SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Je hebt een cirkel met middelpunt M en straal MR en een cirkel met middelpunt N en straal NS.quote:Op woensdag 14 mei 2014 16:26 schreef Maarten9191 het volgende:
Ik ga volgende week Wiskunde B VWO afleggen, en heb een vraag over het examen van 2013 TV1, vraag 19 (laatste vraag) met betrekking tot meetkundige plaatsen.
Het correctievoorschrift geeft als antwoord dat het punt N 4+2 = 6 cm van punt M vandaan moet liggen. Waarom is dit 6 cm en geen 4 cm?
Alvast weer bedankt voor de input!
Edit: verkeerde examens gelinked, geef me even een momentje om het op te lossen @ 16:27!
De snijpunten van die cirkels zijn brandpunten van parabolen door M en N met richtlijn k. (Staat in de tekst).
Als NM = MR + NS = 2 + 4 = 6 dan raken de cirkels elkaar en is er precies één snijpunt en dus precies één parabool zoals gevraagd wordt.
Je krijgt het antwoord bijna kado als je even naar figuur 2 bij de opgave kijkt. Daar zie je, en wordt ook gezegd, dat men de punten M en N zodanig heeft gekozen dat MN < MR + NS. Aangezien MR en NS de stralen zijn van de cirkels en MN de afstand van hun middelpunten, betekent dit dat de cirkels elkaar snijden (in de twee punten Fen G).quote:
Ik ga volgende week Wiskunde B VWO afleggen, en heb een vraag over het examen van 2013 TV1, vraag 19 (laatste vraag) met betrekking tot meetkundige plaatsen.
Het correctievoorschrift geeft als antwoord dat het punt N 4+2 = 6 cm van punt M vandaan moet liggen. Waarom is dit 6 cm en geen 4 cm?
Alvast weer bedankt voor de input!
Edit: verkeerde examens gelinked, geef me even een momentje om het op te lossen @ 16:27!
Een parabool is de meetkundige plaats (verzameling) van punten met gelijke afstand tot een gegeven punt (focus oftewel brandpunt) en een gegeven lijn (directrix oftewel richtlijn), en aangezien d(M, F) = d(M, k) en d(N, F) = d(N, k) liggen M en N beide op de parabool met focus F en directrix k. Evenzo hebben we d(M, G) = d(M, k) en d(N, G) = d(N, k) zodat M en N ook beide op de parabool liggen met focus G en directrix k.
Maar nu wordt bij de laatste opgave gevraagd het punt N zodanig te bepalen dat er slechts één parabool is met directrix k waarop zowel punt M als punt N ligt. En dat betekent dat de beide cirkels met als midelpunten M resp. N nog maar één punt gemeen mogen hebben en elkaar dus moeten raken. Dat is het geval als de afstand van de middelpunten M en N van de cirkels gelijk is aan de som van hun stralen, zodat we als voorwaarde krijgen
MN = MR + NS
Nu is ook gegeven dat de afstanden MR en NS van de punten M resp. N tot lijn k gelijk zijn aan resp. 2 en 4 cm, zodat dus MN = MR + NS = 2 + 4 = 6 cm moet zijn. Zie je?
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 14-05-2014 17:27:12 ]
Nu is het helemaal duidelijk, bedankt Anoomunos en Riparius.
Ik heb de afgelopen vier maanden vier boeken van getal en ruimte zelf doorgewerkt (mijn methode van toen ik nog op de middelbare school zat). Elk zo nu en dan zat ik met wat dingen wat ik écht niet begreep en er even een kleine opheldering voor nodig had van iemand (zoals dit). Ik waardeer het heel erg dat de tijd wordt genomen om te helpen
. Ik maak iedere dag (sinds maandag) een proefexamen, en ik heb er alle vertrouwen in dat het - mede dankzij Fok! dinsdag helemaal goed gaat komen.
Ik heb de afgelopen vier maanden vier boeken van getal en ruimte zelf doorgewerkt (mijn methode van toen ik nog op de middelbare school zat). Elk zo nu en dan zat ik met wat dingen wat ik écht niet begreep en er even een kleine opheldering voor nodig had van iemand (zoals dit). Ik waardeer het heel erg dat de tijd wordt genomen om te helpen
. Ik maak iedere dag (sinds maandag) een proefexamen, en ik heb er alle vertrouwen in dat het - mede dankzij Fok! dinsdag helemaal goed gaat komen.
Differentieren gaat me nu redelijk af, ik weet wanneer ik bepaalde regels moet toepassen, wat een afgeleide is, en hoe met de verschillende notaties (Lagrange, Leibniz) te werken.
Wat raden jullie me nu aan? Beginnen met integreren?
Wat raden jullie me nu aan? Beginnen met integreren?
Kun je bijvoorbeeld ook goniometrische functies en de inversen daarvan al differentiëren? Ik zou als ik jou was eerst eens kijken of je iets lastiger vraagstukken over raaklijnen e.d. nu vlot op kunt lossen, bijvoorbeeld:quote:Op woensdag 14 mei 2014 19:55 schreef netchip het volgende:
Differentieren gaat me nu redelijk af, ik weet wanneer ik bepaalde regels moet toepassen, wat een afgeleide is, en hoe met de verschillende notaties (Lagrange, Leibniz) te werken.
Wat raden jullie me nu aan? Beginnen met integreren?
Gegeven is de functie
De lijn met de vergelijking y = mx raakt de grafiek van f. Bereken de waarde(n) van m waarvoor dit het geval is.
Als je er echt verder mee wil kun je wellicht het beste een goed boek zoeken over differentiaal- en integraalrekening. Misschien is Spivak wat voor je.
f(x) = g(x) * h(x)quote:
[..]
Kun je bijvoorbeeld ook goniometrische functies en de inversen daarvan al differentiëren? Ik zou als ik jou was eerst eens kijken of je iets lastiger vraagstukken over raaklijnen e.d. nu vlot op kunt lossen, bijvoorbeeld:
Gegeven is de functie
De lijn met de vergelijking y = mx raakt de grafiek van f. Bereken de waarde(n) van m waarvoor dit het geval is.
Als je er echt verder mee wil kun je wellicht het beste een goed boek zoeken over differentiaal- en integraalrekening. Misschien is Spivak wat voor je.
g(x) = 4 * ln(x2)-4
h(x) = 1/x
f'(x) = g(x) * h'(x) + g'(x) * h(x)
ln'(x) = 1/x
g'(x) = 4/x2
h(x) = x-1 => h'(x) = -x-2
Dan gaan we nu f'(x) berekenen: (4*ln(x2)-4)/x2 + 4/x3
Note: ik heb nog niet met logaritmes gewerkt
Ontdek de wonderen van logaritmes dan eerstquote:
[..]
f(x) = g(x) * h(x)
g(x) = 4 * ln(x2)-4
h(x) = 1/x
f'(x) = g(x) * h'(x) + g'(x) * h(x)
ln'(x) = 1/x
g'(x) = 4/x2
h(x) = x-1 => h'(x) = -x-2
Dan gaan we nu f'(x) berekenen: (4*ln(x2)-4)/x2 + 4/x3
Note: ik heb nog niet met logaritmes gewerkt
Ik vind logaritmes erg verwarrend, over iets als eln(x) kan ik makkelijk 5 minuten over nadenken...quote:Op woensdag 14 mei 2014 20:52 schreef jordyqwerty het volgende:
[..]
Ontdek de wonderen van logaritmes dan eerst
glog a is de exponent waartoe je g moet verheffen om a te krijgen. Eenvoudig toch?quote:
[..]
Ik vind logaritmes erg verwarrend, over iets als eln(x) kan ik makkelijk 5 minuten over nadenken...
Dus ln x is de exponent waartoe je e moet verheffen om x te krijgen, oftewel eln x = x (voor x > 0).
Hm? ln(x) is eigenlijk ey = x toch?quote:
[..]
glog a is de exponent waartoe je g moet verheffen om a te krijgen. Eenvoudig toch?
Dus ln x is de exponent waartoe je e moet verheffen om x te krijgen, oftewel eln x = x (voor x > 0).
Hoe is ey = x dan mogelijk? Betekent dat x = y?
Nee y = ln xquote:
[..]
Hm? ln(x) is eigenlijk ey = x toch?
Hoe is ey = x dan mogelijk? Betekent dat x = y?
Nee, nu maak je er een potje van. De uitspraakquote:
[..]
Hm? ln(x) is eigenlijk ey = x toch?
Hoe is ey = x dan mogelijk? Betekent dat x = y?
ln(x) = y
is equivalent met
ey = x
Maar dit is precies wat ik hierboven zeg: y oftewel ln(x) is de exponent waartoe je e moet verheffen om x te krijgen.
Wat ik had geschreven, is wel heel triestquote:
[..]
Nee, nu maak je er een potje van. De uitspraak
ln(x) = y
is equivalent met
ey = x
Maar dit is precies wat ik hierboven zeg: y oftewel ln(x) is de exponent waartoe je e moet verheffen om x te krijgen.
