Het betreft hier wel Mersenne-priemgetallen. Dat zijn priemgetallen van de vorm 2n-1. Zo is bijvoorbeeld 7 een Mersenne-priemgetal want 7=23-1. Wat is er nu zo bijzonder aan deze Mersenne-getallen? Wel, voor dit soort getallen, en ook getallen van aanverwante gedaanten, bestaan er hele efficiente manieren om te testen of ze priem zijn.
Helaas is het zo dat het resultaat nog niet geverifieerd is en derhalve ook nog niet bekendgemaakt is. Gok hier hoeveel cijfers het nieuwe grootste priemgetal heeft, wie er het dichtst bij zit wint.
2∞-1
quote:Je kunt geld winnen als je de eerste bent die een priemgetal van meer dan 10 miljoen cijfers ontdekt. Misschien is dat nu al iemand gelukt, we zullen het binnenkort zien.Op woensdag 6 september 2006 11:34 schreef cohen het volgende:
en wat kan je er uiteindelijk mee?
quote:Encryptie kraken enzo.Op woensdag 6 september 2006 11:34 schreef cohen het volgende:
en wat kan je er uiteindelijk mee?
230,402,457-1, is het 43e Mersenne getal en priem
quote:Ik zal wel geen verstand van wiskunde hebben, maar is het 43e Mersennegetal niet gewoon 243-1?Op woensdag 6 september 2006 12:40 schreef Oud_student het volgende:
Het gaat om het 44e Mersenne getal en het tiende getal dat priem is uit de Mersenne reeks.
230,402,457-1, is het 43e Mersenne getal en priem
quote:Mijn foutOp woensdag 6 september 2006 12:43 schreef thabit het volgende:
[..]
Ik zal wel geen verstand van wiskunde hebben, maar is het 43e Mersennegetal niet gewoon 243-1?
quote:Op woensdag 6 september 2006 12:40 schreef Oud_student het volgende:
Het gaat om het 44e Mersenne getal dat priem is.
230,402,457-1, is het 43e Mersenne getal dat priem is
quote:Dat is het oude record, niet het nieuwe.Op woensdag 6 september 2006 12:49 schreef Oud_student het volgende:
Alle cijfers van het mogelijk nieuwe priemgetal
quote:Helaas is het niet zo simpel dat je dat zo kunt doen, want neem eens bijvoorbeel 2^6-1Op woensdag 6 september 2006 12:43 schreef thabit het volgende:
[..]
Ik zal wel geen verstand van wiskunde hebben, maar is het 43e Mersennegetal niet gewoon 243-1?
Dan kom je op 63 uit, en das geen priemgetal want het is deelbaar door oa 3.
eigenlijk gaat dat ook niet, want het is bewezen dat bij 2^n-1 n ook priem moet zijn.
edit: alicey had het al gezegd zie ik
[ Bericht 34% gewijzigd door Pool op 06-09-2006 12:58:27 ]
quote:Volgens mij is dat het 14e MersennegetalOp woensdag 6 september 2006 12:43 schreef thabit het volgende:
[..]
Ik zal wel geen verstand van wiskunde hebben, maar is het 43e Mersennegetal niet gewoon 243-1?
quote:Die komen me bekend voor..Op woensdag 6 september 2006 12:49 schreef Oud_student het volgende:
Alle cijfers van het mogelijk nieuwe priemgetal
quote:Ja niet goed gelezen, wanneer wordt het getal gepubliceerd?Op woensdag 6 september 2006 12:49 schreef Oud_student het volgende:
Alle cijfers van het mogelijk nieuwe priemgetal
het oude record had ruim 9 mijoen cijfers, dus het nieuwe getal zal ruim boven de 10 miljoen cijfers uitkomen.
quote:Ik had het dan ook gewoon over Mersenne-getallen en niet over Mersenne-priemgetallen.Op woensdag 6 september 2006 12:51 schreef SwiffMeister het volgende:
[..]
Helaas is het niet zo simpel dat je dat zo kunt doen, want neem eens bijvoorbeel 2^6-1
Dan kom je op 63 uit, en das geen priemgetal want het is deelbaar door oa 3.
eigenlijk gaat dat ook niet, want het is bewezen dat bij 2^n-1 n ook priem moet zijn.
quote:Het zal waarschijnlijk ongeveer een week duren om het te controleren, het zal daarna wel gelijk gepubliceerd worden.Op woensdag 6 september 2006 12:56 schreef Oud_student het volgende:
[..]
Ja niet goed gelezen, wanneer wordt het getal gepubliceerd?
het oude record had ruim 9 mijoen cijfers, dus het nieuwe getal zal ruim boven de 10 miljoen cijfers uitkomen.
quote:Als je Mersenne-priemgetallen gebruikt bij je RSA dan zal die code inderdaad snel gekraakt worden.
quote:Dat hoeft niet perse zo te zijn, aangezien nr 42 en 41 allebei in de 7miljoen cijfers hebben. En het 40e getal heeft er ongeveer 6 en een half miljoen, terwijl het 39e er weer veel minder heeft.Op woensdag 6 september 2006 12:56 schreef Oud_student het volgende:
[..]
Ja niet goed gelezen, wanneer wordt het getal gepubliceerd?
het oude record had ruim 9 mijoen cijfers, dus het nieuwe getal zal ruim boven de 10 miljoen cijfers uitkomen.
Je kunt zeer moeilijk berekenen of raden wat en hoe groot het nieuwe getal wordt, want er zit totaal geen vorm van logica in de mersenne priemgetallen onderling, en het is dus niet zo dat je even een formule bedenkt om het nieuwe getal te berekenen.
quote:Zeer onwaarschijnlijk gezien de distributie van de voorafgaande (nu bekende) priemgetallen van Mersenne.
quote:Zoals al gezegd, RSA (een encryptiemethode) gebruikt 2 sleutels: een publieke en een privesleutel. De publieke sleutel (waarmee je data kan versleutelen) is een product van 2 heel grote priemgetallen; de privesleutel (waarmee je versleutelde data leesbaar kan maken) zijn de 2 afzonderlijke priemgetallen. De onkraakbaarheid valt of staat met de tijd die het kost om een groot product te ontbinden in factoren. Als er nou een manier wordt gevonden om heel snel heel grote priemgetallen te vinden dan wordt het ook makkelijk om een product van 2 priemgetallen te ontbinden in de 2 factoren, en dan heb je dus de privesleutel te pakken, en dan wordt RSA encryptie dus kraakbaar.Op zondag 10 september 2006 13:06 schreef whosvegas het volgende:
Waarom is de ontdekking van nieuwe priemgetallen zo belangerijk?
quote:Ook dit is niet waar, want daarvoor zijn er simpelweg veel te veel priemgetallen.Op zondag 10 september 2006 13:29 schreef Schorpioen het volgende:
[..]
Als er nou een manier wordt gevonden om heel snel heel grote priemgetallen te vinden dan wordt het ook makkelijk om een product van 2 priemgetallen te ontbinden in de 2 factoren, en dan heb je dus de privesleutel te pakken, en dan wordt RSA encryptie dus kraakbaar.
quote:Rond de 11,5 miljoen cijfers (in decimale notatie). Zie hier.Op woensdag 6 september 2006 11:32 schreef thabit het volgende:
Helaas is het zo dat het resultaat nog niet geverifieerd is en derhalve ook nog niet bekendgemaakt is. Gok hier hoeveel cijfers het nieuwe grootste priemgetal heeft, wie er het dichtst bij zit wint.
Met mijn wiskundig inzicht en mijn wiskundige know-how weet ik daar niet zo snel een antwoord op.
quote:Ja, er zijn oneindig veel priemgetallen. Een elementair bewijs daarvoor was al bekend aan de oude Grieken en is te vinden bij Euclides (ca. 300 v.C.).Op maandag 11 september 2006 13:49 schreef SwiffMeister het volgende:
Wat ik me afvraag: zouden er oneindig veel priemgetallen zijn?
Met mijn wiskundig inzicht en mijn wiskundige know-how weet ik daar niet zo snel een antwoord op.
Tegen de verwachting in heeft dit nieuwe Mersenne priemgetal nog steeds minder dan 10 miljoen cijfers, zodat de prijs die de Electronic Frontier Foundation (EFF) heeft uitgeloofd ook deze keer niet zal worden uitgekeerd.
Bron
quote:Je kunt toch prioriteiten instellen?Op dinsdag 12 september 2006 09:28 schreef mrkanarie het volgende:
ik heb dat ook een tijdje op mijn pc gehad, gebruikte alleen iets te veel cpu en om dr nu een aparte server voor te laten draaien vond ik iets te veel van het goede.
quote:ja, maar goed, toen ging het alsnog ten koste vasn de kwaliteit met gamen e.d. en toen ik mijn pc had geformateerd had ik hem er toen niet weer opnieuw opgezet.Op woensdag 13 september 2006 15:03 schreef thabit het volgende:
[..]
Je kunt toch prioriteiten instellen?
quote:Heel snel: Stel, er zijn er maar eindig veel, en p is de grootste. (Immers, dan is er een grootste). Reken dan p! uit en tel er 1 bij op. Dus s = 1*2*3*...*p + 1.Op maandag 11 september 2006 13:49 schreef SwiffMeister het volgende:
Wat ik me afvraag: zouden er oneindig veel priemgetallen zijn?
Met mijn wiskundig inzicht en mijn wiskundige know-how weet ik daar niet zo snel een antwoord op.
s is nu niet deelbaar door 2 t/m p, er blijft immers altijd rest 1 over. Dus, of s is zelf een priemgetal (maar dan is het zeker groter dan p) of het is geen priemgetal, maar dan is het dus deelbaar door een priemgetal wat groter is dan p -- hoe dan ook, p kan niet het grootste zijn, en er kan überhaupt geen grootste zijn.
quote:Waarom moet dat een priemgetal zijn?Op woensdag 13 september 2006 21:35 schreef Iblis het volgende:
[..]
Heel snel: Stel, er zijn er maar eindig veel, en p is de grootste. (Immers, dan is er een grootste). Reken dan p! uit en tel er 1 bij op. Dus s = 1*2*3*...*p + 1.
s is nu niet deelbaar door 2 t/m p, er blijft immers altijd rest 1 over. Dus, of s is zelf een priemgetal (maar dan is het zeker groter dan p) of het is geen priemgetal, maar dan is het dus deelbaar door een priemgetal wat groter is dan p -- hoe dan ook, p kan niet het grootste zijn, en er kan überhaupt geen grootste zijn.
quote:Omdat ieder getal dat niet priem is, geschreven kan worden als een product van priemgetallen.Op vrijdag 15 september 2006 20:55 schreef MaartenL het volgende:
[..]
Waarom moet dat een priemgetal zijn?
Als voorbeeld: 120 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5
quote:Op vrijdag 15 september 2006 20:55 schreef MaartenL het volgende:
[..]
Waarom moet dat een priemgetal zijn?
quote:Meer uitleg. Stel p is het grootste priemgetal, en neem s = p! + 1.Op woensdag 13 september 2006 21:35 schreef Iblis het volgende:
[..]
Heel snel: Stel, er zijn er maar eindig veel, en p is de grootste. (Immers, dan is er een grootste). Reken dan p! uit en tel er 1 bij op. Dus s = 1*2*3*...*p + 1.
s is nu niet deelbaar door 2 t/m p, er blijft immers altijd rest 1 over. Dus, of s is zelf een priemgetal (maar dan is het zeker groter dan p) of het is geen priemgetal, maar dan is het dus deelbaar door een priemgetal wat groter is dan p -- hoe dan ook, p kan niet het grootste zijn, en er kan überhaupt geen grootste zijn.
p! is het product van alle getallen 1 t/m p en is dus deelbaar door ieder getal van 2 t/m p. s is dat niet, omdat er altijd een rest 1 over blijft. Omdat s niet deelbaar is door 2 t/m p is s ofwel zelf priem, ofwel deelbaar door een priemgetal groter dan p. In dat geval is s een product van meerdere priemgetallen die allemaal groter zijn dan p, omdat immers s niet deelbaar is door de getallen 2 t/m p.
