[Bèta wiskunde] Huiswerk- en vragentopic.

quote:

Op dinsdag 30 september 2014 21:09 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Die rechte haken in het onderste functievoorschrift betekenen dat je de uitkomst van ½x naar beneden moet afronden op een geheel getal.

Dat betekent dat f(0) = └0┘+1 = 1, f(1) = └½┘+1 = 0+1=1, f(1,99)=└0,995┘+1=1 en f(2)=└1┘+1 = 2. Die is in de buurt van ieder even getal dus niet continu, hij maakt een sprongetje. Dat Wolfram iets anders zegt, komt denk ik omdat je de functie niet goed aan het programma hebt weten duidelijk te maken.

Je kunt beter f(x) = ⌊½x⌋ + 1 schrijven.

quote:

Op dinsdag 30 september 2014 21:44 schreef Riparius het volgende:

[..]

Je kunt beter f(x) = ⌊½x⌋ + 1 schrijven.

Die kon ik zo snel niet vinden in het windows-speciale-teken-venstertje

quote:

Op dinsdag 30 september 2014 21:46 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Die kon ik zo snel niet vinden in het windows-speciale-teken-venstertje

Dat begrijp ik, en daarom kun je beter HTML entities gebruiken. Die zijn ook veel gemakkelijker te onthouden.

quote:

Op dinsdag 30 september 2014 21:49 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat begrijp ik, en daarom kun je beter HTML entities gebruiken. Die zijn ook veel gemakkelijker te onthouden.

Bedankt voor de tip.

Goedenavond iedereen,

Voor calculus moet ik een opdracht inleveren met betrekking tot integreren.
Laten we aannemen dat | een integraalteken voorstelt.
* Integraal i = 1/2 | sint/(1-(cost)^2) dt
De opdracht is om aan te tonen dat substitutie u=cost geeft
i = -1/4 | (1/(1+u))+(1/(1-u)) du
Wat ik voor elkaar krijg:
* du= -sint dt
* i = -1/2 | sint^2/(1-u^2)
Ook weet ik:
* (1-u²)=(1+u)(1-u)

Zou iemand mij misschien enige hulp kunnen verlenen?
Ik zou graag een afbeelding invoegen van de opdracht, maar hoe?

quote:

Op dinsdag 30 september 2014 22:09 schreef MartijnK96 het volgende:
Goedenavond iedereen,

Voor calculus moet ik een opdracht inleveren met betrekking tot integreren.
Laten we aannemen dat | een integraalteken voorstelt.
* Integraal i = 1/2 | sint/(1-(cost)^2) dt
De opdracht is om aan te tonen dat substitutie u=cost geeft
i = -1/4 | (1/(1+u))+(1/(1-u)) du
Wat ik voor elkaar krijg:
* du= -sint dt
* i = -1/2 | sint^2/(1-u^2)
Ook weet ik:
* (1-u²)=(1+u)(1-u)

Zou iemand mij misschien enige hulp kunnen verlenen?
Ik zou graag een afbeelding invoegen van de opdracht, maar hoe?

Je weet:

du = -sin(t)*dt

Dus:

dt = -du/sin(t)

Dit moet je invullen in je integraal, dan hou je alleen nog maar de 1/(1-u²) term over.
Met breuksplitsen kun je de uitdrukking vervolgens naar het antwoord toepraten

ℙ(A ∪ B) = ℙ(A) ∪ ℙ(B) is not true for all sets A and B.
What special property do A and B need to have to make the statement hold? Prove that this property is necessary and sufficient.

Voor de duidelijkheid, ℙ = power set.
Goed, ik kwam tot het volgende:

Property: (A ⊆ B) ∨ (B ⊆ A).
To prove: (A ⊆ B) ∨ (B ⊆ A) ⇔ ℙ(A ∪ B) = ℙ(A) ∪ ℙ(B)

First part.
(A ⊆ B) ∨ (B ⊆ A) ⇒ ℙ(A ∪ B) = ℙ(A) ∪ ℙ(B).
Assume A ⊆ B.
Let x ∈ ℙ(A ∪ B).
If x ∈ ℙ(A ∪ B), then by assumption x ∈ ℙ(B) and thus x ∈ ℙ(A) ∪ ℙ(B).

Second part.
ℙ(A ∪ B) = ℙ(A) ∪ ℙ(B) ⇒ (A ⊆ B) ∨ (B ⊆ A).

