abonnement bol.com Unibet Coolblue
pi_152653491
Weet iemand hoe je de extremen (extreme waarden) van |x^2-4| moet berekenen? Ik dacht er zelf aan om de functie te differentiëren en dan f'(x)=0 oplossen;
f'(x)=2x
0=2x
x=0
Echter staat in het antwoordenboek dat |x|=√x^2, dus f(x)=√(x^2 -4)^2 (kwadraat in de wortelfunctie)
Dit differentiëren ze dan en daar komt x=0, x=2 en x=-2 uit. Ik begrijp niet hoe dit precies in elkaar zit, zou iemand mij dit kunnen uitleggen?
  zaterdag 16 mei 2015 @ 16:53:10 #227
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_152653622
quote:
0s.gif Op zaterdag 16 mei 2015 16:48 schreef BrokenBoy het volgende:
Weet iemand hoe je de extremen (extreme waarden) van |x^2-4| moet berekenen? Ik dacht er zelf aan om de functie te differentiëren en dan f'(x)=0 oplossen;
f'(x)=2x
0=2x
x=0
Echter staat in het antwoordenboek dat |x|=√x^2, dus f(x)=√(x^2 -4)^2 (kwadraat in de wortelfunctie)
Dit differentiëren ze dan en daar komt x=0, x=2 en x=-2 uit. Ik begrijp niet hoe dit precies in elkaar zit, zou iemand mij dit kunnen uitleggen?
Die rechte strepen betekenen 'absolute waarde' oftewel de positieve waarde. |x| is uit te drukken als √ (x2) (immers, |2| = |-2| = √(22) = √((-2)2) en daarmee kun je je functie op de normale manier differentiëren, nulstellen etc.

Ik bekijk dit soort dingen meestal anders: de | | gaat ingrijpen op het punt waar je functie 0 is. Bij f(x) = x2-4 is dat bij x=2 en x=-2, dus daar zitten extreme waarden. De andere extreme waarde zit bij de top van de parabool, dus bij x=0.

Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_152653824
quote:
0s.gif Op zaterdag 16 mei 2015 16:53 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Die rechte strepen betekenen 'absolute waarde' oftewel de positieve waarde. |x| is uit te drukken als √ (x2) (immers, |2| = |-2| = √(22) = √((-2)2) en daarmee kun je je functie op de normale manier differentiëren, nulstellen etc.

Ik bekijk dit soort dingen meestal anders: de | | gaat ingrijpen op het punt waar je functie 0 is. Bij f(x) = x2-4 is dat bij x=2 en x=-2, dus daar zitten extreme waarden. De andere extreme waarde zit bij de top van de parabool, dus bij x=0.
Hartstikke bedankt! Ik begrijp dat |2| = |-2| en dat √(22) = √((-2)2), maar ik begrijp niet dat |x| = √(x2). Weet je waarom dit zo is?

Verder begrijp ik nu dat je ook naar de nulpunten moet kijken, omdat ze hier de minima zijn. Kun je trouwens alleen weten of de nulpunten extreme waarden zijn als je plot of kun je dit algebraïsch bepalen?

Edit: in het antwoordenboek wordt het heel anders (en moeilijker) uitgelegd, hier wordt de kettingregel gebruikt bij het differentiëren van de formule om zo op alle drie de waarden te komen. Moet je dat hier ook zo doen om op een correcte manier de uiterste waarden te berekenen of is jouw manier ook goed? (ik kan een foto maken als je niet begrijpt wat ik bedoel)
  zaterdag 16 mei 2015 @ 17:13:01 #229
346939 Janneke141
Green, green grass of home
pi_152654123
quote:
0s.gif Op zaterdag 16 mei 2015 17:01 schreef BrokenBoy het volgende:

[..]

