[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

vrijdag 10 oktober 2014 @ 21:44:43 #101

GeschiktX

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 21:37 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
$s(p) = p^p \ln p$
$\ln \, s(p) = \ln (p^p \ln p) = p \ln p + \ln (\ln p)$
Elasticiteit is dan gegeven door
$Es(p) = \frac{d \ln s(p)}{d \ln p} = \frac{d}{d \ln p}p \ln p + \frac{d}{d \ln p} \ln(\ln p)$
De laatste term is heel makkelijk te berekenen
$\frac{d}{d \ln p} \ln(\ln p) = \frac{1}{\ln p}$
Kettingregel gebruiken en dan kunnen we de afgeleide in de eerste term herschrijven tot
$\frac{d}{d \ln p} = \frac{d}{d p}\frac{dp}{d\ln p}=p \frac{d}{d p}$
Dus dan hebben we
$Es(p) = \frac{1}{\ln p} + p\frac{d}{d p}p \ln p$
Dan nog de productregel gebruiken en je krijgt
$Es(p) = \frac{1}{\ln p} + p(1 + \ln p)$
Vul je p = e in dan krijg je
$Es(e)=1+2e$

Die laatste term is juist niet zo lastig te begrijpen, maar die eerste met name doordat er p ln p staat..

ln p valt gewoon weg omdat het d ln s(p) / ln p is.. maar door die p naast de ln p raak ik in de war...

vrijdag 10 oktober 2014 @ 21:45:52 #102

GeschiktX

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 21:41 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
Ik snap je niet.
[..]
Ach was heel makkelijk te "find and replacen".
En nu ook nog eens minder noise van 1 symbool per log
Het lettertype dat deze TeX gebruikt is ook niet echt super om te lezen, 1 symbool minder maakt het al leesbaarder. (vind ik)

Ik mijzelf ook niet eigenlijk.

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 21:44 schreef Novermars het volgende:
[..]
Maar is zijn hele probleem niet dat hij het best redelijk kan, maar als er ook iets net anders is dan het standaardprobleem, dat het helemaal mis gaat?

Denk dat het probleem is.

vrijdag 10 oktober 2014 @ 21:46:29 #103

GeschiktX

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 21:40 schreef Novermars het volgende:
[..]
Dat maakt toch helemaal niks uit?
In de Engelstalige literatuur is trouwens $\log (x) \equiv \ln(x)$

Klopt alleen het 'base' getal verschilt, maar ln leest lekkerder dan log. Of ligt het nou aan mij ?

vrijdag 10 oktober 2014 @ 21:46:46 #104

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 21:44 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
Die laatste term is juist niet zo lastig te begrijpen, maar die eerste met name doordat er p ln p staat..

Substitueer u = log p, dan krijg je
d/d(log p) log(log p) = d/du log(u) = 1/u

quote:
ln p valt gewoon weg omdat het d ln s(p) / ln p is.. maar door die p naast de ln p raak ik in de war...

ln p valt niet "gewoon" weg...

Je kent toch de productregel?

vrijdag 10 oktober 2014 @ 21:47:50 #105

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 21:46 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
Klopt alleen het 'base' getal verschilt, maar ln leest lekkerder dan log. Of ligt het nou aan mij ?

Nee het basisgetal verschilt niet Log(x) = ln(x).
Als ze een logaritme met basisgetal 10 willen dan geven ze dat expliciet aan.

$^{10}\log$ of $\log_{10}$

vrijdag 10 oktober 2014 @ 21:49:49 #106

GeschiktX

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 21:46 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
Substitueer u = log p, dan krijg je
d/d(log p) log(log p) = d/du log(u) = 1/u
[..]
ln p valt niet "gewoon" weg...
Je kent toch de productregel?

Ja, dat snap ik allemaal wel, maar wat moet ik met die losse p doen als ln p = u.. .Er is nog een losse p

p ln p
-------> p <---------- ln p

vrijdag 10 oktober 2014 @ 21:51:01 #107

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 21:49 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
Ja, dat snap ik allemaal wel, maar wat moet ik met die losse p doen als ln p = u.. .Er is nog een losse p
p ln p
-------> p <---------- ln p

Ja die pijltjes maken het allemaal heel duidelijk... Maar ik gebruik je niet.

vrijdag 10 oktober 2014 @ 21:52:21 #108

GeschiktX

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 21:51 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
Ja die pijltjes maken het allemaal heel duidelijk... Maar ik gebruik je niet.

In het eerste term heb je P * ln p

Ik snap dus niet wat je met die LOSSE P moet doen links van ln p als je door ln p moet differentieren

vrijdag 10 oktober 2014 @ 21:53:20 #109

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 21:52 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
In het eerste term heb je P * ln p
Ik snap dus niet wat je met die LOSSE P moet doen links van ln p als je door ln p moet differentieren

Dat heb ik toch uitgelegd.
Ik gebruik de kettingregel om de afgeleide te herschrijven naar p d/dp.

Heb je de uitwerking van mij wel gelezen? Of heb ik dat voor niks gedaan?

-edit-

Oké ik raakte in de war door jouw taalgebruik

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 21:44 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
Die laatste term is juist niet zo lastig te begrijpen, maar die eerste met name doordat er p ln p staat..
ln p valt gewoon weg omdat het d ln s(p) / ln p is.. maar door die p naast de ln p raak ik in de war...

Ik had in de uitwerking staan dat de tweede term makkelijk te berekenen was en jij reageert dan met "juist niet ... lastig".

Maar de uitleg van die andere term staat gewoon in de uitwerking.

[ Bericht 9% gewijzigd door t4rt4rus op 10-10-2014 21:59:46 ]

vrijdag 10 oktober 2014 @ 21:56:49 #110

GeschiktX

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 21:53 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
Dat heb ik toch uitgelegd.
Ik gebruik de kettingregel om de afgeleide te herschrijven naar p d/dp.
Heb je de uitwerking van mij wel gelezen? Of heb ik dat voor niks gedaan?

