Record grootste bekende priemgetal gebroken

Ok, maar is het voor alle getallen zeker dat ze product van priemgetallen zijn?

quote:

Op vrijdag 15 september 2006 23:15 schreef MaartenL het volgende:
Ok, maar is het voor alle getallen zeker dat ze product van priemgetallen zijn?

Ja.

quote:

Op vrijdag 15 september 2006 23:15 schreef MaartenL het volgende:
Ok, maar is het voor alle getallen zeker dat ze product van priemgetallen zijn?

Jup, behalve 1 wellicht (want 1 is geen priemgetal). Die buiten beschouwing gelaten (dus we kijken naar getallan >1), stel je voor dat het niet voor alle getallen geldt, dan heb je een in ieder geval ook een kleinste getal waarvoor het niet geldt. Noem dit getal n. Nu is n zeker geen priemgetal, want dan zou het wel een product van alleen zichzelf zijn. Kortom, n is een samengesteld getal. We kunnen dus zeggen: n = a*b (met a en b dus ongelijk 1). Maar dat betekent dat zowel a en b kleiner zijn dan n. En n was het kleinste getal waarvoor het niet zou gelden. Voor a en b geldt dus wél dat ze als product van priemgetallen zijn te schrijven. Maar, het product van die producten geeft ook een product voor n. Ergo, de aanname dat er zo'n kleinste getal n bestaat waarvoor het niet geldt leidt ons direct tot een tegenspraak, dus die aanname moet fout zijn, dus bestaat zo'n getal n niet.

quote:

Op zondag 10 september 2006 13:29 schreef Schorpioen het volgende:

[..]

Zoals al gezegd, RSA (een encryptiemethode) gebruikt 2 sleutels: een publieke en een privesleutel. De publieke sleutel (waarmee je data kan versleutelen) is een product van 2 heel grote priemgetallen; de privesleutel (waarmee je versleutelde data leesbaar kan maken) zijn de 2 afzonderlijke priemgetallen. De onkraakbaarheid valt of staat met de tijd die het kost om een groot product te ontbinden in factoren. Als er nou een manier wordt gevonden om heel snel heel grote priemgetallen te vinden dan wordt het ook makkelijk om een product van 2 priemgetallen te ontbinden in de 2 factoren, en dan heb je dus de privesleutel te pakken, en dan wordt RSA encryptie dus kraakbaar.

Worden daar getallen van miljoenen cijfer voor gebruikt dan?
Ik probeerde de pagina met het priemgetal te openen en het duurde me te lang voordat ik het hele getal had gedownload

ik gok op 9.808.358 cijfers.

quote:

Op maandag 18 september 2006 17:53 schreef thabit het volgende:

[..]

We hebben een winnaar!

dat er maar eens iemand effe een formule uitvindt voor die mersenne priemgetallen.

kom op zo moeilijk kan dat toch niet zijn?

wat is het nut van een priemgetal? :S

quote:

Op donderdag 21 september 2006 08:43 schreef jd1982 het volgende:
wat is het nut van een priemgetal? :S

Das net zoiets als vragen wat het nut van Bier is...

quote:

Op woensdag 20 september 2006 21:24 schreef Monocultuur het volgende:
dat er maar eens iemand effe een formule uitvindt voor die mersenne priemgetallen.

kom op zo moeilijk kan dat toch niet zijn?

Toch wel. Het is eenvoudig te bewijzen dat het priem zijn van n een noodzakelijke voorwaarde is voor het priem zijn van 2ⁿ - 1, maar het priem zijn van n is geen voldoende voorwaarde voor het priem zijn van 2ⁿ - 1, en daarin schuilt nu juist de moeilijkheid. Er is geen echt patroon te ontdekken in de priemgetallen n waarvoor 2ⁿ - 1 priem is, en dus zit er met onze huidige kennis niets anders op dan voor elk priemgetal n te testen of 2ⁿ - 1 priem is. Er bestaan overigens heel efficiente methoden om te testen of een getal van de gedaante 2ⁿ - 1 priem is, en die methoden vormen de basis voor het GIMPS project.

Getallen van de gedaante 2ⁿ - 1 worden nu vernoemd naar Mersenne, maar het al dan niet priem zijn van deze getallen is al veel langer onderwerp van onderzoek, vanwege de relatie tussen priemgetallen van de gedaante 2ⁿ - 1 en de zogeheten volmaakte getallen. Een volmaakt getal is een natuurlijk getal waarvan de som van de echte delers (inclusief 1) gelijk is aan dat getal zelf. Zo is 6 een volmaakt getal, want 6 is deelbaar door 1,2 en 3, terwijl 6 = 1 + 2 + 3. Het eerstvolgende volmaakte getal is 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Volmaakte getallen speelden een rol in de getallenmystiek van de Pythagoreërs, en zo werden deze getallen ook al in de Griekse oudheid onderwerp van onderzoek in de wiskunde. Het is eenvoudig aan te tonen dat een getal van de gedaante 2^n-1(2ⁿ - 1) een volmaakt getal is dan en alleen dan als 2ⁿ - 1 priem is. Er bestaat dus een nauwe relatie tussen de volmaakte getallen en de priemgetallen van Mersenne, en zodoende was men ook in de oudheid al geïnteresseerd in de vraag voor welke (priem)getallen n een getal van de gedaante 2ⁿ - 1 priem is. De eerste vier waarden van n waarvoor dit het geval is zijn n = 2, 3, 5 en 7, en daarmee waren ook de eerste vier volmaakte getallen 6, 28, 496 en 8128 bekend. Het eerstvolgende priemgetal n=11 levert echter geen volmaakt getal op, want 2¹¹ - 1 = 2047 = 23 x 89 en dus niet priem. De vraag waaraan n precies moet voldoen wil 2ⁿ - 1 priem zijn wordt dus al meer dan 2000 jaar gesteld, maar een antwoord op deze vraag is niet in zicht.

interessant!

ik denk dat mijn firefox aan het vastlopen is omdat ik het getal wil bekijken

quote:

Op donderdag 21 september 2006 08:43 schreef jd1982 het volgende:
wat is het nut van een priemgetal? :S

Lees het fantatische en zeer toegankelijke boek "The music of the primes - why an unsolved problem in mathematics matters" van Marcus du Sautoy. Je kunt ook zijn website bezoeken op: http://www.musicoftheprimes.com/

Enige voorbeelden van het nut van priemgetallen:
1. Ze zijn de "moleculen" van alle andere niet-priem getallen.
2. Zonder priemgetallen zou de RSA security methodiek niet bestaan en werd efficient handelen op Internet onmogelijk.
3. Er zijn links gevonden tussen priemgetallen and de quantumfysica (o.a. via Freeman Dyson).
4. Ze beïnvloeden belangrijke beslissingen van mensen. Zo hoorde ik onlangs dat uit onderzoek is gebleken dat zowel officieren van justitie (straf eis) en de rechters (opgelegde straf) alle priemgetallen boven de 10 vermijden. Er wordt dus wel 15 jaar geëist en gegeven maar uiterst zelden 11, 13, 17 of 19 jaar. Priemgetallen zitten dieper in ons dan we denken...