Voorbeeldjes:
p = 3, s = 3*2*1 + 1 = 7 is priem
p = 5, s = 5*4*3*2*1 + 1 = 121. Dat is geen priem maar het kwadraat van het priemgetal 11.
p = 7, s = 7*6*5*4*3*2*1 + 1 = 5041. Ook dat is geen priemgetal, maar het kwadraat van het priemgetal 71.
quote:Ja.Op vrijdag 15 september 2006 23:15 schreef MaartenL het volgende:
Ok, maar is het voor alle getallen zeker dat ze product van priemgetallen zijn?
quote:Jup, behalve 1 wellicht (want 1 is geen priemgetal). Die buiten beschouwing gelaten (dus we kijken naar getallan >1), stel je voor dat het niet voor alle getallen geldt, dan heb je een in ieder geval ook een kleinste getal waarvoor het niet geldt. Noem dit getal n. Nu is n zeker geen priemgetal, want dan zou het wel een product van alleen zichzelf zijn. Kortom, n is een samengesteld getal. We kunnen dus zeggen: n = a*b (met a en b dus ongelijk 1). Maar dat betekent dat zowel a en b kleiner zijn dan n. En n was het kleinste getal waarvoor het niet zou gelden. Voor a en b geldt dus wél dat ze als product van priemgetallen zijn te schrijven. Maar, het product van die producten geeft ook een product voor n. Ergo, de aanname dat er zo'n kleinste getal n bestaat waarvoor het niet geldt leidt ons direct tot een tegenspraak, dus die aanname moet fout zijn, dus bestaat zo'n getal n niet.Op vrijdag 15 september 2006 23:15 schreef MaartenL het volgende:
Ok, maar is het voor alle getallen zeker dat ze product van priemgetallen zijn?
quote:Worden daar getallen van miljoenen cijfer voor gebruikt dan?Op zondag 10 september 2006 13:29 schreef Schorpioen het volgende:
[..]
Zoals al gezegd, RSA (een encryptiemethode) gebruikt 2 sleutels: een publieke en een privesleutel. De publieke sleutel (waarmee je data kan versleutelen) is een product van 2 heel grote priemgetallen; de privesleutel (waarmee je versleutelde data leesbaar kan maken) zijn de 2 afzonderlijke priemgetallen. De onkraakbaarheid valt of staat met de tijd die het kost om een groot product te ontbinden in factoren. Als er nou een manier wordt gevonden om heel snel heel grote priemgetallen te vinden dan wordt het ook makkelijk om een product van 2 priemgetallen te ontbinden in de 2 factoren, en dan heb je dus de privesleutel te pakken, en dan wordt RSA encryptie dus kraakbaar.
Ik probeerde de pagina met het priemgetal te openen en het duurde me te lang voordat ik het hele getal had gedownload
quote:We hebben een winnaar!Op maandag 18 september 2006 17:19 schreef partyyboyy het volgende:
ik gok op 9.808.358 cijfers.
quote:
kom op zo moeilijk kan dat toch niet zijn?
quote:Das net zoiets als vragen wat het nut van Bier is...Op donderdag 21 september 2006 08:43 schreef jd1982 het volgende:
wat is het nut van een priemgetal? :S
quote:Toch wel. Het is eenvoudig te bewijzen dat het priem zijn van n een noodzakelijke voorwaarde is voor het priem zijn van 2n - 1, maar het priem zijn van n is geen voldoende voorwaarde voor het priem zijn van 2n - 1, en daarin schuilt nu juist de moeilijkheid. Er is geen echt patroon te ontdekken in de priemgetallen n waarvoor 2n - 1 priem is, en dus zit er met onze huidige kennis niets anders op dan voor elk priemgetal n te testen of 2n - 1 priem is. Er bestaan overigens heel efficiente methoden om te testen of een getal van de gedaante 2n - 1 priem is, en die methoden vormen de basis voor het GIMPS project.Op woensdag 20 september 2006 21:24 schreef Monocultuur het volgende:
dat er maar eens iemand effe een formule uitvindt voor die mersenne priemgetallen.
kom op zo moeilijk kan dat toch niet zijn?
Getallen van de gedaante 2n - 1 worden nu vernoemd naar Mersenne, maar het al dan niet priem zijn van deze getallen is al veel langer onderwerp van onderzoek, vanwege de relatie tussen priemgetallen van de gedaante 2n - 1 en de zogeheten volmaakte getallen. Een volmaakt getal is een natuurlijk getal waarvan de som van de echte delers (inclusief 1) gelijk is aan dat getal zelf. Zo is 6 een volmaakt getal, want 6 is deelbaar door 1,2 en 3, terwijl 6 = 1 + 2 + 3. Het eerstvolgende volmaakte getal is 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
Volmaakte getallen speelden een rol in de getallenmystiek van de Pythagoreërs, en zo werden deze getallen ook al in de Griekse oudheid onderwerp van onderzoek in de wiskunde. Het is eenvoudig aan te tonen dat een getal van de gedaante 2n-1(2n - 1) een volmaakt getal is dan en alleen dan als 2n - 1 priem is. Er bestaat dus een nauwe relatie tussen de volmaakte getallen en de priemgetallen van Mersenne, en zodoende was men ook in de oudheid al geïnteresseerd in de vraag voor welke (priem)getallen n een getal van de gedaante 2n - 1 priem is. De eerste vier waarden van n waarvoor dit het geval is zijn n = 2, 3, 5 en 7, en daarmee waren ook de eerste vier volmaakte getallen 6, 28, 496 en 8128 bekend. Het eerstvolgende priemgetal n=11 levert echter geen volmaakt getal op, want 211 - 1 = 2047 = 23 x 89 en dus niet priem. De vraag waaraan n precies moet voldoen wil 2n - 1 priem zijn wordt dus al meer dan 2000 jaar gesteld, maar een antwoord op deze vraag is niet in zicht.
quote:Lees het fantatische en zeer toegankelijke boek "The music of the primes - why an unsolved problem in mathematics matters" van Marcus du Sautoy. Je kunt ook zijn website bezoeken op: http://www.musicoftheprimes.com/Op donderdag 21 september 2006 08:43 schreef jd1982 het volgende:
wat is het nut van een priemgetal? :S
Enige voorbeelden van het nut van priemgetallen:
1. Ze zijn de "moleculen" van alle andere niet-priem getallen.
2. Zonder priemgetallen zou de RSA security methodiek niet bestaan en werd efficient handelen op Internet onmogelijk.
3. Er zijn links gevonden tussen priemgetallen and de quantumfysica (o.a. via Freeman Dyson).
4. Ze beïnvloeden belangrijke beslissingen van mensen. Zo hoorde ik onlangs dat uit onderzoek is gebleken dat zowel officieren van justitie (straf eis) en de rechters (opgelegde straf) alle priemgetallen boven de 10 vermijden. Er wordt dus wel 15 jaar geëist en gegeven maar uiterst zelden 11, 13, 17 of 19 jaar. Priemgetallen zitten dieper in ons dan we denken...
Ik ben al jaren gefascineerd door priemgetallen en heb vele, (creatieve) pogingen ondernomen om een patroon te ontdekken. Tot zover nog niet gelukt en het lijkt er steeds meer op dat "primes indeed grow like weed between the composites". We kunnen het aantal priemgetallen onder een bepaald getal n al zeer nauwkeurig voorspellen (als de Riemann hypothese tenminste ooit bewezen wordt). Zodra we echter inzoomen op een enkel getal en proberen om de volgende priem te voorspellen dan neemt de kans op succes drastisch af. Het begint steeds meer te lijken op een nieuwe "onzekerheidsrelatie"...
Toch blijf ik hopen op een totaal andere benadering om het probleem te kraken (bijv. gebaseerd op heel nieuw stelsel van axioma's, kwalitatief, een toevallig bijproduct van abstracte wiskunde, een fractal die de priem "golf" oplevert, etc.).
Sta open voor ideeën !
quote:Ja, maar dan moet je wel gebruik maken van gewone logarithmen (met grondtal 10) en niet van natuurlijke logaritmen als je het aantal cijfers van een groot getal in decimale notatie wilt bepalen. Een voorbeeld: de log van een getal tussen 1000 en 10000 (4 cijfers) ligt tussen 3 en 4, dus het gedeelte vóór de komma, vermeerderd met 1 geeft het aantal cijfers.Op maandag 25 september 2006 19:22 schreef teletubbies het volgende:
het aantal cijfers is toch met ln(getal) te bepalen? of iets in de buurt..:D
Stel nu dat we willen weten uit hoeveel cijfers het laatst gevonden priemgetal van Mersenne 232582657 - 1 bestaat. We kunnen gebruik maken van het feit dat 2n geen macht van 10 is, zodat het getal 2n - 1 evenveel cijfers heeft als het getal 2n. Om het aantal cijfers van het getal N = 232582657 te bepalen nemen we de logarithme. We vinden dan (met behulp van de calculator in Windows):
log(N) = log(232582657) = 32582657 * log(2) =
32582657 * 0.30102999566398119521373889472449... =
9808357.0954309865380992960943673...
Het getal N, en dus ook 232582657 - 1, bestaat derhalve uit 9808358 cijfers, zoals ook wordt gemeld op de site van het GIMPS project. Het bestand met daarin het nieuw gevonden priemgetal is overigens 9808360 bytes groot, omdat er aan het einde van het bestand nog 2 bytes zijn toegevoegd, nl. een CR (carriage return, ASCII 0D hex) en een LF (line feed, ASCII 0A hex).
quote:Het is maar wat je lucratief noemt. Een persoon die anoniem wenst te blijven heeft (al jaren geleden) een aantal geldprijzen uitgeloofd. Dit geld is in bewaring gegeven aan de Electronic Frontier Foundation, die het prijzengeld ook zal uitkeren, zie hier.Op maandag 25 september 2006 21:31 schreef Zwansen het volgende:
Volgens mij is dat toch vrij lucratief? Volgens mij hoorde ik iemand laatst nog over een beloning van 100.000 euro spreken. :
De kans dat jij met je PC-tje door deelname aan het GIMPS project een nieuw priemgetal (met meer dan 10 miljoen cijfers) zult vinden en dus die 100.000 dollar (niet euro) zult kunnen incasseren is echter uitermate klein, temeer omdat er een aantal grote instituten deelnemen die dag en nacht een groot aantal PCs laten rekenen. Als het je om het geld te doen is kun je beter een lot kopen in een loterij.
Mijn vermoeden is dat alle "twin primes" evenredig rondom een kwadraat gedistribueerd zijn. Neem bijvoorbeeld:
* 5,7 en 11,13 (kwadraat van 3, afstand 2)
* 29,31 en 41,43 (kwadraat van 6, afstand 5)
* 59,61 en 101,103 (kwadraat van 9, afstand 20)
* 17,19 en 269, 271 (kwadraat 12, afstand 125)
Ik heb dit in Excel empirisch getest (enkel voor kwadraten deelbaar door 3) tot ca het 5000ste priemgetal en het blijkt te kloppen.
Paar opmerkingen:
* Er kunnen meerdere "twin prime" ringen voorkomen rondom elk kwadraat.
* Opvallend is de deelbaarheid door 3 van het kwadraat.
* Daarna natuurlijk gepoogd om te testen of deze distributie wellicht gewoon voor alle priemgetallen geldt en dat blijkt ook te kloppen.
* Ook gekeken of er wellicht een verband zit in de afstanden tot het kwadraat, maar na vele avonden proberen zie ik enkel willekeurige patronen.
Mijn vraag is of hier een logische verklaring voor is. Als het klopt dan zou elk priemgetal aan een "maatje" gekoppeld zijn dat, zich op gelijke afstand aan de andere kant van een kwadraat bevindt. Je weet natuurlijk niet aan welk kwadraat(-en) hij gekoppeld is, maar de kans om een nieuwe priem te vinden kan je wellicht zo vergroten.
Je kunt dit mooi laten zien door cirkels rondom het kwadraat te plotten. Heb zelfs gepoogd om de snijpunten van deze cirkels te berekenen in de hoop dat dit een nieuw priemgetal zou opleveren, maar ben vastgelopen in de benodigde wiskunde.
Wie heeft er een wiskundige verklaring ?
quote:Het lijkt me niet dat dit eeuwig zo doorgaat. Er zijn onder de kleine getallen redelijk wat priemtweelingen en heel veel kwadraten, dus dat dit door een toeval gebeurt is niet heel onwaarschijnlijk.Op maandag 25 september 2006 22:53 schreef Agno_Sticus het volgende:
Bij het verkennen van de zogenaamde "twin primes", priemgetallen die slechts 2 van elkaar veschillen zoals 17,19 of 41,43, vond ik een opvallend verband. Wellicht is er een hele logische verklaring voor, maar mijn wiskundige kennis is te beperkt om dit volledig te doorgronden.
