De fraaiste wiskundige bewijzen #1

Ik heb nog een wat simpeler bewijs, voor een andere stelling. Namelijk, de som van de eerste n oneven getallen is altijd een kwadraat. B.v. 1 + 3 = 4 = 2², 1 + 3 + 5 = 9 = 3². En 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4², en 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5². Dat doet zelfs vermoeden dat we kunnen zeggen: de som van de eerste n oneven getallen is n².

Nu, zie hier:


^{Bron: Wikimedia Commons. Maker: Anynobody. Licentie: CC-BY-SA.}

Tevens laat dit mooi zien waarom kwadraat eigenlijk ‘vierkant’ betekent.

quote:

Op dinsdag 29 september 2009 23:40 schreef ..-._---_-.- het volgende:

[..]

De illustratie maakt het mooi inzichtelijk maar is natuurlijk geen bewijs. Ik vind dit eigenlijk vrij triviaal en je kunt het eenvoudig ook inductief bewijzen:

Stel:
S_n is de som van de eerste n oneven getallen, en stel dat x = n -1
Dan is het n-de oneven getal uit te drukken als 2*n-1
Als S_n = x² dan geldt:
S_n+1 = S_n + 2*n -1 = x² + 2*( x+1) -1 = x² +2*x +1 = (x+1)²

Dus als de stelling waar is voor n, dan is ie ook waar voor n+1. Voor n=1 is eenvoudig te verifieren dat de stelling klopt.

Ik vind dat inductiebewijs veel minder inzichtelijk. Die afbeelding maakt op dezelfde manier duidelijk dat je er telkens weer een hoekje aan kunt plakken, natuurlijk, hier is ze afgekapt op het 8e oneven getal, maar de manier om naar de som van 9 oneven getallen te komen is evident. En daarmee bij 10, 11, 12, 13, enz.

Eenzelfde soort bewijs kan overigens voor de som van 1 t/m N gegeven worden. Die som heet nota bene driehoeksgetal. Formaliseren is intens belangrijk, maar als het gaat om een idee, een beeld erachter is zo’n afbeelding m.i. van heel veel waarde.

Natuurlijk, inductie werkt ook, maar je moet inductie of als axioma aannemen of bewijzen vanuit een wel-ordenings axioma, hoe dan ook, die techniek is minder inzichtvol – maar dat is natuurlijk te betwisten als je ze al heel vaak gehanteerd hebt – dan zo’n plaatje. Wat ook echt mooi illustreert hoe een kwadraat aan z’n naam komt.

quote:

Op donderdag 1 oktober 2009 13:32 schreef Friek_ het volgende:
Oh, mochten users ook requests kunnen plaatsen: het bewijs van 1 plus 1 gelijkstaat aan 2. Graag met zo duidelijk mogelijke uitleg!

Bedankt.

Dat is ook al een langsgekomen in de Bèta-wiskunde huiswerktopic: [Bèta wiskunde] huiswerk- en vragentopic.

_{Bron: Wikimedia Commons. Maker: Hamilton Richards.
Licentie: CC-BY-SA. Edsger Dijkstra in 2002}
Nóg een bewijs van de stelling van Pythagoras, door de Nederlandse Wiskundige en Informaticus Edsger Dijkstra. Hij is vooral bekend, nu ja, bekend – menigeen zal nooit van hem gehoord hebben, vanwege zijn werk in de informatica en zijn kortste pad algoritme: een algoritme dat je b.v. kunt gebruiken om in een applicatie als Google Maps de korste weg te vinden van A naar B. Op zich ook een elegant algoritme.

Hij was verder bekend omdat hij alles met zijn vulpen schreef. De stukjes die hij schreef worden EWD’s genoemd, en deze zijn allemaal gescand en te lezen op de universiteit waar hij lange tijd heeft gezeten: De universiteit van Austin, in Texas. In 2002 is hij in Nuenen overleden.

Dit bewijs betreft EWD 975, daarin is zijn handschrift te zien. Een HTML-versie vind je hier. Het origineel is in het Engels, maar hieronder volgt de uitwerking in het Nederlands.

Het vereist op zich alleen middelbare school kennis van wiskunde, maar is denk ik wel iets lastiger dan het vorige Pythagorasbewijs.

Stelling van Pythagoras: In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de lengte van de schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de twee andere zijden.

