SES School, Studie en Onderwijs
Wiskunde in de brugklas, Frans voor het examen of een studie Personeel en Arbeid? Moeilijke formulieren van DUO? Iets weten over studiefinanciering of studentenverenigingen? Dit is het forum voor leerkrachten, scholieren en studenten, van brugklas tot uni
Thanks, duidelijk 
Je hebt soms echt van die momenten dat je er dusdanig lang in zit dat je er even helemaal scheel van wordt!
Je hebt soms echt van die momenten dat je er dusdanig lang in zit dat je er even helemaal scheel van wordt!
Dag,
Ik had een vraagje;
De volgende som is als volgt:
a + b / a - 2b - a - 2b / a + b
Ik heb het opgelost en kwam uit op 6ab - 3b² / a² - ab - 2b²
Echter vraag ik mij dus af of ik dit kan vereenvoudigen tot
6a - 3b / a²- a - 2b door gewoon zowel de teller als de noemer te delen door b.
Echter staat er in het antwoordenboek waar ik in eerste instantie uitkwam (vetgedrukte), maar toch vraag ik mij af of ik hem wel verder kan vereenvoudigen, zo niet waarom niet?
Ik dacht zelf dat het niet te vereenvoudigen is omdat er in de noemer niet alles een b heeft, want er staat een a² in de breuk...
Maar dan toch vind ik raar dat bijvoorbeeld (a-b) (a+b) / a + b vereenvoudigd kan worden tot alleen a-b door alles te delen door a+b.
Ik had een vraagje;
De volgende som is als volgt:
a + b / a - 2b - a - 2b / a + b
Ik heb het opgelost en kwam uit op 6ab - 3b² / a² - ab - 2b²
Echter vraag ik mij dus af of ik dit kan vereenvoudigen tot
6a - 3b / a²- a - 2b door gewoon zowel de teller als de noemer te delen door b.
Echter staat er in het antwoordenboek waar ik in eerste instantie uitkwam (vetgedrukte), maar toch vraag ik mij af of ik hem wel verder kan vereenvoudigen, zo niet waarom niet?
Ik dacht zelf dat het niet te vereenvoudigen is omdat er in de noemer niet alles een b heeft, want er staat een a² in de breuk...
Maar dan toch vind ik raar dat bijvoorbeeld (a-b) (a+b) / a + b vereenvoudigd kan worden tot alleen a-b door alles te delen door a+b.
Op het moment dat jij (6ab - 3b²) / (a² - ab - 2b²) door b wilt delen, vergeet je de eerste term van het onderste lid (zeg ik dit goed?) a² te delen door b.
Het wordt dan dus eigenlijk:
(6a - 3b² ) / ( (a² /b) - a - 2b), waardoor er drie breuken komen, en het zonder het door b te delen netter en overzichtelijker is.
Het wordt dan dus eigenlijk:
(6a - 3b² ) / ( (a² /b) - a - 2b), waardoor er drie breuken komen, en het zonder het door b te delen netter en overzichtelijker is.
Dit klopt.quote:Op donderdag 1 mei 2014 15:30 schreef EcoMaarten het volgende:
Op het moment dat jij (6ab - 3b²) / (a² - ab - 2b²) door b wilt delen, vergeet je de eerste term van het onderste lid (zeg ik dit goed?) te delen door b.
Het wordt dan dus eigenlijk:
(6a - 3b² ) / ( (a² /b) - a - 2b), waardoor er drie breuken komen, en het zonder het door b te delen netter en overzichtelijker is.
En
quote:
Op het moment dat jij (6ab - 3b²) / (a² - ab - 2b²) door b wilt delen, vergeet je de eerste term van het onderste lid (zeg ik dit goed?) a² te delen door b.
Het wordt dan dus eigenlijk:
(6a - 3b² ) / ( (a² /b) - a - 2b), waardoor er drie breuken komen, en het zonder het door b te delen netter en overzichtelijker is.
Ik wil jullie danken voor jullie snelle antwoord en tijd die jullie genomen hebben om te antwoorden.quote:
[..]
Dit klopt.
Enkun je wel vereenvoudigen, omdat het een vermenigvuldiging betreft. Zou er
hebben gestaan, zou je het niet kunnen vereenvoudigen tot (a-b), maar enkel tot
.
Er rest mij nog een vraag:
Hoe wordt deze vergelijking opgelost?
(x+2)² = 3
Ik loop vast bij het oplossen tot hieraan toe : x² + 2x + 2x + 4 = 3 ofwel x²+ 4x = -1
Hoe los je x² = a op (a > 0)? Door x = √a of x = - √a.quote:
Hoe wordt deze vergelijking opgelost?
(x+2)² = 3
Ik loop vast bij het oplossen tot hieraan toe : x² + 2x + 2x + 4 = 3 ofwel x²+ 4x = -1
Dus (x+2)² = 3
geeft x + 2 = √3 of x + 2 = - √3
Dus x = √3 - 2 of x = -√3 -2
(x+2)² = 3
(x+2)(x+2) = 3
x² + 4x + 4 = 3
x² + 4x + 1 = 0
Niet te ontbinden in factoren, dus ABC formule.
D = b² - 4ac = 16 - 4 * 1 *1 = 12
x= (-4 - Sqrt(12) ) / 2 v x= (-4 + Sqrt(12) ) / 2
Edit: methode hierboven is natuurlijk veel sneller
(x+2)(x+2) = 3
x² + 4x + 4 = 3
x² + 4x + 1 = 0
Niet te ontbinden in factoren, dus ABC formule.
D = b² - 4ac = 16 - 4 * 1 *1 = 12
x= (-4 - Sqrt(12) ) / 2 v x= (-4 + Sqrt(12) ) / 2
Edit: methode hierboven is natuurlijk veel sneller
Hoe kom je tot daar? Als ik weet tot hoe je tot dat gedeelte komt van de som dan snap ik het..quote:
[..]
