SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Dit snap ik, maar ik was meer benieuwd naar de ''berekening''quote:Op vrijdag 10 oktober 2014 22:45 schreef Riparius het volgende:
[..]
Als je nu eens begint met te bedenken dat je voor x > 0 hebt
1/(x+5) < 1/(x+1)
dan zie je dus direct dat
f'(x) < 0
voor x > 0. Je functie f is dus strict monotoon dalend op het gegeven domein Df = (0, ∞). Wat denk je daarvan?
Nee, (ln p)' is niet 'gewoon' 1, maar 1/p.quote:
[..]
Dat klopt, maar even voor de duidelijkheid:
(ln p)' is gewoon 1 neem ik aan?
ln p is gewoon ln p..
Wat gebeurd er met die p en p' ?
Want je differentieert door ln p en niet door p --> d ln y / d ln p en dus niet d y / d p
Je hebt dus (p ln p)' = p (ln p)' + p' ln p = 1 + ln p = p*(1/p) + 1*ln p = 1 + ln p.
Maar waarom benader je deze als d / dp en niet als d ln y / ln p zoals het hoort voor de elasticiteit en zoals de tweede term van de functie juist wel benadert is.quote:
[..]
Nee, (ln p)' is niet 'gewoon' 1, maar 1/p.
Je hebt dus (p ln p)' = p (ln p)' + p' ln p = 1 + ln p = p*(1/p) + 1*ln p = 1 + ln p.
Kan je de afgeleide naar p van ln p nemen? En neem daar eens de reciprocal van.quote:
[..]
Ik snap er echt geen ruk van.
Ja d ln y / d ln p van ln p dan is dat gewoon 1... (afgeleide). Maar ik heb geen flauw idee wat de afgeleide van p is als je door ln p differentieert. Het gaat mij niet om de regel of whatever, maar om die losse p.
Je kan ook een subtitutie gebruik van u = ln p.
Doe ze beide eens!
Ik benader helemaal niks.quote:
[..]
Maar waarom benader je deze als d / dp en niet als d ln y / ln p zoals het hoort voor de elasticiteit en zoals de tweede term van de functie juist wel benadert is.
Maar gebruik de kettingregel en dan hoef je alleen nog maar een afgeleide naar p te nemen.
Heb je al eens eerder logaritmisch gedifferentieerd?quote:
[..]
Maar waarom benader je deze als d / dp en niet als d ln y / ln p zoals het hoort voor de elasticiteit en zoals de tweede term van de functie juist wel benadert is.
In mijn boek staat bijv:quote:
[..]
Ik benader helemaal niks.
Maar gebruik de kettingregel en dan hoef je alleen nog maar een afgeleide naar p te nemen.
y = a + xb
Als je de elasticiteit wilt nemen dan :
d ln y / d ln x
Dus:
ln y = ln a + b ln x
ln a = constante dus die valt weg:
y' = 0 + b * 1
Deze methode staat dus in mijn boek en zo probeer ik dit dus te benaderen.
Ja dat is makkelijk.quote:
[..]
Heb je al eens eerder logaritmisch gedifferentieerd?
t4r4us gebruikt alleen twee verschillende dingen: hij differentieert naar ln p ( d ln y / d ln p ) en daarna past die voor één term opeens d y / d p toe en dat snap ik dus niet.
ln y is daar linear in ln x, dus dan is de afgeleide nemen heel makkelijk.quote:
[..]
In mijn boek staat bijv:
y = a + xb
Als je de elasticiteit wilt nemen dan :
d ln y / d ln x
Dus:
ln y = ln a + b ln x
ln a = constante dus die valt weg:
y' = 0 + b * 1
Deze methode staat dus in mijn boek en zo probeer ik dit dus te benaderen.
-edit-
Moet je het natuurlijk wel goed opschrijven.
Het is niet y' maar (ln y)'(ln x)...
Snap je nu waarom de Leibniz notatie makkelijker is?
Ja,..quote:
[..]
ln y is daar linear in ln x, dus dan is de afgeleide nemen heel makkelijk.