Mijn vermoeden is dat alle "twin primes" evenredig rondom een kwadraat gedistribueerd zijn. Neem bijvoorbeeld:
* 5,7 en 11,13 (kwadraat van 3, afstand 2)
* 29,31 en 41,43 (kwadraat van 6, afstand 5)
* 59,61 en 101,103 (kwadraat van 9, afstand 20)
* 17,19 en 269, 271 (kwadraat 12, afstand 125)
Ik heb dit in Excel empirisch getest (enkel voor kwadraten deelbaar door 3) tot ca het 5000ste priemgetal en het blijkt te kloppen.
Paar opmerkingen:
* Er kunnen meerdere "twin prime" ringen voorkomen rondom elk kwadraat.
* Opvallend is de deelbaarheid door 3 van het kwadraat.
* Daarna natuurlijk gepoogd om te testen of deze distributie wellicht gewoon voor alle priemgetallen geldt en dat blijkt ook te kloppen.
* Ook gekeken of er wellicht een verband zit in de afstanden tot het kwadraat, maar na vele avonden proberen zie ik enkel willekeurige patronen.
Mijn vraag is of hier een logische verklaring voor is. Als het klopt dan zou elk priemgetal aan een "maatje" gekoppeld zijn dat, zich op gelijke afstand aan de andere kant van een kwadraat bevindt. Je weet natuurlijk niet aan welk kwadraat(-en) hij gekoppeld is, maar de kans om een nieuwe priem te vinden kan je wellicht zo vergroten.
Je kunt dit mooi laten zien door cirkels rondom het kwadraat te plotten. Heb zelfs gepoogd om de snijpunten van deze cirkels te berekenen in de hoop dat dit een nieuw priemgetal zou opleveren, maar ben vastgelopen in de benodigde wiskunde.
Wie heeft er een wiskundige verklaring ?
Dat de kwadraten deelbaar zijn door 3 is wel eenvoudig te verklaren.
Stel X is het kwadraat en de priemtweelingen zijn X-k, X-k-2 en X+k, X+k+2
Een kwadraat X dat geen veelvoud van 3 is, is 1 modulo 3. Als X+k priem is, dan is k niet 2 modulo 3. En omdat k+2 ook priem is, is k+2 niet 2 modulo 3. Dus k is 1 modulo 3. Maar dan is X-k deelbaar door 3 en dus geen priemgetal, behalve als het zelf gelijk is aan 3, maar 3 is niet het grootste lid van een priemtweeling.
quote:Ik denk niet dat je iets bijzonders op het spoor bent. Zoals thabit hierboven al bewijst moet het kwadraat een drievoud zijn, dus dat is niet opmerkelijk. Uit het feit dat je geen patroon ziet in de afstanden tot het kwadraat blijkt dat je geen wetmatigheid hebt ontdekt. Je zou je hypothese verder kunnen testen door een eenvoudig computerprogramma te schrijven dat voor elk kwadraat van een drievoud op zoek gaat naar twee stel twin primes op gelijke afstanden en het programma laat stoppen zodra er een kwadraat van een drievoud is waarbij er geen twee stel twin primes op gelijke afstanden zijn. Is op zich een leuke programmeeropdracht lijkt me.Op maandag 25 september 2006 22:53 schreef Agno_Sticus het volgende:
Bij het verkennen van de zogenaamde "twin primes", priemgetallen die slechts 2 van elkaar veschillen zoals 17,19 of 41,43, vond ik een opvallend verband. Wellicht is er een hele logische verklaring voor, maar mijn wiskundige kennis is te beperkt om dit volledig te doorgronden.
Mijn vermoeden is dat alle "twin primes" evenredig rondom een kwadraat gedistribueerd zijn. Neem bijvoorbeeld:
* 5,7 en 11,13 (kwadraat van 3, afstand 2)
* 29,31 en 41,43 (kwadraat van 6, afstand 5)
* 59,61 en 101,103 (kwadraat van 9, afstand 20)
* 17,19 en 269, 271 (kwadraat 12, afstand 125)
Ik heb dit in Excel empirisch getest (enkel voor kwadraten deelbaar door 3) tot ca het 5000ste priemgetal en het blijkt te kloppen.
Paar opmerkingen:
* Er kunnen meerdere "twin prime" ringen voorkomen rondom elk kwadraat.
* Opvallend is de deelbaarheid door 3 van het kwadraat.
* Daarna natuurlijk gepoogd om te testen of deze distributie wellicht gewoon voor alle priemgetallen geldt en dat blijkt ook te kloppen.
* Ook gekeken of er wellicht een verband zit in de afstanden tot het kwadraat, maar na vele avonden proberen zie ik enkel willekeurige patronen.
quote:Dank voor jullie reactie, Riparius en Thabit.Op maandag 25 september 2006 23:46 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ik denk niet dat je iets bijzonders op het spoor bent. Zoals thabit hierboven al bewijst moet het kwadraat een drievoud zijn, dus dat is niet opmerkelijk. Uit het feit dat je geen patroon ziet in de afstanden tot het kwadraat blijkt dat je geen wetmatigheid hebt ontdekt. Je zou je hypothese verder kunnen testen door een eenvoudig computerprogramma te schrijven dat voor elk kwadraat van een drievoud op zoek gaat naar twee stel twin primes op gelijke afstanden en het programma laat stoppen zodra er een kwadraat van een drievoud is waarbij er geen twee stel twin primes op gelijke afstanden zijn. Is op zich een leuke programmeeropdracht lijkt me.
Inderdaad een hele leuke programmeeropdracht!
Wie vindt er het eerste kwadraat van een drievoud, waar op gelijke afstanden geen twee sets van "twin primes" omheen liggen? Volgende test is om hetzelfde uit te voeren, maar dan met gewone priemgetallen.
P.S.
De reden waarom ik niet in hogere getallen gezocht heb is omdat ik in mijn "spelen met priemgetallen".xls spreadsheet geen priemalgoritme heb geprogrammeerd, maar voor de snelheid van VBA simpelweg de eerste 10000 priemgetallen in twee begrensde arrays heb opgeslagen: eentje in de vorm P(priem) = 1 en eentje als P (n) = n-e priemgetal.
[ Bericht 1% gewijzigd door Agno_Sticus op 26-09-2006 11:47:43 ]
quote:Ik heb de daad maar even bij het woord gevoegd en zelf een programma geschreven om de dichtstbijzijnde priemtweelingen op gelijke afstanden van kwadraten op te sporen. Geen hoogstandje van programmeerkunst, maar het doet wat het moet doen, en snel.Op dinsdag 26 september 2006 00:09 schreef Agno_Sticus het volgende:
[..]
Dank voor jullie reactie, Riparius en Thabit.
Inderdaad een hele leuke programmeeropdracht!
quote:Met mijn programma heb ik alle kwadraten van een drievoud tot aan 1 miljard (!) getest, en het blijkt dat er steeds twee priemtweelingen op gelijke afstanden te vinden zijn.Wie vindt er het eerste kwadraat van een drievoud, waar op gelijke afstanden geen twee sets van "twin primes" omheen liggen? Volgende test is om hetzelfde uit te voeren, maar dan met gewone priemgetallen.
Sterker nog, bij grote getallen zijn er steeds al twee priemtweelingen op relatief geringe afstand, zodat het er niet naar uitziet dat er een kwadraat van een drievoud bestaat waarbij je geen twee priemtweelingen op gelijke afstand zou kunnen vinden. Eenvoudig gezegd komt het er op neer dat priemtweelingen kennelijk zo dicht gezaaid zijn dat er altijd wel een tweetal op gelijke afstand ligt van een kwadraat.
Enkele resultaten:
De grootste afstand die ik heb gevonden (bij de kwadraten tot 1 miljard) is deze (kwadraat van 26646):
710009316: Twins (709837241,709837243) en (710181389,710181391) Afstand: 172073
We zien hier dat de afstand nog steeds heel gering is in verhouding tot de grootte van het kwadraat zelf, nl. ca. 1/4126.
Verder komen er ook bij zeer grote kwadraten nog steeds priemtweelingen op heel kleine afstanden voor, bijvoorbeeld:
640798596: Twins (640798589,640798591) en (640798601,640798603) Afstand: 5
680114241: Twins (680114231,680114233) en (680114249,680114251) Afstand: 8
quote:Tja, een spreadsheet en VBA zijn nu niet direct de aangewezen hulpmiddelen om onderzoek te doen naar (grote) priemgetallen. Ik heb mijn programma geschreven in Borland Pascal, in DOS. Die compiler is inmiddels rijp voor het museum, maar nog steeds onovertroffen voor klusjes als dit (je kon er zelfs 20 jaar geleden op een 8-bits XT al eenvoudig programma's mee schrijven die met 64-bits integers om konden gaan). Als je serieus onderzoek wil gaan doen naar (grote) priemgetallen dan kom je er - naast een solide wiskundekennis natuurlijk - nauwelijks om heen om te leren programmeren in een 'echte' programmeertaal. Als je dat niet wilt of niet kunt, dan zou je eens moeten kijken naar programma's als Maple, Mathematica of Matlab.P.S.
De reden waarom ik niet in hogere getallen gezocht heb is omdat ik in mijn "spelen met priemgetallen".xls spreadsheet geen priemalgoritme heb geprogrammeerd, maar voor de snelheid van VBA simpelweg de eerste 10000 priemgetallen in twee begrensde arrays heb opgeslagen: eentje in de vorm P(priem) = 1 en eentje als P (n) = n-e priemgetal.
Ja, en voor iedereen die nu nieuwsgierig is geworden naar mijn programmaatje, dat kun je hier downloaden, inclusief broncode en een door het programma gegenereerde lijst van priemtweelingen op gelijke afstanden van kwadraten van drievouden tot 1 miljard. Het is, zoals gezegd, een DOS programma, maar het loopt ook gewoon onder XP.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 26-09-2006 18:52:35 ]
quote:Formuleer eens wat preciezer wat je bedoelt met "voldoen experimenteel aan het criterium".Op dinsdag 26 september 2006 19:31 schreef thabit het volgende:
Test het nu eens met gewone getallen ipv kwadraten. Welke daarvan voldoen experimenteel aan het criterium?
quote:Indrukwekkend Riparius. Zeker de snelheid van zowel algoritme als het programmeren ervan.Op dinsdag 26 september 2006 18:34 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ik heb de daad maar even bij het woord gevoegd en zelf een programma geschreven om de dichtstbijzijnde priemtweelingen op gelijke afstanden van kwadraten op te sporen. Geen hoogstandje van programmeerkunst, maar het doet wat het moet doen, en snel.
[..]
Met mijn programma heb ik alle kwadraten van een drievoud tot aan 1 miljard (!) getest, en het blijkt dat er steeds twee priemtweelingen op gelijke afstanden te vinden zijn.
Sterker nog, bij grote getallen zijn er steeds al twee priemtweelingen op relatief geringe afstand, zodat het er niet naar uitziet dat er een kwadraat van een drievoud bestaat waarbij je geen twee priemtweelingen op gelijke afstand zou kunnen vinden. Eenvoudig gezegd komt het er op neer dat priemtweelingen kennelijk zo dicht gezaaid zijn dat er altijd wel een tweetal op gelijke afstand ligt van een kwadraat.
Enkele resultaten:
De grootste afstand die ik heb gevonden (bij de kwadraten tot 1 miljard) is deze (kwadraat van 26646):
710009316: Twins (709837241,709837243) en (710181389,710181391) Afstand: 172073
We zien hier dat de afstand nog steeds heel gering is in verhouding tot de grootte van het kwadraat zelf, nl. ca. 1/4126.
Verder komen er ook bij zeer grote kwadraten nog steeds priemtweelingen op heel kleine afstanden voor, bijvoorbeeld:
640798596: Twins (640798589,640798591) en (640798601,640798603) Afstand: 5
680114241: Twins (680114231,680114233) en (680114249,680114251) Afstand: 8
[..]