Ik ben al jaren gefascineerd door priemgetallen en heb vele, (creatieve) pogingen ondernomen om een patroon te ontdekken. Tot zover nog niet gelukt en het lijkt er steeds meer op dat "primes indeed grow like weed between the composites". We kunnen het aantal priemgetallen onder een bepaald getal n al zeer nauwkeurig voorspellen (als de Riemann hypothese tenminste ooit bewezen wordt). Zodra we echter inzoomen op een enkel getal en proberen om de volgende priem te voorspellen dan neemt de kans op succes drastisch af. Het begint steeds meer te lijken op een nieuwe "onzekerheidsrelatie"...

Toch blijf ik hopen op een totaal andere benadering om het probleem te kraken (bijv. gebaseerd op heel nieuw stelsel van axioma's, kwalitatief, een toevallig bijproduct van abstracte wiskunde, een fractal die de priem "golf" oplevert, etc.).

Sta open voor ideeën !

Ok dank voor de uitleg.

het aantal cijfers is toch met ln(getal) te bepalen? of iets in de buurt..:D

quote:

Op maandag 25 september 2006 19:22 schreef teletubbies het volgende:
het aantal cijfers is toch met ln(getal) te bepalen? of iets in de buurt..:D

Ja, maar dan moet je wel gebruik maken van gewone logarithmen (met grondtal 10) en niet van natuurlijke logaritmen als je het aantal cijfers van een groot getal in decimale notatie wilt bepalen. Een voorbeeld: de log van een getal tussen 1000 en 10000 (4 cijfers) ligt tussen 3 en 4, dus het gedeelte vóór de komma, vermeerderd met 1 geeft het aantal cijfers.

Stel nu dat we willen weten uit hoeveel cijfers het laatst gevonden priemgetal van Mersenne 2^32582657 - 1 bestaat. We kunnen gebruik maken van het feit dat 2ⁿ geen macht van 10 is, zodat het getal 2^{n - 1} evenveel cijfers heeft als het getal 2ⁿ. Om het aantal cijfers van het getal N = 2^32582657 te bepalen nemen we de logarithme. We vinden dan (met behulp van de calculator in Windows):

log(N) = log(2^32582657) = 32582657 * log(2) =
32582657 * 0.30102999566398119521373889472449... =
9808357.0954309865380992960943673...

Het getal N, en dus ook 2^32582657 - 1, bestaat derhalve uit 9808358 cijfers, zoals ook wordt gemeld op de site van het GIMPS project. Het bestand met daarin het nieuw gevonden priemgetal is overigens 9808360 bytes groot, omdat er aan het einde van het bestand nog 2 bytes zijn toegevoegd, nl. een CR (carriage return, ASCII 0D hex) en een LF (line feed, ASCII 0A hex).

Volgens mij is dat toch vrij lucratief? Volgens mij hoorde ik iemand laatst nog over een beloning van 100.000 euro spreken. :

quote:

Op maandag 25 september 2006 21:31 schreef Zwansen het volgende:
Volgens mij is dat toch vrij lucratief? Volgens mij hoorde ik iemand laatst nog over een beloning van 100.000 euro spreken. :

Het is maar wat je lucratief noemt. Een persoon die anoniem wenst te blijven heeft (al jaren geleden) een aantal geldprijzen uitgeloofd. Dit geld is in bewaring gegeven aan de Electronic Frontier Foundation, die het prijzengeld ook zal uitkeren, zie hier.

De kans dat jij met je PC-tje door deelname aan het GIMPS project een nieuw priemgetal (met meer dan 10 miljoen cijfers) zult vinden en dus die 100.000 dollar (niet euro) zult kunnen incasseren is echter uitermate klein, temeer omdat er een aantal grote instituten deelnemen die dag en nacht een groot aantal PCs laten rekenen. Als het je om het geld te doen is kun je beter een lot kopen in een loterij.

Bij het verkennen van de zogenaamde "twin primes", priemgetallen die slechts 2 van elkaar veschillen zoals 17,19 of 41,43, vond ik een opvallend verband. Wellicht is er een hele logische verklaring voor, maar mijn wiskundige kennis is te beperkt om dit volledig te doorgronden.

Mijn vermoeden is dat alle "twin primes" evenredig rondom een kwadraat gedistribueerd zijn. Neem bijvoorbeeld:
* 5,7 en 11,13 (kwadraat van 3, afstand 2)
* 29,31 en 41,43 (kwadraat van 6, afstand 5)
* 59,61 en 101,103 (kwadraat van 9, afstand 20)
* 17,19 en 269, 271 (kwadraat 12, afstand 125)

Ik heb dit in Excel empirisch getest (enkel voor kwadraten deelbaar door 3) tot ca het 5000ste priemgetal en het blijkt te kloppen.

Paar opmerkingen:
* Er kunnen meerdere "twin prime" ringen voorkomen rondom elk kwadraat.
* Opvallend is de deelbaarheid door 3 van het kwadraat.
* Daarna natuurlijk gepoogd om te testen of deze distributie wellicht gewoon voor alle priemgetallen geldt en dat blijkt ook te kloppen.
* Ook gekeken of er wellicht een verband zit in de afstanden tot het kwadraat, maar na vele avonden proberen zie ik enkel willekeurige patronen.

Mijn vraag is of hier een logische verklaring voor is. Als het klopt dan zou elk priemgetal aan een "maatje" gekoppeld zijn dat, zich op gelijke afstand aan de andere kant van een kwadraat bevindt. Je weet natuurlijk niet aan welk kwadraat(-en) hij gekoppeld is, maar de kans om een nieuwe priem te vinden kan je wellicht zo vergroten.

Je kunt dit mooi laten zien door cirkels rondom het kwadraat te plotten. Heb zelfs gepoogd om de snijpunten van deze cirkels te berekenen in de hoop dat dit een nieuw priemgetal zou opleveren, maar ben vastgelopen in de benodigde wiskunde.