We beginnen met een willekeurige driehoek:



We weten dat de som van de hoeken α, β, γ 180°C is. Of, in radialen, π. We zouden de stelling van Pythagoras dus kunnen uitdrukken als:

γ = π/2 ⇒ a² + b² = c²

In woorden: Als γ een rechte hoek is, dan geldt de stelling van Pythagoras. Echter, we weten ook dat α + β + γ = π, dus als we dat invullen krijgen we:

γ = (α + β + γ) / 2 ⇔ 2γ = α + β + γ ⇔ γ = α + β

Dat is niet zo’n vreemde uitdrukking, want inderdaad als γ een rechte hoek is moet α + β ook wel 90° of π/2 zijn. We kunnen dus zeggen:

γ = α + β ⇒ a² + b² = c²

Dijkstra vraagt zich nu af ook geldt:

γ = α + β ≡ a² + b² = c²

Wat dan equivalent is aan:

γ ≠ α + β ≡ a² + b² ≠ c²

Hij merkt nu op dat als als x ≠ y dat dan geldt: x < y óf x > y. (Maar niet beide natuurlijk.) Zijn hypothese is nu dat je zelfs kunt zeggen dat:

α + β < γ ≡ a² + b² < c²
α + β > γ ≡ a² + b² > c²

Beschouw nu de variant van bovenstaande driehoek, we hebben twee punten H en K toegevoegd:



Dit is dus duidelijk een driehoek waarin geldt dat α + β < γ. Maar het bewijs is dus algemener, dit is alleen ter visualisatie. Maar in dit geval zien we dus dat de oppervlakte van ΔCKB en ΔAHC, die niet overlappen, kleiner is dan de oppervlakte van ΔABC. We duiden de oppervlakte van ΔCKB simpelweg aan met ‘CKB’ en van ΔAHC met ‘AHC’, enz., dan geldt voor de driehoek hierboven:

CKB + AHC < ABC

Het moge duidelijk zijn dat als α + β = γ dat H en K dan precies samenvallen (immers α + β = π/2 in dat geval) en dus geldt dan ook:

CKB + AHC = ABC.

En dat als α + β > γ, dat dan (merk trouwens op dat dit heel veel mogelijke plaatjes geeft in de relatieve positie van A, B, H, en K, dus daarom tekenen we die plaatjes ook niet ) geldt:

CKB + AHC > ABC.

Door nu gebruik te maken van de signum functie kunnen we heel eenvoudig schrijven:

signum(α + β - γ) = signum(CKB + AHC - ABC).

Verder valt op dat ΔABC, ΔAHC en ΔCKB gelijkvormig zijn, immers, ze hebben alle drie de hoeken α, β en γ. Omdat ze gelijkvormig zijn geldt:

CKB/a² = AHC/b² = ABC/c².

Dus de oppervlakte gedeeld door het kwadraat van de langste zijde is gelijk (*), en in het bijzonder geldt dat dit positief is. We merken daarom op:

signum(CKB + AHC - ABC) = signum(a² + b² - c²).

Dus:

signum(α + β - γ) = signum(a² + b² - c²)

Deze stelling zegt, in Dijkstra’s woorden eigenlijk ‘vier keer zoveel als de stelling van Pythagoras’.

<sub>* Over die gelijkvormigheid: Neem een driehoek met basis a en hoogte h, en neem een geschaalde driehoek met basis ca en dus hoogte ch. De oppervlakte van de eerste is 1/2·a·h, en van de tweede is 1/2·a·h·c². Hun oppervlaktes verhouden zich dus als c², wat inderdaad ook voor de kwadraten van die zijdes geldt

Plaatjes van de driehoeken zijn eigen werk.</sub>

Merk trouwens op dat Dijkstra’s bewijs nog wel wat nuttige opmerkingen op het laatst heeft, die ik niet heb overgenomen.

quote:

Op dinsdag 6 oktober 2009 01:30 schreef Dennis_enzo het volgende:
Dijkstra is een held, maar ik denk niet dat navigatie systemen het Dijkstra algoritme gebruiken Eerder een algoritme dat heuristische schattingen doet.

Klopt. Een variant van A* kunnen ze wel mogelijk eens gebruiken, bovendien kun je heel goed gebruik maken van het gegeven dat er snelwegen zijn en bepaalde ‘markers’ op een landkaart en het feit dat afstanden euclidisch zijn, en nog wat informatie, maar voor het idee.