Tja, een spreadsheet en VBA zijn nu niet direct de aangewezen hulpmiddelen om onderzoek te doen naar (grote) priemgetallen. Ik heb mijn programma geschreven in Borland Pascal, in DOS. Die compiler is inmiddels rijp voor het museum, maar nog steeds onovertroffen voor klusjes als dit (je kon er zelfs 20 jaar geleden op een 8-bits XT al eenvoudig programma's mee schrijven die met 64-bits integers om konden gaan). Als je serieus onderzoek wil gaan doen naar (grote) priemgetallen dan kom je er - naast een solide wiskundekennis natuurlijk - nauwelijks om heen om te leren programmeren in een 'echte' programmeertaal. Als je dat niet wilt of niet kunt, dan zou je eens moeten kijken naar programma's als Maple, Mathematica of Matlab.
Ja, en voor iedereen die nu nieuwsgierig is geworden naar mijn programmaatje, dat kun je hier downloaden, inclusief broncode en een door het programma gegenereerde lijst van priemtweelingen op gelijke afstanden van kwadraten van drievouden tot 1 miljard. Het is, zoals gezegd, een DOS programma, maar het loopt ook gewoon onder XP.
Nou nog een verband in de afstanden vinden... Ik heb zitten denken aan ketens van tweelingpriemgetallen. Uit mijn eerste grafische plots bleek namelijk dat tweelingen vaak zowel de "bovenkant" als de "onderkant" van lagere/hogere kwadraten zijn. Wellicht begint daar het patroon. Het viel me bijvoorbeeld op dat het paar 17,19 pas "opgepikt" wordt door het kwadraat van 12. Dat zou dan bijv. het begin van een nieuwe tweeling-keten moeten zijn.
Dan heb ik nog een hypothese (die je waarschijnlijk eenvoudig kan testen door jouw programma iets te wijzigen):
De kwadraten van alle gehele getallen > 1 zijn omringd door minstens 1 equidistant priemgetallenpaar.
Ben heel erg benieuwd !
P.S.
Heb vanavond ff getest voor de range 2 - 10000 (dus het kwadraat tot 100.000.000) en tot daar klopt het!
[ Bericht 1% gewijzigd door Agno_Sticus op 27-09-2006 00:00:35 ]
quote:Lees je eigen quote nog eens goed door ...Op dinsdag 26 september 2006 22:26 schreef Agno_Sticus het volgende:
[..]
Indrukwekkend Thabit. Zeker de snelheid van zowel algoritme als het programmeren ervan.
quote:Ik begrijp niet precies wat je hier bedoelt. Dat moet je toch eens beter proberen uit te leggen.Nou nog een verband in de afstanden vinden... Ik heb zitten denken aan ketens van tweelingpriemgetallen. Uit mijn eerste grafische plots bleek namelijk dat tweelingen vaak zowel de "bovenkant" als de "onderkant" van lagere/hogere kwadraten zijn. Wellicht begint daar het patroon. Het viel me bijvoorbeeld op dat het paar 17,19 pas "opgepikt" wordt door het kwadraat van 12. Dat zou dan bijv. het begin van een nieuwe tweeling-keten moeten zijn.
quote:Nee. Deze hypothese is heel gemakkelijk te weerleggen.Thabit heeft dat in feite al gedaan, maar ik zal het nog een keer eenvoudig proberen uit te leggen.Dan heb ik nog een hypothese (die je waarschijnlijk eenvoudig kan testen door jouw programma iets te wijzigen):
De kwadraten van alle gehele getallen > 1 zijn omringd door minstens 1 equidistant priemgetallenpaar.
Stel we hebben een getal N en hierbij een equidistant paar priemtweelingen op een afstand k. Dan hebben we dus de priemtweelingen (N-k-2, N-k) en (N+k, N+k+2).
Stel nu dat N geen drievoud is, dan is de rest bij deling van N door 3 gelijk aan 1 of gelijk aan 2. We bekijken nu eerst de situatie dat de rest bij deling van N door 3 gelijk is aan 1.
In dit geval mag de rest van k bij deling door 3 niet gelijk zijn aan 2, want dan zou N+k een drievoud zijn (de som van de resten 1+2 =3), en dus zou N+k niet priem zijn. Maar de rest van k bij deling door mag ook niet gelijk zijn aan 1, want in dat geval zou N-k een drievoud zijn (het verschil van de resten is 1-1 = 0), en dus zou N-k niet priem zijn. Blijft dus alleen de mogelijkheid over dat k een drievoud is, maar dan is N+k+2 = (N+2) + k de som van twee drievouden, en daarmee zelf ook een drievoud, en dus niet priem. Conclusie: er is geen enkele mogelijkheid dat (N-k-2, N-k) en (N+k, N+k+2) twee priemtweelingen zijn als de rest bij deling van N door 3 gelijk is aan 1.
Bekijken we nu de situatie dat de rest bij deling van N door 3 gelijk is aan 2. In dit geval mag de rest bij deling van k door 3 niet gelijk zijn aan 1, want dan zou N+k een drievoud zijn (som van de resten 2+1 = 3) en dus zou N+k niet priem zijn. Maar de rest bij deling van k door 3 mag ook niet gelijk zijn aan 2, want dan zou N-k weer een drievoud zijn (verschil van de resten 2-2 = 0) en dus zou N-k niet priem zijn. Blijft over de mogelijkheid dat k een drievoud is, maar dan is N-k-2 = (N-2) - k het verschil van twee drievouden, en daarmee zelf ook een drievoud, en dus niet priem. Conclusie: er is geen enkele mogelijkheid dat (N-k-2, N-k) en (N+k, N+k+2) twee priemtweelingen zijn als de rest bij deling van N door 3 gelijk is aan 2.
Uit het voorafgaande volgt dat (N-k-2, N-k) en (N+k, N+k+2) uitsluitend twee equidistante priemtweelingen kunnen zijn als N een drievoud is, en daarmee is je hypothese weerlegd.
We hoeven dus alleen bij drievouden op zoek te gaan naar equidistante priemtweelingen. Het is meteen duidelijk dat er voor N=3 en N=6 geen equidistant paar priemtweelingen is, want de kleinste priemtweeling is (3,5) terwijl (7,9) geen priemtweeling is. Voor N=9 hebben we wel een equidistant paar priemtweelingen, namelijk (5,7) en (11,13).
De vraag rijst nu of er voor alle grotere drievouden ook een equidistant
paar priemtweelingen is. Om dit te onderzoeken heb ik mijn programma aangepast om niet slechts alle kwadraten van een drievoud maar alle drievouden zelf te testen en dit levert een zeer verrassend resultaat op.
Het blijkt dat er voor N = 48, 198, 201, 258, 348, 393, 453, 558, 573, 633, 678, 1623 en 2103 geen equidistant paar priemtweelingen is, maar ... dan lijkt het op te houden! Ik heb inmiddels alle drievouden tot 1 miljoen (!) getest, echter zonder nog een verder drievoud te vinden waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is.
De grote vraag is nu: is er een drievoud groter dan 2103 waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is?
Mijn programma is in staat veel grotere drievouden dan 999999 te testen, alleen gaat dit erg lang duren, vandaar dat ik dit niet heb gedaan. Het programma werkt met 32-bits signed integers, en kan dus overweg met getallen tot 231 - 1 = 2147483647 (overigens een priemgetal van Mersenne!).
Om de snelheid van het programma nog wat te verhogen heb ik het algoritme waarmee het priem zijn van een getal wordt getest verbeterd. In eerste instantie testte ik gewoon op deelbaarheid door alle oneven getallen tot aan de vierkantswortel van het te testen getal, maar dat is niet echt efficient. Als een getal bijvoorbeeld niet deelbaar is door 3, dan hoef je niet meer te testen of het misschien deelbaar is door 9. Het is voldoende om te testen op deelbaarheid door priemfactoren. Om dit te realiseren bouwt het programma nu eerst een interne tabel op met alle priemgetallen tot 105. Aangezien je niet verder hoeft te gaan dan de vierkantswortel uit het getal in kwestie is deze lijst voldoende om getallen tot 1010 op priem zijn te testen.
quote:Ik zou zeggen download hier de nieuwe versie van mijn programma, inclusief een lijst met de dichtstbijzijnde equidistante paren priemtweelingen voor alle drievouden tot 1 miljoen.Ben heel erg benieuwd !
[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 27-09-2006 02:30:08 ]
quote:Welke getallen (dus niet alleen kwadraten) liggen op gelijke afstand van priemtweelingen?Op dinsdag 26 september 2006 19:46 schreef Riparius het volgende:
[..]
Formuleer eens wat preciezer wat je bedoelt met "voldoen experimenteel aan het criterium".
quote:In 't ziekenfondsOp woensdag 27 september 2006 09:06 schreef LocoLatino het volgende:
Ik heb de grootste bekende lul , waar is mijn geld ?
quote:Ik had deze kapitale fout gisteravond al gezien en reeds gecorrigeerd ! Mea Culpa. Ere wie Ere toekomt.Op woensdag 27 september 2006 02:24 schreef Riparius het volgende:
[..]
Lees je eigen quote nog eens goed door ...
[..]
quote:
Ik begrijp niet precies wat je hier bedoelt. Dat moet je toch eens beter proberen uit te leggen.
[..]
Wat ik bedoel is dat het bovenste equidistante tweelingenpaar van een kwadraat ook weer de onderste van een hoger kwadraat kan zijn (met wellicht een andere afstand). Bij 17,19 is dit niet het geval omdat er geen kwadraat met equidistante tweelingpriemgetallen onder ligt.Mijn vermoeden is dat je dan via kwadraat 144 van 17,19 (start) naar 269, 271 kan springen en dan via een hoger kwadraat naar het volgende equidistante paar (zit op m'n werk dus kon de volgende zo gauw niet berekenen). Op deze wijze vorm je een keten.
quote:Dat was me reeds volkomen duidelijk, maar dank voor de opnieuw heldere uitleg. Ik denk dat je echter teveel in de tweelingen zat en daardoor mijn hypothese met deze bril geïnterpreteerd hebt. Mijn stelling is dat het alle kwadraten > 1 minstens één set van equidistante priemgetallen (dus enkele) om zich heen hebben. Ik had het woord "paar" niet moeten gebruiken...
Nee. Deze hypothese is heel gemakkelijk te weerleggen.Thabit heeft dat in feite al gedaan, maar ik zal het nog een keer eenvoudig proberen uit te leggen.
quote:Zeer verrassend resultaat!(...)
De vraag rijst nu of er voor alle grotere drievouden ook een equidistant
paar priemtweelingen is. Om dit te onderzoeken heb ik mijn programma aangepast om niet slechts alle kwadraten van een drievoud maar alle drievouden zelf te testen en dit levert een zeer verrassend resultaat op.
Het blijkt dat er voor N = 48, 198, 201, 258, 348, 393, 453, 558, 573, 633, 678, 1623 en 2103 geen equidistant paar priemtweelingen is, maar ... dan lijkt het op te houden! Ik heb inmiddels alle drievouden tot 1 miljoen (!) getest, echter zonder nog een verder drievoud te vinden waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is.
De grote vraag is nu: is er een drievoud groter dan 2103 waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is?
Mijn programma is in staat veel grotere drievouden dan 999999 te testen, alleen gaat dit erg lang duren, vandaar dat ik dit niet heb gedaan. Het programma werkt met 32-bits signed integers, en kan dus overweg met getallen tot 231 - 1 = 2147483647 (overigens een priemgetal van Mersenne!).
Om de snelheid van het programma nog wat te verhogen heb ik het algoritme waarmee het priem zijn van een getal wordt getest verbeterd. In eerste instantie testte ik gewoon op deelbaarheid door alle oneven getallen tot aan de vierkantswortel van het te testen getal, maar dat is niet echt efficient. Als een getal bijvoorbeeld niet deelbaar is door 3, dan hoef je niet meer te testen of het misschien deelbaar is door 9. Het is voldoende om te testen op deelbaarheid door priemfactoren. Om dit te realiseren bouwt het programma nu eerst een interne tabel op met alle priemgetallen tot 105. Aangezien je niet verder hoeft te gaan dan de vierkantswortel uit het getal in kwestie is deze lijst voldoende om getallen tot 1010 op priem zijn te testen.
[..]