Wie heeft er een wiskundige verklaring ?

post eens zo'n getal

quote:

Op maandag 25 september 2006 22:53 schreef Agno_Sticus het volgende:
Bij het verkennen van de zogenaamde "twin primes", priemgetallen die slechts 2 van elkaar veschillen zoals 17,19 of 41,43, vond ik een opvallend verband. Wellicht is er een hele logische verklaring voor, maar mijn wiskundige kennis is te beperkt om dit volledig te doorgronden.

Mijn vermoeden is dat alle "twin primes" evenredig rondom een kwadraat gedistribueerd zijn. Neem bijvoorbeeld:
* 5,7 en 11,13 (kwadraat van 3, afstand 2)
* 29,31 en 41,43 (kwadraat van 6, afstand 5)
* 59,61 en 101,103 (kwadraat van 9, afstand 20)
* 17,19 en 269, 271 (kwadraat 12, afstand 125)

Ik heb dit in Excel empirisch getest (enkel voor kwadraten deelbaar door 3) tot ca het 5000ste priemgetal en het blijkt te kloppen.

Paar opmerkingen:
* Er kunnen meerdere "twin prime" ringen voorkomen rondom elk kwadraat.
* Opvallend is de deelbaarheid door 3 van het kwadraat.
* Daarna natuurlijk gepoogd om te testen of deze distributie wellicht gewoon voor alle priemgetallen geldt en dat blijkt ook te kloppen.
* Ook gekeken of er wellicht een verband zit in de afstanden tot het kwadraat, maar na vele avonden proberen zie ik enkel willekeurige patronen.

Ik denk niet dat je iets bijzonders op het spoor bent. Zoals thabit hierboven al bewijst moet het kwadraat een drievoud zijn, dus dat is niet opmerkelijk. Uit het feit dat je geen patroon ziet in de afstanden tot het kwadraat blijkt dat je geen wetmatigheid hebt ontdekt. Je zou je hypothese verder kunnen testen door een eenvoudig computerprogramma te schrijven dat voor elk kwadraat van een drievoud op zoek gaat naar twee stel twin primes op gelijke afstanden en het programma laat stoppen zodra er een kwadraat van een drievoud is waarbij er geen twee stel twin primes op gelijke afstanden zijn. Is op zich een leuke programmeeropdracht lijkt me.

Ik vraag me af, aangezien we zelf het getalsysteem hebben bedacht... Is het niet meer dan logisch dat er een imperfectie inzit in de vorm van een chaotische verdeling? Moet het hele getallenstelsel niet op de schop? Ik noem maar een radicaal ideetje

quote:

Op maandag 25 september 2006 23:46 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik denk niet dat je iets bijzonders op het spoor bent. Zoals thabit hierboven al bewijst moet het kwadraat een drievoud zijn, dus dat is niet opmerkelijk. Uit het feit dat je geen patroon ziet in de afstanden tot het kwadraat blijkt dat je geen wetmatigheid hebt ontdekt. Je zou je hypothese verder kunnen testen door een eenvoudig computerprogramma te schrijven dat voor elk kwadraat van een drievoud op zoek gaat naar twee stel twin primes op gelijke afstanden en het programma laat stoppen zodra er een kwadraat van een drievoud is waarbij er geen twee stel twin primes op gelijke afstanden zijn. Is op zich een leuke programmeeropdracht lijkt me.

Dank voor jullie reactie, Riparius en Thabit.

Inderdaad een hele leuke programmeeropdracht!

Wie vindt er het eerste kwadraat van een drievoud, waar op gelijke afstanden geen twee sets van "twin primes" omheen liggen? Volgende test is om hetzelfde uit te voeren, maar dan met gewone priemgetallen.

P.S.
De reden waarom ik niet in hogere getallen gezocht heb is omdat ik in mijn "spelen met priemgetallen".xls spreadsheet geen priemalgoritme heb geprogrammeerd, maar voor de snelheid van VBA simpelweg de eerste 10000 priemgetallen in twee begrensde arrays heb opgeslagen: eentje in de vorm P(priem) = 1 en eentje als P (n) = n-e priemgetal.

[ Bericht 1% gewijzigd door Agno_Sticus op 26-09-2006 11:47:43 ]

quote:

Op dinsdag 26 september 2006 00:09 schreef Agno_Sticus het volgende:

[..]

Dank voor jullie reactie, Riparius en Thabit.

Inderdaad een hele leuke programmeeropdracht!

Ik heb de daad maar even bij het woord gevoegd en zelf een programma geschreven om de dichtstbijzijnde priemtweelingen op gelijke afstanden van kwadraten op te sporen. Geen hoogstandje van programmeerkunst, maar het doet wat het moet doen, en snel.

quote:

Wie vindt er het eerste kwadraat van een drievoud, waar op gelijke afstanden geen twee sets van "twin primes" omheen liggen? Volgende test is om hetzelfde uit te voeren, maar dan met gewone priemgetallen.

Met mijn programma heb ik alle kwadraten van een drievoud tot aan 1 miljard (!) getest, en het blijkt dat er steeds twee priemtweelingen op gelijke afstanden te vinden zijn.

Sterker nog, bij grote getallen zijn er steeds al twee priemtweelingen op relatief geringe afstand, zodat het er niet naar uitziet dat er een kwadraat van een drievoud bestaat waarbij je geen twee priemtweelingen op gelijke afstand zou kunnen vinden. Eenvoudig gezegd komt het er op neer dat priemtweelingen kennelijk zo dicht gezaaid zijn dat er altijd wel een tweetal op gelijke afstand ligt van een kwadraat.

Enkele resultaten:

De grootste afstand die ik heb gevonden (bij de kwadraten tot 1 miljard) is deze (kwadraat van 26646):

710009316: Twins (709837241,709837243) en (710181389,710181391) Afstand: 172073

We zien hier dat de afstand nog steeds heel gering is in verhouding tot de grootte van het kwadraat zelf, nl. ca. 1/4126.

Verder komen er ook bij zeer grote kwadraten nog steeds priemtweelingen op heel kleine afstanden voor, bijvoorbeeld:

640798596: Twins (640798589,640798591) en (640798601,640798603) Afstand: 5

680114241: Twins (680114231,680114233) en (680114249,680114251) Afstand: 8

quote:

P.S.
De reden waarom ik niet in hogere getallen gezocht heb is omdat ik in mijn "spelen met priemgetallen".xls spreadsheet geen priemalgoritme heb geprogrammeerd, maar voor de snelheid van VBA simpelweg de eerste 10000 priemgetallen in twee begrensde arrays heb opgeslagen: eentje in de vorm P(priem) = 1 en eentje als P (n) = n-e priemgetal.

