.
. De paring deelt de verzameling oplossingen op in paren, maar er zit 1 eenling tussen op die manier (namelijk (1,1,k)). Dus heeft (*) een oneven aantal oplossingen.
De mooiste bewijzen zijn de bewijzen waar je een half uur naar kijkt om dan "ow zo doen ze dat" te zeggen
"Those unforgettable days, for them I live"
tvp, thabit kan het dat ik les van je hebt gehad voor Algebra 1 in Leiden?
WEB / [HaxBall #64] Jos is God
Arguing on the Internet is like running in the Special Olympics.
Arguing on the Internet is like running in the Special Olympics.
|
|
| Forum Opties | |
|---|---|
| Forumhop: | |
| Hop naar: | |