Hoe los je x² = a op (a > 0)? Door x = √a of x = - √a.
Dus (x+2)² = 3
geeft x + 2 = √3 of x + 2 = - √3
Dus x = √3 - 2 of x = -√3 -2
Ik zit nu nog met x²+ 4x = -1
In het antwoordenmodel staat Dus x = √3 - 2 of x = -√3 -2quote:Op donderdag 1 mei 2014 19:59 schreef EcoMaarten het volgende:
(x+2)² = 3
(x+2)(x+2) = 3
x² + 4x + 4 = 3
x² + 4x + 1 = 0
Niet te ontbinden in factoren, dus ABC formule.
D = b² - 4ac = 16 - 4 * 1 *1 = 12
x= (-4 - Sqrt(12) ) / 2 v x= (-4 + Sqrt(12) ) / 2
Edit: methode hierboven is natuurlijk veel sneller
Dus ik denk niet dat de jouwe goed is.
Hoe los je x² = a op (a > 0)? Door x = √a of x = - √a.
Dat snap je? In jouw geval staat er x+2 in plaats van x, maar de methode blijft hetzelfde.
En het antwoord van EcoMaarten is hetzelfde (na vereenvoudigen)
Dat snap je? In jouw geval staat er x+2 in plaats van x, maar de methode blijft hetzelfde.
En het antwoord van EcoMaarten is hetzelfde (na vereenvoudigen)
Van EcoMaarten snap ik, maar de uiteindelijke schrijfwijze snap ik niet... Aangezien het uiteindelijke antwoord volgens het antwoordenmodel dus x = √3 - 2 of x = -√3 -2 moet zijn, net als de jouwe..quote:
Hoe los je x² = a op (a > 0)? Door x = √a of x = - √a.
Dat snap je? In jouw geval staat er x+2 in plaats van x, maar de methode blijft hetzelfde.
En het antwoord van EcoMaarten is hetzelfde (na vereenvoudigen), omdat 12 = 43 = 23
Ik snap het ja.. dat een x-kwadraat op te lossen is door de wortel, maar daarna niet meer... Dus het vetgedrukte:
√12 = √4√3 = 2√3 dus daarom is het antwoord van EcoMaarten hetzelfde.
En y² = 3 geeft dus y = √3 of y = - √3 als oplossingen.
Jij wilt oplossingen weten van (x+2)² = 3. Oftewel y = x+2 substitueren in de vorige vergelijking
Dus y = x+2 = √3 of y = x+2 = - √3.
En y² = 3 geeft dus y = √3 of y = - √3 als oplossingen.
Jij wilt oplossingen weten van (x+2)² = 3. Oftewel y = x+2 substitueren in de vorige vergelijking
Dus y = x+2 = √3 of y = x+2 = - √3.
Hoe kom je aan x+2 als ik de vergelijking al aan het oplossen ben en bij x² + 4x = -1 ben ?quote:
√12 = √4√3 = 2√3 dus daarom is het antwoord van EcoMaarten hetzelfde.
En y² = 3 geeft dus y = √3 of y = - √3 als oplossingen.
Jij wilt oplossingen weten van (x+2)² = 3. Oftewel y = x+2 substitueren in de vorige vergelijking
Dus y = x+2 = √3 of y = x+2 = - √3.
--->
x= (-4 - Sqrt(12) ) / 2 v x= (-4 + Sqrt(12) ) / 2
Hoe kun je er direct uithalen dat het 2W3 is?
√12 = √4√3 = 2√3
Dit is het belangrijkste. Voer dat eens in op de plek van √12
En dan heb je het antwoord.
Dit is het belangrijkste. Voer dat eens in op de plek van √12
En dan heb je het antwoord.
Ik had (x+2)² niet uitgewerkt omdat het niet nodig is.
Lijkt me ook niet de bedoeling van de opgave, maar goed.
Lijkt me ook niet de bedoeling van de opgave, maar goed.
Hoezo niet? Je moet toch achter x komen? Ik zou zeggen dan x+2² moet gelijk zijn aan 3,quote:
Ik had (x+2)² niet uitgewerkt omdat het niet nodig is.
dus dan moet x een getal zijn wat in het kwadraat + 2 in het kwadraat gelijk is aan 3, toch?
Ik zoek de gedachte erachter.quote:
Ik had (x+2)² niet uitgewerkt omdat het niet nodig is.
Lijkt me ook niet de bedoeling van de opgave, maar goed.
Ik wil het niet klakkenloos overnemen, maar alles weten.
Ok, start even helemaal opnieuw met de opgave.quote:
[..]
Hoe kom je aan x+2 als ik de vergelijking al aan het oplossen ben en bij x² + 4x = -1 ben ?
Je hebt (x+2)2=3
Om het makkelijker te maken zeg je: y = x+2
Als je dit invult krijg je: y2 = 3
Deze vergelijking heeft als oplossingen: y = √3 of y = -√3
Maar je moet niet het antwoord voor y hebben, je moet het antwoord voor x hebben.
Daarom vul je nu weer in: y = x+2
Je twee oplossingen zijn dan: x+2 = √3 of x+2 = -√3
Als je deze oplossingen omschrijft naar x krijg je: x = √3-2 of x = -√3-2
Helemaal duidelijk!!! Dankje! Alleen hoe weet je van te voren al direct dat het -2 - W3 is of x = - 2 + W3.quote:
[..]
Ok, start even helemaal opnieuw met de opgave.
Je hebt (x+2)2=3
Om het makkelijker te maken zeg je: y = x+2
Als je dit invult krijg je: y2 = 3
Deze vergelijking heeft als oplossingen: y = √3 of y = -√3
Maar je moet niet het antwoord voor y hebben, je moet het antwoord voor x hebben.