Ik ben er denk ik uit.quote:
Dank je wel voor de uitleg..Als ik ln p = x neem is het wat overzichtelijker.. voor mij..
En als ik dan gewoon voor alle ln p gewoon x neerzet dan is het zo op te lossen.
Je kan het inderdaad ook zo doenquote:
[..]
Ik ben er denk ik uit.
Als ik ln p = x neem is het wat overzichtelijker.. voor mij..
En als ik dan gewoon voor alle ln p gewoon x neerzet dan is het zo op te lossen.
f(x) = x^x ln x
Ef(x) = d(ln f(x)) / d(ln x) = d/d(ln x) (x ln x + ln ln x)
Substitueer u = ln x <=> x = e^u
Ef(x) = d/du (u e^u + ln u) = e^u + u e^u + 1/u = e^u (1 + u) + 1/u
Substitutie weer toepassen en klaar
Ef(x) = x(1+ ln x) + 1/(ln x)
oh ik dacht als ik er x van maak dan wordt het ook gewoon d ln y / d xquote:
[..]
Je kan het inderdaad ook zo doen
f(x) = x^x ln x
Ef(x) = d(ln f(x)) / d(ln x) = d/d(ln x) (x ln x + ln ln x)
Substitueer u = ln x <=> x = e^u
Ef(x) = d/du (u e^u + ln u) = e^u + u e^u + 1/u = e^u (1 + u) + 1/u
Substitutie weer toepassen en klaar
Ef(x) = x(1+ ln x) + 1/(ln x)
Ik snap dat w.r.t. ln x niet.. ik ben gewoon gewend dat ik w.r.t. x doe bijv.. en dat als je x^2 hebt het 2x wordt en als je hebt x dat het dan 1 wordt. Dus als je w.r.t. ln x doet en je hebt ln x, dan wordt het gewoon 1 toch? Maar wat doe je als je bijv... hebtquote:
[..]
Je kan het inderdaad ook zo doen
f(x) = x^x ln x
Ef(x) = d(ln f(x)) / d(ln x) = d/d(ln x) (x ln x + ln ln x)
Substitueer u = ln x <=> x = e^u
Ef(x) = d/du (u e^u + ln u) = e^u + u e^u + 1/u = e^u (1 + u) + 1/u
Substitutie weer toepassen en klaar
Ef(x) = x(1+ ln x) + 1/(ln x)
ln y = ln x + x
En je wilt de afgeleide berekenen van ln y w.r.t. ln x?
Dan pas je dus of substitutie toequote:Op zaterdag 11 oktober 2014 00:16 schreef GeschiktX het volgende:
[..]
Ik snap dat w.r.t. ln x niet.. ik ben gewoon gewend dat ik w.r.t. x doe bijv.. en dat als je x^2 hebt het 2x wordt en als je hebt x dat het dan 1 wordt. Dus als je w.r.t. ln x doet en je hebt ln x, dan wordt het gewoon 1 toch? Maar wat doe je als je bijv... hebt
ln y = ln x + x
En je wilt de afgeleide berekenen van ln y w.r.t. ln x?
u=ln x
=> ln y = u + e^u
d(ln y)/du = 1 + e^u = 1 + x
of de kettingregel
d(ln y)/d(ln x) = d(ln y)/dx dx/d(ln x) = x d(ln y)/dx = 1 + x
of in dit geval nog makkelijker
d(ln y)/d(ln x) = d(ln x)/d(ln x) + dx/d(ln x) = 1 + x
( dx/d(ln x) = 1/(d(ln x)/dx) = 1/(1/x) = x )
Jouw probleem is hier dat je de Leibniz notatie kennelijk nog niet voldoende begrijpt het daarom zonder die notatie wil stellen. Maar dat is nu precies de reden dat je het overzicht kwijt raakt, in de war raakt, en gaat proberen om je er doorheen te slaan met trucjes en ezelsbruggetjes die je eigenlijk al helemaal niet begrijpt, en waarmee je gegarandeerd fouten gaat maken. Dat moet je dus allemaal niet doen.quote:
[..]
