[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

quote:

Op zondag 25 januari 2015 00:10 schreef Riparius het volgende:

[..]

Graag gedaan. Maar waarom was je zo geïnteresseerd in dit triviale vraagstukje?

Ik lag vanochtend na te denken of de som van twee polynomen met reële nulpunten ook per definitie reële nulpunten heeft. Ik bedacht toen dat 'bewijs' dat dus fout blijkt te zijn, en ik wilde graag weten of die klopte.

Oh op die manier

quote:

Op zondag 25 januari 2015 00:15 schreef netchip het volgende:

[..]

Ik lag vanochtend na te denken of de som van twee polynomen met reële nulpunten ook per definitie reële nulpunten heeft. Ik bedacht toen dat 'bewijs' dat dus fout blijkt te zijn, en ik wilde graag weten of die klopte.

Als jouw bewering juist zou zijn geweest dan zou elk polynoom van een reële variabele een reëel nulpunt hebben, maar je weet heel goed dat dit niet klopt omdat een kwadratische functie als grafiek een parabool heeft, en die kan geheel onder of geheel boven de x-as liggen, en dan zijn er geen reële nulpunten.

Het is overigens wél zo dat elk reëel polynoom van oneven graad tenminste één reëel nulpunt heeft. Probeer dat maar eens te bewijzen.

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 25-01-2015 03:15:52 ]

quote:

Op zondag 25 januari 2015 03:21 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Jij keurde mijn bewijs toen af, ik toonde aan dat f in limiet naar zowel positief als negatief oneindig ging om me vervolgens te beroepen op de tussenwaardestelling voor continue functies. Heb je nog ooit uitgelegd waarom dat fout was?

Ja, dat heb ik destijds aangegeven. Het probleem was uiteraard niet dat je je op de tussenwaardestelling beriep, maar de manier waarop je meende aan te kunnen tonen dat een reëel polynoom P(x) van oneven graad van teken wisselt, in casu dat er een X₀ > 0 bestaat zodanig dat voor een willekeurige r > X₀ het teken van P(r) en P(-r) tegengesteld is. In eerste instantie begreep je kennelijk niet dat je daarvoor de driehoeksongelijkheid moest gebruiken, en vervolgens trok je een conclusie die je niet kunt trekken zoals ik ook heb aangegeven alvorens de uitwerking te geven die ik in gedachten had.

Hallo,

Ik heb tweetal vragen:

Wat wordt er bedoeld met convergeren en divergeren en hoe kun je dat weten/berekenen, evenals het feit dat 1/x kleiner moet zijn dan 1 en x groter moet zijn dan 1? Daarnaast... waarom klapt het ongelijkheidsteken om, het is toch geen deling met een negatief getal?



Dezelfde vraag hier:




Waarom zou | x² | < 1 moeten zijn zodat het convergeert?

[ Bericht 5% gewijzigd door Andijvie_ op 26-01-2015 12:37:12 ]

Nog een paar voorbeelden:

-2 + 6 - 18 + 54... --> waarbij startgetal = -2 en quotient = -3 en n = oneindig --> divergent (waarom?!!? ) je komt toch op convergentie uit? want --> -2/(1+3) = -2/4 --> formule: a/(1-k)

En :

2^1/3 + 1 + 2^-1/3 + 2^-2/3 + ...

a = 2^1/3
k = 2^-1/3
n = oneindig

[ Bericht 0% gewijzigd door Andijvie_ op 26-01-2015 12:36:41 ]

quote:

Op maandag 26 januari 2015 11:37 schreef Andijvie_ het volgende:
Hallo,

Ik heb tweetal vragen:

Wat wordt er bedoeld met convergeren en divergeren en hoe kun je dat weten/berekenen, evenals het feit dat 1/x kleiner moet zijn dan 1 en x groter moet zijn dan 1? Daarnaast... waarom klapt het ongelijkheidsteken om, het is toch geen deling met een negatief getal?