Tja, een spreadsheet en VBA zijn nu niet direct de aangewezen hulpmiddelen om onderzoek te doen naar (grote) priemgetallen. Ik heb mijn programma geschreven in Borland Pascal, in DOS. Die compiler is inmiddels rijp voor het museum, maar nog steeds onovertroffen voor klusjes als dit (je kon er zelfs 20 jaar geleden op een 8-bits XT al eenvoudig programma's mee schrijven die met 64-bits integers om konden gaan). Als je serieus onderzoek wil gaan doen naar (grote) priemgetallen dan kom je er - naast een solide wiskundekennis natuurlijk - nauwelijks om heen om te leren programmeren in een 'echte' programmeertaal. Als je dat niet wilt of niet kunt, dan zou je eens moeten kijken naar programma's als Maple, Mathematica of Matlab.

Ja, en voor iedereen die nu nieuwsgierig is geworden naar mijn programmaatje, dat kun je hier downloaden, inclusief broncode en een door het programma gegenereerde lijst van priemtweelingen op gelijke afstanden van kwadraten van drievouden tot 1 miljard. Het is, zoals gezegd, een DOS programma, maar het loopt ook gewoon onder XP.

[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 26-09-2006 18:52:35 ]

quote:

Op dinsdag 26 september 2006 19:31 schreef thabit het volgende:
Test het nu eens met gewone getallen ipv kwadraten. Welke daarvan voldoen experimenteel aan het criterium?

Formuleer eens wat preciezer wat je bedoelt met "voldoen experimenteel aan het criterium".

quote:

Op dinsdag 26 september 2006 18:34 schreef Riparius het volgende:

[..]

Ik heb de daad maar even bij het woord gevoegd en zelf een programma geschreven om de dichtstbijzijnde priemtweelingen op gelijke afstanden van kwadraten op te sporen. Geen hoogstandje van programmeerkunst, maar het doet wat het moet doen, en snel.
[..]

Met mijn programma heb ik alle kwadraten van een drievoud tot aan 1 miljard (!) getest, en het blijkt dat er steeds twee priemtweelingen op gelijke afstanden te vinden zijn.

Sterker nog, bij grote getallen zijn er steeds al twee priemtweelingen op relatief geringe afstand, zodat het er niet naar uitziet dat er een kwadraat van een drievoud bestaat waarbij je geen twee priemtweelingen op gelijke afstand zou kunnen vinden. Eenvoudig gezegd komt het er op neer dat priemtweelingen kennelijk zo dicht gezaaid zijn dat er altijd wel een tweetal op gelijke afstand ligt van een kwadraat.

Enkele resultaten:

De grootste afstand die ik heb gevonden (bij de kwadraten tot 1 miljard) is deze (kwadraat van 26646):

710009316: Twins (709837241,709837243) en (710181389,710181391) Afstand: 172073

We zien hier dat de afstand nog steeds heel gering is in verhouding tot de grootte van het kwadraat zelf, nl. ca. 1/4126.

Verder komen er ook bij zeer grote kwadraten nog steeds priemtweelingen op heel kleine afstanden voor, bijvoorbeeld:

640798596: Twins (640798589,640798591) en (640798601,640798603) Afstand: 5

680114241: Twins (680114231,680114233) en (680114249,680114251) Afstand: 8
[..]

Tja, een spreadsheet en VBA zijn nu niet direct de aangewezen hulpmiddelen om onderzoek te doen naar (grote) priemgetallen. Ik heb mijn programma geschreven in Borland Pascal, in DOS. Die compiler is inmiddels rijp voor het museum, maar nog steeds onovertroffen voor klusjes als dit (je kon er zelfs 20 jaar geleden op een 8-bits XT al eenvoudig programma's mee schrijven die met 64-bits integers om konden gaan). Als je serieus onderzoek wil gaan doen naar (grote) priemgetallen dan kom je er - naast een solide wiskundekennis natuurlijk - nauwelijks om heen om te leren programmeren in een 'echte' programmeertaal. Als je dat niet wilt of niet kunt, dan zou je eens moeten kijken naar programma's als Maple, Mathematica of Matlab.

Ja, en voor iedereen die nu nieuwsgierig is geworden naar mijn programmaatje, dat kun je hier downloaden, inclusief broncode en een door het programma gegenereerde lijst van priemtweelingen op gelijke afstanden van kwadraten van drievouden tot 1 miljard. Het is, zoals gezegd, een DOS programma, maar het loopt ook gewoon onder XP.

Indrukwekkend Riparius. Zeker de snelheid van zowel algoritme als het programmeren ervan.

Nou nog een verband in de afstanden vinden... Ik heb zitten denken aan ketens van tweelingpriemgetallen. Uit mijn eerste grafische plots bleek namelijk dat tweelingen vaak zowel de "bovenkant" als de "onderkant" van lagere/hogere kwadraten zijn. Wellicht begint daar het patroon. Het viel me bijvoorbeeld op dat het paar 17,19 pas "opgepikt" wordt door het kwadraat van 12. Dat zou dan bijv. het begin van een nieuwe tweeling-keten moeten zijn.

Dan heb ik nog een hypothese (die je waarschijnlijk eenvoudig kan testen door jouw programma iets te wijzigen):

De kwadraten van alle gehele getallen > 1 zijn omringd door minstens 1 equidistant priemgetallenpaar.

Ben heel erg benieuwd !

P.S.
Heb vanavond ff getest voor de range 2 - 10000 (dus het kwadraat tot 100.000.000) en tot daar klopt het!

[ Bericht 1% gewijzigd door Agno_Sticus op 27-09-2006 00:00:35 ]

quote:

Op dinsdag 26 september 2006 22:26 schreef Agno_Sticus het volgende:

[..]

Indrukwekkend Thabit. Zeker de snelheid van zowel algoritme als het programmeren ervan.

Lees je eigen quote nog eens goed door ...

quote:

Nou nog een verband in de afstanden vinden... Ik heb zitten denken aan ketens van tweelingpriemgetallen. Uit mijn eerste grafische plots bleek namelijk dat tweelingen vaak zowel de "bovenkant" als de "onderkant" van lagere/hogere kwadraten zijn. Wellicht begint daar het patroon. Het viel me bijvoorbeeld op dat het paar 17,19 pas "opgepikt" wordt door het kwadraat van 12. Dat zou dan bijv. het begin van een nieuwe tweeling-keten moeten zijn.

Ik begrijp niet precies wat je hier bedoelt. Dat moet je toch eens beter proberen uit te leggen.

quote:

Dan heb ik nog een hypothese (die je waarschijnlijk eenvoudig kan testen door jouw programma iets te wijzigen):

De kwadraten van alle gehele getallen > 1 zijn omringd door minstens 1 equidistant priemgetallenpaar.