Kan je het zonder Leibniz notatie opschrijven, dus gewoon beetje op basisniveau ala y' etc ...
De notatie van Leibniz is bij uitstek geschikt om te beschrijven hoe variabelen van elkaar afhangen, omdat deze notatie werkt met namen van variabelen, en niet met namen van functies zoals de notatie van Lagrange. Ook hoeven we zo niet elke afhankelijkheidsrelatie eerst een eigen naam te geven om de rate of change van een variabele ten opzichte van een andere variabele te kunnen noteren. En, de kettingregel is in de notatie van Leibniz ook nog eens heel transparant en intuïtief en daarmee gemakkelijk te onthouden en op te schrijven, dus wat wil je nog meer?
Hybride notaties zoals y' voor de rate of change van een variabele y in relatie tot een andere variabele (welke andere variabele?) resp. de afgeleide van een functie (hoe heet die functie?) waarbij y de afhankelijke variabele is (maar welke variabele is dan de onafhankelijke variabele?) zijn af te keuren omdat de prime notatie van Lagrange de afgeleide functie f' aangeeft van een functie f en niet de rate of change van een variabele ten opzichte van een andere variabele. Aan deze hybride notatie ligt dus de verwarring van namen van variabelen met namen van functies ten grondslag, en daarom is deze notatie niet goed.
In feite geeft de prime bij y' alleen maar aan dat dit een andere grootheid is dan y, net zo goed als als de prime bij een punt P' in een meetkundige figuur aangeeft dat dit een ander punt is dan punt P in dezelfde figuur. En uiteraard suggereert de overeenkomst in naamgeving dan dat er een zeker verband bestaat, maar de prime zegt an sich helemaal niets over de aard van dat verband. In een meetkundige figuur kan punt P' bijvoorbeeld het beeld zijn van punt P bij een translatie (om maar wat te noemen), en als punt P bijvoorbeeld de coördinaten (x, y) heeft, dan zouden we de coördinaten van punt P' heel goed kunnen noteren als (x', y'), maar het is duidelijk dat de primes hier niets met differentiëren van doen hebben.
De verwarring tussen namen van functies en namen van variabelen wordt nog verder in de hand gewerkt door een notatie als s(p) waarmee gewoonlijk wordt bedoeld dat s een variabele is die afhangt van een andere variabele p, versus een notatie als f(x) waarmee gewoonlijk wordt bedoeld dat f een functie is waarbij x de onafhankelijke variabele is en waarbij de notatie f(x) staat voor de bij die variabele x behorende functiewaarde. En nu weet ik ook wel dat hybride notaties als y' vaak worden gebruikt, ik gebruik ze zelf ook, maar zeker in het (elementaire) onderwijs zouden dit soort notaties vermeden moeten worden omdat ze getuigen van een conceptuele verwarring en die het studenten die de materie proberen te doorgronden daarmee nog lastiger maakt dan het voor velen kennelijk toch al is.
Heb je nu een variabele s die afhangt van een variabele p, dan hebben we voor de zogeheten elasticiteit Es(p) in de notatie van Leibniz
Zo zie je dus dat we ds/dp moeten vemenigvuldigen met p/s om een uitdrukking voor de elasticiteit van s ten opzichte van p te verkrijgen, waarbij we s in het quotiënt p/s dan uiteraard in p uitdrukken. Heb je nu s = pp·ln p dan is het enige lastige eigenlijk de bepaling van ds/dp, maar het aardige is dat we hier voor de bepaling van de elasticiteit een directe bepaling van ds/dp kunnen vermijden, als volgt.
Noteren we ds/dp als s'(p) dan hebben we blijkens bovenstaande herleiding ook
en zo zie je wellicht duidelijker dat we ook gebruik kunnen maken van logaritmisch differentiëren, want de afgeleide van ln s(p) naar p is immers s'(p)/s(p) en dit hoeven we dan alleen nog te vermenigvuldigen met p om een uitdrukking in p voor Es(p) te verkrijgen.