Nu je een historisch bestand opbouwt van priemgetallen ben ik heel benieuwd naar de volgende hypothese:Alle tweelingpriemgetallen zijn equidistant tov kwadraten van veelvouden van drie. Maw er bestaan geen tweelingpriemgetallen die niet aan deze voorwaarde voldoen. Als je jouw programma zou runnen dan zouden er gezien de relatief geringen afstanden die je meet, dus geen "widow twins" mogen overblijven onder zeg 99% van het hoogste kwadraat dat je berekend hebt.
quote:Leuk! Ga ik vanavond meteen doen.Ik zou zeggen download hier de nieuwe versie van mijn programma, inclusief een lijst met de dichtstbijzijnde equidistante paren priemtweelingen voor alle drievouden tot 1 miljoen.
[ Bericht 1% gewijzigd door Agno_Sticus op 27-09-2006 17:17:33 ]
Het is duidelijk dat het getal tussen de leden van een priemtweeling een 6-voud moet zijn, behalve voor de tweeling 3,5. De vraag is nu, stel we hebben een 6-voud, wat is dan de kans dat deze temidden van een priemtweeling zit? Grofweg kun je stellen dat de kans dat een gegeven getal n priem is ongeveer 1/log(n) is, log hier met grondtal e. Als n nu een zesvoud is, dan kun je grofweg stellen dat de kans dat beide getallen eromheen priem zijn 1/log(n)2 is. Dat al gegeven is dat n een zesvoud is en dat de twee getallen op afstand 2 van elkaar zitten heeft wel invloed op de kans, maar het is zeer aannemelijk dat deze invloed slechts een constante factor is: dus C/log(n)2, waarbij C een of andere constante is. Op grond hiervan kun je wel heuristieken opstellen over als een getal gegeven is, tussen ongeveer hoeveel paren priemtweelingen hij dan in het midden zit.
quote:Ok. Nu begrijp ik het beter.Op woensdag 27 september 2006 14:32 schreef Agno_Sticus het volgende:
Wat ik bedoel is dat het bovenste equidistante tweelingenpaar van een kwadraat ook weer de onderste van een hoger kwadraat kan zijn (met wellicht een andere afstand). Bij 17,19 is dit niet het geval omdat er geen kwadraat met equidistante tweelingpriemgetallen onder ligt.Mijn vermoeden is dat je dan via kwadraat 144 van 17,19 (start) naar 269, 271 kan springen en dan via een hoger kwadraat naar het volgende equidistante paar (zit op m'n werk dus kon de volgende zo gauw niet berekenen). Op deze wijze vorm je een keten.
[..]
quote:Ah, ik begrijp het misverstand nu. Maar je had het steeds over priemtweelingen gehad, en het woord 'paar' maakte de verwarring compleet.Dat was me reeds volkomen duidelijk, maar dank voor de opnieuw heldere uitleg. Ik denk dat je echter teveel in de tweelingen zat en daardoor mijn hypothese met deze bril geïnterpreteerd hebt. Mijn stelling is dat het alle kwadraten > 1 minstens één set van equidistante priemgetallen (dus enkele) om zich heen hebben. Ik had het woord "paar" niet moeten gebruiken...
[..]
quote:In deze formulering is je hypothese niet juist, het is namelijk eenvoudig te bewijzen dat de priemtweeling (3,5) geen equidistant paar kan vormen met een andere priemtweeling t.o.v. een kwadraat van een drievoud.Zeer verrassend resultaat!
Alle tweelingpriemgetallen zijn equidistant tov kwadraten van veelvouden van drie. Maw er bestaan geen tweelingpriemgetallen die niet aan deze voorwaarde voldoen. Als je jouw programma zou runnen dan zouden er gezien de relatief geringen afstanden die je meet, dus geen "widow twins" mogen overblijven onder zeg 99% van het hoogste kwadraat dat je berekend hebt.
[..]
Stel we hebben een drievoud 3n, dan is het kwadraat van dit drievoud (3n)2 = 9n2. De afstand van dit kwadraat tot de priemtweeling (3,5) bedraagt (9n2 -5). De equidistante priemtweeling aan de andere zijde zou dan als eerste lid het getal 9n2 + (9n2 - 5) = 18n2 - 5 moeten hebben. Maar (18n2 -5, 18n2 - 3) kan geen priemtweeling zijn aangezien het tweede getal van dit paar een drievoud is. Ergo, er bestaat geen priemtweeling die een equidistant paar vormt met (3,5) t.o.v. een kwadraat van een drievoud. Hetzelfde geldt trouwens voor alle drievouden, zoals eenvoudig is in te zien.
Maar goed, als we de 'orphan twins' (3,5) buiten beschouwing laten dan heb je een interessante hypothese. Om deze te testen met een computerprogramma zou je de omgekeerde benadering moeten gebruiken, dus niet uitgaan van kwadraten van drievouden, maar uitgaan van de priemtweelingen en daarbij steeds testen of er een kwadraat van een drievoud is waarbij er een equidistante priemtweeling is aan de andere zijde van dit kwadraat.
quote:Voorlopig wil ik nog even verder kijken of er misschien meer drievouden zijn waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is, want ik vind de distributie van de drievouden waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is toch wel uiterst merkwaardig. Zo merkwaardig dat ik me al heb afgevraagd of er misschien een bug in mijn programma zit, maar dat lijkt toch niet het geval. Ik heb ook al op het net gezocht of er misschien al onderzoek is gedaan naar equidistante paren priemtweelingen, maar ik heb tot nu toe niets kunnen vinden.Leuk! Ga ik vanavond meteen doen.
Om ook grotere drievouden binnen een redelijke tijd te kunnen onderzoeken wil ik eerst de efficiency van mijn programma verbeteren, want het programma voert nu nog veel onnodige priemtests uit.
Als we een getal N hebben met op een afstand k aan weerszijde twee priemtweelingen, dan hebben we het equidistante paar (N-k-2, N-k) en (N+k, N+k+2). We weten al dat N een drievoud moet zijn, maar ook over k is het een en ander te zeggen. Zo kan k geen drievoud zijn, want dan zouden N+k en N-k een drievoud zijn. En k mag bij deling door drie ook geen rest 1 hebben, want dan zouden N+k+2 en N-k-2 drievouden zijn. Dus moet k een getal zijn dat bij deling door 3 een rest 2 oplevert, ofwel:
k = 3i + 2, i=0,1,2...
Als N een even drievoud is, dan moet k oneven zijn, dus k = 5, 11, 17 ... en als N een oneven drievoud is, dan moet k even zijn, dus k = 2, 8, 14 ...
Momenteel test mijn programma nog alle waarden van k van 1 tot N-3, maar dat is dus overbodig, want slechts 1 op de 6 waarden van k hoeft te worden getest. Hier liggen dus mogelijkheden voor verbetering van de snelheid van het programma.
quote:Ouch. Ik had (3,5) inderdaad over het hoofd gezien. Mooi bewijs overigens.Op woensdag 27 september 2006 18:56 schreef Riparius het volgende:
In deze formulering is je hypothese niet juist, het is namelijk eenvoudig te bewijzen dat de priemtweeling (3,5) geen equidistant paar kan vormen met een andere priemtweeling t.o.v. een kwadraat van een drievoud.
Stel we hebben een drievoud 3n, dan is het kwadraat van dit drievoud (3n)2 = 9n2. De afstand van dit kwadraat tot de priemtweeling (3,5) bedraagt (9n2 -5). De equidistante priemtweeling aan de andere zijde zou dan als eerste lid het getal 9n2 + (9n2 - 5) = 18n2 - 5 moeten hebben. Maar (18n2 -5, 18n2 - 3) kan geen priemtweeling zijn aangezien het tweede getal van dit paar een drievoud is. Ergo, er bestaat geen priemtweeling die een equidistant paar vormt met (3,5) t.o.v. een kwadraat van een drievoud. Hetzelfde geldt trouwens voor alle drievouden, zoals eenvoudig is in te zien.
quote:Helder. Ik was tot een soortgelijke conclusie over k gekomen door naar simpelweg naar deelbaarheid van de afstandsgetallen in mijn spreadsheet te kijken. De beschreven deductieve manier is natuurlijk vele malen eleganter. Kleine correctie: k = 2 (i=0) hoef je ook niet te testen voor tweelingpriemgetallen.(...)
Als we een getal N hebben met op een afstand k aan weerszijde twee priemtweelingen, dan hebben we het equidistante paar (N-k-2, N-k) en (N+k, N+k+2). We weten al dat N een drievoud moet zijn, maar ook over k is het een en ander te zeggen. Zo kan k geen drievoud zijn, want dan zouden N+k en N-k een drievoud zijn. En k mag bij deling door drie ook geen rest 1 hebben, want dan zouden N+k+2 en N-k-2 drievouden zijn. Dus moet k een getal zijn dat bij deling door 3 een rest 2 oplevert, ofwel:
k = 3i + 2, i=0,1,2...
Als N een even drievoud is, dan moet k oneven zijn, dus k = 5, 11, 17 ... en als N een oneven drievoud is, dan moet k even zijn, dus k = 2, 8, 14 ...
Momenteel test mijn programma nog alle waarden van k van 1 tot N-3, maar dat is dus overbodig, want slechts 1 op de 6 waarden van k hoeft te worden getest. Hier liggen dus mogelijkheden voor verbetering van de snelheid van het programma.
Jij stelde eerder dat een mogelijke verklaring voor de ogenschijnlijke equidistantie van priemtweelingen rondom kwadraten kan liggen in de distributie-dichtheid van tweelingpriemen. Als dat inderdaad de verklaring is, dan zou je met een hele kleine wijziging in het programma, een run kunnen doen met de derde macht i.p.v. met een kwadraat en dan kijken of je daarbij hetzelfde resultaat krijgt.
quote:Dat begrijp ik niet. Neem N=9 en k=2, dan vinden we het equidistante paar priemtweelingen (5,7) en (11,13). Als ik echter k=2 zou overslaan, dan zou het programma toch ten onrechte beweren dat je bij N=9 geen equidistant paar priemtweelingen hebt?Op woensdag 27 september 2006 23:51 schreef Agno_Sticus het volgende:
[..]
Ouch. Ik had (3,5) inderdaad over het hoofd gezien. Mooi bewijs overigens.
[..]
Helder. Ik was tot een soortgelijke conclusie over k gekomen door naar simpelweg naar deelbaarheid van de afstandsgetallen in mijn spreadsheet te kijken. De beschreven deductieve manier is natuurlijk vele malen eleganter. Kleine correctie: k = 2 (i=0) hoef je ook niet te testen voor tweelingpriemgetallen.
quote:Ja, maar dat lijkt me niet interessant. Ik heb tot nu toe alle drievouden tot 2 miljoen getest en nog steeds geen groter drievoud dan 2103 gevonden waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is. Het aantal derde machten van drievouden is - evenals kwadraten van drievouden - een (kleine) deelverzameling van alle drievouden en dus is de kans, evenals bij het testen van de kwadraten van drievouden, nihil dat je dan wel een drievoud (derde macht) vindt waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is.Jij stelde eerder dat een mogelijke verklaring voor de ogenschijnlijke equidistantie van priemtweelingen rondom kwadraten kan liggen in de distributie-dichtheid van tweelingpriemen. Als dat inderdaad de verklaring is, dan zou je met een hele kleine wijziging in het programma, een run kunnen doen met de derde macht i.p.v. met een kwadraat en dan kijken of je daarbij hetzelfde resultaat krijgt.
quote:Dat klopt. Maar 9 is dan ook de enige met afstand 2. Ik heb nooit een hoger getal met afstand 2 gevonden en volgens mij kun je ook bewijzen dat 9 de enige is.Op donderdag 28 september 2006 00:12 schreef Riparius het volgende:
[..]
Dat begrijp ik niet. Neem N=9 en k=2, dan vinden we het equidistante paar priemtweelingen (5,7) en (11,13). Als ik echter k=2 zou overslaan, dan zou het programma toch ten onrechte beweren dat je bij N=9 geen equidistant paar priemtweelingen hebt?
[..]
quote:Eens.
Ja, maar dat lijkt me niet interessant. Ik heb tot nu toe alle drievouden tot 2 miljoen getest en nog steeds geen groter drievoud dan 2103 gevonden waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is. Het aantal derde machten van drievouden is - evenals kwadraten van drievouden - een (kleine) deelverzameling van alle drievouden en dus is de kans, evenals bij het testen van de kwadraten van drievouden, nihil dat je dan wel een drievoud (derde macht) vindt waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is.
quote:Nee, dit klopt ook niet. Er zijn talloze oneven drievouden met een equidistant paar priemtweelingen op afstand 2. Enkele voorbeelden:Op donderdag 28 september 2006 17:57 schreef Agno_Sticus het volgende:
[..]