Hartstikke bedankt! Ik begrijp dat |2| = |-2| en dat √(22) = √((-2)2), maar ik begrijp niet dat |x| = √(x2). Weet je waarom dit zo is?
Komt door de definitie van de absolute waarde. |a| = a als a>0 en |a| = -a als a<0. Als je even bedenkt wat er gebeurt als je een getal eerst kwadrateert en daarna de wortel trekt (√(a2) dus) dan zie je snel genoeg dat dat hetzelfde is.
quote:
Verder begrijp ik nu dat je ook naar de nulpunten moet kijken, omdat ze hier de minima zijn. Kun je trouwens alleen weten of de nulpunten extreme waarden zijn als je plot of kun je dit algebraïsch bepalen?
In dit specifieke geval met de absolute waarde maakt het niet uit. Immers: of het was al een extremum van je functie zonder de absolute waarde, of het wordt het omdat op die plek de grafiek 'omklapt'.
quote:
Edit: in het antwoordenboek wordt het heel anders (en moeilijker) uitgelegd, hier wordt de kettingregel gebruikt bij het differentiëren van de formule om zo op alle drie de waarden te komen. Moet je dat hier ook zo doen om op een correcte manier de uiterste waarden te berekenen of is jouw manier ook goed? (ik kan een foto maken als je niet begrijpt wat ik bedoel)
Ik snap wel wat je bedoelt. Als je duidelijk opschrijft wat je precies doet, voldoet mijn manier natuurlijk ook.
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
pi_152654730
quote:
0s.gif Op zaterdag 16 mei 2015 17:13 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Komt door de definitie van de absolute waarde. |a| = a als a>0 en |a| = -a als a<0. Als je even bedenkt wat er gebeurt als je een getal eerst kwadrateert en daarna de wortel trekt (√(a2) dus) dan zie je snel genoeg dat dat hetzelfde is.

[..]

In dit specifieke geval met de absolute waarde maakt het niet uit. Immers: of het was al een extremum van je functie zonder de absolute waarde, of het wordt het omdat op die plek de grafiek 'omklapt'.

[..]

Ik snap wel wat je bedoelt. Als je duidelijk opschrijft wat je precies doet, voldoet mijn manier natuurlijk ook.
Nu begrijp ik het helemaal. Hartstikke bedankt voor de moeite :) !
pi_152655063
quote:
0s.gif Op zaterdag 16 mei 2015 17:01 schreef BrokenBoy het volgende:

[..]

Edit: in het antwoordenboek wordt het heel anders (en moeilijker) uitgelegd, hier wordt de kettingregel gebruikt bij het differentiëren van de formule om zo op alle drie de waarden te komen. Moet je dat hier ook zo doen om op een correcte manier de uiterste waarden te berekenen of is jouw manier ook goed? (ik kan een foto maken als je niet begrijpt wat ik bedoel)
Als dit echt zo is dan doet je antwoordenboekje iets wat niet klopt, je functie is namelijk niet differentieerbaar voor x = −2 en voor x = 2.
  zondag 17 mei 2015 @ 13:18:54 #232
237554 Holograph
Compay Segundo
pi_152674567
quote:
0s.gif Op vrijdag 15 mei 2015 14:16 schreef thenxero het volgende:

[..]

Wat een vreemde notatie. Meestal staat f voor een density functie.
Het is ook een kansdichtheidsfunctie. Er geldt dat voor alle waarden die x kan aannemen de kans van f_{x}(x)=(1/2)x(1/2)1-x. Merk op dat dit dus altijd 1/2 voor x=-1 en x=1.
  zondag 17 mei 2015 @ 14:47:57 #233
390376 Goldenrush
Everything is a remix.
pi_152677151
Bij de substitutiemethode x ln (x^2+1)dx = (1/2) ln (x^2+1)d(x^2+1)

Waar komt die (1/2) vandaan?
  zondag 17 mei 2015 @ 14:53:31 #234
105018 Borizzz
Thich Nhat Hanh
pi_152677343
Compenseert dat de kettingregel niet, die *2x oplevert bij differentiëren?
kloep kloep
pi_152681235
quote:
99s.gif Op zondag 17 mei 2015 14:47 schreef Goldenrush het volgende:
Bij de substitutiemethode x ln (x^2+1)dx = (1/2) ln (x^2+1)d(x^2+1)

Waar komt die (1/2) vandaan?
Je hebt

\frac{\mathrm{d}(x^2\,+\,1)}{\mathrm{d}x}\,=\,2x

dus

\mathrm{d}(x^2\,+\,1)\,=\,2x\mathrm{d}x

en dus

\int x\ln(x^2\,+\,1)\mathrm{d}x\,=\,\frac{1}{2}\int\ln(x^2\,+\,1)\cdot2x\mathrm{d}x\,=\,\frac{1}{2}\int\ln(x^2\,+\,1)\mathrm{d}(x^2\,+\,1)