Dus, om je opgave nog even uit te werken in pseudo Lagrange notatie (pseudo omdat s een naam is van een variabele, en geen naam van een functie) doen we het volgende. We hebben
Van beide leden de natuurlijke logaritme nemen geeft
Nu beide leden differentiëren naar p en we krijgen
dus
Nu moeten we de uitdrukking in het rechterlid nog vermenigvuldigen met p om de elasticiteit Es(p) in p uit te drukken, dus hebben we
en dit geeft
Nu werd de elasticiteit gevraagd voor p = e, dus vullen we dit in en dan vinden we
Het kan dus allemaal best zonder Leibniz, en zonder de draad kwijt te raken, maar je hebt de Leibniz notatie toch nodig om te begrijpen wat er wordt bedoeld met een notatie als
als definitie voor de elasticiteit van een (positieve) variabele s die afhangt van een (positieve) variabele p, en ook om op een eenvoudige en overzichtelijke wijze in te zien dat dit gelijk is aan
oftewel
[ Bericht 16% gewijzigd door Riparius op 11-10-2014 05:58:55 ]
Nee! Je zou toch ondertussen wel in de gaten moeten hebben datquote:
[..]
In mijn boek staat bijv:
y = a + xb
Als je de elasticiteit wilt nemen dan :
d ln y / d ln x
Dus:
ln y = ln a + b ln x
ln(p + q)
niet equivalent is met
ln p + ln q
Als dat wel zo was dan zou ln x lineair afhangen van x en dat is niet zo. Bovendien is ln p + ln q al equivalent met
ln pq
en je wil toch niet beweren dat p + q hetzelfde is als pq ?
Je mag nooit het =-teken misbruiken als vervanging van de werkwoordsvorm is in een zin.quote:ln a is een constante dus die valt weg:
Ik geloof er niets van dat dit zo in je boek staat. Waarschijnlijk staat erquote:y' = 0 + b * 1
Deze methode staat dus in mijn boek en zo probeer ik dit dus te benaderen.
y = abx
Zie ook hier.
Gebruik ook niet het woord benaderen voor het aanpakken van een vraagstuk of probleem want hiermee wek je misverstanden. Het gaat hier niet om het vinden van een numerieke benadering van de elasticiteit maar om het vinden van een (exacte) uitdrukking voor de elasticiteit.
Hartelijk dank. Alleen 1 iets mij niet duidelijk.. stel je hebt dan gedifferentieerd tot s(p)'/s(p) waarom moet je dan nog vermenigvuldigen met p?quote:
[..]
Jouw probleem is hier dat je de Leibniz notatie kennelijk nog niet voldoende begrijpt het daarom zonder die notatie wil stellen. Maar dat is nu precies de reden dat je het overzicht kwijt raakt, in de war raakt, en gaat proberen om je er doorheen te slaan met trucjes en ezelsbruggetjes die je eigenlijk al helemaal niet begrijpt, en waarmee je gegarandeerd fouten gaat maken. Dat moet je dus allemaal niet doen.
De notatie van Leibniz is bij uitstek geschikt om te beschrijven hoe variabelen van elkaar afhangen, omdat deze notatie werkt met namen van variabelen, en niet met namen van functies zoals de notatie van Lagrange. Ook hoeven we zo niet elke afhankelijkheidsrelatie eerst een eigen naam te geven om de rate of change van een variabele ten opzichte van een andere variabele te kunnen noteren. En, de kettingregel is in de notatie van Leibniz ook nog eens heel transparant en intuïtief en daarmee gemakkelijk te onthouden en op te schrijven, dus wat wil je nog meer?
Hybride notaties zoals y' voor de rate of change van een variabele y in relatie tot een andere variabele (welke andere variabele?) resp. de afgeleide van een functie (hoe heet die functie?) waarbij y de afhankelijke variabele is (maar welke variabele is dan de onafhankelijke variabele?) zijn af te keuren omdat de prime notatie van Lagrange de afgeleide functie f' aangeeft van een functie f en niet de rate of change van een variabele ten opzichte van een andere variabele. Aan deze hybride notatie ligt dus de verwarring van namen van variabelen met namen van functies ten grondslag, en daarom is deze notatie niet goed.