Ik heb hem gelezen, maar ik snap de leibniz notatie niet zo vanaf de 'kettingregel' stuk in je post.. Ik gebruik de standaard methode gewoon:

y' en f'(x). Dat soort dingen...

vrijdag 10 oktober 2014 @ 22:03:11 #111

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 21:56 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
Ik heb hem gelezen, maar ik snap de leibniz notatie niet zo vanaf de 'kettingregel' stuk in je post.. Ik gebruik de standaard methode gewoon:
y' en f'(x). Dat soort dingen...

f'(ln(x)) = x f'(x), ofzo...
d/d(ln x) = d/dx dx/d(ln x) = x d/dx

De Leibniz notatie maakt het veel makkelijker.

vrijdag 10 oktober 2014 @ 22:03:55 #112

GeschiktX

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 21:37 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
$s(p) = p^p \ln p$
$\ln \, s(p) = \ln (p^p \ln p) = p \ln p + \ln (\ln p)$
Elasticiteit is dan gegeven door
$Es(p) = \frac{d \ln s(p)}{d \ln p} = \frac{d}{d \ln p}p \ln p + \frac{d}{d \ln p} \ln(\ln p)$
De laatste term is heel makkelijk te berekenen
$\frac{d}{d \ln p} \ln(\ln p) = \frac{1}{\ln p}$
Kettingregel gebruiken en dan kunnen we de afgeleide in de eerste term herschrijven tot
$\frac{d}{d \ln p} = \frac{d}{d p}\frac{dp}{d\ln p}=p \frac{d}{d p}$
Dus dan hebben we
$Es(p) = \frac{1}{\ln p} + p\frac{d}{d p}p \ln p$
Dan nog de productregel gebruiken en je krijgt
$Es(p) = \frac{1}{\ln p} + p(1 + \ln p)$
Vul je p = e in dan krijg je
$Es(e)=1+2e$

Ik weet niet hoe ik het moet uitleggen, maar hoe moet ik die P zien?

Als ik d ln y / d ln p zie dan is het voor mij een ezelsbruggetje dat ik gewoon ln y moet differentieren door ln x net als d y / d x en dus de ln p kan 'zien' als een x..

als ik ln p differentieer wordt dat gewoon 1, maar die losse p....!!

vrijdag 10 oktober 2014 @ 22:04:51 #113

GeschiktX

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 22:03 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
f'(ln(x)) = x f'(x), ofzo...
d/d(ln x) = d/dx dx/d(ln x) = x d/dx
De Leibniz notatie maakt het veel makkelijker.

Die Leibniz begrijp ik tot dusverre wel, evenals wat Riparius al enige tijd geleden heeft uitgelegd in meerdere posts.. Maar vanaf 'kettingregel' in je post snap ik die ene term niet met p ln p!

HOE MOET IK DIE P BENADEREN!!

vrijdag 10 oktober 2014 @ 22:08:03 #114

GeschiktX

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 21:38 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
Waar zie je iets in de vorm "a/b + c/d" staan?

Ik weet niet wat voor gemeenschappelijke noemer ik ervan kan maken..

vrijdag 10 oktober 2014 @ 22:11:23 #115

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 22:04 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
Die Leibniz begrijp ik tot dusverre wel, evenals wat Riparius al enige tijd geleden heeft uitgelegd in meerdere posts.. Maar vanaf 'kettingregel' in je post snap ik die ene term niet met p ln p!
HOE MOET IK DIE P BENADEREN!!

d/dp p ln p = p d/dp ln p + ln p d/dp p...

Dat is gewoon de kettingregel...

En als je weet wat de kettingregel is, plaats dan even duidelijk vanaf welke regel je het niet snapt.

vrijdag 10 oktober 2014 @ 22:20:41 #116

GeschiktX

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 22:11 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

d/dp p ln p = p d/dp ln p + ln p d/dp p...

Dat is gewoon de kettingregel...

En als je weet wat de kettingregel is, plaats dan even duidelijk vanaf welke regel je het niet snapt.

kan je het zonder leibniz notatie opschrijven, dus gewoon beetje op basisniveau ala y' etc..

vrijdag 10 oktober 2014 @ 22:25:35 #117

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 22:20 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
kan je het zonder leibniz notatie opschrijven, dus gewoon beetje op basisniveau ala y' etc..

(p ln p)' = p (ln p)' + p' ln p = 1 + ln p

Waar ' staat voor het afleiden naar p...

vrijdag 10 oktober 2014 @ 22:32:21 #118

GeschiktX

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 22:25 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
(p ln p)' = p (ln p)' + p' ln p = 1 + ln p
Waar ' staat voor het afleiden naar p...

Dat klopt, maar even voor de duidelijkheid:

(ln p)' is gewoon 1 neem ik aan?

ln p is gewoon ln p..

Wat gebeurd er met die p en p' ?

Want je differentieert door ln p en niet door p --> d ln y / d ln p en dus niet d y / d p

vrijdag 10 oktober 2014 @ 22:35:50 #119

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 22:32 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
Dat klopt, maar even voor de duidelijkheid:
(ln p)' is gewoon 1 neem ik aan?
ln p is gewoon ln p..
Wat gebeurd er met die p en p' ?
Want je differentieert door ln p en niet door p --> d ln y / d ln p en dus niet d y / d p

Lees mijn laatste zin eens...

vrijdag 10 oktober 2014 @ 22:39:37 #120

GeschiktX

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 22:35 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
Lees mijn laatste zin eens...

Ow... Maar waarom pas je dan bij die term 'afleiden naar p' toe en niet ''afleiden naar ln p '' zoals die laatste term met ln(ln p) ?