Je voert hier een impliciete substutie uit. We kunnen precies hetzelfde ook doen met een expliciete substitutie

u\,=\,x^2\,+\,1

en dan is

\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\,=\,2x

dus

\mathrm{d}u\,=\,2x\mathrm{d}x

en dus

\int x\ln(x^2\,+\,1)\mathrm{d}x\,=\,\frac{1}{2}\int\ln(x^2\,+\,1)\cdot2x\mathrm{d}x\,=\,\frac{1}{2}\int\ln u\mathrm{d}u

Om nu deze onbepaalde integraal verder uit te werken maak je gebruik van partiële integratie, waarbij je de integrand ln u opvat als het product van 1 en ln u, en dan vind je

\int\ln u\mathrm{d}u\,=\,u\ln u\,-\,\int u\cdot u^{-1}\mathrm{d}u\,=\,u\ln u\,-\,\int \mathrm{d}u\,=\,u\ln u\,-\,u\,+\,C\,=\,u(\ln u\,-\,1)\,+\,C

Uiteindelijk krijgen we dus

\int x\ln(x^2\,+\,1)\mathrm{d}x\,=\,\frac{1}{2}(x^2\,+\,1)\left(\ln(x^2\,+\,1)\,-\,1\right)\,+\,C

Zie ook deze post van mij over het gebruik van de substitutieregel.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 17-05-2015 16:31:55 ]
pi_152702027
quote:
0s.gif Op zondag 17 mei 2015 13:18 schreef Holograph het volgende:

[..]

Het is ook een kansdichtheidsfunctie. Er geldt dat voor alle waarden die x kan aannemen de kans van f_{x}(x)=(1/2)x(1/2)1-x. Merk op dat dit dus altijd 1/2 voor x=-1 en x=1.
Wat je zegt klopt niet.

Ten eerste is de functie die je daar opschrijft uberhaupt geen kansdichtheidsfunctie (want de integraal ervan is geen 1). Sterker nog, de integraal convergeert niet want er staat gewoon f_x(x)=1/2 voor alle x.

Ten tweede zijn er per definitie geen kansdichtheidsfuncties voor stochasten die discreet zijn (alleen voor continue stochasten).

En als jij claimt dat X en Y continu zijn, en het enige dat je weet is dat P(X=1)=P(Y=1) en P(X= -1) = P(Y= -1) (lees: 0 = 0 en 0 = 0, want continue stochasten nemen met kans 0 een specifieke waarde aan), dan is de vraagstelling bijzonder vreemd.

De normale notatie is voor discrete variabelen is P(X=x), of desnoods definieer je pX(x) := P(X = x). Ik denk dat jij met de definitie fX(x) := P(X = x) werkt, maar dat is geen standaard notatie.
  maandag 18 mei 2015 @ 09:47:26 #237
237554 Holograph
Compay Segundo
pi_152705166
quote:
0s.gif Op maandag 18 mei 2015 01:01 schreef thenxero het volgende:

[..]

Wat je zegt klopt niet.

Ten eerste is de functie die je daar opschrijft uberhaupt geen kansdichtheidsfunctie (want de integraal ervan is geen 1). Sterker nog, de integraal convergeert niet want er staat gewoon f_x(x)=1/2 voor alle x.

Ten tweede zijn er per definitie geen kansdichtheidsfuncties voor stochasten die discreet zijn (alleen voor continue stochasten).

En als jij claimt dat X en Y continu zijn, en het enige dat je weet is dat P(X=1)=P(Y=1) en P(X= -1) = P(Y= -1) (lees: 0 = 0 en 0 = 0, want continue stochasten nemen met kans 0 een specifieke waarde aan), dan is de vraagstelling bijzonder vreemd.

De normale notatie is voor discrete variabelen is P(X=x), of desnoods definieer je pX(x) := P(X = x). Ik denk dat jij met de definitie fX(x) := P(X = x) werkt, maar dat is geen standaard notatie.
Dit klopt natuurlijk niet, er bestaan ook discrete kansdichtheidsfuncties (discrete pdf's, ook die kunnen worden aangeduid als f_, dat is een notatiekwestie, Bain en Engelhardt doet dan bijv. ook). Merk op dat de f_{x}(x) wel naar 1 gaat, aangezien je moet sommeren over x in Im(X), i.e. x=1 en x=-1. Dat is natuurlijk 1/2+1/2=1. Bij discrete stochasten integreer je niet.
  maandag 18 mei 2015 @ 10:13:39 #238
302030 Amoeba
Floydiaan.
pi_152705749
quote:
0s.gif Op maandag 18 mei 2015 09:47 schreef Holograph het volgende:

[..]