Hier zit ik vast, 't zal vast niet bijzonder lastig zijn maar ik zie het even niet. Iemand die me een hint kan geven?

Alrac bedankt voor je reactie!
Nog steeds heb je dan het verschil -1/2 <-> -1/4, toch?
Of zit ik verkeerd?

quote:

Op dinsdag 30 september 2014 22:27 schreef MartijnK96 het volgende:
Alrac bedankt voor je reactie!
Nog steeds heb je dan het verschil -1/2 <-> -1/4, toch?
Of zit ik verkeerd?

Dat komt goed door het breuksplitsen,

Trouwens, kun je overweg met ? Deze code kun je namelijk ook op Fok! invoeren, dat maakt het over het algemeen wat leesbaarder.

Weet iemand hoe ik dit 'korter' kan opschrijven ofwel beter kan herschrijven?:

Ik zal me erin verdiepen. Hier ben ik nog niet bekend mee. Ik ben het direct met je eens dat het een beetje lastig is op deze manier.

quote:

Op dinsdag 30 september 2014 22:33 schreef Super-B het volgende:
Weet iemand hoe ik dit 'korter' kan opschrijven ofwel beter kan herschrijven?:

[ afbeelding ]

Delen door een breuk is...

quote:

Op dinsdag 30 september 2014 22:09 schreef MartijnK96 het volgende:
Goedenavond iedereen,

Voor calculus moet ik een opdracht inleveren met betrekking tot integreren.
Laten we aannemen dat | een integraalteken voorstelt.
* Integraal i = 1/2 | sint/(1-(cost)^2) dt
De opdracht is om aan te tonen dat substitutie u=cost geeft
i = -1/4 | (1/(1+u))+(1/(1-u)) du
Wat ik voor elkaar krijg:
* du= -sint dt
* i = -1/2 | sint^2/(1-u^2)
Ook weet ik:
* (1-u²)=(1+u)(1-u)

Zou iemand mij misschien enige hulp kunnen verlenen?
Ik zou graag een afbeelding invoegen van de opdracht, maar hoe?

Je substitutie u = cos t gaat niet helemaal goed, want je hebt (correct) gevonden dat du = −sin t·dt, zodat we dus krijgen



Deze integraal kun je verder behandelen met breuksplitsing, want je hebt immers



en zo heb je inderdaad



De rest kun je nu zelf wel bedenken. Ik ga ervan uit dat je een onbepaalde integraal moet evalueren, maar als je een bepaalde (definiete) integraal moet berekenen, dan moet je uiteraard ook nog de integratiegrenzen van je integraal in de nieuwe variabele u aanpassen.

Merk trouwens op dat je integrand gelijk is aan 1/sin t. Door gebruik te maken van de identiteit



en van



en dus



krijg je direct



Je kunt nu gemakkelijk nagaan dat dit equivalent is met het resultaat dat je via je substitutie zult vinden door gebruik te maken van



en



[ Bericht 3% gewijzigd door Riparius op 01-10-2014 22:54:15 ]

quote:

Op dinsdag 30 september 2014 22:37 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Delen door een breuk is...

Dan kom ik uit op

x / 2√x

Maar dat kan weer korter door zowel boven als onder te vermenigvuldigen met √x, neem ik aan?

quote:

Op dinsdag 30 september 2014 23:06 schreef Super-B het volgende:

[..]

Dan kom ik uit op

x / 2√x

Maar dat kan weer korter door zowel boven als onder te vermenigvuldigen met √x, neem ik aan?

Op zich kun je de limiet zo ook wel bepalen, maar als je 'm nog graag korter opschrijft dan kan dat.
Als je boven en onder vermenigvuldigt met √x, wat komt er dan uit? En kan dat nog korter?

quote:

Op dinsdag 30 september 2014 23:09 schreef Janneke141 het volgende:

[..]

Op zich kun je de limiet zo ook wel bepalen, maar als je 'm nog graag korter opschrijft dan kan dat.
Als je boven en onder vermenigvuldigt met √x, wat komt er dan uit? En kan dat nog korter?

x * √x = x^3/2

Dus: x^3/2 / 2

quote:

Op dinsdag 30 september 2014 22:33 schreef Super-B het volgende:
Weet iemand hoe ik dit 'korter' kan opschrijven ofwel beter kan herschrijven?:

[ afbeelding ]

De kortst mogelijke schrijfwijze voor deze gehele uitdrukking is:

onbepaald

[ Bericht 1% gewijzigd door Riparius op 30-09-2014 23:51:32 ]

quote:

Op dinsdag 30 september 2014 23:39 schreef Amoeba het volgende:

[..]