Daarom vul je nu weer in: y = x+2
Je twee oplossingen zijn dan: x+2 = √3 of x+2 = -√3
Als je deze oplossingen omschrijft naar x krijg je: x = √3-2 of x = -√3-2
Ik denk dat ik op 1 van de twee was uitgekomen en het gelaten had ipv beide... opgeschreven had als antwoord ( dus .... of ... )
Als je iets hebt als y2 = 3, dan zijn er twee oplossingen die hieraan voldoen. Zowel +√3 als -√3 leveren na kwadrateren 3 op. Het is dus belangrijk om aan te geven dat beide antwoorden goed zijn.quote:
[..]
Helemaal duidelijk!!! Dankje! Alleen hoe weet je van te voren al direct dat het -2 - W3 is of x = - 2 + W3.
Ik denk dat ik op 1 van de twee was uitgekomen en het gelaten had ipv beide... opgeschreven had als antwoord ( dus .... of ... )
Aha duidelijk. Helder. Zijn de FOK!ers hier allemaal wiskunde-genieën of wat?quote:
[..]
Als je iets hebt als y2 = 3, dan zijn er twee oplossingen die hieraan voldoen. Zowel +√3 als -√3 leveren na kwadrateren 3 op. Het is dus belangrijk om aan te geven dat beide antwoorden goed zijn.
Hier een pittige waar ik niet uitkom:
(-2x + 6)² = 8
Ik deelde alles door -2
dus:
(x-3)² = -4
x = 3 - W-4 of x = 3 + W-4
Dus geen oplossing mogelijk...
Toch zegt het antwoordenmodel: 3 +/- W2
Hoe komen ze op W2?!?!?
Je hebt de abc-formule eigenlijk helemaal niet nodig. Een kwadratische vergelijking zoals hierboven los je heel eenvoudig op via kwadraatafsplitsing of, zoals dat in het Engels heet, completing the square. Het komt erop neer dat je het linkerlid completeert tot een volkomen kwadraat, waarbij je gebruik maakt van het merkwaardig productquote:
[..]
Hoe kom je tot daar? Als ik weet tot hoe je tot dat gedeelte komt van de som dan snap ik het..
Ik zit nu nog met x²+ 4x = -1
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
Je vergelijking luidt
x2 + 4x = −1
Nu halveer je de coëfficiënt van de x, dat geeft 4/2 = 2. Dit kwadrateer je en dat geeft 22 = 4. Dit laatste tellen we op bij beide leden en dan hebben we
x2 + 4x + 4 = 3
Nu zie je dat we het linkerlid kunnen herschrijven als (x + 2)2 zodat we krijgen
(x + 2)2 = 3
En dus krijgen we
x + 2 = √3 ∨ x + 2 = −√3
En daarmee
x = −2 + √3 ∨ x = −2 − √3
Besef je dat (-2x + 6)² = (-2x + 6)(-2x + 6)quote:
[..]
Aha duidelijk. Helder. Zijn de FOK!ers hier allemaal wiskunde-genieën of wat?
Hier een pittige waar ik niet uitkom:
(-2x + 6)² = 8
Ik deelde alles door -2
dus:
(x-3)² = -4
x = 3 - W-4 of x = 3 + W-4
Dus geen oplossing mogelijk...
Toch zegt het antwoordenmodel: 3 +/- W2
Hoe komen ze op W2?!?!?
Nee!quote:
Hier een pittige waar ik niet uitkom:
(-2x + 6)² = 8
Ik deelde alles door -2
dus:
(x-3)² = -4
Je vergeet een paar dingen én je maakt het jezelf te moeilijk.
Wat je vergeet: in het linkerlid heb je een kwadraat. Als je dus de uitdrukking binnen de haakjes door −2 deelt, dan deel je het linkerlid daarmee door (−2)2 = 4. En als je het linkerlid door 4 deelt, dan moet je het rechterlid ook door 4 delen en krijg je dus
(x − 3)2 = 2
Waarom je het jezelf te moeilijk maakt: bovenstaande vierkantsvergelijking heeft in het linkerlid een volkomen kwadraat. En als het kwadraat van (x − 3) gelijk moet zijn aan 2, dan moet (x − 3) zelf dus gelijk zijn aan hetzij √2 hetzij −√2. Dus krijgen we
x − 3 = √2 ∨ x − 3 = −√2
En daarmee
x = 3 + √2 ∨ x = 3 − √2
Ik begrijp het niet? Je deelt door -2, zowel links als rechts (Standaardregel) en daarna door 4? Maar dan kom je toch nooit op (x-3)² = 2 uit?quote:
[..]
Nee!
Je vergeet een paar dingen én je maakt het jezelf te moeilijk.
Wat je vergeet: in het linkerlid heb je een kwadraat. Als je dus de uitdrukking binnen de haakjes door −2 deelt, dan deel je het linkerlid daarmee door (−2)2 = 4. En als je het linkerlid door 4 deelt, dan moet je het rechterlid ook door 4 delen en krijg je dus
(x − 3)2 = 2
Waarom je het jezelf te moeilijk maakt: bovenstaande vierkantsvergelijking heeft in het linkerlid een volkomen kwadraat. En als het kwadraat van (x − 3) gelijk moet zijn aan 2, dan moet (x − 3) zelf dus gelijk zijn aan hetzij √2 hetzij −√2. Dus krijgen we
x − 3 = √2 ∨ x − 3 = −√2
En daarmee
x = 3 + √2 ∨ x = 3 − √2
Nee, je begrijpt het nog steeds niet. Ik heb slechts één deling uitgevoerd. Ik heb beide leden gedeeld door 4. Je kunt het linkerlid van je vergelijking immers ook schrijven alsquote:
[..]