Dit klopt natuurlijk niet, er bestaan ook discrete kansdichtheidsfuncties (discrete pdf's, ook die kunnen worden aangeduid als f_, dat is een notatiekwestie, Bain en Engelhardt doet dan bijv. ook). Merk op dat de f_{x}(x) wel naar 1 gaat, aangezien je moet sommeren over x in Im(X), i.e. x=1 en x=-1. Dat is natuurlijk 1/2+1/2=1. Bij discrete stochasten integreer je niet.
Thenxero doelt erop dat die als kansmassafuncties worden aangeduid, denk ik.
Fervent tegenstander van het korps lasergamers.
pi_152730991
Een korte en misschien stomme vraag:

Het gaat over de onderlinge ligging van een rechte op een assenstelsel.

Jullie kennen deze formule wel: a1/a2=b1/b2=c1/c2 Als dit klopt dan weet je dat de rechten samenvallend zijn. Maar wat nu als a1/a2=b1/b2Is niet gelijk aanc1c2? Wat weet je dan over de rechten?

k=a1 en L=a2 / k=b1 L=b2

Betekend dat rechte k en L dan samenvallend zijn en die 3de niet? Kon er geen concreet antwoord op vinden in mijn cursus en zou toch graag een bevestiging willen :)
Te kort.
pi_152731894
quote:
0s.gif Op maandag 18 mei 2015 22:02 schreef JustRust het volgende:
[snip]

Je vraag is zo goed als onbegrijpelijk. Leer eerst eens om een vraag correct en helder te formuleren. Als je letters voor grootheden introduceert dan moet je altijd duidelijk maken wat deze precies voorstellen. Misbruik ook niet het =-teken om zaken aan elkaar gelijk te stellen die niet aan elkaar gelijk kunnen zijn, zoals een naam van een rechte en een getal.
pi_152731947
quote:
0s.gif Op maandag 18 mei 2015 22:23 schreef Riparius het volgende:

[..]

[snip]

Je vraag is zo goed als onbegrijpelijk. Leer eerst eens om een vraag correct en helder te formuleren. Als je letters voor grootheden introduceert dan moet je altijd duidelijk maken wat deze precies voorstellen. Misbruik ook niet het =-teken om zaken aan elkaar gelijk te stellen die niet aan elkaar gelijk kunnen zijn, zoals een naam van een rechte en een getal.
Waar kan ik deze tekens vinden? Op mijn toetsenbord in ieder geval niet...
Te kort.
pi_152732505
quote:
0s.gif Op maandag 18 mei 2015 22:24 schreef JustRust het volgende:

[..]

Waar kan ik deze tekens vinden? Op mijn toetsenbord in ieder geval niet...
Welke tekens bedoel je? Je vraag is wederom volstrekt onduidelijk.
pi_152732649
quote:
1s.gif Op zaterdag 16 mei 2015 13:40 schreef Borizzz het volgende:

[..]

Ik gebruikte vroeger volgens mij Calculus van Stewart. Vond het een goede methode.
Bedankt voor de tip.
ROBODEMONS..................|:(
pi_152733152
Hier gaan we dan:

k <-> a1.x + b1.y + c1 = 0
l <-> a2.x + b2.y + c2 = 0

a,b en c ∈ R (reële getallen)

Op die formule gebruik ik: ( / = breukstreep) a1/a2=b1/b2(=c1/cc)

Als al die 3 breuken gelijk zijn (c hebben we dus nu niet nodig) dan weten we dat de rechten samenvallend zijn. Maar in dit geval zijn alleen k en l gelijk, maar p (3de rechten, niet vermeld) niet.

betekend dit dat k en l samenvallend zijn en dat p ergens anders ligt? Of vallen alle rechten op een andere plek omdat de formule nu niet meer klopt.