I demand a proof.

Dat mag de vragensteller leveren.

quote:

Op dinsdag 30 september 2014 23:41 schreef Riparius het volgende:

[..]

Dat mag de vragensteller leveren.

Volgens mij moet het toch echt ∞ zijn

quote:

Op dinsdag 30 september 2014 23:46 schreef Alrac4 het volgende:

[..]

Volgens mij moet het toch echt ∞ zijn

Ah, inderdaad, ½√x. Ik zit weer te lang achter de computer.

quote:

Op dinsdag 30 september 2014 23:50 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Je verpest m'n grap.

Sorry, ik zat helemaal in shock doordat Riparius een fout maakte

quote:

Op dinsdag 30 september 2014 23:55 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Gelukkig snap jij het nu al.

Mag ik eens een vraagje stellen? Analoog aan de Newton-Raphson iteratie kun je ook een iteratie starten op basis van tweedegraads Taylorexpansies. Dus een startpunt P0 kiezen.

Nu wordt mij gevraagd het bewijs te leveren van die iteratieformule waar P(n+1) niet expliciet inzit. Ik heb geen flauw idee hoe ik daarop moet komen.
Halley's Method dus.

Begin hier maar even mee, dan zie je het denk ik wel. Ik ben nu echt een beetje te gaar om dit voor te gaan doen en moet nog andere dingen doen ook.

quote:

Op woensdag 1 oktober 2014 11:49 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik moet bewijzen dat voor Halley's Method geldt:

Succes.

Hallo allemaal,
Ik moet de afgeleide doen van y = (5x+3)^x
Als ik dan deze regel toepas: a^x = a^x ln a dan kom ik uit op
(5x+3)^x ln(5x+3) 5

(5 op het einde door de kettingregel)
maar het antwoord moet zijn:

(5x+3)^x ( (5x/5x+3) + ln (5x+3) )

Kan iemand mij uitleggen hoe ze aan dit antwoord komen?
Bedankt.

En dan de kettingregel toepassen.

quote:

Op woensdag 1 oktober 2014 18:18 schreef Novermars het volgende:

En dan de kettingregel toepassen.

Ah, oké! Bedankt.

quote:

Op woensdag 1 oktober 2014 11:49 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Ik moet bewijzen dat voor Halley's Method geldt:

We kijken eerst eerst nog even naar de Newton-Raphson iteratie. Daarbij bepalen we een (enkelvoudig) nulpunt van f(x) door, uitgaande van een gegeven benadering x = p_n, een betere benadering van het nulpunt te verkrijgen door een vergelijking op te stellen van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (p_n, f(p_n)) en het snijpunt te bepalen van deze raaklijn met de x-as. De x-coördinaat van dit snijpunt is dan de nieuwe benadering p_n+1 van het nulpunt van f(x). Allerlei technische finesses die te maken hebben met de condities waaronder de rij {p_n} convergeert naar het nulpunt in kwestie van f(x) laat ik nu even voor wat ze zijn, maar dit is het idee.

De raaklijn met richtingscoëfficiënt f'(p_n) aan de grafiek van f in het punt (p_n, f(p_n)) heeft als vergelijking



De x-coördinaat van het snijpunt van deze lijn met de x-as is onze nieuwe benadering p_n+1 zodat we dus hebben



en hieruit volgt



Nu kunnen we de vergelijking van de rechte lijn met richtingscoëfficiënt f'(p_n) door het punt (p_n, f(p_n)) op de curve van f ook opvatten als een eerste orde Taylor expansie van f(x) rond het punt x = p_n, en dit leidt als vanzelf tot het idee dat we ook een tweede orde Taylor expansie als benadering zouden kunnen gebruiken, i.e. we benaderen de curve van f dan niet meer met behulp van een rechte lijn maar met behulp van een parabool die de curve van f osculeert in het punt (p_n, f(p_n)). De vergelijking van deze parabool wordt dan



De x-coördinaat van één van de snijpunten van deze parabool met de x-as is dan onze nieuwe benadering p_n+1 van het nulpunt van f(x) zodat we als voorwaarde krijgen