Want bij de elasticiteit van log/ln draait het erom om juist de hele functie af te leiden van ln y naar ln p..

vrijdag 10 oktober 2014 @ 22:40:18 #121

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 22:39 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
Ow... Maar waarom pas je dan bij die term 'afleiden naar p' toe en niet ''afleiden naar ln p '' zoals die laatste term met ln(ln p) ?
Want bij de elasticiteit van log/ln draait het erom om juist de hele functie af te leiden van ln y naar ln p..

Omdat... lees mijn uitwerking nog eens!

quote:
Kettingregel gebruiken en dan kunnen we de afgeleide in de eerste term herschrijven tot
$\frac{d}{d \ln p} = \frac{d}{d p}\frac{dp}{d\ln p}=p \frac{d}{d p}$

vrijdag 10 oktober 2014 @ 22:42:36 #122

GeschiktX

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 22:40 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
Omdat... lees mijn uitwerking nog eens!
[..]

Ja en hoe kan d / d ln p hetzelfde zijn als d / dp * dp / d ln p ?

En wat is dp / d ln p dan? p naar ln p differentieren WHAAT??!

vrijdag 10 oktober 2014 @ 22:45:48 #123

Riparius

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 21:37 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
f(x) = ln (( x+5) / (x+1))
f(x) = ln (x+5) - ln (x+1)
f'(x) = 1/(x+5) - 1/(x+1)
Ik kan niet vinden waar ik de noemer gemeenschappelijk kan maken..

Als je nu eens begint met te bedenken dat je voor x > 0 hebt

1/(x+5) < 1/(x+1)

dan zie je dus direct dat

f'(x) < 0

voor x > 0. Je functie f is dus strict monotoon dalend op het gegeven domein D_f = (0, ∞). Wat denk je daarvan?

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

vrijdag 10 oktober 2014 @ 22:45:53 #124

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 22:42 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
Ja en hoe kan d / d ln p hetzelfde zijn als d / dp * dp / d ln p ?

Kettingregel

quote:
En wat is dp / d ln p dan? p naar ln p differentieren WHAAT??!

Ik dacht dat je die tweede term "juist niet zo lastig" begreep?

vrijdag 10 oktober 2014 @ 22:48:23 #125

GeschiktX

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 22:45 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
Kettingregel
[..]
Ik dacht dat je die tweede term "juist niet zo lastig" begreep?

Ik snap er echt geen ruk van.

Ja d ln y / d ln p van ln p dan is dat gewoon 1... (afgeleide). Maar ik heb geen flauw idee wat de afgeleide van p is als je door ln p differentieert. Het gaat mij niet om de regel of whatever, maar om die losse p.

vrijdag 10 oktober 2014 @ 22:52:57 #126

GeschiktX

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 22:45 schreef Riparius het volgende:
[..]
Als je nu eens begint met te bedenken dat je voor x > 0 hebt
1/(x+5) < 1/(x+1)

dan zie je dus direct dat

f'(x) < 0

voor x > 0. Je functie f is dus strict monotoon dalend op het gegeven domein D_f = (0, ∞). Wat denk je daarvan?

Dit snap ik, maar ik was meer benieuwd naar de ''berekening''

vrijdag 10 oktober 2014 @ 22:54:03 #127

zerak

Exile Vilify

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 22:32 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
Dat klopt, maar even voor de duidelijkheid:
(ln p)' is gewoon 1 neem ik aan?
ln p is gewoon ln p..
Wat gebeurd er met die p en p' ?
Want je differentieert door ln p en niet door p --> d ln y / d ln p en dus niet d y / d p

Nee, (ln p)' is niet 'gewoon' 1, maar 1/p.
Je hebt dus (p ln p)' = p (ln p)' + p' ln p = 1 + ln p = p*(1/p) + 1*ln p = 1 + ln p.

vrijdag 10 oktober 2014 @ 22:56:31 #128

GeschiktX

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 22:54 schreef zerak het volgende:
[..]
Nee, (ln p)' is niet 'gewoon' 1, maar 1/p.
Je hebt dus (p ln p)' = p (ln p)' + p' ln p = 1 + ln p = p*(1/p) + 1*ln p = 1 + ln p.

Maar waarom benader je deze als d / dp en niet als d ln y / ln p zoals het hoort voor de elasticiteit en zoals de tweede term van de functie juist wel benadert is.

vrijdag 10 oktober 2014 @ 22:57:24 #129

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 22:48 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
Ik snap er echt geen ruk van.
Ja d ln y / d ln p van ln p dan is dat gewoon 1... (afgeleide). Maar ik heb geen flauw idee wat de afgeleide van p is als je door ln p differentieert. Het gaat mij niet om de regel of whatever, maar om die losse p.

Kan je de afgeleide naar p van ln p nemen? En neem daar eens de reciprocal van.
Je kan ook een subtitutie gebruik van u = ln p.

Doe ze beide eens!

vrijdag 10 oktober 2014 @ 22:58:18 #130

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 22:56 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
Maar waarom benader je deze als d / dp en niet als d ln y / ln p zoals het hoort voor de elasticiteit en zoals de tweede term van de functie juist wel benadert is.

Ik benader helemaal niks.
Maar gebruik de kettingregel en dan hoef je alleen nog maar een afgeleide naar p te nemen.

vrijdag 10 oktober 2014 @ 23:02:01 #131

zerak

Exile Vilify

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 22:56 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
Maar waarom benader je deze als d / dp en niet als d ln y / ln p zoals het hoort voor de elasticiteit en zoals de tweede term van de functie juist wel benadert is.

Heb je al eens eerder logaritmisch gedifferentieerd?

vrijdag 10 oktober 2014 @ 23:02:04 #132

GeschiktX

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 22:58 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
Ik benader helemaal niks.
Maar gebruik de kettingregel en dan hoef je alleen nog maar een afgeleide naar p te nemen.