[ afbeelding ]

Dezelfde vraag hier:

[ afbeelding ]

Waarom zou | x² | < 1 moeten zijn zodat het convergeert?

Het probleem is dat je kennelijk niet weet hoe je een meetkundige reeks met een eindig aantal termen sommeert, en als gevolg daarvan begrijp je kennelijk ook niet dat een oneindige meetkundige reeks convergeert dan en slechts dan als de absolute waarde van de reden van de meetkundige reeks kleiner is dan 1.

Trek nu eerst wat tijd uit om deze post van mij eens goed te bestuderen, zodat je begrijpt hoe je de som bepaalt van een meetkundige reeks met een eindig aantal termen. Ga pas verder met het bestuderen van onderstaande tekst nadat je mijn oude post hebt doorgenomen.

Hebben we een meetkundige reeks met als eerste term a en als reden r ≠ 1, dan is de som S_n van de eerste n termen:



Is nu de absolute waarde van de reden r van de reeks kleiner dan 1, dus |r| < 1, dan zal rⁿ in bovenstaande uitdrukking voor S_n steeds dichter tot nul naderen als we n steeds groter maken, dus als we steeds meer termen nemen en deze sommeren. Dat wil dus zeggen dat S_n dan steeds dichter zal naderen tot a/(1-r), oftewel, S_n nadert voor n → ∞ dan tot een limiet die we aan kunnen duiden met S, in formulevorm:



We kunnen dan zeggen dat de meetkundige reeks convergeert en dat S de som is van deze oneindige meetkundige reeks met eerste term a en reden r, mits |r| < 1.

Een eenvoudig voorbeeld is de meetkundige reeks die je krijgt door a = 1 te nemen als eerste term en r = ½ als reden:



Als je de som bepaalt van steeds meer termen van deze reeks dan zie je gemakkelijk dat je steeds dichter in de buurt van 2 komt, omdat immers de nog resterende afstand van de som van een aantal termen tot 2 steeds halveert wanneer je de eerstvolgende term erbij neemt. De som van een eindig aantal termen van deze reeks wordt nooit exact 2, maar we kunnen wel willekeurig dicht in de buurt van 2 komen als we maar voldoende termen nemen. De limiet van de deelsom S_n van de eerste n termen is dus 2 voor n → ∞ en we kunnen dit ook kortweg uitdrukken door te zeggen dat deze reeks convergeert en dat de som van deze oneindige reeks gelijk is aan 2. We noemen dit ook een convergente reeks. Als je in bovenstaande formule S = a/(1-r) voor de som van een convergente oneindige meetkundige reeks a = 1 en r = ½ invult, dan vind je uiteraard ook S = 1/(1-½) = 2.

Is de absolute waarde van de reden r daarentegen groter dan 1, dan zal rⁿ niet tot een bepaalde waarde naderen als we n steeds groter laten worden, en dan zal de som S_n van de eerste n termen van de reeks dus ook niet tot een bepaalde waarde naderen als we het aantal termen n dat we optellen steeds groter laten worden. We zeggen dan dat de reeks divergeert. Een heel eenvoudig voorbeeld krijgen we door weer als eerste term a = 1 te nemen, maar nu als reden r = 2, dan hebben we:



Het is duidelijk dat de som van een aantal termen van deze reeks steeds groter wordt en bovendien onbeperkt toeneemt als we het aantal termen onbeperkt toe laten nemen: we kunnen de som groter laten worden dan ieder willekeurig gekozen getal als we maar voldoende termen nemen. Het is dus duidelijk dat de som van de termen van deze meetkundige reeks niet nadert tot een bepaalde waarde als we het aantal termen waarvan we de som nemen onbeperkt toe laten nemen. We zeggen dan dat deze reeks divergeert oftewel dat we hier te maken hebben met een divergente reeks.