Nu zouden we hieruit p_n+1 op kunnen lossen, maar aangezien we hier een vierkantsvergelijking hebben in p_n+1 krijgen we dan een lastige uitdrukking met een vierkantswortel, en dat is niet attractief. Daarom gaan we iets anders te werk. We halen eerst de gemene factor (p_n+1 − p_n) van de laatste twee termen in het rechterlid buiten haakjes, dit geeft



en dus



Dit is equivalent met de betrekking die je werd gevraagd te bewijzen. Maar we zijn er nog niet, want nu komt pas de clou. We kunnen het verschil p_n+1 − p_n in het rechterlid namelijk benaderen als −f(p_n)/f'(p_n) met behulp van de Newton-Raphson iteratie, en substitutie hiervan geeft na wat herleiding



En deze iteratie staat algemeen bekend als de methode van Halley.

quote:

Op woensdag 1 oktober 2014 19:32 schreef Amoeba het volgende:
Ik ben echt zoooo dom he. Ik heb heel die shit met die vierkantswortel wel gedaan.
Inderdaad is de vervolgvraag om mbv de Newton-Raphson methode op de onderste betrekking uit te komen (wat me natuurlijk wel gelukt is).

Thanks

Je bent in zekere zin in goed gezelschap, want ik heb de originele publicatie van Halley uit 1694 nog even geraadpleegd (fantastisch trouwens dat zoiets tegenwoordig zo maar kan binnen enkele seconden) en daar zie je dat Halley ook met een iteratie met vierkantswortels werkte. Hij beweert in dit artikel ook dat dit beter is (i.e. een snellere convergentie oplevert) dan de rationale iteratie die nu algemeen bekend staat als de methode van Halley, maar dat is in het algemeen niet waar. Dat kun je bijvoorbeeld testen door het nulpunt x = ln 2 van f(x) = e^x − 2 met beide iteraties te benaderen en dan de resultaten te vergelijken.

quote:

Op woensdag 1 oktober 2014 20:38 schreef Amoeba het volgende:

[..]

Is dit Latijn?

Jazeker, wat dacht je dan?

quote:

Op woensdag 1 oktober 2014 21:06 schreef Riparius het volgende:

[..]

Jazeker, wat dacht je dan?

Welke talen spreek jij eigenlijk allemaal?

quote:

Op woensdag 1 oktober 2014 21:12 schreef OllieWilliams het volgende:

[..]

Welke talen spreek jij eigenlijk allemaal?

Echt (vloeiend) spreken niet eens zoveel (naast Nederlands, Frans, Duits, Engels) maar ik heb wel leesvaardigheid in veel Indo-Europese talen (Germaans, Romaans, Slavisch) naast uiteraard Latijn en klassiek Grieks. Maar meer wil ik hierover niet kwijt.

quote:

Op woensdag 1 oktober 2014 21:26 schreef Riparius het volgende:

[..]

Echt (vloeiend) spreken niet eens zoveel (naast Nederlands, Frans, Duits, Engels) maar ik heb wel leesvaardigheid in veel Indo-Europese talen (Germaans, Romaans, Slavisch) naast uiteraard Latijn en klassiek Grieks. Maar meer wil ik hierover niet kwijt.

Stevig lijstje

quote:

Op woensdag 1 oktober 2014 21:26 schreef Riparius het volgende:

[..]

Echt (vloeiend) spreken niet eens zoveel (naast Nederlands, Frans, Duits, Engels) maar ik heb wel leesvaardigheid in veel Indo-Europese talen (Germaans, Romaans, Slavisch) naast uiteraard Latijn en klassiek Grieks. Maar meer wil ik hierover niet kwijt.

Ik had eerlijk gezegd Russisch wel verwacht, zeker gezien jouw interesse in (klassieke) wiskundige teksten.

Weet iemand een goed boek over calculus? Ik ben eigenlijk opzoek naar een boek dat ook laat zien waarom een bepaalde methode werkt.

quote:

Op donderdag 2 oktober 2014 18:53 schreef netchip het volgende:
Weet iemand een goed boek over calculus? Ik ben eigenlijk opzoek naar een boek dat ook laat zien waarom een bepaalde methode werkt.

Dat is dus analyse en daar ben jij nog lang niet aan toe! Ga eerst maar eens dat lineaire algebra dictaat doorwerken.

quote:

Op donderdag 2 oktober 2014 18:53 schreef netchip het volgende:
Weet iemand een goed boek over calculus? Ik ben eigenlijk opzoek naar een boek dat ook laat zien waarom een bepaalde methode werkt.