Ik begrijp het niet? Je deelt door -2, zowel links als rechts (Standaardregel) en daarna door 4? Maar dan kom je toch nooit op (x-3)² = 2 uit?
((−2)·(x − 3))2
en dat is hetzelfde als
(−2)2·(x − 3)2
oftewel
4·(x − 3)2
(-2x + 6)² = 8quote:
[..]
Ik begrijp het niet? Je deelt door -2, zowel links als rechts (Standaardregel) en daarna door 4? Maar dan kom je toch nooit op (x-3)² = 2 uit?
Ik zou het zo aanpakken (houdt er rekening mee dat mijn wiskundige kennis ver onderdoet tov Riparius.
(-2x + 6)² = 8
(-2x + 6)(-2x + 6) = 8
4x2-24x+36 = 8
4x2-24x+28 = 0
Vervolgens deze vergelijking door de abc-formule rammen en het varkentje is gewassen.
Correct me if i'm wrong.
Je mag aan beide kanten door -2 delen, maar dit levert niet het resultaat op wat jij denkt.quote:
[..]
Ik begrijp het niet? Je deelt door -2, zowel links als rechts (Standaardregel) en daarna door 4? Maar dan kom je toch nooit op (x-3)² = 2 uit?
Er staat namelijk:
(-2x+6)2 = 8
(-2x+6)(-2x+6) = 8
Als je dan beide kanten door -2 deelt krijg je:
(-2x+6)(-2x+6)/(-2) = 8/(-2)
Aan de linkerkant van het = teken werkt het delen maar op 1 van de termen, je krijgt dan:
(-2x+6)(x-3) = -4
Dit is lastiger op te lossen dan de opgave waarmee je begon, dus dit is niet zo'n goede strategie
Volgens mij is het veel makkelijker om direct de wortel te nemen, dan heb je geen gedoe met abc-formulesquote:Op donderdag 1 mei 2014 23:04 schreef nodig het volgende:
[..]
(-2x + 6)² = 8
Ik zou het zo aanpakken (houdt er rekening mee dat mijn wiskundige kennis ver onderdoet tov Riparius.
(-2x + 6)² = 8
(-2x + 6)(-2x + 6) = 8
4x2-24x+36 = 8
4x2-24x+28 = 0
Vervolgens deze vergelijking door de abc-formule rammen en het varkentje is gewassen.
Correct me if i'm wrong.
Owja tweedegraads kan makkelijk abc. Ik ram gewoon standaard abc formule, waarom moeilijk doen...quote:
[..]
(-2x + 6)² = 8
Ik zou het zo aanpakken (houdt er rekening mee dat mijn wiskundige kennis ver onderdoet tov Riparius.
(-2x + 6)² = 8
(-2x + 6)(-2x + 6) = 8
4x2-24x+36 = 8
4x2-24x+28 = 0
Vervolgens deze vergelijking door de abc-formule rammen en het varkentje is gewassen.
Correct me if i'm wrong.
Alleen hoe noteer ik het bij toetsen? Niet de abc formule, maar uiteindelijke antwoord...
ABC is the best.quote:
[..]
Volgens mij is het veel makkelijker om direct de wortel te nemen, dan heb je geen gedoe met abc-formules
Waarom gewoon niet eerst kwadraat wegwerken? Is het simplest vind ik. Dat direct delen door 4 zag ik ook niet en zou ik ook nooit opkomen.
en zou ik ook nooit opkomen.
Bedoel je dat je de abc-formule hier niet mag toepassen? Of doel je erop dat de abc-formule een relatief moeilijkere/langere methode is?quote:
[..]
Owja tweedegraads kan makkelijk abc. Ik ram gewoon standaard abc formule, waarom moeilijk doen...
Alleen hoe noteer ik het bij toetsen? Niet de abc formule, maar uiteindelijke antwoord...
Ik doel op het volgende;quote:
[..]
Bedoel je dat je de abc-formule hier niet mag toepassen? Of doel je erop dat de abc-formule een relatief moeilijkere/langere methode is?
Hoe noteer ik het als uiteindelijke antwoord op een toets/tentamen? Want meestal komen er kommagetallen uitrollen.
Je vraagt of ik hem helemaal wil uitwerken?quote:
[..]
Ik doel op het volgende;
Hoe noteer ik het als uiteindelijke antwoord op een toets/tentamen?
4x2-24x+28 = 0
abc-formule:( -b(+of-)wortel b2 - 4ac)/2a
Invullen geeft:
(24(-of+) wortel 576 - 448) / 8
(24 (-of+) wortel128 )/ 8
(24 (-of+) 8wortel2) /8
3 (-of +) wortel 2
[ Bericht 20% gewijzigd door nodig op 01-05-2014 23:17:35 ]
Ik snap dat je graag de abc-formule gebruikt, dat is nu eenmaal een simpel trucje. Het is alleen een best wel tijdrovende manier van oplossen, daarnaast maak je er ook best wel snel een foutje mee. Bij dit soort opgaves kan het veel sneller door er even naar te kijken en niet direct dom dat kwadraat uit te schrijven.quote:
Bij wiskundetoetsen mag je worteltekens gewoon laten staan. Dit is zelfs beter dan kommagetallen, want kommagetallen zijn afgerond, terwijl wortels exact zijn.quote:
[..]
Ik doel op het volgende;
Hoe noteer ik het als uiteindelijke antwoord op een toets/tentamen? Want meestal komen er kommagetallen uitrollen.