Dat klopt. Maar 9 is dan ook de enige met afstand 2. Ik heb nooit een hoger getal met afstand 2 gevonden en volgens mij kun je ook bewijzen dat 9 de enige is.
[..]
9: Twins ( 5, 7) en ( 11, 13) Afstand: 2
15: Twins ( 11, 13) en ( 17, 19) Afstand: 2
105: Twins ( 101, 103) en ( 107, 109) Afstand: 2
195: Twins ( 191, 193) en ( 197, 199) Afstand: 2
825: Twins ( 821, 823) en ( 827, 829) Afstand: 2
Maar waarschijnlijk bedoel je dat (5,7) en (11,13) het enige paar equidistante priemtweelingen is bij een kwadraat en dat is inderdaad juist en trouwens heel gemakkelijk te bewijzen.
Stel we hebben een paar equidistante priemtweelingen met afstand 2 tot een getal N, dan hebben we dus de paren (N-4, N-2) en (N+2, N+4).
Nu mag de rest van N bij deling door 5 niet gelijk zijn aan 1,2 of 3, want dan zouden resp. N+4, N-2 of N+2 een vijfvoud zijn en dus niet priem. De rest bij deling van N door 5 mag ook niet gelijk zijn aan 4, want dan is N-4 een vijfvoud. N moet dus in zijn algemeenheid zelf een vijfvoud zijn, en een vijfvoud kan geen kwadraat zijn van een drievoud. Er is echter één uitzondering op de eis dat de rest bij deling van N door vijf niet gelijk mag zijn aan 4, en dat is N=9, want in dit geval is N-4 = 5, en dat is weliswaar een vijfvoud, maar ook priem. Zodoende is (5,7) en (11,13) het enige paar priemtweelingen dat op afstand 2 ligt van een getal dat zelf geen vijfvoud is, en daarmee ook het enige stel op afstand 2 van een getal dat een kwadraat van een drievoud kan zijn. En natuurlijk is 9 het kwadraat van 3, maar dat is niet significant.
Ik denk dat je je teveel hebt vastgebeten in de gedachte dat er een bijzonder verband zou zijn tussen equidistante priemtweelingen en kwadraten, maar een dergelijk verband is tot nu toe niet aangetoond en als we kijken naar de eigenschappen van equidistante priemtweelingen die we tot nu toe hebben bewezen, dan ligt een dergelijk verband ook niet in de lijn der verwachting.
quote:Got it. Ik heb me inderdaad helemaal op kwadraten gefocused. Door de veelvouden van 3 te doorlopen krijg je natuurlijk een beter beeld dan door kwadraten te gebruiken. Ik ben in al mijn analyses met kwadraten kennelijk ook over de bijzondere reeks 3, 6, 48...2103 heen gesprongen. Wat kan dit rijtje overigens betekenen? Wordt het wellicht veroozaakt door het feit dat er bij kleinere getallen net even te weinig priemtweelingen zijn om deze drievouden equidistant te omringen?Op donderdag 28 september 2006 18:44 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee, dit klopt ook niet. Er zijn talloze oneven drievouden met een equidistant paar priemtweelingen op afstand 2. Enkele voorbeelden:
9: Twins ( 5, 7) en ( 11, 13) Afstand: 2
15: Twins ( 11, 13) en ( 17, 19) Afstand: 2
105: Twins ( 101, 103) en ( 107, 109) Afstand: 2
195: Twins ( 191, 193) en ( 197, 199) Afstand: 2
825: Twins ( 821, 823) en ( 827, 829) Afstand: 2
Maar waarschijnlijk bedoel je dat (5,7) en (11,13) het enige paar equidistante priemtweelingen is bij een kwadraat en dat is inderdaad juist en trouwens heel gemakkelijk te bewijzen.
Stel we hebben een paar equidistante priemtweelingen met afstand 2 tot een getal N, dan hebben we dus de paren (N-4, N-2) en (N+2, N+4).
Nu mag de rest van N bij deling door 5 niet gelijk zijn aan 1,2 of 3, want dan zouden resp. N+4, N-2 of N+2 een vijfvoud zijn en dus niet priem. De rest bij deling van N door 5 mag ook niet gelijk zijn aan 4, want dan is N-4 een vijfvoud. N moet dus in zijn algemeenheid zelf een vijfvoud zijn, en een vijfvoud kan geen kwadraat zijn van een drievoud. Er is echter één uitzondering op de eis dat de rest bij deling van N door vijf niet gelijk mag zijn aan 4, en dat is N=9, want in dit geval is N-4 = 5, en dat is weliswaar een vijfvoud, maar ook priem. Zodoende is (5,7) en (11,13) het enige paar priemtweelingen dat op afstand 2 ligt van een getal dat zelf geen vijfvoud is, en daarmee ook het enige stel op afstand 2 van een getal dat een kwadraat van een drievoud kan zijn. En natuurlijk is 9 het kwadraat van 3, maar dat is niet significant.
Ik denk dat je je teveel hebt vastgebeten in de gedachte dat er een bijzonder verband zou zijn tussen equidistante priemtweelingen en kwadraten, maar een dergelijk verband is tot nu toe niet aangetoond en als we kijken naar de eigenschappen van equidistante priemtweelingen die we tot nu toe hebben bewezen, dan ligt een dergelijk verband ook niet in de lijn der verwachting.
quote:Ik moet mezelf even corrigeren, want bovenstaand bewijs is helaas niet in orde. Ik heb bewezen dat bij een paar equidistante priemtweelingen met afstand 2 tot een getal N het getal N altijd een vijfvoud moet zijn (behoudens N=9), en verder weten we dat N sowieso een drievoud moet zijn. Daar volgt uit dat N in ieder geval een vijftienvoud moet zijn, maar dat bewijst niet dat er verder geen (oneven) kwadraten zijn met een paar equidistante priemtweelingen op afstand 2, want je kunt tenslotte kwadraten hebben van 15-vouden...Op donderdag 28 september 2006 18:44 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee, dit klopt ook niet. Er zijn talloze oneven drievouden met een equidistant paar priemtweelingen op afstand 2. Enkele voorbeelden:
9: Twins ( 5, 7) en ( 11, 13) Afstand: 2
15: Twins ( 11, 13) en ( 17, 19) Afstand: 2
105: Twins ( 101, 103) en ( 107, 109) Afstand: 2
195: Twins ( 191, 193) en ( 197, 199) Afstand: 2
825: Twins ( 821, 823) en ( 827, 829) Afstand: 2
Maar waarschijnlijk bedoel je dat (5,7) en (11,13) het enige paar equidistante priemtweelingen is bij een kwadraat en dat is inderdaad juist en trouwens heel gemakkelijk te bewijzen.
Stel we hebben een paar equidistante priemtweelingen met afstand 2 tot een getal N, dan hebben we dus de paren (N-4, N-2) en (N+2, N+4).
Nu mag de rest van N bij deling door 5 niet gelijk zijn aan 1,2 of 3, want dan zouden resp. N+4, N-2 of N+2 een vijfvoud zijn en dus niet priem. De rest bij deling van N door 5 mag ook niet gelijk zijn aan 4, want dan is N-4 een vijfvoud. N moet dus in zijn algemeenheid zelf een vijfvoud zijn, en een vijfvoud kan geen kwadraat zijn van een drievoud. Er is echter één uitzondering op de eis dat de rest bij deling van N door vijf niet gelijk mag zijn aan 4, en dat is N=9, want in dit geval is N-4 = 5, en dat is weliswaar een vijfvoud, maar ook priem. Zodoende is (5,7) en (11,13) het enige paar priemtweelingen dat op afstand 2 ligt van een getal dat zelf geen vijfvoud is, en daarmee ook het enige stel op afstand 2 van een getal dat een kwadraat van een drievoud kan zijn. En natuurlijk is 9 het kwadraat van 3, maar dat is niet significant.
Toch is het eenvoudig te bewijzen dat er behalve (5,7) en (11,13) verder geen paren equidistante priemtweelingen bestaan op afstand 2 van een kwadraat. Dat bewijs gaat als volgt.
Stel we hebben een paar equidistante priemtweelingen met afstand 2 tot een getal N, dan hebben we dus de paren (N-4, N-2) en (N+2, N+4). Als nu N het kwadraat is van een getal p, dan hebben we dus N = p2. In dit geval is echter N-4 = p2 - 4 = (p+2)(p-2) een samengesteld getal, en kan dus niet priem zijn, behalve als (p-2) = 1 en dus p = 3, waaruit volgt dat N = p2 = 32 = 9 inderdaad het enige kwadraat is met een paar equidistante priemtweelingen op afstand 2. Quod Erat Demonstrandum.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 29-09-2006 02:42:17 ]
quote:Hele elegante QED ! Zo'n bewijs ziet er bedriegelijk simpel uit, maar om het zelf ook af te kunnen leiden...Op donderdag 28 september 2006 20:53 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ik moet mezelf even corrigeren, want bovenstaand bewijs is helaas niet in orde. Ik heb bewezen dat bij een paar equidistante priemtweelingen met afstand 2 tot een getal N het getal N altijd een vijfvoud moet zijn (behoudens N=9), en verder weten we dat N sowieso een drievoud moet zijn. Daar volgt uit dat N in ieder geval een vijftienvoud moet zijn, maar dat bewijst niet dat er verder geen (oneven) kwadraten zijn met een paar equidistante priemtweelingen op afstand 2, want je kunt tenslotte kwadraten hebben van 15-vouden...
Toch is het eenvoudig te bewijzen dat er behalve (5,7) en (11,13) verder geen paren equidistante priemtweelingen bestaan op afstand 2 van een kwadraat. Dat bewijs gaat als volgt.
Stel we hebben een paar equidistante priemtweelingen met afstand 2 tot een getal N, dan hebben we dus de paren (N-4, N-2) en (N+2, N+4). Als nu N het kwadraat is van een getal p, dan hebben we dus N = p2. In dit geval is echter N-4 = p2 - 4 = (p+2)(p-2) een samengesteld getal, en kan dus niet priem zijn, behalve als (p-2) = 1 en dus p = 3, waaruit volgt dat N = p2 = 32 = 9 inderdaad het enige kwadraat is met een paar equidistante priemtweelingen op afstand 2. Quod Erat Demonstrandum.
Het rijtje 3, 6, 48, 198, 201, 258, 348, 393, 453, 558, 573, 633, 678, 1623 en 2103 blijft me echter intrigeren. Het blijft de vraag of er drievouden > 2103 bestaan zonder een setje equidistante priemtweelingen. Is het wellicht mogelijk om voor bepaalde drievouden uit het rijtje te bewijzen dat er nooit equidistante priemtweelingen voor kunnen bestaan (op soortgelijke wijze als jouw bewijs voor uitzonderings kwadraat 9 hierboven) ?
[ Bericht 1% gewijzigd door Agno_Sticus op 30-09-2006 13:40:48 ]
quote:Dit was dan ook echt heel simpel hoor.Op zaterdag 30 september 2006 13:34 schreef Agno_Sticus het volgende:
[..]
Hele elegante QED ! Zo'n bewijs ziet er bedriegelijk simpel uit, maar om het zelf ook af te kunnen leiden...
quote:Ik begrijp welke kant je op wilt, maar nee, dat zal niet gaan. In bovenstaand bewijs ben ik niet uitgegaan van het gegeven dat 9 het enige kwadraat is met een paar equidistante priemtweelingen op afstand 2, maar dit volgt uit het feit dat p2 - 4 = (p+2)(p-2) alleen priem kan zijn als (p-2) = 1. Maar je kunt niet een formeel bewijs leveren dat er bijv. voor het specifieke geval N=48 geen equidistant paar priemtweelingen is zonder daarbij op enige wijze het gegeven te betrekken dat N=48, want als je dat laatste niet doet en je slaagt toch in het bewijs dan heb je meteen een algemeen bewijs, en niet een bewijs voor het enkele geval N=48. Hetzelfde geldt mutatis mutandis voor het geval je een formeel bewijs voor een deel van bovenstaand rijtje zou willen geven zonder daarbij in je bewijsvoering een criterium te betrekken dat bepaalt op welk deel van het rijtje je bewijs betrekking heeft.Het rijtje 3, 6, 48, 198, 201, 258, 348, 393, 453, 558, 573, 633, 678, 1623 en 2103 blijft me echter intrigeren. Het blijft de vraag of er drievouden > 2103 bestaan zonder een setje equidistante priemtweelingen. Is het wellicht mogelijk om voor bepaalde drievouden uit het rijtje te bewijzen dat er nooit equidistante priemtweelingen voor kunnen bestaan (op soortgelijke wijze als jouw bewijs voor uitzonderings kwadraat 9 hierboven) ?