In mijn boek staat bijv:

y = a + x^b

Als je de elasticiteit wilt nemen dan :

d ln y / d ln x

Dus:

ln y = ln a + b ln x

ln a = constante dus die valt weg:

y' = 0 + b * 1

Deze methode staat dus in mijn boek en zo probeer ik dit dus te benaderen.

vrijdag 10 oktober 2014 @ 23:02:25 #133

GeschiktX

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 23:02 schreef zerak het volgende:
[..]
Heb je al eens eerder logaritmisch gedifferentieerd?

Ja dat is makkelijk.

t4r4us gebruikt alleen twee verschillende dingen: hij differentieert naar ln p ( d ln y / d ln p ) en daarna past die voor één term opeens d y / d p toe en dat snap ik dus niet.

vrijdag 10 oktober 2014 @ 23:03:10 #134

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 23:02 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
In mijn boek staat bijv:
y = a + x^b
Als je de elasticiteit wilt nemen dan :
d ln y / d ln x
Dus:
ln y = ln a + b ln x
ln a = constante dus die valt weg:
y' = 0 + b * 1
Deze methode staat dus in mijn boek en zo probeer ik dit dus te benaderen.

ln y is daar linear in ln x, dus dan is de afgeleide nemen heel makkelijk.

-edit-
Moet je het natuurlijk wel goed opschrijven.
Het is niet y' maar (ln y)'(ln x)...
Snap je nu waarom de Leibniz notatie makkelijker is?

vrijdag 10 oktober 2014 @ 23:03:45 #135

GeschiktX

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 23:03 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
ln y is daar linear in ln x, dus dan is de afgeleide nemen heel makkelijk.

Ja,..

vrijdag 10 oktober 2014 @ 23:31:14 #136

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 23:03 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
Ja,..

En jouw tentamenvraag niet...

vrijdag 10 oktober 2014 @ 23:34:08 #137

GeschiktX

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 23:31 schreef t4rt4rus het volgende:
[..]
En jouw tentamenvraag niet...

Ik ben er denk ik uit.

Dank je wel voor de uitleg..
Als ik ln p = x neem is het wat overzichtelijker.. voor mij..

En als ik dan gewoon voor alle ln p gewoon x neerzet dan is het zo op te lossen.

vrijdag 10 oktober 2014 @ 23:54:12 #138

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 23:34 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
Ik ben er denk ik uit. Dank je wel voor de uitleg..
Als ik ln p = x neem is het wat overzichtelijker.. voor mij..
En als ik dan gewoon voor alle ln p gewoon x neerzet dan is het zo op te lossen.

Je kan het inderdaad ook zo doen

f(x) = x^x ln x

Ef(x) = d(ln f(x)) / d(ln x) = d/d(ln x) (x ln x + ln ln x)

Substitueer u = ln x <=> x = e^u
Ef(x) = d/du (u e^u + ln u) = e^u + u e^u + 1/u = e^u (1 + u) + 1/u

Substitutie weer toepassen en klaar
Ef(x) = x(1+ ln x) + 1/(ln x)

zaterdag 11 oktober 2014 @ 00:07:02 #139

GeschiktX

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 23:54 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Je kan het inderdaad ook zo doen

f(x) = x^x ln x

Ef(x) = d(ln f(x)) / d(ln x) = d/d(ln x) (x ln x + ln ln x)

Substitueer u = ln x <=> x = e^u
Ef(x) = d/du (u e^u + ln u) = e^u + u e^u + 1/u = e^u (1 + u) + 1/u

Substitutie weer toepassen en klaar
Ef(x) = x(1+ ln x) + 1/(ln x)

oh ik dacht als ik er x van maak dan wordt het ook gewoon d ln y / d x

zaterdag 11 oktober 2014 @ 00:16:47 #140

GeschiktX

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 23:54 schreef t4rt4rus het volgende:

[..]

Je kan het inderdaad ook zo doen

f(x) = x^x ln x

Ef(x) = d(ln f(x)) / d(ln x) = d/d(ln x) (x ln x + ln ln x)

Substitueer u = ln x <=> x = e^u
Ef(x) = d/du (u e^u + ln u) = e^u + u e^u + 1/u = e^u (1 + u) + 1/u

Substitutie weer toepassen en klaar
Ef(x) = x(1+ ln x) + 1/(ln x)

Ik snap dat w.r.t. ln x niet.. ik ben gewoon gewend dat ik w.r.t. x doe bijv.. en dat als je x^2 hebt het 2x wordt en als je hebt x dat het dan 1 wordt. Dus als je w.r.t. ln x doet en je hebt ln x, dan wordt het gewoon 1 toch? Maar wat doe je als je bijv... hebt

ln y = ln x + x

En je wilt de afgeleide berekenen van ln y w.r.t. ln x?

zaterdag 11 oktober 2014 @ 00:27:09 #141

t4rt4rus

Tartarus

quote:
Op zaterdag 11 oktober 2014 00:16 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
Ik snap dat w.r.t. ln x niet.. ik ben gewoon gewend dat ik w.r.t. x doe bijv.. en dat als je x^2 hebt het 2x wordt en als je hebt x dat het dan 1 wordt. Dus als je w.r.t. ln x doet en je hebt ln x, dan wordt het gewoon 1 toch? Maar wat doe je als je bijv... hebt
ln y = ln x + x
En je wilt de afgeleide berekenen van ln y w.r.t. ln x?