Heb je concrete vragen over methodes die bij calculus worden gebruikt en waarvan je wil weten waarom ze werken? Ik heb hier trouwens nog een post klaar staan over de meetkundige interpretatie van vermenigvuldiging van complexe getallen en aanverwante zaken. Is een hele tijd blijven liggen vanwege de vakantieperiode maar kan ik wel posten nu de rust lijkt weergekeerd in dit topic. Zou je nu prima moeten kunnen volgen.

quote:

Overtuig je er zelf van dat de verzameling W = {λa + μb|λ, μ ∈ R} precies
het vlak door O, A,B voorstelt. Zij nu P een willekeurig punt in de ruimte
met bijbehorende vector p. Geef het vlak door P, evenwijdig aan W, aan met
V . Omdat we V ook kunnen krijgen door W over de vector p te transleren
zien we dat V gegeven wordt door de vectoren {p + λa + μb|λ, μ ∈ R}.

Ik heb moeite met wiskundige termen, "het vlak door P", bijvoorbeeld. Welk vlak? Hoe groot is dat vlak? Hoe wordt dat vlak gedefinïeerd?

Ook snap ik λa + μb niet, dat is toch een lijn?

quote:

Op donderdag 2 oktober 2014 22:00 schreef netchip het volgende:

[..]

Ik heb moeite met wiskundige termen, "het vlak door P", bijvoorbeeld. Welk vlak? Hoe groot is dat vlak? Hoe wordt dat vlak gedefinïeerd?

Voor definities van begrippen kun je goed op Wikipedia terecht. Het is echter wel zo dat definities van begrippen gebruik moeten maken van eerder gedefinieerde begrippen, en daar kun je niet eindeloos mee doorgaan, en dus loop je zo onherroepelijk tegen het probleem aan dat je niet alle begrippen formeel kunt definiëren. Enkele basisbegrippen zoals in de meetkunde het begrip punt, rechte lijn en vlak moet je daarom formeel ongedefinieerd laten, maar je kunt ze wel beschrijven aan de hand van hun onderlinge relaties. Hetzelfde geldt voor stellingen. Die bewijs je aan de hand van eerder bewezen stellingen, maar ook daar kun je niet eindeloos mee doorgaan, en dus moet je vertrekken vanuit een aantal proposities waarvan je aanneemt dat ze waar zijn, en die uiteraard niet met elkaar in strijd mogen zijn en die ook onafhankelijk van elkaar zijn, zodat geen van deze proposities uit de overige aangenomen proposities is te bewijzen. Dat zijn dan je axioma's.

Een vlak in de meetkunde strekt zich oneindig ver uit, het heeft dus geen randen, net zo goed als we ons een rechte lijn denken als iets dat zich (naar beide zijden) oneindig ver uitstrekt.

quote:

Ook snap ik λa + μb niet, dat is toch een lijn?

Nee, want je hebt hier niet één parameter, maar twee parameters λ en μ, en de vectoren a en b liggen niet in elkaars verlengde. We zeggen dan ook dat a en b lineair onafhankelijk zijn. Je kunt a niet uitdrukken in b en b niet in a. Maar het wel zo dat als je een willekeurig punt P kiest in het vlak dat wordt opgespannen door de vectoren OA = a en OB = b (i.e. het vlak bepaald door de drie punten O, A, B) dat je dan de vector OP = p op een unieke manier kunt schrijven als een lineaire combinatie λa + μb van de vectoren a en b met λ, μ ∈ R.We noemen {a, b} daarom een basis voor de vectorruimte die bestaat uit alle vectoren in dat vlak en we noemen het unieke geordende paar (λ, μ) de kentallen van vector p maar ook de coördinaten van het punt P ten opzichte van de basis {a, b}.

Kan iemand mij helpen met de volgende som:

Q * P ^1/2 = 38

Find dQ / dP by implicit differentiation.

quote:

Op vrijdag 3 oktober 2014 00:48 schreef Super-B het volgende:
Kan iemand mij helpen met de volgende som:

Q * P ^1/2 = 38

Find dQ / dP by implicit differentiation.

Deze vraag heb je al eerder gesteld en toen heb je ook antwoorden gekregen.

Met andere woorden, leg uit wat je wel en niet hebt begrepen en ze kunnen je verder helpen. Ze kunnen je niet helpen als ze niet weten wat je wel en niet weet en begrijpt.