Er is vooralsnog geen enkele wetmatigheid te ontdekken in het rijtje drievouden waarvoor er geen equidistant paar priemtweelingen is, en ik zou dan ook niet weten hoe je zou moeten bewijzen dat dit de enige drievouden zijn waarvoor er geen equidistant paar priemtweelingen bestaat.
Eén ding staat wel vast: als jij er in slaagt een formeel bewijs te leveren dat er geen enkel drievoud groter dan 2103 is waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is, dan word je wereldberoemd, want in dat geval heb je namelijk tevens bewezen dat er oneindig veel priemtweelingen zijn. Immers: als er bij ieder drievoud groter dan 2103 een priemtweeling is die een equidistant paar vormt met een kleinere priemtweeling, dan kan er geen grootste priemtweeling zijn. Het vermoeden (want dat is het) dat er oneindig veel priemtweelingen zijn bestaat al eeuwen, maar tot op heden is niemand er in geslaagd dit te bewijzen.
quote:Dat zal best waar zijn voor iemand die kan spelen met de wiskundige taal. Zelf bezit ik dat vermogen niet en ben een tikje jaloers op mensen die hier zo gemakkelijk mee om kunnen gaan. Wiskunde is overigens de enige echt universele taal die hebben. Ook waarschijnlijk de taal waarmee we ooit (indien dit bestaat) met buitenaardse beschavingen kunnen communiceren. In de film "Contact" waren het trouwens de priemgetallen waarmee buitenaardse wezens contact probeerden te maken...Op zaterdag 30 september 2006 19:26 schreef Riparius het volgende:
[..]
Dit was dan ook echt heel simpel hoor.
[..]
quote:Het rijtje is in elk geval redelijk overzichtelijk, alhoewel ik er (vooralsnog) ook geen enkel verband in kan ontdekken. Mijn vermoeden is dat het rijtje alleen maar bestaat omdat er simpelweg nog te weinig tweelingpriemgetallen zijn in de lagere getallen. De dichtheid is bij hogere getallen kennelijk voldoende om alle drievouden op te pikken. Heb even (in een VBA programmatje) geteld hoeveel equidistante tweelingpriemen er voor elk drievoud zijn en dit aantal loopt al vrij snel op (zonder patroon helaas).Ik begrijp welke kant je op wilt, maar nee, dat zal niet gaan. In bovenstaand bewijs ben ik niet uitgegaan van het gegeven dat 9 het enige kwadraat is met een paar equidistante priemtweelingen op afstand 2, maar dit volgt uit het feit dat p2 - 4 = (p+2)(p-2) alleen priem kan zijn als (p-2) = 1. Maar je kunt niet een formeel bewijs leveren dat er bijv. voor het specifieke geval N=48 geen equidistant paar priemtweelingen is zonder daarbij op enige wijze het gegeven te betrekken dat N=48, want als je dat laatste niet doet en je slaagt toch in het bewijs dan heb je meteen een algemeen bewijs, en niet een bewijs voor het enkele geval N=48. Hetzelfde geldt mutatis mutandis voor het geval je een formeel bewijs voor een deel van bovenstaand rijtje zou willen geven zonder daarbij in je bewijsvoering een criterium te betrekken dat bepaalt op welk deel van het rijtje je bewijs betrekking heeft.
Er is vooralsnog geen enkele wetmatigheid te ontdekken in het rijtje drievouden waarvoor er geen equidistant paar priemtweelingen is, en ik zou dan ook niet weten hoe je zou moeten bewijzen dat dit de enige drievouden zijn waarvoor er geen equidistant paar priemtweelingen bestaat.
Eén ding staat wel vast: als jij er in slaagt een formeel bewijs te leveren dat er geen enkel drievoud groter dan 2103 is waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is, dan word je wereldberoemd, want in dat geval heb je namelijk tevens bewezen dat er oneindig veel priemtweelingen zijn. Immers: als er bij ieder drievoud groter dan 2103 een priemtweeling is die een equidistant paar vormt met een kleinere priemtweeling, dan kan er geen grootste priemtweeling zijn. Het vermoeden (want dat is het) dat er oneindig veel priemtweelingen zijn bestaat al eeuwen, maar tot op heden is niemand er in geslaagd dit te bewijzen.
Ik blijf speuren!
quote:Wereldberoemd worden gaat ook wel lukken als je enige regelmaat in het rijtje van drievouden zonder equidistant paar priemgetallen kunt vinden.Op zaterdag 30 september 2006 19:26 schreef Riparius het volgende:
Eén ding staat wel vast: als jij er in slaagt een formeel bewijs te leveren dat er geen enkel drievoud groter dan 2103 is waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is, dan word je wereldberoemd, want in dat geval heb je namelijk tevens bewezen dat er oneindig veel priemtweelingen zijn. Immers: als er bij ieder drievoud groter dan 2103 een priemtweeling is die een equidistant paar vormt met een kleinere priemtweeling, dan kan er geen grootste priemtweeling zijn. Het vermoeden (want dat is het) dat er oneindig veel priemtweelingen zijn bestaat al eeuwen, maar tot op heden is niemand er in geslaagd dit te bewijzen.
Of als je kunt bewijzen dat ieder kwadraat (ten minste) twee equidistante priemgetallen heeft, want ook daarmee kun je bewijzen dat het aantal priemgetallen oneindig is.
4 -> (3,5)
9 -> (7,11)
16 -> (13,19)
25 -> (19,31)
Verder heb ik nog niet gekeken
quote:Nee, hier maak je een denkfout. Zo kun je niet bewijzen dat er oneindig veel priemtweelingen zijn. Dat er oneindig veel priemgetallen zijn is 2300 jaar geleden al bewezen door Euclides, dus daar gaat het niet om.Op zaterdag 30 september 2006 22:04 schreef Light het volgende:
[..]
Of als je kunt bewijzen dat ieder kwadraat (ten minste) twee equidistante priemgetallen heeft, want ook daarmee kun je bewijzen dat het aantal priemgetallen oneindig is.
4 -> (3,5)
9 -> (7,11)
16 -> (13,19)
25 -> (19,31)
Verder heb ik nog niet gekeken
quote:Ok, dan had ik het niet goed gelezenOp zaterdag 30 september 2006 23:29 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee, hier maak je een denkfout. Zo kun je niet bewijzen dat er oneindig veel priemtweelingen zijn. Dat er oneindig veel priemgetallen zijn is 2300 jaar geleden al bewezen door Euclides, dus daar gaat het niet om.
Ik ga niet nog een keer het werk van Euclides over doen als p1...pn allemaal priemgetallen zijn
dan is p1*...*pn+1 ook een priemgetal..
waarom maken ze hier geen gebruik van om nieuwe priemgetallen te vinden?
quote:Omdat het niet waar is.Op zondag 1 oktober 2006 00:10 schreef teletubbies het volgende:
een vraagje van een simpel iemand..
als p1...pn allemaal priemgetallen zijn
dan is p1*...*pn+1 ook een priemgetal..
waarom maken ze hier geen gebruik van om nieuwe priemgetallen te vinden?
quote:Nee, je maakt een denkfout. Als p1, p2, ... pn de eerste n priemgetallen zijn dan is p1*p2*...*pn + 1 een getal dat in ieder geval niet door één van de priemgetallen p1 t/m pn deelbaar is omdat de rest dan telkens 1 is. Dat betekent dat dit nieuwe getal zelf een priemgetal kan zijn, maar dat hoeft niet, omdat het ook deelbaar kan zijn door een priemgetal groter dan pn. Euclides maakte hiervan gebruik om te laten zien dat de aanname dat er een grootste priemgetal pn zou zijn tot een tegenstrijdigheid voert.Op zondag 1 oktober 2006 00:10 schreef teletubbies het volgende:
een vraagje van een simpel iemand..
als p1...pn allemaal priemgetallen zijn
dan is p1*...*pn+1 ook een priemgetal..
waarom maken ze hier geen gebruik van om nieuwe priemgetallen te vinden?
quote:Helemaal juist. Ik heb overigens een tijdje geleden exact dezelfde denkfout gemaakt (en er dus veel van geleerd)!Op zondag 1 oktober 2006 00:19 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee, je maakt een denkfout. Als p1, p2, ... pn de eerste n priemgetallen zijn dan is p1*p2*...*pn + 1 een getal dat in ieder geval niet door één van de priemgetallen p1 t/m pn deelbaar is omdat de rest dan telkens 1 is. Dat betekent dat dit nieuwe getal zelf een priemgetal kan zijn, maar dat hoeft niet, omdat het ook deelbaar kan zijn door een priemgetal groter dan pn. Euclides maakte hiervan gebruik om te laten zien dat de aanname dat er een grootste priemgetal pn zou zijn tot een tegenstrijdigheid voert.
quote:oh natuurlijk.. het kan zijn dat er dus een priemgetal bestaat groter dan pn en die (p1p2...pn +1) deelt,..goed gezien! merci.Op zondag 1 oktober 2006 00:19 schreef Riparius het volgende:
[..]
Nee, je maakt een denkfout. Als p1, p2, ... pn de eerste n priemgetallen zijn dan is p1*p2*...*pn + 1 een getal dat in ieder geval niet door één van de priemgetallen p1 t/m pn deelbaar is omdat de rest dan telkens 1 is. Dat betekent dat dit nieuwe getal zelf een priemgetal kan zijn, maar dat hoeft niet, omdat het ook deelbaar kan zijn door een priemgetal groter dan pn. Euclides maakte hiervan gebruik om te laten zien dat de aanname dat er een grootste priemgetal pn zou zijn tot een tegenstrijdigheid voert.
De getallen 15 en 3 spelen ook een bijzondere rol in het standaardmodel van de elementaire deeltjes. Er zijn namelijk 3 generaties van telkens 4 fermionen (leptonen en quarks) waaruit alle materie is opgebouwd en daarnaast zijn er de bosonen (fotonen, gluonen, W+W-Z0 en gravitonen) die alles bij elkaar houden. Van al deze deeltjes blijken er precies 15 een massa > 0 te hebben.
Dus toch maar eens een vergelijkingspoging gewaagd met een (volgens mij) verrassend hoge correlatie van 0,9. Deze kan nog verder omhoog als je bedenkt dat de massa van een quark niet nauwkeurig is vast te stellen omdat een quark niet geïsoleerd kan worden (hiervoor wordt het begrip opsluitingsenergie gebruikt).
Of is dit gewoon puur toeval ?
Als ik de (voorspelde bovengrens) van de massa van het Higgs-boson aan het rijtje toevoeg en het rijtje drievouden zonder equidistante priemtweelingen op 0 laat beginnen, dan gaat de correlatie coefficient zelfs naar 0,95 (!).
Ik besef me terdege dat je met een beetje fantasie overal correlaties in kan ontdekken, maar er zijn in het verleden ook andere verbanden tussen priemgetallen en de quatumfysica gevonden.
Niemand begrijpt tot nu toe waarom de massa's in het standaardmodel zijn zoals ze zijn of waarom er bijvoorbeeld precies drie generaties fermionen bestaan. Het zou toch wat zijn als er een pure en universele wiskundige reden aan ten grondslag zou liggen.
Deze link toont de volgende reeks: 1, 48, 201, 258, 393, 453, 558, 573, 633, 678, 1623, 2103 en wordt berekend als "Numbers n such that triples generated by {2*(n-1),2*n,2*(n+1)} form even numbers which are not the sum of a pair of twin primes".
Alleen 198 en 348 ontbreken. Enig idee wat het verband is?
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A072254
P.S.