Dan pas je dus of substitutie toe

u=ln x
=> ln y = u + e^u
d(ln y)/du = 1 + e^u = 1 + x

of de kettingregel
d(ln y)/d(ln x) = d(ln y)/dx dx/d(ln x) = x d(ln y)/dx = 1 + x

of in dit geval nog makkelijker
d(ln y)/d(ln x) = d(ln x)/d(ln x) + dx/d(ln x) = 1 + x

( dx/d(ln x) = 1/(d(ln x)/dx) = 1/(1/x) = x )

zaterdag 11 oktober 2014 @ 00:30:04 #142

Riparius

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 22:20 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
Kan je het zonder Leibniz notatie opschrijven, dus gewoon beetje op basisniveau ala y' etc ...

Jouw probleem is hier dat je de Leibniz notatie kennelijk nog niet voldoende begrijpt het daarom zonder die notatie wil stellen. Maar dat is nu precies de reden dat je het overzicht kwijt raakt, in de war raakt, en gaat proberen om je er doorheen te slaan met trucjes en ezelsbruggetjes die je eigenlijk al helemaal niet begrijpt, en waarmee je gegarandeerd fouten gaat maken. Dat moet je dus allemaal niet doen.

De notatie van Leibniz is bij uitstek geschikt om te beschrijven hoe variabelen van elkaar afhangen, omdat deze notatie werkt met namen van variabelen, en niet met namen van functies zoals de notatie van Lagrange. Ook hoeven we zo niet elke afhankelijkheidsrelatie eerst een eigen naam te geven om de rate of change van een variabele ten opzichte van een andere variabele te kunnen noteren. En, de kettingregel is in de notatie van Leibniz ook nog eens heel transparant en intuïtief en daarmee gemakkelijk te onthouden en op te schrijven, dus wat wil je nog meer?

Hybride notaties zoals y' voor de rate of change van een variabele y in relatie tot een andere variabele (welke andere variabele?) resp. de afgeleide van een functie (hoe heet die functie?) waarbij y de afhankelijke variabele is (maar welke variabele is dan de onafhankelijke variabele?) zijn af te keuren omdat de prime notatie van Lagrange de afgeleide functie f' aangeeft van een functie f en niet de rate of change van een variabele ten opzichte van een andere variabele. Aan deze hybride notatie ligt dus de verwarring van namen van variabelen met namen van functies ten grondslag, en daarom is deze notatie niet goed.

In feite geeft de prime bij y' alleen maar aan dat dit een andere grootheid is dan y, net zo goed als als de prime bij een punt P' in een meetkundige figuur aangeeft dat dit een ander punt is dan punt P in dezelfde figuur. En uiteraard suggereert de overeenkomst in naamgeving dan dat er een zeker verband bestaat, maar de prime zegt an sich helemaal niets over de aard van dat verband. In een meetkundige figuur kan punt P' bijvoorbeeld het beeld zijn van punt P bij een translatie (om maar wat te noemen), en als punt P bijvoorbeeld de coördinaten (x, y) heeft, dan zouden we de coördinaten van punt P' heel goed kunnen noteren als (x', y'), maar het is duidelijk dat de primes hier niets met differentiëren van doen hebben.

De verwarring tussen namen van functies en namen van variabelen wordt nog verder in de hand gewerkt door een notatie als s(p) waarmee gewoonlijk wordt bedoeld dat s een variabele is die afhangt van een andere variabele p, versus een notatie als f(x) waarmee gewoonlijk wordt bedoeld dat f een functie is waarbij x de onafhankelijke variabele is en waarbij de notatie f(x) staat voor de bij die variabele x behorende functiewaarde. En nu weet ik ook wel dat hybride notaties als y' vaak worden gebruikt, ik gebruik ze zelf ook, maar zeker in het (elementaire) onderwijs zouden dit soort notaties vermeden moeten worden omdat ze getuigen van een conceptuele verwarring en die het studenten die de materie proberen te doorgronden daarmee nog lastiger maakt dan het voor velen kennelijk toch al is.

Heb je nu een variabele s die afhangt van een variabele p, dan hebben we voor de zogeheten elasticiteit Es(p) in de notatie van Leibniz

$\frac{\rm{d}(\ln\,s)}{\rm{d}(\ln\,p)}\,=\,\frac{\rm{d}(\ln\,s)}{\rm{d}s}\,\cdot\,\frac{\rm{d}s}{\rm{d}(\ln\,p)}\,=\,\frac{\rm{d}(\ln\,s)}{\rm{d}s}\,\cdot\,\frac{\rm{d}s}{\rm{d}p}\,\cdot\,\frac{\rm{d}p}{\rm{d}(\ln\,p)}\,=\,\frac{\rm{d}(\ln\,s)}{\rm{d}s}\,\cdot\,\frac{\rm{d}s}{\rm{d}p}\,\cdot\,\left(\frac{\rm{d}(\ln\,p)}{\rm{d}p}\right)^{-1}\,=\,\frac{1}{s}\,\cdot\,\frac{\rm{d}s}{\rm{d}p}\,\cdot\,p$

Zo zie je dus dat we ds/dp moeten vemenigvuldigen met p/s om een uitdrukking voor de elasticiteit van s ten opzichte van p te verkrijgen, waarbij we s in het quotiënt p/s dan uiteraard in p uitdrukken. Heb je nu s = p^p·ln p dan is het enige lastige eigenlijk de bepaling van ds/dp, maar het aardige is dat we hier voor de bepaling van de elasticiteit een directe bepaling van ds/dp kunnen vermijden, als volgt.

Noteren we ds/dp als s'(p) dan hebben we blijkens bovenstaande herleiding ook

$Es(p)\,=\,\frac{s'(p)}{s(p)}\,\cdot\,p$

en zo zie je wellicht duidelijker dat we ook gebruik kunnen maken van logaritmisch differentiëren, want de afgeleide van ln s(p) naar p is immers s'(p)/s(p) en dit hoeven we dan alleen nog te vermenigvuldigen met p om een uitdrukking in p voor Es(p) te verkrijgen.