Het zal nu hopelijk duidelijk zijn dat de reeks uit je eerste voorbeeld convergeert dan en slechts dan als



Vermenigvuldigen we beide leden van deze ongelijkheid met |x|, dan hebben we



en dit is weer equivalent met



De meetkundige reeks uit je tweede voorbeeld heeft als reden x², en deze reeks is dus convergent dan en slechts dan als



en deze voorwaarde is equivalent met



[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 27-01-2015 18:25:17 ]

Hoi, kan iemand mij uit de brand helpen met een matrix multiplicatie?;



Ik snap de multiplicatie, maar ik snap niet hoe je de matrix kan opschrijven als een functie..? Op het einde staat overigens dat het een 1 x 1 matrix is, maar het is toch een 3x3 matrix (kijkend naar de matrix vóór het = teken van de functie)?

quote:

Op dinsdag 27 januari 2015 14:42 schreef RustCohle het volgende:
Hoi, kan iemand mij uit de brand helpen met een matrix multiplicatie?;

[ afbeelding ]

Ik snap de multiplicatie, maar ik snap niet hoe je de matrix kan opschrijven als een functie..? Op het einde staat overigens dat het een 1 x 1 matrix is, maar het is toch een 3x3 matrix (kijkend naar de matrix vóór het = teken van de functie)?

Kan me niet voorstellen dat dit niet gewoon duidelijk staat uitgelegd op de hoorcollegeslides/verplichte literatuur. Als je geen zin hebt om te lezen, kijk dan die webcasts.

quote:

Op dinsdag 27 januari 2015 14:47 schreef CapnIzzy het volgende:

[..]

Kan me niet voorstellen dat dit niet gewoon duidelijk staat uitgelegd op de hoorcollegeslides/verplichte literatuur. Als je geen zin hebt om te lezen, kijk dan die webcasts.

Nee in de hoorcollegeslides worden, voor mij, de makkelijkste dingen behandeld (waaronder matrix multiplicatie, geen omschrijving van matrix --> functie en andersom). In de literatuur wordt er zijlangs erover gesproken. In de webcast wordt er eveneens niet over gesproken!

quote:

Op dinsdag 27 januari 2015 15:13 schreef RustCohle het volgende:

[..]

Nee in de hoorcollegeslides worden, voor mij, de makkelijkste dingen behandeld (waaronder matrix multiplicatie, geen omschrijving van matrix --> functie en andersom). In de literatuur wordt er zijlangs erover gesproken. In de webcast wordt er eveneens niet over gesproken!

Ik snap niet waar jij een functie ziet. Wat hier staat is: matrix * kolomvector1 = kolomvector2
rijvector1 * kolomvector2 = getal. Alle letters a t/m f en x, y en z zijn gewoon getallen.

quote:

Op dinsdag 27 januari 2015 15:15 schreef Alrac4 het volgende:

[..]

Ik snap niet waar jij een functie ziet. Wat hier staat is: matrix * kolomvector1 = kolomvector2
rijvector1 * kolomvector2 = getal. Alle letters a t/m f en x, y en z zijn gewoon getallen.

Hoe kom je op dit:



EDIT: laat maar! Ik zag die x,y,z niet.

Als er ineens letters worden gebruikt in plaats van getallen moet je in gedachte houden wat je zou doen als er getallen zouden staan. Het ziet er misschien ingewikkelder uit, maar de vermenigvuldiging werkt hetzelfde. En je moet een plus en een lege ruimte (dus nieuwe kolom) niet verwarren.

Vraagje, waarom geldt de volgende gelijkheid? pi/2 - arctan(x) = arctan(1/x)

Mijn eerste gedachte is om de goniometrische gelijkheden te gebruiken maar ik heb de indruk dat ik een simpelere verklaring over het hoofd zie.

quote:

Op dinsdag 27 januari 2015 17:53 schreef Aardappeltaart het volgende:
Als er ineens letters worden gebruikt in plaats van getallen moet je in gedachte houden wat je zou doen als er getallen zouden staan. Het ziet er misschien ingewikkelder uit, maar de vermenigvuldiging werkt hetzelfde. En je moet een plus en een lege ruimte (dus nieuwe kolom) niet verwarren.