Ik dacht weer eens niet goed na... Is het handig om eerst wat oefeningen te maken en wat bewijzen te doen met logaritmes voordat ik ga proberen formules met logaritmes te differentieren?
De functie f(x) = ln(x) berekent voor ieder getal x het getal ln(x) zodat eln(x) = x. Oftewel, voor x = 2 is de functie ln(2) het getal met eln(2) = 2. Als je dit uitrekent, vind je dat ln(2) = 0,693... . Dus als je e0,693 doet krijg je 2quote:
Anders gezegd, je weet dat er een getal y bestaat zodat ey = 2. Om dit getal y te vinden is de functie ln() bedacht. Deze functie zoekt het getal y waarvoor ey = 2. Dit getal wordt dan ln(2) genoemd.
Lijkt me me wel als je denkt dat de afgeleide van ln(x²) naar x gelijk is aan 1/x².quote:
Is het handig om eerst wat oefeningen te maken en wat bewijzen te doen met logaritmes voordat ik ga proberen formules met logaritmes te differentieren?
Wat ik wel weet, is dat je ln(x2) normaal gesproken zou kunnen herschrijven als 2ln(x).quote:
[..]
Lijkt me me wel als je denkt dat de afgeleide van ln(x²) naar x gelijk is aan 1/x².
Correct. Vervolgens productregel toepassen.quote:
[..]
Wat ik wel weet, is dat je ln(x2) normaal gesproken zou kunnen herschrijven als 2ln(x).
Ja, als x > 0, niet als x < 0. Maar als je 2·ln(x) (x > 0) differentieert naar x, krijg je 2/x. Waarom maak je er hierboven dan 1/x² van?quote:
[..]
Wat ik wel weet, is dat je ln(x2) normaal gesproken zou kunnen herschrijven als 2ln(x).
Op woensdag 14 mei 2014 21:53 schreef Riparius het volgende:[..]
Ja, als x > 0, niet als x < 0. Maar als je 2·ln(x) (x > 0) differentieert naar x, krijg je 2/x. Waarom maak je er hierboven dan 1/x² van?
[/quote]
Omdat ik dacht ln'(x) = 1/x. En dan was het voor mij logisch om te denken om gewoon de hele parameter 'x' mee te nemen, dus x2. Maar nu heb ik dus geleerd dat je functies zonodig eerst moet herleiden voordat je ze differentieert.quote:
[..]
Ja, als x > 0, niet als x < 0. Maar als je 2·ln(x) (x > 0) differentieert naar x, krijg je 2/x. Waarom maak je er hierboven dan 1/x² van?
[..]
Omdat ik dacht ln'(x) = 1/x. En dan was het voor mij logisch om te denken om gewoon de hele parameter 'x' mee te nemen, dus x2. Maar nu heb ik dus geleerd dat je functies zonodig eerst moet herleiden voordat je ze differentieert.
[/quote]
Omdat ik dacht ln'(x) = 1/x. En dan was het voor mij logisch om te denken om gewoon de hele parameter 'x' mee te nemen, dus x2. Maar nu heb ik dus geleerd dat je functies zonodig eerst moet herleiden voordat je ze differentieert.
[/quote]
Ook zonder herleiding had je direct moeten zien dat hier de kettingregel van toepassing is:quote:
Omdat ik dacht ln'(x) = 1/x. En dan was het voor mij logisch om te denken om gewoon de hele parameter 'x' mee te nemen, dus x2. Maar nu heb ik dus geleerd dat je functies zonodig eerst moet herleiden voordat je ze differentieert.
d(ln(x2))/dx = d(ln(x2))/d(x2) · d(x2)/dx = x−2·2x = 2·x−1.
Niet correct. Voor x < 0 heb je ln(x2) = 2·ln(−x). En de productregel gebruik je toch niet bij een constante factor? (Ja, het kán wel).quote:
[..]
Correct. Vervolgens productregel toepassen.
Dan zou ik zeggen dz/dx = dz/dy * dy/dx
z = y4
y = 5x2-8x
dz/dy = 4y3
dy/dx = 10x-8
Hoe nu verder? dz/dy = 4(5x2-8x)3 * 10x-8 ?
dz/dx = dz/dy · dy/dx = 4y3·(10x − 8) = 4·(5x2 − 8x)3·(10x − 8).quote:
Dan zou ik zeggen dz/dx = dz/dy * dy/dx
z = y4
y = 5x2-8x
dz/dy = 4y3
dy/dx = 10x-8
Hoe nu verder? dz/dy = 4(5x2-8x)3 * 10x-8 ?
Nu kun je de haakjes nog uitwerken. Begin dan met (5x2 − 8x)3. Daarvoor kun je gebruik maken van
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Ook is het handig om eerst even te bedenken dat je hebt
(5x2 − 8x)3 = x3·(5x − 8)3
Je had natuurlijk ook eerst de haakjes in het functievoorschrift weg kunnen werken door gebruik te maken van
(a − b)4 = a4 − 4a3b + 6a2b2 − 4ab3 + b4
[ Bericht 5% gewijzigd door Riparius op 14-05-2014 23:28:10 ]
Hallo, ik heb weer een vraag.
''Geef bij de volgende twee functies de eventuele nulpunten van de afgeleide en de intervallen waarop de functie monotoon stijgend of dalend is''
x4 - 4x³ + 4
en
x³ + 1
Ze bedoelen neem ik aan of de afgeleide functie monotoon stijgend of dalend is? Daarnaast vraag ik mij af waarom de nulpunten nodig zijn om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen, want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.
[ Bericht 3% gewijzigd door Super-B op 15-05-2014 15:20:56 ]
''Geef bij de volgende twee functies de eventuele nulpunten van de afgeleide en de intervallen waarop de functie monotoon stijgend of dalend is''
x4 - 4x³ + 4
en
x³ + 1
Ze bedoelen neem ik aan of de afgeleide functie monotoon stijgend of dalend is? Daarnaast vraag ik mij af waarom de nulpunten nodig zijn om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen, want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.
[ Bericht 3% gewijzigd door Super-B op 15-05-2014 15:20:56 ]
quote:
Hallo, ik heb weer een vraag.
''Geef bij de volgende twee functies de eventuele nulpunten van de afgeleide en de intervallen waarop de functie monotoon stijgend of dalend is''
x4 - 4x³ + 4
en
x³ + 1
Ze bedoelen neem ik aan of de afgeleide functie monotoon stijgend of dalend is? Daarnaast vraag ik mij af waarom de nulpunten nodig zijn om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen, want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.
En waarom zijn de nulpunten van een afgeleide nodig om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen?Want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.quote:
waarom de nulpunten nodig zijn om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen, want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.
Wanneer de grafiek op een punt gaat dalen of stijgen dan is de richtingcoëfficiënt in dat punt 0.quote:
[..]
En waarom zijn de nulpunten van een afgeleide nodig om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen?Want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.
Lukt het weer moet alleen maar dikgedrukt te maken?quote:
[..]
En waarom zijn de nulpunten van een afgeleide nodig om te weten wanneer een functie monotoon stijgend of dalend is en in welke intervallen?Want een functie kan op elk moment dalen of stijgen, dit hoeft niet per se bij een nulpunt te zijn van de x-as toch..? Dat is mij wat onduidelijk.
Je hebt het eerste over nulpunten van de afgeleiden en daarna over nulpunten van de functie.
Ow zo. Dankje.quote:
[..]
Wanneer de grafiek op een punt gaat dalen of stijgen dan is de richtingcoëfficiënt in dat punt 0.
Klein vraagje..
Hoe kun je x van de afgeleide berekenen bij (x² - 1) / (x² +1) ?
Ik heb als afgeleide:
4x / (x²+1)²
Maar verder oplossen lukt me niet.
Als we het hier toch over hebben, wat is het belang van een tweede afgeleide? Ik snap de eerste afgeleide en dat je daaruit af kan lezen waar de functie een daling of stijging inzet.quote:
[..]
Wanneer de grafiek op een punt gaat dalen of stijgen dan is de richtingcoëfficiënt in dat punt 0.
Volgens mij zegt die tweede afgeleide dan weer iets over het eerste afgeleide. Dan moet je die eerste afgeleide weer als een losstaand functie zien. Maar dat is mijn input.quote:
[..]
Als we het hier toch over hebben, wat is het belang van een tweede afgeleide? Ik snap de eerste afgeleide en dat je daaruit af kan lezen waar de functie een daling of stijging inzet.
hetzelfde geldt overigens voorquote:
[..]
Ow zo. Dankje.
Klein vraagje..
Hoe kun je x van de afgeleide berekenen bij (x² - 1) / (x² +1) ?
Ik heb als afgeleide:
4x / (x²+1)²
Maar verder oplossen lukt me niet.
(x² + 1) / (x + 1) met als afgeleide (x² + 2x - 1) / (x+1)²
huh?quote:
[..]
Wanneer de grafiek op een punt gaat dalen of stijgen dan is de richtingcoëfficiënt in dat punt 0.