Als je de opgave (x+2)2 = 3 hebt, dan schrijf je op:
(x+2)2 = 3
x+2 = √3 of x+2 = -√3
x = √3 - 2 of x = -√3 - 2
Je kunt het woordje 'of' ook nog vervangen door het ∨ teken. Dit betekent gewoon 'of'
Nee, daar ben ik het niet mee eens. Ik los vierkantsvergelijkingen meestal veel sneller op met andere methodes, bijvoorbeeld via kwadraatafsplitsing. In sommige gevallen (vierkantsvergelijkingen met gehele coëfficiënten en rationale wortels) kun je ook ontbinden in factoren.quote:
Bij de opgave hierboven is het linkerlid al een volkomen kwadraat, en dan is het waanzin het linkerlid uit te gaan werken, het rechterlid van de vergelijking op nul te herleiden en dan de abc-formule te gebruiken. Kijk maar:
(−2x + 6)2 = 8
−2x + 6 = 2√2 ∨ −2x + 6 = −2√2
x − 3 = −√2 ∨ x − 3 = √2
x = 3 − √2 ∨ x = 3 + √2
Als Andijvie_ toch bezig is met vergelijkingen en abc formule...
Ik heb een soortgelijke vraag alleen meer gericht op het algebra..
-2(2x + 1) (3x - 4 ) = 0
Uitwerken levert op: -12x² + 10x + 8
Ik kan makkelijk de abc formule hierop toepassen, echter wil ik het graag via de lastige methode leren...
Hoe nu verder?
Ik kwam uit op
-2(6x - 5x - 4) = 0
Dus x = 2 of x = 4
Maar in het antwoordenboek staat: x= -0.5 of x= 4/3
Ik heb een soortgelijke vraag alleen meer gericht op het algebra..
-2(2x + 1) (3x - 4 ) = 0
Uitwerken levert op: -12x² + 10x + 8
Ik kan makkelijk de abc formule hierop toepassen, echter wil ik het graag via de lastige methode leren...
Hoe nu verder?
Ik kwam uit op
-2(6x - 5x - 4) = 0
Dus x = 2 of x = 4
Maar in het antwoordenboek staat: x= -0.5 of x= 4/3
Je vraagt of ik hem helemaal wil uitwerken?quote:
[..]
Ik doel op het volgende;
Hoe noteer ik het als uiteindelijke antwoord op een toets/tentamen? Want meestal komen er kommagetallen uitrollen.
4x2-24x+28 = 0
abc-formule:( -b(+of-)wortel b2 - 4ac)/2a
Invullen geeft:
(24(-of+) wortel 576 - 448) / 8
(24 (-of+) wortel128 )/ 8
(24 (-of+) 8wortel2) /8
3 (-of +) wortel 2
Wat jij aanziet voor een 'lastige' methode is helemaal niet lastig, integendeel. Je maakt het je hier al moeilijker dan nodig doordat je de haakjes begint uit te werken. Dat moet je hier niet doen, want je ziet dat het rechterlid van je vergelijking nul is.quote:
Als Andijvie_ toch bezig is met vergelijkingen en abc formule...
Ik heb een soortgelijke vraag alleen meer gericht op het algebra..
-2(2x + 1) (3x - 4 ) = 0
Uitwerken levert op: -12x² + 10x + 8
Ik kan makkelijk de abc formule hierop toepassen, echter wil ik het graag via de lastige methode leren...
Hoe nu verder?
Welnu, een product van twee getallen kan alleen nul zijn als (tenminste) één van die getallen zelf nul is. Dus krijgen we:
2x + 1 = 0 ∨ 3x − 4 = 0
x = −1/2 ∨ x = 4/3
-2(2x + 1) (3x - 4 ) = 0quote:
Als Andijvie_ toch bezig is met vergelijkingen en abc formule...
Ik heb een soortgelijke vraag alleen meer gericht op het algebra..
-2(2x + 1) (3x - 4 ) = 0
Uitwerken levert op: -12x² + 10x + 8
Ik kan makkelijk de abc formule hierop toepassen, echter wil ik het graag via de lastige methode leren...
Hoe nu verder?
Ik kwam uit op
-2(6x - 5x - 4) = 0
Dus x = 2 of x = 4
Maar in het antwoordenboek staat: x= -0.5 of x= 4/3
A * B = 0
Dus of A = 0 of B = 0 of A en B=0
-4x-2=0
-4x=2
x = 2/-4
x= -1/2
of(/en)
3x-4=0
3x=4
x=4/3
Hoe kom je direct tot -4x-2?quote:
[..]
-2(2x + 1) (3x - 4 ) = 0
A * B = 0
Dus of A = 0 of B = 0 of A en B=0
-4x-2=0
-4x=2
x = 2/-4
x= -1/2
of(/en)
3x-4=0
3x=4
x=4/3
Ik heb die -2(2x+1) uitgewerkt.quote:
Maar nu ik de post van Riparius zie is dat natuurlijk niet nodig. Het resultaat blijft hetzelfde. Je kan dus ook gewoon (2x+1) nemen en die hele -2 wegdenken.
Nogmaals, corrigeer me als ik verkeerd zit
Ik ben mij aan het voorbereiden voor dezelfde wiskunde deficientie als user RustCohle.
Met die -2 doe je niks?quote:
[..]
Wat jij aanziet voor een 'lastige' methode is helemaal niet lastig, integendeel. Je maakt het je hier al moeilijker dan nodig doordat je de haakjes begint uit te werken. Dat moet je hier niet doen, want je ziet dat het rechterlid van je vergelijking nul is.
Welnu, een product van twee getallen kan alleen nul zijn als (tenminste) één van die getallen zelf nul is. Dus krijgen we:
2x + 1 = 0 ∨ 3x − 4 = 0
x = −1/2 ∨ x = 4/3
Waarom kun je die -2 wegdenken?quote:
[..]
Ik heb die -2(2x+1) uitgewerkt.
Maar nu ik de post van Riparius zie is dat natuurlijk niet nodig. Het resultaat blijft hetzelfde. Je kan dus ook gewoon (2x+1) nemen en die hele -2 wegdenken.
Nogmaals, corrigeer me als ik verkeerd zit
Ik ben mij aan het voorbereiden voor dezelfde wiskunde deficientie als user RustCohle.
quote:
[..]