Ik denk dat ik zijn probleem begrijp. Een 1*3 matrix wordt vermenigvuldigd met een 3*3 matrix. Dan krijg je dus een 1*3 matrix als resultaat. Echter telt die docent getallen vanuit verschillende kolommen bij elkaar op en maakt hij er een 1*1 matrix van. Dat komt op mij ook wat raar over.

quote:

Op dinsdag 27 januari 2015 20:17 schreef Bram_van_Loon het volgende:
Vraagje, waarom geldt de volgende gelijkheid? pi/2 - arctan(x) = arctan(1/x)

Mijn eerste gedachte is om de goniometrische gelijkheden te gebruiken maar ik heb de indruk dat ik een simpelere verklaring over het hoofd zie.

Probeer 'm eens met de definitie van de tangens in een driehoek, dan zie je 'm waarschijnlijk meteen.

quote:

Op dinsdag 27 januari 2015 20:22 schreef Bram_van_Loon het volgende:

[..]

Ik denk dat ik zijn probleem begrijp. Een 1*3 matrix wordt vermenigvuldigd met een 3*3 matrix. Dan krijg je dus een 1*3 matrix als resultaat. Echter telt die docent getallen vanuit verschillende kolommen bij elkaar op en maakt hij er een 1*1 matrix van. Dat komt op mij ook wat raar over.

Er komt in zijn post nergens een 1x3 matrix keer een 3x3 matrix voor.

quote:

Op dinsdag 27 januari 2015 20:17 schreef Bram_van_Loon het volgende:
Vraagje, waarom geldt de volgende gelijkheid? pi/2 - arctan(x) = arctan(1/x)

Mijn eerste gedachte is om de goniometrische gelijkheden te gebruiken maar ik heb de indruk dat ik een simpelere verklaring over het hoofd zie.

De tangens en de cotangens van eenzelfde hoek zijn elkaars inverse en tevens is de cotangens van een hoek gelijk aan de tangens van het complement van die hoek. Wat denk je daarvan?

Merk overigens op dat je identiteit niet geldt voor x < 0, dan zijn arctan(x) en arctan(1/x) beide negatief en is de som dus niet gelijk aan π/2.

[ Bericht 9% gewijzigd door Riparius op 27-01-2015 21:12:07 ]

quote:

Op dinsdag 27 januari 2015 20:17 schreef Bram_van_Loon het volgende:
Vraagje, waarom geldt de volgende gelijkheid? pi/2 - arctan(x) = arctan(1/x)

Mijn eerste gedachte is om de goniometrische gelijkheden te gebruiken maar ik heb de indruk dat ik een simpelere verklaring over het hoofd zie.

Dus


[ Bericht 0% gewijzigd door Mathemaat op 27-01-2015 21:36:56 ]

Kan iemand mij aub met deze vraag helpen:


Ik ben tot hier gekomen maar kom er niet uit :



Het goeie antwoord moet zijn 3/2 pi

Edit: laat maar, antwoord is al gegeven.

quote:

Op zaterdag 31 januari 2015 21:13 schreef thabit het volgende:
Edit: laat maar, antwoord is al gegeven.

wat bedoel je ?

quote:

Op zaterdag 31 januari 2015 20:53 schreef ronaldoo12 het volgende:
Kan iemand mij aub met deze vraag helpen:
[ afbeelding ]

Ik ben tot hier gekomen maar kom er niet uit :

[ afbeelding ]

Het goeie antwoord moet zijn 3/2 pi

x = r cos θ + 1
y = r sin θ

quote:

Op zaterdag 31 januari 2015 21:38 schreef Anoonumos het volgende:

[..]

x = r cos θ + 1
y = r sin θ

waarom +1 ?