Op een punt waar de functie daalt noch stijgt is de afgeleide 0.
Dit geldt overal voor constante functies en op lokale maxima en minima van andere functies.
Tussen de nulpunten daalt of stijgt de functie. Dus als je de punten hebt kan jij ook per domein aangeven waar hij stijgt of daalt.
Wat bedoel je met x berekenen?quote:
[..]
Ow zo. Dankje.
Klein vraagje..
Hoe kun je x van de afgeleide berekenen bij (x² - 1) / (x² +1) ?
Ik heb als afgeleide:
4x / (x²+1)²
Maar verder oplossen lukt me niet.
Dat kan alleen als je een vergelijking hebt en dat heb je daar niet.
De tweede afgeleide vertelt hoe of de eerste afgeleide toeneemt of afneemt.quote:
[..]
Volgens mij zegt die tweede afgeleide dan weer iets over het eerste afgeleide. Dan moet je die eerste afgeleide weer als een losstaand functie zien. Maar dat is mijn input.
De nulpunten van de tweede afgeleide geven je de lokale maxima en minima van de eerste afgeleide.
Deze punten zijn buigpunten. Op een buigpunt verandert een curve van kromming.
Ik moet de eventuele nulpunten van de afgeleide berekenen en de intervallen geven waarop de functie monotoon stijgend of dalend is.quote:
[..]
huh?
Op een punt waar de functie daalt noch stijgt is de afgeleide 0.
Dit geldt overal voor constante functies en op lokale maxima en minima van andere functies.
Tussen de nulpunten daalt of stijgt de functie. Dus als je de punten hebt kan jij ook per domein aangeven waar hij stijgt of daalt.
[..]
Wat bedoel je met x berekenen?
Dat kan alleen als je een vergelijking hebt en dat heb je daar niet.
[..]
De tweede afgeleide vertelt hoe of de eerste afgeleide toeneemt of afneemt.
De nulpunten van de tweede afgeleide geven je de lokale maxima en minima van de eerste afgeleide.
Deze punten zijn buigpunten. Op een buigpunt verandert een curve van kromming.
[ afbeelding ]
Nou dat kan je nu dan toch?quote:
[..]
Ik moet de eventuele nulpunten van de afgeleide berekenen en de intervallen geven waarop de functie monotoon stijgend of dalend is.
De functie:
(x² - 1) / (x² +1) ?
en de functie:
(x² + 1) / (x + 1) met als afgeleide (x² + 2x - 1) / (x+1)²
Daarnaast bij x^4 - 4x³ + 4 met als afgeleide x² - 3x weet ik niet waarom er sprake is van een monotone daling bij x = 0? Ik weet wel dat x < 3 voor een monotone daling zorgt en x > 3 zorgt voor een monotone stijging.
(x² - 1) / (x² +1) ?
en de functie:
(x² + 1) / (x + 1) met als afgeleide (x² + 2x - 1) / (x+1)²
Daarnaast bij x^4 - 4x³ + 4 met als afgeleide x² - 3x weet ik niet waarom er sprake is van een monotone daling bij x = 0? Ik weet wel dat x < 3 voor een monotone daling zorgt en x > 3 zorgt voor een monotone stijging.
Vereenvoudig die functies eens.quote:
De functie:
(x² - 1) / (x² +1) ?
en de functie:
(x² + 1) / (x + 1) met als afgeleide (x² + 2x - 1) / (x+1)²
Daarnaast bij x^4 - 4x³ + 4 met als afgeleide x² - 3x weet ik niet waarom er sprake is van een monotone daling bij x = 0? Ik weet wel dat x < 3 voor een monotone daling zorgt en x > 3 zorgt voor een monotone stijging.
Daarna lees mijn andere post nog eens.
Als het betreft om die x =0 dan heb ik je post niet begrepen.quote:
[..]
Vereenvoudig die functies eens.
Daarna lees mijn andere post nog eens.
quote:
[..]
Als het betreft om die x =0 dan heb ik je post niet begrepen.
Dus bepaal de nulpunten van de afgeleide en kijk dan naar de afgeleide tussen die punten.quote:Tussen de nulpunten daalt of stijgt de functie. Dus als je de punten hebt kan jij ook per domein aangeven waar hij stijgt of daalt.
Oke dank. Ik zal ernaar kijken..quote:
[..]
[..]
Dus bepaal de nulpunten van de afgeleide en kijk dan naar de afgeleide tussen die punten.
Deze functie:
x^4 - 2x²
Heeft als globaal minimum x = -1, x = 0 als lokaal maximum en x =1 als globaal minimum.
Ik heb de grafiek getekend en het is een dalparabool. x = 1 is inderdaad een globaal minimum, de rest kan ik niet zien..in mijn getekende grafiek.
Ik snap sowieso niet hoe er twee globale minima's kunnen zijn..
En hoe kun je deze sowieso berekenen?
Een goed uitleg stel ik zeer op prijs, aangezien het boek weer te kort en krom is qua uitleg.
[ Bericht 5% gewijzigd door Super-B op 15-05-2014 19:13:20 ]
Omdat ze beide dezelfde waarde hebben.quote:
Ik snap sowieso niet hoe er twee globale minima's kunnen zijn..
Door ook de waarde van de tweede afgeleide te bepalen in een punt waar de eerste afgeleide nul is, kun je meestal (dus niet altijd) vaststellen of je oorspronkelijke functie in dat punt een lokaal minimum of nu juist een lokaal maximum aanneemt.quote:
[..]
Als we het hier toch over hebben, wat is het belang van een tweede afgeleide? Ik snap de eerste afgeleide en dat je daaruit af kan lezen waar de functie een daling of stijging inzet.
f'(x0) = 0 ∧ f''(x0) > 0 : f heeft een lokaal minimum bij x = x0
f'(x0) = 0 ∧ f''(x0) < 0 : f heeft een lokaal maximum bij x = x0
Je kunt gemakkelijk inzien waarom dit geldt. Als f'(x0) = 0 en tevens f''(x0) > 0 dan betekent dit dat f'(x) stijgt in een intervalletje (omgeving) rond x = x0. En aangezien f'(x0) = 0 betekent dit dat f'(x) bij x = x0 wisselt van negatief naar positief. Maar dat betekent weer dat de grafiek van f net links van x = x0 nog daalt om vervolgens vanaf x = x0 weer te gaan stijgen. En dus heeft de functie f een lokaal minimum bij x = x0. Op dezelfde manier kun je beredeneren dat f een lokaal maximum heeft bij x = x0 als Als f'(x0) = 0 en tevens f''(x0) < 0.
Maar wat nu als f'(x0) en f''(x0) beide nul zijn? Wel, dan kun je nog geen uitspraken doen en zul je de functie verder moeten onderzoeken. Het kan zijn dat de grafiek van f dan een buigpunt heeft bij x = x0 met een horizontale buigraaklijn, maar dat hoeft niet. Het blijft ook mogelijk dat f dan een lokaal minimum óf een lokaal maximum heeft bij x = x0.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 15-05-2014 23:01:51 ]
Let op je terminologie en je taalgebruik. De grafiek van je functie is zeker geen parabool, want dit is geen kwadratische functie. En maxima is het meervoud van maximum, daar mag je dus geen 's aan toevoegen.quote:
Een goed uitleg stel ik zeer op prijs, aangezien het boek weer te kort en krom is qua uitleg.
Geef eens het nummer van de opgave in het boek van Van de Craats, dan kan ik eens kijken wat de begeleidende uitleg inhoudt en wat de bedoeling is van de opgave.
https://googledrive.com/h(...)met%20Antwoorden.pdfquote:
[..]
Let op je terminologie en je taalgebruik. De grafiek van je functie is zeker geen parabool, want dit is geen kwadratische functie. En maxima is het meervoud van maximum, daar mag je dus geen 's aan toevoegen.
Geef eens het nummer van de opgave in het boek van Van de Craats, dan kan ik eens kijken wat de begeleidende uitleg inhoudt en wat de bedoeling is van de opgave.
blz 179 voor de theorie en blz 180 voor de opgaven.
Thanks voor de goede, uitgebreide uitlegquote:
[..]
Door ook de waarde van de tweede afgeleide te bepalen in een punt waar de eerste afgeleide nul is, kun je meestal (dus niet altijd) vaststellen of je oorspronkelijke functie in dat punt een lokaal minimum of nu juist een lokaal maximum aanneemt.
f'(x0) = 0 ∧ f''(x0) > 0 : f heeft een lokaal minimum bij x = x0
f'(x0) = 0 ∧ f''(x0) < 0 : f heeft een lokaal maximum bij x = x0
Je kunt gemakkelijk inzien waarom dit geldt. Als f'(x0) = 0 en tevens f''(x0) > 0 dan betekent dit dat f'(x) stijgt in een intervalletje (omgeving) rond x = x0. En aangezien f'(x0) = 0 betekent dit dat f'(x) bij x = x0 wisselt van negatief naar positief. Maar dat betekent weer dat de grafiek van f net links van x = x0 nog daalt om vervolgens vanaf x = x0 weer te gaan stijgen. En dus heeft de functie f een lokaal minimum bij x = x0. Op dezelfde manier kun je beredeneren dat f en lokaal maximum heeft bij x = x0 als Als f'(x0) = 0 en tevens f''(x0) < 0.