Waarom kun je die -2 wegdenken? Ben wel benieuwd naar jouw methode...
quote:
[..]
Ik heb die -2(2x+1) uitgewerkt.
Maar nu ik de post van Riparius zie is dat natuurlijk niet nodig. Het resultaat blijft hetzelfde. Je kan dus ook gewoon (2x+1) nemen en die hele -2 wegdenken.
Nogmaals, corrigeer me als ik verkeerd zit
Ik ben mij aan het voorbereiden voor dezelfde wiskunde deficientie als user RustCohle.
Hij brengt eerst de constante factor −2 binnen de haakjes door de eerste factor (2x + 1) met −2 te vermenigvuldigen, maar dat is geheel overbodig. Het gaat erom dat (tenminste) één der beide factoren tussen haakjes nul moet zijn, anders kan het product in het linkerlid immers niet nul zijn.quote:
-12x² + 10x + 8 = 0quote:
Als Andijvie_ toch bezig is met vergelijkingen en abc formule...
Ik heb een soortgelijke vraag alleen meer gericht op het algebra..
-2(2x + 1) (3x - 4 ) = 0
Uitwerken levert op: -12x² + 10x + 8
Ik kan makkelijk de abc formule hierop toepassen, echter wil ik het graag via de lastige methode leren...
Hoe nu verder?
Ik kwam uit op
-2(6x - 5x - 4) = 0
Dus x = 2 of x = 4
Maar in het antwoordenboek staat: x= -0.5 of x= 4/3
-12x2 +16x -6x +8 =0
4x(-3x +4) +2(-3x +4) =0
(4x +2)(-3x +4) =0
x = - 1/2 of x = 4/3
Nee. Je zou ook eerst beide leden door −2 kunnen delen, dan verdwijnt de factor −2 uit het linkerlid maar blijft het rechterlid nul. Het gaat erom dat het product in het linkerlid uitsluitend nul kan zijn als tenminste één van de beide factoren tussen haakjes gelijk is aan nul. Aldus valt je vierkantsvergelijking uiteen in twee lineaire vergelijkingen.quote:
Als je de haakjes gaat uitwerken, kom je dan ook uit op -12x² + 10x + 8 ?quote:
[..]
-2(2x + 1) (3x - 4 ) = 0
A * B = 0
Dus of A = 0 of B = 0 of A en B=0
-4x-2=0
-4x=2
x = 2/-4
x= -1/2
of(/en)
3x-4=0
3x=4
x=4/3
Want vind het sowieso raar dat je die -2 vermenigvuldigt met alleen de eerste vergelijking binnen de haakjes en niet ook met het tweede.
Nee. Je moet die -2 alleen voor die eerste termen binnen de haakjes nemen.quote:
[..]
Als je de haakjes gaat uitwerken, kom je dan ook uit op -12x² + 10x + 8 ?
Want vind het sowieso raar dat je die -2 vermenigvuldigt met alleen de eerste vergelijking binnen de haakjes en niet ook met het tweede.
Nee, als je beide factoren tussen haakjes met −2 zou vermenigvuldigen, dan smokkel je een extra factor −2 binnen. Dat doet hier geen kwaad omdat het rechterlid immers nul is, maar het is niet correct.quote:
[..]
Als je de haakjes gaat uitwerken, kom je dan ook uit op -12x² + 10x + 8 ?
Want vind het sowieso raar dat je die -2 vermenigvuldigt met alleen de eerste vergelijking binnen de haakjes en niet ook met het tweede.
Ow... Hoe werk je de tweede termen uit dan? Met welke vermenigvuldig je die?quote:
[..]
Nee. Je moet die -2 alleen voor die eerste termen binnen de haakjes nemen.
Dat deed ik dus al de gehele week. Ik ga morgen maar keihard algebra en vergelijkingen...quote:
[..]
Nee, als je beide factoren tussen haakjes met −2 zou vermenigvuldigen, dan smokkel je een extra factor −2 binnen. Dat doet hier geen kwaad omdat het rechterlid immers nul is, maar het is niet correct.
Als je hem helemaal wilt uitwerken?quote:
[..]
Ow... Hoe werk je de tweede termen uit dan? Met welke vermenigvuldig je die?
Dat zou ik zo doen:
-2(2x + 1) (3x - 4 ) = 0
(-4x2-2)(3x-4) = 0
-12x3+16x2-6x+8 =0
Uitstekend!quote:
[..]
-12x² + 10x + 8 = 0
-12x2 +16x -6x +8 =0
4x(-3x +4) +2(-3x +4) =0
(4x +2)(-3x +4) =0
x = - 1/2 of x = 4/3
Voor diegenen die zich afvragen wat hier gebeurt: dit is ontbinden van een kwadratische veelterm ax2 + bx + c via factoring by grouping. Hiervoor zoek je eerst twee getallen waarvan het product gelijk is aan ac = −96 terwijl de som gelijk is aan b = 10. Die getallen zijn +16 en −6. Vervolgens splits je de lineaire term 10x op in 16x − 6x en dan kun je bij de eerste twee en bij de laatste twee termen een factor buiten haakjes halen, waarbij er binnen de haakjes dezelfde factor overblijft, zodat je vervolgens de ontbinding kunt voltooien.
Netjes inderdaadquote:
[..]
Uitstekend!
Voor diegenen die zich afvragen wat hier gebeurt: dit is ontbinden van een kwadratische veelterm ax2 + bx + c via factoring by grouping. Hiervoor zoek je eerst twee getallen waarvan het product gelijk is aan ac = −96 terwijl de som gelijk is aan b = 10. Die getallen zijn +16 en −6. Vervolgens splits je de lineaire term 10x op in 16x − 6x en dan kun je bij de eerste twee en bij de laatste twee termen een factor buiten haakjes halen, waarbij er binnen de haakjes dezelfde factor overblijft, zodat je vervolgens de ontbinding kunt voltooien.