Ik kreeg deze link via een Engels forum over priemgetallen waar ik vandaag de conjecture "that twin primes can only be equidistant around N mod 3 = 0", op gepost heb. Kreeg meteen de push back dat 8 (niet deelbaar 3...) equidistant is t.o.v. 3,5 en 11,13. Ik had (3,5) moeten uitsluiten.
http://tech.groups.yahoo.com/group/primeform/
quote:Als n tussen de priemtweelingen p,p+2 en q,q+2 zit, dan is dus n - p = (q+2) - n, en daarom is 2n = p + (q+2). En uiteraard is dan 2(n-1) = p + q en 2(n+1) = (p+2) + (q+2).Op zondag 5 november 2006 21:16 schreef Agno_Sticus het volgende:
Thabit, Riparius,
Deze link toont de volgende reeks: 1, 48, 201, 258, 393, 453, 558, 573, 633, 678, 1623, 2103 en wordt berekend als "Numbers n such that triples generated by {2*(n-1),2*n,2*(n+1)} form even numbers which are not the sum of a pair of twin primes".
Alleen 198 en 348 ontbreken. Enig idee wat het verband is?
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A072254
quote:Helder!Op maandag 6 november 2006 13:34 schreef thabit het volgende:
[..]
Als n tussen de priemtweelingen p,p+2 en q,q+2 zit, dan is dus n - p = (q+2) - n, en daarom is 2n = p + (q+2). En uiteraard is dan 2(n-1) = p + q en 2(n+1) = (p+2) + (q+2).
Wat dit echter niet verklaart, is waarom de equidistante distributie van tweelingpriemgetallen rond N = mod 3 tot ongeveer dezelfde reeks van "orphan" getallen leidt, als wanneer je probeert om tweelingpriemgetallen te sommeren om alle getallen te creëren.
Sinds 2003 gebeurde het steeds binnen een jaar en met het toenemen van de snelheid van computers en het aantal deelnemers van GIMPS zou je geen vertraging verwachten, maar misschien ligt het volgende priemgetal relatief ver weg. De getallen worden natuurlijk wel steeds groter. Het volgende zal ongetwijfeld uit meer dan 10 miljoen cijfers bestaan. En dan door geen enkel ander getal deelbaar dan 1 en zichzelf. Fascinerend.
Een fraaie eigenschap van Mersennepriemgetallen is dat als 2n -1 een priemgetal is, dat dan 2n-1 x (2n -1) een perfect getal is. Dat betekent dat de som van alle delers (inclusief 1 en exclusief het getal zelf) gelijk is aan het getal zelf. Dat getal heeft al gauw twee maal zo veel cijfers als het Mersennepriemgetal en dus zo'n 20 miljoen cijfers bij het grootste nu bekende. Dat is wel heel perfect dan idd, de som van een enorm aantal delers die precies dat enorme getal van 20 miljoen cijfers geeft.
En dat een Mersennepriemgetal grenst aan een macht van 2 vind ik ook fascinerend. 't Ene getal heeft geen enkele priemfactor en het volgende heeft er n, zo'n 32 miljoen bij het grootst bekende Mersennepriemgetal dus (32.582.657). 't Ene getal is een vermenigvuldiging van 32 miljoen 2'en en 1 getal daar voor ligt een priemgetal. Cool.
[ Bericht 0% gewijzigd door Arcee op 23-06-2008 00:00:18 ]
quote:Dus iedereen die iets interessant vindt waar jij te dom voor bent moet een leven zoeken
quote:echt welOp woensdag 25 juni 2008 12:50 schreef star_gazer het volgende:
[..]
Dus iedereen die iets interessant vindt waar jij te dom voor bent moet een leven zoeken
quote:Volgens mij is het gewoon deelbaar door 31 hoor!Op vrijdag 5 september 2008 09:48 schreef thabit het volgende:
Een schopje is op z'n plaats. Er schijnt alweer een nieuwe gevonden te zijn! Uiteraard kunnen we weer gaan gokken hoeveel cijfers het gaat hebben.
quote:Als je niks zinnigs te melden hebt reageer dan niet.Op vrijdag 5 september 2008 09:54 schreef Pool het volgende:
[..]
Volgens mij is het gewoon deelbaar door 31 hoor!
quote:Het wordt wel extra spannend want ik zie net dat GIMPS nu bericht dat er twee meldingen zijn van nieuw gevonden priemgetallen van Mersenne. Beide moeten uiteraard nog geverifieerd worden.Op vrijdag 5 september 2008 09:48 schreef thabit het volgende:
Een schopje is op z'n plaats. Er schijnt alweer een nieuwe gevonden te zijn! Uiteraard kunnen we weer gaan gokken hoeveel cijfers het gaat hebben.
Nog niet alle priemexponenten tussen 13466917 en 32582657 zijn getest, zodat de mogelijkheid open blijft dat tenminste één van de nieuw gevonden priemgetallen kleiner is dan het grootste tot nu bekende priemgetal van Mersenne.
Het blijft dus nog even spannend ...
"On August 23rd, a computer reported finding a new Mersenne prime to the server! Because I was on vacation, verification did not begin until the 26th"
Vaag, zo klinkt het net alsof er maar 1 gast achter GIMPS zit.
quote:Dat is eigenlijk ook zo, het project is (in 1996) opgestart door ene George Woltman en wordt nog steeds door hem geleid, maar hij doet het natuurlijk niet alleen. Ik zie niet wat daar vaag aan is. Het is overigens niet zijn baan.Op vrijdag 12 september 2008 00:45 schreef Arcee het volgende:
http://www.mersenne.org/prime.htm
"On August 23rd, a computer reported finding a new Mersenne prime to the server! Because I was on vacation, verification did not begin until the 26th"
Vaag, zo klinkt het net alsof er maar 1 gast achter GIMPS zit.
[ Bericht 0% gewijzigd door Arcee op 12-09-2008 01:32:05 ]
quote:Het project ligt nooit stil, want al die computers rekenen wel door ... En zo belangrijk is het nou ook weer niet, het is echt niet zo dat de wereld de adem inhoudt vanwege een priemgetal.Op vrijdag 12 september 2008 01:19 schreef Arcee het volgende:
Dat 't niet zo is dat als jij op vakantie is dat 't project dan stil ligt.
quote:hmmmmm begint pi niet met 3141? of is het een willekeurige rangschikking van de cijfers?Op woensdag 6 september 2006 12:49 schreef Oud_student het volgende:
Alle cijfers van het mogelijk nieuwe priemgetal
quote:Was zou dit priemgetal van Mersenne volgens jou met π te maken hebben?Op donderdag 18 september 2008 23:56 schreef DuracelPlus het volgende:
[..]
hmmmmm begint pi niet met 3141? of is het een willekeurige rangschikking van de cijfers?
quote:Op vrijdag 19 september 2008 00:12 schreef Riparius het volgende:
[..]
Was zou dit priemgetal van Mersenne volgens jou met π te maken hebben?
quote:Je maakt een elementaire denkfout. Heel ver weg betekent niet oneindig ver weg. Er zijn inderdaad priemwoestijnen van willekeurige lengte aan te wijzen, maar dat impliceert niet dat het aantal priemgetallen eindig zou zijn. Ze worden wel steeds dunner gezaaid, om het zo maar te noemen: het aantal priemgetallen kleiner dan N nadert asymptotisch tot N/ln(N).Op vrijdag 19 september 2008 00:10 schreef DuracelPlus het volgende:
Nog een vraagje: Er zijn dus oneindig veel priemgetallen maar het interval van n!+2 tot aan n!+n bevat geen priemgetallen, maw dus ergens heeeeeeeel ver weg op de getallen lijn is er een oneindig groot interval waar geen priemgetallen in voorkomen, hoe kan het dan zo zijn dat er toch oneindig veel priemgetallen zijn?
quote:Ik zou juist redeneren dat de oneindige interval waar geen priemgetallen voorkomen, oneindig ver weg is en dat er daarom dus ook oneindig veel priemen zijn.Op vrijdag 19 september 2008 00:24 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je maakt een elementaire denkfout. Heel ver weg betekent niet oneindig ver weg. Er zijn inderdaad priemwoestijnen van willekeurige lengte aan te wijzen, maar dat impliceert niet dat het aantal priemgetallen eindig zou zijn. Ze worden wel steeds dunner gezaaid, om het zo maar te noemen: het aantal priemgetallen kleiner dan N nadert asymptotisch tot N/ln(N).
toch blijf ik het raar vinden dat beiden oneindig groot zijn, zit toch iets van een paradox in, beide beweringen zijn juist.
quote:Nee, dat is geen geldige redenatie, dan zou het aantal priemgetallen nog steeds eindig kunnen zijn.Op vrijdag 19 september 2008 00:54 schreef DuracelPlus het volgende:
[..]
Ik zou juist redeneren dat de oneindige interval waar geen priemgetallen voorkomen, oneindig ver weg is en dat er daarom dus ook oneindig veel priemen zijn.
quote:Ik begrijp niet precies waar je nu een paradox in ziet, je betoog is warrig.toch blijf ik het raar vinden dat beiden oneindig groot zijn, zit toch iets van een paradox in, beide beweringen zijn juist.
quote:dat begrijp ik, maar dat zou een in mijn ogen een redelijke argument kunnen zijn waarom beiden oneindig groot kunnen zijn.Op vrijdag 19 september 2008 01:03 schreef Riparius het volgende:
Nee, dat is geen geldige redenatie, dan zou het aantal priemgetallen nog steeds eindig kunnen zijn.
[..]
quote:excuses, het is alweer zo'n 10 jaar geleden dat ik voor het laatst een wiskunde boek heb ingekeken. gevoelsmatig zou ik zeggen dat de ene stelling de andere uitsluit.Ik begrijp niet precies waar je nu een paradox in ziet, je betoog is warrig.
quote:Tja... redelijk argument ... gevoelsmatig ... Dit is niet echt wiskundig te noemen.Op vrijdag 19 september 2008 01:30 schreef DuracelPlus het volgende:
[..]
dat begrijp ik, maar dat zou een in mijn ogen een redelijke argument kunnen zijn waarom beiden oneindig groot kunnen zijn.
[..]
excuses, het is alweer zo'n 10 jaar geleden dat ik voor het laatst een wiskunde boek heb ingekeken. gevoelsmatig zou ik zeggen dat de ene stelling de andere uitsluit.
quote:ik ben dan ook geen wiskundige... En indien jij dat wel bent, heb ik van jou ook niet echt een wiskundige argument gezien dat de ene de andere niet uitsluit.Op vrijdag 19 september 2008 01:33 schreef Riparius het volgende:
[..]
Tja... redelijk argument ... gevoelsmatig ... Dit is niet echt wiskundig te noemen.
quote:Je probleem is dat je worstelt met het begrip oneindigheid. De uitspraak dat er oneindig veel priemgetallen zijn betekent niets anders dan dat er geen grootste priemgetal bestaat: voor ieder priemgetal p is aan te tonen dat er tenminste één priemgetal groter dan p bestaat.Op vrijdag 19 september 2008 01:45 schreef DuracelPlus het volgende:
[..]
ik ben dan ook geen wiskundige... En indien jij dat wel bent, heb ik van jou ook niet echt een wiskundige argument gezien dat de ene de andere niet uitsluit.
Verder is het elementair om aan te tonen dat er voorbij elke priemwoestijn, hoe lang die ook is, nog tenminste één priemgetal ligt. Die priemwoestijnen, hoe lang ook, staan dus de oneindigheid van het aantal priemgetallen niet in de weg. Misschien dat dat je probleem oplost?
quote:Yup, het probleem is inderdaad het oneindigheidsbegrip. Je 2de alinea brengt wat licht in de duisternisOp vrijdag 19 september 2008 01:52 schreef Riparius het volgende:
[..]
Je probleem is dat je worstelt met het begrip oneindigheid. De uitspraak dat er oneindig veel priemgetallen zijn betekent niets anders dan dat er geen grootste priemgetal bestaat: voor ieder priemgetal p is aan te tonen dat er tenminste één priemgetal groter dan p bestaat.
Verder is het elementair om aan te tonen dat er voorbij elke priemwoestijn, hoe lang die ook is, nog tenminste één priemgetal ligt. Die priemwoestijnen, hoe lang ook, staan dus de oneindigheid van het aantal priemgetallen niet in de weg. Misschien dat dat je probleem oplost?
goede nacht