Maar wat nu als f'(x0) en f''(x0) beide nul zijn? Wel, dan kun je nog geen uitspraken doen en zul je de functie verder moeten onderzoeken. Het kan zijn dat de grafiek van f dan een buigpunt heeft bij x = x0 met een horizontale buigraaklijn, maar dat hoeft niet. Het blijft ook mogelijk dat f dan een lokaal minimum óf een lokaal maximum heeft bij x = x0.
Ik begin het al een beetje te begrijpen. Hetzelfde effect bereik je toch door f'(x) = 0 te bepalen en vervolgens de daar uitgekomen x waarde in te vullen in de oorspronkelijke f(x) en een waarde iets links van die x waarde en een waarde iets rechts van die x waarde door te kijken of hij een minimum of een maximum aanneemt.
Voor de mede-wiskundekanditaten kan dit trouwens ook nog nuttig zijn:
Differentiëren begint best interessant te worden
Spannend hoor. Maandag de toets en dan is iedereen in dit topic van ons verlost!quote:
[..]
Thanks voor de goede, uitgebreide uitleg
Ik begin het al een beetje te begrijpen. Hetzelfde effect bereik je toch door f'(x) = 0 te bepalen en vervolgens de daar uitgekomen x waarde in te vullen in de oorspronkelijke f(x) en een waarde iets links van die x waarde en een waarde iets rechts van die x waarde door te kijken of hij een minimum of een maximum aanneemt.
Voor de mede-wiskundekanditaten kan dit trouwens ook nog nuttig zijn:
Differentiëren begint best interessant te worden
De uitleg op blz. 179 lijkt me volstrekt helder. Echter, wat er allemaal wordt beweerd op blz. 177 van de PDF waar je naar linkt klopt niet. Hier is het nodige mis gegaan met de typografie, en Van de Craats introduceert hier ook nog eens ongebruikelijke termen. Wat hij monotoon stijgend noemt heet gewoonlijk strict monotoon stijgend en wat hij monotoon niet-dalend noemt heet gewoonlijk monotoon stijgend. Ik heb zelf overigens een volledige PDF waarin de typografische missers niet voorkomen. Ik weet niet of dit elders in het boek ook het geval is, maar het toont wel aan dat je niet kunt vertrouwen op de uitgeklede 'gratis' internetversie van het boek. Maar geef even het nummer van de opgave waar je problemen mee hebt.quote:
[..]
https://googledrive.com/h(...)met%20Antwoorden.pdf
blz 179 voor de theorie en blz 180 voor de opgaven.
Niet van mijquote:Op donderdag 15 mei 2014 19:42 schreef Super-B het volgende:
[..]
Spannend hoor. Maandag de toets en dan is iedereen in dit topic van ons verlost!
Ik doe dit op vrijwillige basis, geen toetsen oid
Dat denken ze. Moet je volgend schooljaar is opletten.quote:
[..]
Spannend hoor. Maandag de toets en dan is iedereen in dit topic van ons verlost!
Maar zonder gein, les van een docent gaat dan een stuk beter werken dan zelfstudie
Ga dan meteen ook wat colleges Nederlands volgen.quote:
[..]
Dat denken ze. Moet je volgend schooljaar is opletten.
Maar zonder gein, les van een docent gaat dan een stuk beter werken dan zelfstudie
Is misschien wel nuttig jaquote:
[..]
Ga dan meteen ook wat colleges Nederlands volgen.
Even iets geheel anders, ben jij een beetje bedreven in object geörienteerd programmeren (JAVA)? Concreter, ik heb literatuur nodig waar kort en bondig wordt uitgelegd hoe de structuur van OO programmeren nu in elkaar steekt.quote:
[..]
Ga dan meteen ook wat colleges Nederlands volgen.
Ik had je vraag al gezien, en ik heb wat ervaring met OO programmeren, maar dan in Pascal en Borland Delphi, niet met Java, sorry. Ik houd trouwens sowieso niet erg van de syntaxis van C(++) en aanverwante talen, veel te rommelig. Kernighan en Ritchie zijn niet my cup of tea. Wirth wel uiteraard.quote:Op donderdag 15 mei 2014 20:57 schreef Amoeba het volgende:
[..]
Even iets geheel anders, ben jij een beetje bedreven in object geörienteerd programmeren (JAVA)? Concreter, ik heb literatuur nodig waar kort en bondig wordt uitgelegd hoe de structuur van OO programmeren nu in elkaar steekt.
Allemaal eigenlijk.. Op de opgaven cos, sin, arcsin etc na (geen examenstof).quote:
[..]
De uitleg op blz. 179 lijkt me volstrekt helder. Echter, wat er allemaal wordt beweerd op blz. 177 van de PDF waar je naar linkt klopt niet. Hier is het nodige mis gegaan met de typografie, en Van de Craats introduceert hier ook nog eens ongebruikelijke termen. Wat hij monotoon stijgend noemt heet gewoonlijk strict monotoon stijgend en wat hij monotoon niet-dalend noemt heet gewoonlijk monotoon stijgend. Ik heb zelf overigens een volledige PDF waarin de typografische missers niet voorkomen. Ik weet niet of dit elders in het boek ook het geval is, maar het toont wel aan dat je niet kunt vertrouwen op de uitgeklede 'gratis' internetversie van het boek. Maar geef even het nummer van de opgave waar je problemen mee hebt.
Ik snap niet hoe ik het moet doen.
Kies één opgave uit, dan kan ik die even met je doornemen.quote:
[..]
Allemaal eigenlijk.. Op de opgaven cos, sin, arcsin etc na (geen examenstof).
Ik snap niet hoe ik het moet doen.
20.42 a & b kies ik.quote:
[..]
Kies één opgave uit, dan kan ik die even met je doornemen.
Opgave 20.42a.quote:
f(x) = xex
Afgeleide bepalen (met behulp van de productregel) geeft
f'(x) = 1·ex + x·ex = (x+1)·ex
Nu de nulpunten bepalen van de afgeleide f'(x). Hiervoor moet je je realiseren dat een e-macht nooit nul kan zijn. De afgeleide kan dus alleen nul zijn als de andere factor (x+1) nul is, en dat is het geval als
x = −1
Nu willen we weten of de functie f bij x = −1 een lokaal minimum of een lokaal maximum aanneemt, of wellicht geen van beide. Daarvoor kun je de tweede afgeleide bepalen en dan kijken naar het teken van f''(−1), maar hier is het ook eenvoudig te zien aan f'(x) = (x+1)·ex. De e-macht is immers altijd positief (voor elke reële x), zodat we zien dat f'(x) wisselt van negatief naar positief bij x = −1. En dat betekent dat de functie f een lokaal minimum moet hebben bij x = − 1. De waarde van dit locale minimum is f(−1) = −e−1.
Hier zie je een grafiekje van zowel f (in rood) als de afgeleide f' (in blauw). Je ziet hier heel mooi dat de curve van f' de x-as snijdt in het punt (−1; 0) en dat f bij x = − 1 inderdaad een minimum aanneemt. We weten (en zien ook in de grafiek) dat het lokale minimum tevens een globaal minimum is, want de functiewaarde f(x) daalt immers voor elke x < −1 en stijgt voor elke x > −1. Je ziet hier trouwens ook dat zowel de grafiek van f als de grafiek van f' een horizontale asymptoot y = 0 heeft. Dat komt, eenvoudig gezegd, omdat ex als we x steeds negatiever laten worden veel sneller naar nul toe gaat dan de absolute waarden van x en (x + 1) toe nemen, zodat de producten van ex met x en (x+1), en daarmee f(x) en f'(x), naar nul toe gaan voor x → − ∞.
Nu zelf maar even opgave 20.42b proberen.
Shit.. mijn boek is anders dan de internetversie.. Ik bedoelde: 20.39 a... Maar goed even lezen.quote:
[..]
Opgave 20.42a.
f(x) = xex
Afgeleide bepalen (met behulp van de productregel) geeft
f'(x) = 1·ex + x·ex = (x+1)·ex
Nu de nulpunten bepalen van de afgeleide f'(x). Hiervoor moet je je realiseren dat een e-macht nooit nul kan zijn. De afgeleide kan dus alleen nul zijn als de andere factor (x+1) nul is, en dat is het geval als
x = −1
Nu willen we weten of de functie f bij x = −1 een lokaal minimum of een lokaal maximum aanneemt, of wellicht geen van beide. Daarvoor kun je de tweede afgeleide bepalen en dan kijken naar het teken van f''(−1), maar hier is het ook eenvoudig te zien aan f'(x) = (x+1)·ex. De e-macht is immers altijd positief (voor elke reële x), zodat we zien dat f'(x) wisselt van negatief naar positief bij x = −1. En dat betekent dat de functie f een lokaal minimum moet hebben bij x = − 1. De waarde van dit locale minimum is f(−1) = −e−1.