Ik heb trouwens nog wel een vraag. De abc-formule is bijna altijd toch toepasbaar? Behalve met voorwaarde dat a ongelijk is aan 0? Kwadraat afsplitsen lukt mij ook maar ik had het idee dat de abc-formule altijd mogelijk is en kwadraat afsplitsen niet.
Ik vind het hartstikke leuk om alle methoden te gaan leren maar binnen drie weken moet ik dit pakket beheersen: http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf
Als a = 0 dan heb je geen kwadratische term meer en dus ook geen kwadratische vergelijking. Je kunt dus zeggen dat de abc-formule altijd toepasbaar is. Ook oplossen van een kwadratische vergelijking via kwadraatafsplitsing is altijd mogelijk. Dat kun je gemakkelijk inzien doordat de abc-formule zelf ook via kwadraatafsplitsing is af te leiden. Lees dit maar eens goed door.quote:
[..]
Netjes inderdaad
Ik heb trouwens nog wel een vraag. De abc-formule is bijna altijd toch toepasbaar? Behalve met voorwaarde dat a ongelijk is aan 0? Kwadraat afsplitsen lukt mij ook maar ik had het idee dat de abc-formule altijd mogelijk is en kwadraat afsplitsen niet.
quote:Ik vind het hartstikke leuk om alle methoden te gaan leren maar binnen drie weken moet ik dit pakket beheersen: http://www.eur.nl/fileadm(...)au_2_versie_2014.pdf
Ah, dat komt ongeveer neer op dit filmpje dat ik bekeken heb: Overigens heeft dat youtubekanaal 'wiskundeacademie' mij heel veel geholpen, de informatie in 'basisboek wiskunde' is soms echt te karig voor mij. Daarnaast gebruik ik nog sporadisch khanacademy.org voor dingen die wiskundeacademie niet behandeldquote:
[..]
Als a = 0 dan heb je geen kwadratische term meer en dus ook geen kwadratische vergelijking. Je kunt dus zeggen dat de abc-formule altijd toepasbaar is. Ook oplossen van een kwadratische vergelijking via kwadraatafsplitsing is altijd mogelijk. Dat kun je gemakkelijk inzien doordat de abc-formule zelf ook via kwadraatafsplitsing is af te leiden. Lees dit maar eens goed door.
[..]
Ik moet trouwens wel zeggen dat voordat ik hiermee begon mijn wiskundeniveau niet heel best was. Een kwadratische vergelijking had ik nog nooit gehad.
Dat is inderdaad ook de methode van Sridhara. Het lijkt erop dat deze methode in ieder geval in het onderwijs lang was vergeten want in de meeste Nederlandse schoolboeken uit de 20ste eeuw deelt men eerst beide leden door a om de coëfficiënt van de kwadratische term gelijk te maken aan 1, maar dan krijg je nogal wat breuken in je afleiding, zie bijvoorbeeld hier voor een vergelijk van beide afleidingen.quote:Op vrijdag 2 mei 2014 00:27 schreef nodig het volgende:
[..]
Ah, dat komt ongeveer neer op dit filmpje dat ik bekeken heb
In schoolboeken uit de 19de eeuw kom je de methode van Sridhara wel tegen. In Engelse schoolboeken uit die periode heet dat dan vaak de Hindoo method. Het oudste mij bekende Nederlandse schoolboek waarin de abc-formule in de thans gebruikelijke vorm wordt gegeven en wordt afgeleid volgens de methode van Sridhara is een boekje van Colenso dat omstreeks 1860 voor het eerst verscheen (hier, collectie Nederlands Schoolmuseum). Maar, ongetwijfeld niet toevallig, was dit een bewerking van een Engels origineel. Het zal je opvallen hoe kort de afleiding hier wordt weergegeven. Leerlingen hadden daar toen voldoende aan om te zien hoe het in elkaar zit. De abc-formule speelde verder nauwelijks een rol, kwadratische vergelijkingen die niet zijn op te lossen via ontbinding in factoren werden gewoonlijk opgelost via kwadraatafsplitsing of via de pq-formule (zie hier).
Het boek van Van de Craats is geen leerboek, het is meer een opfriscursus en oefenboek voor mensen die de stof al wel eens eerder hebben gezien. Het boek wordt echter ook vaak gebruikt door mensen die de stof niet eerder hebben gezien, met alle gevolgen van dien. Dat is één van de redenen waarom ik dit boek nooit aanraad aan mensen die een wiskunde deficiëntie willen wegwerken en zich willen voorbereiden op een toelatingsexamen. Afgezien daarvan vind ik het boek ook in zijn genre niet bijster geslaagd.quote:Overigens heeft dat youtubekanaal 'wiskundeacademie' mij heel veel geholpen, de informatie in 'basisboek wiskunde' is soms echt te karig voor mij. Daarnaast gebruik ik nog sporadisch khanacademy.org voor dingen die wiskundeacademie niet behandeld
Kwadratische vergelijkingen kreeg je vroeger tegen het einde van de tweede klas van de H.B.S. of het Gymnasium. Maar ja, toen was algebra een apart schoolvak en was er ook echt onderwijs.quote:Ik moet trouwens wel zeggen dat voordat ik hiermee begon mijn wiskundeniveau niet heel best was. Een kwadratische vergelijking had ik nog nooit gehad.
Ik kreeg het ook nog in het eind 2e van gymnasium.quote:
[..]
Kwadratische vergelijkingen kreeg je vroeger tegen het einde van de tweede klas van de H.B.S. of het Gymnasium. Maar ja, toen was algebra een apart schoolvak en was er ook echt onderwijs.