Ik hoop dat dit wat duidelijk is :{
Te kort.
pi_152734087
quote:
0s.gif Op maandag 18 mei 2015 22:50 schreef JustRust het volgende:
Hier gaan we dan:

k <-> a1.x + b1.y + c1 = 0
l <-> a2.x + b2.y + c2 = 0

a,b en c ∈ R (reële getallen)

OK. Dit is al een stuk duidelijker. Je hebt twee lineaire vergelijkingen in de variabelen x en y die elk een rechte voorstellen in een cartesisch assenstelsel. De reële getallen a1, b1, c1 zijn de coëfficiënten van de eerste vergelijking van een rechte die je k noemt en de reële getallen a2, b2, c2 zijn de coëfficiënten van de tweede vergelijking van een rechte die je l noemt.
quote:
Op die formule gebruik ik: ( / = breukstreep) a1/a2=b1/b2(=c1/cc)

Als al die 3 breuken gelijk zijn (c hebben we dus nu niet nodig) dan weten we dat de rechten samenvallend zijn.
Nee hoor, hier vergis je je in, c1 en c2 heb je ook nodig. Als je bijvoorbeeld hebt

k: 2x + 3y + 4 = 0
l: 4x + 6y + 7 = 0

dan vallen de rechten k en l niet samen. Het is eenvoudig in te zien waarom niet. Als we beide leden van de vergelijking van k met 2 vermenigvuldigen dan hebben we

k: 4x + 6y + 8 = 0
l: 4x + 6y + 7 = 0

Voor een gegeven punt met coördinaten (x, y) kan 4x + 6y echter nooit zowel −8 als −7 zijn, en dat betekent dat de rechten k en l dus geen enkel punt gemeen kunnen hebben, oftewel de lijnen k en l lopen in dit voorbeeld evenwijdig.
quote:
Maar in dit geval zijn alleen k en l gelijk, maar p (3de rechte, niet vermeld) niet.
Als je een vraagstuk over drie rechten aan de orde wil stellen, dan moet je ook duidelijk maken wat die derde rechte dan is, anders is je vraag niet te beantwoorden.
quote:
betekent dit dat k en l samenvallend zijn en dat p ergens anders ligt? Of vallen alle rechten op een andere plek omdat de formule nu niet meer klopt.

Ik hoop dat dit wat duidelijk is :{
Nee, je vraag is nog steeds onduidelijk. Als je twee rechten hebt in een plat vlak, dan zijn er drie mogelijkheden, namelijk (1) de rechten snijden elkaar in één punt, (2) de rechten hebben geen punt gemeen en lopen evenwijdig, en (3) de rechten vallen geheel en al samen.

De twee vergelijkingen van twee rechten vormen samen een stelsel in de variabelen x en y. Door dit stelsel op te lossen kun je vaststellen welk van de drie genoemde situaties zich voordoet. In geval (1) heeft je stelsel precies één oplossing, in geval (2) heeft je stelsel geen oplossing, en in geval (3) heeft je stelsel oneindig veel oplossingen.
pi_152789454


[ Bericht 100% gewijzigd door bollie88 op 22-05-2015 00:23:23 ]
pi_152798707
Dag allen,

Op een of andere manier lukt het me niet om deze vergelijking algebraïsch op te lossen?
Heeft een van jullie enig idee?

Verstand is de wiskunde van het gevoel.
  woensdag 20 mei 2015 @ 19:53:27 #248
105018 Borizzz
Thich Nhat Hanh
pi_152799161
Is die streep naast de 2 een absoluut teken? En waar is de andere dan?
kloep kloep
pi_152799294
quote:
0s.gif Op woensdag 20 mei 2015 19:42 schreef Integrationcalculus het volgende:
Dag allen,

Op een of andere manier lukt het me niet om deze vergelijking algebraïsch op te lossen?
Heeft een van jullie enig idee?

[ afbeelding ]
Ik neem aan dat dat verticale streepje | geheel rechts een cursor is die dus niet tot de vergelijking behoort?

Trek eerst eens 2 af van beide leden van je vergelijking, kun je dan de vergelijking wel verder oplossen?
pi_152799318
quote:
0s.gif Op woensdag 20 mei 2015 19:53 schreef Borizzz het volgende:
Is die streep naast de 2 een absoluut teken? En waar is de andere dan?
Dat is niet het absoluut teken. Je moest een vergelijk opstellen met de volgende gegevens:


Ik vind het raar dat ik hier niet uitkom op het goede antwoord.
Numeriek kwam ik uit op 2.66667 (2 2/3).

EDIT: AL GELUKT.
Ik vergat dat 1/2^0 = 1.

[ Bericht 2% gewijzigd door Integrationcalculus op 20-05-2015 20:02:39 (--) ]
Verstand is de wiskunde van het gevoel.
abonnement bol.com Unibet Coolblue
Forum Opties
Forumhop:
Hop naar:
(afkorting, bv 'KLB')