[ afbeelding ]
Hier zie je een grafiekje van zowel f (in rood) als de afgeleide f' (in blauw). Je ziet hier heel mooi dat de curve van f' de x-as snijdt in het punt (−1; 0) en dat f bij x = − 1 inderdaad een minimum aanneemt. We weten (en zien ook in de grafiek) dat het lokale minimum tevens een globaal minimum is, want de functiewaarde f(x) daalt immers voor elke x < −1 en stijgt voor elke x > −1. Je ziet hier trouwens ook dat zowel de grafiek van f als de grafiek van f' een horizontale asymptoot y = 0 heeft. Dat komt, eenvoudig gezegd, omdat ex als we x steeds negatiever laten worden veel sneller naar nul toe gaat dan de absolute waarden van x en (x + 1) toe nemen, zodat de producten van ex met x en (x+1), en daarmee f(x) en f'(x), naar nul toe gaan voor x → − ∞.
Nu zelf maar even opgave 20.42b proberen.
EDIT: 20.39 c is mij gelukt... te maken, blijf toch hangen bij 20.39 a en b, ondanks dat ik jouw methodiek geheel snap!
Dankjewel voor je heldere uitleg de afgelopen dagen en weken. Ik heb veel gehad aan je uitleg aan mij, Nodig & Rustcohle.
Geef even aan welke functies bij opgave 20.39a en 20.39b worden gegeven. In beide versies van het boek die ik (als PDF) tot mijn beschikking heb is dat x3 − x resp. x4 − 2x2.quote:
[..]
Shit.. mijn boek is anders dan de internetversie.. Ik bedoelde: 20.39 a... Maar goed even lezen.
EDIT: 20.39 c is mij gelukt... te maken, blijf toch hangen bij 20.39 a en b, ondanks dat ik jouw methodiek geheel snap!
Dankjewel voor je heldere uitleg de afgelopen dagen en weken. Ik heb veel gehad aan je uitleg aan mij, Nodig & Rustcohle.
De methode snap ik. Bij x³-x kom ik uit op √1/3 en -√1/3, maar ik snap niet hoe je het kan schrijven tot 1/3√3 en -1/3√3.quote:
[..]
Geef even aan welke functies bij opgave 20.39a en 20.39b worden gegeven. In beide versies van het boek die ik (als PDF) tot mijn beschikking heb is dat x3 − x resp. x4 − 2x2.
Bij x^4 - 2x² maar bij de tekening zie ik de globale minima's en het lokale maximum niet... Het is een dalparabool in mijn tekening. Wanneer is er overigens sprake van een globale minimum en wanneer van een lokale minimum? Ik dacht dat er alleen maar 1 globale minimum in een grafiek mogelijk was (het laagste punt in een grafiek).
Voor zover ik weet:
lokaal minimum: één van de laagste punten
globaal minimum: allerlaagste punt in de grafiek
Waar ik echt moeite mee heb is:
20.41 a & b en 20.42 e qua opgaven.
Met 20.39 a is het probleem de schrijfwijze, zoals eerder gezegd, en bij 20.39 b is het probleem dat de grafiek niet overeenkomt met het antwoord (althans bij mij..). Het antwoord heb ik overigens wel goed.
Herleiding van uitdrukkingen met wortels: hiervoor bestaan rekenregels, die Van de Craats ook behandelt in hoofdstuk 3 Machten en wortels. De rekenregels voor wortels zijn nauw verwant met de rekenregels voor machten, omdat je elke wortel immers ook kunt schrijven als een macht met een gebroken (niet gehele) exponent. Verder spelen de rekenregels voor het werken met breuken een rol bij het herleiden van uitdrukkingen met wortels. De waarde van een breuk verandert bijvoorbeeld niet als je teller en noemer met hetzelfde getal (ongelijk nul) vermenigvuldigt, of door hetzelfde getal (ongelijk nul) deelt. Je hebtquote:
[..]
De methode snap ik. Bij x³-x kom ik uit op √1/3 en -√1/3, maar ik snap niet hoe je het kan schrijven tot 1/3√3 en -1/3√3.
Dat is natuurlijk niet waar. Je moet niet elke curve die een beetje op een parabool lijkt een parabool noemen. Dit is geen kwadratische functie maar een vierdemachts polynoomfunctie en de grafiek kan dan ook geen parabool zijn.quote:Bij x^4 - 2x² maar bij de tekening zie ik de globale minima en het lokale maximum niet... Het is een dalparabool in mijn tekening.
Nee, je kunt toch méér dan één punt hebben in een grafiek met dezelfde laagste functiewaarde?quote:Wanneer is er overigens sprake van een globaal minimum en wanneer van een lokaal minimum? Ik dacht dat er alleen maar 1 globaal minimum in een grafiek mogelijk was (het laagste punt in een grafiek).
Ja, maar wat nu wanneer dat zelfde laagste punt voor twee verschillende waarden van x wordt bereikt? Dan heb je toch twee laagste punten?quote:Voor zover ik weet:
lokaal minimum: één van de laagste punten
globaal minimum: allerlaagste punt in de grafiek
Heb je de grafiek met pen en papier geschetst of door een computerprogramma laten tekenen?quote:Waar ik echt moeite mee heb is:
20.41 a & b en 20.42 e qua opgaven.
Met 20.39 a is het probleem de schrijfwijze, zoals eerder gezegd, en bij 20.39 b is het probleem dat de grafiek niet overeenkomt met het antwoord (althans bij mij..). Het antwoord heb ik overigens wel goed.
Hoe zou je hier de afgeleide ookal weer bepalen met de dy/dx methode?quote:
[..]
Opgave 20.42a.
f(x) = xex
Afgeleide bepalen (met behulp van de productregel) geeft
f'(x) = 1·ex + x·ex = (x+1)·ex
Nu de nulpunten bepalen van de afgeleide f'(x). Hiervoor moet je je realiseren dat een e-macht nooit nul kan zijn. De afgeleide kan dus alleen nul zijn als de andere factor (x+1) nul is, en dat is het geval als
x = −1
Nu willen we weten of de functie f bij x = −1 een lokaal minimum of een lokaal maximum aanneemt, of wellicht geen van beide. Daarvoor kun je de tweede afgeleide bepalen en dan kijken naar het teken van f''(−1), maar hier is het ook eenvoudig te zien aan f'(x) = (x+1)·ex. De e-macht is immers altijd positief (voor elke reële x), zodat we zien dat f'(x) wisselt van negatief naar positief bij x = −1. En dat betekent dat de functie f een lokaal minimum moet hebben bij x = − 1. De waarde van dit locale minimum is f(−1) = −e−1.
[ afbeelding ]
Hier zie je een grafiekje van zowel f (in rood) als de afgeleide f' (in blauw). Je ziet hier heel mooi dat de curve van f' de x-as snijdt in het punt (−1; 0) en dat f bij x = − 1 inderdaad een minimum aanneemt. We weten (en zien ook in de grafiek) dat het lokale minimum tevens een globaal minimum is, want de functiewaarde f(x) daalt immers voor elke x < −1 en stijgt voor elke x > −1. Je ziet hier trouwens ook dat zowel de grafiek van f als de grafiek van f' een horizontale asymptoot y = 0 heeft. Dat komt, eenvoudig gezegd, omdat ex als we x steeds negatiever laten worden veel sneller naar nul toe gaat dan de absolute waarden van x en (x + 1) toe nemen, zodat de producten van ex met x en (x+1), en daarmee f(x) en f'(x), naar nul toe gaan voor x → − ∞.
Nu zelf maar even opgave 20.42b proberen.
Hoe bedoel je? In de notatie van Leibniz kun je schrijvenquote:
[..]
Hoe zou je hier de afgeleide ookal weer bepalen met de dy/dx methode?
d(x·ex)/dx = (dx/dx)·ex + x·d(ex)/dx = 1·ex + x·ex = (x+1)·ex
Bedoel je dit?
Jep.. zou je het kunnen simplificeren?quote:
[..]
Hoe bedoel je? In de notatie van Leibniz kun je schrijven
d(x·ex)/dx = (dx/dx)·ex + x·d(ex)/dx = 1·ex + x·ex = (x+1)·ex
Bedoel je dit?
Het was iets met dy/dp en dx/dp. Die laatste 2 vermenigvuldigen leverde dan weer dy/dx op.
Waar je een deel gelijk stelde aan een ander variabele ofzo..?
Heb het met pen en papier geschetst.. Ik ga het eens op Wolfram Alpha proberen.quote:
[..]