Hoe kan ik inzien hoe ik deze vergelijking kan ontbinden in factoren? Bij een simpele tweedegraadsvergelijking heb ik daar geen moeite mee, maar bij de volgende zie ik door de bomen het bos niet meer...
(a + 3)^2 (b + 1) -2 (a + 3) ( b + 1)
Na het oplossen kom ik tot:
a^2b + a^2 + 4ab + 4a + 3b + 3
Daar sta ik dus vast..
(a + 3)^2 (b + 1) -2 (a + 3) ( b + 1)
Na het oplossen kom ik tot:
a^2b + a^2 + 4ab + 4a + 3b + 3
Daar sta ik dus vast..
Je moet de twee termen buiten haakjes halen.
(a+3) = a
(b+1) = b
a 2b -2ab
ab(a -2)
(a +3)(b +1)(a +3 -2)
(a+3) = a
(b+1) = b
a 2b -2ab
ab(a -2)
(a +3)(b +1)(a +3 -2)
Ik snap het niet?quote:
Je moet de twee termen buiten haakjes halen.
(a+3) = a
(b+1) = b
a 2b -2ab
ab(a -2)
(a +3)(b +1)(a +3 -2)
Uiteindelijke antwoord is trouwens (a + 1) (a + 3) ( b + 1)
Welke deel niet? Het antwoord klopt dus.quote:Op vrijdag 2 mei 2014 11:55 schreef RustCohle het volgende:
[..]
Ik snap het niet?
Uiteindelijke antwoord is trouwens (a + 1) (a + 3) ( b + 1)
Heel je post niet.quote:
[..]
Welke deel niet? Het antwoord klopt dus.
met name "termen buiten haakjes halen"Ik weet nog steeds niet wat het verschil is tussen ontbinden in factoren, factoren buiten de haakjes halen en termen buiten haakjes halen.
Mja, hier wordt het duidelijk uitgelegd:quote:
[..]
Heel je post niet.
Ik weet nog steeds niet wat het verschil is tussen ontbinden in factoren, factoren buiten de haakjes halen en termen buiten haakjes halen.
http://www.dr-aart.nl/Her(...)actoren.html#termfac
Maar dat is makkelijk... kijk mijn vraagstuk eens.. dat is een pittigere.quote:
[..]
Mja, hier wordt het duidelijk uitgelegd:
http://www.dr-aart.nl/Her(...)actoren.html#termfac
Je ziet dat (a+3) en (b+1) 2 keer in de vergelijking voorkomen.quote:
[..]
Maar dat is makkelijk... kijk mijn vraagstuk eens.. dat is een pittigere.
(a + 3)^2 (b + 1) -2 (a + 3) ( b + 1)
Laten we (a+3) en (b+1) vervangen door:
(a+3) = a
(b+1) = b
Dus op de plaats van (a+3) komt a en op de plaats van (b+1) komt b
Dan krijgen we:
a 2b -2ab
a en b kan je buiten haakjes halen:
ab(a -2)
Aangezien a=(a+3) en b=(b+1) krijgen we:
(a +3)(b +1)(a +3 -2)
Kan je versimpelen naar:
(a +3)(b +1)(a +1)
En komt dus overeen met:
(a + 1) (a + 3) ( b + 1)
Of:
(a + 3)^2 (b + 1) -2 (a + 3) ( b + 1)
(a +3)(b+1)(a+3*1-2*1*1)
(a +3)(b +1)(a +1)
[ Bericht 3% gewijzigd door wiskundenoob op 02-05-2014 12:53:32 ]
Ik snap niet hoe je opeens a en b kan maken van de vergelijking, bovendien komt a+3 driemaal voor en b+1 tweemaal. Ik snap de laatste methode niet, waarvoor 3*1-2*1*1 is?quote:
[..]
Je ziet dat (a+3) en (b+1) 2 keer in de vergelijking voorkomen.
(a + 3)^2 (b + 1) -2 (a + 3) ( b + 1)
Laten we (a+3) en (b+1) vervangen door:
(a+3) = a
(b+1) = b
Dus op de plaats van (a+3) komt a en op de plaats van (b+1) komt b
Dan krijgen we:
a 2b -2ab
a en b kan je buiten haakjes halen:
ab(a -2)
Aangezien a=(a+3) en b=(b+1) krijgen we:
(a +3)(b +1)(a +3 -2)
Kan je versimpelen naar:
(a +3)(b +1)(a +1)
En komt dus overeen met:
(a + 1) (a + 3) ( b + 1)
Of:
(a + 3)^2 (b + 1) -2 (a + 3) ( b + 1)
(a +3)(b+1)(a+3*1-2*1*1)
(a +3)(b +1)(a +1)
Een voorbeeld waar ik in de war van raak.
Ontbind de volgende vergelijking in factoren:
27a^2 - 12b^2
Ik zou doen: 3(9a^2 - 4b^2)
echter is het antwoord:
3a (3a + 2b ) (3a - 2b)
Ik snap beide methoden.. maar ik snap niet wanneer ik de methode die ik dacht te moeten gebruiken, moet gebruiken en wanneer ik dus die tweede moet gebruiken?
hetzelfde geldt voor:
8a^2 - 50 is 2(2a + 5) (2a - 5)
Terwijl ik dacht:
2(a^2 - 25)
Ontbind de volgende vergelijking in factoren:
27a^2 - 12b^2
Ik zou doen: 3(9a^2 - 4b^2)
echter is het antwoord:
3a (3a + 2b ) (3a - 2b)
Ik snap beide methoden.. maar ik snap niet wanneer ik de methode die ik dacht te moeten gebruiken, moet gebruiken en wanneer ik dus die tweede moet gebruiken?
hetzelfde geldt voor:
8a^2 - 50 is 2(2a + 5) (2a - 5)
Terwijl ik dacht:
2(a^2 - 25)