Nee. Deze hypothese is heel gemakkelijk te weerleggen.Thabit heeft dat in feite al gedaan, maar ik zal het nog een keer eenvoudig proberen uit te leggen.

Stel we hebben een getal N en hierbij een equidistant paar priemtweelingen op een afstand k. Dan hebben we dus de priemtweelingen (N-k-2, N-k) en (N+k, N+k+2).

Stel nu dat N geen drievoud is, dan is de rest bij deling van N door 3 gelijk aan 1 of gelijk aan 2. We bekijken nu eerst de situatie dat de rest bij deling van N door 3 gelijk is aan 1.

In dit geval mag de rest van k bij deling door 3 niet gelijk zijn aan 2, want dan zou N+k een drievoud zijn (de som van de resten 1+2 =3), en dus zou N+k niet priem zijn. Maar de rest van k bij deling door mag ook niet gelijk zijn aan 1, want in dat geval zou N-k een drievoud zijn (het verschil van de resten is 1-1 = 0), en dus zou N-k niet priem zijn. Blijft dus alleen de mogelijkheid over dat k een drievoud is, maar dan is N+k+2 = (N+2) + k de som van twee drievouden, en daarmee zelf ook een drievoud, en dus niet priem. Conclusie: er is geen enkele mogelijkheid dat (N-k-2, N-k) en (N+k, N+k+2) twee priemtweelingen zijn als de rest bij deling van N door 3 gelijk is aan 1.

Bekijken we nu de situatie dat de rest bij deling van N door 3 gelijk is aan 2. In dit geval mag de rest bij deling van k door 3 niet gelijk zijn aan 1, want dan zou N+k een drievoud zijn (som van de resten 2+1 = 3) en dus zou N+k niet priem zijn. Maar de rest bij deling van k door 3 mag ook niet gelijk zijn aan 2, want dan zou N-k weer een drievoud zijn (verschil van de resten 2-2 = 0) en dus zou N-k niet priem zijn. Blijft over de mogelijkheid dat k een drievoud is, maar dan is N-k-2 = (N-2) - k het verschil van twee drievouden, en daarmee zelf ook een drievoud, en dus niet priem. Conclusie: er is geen enkele mogelijkheid dat (N-k-2, N-k) en (N+k, N+k+2) twee priemtweelingen zijn als de rest bij deling van N door 3 gelijk is aan 2.

Uit het voorafgaande volgt dat (N-k-2, N-k) en (N+k, N+k+2) uitsluitend twee equidistante priemtweelingen kunnen zijn als N een drievoud is, en daarmee is je hypothese weerlegd.

We hoeven dus alleen bij drievouden op zoek te gaan naar equidistante priemtweelingen. Het is meteen duidelijk dat er voor N=3 en N=6 geen equidistant paar priemtweelingen is, want de kleinste priemtweeling is (3,5) terwijl (7,9) geen priemtweeling is. Voor N=9 hebben we wel een equidistant paar priemtweelingen, namelijk (5,7) en (11,13).

De vraag rijst nu of er voor alle grotere drievouden ook een equidistant
paar priemtweelingen is. Om dit te onderzoeken heb ik mijn programma aangepast om niet slechts alle kwadraten van een drievoud maar alle drievouden zelf te testen en dit levert een zeer verrassend resultaat op.

Het blijkt dat er voor N = 48, 198, 201, 258, 348, 393, 453, 558, 573, 633, 678, 1623 en 2103 geen equidistant paar priemtweelingen is, maar ... dan lijkt het op te houden! Ik heb inmiddels alle drievouden tot 1 miljoen (!) getest, echter zonder nog een verder drievoud te vinden waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is.

De grote vraag is nu: is er een drievoud groter dan 2103 waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is?

Mijn programma is in staat veel grotere drievouden dan 999999 te testen, alleen gaat dit erg lang duren, vandaar dat ik dit niet heb gedaan. Het programma werkt met 32-bits signed integers, en kan dus overweg met getallen tot 2³¹ - 1 = 2147483647 (overigens een priemgetal van Mersenne!).

Om de snelheid van het programma nog wat te verhogen heb ik het algoritme waarmee het priem zijn van een getal wordt getest verbeterd. In eerste instantie testte ik gewoon op deelbaarheid door alle oneven getallen tot aan de vierkantswortel van het te testen getal, maar dat is niet echt efficient. Als een getal bijvoorbeeld niet deelbaar is door 3, dan hoef je niet meer te testen of het misschien deelbaar is door 9. Het is voldoende om te testen op deelbaarheid door priemfactoren. Om dit te realiseren bouwt het programma nu eerst een interne tabel op met alle priemgetallen tot 10⁵. Aangezien je niet verder hoeft te gaan dan de vierkantswortel uit het getal in kwestie is deze lijst voldoende om getallen tot 10¹⁰ op priem zijn te testen.

quote:

Ben heel erg benieuwd !

Ik zou zeggen download hier de nieuwe versie van mijn programma, inclusief een lijst met de dichtstbijzijnde equidistante paren priemtweelingen voor alle drievouden tot 1 miljoen.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 27-09-2006 02:30:08 ]

Ik heb de grootste bekende lul , waar is mijn geld ?

quote:

Op woensdag 27 september 2006 09:06 schreef LocoLatino het volgende:
Ik heb de grootste bekende lul , waar is mijn geld ?

In 't ziekenfonds

quote:

Op woensdag 27 september 2006 02:24 schreef Riparius het volgende:

[..]

Lees je eigen quote nog eens goed door ...
[..]

Ik had deze kapitale fout gisteravond al gezien en reeds gecorrigeerd ! Mea Culpa. Ere wie Ere toekomt.

quote:

Ik begrijp niet precies wat je hier bedoelt. Dat moet je toch eens beter proberen uit te leggen.
[..]

Wat ik bedoel is dat het bovenste equidistante tweelingenpaar van een kwadraat ook weer de onderste van een hoger kwadraat kan zijn (met wellicht een andere afstand). Bij 17,19 is dit niet het geval omdat er geen kwadraat met equidistante tweelingpriemgetallen onder ligt.Mijn vermoeden is dat je dan via kwadraat 144 van 17,19 (start) naar 269, 271 kan springen en dan via een hoger kwadraat naar het volgende equidistante paar (zit op m'n werk dus kon de volgende zo gauw niet berekenen). Op deze wijze vorm je een keten.

quote:

Nee. Deze hypothese is heel gemakkelijk te weerleggen.Thabit heeft dat in feite al gedaan, maar ik zal het nog een keer eenvoudig proberen uit te leggen.