Herleiding van uitdrukkingen met wortels: hiervoor bestaan rekenregels, die Van de Craats ook behandelt in hoofdstuk 3 Machten en wortels. De rekenregels voor wortels zijn nauw verwant met de rekenregels voor machten, omdat je elke wortel immers ook kunt schrijven als een macht met een gebroken (niet gehele) exponent. Verder spelen de rekenregels voor het werken met breuken een rol bij het herleiden van uitdrukkingen met wortels. De waarde van een breuk verandert bijvoorbeeld niet als je teller en noemer met hetzelfde getal (ongelijk nul) vermenigvuldigt, of door hetzelfde getal (ongelijk nul) deelt. Je hebt
[..]
Dat is natuurlijk niet waar. Je moet niet elke curve die een beetje op een parabool lijkt een parabool noemen. Dit is geen kwadratische functie maar een vierdemachts polynoomfunctie en de grafiek kan dan ook geen parabool zijn.
[..]
Nee, je kunt toch méér dan één punt hebben in een grafiek met dezelfde laagste functiewaarde?
[..]
Ja, maar wat nu wanneer dat zelfde laagste punt voor twee verschillende waarden van x wordt bereikt? Dan heb je toch twee laagste punten?
[..]
Heb je de grafiek met pen en papier geschetst of door een computerprogramma laten tekenen?
Dat is de kettingregel.quote:
[..]
Jep.. zou je het kunnen simplificeren?
Het was iets met dy/dp en dx/dp. Die laatste 2 vermenigvuldigen leverde dan weer dy/dx op.
Waar je een deel gelijk stelde aan een ander variabele ofzo..?
Nu denk je aan de kettingregel in de notatie van Leibniz, maar voor het differentiëren van een product als xex gebruik je de productregel, en niet de kettingregel.quote:
[..]
Jep.. zou je het kunnen simplificeren?
Het was iets met dy/dp en dp/dx. Die laatste 2 vermenigvuldigen leverde dan weer dy/dx op.
Waar je een deel gelijk stelde aan een ander variabele ofzo..?
Productregel in de notatie van Leibniz:
d(f(x)·g(x))/dx = (d(f(x))/dx)·g(x) + f(x)·(d(g(x))/dx)
Stellen we hier u = f(x) en v = g(x), dan wordt dit:
d(uv)/dx = (du/dx)·v + u·(dv/dx)
Productregel in de notatie van Lagrange:
h(x) = f(x)·g(x) ⇒ h'(x) = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
Of, symbolisch en compacter opgeschreven:
(fg)' = f'g + fg'
Kettingregel in de notatie van Leibniz:
d(g(f(x))/dx = d(g(f(x))/d(f(x)) · d(f(x))/dx
Stellen we hier u = f(x) en y = g(u), dan is y = g(f(x)) en hebben we dus
dy/dx = dy/du · du/dx
Kettingregel in de notatie van Lagrange:
h(x) = g(f(x)) ⇒ h'(x) = g'(f(x))·f'(x)
Of, symbolisch en compacter opgeschreven:
(g∘f)' = (g'∘f)·f'
Het rondje ∘ duidt hier compositie aan en wordt uitgesproken als na, zodat je g∘f dus uitspreekt als g na f. Het lijkt wat onnatuurlijk om een samenstelling van twee functies f en g waarbij f eerst komt zo aan te geven omdat ons schrift van links naar rechts loopt, maar het grote voordeel is dat de volgorde van de letters f en g zo hetzelfde is als bij de haakjesnotatie g(f(x)) voor de samenstelling van twee functies f en g.
Zie je nu de verschillen tussen de productregel en de kettingregel en de verschillen en de overeenkomsten tussen de verschillende notaties?
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 16-05-2014 10:58:53 ]
Nog meer over notatie: 
is een functie, 
is een functie geëvalueerd op het punt 
, oftewel een getal. Je kan dus nooit spreken over de functie .
Toch gebeurt dat veel, en niet alleen in schoolboeken. Ook Van de Craats heeft het voortdurend over een functie f(x) of over de functie f(x) = x2 als hij een reële functie f van een reële variabele bedoelt resp. een functie f: R → R gedefinieerd door x ↦ x2 oftewel door het functievoorschrift f(x) = x2. Maar het is nogal omslachtig om dat steeds zo op te schrijven en dat verklaart waarom veel auteurs het kortweg hebben over een functie f(x) of de functie f(x) = x2. En dat is ook niet echt bezwaarlijk mits maar duidelijk is - en ook expliciet wordt gemaakt - wat er precies mee wordt bedoeld.quote:
Nog meer over notatie:
Bij een definitie van een functie hoort trouwens ook altijd een specificatie van een domein en een codomein, maar ook dat wordt vaak niet vermeld. De stilzwijgende afspraak bij reële functies van reële variabelen in schoolboeken is dan gewoonlijk dat - tenzij anders vermeld - het domein bestaat uit de grootst mogelijke deelverzameling van R waarvoor het gegeven functievoorschrift betekenis heeft binnen R, en dat R het codomein is.
Aangezien de laatste letters van het alfabet (in ieder geval x, y, z maar vaak ook t, u, v, w) doorgaans variabele of onbekende grootheden aanduiden, kun je de opvatting verdedigen dat de notatie f(x) voor het beeld van x ∈ D bij een functie f: D → R met D ⊂ R ook een variabele grootheid voorstelt, en dus geen vast getal. De letters a, b, c, d maar ook p, q, r, s worden daarentegen gewoonlijk gebruikt om constante of bekende grootheden aan te duiden, en dus kun je dan inderdaad gegeven een reële functie f van een reële variabele de notatie f(a) alleen opvatten als een getal, namelijk de waarde van f(x) voor x = a, oftewel het beeld van a, vooropgesteld dat a ∈ Df. Je ziet dan (terecht) ook nooit dat Van de Craats het heeft over een functie f(a), maar wel dat hij bijvoorbeeld de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van een (differentieerbare) functie f in het punt (a; f(a)) geeft als y = f(a) + f'(a)·(x − a) en hier stellen f(a) en f'(a) uiteraard constante resp. bekende reële grootheden voor.
Maar wat Van de Craats ook doet, en wat is af te keuren, ook in schoolboeken, is dat hij het in opgaven heeft over een functie x2 en dat moet je niet doen, een uitdrukking is iets anders dan een functie.
[ Bericht 0% gewijzigd door Riparius op 16-05-2014 09:32:23 ]
Hier heb je een grafiek van de functie f(x) = x4 − 2x2 (in rood) alsmede van de afgeleide functie f'(x) = 4x3 − 4x (in blauw).quote:
[..]
Bij x^4 - 2x², maar bij de tekening zie ik de globale minima en het lokale maximum niet ... Het is een dalparabool in mijn tekening. Wanneer is er overigens sprake van een globaal minimum en wanneer van een lokaal minimum? Ik dacht dat er alleen maar één globaal minimum in een grafiek mogelijk was (het laagste punt in een grafiek).
[snip]
Met 20.39 a is het probleem de schrijfwijze, zoals eerder gezegd, en bij 20.39 b is het probleem dat de grafiek niet overeenkomt met het antwoord (althans bij mij..). Het antwoord heb ik overigens wel goed.
Je ziet dat de grafiek van f geen parabool is en dat f voor twee verschillende waarden van x een globaal minimum bereikt, en dat de functie ook nog een locaal maximum heeft, maar geen globaal maximum.
Kijk je naar de grafiek van de afgeleide functie f', dan zie dat de afgeleide functie drie nulpunten heeft, namelijk −1, 0 en 1. Bij x = −1 passeert de grafiek van f' de x-as en de steilheid van de grafiek van f' in dit punt oftewel f''(−1) is positief. Ga dit na door de tweede afgeleide te bepalen en f''(−1) te berekenen. Aangezien f'(x) bij x = −1 wisselt van negatief naar positief, gaat de grafiek van f hier over van dalend naar stijgend. Dat betekent dus dat f bij x = −1 in ieder geval een lokaal minimum heeft. De waarde van dit lokale minimum is f(−1) = −1.
Kijken we nu naar het nulpunt x = 0 van de afgeleide functie f', dan zien we dat f'(x) bij x = 0 wisselt van positief naar negatief. De steilheid van de grafiek van f' in dit punt oftewel f''(0) is negatief. Ga dit weer na door f''(0) te berekenen. Aangezien f'(x) bij x = 0 wisselt van positief naar negatief, gaat de grafiek van f hier over van stijgend naar dalend. Dat betekent dus dat f bij x = 0 in ieder geval een lokaal maximum heeft en de waarde van dit lokale maximum is f(0) = 0.
In het nulpunt x = 1 van de afgeleide functie, tenslotte, gaat f'(x) weer over van negatief naar positief en de grafiek van f gaat hier dus weer over van dalend naar stijgend, zodat f bij x = 1 in ieder geval een lokaal minimum heeft met de waarde f(1) = −1.
Uit de grafiek zal je duidelijk zijn dat de twee lokale minima van de functie f bij x = −1 en bij x = 1 tegelijk ook het globale minimum zijn van deze functie. De waarde van dit globale minimum is f(−1) = f(1) = −1. Een functie kan slechts één globaal minimum hebben, maar je ziet dat het prima mogelijk is dat dit globale minimum bij meer dan één waarde van x wordt bereikt. De functie f heeft echter geen globaal maximum, dus f heeft inderdaad alleen een lokaal maximum bij x = 0.