In feite geeft de prime bij y' alleen maar aan dat dit een andere grootheid is dan y, net zo goed als als de prime bij een punt P' in een meetkundige figuur aangeeft dat dit een ander punt is dan punt P in dezelfde figuur. En uiteraard suggereert de overeenkomst in naamgeving dan dat er een zeker verband bestaat, maar de prime zegt an sich helemaal niets over de aard van dat verband. In een meetkundige figuur kan punt P' bijvoorbeeld het beeld zijn van punt P bij een translatie (om maar wat te noemen), en als punt P bijvoorbeeld de coördinaten (x, y) heeft, dan zouden we de coördinaten van punt P' heel goed kunnen noteren als (x', y'), maar het is duidelijk dat de primes hier niets met differentiëren van doen hebben.
De verwarring tussen namen van functies en namen van variabelen wordt nog verder in de hand gewerkt door een notatie als s(p) waarmee gewoonlijk wordt bedoeld dat s een variabele is die afhangt van een andere variabele p, versus een notatie als f(x) waarmee gewoonlijk wordt bedoeld dat f een functie is waarbij x de onafhankelijke variabele is en waarbij de notatie f(x) staat voor de bij die variabele x behorende functiewaarde. En nu weet ik ook wel dat hybride notaties als y' vaak worden gebruikt, ik gebruik ze zelf ook, maar zeker in het (elementaire) onderwijs zouden dit soort notaties vermeden moeten worden omdat ze getuigen van een conceptuele verwarring en die het studenten die de materie proberen te doorgronden daarmee nog lastiger maakt dan het voor velen kennelijk toch al is.
Heb je nu een variabele s die afhangt van een variabele p, dan hebben we voor de zogeheten elasticiteit Es(p) in de notatie van Leibniz
Zo zie je dus dat we ds/dp moeten vemenigvuldigen met p/s om een uitdrukking voor de elasticiteit van s ten opzichte van p te verkrijgen, waarbij we s in het quotiënt p/s dan uiteraard in p uitdrukken. Heb je nu s = pp·ln p dan is het enige lastige eigenlijk de bepaling van ds/dp, maar het aardige is dat we hier voor de bepaling van de elasticiteit een directe bepaling van ds/dp kunnen vermijden, als volgt.
Noteren we ds/dp als s'(p) dan hebben we blijkens bovenstaande herleiding ook
en zo zie je wellicht duidelijker dat we ook gebruik kunnen maken van logaritmisch differentiëren, want de afgeleide van ln s(p) naar p is immers s'(p)/s(p) en dit hoeven we dan alleen nog te vermenigvuldigen met p om een uitdrukking in p voor Es(p) te verkrijgen.
Dus, om je opgave nog even uit te werken in pseudo Lagrange notatie (pseudo omdat s een naam is van een variabele, en geen naam van een functie) doen we het volgende. We hebben
Van beide leden de natuurlijke logaritme nemen geeft
Nu beide leden differentiëren naar p en we krijgen
dus
Nu moeten we de uitdrukking in het rechterlid nog vermenigvuldigen met p om de elasticiteit Es(p) in p uit te drukken, dus hebben we
en dit geeft
Nu werd de elasticiteit gevraagd voor p = e, dus vullen we dit in en dan vinden we
Het kan dus allemaal best zonder Leibniz, en zonder de draad kwijt te raken, maar je hebt de Leibniz notatie toch nodig om te begrijpen wat er wordt bedoeld met een notatie als
als definitie voor de elasticiteit van een (positieve) variabele s die afhangt van een (positieve) variabele p, en ook om op een eenvoudige en overzichtelijke wijze in te zien dat dit gelijk is aan
oftewel
in mijn boek staat dat de elasticiteit te berekenen is door d ln y/ d ln p en dat is dan toch gedaanm
Misschien is een simpele handiger om het te begrijpen...