Dus, om je opgave nog even uit te werken in pseudo Lagrange notatie (pseudo omdat s een naam is van een variabele, en geen naam van een functie) doen we het volgende. We hebben

$s(p)\,=\,p^p\,\cdot\,\ln\,p$

Van beide leden de natuurlijke logaritme nemen geeft

$\ln\,s(p)\,=\,p\,\cdot\,\ln\,p\,+\,\ln(\ln\,p)$

Nu beide leden differentiëren naar p en we krijgen

$\frac{s'(p)}{s(p)}\,=\,1\,\cdot\,\ln\,p\,+\,p\,\cdot\,\frac{1}{p}\,+\,\frac{1}{\ln\,p}\,\cdot\,\frac{1}{p}$

dus

$\frac{s'(p)}{s(p)}\,=\ln\,p\,+\,1\,+\,\frac{1}{p\,\cdot\,\ln\,p}$

Nu moeten we de uitdrukking in het rechterlid nog vermenigvuldigen met p om de elasticiteit Es(p) in p uit te drukken, dus hebben we

$Es(p)\,=\,p\,\cdot\,\ln\,p\,+\,p\,\cdot\,1\,+\,p\,\cdot\,\frac{1}{p\,\cdot\,\ln\,p}$

en dit geeft

$Es(p)\,=\,p\,\cdot\,\ln\,p\,+\,p\,+\,\frac{1}{\ln\,p}$

Nu werd de elasticiteit gevraagd voor p = e, dus vullen we dit in en dan vinden we

$Es(e)\,=\,e\,\cdot\,\ln\,e\,+\,e\,+\,\frac{1}{\ln\,e}\,=\,e\,+\,e\,+\,1\,=\,2e\,+\,1$

Het kan dus allemaal best zonder Leibniz, en zonder de draad kwijt te raken, maar je hebt de Leibniz notatie toch nodig om te begrijpen wat er wordt bedoeld met een notatie als

$\frac{\rm{d}(\ln\,s)}{\rm{d}(\ln\,p)}$

als definitie voor de elasticiteit van een (positieve) variabele s die afhangt van een (positieve) variabele p, en ook om op een eenvoudige en overzichtelijke wijze in te zien dat dit gelijk is aan

$\frac{1}{s}\,\cdot\,\frac{\rm{d}s}{\rm{d}p}\,\cdot\,p$

oftewel

$\frac{s'(p)}{s(p)}\,\cdot\,p$

[ Bericht 16% gewijzigd door Riparius op 11-10-2014 05:58:55 ]

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

zaterdag 11 oktober 2014 @ 09:58:29 #143

Riparius

quote:
Op vrijdag 10 oktober 2014 23:02 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
In mijn boek staat bijv:
y = a + x^b
Als je de elasticiteit wilt nemen dan :
d ln y / d ln x
Dus:
ln y = ln a + b ln x

Nee! Je zou toch ondertussen wel in de gaten moeten hebben dat

ln(p + q)

niet equivalent is met

ln p + ln q

Als dat wel zo was dan zou ln x lineair afhangen van x en dat is niet zo. Bovendien is ln p + ln q al equivalent met

ln pq

en je wil toch niet beweren dat p + q hetzelfde is als pq ?

quote:
ln a is een constante dus die valt weg:

Je mag nooit het =-teken misbruiken als vervanging van de werkwoordsvorm is in een zin.

quote:
y' = 0 + b * 1
Deze methode staat dus in mijn boek en zo probeer ik dit dus te benaderen.

Ik geloof er niets van dat dit zo in je boek staat. Waarschijnlijk staat er

y = ab^x

Zie ook hier.

Gebruik ook niet het woord benaderen voor het aanpakken van een vraagstuk of probleem want hiermee wek je misverstanden. Het gaat hier niet om het vinden van een numerieke benadering van de elasticiteit maar om het vinden van een (exacte) uitdrukking voor de elasticiteit.

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

zaterdag 11 oktober 2014 @ 09:59:33 #144

GeschiktX

quote:
Op zaterdag 11 oktober 2014 00:30 schreef Riparius het volgende:

[..]

Jouw probleem is hier dat je de Leibniz notatie kennelijk nog niet voldoende begrijpt het daarom zonder die notatie wil stellen. Maar dat is nu precies de reden dat je het overzicht kwijt raakt, in de war raakt, en gaat proberen om je er doorheen te slaan met trucjes en ezelsbruggetjes die je eigenlijk al helemaal niet begrijpt, en waarmee je gegarandeerd fouten gaat maken. Dat moet je dus allemaal niet doen.

De notatie van Leibniz is bij uitstek geschikt om te beschrijven hoe variabelen van elkaar afhangen, omdat deze notatie werkt met namen van variabelen, en niet met namen van functies zoals de notatie van Lagrange. Ook hoeven we zo niet elke afhankelijkheidsrelatie eerst een eigen naam te geven om de rate of change van een variabele ten opzichte van een andere variabele te kunnen noteren. En, de kettingregel is in de notatie van Leibniz ook nog eens heel transparant en intuïtief en daarmee gemakkelijk te onthouden en op te schrijven, dus wat wil je nog meer?

Hybride notaties zoals y' voor de rate of change van een variabele y in relatie tot een andere variabele (welke andere variabele?) resp. de afgeleide van een functie (hoe heet die functie?) waarbij y de afhankelijke variabele is (maar welke variabele is dan de onafhankelijke variabele?) zijn af te keuren omdat de prime notatie van Lagrange de afgeleide functie f' aangeeft van een functie f en niet de rate of change van een variabele ten opzichte van een andere variabele. Aan deze hybride notatie ligt dus de verwarring van namen van variabelen met namen van functies ten grondslag, en daarom is deze notatie niet goed.