De functie f heeft drie nulpunten, namelijk x = −√2, x = 0 en x = √2. Je ziet hier dus ook dat een functie bij eenzelfde waarde van x, hier x = 0, zowel een nulpunt kan hebben als een extreme waarde kan bereiken.
Wat is het verschil tussen een globale minimum en een lokale minimum en je kunt toch twee globale minimums hebben, mits dezelfde waarde toch? Dus bijv -1 en 1? Maar die - telt dan niet? Want ik zou zeggen dat zowel -1 en 1 verschillen van elkaar als waarde,als je de - meetelt.quote:
[..]
Hier heb je een grafiek van de functie f(x) = x4 − 2x2 (in rood) alsmede van de afgeleide functie f'(x) = 4x3 − 4x (in blauw).
[ afbeelding ]
Je ziet dat de grafiek van f geen parabool is en dat f voor twee verschillende waarden van x een globaal minimum bereikt, en dat de functie ook nog een locaal maximum heeft, maar geen globaal maximum.
Kijk je naar de grafiek van de afgeleide functie f', dan zie dat de afgeleide functie drie nulpunten heeft, namelijk −1, 0 en 1. Bij x = −1 passeert de grafiek van f' de x-as en de steilheid van de grafiek van f' in dit punt oftewel f''(−1) is positief. Ga dit na door de tweede afgeleide te bepalen en f''(−1) te berekenen. Aangezien f'(x) bij x = −1 wisselt van negatief naar positief, gaat de grafiek van f hier over van dalend naar stijgend. Dat betekent dus dat f bij x = −1 in ieder geval een lokaal minimum heeft. De waarde van dit lokale minimum is f(−1) = −1.
Kijken we nu naar het nulpunt x = 0 van de afgeleide functie f', dan zien we dat f'(x) bij x = 0 wisselt van positief naar negatief. De steilheid van de grafiek van f' in dit punt oftewel f''(0) is negatief. Ga dit weer na door f''(0) te berekenen. Aangezien f'(x) bij x = 0 wisselt van positief naar negatief, gaat de grafiek van f hier over van stijgend naar dalend. Dat betekent dus dat f bij x = 0 in ieder geval een lokaal maximum heeft en de waarde van dit lokale maximum is f(0) = 0.
In het nulpunt x = 1 van de afgeleide functie, tenslotte, gaat f'(x) weer over van negatief naar positief en de grafiek van f gaat hier dus weer over van dalend naar stijgend, zodat f bij x = 1 in ieder geval een lokaal minimum heeft met de waarde f(1) = −1.
Uit de grafiek zal je duidelijk zijn dat de twee lokale minima van de functie f bij x = −1 en bij x = 1 tegelijk ook het globale minimum zijn van deze functie. De waarde van dit globale minimum is f(−1) = f(1) = −1. Een functie kan slechts één globaal minimum hebben, maar je ziet dat het prima mogelijk is dat dit globale minimum bij meer dan één waarde van x wordt bereikt. De functie f heeft echter geen globaal maximum, dus f heeft inderdaad alleen een lokaal maximum bij x = 0.
De functie f heeft drie nulpunten, namelijk x = −√2, x = 0 en x = √2. Je ziet hier dus ook dat een functie bij eenzelfde waarde van x, hier x = 0, zowel een nulpunt kan hebben als een extreme waarde kan bereiken.
Is het tenslotte handig om op de toets de grafiek te tekenen? Want ik kan het niet direct zien.. of het een minimum, maximum etc is.
Ja dat is handig. Ten tweede is het meervoud van minimum minima.quote:
[..]
Wat is het verschil tussen een globale minimum en een lokale minimum en je kunt toch twee globale minimums hebben, mits dezelfde waarde toch? Dus bijv -1 en 1? Maar die - telt dan niet? Want ik zou zeggen dat zowel -1 en 1 verschillen van elkaar als waarde,als je de - meetelt.
Is het tenslotte handig om op de toets de grafiek te tekenen? Want ik kan het niet direct zien.. of het een minimum, maximum etc is.
Een globaal minimum is het laagste punt van de functie. -1 < 1, dus is f(x) = 1 geen globaal minimum. Je kunt zeggen dat een functie een lokaal minimum aanneemt als de functie van dalend naar stijgend gaat (dus tekenwisseling van de afgeleide), dit lokale minimum is globaal minimum dan en slechts dan als dit ook het laagste punt is van de functie voor alle waarden waarvoor de functie gedefinieerd is.
Overigens is zijn 1 en -1 alleen in absolute waarde gelijk aan elkaar, dus |1| = 1 = |-1|. -1 en 1 zijn verder geen gelijke waardes.
[ Bericht 5% gewijzigd door #ANONIEM op 16-05-2014 13:25:14 ]
dat dacht ik dus ook, maar in mijn boek staat dat zowel -1 als 1 globale minimums zijn...quote:
[..]
Ja dat is handig. Ten tweede is het meervoud van minimum minima.
Een globaal minimum is het laagste punt van de functie. -1 < 1, dus is f(x) = 1 geen globaal minimum. Je kunt zeggen dat een functie een lokaal minimum aanneemt als de functie van dalend naar stijgend gaat (dus tekenwisseling van de afgeleide), dit lokale minimum is globaal minimum dan en slechts dan als dit ook het laagste punt is van de functie voor alle waarden waarvoor de functie gedefinieerd is.
Overigens is zijn 1 en -1 alleen in absolute waarde gelijk aan elkaar, dus |1| = 1 = |-1|. -1 en 1 zijn verder geen gelijke waardes.
daarnaast heb ik de functie:
X^4 -x^2 - 2x + 1
waar ik de stationare punten en buigpunten moet bepalen.
Als ik hiervan de afgeleide bereken en dan de afgeleide oplos voor f(x) ' = 0 dan krijg ik als oplossingen x = 1 en x= -0,5.
Dan ik had dan dat 1 zowel een buigpunt als een stationaire punt was.. omdat het op dat punt de raaklijn constant is, maar vervolgens een "buigt" als het ware en -0,5?!? Geen idee..
het antwoord is echter..: x = 1 (stationaire punt)en x = 1/6 W6 en x= -1/6 W6 zijn de buigpunten.. geen idee hoe ze daarop komen..
Ik dacht dat stationaire punten en buigpunten hetzelfde waren?
In x = 1 en in x = -1 heeft de functie een globaal minimum.quote:
[..]
dat dacht ik dus ook, maar in mijn boek staat dat zowel -1 als 1 globale minimums zijn...
Je haalt nu de plaats x van het minimum en de functiewaarde f(x) van het minimum door elkaar.
x = 1 klopt maar x = -0.5 klopt niet.quote:
[..]
X^4 -x^2 - 2x + 1
waar ik de stationare punten en buigpunten moet bepalen.
Als ik hiervan de afgeleide bereken en dan de afgeleide oplos voor f(x) ' = 0 dan krijg ik als oplossingen x = 1 en x= -0,5.
f ' (x) = 4x3 - 2x -2 = 2(x-1)(2x2 +2x +1) = 0
2x2 +2x +1 heeft negatieve discriminant en dus geen nulpunt.
Dus x = 1 is het enige nulpunt.
Nee niet hetzelfde.quote:
[..]
het antwoord is echter..: x = 1 (stationaire punt)en x = 1/6 W6 en x= -1/6 W6 zijn de buigpunten.. geen idee hoe ze daarop komen..
Ik dacht dat stationaire punten en buigpunten hetzelfde waren?
Ik heb het met de abc formule opgelost.. wel vaag dat er dan gewoon een antwoord uitkwam... en dus -0,5.quote:
[..]
In x = 1 en in x = -1 heeft de functie een globaal minimum.
Je haalt nu de plaats x van het minimum en de functiewaarde f(x) van het minimum door elkaar.
[..]
x = 1 klopt maar x = -0.5 klopt niet.
f ' (x) = 4x3 - 2x -2 = 2(x-1)(2x2 +2x +1) = 0
2x2 +2x +1 heeft negatieve discriminant en dus geen nulpunt.
Dus x = 1 is het enige nulpunt.
[..]
Nee niet hetzelfde.
De eerste term is 4x^3 en niet 4x^2 dus je kan geen abc formule toepassen.quote:
[..]
Ik heb het met de abc formule opgelost.. wel vaag dat er dan gewoon een antwoord uitkwam... en dus -0,5.
Hoe los ik het dan op..?quote:Op vrijdag 16 mei 2014 14:09 schreef Anoonumos het volgende:
[..]
De eerste term is 4x^3 en niet 4x^2 dus je kan geen abc formule toepassen.
Ben er al uit met het oplossen!quote:
[..]
De eerste term is 4x^3 en niet 4x^2 dus je kan geen abc formule toepassen.