Dat was me reeds volkomen duidelijk, maar dank voor de opnieuw heldere uitleg. Ik denk dat je echter teveel in de tweelingen zat en daardoor mijn hypothese met deze bril geïnterpreteerd hebt. Mijn stelling is dat het alle kwadraten > 1 minstens één set van equidistante priemgetallen (dus enkele) om zich heen hebben. Ik had het woord "paar" niet moeten gebruiken...

quote:

(...)

De vraag rijst nu of er voor alle grotere drievouden ook een equidistant
paar priemtweelingen is. Om dit te onderzoeken heb ik mijn programma aangepast om niet slechts alle kwadraten van een drievoud maar alle drievouden zelf te testen en dit levert een zeer verrassend resultaat op.

Het blijkt dat er voor N = 48, 198, 201, 258, 348, 393, 453, 558, 573, 633, 678, 1623 en 2103 geen equidistant paar priemtweelingen is, maar ... dan lijkt het op te houden! Ik heb inmiddels alle drievouden tot 1 miljoen (!) getest, echter zonder nog een verder drievoud te vinden waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is.

De grote vraag is nu: is er een drievoud groter dan 2103 waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is?

Mijn programma is in staat veel grotere drievouden dan 999999 te testen, alleen gaat dit erg lang duren, vandaar dat ik dit niet heb gedaan. Het programma werkt met 32-bits signed integers, en kan dus overweg met getallen tot 2³¹ - 1 = 2147483647 (overigens een priemgetal van Mersenne!).

Om de snelheid van het programma nog wat te verhogen heb ik het algoritme waarmee het priem zijn van een getal wordt getest verbeterd. In eerste instantie testte ik gewoon op deelbaarheid door alle oneven getallen tot aan de vierkantswortel van het te testen getal, maar dat is niet echt efficient. Als een getal bijvoorbeeld niet deelbaar is door 3, dan hoef je niet meer te testen of het misschien deelbaar is door 9. Het is voldoende om te testen op deelbaarheid door priemfactoren. Om dit te realiseren bouwt het programma nu eerst een interne tabel op met alle priemgetallen tot 10⁵. Aangezien je niet verder hoeft te gaan dan de vierkantswortel uit het getal in kwestie is deze lijst voldoende om getallen tot 10¹⁰ op priem zijn te testen.
[..]

Zeer verrassend resultaat! Nu je een historisch bestand opbouwt van priemgetallen ben ik heel benieuwd naar de volgende hypothese:

Alle tweelingpriemgetallen zijn equidistant tov kwadraten van veelvouden van drie. Maw er bestaan geen tweelingpriemgetallen die niet aan deze voorwaarde voldoen. Als je jouw programma zou runnen dan zouden er gezien de relatief geringen afstanden die je meet, dus geen "widow twins" mogen overblijven onder zeg 99% van het hoogste kwadraat dat je berekend hebt.

quote:

Ik zou zeggen download hier de nieuwe versie van mijn programma, inclusief een lijst met de dichtstbijzijnde equidistante paren priemtweelingen voor alle drievouden tot 1 miljoen.

Leuk! Ga ik vanavond meteen doen.

[ Bericht 1% gewijzigd door Agno_Sticus op 27-09-2006 17:17:33 ]

quote:

Op woensdag 27 september 2006 14:32 schreef Agno_Sticus het volgende:

Wat ik bedoel is dat het bovenste equidistante tweelingenpaar van een kwadraat ook weer de onderste van een hoger kwadraat kan zijn (met wellicht een andere afstand). Bij 17,19 is dit niet het geval omdat er geen kwadraat met equidistante tweelingpriemgetallen onder ligt.Mijn vermoeden is dat je dan via kwadraat 144 van 17,19 (start) naar 269, 271 kan springen en dan via een hoger kwadraat naar het volgende equidistante paar (zit op m'n werk dus kon de volgende zo gauw niet berekenen). Op deze wijze vorm je een keten.
[..]

Ok. Nu begrijp ik het beter.

quote:

Dat was me reeds volkomen duidelijk, maar dank voor de opnieuw heldere uitleg. Ik denk dat je echter teveel in de tweelingen zat en daardoor mijn hypothese met deze bril geïnterpreteerd hebt. Mijn stelling is dat het alle kwadraten > 1 minstens één set van equidistante priemgetallen (dus enkele) om zich heen hebben. Ik had het woord "paar" niet moeten gebruiken...
[..]

Ah, ik begrijp het misverstand nu. Maar je had het steeds over priemtweelingen gehad, en het woord 'paar' maakte de verwarring compleet.

quote:

Zeer verrassend resultaat! Nu je een historisch bestand opbouwt van priemgetallen ben ik heel benieuwd naar de volgende hypothese:

Alle tweelingpriemgetallen zijn equidistant tov kwadraten van veelvouden van drie. Maw er bestaan geen tweelingpriemgetallen die niet aan deze voorwaarde voldoen. Als je jouw programma zou runnen dan zouden er gezien de relatief geringen afstanden die je meet, dus geen "widow twins" mogen overblijven onder zeg 99% van het hoogste kwadraat dat je berekend hebt.
[..]

In deze formulering is je hypothese niet juist, het is namelijk eenvoudig te bewijzen dat de priemtweeling (3,5) geen equidistant paar kan vormen met een andere priemtweeling t.o.v. een kwadraat van een drievoud.

Stel we hebben een drievoud 3n, dan is het kwadraat van dit drievoud (3n)² = 9n². De afstand van dit kwadraat tot de priemtweeling (3,5) bedraagt (9n² -5). De equidistante priemtweeling aan de andere zijde zou dan als eerste lid het getal 9n² + (9n² - 5) = 18n² - 5 moeten hebben. Maar (18n² -5, 18n² - 3) kan geen priemtweeling zijn aangezien het tweede getal van dit paar een drievoud is. Ergo, er bestaat geen priemtweeling die een equidistant paar vormt met (3,5) t.o.v. een kwadraat van een drievoud. Hetzelfde geldt trouwens voor alle drievouden, zoals eenvoudig is in te zien.

Maar goed, als we de 'orphan twins' (3,5) buiten beschouwing laten dan heb je een interessante hypothese. Om deze te testen met een computerprogramma zou je de omgekeerde benadering moeten gebruiken, dus niet uitgaan van kwadraten van drievouden, maar uitgaan van de priemtweelingen en daarbij steeds testen of er een kwadraat van een drievoud is waarbij er een equidistante priemtweeling is aan de andere zijde van dit kwadraat.

quote:

Leuk! Ga ik vanavond meteen doen.