In feite geeft de prime bij y' alleen maar aan dat dit een andere grootheid is dan y, net zo goed als als de prime bij een punt P' in een meetkundige figuur aangeeft dat dit een ander punt is dan punt P in dezelfde figuur. En uiteraard suggereert de overeenkomst in naamgeving dan dat er een zeker verband bestaat, maar de prime zegt an sich helemaal niets over de aard van dat verband. In een meetkundige figuur kan punt P' bijvoorbeeld het beeld zijn van punt P bij een translatie (om maar wat te noemen), en als punt P bijvoorbeeld de coördinaten (x, y) heeft, dan zouden we de coördinaten van punt P' heel goed kunnen noteren als (x', y'), maar het is duidelijk dat de primes hier niets met differentiëren van doen hebben.

De verwarring tussen namen van functies en namen van variabelen wordt nog verder in de hand gewerkt door een notatie als s(p) waarmee gewoonlijk wordt bedoeld dat s een variabele is die afhangt van een andere variabele p, versus een notatie als f(x) waarmee gewoonlijk wordt bedoeld dat f een functie is waarbij x de onafhankelijke variabele is en waarbij de notatie f(x) staat voor de bij die variabele x behorende functiewaarde. En nu weet ik ook wel dat hybride notaties als y' vaak worden gebruikt, ik gebruik ze zelf ook, maar zeker in het (elementaire) onderwijs zouden dit soort notaties vermeden moeten worden omdat ze getuigen van een conceptuele verwarring en die het studenten die de materie proberen te doorgronden daarmee nog lastiger maakt dan het voor velen kennelijk toch al is.

Heb je nu een variabele s die afhangt van een variabele p, dan hebben we voor de zogeheten elasticiteit Es(p) in de notatie van Leibniz

$\frac{\rm{d}(\ln\,s)}{\rm{d}(\ln\,p)}\,=\,\frac{\rm{d}(\ln\,s)}{\rm{d}s}\,\cdot\,\frac{\rm{d}s}{\rm{d}(\ln\,p)}\,=\,\frac{\rm{d}(\ln\,s)}{\rm{d}s}\,\cdot\,\frac{\rm{d}s}{\rm{d}p}\,\cdot\,\frac{\rm{d}p}{\rm{d}(\ln\,p)}\,=\,\frac{\rm{d}(\ln\,s)}{\rm{d}s}\,\cdot\,\frac{\rm{d}s}{\rm{d}p}\,\cdot\,\left(\frac{\rm{d}(\ln\,p)}{\rm{d}p}\right)^{-1}\,=\,\frac{1}{s}\,\cdot\,\frac{\rm{d}s}{\rm{d}p}\,\cdot\,p$

Zo zie je dus dat we ds/dp moeten vemenigvuldigen met p/s om een uitdrukking voor de elasticiteit van s ten opzichte van p te verkrijgen, waarbij we s in het quotiënt p/s dan uiteraard in p uitdrukken. Heb je nu s = p^p·ln p dan is het enige lastige eigenlijk de bepaling van ds/dp, maar het aardige is dat we hier voor de bepaling van de elasticiteit een directe bepaling van ds/dp kunnen vermijden, als volgt.

Noteren we ds/dp als s'(p) dan hebben we blijkens bovenstaande herleiding ook

$Es(p)\,=\,\frac{s'(p)}{s(p)}\,\cdot\,p$

en zo zie je wellicht duidelijker dat we ook gebruik kunnen maken van logaritmisch differentiëren, want de afgeleide van ln s(p) naar p is immers s'(p)/s(p) en dit hoeven we dan alleen nog te vermenigvuldigen met p om een uitdrukking in p voor Es(p) te verkrijgen.

Dus, om je opgave nog even uit te werken in pseudo Lagrange notatie (pseudo omdat s een naam is van een variabele, en geen naam van een functie) doen we het volgende. We hebben

$s(p)\,=\,p^p\,\cdot\,\ln\,p$

Van beide leden de natuurlijke logaritme nemen geeft

$\ln\,s(p)\,=\,p\,\cdot\,\ln\,p\,+\,\ln(\ln\,p)$

Nu beide leden differentiëren naar p en we krijgen

$\frac{s'(p)}{s(p)}\,=\,1\,\cdot\,\ln\,p\,+\,p\,\cdot\,\frac{1}{p}\,+\,\frac{1}{\ln\,p}\,\cdot\,\frac{1}{p}$

dus

$\frac{s'(p)}{s(p)}\,=\ln\,p\,+\,1\,+\,\frac{1}{p\,\cdot\,\ln\,p}$

Nu moeten we de uitdrukking in het rechterlid nog vermenigvuldigen met p om de elasticiteit Es(p) in p uit te drukken, dus hebben we

$Es(p)\,=\,p\,\cdot\,\ln\,p\,+\,p\,\cdot\,1\,+\,p\,\cdot\,\frac{1}{p\,\cdot\,\ln\,p}$

en dit geeft

$Es(p)\,=\,p\,\cdot\,\ln\,p\,+\,p\,+\,\frac{1}{\ln\,p}$

Nu werd de elasticiteit gevraagd voor p = e, dus vullen we dit in en dan vinden we

$Es(e)\,=\,e\,\cdot\,\ln\,e\,+\,e\,+\,\frac{1}{\ln\,e}\,=\,e\,+\,e\,+\,1\,=\,2e\,+\,1$

Het kan dus allemaal best zonder Leibniz, en zonder de draad kwijt te raken, maar je hebt de Leibniz notatie toch nodig om te begrijpen wat er wordt bedoeld met een notatie als

$\frac{\rm{d}(\ln\,s)}{\rm{d}(\ln\,p)}$

als definitie voor de elasticiteit van een (positieve) variabele s die afhangt van een (positieve) variabele p, en ook om op een eenvoudige en overzichtelijke wijze in te zien dat dit gelijk is aan

$\frac{1}{s}\,\cdot\,\frac{\rm{d}s}{\rm{d}p}\,\cdot\,p$

oftewel

$\frac{s'(p)}{s(p)}\,\cdot\,p$

Hartelijk dank. Alleen 1 iets mij niet duidelijk.. stel je hebt dan gedifferentieerd tot s(p)'/s(p) waarom moet je dan nog vermenigvuldigen met p?

in mijn boek staat dat de elasticiteit te berekenen is door d ln y/ d ln p en dat is dan toch gedaanm

zaterdag 11 oktober 2014 @ 10:07:12 #145

GeschiktX

Misschien is een simpele handiger om het te begrijpen...