Stel: ax^b
Dan is de elasticiteit te berekenen door d ln y / d ln x te nemen
Dus: ln a + b ln x
ln x is hier de variabele die verandert en de overige zijn constante, dus
D ln y / d ln x = b
maar stel nou dat het ax^x was en dus
ln y = ln a + x ln x
dan weet ik dus niet wat ik met die x links van ln x moet doen want ik differentieer w.r.t. ln x en niet naar x. Als het w.r.t. x was dan had ik het gemakkelijk gekund..
Overigens snap ik de leibniz notatie wel, maar tijdens het differentieren begrijp ik het niet meer
Stel: ax^b
Dan is de elasticiteit te berekenen door d ln y / d ln x te nemen
Dus: ln a + b ln x
ln x is hier de variabele die verandert en de overige zijn constante, dus
D ln y / d ln x = b
maar stel nou dat het ax^x was en dus
ln y = ln a + x ln x
dan weet ik dus niet wat ik met die x links van ln x moet doen want ik differentieer w.r.t. ln x en niet naar x. Als het w.r.t. x was dan had ik het gemakkelijk gekund..
Overigens snap ik de leibniz notatie wel, maar tijdens het differentieren begrijp ik het niet meer
De helft van het werk zit in nauwkeurigheid en juist gebruik van notaties, omdat je vooral jezelf in de war brengt als je dat niet doet. Iets waar je (en anderen) met enige regelmaat op wordt gewezen in dit topic. Probeer hier, maar zeker ook in de opgaves die je op school en in je toetsen maakt, om de tips die je krijgt ter hand te nemen. Eigenlijk zijn het ook geen tips, maar dwingende adviezen.quote:
Misschien is een simpele handiger om het te begrijpen...
Stel: ax^b
Net als Engels of Russisch heeft ook de wiskunde zijn grammatica, en als je ergens een lettertje vergeet of verkeerd zet is het gewoon fout.
Want wat staat er nu eigenlijk in je post? Je stelt iets. Je doet dus een bewering. En je bewering is 'koe'. Het is geen zin, en we weten dus ook niet wat er met 'koe' aan de hand is, of in dit geval met ax^b. Het wordt nog erger als er in je volgende regel ineens een y uit de lucht komt vallen.
Dus als je van jouw 'stel' en net zinnetje zou maken, staat er "Stel: Dat dier is een koe".
Oftewel: Stel:
y = axb
[ Bericht 5% gewijzigd door Janneke141 op 11-10-2014 10:27:50 ]
Opinion is the medium between knowledge and ignorance (Plato)
Stom stom stom. Volgens mij heb ik het door.. alleen ik raakte in de war door d ln y / d ln p.. met dat w.r.t. p... maar de methode die gebruikt wordt is gewoon d p volgens mij..
Ik vraag me echt af hoe goed je mijn teksten leest, want het antwoord staat gewoon clip en klaar voor je neus en wordt volledig uitgelegd. Ik laat immers zien dat je hebtquote:
[..]
Hartelijk dank. Alleen één iets is mij niet duidelijk. Stel je hebt dan gedifferentieerd tot s(p)'/s(p), waarom moet je dan nog vermenigvuldigen met p?
Duidelijk: tenslotte nog één vraagje:quote:
[..]
Ik vraag me echt af hoe goed je mijn teksten leest, want het antwoord staat gewoon clip en klaar voor je neus en wordt volledig uitgelegd. Ik laat immers zien dat je hebt
De productregel is toch:
f'(x)=g'(x)·h(x)+g(x)·h'(x)
Dus dan is g(x) = p ln p
en h(x) = ln ( ln p )
g'(x) = 1 * ln p + p * 1/p
h'(x) = 1/ln p * 1/p
Waarom zou het dan niet het volgende moeten zijn:
(1 * ln p + p * 1/p ) * ln (ln p ) + p ln p * ( 1/ln p * 1/p) ?
Dan heb ik het even puur om de afgeleide en dus nog even vóórdat het met p vermenigvuldigt moet worden.
[ Bericht 2% gewijzigd door GeschiktX op 11-10-2014 11:24:13 ]