Voorlopig wil ik nog even verder kijken of er misschien meer drievouden zijn waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is, want ik vind de distributie van de drievouden waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is toch wel uiterst merkwaardig. Zo merkwaardig dat ik me al heb afgevraagd of er misschien een bug in mijn programma zit, maar dat lijkt toch niet het geval. Ik heb ook al op het net gezocht of er misschien al onderzoek is gedaan naar equidistante paren priemtweelingen, maar ik heb tot nu toe niets kunnen vinden.

Om ook grotere drievouden binnen een redelijke tijd te kunnen onderzoeken wil ik eerst de efficiency van mijn programma verbeteren, want het programma voert nu nog veel onnodige priemtests uit.

Als we een getal N hebben met op een afstand k aan weerszijde twee priemtweelingen, dan hebben we het equidistante paar (N-k-2, N-k) en (N+k, N+k+2). We weten al dat N een drievoud moet zijn, maar ook over k is het een en ander te zeggen. Zo kan k geen drievoud zijn, want dan zouden N+k en N-k een drievoud zijn. En k mag bij deling door drie ook geen rest 1 hebben, want dan zouden N+k+2 en N-k-2 drievouden zijn. Dus moet k een getal zijn dat bij deling door 3 een rest 2 oplevert, ofwel:

k = 3i + 2, i=0,1,2...

Als N een even drievoud is, dan moet k oneven zijn, dus k = 5, 11, 17 ... en als N een oneven drievoud is, dan moet k even zijn, dus k = 2, 8, 14 ...

Momenteel test mijn programma nog alle waarden van k van 1 tot N-3, maar dat is dus overbodig, want slechts 1 op de 6 waarden van k hoeft te worden getest. Hier liggen dus mogelijkheden voor verbetering van de snelheid van het programma.

quote:

Op woensdag 27 september 2006 18:56 schreef Riparius het volgende:

In deze formulering is je hypothese niet juist, het is namelijk eenvoudig te bewijzen dat de priemtweeling (3,5) geen equidistant paar kan vormen met een andere priemtweeling t.o.v. een kwadraat van een drievoud.

Stel we hebben een drievoud 3n, dan is het kwadraat van dit drievoud (3n)² = 9n². De afstand van dit kwadraat tot de priemtweeling (3,5) bedraagt (9n² -5). De equidistante priemtweeling aan de andere zijde zou dan als eerste lid het getal 9n² + (9n² - 5) = 18n² - 5 moeten hebben. Maar (18n² -5, 18n² - 3) kan geen priemtweeling zijn aangezien het tweede getal van dit paar een drievoud is. Ergo, er bestaat geen priemtweeling die een equidistant paar vormt met (3,5) t.o.v. een kwadraat van een drievoud. Hetzelfde geldt trouwens voor alle drievouden, zoals eenvoudig is in te zien.

Ouch. Ik had (3,5) inderdaad over het hoofd gezien. Mooi bewijs overigens.

quote:

(...)
Als we een getal N hebben met op een afstand k aan weerszijde twee priemtweelingen, dan hebben we het equidistante paar (N-k-2, N-k) en (N+k, N+k+2). We weten al dat N een drievoud moet zijn, maar ook over k is het een en ander te zeggen. Zo kan k geen drievoud zijn, want dan zouden N+k en N-k een drievoud zijn. En k mag bij deling door drie ook geen rest 1 hebben, want dan zouden N+k+2 en N-k-2 drievouden zijn. Dus moet k een getal zijn dat bij deling door 3 een rest 2 oplevert, ofwel:

k = 3i + 2, i=0,1,2...

Als N een even drievoud is, dan moet k oneven zijn, dus k = 5, 11, 17 ... en als N een oneven drievoud is, dan moet k even zijn, dus k = 2, 8, 14 ...

Momenteel test mijn programma nog alle waarden van k van 1 tot N-3, maar dat is dus overbodig, want slechts 1 op de 6 waarden van k hoeft te worden getest. Hier liggen dus mogelijkheden voor verbetering van de snelheid van het programma.

Helder. Ik was tot een soortgelijke conclusie over k gekomen door naar simpelweg naar deelbaarheid van de afstandsgetallen in mijn spreadsheet te kijken. De beschreven deductieve manier is natuurlijk vele malen eleganter. Kleine correctie: k = 2 (i=0) hoef je ook niet te testen voor tweelingpriemgetallen.

Jij stelde eerder dat een mogelijke verklaring voor de ogenschijnlijke equidistantie van priemtweelingen rondom kwadraten kan liggen in de distributie-dichtheid van tweelingpriemen. Als dat inderdaad de verklaring is, dan zou je met een hele kleine wijziging in het programma, een run kunnen doen met de derde macht i.p.v. met een kwadraat en dan kijken of je daarbij hetzelfde resultaat krijgt.

quote:

Op woensdag 27 september 2006 23:51 schreef Agno_Sticus het volgende:

[..]

Ouch. Ik had (3,5) inderdaad over het hoofd gezien. Mooi bewijs overigens.
[..]

Helder. Ik was tot een soortgelijke conclusie over k gekomen door naar simpelweg naar deelbaarheid van de afstandsgetallen in mijn spreadsheet te kijken. De beschreven deductieve manier is natuurlijk vele malen eleganter. Kleine correctie: k = 2 (i=0) hoef je ook niet te testen voor tweelingpriemgetallen.

Dat begrijp ik niet. Neem N=9 en k=2, dan vinden we het equidistante paar priemtweelingen (5,7) en (11,13). Als ik echter k=2 zou overslaan, dan zou het programma toch ten onrechte beweren dat je bij N=9 geen equidistant paar priemtweelingen hebt?

quote:

Jij stelde eerder dat een mogelijke verklaring voor de ogenschijnlijke equidistantie van priemtweelingen rondom kwadraten kan liggen in de distributie-dichtheid van tweelingpriemen. Als dat inderdaad de verklaring is, dan zou je met een hele kleine wijziging in het programma, een run kunnen doen met de derde macht i.p.v. met een kwadraat en dan kijken of je daarbij hetzelfde resultaat krijgt.

Ja, maar dat lijkt me niet interessant. Ik heb tot nu toe alle drievouden tot 2 miljoen getest en nog steeds geen groter drievoud dan 2103 gevonden waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is. Het aantal derde machten van drievouden is - evenals kwadraten van drievouden - een (kleine) deelverzameling van alle drievouden en dus is de kans, evenals bij het testen van de kwadraten van drievouden, nihil dat je dan wel een drievoud (derde macht) vindt waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is.

quote:

Op donderdag 28 september 2006 00:12 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat begrijp ik niet. Neem N=9 en k=2, dan vinden we het equidistante paar priemtweelingen (5,7) en (11,13). Als ik echter k=2 zou overslaan, dan zou het programma toch ten onrechte beweren dat je bij N=9 geen equidistant paar priemtweelingen hebt?
[..]