Lees zelf nog even de definities van stationaire punten en buigpunten in je boek en kijk of je het snapt.quote:
Ja dat begrijp ik. Echter is het toch zo dat bij een buigpunt (dus het punt waar de grafiek gaat buigen) net als het stationaire punt een horizontale afgeleide heeft...?quote:
[..]
Lees zelf nog even de definities van stationaire punten en buigpunten in je boek en kijk of je het snapt.
Ik weet niet hoe ik de buigpunten moet berekenen.. want zover ik weet waren dat gewoon de afgeleide oplossen = 0 en dan kijken wat x was..
Buigpunten zijn de extreme waarden van de afgeleide functie.quote:
[..]
Ja dat begrijp ik. Echter is het toch zo dat bij een buigpunt (dus het punt waar de grafiek gaat buigen) net als het stationaire punt een horizontale afgeleide heeft...?
Ik weet niet hoe ik de buigpunten moet berekenen.. want zover ik weet waren dat gewoon de afgeleide oplossen = 0 en dan kijken wat x was..
Dus je moet naar de tweede afgeleide van je oorspronkelijke functie kijken.
Ohww... De eerste afgeleide zegt wat over het stationaire punt van de functie f(x) en de tweede afgeleide zegt iets over de buigpunten van f(x)?quote:
[..]
Buigpunten zijn de extreme waarden van de afgeleide functie.
Dus je moet naar de tweede afgeleide van je oorspronkelijke functie kijken.
Volgens mij heb ik een paar dagen terug nog een plaatje, met een buigpunt aangegeven, geplaatst...quote:
[..]
Ja dat begrijp ik. Echter is het toch zo dat bij een buigpunt (dus het punt waar de grafiek gaat buigen) net als het stationaire punt een horizontale afgeleide heeft...?
Ik weet niet hoe ik de buigpunten moet berekenen.. want zover ik weet waren dat gewoon de afgeleide oplossen = 0 en dan kijken wat x was..
Nee de afgeleide is daar niet 0 maar de tweede afgeleide is daar 0.
Ow oke.quote:
[..]
Volgens mij heb ik een paar dagen terug nog een plaatje, met een buigpunt aangegeven, geplaatst...
Nee de afgeleide is daar niet 0 maar de tweede afgeleide is daar 0.
Wat wordt er bedoeld met het ''wisselen van de teken'' bij het berekenen van de buigpunten?
Van teken wisselen is van positief naar negatief gaan of andersom.quote:
[..]
Ow oke.
Wat wordt er bedoeld met het ''wisselen van de teken'' bij het berekenen van de buigpunten?
-edit- als een continue functie van teken veranderd heb je daar ook een nulpunt.
[ Bericht 4% gewijzigd door t4rt4rus op 16-05-2014 19:40:20 ]
Ik denk dat je wat voorzichtiger en preciezer moet zijn met je formulering. Super-B blijkt een meester in het verdraaien en misinterpreteren van de woorden van iedereen die probeert hem het licht te laten zien.quote:
[..]
Buigpunten zijn de extreme waarden van de afgeleide functie.
Dus je moet naar de tweede afgeleide van je oorspronkelijke functie kijken.
De grafiek van f(x) = x4 heeft geen buigpunt bij x = 0, terwijl toch f''(0) = 0. De voorwaarde f''(x0) = 0 is dus niet voldoende voor een buigpunt bij x = x0. Een voldoende (maar niet noodzakelijke) voorwaarde voor het optreden van een buigpunt bij x = x0 is f''(x0) = 0 en tevens f'''(x0) ≠ 0, evenals f'(x0) = 0 en tevens f''(x0) ≠ 0 een voldoende (maar niet noodzakelijke) voorwaarde is voor het optreden van een extremum bij x = x0.
Ik twijfelde erover om dat op te merken maar omdat dat ook het geval is met het bepalen van de extreme waarden van een functie dacht ik dat hij dat wel moest weten.quote:
[..]
Ik denk dat je wat voorzichtiger en preciezer moet zijn met je formulering. Super-B blijkt een meester in het verdraaien en misinterpreteren van de woorden van iedereen die probeert hem het licht te laten zien.
De grafiek van f(x) = x4 heeft geen buigpunt bij x = 0, terwijl toch f''(0) = 0. De voorwaarde f''(x0) = 0 is dus niet voldoende voor een buigpunt bij x = x0. Een voldoende (maar niet noodzakelijke) voorwaarde voor het optreden van een buigpunt bij x = x0 is f''(x0) = 0 en tevens f'''(x0) ≠ 0, evenals f'(x0) = 0 en tevens f''(x0) ≠ 0 een voldoende (maar niet noodzakelijke) voorwaarde is voor het optreden van een extremum bij x = x0.
Maar dat is je op glad ijs begeven inderdaad dus goed dat je het nog duidelijk opmerkt.
Dankje! Ik ga zo direct je post lezen.quote:
[..]
Ik denk dat je wat voorzichtiger en preciezer moet zijn met je formulering. Super-B blijkt een meester in het verdraaien en misinterpreteren van de woorden van iedereen die probeert hem het licht te laten zien.
De grafiek van f(x) = x4 heeft geen buigpunt bij x = 0, terwijl toch f''(0) = 0. De voorwaarde f''(x0) = 0 is dus niet voldoende voor een buigpunt bij x = x0. Een voldoende (maar niet noodzakelijke) voorwaarde voor het optreden van een buigpunt bij x = x0 is f''(x0) = 0 en tevens f'''(x0) ≠ 0, evenals f'(x0) = 0 en tevens f''(x0) ≠ 0 een voldoende (maar niet noodzakelijke) voorwaarde is voor het optreden van een extremum bij x = x0.
Ik ben even de oefentoets maken, kijken hoe ik er nu voor sta.
Dit is niet helemaal waar. Een functie kan ook van teken wisselen zonder een nulpunt te bereiken.quote:
[..]
Van teken wisselen is van positief naar negatief gaan of andersom.
En functies veranderen van teken op een nulpunt.
Wat vind je hiervan?
f(x) = 1 als x > 0
f(x) = -1 anders
Daarnaast hoeft een functie niet van teken te veranderen op een nulpunt. f(x) = x*x is daar een mooi voorbeeld van.
[ Bericht 13% gewijzigd door #ANONIEM op 16-05-2014 19:26:46 ]
Bedankt, ik haal even wat door elkaarquote:
[..]
Dit is niet helemaal waar. Een functie kan ook van teken wisselen zonder een nulpunt te bereiken.
Wat vind je hiervan?
f(x) = 1 als x > 0
f(x) = -1 anders
Daarnaast hoeft een functie niet van teken te veranderen op een nulpunt. f(x) = x*x is daar een mooi voorbeeld van.
Een continue functie die van teken veranderd heeft daar een nulpunt.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E%28-x%C2%B2%2B2x%29
Ik kom echt niet op zo'n grafiek?
Als ik in mijn rekenmachine x = 1 invoer krijg ik:
e^-(1)² + 2 * 1 = 2,37.. Dat is minder dan de grafiek in Wolfram Alpha zegt...
En hoe kun je de functie op de reken manier berekenen zoals in het antwoordenmodel:
http://www.eur.nl/fileadm(...)antw_versie_2014.pdf
Opgave 3 a
Ik kom echt niet op zo'n grafiek?
Als ik in mijn rekenmachine x = 1 invoer krijg ik:
e^-(1)² + 2 * 1 = 2,37.. Dat is minder dan de grafiek in Wolfram Alpha zegt...
En hoe kun je de functie op de reken manier berekenen zoals in het antwoordenmodel:
http://www.eur.nl/fileadm(...)antw_versie_2014.pdf
Opgave 3 a
Door je haakjes goed te zetten: e^(-(1)² + 2 * 1 ) = e^1 = equote:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E%28-x%C2%B2%2B2x%29
Ik kom echt niet op zo'n grafiek?
Als ik in mijn rekenmachine x = 1 invoer krijg ik:
e^-(1)² + 2 * 1 = 2,37.. Dat is minder dan de grafiek in Wolfram Alpha zegt...
En hoe kun je de functie op de reken manier berekenen zoals in het antwoordenmodel:
http://www.eur.nl/fileadm(...)antw_versie_2014.pdf
Opgave 3 a
Maar het gaat erom dat de term (-2x + 2) dan gelijk is aan 0.
Verder zijn e-machten altijd positief.
Je bent veels te laat begonnen.quote:
Hoe los je daarnaast vergelijkingen op met ln?
Het supportteam arriveert ook.quote:
Op Check rekenregels voor logaritmenquote:
Hoe los je daarnaast vergelijkingen op met ln?
Jep.. ik heb teveel geconcentreerd op afgeleide ipv oplossen ervan.. even kijken..quote:
[..]
Het supportteam arriveert ook.
[..]
Check rekenregels voor logaritmen
quote:
Toch een lastige hoor..quote:
[..]
Het supportteam arriveert ook.
[..]
Check rekenregels voor logaritmen
ln(x^4 - 24x²) - ln(x²) = 0
Ik doe dan
e log (x^4 - 24x²) - e log x² = 0
en dan loop ik weer vast...