Stel: ax^b

Dan is de elasticiteit te berekenen door d ln y / d ln x te nemen

Dus: ln a + b ln x

ln x is hier de variabele die verandert en de overige zijn constante, dus

D ln y / d ln x = b

maar stel nou dat het ax^x was en dus

ln y = ln a + x ln x

dan weet ik dus niet wat ik met die x links van ln x moet doen want ik differentieer w.r.t. ln x en niet naar x. Als het w.r.t. x was dan had ik het gemakkelijk gekund..

Overigens snap ik de leibniz notatie wel, maar tijdens het differentieren begrijp ik het niet meer

zaterdag 11 oktober 2014 @ 10:21:21 #146

Janneke141

Green, green grass of home

quote:
Op zaterdag 11 oktober 2014 10:07 schreef GeschiktX het volgende:
Misschien is een simpele handiger om het te begrijpen...
Stel: ax^b

De helft van het werk zit in nauwkeurigheid en juist gebruik van notaties, omdat je vooral jezelf in de war brengt als je dat niet doet. Iets waar je (en anderen) met enige regelmaat op wordt gewezen in dit topic. Probeer hier, maar zeker ook in de opgaves die je op school en in je toetsen maakt, om de tips die je krijgt ter hand te nemen. Eigenlijk zijn het ook geen tips, maar dwingende adviezen.
Net als Engels of Russisch heeft ook de wiskunde zijn grammatica, en als je ergens een lettertje vergeet of verkeerd zet is het gewoon fout.

Want wat staat er nu eigenlijk in je post? Je stelt iets. Je doet dus een bewering. En je bewering is 'koe'. Het is geen zin, en we weten dus ook niet wat er met 'koe' aan de hand is, of in dit geval met ax^b. Het wordt nog erger als er in je volgende regel ineens een y uit de lucht komt vallen.
Dus als je van jouw 'stel' en net zinnetje zou maken, staat er "Stel: Dat dier is een koe".

Oftewel: Stel:
y = ax^b

[ Bericht 5% gewijzigd door Janneke141 op 11-10-2014 10:27:50 ]

Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)

zaterdag 11 oktober 2014 @ 10:38:21 #147

GeschiktX

Stom stom stom. Volgens mij heb ik het door.. alleen ik raakte in de war door d ln y / d ln p.. met dat w.r.t. p... maar de methode die gebruikt wordt is gewoon d p volgens mij..

zaterdag 11 oktober 2014 @ 10:58:27 #148

Riparius

quote:
Op zaterdag 11 oktober 2014 09:59 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
Hartelijk dank. Alleen één iets is mij niet duidelijk. Stel je hebt dan gedifferentieerd tot s(p)'/s(p), waarom moet je dan nog vermenigvuldigen met p?

Ik vraag me echt af hoe goed je mijn teksten leest, want het antwoord staat gewoon clip en klaar voor je neus en wordt volledig uitgelegd. Ik laat immers zien dat je hebt

$Es(p)\,=\,\frac{\rm{d}(\ln\,s)}{\rm{d}(\ln\,p)}\,=\,\frac{1}{s}\,\cdot\,\frac{\rm{d}s}{\rm{d}p}\,\cdot\,p\,=\,\frac{s'(p)}{s(p)}\,\cdot\,p$

Maud Wilms - Allemaol
Nadiè Reyhani - The Feet Song
Yasmine - Zus

zaterdag 11 oktober 2014 @ 11:17:48 #149

GeschiktX

quote:
Op zaterdag 11 oktober 2014 10:58 schreef Riparius het volgende:
[..]
Ik vraag me echt af hoe goed je mijn teksten leest, want het antwoord staat gewoon clip en klaar voor je neus en wordt volledig uitgelegd. Ik laat immers zien dat je hebt
$Es(p)\,=\,\frac{\rm{d}(\ln\,s)}{\rm{d}(\ln\,p)}\,=\,\frac{1}{s}\,\cdot\,\frac{\rm{d}s}{\rm{d}p}\,\cdot\,p\,=\,\frac{s'(p)}{s(p)}\,\cdot\,p$

Duidelijk: tenslotte nog één vraagje:

De productregel is toch:

f'(x)=g'(x)·h(x)+g(x)·h'(x)

Dus dan is g(x) = p ln p
en h(x) = ln ( ln p )

g'(x) = 1 * ln p + p * 1/p

h'(x) = 1/ln p * 1/p

Waarom zou het dan niet het volgende moeten zijn:

(1 * ln p + p * 1/p ) * ln (ln p ) + p ln p * ( 1/ln p * 1/p) ?

Dan heb ik het even puur om de afgeleide en dus nog even vóórdat het met p vermenigvuldigt moet worden.

[ Bericht 2% gewijzigd door GeschiktX op 11-10-2014 11:24:13 ]

zaterdag 11 oktober 2014 @ 11:33:24 #150

GeschiktX

Als ik de productregel wil toepassen doe ik het volgende:

y = p^p * ln p

ln y = p ln p ln(ln p)

x = ln p

ln y = px * ln(x)

de losse p van px is een constante:

y'/y = p * 1/ln(p)

Forum Opties
Forumhop:
Hop naar:	(afkorting, bv 'KLB')

» school, studie en onderwijs

» school, studie en onderwijs