Dat klopt. Maar 9 is dan ook de enige met afstand 2. Ik heb nooit een hoger getal met afstand 2 gevonden en volgens mij kun je ook bewijzen dat 9 de enige is.

quote:

Ja, maar dat lijkt me niet interessant. Ik heb tot nu toe alle drievouden tot 2 miljoen getest en nog steeds geen groter drievoud dan 2103 gevonden waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is. Het aantal derde machten van drievouden is - evenals kwadraten van drievouden - een (kleine) deelverzameling van alle drievouden en dus is de kans, evenals bij het testen van de kwadraten van drievouden, nihil dat je dan wel een drievoud (derde macht) vindt waarbij er geen equidistant paar priemtweelingen is.

Eens.

quote:

Op donderdag 28 september 2006 17:57 schreef Agno_Sticus het volgende:

[..]

Dat klopt. Maar 9 is dan ook de enige met afstand 2. Ik heb nooit een hoger getal met afstand 2 gevonden en volgens mij kun je ook bewijzen dat 9 de enige is.
[..]

Nee, dit klopt ook niet. Er zijn talloze oneven drievouden met een equidistant paar priemtweelingen op afstand 2. Enkele voorbeelden:

9: Twins ( 5, 7) en ( 11, 13) Afstand: 2
15: Twins ( 11, 13) en ( 17, 19) Afstand: 2
105: Twins ( 101, 103) en ( 107, 109) Afstand: 2
195: Twins ( 191, 193) en ( 197, 199) Afstand: 2
825: Twins ( 821, 823) en ( 827, 829) Afstand: 2

Maar waarschijnlijk bedoel je dat (5,7) en (11,13) het enige paar equidistante priemtweelingen is bij een kwadraat en dat is inderdaad juist en trouwens heel gemakkelijk te bewijzen.

Stel we hebben een paar equidistante priemtweelingen met afstand 2 tot een getal N, dan hebben we dus de paren (N-4, N-2) en (N+2, N+4).

Nu mag de rest van N bij deling door 5 niet gelijk zijn aan 1,2 of 3, want dan zouden resp. N+4, N-2 of N+2 een vijfvoud zijn en dus niet priem. De rest bij deling van N door 5 mag ook niet gelijk zijn aan 4, want dan is N-4 een vijfvoud. N moet dus in zijn algemeenheid zelf een vijfvoud zijn, en een vijfvoud kan geen kwadraat zijn van een drievoud. Er is echter één uitzondering op de eis dat de rest bij deling van N door vijf niet gelijk mag zijn aan 4, en dat is N=9, want in dit geval is N-4 = 5, en dat is weliswaar een vijfvoud, maar ook priem. Zodoende is (5,7) en (11,13) het enige paar priemtweelingen dat op afstand 2 ligt van een getal dat zelf geen vijfvoud is, en daarmee ook het enige stel op afstand 2 van een getal dat een kwadraat van een drievoud kan zijn. En natuurlijk is 9 het kwadraat van 3, maar dat is niet significant.

Ik denk dat je je teveel hebt vastgebeten in de gedachte dat er een bijzonder verband zou zijn tussen equidistante priemtweelingen en kwadraten, maar een dergelijk verband is tot nu toe niet aangetoond en als we kijken naar de eigenschappen van equidistante priemtweelingen die we tot nu toe hebben bewezen, dan ligt een dergelijk verband ook niet in de lijn der verwachting.

quote:

Op donderdag 28 september 2006 18:44 schreef Riparius het volgende:

[..]

Nee, dit klopt ook niet. Er zijn talloze oneven drievouden met een equidistant paar priemtweelingen op afstand 2. Enkele voorbeelden:

9: Twins ( 5, 7) en ( 11, 13) Afstand: 2
15: Twins ( 11, 13) en ( 17, 19) Afstand: 2
105: Twins ( 101, 103) en ( 107, 109) Afstand: 2
195: Twins ( 191, 193) en ( 197, 199) Afstand: 2
825: Twins ( 821, 823) en ( 827, 829) Afstand: 2

Maar waarschijnlijk bedoel je dat (5,7) en (11,13) het enige paar equidistante priemtweelingen is bij een kwadraat en dat is inderdaad juist en trouwens heel gemakkelijk te bewijzen.

Stel we hebben een paar equidistante priemtweelingen met afstand 2 tot een getal N, dan hebben we dus de paren (N-4, N-2) en (N+2, N+4).

Nu mag de rest van N bij deling door 5 niet gelijk zijn aan 1,2 of 3, want dan zouden resp. N+4, N-2 of N+2 een vijfvoud zijn en dus niet priem. De rest bij deling van N door 5 mag ook niet gelijk zijn aan 4, want dan is N-4 een vijfvoud. N moet dus in zijn algemeenheid zelf een vijfvoud zijn, en een vijfvoud kan geen kwadraat zijn van een drievoud. Er is echter één uitzondering op de eis dat de rest bij deling van N door vijf niet gelijk mag zijn aan 4, en dat is N=9, want in dit geval is N-4 = 5, en dat is weliswaar een vijfvoud, maar ook priem. Zodoende is (5,7) en (11,13) het enige paar priemtweelingen dat op afstand 2 ligt van een getal dat zelf geen vijfvoud is, en daarmee ook het enige stel op afstand 2 van een getal dat een kwadraat van een drievoud kan zijn. En natuurlijk is 9 het kwadraat van 3, maar dat is niet significant.

Ik denk dat je je teveel hebt vastgebeten in de gedachte dat er een bijzonder verband zou zijn tussen equidistante priemtweelingen en kwadraten, maar een dergelijk verband is tot nu toe niet aangetoond en als we kijken naar de eigenschappen van equidistante priemtweelingen die we tot nu toe hebben bewezen, dan ligt een dergelijk verband ook niet in de lijn der verwachting.

Got it. Ik heb me inderdaad helemaal op kwadraten gefocused. Door de veelvouden van 3 te doorlopen krijg je natuurlijk een beter beeld dan door kwadraten te gebruiken. Ik ben in al mijn analyses met kwadraten kennelijk ook over de bijzondere reeks 3, 6, 48...2103 heen gesprongen. Wat kan dit rijtje overigens betekenen? Wordt het wellicht veroozaakt door het feit dat er bij kleinere getallen net even te weinig priemtweelingen zijn om deze drievouden equidistant te omringen?